ÁLGEBRA El algebra es la parte de las matemáticas que nos ayuda a efectuar operaciones con “números” aún sin saber específicamente de que número se trata. Mediante el proceso de “traducción” del leguaje cotidiano o común al lenguaje “algebraico” es como podemos comenzar a realizar operaciones y otro tipo de situaciones. Lo primero que debemos tomar en cuenta es algo llamado término algebraico. Este se compone de dos partes esenciales que son el coeficiente (mejor conocido como el “número” que acompaña al término) y la parte literal, esta ultima compuesta de una o varias variables y cada una de ellas elevada a un respectivo exponente. Entonces tenemos la siguiente composición para los términos algebraicos: 1. El coeficiente el cual va acompañado de su signo (positivo o negativo según sea el caso) 2. La parte literal y esta a su vez se compone de la siguiente manera: a. Variables que son la o las letras b. Exponentes a los cuales son elevadas cada una de las variables Puede que en un principio no quede del todo claro esto pero esperemos que con la siguiente tabla se explique un poco mejor: EXPRESIÓN

COEFICIENTE

PARTE LITERAL

VARIABLES

7a³b2 -8a²b -5m6n7

7 -8 -6

a³b2 a²b m6n7

a, b a, b m, n

EXPONENTE POR VARIABLE De a es 3, de b es 2 De a es 2, de b es 1 De m es 6, de n es 7

Una expresión algebraica es aquella que se forma por dos o más términos algebraicos los cuales se distinguen ya que cada uno tiene su respectivo signo. Dependiendo del número de términos que formen a la expresión esta tendrá diferentes nombres: a. Monomios.- Aquellas expresiones algebraicas que solo están compuestas por un término algebraico. Por ejemplo: 3a, -5m², 7a³b²c, 6x²y³z b. Binomios.- Aquellas expresiones algebraicas que están formadas por dos términos algebraicos. Por ejemplo: a+b, 5m²+3z³, -2y²-2xz³ c. Trinomios.- Aquellas expresiones algebraicas que están formadas por tres términos algebraicos. d. Polinomio.- Aquellas expresiones algebraicas que están formadas por cuatro o más términos algebraicos. En el lenguaje algebraico usaremos números y literales como símbolos para representar cantidades, como ya se ha dicho, con el fin de establecer generalizaciones, conceptos, fórmulas y otras expresiones, algunos ejemplos del lenguaje algebraico son: Lenguaje común Un número cualquiera El doble de un número más otro El triple de un número menos la mitad de otro La suma de los cubos de dos números El producto de tres números

Lenguaje algebraico a,b,c…x 2x+y 3x-y/2 X³+y³ xyz

Términos semejantes.-Son aquellos que tienen exactamente las mismas literales elevadas a los mismos exponentes. Ejemplos de términos semejantes: 8a³b², -5a³b², a³b² En caso de tener más de dos términos semejantes en una No son términos semejantes: a²b³, 7a²b, ab, 8a³b, 2

LEYES DE LOS

expresión algebraica, el asesor puede subrayar con un color distinto cada término semejante y así hacer más rápida la EXPONENTES distinción entre términos.

Potencia de potencia Elevemos a la quinta potencia, que se escribe: = = = Entonces = REGLA: Potencia de un producto Elevemos a la cuarta potencia el producto (ab), escrito así: REGLA Ej.Reducción de potencias en la división Hallar el cociente entre

REGLA: Ejemplos:

donde a ≠ 0

para cualesquiera números m y n

Exponente negativo en la division Si el exponente del numerador es menor que el exponente del denominador (y ambos tienen la misma base), se obtiene un cociente con exponente negativo: Hallar el cociente entre

donde a ≠ 0

Pero también: Entonces como ambos son iguales, concluimos que: REGLA: Ejemplos:

OPERACIONES ALGEBRAICAS Suma y resta En el caso de la suma y la resta lo que se hace es que para cada expresión algebraica de simplifican los términos semejantes de ellos. Por ejemplo: a) (3x+7) + (2x²-5x+6)=2x²-2x+13 b) (3x-7) – (2x²-5x+6)=-2x²+7x+1 c) 8y- -7x-[(3y-7x)-(2y-8x)]+5x = 8y- -7x-3y+7x+2y-8x+5x = 8y+7x+3y-7x-2y+8x-5x= 3x+9y Nota: Generalmente se acomodan de acuerdo a las variables y la los exponentes de cada uno de ellos, por ejemplo si la expresión algebraica es 3x+9x5+12x3-4x2+16x4 generalmente se acomoda así 9x5+16x4+12x3-4x2+3x Multiplicación Lo primero es la multiplicación de monomio con monomio y esta se efectúa multiplicando el coeficiente con el coeficiente (respetando las leyes de los signos) y la parte literal con la parte literal. Por ejemplo: (-7x2y)(4xy3)=(-7)(4)(x2y)(xy3)=-28x2+1y1+3=-28x3y4 monomio con polinomio y esta se efectúa multiplicando el monomio por cada uno de los monomios que conforman el polinomio. Por ejemplo: 3xy (2x² +3xy -5y²)= 6x³y + 9x²y²-15xy³

PRODUCTOS NOTABLES son los binomios al cuadrado o al cubo

“La Factorización.”

