ACERCA DE DE s-CONEXIDAD EN DIFERENTES ESTRUCTURAS DE CONTINUOS

Jes´ us Fernando Tenorio Arvide Instituto de F´ısica y Matem´aticas [email protected]

Resumen En este trabajo exponemos algunos conceptos referentes a la propiedad del punto fijo en Teor´ıa de Continuos. En particular, describimos y demostramos ciertos hechos de s-conexidad en estos espacios que se utilizan a su vez para demostrar resultados de punto fijo en distintas estructuras de continuos.

Palabras clave: continuos; s-conexidad; productos, conos y suspensiones topol´gicos; propiedad del punto fijo; semimargen suprayectivo cero; hiperespacios de continuos.

1. Introducci´ on La tem´atica de esta exposici´on pertenece a la Topolog´ıa, en particular a la Teor´ıa de Continuos. Un continuo es un espacio m´etrico, compacto y conexo. Por ejemplo, el intervalo cerrado [0, 1] y la circunferencia unitaria son continuos. Los continuos, como todo espacio topol´ogico, pueden tener o no tener muchas propiedades, la sconexidad es una de ellas. En este trabajo discutimos este concepto, introducido por Marsh en 1983, y demostramos algunos hechos relacionados. Vemos tambi´en, en una serie de resultados enunciados, que esta propiedad ha sido muy utilizada para demostrar teoremas que involucran la propiedad de punto fijo en distintas estructuras de continuos, como son productos, conos, suspensiones e hiperespacios de continuos. 1

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2. Preliminares En esta secci´on incluimos algunas definiciones b´asicas para poder entender el trabajo. Si desea ampliar la informaci´on de conceptos o de la teor´ıa general de continuos puede consultar los excelentes trabajos [8], [3] y [9]. El resto de las definiciones son enunciadas en el momento en que sean requeridas. Adem´as, enunciamos algunos resultados conocidos de s-conexidad y demostramos otros m´as. Un continuo es un espacio m´etrico, compacto y conexo. Un subcontinuo es un continuo contenido en un espacio. Por citar algunos ejemplos de continuos tenemos, el intervalo cerrado I = [0, 1]. La circunferencia unitaria S 1 = {(x, y) : x2 + y 2 = 1}. El disco unitario D = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1}. La cerradura en R2 del conjunto S = {(x, sin x1 : x ∈ (0, 1]}. El producto de n intervalos cerrados [0, 1]n . Recordemos que a partir de ciertos espacios ya conocidos podemos construir otros m´as. Una manera de hacer esto es como sigue. Dado un espacio X, su cono topol´ogico es el espacio cociente que resulta de identificar a un punto el conjunto X × {1} en el cilindro de X, X × I, denotamos este espacio por Cono(X). Similarmente, la suspensi´on topol´ogica es el espacio cociente que resulta de indentificar a puntos distintos los conjuntos X × {0} y X × {1} en el cilindro de X, X × I, este espacio lo denotamos por Sus(X). En 1983, Marsh define el concepto de s-conexidad para espacios conexos [5]. Sea X un espacio conexo y sean A y B subconjuntos cerrados y ajenos de X. Un subconjunto cerrado F ⊂ X corta d´ebilmente a X entre A y B si para cualquier subcontinuo C de X tal que C ∩ A 6= ∅ y C ∩ B 6= ∅, se tiene que C ∩ F 6= ∅. El continuo X es s-conexo entre los subconjuntos cerrados y ajenos A y B si para cualquier subconjunto cerrado F ⊂ X que corta d´ebilmente a X entre A y B, se tiene que alguna componente K de F corta d´ebilmente a X entre A y B. El continuo X es s-conexo si para cualquier par de subcontinuos A y B de X, se tiene que X es s-conexo entre A y B. Una propiedad importante de los continuos es la unicoherencia. Esta noci´on es como sigue.

