Álgebra e Introducción al Cálculo Dra. Irene F. Mikenberg

Álgebra e Introducción al Cálculo Dra. Irene F. Mikenberg

Álgebra e Introducción al Cálculo

Dra. Irene F. Mikenberg Facultad de Matemáticas Pontificia Universidad Católica de Chile 2 de enero de 2013

II

Prólogo

XVII

1 Lenguaje Matemático

1

1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Lenguaje Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2.1 Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2.2 Conectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2.3 Predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.4 Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3 Las Leyes de la Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.1 Verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.2 Verdad lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3 Contradicciones

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.4 Equivalencia lógica

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.5 Consecuencia lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.6 Verdades lógicas usuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.1 Negación de una proposición dada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.2 Demostraciones por contradicción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4.3 Demostraciones por contraposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5 Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.6 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Autoevaluación 1

36

2 Los Números Reales

37

2.1 Sistemas Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2 Operaciones Básicas en los Números Reales: Suma y Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3 Orden de los Números Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4 Conjuntos de Números Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 III

2.5 Completud de los Números Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.6 Ecuaciones e Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.6.1 Ecuaciones en una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.6.2 La ecuación de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.6.3 La ecuación de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.6.4 Inecuaciones en una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.6.5 Inecuación de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.6.6 Inecuación de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.7 Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.8 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Autoevaluación 2 3

74

Relaciones y Funciones

75

3.1 Pares Ordenados y Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.2 Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2.1 Noción intuitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.3 Gráfico de Relaciones Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.3.1 Ecuación e inecuación de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.4 Concepto de Función y Propiedades Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.5 Gráficos de las Funciones Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.6 Estudio de una Función Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.7 Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.8 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Autoevaluación 3

130

4 Trigonometría

133

4.1 Las Razones Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.2 Las Funciones Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.2.1 Estudio de la función seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.2.2 La función coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.2.3 Las otras funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 IV

4.3 Identidades Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.4 Resolución de Ecuaciones Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.4.1 Función seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.4.2 Función coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 4.4.3 Función tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 4.5 Funciones Trigonométricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 4.5.1 Función inversa del seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 4.5.2 Función inversa del coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 4.5.3 Función inversa del tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.6 Resolución de Triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.6.1 Área de un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.6.2 Teorema del seno

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

4.6.3 Teorema del coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 4.6.4 Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 4.7 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Autoevaluación 4

177

5 Números Naturales

179

5.1 Propiedades Básicas de los Números Naturales . . . . . . . . . . . . . . . 179 5.2 Inducción Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 5.3 Definiciones Recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 5.4 La Exponenciación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 5.5 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Autoevaluación 5

208

6 Aplicaciones de Inducción

209

6.1 Sumatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 6.2 Una Desigualdad Importante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 6.3 Teorema del Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 6.4 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 V

Autoevaluación 6

244

7 Polinomios y Números Complejos

245

7.1 Números Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 7.1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 7.1.2 El sistema de los números complejos

. . . . . . . . . . . . . . . . . 246

7.2 Forma Polar de un Número Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 7.2.1 Gráfico de números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 7.2.2 Teorema de DeMoivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 7.3 Polinomios

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

7.3.1 División de un polinomio por un polinomio de grado uno . . . . . . . 268 7.3.2 Teorema Fundamental del Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 7.4 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 Autoevaluación 7

283

8 Logaritmo y Exponencial

285

8.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 8.2 La Función Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 8.2.1 Ejemplos de modelamiento con la función exponencial natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 8.3 La Función Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 8.3.1 Cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 8.4 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 Autoevaluación 8

299

9 Geometría Analítica

301

9.1 La Línea Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 9.1.1 Pendiente e inclinación de una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 9.1.2 Ecuación de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 9.2 Distancia de un Punto a una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 9.3 La Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 VI

9.3.1 Eje radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 9.4 La Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 9.4.1 Ecuación de la parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 9.4.2 Elementos de una parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 9.4.3 Translación de ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 9.5 La Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 9.5.1 La ecuación de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 9.5.2 Los elementos de la elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 9.6 La Hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 9.6.1 La ecuación de la hipérbola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 9.6.2 Elementos de la hipérbola.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

9.7 Ecuación General de Segundo Grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 9.7.1 Rotación de ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 9.8 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 Autoevaluación 9

348

10 Axioma del Supremo y Limites de Sucesiones

349

10.1 Axioma del Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 10.1.1 Axioma del Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 10.2 Limites de Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 10.2.1 Teorema del Sandwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 10.3 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 Autoevaluación 10

387

Autoevaluación 11

389

A Respuestas a Algunos Ejercicios

397

A.1 Capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 A.2 Autoevaluación 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 A.3 Capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 A.4 Autoevaluación 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 A.5 Capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 VII

A.6 Autoevaluación 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 A.7 Capítulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 A.8 Autoevaluación 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 A.9 Autoevaluación 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 A.10 Capítulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 A.11 Autoevaluación 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 A.12 Capítulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436 A.13 Autoevaluación 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440 A.14 Capítulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 A.15 Autoevaluación 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 A.16 Capítulo 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 A.17 Autoevaluación 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 A.18 Capítulo 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456 A.19 Autoevaluación 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 A.20 Autoevaluación Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 B BIBLIOGRAFÍA

463

B.1 TEXTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 B.2 VIDEOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

VIII

1.1 Verdades lógicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Ejemplo de una proposición que no es verdad lógica. . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Contradicción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Proposiciones no lógicamente equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Consecuencia lógica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6 Tabla de verdad del Teorema 1.1 (XXVIII) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.7 Tabla de verdad de la proposición ((α → β) ∧ α) ↔ β. . . . . . . . . . . . . 18 4.1 Valores para el seno y coseno de 0, 30, 45, 60 y 90 grados. . . . . . . . . . 136 6.1 Triángulo de Pascal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

IX

X

1.1 Diagrama de Venn para los conjuntos P, Q y R de A. . . . . . . . . . . . . . 25 1.2 Modificación de la figura 1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3 Objeto a que pertenece a R y Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4 Diagrama de Venn para la proposición “Hay números naturales pares que son racionales”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1 Recta con origen O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2 Semirecta positiva y semirecta negativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 Trazo unitario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4 Número 0 en el origen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.5 Número 1 a una distancia unitaria del origen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.6 Posición del número n.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.7 Posición del número −n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.8 Posición del racional positivo m/n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.9 Posición del racional negativo −m/n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.10 Ejemplo de asignaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.11 Cuadrado de lado unitario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.12 Trazo de largo r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.13 Rectángulo de lados r y 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.14 Volumen del paralelepípedo de arista r , 1 y 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.15 Suma de dos reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.16 Producto de dos números reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.17 Conjunto solución del problema 2.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.1 Gráfico de las rectas `1 y `2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.2 Gráfico de Px , Py , los puntos asignados a x y a y.

. . . . . . . . . . . . . . 80

3.3 Gráfico del rectángulo OPx P(x, y)Py . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.4 Gráfico de S0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.5 Gráfico de S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.6 Gráfico de S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.7 Gráfico de S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 XI

3.8 Gráfico de la ecuación 5x + 3y − 1 = 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.9 Gráfico de la inecuación 5x + 3y − 1 < 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.10 Gráfico de la ecuación 2x − 1 = y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.11 Gráfico de la inecuación y − 5 < 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.12 Gráfico de S = {(x, y ) ∈ R × R : 2x − 1 = y ∧ y − 5 < 1}. 3.13 Gráfico de F (x) = −2x + 5,

. . . . . . . . . . 85

x ∈ R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.14 Gráfico de F (x) = 2x 2 + 6x − 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.15 Gráfico de f (x) = |x|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.16 Gráfico de f (x)en cada región. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.17 Gráfico de f (x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 √ 3.18 Gráfico de f (x) = 1 − x 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.19 Gráfico de f (x) = −3x + 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.20 Simetría de funciones pares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.21 Simetría de funciones impares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.22 Gráfico de la función periódica del Ejemplo 3.36. . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.23 Gráfico de la función del Ejemplo 3.38 para el intervalo [0, 2]. . . . . . . . . 111 3.24 Gráfico de la función del Ejemplo 3.38 para el intervalo [−2, 2]. . . . . . . . 112 3.25 Gráfico de la función del Ejemplo 3.38 para todo R. . . . . . . . . . . . . . . 112 3.26 Gráfico de la función f (x) = x 2 para [0, ∞[. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.27 Gráfico de la función f (x) = x 2 para R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 √ 3.28 Gráfico de la función inversa restringida f −1 (x) = x, x ≥ 0. . . . . . . . . 113

3.29 Gráfico de la función f (x) = x 3 . . . . . . . √ 3.30 Gráfico de la función inversa f −1 (x) = 3 x, 1 3.31 Gráfico de f (x) = en [0, ∞[. . . . . . . . x 1 3.32 Gráfico de f (x) = en R. . . . . . . . . . x 1 3.33 Gráfico de f (x) = 2 en [0, ∞[. . . . . . . x 1 3.34 Gráfico de f (x) = 2 en todo R. . . . . . . x 3.35 Gráfico de la función parte entera de x. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 x ∈ R. . . . . . . . . . . . . . . . 114

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.36 Gráfico de las funciones f (x) = 2x + 5 y (−f )(x) = −2x − 5.

. . . . . . . . . 119

3.37 Gráfico de f y de f + 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 XII

3.38 Gráfico de f (x) =

√

√ 1 − x 2 y (4f )(x) = 4 1 − x 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.39 Gráfico de f (x) = 2x y |f |(x) = 2|x|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3.40 Gráfico de f (x) = x 2 y f (x − 2) = (x − 2)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 √ √ 3.41 Gráfico de f (x) = 1 − x 2 y g(x) = f (2x) = 1 − 4x 2 . . . . . . . . . . . . . . 122

3.42 Gráfico de f (x) = 2x + 5 y f (−x) = −2x + 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 x +3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.43 Gráfico de f (x) = 2x − 3 y f −1 (x) = 2

4.1 Triángulo rectángulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.2 Triángulo equilátero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.3 Triángulo rectángulo isósceles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.4 Diagrama para calcular el seno de la suma de dos ángulos. . . . . . . . . . 137 4.5 Punto P(ax , bx ) definido por el ángulo que mide x radianes en la circunferencia de centro en el origen y radio 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.6 Gráfico de la función seno en [0, 2π[. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.7 Gráfico de la función seno en [−2π, 2π[. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.8 Gráfico de la función coseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.9 Gráfico de la función tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 4.10 Gráfico de la función cotangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 4.11 Gráfico de la función cosecante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.12 Gráfico de la función secante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144  π 4.13 Gráfico de la función g(x) = 2 sen 3 x + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 3 4.14 Gráfico de la función f (x) = 2 sen(3x + π) + 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 4.15 Gráficos de las funciones del problema 4.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.16 Gráfico de una función de la forma f (x) = A sen (Bx + C), Problema 4.4. . . 147 4.17 Desplazamiento de una masa atada a un resorte. . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.18 Gráfico del desplazamiento de la masa en función del tiempo. . . . . . . . . 149 4.19 Gráfico de la variación de la presión en función del tiempo. . . . . . . . . . 150 4.20 Soluciones a la ecuación sen(x) = a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.21 Soluciones a la ecuación cos(x) = a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 4.22 Gráfico de la función arc sen(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 4.23 Gráfico de la función arc cos (x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 4.24 Gráfico de la función arctan(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 XIII

4.25 Triángulo ABC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.26 Caso ángulo γ agudo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.27 Caso ángulo γ no-agudo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4.28 Demostración del Teorema 4.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 4.29 Diagrama para el Problema 4.23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 4.30 Diagrama del ejercicio 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 4.31 Diagrama del ejercicio 31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 4.32 Diagrama del ejercicio 32. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 4.33 Diagrama del ejercicio 35. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.1 Ejemplo de una definición recursiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 7.1 Gráfico de z1 = 1 + 2i y z2 = 2 − i.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

7.2 Gráfico de los números complejos del Ejemplo 7.9. . . . . . . . . . . . . . . 257 7.2 Gráfico de los números complejos del Ejemplo 7.9 (cont.). . . . . . . . . . . 258 7.3 Gráfico de las raíces cúbicas de z = i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 8.1 Gráfico de la función exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286  x 1 x x . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 8.2 Gráfico de f1 (x) = 2 , f2 (x) = 3 , y f3 (x) = 2 8.3 Gráfico de la función logaritmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 9.1 Recta L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 9.2 Distancia de un punto P a una recta L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 9.3 Rectas tangentes a la circunferencia del problema 9.6 . . . . . . . . . . . . 314 9.4 Elementos de una parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 9.5 Parábolas con su eje coincidendo con el eje X . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 9.6 Parábolas con su eje coincidendo con el eje Y . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 9.7 Elementos de una parábola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 9.8 Translación de un eje coordenado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 9.9 Relación entre las coordenadas de un sistema transladado. . . . . . . . . . 323 9.10 Parábola bajo la translación de ejes coordenados. . . . . . . . . . . . . . . 325 9.11 Elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 9.12 Elementos de una elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 XIV

9.13 Hipérbola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 9.14 Hipérbola equilátera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 9.15 Sistemas ortogonales con el mismo origen O. . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 9.16 Triángulo rectángulo que cumple tan(θ) = 1/2.

. . . . . . . . . . . . . . . . 341

9.17 Gráfica de la ecuación 5x 2 + 4xy + 2y 2 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

XV

XVI

Prólogo El presente texto tiene por objetivo entregar los conocimientos necesarios al alumno para que pueda tomar un primer curso de cálculo en la Pontificia Universidad Católica de Chile abarcando todos los temas de la asignatura “Álgebra e Introducción al Cálculo" que se imparte a diversas carreras y en diferentes formas. Este volumen se preocupa de los temas más formales permitiendo al alumno familiarizarse con los lenguajes científicos y con el método deductivo, aspectos fundamentales en la formación de un profesional. En el primer capítulo se presenta el lenguaje matemático, se introduce el uso de variables y se desarrollan algunos de los principales conceptos lógicos: verdad, consecuencia, equivalencia y demostración. Este capítulo es el eje transversal de todo el texto, pues entrega las herramientas necesarias para hacer demostraciones correctas en matemática. El segundo capítulo se refiere a los números reales. Aquí se hace una presentación axiomática y en base a ella se estudian ecuaciones e inecuaciones. En el tercer capítulo se introducen los conceptos de relación, función real, sus propiedades y sus gráficos. El cuarto capítulo está dedicado a las funciones trigonométricas, sus propiedades, sus gráficos y sus aplicaciones. En el capítulo cinco se presentan los números naturales, basado en los axiomas de los números reales. Aquí se estudian principalmente los conceptos de inducción y recursión. En el capítulo seis se desarrollan las principales aplicaciones de la inducción matemática, destacando las propiedades de sumatorias, progresiones, números combinatorios y el Teorema del Binomio. XVII

En el séptimo capítulo se introducen los números complejos y los polinomios. En el capítulo ocho se presentan las funciones exponencial y logaritmo, destacando las propiedades de modelamiento de estas funciones. En el capítulo nueve se introducen los conceptos básicos de la geometría analítica, estudiando rectas y las cónicas. Finalmente, en el capítulo diez se introducen los primeros conceptos del cálculo diferencial, estudiando el concepto de completud de los números reales y el de límites de sucesiones. Al final de cada capítulo se entrega una prueba de autoevaluación de los conocimientos relevantes de cada capítulo. Esta prueba consta de siete preguntas que el alumno deberá responder y autoevaluar cada pregunta con una nota entre cero y uno. El promedio de las diez evaluaciones será el setenta por ciento de la nota del curso y el restante treinta por ciento es la nota que se obtenga en el examen final que se encuentra en el capítulo once. Con esta nota, el alumno podrá saber si está en condiciones apropiadas para tomar un primer curso de cálculo universitario. Las respuestas a muchos de los ejercicios propuestos en cada capítulo, a las pruebas de autoevaluación y al examen final se encuentran en el capítulo doce. Deseo agradecer muy especialmente a mi amiga y colega María Isabel Rauld por sus correcciones, revisión del presente texto y su invaluable cooperación. Irene Mikenberg L.

Santiago, noviembre de 2012.

XVIII

1

Lenguaje Matemático

Introducción

1.1

La matemática estudia las propiedades de ciertos objetos, tales como números, operaciones, conjuntos, funciones, relaciones, etc. y para ello, es necesario poder contar con un lenguaje apropiado para expresar estas propiedades de manera precisa. Desarrollaremos aquí un lenguaje que cumpla estos requisitos, al cual llamaremos lenguaje matemático. Aunque algunas de estas propiedades son evidentes, la mayoría de ellas no lo son y necesitan de una cierta argumentación que permita establecer su validez. Es fundamental por lo tanto conocer las principales leyes de la lógica que regulan la corrección de estos argumentos. Desarrollaremos aquí los conceptos de verdad, equivalencia y consecuencia lógica y algunas de sus aplicaciones al razonamiento matemático.

Lenguaje Matemático

1.2

El lenguaje matemático está formado por una parte del lenguaje natural, al cual se le agregan variables y símbolos lógicos que permiten una interpretación precisa de cada frase.

1

2

Capítulo 1. Lenguaje Matemático

Proposiciones

1.2.1

Llamaremos proposiciones a aquellas frases del lenguaje natural sobre las cuales podamos afirmar que son verdaderas o falsas. Ejemplos de proposiciones son: “Dos es par”. “Tres es mayor que siete”. “Tres más cuatro es nueve”. “Si dos es mayor que cinco entonces dos es par”. “Dos no es par” . En cambio las siguientes frases no son proposiciones: “¿Es dos número par?”. “ Dos más tres”. “¡Súmale cinco!”. Usamos letras griegas α, β, γ,. . . etc., para denotar proposiciones.

Conectivos

1.2.2

Una proposición puede estar compuesta a su vez por una o varias proposiciones más simples, conectadas por una palabra o frase que se llama conectivo. Los conectivos más usados son: Negación Consideremos la proposición “dos no es par”. Ésta está compuesta por la proposición más simple “dos es par” y por la palabra “no”, que constituye el conectivo negación. Si α es una proposición, ¬ α denotará la proposición “ no es verdad que α”.