Considera el siguiente producto entre dos términos y observa su desarrollo:

Notamos que lo primero que se multiplica son los signos – por + pertenecientes a cada uno de los términos. Después siguen los coeficientes y al final las variables. BINOMIO AL CUADRADO (Cuadrado de una Suma) Éste es el más fácil de todos los productos notables, consta de dos términos representados por a y b. se escribe así: resolviendo…

(1) Tomamos el primer término

del primer binomio y lo multiplicamos por el primero del otro

binomio , escribiendo éste a continuación y no olvidando el producto de los signos (esto será importante para los siguientes productos notables pues algunos involucran signos diferentes). Seguimos entonces con el primer término del primer binomio y ahora es turno de multiplicarlo por

el segundo término (+b) del segundo binomio. Nótese que dejamos fijo

y “fuimos recorriendo” el

segundo binomio teniendo cuidado de realizar todos los productos entre y cada uno de los términos del binomio. Terminado esto, en (2) cambiamos por ( nuestro segundo término del primer binomio y ahora éste lo dejamos fijo y repetimos lo anterior, es decir, multiplicamos primero por por

y después

y los escribimos….. ejemplos

REGLA: trinomio cuadrado perfecto es el resultado de elevar al cuadrado un binomio. (Esto es muy importante para el método de completar cuadrados). Hay que hacer énfasis en cómo se debe de leer la expresión: Nos referiremos a como el “primer” término y a como el “segundo” término del binomio. “El cuadrado de un binomio es igual al “primer” término al cuadrado más el doble producto del “primero” con el “segundo” más el “segundo” al cuadrado” CUADRADO DE UNA DIFERENCIA Analicemos ahora

1) REGLA: “El cuadrado de una diferencia de dos números es igual a el cuadrado del “primero” menos el doble producto del “primero” por el “segundo” mas el cuadrado del “segundo” ” Ejemplo:

Entonces PRODUCTO ENTRE BINOMIOS CONJUGADOS El binomio conjugado consiste en multiplicar dos números uno de la forma cambiando el signo – por + en el segundo término Otra Forma:

.

y otro similar pero

REGLA: “El producto de dos binomios conjugados es igual a la diferencia entre sus cuadrados” (Nótese que hay un orden que debe respetarse, el término que nunca cambia de signo (que en este caso es x) es el minuendo de la resta (el primero en la resta)) Desarrolla Por el camino largo tenemos que multiplicar término a término y notar que se eliminan cosas: Entonces Pero como ya sabemos hacerlo de manera corta, tomamos

en

Entonces Otro Ejemplo: Entonces

BINOMIO AL CUBO La forma que estudiamos se puede llevar un poco más lejos y es de utilidad cuando queremos desarrollar un binomio elevado a la tercera potencia. Observa:

REGLA: Un binomio al cubo es igual a el cubo del “primero” más tres veces el producto de el cuadrado del “primero” por el “segundo” más tres veces el producto de el “primero” por el cuadrado del “segundo” más el cubo del “segundo”. No es recomendable recordar tan larga expresión. Es mejor entenderla, veamos: Observa que al inicio y al final se encuentran las potencias cúbicas de las letras que componen a nuestro binomio. Si se inicia a leer de izquierda a derecha y se observan a las potencias de (a), notamos que van disminuyendo a partir de 3, pasando por 2 y terminando en 1. La misma observación vale para las potencias de (b), éstas disminuyen si se lee de derecha a izquierda o aumentan de izquierda o derecha hasta llegar a 3. Los coeficientes de los términos que resultan ser 3. Nos recuerda que en el binomio al cuadrado el término que nos quedaba en medio también coincidía con la potencia máxima que estamos desarrollando. CUBO DE UNA DIFERENCIA Analicemos ahora:

REGLA: Notemos que los coeficientes y el orden en los exponentes permanece. Lo único que varía son los signos que ahora serán negativos en el segundo y último término. Ejemplo: Desarrollar Primer término: Segundo Término:

Entonces Ejercicios:

a)

b)

c)

PRODUCTO ENTRE BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN Como en los casos anteriores, realizaremos la multiplicación y el proceso largo para que valoremos la expresión final, nótese que ambos binomios sólo tienen a x en común mientras que difieren en sus segundos términos (a y b).

Nótese que factorizamos a x por ser término común de REGLA: Ejemplos Entonces

Entonces Ejercicios a) b) c) d) e) PRODUCTO ENTRE DOS BINOMIOS SIN TÉRMINO COMÚN

REGLA: Ejemplos: Entonces Entonces PRODUCTO ENTRE DOS FACTORES QUE DA UNA SUMA DE CUBOS Considera

REGLA: Ejemplos Entonces

. Entonces PRODUCTO ENTRE DOS FACTORES QUE DA UNA DIFERENCIA DE CUBOS Utilicemos ahora el mismo producto pero con unos cambios de signos (¿cuáles?)

REGLA: Ejemplos Entonces

Entonces Ejercicios: a) b) c) Ésta tabla resume los más importantes productos notables y su equivalencia en expresiones algebraicas. Suma al Cuadrado

Cuadrado de una Diferencia Producto de Binomios Conjugados Suma al Cubo Cubo de la Diferencia Producto entre Dos Factores que da una Suma de Cubos Producto entre Dos factores que da una Diferencia de Cubos Producto entre Binomios con un Término en Común Producto entre Binomios sin Términos en Común