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Decimos que un continuo X es unicoherente si para cada par de subcontinuos A y B de X tales que X =A∪B se tiene que A ∩ B es un conjunto conexo. Existe una gran variedad de funciones entre continuos. Ahora recordamos un tipo de estas. Dada una funci´on continua entre continuos f : X → Y , decimos que f es mon´otona si para todo y ∈ Y , se tiene que f −1 (y) es conexo. Es decir, la fibra de cualquier elemento del contradominio de f es conexo. Ahora presentamos algunos resultados de s-conexidad, todos debidos a Marsh [5]. 1. Si un espacio m´etrico es s-conexo, entonces es unicoherente. 2. Un continuo localmente conexo es unicoherente si y s´olo si es s-conexo. 3. En un espacio m´etrico, si G es una sucesi´on mon´otona decreciente de continuos s-conexos, entonces ∩G es s-conexo. 4. La imagen mon´otona de un espacio s-conexo es s-conexo. Con estos resultados a la mano, establecemos el teorema siguiente, que nos dice que el cono de cualquier continuo X es s-conexo. S´olo bosquejamos su demostraci´on. Teorema. Para cualquier continuo X, se tiene que Cono(X) es sconexo. Demostraci´ on (bosquejo). Existe una sucesi´on de continuos localmente conexos Y1 , Y2 , ..., Yn , ... tales que X = ∩∞ i=1 Yi y Yi ⊃ Yi+1 , [3, Lemma 19.1]. No es dif´ıcil verificar que Cono(X) = ∩∞ i=1 Cono(Yi ) y Cono(Yi ) ⊃ Cono(Yi+1 ). Por otro lado, se tiene que Cono(Yi ) es localmente conexo y unicoherente. Luego, por el resultado 2. antes citado, se tiene que cada cada Cono(Yi ) es s-conexo. As´ı, por el resultado 3., se concluye que Cono(X) es s-conexo.  Recordemos que entre el cono de un continuo y su suspensi´on existe una funci´on natural: la funci´on cociente. M´as a´ un, si p : Cono(X) → Sus(X) es la funci´on cociente, entonces p es mon´otona. Puesto que la

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s-conexidad se preserva bajo este tipo de funciones (por resultado 4. previo), obtenemos el siguiente corolario. Corolario. Para cualquier continuo X, se tiene que Sus(X) es sconexo. Otro hecho relacionado con la s-conexidad lo encontramos en el siguiente teorema, su demostraci´on se puede consultar en [10]. Teorema. Para cualquier continuo X, se tiene que el cilindro X × [0, 1] es s-conexo entre X × {0} y X × {1}. Para terminar esta secci´on de preliminares recordamos la siguiente definici´on. Un continuo X tiene la propiedad del punto fijo si para cada funci´on continua f : X → X, existe un punto p ∈ X tal que f (p) = p. Por ejemplo, el intervalo cerrado [0, 1] y el cuadrado [0, 1]2 tienen la propiedad del punto fijo. Sin embargo, la circunferencia unitaria S 1 no tiene la propiedad del punto fijo.

3. s-conexidad y la propiedad del punto fijo La propiedad de s-conexidad es muy u ´til para obtener resultados de punto fijo. Sobre todo en espacios con estructuras de conos, suspensiones y productos de continuos y otras similares, como en ciertos hiperespacios. Fue en 1983 cuando Marsh [5] comienza a desarrollar una t´ecnica de demostraci´on que ha sido utilizada desde entonces. Para poder estlabler algunos de estos resultados, recordemos los siguientes conceptos b´asicos. Sean X y Y espacios m´etricos y  > 0. Una funci´on continua f : X → Y es una -funci´on si para todo y ∈ Y se tiene que diam(f −1 (y)) < . Un continuo X es tipo arco, si para cada  > 0, existe una -funci´on suprayectiva f : X → [0, 1]. Otra propiedad topol´ogica importante de los continuos es el margen. Distintos tipos de m´argenes fueron definidos en 1964 por Lelek [4]. Dado un continuo X, denotamos por π1 y π2 la primera y segunda proyecciones naturales de X × X sobre X, respectivamente. La diagonal del producto X × X es el conjunto definido y denotado por

