ANALISIS DE FRECUENCIA

HIDROLOGÍA • Determinística: enfoque en el cual los parámetros se calculan en base a relaciones físicas para procesos dinámicos del ciclo hidrológico. • Estocástico: Enfoque en el cual los parámetros dinámicos son cálculados basados en el supuesto de que su variación en el tiempo es aleatoria.

¿ALEATORIO Y ESTOCASTICO? • Aleatorio significa los valores que puede tomar no pueder ser predichos de manera exacta, lo más que se puede decir es que se comporta de acuerdo a una cierta distribución probabílistica. • Estocastico: Su valor es aleatorio a través del tiempo.

Análisis de frecuencia Frecuencia: El número de veces que se presenta una variable aleatoria El Análisis de frecuencia esta basado en el concepto de variables aleatorias.

ANÁLISIS DE FRECUENCIA APLICACIONES Antes del inicio de cada ciclo agrícola se empiezan a tomar decisiones de que se va a sembrar y cuanto se va sembrar. Se calculan demandas de todos los cultivos. Pero ¿Alcanzará el agua de las presas? Eso depende de los volumenes de agua que entren a presa a través del río. Esos volúmenes se pronostican o estiman con el enfoque de análisis de frecuencia

ANÁLISIS DE FRECUENCIA APLICACIONES Los gastos (volumen por unidad de tiempo) transportados por un río para determinado periodo de retorno con fines de diseñar un bordo contra inundaciones o diseñar un vertedor ó una presa, pueden ser pronosticados con el enfoque de análisis de frecuencia (siempre y cuando se tengan datos de aforos diarios máximos ).

Variables Aleatorias Variable aleatoria: es un parámetro (p. Ej. Escurrimientos) que no puede ser pronosticado con exactitud; es decir la ocurrencia de una variable aleatoria es un proceso aleatorio o incierto. Ejemplos de variables aleatorias:escurrimientos, precipitación, concentración de contaminantes y sales, niveles del río, evaporación, sedimentos, etc., • CONTINUAS: los posible valores que toma la variable aleatoria (p. Ej. Los escurrimientos) pueden tomar cualquier valor dentro de la escala de los números reales. • DISCRETAS: Los posibles valores de la variable aleatoria son muy limitados. P. Ejem. Cuando se tira una moneda sale aguila o sello. Note que los valores que puede tomar no son cualquier valor de la escala de los números reales. Otro ejemplo: al aventar un dado solo pueden salir valores del 1 al 6. Note no toma valores de 1.2 o 3.5. Otro ejemplo el número de avenidas que se espera excedan una cierta magnitud durante un periodo de años.

Probabilidad de Excedencia (P): probabilidad de que un evento de una magnitud dada sera igualada o excedida dentro de un intervalo de tiempo específico (usualmente en un año; En distritos de riego trabajan entre el 50% y 90% Probab. De Excedencia). Intervalo de recurrencia o Periodo de retorno (T): tiempo intervalo promedio (usualmente en años) entre ocurrencias sucesivas de un evento igual a o excediendo una cantidad específica. T

=

P

=

1 P 1 T

1942 1944 1946 1948 1950 1952 1954 1956 1958 1960 1962 1964 1966 1968 1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002

V o lu m e n e s e n M m 3

FIG. 9. ESCURRIMIENTOS ANUALES A LA PRESA PLUTARCO ELIAS C. (El Novillo)

6,000.00

5,000.00

4,000.00

3,000.00

2,000.00

1,000.00

0.00

AÑO

LOS SUPUESTO PRINCIPALES DEL ANÁLISIS DE FRECUENCIA • • •

Los datos a ser analizados describen eventos aleatorios independientes entre sí Los procesos involucrados son estacionarios a través del tiempo Los parámetros poblacionales pueden ser estimados a partir de una muestra (Discutir población y muestra)

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD El comportamiento de una variable aleatoria puede ser descrita por su función de probabilidad. Para cada posible ocurrencia de un experimento se le asigna un valor numérico de acuerdo a una función probabilística. Si la variable aleatoria es discreta se le llama función masa de probabilidad y si la variable es continua se le llama función de distribución probabilística.

Función de Probabilidad El comportamiento de una variable aleatoria puede ser descrita por su función de probabilidad. Se les debe buscar parecido a los histogramas de frecuencias relativas con una galería de funciones. En este caso es una función de distribución probabilística.

