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´ ANALISIS DE VARIABLE REAL V´ıctor Manuel S´anchez de los Reyes
Departamento de An´alisis Matem´atico Universidad Complutense de Madrid
´Indice
1. Los n´ umeros reales, sucesiones y series 1.1. Los n´ umeros naturales. Inducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 7
1.2. Los n´ umeros enteros y racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. Sucesiones y series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. Los n´ umeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.1. Expresi´on decimal de los n´ umeros racionales . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.2. Los n´ umeros irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.3. Ordenaci´on. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.4. Supremo e ´ınfimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.5. Construcciones con n´ umeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.6. El teorema de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.7. Subsucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.8. L´ımites superior e inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.9. La propiedad de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5. Series convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.5.1. Comparaci´on de series de t´erminos positivos . . . . . . . . . . . . . 29 1.5.2. Series alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.3. Convergencia absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.4. Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.5.5. Producto de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3
2. Funciones, l´ımites y continuidad
39
2.1. Funciones reales de variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2. L´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3. Derivaci´ on
51
3.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2. T´ecnicas para el c´alculo de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3. Propiedades de las funciones derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3.1. Crecimiento y decrecimiento. M´aximos y m´ınimos locales . . . . . . 56 3.3.2. El teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3.3. Derivadas de orden superior y el teorema de Taylor . . . . . . . . . 60 3.3.4. An´alisis local de una funci´on derivable . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4. Integraci´ on
67
4.1. C´alculo de primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.2. La integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.3. El teorema fundamental del C´alculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.4. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.5. Aplicaciones de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.5.1. Longitud de la gr´afica de una funci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.5.2. Volumen y superficie lateral de un cuerpo de revoluci´on . . . . . . . 79 4.5.3. Las funciones trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.5.4. Las funciones logar´ıtmica y exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5. Sucesiones y series de funciones
83
5.1. Convergencia puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.2. Convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4
5.3. Propiedades de la funci´on l´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.3.1. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.3.2. Integraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.3.3. Derivaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.4. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Bibliograf´ıa
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5
Tema 1 Los n´ umeros reales, sucesiones y series 1.1.
Los n´ umeros naturales. Inducci´ on
Definici´ on 1.1.1. Los n´ umeros naturales son los n´ umeros 1, 2, 3, . . . y N designa a la colecci´on de todos ellos. Los axiomas de Peano constituyen una caracterizaci´on de N: 1. En N hay un elemento distinguido, 1. 2. Para cada n ∈ N est´a definido en N de manera u ´nica el siguiente de n, n+ , que verifica n+ 6= 1. 3. n+ = m+ implica que n = m. 4. (Principio de inducci´on matem´atica) Si un subconjunto A de N verifica que 1 ∈ A y, si k ∈ A, resulta tambi´en que k + ∈ A, entonces A = N. Definici´ on 1.1.2. Para definir la suma en N se procede as´ı: se fija un elemento arbitrario n ∈ N y se trata de definir n + m cuando m recorre N. Para ello se define n + 1 = n+ y n + m+ = (n + m)+ . De forma an´aloga, las relaciones n · 1 = n y n · m+ = n · m + n sirven para definir el producto. Por otra parte, n > m significa que n = m + d para alg´ un d ∈ N, y en estas circunstancias d se designa n − m, y se llama diferencia de n a m. El principio de inducci´on nos sirve para establecer que una determinada propiedad P (n) es verdadera para todo n ∈ N, de la forma siguiente: 1. Comprobamos que P (1) es verdadera. 7
2. Probamos que si P (k) es verdadera, entonces P (k + 1) es verdadera. En general, fijado n0 ∈ N, podemos establecer que una propiedad P (n) es verdadera para cada n ≥ n0 cuando se cumple: 1. P (n0 ) es verdadera. 2. Si P (k) es verdadera (k ≥ n0 ), entonces P (k + 1) es verdadera. O bien: 1. P (n0 ) es verdadera. 2. Si P (i) es verdadera para cada i tal que n0 ≤ i ≤ k, entonces P (k + 1) es verdadera. Definici´ on 1.1.3. Dado n ∈ N se define el factorial de n como n! = n(n − 1)(n − 2) · · · 2 · 1. Definici´ on 1.1.4. Dados n ∈ N y k ∈ N ∪ {0} con k ≤ n se define el n´ umero combi n natorio k como n n! = k!(n − k)! k con la convenci´on 0! = 1. Los n´ umeros combinatorios tienen las dos propiedades siguientes cuya comprobaci´on es inmediata a partir de la definici´on anterior: 1. 2.
n k
= n+1 k
n n−k
=
.
n k−1
+
n k
con 0 < k ≤ n.
A partir de la propiedad anterior se demuestra por inducci´on la f´ormula de Newton: Teorema 1.1.5. Dado n ∈ N se tiene que (a + b)n =
n P k=0
Ejercicios 1. Calcula la suma de: a) Los n primeros n´ umeros naturales. b) Los n primeros n´ umeros impares. 8
n k
an−k bk .
c) Los n primeros cubos. d ) Los n primeros cuadrados. e) Las potencias con exponente p ∈ N de los n primeros n´ umeros naturales. f ) Las potencias con exponente p ∈ N de los n primeros n´ umeros impares. 2. Prueba por inducci´on las siguientes igualdades y desigualdades, siendo en todos los casos n ∈ N: a) sen x2 (sen x + sen 2x + · · · + sen nx) = sen nx sen (n+1)x . 2 2 b) sen x2 [1 + 2(cos x + cos 2x + · · · + cos nx)] = sen n + 21 x. c) sen x2 (cos x + cos 2x + · · · + cos nx) = sen nx cos (n+1)x . 2 2 d ) sen x2 sen x2 + sen 1 + 21 x + · · · + sen n + 12 x = sen2 e) 1 +
n 2
≤ 1 + 12 + 13 + · · · +
1 2n
(n+1)x . 2
≤ n + 1.
f ) (1 + a)n ≥ 1 + an, siendo a > −1. g) 22n > n2 . h) i) j) k) l)
√
2n 24 · · · 2n−1 > 2n + 1. 13 k+1 n n n k n−k n x − x + · · · + (−1) x ≥ 0, siendo 0 ≤ x ≤ 1 y k k+1 n n(1 + x)n−1 = n1 + n2 2x + · · · + nn nxn−1 . n(n − 1)(1 + x)n−2 = n2 2 + n3 3 · 2x + · · · + nn n(n − 1)xn−2 , n X k n+1
k2 = 2 + (n − 1)2
k = 0, 1, . . . , n.
siendo n ≥ 2.
