Álgebra Booleana y Simplificación Lógica M. en C. Erika Vilches

Parte 1

Operaciones Booleanas y Expresiones • Variable, complemento y literal son los

términos utilizados en álgebra booleana.

• Variable → símbolo utilizado para representar una cantidad lógica

• Complemento → el inverso de una variable y se indica con una barra sobre la variable

• Literal → una variable o el complemento de una variable

Suma Booleana: Equivalente a la operación OR

Multiplicación Booleana: Equivalente a la operacion AND

Leyes del Algebra Booleana Leyes conmutativas Para la suma de dos variables se escribe: A+B=B+A El orden en que se OReen las variables no hace diferencia.

Para la multiplicación de dos variables se escribe: AB = BA El orden en que se ANDeen las variables no hace diferencia

Leyes asociativas Para la suma de tres variables se escribe: A + (B + C) = (A + B) + C Cuando se ORean más de dos variables, el resultado es el mismo sin importar la agrupación

Para la multiplicación de tres variables se escribe: A(BC) = (AB)C Cuando se ANDean dos o más variables, no importa el orden en que se agrupen las variables

Ley Distributiva Se escribe para tres variables como: A(B + C) = AB + AC ORear dos o más variables y ANDear posteriormente el resultado con una sola variable es equivalente a ANDear la variable sola con cada una de las dos o más variables y despues ORear los productos El proceso inverso (factorización) también es expresado por esta ley. Una variable común se factoriza de los términos.

Reglas del Algebra Booleana Reglas útiles para manipular y simplificar expresiones Booleanas.

Regla 1. A + 0 = A. Una variable OReada con 0 es siempre igual a la variable.

Regla 2. A + 1 = 1. Una variable OReada con 1 es siempre igual a 1.

Regla 3. A ⋅ 0 = 0. Una variable ANDeada con 0 es siempre igual a 0.

Regla 4. A ⋅ 1 = A. Una variable ANDeada con 1 es siempre igual a la variable.

Regla 5. A + A = A. Una variable OReada con sigo misma es siempre igual a la variable.

Regla 6. . Una variable OReada con su complemento es siempre igual a 1.

Regla 7. A ⋅ A = A. Una variable ANDeada con ella misma es siempre igual a la variable.

Regla 8. . Una variable ANDeada con su complemento es siempre igual a 0.

Regla 9. . El doble complemento de una variable es siempre igual a la variable.

Regla 10. A + AB = A. Esta regla se puede probar aplicando la ley distributiva, la regla 2 y la regla 4. A + AB = A(1 + B) = A⋅1 =A

Factorización (ley distributiva) Regla 2: (1 + B) = 1 Regla 4: A⋅1 = A

Regla 11. sigue:

. Esta regla se puede probar como

Regla 12. (A + B)(A + C) = A + BC. Esta regla se puede probar como sigue:

Teoremas de DeMorgan Primer Teorema de DeMorgan

• El complemento de un producto de variables es igual a la suma de los complementos de las variables

• En otras palabras: El complemento de dos o más variables ANDeadas es equivalente al OR de los complementos de las variables individuales

Segundo Teorema de DeMorgan

• El complemento de la suma de variables es igual al producto de los complementos de las variables.

• En otras palabras: El complemento de dos o más variables OReadas es equivalente al AND de los complementos de las variables individuales

Para el primer teorema de DeMorgan →

Para el segundo teorema de DeMorgan →

Los teoremas de DeMorgan pueden ser aplicados a expresiones con más de dos variables. Ejemplos: Tres variables →

Cuatro variables →

Cada variable en los teoremas de DeMorgan puede representar una combinación de otras variables. Ejemplo: Si aplicamos obtenemos →

a la expresión →

Si a los 2 términos del resultado anterior y les aplicamos individualmente el teorema nos queda → Si volvemos a aplicar el teorema de DeMorgan a nos queda → ya El resultado se podría simplificar más con las reglas y leyes Booleanas, pero ya no más con con los teoremas de DeMorgan

Aplicación de los teoremas de DeMorgan y algebra Booleana a la expresión → 1. Identificar los términos a los que se les puede aplicar los teoremas de DeMorgan y pensar en ellos como si fuesen 1 sola variable. Tomemos y . 2. Dado que

,

3. Utilizar la regla 9 para cancelar las barras dobles sobre el término de la izquierda (esto no es parte de los teoremas de DeMorgan) → 4. Aplicar el teorema de DeMorgan término → 5. Utilizar la regla 9 sobre →

al segundo

para cancelar las barras dobles

Ejemplo: Aplique los teoremas de DeMorgan a la siguiente expresión →

Tomemos y . La expresión se encuentra en la forma y se puede reescribir como → Ahora, aplicar el teorema de DeMorgan término →

al

Ejemplo: Aplique los teoremas de DeMorgan a la siguiente expresión →

Tomemos y . La expresión se encuentra en la forma y se puede reescribir como → Ahora, aplicar el teorema de DeMorgan los términos y →

a

Ejemplo: Aplique los teoremas de DeMorgan a la siguiente expresión →

Tomemos , y . La expresión se encuentra en la forma y se puede reescribir como → Ahora, aplicar el teorema de DeMorgan los términos , y →

a