Algebra Lineal XXVI: La Regla de Cramer. Jos´e Mar´ıa Rico Mart´ınez Departamento de Ingenier´ıa Mec´anica Facultad de Ingenier´ıa Mec´anica El´ectrica y Electr´onica Universidad de Guanajuato email: [email protected] En estas notas mostraremos la validez de la regla de Cramer para la soluci´on de sistemas de ecuaciones lineales. Considere un sistema de m ecuaciones con m inc´ognitas dado por a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + . . . + a1m xm a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + . . . + a2m xm .. .. .. .. .. . . . . . am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + . . . + amm xm

= =

= b1 = b2 .. .. . . = = bm

Que puede escribirse en forma matricial como ~ =B ~ AX ~ ∈ Rm × m es el vector de inc´ognitas y B ~ ∈ Rm es el donde A ∈ Mm es la matriz de coeficientes, X vector de t´erminos independientes. Teorema. Suponga que det A 6= 0; es decir la matriz A es no singular o invertible, entonces la i−´esima componente del vector de inc´ognitas est´a dado por xi =

det(A1

~ A2 · · · Ai−1 B det A

Ai+1

· · · Am )

~ =B ~ puede escribirse como Prueba: El sistema AX ~ x1 A1 + x2 A2 + · · · + xi−1 Ai−1 + xi Ai + xi+1 Ai+1 + · · · + xm Am = B

1

Entonces, determine ~ Ai+1 · · · Am ] = det[A1 A2 · · · Ai−1 (x1 A1 + x2 A2 + · · · + xi−1 Ai−1 det[A1 A2 · · · Ai−1 B +xi Ai + xi+1 Ai+1 + · · · + xm Am ) Ai+1 · · · Am ] = det[A1 A2 · · · Ai−1 x1 A1 Ai+1 · · · Am ] + det[A1 A2 · · · Ai−1 x2 A2 Ai+1 · · · Am ] + · · · + det[A1 A2 · · · Ai−1 xi−1 Ai−1 Ai+1 · · · Am ] + det[A1 A2 · · · Ai−1 xi Ai Ai+1 · · · Am ] + det[A1 A2 · · · Ai−1 xi+1 Ai+1 Ai+1 · · · Am ] + · · · + det[A1 A2 · · · Ai−1 xm Am Ai+1 · · · Am ] = x1 det[A1 A2 · · · Ai−1 A1 Ai+1 · · · Am ] + x2 det[A1 A2 · · · Ai−1 A2 Ai+1 · · · Am ] + · · · + xi−1 det[A1 A2 · · · Ai−1 Ai−1 Ai+1 · · · Am ] + xi det[A1 A2 · · · Ai−1 Ai Ai+1 · · · Am ] + xi+1 det[A1 A2 · · · Ai−1 Ai+1 Ai+1 · · · Am ] + · · · + xm det[A1 A2 · · · Ai−1 Am Ai+1 · · · Am ] = x1 det[A1 A2 · · · Ai−1 Ai Ai+1 · · · Am ] = xi detA Por lo tanto

~ Ai+1 · · · Am ) A2 · · · Ai−1 B det A Es importante se˜ nalar las limitaciones de la aplicaci´on de la regla de Cramer para la soluci´on de sistemas de ecuaciones lineales. El sistema debe tener el mismo n´ umero de ecuaciones que de inc´ognitas, es decir la matriz de coeficientes, A, debe ser cuadrada y, adem´as, detA 6= 0, implica que la matriz de coeficientes debe ser no-singular. Es pues evidente la superioridad la generalidad del m´etodo de soluci´on de sistemas de ecuaciones mediante el escalonamiento del sistema. xi =

1.

det(A1

Problemas Resueltos. Problema 1. Considere el sistema lineal dado en forma matricial por M~x = ~b,

donde la matriz de coeficientes y el vector de t´erminos independientes est´an dados por     1 1 −2 2 5   3  1 0 −1   y ~b =  −3  M =  2   −1 2 1 3  1 3 4 0 1 Resuelva para x2 y x4 el sistema de ecuaciones, empleando la regla de Cramer. Soluci´ on. De acuerdo con la regla de Cramer, las soluciones para x2 y x4 est´an dadas por ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ 1 −2 2 1 ¯ 1 2 5 ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 −3 0 −1 ¯ ¯ 3 1 0 −3 ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −1 2 1 3 ¯ ¯ −1 2 1 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 ¯ 3 1 0 1 ¯ 4 0 1 ¯ ¯ y x4 = ¯ ¯ x2 = ¯¯ ¯ 1 −2 2 5 ¯ ¯ ¯ 1 −2 2 5 ¯ ¯ ¯ ¯ 3 ¯ 3 1 0 −1 ¯¯ 1 0 −1 ¯¯ ¯ ¯ ¯ −1 2 1 3 ¯ ¯ −1 2 1 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 ¯ 3 ¯ 4 0 1 4 0 1 ¯ 2

