ALGEBRA VECTORIAL Y GEOMETRIA EUCLIDIANA

JOSE ALONSO

SALAZAR

CAICEDO

Trqbajo presentado como requisito parcial

para o b t e n e r la promoción a

profesor

asociado.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SECCIONAL M A N IZALES FACULTAD DE CIENCIAS 1992

Y ADMINISTRACION

i

% 1.

INTRODUCCION

L a s leyes del Algebra V e c t o r i a l asociadas a l c o n j u n t o de los s e g m e n t o s dirigidos del plano ( o del e s p a c i o ) , en

conexión con u n p r o d u c t o i n t e r i o r ,

p e r m i t e n d e m o s t r a r una g r a n v a r i e d a d d e proposiciones y t e o r e m a s de [a G e o m e t r í a Clásica relativamente

Euclidiana, utilizando

procedimientos y técnicas

simples.

Desde u n p u n t o de v i s t a d i d á c t i c o y p e d a g ó g i c o , surge el p r o b l e m a d e e x a m i n a r h a s t a c¡ué p u n t o es posible r e c u p e r a r g r a n p a r t e d e l a r s e n a l d e ideas - f r u c t í f e r a s que p r o p o r c i o n a b a n a o t r a s g e n e r a c i o n e s

textos

de G e o m e t r í a M é t r i c a y q u e hoy por hoy se h a l l a n s e p u l t a d o s b a j o los e s c o m b r o s de la l l a m a d a

"Matemática

Moderna'1 .

En las p á g i n a s g u e s i g u e n m o s t r a m o s a t r a v é s de u n e j e m p l o - l a caract e r i z a c i ó n V e c t o r i a l d e l O r t o c e n t r o d e un t r i á n g u l o — g u e es p o s i b l e escoger u n s e n d e r o , e n t r e los m ú l t i p l e s e x i s t e n t e s , q u e i l u m i n a d e manera s i m u l t á n e a varios aspectos de una m i s m a s i t u a c i ó n , a l t i e m p o g u e nos c o n e c t a con u n a r a m a f a s c i n a n t e de la M a t e m á t i c a : £1 A n á lisis

Vectorial.

u

PRELIMINARES

A s u m i r e m o s por p a r t e del l e c t o r , conocidas las propiedades e s e n c i a l e s de las operaciones suma y m u l t i p l i c a c i ó n por u n e s c a l a r en el c o n t e n t o d e l A l g e b r a V e c t o r i a l . S i n e m b a r g o , h a r e m o s un l i s t a d o d e ellas c o n el p r o p ó s i t o d e u n i f i c a r la t e r m i n o l o g í a y la n o t a c i o n u t i l i z a d a s a lo l a r g o del artículo.

U n v e c t o r en el p l a n o se r e p r e s e n t a m e d i a n t e un s e g m e n t o d i r i g i d o (Fig.1).

Figfl)

i U n v e c t o r de origen A y e x t r e m o B se s i m b o l i z a por A B , y cuando no es necesario e s p e c i f i c a r los p u n t o s A ^ B por rri u o t r a l e t r a m i n ú s c u l a olel a l f a b e t o c a s t e l l a n o con s u c o r r e s p o n d i e n t e f l e c h a e n c i m a .

iii La

longitud, módulo o n o r m a del vector m coincide c o n la l o n g i t u d del

s e g m e n t o A8 de la g e o m e t r í a a n a l / t i c a y se d e s i g n a por | A B Í ó S i A y B son de c o o r d e n a d a s

, y o

misma dirección

o' si

Az

. Los

vectores

r e s p e c t i v a m e n t e . Esto

tales

que

ecuaciones

Ó1?P + j C - B

(19.1)

Upt ¿*r«, - ^ b

Al restar m i e m b r o a m i e m b r o

(19.1) y (19.2)

luego de e f e c t u a r las o p e r a c i o n e s binación lineal entre

(m)

y

sustituir

(4)y(5)j

p e r t i n e n t e S j o b t e n e m o s la c o m -

los v e c t o r e s

3T y lo

d a d a por

13

(

U

+

t - M

El s i s t e m a a s o c i a d o c o n ( 1 9 . 3 )

ò

'

+

w

=*•

l m )

es

lei3 A

( c

W

- W2 v(a

a )

il?! -

' t )

(19.4) - b • b

c •b _J

a•b

c •a

rea,?) I b I 2 I c I2

De o t r a p a r t e , el d e t e r m i n a n t e asociado con la i n c o g n i t a OCi es J_ z

-1 1

A i i

0

a • b Ibi5

[

q

"b

\

Mg5)

14 De

(19.4)

y

(19.5)

