Álgebra Vectorial Matemática

Álgebra Vectorial Matemática I- Introducción En diversas oportunidades nos hemos encontrado en temas relacionados con la Física, con magnitudes que

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Álgebra Vectorial Matemática

I-

Introducción

En diversas oportunidades nos hemos encontrado en temas relacionados con la Física, con magnitudes que quedan definidas mediante un número, las denominadas magnitudes escalares. Entre ellas, podemos citar la longitud, la masa, el volumen. Otras, en cambio, las magnitudes vectoriales, requieren además del número, para su definición, de elementos tales como dirección y sentido representados por segmentos orientados o flechas denominados vectores. Se cuenta entre estas últimas magnitudes, como ejemplo, las fuerzas, los desplazamientos, las velocidades, etc. II-

Vector

II-1- Definición. Sus elementos Se llama vector a todo segmento orientado, es decir, a todo segmento determinado por un par ordenado (a; b) de puntos. El punto a se llama origen y el punto b extremo del vector.



Para simbolizarlo usaremos ab o simplemente u

 u

b

a Los elementos de un vector son tres, a saber:  Dirección La dirección de un vector está dada por la recta que lo contiene o cualquiera de sus paralelas.  Sentido La orientación del vector sobre la recta, definida por su origen y su extremo, determina el sentido del mismo. En cada dirección hay dos sentidos. Gráficamente el sentido de un vector es indicado con una flecha. d c

h

b

g f

A a

B

e

POLITECNICO

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  



En la figura, los vectores ab; dc; ef y hg tienen la misma dirección pues están 



sobre las rectas paralelas A y B. Los vectores ab y ef tienen igual sentido y 



los vectores ab y hg tienen distinto sentido.  Módulo El módulo es la medida del segmento orientado. 



El módulo de un vector ab se simboliza ab Por todo lo precedente, podemos decir que el módulo de un vector es siempre un número no negativo, o sea

  u  0 u

Algunas definiciones: 

Diremos que dos vectores ab y cd poseen: 

Igual módulo: si la medida de los segmentos ab y cd son iguales, respecto a la misma unidad de medida.



Igual dirección: si ambos vectores están contenidos en la misma recta o rectas paralelas.



Igual sentido: o si teniendo la misma dirección e incluidos en rectas paralelas no coincidentes, los segmentos ac y bd no tienen ningún punto en común. b a

R

d T

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POLITECNICO

c

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o si teniendo la misma dirección e incluidos en la misma recta, existe un vector pq no incluido en dicha recta, que tiene igual sentido que ab y cd .

d b R a

q p

T



c

Distinto sentido o sentido opuesto: o si teniendo la misma dirección e incluidos en rectas paralelas no coincidentes ac y bd se intersecan en un punto los segmentos bd y

ac a R

b T

d

c

o si teniendo la misma dirección e incluidos en la misma recta, existe un vector pq no incluido en dicha recta, que tiene sentido opuesto a uno de ellos e igual al otro. c d b R a T 

p

q

Dado un segmento ab , se llama vector libre ab al conjunto de todos los vectores que tienen igual módulo, dirección y sentido que ab , incluido el propio ab . En lo sucesivo será indistinto trabajar con cualquiera de los elementos de dicho conjunto.

II-2- Vector nulo Llamaremos vector nulo a todo punto y lo notaremos o

POLITECNICO

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Álgebra Vectorial Matemática El vector nulo es el único que tiene módulo cero y que no tiene definido ni dirección ni sentido. II-3- Vectores iguales

Dos vectores son iguales cuando son nulos o tienen igual módulo, dirección y sentido. En símbolos:

  uv



  u  v      u  v  o  direc. u  direc. v sent. u  sent. v 

Ejemplo:

 u

 v  w

   uvw

II-4- Versor. Versor asociado Se llama versor o vector unitario a cualquier vector de módulo uno.

 u

 v  u0

 w

      v  w  u0  1  v ; w y u0 son versores

  Para tener en cuenta: u 0 por tener el mismo sentido que u recibe el nombre de  versor asociado a u