ESCURRIMIENTOS MENSUALES DEL RIO LA ANTIGUA, VERACRUZ (EXCEL) ESCURRIMIENTO SOBRE EL RIO LA ANTIGUA, ESTACION HIDROMETRICA EL CARRRIZAL, VER. (Mm3) Distrito de riego 035 La antigua, Ver.

AÑO

ENE 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

MEDIA VARIANZA(S^2) DESV. ESTAND. COEF. VAR.

65.66 50.90 62.31 49.33 56.73 58.36 63.37 66.84 49.94 44.64 50.90 47.89 68.60 62.18 73.47 66.42 61.00 61.64 64.17 59.19 74.35 60.28 52.85 67.36 61.21 81.81 64.49 98.41 56.78 54.54 55.15 64.21 75.64 63.99 68.47 62.37 108.71 10.43 0.17

FEB 51.74 43.35 41.94 46.77 48.73 49.32 56.92 50.91 39.67 37.41 38.20 29.54 62.98 57.35 55.31 51.28 45.76 59.30 50.46 48.55 53.75 53.70 47.31 50.68 59.88 91.81 52.00 87.45 39.22 41.55 40.97 45.98 56.02 51.76 54.38 51.20 145.20 12.05 0.24

MAR 49.47 43.99 48.76 43.49 53.35 46.29 51.52 56.94 37.05 35.30 35.37 27.05 59.78 51.32 62.61 52.64 45.90 54.26 52.20 50.74 56.73 58.49 46.47 64.63 46.97 57.64 48.91 96.71 41.07 41.87 45.32 49.46 51.39 51.30 54.09 50.55 128.10 11.32 0.22

ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC ANUAL 46.32 43.89 98.17 108.29 189.12 282.71 164.60 88.07 61.61 1249.65 39.51 50.95 115.84 137.05 164.02 187.91 151.34 286.90 74.22 1346.00 43.33 44.21 55.95 181.29 375.24 436.72 149.37 73.19 59.62 1571.94 36.19 35.55 99.83 197.52 254.02 385.31 194.01 88.84 66.85 1497.70 44.64 40.84 67.76 117.90 127.56 174.32 214.10 96.22 67.16 1109.31 41.12 48.92 159.49 250.36 228.01 217.99 140.60 94.06 76.07 1410.58 50.77 50.54 182.11 224.57 222.22 226.89 167.75 83.13 74.97 1454.76 45.78 47.19 149.79 215.62 104.15 518.14 147.00 68.80 53.90 1525.04 34.91 41.22 106.80 89.16 83.15 326.15 116.45 65.00 54.25 1043.76 34.69 43.01 129.69 260.01 214.98 244.09 187.99 83.49 60.13 1375.43 30.40 30.41 88.38 68.44 90.77 107.57 140.95 101.92 47.80 831.12 22.47 34.11 146.50 79.44 109.47 246.79 111.15 48.26 89.70 992.37 59.11 75.11 120.59 196.42 240.85 304.70 105.36 78.37 72.45 1444.32 45.90 50.62 171.05 162.33 365.64 437.22 165.28 114.21 86.33 1769.41 49.05 56.08 454.50 533.03 461.52 354.94 206.66 92.34 84.74 2484.25 48.55 104.76 96.07 94.03 127.35 173.31 258.71 83.69 69.47 1226.27 40.00 38.71 115.15 349.37 195.34 323.21 141.79 94.04 69.42 1519.69 43.85 72.26 176.97 437.16 216.21 463.43 131.57 77.87 77.75 1872.26 60.80 65.08 207.32 323.47 230.73 200.75 241.43 101.63 74.04 1672.08 48.40 64.68 218.26 187.90 123.59 208.31 201.18 117.53 99.11 1427.44 49.92 52.72 131.14 228.23 199.44 303.82 158.37 81.02 68.78 1458.26 54.91 50.38 106.61 137.40 204.08 268.52 126.92 80.21 63.62 1265.12 44.68 56.38 80.60 204.09 190.20 201.75 103.61 89.96 92.49 1210.38 59.95 53.59 100.70 232.46 174.84 256.96 161.00 86.49 64.49 1373.14 47.98 51.37 162.01 257.59 143.10 309.29 291.03 126.54 75.29 1632.26 64.67 82.33 175.62 234.71 291.38 287.66 232.69 159.55 83.13 1843.00 43.37 51.72 229.52 269.89 180.35 261.86 187.32 81.79 79.48 1550.68 53.84 69.33 116.30 75.58 281.67 390.31 142.20 88.10 65.86 1565.76 38.36 54.11 105.44 218.30 197.39 275.61 165.06 114.39 64.30 1370.04 34.61 68.29 139.83 161.05 254.71 139.71 193.95 84.11 58.89 1273.10 48.49 84.08 117.12 217.35 203.81 357.75 509.31 129.17 86.76 1895.28 41.87 39.20 59.08 288.22 211.75 419.45 448.81 154.07 90.54 1912.64 45.25 44.64 91.67 540.44 313.04 299.79 333.42 101.18 75.21 2027.68 44.29 74.06 252.15 135.32 462.30 231.91 176.39 101.47 91.47 1736.39 47.12 89.70 179.60 174.92 259.47 245.72 1173.47 45.29 56.00 143.07 216.82 219.76 287.73 193.16 100.46 72.94 1488.87 76.63 291.33 5242.01 12926.87 8488.14 9116.09 7942.27 1612.79 154.99 106096.46 8.75 17.07 72.40 113.70 92.13 95.48 89.12 40.16 12.45 325.72 0.19 0.30 0.51 0.52 0.42 0.33 0.46 0.40 0.17 0.22