1.2. Lenguaje Matemático

3

Conjunción Consideremos la proposición “dos es par y tres es impar”, la cual está compuesta por las proposiciones más simples “dos es par” y “ tres es impar”, conectadas por la palabra “y”, que constituye el conectivo conjunción. Si α y β son dos proposiciones, usamos (α ∧ β) para denotar la proposición “α y β”. Disyunción Consideremos la proposición “dos es mayor que siete o siete es mayor que dos”. Esta está compuesta por las proposiciones más simples “dos es mayor que siete” y “ siete es mayor que dos”, conectadas por la palabra “o”, que constituye el conectivo disyunción. Si α y β son dos proposiciones, usamos (α ∨ β) para denotar la proposición“α o β.” Implicación Consideremos la proposición “si dos es par entonces tres es impar”. Ésta está compuesta por las dos proposiciones más simples “dos es par” y “ tres es impar”, conectadas por las palabras “si. . . , entonces. . . ”, que constituyen el conectivo implicación. Como notación usamos (α → β) para la proposición “si α entonces β”. Bicondicional Consideremos la proposición “dos es mayor que siete si y sólo si siete es menor que dos”. Ésta está compuesta por las proposiciones más simples “dos es mayor que siete” y “ siete es menor que dos”, conectadas por las palabras “si y sólo si”, que constituyen el conectivo bicondicional. Denotamos por (α ↔ β) a la proposición “α si y sólo si β”.

4

Capítulo 1. Lenguaje Matemático

Una proposición es simple si ninguna parte de ella es a su vez una proposición. Ejemplos de proposiciones simples son: “Dos es un número par”. “Tres es mayor que cuatro”. “Tres más cinco es mayor que cuatro”. Se usan letras minúsculas p, q, r , s,. . . etc., para denotar proposiciones simples. Ejemplos

Ejemplo 1.1 Usando símbolos matemáticos conocidos y símbolos para los conectivos, podemos expresar las siguientes proposiciones: a) “Si dos es par entonces tres es impar” como (2 es par → 3 es impar). b) “No es verdad, que dos es par o impar” como ¬ (2 es par ∨ 2 es impar). c) “Si no es verdad que cinco es menor que siete, entonces cinco es mayor que siete o cinco es igual que siete” como (¬ (5 < 7) → ( 5 > 7 ∨ 5 = 7 )). Ejemplo 1.2 Usando además los siguientes símbolos: p : “2 es par,”

q : “3 es impar,”

r : “5 < 700 ,

s : “5 > 700 ,

t : “5 = 700 ,

u : “2 es impar,”

podemos expresar: a) “Si dos es par entonces tres es impar” como (p → q).

b) “No es verdad que dos es par o impar” como

¬ (p ∨ u).

c) “Si no es verdad que cinco es menor que siete, entonces cinco es mayor que siete o cinco es igual que siete” como (¬ r → (s ∨ t)).

1.2. Lenguaje Matemático

Predicados

5

1.2.3

Consideremos proposiciones en las que hemos reemplazado uno o más nombres de objetos por letras como: x, y, z, u, etc. Por ejemplo, las siguientes: “x es positivo” “y es par” “x es mayor que y ” “x es mayor que y más z” “Si x es mayor que 5, entonces x es positivo”. Estas frases se llaman predicados y las letras usadas se llaman variables. Los predicados no son verdaderos ni falsos, pero al reemplazar las variables por nombres de objetos se transforman en proposiciones. Como en el caso de las proposiciones, los predicados pueden estar compuestos por otros más simples ligados entre sí por conectivos. Por ejemplo, el predicado: “x es par o x es primo” está compuesto por los predicados simples: “x es par” y “x es primo” unidos por el conectivo “o”. Como notación usamos: Letras griegas seguidas de las variables correspondientes: α(x), β(x, y), . . . etc., para denotar predicados. Letras minúsculas seguidas de las variables correspondientes: p(x), q(x, y),. . . etc., para denotar predicados simples. Ejemplos

Ejemplo 1.3 Usando símbolos matemáticos conocidos y símbolos para los conectivos, podemos expresar los siguientes predicados: a) “Si x es par entonces x no es impar” como (x es par → ¬ (x es impar)).

b) “x es mayor que y si y solo si no es verdad, que x es menor que y o que x es igual a y ” como (x > y ↔ ¬ (x < y ∨ x = y)).

6

Capítulo 1. Lenguaje Matemático

Ejemplo 1.4 Usando además los siguientes símbolos: p(x) : “x es par,”

q(x) : “x es impar,”

r (x, y) : “x > y 00 ,

s(x, y) : “x < y 00 ,

t : “x = y 00 , podemos expresar: a) “Si x es par entonces x no es impar” como (p(x) → ¬ q(x)). b) “x es mayor que y si y sólo si no es verdad, que x es menor que y o que x es igual a y como (r (x, y ) ↔ ¬ (s(x, y) ∨ t(x, y))). Cuantificadores

1.2.4

A partir de un predicado se puede obtener una proposición anteponiendo una frase llamada cuantificador. Los cuantificadores mas usados son: Cuantificador universal Consideremos el predicado “x es positivo”, al cual le anteponemos la frase “para todo número x se tiene que”. Obtenemos la proposición “para todo número x se tiene que x es positivo”, cuyo significado es equivalente al de la proposición “todo número es positivo”. La frase “para todo x” constituye el cuantificador universal.

1.2. Lenguaje Matemático

7

Cuantificador existencial Si al mismo predicado “x es positivo”, le anteponemos la frase “existe un número x tal que”, obtenemos la proposición “existe un número x tal que x es positivo”, cuyo significado es equivalente al de la proposición “existen números positivos”. La frase “existe un x” constituye el cuantificador existencial. Cuantificador “existe un único” Si anteponemos al mismo predicado “x es positivo”, la frase “existe un único número x talque”, obtenemos la proposición “existe un único número x tal que x es positivo”, cuyo significado es equivalente al de la proposición “existe un único número positivo”. La frase “existe un único x” constituye el cuantificador “existe un único” . En todo cuantificador se debe especificar el tipo de objetos involucrados en la afirmación, y para hacer ésto se usan colecciones o conjuntos de objetos que se denotan por letras mayúsculas: A, B, C,. . . etc.

8

Capítulo 1. Lenguaje Matemático

Como notación usamos: ∀x ∈ A α(x) :

“para todo x elemento de la colección A, α(x).”

∃x ∈ A α(x) :

“existe al menos un elemento x de la colección A tal que α(x).”

∃!x ∈ A α(x) :

“existe un único elemento x de la colección A tal que α(x).”.

α(a) denota la proposición obtenida de α(x) al reemplazar x por a. Notemos que si se tiene un predicado con dos variables diferentes, es necesario anteponer dos cuantificadores para obtener una proposición. Por ejemplo, a partir del predicado x < y se pueden obtener entre otras: ∀x ∈ A ∀y ∈ A (x < y), ∃x ∈ A ∀y ∈ A (x < y), ∀x ∈ A ∃y ∈ A (x < y), ∃x ∈ A ∃y ∈ A (x < y) , ∀y ∈ A ∃x ∈ A (x < y). Ejemplos

Ejemplo 1.5 Sea N el conjunto de los números naturales. Entonces podemos expresar: a) “Todo número natural impar es primo” ∀x ∈ N (x es impar → x es primo).

b) “Existen números naturales impares que no son primos” ∃x ∈ N (x es impar ∧¬ (x es primo)). c) “Existe un único número natural primo que no es impar” ∃!x ∈ N (x es primo ∧ ¬ (x es impar)).

Ejemplo 1.6 Sea N el conjunto de los números naturales . Usando los símbolos matemáticos usuales y los símbolos lógicos, podemos expresar las siguientes proposiciones:

1.3. Las Leyes de la Lógica

9

a) Dos más dos es ocho: 2 + 2 = 8. b) Todo número natural es par: ∀x ∈ N (x es par).

c) Si dos es par, todo número natural es par: (2 es par → ∀x ∈ N (x es par)).

d) Si uno es par, entonces 3 no es par: (1 es par → ¬ (3 es par)).

e) Todo número natural mayor que cinco es par: ∀x ∈ N (x > 5 → x es par).

f) Hay números naturales pares mayores que cinco: ∃x ∈ N (x es par ∧ x > 5).

g) El producto de dos números naturales pares, es par: ∀x ∈ N ∀y ∈ N ((x es par ∧ y es par) → x · y es par). h) Existe un único número natural cuyo cuadrado es cuatro: ∃!x ∈ N (x 2 = 4).

i) No hay un número natural que sea mayor que todo número natural: ¬ ∃x ∈ N ∀y ∈ N (x > y).

j) El cuadrado de la suma de dos números naturales es igual al cuadrado del primero más el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. ∀x ∈ N ∀y ∈ N ((x + y)2 = x 2 + 2xy + y 2 ).

Las Leyes de la Lógica

Verdad

1.3

1.3.1

La verdad de una proposición simple depende solamente de su contenido. Por ejemplo las proposiciones “2 < 3”, “2 es par” y “3 es impar” son verdaderas y por el contrario, “4 = 5” y “(2 · 5 + 1) > (32 · 10)” son falsas.

En cambio la verdad de una proposición compuesta depende además de la verdad o falsedad de sus componentes más simples y está dada por las siguientes reglas, donde α y β son proposiciones, α(x) es un predicado y A es un conjunto: 1. ¬ α es verdadera si y solamente si α es falsa.

10

Capítulo 1. Lenguaje Matemático

2. (α ∨ β) es verdadera si y solamente si al menos una de ellas, α o β, es verdadera o ambas son verdaderas. 3. (α ∧ β) es verdadera si y solamente si ambas α y β son verdaderas. 4. (α → β) es verdadera si y solamente no puede darse el caso que α sea verdadera y β sea falsa. 5. (α ↔ β) es verdadera si y solamente si ambas, α y β son verdaderas o ambas son falsas. 6. ∀x ∈ A α(x) es verdadera si y solamente si para todo elemento a de A se tiene que α(a) es verdadera. 7. ∃x ∈ A α(x) es verdadera si y solamente si existe al menos un elemento a de A tal que α(a) es verdadera. 8. ∃!x ∈ A α(x) es verdadera si y solamente si existe un único elemento a de A tal que α(a) es verdadera. Observación Notemos que en el caso de la implicación, si α es falsa, automáticamente (α → β) es verdadera y en este caso se dice que (α → β) es trivialmente verdadera.

Ejemplos

Ejemplo 1.7 Sea N el conjunto de los números naturales. Entonces, a) (2 < 3 ∨ 4 = 5) es verdadera porque 2 < 3 es verdadera. b) (2 < 3 ∧ 4 = 5) es falsa porque 4 = 5 es falsa.

c) (2 < 3 → 4 = 5) es falsa porque 2 < 3 es verdadera y 4 = 5 es falsa.

d) (2 < 3 → 3 < 4) es verdadera porque ambas son verdaderas.

e) (2 > 3 → 4 = 5) es trivialmente verdadera porque 2 > 3 es falsa. f) (2 < 3 ↔ 5 > 1) es verdadera porque ambas son verdaderas.

g) (2 > 3 ↔ 4 = 5) es verdadera porque ambas son falsas.

h) ∀x ∈ N (x > 2) es falsa porque 1 ∈ N y no se cumple que 1 > 2.

1.3. Las Leyes de la Lógica

11

i) ∃x ∈ N (x > 2) es verdadera porque por ejemplo, 3 ∈ N y 3 > 2.

j) ∀x ∈ N (x > 2 ∨ x ≤ 2) es verdadera, porque si a ∈ N entonces (a > 2 ∨ a ≤ 2) es verdadera y esto último es cierto porque o bien a > 2 o bien a ≤ 2.

k) ∃!x ∈ N (x > 2) es falsa, porque por ejemplo, 3 y 4 ∈ N, 3 > 2, 4 > 2 y 4 6= 3.

l) ∀x ∈ N (x > 4 → x + 3 > 7) es verdadera porque si a ∈ N se tiene que (a > 4 → a + 3 > 7) es verdadera, y esto último es cierto porque si a > 4, sumando tres se obtiene que a + 3 > 7.

m) ∀x ∈ N ∀y ∈ N ((x > 1 ∧ y > 1) → x · y < 1) es falsa, porque por ejemplo, 2 ∈ N, 3 ∈ N y ((2 > 1 ∧ 3 > 1) → 2 · 3 < 1) es falsa y esto último se debe a que 2 > 1 y 3 > 1 y no se cumple que 2 · 3 < 1. n) ∀x ∈ N ∃y ∈ N (x < y) es verdadera, pues si a ∈ N, entonces a + 1 ∈ N y a < a + 1, entonces si x = a exsite y = a + 1 tal que x < y.

ñ) ∃x ∈ N ∀y ∈ N (y < x) es falsa porque si a ∈ N, entonces a + 1 ∈ N y no se cumple que a + 1 < a. Notemos que para ver que una proposición de la forma ∀x ∈ A α(x) es falsa, basta encontrar un objeto a de A que no cumpla con α(a). Este objeto se llama un contraejemplo de la proposición dada. Por ejemplo, en (h) del ejemplo anterior, x = 1 es un contraejemplo para la proposición ∀x ∈ N(x > 2). Verdad lógica

1.3.2

Consideremos la proposición ((p ∧ q) → p). Ésta es verdadera, independientemente del valor de verdad de p y de q, como podemos ver al hacer la siguiente tabla llamada tabla de verdad de la proposición: p

q

(p ∧ q)

((p ∧ q) → p)

V

V

V

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

V

Tabla 1.1: Verdades lógicas.

12

Capítulo 1. Lenguaje Matemático

Este tipo de proposiciones se llaman verdades lógicas. Por el contrario si consideramos la proposición ((p ∨ q) → p),

y hacemos su tabla de verdad: p

q

(p ∨ q)

((p ∨ q) → p)

V

V

V

V

V

F

V

V

F

V

V

F

F

F

F

V

Tabla 1.2: Ejemplo de una proposición que no es verdad lógica. Vemos que ésta es verdadera sólo para algunos valores de verdad de p y q. Esta proposición no es una verdad lógica. El método de las tablas de verdad para verificar una verdad lógica sirve solamente cuando se trata de proposiciones sin variables ni cuantificadores. Por ejemplo, la proposición ∀x ∈ A (p(x) ∨ ¬ p(x)),

es lógicamente verdadera pues si a es un objeto de la colección A, o bien se cumple p (a) o bien su negación ¬ p (a), y por lo tanto (p (a) ∨ ¬ p (a)) es siempre verdadera. En este caso no se puede usar tablas de verdad porque la verdad de ésta depende del universo A y de si para cada objeto a de A se cumple p (a) o no.

Contradicciones

1.3.3

Si consideramos la proposición (p ∧ ¬ p),

vemos que ésta es siempre falsa, cualquiera que sea el valor de verdad de p como podemos observar al hacer la tabla de verdad de la proposición: p

¬p

(p ∧ ¬ p)

V

F

F

F

V

F

Tabla 1.3: Contradicción. Este tipo de proposiciones se llaman contradicciones.

1.3. Las Leyes de la Lógica

13

También existen contradicciones en el lenguaje con variables. Por ejemplo la proposición ∀x ∈ A (p (x)) ∧ ∃x ∈ A (¬ p (x)), es siempre falsa pues si para todo a ∈ A se cumple p (a), entonces no puede existir un a ∈ A tal que ¬ p (a). Equivalencia lógica

1.3.4

La proposición ¬(∀x ∈ A (p (x))) ↔ ∃x ∈ A (¬p (x)) es lógicamente verdadera pues ¬(∀x ∈ A (p (x))) es verdadera si y sólo si no es cierto que para todo elemento a ∈ A se cumple p (a), lo cual equivale a que exista al menos un elemento a ∈ A que cumple ¬p(a) que a su vez es equivalente a que ∃x ∈ A (¬p (x)) sea verdadera. En este caso se dice que las proposiciones ¬∀x ∈ Ap(x) y ∃x ∈ A¬ p(x) son lógicamente equivalentes, y como notación usamos: ¬∀x ∈ A (p(x)) ≡ ∃x ∈ A (¬p(x)). Por el contrario, las proposiciones ¬ (p ∧ q) y (¬ p ∧ ¬ q) no son lógicamente equivalentes porque la proposición (¬ (p ∧ q) ↔ (¬ p ∧ ¬ q)) no es una verdad lógica como se puede deducir de su tabla de verdad: p

q

¬p

¬q

(p ∧ q)

¬(p ∧ q)

(¬p ∧ ¬q)

(¬ (p ∧ q) ↔ (¬ p ∧ ¬ q))

V

V

F

F

V

F

F

V

V

F

F

V

F

V

F

F

F

V

V

F

F

V

F

F

F

F

V

V

F

V

V

V

Tabla 1.4: Proposiciones no lógicamente equivalentes. Es decir, (¬ (p ∧ q) 6≡ (¬ p ∧ ¬ q)).

14

Capítulo 1. Lenguaje Matemático

Consecuencia lógica

1.3.5

La proposición

(p ∧ (p → q)) → q)

es lógicamente verdadera como se puede ver fácilmente al hacer su tabla de verdad: p

q

(p → q)

(p ∧ (p → q)

((p ∧ (p → q)) → q)

V

V

V

V

V

V

F

F

F

V

F

V

V

F

V

F

F

V

F

V

Tabla 1.5: Consecuencia lógica. En este caso se dice que q (el consecuente), es consecuencia lógica de p y (p → q) (proposiciones que forman el antecedente). Como notación también se usa: p

 

(p → q)  q

premisas conclusión

Por el contrario, la proposición ∃x ∈ A (p (x) ∧ q (x)), no es consecuencia lógica de ∃x ∈ A (p (x)) y ∃x ∈ A (q (x)), porque la proposición (∃x ∈ A (p (x)) ∧ ∃x ∈ A (q (x))) → ∃x ∈ A(p (x) ∧ q (x)) no es lógicamente verdadera. Para verificar que no lo es, basta encontrar un conjunto A, y predicados particulares p(x) y q(x) que hagan falsa a la proposición anterior, es decir, que hagan verdadero al antecedente y falso al consecuente. Sea A = N, p(x) : “x es par” y q(x) : “x es impar”. Entonces, ∃x ∈ A (p (x)) es verdadera porque existen números naturales pares, ∃x ∈ A (q (x)) es verdadera porque existen números naturales impares y por lo tanto su conjunción: (∃x ∈ A (p (x)) ∧ ∃x ∈ A (q (x)))

1.3. Las Leyes de la Lógica

15

es verdadera. Por otro lado no existe un número natural que sea par e impar simultáneamente, por lo tanto la proposición ∃x ∈ A (p (x) ∧ q (x)) es falsa. Verdades lógicas usuales

1.3.6

El siguiente teorema nos proporciona algunas de las verdades lógicas más usadas en el razonamiento matemático:

Teorema Teorema 1.1 Sean α, β y γ proposiciones. Entonces, las siguientes proposiciones son lógicamente verdaderas: (I) α ∨ ¬ α.