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POLITECNICO

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II-5- Vector opuesto Dado un vector cualquiera a , se llama vector opuesto de a y se simboliza - a , al b tal que:  bo     ab   b  a    a // b b  0 ; b     senta  sentb    

si 

ao

Para resolver

1) Dados los vectores de las figuras completa de modo que las siguientes expresiones resulten verdaderas a)

c 

........... es el extremo de bc

b b)

A B

 u  v

C

A // B // C

 w  t

......... y ........... tienen distinta dirección ......... y ........... tienen igual dirección ......... y ........... tienen distinto sentido

POLITECNICO

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Álgebra Vectorial Matemática

2) Dibuja los vectores a; b; c y t , sabiendo que 

La dirección de a es una recta horizontal y su sentido hacia la derecha, con a  3



La dirección de b es una recta vertical y su sentido hacia abajo con b 

1 a 2



b y c tienen igual dirección, igual módulo pero distinto sentido



t  a0



3) Dado a dibuja      a) v / v // a , sent. v  sent. a 



y v 

3  a 2



b) m / m  a  m  a 4) Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). justifica la respuesta

  a) u  u0

  b) En los vectores de la figura es u  v

 v

 u

    c) u // v  u0  v 0     d) a  b  a 0  b 0

III-

Operaciones entre vectores

III-1- Suma de vectores. Definición









Dados los vectores u y v , se denomina suma de los vectores u y v   vector que se nota u + v y se obtiene de la siguiente manera

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POLITECNICO

a un

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Fijado arbitrariamente un punto a, queda determinado un punto 



b tal que u  ab y a su vez queda determinado un punto c tal que      bc  v . Se llama suma de u y v al vector ac así obtenido.

 v

 u

v

b

 u

c   uv

a NOTA: se puede demostrar que la suma de vectores es independiente del punto a elegido y en consecuencia de los 



representantes ab y bc correspondientes. Para resolver

    1) Dados los vectores t ; u ; v y w de la figura  v  u  w  t i) Determina gráficamente   a) u + v   b) v + t   c) u  w ii) Completa con la relación de orden que corresponda:     u  v ............ u  v     v  t ............ v  t

    u  w ............ u  w 2) Prueba geométricamente que:

POLITECNICO

17

Álgebra Vectorial Matemática       a y b es a  b  a  b   3) Dibuja dos vectores u y v tales que:

   a) u + v = s    b) u + v = s

    s uv 

 s 0

  ¿Qué características tienen u y v en cada caso?

III-2- Suma de vectores- Propiedades

 



Dados a; b y c se puede probar la validez de las siguientes propiedades.

a) La suma de vectores es asociativa



 



      a bc  ab c

b) La suma de vectores es conmutativa

    ab  ba c) Existe el elemento neutro

    a se tiene a  o  o  a  a A o se lo denomina elemento neutro de la suma de vectores.

d) Existe el elemento opuesto

 

 a  -a/a  a  o

Para resolver

1) Suma los vectores indicados en cada uno de los casos siguientes si   v 2 y w 4

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POLITECNICO

Álgebra Vectorial Matemática

a)

b)

 w

 v  w

 v

c)

d)

 w

 w

 v

 v

 v

e)

 v

f)

 w

 w

   2) Dados los vectores a; b y c

 a

30º 15º

 b

 c

Dibuja:

     i) d / d  a  b   c 

POLITECNICO

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Álgebra Vectorial Matemática



     ii) e / e   a  b  c



III-3- Diferencia entre dos vectores

   a; b es

 

    ab  a b

 a  b

  ab

 b

 a

Para resolver 



1) Dados a y b de la figura  b

 a

Construye:

  a) a  b

  b)  a  b

  c) a  b

d) b  a

  e)  a  b

  ¿Cómo son los vectores a  b y b  a ?