PRESENTACIÓN DE DATOS • Histograma • # de Intervalos de clase [k= 5*log10 n] n = # de datos históricos • # de observaciones (frecuencia absoluta) • Ancho de intervalo de clase • Frecuencias relativas (probabilidades) • Frecuencias relativas acumuladas: la probabilidad de que un valor tenga de ser menor o igual que la magnitud en ese punto.

PRESENTACION DE DATOS-ENERO Q R IO L A A N T IG U A , C A R R R IZ A L , V E R . (M m 3) D is t r it o d e r ie g o 0 3 5 L a a n t ig u a , V e r . AÑO ENE AÑO ENE 1967 6 5 .6 6 1979 68 1968 5 0 .9 0 1980 62 1969 6 2 .3 1 1981 73 1970 4 9 .3 3 1982 66 1971 5 6 .7 3 1983 61 1972 5 8 .3 6 1984 61 1973 6 3 .3 7 1985 64 1974 6 6 .8 4 1986 59 1975 4 9 .9 4 1987 74 1976 4 4 .6 4 1988 60 1977 5 0 .9 0 1989 52 1978 4 7 .8 9 1990 67

IN T E R V A L O (D E C L A S E ] 0 0 0 0 0 0 0 0

AÑO 19 19 19 19 19 19 19 19 19 20 20

9 9 9 9 9 9 9 9 9 0 0

ENE 61 81 64 98 56 54 55 64 75 63 68

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1

5 1 .0 0 5 8 .0 0 6 5 .0 0 7 2 .0 0 7 9 .0 0 8 6 .0 0 9 3 .0 0 1 0 0 .0 0

4 5 6 6 7 8 8 9

7 4 1 8 5 2 9 6

.5 .5 .5 .5 .5 .5 .5 .5

.2 .8 .4 .4 .7 .5 .1 .2 .6 .9 .4

1 1 9 1 8 4 5 1 4 9 7

6 2 .3 1 0 8 .7 1 4 4 5 0 1 0 .4 2 6 6 2 2 1 .1 6 7 4 3 6 1 9

F R E C U E N C IA AB SO LUTA

0 0 0 0 0 0 0 0

F R E C U E N C IA R E L A T IV A

6 5 13 6 3 1 0 1 35

0 0 0 0 0 0 0 0 1

.1 7 .1 4 .3 7 .1 7 .0 8 .0 2 .0 0 .0 2 .0 0

1 2 1 1 5 8 0 8 0

7 5 2 1

M E D IA V A R IA N Z A D E S V IA C IO N E S T A N D A R C O E F IC IE N T E D E A S IM E T R IA

FR EC. ACU M ULAD A R E L A T IV A

4 9 4 4 7 6 0 6 0

0 0 0 0 0 0 0 1

.1 7 .3 1 .6 9 .8 6 .9 4 .9 7 .9 7 .0 0

Q ENE 0 .4 0 0 0 0 .3 5 0 0 0 .3 0 0 0 0 .2 5 0 0 0 .2 0 0 0 0 .1 5 0 0 0 .1 0 0 0 0 .0 5 0 0

Q (M m 3 )

00 10 0.