(II) ¬ (α ∧ ¬ α).

(III) α → α.

(IV) (α ∧ α) ↔ α. (V) (α ∨ α) ↔ α.

(VI) ((α → β) ∧ α) → β.

(VII) α → (α ∨ β).

(VIII) β → (α ∨ β).

(IX) (α ∧ β) → α. (X) (α ∧ β) → β.

(XI) ((α → β) ∧ (β → γ)) → (α → γ).

(XII) ((α ↔ β) ∧ (β ↔ γ)) → (α ↔ γ).

(XIII) (a ∈ A ∧ ∀x ∈ A (α(x))) → α(a).

(XIV) (α ∨ β) ↔ (β ∨ α). (XV) (α ∧ β) ↔ (β ∧ α).

(XVI) (α ∨ (β ∨ γ)) ↔ ((α ∨ β) ∨ γ).

(XVII) (α ∧ (β ∧ γ)) ↔ ((α ∧ β) ∧ γ).

(XVIII) ((α ∧ β) ∨ γ) ↔ ((α ∨ γ) ∧ (β ∨ γ)). (XIX) ((α ∨ β) ∧ γ) ↔ ((α ∧ γ) ∨ (β ∧ γ)).

16

Capítulo 1. Lenguaje Matemático

(XX) (α → β) ↔ (¬ α ∨ β).

(XXI) (α → β) ↔ (¬ β → ¬ α).

(XXII) (α ↔ β) ↔ ((α → β) ∧ (β → α)).

(XXIII) (α ↔ β) ↔ (¬ α ↔ ¬ β).

(XXIV) (α → (β ∨ γ)) ↔ ((α ∧ ¬ β) → γ). (XXV) ¬¬ α ↔ α.

(XXVI) ¬ (α ∧ β) ↔ (¬ α ∨ ¬ β).

(XXVII) ¬ (α ∨ β) ↔ (¬ α ∧ ¬ β).

(XXVIII) ¬ (α → β) ↔ (α ∧ ¬ β).

(XXIX) ¬ (α ↔ β) ↔ ((α ∧ ¬ β) ∨ (β ∧ ¬ α)). (XXX) ((¬ α → (β ∧ ¬ β)) ↔ α).

(XXXI) ((α → β) ∧ (β → γ) ∧ (γ → α)) ↔ ((α ↔ β) ∧ (β ↔ γ)).

(XXXII) ((α → β) ∧ (¬ α → β)) ↔ β.

(XXXIII) ((α → β) ∧ (γ → β)) ↔ ((α ∨ γ) → β).

(XXXIV) (α → (β ∧ γ)) ↔ ((α → β) ∧ (α → γ)). (XXXV) (α → (β ∨ γ)) ↔ ((α → β) ∨ (α → γ)).

(XXXVI) ((α ∧ γ) → β) ↔ (α → (γ → β)).

(XXXVII) (α → β) ↔ ((α ∧ ¬ β) → (γ ∧ ¬ γ)).

(XXXVIII) ((β → α) ∧ (¬ β → α)) ↔ α.

Teorema 1.2 Sean α(x) y β(x) predicados simples. Entonces las siguientes son verdades lógicas: (I) ¬ (∀x ∈ A (α(x))) ↔ ∃x ∈ A (¬ α(x)).

(II) ¬ (∃x ∈ A (α(x))) ↔ ∀x ∈ A (¬ α(x)).

(III) ∃!x ∈ A (α(x)) ↔ ∃x ∈ A (α(x) ∧ ∀y ∈ A (α(y) → x = y)).

(IV) ¬ (∃!x ∈ A (α(x))) ↔ (¬ ∃x ∈ A (α(x)) ∨ ∃x ∈ A ∃y ∈ A (x 6= y ∧ α(x) ∧ α(y))). (V) ∀x ∈ A (α(x) ∧ β(x)) ↔ (∀x ∈ A (α(x)) ∧ ∀x ∈ A (β(x))).

(VI) (∀x ∈ A (α(x)) ∨ ∀x ∈ A (β(x))) → ∀x ∈ A (α(x) ∨ β(x)).

(VII) ∃x ∈ A (α(x) ∧ β(x)) → (∃x ∈ A (α(x)) ∧ ∃x ∈ A (β(x))).

(VIII) ∃x ∈ A (α(x) ∨ β(x)) ↔ (∃x ∈ A (α(x)) ∨ ∃x ∈ A (β(x))).

1.3. Las Leyes de la Lógica

Teorema 1.3 des lógicas.

17

Sea α(x, y) predicado binario. Entonces las siguientes son verda-

(I) ∀x ∈ A ∀y ∈ A (α(x, y)) ↔ ∀y ∈ A ∀x ∈ A (α(x, y)).

(II) ∃x ∈ A ∃y ∈ A (α(x, y)) ↔ ∃y ∈ A ∃x ∈ A (α(x, y)).

(III) ∃x ∈ A ∀y ∈ A (α(x, y)) → ∀y ∈ A ∃x ∈ A (α(x, y)). Demostración

La verificación de todas aquellas que no contienen variables ni cuantificadores, puede hacerse usando tablas de verdad. Por ejemplo para demostrar Teorema 1.1 (XXVIII), construimos la tabla de verdad de la proposición (¬ (α → β) ↔ (α ∧ ¬ β)), α

β

(α → β)

¬(α → β)

¬β

(α ∧ ¬β)

(¬ (α → β) ↔ (α ∧ ¬ β))

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

V

V

V

F

V

V

F

F

F

V

F

F

V

F

V

F

V

Tabla 1.6: Tabla de verdad del Teorema 1.1 (XXVIII) Esta tabla nos indica que independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que la componen, (α y β en este caso) la proposición es siempre verdadera como puede observarse en la última columna. Otra forma de demostrar una verdad lógica con o sin variables, es aplicar directamente el concepto de verdad. Por ejemplo, para verificar Teorema 1.1(XX): ((α → β) ↔ (¬α ∨ β)), tenemos que: (α → β) es verdadera si y solamente si cada vez que α sea verdadera, también β es verdadera, si y sólo si no es el caso que α sea verdadera y β sea falsa, es decir, si y sólo si α es falsa o β es verdadera, o sea, si y sólo si ¬α es verdadera o β es verdadera, lo cuál se cumple si y sólo si (¬ α ∨ β) es verdadera. Este método se aplica también para verificar verdades lógicas que contienen variables.

18

Capítulo 1. Lenguaje Matemático

Por ejemplo, para verificar Teorema 1.3 (III): (∃x ∈ A ∀y ∈ A (α(x, y)) → ∀y ∈ A ∃x ∈ A (α(x, y))),

tenemos que si ∃x ∈ A ∀y ∈ A (α(x, y)) es verdadera, entonces existe un elemento a de A tal que ∀y ∈ A (α(a, y)) es verdadera; luego, para todo elemento b de A se tiene que α(a, b) es verdadera. Pero entonces, para todo elemento b de A se tiene que ∃x ∈ A (α(x, b)) es verdadera, y por lo tanto, ∀y ∈ A ∃x ∈ A (α(x, y)) es verdadera.  Observación Notemos que algunas de estas verdades lógicas son equivalencias en cambio otras son consecuencias y la equivalencia falla. Por ejemplo, la proposición (VI) del Teorema 1.1, (((α → β) ∧ α) → β) es lógicamente verdadera, pero no es cierta la equivalencia lógica (((α → β) ∧ α) ↔ β),

como puede verse al hacer su tabla de verdad: α

β

(α → β)

((α → β) ∧ α)

(((α → β) ∧ α) ↔ β)

V

V

V

V

V

V

F

F

F

V

F

V

V

F

F

F

F

V

F

V

Tabla 1.7: Tabla de verdad de la proposición ((α → β) ∧ α) ↔ β.

También la proposición (VI) del Teorema 1.2:

(∀x ∈ A (α(x)) ∨ ∀x ∈ A (β(x))) → ∀x ∈ A (α(x) ∨ β(x)),

es lógicamente verdadera pero no se cumple la equivalencia:

(∀x ∈ A (α(x)) ∨ ∀x ∈ A (β(x))) ↔ ∀x ∈ A (α(x) ∨ β(x)). Para verificar que esta equivalencia falla, consideremos A = N, α(x) : “x es par” y β(x) : “x es impar”. Entonces ∀x ∈ A (α(x) ∨ β(x)) es verdadera porque si a ∈ N, se tiene que (α(a) ∨ β(a)) es verdadera pues a es par o impar. Pero ∀x ∈ A α(x) y ∀x ∈ A β(x) son falsas pues no todo número natural es par ni todo número natural es impar y por lo tanto su disyunción es falsa.

1.4. Aplicaciones

19

Aplicaciones

1.4

Si en nuestro trabajo matemático queremos establecer una propiedad que no es evidente, debemos dar un argumento acerca de su verdad, basado en todas las propiedades obtenidas previamente. Este argumento se llama demostración. Una demostración es una cadena de implicaciones y en cada paso de ella se obtiene una nueva verdad, ya sea porque es una verdad lógica o porque es equivalente a otra anterior o porque es consecuencia de verdades obtenidas anteriormente. Si en nuestro trabajo matemático queremos introducir nuevos objetos, debemos dar una explicación de éstos en términos de los objetos ya conocidos. Esta explicación se llama definición. Las definiciones son igualdades entre nombres de objetos o equivalencias entre predicados y pueden ser usados como tales en las demostraciones. Desarrollaremos a continuación tres aplicaciones de la lógica al razonamiento matemático que pueden ser muy útiles para el desarrollo de los capítulos siguientes.

Negación de una proposición dada

1.4.1

Para interpretar más fácilmente el símbolo de negación es conveniente que éste aparezca siempre ante proposiciones simples. Para ver ésta conveniencia, consideremos la proposición que afirma que la operación ∗ es conmutativa en el conjunto A: ∀x ∈ A ∀y ∈ A (x ∗ y = y ∗ x). Esta se interpreta por: “dado dos objetos cualesquiera a y b de A se tiene que a ∗ b = b ∗ a”. Su negación, que afirma que la operación ∗ no es conmutativa en A es: ¬ (∀x ∈ A ∀y ∈ A (x ∗ y = y ∗ x)), que se interpreta por: “no es cierto que, dados dos objetos cualesquiera a y b de A se tiene que a ∗ b = b ∗ a”, la cual es equivalente a: “existen objetos a y b de A tales que no cumplen con a ∗ b = b ∗ a00 y por lo tanto a

20

Capítulo 1. Lenguaje Matemático

“existen objetos a y b de A tales que a ∗ b 6= b ∗ a”.

(*)

Por otro lado en virtud de la equivalencia (I) del Teorema 1.2: ¬ (∀x ∈ A (α(x))) ↔ ∃x ∈ A (¬ α(x)). Se tiene que

¬ (∀x ∈ A ∀y ∈ A (x ∗ y = y ∗ x))

≡ ∃x ∈ A ¬ (∀y ∈ A (x ∗ y = y ∗ x))

≡ ∃x ∈ A ∃y ∈ A ¬ (x ∗ y = y ∗ x) ≡ ∃x ∈ A ∃y ∈ A (x ∗ y 6= y ∗ x).

La interpretación de ésta última proposición es precisamente la anteriormente obtenida en (*). Dada una proposición, siempre es posible encontrar otra equivalente, tal que el símbolo de negación aparezca sólo ante proposiciones simples. Ésta se obtiene aplicando las siguientes equivalencias del Teorema 1.1: (XXV). ¬¬ α ↔ α. (XXVI). ¬ (α ∧ β) ↔ (¬ α ∨ ¬ β). (XXVII). ¬ (α ∨ β) ↔ (¬ α ∧ ¬ β). (XXVIII). ¬ (α → β) ↔ (α ∧ ¬ β). (XXIX). ¬ (α ↔ β) ↔ ((α ∧ ¬ β) ∨ (β ∧ ¬ α)). (XXX). ¬ (∀x ∈ A (α(x))) ↔ ∃x ∈ A (¬ α(x)). (XXXI). ¬ (∃x ∈ A (α(x))) ↔ ∀x ∈ A (¬ α(x)). Por ejemplo, la proposición: ∃x ∈ A ¬ (α (x) → (β (x) ∨ γ (x))) ≡ ∃x ∈ A (α (x) ∧ ¬ (β (x) ∨ γ (x)))

≡ ∃x ∈ A (α (x) ∧ (¬ β (x) ∧ ¬ γ (x)))

y esta última satisface las condiciones descritas anteriormente.

Negar una proposición dada es encontrar una proposición equivalente a su negación que contenga el símbolo de negación sólo ante proposiciones simples. Por ejemplo, para negar la proposición: ∀x ∈ N(x 6= 0 → ∃y(x · y = 1)),

1.4. Aplicaciones

21

aplicamos las equivalencias del teorema a obteniendo:

¬ (∀x ∈ N(x 6= 0 → ∃y (x · y = 1))), ∃x ∈ N¬ (x 6= 0 → ∃y ∈ N(x · y = 1))

≡ ∃x ∈ N(x 6= 0 ∧ ¬ ∃y ∈ N(x · y = 1))

≡ ∃x ∈ N(x 6= 0 ∧ ∀y ∈ N(x · y 6= 1)),

la última de las cuales satisface las condiciones requeridas.

Demostraciones por contradicción

1.4.2

Supongamos que queremos demostrar la proposición α. En lugar de demostrarla directamente, demostraremos la siguiente proposición que es equivalente a α en virtud del Teorema 1.1(XXX): (¬ α → (β ∧ ¬ β)), cuyo consecuente es una contradicción.

Si la proposición es verdadera, como el consecuente es falso, podemos concluir que el antecedente debe ser falso y por lo tanto α debe ser verdadera. Esto constituye el método de demostraciones por contradicción Por ejemplo, para demostrar que el sistema: x

+

y

− 2

=

0

2x

+

2y

− 5

=

0

no tiene solución, supongamos que la tiene y sean x = a y y = b números que satisfacen ambas ecuaciones. Entonces: 5 a + b = 2 y 2a + 2b = 5, de donde a + b = 2 y a + b = . 2 Por lo tanto se tiene que a + b = 2 y a + b 6= 2.

Hemos demostrado que si el sistema tiene solución entonces (a + b = 2 ∧ a + b 6= 2) y ésto, como es una contradicción, equivale tal como vimos anteriormente a que el sistema no tenga solución.

Demostraciones por contraposición

1.4.3

Para demostrar la proposición α → β, demostraremos la siguiente proposición que es equivalente a ésta en virtud del Teorema 1.1(XXI): (¬ β → ¬ α).

22

Capítulo 1. Lenguaje Matemático

Este procedimiento constituye el método de demostraciones por contraposición. Por ejemplo para demostrar: ∀x ∈ R(x 2 es par → x es par), es más fácil demostrar que:

∀x ∈ R(x es impar → x 2 es impar). Efectivamente, si a ∈ R y a es impar, entonces a = 2n + 1 para algún natural n o bien a = 1. Luego a2 = 4n2 + 4n + 1 o bien a2 = 1, es decir a2 = 2(2n2 + 2n) + 1 o bien a2 = 1, luego a2 es impar.

1.5. Problemas Resueltos

23

Problemas Resueltos

1.5

Problema 1.1 Luego de un crimen, se comprueban los siguientes hechos: 1. El asesino de Don Juan es su hijo Pedro o su sobrino Diego. 2. Si Pedro asesinó a su padre entonces el arma está escondida en la casa. 3. Si Diego dice la verdad entonces el arma no está escondida en la casa. 4. Si Diego miente entonces a la hora del crimen, él se encontraba en la casa. 5. Diego no estaba en la casa a la hora del crimen. ¿Quién es el asesino? Solución Usaremos los siguientes símbolos: p : El asesino de don Juan es su hijo Pedro. q : El asesino de don Juan es su sobrino Diego. r : El arma está escondida en la casa. s : Diego dice la verdad . t : Diego estaba en la casa a la hora del crimen. Entonces tenemos las siguientes proposiciones verdaderas: (1) (p ∨ q),

(2) (p → r ),

(3) (s → ¬ r ), (4) (¬s → t), (5) ¬t.

Luego: Como por (5), ¬t es verdadera, podemos concluir que t es falsa y por (4) ¬ s también es falsa, de donde s es verdadera. Por(3), obtenemos que ¬ r es también verdadera y por lo tanto r es falsa. Entonces por (2) p debe ser falsa. Y por (1), q es verdadera. Podemos concluir que el asesino de don Juan es su sobrino Diego.

24

Capítulo 1. Lenguaje Matemático

Problema 1.2 Consideremos el nuevo símbolo ↓ e interpretemos la proposición (p ↓ q) por “ni p ni q”. Es decir, (p ↓ q) es verdadera si y sólo si p y q son ambas falsas. Demostrar las siguientes equivalencias lógicas: 1. ¬p ≡ (p ↓ p).

2. (p ∨ q) ≡ ((p ↓ q) ↓ (p ↓ q)).

3. (p ∧ q) ≡ ((p ↓ p) ↓ (q ↓ q)). Solución

Basta hacer las correspondientes tablas de verdad y verificar que los valores de verdad de las proposiciones de ambos lados de la equivalencia sean los mismos.