2) Verifica usando propiedades de la suma de vectores que:

       a; c es a  m  c con m  c  a

  3) Verifica que si los vectores a y b con origen común determinan un     paralelogramo, los vectores a  b y a  b están sobre las diagonales del paralelogramo 10 1

POLITECNICO

Álgebra Vectorial Matemática

   4) Dados d; e y f  e

 d

 f

Dibuja cada uno de los siguientes vectores





     a) g / g  d  e  f     b) u /  d  e  u  f  0   5) Expresa en cada caso los vectores indicados en función de u y v a) 

bc = 

b

c

 u

cb =

 v a



ca = b) abcd es un paralelogramo 

d

cd =

c

 v



da = 

db = 

 u

a

ac =

b m

6)

n

En la figura tenemos un exágono

regular de centro o.

s

Nombra:

p

o



a) tres vectores iguales que qp

r

q



b) tres vectores iguales a om

POLITECNICO

11 1

Álgebra Vectorial Matemática 

c) 4 vectores con el mismo módulo que sm 

d) cuatro vectores con la misma dirección que oq  7)

Justifica la respuesta del apartado a) Analiza si la siguiente proposición es verdadera. Justifica.

 a  2     a  b  5 b  3   km 8) Un nadador quiere atravesar un río nadando a una velocidad v1  6 h en dirección perpendicular a la orilla; pero la corriente lo desplaza con una    km velocidad v 2  4 . Dibuja los vectores v1 y v2 (con una escala h     conveniente) y encuentra el vector v / v  v1  v2 . Este vector representa la  velocidad de desplazamiento del nadador. La dirección de v es la dirección real en que se mueve el nadador.  Calcula v observando que quedó determinado un triángulo rectángulo. IV-

Producto de un vector por un número real

IV-1 Definición



Llamamos producto de un u por un número real  , o producto de un número    por un vector u , a un vector v tal que: 





Si   0  u  0



Si   0  u  o  v  o

12 1

POLITECNICO

   v   .u     v // u v  .u     sentido de v  sentido de u si   0 sentido de v  sentido de u si   0 





Álgebra Vectorial Matemática

f

t

e

Ejemplos: d

1)

c b a 









ab  bc  cd  de  ef  t



ec   2t



fe   1t





bd  2t

cf  3t



af  5t

2)

d

a

 7 ab   d 3

b Para resolver  



9) Dibuja los vectores t ; l y m tales que 

a) t  0,5 a  5 b) l  a 3

a



c) m  3 a IV-2 Propiedades del producto de un vector por un número

  Para cualquier par de vectores u y v y los números reales  y  se pueden demostrar las siguientes propiedades

POLITECNICO

13 1

Álgebra Vectorial Matemática

    i)  u  v    u   v ii)

   u   u   u

  iii)  u     u

  iv) 1v  v Para resolver

  1) ¿Por qué 1u  u ?    2) Dados a ; b y c

 b

 a

 c

 Representa gráficamente w siendo:  1 2  w   a  b c 2 3 3) Siendo  v 1  v

1  v

e) dibuja   v y    v f) demuestra que

  1    v es el versor asociado v 0  de v v

IV-3 Vectores paralelos Dos vectores no nulos son paralelos cuando poseen la misma dirección En símbolos: a // b  dirección de a  dirección de b 14 1

POLITECNICO

Álgebra Vectorial Matemática Propiedad de los vectores paralelos 



Dados dos vectores paralelos u y v existe siempre un número real   λ λ  0 tal que v  λ u En símbolos: u // v   λ  R - 0/ v  λu Notemos que si: v  λ u , entonces   v u

de donde

 v    u

   como v y u son números reales y u  0 siempre existe el cociente

 v  que nos da el u

valor absoluto del número  buscado, en cuanto si es positivo o negativo dependerá   que u y v tengan igual o distinto sentido.