0 93 .0

0 86 .0

0 79 .0

0 72 .0

65 .0

0

0 .0 0 0 0 0

4 .0 1 .0 8 .0 5 .0 2 .0 9 .0 6 .0 3 .0

PUNTO M E D IO

58 .0

4 5 5 6 7 7 8 9

0 8 7 2 0 4 7 9 5 8 5 6

H IT O R IC O S ALO S DE CLASE R IC O R IC O

0

1 2 3 4 5 6 7 8

D ATO S IN T E R V R H IS T O R H IS T O

51 .0

No. DE IN T E R V A L O

RO D E RO D E M EN O M AYO V ALO

(fi)

NÚM E NÚM E D ATO D ATO IN T E R

35 8 4 4 .0 0 9 8 .4 1 7

.6 .1 .4 .4 .0 .6 .1 .1 .3 .2 .8 .3

FREC . ACUM ULAD A AB SO LUTA 6 11 24 30 33 34 34 35

PRESENTACION DE DATOS-OCTUBRE Q R IO L A D is t r it o d e A Ñ O 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

A N T IG U A , C A R R R IZ A L , V E R . (M m r ie g o 0 3 5 L a a n tig u a , V e r . O C T A Ñ O 9 6 7 1 6 4 .6 0 1 9 7 9 6 8 1 5 1 .3 4 1 9 8 9 6 9 1 4 9 .3 7 1 9 8 9 7 0 1 9 4 .0 1 1 9 8 9 7 1 2 1 4 .1 0 1 9 8 9 7 2 1 4 0 .6 0 1 9 8 9 7 3 1 6 7 .7 5 1 9 8 9 7 4 1 4 7 .0 0 1 9 8 9 7 5 1 1 6 .4 5 1 9 8 9 7 6 1 8 7 .9 9 1 9 8 9 7 7 1 4 0 .9 5 1 9 8 9 7 8 1 1 1 .1 5 1 9 9 3 4 8 1 0 3 .0 0 5 0 9 .3 1 5 1

N o . D E IN T E R V A L O 1 2 3 4 5 6 7 8

N Ú M E N Ú M E D A T O D A T O IN T E R

R O D E D A T O S R O D E IN T E R V M E N O R H IS T O M A Y O R H IS T O V A L O

H A R R

1 1 2 2 3 3 4 4

0 5 0 5 0 5 0 6

3 4 5 6 7 8 9 0

0 0 0 0 0 0 0 0

O C T 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

A Ñ O 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1

0 6 0 5 4 3 4 0 5 2 0 6

M E D IO 1 2 2 3 3 4 4 5

5 0 5 0 5 0 6 1

4 5 6 7 8 9 0 1

5 5 6 8 1 1 1 1 8 6 3 1

.3 .2 .6 .7 .7 .5 .4 .1 .3 .9 .6 .0

6 8 6 1 9 7 3 8 7 2 1 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2

.0 .0 .0 .0 .0 .0 .0 .0

0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 2 2 3 3 4 4

2 7 3 8 3 8 3 8

8 9 0 1 2 3 4 5

9 9 9 9 9 9 9 9 9 0

9 9 9 9 9 9 9 9 9 0

O C T 2 2 1 1 1 1 5 4 3 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

1 9 3 .1 7 9 4 2 .2 7 2 4 6 8 9 .1 1 9 4 2 8 1 2 .2 0 9 7 6 5 2 9

P U N T O

C L A S E ] .0 .0 .0 .0 .0 .0 .0 .0

)

IT O R IC O S L O S D E C L A S E IC O IC O

IN T E R V A L O (D E

3

.5 .5 .5 .5 .5 .5 .5 .5

6 6 1 9

M V D C

E A E O

D R S E

F R E C U E N C IA

A B S O L U T A

R E L A T IV A

1 3 1 2 4 2 1 0 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0

.3 .3 .1 .0 .0 .0 .0 .0

8 5 1 5 2 0 2 2

2 2 7 8 9 0 9 9

3 4

1 .0 0 0 0

4 9 6 8 4 0 4 4

Q O C T 0 .4 5 0 0 0 .4 0 0 0 0 .3 5 0 0

(fi)