¿1

escribimos

6

J_ 2

A

a •b rT37£)

leí

F i n a l m e n t e de (19.1) encontramos c¡ue

^ ía + b ) -

j-

PROPOSICION 4 . Z . ONi

v

(a

+ b) -

El punto I

ANs. del t r i á n g u l o

OAB,

?p

\

hp

d e i n t e r s e c c i ó n de las

bisectrices

v i e n e d a d o por la f ó r m u l a

(Fjg.7)

15

OI

=

tP

lióla

=

+

tai +

/

l a I lo

l£l + lcl

o a

{

f

(20)

b }

+

Aquí,

f (T =

la I + líf i +

Demostración

:

=

Ia t IÉI

es el p e r í m e t r o del t r i á n g u l o

Con relación a l a f i g . ( 7 ) ,

e n la d i r e c c i ó n y s e n t i d o del v e c t o r

Cu =

A p a r t i r del t r i á n g u l o ten

escalares

a

OAI

ONi,

+ b

un v e c t o r apropiado

es

.

se d e d u c e

OAB.

(20.1)

inmediatamente

cjue e x i s -

, ~E,z } t a l e s c j u e

3

+ j i ( e

Si a h o r a empleamos

las

-

a )

=

definiciones

? * ( a +

fc).

ízo.z)

16 La

ecuación

(20.2)

implica l a c o m b i n a c i ó n

C-2_y 3

4.1 , 4.2

COROLARIO 4 . ces

0,A,B,

misma recta

y

son consecuencia i n m e d i a t a

propo-

4.3.

( Euler, 1707 - 1 7 f í 3 ) .

los t r e s p u n t o s n o t a b l e s y

de las

además

En todo triángulo de v é r t i -

H.G.U,

pertenecen a

una

32

HG = 2 6 U

En e f e c t o , a p a r t i r d e

gP

COROLARIO 5. les, e n t o n c e s

(14)

- h

=

P

y (19)

(22)

se o b s e r v a

2 ( Up -

g

p

)

Si dos vectores d e l a t e r n a Üp =

g

p

=

hp

que

Up . g

p

, hp

son i g u a -

( F i g . 9.1 )

B

Fig. (9.1)

Demostración.

O b v i o a p a r t i r del corolario 4 .

COROLARIO

(Silvester,

6.

1814-1897).

vector q u e v a d e l c i r c u n c e n t r o a l o r t o c e n t r o

En todo triángulo

el

es i g u a l a l a s u m a d e

los t r e s v e c t o r e s g u e v a n d e l c i r c u n c e n t r o a l o s v é r t i c e s

(Fig.9.2)

IV o

Ficj. (9.2)

Demostración.

C o n s i d é r e s e el g r u p o d e r e l a c i o n e s

ÜA

=

a

-

Up

=

" Uq

ÜB

=

£

-

Up

=

-

ÜO

-

~ Up

QH

=

Kp -

Kp

=

a

+ b

Ut

(23) Up -

2 Up

.

( A g r a d e z c o a l Profesor E m é r i t o A . C h a v e s , el h a b e r m e comunicado el enunciado a n t e r i o r hace algún t i e m p o ) .

COROLARIO 7. —¥

d e los v e c t o r e s

E n t o d o t r i á n g u l o de v é r t i c e s 0 , A , B , l a s u m a ~> —*• .

n¡ 0 , h«j , h t

(Fig. iO)

e s t a r e l a c i o n a d a c o n la s u m a

- f

de los vectores

U P , Uq , U t

por la

identidad,

c Fig. ( 1 0 )

E

d o n d e el índice

k

uk = 4

recorre

Demostración.

E

el c o n j u n t o

(Z4)

h

£ p.cj, t }

t

C o n s i d é r e s e el g r u p o d e r e l a c i o n e s

Ü

p

=

\

( a + b -

Uq

-

\

C c - a

=

±

(

=

- ^ ( - c - b

r

3

Ü

t

) -

h

q

)

£ - 2 ? -

- 2 ? -

ht) ht)

21 PROPOSICION 4.4. vectores U-t

rp ,

ft

E n todo triángulo de vértices están

por las i d e n t i d a d e s

e n l a z a d o s con los vectores

r,

rP +

rP

( r

=

r ( a , £ )

r^

+

-

rt

los

Ü p , U^ ,

:

2üt rt +

O.A.B,

\z\z

2ut isi* iei2

-

-

l a x £ l

2

t i l

2

(25.2)

-r

l a l 2 le"

-

(25.1)

•r

2Uq

-

(25)

•r l u r

)

Demostración.

rt +

r«,

la

a x d

— I f F * * "

— i £ i

2

a

-

3

iarrí j x d

De o t r a p a r t e ,

+ b x d = l£l2a - i a l x b

a

-

lSri 2 U =

a xd

-(a-í)c

+ Sxd +

(3-1?)?

ug)

22 Lueqo el miembro derecho de (26) se puede escribir asi

[

a

xd +

* d

-

(a

-lo )

c

} * ol

(27)

Pero a su v e z ,

( a

x "d ) x d

=

-

P a

(S x oí) * cí = - r " E l ^ c Sustituyendo én

r hP

( 2 7 ) queda e s t a b l e c i d a ta p r o p o s i c i ó n . A n á l o g a -

m e n t e se d e m u e s t r a n

(25.1) y

(25.2) .