donde el denominador es el determinante de la matriz de coeficientes, M , y su valor est´a dado, empleando la expansi´on de Laplace por columnas en base a la tercera columna, por ¯ ¯ ¯ 1 −2 2 5 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 1 −1 ¯ ¯ 1 −2 5 ¯ ¯ 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 0 −1 ¯ 1+3 2+3 ¯ ¯ ¯ ¯ |M | = ¯¯ ¯ = (−1) (2) ¯ −1 2 3 ¯ + (−1) (0) ¯ −1 2 3 ¯ −1 2 1 3 ¯ ¯ ¯ 3 4 1 ¯ ¯ 3 4 1 ¯ ¯ 3 4 0 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 −2 5 ¯ ¯ 1 −2 5 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 −1 ¯¯ +(−1)3+3 (1) ¯¯ 3 1 −1 ¯¯ + (−1)4+3 (0) ¯¯ 3 ¯ 3 4 ¯ −1 2 1 ¯ 3 ¯ =

(2)(6 + 9 + 4 + 6 − 36 + 1) + (1)(1 + 6 + 60 − 15 + 4 + 6) = 2(−10) + 1(62) = 42

El numerador para el c´alculo de x2 es el determinante de otra matriz que se denominar´a M2 , y su determinante, empleando el mismo procedimiento, est´a dado por ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 2 5 ¯¯ ¯ 1 1 5 ¯ ¯ 3 −3 −1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 −3 0 −1 ¯ ¯ = (−1)1+3 (2) ¯ −1 2 3 ¯¯ + (−1)2+3 (0) ¯¯ −1 2 3 ¯¯ |M2 | = ¯¯ ¯ ¯ ¯ 3 1 1 ¯ ¯ 3 ¯ −1 2 1 3 ¯ 1 1 ¯ ¯ 3 1 0 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 ¯ 1 5 ¯¯ 1 5 ¯¯ ¯ ¯ +(−1)3+3 (1) ¯¯ 3 −3 −1 ¯¯ + (−1)3+3 (0) ¯¯ 3 −3 −1 ¯¯ ¯ 3 1 ¯ −1 2 1 ¯ 3 ¯ =

(2)(6 − 27 + 1 + 6 − 9 − 3) + (1)(−3 − 3 + 15 + 45 + 1 − 3) = 2(−26) + 1(52) = 0.

Por lo tanto x2 =

0 |M2 | = =0 |M | 42

De manera semejante, el numerador para el c´alculo de x4 es el determinante de otra matriz que se denominar´a M4 , y su determinante, empleando el mismo procedimiento, est´a dado por ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 −2 2 1 ¯ ¯ 1 −2 1 ¯ ¯ 3 1 −3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 1 0 −3 ¯ = (−1)1+3 (2) ¯¯ −1 2 2 ¯¯ + (−1)2+3 (0) ¯¯ −1 2 2 ¯¯ |M4 | = ¯¯ ¯ ¯ 3 ¯ 3 4 1 ¯ ¯ −1 2 1 2 ¯ 4 1 ¯ ¯ 3 4 0 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 −2 1 ¯ ¯ 1 −2 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 −3 ¯¯ +(−1)3+3 (1) ¯¯ 3 1 −3 ¯¯ + (−1)3+3 (0) ¯¯ 3 ¯ 3 4 ¯ −1 2 1 ¯ 2 ¯ =

(2)(6 + 6 + 12 + 18 − 24 + 1) + (1)(1 + 18 + 12 − 3 + 12 + 6) = 2(19) + 1(46) = 84.

Por lo tanto: x4 =

|M4 | 84 = =2 |M | 42

Problema 2. Empleando la regla de Cramer, encuentre las soluciones de x1 y x4 en el siguiente sistema de ecuaciones 1x1 + 3x2 − 2x3 + x4 3x1 + 5x2 + 2x3 − 3x4 2x1 + 6x2 − 7x3 − x4 4x1 − 2x2 + 3x3 + 5x4

3

=

5

= 3 = −1 = 0

Soluci´ on. Primero calcularemos el determinante de la matriz de coeficientes ¯ ¯ ¯ 1 3 −2 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 5 2 −3 ¯ ¯ |A| = ¯ ¯ ¯ 2 6 −7 −1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 4 −2 3 5 ¯