1.

p

¬p

(p ↓ p)

V

F

F

F

V

V

Aquí coinciden los valores de verdad de la segunda y tercera columnas.

2.

p

q

(p ∨ q)

(p ↓ q)

((p ↓ q) ↓ (p ↓ q))

V

V

V

F

V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

V

F

F

F

V

F

Aquí coinciden los valores de verdad de la tercera y quinta columnas.

3.

p

q

(p ∧ q)

(p ↓ p)

(q ↓ q)

((p ↓ p) ↓ (q ↓ q))

V

V

V

F

F

V

V

F

F

F

V

F

F

V

F

V

F

F

F

F

F

V

V

F

Aquí coinciden los valores de verdad de la tercera y sexta columnas.

1.5. Problemas Resueltos

25

Problema 1.3 Encontrar un conjunto A y predicados p(x), q(x) y r (x) que satisfagan las proposiciones: ∀x ∈ A(p(x) → q(x))

y

∃x ∈ A(q(x) ∧ r (x)).

Solución En primer lugar construiremos el diagrama de Venn de este par de proposiciones, que consiste de un esquema general de todos aquellos conjuntos A y predicados p(x), q(x) y r (x), que satisfacen dichas proposiciones. Como primer paso representamos A como el universo y los predicados p(x), q(x) y r (x), como los subconjuntos P, Q y R de A respectivamente, obteniendo:

Figura 1.1: Diagrama de Venn para los conjuntos P, Q y R de A. En segundo lugar modificamos este diagrama, eliminando regiones (achurando) o distinguiendo objetos en alguna región, de modo que cada una de las proposiciones se verifique en el diagrama. La primera proposición afirma que todo objeto de A que está en P, está también en Q. Eliminamos por lo tanto todas aquellas regiones que estando dentro de P, pero que están fuera de Q, reduciendo el tamaño de P y moviéndolo para que quede dentro de Q:

Figura 1.2: Modificación de la figura 1.1.

26

Capítulo 1. Lenguaje Matemático

La segunda proposición afirma que hay un objeto de A que está en Q y en R. Ubicamos por lo tanto un objeto a en la intersección de Q con R, y como no podemos decidir si a está dentro o fuera de P lo ubicamos en la frontera:

Figura 1.3: Objeto a que pertenece a R y Q. Este último diagrama constituye el diagrama de Venn de las proposiciones dadas. En tercer lugar construimos un conjunto A y predicados p(x), q(x) y r (x) que se ajusten al diagrama y que por lo tanto satisfacen las proposiciones dadas. El más simple es: A = {a} ; p(x) : “x = a00 ; q(x) : “x = a00 ; r (x) : “x = a00 Problema 1.4 Decidir si la proposición: α :“Hay números naturales pares que son racionales” es o no consecuencia lógica de las proposiciones: β:“Todo número natural par es positivo”. γ:“Hay números naturales positivos que son racionales”. En el lenguaje Aristotélico este problema consiste en decidir si el silogismo siguiente es o no es válido: “Todo número natural par es positivo” “Hay números naturales positivos que son racionales”. “Hay números naturales pares que son racionales”

1.5. Problemas Resueltos

27

Solución Consideremos los siguientes predicados: p(x): “x es par”. q(x): “x es positivo”. r(x): “x es racional”. Sea N el conjunto de los números naturales. Entonces podemos expresar en símbolos: α : ∃x ∈ N(p(x) ∧ r (x)),

β : ∀x ∈ N(p(x) → q(x)) y

γ : ∃x ∈ N(q(x) ∧ r (x)).

El problema consiste por lo tanto en determinar si la proposición: ((∀x ∈ N(p(x) → q(x)) ∧ ∃x ∈ N(q(x) ∧ r (x))) → ∃x ∈ N(p(x) ∧ r (x))). es lógicamente verdadera. Para esto hay que probar que para todo x ∈ N,si p(x), q(x) y r (x) verifican las premisas, también verifican la conclusión. Esto puede hacerse usando diagramas de Venn y el problema se reduce a verificar que en el diagrama de Venn de las premisas se satisface la conclusión. En virtud del problema anterior este diagrama es:

Figura 1.4: Diagrama de Venn para la proposición “Hay números naturales pares que son racionales”. y en él no se verifica necesariamente la conclusión puesto que el objeto a del diagrama puede estar dentro o fuera de P, por lo que se puede concluir que la proposición dada no es una verdad lógica. Con lo anterior se concluye que α no es consecuencia lógica de β y γ.

28

Capítulo 1. Lenguaje Matemático

Problema 1.5 Encuentre una proposición α que contenga las letras p, q y r y cuya tabla de verdad sea la siguiente: p

q

r

α

V

V

V

F

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

V

F

V

V

V

F

V

F

V

F

F

V

F

F

F

F

V

Solución Mirando las lineas de la tabla de verdad en las cuales α es verdadera, podemos interpretar α por: “O bien p es verdadera, q falsa y r falsa ; o bien p es falsa, q verdadera y r verdadera; o bien p es falsa, q verdadera y r falsa; o bien p es falsa, q falsa y r falsa”. Esto equivale a interpretar la siguiente proposición: ((p ∧ ¬ q ∧ ¬ r ) ∨ (¬ p ∧ q ∧ r ) ∨ (¬ p ∧ q ∧ ¬ r ) ∨ (¬ p ∧ ¬ q ∧ ¬ r )). Esta última puede ser reducida aplicando las siguientes equivalencias: (¬ p ∧ q ∧ r ) ∨ (¬ p ∧ q ∧ ¬ r ) ≡ (¬ p ∧ q) ∧ (r ∨ ¬ r )

Y también:

≡ (¬ p ∧ q).

((p ∧ ¬ q ∧ ¬ r ) ∨ (¬ p ∧ ¬ q ∧ ¬ r )) ≡ ((p ∨ ¬ p) ∧ (¬ q ∧ ¬ r )) ≡ (¬ q ∧ ¬ r ).

1.5. Problemas Resueltos

29

Obteniéndose finalmente la proposición: ((¬ p ∧ q) ∨ (¬ q ∧ ¬ r )), que tiene la tabla de verdad pedida. Problema 1.6 Determine si la frase: “Yo estoy mintiendo”, es o no una proposición. Solución Supongamos que lo es. Entonces es verdadera o falsa. Si es verdadera, es cierto que está mintiendo y por lo tanto es falsa. Si es falsa, es falso que está mintiendo y por lo tanto dice la verdad, esto es, ella es verdadera. Pero esto es una contradicción, por lo que nuestra suposición es falsa: esta frase no es una proposición. Esta situación se conoce como “La paradoja del mentiroso”, y constituye una de las razones mas poderosas para desarrollar lenguajes formales y utilizarlos en lugar del lenguaje natural.

30

Capítulo 1. Lenguaje Matemático

Ejercicios Propuestos 1. Exprese las siguientes proposiciones utilizando los símbolos matemáticos y lógicos usuales: (a) No es cierto que si el doble de cuatro es dieciséis entonces el cuadrado de cuatro es treinta y dos. (b) El cuadrado de menos tres es nueve y es mayor que siete. (c) Dos es positivo o menos dos es positivo; pero ninguno de los dos es mayor que diez. (d) Existe un número entero mayor que dos. (e) Existe un número natural cuyo cuadrado sumado con tres es uno. (f) Todo número real cumple que él es positivo o su inverso aditivo es positivo, excepto el cero. (g) El cuadrado de todo número real es mayor que el triple del número. (h) La suma de dos números naturales es mayor que cada uno de ellos.

1.6 (o) El producto de dos números enteros negativos es negativo. (p) Todo número real es positivo, negativo o cero. (q) Para todo número natural existe un natural mayor. (r) Si un número real es positivo, entonces su inverso multiplicativo es positivo. (s) No siempre la resta de dos números naturales es un número natural. (t) No existe un número real negativo que sea mayor o igual que todo número negativo. (u) El cuadrado de la suma de dos números reales es el cuadrado del primero, más el doble del producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. (v) La raíz cuadrada positiva de un número real positivo es aquel número real positivo cuyo cuadrado es el número dado.

(i) Todo número real es igual a sí mismo.

(w) Dado cualquier número real existe otro número real cuyo cuadrado es el número inicial.

(j) Existen números enteros pares y números enteros impares.

2. Exprese en el lenguaje natural las siguientes proposiciones:

(k) Hay números reales que son negativos y positivos a la vez.

(a) ∀x ∈ N(x > 3).

(l) El cero no es ni positivo ni negativo.

(c) ∀x ∈ R(x > 3 → x 2 > 8).

(m) El cuadrado de un número real negativo es un número real positivo. (n) El uno es neutro del producto en el conjunto de los números reales. (ñ) Todo número real distinto de cero tiene un inverso multiplicativo real.

(b) ∀x ∈ N ∃y ∈ N(x > y). (d) ∀x ∈ R(x + 0 = x).

(e) ∀x ∈ R(x > 0 → ∃y ∈ R(y 2 = x)).

(f) ∀x ∈ N ∀y ∈ N(x < y → ∃z ∈ R(x < z < y)).

(g) ∃x ∈ N(x + 3 = 10).

(h) ∃x ∈ N ∀y ∈ N(x < y).

1.6. Ejercicios Propuestos

(i) ∀x ∈ R ∀y ∈ R(x + y > 2x ∨ x + y > 2y ). (j) ∀x ∈ R(x 6= 0 → ∃y ∈ R(x · y = 1)).

(k) ∃x ∈ R(x 6∈ N ∧ ∃y ∈ N(x + y = 0)). (l) ∀x ∈ R(x > 2 → x + 1 > 3).

(m) ¬ ∃x ∈ R(x > 1 ∧ x < 8). (n) ∃x ∈ R(x = 2 ∨ x = 3).

(ñ) (2 < 0 → ∀x ∈ R(x < 0)). 3. Dadas las proposiciones: p: dos es par, q: dos es impar,

31

2) Existen números enteros pares mayores que cinco. 3) Existen números enteros entre cinco y diez. (b) Exprese en el lenguaje natural: 1) ∀x ∈ N(p(x) ∨ q(x)). 2) ∀x ∈ N(¬ r (x) → s(x)). 3) ¬ ∃x ∈ N(s(x) ∧ ¬ r (x)). 5. Sea A un conjunto, a un objeto de A y ∗ una operación binaria en A. Exprese en símbolos:

r: tres es par,

(a) ∗ es una operación conmutativa en A.

s: tres es impar.

(b) ∗ es una operación asociativa en A.

(a) Exprese en símbolos: 1) O bien dos es par o bien dos es impar. 2) Si dos no es par entonces tres es par y dos es impar. 3) No sólo dos no es par sino que tampoco es impar. 4) El que tres sea par equivale a que no sea impar. (b) Exprese en el lenguaje natural: 1) (¬ p → q). 2) (r ↔ ¬ s). 3) ((p ∧ r ) → (¬ q ∧ ¬ s)). 4. Dados los siguientes predicados: p(x)

:

x es par,

q(x)

:

x es impar,

r (x)

:

x es mayor que cinco,

s(x)

:

x es menor que diez.

(a) Exprese en símbolos: 1) Todo número entero es mayor que cinco.

(c) a es neutro de ∗ por la derecha.

(d) a no es neutro de ∗ por la izquierda.

(e) No todo elemento operado por ∗ consigo mismo resulta el mismo elemento. (f) Hay dos elementos de A que no conmutan por ∗. 6. Exprese los siguientes enunciados de teoremas, usando símbolos: (a) La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180◦ . (b) En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. (c) El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más el doble del producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término. 7. A partir del predicado x + 5 = y, obtenga tres proposiciones diferentes anteponiendo cuantificadores e interprételas en el lenguaje natural.

32

Capítulo 1. Lenguaje Matemático

8. Sean a y b números enteros y consideremos las siguientes proposiciones: p

:

a > 0,

q

:

b < 0,

r

:

a2 > 0,

s

:

b2 > 0.

(d) ∀x ∈ A(x ≤ 5).

(e) ∀x ∈ A ∃y ∈ A(y > x). (f) ∃x ∈ A ∀y ∈ A(x ≤ y ).

(g) ∃x ∈ A ∃y ∈ A(x + y = 3).

(h) ∀x ∈ A ∃y ∈ A(x + y ∈ A).

Exprese las siguientes proposiciones en el lenguaje natural y determine su valor de verdad, sabiendo que p, q, r y s son verdaderas: (a) (p ∨ ¬p)

(b) (p → r )

(c) (q → s)

(d) (s → ¬q)

(e) (¬ p ∧ ¬ r )

(f) (¬¬ r ∧ ¬ r )

(g) (r ∨ s)

(h) ¬ p

(i) (r → p)

(j) (s → p)

(k) (r ∧ p)

(l) (s ∧ p)

(ll) (r → ¬ p)

(m) (¬ s ∧ ¬ p)

(n) (q ∧ r )

(o) (¬ r ∧ ¬ q ∧ ¬ s)

9. Decida si cada una de las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas: (a) (2 < 1 → 2 es impar).

(b) (2 = 3 → 2 es par). (c) (2 > 0 → 3 > 1).

(d) (2 > 0 → 3 < 1).

(e) ((2 < 1 ∨ 2 > 0) → 2 es impar).

(f) (2 < 1 → (2 es impar ∨ 3 > 1)).

(g) ((2 < 1 ∧ 2 > 0) → 2 es impar).

(h) (2 > 1 → (2 es impar ∧ 3 > 1)). 10. Sea A = {1, 2, 3}. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: (a) ∃x ∈ A(x 6= 0).

(c) ∃x ∈ A(x > 2 ∧ x 2 6= 3).

(b) ∀x ∈ A(x > 1 → x = 2).

(i) ∃x ∈ A(x + 1 6∈ A).

11. Use contraejemplos para demostrar que cada una de las siguientes proposiciones son falsas: (a) ∀x ∈ R(x > 5 → x > 6).

(b) ∀x ∈ R(x > 5 ∧ x < 6). (c) ∀x ∈ R(x 6= 5).

(d) ∀x ∈ R ∀y ∈ R(x < y ∨ x = y ).

(e) ∀x ∈ R ∀y ∈ R(x < y ↔ x + 1 ≥ y ). 12. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: (a) ∀ x ∈ R(x 2 ≥ x). (b) ∃x ∈ R(2x = x).

(c) ∀x ∈ R(5x > 4x).

(d) ∃x ∈ R(x 3 − x ≥ x).

(e) ∀x ∈ R(x 2 ≥ 0). (f) ∃x ∈ R(x 2 ≤ 0).

13. Si A = {1, 2, 3, 4}, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: (a) ∀ x ∈ A (x + 3 < 6).

(b) ∃ x ∈ A (2x 2 + x = 15).

(c) ∀ x ∈ A ∀ y ∈ A ((x 2 + y) es par).

(d) ∃ x ∈ A ∀ y ∈ A ((x 2 + y) es par ).

(e) ∀ y ∈ A ∃ x ∈ A ((x 2 + y) es par ).

(f) ∀ x ∈ A ∃ y ∈ A ((x 2 + y) es impar).

14. Demuestre todas las verdades lógicas de los Teoremas 1.1, 1.2 y 1.3.

1.6. Ejercicios Propuestos

15. Demuestre que las siguientes proposiciones no son lógicamente verdaderas. (a) (¬(p → q) ↔ (¬p → ¬q)). (b) (¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∧ ¬q)).

(c) (¬(p ↔ q) ↔ (¬p ↔ ¬q)).

16. Encuentre un conjunto A y predicados p(x) y q(x), tales que la proposición dada sea verdadera: (a) ∀x ∈ A(p(x) → ¬ q(x)).

(b) ∃x ∈ A(¬ p(x) ∧ ¬ q(x)). 17. Encuentre un conjunto A y predicados p(x) y q(x), tales que la proposición dada sea falsa: (a) ∀x ∈ A(p(x) → ¬ q(x)). (b) ∃x ∈ A(p(x) ∧ q(x)).

18. Encuentre un conjunto A y predicados p(x), q(x) y r (x) tales que los siguientes pares de proposiciones sean verdaderas: (a) ∀x ∈ A (p(x) → ¬ q(x)) y ∃x ∈ A p(x). (b) ∃x ∈ A (¬ p(x) ∧ ¬ q(x)) y ∀x ∈ A (q(x) → r (x)). 19. Demuestre que las siguientes proposiciones no son lógicamente verdaderas: (a) (∀x ∈ A(p → (q(x) ∨ r (x))) → (∀x ∈ A(p → q(x)) ∨ ∀x ∈ A(p → r (x)))).

(b) ((∃x ∈ A α(x) ∧ ∃x ∈ A β(x)) → ∃x ∈ A (α(x) ∧ β(x))). (c) (¬∀x ∈ A α(x) ↔ ∀x ∈ A (¬α(x))).

20. Demuestre que las siguientes proposiciones son contradicciones: (a) ((p ∨ q) ∧ (¬ p ∧ ¬ q)).

(b) ((p → q) ∧ (p ∧ ¬ q)).

(c) ((p ↔ q) ∧ (¬ p ∧ ¬ q)).

33

(d) ((∀x ∈ A¬ p(x) ∧ ∃x ∈ A(p(x) ∧ ¬ q(x)))). 21. Demuestre sin usar tablas de verdad las siguientes equivalencias donde α es una proposición lógicamente verdadera: (a) (p ∧ α) ≡ p

(b) (p ∨ α) ≡ α.

(c) (p ∧ (q ∧ α)) ≡ (p ∧ q).

(d) (p ∨ (q ∨ α)) ≡ α.

(e) ((p ∧ (q ∨ α)) ≡ p.

(f) (p ∨ (q ∧ α)) ≡ (p ∨ q).

22. Demuestre sin usar tablas de verdad, que las siguientes proposiciones son lógicamente verdaderas: (a) ((p → q) ∨ (q → p)).

(b) ((¬p ∧ p) ↔ ¬(¬p ∨ p)).

(c) ((p ∨ (¬p ∧ q)) ↔ (p ∨ q)).

23. Demuestre sin usar tablas de verdad, que las siguientes proposiciones son contradicciones: (a) ¬((p → q) ∨ (q → p)).

(b) ((¬p ∧ p) ↔ (¬p ∨ p)).