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∆X = {(x, x) ∈ X × X : x ∈ X}. Decimos que X tiene semimargen suprayectivo cero, σ0∗ (X) = 0, si para todo subcontinuo Z de X × X tal que π1 (Z) = π2 (Z) = X, se tiene que Z ∩ ∆X 6= ∅. Se conoce que los continuos tipo arco tienen semimargen suprayectivo cero. Esto fue probado por Lelek [4, p.210]. En suma, se tiene lo siguiente. (a) El intervalo cerrado [0, 1] es tipo arco. (b) Todo continuo tipo arco tiene semimargen su prayectivo cero. Enunciamos ahora resultados de punto fijo que involucran la s-conexidad demostrados por Marsh [5]. Teorema [Marsh]. Sea X un continuo. Si σ0∗ (X) = 0, entonces Cono(X) tiene la propiedad del punto fijo. Con esto se sigue que el cono sobre un continuo tipo arco tiene la propiedad del punto fijo. Teorema [Marsh]. Sean X y Y continuos. Si X es tal que σ0∗ (X) = 0 y Y es tipo arco, entonces X × Y tiene la propiedad del punto fijo. Estos resultados ya han sido generalizados como lo vemos a continuaci´on. El teorema siguiente y su corolario son parte de los resultados de mi tesis doctoral [10]. Se continua con las mismas estructuras de conos, suspensiones y productos de continuo. Las demostraciones tambi´en utilizan la s-conexidad, entre otra herramienta. Teorema. Si {Xα : α ∈ J} es una familia de continuos tales que para cada α ∈ J, σ0∗ (Xα ) = 0, entonces: Q (a) Sus( α∈J Xα ) Q (b) Cono( α∈J Xα ); (c)

Q

α∈J

Xα

tienen la propiedad del punto fijo. En particular, tenemos el siguiente corolario. Corolario. Si {Xα : α ∈ J} es una familia de continuos tipo arco, entonces: Q (a) Sus( α∈J Xα );

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Q (b) Cono( α∈J Xα ); (c)

Q

α∈J

Xα

tienen la propiedad del punto fijo. A continuaci´on, pasamos a otras estructuras en continuos. Para esto, veamos los siguientes conceptos relacionados con los hiperespacios de continuos. Sean (X, d) un continuo, A ⊂ X y  > 0. La -bola o -nube en X alrededor de A y de radio  es el conjunto N (, A) = {x ∈ X : d(x, A) < }. No es dif´ıcil demostrar que N (, A) =

S

x∈A

B (x).

Sea X un continuo. Consideramos los siguientes conjuntos (1) 2X = {A ⊂ X : A es cerrado y A 6= ∅}; (2) C(X) = {A ∈ 2X : A es conexo }; (3) F1 (X) = {A ∈ 2X : A tiene a lo m´as un punto}. En 2X se define la m´etrica de Hausdorff:

H(A, B) = inf{ > 0 : A ⊂ N (, B) y B ⊂ N (, A)}

la cual hace que los espacios 2X , C(X) y F1 (X), sean continuos. Estos son llamados el hiperespacio de cerrados, el de continuos y el de singulares de X, respectivamente. En el a˜ no 2002, J. Bustamente, R. Escobedo y F. Mac´ıas-Romero, demostraron lo siguiente [1] Teorema. Para cualquier continuo X, se tiene que C(X) es sconexo. Ahora, una funci´on de Whitney es una funci´on continua µ : 2X → [0, 1]