0 .3 0 0 0 0 .2 5 0 0 0 .2 0 0 0 0 .1 5 0 0 0 .1 0 0 0 0 .0 5 0 0 0 .0 0 0 0 1 5 4 .0 0

2 0 5 .0 0

2 5 6 .0 0

3 0 7 .0 0

3 5 8 .0 0

Q (M m 3 )

4 0 9 .0 0

4 6 0 .0 0

1 2 7 2 5 3 9 8 3 6

.0 .6 .3 .2 .0 .9 .3 .8 .4 .3

3 9 2 0 6 5 1 1 2 9

IA IA N Z A V IA C IO N E S T A N D A R F IC IE N T E D E A S IM E T R IA

F R E C U E N C IA

0 0 0 0 0 0 0 0

9 3 8 4 6 9 0 4 3 7

5 1 1 .0 0

F R E C . A C U M U L A D A R E L A T IV A 0 0 0 0 0 0 0 1

.3 .7 .8 .9 .9 .9 .9 .0

8 4 5 1 4 4 7 0

F R E C . A C U M U L A D A A B S O L U T A 1 2 2 3 3 3 3 3

3 5 9 1 2 2 3 4

Distribución Normal Por ejemplo, los volúmenes de Enero se parecen más a una distribución Normal.

Distribución Log-Normal Por ejemplo, los volúmenes de Octubre se parecen más a una distribución LogNormal.

Distribución Acumulada de Probabilidades

DISTRIBUCIONES MÁS COMUNES EN HIDROLOGÍA DISCRETAS • Binomial

CONTINUAS • Normal • Log-normal • Log Pearson Tipo III (Pearson=Gama) • Gumbel (Valor extremo tipo I)

¿Como hacer la estimación de los volumenes? • Método Gráfico (normal y log-normal) • Método teórico (con cálculos)

Distribuciones continuas función de densidad Para una variable aleatoria continua, el area bajo la función de densidad f(x) representa probabilidad y el área bajo la función es igual a 1: x2

P(x1 ≤ x ≤ x2 ) = ∫ f (x)dx x1 ∞

∫ f (x)dx =1.0

−∞

Función de densidad acumulada x1

F(x1) = P(−∞≤ x ≤ x1) = ∫ f (x)dx −∞

Pe =1− F Pe + F =1 0 ≤ F(x) ≤1.0

METODOS DE CÁLCULO DE CUANTILES • MÉTODOS GRÁFICOS • METODO DE MOMENTOS • METODO DE MAXIMA VEROSIMILITUD

MÉTODO DE MOMENTOS Momentos de una distribución: las funciones probabilísticas tienen sus momentos y estos a su vez tienen relación con sus parámetros. Los momentos permiten caracterizar la forma de la función. Por lo tanto si se le encuentran los momentos se puede encontrar a la función y a su forma.

Momentos alrededor del Orígen Para una distribución discreta y una distribución continua el n-ésimo momento alrededor del orígen puede ser definido como:

µ´´N = µ

´ ´N

=

∞

N x ∑ i P ( xi )

discreta

i = −∞ ∞

x f ( x ) dx ∫ N

−∞

continua

Primer momento alrededor del orígen El primer momento alrededor del orígen es la media o promedio o el valor esperado denotado por la “esperanza”. El primer momento es un parámetro de localización porque indica que parte alrededor del eje x se localiza la mayor parte de la distribución:

E ( x) = µ =

∞

∑ x P( x )

i = −∞

E ( x) = µ =

i

i

discreta

∞

∫x

−∞

f ( x ) dx

continua

METODO DE LOS MOMENTOS DISTRIBUCION NORMAL • Sacar media y desviación estandard (XMEDIA , Sx) • Proponer valor de Prob. Excedencia (Pe) • Calcular F = 1-Pe • En Tablas buscar la Z que corresponda a F EXCEL = DISTR.NORM.ESTAND.INV(Valor de F)