.
k=1
m) 2n ≤ (n + 1)!. n)
1 1·2
n ˜)
1 3
+
+
1 2·3
1 15
+ ··· +
+ ··· +
1 n(n+1)
=
n . n+1
1 4n2 −1
n . 2n+1
√1 5
√ n 1+ 5 2
3. Demuestra que xn =
= h
−
√ n i 1− 5 2
4. Prueba que para todo n ∈ N: a) 22n + 15n − 1 es m´ ultiplo de 9. b) 5n − 1 es m´ ultiplo de 4. c) 7n − 6n − 1 es m´ ultiplo de 36. d ) n5 − n es m´ ultiplo de 5. e) 11n+2 + 122n+1 es m´ ultiplo de 133. f ) 22n+1 + 1 es m´ ultiplo de 3. 9
∈ N para todo n ∈ N.
g) 4n+1 + 52n−1 es m´ ultiplo de 21. h) 106n+2 + 103n+1 + 1 es m´ ultiplo de 111. 5. Demuestra que cualquier n´ umero de botellas mayor que 7 se puede envasar en bolsas de 3 y 5 botellas.
1.2.
Los n´ umeros enteros y racionales
Se trata ahora de obtener el conjunto Z de los n´ umeros enteros apoy´andose en el ya conocido N. Al par ordenado (a, b) de n´ umeros naturales se asocia el entero positivo a − b si a > b, 0 si a = b y el entero negativo −(b − a) si a < b. Se observa as´ı que a pares distintos puede asociarse el mismo n´ umero entero n. Precisamente, se establece que la colecci´on de tales pares constituye la identidad de n. Definici´ on 1.2.1. Las definiciones de suma, producto y ordenaci´ on en Z son las siguientes: 1. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). 2. (a, b) · (c, d) = (ac + bd, bc + ad). 3. (a, b) > (c, d) significa que a + d > b + c. Observaci´ on 1.2.2. Estas definiciones coinciden con las de N cuando se trata de enteros positivos y son independientes de la elecci´on del par ordenado que representa a cada n´ umero. A cada par ordenado (a, b) con b 6= 0 de n´ umeros enteros se asocia la fracci´on ab . Definici´ on 1.2.3. La suma y el producto de fracciones se define mediante a c ad + bc + = b d bd y
ac ac = . bd bd a La fracci´on b se llama positiva si ab > 0, siendo positiva la suma y el producto de 0 fracciones positivas. Que dos fracciones ab y ab0 son equivalentes significa que ab0 = a0 b. La colecci´on de todas las fracciones que son equivalentes entre s´ı se llama n´ umero racional, y el conjunto de todos ellos se designa por Q. 10
Observaci´ on 1.2.4. En las definiciones de suma y producto de dos fracciones la sustituci´on de un t´ermino por una fracci´on equivalente produce un resultado equivalente. Por esta raz´on, se establecen con tales definiciones la suma y el producto de n´ umeros racionales. Asimismo, las fracciones equivalentes a una positiva lo son tambi´en, el n´ umero + correspondiente se llama positivo, y la colecci´on de todos ellos se designa por Q . Que x ∈ Q+ se denota tambi´en x > 0. Por otra parte, si una fracci´on ab es tal que existe un entero n que verifica a = bn, 0 entonces cualquier fracci´on ab0 equivalente a ab verifica tambi´en que a0 = b0 n. En estas circunstancias el n´ umero racional correspondiente se identifica con n, y de esta forma se puede considerar que Z ⊂ Q. Tambi´en resulta que las definiciones que se han establecido en Q coinciden con las de Z cuando se refieren a los elementos de Q que se identifican con los enteros. Las propiedades de la suma, el producto y la ordenaci´on en Q son las siguientes: 1. Propiedad asociativa de la suma: (x + y) + z = x + (y + z). 2. Propiedad conmutativa de la suma: x + y = y + x. si ab 3. x + 0 = x y x + (−x) = 0 (−x se llama opuesto de x, y est´a definido por −a b representa a x. El n´ umero x + (−y) se designa tambi´en x − y y es el u ´nico z que verifica x = y + z). 4. Propiedad asociativa del producto: (xy)z = x(yz). 5. Propiedad conmutativa del producto: xy = yx. 6. x1 = x y xx−1 = 1 si x 6= 0 (x−1 se llama inverso de x, y est´a definido por ab si ab representa a x. El n´ umero xy −1 con y 6= 0 se designa tambi´en x : y y es el u ´nico z tal que x = yz). 7. Propiedad distributiva: x(y + z) = xy + xz. 8. Cada x ∈ Q verifica una y solo una de las relaciones x > 0, x = 0 y −x > 0 (el valor absoluto de x, |x|, se define as´ı: |0| = 0, y si x 6= 0, |x| es el u ´nico n´ umero positivo del conjunto {x, −x}). 9. Si x, y > 0, entonces x + y > 0. 10. Si x, y > 0, entoces xy > 0. 11. (Consecuencia de 8) Dados x, y ∈ Q, se verifica una y solo una de las relaciones x > y, x = y y x < y (x > y (o y < x) significa x − y > 0). 11
12. (Consecuencia de 9) Propiedad transitiva del orden: si x > y e y > z, entonces x > z. 13. Si x > y, entonces x + z > y + z. 14. (Consecuencia de 10) Si x > y y z > 0, entonces xz > yz. El valor absoluto tiene las siguientes propiedades: 1. |x + y| ≤ |x| + |y|. 2. |xy| = |x||y|. 3. (Consecuencia de 1) |x + y| ≥ |x| − |y|. Finalmente, se verifica tambi´en la llamada propiedad arquimediana: dados x > 0 y n ∈ N, existe m ∈ N tal que mx > n. Definici´ on 1.2.5. Dos conjuntos infinitos tienen el mismo cardinal si se puede establecer entre ellos una biyecci´on. Los conjuntos que tienen el mismo cardinal que N se llaman numerables. Ejemplo 1.2.6. Q es numerable. En efecto, basta con ordenar Q de la siguiente forma: 0 1 −1 1 −1 2 −2 1 −1 3 −3 1 −1 2 −2 3 −3 4 −4 , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,··· . 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 4 4 3 3 2 2 1 1 Ejercicios 1. Establece una biyecci´on entre N y el conjunto A = {x ∈ Q : 2 < x < 3}. 2. Demuestra que no existe x ∈ Q tal que x2 = 2. √ √ √ √ 3. Sean x, y ∈ Q+ tales que x + y ∈ Q. Prueba que x, y ∈ Q. 4. Averigua si log4 5 ∈ Q.
