La LOGICA es el estudio de las reglas, leyes, modos y formas de razonamiento, que permiten al espíritu alcanzar la verdad. También puede entenderse como la ciencia formal que estudia la validez de la inferencia.

[(p↔q)∧(q↔r)]→(p↔r) (6) Dilema Constructivo (D. C.): { [ ( p → q ) ∧ ( r → s ) ] ∧ ( p ∨ r ) }→ ( q ∨ s ) (7) Dilema Destructivo (D. D.):

TIPO

SCHOL Z

PEANO RUSSEL L

Neg

∼

∼

no

•

…y…

Conj Disy débil Disy

∧

SE LEE

EJEMPLO

{[(p → q) ∧ (r → s)] ∧ (∼q ∨ ∼ s)}→ (∼ p ∨ ∼ r)

Juan no es abogado ∼p Los peces y los reptiles son árboles p ∧ q

(8) Conjunción (Conj.):

p → ( p ∨ q ) ó q → ( q ∨ p) ó r → ( r ∨ s );

∨

∨

…o…

j

≢

o…o

O vas lunes o vas martes pjq

(10) Simplificación (Simp.):

Si entrenas, ganas p→ q

O también

Es rectángulo si y sólo si es un cuadrado p ↔q

y así sucesivamente.

si…

Bicon

(9) Adición (AD.):

Estudias o juegas p ∨ q

fuerte Cond

p∧q →(p∧q)

→

↔

⊃

≡

entonc es …si y

sólo si…

y así sucesivamente.

(p∧q)→p ó (p∧q)→q

: ( p ∧ q ∧ r ) → p ó ( p ∧ q ∧ r ) → r;

(11) Leyes del Absurdo (L.A.): a) [ ∼ p → ( q ∧ ∼q )] → p b) [ p → (q ∧ ∼q )] → ∼p

LEYES TAUTOLÓGICAS Las tautologías que son proposiciones CONDICIONALES o BICONDICIONALES, son proposiciones notables, llamadas IMPLICACIONES O EQUIVALENCIAS NOTABLES. Entre las más usuales tenemos:

:

[(p→q)∧p]→q (2) Modus Tollens (M. T.)

CIRCUITOS LÓGICOS II.- En paralelo:

IMPLICACIONES (1) Modus Ponens (M. P.)

c) [ ( ∼p → q ) ∧ ( ∼p → ∼q )] → p

1)

+ A

:

[(p→q)∧∼q]→∼p

2)

+

A

3)

+

(4) Silogismo Hipotético (S. H.):

(5) Transitividad Simétrica (T. S.):

q

5)

B

q

+

A

p

–

q

p

6)

B

+

A

+

–

q

A

p q r

–

q

B

p

–

q

B

r 7)

B

+

A

r 4)

p

r

r

A

[(p→q)∧(q→r)→(p→r)

–

r

(3) Silogismo Disyuntivo (S. D.): [ ( p ∨ q ) ∧ ∼ p ]→ q ó [ ( p ∨ q ) ∧ ∼ q ] → p

p

p

–

q

B

r –

B

8)

+

A

–

q

B

r

Trabajo hecho por MAM/

DESCRIPCIÓN DE ZONAS SOMBREADAS Completa la siguiente tabla, para tres interruptores conectados en paralelo: p

q

r

cerrado cerrado

cerrado cerrado

cerrado abierto

¿Pasará eléct. de A a B? ………… …………

cerrado

abierto

cerrado

………… …………

cerrado

abierto

abierto

abierto

cerrado

cerrado

…………

abierto

cerrado

abierto

…………

abierto

abierto

cerrado

…………

abierto

abierto

abierto

…………

Usando la simbología anterior podemos describir figuras sombreadas, así:

S

U

P

S P = Φ (Todo S es P) U

S

RESPUESTA: Sólo es “no” cuando los tres interruptores están abiertos, en todos los otros casos la respuesta es “sí”.