(c) (¬(¬p → q) ↔ (p ∨ q)).

24. Simplifique las siguientes proposiciones, es decir, obtenga proposiciones equivalentes a las dadas pero de menor largo: (a) (¬(q ∨ ¬r ) ∨ q). (b) (p ∧ ¬(q ∧ p)).

(c) (((p ∧ (q ∧ ¬p)) ∨ ¬ q).

(d) ((¬(¬p → q) ∨ (p ∨ q)) ∧ ¬ q). (e) ¬(¬p → (p ∧ ¬p)).

25. Exprese las siguientes proposiciones usando solamente los conectivos ¬ e ∧: (a) (p ∨ q).

(b) ((p ∨ q) → p). (c) ¬ (p → q).

34

Capítulo 1. Lenguaje Matemático

(d) ((p ↔ q) ∧ (p ↔ r )). 26. Niegue las siguientes proposiciones: (a) (p ∨ ¬p).

(b) (s → ¬q).

(c) (¬ p ∨ ¬ r ).

(d) (¬¬ r ↔ ¬ r ).

(e) (¬ r ∧ ¬ q ∧ ¬ s).

27. Niegue las siguientes proposiciones: (a) ∃x ∈ A(x 6= 0).

(b) ∀x ∈ A(x > 1 → x = 2).

(c) ∃x ∈ A(x > 2 ∧ x 2 6= 3).

(d) ∀x ∈ A(x ≤ 5).

(e) ∀x ∈ A ∃y ∈ A (y > x). (f) ∃x ∈ A ∀y ∈ A (x ≤ y).

(g) ∃x ∈ A ∃y ∈ A (x + y = 3).

(h) ∀x ∈ A ∃y ∈ A (x + y ∈ A). (i) ∃x ∈ A (x + 1 6∈ A).

28. Niegue las siguientes proposiciones: (a) ∀x ∈ R ∀ y ∈ R(xy = 0 ↔ (x = 0 ∨ y = 0)). (b) (∀x ∈ R(x > 2) ∧ ∃ x ∈ R(x = 1)). (c) ∀x ∈ A ∃y ∈ A ∀ z ∈ A p(x, y, z).

(d) ∃x ∈ A ∀y ∈ A(p(x, y) ↔ q(y)). (e) ∃x ∈ A ¬ p(x) ∨ ∀ x ∈ A q(x).

(f) ∀ x ∈ N ∀ y ∈ N (x + y es par → (x es par ∧y es par)).

29. Demuestre que p es consecuencia lógica de las premisas indicadas en cada uno de los siguientes casos: (a) q, (¬p → ¬q).

(b) (p ∨ q), (q → r ), (p ∨ ¬r ).

(c) (p ∨ q ∨ r ), (q → r ), ¬(q ∧ r ), ¬r .

30. Demuestre que p no es consecuencia lógica de las premisas indicadas: (a) ¬ q, (¬p → ¬q).

(b) (p ∨ q), (q → r ), (¬q ∨ r ).

(c) (p ∨ q ∨ r ), (q → r ), (p → q).

31. Analice la validez de los siguientes argumentos: (a) Si hoy es Martes entonces mañana es Miércoles. Pero hoy no es Martes. Luego mañana no es Miércoles. (b) O bien hoy es Lunes o bien es Martes. Pero hoy no es Lunes. Luego hoy es Martes. 32. Analice la validez de los siguientes argumentos: (a) Todo hombre es mortal. Hay animales que son hombres. Luego, hay animales que son mortales. (b) Hay mujeres sabias. Hay profesoras mujeres. Luego hay profesoras sabias. 33. Hay tres hombres: Juan, José y Joaquín, cada uno de los cuales tiene 2 profesiones. Sus ocupaciones son las siguientes: chofer, comerciante, músico, pintor, jardinero y peluquero. En base a la siguiente información, determine el par de profesiones que corresponde a cada hombre: (a) El Chofer ofendió al músico riéndose de su cabello largo. (b) El músico y el jardinero solían ir a pescar con Juan. (c) El pintor compró al comerciante un litro de leche. (d) El chofer cortejaba a la hermana del pintor. (e) José debía $ 1.000 al jardinero.

1.6. Ejercicios Propuestos

35

(f) Joaquín venció a José y al pintor jugando ajedrez. 34. Se tienen los siguientes datos acerca de un crimen: (a) La asesina de la señora Laura fue una de sus tres herederas: María, Marta o Mercedes. (b) Si fue María, el asesinato sucedió antes de media noche. (c) Si el asesinato fue después de las doce, no puede haber sido Marta. (d) El asesinato fue después de las doce. ¿Quién asesinó a la señora Laura? 35. Considere el conectivo DOS (p, q, r ) cuya interpretación está dada por la siguiente tabla: p

q

r

DOS(p, q, r )

V

V

V

F

V

V

F

V

V

F

V

V

V

F

F

F

F

V

V

V

F

V

F

F

F

F

V

F

F

F

F

F

Encuentre una proposición equivalente a DOS(p, q, r ) que contenga los conectivos usuales. 36. La disyunción excluyente entre p y q denotada por: (p ∨ q) se interpreta por:

(p ∨ q) es verdadera si y sólo si p es verdadera o q es verdadera, pero ambas no ambas. (a) Construya una tabla de verdad para (p ∨ q). (b) Demuestre que (p ∨ q) ≡ (p ∨ q) ∧ ¬ (p ∧ q). (c) Demuestre que p ∧ (q ∨ r ) ≡ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r )).

37. Encuentre una proposición α que contenga las letras p, q y r cuya tabla de verdad sea: p

q

r

α

V

V

V

F

V

V

F

F

V

F

V

V

V

F

F

V

F

V

V

F

F

V

F

F

F

F

V

V

F

F

F

V

Autoevaluación

1

1. Traduzca al lenguaje matemático la siguiente frase: “Los números naturales tienen un menor elemento, pero no tienen un mayor elemento.” 2. Traduzca al lenguaje natural la siguiente proposición: ∀x ∈ N (x 6= 0 → ∃y (x = y + 1)) 3. Niegue la siguiente proposición: ∀x ∈ A (x 6= φ → ∃y ∃z (y ∈ x ∨ x ∈ z)) 4. Determine si el siguiente argumento es válido: Si no estudias este libro, entonces reprobarás el curso de cálculo. Si no estudias este libro, entonces no podrás salir de vacaciones este verano. Apruebas el curso de cálculo o sales de vacaciones este verano. Por lo tanto, estudiaste este libro. 5. Demuestre que la siguiente proposición no es verdadera: ∀x ∈ A ∃y ∈ A p(x, y) → ∃y ∈ A ∀x ∈ A p(x, y) 6. Encuentre un conjunto A y dos predicados p(x) y q(x), tales que la siguiente proposición sea verdadera:   ∃x ∈ A ¬p(x) ∧ ∀y ∈ A (¬(p(y) → q(y)) 7. Demuestre sin usar tablas de verdad la siguiente equivalencia:     p ∨ (q ∧ (r → ¬¬r )) ≡ p ∨ q

2

Los Números Reales

Sistemas Numéricos

2.1

A través de la historia de la Matemática los números han sido introducidos como un instrumento para contar o más precisamente para medir. El sistema numérico más simple es el de los números naturales: uno, dos, tres, cuatro, . . . , etc; el cual sirve para contar objetos. En el conjunto de los números naturales se puede sumar y multiplicar; pero no se puede restar. Para poder introducir la operación de resta, es necesario agregar el cero y los negativos de los naturales obteniéndose así el conjunto de los números enteros, donde se puede sumar, multiplicar y restar; pero no se puede dividir. Para poder dividir se agregan las fracciones de números enteros, que constituyen el conjunto de los números racionales donde se pueden efectuar las cuatro operaciones. Los racionales sirven para contar objetos y partes de objetos, considerando cantidades tanto positivas como negativas. Desde un punto de vista geométrico, estos también se pueden asociar a los puntos de una recta de la siguiente manera: Consideremos una recta y un punto O en ella que llamaremos origen.

O Figura 2.1: Recta con origen O.

37

38

Capítulo 2. Los Números Reales

Elijamos una de las semirectas determinadas por O y llamémosla semirecta positiva hacia la derecha y semirecta negativa hacia la izquierda.

+

−

+

O

Figura 2.2: Semirecta positiva y semirecta negativa. Y elijamos un trazo que llamaremos trazo unitario: u

Figura 2.3: Trazo unitario. Asociamos a cada número racional x un punto Px de la recta de la siguiente manera: 1. Al cero le asignamos el punto O. 0 −

+

+

O

Figura 2.4: Número 0 en el origen. 2. Para asignar un punto de la recta al número 1 copiamos el trazo unitario desde O en dirección positiva determinando el punto P1 . −

P1 0 +|{z}+ u

+

Figura 2.5: Número 1 a una distancia unitaria del origen. 3. Para asignar un punto al número n ∈ N, copiamos el trazo unitario n veces desde el origen en dirección positiva, obteniéndose el punto Pn . P1 P2 Pn 0 +|{z}+|{z}+ +|{z}+ + u u ... n veces u

−

Figura 2.6: Posición del número n.

4. Para asignar un punto de la recta al entero negativo −n, copiamos el trazo OPn desde O en dirección negativa, determinando el punto P−n . P−n

−

+

−n

0

Pn

+

+

Figura 2.7: Posición del número −n.

n

+

2.1. Sistemas Numéricos

39

m (donde m y n son naturales) n dividimos el trazo unitario en n trazos iguales y lo copiamos m veces desde O en m dirección positiva, determinando el punto P mn , y lo denotamos en la recta por . n

5. Para asignar un punto de la recta al racional positivo

−

0

m n

+

+

m

+

+

n puntos iguales

+

Figura 2.8: Posición del racional positivo m/n. m (donde m y n son naturan desde O en dirección negativa, determinando el punto

6. Para asignar un punto de la recta al racional negativo − les) copiamos el trazo OP mn P− mn . − mn

−

+

0

m n

+

+

+

Figura 2.9: Posición del racional negativo −m/n. Como ejemplo de esta asignación tenemos: −

−3

+

1

−1 − 2 0

1 2

1

3

+ + + + +

+

+

Figura 2.10: Ejemplo de asignaciones. Observemos que cada número racional x corresponde a la medida del trazo OP x y entonces por esta construcción podemos concluir que los números racionales efectivamente sirven para medir algunos trazos dirigidos en la recta numérica. Dado que cualquier trazo dirigido puede ser copiado sobre la recta numérica, podemos pensar en asociar medida a trazos arbitrarios, sin embargo, los números racionales no nos bastan para ello como veremos en el siguiente ejemplo: La diagonal de un cuadrado de lado uno, no puede ser medida por un número racional, efectivamente supongamos que ésta tiene medida racional q,

1

q 1

Figura 2.11: Cuadrado de lado unitario. entonces por el Teorema de Pitágoras tenemos que: q 2 = 12 + 12 , es decir q 2 = 2.

40

Capítulo 2. Los Números Reales

Veremos a continuación que q no es un número racional. m donde m y n son Si q fuera un número racional, entonces tendría la forma q = n enteros sin divisores comunes, entonces q2 =

m2 = 2. n2

Por lo tanto, m2 = 2n2 (∗), de donde m2 es un número par y por lo tanto m también es un número par. Sea entonces, m = 2p, donde p es un entero. Reemplazando el valor de m en (*), tenemos que 4p2 = 2n2 y por lo tanto n2 = 2p2 , es decir n2 es un número par, de donde se obtiene que n también lo es. Hemos concluido que m y n son números pares, luego ambos son divisibles por dos, lo que contradice la elección de m y n. Con esto hemos demostrado por contradicción que la medida de la diagonal del cuadrado no es un número racional. Como éste, existe una infinidad de ejemplos de trazos que no pueden ser medidos con números racionales, pero como estos trazos pueden ser copiados sobre la recta numérica determinando puntos de ella que no corresponden a números racionales, nuestra limitación es equivalente a no tener números para todos los puntos de la recta. Al agregar números para todos los puntos de la recta se obtiene el conjunto de los números reales. Los números reales no sólo sirven para medir todos los trazos dirigidos sino también para medir todas las áreas y volúmenes. Por ejemplo si r es un real y es la medida del trazo: r

Figura 2.12: Trazo de largo r . también es el área del rectángulo de lados r y 1: r 1

Figura 2.13: Rectángulo de lados r y 1. A = r · 1 = r . También lo es el volumen del paralelepípedo de lados r , 1 y 1: r 1 1

Figura 2.14: Volumen del paralelepípedo de arista r , 1 y 1. V = r · 1 · 1 = r.

2.1. Sistemas Numéricos

41

La suma de dos reales está asociada a la suma de trazos dirigidos: z |

r +s }| }|

{z r

{z s

{ }

Figura 2.15: Suma de dos reales. El producto podemos asociarlo al área de un rectángulo: s r

Figura 2.16: Producto de dos números reales. A = r · s.

El cero corresponde a la medida del trazo OO y el uno a la medida del trazo unitario. La relación menor que entre números reales está dado por el orden de los puntos en la recta numérica en dirección de la semirecta positiva. A una colección de números reales la llamamos conjunto de números reales. Para formular las propiedades básicas de los números reales usamos los símbolos: +, ·, 0, 1, 0, sino ax + b tendría pendiente negativa y f no resulta inyectiva, puesto que la parábola (x − 2)2 + 3 se abre hacia arriba y como alcanza el mínimo en el vértice (x = 2) , entonces (x − 2)2 + 3 ≥ 3. Luego para x < 0 siempre es posible hallar algún valor de forma que ax + b coincida por ejemplo con 3. • Para que f sea biyectiva, necesitamos que: a·2+b =3

Si 2 a + b > 3, entonces f no es inyectiva, pues se tiene: Y

2

X

Si 2 a + b < 3, entonces f no es sobreyectiva en R, pues se tiene: Y

2

X

Luego las condiciones son: 2a + b = 3

∧

a>0

(∗)

Para probar que f es efectivamente una biyección sobre R, reescribimos nuevamente f usando las condiciones (∗).

f (x) =

  (x − 2)2 + 3       

ax + (3 − 2a)

si x ≥ 2 si x < 2 , a > 0

420

Apéndice A. Respuestas a Algunos Ejercicios

Inyectividad: (i)1. Sean x1 ≥ 2 , x2 ≥ 2: f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ (x1 − 2)2 + 3 = (x2 − 2)2 + 3 =⇒ (x1 − 2)2 = (x2 − 2)2 =⇒ |x1 − 2| = |x2 − 2|

x1 >0 , x2 >0

=⇒

x1 − 2 = x2 − 2 =⇒ x1 = x2

(ii) Sean x1 < 2 , x2 < 2: a6=0

f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ ax1 + (3 − 2a) = ax2 + (3 − 2a) =⇒ ax1 = ax2 =⇒ x1 = x2 (iii) Sea x1 ≥ 2 y x2 < 2. x1 ≥ 2 =⇒ f (x1 ) = (x1 − 2)2 + 3 =⇒ f (x1 ) ≥ 3 x2 < 2 =⇒ f (x2 ) = ax2 + (3 − 2a) < 2a + (3 − 2a) < 3

Luego, f (x1 ) 6= f (x2 ).

Por lo tanto f es inyectiva. Sobreyectividad: Rec1 (f ) = { y ∈ R / ∃ x ∈ [2, +∞[ ∧ f (x) = y } como

= { y ∈ R / ∃ x ∈ [2, +∞[ ∧ (x − 2)2 + 3 = y }

(x − 2)2 + 3 = y =⇒ (x − 2)2 = y − 3 =⇒ |x − 2| = Luego: y − 3 ≥ 0 =⇒ y ≥ 3 Así:

p p x≥2 y − 3 =⇒ x = 2 + y − 3 ≥ 2

Rec1 (f ) = [3, +∞[

Rec2 (f ) = { y ∈ R / ∃ x ∈]∞, 2[ ∧ f (x) = y }

= { y ∈ R / ∃ x ∈ [2, +∞[ ∧ ax + (3 − 2a) = y } ahora: a6=0

ax + (3 − 2a) = y =⇒ x =

y − (3 − 2a) a>0 < 2 =⇒ y − (3 − 2a) < 2a a

=⇒ y − 3 < 0 =⇒ y < 3

A.6. Autoevaluación 3

421

de donde:

Rec2 (f ) =] − ∞, 3[

Como Rec(f ) = Rec1 (f ) ∪ Rec2 (f ), entonces Rec(f ) = R por lo tanto f es sobreyectiva en R. Así f es una biyección sobre R.

5. f −1 (x) =



g◦f

−1

(x) =

2x + 1 x −1

 x 2 − 10x + 2    −   (x − 1)2       

,x<

3x x −1

,

2 5

2 5

∨ x >4

≤ x ≤ 4

6. Consideramos el que:  1 2 9 f (x) = 1 − 2x 2 + x = −2 x − + 4 8

luego el gráfico de f aplicando traslaciones, dilataciones, etc., es:

Y 2(x-1/4)

(x-1/4)

x

2

2

2

X

K

2 (x-1/4)

K

C

2

9/8

2 (x-1/4)

2

422

7.