1.3.
Sucesiones y series
Hay muchos procesos que llevan a asociar a cada n ∈ N un determinado n´ umero xn y se obtiene as´ı un objeto x1 , x2 , x3 , . . . , xn , . . . llamado sucesi´ on. 12
La mayor parte de las veces una sucesi´on se determina mediante una f´ormula para n umero obtener xn a partir de n. Por ejemplo: xn = 1 + n1 . Otras veces se indica qu´e n´ es x1 y qu´e f´ormula permite obtener cada uno de los dem´as a partir del anterior. Por 1 2 ejemplo: x1 = 2, xn+1 = 2 xn + xn . En general se llama sucesi´on recurrente a aquella en la que, a partir de alguno de sus t´erminos, todos se obtienen mediante una f´ormula (de recurrencia) que los relaciona con uno o varios t´erminos precedentes. Es necesario entonces indicar expl´ıcitamente los primeros t´erminos y utilizar la f´ormula a partir del siguiente. No es necesario enumerar los t´erminos de una sucesi´on a partir de 1. Puede hacerse a partir de n0 ∈ N, a partir de 0, etc. Definici´ on 1.3.1. Se dice que una sucesi´on xn es creciente (estrictamente creciente) si xn ≤ xn+1 (xn < xn+1 ) para todo n ∈ N y que es decreciente (estrictamente decreciente) si xn ≥ xn+1 (xn > xn+1 ) para todo n ∈ N. Todos estos tipos de sucesiones se denominan sucesiones mon´ otonas. Definici´ on 1.3.2. Una sucesi´on xn est´a acotada superiormente (inferiormente) si existe un n´ umero A tal que xn ≤ A (xn ≥ A) para todo n ∈ N. Se dice entonces que A es una cota superior (inferior) de la sucesi´on. Si xn est´a acotada superior e inferiormente se dice que est´a acotada. La observaci´on de una sucesi´on creciente y acotada superiormente nos sugiere que existe un n´ umero x al cual los t´erminos de la sucesi´on se acercan cada vez m´as, llegando a estar tan pr´oximos a ´el como se pueda desear. Definici´ on 1.3.3. Se dice que el n´ umero x es el l´ımite de la sucesi´on xn o que xn converge a x y se expresa mediante l´ım xn = x si para todo > 0 existe n0 ∈ N tal n→∞
que para todo n ∈ N con n ≥ n0 se tiene que |xn − x| < . Se dice entonces que xn es convergente. Las sucesiones que no son convergentes se denominan divergentes. Definici´ on 1.3.4. Se dice que la sucesi´on xn tiene l´ımite +∞ y se expresa mediante l´ım xn = +∞ si para todo A > 0 existe n0 ∈ N tal que para todo n ∈ N con n ≥ n0 se n→∞ tiene que xn > A. An´alogamente se define que la sucesi´on xn tiene l´ımite −∞. Definici´ on 1.3.5. Dada la sucesi´on an , se dice que s es la suma de la serie
∞ P
an si la
n=1
sucesi´on de sumas parciales sk =
k X
an
n=1
con k ∈ N, converge a s. Se dice entonces que dicha serie es convergente. Si la sucesi´ on de sumas parciales es divergente, se dice que la serie es divergente. 13
Ejercicios 1 1 1 + n+2 +· · ·+ n+n es decreciente y que todos los t´erminos 1. Demuestra que xn = n1 + n+1 de la sucesi´on son menores que 2.
2. Se considera la sucesi´on xn dada por x1 = 1 y xn+1 = xn < 6 para todo n ∈ N y que xn es creciente. 3. Sea la sucesi´on xn dada por x1 = 32 y xn+1 = 2 − para todo n ∈ N y que xn es decreciente.
1 . xn
1 x 3 n
+ 4. Demuestra que
Demuestra que 1 ≤ xn ≤ 2
4. Determina el l´ımite de cada una de las sucesiones siguientes:
d ) xn =
n+100 . n2 +1 2n+1 . 3n+500 1 + 21 + 13 2n2 +5n−1 . 3n3 +2n+1
e) xn =
n3 −n2 −1 . 100n2 +25
f ) xn =
3n3 +100 . 2n3 −100
a) xn = b) xn = c) xn =
+ · · · + n1 .
5. Estudia la convergencia de: a) 1, 0, 1, 0, 1, 0, . . . b) xn = [1 + (−1)n ] 21n + [1 + (−1)n+1 ] n2 . 6. Demuestra que las siguientes sucesiones son mon´otonas, acotadas y no tienen l´ımite racional: 2 1 a) x1 = 2, xn+1 = 2 xn + xn . b) xn =
1 0!
+
1 1!
+
1 2!
+ ··· +
1 . n!
7. Estudia la convergencia de: a) b)
∞ P
(−1)n .
n=1 ∞ P n=1
1 . n
c) La serie geom´etrica
∞ P
atn .
n=0
d) e)
∞ P n=1 ∞ P n=0
√1 . n 3n+1 −2n−3 . 4n
14
8. Demuestra que, dado k ∈ N, todas las sumas parciales de la serie
∞ P n=k+1
menores que
1 n!
son
1 . k!k
9. Demuestra que todas las sumas parciales de la serie
∞ P n=1
1 n2
son menores que 2.
1 1 1 10. Dada la sucesi´on xn = n1 + n+1 + n+2 +· · ·+ n+n , calcula los cuatro primeros t´erminos de una serie cuyas primeras sumas parciales sean los cuatro primeros t´erminos de xn .
1.4. 1.4.1.
