Geometría Euclidiana

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Geometría Euclidiana José Rodolfo Londoño Santamaría

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Segunda edición, mayo de 2006. Todos los derechos reservados. No se permite la reproducción, archivo o transmisión total o parcial de este texto mediante ningún medio, ya sea electrónico, mecánico, óptico, de fotorreproducción, memoria o cualquier otro sin permiso de los editores Ude@. Impreso en Medellín, Colombia. Imagen de la portada Fotografía del mural El hombre ante los grandes descubrimientos de la física (1968-1969). Obra del artista Pedro Nel Gómez ubicada en la Biblioteca Central de la Universidad de Antioquia. Pedro Nel Gómez nació el 4 de julio de 1899 en Anorí, municipio del nordeste antioqueño, tierra de selvas y montañas, recorrida por caudalosos ríos auríferos. Hace parte de la galería de los principales artistas colombianos del siglo XX y fue el más importante artista antioqueño hasta las décadas del 60 y el 70, cuando las vanguardias artísticas locales y nacionales se consolidaron, alcanzando una obra consistente, de trascendencia para el arte nacional y de aceptación internacional. La importancia del maestro se puede definir tanto por sus aportes al desarrollo de la cultura, como por su contribución al desarrollo del arte nacional. Ambas facetas derivan de una personalidad forjada en la disciplina del trabajo y el estudio, en medio de las limitaciones propias de su época. Logró conquistar una visión propia del país y de la cultura, que encuentra en el arte el medio más idóneo para su expresión.

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http://www.pedronelgomez.org/maestro.htm

Quiero agradecer a mi señora Ángela María y a mis hijos Santiago y Juan David por el tiempo que me han permitido quitarles y por su apoyo constante. Igualmente quiero agradecer al personal integrante del Proyecto Ude@ y a los estudiantes monitores, pues sin su esfuerzo y profesionalismo no hubiera sido posible este trabajo.

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Autor

Acerca del

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José Rodolfo Londoño Santamaría El profesor José Rodolfo Londoño es Ingeniero Mecánico de la Universidad de Antioquia. Ha realizado diplomaturas, entre ellas «Docencia Universitaria» y «Metodología de la Enseñanza de las Matemáticas», en la Universidad de Medellín. Actualmente es profesor titular de la Universidad de Antioquia y profesor de cátedra en la Universidad de Medellín y en la Escuela de Ingeniería de Antioquia. e-mail: [email protected]

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Cómo usar este libro Como estudiante del programa Ude@, usted es el centro del modelo educativo y puede controlar el proceso de aprendizaje mediante la organización del tiempo alrededor de sus intereses. La autonomía, la disciplina, la creatividad y el trabajo en equipo son características que le ayudarán en su formación, para solucionar problemas reales de la sociedad, recurriendo al método de la ingeniería. La Universidad de Antioquia, a través del programa Ude@, ha puesto a su disposición contenidos académicos en diferentes medios con el fin de facilitarle el aprendizaje mediante las tecnologías de informática y telecomunicaciones clásicas y modernas: Radio Televisión Impresos Web Multimedia Videoconferencias

El texto Ude@ En el modelo Ude@ los conocimientos son aportados por cada medio en igualdad de importancia y con las fortalezas propias de cada uno de ellos, pero el texto desempeña un papel fundamental en el aprendizaje ya que es el que más diversidad ofrece en términos de funcionalidad y cantidad de contenidos. El texto Ude@ no sólo permite analizar con más detalle y profundidad los contenidos de cada curso, sino que facilita en mayor medida la realización de ejercicios, tareas y autoevaluaciones.

Estructura del texto Ude@ La estructura del texto es lineal, con una progresión gradual de cada tema, lo cual hace más fácil la transmisión del contenido de una manera lógica. La división del texto está dada por capítulos que, a su vez, agrupan módulos (sesiones de clase). Al empezar cada capítulo se encuentra un “Contenido breve” en la columna externa, que incluye una lista del número y el título de los módulos que componen el capítulo. Por su parte cada módulo contiene, en su primera página, un índice temático del contenido, objetivos específicos, preguntas básicas y una introducción, que le guiarán en el proceso de aprendizaje sobre el tema en particular de cada sesión de clase.

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Los iconos y la interrelación de medios El material Ude@ ha sido producido de manera integral, teniendo como objetivo primordial el autoestudio. Por tanto, la producción de los contenidos se desarrolla en los diferentes formatos (radio, televisión, web, multimedia, videoconferencias), con enlaces entre los mismos. La esencia de este enlace está dada por los iconos Ude@. Los iconos, como representaciones gráficas de la realidad, serán los elementos gráficos que le ayudarán a guiarse en su navegación por los diferentes medios. El espacio gráfico de cada página del texto está dividido en dos columnas: en la interior, más ancha, podrá observar todo lo relacionado con el desarrollo del contenido y las correspondientes figuras (gráficas, fotos, etc.), mientras que en la exterior encontrará las llamadas a otros medios. Estas llamadas permiten que haya interrelación y retroalimentación entre los mismos.

Los iconos de radio, televisión, multimedia, mapa conceptual, videoconferencia o web le indicarán la ruta a seguir. Por ello es importante que sepa que sobre el tema que está estudiando en el módulo impreso, también hay material disponible en otros medios, y que ese material representa valor agregado puesto que el contenido de los diferentes formatos no se repite sino que se complementa.

El mapa conceptual Al comienzo del texto Ude@ usted encontrará un mapa conceptual del curso, que lo orientará en el universo temático de la disciplina. Esta herramienta pedagógica hace posible la integración conceptual, jerárquica y funcional, en forma gráfica y espacial, de todos los contenidos.