Apéndice A. Respuestas a Algunos Ejercicios

a) Dom(f ) = R − {1}, Rec(f ) = Z 6= R, luego f no es sobre en R. b) El gráfico de f es: Y

1

c)

 x x − 1 = 3 =⇒ 3 ≤ −1 0 =⇒ cos(α) =

De (2) : sen(β) > 0 =⇒ sen(β) = Luego:

(1)

(2)

p √ 1 − sen2 (α) = 1 − x 2 p √ 1 − cos2 (β) = 1 − x 2



 cos arc sen(x) + sen(2 arc cos(x) = cos(α) + sen(2 β) = cos(α) + 2 sen(β) cos(β) = = (1 + 2x)

2. Tenemos que α+β+γ =

p p 1 − x2 + 2 1 − x2 x

p 1 − x2

π π =⇒ γ = − (α + β) 2 2

(∗)

y se tiene:  π  (∗) sen(2α) + sen(2β) + sen(2γ) = sen(2α) + sen(2β) + sen 2 − (α + β) 2

426

Apéndice A. Respuestas a Algunos Ejercicios

= sen(2α) + sen(2β) + sen (2(α + β)) Prostaf. = 2 sen(α + β) cos(α − β) + sen (2(α + β))

= 2 sen(α + β) cos(α − β) + 2 sen(α + β) cos(α + β) h i = 2 sen(α + β) cos(α − β) + cos(α + β) Prostaf. = 4 sen(α + β) cos(α) cos(−β)  π − γ cos(α) cos(β) = 4 sen 2 = 4 cos(γ) cos(α) cos(β)

3.

a) Aplicando la función seno en la igualdad se tiene

arc sen(x) = arc cos(x) + arc sen(3x − 2)

(∗)



   sen arc sen(x) = sen arc cos(x) + arc sen(3x − 2)        =⇒ x = sen arc cos(x) ·cos arc sen(3x−2) +cos arc cos(x)·sen arc sen(3x−2) p

1 − x2 ·

p

1 − (3x − 2)2 + x · (3x − 2) 1 =⇒ 6x 3 − 15x 2 + 12x − 3 = 0 =⇒ x = 1 ∨ x = 2 Reemplazando en (∗) para x = 1, se tiene: =⇒ x =

arc sen(1) = arc cos(1) + arc sen(1) que se satisface trivialmente. 1 , se tiene: 2 1 1  1 arc sen = arc cos + arc sen − 2 2 2 de donde se obtiene: π π π = − 6 3 6 lo que es válido.   1 Por lo tanto las soluciones de (∗) son: 1 , 2 Reemplazando en (∗) para x =

A.8. Autoevaluación 4

427

b)

(1 − tan(x))(sen(2x) + 1) = 1 + tan(x) =⇒ sen(2x) + 1 − tan(x) sen(2x) − tan(x) = 1 + tan(x) sen(x) =0 cos(x)   1 =0 =⇒ 2 sen(x) cos(x) − sen(x) − cos(x)   cos2 (x) − sen(x) cos(x) − 1 =⇒ 2 sen(x) =0 cos(x)   − sen2 (x) − sen(x) cos(x) =⇒ 2 sen(x) =0 cos(x)   sen(x) + cos(x) 2 =0 =⇒ −2 sen (x) cos(x) =⇒ 2 sen(x) cos(x) − 2 sen2 (x) − 2

=⇒

4.

a)

  sen(x) = 0       



=⇒

tan(x) = −1

α

     

x = kπ

,k ∈Z ∨    π   x = − + kπ 4

 α  2

1 + cos(2α) 2 2 1 − cos(2α) α α α   1 + cos(2α) 2 2 α = sen + 2 sen cos + cos + 2 2 2 2 1 − cos(2α) α α 2 2 cos (α) cos + = 1 + 2 sen 2 2 1 + 2 sen2 (α) − 1 sen

+ cos

+

= 1 + sen(α) + cot2 (α)

b) ∀ x ∈ R : cos(x) + cos(2x) + cos(3x) + cos(4x)      x  x 3x 7x Prostaf. = 2 cos cos − + 2 cos cos − 2 2 2 2

428

Apéndice A. Respuestas a Algunos Ejercicios

= 2 cos

x  h 2

cos



3x 2



+ cos



7x 2

i

  x  5x Prostaf. cos cos(x) = 4 cos 2 2

5.

4b)

cos(x) + cos(2x) + cos(3x) + cos(4x) = 0 =⇒ 4 cos(x) cos

=⇒

                      

x  2

cos



5x 2



=0

  x = ± π + 4kπ           π π x = ± + 2kπ , k ∈ Z x = ± + 2kπ , k ∈ Z =⇒  2 2          5x π  x = ± π + 4 kπ = ± + 2kπ 5 5 2 2 x π = ± + 2k π 2 2

S = { ± π + 4kπ , ±

π π 4 + 2kπ , ± + kπ : k ∈ Z } 2 5 5

6. 

 2 bc cos(α) + ac cos(β) + ab cos(γ) = 2bc cos(α) + 2ac cos(β) + 2ab cos(γ) T.coseno 2 = (b + c 2 − a2 ) + (a2 + c 2 − b2 ) + (a2 + b2 − c 2 ) = a2 + b2 + c 2

7. cot

β  2

=

a+c ⇐⇒ b

cos

β 

    2 = a + c ⇐⇒ b cos β = (a + c) sen β β  b 2 2 sen 2

⇐⇒ 2b cos2

β 

= 2(a + c) sen

⇐⇒ 2b cos2

β 

= a sen(β) + c sen(β) ⇐⇒ 2b cos2

2

2

β  2

cos

β  2

T .seno

⇐⇒ 2b cos2 β  2

β  2

= (a + c) sen(β)

= b sen(α) + b sen(γ)

A.9. Autoevaluación 5

2

⇐⇒ 2 cos

⇐⇒ cos

2

429

β  2

β  2

Prostaf .

2

= sen(α) + sen(γ) ⇐⇒ 2 cos

= cos

Prostaf .

β  2

cos

⇐⇒ −2 cos

α − γ 

β  2

=⇒

2

sen             

β  2

= 2 sen

α + γ  2

cos

α − γ  2

β   β   α − γ  ⇐⇒ cos cos − cos =0 2 2 2

β + α − γ  4

β π = 2 2

sen

β − α + γ  4

=0

(1)

β+α−γ =0  4          β−α+γ   =0 4

(2)

(3)

(1) es imposible pues como se trata de los ángulos interiores de un triángulo, se tiene que: α + β + γ = π y la condición (1) equivale a β = π. De (2), se tiene: β + α − γ = 0 =⇒ π − γ − γ = 0 =⇒ 2γ = π =⇒ γ =

π 2

De (3), se tiene: β − α + γ = 0 =⇒ π − α − α = 0 =⇒ 2α = π =⇒ α =

π 2

De donde el triángulo resulta rectángulo.

Autoevaluación 5 1. a) i) Si n = 1 entonces 32 − 1 = 8 que es divisible por 8. ii) H.I. 32n − 1 es divisible por 8.

A.9

430

Apéndice A. Respuestas a Algunos Ejercicios

iii) P.D. 32n+2 − 1 es divisible por 8. Efectivamente: 32n+2 − 1 = 9(32n ) − 1 = (32n − 1) + 8

Por H.I. 32n − 1 es divisible por 8 y obviamente 8 también lo és. Por lo tanto 32n − 1 es divisible por 8.

b) i) Si n = 1 entonces 62 + 4 = 40 que es divisible por 5. ii) H.I. 6n+1 + 4 es divisible por 5. iii) P.D. 6n+2 + 4 es divisible por 5. Efectivamente: 6n+2 + 4 = 6(6n+1 ) + 4 = (6n+1 + 4) + 5 Por H.I. 6n+1 + 4 es divisible por 5 y obviamente 5 también lo és. Por lo tanto 6n+1 + 4 es divisible por 5. c) Es falso porque si por ejemplo n = 3 entonces 3 · 2 = 6 que no es divisible por 24. 2. Sea la P.G. de primer término d y razón s. Entonces a = dsp−1 , b = dsq−1 , c = dsr −1 Luego aq−r br −p c p−q = 3.

aq br c p d p+r +q sp q + rq + rp − p − q − r = =1 ar bp c q d p+r +q sp q + rq + rp − p − q − r

i) Si n = 1 entonces a1 = 4 = 2 · 31 − 21 .

ii) H.I. P(n) : an = 2 · 3n − 2n .

iii) P.D. an+1 = 2 · 3n+1 − 2n+1 Tenemos que an+1 = 5an −4·3n +3·2n = 5(2·3n −2n )−4·3n +3·2n = 6·3n −2·2n = 2·3n+1 −2n+1 . Luego an = 2 · 3n − 2n ; para todo n ∈ N. 4.

1 1 = 3 2+1 1 1 n ii) H.I. + · · · 2 = 3 4n − 1 2n + 1 i) Si n = 1 tenemos que

A.10. Capítulo 6

iii) P.D.

431

1 1 1 n+1 + ··· 2 + 2 = 3 4n − 1 4n + 8n + 3 2n + 3

1 1 1 n 1 H.I. + ··· 2 + 2 = + 3 4n − 1 4n + 8n + 3 2n + 1 (2n + 1)(2n + 3) = 5.

n+1 (2n + 1)(n + 1) = (2n + 1)(2n + 3) 2n + 3

i) Si n = 1 entonces 2 ≤ 2

ii) H.I. 2n ≤ 2n

iii) P.D. 2n + 1 ≤ 2n+1 H.I.

2n+1 = 2 · 2n = 2n + 2n ≥ 2n + 2n ≥ 2n + 2 i) Si n = 4 entonces 4! = 24 ≥ 16 = 24

6.

ii) H.I. n! ≥ 2n para n ≥ 4.

iii) P.D. (n + 1)! ≥ 2n+1

H.I.

(n + 1)! = n!(n + 1) ≥ 2n (n + 1) ≥ 2n · 2 = 2n+1

7.

i) Si n = 1 entonces el conjunto A = {a} y sus subconjuntos, es decir P(A) = {φ, {a}} es decir P(A) tiene 21 elementos.

ii) H.I. Si A tiene n elementos entonces P(A) tiene 2n elementos.

iii) P.D. Si A tiene (n + 1) elementos, entonces P(A) tiene 2n+1 elementos. Sea A = {a1 , a2 , ... , an+1 } entonces A = {a1 , a2 , ... an } ∪ {an+1 } Por H.I. P({a1 , ... an } tiene 2n ) elementos y a cada uno de ellos le agregamos el elemento an+1 y obtenemos otros 2n elementos distintos. Por lo tanto P(A) tiene 2n + 2n = 2n+1 elementos.

Capítulo 6 1 a)

n(n + 1) (2n + 4) 6

A.10

432

Apéndice A. Respuestas a Algunos Ejercicios

b)

4 n(n + 1)(n − 1) + n 3

c)

n(n + 1) (3n2 + 11n + 10) 12

2 a)

n(n + 1) (21n2 + 37n + 8) 12

b)

n n+1

c) 2n2 + n d)

(n + 1) (6m2 + 6m + 2n2 + n) 6

3 ak = 4k + 1,

2p X

ak = 6p2 + 7p + 1

k=p

4 No existe n ∈ N que satisfaga la igualdad 5 a) b)

1 n(n + 1)2 (n + 2) 12 n 2n + 1

6 a) n

n + 1 2

+

1  n+1

b)

n(n + 1) (3n2 + 11n + 4) 12

c)

1 2n

d)

n(n + 1) (7n2 + 10n − 5) + n 6

n (1 − n) − n 2 n(n + 1) n impar: 2

e) n par:

f) n2 (n − 1) +

n(n + 1)3n − 1) 6

A.10. Capítulo 6

8 a) 1 −

433

1 + 1)

2n (n

1 (n + 1)! 1 5 3 c) − + 2(n + 1) 2(n + 2) 4 b) 1 −


2 9 n (n + 1)( (2n + 1) + 2n(n + 1) − 2) + 1 3 2

2

10 ar +1 − ar = r (10r + 2),

n X k=1

k4 =

  1 n(n + 1)(2n + 1) 3n(n + 1) − 1 30

11 n4  1 n  2 n  12 4 − 3 3 13 n(220 − 1) 14 7.224 15 Deuda:1.820.000 pesos en 13 pagos 16 3, 5, 7, 9 22 17 23 a = 0 y a =

1 8

24 134.062.500 25 290 26 8.344

434

Apéndice A. Respuestas a Algunos Ejercicios

      50 50 50 27 − − 24 25 27 29 (n + 2)

2n−1 n




  1 n 2n 30 a) 4 n   2n b) n 36 a) nx(1 + x)n−1 b) n(n − 1)x 2 (1 + x)n − 2 + nx(1 + x)n−1 c) (1 + x 2 )n d) 0 e) 2n−1 (2a + dn) f) a(1 + q)n 37


2x(x n − 1) 
i 2 2  1 1 1 h (n + 1)x n  n+ − 1 + 1 + − 2 x −1 (x − 1)2 (x − 1) (x − 1)2 (x − 1)2 (x − 1)2

38 3n

Autoevaluación 6

A.11

1. Sean a1 = 1, a2 = 2, ... an = n entonces como tenemos la desigualdad que A > G nos queda: a1 + · · · an √ > n a1 · · · an n Por lo tanto  n + 1 n 1 + ··· + n √ n(n + 1) √ n n > n! ↔ > n! ↔ > n! n 2n 2

A.11. Autoevaluación 6

2. Dado que:

435

    n n−1 k =n y xk = 5 + (k − 1)7 = −2 + 7k k k −1

tenemos que  n   50   50  X X X n n n−1 xk = −2 + 7n = −2(2m − 1) + 7n2n−1 k k k −1 k=1

k=1

3. a)

k=1

50 50 50 50 X X X X 2 2 (2k − 1) = 4 k −4 k+ 1 = 166.750 k=1

b)Dado que:

k=1

k=1

k=1



   n−1 n k1 (−1) n = . k −1 k k

Entonces:  n  X n−1 3k n (−1)k k k −1

= (

n   X n k=0

k =2

k

(−1)k

3k ) − (1 − 3n) k

= (1 − 3)n + 3n − 1 = (−2)n + 3n − 1.

4.

n+1 X k X k=3 i=2

   n+1 X k−1 X k k−i i k (−1) 2 = (−1) 2k−i−1 i −1 i i



k=3 i=1

    k n+1  X k  1 X  X i k i k k−i−1 k1 = (−1) 2k−i−1 − (−1)k (−1) 2 − (−1) 2 2 i i k=3

=

1 2

i=1

i=1

n+1  X k=3

50


(1 − 2)k − 2k − (−1)k = 4(1 − 2n−1

5. (1 − x) (x =

50 X k=0

−1

2

+1+x )=

(−1)k x 49−k +

50 X k =0

1 x

+1+x

2

(−1)k x 50−k +

50 X

(−1)k x 50−k

k=0

50 X

(−1)k x 52−k

k=0

Luego el coeficiente de x 25 es:       50 50 50 − − 24 25 27

436

Apéndice A. Respuestas a Algunos Ejercicios

6. (3x + 2)

19

  19  19  X X 19 19 k 19−k = (3x) (2) = (3)k x k (2)19−k k k k=0

k=0

Buscamos k entre 0 y 19 tal que:     19 k 19−k 19 3 (2) = 3k+1 (2)19−k−1 k k +1 Esto se da para k = 11es decir los coeficientes de x 11 y x 12 son iguales y valen: (139)(17)(19)313 29 ) 7)

 n   X n 1 + 2 + ··· + k k=1

k

k

n   X n k(k + 1) = k 2k k=1

  X n n   n n 1 X = k + 2 k k k=1

Dado que

k =1

    n n−1 k =n k k −1

La sumatoria nos queda:

 X n−1  n   1 X n − 1 n = n + = 2n−2 (n + 2) 2 k k k=0

Capítulo 7 1

3 4 − i 25 25

2 Re =

3 11 , Im = 13 13

3 Re =

7 17 , Im = 13 13

4 x =3±i

k=1

A.12

A.12. Capítulo 7

5 x 2 − 2x + 17 6 i 7

1 25

8 x = 1, y = −1 10 a) z + u = −1 b) zu = −8 + 14i z 4 7 =− + i u 5 10 √ d) |(z − u)| = 5 13.

c)

√ 11 a) 2 10 √ 4 b) 2 2 12 a) x = i, −1 − i b) x =

i √ √ √ i 1h √ √ √ √ √ 1h (1 + 3 + 5) − (1 + 5 − 3)i , (1 − 3 − 5) + ( 5 − 3 − 1)i 2 2

√  1 1 ± 3i 14 z = 2 3 + 2i 2 3 b) z = + i 4

15 a) z =

π 17 a) 2cis(− ) 6 π b) 2cis( ) 3 √ √ c) 3cis(arctan(− 2))) d)

√

√ 3(cis(arctan( 2)))

437

438

Apéndice A. Respuestas a Algunos Ejercicios

e) 5cis(arctan(5)) f) 20cis(π) 4 g) 5(cis(arctan(− ))) 3 π h) 7cis(− ) 2 19 21005 cis(837, 5π) 21 a) z =

√ −π + 6kπ 6 2cis( ), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.) 18

23 = (−1)n 2 cos(

nπ ) 3

4x 3 − 2x x4 − x + 1 8x + 1 b)x 3 − x 2 − 2 + 2 x +x +1

28 a) = x 3 − x 2 + 1 +

30 a) Cuociente= 2x 3 − 10x 2 + 27x − 59, Resto= −118 b) Cuociente= −x 3 + 4x 2 + 8x + 24, Resto= 72 c) Cuociente= (n − 1)x n−2 + (n − 2)x n−3 + · · · + 2, Resto=

1 . (x − 1)

31 p = 2, q = 3 33 a = −3, b = 4.