Los n´ umeros reales Expresi´ on decimal de los n´ umeros racionales
Nos vamos a referir solamente a fracciones pq tales que 0 < p < q ya que cualquier otra fracci´on es la suma de un entero y una fracci´on de ese tipo. El proceso de las divisiones sucesivas correspondiente a p q
= =
10p 10−1 q
0.a1 +
10r1 10−2 q
2 = 0.a1 a2 + 10r 10−3 q = 0.a1 a2 a3 + rq3 10−3
p q
se puede describir as´ı:
a1 + rq1 10−1 r2 = 0.a1 + a2 + q 10−2 = 0.a1 a2 + a3 + rq3 10−3 = ··· =
Los restos sucesivos rn son todos menores que el divisor q, por lo cual, o bien se llega a un resto 0 y el proceso se termina, o bien se tiene que repetir alguno de los restos en las q primeras divisiones, y a partir de ah´ı el proceso es peri´odico. Los cocientes an son enteros no negativos menores que 10. Observaci´ on 1.4.1. La aplicaci´on de este proceso a dos fracciones equivalentes produce la misma sucesi´on de cocientes. Esto significa que tal sucesi´on viene determinada un´ıvocamente por un n´ umero racional. Por tanto, el proceso de las divisiones sucesivas determina una representaci´on peri´odica 0.a1 a2 . . . ar ar+1 ar+2 . . . ar+s ar+s+1 . . . en la que a partir de alguna posici´on un bloque de cifras (per´ıodo) empieza a repetirse, es decir, ar+s+1 = ar+1 , etc. 15
Dicha representaci´on infinita la interpretamos como la serie ∞ X an 10−n n=1
cuya suma parcial n-´esima es 0.a1 a2 . . . an . Ya que p rn = 0.a1 a2 . . . an + 10−n q q y 0 ≤ rn < q para cada n ∈ N resulta p 0 ≤ − 0.a1 a2 . . . an < 10−n q y esto prueba que la suma de la serie es pq cuya representaci´on decimal es la de partida salvo que ´esta tuviera per´ıodo 9. De aqu´ı se deduce que dos n´ umeros racionales distintos no pueden tener la misma representaci´on decimal. Definici´ on 1.4.2. El mayor entero menor o igual que x ∈ Q se denomina parte entera de x, y se designa por [x]. Observaci´ on 1.4.3. Dado x ∈ Q, x − [x] es un n´ umero racional no negativo y menor que 1.
1.4.2.
Los n´ umeros irracionales
Definici´ on 1.4.4. Las expresiones decimales no peri´odicas las denominaremos n´ umeros irracionales. Ejemplos 1.4.5. 1. Consideremos la sucesi´on xn del primer apartado del Ejercicio 6 de la secci´on anterior con l´ımite irracional x. Ya que x2n converge a 2, se tiene que x2 = 2 debido a √ que |x2n − x2 | = |xn + x||xn − x| < 4|xn − x|. Por tanto, x = 2. Usando que √ |x2n − 2| 1 √ < n |xn − 2| = 2 |xn + 2| √ para todo n ≥ 3 podemos aproximar 2 con tantas cifras decimales exactas como se quiera. 2. Al l´ımite irracional x de la sucesi´on xn del segundo apartado del Ejercicio 6 de la secci´on anterior se le designa por e. Usando el Ejercicio 8 de la secci´on anterior podemos aproximar e con tantas cifras decimales exactas como queramos. 3. La relaci´on entre la longitud de una circunferencia y la de su di´ametro es un n´ umero irracional 3,141592 . . . que se designa por π. Definici´ on 1.4.6. Los n´ umeros racionales y los irracionales constituyen el conjunto R de los n´ umeros reales. 16
1.4.3.
Ordenaci´ on. Intervalos
La ordenaci´on de R se establece en los siguientes t´erminos: Definici´ on 1.4.7. x > y (o y < x) significa que [x] > [y], o bien [x] = [y] y en la primera posici´on en la que difieren las cifras de las partes decimales es mayor la cifra correspondiente a x. Que x es positivo significa que x > 0, y R+ designa al conjunto de los n´ umeros reales positivos. La relaci´on x ≥ y (o y ≤ x) significa que x > y o bien x = y. Observaci´ on 1.4.8. Sea x ∈ R con parte decimal 0.a1 a2 a3 . . .. Las sumas parciales de ∞ P la serie [x] + an 10−n constituyen la sucesi´on creciente de n´ umeros racionales xn = n=1
[x] + 0.a1 a2 a3 . . . an la cual est´a acotada inferiormente por [x] y superiormente por x, y adem´as converge a x, es decir, x es la suma de dicha serie. Definici´ on 1.4.9. Dados a, b ∈ R con a < b se definen los intervalos acotados de extremos a y b de la siguiente forma: (a, b) = {x ∈ R : a < x < b} [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} El primero se denomina intervalo abierto, y el segundo, cerrado. El n´ umero positivo b − a se denomina longitud de cada uno de ellos. Definici´ on 1.4.10. Dado a ∈ R se definen los intervalos no acotados de la siguiente forma: (a, +∞) = {x ∈ R : x > a} [a, +∞) = {x ∈ R : x ≥ a} (−∞, a) = {x ∈ R : x < a} (−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a} (−∞, +∞) = R Dado n ∈ Z, consideremos el intervalo [n, n + 1). Los diez intervalos disjuntos de la forma [n + k 10−1 , n + (k + 1)10−1 ) con 0 ≤ k ≤ 9 se denominan intervalos de la primera generaci´on. Pertenecer al mismo intervalo de la primera generaci´on significa tener igual la primera cifra decimal adem´as de la parte entera. Cada uno de los intervalos de la primera generaci´on lo dividimos en diez intervalos de la segunda generaci´on (los n´ umeros del mismo intervalo coinciden en las dos primeras cifras decimales) y as´ı sucesivamente. Cualquier n´ umero de [n, n+1) est´a determinado si se conocen los intervalos de las sucesivas generaciones a los que pertenece, pues ello equivale a conocer todas las cifras decimales del mismo. Observaci´ on 1.4.11. No puede suceder que los intervalos de las sucesivas generaciones a los que un determinado n´ umero pertenece tengan el mismo extremo derecho desde uno de ellos en adelante, pues entonces tal n´ umero tiene per´ıodo 9. 17
Definici´ on 1.4.12. Dados A, B conjuntos infinitos, se dice que el cardinal de B es mayor que el de A si existe una aplicaci´on inyectiva de A en B y no existe una biyecci´on de A en B. Ejemplo 1.4.13. El cardinal de cualquier intervalo de n´ umeros reales es mayor que el de N. En efecto, sean (a, b) ⊂ R, ak la primera cifra decimal de a menor que la correspondiente de b y ai la primera cifra decimal de a con i > k menor que 9. Definimos una aplicaci´on inyectiva f de N en (a, b) mediante f (n) = [a] + 0.a1 a2 . . . ai−1 + (ai + 1)10−i + 10−i−1 + 10−i−2 + · · · + 10−i−n con n ∈ N. Y cualquier aplicaci´on inyectiva f de N en (a, b) no es sobreyectiva ya que basta considerar un n´ umero de (a, b) que difiera en alguna cifra decimal con f (n) para todo n ∈ N.