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tal que: (a) µ(x) = 0 para todo x ∈ X (b) Si A ⊂ B 6= A, entonces µ(A) < µ(B). Utilizando la s-conexidad de C(X), entre otros hechos, se tiene lo siguiente, tambi´en demostrado por J. Bustamente, R. Escobedo y F. Mac´ıas-Romero [1]. Teorema. Sea X un continuo con σ0∗ (X) = 0. Si µ es una funci´on de Whitney para C(X) y 0 ≤ s ≤ t ≤ 1, entonces µ−1 ([s, t]) tiene la propiedad del punto fijo. En particular, C(X) tiene la propiedad del punto fijo. Por otro lado, en 1979, S. B. Nadler, Jr., introdujo el hiperespacio suspensi´on de un continuo X, ´este es el espacio cociente: HS(X) = C(X)/F1 (X). En 2004, R. Escobedo, Mar´ıa de J. L´opez y S. Mac´ıas [2], tambi´en usando la s-conexidad de C(X), demostraron: Teorema. Sea X un continuo. Si σ0∗ (X) = 0, entonces HS(X) tiene la propiedad del punto fijo. En 1997 Marsh [6] presenta una serie de funciones que son variantes de lo que se conoce como funci´on universal. Recordemos una de ´estas. Definici´ on. Decimos que una funci´on f : X → Y es semiuniversal con respecto a una clase H de subcontinuos de X si para cada K ∈ H tal que f (K) = f (X), y para cada funci´on continua g : K → X, existe un punto p ∈ K tal que f (p) = f (g(p)). Los siguientes teoremas son demostrados tambi´en utilizando, entre otros resultados, la noci´on de s-conexidad. Sus demostraciones las encontramos en [6]. Teorema. Sea X un continuo. Si la proyecci´on natural πX : Cono(X) − {vX } → X es semiuniversal con respecto a los subcontinuos de Cono(X) que cortan d´ebilmente a Cono(X) entre X × {0} y el v´ertice {vX }, entonces Cono(X) tiene la propiedad del punto fijo.

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Teorema. Sea X un continuo. Si la proyecci´on natural πX : −1 1 Sus(X) − {vX , vX } → X es semiuniversal con respecto a los subcontinuos de Sus(X) que cortan d´ebilmente a Sus(X) entre los v´ertices −1 1 {vX } y {vX }, entonces Sus(X) tiene la propiedad del punto fijo. Teorema. Sea X un continuo. Si la proyecci´on natural πX : X × [0, 1] → X es semiuniversal con respecto a los subcontinuos de X ×[0, 1] que cortan d´ebilmente a X × [0, 1] entre X × {0} y X × {1}, entonces X × [0, 1] tiene la propiedad del punto fijo.

References [1] Bustamante, J., Escobedo, R., Mac´ıas-Romero, F. A fixed point theorem for Whitney blocks, Top. Appl., 125, pp. 315-321, 2002. [2] Escobedo, R., L´ opez Mar´ıa de J., Mac´ıas, S. On the hyperspace suspension of a continuum, Top. Appl., 138, pp. 109-124, 2004. [3] Illanes, A., Nadler, Jr., S. B., Hyperspaces: Fundamentals and Recent Advances, in: Monographs Textbooks Pure Appl. Math., vol. 216, Marcel Dekker, New York, 1999. [4] A. Lelek, On the surjective span and semispan of connected metric spaces, Colloq. Math. 37 (1977) 35-45. [5] M. M. Marsh, s-Connected spaces and the fixed point property, Top. Proc., 8 (1983) 85-97. [6] M. M. Marsh, Some generalizations of universal mappings, Rocky Mountain J. Math. 27 (1997) 1187-1198. [7] Marsh, M. M., Products of span zero continua and the fixed point property, Top. Proc., 8, pp. 1849-1853, 2003. [8] Nadler, Jr., S. B., Continuum Theory: An Introduction, Monographs Textbooks Pure Appl. Math., vol. 158, Marcel Dekker, New York, 1992. [9] Nadler, Jr., S. B., The fixed point property for continua, Aportaciones Matem´ aticas de la Sociedad Matem´atica Mexicana, Textos, vol. 30, 2005. [10] Tenorio Arvide, J. F., Productos tipo disco y funciones inducidas a suspensiones de productos de continuos: Tesis doctoral, Director: Dr. Ra´ ul Escobedo, FCFM, BUAP, 2007.