 35 P(x) = 10(x − 1/2)  x 36 x = 1 + 2i, 2, −1

r  r    3 3  1 + 5    1 − 5      −   2  x −  2 

A.12. Capítulo 7

37 x = 2 + 3i, 2 − 3i, −1, −1 38 a) x =

2 3

b) x = −1 c) No tiene 39 a) Si b) No c) Si 42 a) 2, 3, 3, −4, −4, −4 3 3 3 b) −7, , , , 2 2 2 c) 2, 2, 2, −5 d) −1, −1, 2, 2, 2 5 e) − , 3, 3 3 43 a) x 3 − 7x 2 + 17x − 15 b) x 3 − 4x 2 + 36x − 144 c) 3x 3 − 17x 2 + 27x + 11 d) 6x 3 + 21x 2 − 12x + 7. 45 k =

1 5

46 a =

32n−1 − 4 32n − 4 , b = n2n−1 (n + 1)2n−1

439

440

Apéndice A. Respuestas a Algunos Ejercicios

Autoevaluación 7 1.

a)

A.13 3−i 3−i 3−i + 4 − 3i = 1 + i =⇒ = −3 + 4i =⇒ z + i = z +i z +i −3 + 4i =⇒ z + i =

5 − 9i 1 34 1 34 =⇒ z = − i =⇒ z = + i 25 5 25 5 25

b) Sea z = x + yi, de la condición |z + i| =

1 , se tiene: |z + i|

|z + i|2 = 1 =⇒ |x + (y + 1)i| = 1 =⇒ x 2 + (y + 1)2 = 1 =⇒ x 2 + y 2 + 2y = 0

(1)

Ahora, de la condición |z + i| = |1 + z| , se tiene: |x + (y + 1)i| = |(x + 1) + yi| =⇒ |x + (y + 1)i| = |(x + 1) − yi| =⇒ x 2 + (y + 1)2 = (x + 1)2 + y 2 =⇒ x = y Reemplazando en (1), se tiene: 2y 2 + 2y = 0 =⇒ y = 0 ∨ y = −1 Por lo tanto los z ∈ C que satisfacen la condición pedida son: z1 = 0 + 0i , z2 = −1 − i

2. Por el algoritmo de división sabemos que p(x) = (x 3 − x) c(x) + r (x) donde el grado de r (x) es menor que el grado de q(x) = x 3 − x

A.13. Autoevaluación 7

441

Por lo tanto r (x) = a x 2 + b x + 2, además: p(0) = 4 =⇒ r (0) = 4

(1)

p(1) = 1 =⇒ r (1) = 1

(2)

p(−1) = 3 =⇒ r (−1) = 3

(3)

Reemplazando (1), (2) y (3) en r (x), se tiene: a = −2 , b = −1 , c = 4

por lo tanto el resto de dividir p(x) por q(x) = x 3 − x es: r (x) = −2x 2 − x + 4

3.

a) Como p(x) tiene coeficientes reales y 1 + i es una raíz de p(x), entonces 1 − i también es raíz de p(x), de donde p(x) es divisible por:       x − (1 + i) x − (1 − i) = (x − 1) − i) (x − 1) + i) = x 2 + 2x + 2 dividiendo p(x) por x 2 + 2x + 2, se obtiene resto igual a (b + 2a + 2)x + (c − 2a − 4)

y como éste debe ser el polinomio nulo, se tiene que: b + 2a + 2 = 0 =⇒ c − 2a − 4 = 0

b + 2a = −2

(I)

c − 2a = 4

Además como q(x) = p(x 2 ) tiene a x = −2 como raíz, entonces q(−2) = p(4) = 0 =⇒ p(x) tiene a 4 como raíz.

Luego: p(4) = 0 =⇒ 64 + 16a + 4b + c = 0 =⇒ 16a + 4b + c = −64 Resolviendo el sistema (I) junto a la ecuación (II), se tiene que: a = −6 , b = 10 , c = −8

(II)

442

Apéndice A. Respuestas a Algunos Ejercicios

b) Como las raíces de x 2 + x + 1, satisfacen x 2 + x + 1 = 0, tenemos: x 6 + 4x 5 + 3x 4 + 2x 3 + x + 1 = (x 6 + x 5 + x 4 ) + 3x 5 + 2x 4 + 2x 3 + x + 1 = x 4 (x 2 + x + 1) + 2(x 5 + x 4 + x 3 ) + x 5 + +x + 1 = x 4 (x 2 + x + 1) + 2x 3 (x 2 + x + 1) + (x 2 + x + 1) + (x 5 − x 2 )

= x 4 (x 2 + x + 1) + 2x 3 (x 2 + x + 1) + (x 2 + x + 1) + x 2 (x 3 − 1)

= x 4 (x 2 + x + 1) + 2x 3 (x 2 + x + 1) + (x 2 + x + 1) + x 2 (x − 1)(x 2 + x + 1) = 0

De donde las raíces de x 2 + x + 1, satisfacen x 6 + 4x 5 + 3x 4 + 2x 3 + x + 1 = 0

4.

a) Tenemos: (1 + i) = =⇒ (1 + i)4n = Luego

√

2 cis

π 

y

4

 √ π 24n cis 4n · 4

(1 − i) =

(1 − i)4n

y

 π 2 cis − 4  √ π = 24n cis −4n · 4

√

(1 + i)4n − (1 − i)4n = 22n (cis(nπ) − cis(−nπ)) 2n

=2







cos(nπ) + sen(nπ)i − cos(−nπ) − sen(−nπ)i = 22n cos(nπ) − cos(nπ) = 0

b) zk = i

2k

+i

−1000k

2

+ (i −19 ) + |1 − i| = (i ) + k

= (−1) + 1 +

=⇒ zk =

           

2 k



1 −i



1 (i 1000 )k

+



1 i 19





+ (1 − i)2

√ + ( 2)2 = (−1)k + 3 + i

  =⇒ zk = 3 + (−1)k + i

  Re(zk ) = 4 4 + i , si k es par =⇒ , k es par  Im(z ) = 1 k

      Re(zk ) = 2     2 + i , si k es impar =⇒ , k es impar    Im(z ) = 1  k

A.13. Autoevaluación 7

443

5. Como el resto la dividir p(x) por x − c es p(c), entonces: p(c) = 3c 3 + 12c − 3 =⇒ c 4 − 3c 3 + 11c 2 + 15 = 3c 3 + 12c − 3 Luego c satisface la ecuación: c 4 − 6c 3 + 11c 2 − 12c + 18 = 0 La única solución real es 3, por lo tanto c = 3.

6.

a) α1 = z − z 4 y α2 = z 2 − z 3 , luego:  2  2     α12 · α22 = z − z 4 · z 2 − z 3 = z 2 − 2z 5 + z 8 · z 4 − 2z 5 + z 6

    2 3 4 = z − 2 + z · z − 2 + z = z 6 − 2z 2 + z 3 − 2z 4 + 4 − 2z + z 7 − 2z 3 + z 4

z 5 =1

z 5 =1

= z − 2z 2 + z 3 − 2z 4 + 4 − 2z + z 2 − 2z 3 + z 4 = −z 4 − z 3 − z 2 − z + 4

Luego α12 · α22 = −z 4 − z 3 − z 2 − z + 4. Ahora

z 5 − 1 = 0 =⇒ (z − 1)(z 4 + z 3 + z 2 + z + 1) = 0 z6=1

Así:

= z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0 =⇒ z 4 + z 3 + z 2 + z = −1 α12 · α22 = −z 4 − z 3 − z 2 − z + 4 = −(−1) + 4 = 5

    b) Tenemos: z = sen(α) − sen(β) − i cos(α) − cos(β) , luego escribimos z en forma polar, esto es z = |z|cis(θ), ahora: r    |z| =

sen(α) − sen(β)

2

+ cos(α) − cos(β)

p = 2 − 2 sen(α) sen(β) − 2 cos(α) sen(β) p = 2(1 − (sen(α) sen(β) + 2 cos(α) sen(β))

2

444

Apéndice A. Respuestas a Algunos Ejercicios

=

p

2(1 − cos(α − β)) = =⇒ |z| = 2 sen

Además θ es tal que: cos(θ) = y

sen(α) − sen(β) α − β  = 2 sen 2

2 sen

cos(α) − cos(β) α − β  = 2 sen 2 α + β h π πi ∈ − , . Luego: donde 2 2 2

z = 2 sen =⇒ z 40 = 240

7.

4

α − β  2

2

2 sen

2 sen

α − β  2

2

, α 6= β

cos

α + β 

α − β 

2

= cos

2

α + β  2

α − β 

sen2

α − β 

−2 sen

sen(θ) =

r

sen

β − α

α − β 

cis

2

α + β 

= sen

2

2

α + β  2

α + β 

2 α − β    sen40 cis 20α + 20β 2

a) Se tiene: p(x) = (x 2 − 1)q(x) + (16x − 6), dividiendo p(x) = x 3 − 6x 2 + (b2 + 12)x − 2a por x 2 − 1, se obtiene cuociente x − 6 y resto r (x) = (b2 + 12)x − (2a + 6) como el resto debe coincidir con 16x − 6, se tiene: b2 = 4 , a = 0 =⇒ a = 0 , b = ± 2 √ b) Como p(x) tiene coeficientes reales y α = 2 − 3i es raíz de p(x), entonces √ α = 2 + 3i también es raíz de p(x), luego p(x) es divisible por:  √  √   √  √  x − (2 − 3i) x − (2 + 3i) = (x − 2) + 3i) (x − 2) − 3i)

A.14. Capítulo 8

445

= (x − 2)2 + 3 = x 2 − 4x + 7

Dividiendo p(x) por x 2 − 4x + 7, se obtiene cuociente x − 2 y resto r (x) = (b2 − 3)x + (14 − 2a) como el resto debe ser el polinomio nulo, se obtiene: b2 = 3 , a = 7 por lo tanto

p(x) = x 3 − 6x 2 + 15x − 14

y de aquí se obtiene que la única raíz real es x = 2.

Capítulo 8 3 x = 4. √ 4 x = ln(2 2 + 3) 5 x =0 6 a) x = −6 b) x = 1 31 18 d) x = e − 2 c) x =

e){2, 4} f) x = 6 g)x =

√ 7

h) {1, 9} i) φ

A.14

446

Apéndice A. Respuestas a Algunos Ejercicios

7 4f (x) 8 a) Dom(f ) = R, Rec(f ) = R+ , Dom(g) =]1, ∞[, Rec(g) = R 10 2x 11 a) x = 20, y = 5 b) x = 100, y = 10 12 a) Dom(f ) = R − {0}, Rec(f ) = R b) Dom(f ) =]1, ∞[, Rec(f ) = R+o c) Dom(f ) = R, Rec(f ) = [−1, ∞[ d) Dom(f ) = [1, ∞[, Rec(f ) = R+0 e)Dom(f ) = R+ , Rec(f ) = Z 13 3000 14 a) 5 b) L = L0 1015−0,4m 15 ∼ 5.234 años 16 a) 3 b) I = 108,3 I0 17 a)En el año 2010:∼ 7, 24 miles de millones. El año 2037. b) A = 600e3,75t c)A0 ∼ 50, 34 conejos. En 12 años más habrán ∼ 667.294.644 conejos.

A.15. Autoevaluación 8

447

18 a) Aproximadamente en 17 horas y 19 minutos quedarán solo 50 gramos. b)A las 8 horas hay aproximadamente 0, 02 gramos.

Autoevaluación 8

A.15

1. Se trata de determinar t de modo que y0 1 = y0 e−0,3 t =⇒ e−0,3 t = =⇒ −0, 3 t = ln 2 2 =⇒ t =

  1 =⇒ −0, 3 t = − ln(2) 2

ln(2) =⇒ t ∼ 2, 31 0, 3

Luego demoraría aproximadamente 2 años y 3 meses.

2.

0 ≤ ln(x 2 − x) ≤ 1 =⇒ e0 ≤ eln(x

2 −x)

El dominio de la inecuación está dado por:

≤ e1 =⇒ 1 ≤ x 2 − x ≤ e |{z} |{z} I)

II)

x 2 − x > 0 =⇒ x(x − 1) > 0 =⇒ x ∈ R− ∪ ]1 , +∞[ • Para I)

√ √ 1+ 5 1− 5 ]∪[ , +∞[ x − x ≥ 1 =⇒ x − x − 1 ≥ 0 =⇒ x ∈] − ∞ , 2 2 2

2

• Para II) 2

2

x −x ≤ e =⇒ x −x −e ≤ 0 =⇒ x ∈]−∞ ,

1−

√

√ 1 + 4e 1 + 1 + 4e ]∪[ , +∞[ 2 2

La solución de la inecuación está dada por √ √ √ √ \ 1− 5 1+ 5 1 − 1 + 4e 1 + 1 + 4e (] − ∞ , ]∪[ , +∞[) (] − ∞ , ]∪[ , +∞[) 2 2 2 2 √ √ 1 − 1 + 4e 1 + 1 + 4e =] − ∞ , ]∪[ , +∞[ 2 2

448

3.

Apéndice A. Respuestas a Algunos Ejercicios

i) Sean x1 , x2 ≤ 0 f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ eg(x1 ) − 1 = eg(x2 ) − 1 =⇒ eg(x1 ) = eg(x2 ) g inyec.

e inyec.

=⇒ g(x1 ) = g(x2 ) =⇒ x1 = x2

ii) Sean x1 , x2 > 0     ln inyec. f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ ln 2 − g(x1 ) = ln 2 − g(x2 ) =⇒ 2 − g(x1 ) = 2 − g(x2 ) g inyec.

=⇒ g(x1 ) = g(x2 ) =⇒ x1 = x2

iii) Sean x1 ≤ 0 y x2 > 0 , entonces: f (x1 ) = e

g(x1 )

−1

 y f (x2 ) = ln 2 − g(x2 )

Ahora, por hipótesis , g(x) ≤ 0 , ∀ x ∈ R, luego



eg(x) ≤ e0 = 1 , pues e es creciente Por lo tanto Además:

eg(x) − 1 ≤ 0 =⇒ f (x1 ) ≤ 0 g(x) ≤ 0 =⇒ −g(x) ≥ 0 =⇒ 2 − g(x) ≥ 2   =⇒ ln 2 − g(x) ≥ ln(2) > 0 =⇒ f (x2 ) > 0

De i), ii) y iii), f (x) es inyectiva.

4. Sea t0 tal que y(t0 ) = 500 eln(81) t0 = y0 , se trata de hallar t tal que y(t) = 500 eln(81) t = 3 y0 esto es:  81 t  eln(81) t = 3 =⇒ ln(3) = ln(81) t − ln(81) t =⇒ ln(3) = ln 0 eln(81) t0 81 t0

t = 3 =⇒ t = 3 t0 t0 Luego, cada 3 horas se triplica el número de bacterias en este cultivo. =⇒

A.15. Autoevaluación 8

449

5. 9x · 3y

= 27

2x y · 4x =

=⇒

(32 )x · 3y

= 33

32x+y =⇒

2x y · (22 )x = 22

4

2x + y

= 33

2xy+2x = 22

= 3 (1)

=⇒ xy + 2x = 2 (2) De (1) : y = 3 − 2x , y reemplazando en (2), se tiene: x(3 − 2x) + 2x = 2 =⇒ 2x 2 − 5x + 2 = 0 =⇒ x = 2 ∨ x =

1 2

Por lo tanto las soluciones al sistema son los puntos: 1  , 2 , (2 , −1) 2 6.

a) Debemos hallar t0 de modo que 3 N0 = N0 e0,1 t −→ 0, 1, t = ln(3) =⇒ t =

ln(3) = 10, 896 0, 1

Por lo tanto el tiempo transcurrido es de aproximadamente 10 meses y 29 días. b)

 x  2 5x − 25x = −6 =⇒ 5x − 52 = −6 =⇒ 5x − 5x = −6

Si z = 5x , entonces hay que resolver la ecuación:

z − z 2 = −6 =⇒ z 2 − z − 6 = 0 =⇒ (z − 3)(z + 2) = 0 =⇒ z = 3 ∨ z = −2 Pero z = 5x , luego z = −2 es imposible, por lo tanto: z = 3 = 5x =⇒ x ln(5) = ln(3) =⇒ x =

ln(3) ln(5)

450

Apéndice A. Respuestas a Algunos Ejercicios

7. Consideramos el tiempo inicial t0 = 0 como 1997, de donde se tiene: y (0) = y0 = 12 Para 2007 que corresponde a t = 10, se tiene: y(10) = 12 e10 k = 16 −→ e10 k =

ln(4/3) 4 =⇒ k = = 0, 029 3 10

Por lo tanto, el modelo exponencial, es de la forma: y(t) = 12 e0,029 t Por lo tanto para el año 2012 que equivale a t = 15 se tiene: y(15) = 12 e0,029·15 ≈ 23, 17 Luego la población estimada es de 23.177.000 habitantes.

Capítulo 9

A.16

1 Área: 29 2 P(−5, 1) 3 a) Si b) Si a, b 6= 0, entonces Si 4 Abscisa= 1 6 La simetral del trazo AB de ecuación:3y + 2x = 9 7 La circunferencia de centro C(2, 3) y radio 1 de ecuación (x − 2)2 + (y − 3)2 = 1 8 xy + 7y + x − 17 = 0, que corresponde a una hipérbola. √ √ √ √ 9 (2 + 8, 2 + 8), (2 − 8, 2 − 8) 11 k = − 12 y =

21 4

112 301 16 43 x+ ⇔y = x+ 77 77 11 11

13 Las rectas de ecuaciones:131x − 177y + 568 = 0 ∧ 181x − 57y + 368 = 0

A.16. Capítulo 9

451

14 La recta de ecuación 9x − 8y = 10 15 x 2 + y 2 − 6x − 4y − 13 = 0 16 29x 2 + 29y 2 − 15y − 113x − 228 = 0 1 925 17 (x + 10)2 + y + )2 = 2 4

18 (x − 1)2 + (y − 5)2 = 5, (x − 13)2 + (y − 1)2 = 5 √ 19 Longitud: 18 20 Distancia mínima: 5; distancia máxima:15. 21 9x 2 + 9y 2 − 19x − 3y − 30 = 0

44 2 3362 ) + y2 = , (x − 4)2 + y 2 = 10. 9 405 i 12 h 24 a) − ,0 5 22 (x −

b) m = 0 ∧ m = − c) m < −

12 5

12 , m ≥ 0. 5

2 1 25 (x − )2 + y 2 = 3 9 28 y 2 = −8x, F (−2, 0), D : x = 2 r 1785 29 Longitud: 128 31 x =

1 (y − 3)2 − 4, D : x = −7, eje:y = 3 121 1

 1 1 1 1 32 a) y = x − x, F , 0 , D : y = − , V , − , eje:x = 2 2 2 4 2  1 1  1  1 1 , eje:x = − b) y = x 2 − x, F − , 0 , D : y = , V − , 2 2 2 4 2 3 5 3 3 1 3 c) y = 2x 2 − 6x + 5, F , ,D : x = ,V , , eje:x = 2 8 8 2 2 2 2

452

Apéndice A. Respuestas a Algunos Ejercicios

  3 5  d) x = −y − 1, F − , 0 , D : y = − , V − 1, 0 , eje:y = 0. 4 4 

2

 5 33 Parábola de ecuación:(x − 2)2 = 2 y − 2 34 a) k < 8 b) k = 8 c) k > 8 35 y 2 = 2p(x − p) 36

x2 y2 + =1 36 20

40 k = ±1

Autoevaluación 9

A.17

1. La medida l del lado del cuadrado corresponde a la distancia del punto (5, 2) a la recta de ecuación: L : 2x + y = 7, esto es: l=

√ 5 |2 · 5 + 2 − 7| √ =√ = 5 5 4+1

de donde el área es 5 . Para obtener las coordenadas de los dos centros, basta intersectar la circunfe √ √ √ rencia de centro (5, 2) y radio 10(= 5 · 2), con L y se tiene: (x − 5) + (y − 2) = 10 =⇒ (x − 5)2 + (7 − 2x − 2)2 = 10 2x + y = 7 2

2

=⇒ x 2 − 6x + 8 = 0 =⇒ (x − 4)(x − 2) = 0 =⇒ x = 4 ∨ x = 2 Si x = 4, entonces una de las diagonales desde (5, 2) tiene como  punto  final al 9 1 punto (4, −1) y el centro del cuadrado es el punto medio, dado por , 2 2

A.17. Autoevaluación 9

453

Si x = 2, entonces la otra diagonal desde (5, 2) tiene como punto   final al punto (2, 3) 7 5 y el centro del cuadrado es el punto medio, dado por , 2 2 2. Como el centro O de la circunferencia está sobre la recta 2x − y = 1 , entonces es de la forma O(x0 , 2x0 − 1) .