Para resolver  



1) a; b y c son los vectores paralelos cuyos sentidos están indicados en la figura con

   a  2; b  4 y c  3

 a  b

 c 







a) calcula  y  tal que a   b y b   c 









b) determina t si t  a  b  c  b

    2) En la figura a  3; b  6,5 a // b

 a

POLITECNICO

15 1

Álgebra Vectorial Matemática







3

Construye el vector v tal que v  a  b 5  3) Calcula el valor de k si k v  5 2 y

 v 2 2

4) Reproduce la siguiente figura y averigua cuánto vale el número x tal que   vx w

 v  w 

5) Sea la figura siguiente con ab  6 y 



construye el vector v tal que v  



cd  7.2 con respecto al centímetro,

1  2  cd  ab 3 3 c

b

a d





6) Se dan los vectores u y v de la figura, determina el valor de x tal que   vxu

 v

 u

  5 1 7) Se da un vector i . Dibuja los vectores : 5 i ;  i ; i , construye la suma 2 2   v de dichos vectores y determina x tal que v  x i

16 1

POLITECNICO

Álgebra Vectorial Matemática 8) Dibuja un triángulo abc cualquiera y marca dos puntos t y s tales que bt  ac y cs  ba . Determina, justificando tu respuesta si t, c y s están alineados.

V Sistema de coordenadas cartesiano ortogonal V -1- Definición Un sistema de referencia o de coordenadas cartesiano ortogonal en el plano está constituido por un punto fijo y dos versores perpendiculares con origen en él   Sea o el punto fijo, i y j los versores perpendiculares.

 j

 i En símbolos: o punto fijo   i  j

   o; i ; j : sistema de referencia cartesiano ortogonal

  i  j 1 V-2- Vector posición





  Dado en un plano el sistema de referencia o; i ; j , definimos como vector posición en el plano a todo vector con origen en ese punto o. Por consiguiente, 

cualquier punto p del plano determina el vector posición op   Por el extremo p trazamos las rectas perpendiculares a i y a j respectivamente, hasta cortar a las rectas que contienen a estos vectores. Sean a y b los puntos así obtenidos.

p

b

 j

 i

a a

POLITECNICO

17 1

Álgebra Vectorial Matemática

  Como oa es paralelo a i , según la propiedad de vectores paralelos, resulta:   oa   i con

luego:

  x p (abscisa del puntos p)   oa  x p i

+ de donde   oa  x p i

1

siendo

Análogamente

  sentido de oa  sentido de i

si

xp  0

  sentido de oa  sentido de i

si

xp  0

  ob  y p j con y p : ordenada del punto p

De acuerdo a la definición de suma de vectores es:      op  oa  ob  x p i  y p j

Entonces

   op  x p i  y p j



es la expresión canónica o cartesiana del vector op









Los vectores oa y ob se llaman componentes vectoriales de op



Los escalares xp e yp se llaman componentes escalares de op

18 1



POLITECNICO

Álgebra Vectorial Matemática

En símbolos : 

op  ( x p ; y p ) 

Queda establecida una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y los pares ordenados de reales que caracterizan dichos puntos en el sistema de referencia ubicado en él y entre estos últimos y los vectores de posición con extremos en los primeros.

Resumiendo:

p(x; y)

b

 j

 i

a



p

 

p x; y 



op

en un

 

o; i ; j 

Se llaman ejes coordenados a las rectas que pasan por o y tienen la dirección   de los vectores i (eje de las abscisas o eje de la x) y j (eje de las ordenadas o de las y)

Para resolver 1) Determina cuáles son las componentes escalares de   a) i b) j c) o 2) Completa de modo que resulten verdaderas las siguientes proposiciones a) px;....  eje de las abscisas con x  R b) p0; y   eje ........................ con y  R 3) Representa en distintos sistemas de referencia los siguientes subconjuntos de puntos

POLITECNICO

19 1

Álgebra Vectorial Matemática a) A  x; y  / x  2   1  y  3 b) B  x; y  / x  1  y  3 c) C  x; y  / x  2  y  1

2   d) D  x; y  / x    y  2  3   e) E  x; y  / x  Z ; y  Z ; x.y  12





f) F  x; y  / x  Z ; y  Z ; x 2  y 2  25

4) Caracteriza, en símbolos, a los siguientes conjuntos de puntos a)

A

 j

 i

b)

20 1

POLITECNICO

Álgebra Vectorial Matemática

c)

