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Análisis de actividades de integración (EDUCACIÓN PRIMARIA – EDUCACIÓN MEDIA) “La unidad del proceso educativo no la da la organización de las instituciones ni los programas ni los planes de estudios, la da la vida del educando, que es una continuidad sin transiciones y sin dualismos” (…) Querer que el niño se haga al modo escolar o al modo liceal tomando la expresión “modo” en su más amplia generalidad, es poner la carreta delante de los bueyes. Los niños no se hicieron para la Escuela o el Liceo. Liceos y Escuelas se hicieron para los niños.” (CASTRO, 1949)1

El tránsito escolar de los estudiantes entre la enseñanza primaria y la enseñanza media es un tema controversial desde hace décadas en nuestro medio. Como decía el maestro Julio Castro en el año 1949, “constituye un problema que se ramifica en varios aspectos”, desde la accesibilidad hasta la intelectualidad, sin dejar de reconocer en ello las finalidades disímiles que cada institucionalidad educativa desarrolla, extiende y promueve. La vigencia de este debate encuentra en la evaluación formativa en la modalidad en línea un intento de avance. Se trata de fomentar una visión sistémica en torno a los procesos de escolarización de los estudiantes, considerando el tránsito entre la Primaria y el Ciclo Básico como un factor determinante en el desarrollo educativo. A tales efectos, concibiendo un ciclo escolar integrado desde tercero de Educación Primaria hasta tercero de Educación Media Básica, se decidió incluir actividades de evaluación comunes a estudiantes de sexto año y de primer año de secundaria. Su objetivo es

1

Extraído de los Anales de Instrucción Primaria. Época II. Tomo XII. N° 4, Montevideo, abril de 1949. (Cf. ANEP-CODICEN, 2000)

promover la reflexión entre los docentes (maestros y profesores) sobre los contenidos que las actividades abordan y los conocimientos y habilidades cognitivas que ellas activan en los estudiantes. A continuación se analizan dos actividades de integración: “Los triángulos equiláteros” del dominio Geometría y dentro de la competencia Aplicar Conceptos; “El perímetro”, de Magnitudes y Medidas, enfocada a Resolver Problemas.

ACTIVIDAD: “Los triángulos equiláteros” TIPO: cerrado

Código

MAT1705

Dominio

Geometría

Contenido

Figuras planas

Sub-contenido

Propiedades de figuras

Competencia

Aplicar conceptos

Grado (Aplicación 2014)

6° de Educación Primaria y 1° de Educación Media Básica

Objetivo

Identificar ángulos rectos para aplicar la propiedad de que el triángulo equilátero no tiene ángulos rectos.

A

Asume que un triángulo es equilátero, los otros dos son iguales entre sí: puede asociar igualdad de las figuras con igualdad de los lados. No tiene en cuenta que hay 2 triángulos rectángulos.

B

Asume que 2 triángulos son equiláteros y puede asumir que el tercero es igual por tener 2 lados iguales. No tiene en cuenta que es un triángulo rectángulo.

C

Identifica 3 triángulos iguales y puede asociar la igualdad de triángulos al concepto de equilátero. No tiene en cuenta que son triángulos rectángulos.

D

CLAVE Identifica 3 triángulos sin ángulos rectos, lo que posibilita que sean equiláteros.

Alternativas de respuesta

“Los triángulos equiláteros” tiene como propósito el reconocimiento de triángulos equiláteros a partir del análisis de ángulos. La cuadrícula permite la identificación de ángulos rectos lo cual facilita descartar las opciones que presentan triángulos rectángulos, aplicando la noción de ángulos agudos como propiedad del triángulo equilátero. Esto implica que el estudiante debe razonar de una forma no convencional: recordar que los ángulos de un triángulo equilátero son agudos, reconocer que los ángulos agudos no son rectos, identificar los ángulos rectos presentados, descartar las opciones que presentan triángulos rectángulos, seleccionar la única opción que presenta triángulos acutángulos. La actividad resultó difícil para los estudiantes de los grados evaluados, lo que se evidencia en el porcentaje de respuesta de las alternativas no correctas. Poco menos de la quinta parte de la población evaluada, tanto en sexto año de Educación Primaria como en primer año de Educación Media Básica, seleccionó la clave. A su vez, los patrones de respuesta en ambos grados son similares. Este ítem, por un lado requiere que el alumno recupere el concepto de triángulo equilátero así como también algunas de sus propiedades. Por otra parte, la representación gráfica demanda que el estudiante logre visualizar los triángulos que componen cada una de las figuras en forma individual. Es decir, las figuras presentadas en las alternativas no son de uso frecuente en las prácticas de enseñanza, cada una de ellas está compuesta por tres triángulos. Las figuras de las opciones A, B y C tienen al menos un lado en común mientras que, en la opción D, un lado de un triángulo está incluido en el lado de otro. Se trata de evaluar Geometría a través de la resolución de problemas, en una situación nueva que implica establecer relaciones interfigurales, apelando a conocimientos en proceso de construcción. Para resolver esta situación es necesario que el alumno visualice, explore y analice los grupos de triángulos presentados. A partir de estas acciones se podrán recuperar y aplicar propiedades, clasificar, elaborar conjeturas y tratar de validarlas.