1.4.4.
Supremo e ´ınfimo
Definici´ on 1.4.14. Sea A ⊂ R, A 6= ∅. Un n´ umero mayor (menor) o igual que cada elemento de A se llama cota superior (inferior) de A. Cuando A tiene cota superior (inferior) se dice que est´a acotado superiormente (inferiormente). Cuando suceden ambas cosas se dice que est´a acotado. Si A est´a acotado superiormente (inferiormente), puede haber un elemento m´ aximo (m´ınimo) que se designa m´ax A (m´ın A) y que es mayor (menor) o igual que todos los dem´as. Observaci´ on 1.4.15. No todos los conjuntos acotados tienen m´aximo y m´ınimo. Por ejemplo, (0, 1). Definici´ on 1.4.16. Sea A ⊂ R, A 6= ∅. Se definen el supremo y el ´ınfimo de A mediante sup A = m´ın{C ∈ R : x ≤ C ∀x ∈ A} e ´ınf A = m´ax{c ∈ R : x ≥ c ∀x ∈ A}. Observaci´ on 1.4.17. El intervalo [´ınf A, sup A] contiene a A y cualquier intervalo cerrado contenido en ´este y distinto de ´el no contiene a A. Teorema 1.4.18 (Teorema del supremo (´ınfimo)). Sea A ⊂ R, A 6= ∅ y acotado superiormente (inferiormente). Entonces existe sup A (´ınf A). 18
Demostraci´on. Sea s el m´ınimo entero cota superior de A. Si s ∈ A, entonces s = sup A. En otro caso, [s − 1, s) ∩ A 6= ∅. Los dem´as elementos de A carecen de inter´es en orden a obtener el supremo. Consideramos la descomposici´on de [s − 1, s) en los diez intervalos de la primera generaci´on y elegimos de ellos el situado m´as a la derecha entre los que tienen elementos de A. Dividimos ´este en los diez intervalos de la segunda generaci´on y elegimos otra vez el situado m´as a la derecha entre los que tienen elementos de A. As´ı continuamos indefinidamente. Los intervalos de las sucesivas generaciones que se han ido encontrando, o bien definen un n´ umero que pertenece a todos y es claramente sup A, o bien desde uno en adelante todos tienen el mismo extremo derecho, el cual es sup A. La prueba para ´ınf A se hace con un procedimiento an´alogo. Observaci´ on 1.4.19. Los t´erminos supremo e ´ınfimo se usan tambi´en para referirse a conjuntos A no acotados superiormente (sup A = +∞) o inferiormente (´ınf A = −∞). Observaci´ on 1.4.20. El supremo y el ´ınfimo de una sucesi´on se designan sup xn e ´ınf xn n∈N
n∈N
y son, respectivamente, el supremo y el ´ınfimo del conjunto constituido por los n´ umeros que son algunos de sus t´erminos. Observaci´ on 1.4.21. El supremo de una sucesi´on creciente es su l´ımite, al igual que el ´ınfimo de una decreciente.
1.4.5.
Construcciones con n´ umeros reales
Definici´ on 1.4.22. Dados x, y ∈ R con partes enteras a0 y b0 y partes decimales 0.a1 a2 . . . y 0.b1 b2 . . . respectivamente, se define la suma x+y como el l´ımite de la sucesi´on creciente y acotada superiormente (por ejemplo, por a0 + b0 + 2) a0 + b0 + 0.a1 a2 . . . an + 0.b1 b2 . . . bn . Si x + y = 0, o bien y = −x, se dice que y es el opuesto de x (y x el opuesto de y). La suma x + (−y) se expresa tambi´en de la forma x − y. Definici´ on 1.4.23. El valor absoluto de x ∈ R, |x|, se define as´ı: |0| = 0, y si x 6= 0, |x| es el u ´nico n´ umero positivo del conjunto {x, −x}. Observaci´ on 1.4.24. Puesto que −(−x) = x, resulta que | − x| = |x|. Por otra parte, la relaci´on |x| < es equivalente a x < y −x < , y lo mismo puede decirse de la relaci´ on |x| ≤ . Proposici´ on 1.4.25. 1. (Desigualdad triangular) Si x, y ∈ R, entonces |x + y| ≤ |x| + |y|. 2. Si x, y ∈ R, entonces |x + y| ≥ |x| − |y|. 3. Toda sucesi´on convergente est´a acotada. 19
4. Si l´ım xn = x y l´ım yn = y, entonces l´ım (xn + yn ) = x + y y l´ım (−xn ) = −x. n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
Demostraci´on. 1. Basta usar la observaci´on anterior y considerar los cuatro casos posibles, es decir, x, y ≥ 0, y < 0 ≤ x, x < 0 ≤ y y x, y < 0. 2. Sustituyendo en la desigualdad triangular x por x − y y despu´es y por −y se obtiene dicha desigualdad. 3. Basta usar la desigualdad triangular. 4. Idem.