• X(Pe)= XMEDIA+Sx * Z

1) Sacar log base 10 a los volumenes 2) Obtener la media y desviación estándar para los logaritmos de los datos históricos para cada mes (Y, Sy) 3) Proponer valor Pe 4) F=1-Pe y por lo tanto la Z de tablas o con Excel 5) Aplicar la siguiente fórmula de abajo 6) Sacar antilogaritmo a las Y

yT = y + Z T s y

METODO DE MOMENTOS-ENERO C Á L C U L O D E P R O B A B IL ID A D E S Y P E R IO D O S D E R E T O R N O E M P ÍR IC O S C Á L C U L O D E Q C O N D IS T R IB U C IÓ N : N O R M A L Y L O G N O R M A L , R ÍO L A A N T IG U A , C AR R IZ AL , V E R . M É X IC O ENERO (L O G B AS E 1 0 ) AÑO QMAX 3 Mm 1994 9 8 .4 1 1 .9 9 3 1 1992 8 1 .8 1 1 .9 1 2 8 1999 7 5 .6 4 1 .8 7 8 8 1987 7 4 .3 5 1 .8 7 1 3 1981 7 3 .4 7 1 .8 6 6 1 1979 6 8 .6 0 1 .8 3 6 3 2001 6 8 .4 7 1 .8 3 5 5 1990 6 7 .3 6 1 .8 2 8 4 1974 6 6 .8 4 1 .8 2 5 0 1982 6 6 .4 2 1 .8 2 2 3 1967 6 5 .6 6 1 .8 1 7 3 1993 6 4 .4 9 1 .8 0 9 5 1998 6 4 .2 1 1 .8 0 7 6 1985 6 4 .1 7 1 .8 0 7 4 2000 6 3 .9 9 1 .8 0 6 1 1973 6 3 .3 7 1 .8 0 1 9 1969 6 2 .3 1 1 .7 9 4 6 1980 6 2 .1 8 1 .7 9 3 6 1984 6 1 .6 4 1 .7 8 9 8 1991 6 1 .2 1 1 .7 8 6 8 1983 6 1 .0 0 1 .7 8 5 3 1988 6 0 .2 8 1 .7 8 0 2 1986 5 9 .1 9 1 .7 7 2 2 1972 5 8 .3 6 1 .7 6 6 1 1995 5 6 .7 8 1 .7 5 4 2 1971 5 6 .7 3 1 .7 5 3 8 1997 5 5 .1 5 1 .7 4 1 6 1996 5 4 .5 4 1 .7 3 6 7 1989 5 2 .8 5 1 .7 2 3 0 1968 5 0 .9 0 1 .7 0 6 7 1977 5 0 .9 0 1 .7 0 6 7 1975 4 9 .9 4 1 .6 9 8 5 1970 4 9 .3 3 1 .6 9 3 1 1978 4 7 .8 9 1 .6 8 0 2 1976 4 4 .6 4 1 .6 4 9 7 (T ) 5 0 0 .0 0 2 0 0 .0 0 1 0 0 .0 0 5 0 .0 0 2 5 .0 0 1 0 .0 0 5 .0 0 2 .0 0 1 .6 7 1 .5 0 1 .3 3 1 .2 5 1 .1 0 1 .0 1

(P e ) 0 .0 0 2 0 0 .0 0 5 0 0 .0 1 0 0 0 .0 2 0 0 0 .0 4 0 0 0 .1 0 0 0 0 .2 0 0 0 0 .5 0 0 0 0 .6 0 0 0 0 .6 6 6 7 0 .7 5 0 0 0 .8 0 0 0 0 .9 0 9 1 0 .9 9 0 0

(F ) 0 .9 9 8 0 0 .9 9 5 0 0 .9 9 0 0 0 .9 8 0 0 0 .9 6 0 0 0 .9 0 0 0 0 .8 0 0 0 0 .5 0 0 0 0 .4 0 0 0 0 .3 3 3 3 0 .2 5 0 0 0 .2 0 0 0 0 .0 9 0 9 0 .0 1 0 0

Z 2 .8 7 8 2 2 .5 7 5 8 2 .3 2 6 3 2 .0 5 3 7 1 .7 5 0 7 1 .2 8 1 6 0 .8 4 1 6 0 .0 0 0 0 -0 .2 5 3 3 -0 .4 3 0 7 -0 .6 7 4 5 -0 .8 4 1 6 -1 .3 3 5 2 -2 .3 2 6 4

n= 35 Xm = 6 2 .3 7 S= 1 0 8 .7 1 4 De= 1 0 .4 2 6 6 Cs= 1 .1 6 7 4 4 D A T O S N O R M AL E S

N O R M AL 3 Q (M m ) 9 2 .3 8 8 9 .2 3 8 6 .6 3 8 3 .7 9 8 0 .6 3 7 5 .7 4 7 1 .1 5 6 2 .3 7 5 9 .7 3 5 7 .8 8 5 5 .3 4 5 3 .6 0 4 8 .4 5 3 8 .1 2

