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Fracciones Parciales

Adolfo Chapuz Benítez.

Adolfo Chapuz Benítez Presenta: MÉTODO DE FRACCIONES PARCIALES.

Contenido: π

Introducción

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3 tipos generales de descomposición

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Ejemplos de Descomposición: caso I

π

Ejemplos de Descomposición: caso II

π

Ejemplos de Descomposición: caso III

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Adolfo Chapuz Benítez.

Introducción En esta sección vamos a entender que significa DESCOMPONER EN FRACCIONES PARCIALES. IDEA: Consiste en desmenuzar, descomponer, desintegrar, partir una fracción en partes más simples (fáciles de utilizar). Por ejemplo:

5 5 1 1    6 (2)(3) 2 3

OBSERVACIÓN: El numerador es MENOR que el denominador (fracción impropia). Pregunta: ¿Cómo se puede descomponer en fracciones más simples

3 ? 8

IDEA: Primero debemos descomponer (factorizar) el denominador 8.

8  (4)(2)  (8)(1)  ... 3 3 A B 2 A  4B     8 (4)(2) 4 2 8

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3 2 A  4B  8 8  3  2 A  4B

Podriamos tomar A=-1/2 y B=1, y concluir que :

1 3 2  1  1  1  8 4 2 8 2

Muy bien! La descomposición en fracciones Parciales (FP) sólo se aplica a funciones RACIONALES

P( x) Q ( x) en donde P(x) y Q(x) son polinomios en la variable x,

tales que:

grado de P( x)  grado de Q( x) .

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Ejemplos de integrales en las que se puede aplicar la descomposición:

1 dx x 2  4x  3 5x  7 2. 2 dx x  10 x  9  x 1 3. 3 dx x  4 x 2  3x x 1 4. 2 dx x x 3x  2 5. dx ( x  2)( x  4) 2

1.

IDEA DEL MÉTODO: La idea consiste en DESCOMPONER toda la fracción en fracciones más simples (parciales) que sean fáciles de integrar.

PROCEDIMIENTO: 1.- Verificar que el grado del Numerador sea MENOR que el denominador. 2.-Factorizar el denominador en factores de tipo lineal y/o cuadrático IRREDUCIBLE (más adelante te explico que es eso). 3.-Realizar la descomposición en fracciones más sencillas, esto va a depender de la factorización hecha anteriormente. Esto implica encontrar ciertas constantes A, B, C,etc. dependiendo de cuantos factores hayan. 4.-Sustituir la descomposición en la integral π

3 Tipos generales de descomposición

5-Calcular cada integral (muy simple) resultante.

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π 3 tipos generales de descomposición

Caso I: El denominador se puede descomponer en factores lineales diferentes. a).El Denominador contiene un término de grado cero, en este caso es la constante 1. Lo importante aquí es la factorización del denominador:

1 A B   ( x  3)( x  1) x  3 x  1 La descomposición consiste en escribir la fracción original como fracciones más sencillas. Cada fracción parcial se genera escribiendo una constante (desconocida, por el momento) y dividendo entre el factor correspondiente.

Ojo: El objetivo consiste en encontrar A y B. b). Aquí el denominador es un poquito más elaborado, contiene un término lineal. Pero la descomposición es igual de simple, una fracción para cada factor.

5x  7 A B   ( x  9)( x  1) x  9 x  1 c).En este ejemplo tenemos que el denominador tiene 3 factores lineales, por lo que se agrega un término mas, el que contiene la constante C.

 x 1 A B C    x( x  1)( x  3) x x  1 x  3 Notemos igualmente que el numerador –x+1 no contribuye en nada a la descomposición del lado derecho, sólo se escriben las constances A,B y C.

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d).En este ejemplo podemos observar que en el numerador tenemos un término cuadrático y que esto no modifica la forma en que se hace la descomposición. Tenemos 3 fracciones parciales (porque son 3 factores) y 3 constantes A,B y C.

4x 2  5 A B C    (3x  1)(2 x  6)(6 x  2) 3x  1 2 x  6 6 x  2 Caso II: El denominador se puede descomponer en factores lineales IGUALES. Que haya factores repetidos significa que existe una potencia de ese factor. a).

 2x  6  2x  6  2x  6 A B     x 2  6 x  9 ( x  3) 2 ( x  3)( x  3) x  3 x  32 Puedes ver que originalmente el numerador es un trinomio cuadrado perfecto que, como sabes, se factoriza como un binomio al cuadrado, significa que el factor x+3 parece 2 veces. Debido a esa repetición la descomposición tiene una ligera forma: se empieza con el factor x+3 y se van aumentado las potencias hasta llegar a la potencia máxima que en este caso es 2. b).Ahora una potencia cubica:

x5 A B C    ( x  4) 3 x  4 x  42 x  43

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Caso III: El denominador se puede descomponer en factores cuadráticos irreducibles.

IRREDUCIBLES=”NO SE PUEDEN FACTORIZAR EN TÉRMINOS LINEALES” = SUS RAICES SON COMPLEJAS CONJUGADAS. Recuerda que una ecuación cuadrática ax

2

 bx  c  0 se dice que es IRREDUCIBLE

si el discriminante D