Definici´ on 1.4.26. Dados x, y ∈ R con partes enteras a0 y b0 y partes decimales 0.a1 a2 . . . y 0.b1 b2 . . . respectivamente, se define el producto xy como el l´ımite de la sucesi´on a0 b0 + a0 0.b1 b2 . . . bn + b0 0.a1 a2 . . . an + 0.a1 a2 . . . an 0.b1 b2 . . . bn . Obs´ervese que los tres u ´ltimos sumandos constituyen sucesiones mon´otonas y acotadas, luego convergentes. Proposici´ on 1.4.27. 1. Si x, y ∈ R, entonces |xy| = |x||y|. 2. Si l´ım xn = x y l´ım yn = y, entonces l´ım (xn yn ) = xy. n→∞
n→∞
n→∞
3. Para cada x ∈ R con x 6= 0 existe su inverso x−1 que verifica xx−1 = 1. −1 4. Si l´ım xn = x 6= 0 y xn 6= 0 para todo ∈ N, entonces l´ım x−1 n = x . n→∞
n→∞
5. Si l´ım xn = x, l´ım yn = y y xn ≤ yn para todo n ∈ N, entonces x ≤ y. n→∞
n→∞
6. (M´etodo del sandwich para calcular el l´ımite de una sucesi´on xn ) Si yn ≤ xn ≤ zn para todo n ∈ N y l´ım yn = l´ım zn = x, entonces l´ım xn = x. En particular, si n→∞ n→∞ n→∞ y ≤ xn ≤ z para todo n ∈ N y l´ım xn = x, entonces y ≤ x ≤ z. n→∞
Demostraci´on. 1. Trivial. 2. Basta usar que xn yn − xy = xn yn − xyn + xyn − xy, la desigualdad triangular y que toda sucesi´on convergente est´a acotada. 20
3. Si a0 y 0.a1 a2 . . . son las partes entera y decimal de x, existen δ ∈ Q+ y n0 ∈ N tales que |a0 + 0.a1 a2 . . . an | > δ si n ≥ n0 . La sucesi´on de n´ umeros racionales −1 (a0 + 0.a1 a2 . . . an ) con n ≥ n0 es mon´otona y acotada luego convergente a y. Ya que las sucesiones xn = a0 + 0.a1 a2 . . . an e yn = x−1 n con n ≥ n0 convergen a x e y respectivamente, la sucesi´on xn yn converge a xy, pero como xn yn = 1 para todo n ≥ n0 se tiene que xy = 1, es decir, y es el inverso de x. a partir de cierto t´ermino lo cual se tiene en 4. Esto se prueba usando que |xn | > |x| 2 virtud de que ||x| − |y|| ≤ |x − y| con x, y ∈ R. 5. Por reducci´on al absurdo. 6. Basta usar 5.
Observaci´ on 1.4.28. Si l´ım xn = x y l´ım yn = y y xn < yn para todo n ∈ N, entonces n→∞
n→∞
no necesariamente x < y. Consid´erese por ejemplo xn =
1 n
e yn = n2 .
Definici´ on 1.4.29. Las potencias con exponente entero de x ∈ R se definen as´ı: x0 = 1, xn+1 = xn x con n ≥ 0, y x−n = (x−1 )n con n ∈ N. Proposici´ on 1.4.30. 1. Si x ∈ R y n, m ∈ Z, entonces xn+m = xn xm y (xn )m = xnm . 2. Si x, y > 0 y n ∈ N, entonces x > y si y solo si xn > y n . m con m ∈ N. 3. Si l´ım xn = x, entonces l´ım xm n = x n→∞
n→∞
4. Dados n ∈ N, n ≥ 2, y a > 0 existe un u ´nico x > 0 tal que xn = a, el cual se √ designa n a y se llama ra´ız n-´ esima de a. Demostraci´on. 1. Trivial. 2. Basta usar que xn − y n = (x − y)(xn−1 + xn−2 y + · · · + y n−1 ). 3. Se obtiene aplicando reiteradamente que el l´ımite de un producto de sucesiones convergentes es el producto de sus l´ımites. 21
4. Sea A = {x ∈ R+ : xn ≤ a} = 6 ∅ ya que l´ım n1 = 0. Tambi´en A est´a acotado n→∞ superiormente por 1 si a ≤ 1 o por a si a > 1 con lo que existe sup A = x. Supongamos que xn < a y sea ( −1 ) n n n 0 < δ < m´ın 1, (a − xn ) xn−1 + xn−2 + · · · + . 1 2 n Usando la f´ormula de Newton se tiene que n n−1 n n−2 n n n (x + δ) < x + δ x + x + ··· + 0 se definen as´ı: a n = √ m m n am y a− n = (a−1 ) n con m, n ∈ N. Si a > 1, las potencias crecen al hacerlo el exponente y l´ım an = +∞ y l´ım a−n = 0. Y si a < 1, las potencias decrecen al crecer el exponente n→∞
n→∞
y l´ım an = 0 y l´ım a−n = +∞. Si x tiene parte entera a0 y parte decimal 0.a1 a2 . . ., se n→∞
n→∞
define ax como el l´ımite de la sucesi´on mon´otona y acotada aa0 +0.a1 a2 ...an . Si ax = y, a x se le llama logaritmo en base a de y, loga y. De las construcciones hechas se llega a la siguiente caracterizaci´on axiom´atica de R: 1. R es un conjunto en el que se han definido la suma y el producto de dos elementos, verificando dichas operaciones las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva de la suma respecto del producto. Existen elementos neutros (0 para la suma y 1 para el producto), para cada x ∈ R existe −x tal que x + (−x) = 0 (opuesto) y para cada x 6= 0 existe x−1 tal que xx−1 = 1 (inverso). 2. Cada x ∈ R verifica una y solo una de las relaciones x > 0, x = 0 y −x > 0. Y si x, y > 0, entonces x + y, xy > 0. 3. (Propiedad del supremo) Si A ⊂ R, A 6= ∅ y est´a acotado, entonces existe sup A. La propiedad arquimediana es una consecuencia de estos axiomas: Proposici´ on 1.4.32 (Propiedad arquimediana). Dados x, y ∈ R con x > 0, existe n ∈ N tal que nx > y. 22
Demostraci´on. Sea A = {nx : n ∈ N}. Si nx ≤ y para todo n ∈ N, A estar´ıa acotado y existir´ıa sup A. Por tanto, existir´ıa n0 ∈ N tal que sup A − x < n0 x lo cual es una contradicci´on.
1.4.6.
El teorema de Bolzano-Weierstrass
Dos sucesiones an y bn creciente y decreciente respectivamente y tales que an < bn para todo n ∈ N definen la sucesi´on de intervalos [an , bn ] cada uno de los cuales contiene al siguiente por lo que se llaman intervalos encajados. Ambas sucesiones son convergentes a a y b respectivamente por ser mon´otonas y acotadas, verific´andose a ≤ b y siendo a = b si l´ım (bn − an ) = 0. La intersecci´on de dichos intervalos es [a, b]. n→∞
Teorema 1.4.33 (Teorema de Bolzano-Weierstrass). Sea A ⊂ R infinito y acotado. Existe x ∈ R y una sucesi´on xn cuyos t´erminos pertenecen a A y son distintos dos a dos tales que l´ım xn = x. n→∞
1 . Alguno de los intervalos Demostraci´on. Por ser acotado, A ⊂ [a1 , b1 ]. Sea c1 = a1 +b 2 [a1 , c1 ] y [c1 , b1 ] debe contener infinitos elementos de A. Lo designamos [a2 , b2 ]. Y as´ı sucesivamente. Existe un u ´nico x ∈ R que pertenece a todos los intervalos encajados [an , bn ] pues l´ım (bn − an ) = 0. Eligiendo en cada intervalo [an , bn ] un elemento xn de A distintos n→∞ dos a dos obtenemos una sucesi´on con la propiedad requerida.