L O G -N O R M AL 3 Z Q (M m ) 2 .8 7 8 2 9 7 .5 0 2 .5 7 5 8 9 2 .9 1 2 .3 2 6 3 8 9 .2 8 2 .0 5 3 7 8 5 .4 8 1 .7 5 0 7 8 1 .4 4 1 .2 8 1 6 7 5 .5 7 0 .8 4 1 6 7 0 .4 4 0 .0 0 0 0 6 1 .5 9 -0 .2 5 3 3 5 9 .1 5 -0 .4 3 0 7 5 7 .5 0 -0 .6 7 4 5 5 5 .3 0 -0 .8 4 1 6 5 3 .8 5 -1 .3 3 5 2 4 9 .7 7 -2 .3 2 6 4 4 2 .4 8 1 .7 9 0 .0 0 4 8 1 0 .0 6 9 3 2 0 .4 6 1 4 C O N L O G AR IT M O S

METODO DE MOMENTOS-OCTUBRE CÁLCULO DE PROBABILIDADES Y PERIODOS DE RETORNO EMPÍRICOS CÁLCULO DE Q CON DISTRIBUCIÓN: NORMAL, LOGNORMAL RÍO LA ANTIGUA, CARRIZAL, VER. MÉXICO OCTUBRE (LOG BASE 10) AÑO QMAX Mm3 1997 509.31 2.7070 1998 448.81 2.6521 1999 333.42 2.5230 1991 291.03 2.4639 1982 258.71 2.4128 1985 241.43 2.3828 1992 232.69 2.3668 1971 214.10 2.3306 1981 206.66 2.3153 1986 201.18 2.3036 1970 194.01 2.2878 1996 193.95 2.2877 1976 187.99 2.2741 1993 187.32 2.2726 2000 176.39 2.2465 1973 167.75 2.2246 1980 165.28 2.2182 1995 165.06 2.2176 1967 164.60 2.2164 1990 161.00 2.2068 1987 158.37 2.1997 1968 151.34 2.1800 1969 149.37 2.1743 1974 147.00 2.1673 1994 142.20 2.1529 1983 141.79 2.1517 1977 140.95 2.1491 1972 140.60 2.1480 1984 131.57 2.1192 1988 126.92 2.1035 1975 116.45 2.0662 1978 111.15 2.0459 1979 105.36 2.0227 1989 103.61 2.0154 NORMAL (T) 500.00 200.00 100.00 50.00 25.00 10.00 5.00 2.00 1.67 1.50 1.33 1.25 1.10 1.01

(Pe) 0.0020 0.0050 0.0100 0.0200 0.0400 0.1000 0.2000 0.5000 0.6000 0.6667 0.7500 0.8000 0.9091 0.9900

(F) 0.9980 0.9950 0.9900 0.9800 0.9600 0.9000 0.8000 0.5000 0.4000 0.3333 0.2500 0.2000 0.0909 0.0100 n= Xm= S= De= Cs= DATOS NORMALES

(K=z) 2.8782 2.5758 2.3263 2.0537 1.7507 1.2816 0.8416 0.0000 -0.2533 -0.4307 -0.6745 -0.8416 -1.3352 -2.3264 34 193.16 7942.27247 89.1194281 2.2097653

3

Q (Mm ) 449.66 422.71 400.48 376.19 349.18 307.37 268.16 193.16 170.58 154.77 133.05 118.15 74.17 -14.17

LOG-NORMAL (K=z) 2.8782 2.5758 2.3263 2.0537 1.7507 1.2816 0.8416 0.0000 -0.2533 -0.4307 -0.6745 -0.8416 -1.3352 -2.3264

3

Q (Mm ) 519.48 464.51 423.55 382.92 342.30 287.76 244.54 179.11 163.08 152.72 139.55 131.19 109.29 75.74

2.25 0.025817316 0.160677677 1.098694637 CON LOGARITMOS