Van Hiele citado por VARGAS, GAMBOA (2013) describe un modelo teórico de cinco niveles jerárquicos para explicar la comprensión y el dominio de las nociones y habilidades espaciales de las personas. En esta descripción teórica, la importancia de lo visual o del reconocimiento, surge como el primer nivel de aproximación al saber geométrico. Es decir, en este primer nivel los alumnos reconocen las figuras y las nombran basándose en sus características visuales globales. Los estudiantes aquí posicionados son capaces de hablar sobre propiedades de las formas, muchas veces sin pensar explícitamente en ellas. Para estos alumnos, lo que define a una forma es su apariencia. En los distractores A y B de la actividad de evaluación, el alumno reconoce algún triángulo equilátero, que tiene algún lado en común con otro triángulo, lo que podría llevarlo a pensar que los triángulos son iguales y por lo tanto, todos equiláteros. Una posible explicación a esta hipótesis, es que asocia el término “equilátero” con “igualdad”, pero luego se basa en la relación de igualdad entre algunos lados de las figuras presentadas para dar su respuesta sin considerarlos todos. Si bien son escasos los alumnos que seleccionan estas alternativas, la elección se vuelca levemente a la opción B por sobre la opción A. Merece un análisis especial el distractor C, opción de respuesta elegida por la mayoría de los alumnos en ambos grados (56% en sexto año y 60% en primer año de media). Una posible hipótesis de error es que los alumnos asocian el término “equilátero” con igualdad de triángulos, y seleccionan esta alternativa porque es la única opción que muestra los tres triángulos iguales. No reconoce que los triángulos iguales son rectángulos y, por lo tanto, no son equiláteros. Posiblemente, otra de las hipótesis de error es que el estudiante asocia el triángulo isósceles rectángulo con la propiedad de equilátero, por tratarse de un triángulo particular. En cuanto a los procesos cognitivos que realiza el alumno que resuelve correctamente este ítem, es el docente quien, en su trabajo directo con los alumnos, estaría en condiciones de indagar si estos realizaron algún razonamiento deductivo (por ejemplo, el triángulo equilátero tiene sus tres

ángulos iguales, de 60°, por lo que un triángulo rectángulo no es equilátero) o si se basaron en lo visual (por ejemplo, eligieron los triángulos que más se parecen a su imagen mental de triángulo equilátero). Estas dos formas de abordaje y resolución del ítem pueden ser reflejo de los dos primeros niveles desarrollados por Van Hiele. Los estudiantes que responden en forma correcta esta actividad muestran habilidades que se corresponden con el segundo nivel (análisis) donde los objetos de pensamiento son clases de formas en lugar de meras formas individuales. Implica dar cuenta que una colección de formas pertenece a una misma clase debido a sus propiedades y no por su apariencia. Si una figura es un triángulo equilátero posee las propiedades correspondientes a esa clase (lados y ángulos iguales, entre otras). Mientras que los estudiantes que seleccionan las opciones no clave procesan la tarea según las habilidades descritas en el primer nivel (reconocimiento visual), donde se reconocen las figuras geométricas por su forma, como un todo, no diferenciando partes ni componentes de las mismas. Es importante que las actividades geométricas consideren las diferentes tareas que pueden desarrollar los alumnos, ya sea como forma de conceptualización, investigación y demostración. Además del reconocimiento visual, se espera que los alumnos busquen estrategias de trazado, de comunicación, de razonamiento, de deducción y de aplicación.

ACTIVIDAD: “El perímetro” TIPO: cerrado

Código

MAT436

Dominio

Magnitudes y medidas

Contenido

Longitud, superficie, capacidad, amplitud.