4

y C

2

 j

 i

-2

-4



5

2

x

-2 

-4 d)

2

y

 j

 i

x

y e)

2

x

5) Dados en un

 

o; i ; j  a4;1

y b 2;0 determina: 

a) componentes escalares de oa

POLITECNICO

21 1

Álgebra Vectorial Matemática 

b) componentes vectoriales de ob 



c) expresión cartesiana o canónica de oa y ob 

d) ob   e)  / ob   i

V-4 Componentes escalares de un vector no posición Dados en un



 

o; i ; j 

p 0 x 0; y 0





y p1 x1; y1

p1 x1 ; y1 

y1



p 0 x 0; y 0

y0

resulta: 



y1 y0

x1 x0

x0







x1

1







2

op0  p0 p1  op1  p0 p1  op1  op0 

2      3      4  p0 p1  x1 i  y1 j   x 0 i  y0 j   p0 p1  x1 i  x 0 i   y1 j  y0 j  

4



   p0 p1  x1 x 0 i   y1  y0  j

Expresión canónica o cartesiana de un vector en el plano

 Componentes escalares de



x1 x 0 i 22 1

y



 y1  y0  j

POLITECNICO

p0 p1 

son las componentes vectoriales de p0 p1

Álgebra Vectorial Matemática

(1) definición de resta de vectores (2) reemplazando a cada vector por su expresión cartesiana (3) propiedad de suma de vectores (4) propiedad del producto de un vector por un escalar Para resolver       1) Dados en un o; i ; j  a1;3 ; ob  i  2 j ; oc  0;3 , determina: 

a. la expresión canónica de ab 

b. componentes escalares de bc 

c. componentes vectoriales de ac 



d. representación gráfica de  ab y cb 2) Identifica los vectores de la figura

      a  4; 4; b  3;2; c  1;  1; d   2;  1; e  2; 5; f   3; 0

V- 5 - Igualdad de vectores





Los vectores u  u1; u 2  y v  v 1; v 2  , son iguales si y solo si sus componentes son iguales. En símbolos:

  u  v1 u v   1 u 2  v 2 Para resolver 3) Dados en un

 





 

o; i ; j ; a 2;3 ; oc  2i  j ; ob  2;5 , determina:

    a) la representación gráfica de u / u  ab  cp

POLITECNICO

23 1

Álgebra Vectorial Matemática b) analíticamente las coordenadas de p 



c) ¿es qr  ab ? siendo q 5; 0 y r 8; 2 . Justifica V- 6- Distancia entre dos puntos de un plano. Módulo de un vector







Dados los puntos p 0 x 0; y 0 y p1 x1; y1



teniendo en cuenta las componentes



vectoriales de p 0p1 y la aplicación del Teorema de Pitágoras, resulta:

p1 x1; y1 



Dist  p0p1   p0p1 2



pp 0

1



2

y 2



 p t  tp 0

1

y1  y 0

1

p0 x 0 ; y 0 

x1  x 0 de donde

x0

tx1; y 0  x1

x

    p 0 t  x 1  x 0  i  p 0 t  x 1  x 0  i  x 1  x 0     tp1  y 1  y 0  j  t p1  y 1  y 0  j  y 1  y 0

entonces resulta en (1) 

p 0 p1  pues x1  x 0

2

 x1  x 0 

2

y

x1  x 0 2  y1  y 0 2

y1  y 0

2

 y1  y 0 

2

Para resolver 1) Dado el punto p 1;  1 a) ¿Cuál de los siguientes puntos está a menor distancia de p? a2; 5 b 2;  5 c 0; 3 d 1;  1 b) ¿Cuáles de los puntos del apartado anterior pertenecen al círculo de centro p y radio 2? Justifica analíticamente tus respuestas. 24 1

POLITECNICO

Álgebra Vectorial Matemática

2) Dados a2; 5

b4;1 c 6; 5 prueba que el triángulo abc es isósceles.