Al n´ umero x del teorema anterior se le llama punto de acumulaci´ on de A lo cual se define de la siguiente forma: x ∈ R es punto de acumulaci´on de A ⊂ R si para cada intervalo abierto al que pertenece x tambi´en pertenece alg´ un elemento de A distinto de x.
1.4.7.
Subsucesiones
Definici´ on 1.4.34. Dada una sucesi´on estrictamente creciente j(n) de n´ umeros naturales, la sucesi´on yn = xj(n) se llama subsucesi´ on de xn . Observaci´ on 1.4.35. Si l´ım xn = x ∈ [−∞, +∞], cualquiera de sus subsucesiones tiene n→∞ el mismo l´ımite. Proposici´ on 1.4.36. Para cada sucesi´on acotada xn existe alguna subsucesi´on convergente. Demostraci´on. Sea A = {xn : n ∈ N}. Si A es finito, entonces alg´ un elemento de A se repite infinitas veces como t´ermino y, si se suprimen los dem´as, la subsucesi´on resultante es constante. Si A es infinito, considerando la construcci´on hecha en la demostraci´on del 23
teorema de Bolzano-Weierstrass, elegimos y1 = x1 , y2 = xj(2) siendo j(2) > 1 y tal que y2 ∈ [a2 , b2 ], y3 = xj(3) siendo j(3) > j(2) y tal que y3 ∈ [a3 , b3 ], etc. La subsucesi´on yn converge a x.
1.4.8.
L´ımites superior e inferior
Definici´ on 1.4.37. Dada una sucesi´on xn se definen sus l´ımites superior e inferior de la siguiente forma: l´ım sup xn = l´ım sup xn m→∞ n≥m
y l´ım inf xn = l´ım ´ınf xn . m→∞ n≥m
Observaci´ Los on 1.4.38. l´ımites superior e inferior de xn est´an bien definidos pues sup xn e ´ınf xn son sucesiones decreciente y creciente respectivamente. n≥m
m∈N
n≥m
m∈N
Proposici´ on 1.4.39. 1. l´ım inf xn ≤ l´ım sup xn y si hay igualdad, entonces l´ım xn = l´ım sup xn = l´ım inf xn . n→∞
2. l´ım inf xn = − l´ım sup(−xn ). 3. Si xj(n) es una subsucesi´on de xn , entonces l´ım inf xn ≤ l´ım inf xj(n) ≤ l´ım sup xj(n) ≤ l´ım sup xn . 4. Si A es el conjunto de n´ umeros que son el l´ımite de alguna subsucesi´on de xn , entonces l´ım sup xn = sup A y l´ım inf xn = ´ınf A. 5. Si xn ≤ yn con n ∈ N, entonces l´ım sup xn ≤ l´ım sup yn y l´ım inf xn ≤ l´ım inf yn . 6. l´ım sup(xn + yn ) ≤ l´ım sup xn + l´ım sup yn y resulta la igualdad si alguna de las dos sucesiones converge. 7. l´ım inf(xn + yn ) ≥ l´ım inf xn + l´ım inf yn y resulta la igualdad si alguna de las dos sucesiones converge. 8. Si l´ım xn = x > 0, entonces l´ım sup(xn yn ) = x l´ım sup yn . n→∞
Demostraci´on. 1. Trivial. 24
2. Idem. 3. Para demostrar la primera desigualdad siendo xn acotada basta razonar por reducci´on al absurdo y considerar < l´ım inf xn − l´ım inf xj(n) . El caso no acotado es trivial. La tercera desigualdad se obtiene de forma an´aloga. 4. Es consecuencia de que hay subsucesiones de xn que convergen a l´ım sup xn y subsucesiones que convergen a l´ım inf xn . 5. Obvio. 6. La desigualdad se tiene gracias a que xn + yn ≤ sup xn + sup yn para todo m ∈ N n≥m
n≥m
y todo n ≥ m. Sea ahora l´ım xn = x y l´ım sup yn = y. Si y no es finito se obtiene n→∞ con facilidad la igualdad. En caso contrario, dado > 0, existe n0 ∈ N tal que xn + yn < x + y + si n ≥ n0 y existen infinitos t´erminos de la sucesi´on xn + yn en el intervalo (x + y − , x + y + ) lo cual prueba la igualdad. 7. Es suficiente utilizar el apartado anterior y que l´ım inf zn = − l´ım sup(−zn ) para toda sucesi´on zn . 8. Supongamos que l´ım sup yn es finito pues en caso contrario la demostraci´on se obtiene sin dificultad. Ya que x 6= 0, una subsucesi´on yj(n) de yn es convergente si y solo si es convergente xj(n) yj(n) . Resulta entonces l´ım sup(xn yn ) = sup
n
l´ım (xj(n) yj(n) ) nn→∞ o = sup x l´ım yj(n) nn→∞ o = x sup l´ım yj(n)
o
n→∞
= x l´ım sup yn donde el supremo est´a tomado sobre todas las subsucesiones convergentes de yn .
1.4.9.
La propiedad de Cauchy
Definici´ on 1.4.40. Una sucesi´on xn tiene la propiedad de Cauchy si para todo > 0 existe n0 ∈ N tal que para todos n, m ≥ n0 se tiene que |xn − xm | < . Proposici´ on 1.4.41. 1. Las sucesiones convergentes tienen la propiedad de Cauchy. 25
2. Las sucesiones que tienen la propiedad de Cauchy est´an acotadas. 3. Las sucesiones que tienen la propiedad de Cauchy son convergentes. Demostraci´on. 1. Sea xn una sucesi´on convergente a x. Basta con usar que xn − xm = xn − x + x − xm y la desigualdad triangular. 2. Sea xn una sucesi´on con la propiedad de Cauchy. Existe n0 ∈ N tal que para todos n, m ≥ n0 se tiene que |xn − xm | < 1. Si n ≥ n0 , entonces |xn | ≤ |xn − xn0 | + |xn0 | < 1 + |xn0 | con lo que |xn | ≤ m´ax{|x1 |, |x2 |, . . . , |xn0 −1 |, 1 + |xn0 |} para todo n ∈ N. 3. Sea xn una sucesi´on con la propiedad de Cauchy, luego acotada, l´ımites superior e inferior son finitos. Supongamos que l´ım inf xn sea = 13 (l´ım sup xn − l´ım inf xn ). Para cada n0 ∈ N existen n, m xn < l´ım inf xn + y xm > l´ım sup xn − por lo que xm − xn contradictorio con que xn tenga la propiedad de Cauchy.