Por otra parte, el radio r de la circunferencia corresponde a la distancia desde O a cualesquiera de los puntos A o B, por lo tanto si d denota la distancia, entonces: r 2 = d 2 (O , A) = d 2 (O , B) =⇒ (x0 + 3)2 + (2x0 − 4)2 = (x0 − 1)2 + (2x0 )2 =⇒ x0 = 3 Así el centro es O(3 , 5) y el radio es tal que r 2 = 40, y la circunferencia pedida es. (x − 3)2 + (y − 5)2 = 40

El área es por lo tanto 40 π 3. Como la elipse tiene focos en el eje Y y la longitud del eje menor es 6, entonces a = 3 y le ecuación de la elipse es de la forma x2 y2 + =1 9 b2 √ Como también pasa por el punto (2, 10), entonces: 4 10 + = 1 =⇒ b2 = 18 9 b2 de donde la ecuación de la elipse es: x2 y2 + =1 9 18

4. Los puntos A y B corresponden a la intersección de la recta x + 2y = 1 con la circunferencia x 2 + y 2 = 16, esto es: x = 1 − 2y

y x 2 + y 2 = 16 =⇒ (1 − 2y)2 + y 2 = 16

=⇒ 5y 2 − 4y − 15 = 0 =⇒ y = 2 ∨ y = −

6 5

454

Apéndice A. Respuestas a Algunos Ejercicios

Luego los puntos A y B son A(−3, 2) y B



17 6 ,− 5 5



El  centro O de la circunferencia buscada es el punto medio entre A y B, de donde 1 2 O , y el radio es la distancia desde O a cualesquiera de los puntos A o B, 5 5 estos es:

r=

s

16 5

2

 2 r 64 8 + = 5 5

Luego la ecuación de la circunferencia buscada es: 

1 x− 5

2

 2 2 64 + y− = 5 5

5. Sea P0 (x0 , y0 ) un punto cualquiera en el lugar geométrico, entonces: q • La longitud de la tangente desde P0 a C1 es d1 = x02 + y02 − 4 • La longitud de la tangente desde P0 a C2 es d2 =

q x02 + y02 − 9

• Como la suma de las longitudes es 5, entonces: q q q q 2 2 2 2 2 2 x0 + y0 − 4 + x0 + y0 − 9 = 5 =⇒ x0 + y0 − 4 = 5 − x02 + y02 − 9 q =⇒ x02 + y02 − 4 = 25 − 10 x02 + y02 − 9 + x02 + y02 − 9

q q 2 2 =⇒ 10 x0 + y0 − 9 = 20 =⇒ x02 + y02 − 9 = 2 =⇒ x02 + y02 − 9 = 4 =⇒ x02 + y02 = 13 Por lo tanto √ el lugar geométrico corresponde a la circunferencia de centro (0, 0) y radio 13.

A.17. Autoevaluación 9

6.

455

a) La circunferencia C puede reescribirse como:

 2 5 33 = (x − 2) + y + 2 2 2

Por lo tanto C tiene centro



5 2, − 2



y radio

r

33 2

b) Como la circunferencia C1 tiene el mismo centro que C, entonces la ecuación de C1 es: 2  5 = r2 (x − 2) + y + 2 2

y por las condiciones de tangencia, el radio corresponde a la distancia del centro a la tangente, esto es:   5 8 − 12 − − 1 13 2 √ =√ r= 16 + 144 160

Por lo tanto:

 2 169 5 = C1 : (x − 2) + y + 2 160 2

7. Por las condiciones dadas, si P(x, y) es un punto cualquiera de la parábola P buscada, entonces: P(x, y) ∈ P =⇒ |x| =

p (x − 2)2 + (y − 1)2

=⇒ x 2 = (x − 2)2 + (y − 1)2 −→ (y − 1)2 = 4(x − 1) Luego la ecuación de P es: P : (y − 1)2 = 4(x − 1) y luego tiene foco en (2, 1), vértice en (1, 1) y directriz la recta x = 0 (eje Y).

456

Apéndice A. Respuestas a Algunos Ejercicios

Capítulo 10

A.18

1 a) Acotado inferiormente por 1 y superiormente por 2 que son ínfimo y supremo respectivamente b) Acotada inferiormente por 0 que es su ínfimo y no es acotada supriormente c) Acotada inferiormente por −1 que es su ínfimo y no está acotada superiormente d)Acotada inferiormente por −2 que es su ínfimo y superiormente por 7 que es su supremo e) No es acotada inferiormente ni superiormente f) No es acotada inferiormente y es acotada superiormente por premo

√

3 que es su su-

g) Es acotada inferiormente por 2 y no tiene ínfimo y no es acotada superiormente. 6 a)

2 3

b)n0 = 16.6724 8 l´ım an = n→∞

1 2

9 a) l´ım an = n→∞

2 3

b) l´ım an = 1 n→∞

c) l´ım an = 2 n→∞

d) l´ım an = − n→∞

e) l´ım an = 1. n→∞

1 6

A.18. Capítulo 10

457

10 a) l´ım an = 0 n→∞

b) l´ım an = 1 n→∞

c) l´ım an = n→∞

1 2

d) l´ım an = 0 n→∞

e) l´ım an = 3. n→∞

11 a) l´ım an = 1 n→∞

b) l´ım an = 1 n→∞

c) l´ım an = 1 n→∞

d) l´ım an = 0 n→∞

e) Diverge. 12 l´ım an = n→∞

7 300

14 l´ım an = 0 n→∞

15 l´ım an = 1 n→∞

18 l´ım an = 1 n→∞

19 l´ım an = 3 n→∞

21 a) l´ım an = n→∞

√ e

b) l´ım an = e3 n→∞

458

Apéndice A. Respuestas a Algunos Ejercicios

c) l´ım an = e4 n→∞

d) l´ım an = e−1 n→∞

a2 − bc e) l´ım an = e ab . n→∞

Autoevaluación 10

A.19

1. a) Veamos que 1 es el supremo de A. Para ello,es claro que

n < 1 así 1 es cota superior. n+1

Además, sea  > 0 y sea n0 ∈ N tal que n0 > Entonces 1 −  <

1− . 

n0 ∈A n0 + 1

2. Sea l1 = Sup(A) y l2 = Sup(B). Tenemos que l1 ≥ x, ∀x ∈ A y l2 ≥ y, ∀y ∈ B Por lo tanto l1 + l1 ≥ x + y, ∀(x + y) ∈ A + B

luego l1 + l2 es cota superior de A + B. Sea  > 0, entonces ∃x ∈ A, (l1 −

  < x) ∧ ∃y ∈ B, (l2 − < y). 2 2

Por lo tanto ∃(x + y) ∈ A + B ((l1 + l2 ) −  < (x + y))

Luego l1 + l2 = Sup(A + B)

b) Totalmente similar a la parte a)y c totalmente similar a d) d) Como l1 ≥ x, ∀x ∈ A, y como a < 0 tenemos al1 ≤ ax, ∀ax ∈ aA Por lo tanto al1 es cota inferior de aA.

A.19. Autoevaluación 10

Sea  > 0, entonces

459

  < 0, luego ∃x ∈ A (l1 + < x) Es decir a a ∃(ax) ∈ aA (al1 +  > ax)

Con lo cual queda demostrado que al1 = Inf (aA) 3. a) i) Si n = 1 entonces a1 = 3 > 1 ii) H.I. an > 1 iii) P.D. an+1 > 1 an+1 = Por lo tanto

1 an H.I. 1 1 + > + =1 2 2 2 2

∀n ∈ N(an > 1

i) Si n = 1 entonces a2 = 1 < a1 = 3 ii) H.I. an+1 < an iii) P.D. an+2 < an+1 1 + an+1 H.I. 1 + an < = an+1 an+2 = 2 2 Por lo tanto

∀n ∈ N an+1 < an

b)La sucesión es decreciente y acotada inferiormente por 1, por lo tanto es convergente. Supongamos que su límite es L, entonces l´ım an = L ↔ l´ım an+1 = L ↔ l =

n→∞

4.

n→∞

1+L ↔L=1 2

I) Usando inducción, veamos que (an )n∈N es decreciente. 1 1 n=1. a2 = 10 − = 10 − ≤ 10 = a1 a1 10 H.I. an ≤ an−1 n+1. Por H.I. 1 1 −1 −1 an ≤ an−1 =⇒ ≥ =⇒ ≤ an an−1 an an−1 1 1 =⇒ 10 − ≤ 10 − =⇒ an+1 ≤ an an an−1

460

Apéndice A. Respuestas a Algunos Ejercicios

II) Veamos usando inducción, que (an )n∈N es acotada inferiormente por 5. n=1. a1 = 10 ≥ 5 H.I. an ≥ 5 n+1 Por H.I. 1 1 1 1 1 1 ≤ =⇒ − ≥ − =⇒ 10 − ≥ 10 − =⇒ an+1 ≥ 5 an ≥ 5 =⇒ an 5 an 5 an 5 III) Por lo tanto, la sucesión es decreciente y acotada inferiormente, luego converge, esto es, existe L tal que l´ım an = L . Entonces n→∞

L = l´ım an = l´ım an+1 = l´ım 10 − n→∞

n→∞

n→∞

1 1 = 10 − an L

 √  24 L = 5 −    =⇒ L2 = 10L − 1 =⇒ ∨   √   L = 5 + 24

Así

l´ım an = 5 +

n→∞

√

24

, pues L ≥ 5

5. l´ım an = 0 n→∞

6. l´ım an = e3 n→∞

1 1 ≥ , ∀n ∈ N. Luego an an+1 se trata de una sucesión decreciente acotada inferiormente por cero, luego es convergente.

7. a)Dado que an > 0, ∀n ∈ N y que an ≤ an+1 , entonces

b) l´ım an = n→∞

26 37

c) l´ım an = 1 n→∞

Autoevaluación Final 1 d

A.20

A.20. Autoevaluación Final

2 b 3 e 4 c 5 d 6 b 7 d 8 a 9 c 10 b 11 d 12 a 13 e 14 d 15 b 16 c 17 a 18 a

461

462

Apéndice A. Respuestas a Algunos Ejercicios

B

BIBLIOGRAFÍA

TEXTOS

B.1

Barnett,R.Precálculo: Algebra, Geometría analítica y Trigonometría, Limusa SaDeC.v, 1992 Larson,R.Precálculo,Reverte,2008. Mejía,F., Alvarez,R., Fernandez,H. Matemáticas previas al cálculo, Sello editorial Universidad de Medellin, 2005. Penney, E.Cálculo con Geometría analítica,Prentice Hall, cuarta edición, 1996. Stewrt,J.,Lothar,R.,Saleem,W. Precálculo: Matemáticas para el cálculo,Cengage Learning, sexta edición, 2011. Studer,M. Precálculo: Álgebra, trigonometría y geometría analítica, Cultura Moderna, 1995. Sullivan, M. Precálculo Pearson educación, 1998. Warez A. Álgebra y trigonometría con geometría analítica,eBooksGratis, 2012. 463

464

Apéndice B. BIBLIOGRAFÍA

VIDEOS

B.2

Números irracionales precálculo 01.003, YouTube: http://www.youtube.com/watch? v=LY9Y_yRplkk Inecuaciones(desigualdades) precálculo 01.064, YouTube: www.edutube.cl/index. php?view=video&id=2637 Ecuaciones cuadráticas precálculo 01.061, YouTube: http://www.youtube.com/watch? v=h05DyUA6Qik&list=PLCD3521CF378C98DE&index=3 ¿Qué es una función? precálculo 02.001, YouTube: http://www.youtube.com/watch? v=u23IFOyTwAM&list=PL0A140456779C0ED7&index=1 Funciones crecientes y decrecientes precálculo 02.002, YouTube: http://www.youtube. com/watch?v=8BYfy72iLAw&list=PL0A140456779C0ED7&index=2 Factorizando polinomios con 6x cuadrado precálculo 01.049, YouTube: http://www. youtube.com/watch?v=JwBuCqtLUyI&list=PL9B72923BDCB5E663&index=15 Video preCalculo: tu.tv/tags/precalculo Videos tutoriales de PreCalculo: www.tareasplus.com/pre-calculo Schaum’s Outline PreCalculus, YouTube: www.youtube.com/match?v=9c9nGjjZI-k Guías y videos educativos: precálculo-James Stewart. u1v.blogspot.com/2011/ 09/precalculo-james-stewart.html Introducción a los límites - Pre Calculo, YouTube: http://www.youtube.com/watch? v=FmU6EOe-52o

divisible, 267

acotado, 350 acotado inferiormente, 350 acotado superiormente, 349 amplitud, 144 antecedente, 14 argumento, 256 Axioma del supremo, 56 axiomas de campo, 42 axiomas de cuerpo ordenado, 56

ecuación, 58 conjunto solución de una, 58 de segundo grado, 59 método de completación de cuadrados, 59 lineal o de primer grado, 59 solución, 58 eje ecuaciones de transformación para rotaciones, 341 ángulo de rotación, 341 eje imaginario, 255 eje real, 255 ejes ecuaciones de translación, 324 translación, 323 elipse, 328 centro, 329 eje focal, 329 eje mayor, 329 eje menor, 329 focos, 328 lados rectos, 329 vértices, 329 exponenciación real de a, 361

bicondicional, 3 circunferencia centro, 310 ecuacion enforma general, 311 ecuación en forma reducida, 310 eje radical, 316 radio, 310 recta tangente, 313 conjugado de un número complejo, 251 conjunción, 3 consecuente, 14 contradicciones, 12 contraejemplo, 11 convergencia, 362 Convergencia al número a, 362 coseno, 139 cota inferior, 349 cota superior, 349 cuantificador, 6 “ existe un único”, 7 existencial, 7 universal, 6 cuociente, 269

factorial, 191 forma canónica, 250 forma polar, 256 frecuencia, 144 funciones n-ésimo término, 124 función acotada inferiormente, 109 acotada superiormente, 109 biyección de A sobre B, 92 cero, 104 composición, 87 compuesta, 87 cota inferior, 108

definición, 19 demostración, 19 por contradicción, 21 por contraposición, 22 desplazamiento de fase, 144 diagrama de Venn, 25 disyunción, 3 465

466

cota superior, 108 creciente, 107 decreciente, 107 estrictamente creciente, 104 estrictamente decreciente, 104 impar, 103 inyectiva, 90 monótona, 107 negativa, 101 no creciente, 107 no decreciente, 107 par, 103 parte entera, 117 periodo, 110 periódica, 110 positiva, 101 raíz, 101 relación inversa, 90 sobre B, 92 uno a uno, 90 función exponencial natural, 286 fórmula de Herón, 169 gráfico, 81 hipérbola asíntota, 335 centro, 335 eje focal, 335 eje transverso, 335 equilátera, 336 focos, 333 vértices, 334 imagen, 78 implicación, 3 inecuación, 61 conjunto solución de la inecuación, 61 de segundo grado, 62 lineal o de primer grado, 62 solución, 61 intersección de conjuntos definición, 194

Index

lenguaje matemático, 1 lugar geométrico, 345 lógicamente equivalentes, 13 mayor, mayor o igual, menor o igual, positivo y negativo, 47 menor que, 46 máximo, 350 mínimo, 350 módulo, 256 módulo de un número complejo, 251 negación, 2 número instrumento, 37 natural, 37 racional, 37 real, 40 cero, 41 conjunto, 41 menor que, 41 producto, 41 suma, 41 uno, 41 paradoja del mentiroso, 29 parte imaginaria del complejo, 248 parte real del complejo, 248 parábola cuerda focal, 321 directriz, 317 eje, 317 foco, 317 lado recto, 321 vértice, 317 periodo, 144 plano complejo, 255 polinomio complejo, 275 real, 275 predicados, 5 preimagen, 78 Primer Principio de Inducción, 183 productoria, 193

Index

progresión aritmética definición, 194 progresión armónica definición, 195 progresión geométrica definición , 194 promedio aritmético, 223 promedio armónico, 223 promedio geométrico, 223 proposiciones, 2 proposición simple, 4 radián, 138 raíz, 266 recta distancia de un punto a, 307 ecuación forma común, 305 punto-pendiente, 304 simétrica, 305 inclinación, 302 pendiente, 302 rectas paralelas, 303 perpendiculares, 303 relación binaria, 78 resto, 269 semirecta positiva, 38 seno, 139 sumatoria, 191 supremo, 350 tabla de verdad, 11 tangente, 139, 143 teorema de las proyecciones, 168 trazo unitario, 38 trivialmente verdadera, 10 unión de conjuntos definición, 193 variables, 5 verdades lógicas, 12

467

ínfimo, 350