Sugerencias para el estudiante Ude@ Es importante que durante su proceso de aprendizaje se pregunte constantemente si de verdad comprendió el significado de los términos y su uso. Una buena manera de comprobarlo es explicándole el concepto a otra persona. No dude en solicitar ayuda a su tutor. Antes de iniciar el estudio de un capítulo lea el contenido breve y la presentación. Las preguntas básicas de cada módulo le ayudarán a valorar la comprensión de los nuevos conceptos presentados y de la temática tratada a lo largo del mismo. El estudio de los ejemplos intercalados en los bloques de texto y la solución de los ejercicios incrementarán sus habilidades en la solución de problemas reales. Tome apuntes, plantéese preguntas y trate de resolverlas.

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Capítulo 1: Algunos métodos de demostración Módulo 1 Historia de la geometría Módulo 2 La demostración Módulo 3 Leyes Módulo 4 Métodos de demostración Módulo 5 Condicionales Módulo 6 La refutación

21 25 29 35 41 45

Capítulo 2: Elementos básicos de la geometría Módulo 7 Postulados Módulo 8 Segmentos Módulo 9 Ángulos Módulo 10 Polígonos

53 63 73 89

Capítulo 3: Triángulo Módulo 11 Congruencia de triángulos Módulo 12 Desigualdades Módulo 13 Otras congruencias de triángulos

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Capítulo 4: Cuadriláteros Módulo 14 Paralelismo y perpendicularidad Módulo 15 Ángulos especiales

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Módulo 16 Propiedades de cuadriláteros Módulo 17 Rectas y puntos notables

181 197

Capítulo 5: Circunferencia Módulo 18 Generalidades de la circunferencia Módulo 19 Arcos y ángulos

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Capítulo 6: Relaciones métricas Módulo 20 Segmentos proporcionales Módulo 21 Semejanza de triángulos Módulo 22 Relaciones métricas Módulo 23 Relaciones métricas en la circunferencia

271 287 299 317

Capítulo 7: Áreas Módulo 24 Áreas básicas Módulo 25 Relaciones entre áreas Módulo 26 Áreas sombreadas

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Capítulo 8: Construcciones Módulo 27 Construcciones elementales Módulo 28 Construcciones geométricas Módulo 29 Construcción de triángulos Módulo 30 Construcciones generales

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Prólogo El presente libro surgió de una invitación hecha por el ingeniero electrónico Guillermo Ospina, coordinador general del Proyecto Ude@, para que sirviera como guía del curso Geometría Euclidiana en el programa de Ingeniería de Telecomunicaciones de la Universidad de Antioquia. Por este motivo, no se trata de un estudio exhaustivo de la geometría sino de la presentación de unos temas básicos y elementales acordes con el programa oficial de un curso presencial. Con el contenido del texto se ha intentado proporcionar al futuro ingeniero unos conocimientos que le sean útiles en su trabajo y que le desarrollen la habilidad de manejarlos con buen criterio, razón por la cual el proceso demostrativo que se les da a algunos teoremas, y la solución de algunos ejercicios, es variada y no permite que el estudiante se sienta «encasillado» con una sola metodología. Los ejercicios planteados son muy racionales y están al alcance del alumno para que pueda resolverlos y mejore su creatividad, con la teoría expuesta. En algunos módulos se presentan, en la parte correspondiente a los ejercicios, preguntas de falso y verdadero con el fin de que el estudiante refuerce los conceptos teóricos. También se presentan ejercicios con figuras, en las que se proporcionan la hipótesis (los datos dados) y la tesis (lo que se va a demostrar) para que se familiarice con ellas y pueda identificar fácilmente una y otra. Igualmente, se dan algunos ejercicios literales para que vaya aprendiendo a construir la figura correspondiente e identifique tanto los datos como lo que se pide demostrar. Las autoevaluaciones que van al final de cada capítulo tienen la misma metodología, pero a medida que se avanza en ese proceso van desapareciendo las figuras, hasta llegar a enunciarse problemas que ni siquiera contienen letras. Con esto último se busca que el estudiante idee símbolos propios, construya la figura adecuada y resuelva el problema planteado.

mostrar algunos métodos de demostración. En el 2 se estudian conceptos básicos que hacen posible establecer teoremas y problemas que están relacionados con la medida y la congruencia de segmentos y ángulos. En el 3 se hace una presentación inicial de la geometría del triángulo –generalidades, criterios de congruencia, relaciones entre sus elementos (desigualdades)–. En el 4 se analizan la perpendicularidad, el paralelismo, los cuadriláteros y los ángulos entre rectas y en polígonos, y se continúa con la geometría del triángulo (puntos y rectas notables). En el 5 se presentan los elementos de la circunferencia y el círculo, junto con las posiciones relativas, se analizan las propiedades de arcos y cuerdas y se da la forma de hallar la medida de los ángulos relacionados con la circunferencia. En el 6 se continúa con la geometría del triángulo y se analizan la semejanza y las relaciones métricas en él, en la circunferencia y en los polígonos regulares. En el 7 se presentan las fórmulas de áreas de las figuras planas, se establecen relaciones entre las áreas de triángulos que tienen alguna propiedad y se calculan áreas sombreadas. En el último capítulo (8), que se presenta más a nivel de consulta que de estudio, se exponen nociones sobre construcciones básicas, lugares geométricos sencillos, construcciones básicas de triángulos y algunas construcciones de triángulos dados algunos de sus elementos.

En el capítulo 1 se presenta en forma muy resumida una reseña histórica de la geometría y las leyes de los números reales, junto con las leyes de inferencia lógica que permiten

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