3) Dada una circunferencia de centro c4;  3 que pasa por el punto p(9; 9), i.

determina la medida de su radio

ii.

averigua si dicha circunferencia pasa por el origen de coordenadas

V-7- Coordenadas del punto medio de un segmento determinado por dos puntos del plano

p1 x1; y1 

y1 y p0 x 0 ; y 0 

ym

m

y0 o

x0

x1

xm

x

Considerando el segmento cuyos extremos son los puntos p 0(x0;y0) y p1(x1;y1) con m(xm;ym) su punto medio ,resulta: 



p 0 m  mp 1 







(xm-x0) i + (ym-y0) j = (x1-xm) i + (y1-ym) j Aplicando la propiedad de vectores iguales en función de sus componentes se obtiene xm-x0 = x1-xm

ym-y0 = y1-ym

2xm =x1+x0

2ym =y1+y0

xm 

x1  x 0 2

ym 

 x1  x 0 y1  y 0  ;  2 2  

m

y1  y 0 2

POLITECNICO

25 1

Álgebra Vectorial Matemática

La abscisa y la ordenada del punto medio de un segmento determinado por dos puntos de un plano son iguales a la semisuma de la abscisas y de las ordenadas respectivamente, de los extremos del segmento Ejemplo: Calcula la medida de la mediana bm del triángulo determinado por los puntos:

 13  a  ; 2   2 

b 4; 7

c  3; 5

b

Calcular la medida de dicha mediana es calcular la distancia entre b y m, o sea

db; m 

x m  x b 2  y m  y b 2 a

m

Para esto se necesita calcular las coordenadas del punto medio m del lado ac

 13       3  19 x  xc  2  19 xm  a   2  2 2 2 4 ym 

 19 7   m  ;   4 2

ya  yc 2  5 7   2 2 2 2

2

2

2

205  19  7    19  16   7  14   db; m      4    7       = 4 16  4  2     2  La mediana bm mide

205 4

205 4

Para resolver 1) Sabiendo que los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos a 2; 4 y b4; 2 , determina las coordenadas del centro de dicha circunferencia y el radio de la misma.

26 1

POLITECNICO

c

Álgebra Vectorial Matemática 2) Calcula la distancia del origen de coordenadas al punto medio del segmento cuyos extremos son: p1  2; 3 y p2  4; 0 3) Si un extremo de un segmento es el punto (5; 3) y su punto medio es (8; 1) ¿Cuál es el otro extremo del segmento?

VI - Operaciones con vectores en el plano.

 

o; i ; j 

Dados   R y en un 

  u  v  u1  v1 ; u2  v2



  u   u1 ;  u 2 

  u  u1 ; u2  v  v1 ; v2  , se puede probar que:



Gráficamente:



u2  v2  j

 v

y

 v2 j  u2 j

 u

  u v

 j

 i

 u1i

 v1i

x



u1  v1 i

  u2 j

 u

y

 u

 u2 j  j

 i

 u1i

x

  u1 i

POLITECNICO

27 1

Álgebra Vectorial Matemática Para resolver: 1) Demuestra que dados los vectores, de componentes no nulas,

 a    a  a1 ; a2  y b  b1 ; b2  a // b  1  b1 2) Dados en un

 

o; i ; j 

a2 b2

los siguientes vectores:

   u  2i  3 j ;

      v  2i  4 j y w  i  7 j

Calcula:

  a) u  v

  c) w  u

 b) 3u

  d) 2u  5w

3) Realiza en cada uno de los siguientes casos, un gráfico- razona geométricamente sobre el mismo y halla las coordenadas de todos los puntos:

a. del semiplano de la izquierda del eje y que están a una distancia 3 del eje x y 2 del eje y. b. que están a una distancia 7 del eje x y 4 del eje y c. que están a una distancia 13 del punto (1; 0) y a una distancia 5 del eje x.