Aqu´ı se presentar´a como calcular este determinante usando las propiedades del determinante, en base a sus columnas. Para tal f´ın vamos a sumar −3 veces la primera columna a la segunda columna, de manera similar, vamos a sumar 2 veces la primera columna a la tercera columna y −1 vez la primera columna a la cuarta columna. Debe notarse que de acuerdo con las propiedades de los determinantes, ´ vea las notas Algebra Lineal XX: Determinantes, ninguna de estas operaciones afecta el valor del determinante, por lo tanto ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 3 −2 1 ¯ ¯ 1 0 0 0 ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 5 2 −3 ¯¯ ¯¯ 3 −4 8 −6 ¯¯ ¯ |A| = ¯ ¯=¯ ¯ ¯ 2 6 −7 −1 ¯ ¯ 2 0 −3 −3 ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 4 −2 3 5 ¯ ¯ 4 −14 11 1 ¯

Despu´es de estos c´alculos es posible realizar la expansi´on del determinante en base a la primera fila, estas expansiones se denominan expansiones de Laplace, ¯ ¯ ¯ 1 0 0 0 ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −4 8 −6 ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 −4 8 −6 ¯¯ ¯ ¯ ¯ −3 −3 ¯¯ |A| = ¯ ¯ = 1 (−1)1+1 ¯¯ 0 ¯ ¯ 2 0 −3 −3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −14 11 1 ¯ ¯ ¯ ¯ 4 −14 11 1 ¯ = =

(−4)(−3)(1) + (8)(−3)(−14) + 0 − (−14)(−3)(−6) − (11)(−3)(−4) − 0 12 + 336 + 252 − 132 = 468.

Para calcular x1 aplicando la regla de Cramer se tiene que ¯ ¯ 5 3 −2 ¯ ¯ ¯ 3 5 2 ¯ ¯ ¯ −1 6 −7 ¯ ¯ ¯ 0 −2 3 |A1 | = x1 = |A| |A| donde

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ |A1 | = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

5 3 −1 0

¯ 1 ¯¯ ¯ −3 ¯¯ ¯ −1 ¯¯ ¯ 5 ¯

¯ 1 ¯¯ ¯ 5 2 −3 ¯¯ ¯ 6 −7 −1 ¯¯ ¯ −2 3 5 ¯ 3

−2

Aqu´ı se presentar´a como calcular este determinante usando las propiedades del determinante, en base a sus filas. Para tal f´ın vamos a sumar 5 veces la tercera fila a la primera fila, de manera similar, vamos a sumar 3 veces la tercera fila a la segunda fila, debe tambi´en notarse que usando la primera columna, s´olo se requieren dos de estas operaciones, pues el elemento 4, 1 es ya cero. Debe notarse que de acuerdo con las 4

´ propiedades de los determinantes, vea las notas Algebra Lineal XXIII: Determinantes de Matrices Transpuestas. Expansi´ on de Determinantes por Columnas, ninguna de estas operaciones afecta el valor del determinante, por lo tanto ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 5 3 −2 1 ¯¯ ¯¯ 0 33 −37 −4 ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 33 −37 −4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 ¯ ¯ ¯ 5 2 −3 ¯ ¯ 0 23 −19 −6 ¯ ¯ ¯ ¯ |A1 | = ¯ ¯=¯ ¯ = (−1)(−1)3+1 ¯¯ 23 −19 −6 ¯¯ ¯ −1 6 −7 −1 ¯ ¯ −1 6 −7 −1 ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −2 3 5 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 −2 3 ¯ ¯ ¯ 5 0 −2 3 5

= − [(33)(−19)(5) + (−37)(−6)(−2) + (−4)(23)(3) − (−2)(−19)(−4) − (3)(−6)(33) − (5)(23)(−37)]

= 3135 + 444 + 276 − 152 − 594 − 4255 = −1146 Por lo tanto x1 =

2.

−191 −1146 = 468 78

Problemas Propuestos. Problema 1. Considere el sistema lineal dado en forma matricial por M~x = ~b

´ donde la matriz de coeficientes es la matriz dada en el Problema 3 de las notas Algebra Lineal XIX: Rango de una Matriz y Matriz Inversa, y que se muestra a continuaci´on   1 −2 2 1 0  M1 =  3 −1 2 1 Suponga adem´as que 

 3 ~b =  −1  5 Resuelva el sistema de ecuaciones, empleando la regla de Cramer, y verifique la soluci´on empleando la ´ matriz inversa determinada en Algebra Lineal XIX: Rango de una Matriz y Matriz Inversa notando que ~x = M −1~b

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