Sub-contenido

Perímetro de una figura.

Competencia

Resolver problemas

Grado (Aplicación 2014)

6° de Educación Primaria y 1° de Educación Media Básica

Objetivo

Comparar el perímetro de dos polígonos.

Alternativas de respuesta

A

Supone que, como la figura pintada tiene mayor cantidad de lados, su perímetro es mayor.

B

CLAVE 1- Sabe que el perímetro es la medida del contorno de una figura. Utiliza la cuadrícula para medir la longitud de los lados de cada figura, calcula y compara los respectivos perímetros. 2- "Traslada" los lados de la figura azul, no coincidentes con los del rectángulo, hasta que queden incluidos en sus lados paralelos "más próximos". De esta manera, determina que ambas figuras tienen igual perímetro.

C

Supone que a menor área corresponde menor perímetro.

D

Observa que los lados de la figura pintada incluidos en los lados del rectángulo miden la mitad y concluye que el perímetro es la mitad.

“El Perímetro” es una actividad dada en un contexto intramatemático, siendo su objetivo establecer una relación de orden entre los perímetros de dos figuras. El estudiante debe comparar perímetros, ya sea cuantificando mediante el uso de la cuadrícula o descomponiendo adecuadamente el contorno de una de las figuras para poder contrastarlo con el contorno de la otra figura. La opción A de este ítem es uno de los distractores más elegidos (alrededor de un tercio de los estudiantes que realizaron la evaluación, indistintamente del ciclo escolar). La hipótesis de error que subyace en esta opción evidencia una de las conclusiones erróneas más frecuente que establecen los estudiantes: “a mayor cantidad de lados corresponde mayor perímetro”. También se pone de manifiesto otro de los errores frecuentes en la construcción del concepto de magnitud geométrica, que involucra supuestas relaciones entre contorno y superficie de una figura. De manera específica, ello muestra la asociación que realizan algunos estudiantes entre la figura de menor área con la de menor perímetro, e involucra la hipótesis de error presente en el distractor C. Esta opción fue elegida por un alto porcentaje de los alumnos que realizaron la actividad, lo cual da cuenta de la persistencia del obstáculo. Los conceptos de contorno y superficie de una figura plana tienen muchos elementos en común sobre el plano matemático, pero otros son fuertes supuestos de los estudiantes, tanto de nivel escolar como de nivel secundario, lo cual evidencia que la construcción y apropiación de estos conceptos no está acabada. Por ejemplo, algunas investigaciones han demostrado ampliamente (STAVY, TIROSH, 2001) que un alto número de estudiantes de todas las edades considera que existe una relación de estrecha dependencia entre los dos conceptos sobre el plano relacional. Un ejemplo sería el siguiente: Si A y B son dos figuras planas, entonces: 

Si el perímetro de A es mayor que el perímetro de B entonces el área de A es mayor que el área de B (Ídem con menor).



Si dos figuras tienen igual perímetro entonces tienen igual área. (Viceversa,

cambiando

el

orden

“perímetro-área”

con

“área-

perímetro”). Un factor importante, evidenciado por Azhari (1998), es que cuando existen dos relaciones ligadas mutuamente, el estudiante intenta aplicar la siguiente “ley de conservación”: si una determinada cosa crece, también lo hace la que está relacionada con ella (y viceversa). Lunzer (1968) refiere a los resultados obtenidos en un experimento efectuado en colaboración con Piaget. En un geoplano, representando una situación de contexto campestre, se situó una cuerda de 20 cm de longitud, de modo que encerrase un cuadrado de 5 cm de lado. La misma cuerda fue colocada después, de manera que dibujase, por ejemplo, un rectángulo de 6 cm y 4 cm, y otro de 7 cm y 3 cm de lado. En cada ocasión se indagaba si las vacas tendrían la misma cantidad de hierba para comer (haciendo referencia al área de la superficie marcada) o si el granjero tendría que recorrer la misma distancia para dar la vuelta andando alrededor del campo (perímetro de la figura marcada). Ninguno de los niños de 9 años estaba dispuesto a creer que pudiera cambiar el área sin cambiar el perímetro y, recién hacia los 13 años, unos pocos comprendían que el área cambiaba en cada ocasión. En los trabajos de Moreira y Comiti (1993) y Moreira (1996) se hace énfasis en las dificultades que tienen los estudiantes de los últimos años de la escuela para: 

Reconocer cierta combinación de medidas de elementos de una figura como la que determinan a esa figura. La idea de superficie de una figura plana, aunque no sea determinante de ella, no siempre es reconocida como una característica de dicha figura.