DIAGRAMAS DE CLASES Y LENGUAJE BOOLEANO

S

P

P S = Φ (Todo S es P)

S

P

U

III.- PARA TRES CONJUNTOS (S, P, R) CONVENIO El complemento de un conjunto S lo denotaremos con S La intersección de dos conjuntos lo denotamos, escribiendo seguidas, las letras que simbolizan a dichos conjuntos. Así: SP, significa S ∩ P;

SP = Φ (Ningún S es P)

S

P

U

x

S P, significa S ∩ P

PARA DOS CONJUNTOS

P

S

SP ≠ Φ (Algunos S son P)

U

S

SP

SP

SP

P

U

x

S P S P ≠ Φ (Algunos S no son P)

PARA TRES CONJUNTOS P

S S PR

SP R

S PR

U

S

P

U

x

SPR

S PR

SPR

SPR

SP R

R

S P ≠ Φ (Algunos P no son S)

Trabajo hecho por MAM/

CUADRO DE BOECIO

EJEMPLOS a

CONTRARIAS

SUBALTERNANTE

e

SUBALTERNANTE

CONTRADICTORIAS SUBALTERNA

SUBALTERNA

i

SUBCONTRARIAS

Primera figura: PM Pm ___ C

Toda fruta es vegetal Toda naranja es fruta ________________ Toda naranja es vegetal

FaV M P NaF S M _____ _____ NaV S P

o

Segunda figura: El cuadro anterior, se llama también cuadro de oposiciones, y es atribuido al filósofo de la edad media Boecio

PM Pm ___ C

Toda ameba es protozoario AaP Ningún metazoario es protozoario M e P __________________________ _____ Ningún metazoario es ameba MeA

P M S M _____ S P

ESQUEMA DE LAS PROPOSICIONES CATEGÓRICAS Tercera figura: FORMA TÍPICA SaP

FÓRMULA BOOLEANA

OPERACIÓN DE CONJUNTO

SP=

Φ

inclusión total

SeP

SP =

Φ

exclusión total

SiP

SP ≠

Φ

inclusión parcial

SoP

SP ≠

Φ

Todo trapecista es atleta T a A M P Algún trapecista es cubano T i C M S __________________________ ______ Algún cubano es atleta CiAS P

Cuarta figura: PM Algún hombre es niño Pm Todo niño es alegre ___ ___________________ C Algún alegre es hombre

exclusión parcial

CANT CAL FORMA LÓG U A Todo S Es P U N Ningún S Es P P A Algunos S son P P N Algunos S no son P

PM Pm ___ C

HiN P M NaA M S _____ ______ AiH S P

MODO

A.- PRUEBA DE VALIDEZ O INVALIDEZ DE LOS SILOGISMOS POR LOS MODOS Y LAS REGLAS

A

EJEMPLOS

E I O

SILOG ISMO CATEGÓRICO INFERENCIA CATEGÓRICA Definición.- El silogismo categórico es una inferencia mediata constituida por sólo dos premisas, de las que se obtiene una tercera proposición categórica llamada conclusión.

(1) P. N. Algunos animales no son carnívoros M P U. A. Todos los mamíferos son animales S M P. N. Algunos mamíferos no son carnívoros S P

oao − 1 SILOGISMO INVÁLIDO. INFRINGE LA REGLA Nº 3 (FALACIA DEL MEDIO ILÍCITO)

(2)U. N. Ningún hombre es ladrón M P U. A. Todos los hombres son vertebrados M S U. N. Ningún vertebrado es ladrón S P

eae − 3 SILOGISMO INVÁLIDO. INFRINGE LA REGLA Nº 4 (FALACIA DEL MENOR ILÍCITO)

Trabajo hecho por MAM/

14) U. N. Ningún minusválido es feliz M P P. A. Algunos pobres son minusválidos S M P. N. Algunos pobres no son felices S P

eio − 1

3º) Transformamos las formas típicas a fórmulas booleanas HM =Φ PH ≠ Φ ________ PM ≠ Φ

a)PM Pm ∴C

SILOGISMO VÁLIDO (FERIO) 15) P. A. Algunos arquitectos son docentes M P U. A. Todos los arquitectos son creativos M S P. A. ∴Algunos creativos son docentes S P

iai − 3

4º) Graficamos la premisas, haciéndolo primero la proposición categórica universal, cuando una es particular y la otra universal. Si la particular se refiera a dos áreas, el aspa se coloca en la línea común a ambas. Cada símbolo de la proposición se refiere, por lo general, a dos zonas, salvo el caso que una de ellas ya esté diagramada.