4) Halla, en cada caso, una condición algebraica que solo cumplen las coordenadas (x; y) de sus puntos: a. de la recta paralela al eje x que contiene al punto (3; 6) b. del eje y c. del semiplano de la derecha del eje y

28 1

POLITECNICO

Álgebra Vectorial Matemática

5) Completa el cuadro

Componentes escalares de

a

b

(2;4)

(4;-2)

Expresión canónica de

oa

 ob

 ba

(0;-2)



dist(a;b)

Coordenadas del punto medio de ab

(4;1) (4;0)

(5;-2)

(-1;1)

-3i+7j

6) Dado en un sistema ortogonal

 

o; i ; j  los siguientes vectores posición

   op1  4i  4 j    op2  4i  3 j



op3 

1 3  i j 2 2

a. represéntalos gráficamente b. indica sus respectivas componentes escalares c. halla el módulo de cada uno d. indica las coordenadas de los puntos p1; p2 y p3 









e. halla or / or  op1  op2  op3     f. halla os / or  os  0

POLITECNICO

29 1

Álgebra Vectorial Matemática

o; i ; j  los siguientes puntos: a 3;  3  

7) Dados en un

b 2; 3



y c 3; 2 



a. halla por sus componentes escalares el v  2 ac  cb



b. calcula el v 



c. calcula ab  bc





y ab  bc . Obtiene una conclusión. 

d. Escribe la expresión canónica de oa



y ob

e. Obtiene la expresión canónica del versor asociado a ac

8) Halla la distancia entre los puntos p1 3;  2 y p2 7;  5

9) Sean a2;1 y b5; 3 en un

 

o; i ; j , halla: 

a. la expresión canónica del ab b. indica sus componentes escalares y vectoriales c. halla las coordenadas del punto m, tal que 1 ma  ab y m  ab 2

     10) Dados los vectores a  2;1 ; b   1;4 y c  i  2 j ,

30 1

a.

   1 2   b halla las componentes escalares de: d  a  b  c  e si e   5 3 a

b.

calcula u / a  2u  4u  2b

c.

determina las componentes escalares de b 0



POLITECNICO



Álgebra Vectorial Matemática    11) Si b   1; 3 ; p0;  1 y b  pq , calcula las coordenadas del punto q. 12) ¿Qué coordenadas debe tener el punto p para que se verifique que    3 pq  2 qr  0 siendo q3; 2 y r- 1; 5 13) Calcula los números reales  y  tales que: 3;  2; 1  2; 2

 

o; i ; j  grafica el triángulo rectángulo cuyos vértices son:

14) En un

a 1; 3

3 1 b ;  y c 3;2 . 2 2 d. Verifica que ese triángulo es rectángulo 

e. Halla el área del a b c f. Halla la medida de la mediana correspondiente a la hipotenusa 15) Dados a 1; 2 

b2; 5

y c  2;1 halla las coordenadas de r tal que



cr  2 ab 16) Prueba que el cuadrilátero cuyos vértices son: a8;3; b6; 5; c  2;3 y d 0;  5 , es un rombo. ¿Puedes afirmar que es un cuadrado? ¿por qué? 17) Si a1; 2; b4; 0

y c 3;5 son tres de los vértices de un cuadrado, halla:

a) las coordenadas del cuarto vértice b) las coordenadas del punto de intersección de las diagonales c) la medida de las diagonales 18) Averigua si a1;1; b3; 3; c 5;3 y d 1;  1 son los vértices de un trapecio. Explica por qué.

POLITECNICO

31 1

Álgebra Vectorial Matemática 19) Demuestra que mrst es un paralelogramo si: m 3;  1; r  1; 3; s4; 3 y t 2;  1 determina el punto de intersección de las diagonales y calcula la medida de ellas.

20) Los puntos a 1; 0 y b 1; 6 son los vértices de la base de un triángulo isósceles. Calcula las coordenadas del tercer vértice.