Diferenciar las medidas de superficie y contorno de una figura.



Construir el concepto de superficie de una figura plana.

Asimismo, en las investigaciones de los autores mencionados, se pone de manifiesto cómo el aprendizaje de los diferentes elementos de las magnitudes geométricas es específico y diferente en cada caso. La investigación de Chamorro (1997) referida a la enseñanza de la medida, confirma la complejidad del tema, especialmente en lo relacionado con el aprendizaje. Entre los ejemplos específicos que menciona, aparecen precisamente el contorno y la superficie: "En la superficie, en cuanto medida producto, confluyen múltiples obstáculos conceptuales. Entre estos, la relación que las unidades de superficie conservan con las unidades de longitud, siendo las segundas la base de las primeras como productos de medidas. Dichas relaciones pueden ser comprendidas solo a partir de relaciones espaciales que a su vez deben ser coordinadas con relaciones multiplicativas. La coordinación entre la linealidad de cada una de las dimensiones y la linealidad de las superficies debe poder ser garantizada a través de un modelo geométrico que ayude a visualizar dichas relaciones". (CHAMORRO, 1997)

Además de los problemas mencionados acerca de las relaciones de superficie y contorno, se agrega el problema lingüístico. Algunos estudiantes confunden la terminología área y perímetro cuando la usan en forma intercambiada, así como también sucede con los vocablos “paralelas” y “perpendiculares”, lo que no implica siempre error en el concepto, sino en el vocablo, lo que puede indicar que el concepto está aún en construcción. Otro obstáculo adicional al que se puede enfrentar un alumno al trabajar con este tipo de problemas puede ser la dificultad para comparar las dos figuras. Una es una figura no convencional, no incluida entre las que tradicionalmente la escuela presenta. Los docentes suelen elegir aquellas figuras convexas, convencionalmente

presentadas

(“derechas”,

“apoyadas”,

“verticales”,

“horizontales”). Esta actividad procura problematizar al estudiante en la comparación de medidas de longitud a través de figuras geométricas no canónicas. A su vez, el hecho de que se presente solo la figura no convexa coloreada, puede ocasionar una confusión entre figura y fondo y afectar la identificación de las dos figuras a comparar. La denominación del rectángulo

como “ABCD” (coincidente con la denominación de las opciones de respuesta) puede agregar una dificultad extra, al ser una forma no frecuente de nominación de las figuras geométricas a nivel escolar, además que no se proporcionan medidas de las figuras. Todas las dificultades analizadas anteriormente se confirman con los datos empíricos obtenidos de la aplicación. Una quinta parte de los estudiantes de Educación Primaria contestaron correctamente mientras que al inicio de la Educación Media Básica este porcentaje fue del 15%. Este eventual descenso en los números de respuesta correcta podría explicarse de diferentes formas. Por un lado, puede vincularse a que el profesor de enseñanza secundaria asume que el concepto de perímetro ya ha sido adquirido por el estudiante en el ciclo anterior, por lo que no entiende necesario profundizar en él, pasando a dedicarle más atención al concepto de superficie. Por otro lado, en el programa de Primer Año de Ciclo Básico, la unidad de geometría no explicita los conceptos de área y perímetro, sin embargo el contexto geométrico se utiliza para situar problemas algorítmicos. Estos resultados evidencian que esos conceptos aun no han sido adquiridos, por lo que se requiere de más intervención pedagógica a fin de alcanzar ese objetivo. Los docentes pueden planificar problemas en el dominio de las magnitudes y medidas con el propósito de lograr avances en la comprensión de área y perímetro, considerando la independencia entre estos atributos de las figuras. En esas actividades, los alumnos irán reconociendo que si una de estas medidas cambia, la otra puede o no modificarse. No se busca que únicamente realicen cálculos o que apliquen fórmulas con la idea de establecer estas relaciones, sino también trabajar en la composición y descomposición de figuras a través de superposiciones, mediciones improvisadas y recortes, tanto imaginados

como

realizados

en

forma

empírica.

A

partir

de

sus

descubrimientos, será posible el logro de avances conceptuales desde “lo visible

o medible” hacia

la

producción

transformaciones de las figuras consideradas.

de

explicaciones sobre

las