SILOGISMO VÁLIDO (DISAMIS)

P. A. P. N

Ningún inversionista es inseguro P M Algunos inseguros son jóvenes M S ∴Algunos jóvenes no son inversionistas S

P

a)

16) U. N.

Premisa Mayor H P

P

Premisa menor

eio − 4

1º) Determinamos premisas y conclusión a) Si todo hombre es mortal, sin embargo algún político es hombre. En consecuencia, algún político es mortal. a) PM Pm ∴C

Todo hombre es mortal M P Algún político es hombre S M ____________________ Algún político es mortal S P

M x H

SILOGISMO VÁLIDO (FRESISON) B.-PRUEBA DE VALIDEZ O INVALIDEZ DE UN SILOGISMO POR EL MÉTODO DE LOS DIAGRAMAS DE VENN

M

5º) Determinamos si el silogismo es válido o inválido, considerando: Si la conclusión está graficada, con toda precisión, en el diagrama de las premisas, es válido. Si no está representada en dicho diagrama, el silogismo es inválido. Así: a) La conclusión: P i M (PM ≠ Φ ) Está graficada en el diagrama de las premisas Por lo tanto: El silogismo categórico

aii − 1 es válido.

2º) Expresamos la premisa y conclusión en su forma típica a)

PM Pm ∴C

HaM P i H _____ P i M

Trabajo hecho por MAM/

MÁS EJEMPLOS

FALACIAS

f) Evaluar el siguiente silogismo: Ningún arequipeño es puneño. Algunos camanejos son arequipeños. Por lo tanto, algunos camanejos no son puneños

Una falacia es un razonamiento incorrecto, que, aparentemente, es correcto. Dicha incorrección sólo es posible determinar después de un análisis cuidadoso.

Solución PM:

Ningún arequipeño es puneño M P Algunos camanejos son arequipeño S M _____________________________ Algunos camanejos no son puneños S P

Pm: C:

S

P

MP = Φ SM ≠ Φ ________

x

SP ≠Φ

M

Según el diagrama de Venn, el silogismo es válido, porque la conclusión queda diagramada al graficar la premisa menor. g) Evaluar el siguiente silogismo: Todos los tigres son ágiles. Algunos limeños son ágiles. Por tanto, algunos limeños son tigres.

Solución PM:

Todos los tigres son ágiles P M Algunos limeños son ágiles S M _____________________

Pm:

C:

Algunos limeños son tigres S P

S

P

x M

PM =Φ SM ≠ Φ ________ SP ≠ Φ

II.- FALACIAS DEL SILOGISMO CATEGÓRICO a) Falacia del mayor ilícito. El término mayor aparece distribuido en la conclusión pero no en la premisa mayor. Todos los perros son vertebrados M P Ningún loro es perro S M __________________________ ∴Ningún loro es vertebrado S P b) Falacia del menor ilícito. El término menor está distribuido en la conclusión pero no en la premisa menor. Todos los políticos son demócratas M P Todos los políticos son malos M S _____________________________ ∴Todos los malos son demócratas S P c) Falacia del medio ilícito. El término medio no está distribuido en ninguna de las dos premisas. Algunos deportistas son jóvenes P M Todos los bomberos son jóvenes S M _____________________________ ∴Algunos bomberos son deportistas

De acuerdo al diagrama, el silogismo es inválido, porque el área que corresponde a la conclusión resulta demasiado restringida con respecto a lo que establecen las premisas. (Las premisas establecen que hay elementos en “SP”).

Trabajo hecho por MAM/