21) Determina si las siguientes proposiciones son V (verdaderas) o F (falsas). Justifica.

    a) u  v  u  v   1 1  b) w   ;  es un versor 2  2

1  c) El punto medio del segmento ab es m ;1 , siendo 2  a 1; 3 y b2; 5 d) Los puntos p 1; 0; q0;1  un triángulo e)Si v  2 3

y t 2; 2 son vértices de   v  6 3    3

PRÁCTICA COMPLEMENTARIA 1) Marca con una cruz la respuesta correcta:      Dados en un o; i ; j  a 1;2 ; v  4;3 ; oc  3i  j siendo     1 a) oa  v  t  2i  j resulta 2  i) t  2i ii) t  10;4   iii) i  t iv)ninguna de las anteriores 



b) am  mc es:

3  i) m  2;  2  32 1

POLITECNICO

Álgebra Vectorial Matemática  1 ii) m1;   2 iii) m 2; 1 iv)ninguna de las anteriores    c) ac v  u resulta

  i) u  5i  ii) u  20;15  iii) u  10;15 iv)ninguna de las anteriores    d) t 0 es un versor paralelo a ac  v entonces  4 3 i) t 0   ;   5 5   8 6  ;  ii) t 0   10   10   6 6  ;  iii) t 0   72   72 iv) ninguna de las anteriores

e)

  x  ac  v resulta

i) ii) iii) iv)

x  10 x4 x  5 5 ninguna de las anteriores

  f) v  od resulta que i) a; c y d están alineados ii) a; c y d forman triángulo iii)el punto d y el punto a coinciden iv) ninguna de las anteriores      g) r // v  r  2  sent v  sent r entonces

  8 6  i) r    ;   25 25 

POLITECNICO

33 1

Álgebra Vectorial Matemática  8 6 ii) r   ;   5 5   8 6 iii) r    ;   5 5 iv) ninguna de las anteriores

2) Determina si las siguientes proposiciones son V (verdaderas) o F (falsas). Justifica tus respuestas

 

o; i ; j 

a) Dado en un

     oa  3; 3; bo   2;  2 ; oc  i  j y



bd  3; 1 abcd es un trapecio

b)

Dados en un           1 ñ o; i ; j  a 0;   ; b4;  3 ; u  2i  4 j  2 ab u  3x  0 las 2    10  componentes vectoriales de x son  i y 3 j 3

c) El área del triángulo isósceles cuyos vértices son

a2;  2; b 3;  1 y c1; 6 es

.6084 4

 15 11  d) El triángulo de vértices a 1; 2; b1; 0 y c ;  es rectángulo 4 4 no isósceles e) El vector

f)

 1  2  w i j es un versor 2 2

  u paralelo a v

   u v

  u v

 g) Si  u  4 2

34 1

POLITECNICO



 u  2 2 entonces   2

Álgebra Vectorial Matemática h)

En el rectángulo abcd la base es el doble de su altura, entonces: 



i) ab  cd 

b

c

a

d



ii) bc   da 

1  bc 2





iii) cd 

iv) bc  2 ab 





v) ad  ab cd

     3) Expresa u ; v y w en función de a y b y/o de sus opuestos. a

 b a  b  c w

 v

 u f

d

e

4)El cuadrilátero abcd está inscripto en una circunferencia de centro p(1;0). Si se sabe que a4; 4; b 3; 3 ; c 2;  4; d 5; y  a) Calcula el radio de la circunferencia b) Determina la ordenada del punto d , siendo y  0 c) ¿Es el cuadrilátero abcd un paralelogramo?. Justifica. d) Halla las coordenadas del punto q sabiendo que: 



qa  4 cm y que m es el punto medio de cb        5)Dados los vectores u  3; a  y v  i  2 j determina a; b / 2u  bv  c siendo   c i

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35 1

Álgebra Vectorial Matemática

Respuestas de la práctica complementaria

1) i x

a b c d e f g

ii

iii

iv

x x x x x x

2) a

b

c

d

e

f

g

x x x x x V x F No se presentan las justificaciones

x

i x

ii x

h iii x

iv

v

x

x

   u  ba

3)

   v  a  b    wb a

4)

a) e) f) g)

5)

a  5

r=5 –3 abcd es paralelogramo q2;18

b5

Bibliografía Apunte Cod 1301-12 ALGEBRA VECTORIAL- Autores varios

36 1

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