Lema 1 1 C t2"

¡2 _ ,u

pl

4

Sen 1 /«

(28)

! lutl

í 4

z lai Sen2J$

Demostración . Simplifíquese la expresión lau*

=

i T Í ^ + ' S - K J r

23 v ténqase en cuenta el — ^

Lema 2.

E n el t r i á n g u l o 0 A B , con Y agudo, la l o n g i t u d d e h p es

c cot r ,

(29)

que se obtiene a partir de

la • b I h J

c | l a x~E

=

l a • £1 la x £ l

le

COROLARIO 8 .

iQ

P

i

= m

q

i

=

(30J

luti

Inmediato a oartir déla ley délos senos y de (28)

D D

™^

c

JC10N

4-.5.

En t o d o t r i á n g u l o de v é r t i c e s

O , A , B , si R

es el r a d i o d e l a c i r c u n f e r e n c i a c i r c u n s c r i t a , v a l e l a

4R(T

P

+ r^ + ? t ) -

-Clcl

z

U p t lar^Ut +

identidad

i^Uc,}

(31)

24 Demostración.

A l s u m a r lado a l a d o a l a d o l a s i g u a l d a d e s

(25.1) y ( 2 5 2 )

(25) ,

se llega a la c o r r e l a c i ó n :

2 ( ? p + V r t ) = - 2 [ s e n 2 y üp + S e n 2 / u t + Sen^OCUcj}

U t i l í c e s e a h o r a el l e m a 1 j u n t o c o n la i d e n t i f i c a c i ó n

lUpl

-

R

para o b t e n e r ( 3 1 ) .

PROPOSICION 4 . 6 . válida

la i d e n t i d a d

En

t o d o t r i á n g u l o de vértices

O.A,B,

es

í s u p o n e m o s gue 0L,j3, ¡T s o n á n g u l o s a g u d o s )

el hp - Ibl he, + la I h t =

2 b

(32)

xd

y , en particular,

|C| hp

Demostración.

r

a •c

r S-c

| S | he, +

|a|

h

t

I

C o n s i d e r e m o s el g r u p o d e

hc

(A)

-

-

(33)

Z|b|

igualdades

c xd —y

w

=

|hp|

-

cCot X

Ihal

- bCota

lhtl

-aCotJ3

w

hq

-

b x d

ht

z

a x d

(B)

25

Sumanao miembro a miembro

P

t

mtìCost

~

en ( A )

laifclCosCX

he

>

se i n f i e r e

+

l^lCosJB

c¡ue

h t }

=

2

b

*

d

o•

De

(B)

\j a c u d i e n d o

lai

a la ley d e los

_

S e n J3

USI

_

SenCX

senos

lei Sen ¡T

:onc luimos

lo c u a l p r u e b a

la

proposición.

Nota •final. El a u t o r no t i e n e c o n o c i m i e n t o de libros y artículos a nuestro alcance en donde a p a r e z c a n c o n s i g n a d a s las f o r m u l a s e i d e n t i d a d e s correspondientes a los recuadros (14), H 9 ) , (¿4),

(25),

(25.^,(25.2),

(31 ), (32) y (33).

La c a r a c t e r i z a c i ó n

del incentro ( 2 0 ) , se e n c u e n t r a e n C 3 l . D o y m i s a g r a d e c i m i e n t o s al profesor DIEGO CHAVES , quien me proporcionó el t e x t o .

26

BIBLIOGRAFIA

EO

APOSTOL, T . Calculus. Vol. I , Ed. Reverte.

L2H

COÜRANT, J o h n . I n t r o d u c c i ó n al Cálculo y al A n á l i s i s Vol. I I ,

C3H

Matemático.

Limusa.

6USIATNIK0V, P. ; REZNICHENKO, S.

A l g e b r a V e c t o r i a l en Ejemplos

y Problemas. M i r \ Moscú.

M

MOISE, E.

E l e m e n t o s de G e o m e t r í a Superior.

H5U

PUIG, P. P. Curso d e G e o m e t r í a M é t r i c a . Tomo I .

C6]

SANTALO, L . A . Vectores y Tensores con sus Aplicaciones. E n d e b a . Buenos A i r e s .

C.E.C.S.A.

Madrid.