con lo que sus < l´ım sup xn y ≥ n0 tales que > lo cual es
Ejercicios 1. Sea x = 3,14205205205 . . .. Determina la representaci´on decimal de −x − [−x]. 2. Si A ⊂ R, −A designa al conjunto cuyos elementos son los opuestos de los elementos de A. Demuestra que ´ınf A + sup(−A) = 0 siendo A acotado. 3. Dada una sucesi´on xn , prueba que sup xn = l´ım m´ax(x1 , x2 , . . . , xn ) n∈N
n→∞
y que ´ınf xn = l´ım m´ın(x1 , x2 , . . . , xn ). n∈N
n→∞
4. Sean A, B ⊂ R con A, B 6= ∅ tales que x ≤ y para todo x ∈ A e y ∈ B. Prueba que existen sup A e ´ınf B y que sup A ≤ ´ınf B. 5. Determina si los siguientes subconjuntos de R est´an acotados superior o inferiormente y, en caso afirmativo, calcula supremo e/o ´ınfimo: 26
p √ a) A = {x ∈ R : (x − 3)(2 − x) < 4x2 + 12x + 11}. b) B = n + m1 : n, m ∈ N . n o 2 c) C = n21+1 − (2m−1) 2 : n, m ∈ N . 6. Dados A, B ⊂ R, se define el conjunto C = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}. Prueba que si A y B est´an acotados, entonces C tambi´en est´a acotado y expresa sup C e ´ınf C en t´erminos de sup A y sup B y de ´ınf A e ´ınf B respectivamente. 7. Prueba que dada una sucesi´on xm de n´ umeros positivos tal que l´ım xm = x se tiene m→∞ √ √ que l´ım n xm = n x con n ∈ N. m→∞
xn n→∞ x
8. Prueba que si x 6= 0, entonces l´ım xn = x si y solo si l´ım n→∞
= 1.
9. ¿Pueden ser 0 infinitos t´erminos de una sucesi´on que converge a un n´ umero distinto de 0? 10. Calcula los l´ımites superior e inferior de las siguientes sucesiones: a) xn = 1 + b)
1 n
sen nπ + 1− 2
1 1 2 1 2 3 , , , , , ,··· 2 3 3 4 4 4
1 n
cos nπ . 2
1 , k1 , k2 , · · · , k−1 , k+1 ,···. k
c) xn = cosn 2nπ . 3 √ n d ) xn = 1 + 2(−1)n n . 11. Sea xn una sucesi´on de n´ umeros positivos tal que xn+m ≤ xn + xm para todo n, m ∈ N. Prueba que la sucesi´on xnn es convergente. 12. Sean xn una sucesi´on acotada e yn = y que l´ım inf xn ≤ l´ım inf yn .
x1 +x2 +···+xn . n
Prueba que l´ım sup yn ≤ l´ım sup xn
13. Dado a > 0, demuestra los siguientes resultados: a) l´ım xn = 0 si y solo si l´ım axn = 1. n→∞
n→∞
b) Si l´ım xn = x, entonces l´ım axn = ax . n→∞
n→∞
c) l´ım xn = 1 si y solo si l´ım loga xn = 0, siendo xn > 0 para todo n ∈ N. n→∞
n→∞
d ) Si l´ım xn = x, entonces l´ım loga xn = loga x, siendo xn , x > 0 para todo n→∞ n→∞ n ∈ N. e) Si l´ım xn = x y l´ım yn = y, entonces l´ım xn yn = xy , siendo xn , x > 0 para n→∞ n→∞ n→∞ todo n ∈ N. 27
14. Sea xn una sucesi´on de t´erminos no nulos con l´ım xn = ±∞. Demuestra que n→∞
xn 1 = e. l´ım 1 + n→∞ xn 15. Calcula el l´ımite de las siguientes sucesiones: √ a) xn = n a siendo a > 0. b) xn = an siendo a > 0. c) xn =
f ) xn g) xn h) xn
√ n
n. √ √ = p n + 1 − p n con p ∈ N. √ = n2 + n − n. √ √ = n( n n + 1 − n n). √ = n( n e − 1).
d ) xn = e) xn
10n . n!
i ) x1 = 13 , xn+1 =
q1 . 1+ x1 −1 n
1 . xn
j ) x1 > 1, xn+1 = 2 − √ k ) x1 = 1, xn+1 = 2 + xn . n−1 n+2 l ) xn = n+3 . 3n2 3 m) xn = 1−2n . 5−2n3 n n) xn = 1 + sen n1 . n n ˜) xn = cos n1 . n2 o) xn = cos n1 . p) xn =
a log(1+ n )
sen
b n
siendo a, b 6= 0.
q) xn = en! − [en!]. 16. Demuestra que si an es una sucesi´on de t´erminos positivos tal que l´ım an+1 = n→∞ an √ n λ, entonces l´ım an = λ. Como aplicaci´on calcula los l´ımites de las sucesiones n→∞ siguientes: √ a) xn = n n!. q b) xn = n 1 + 12 + 31 + · · · + n1 . 17. (Criterio de Stolz) Demuestra que si bn es una sucesi´on de t´erminos positivos tal que la sucesi´on b1 + b2 + · · · + bn no est´a acotada y an es cualquier sucesi´on tal que 2 +···+an l´ım an = λ, entonces l´ım ab11+a = λ. Como aplicaci´on calcula los l´ımites de +b2 +···+bn n→∞ bn n→∞ las sucesiones siguientes: 28
1.5.
a) xn =
log n . n
b) xn =
1 1+ 12 + 13 +···+ n n
.
Series convergentes
Proposici´ on 1.5.1. Si la serie
∞ P
an es convergente, entonces l´ım an = 0. n→∞
n=1
Demostraci´on. Ya que la sucesi´on de sumas parciales verifica la propiedad de Cauchy, j P dado > 0, existe k0 ∈ N tal que si i, j ≥ k0 , con i < j, entonces an < . Tomando n=i+1 j = i + 1 se tiene el resultado.
1.5.1.
Comparaci´ on de series de t´ erminos positivos
Proposici´ on 1.5.2. Si 0 < an ≤ bn para todo n ∈ N y
∞ P
bn es convergente, entonces
n=1
∞ P
an es tambi´en convergente.
n=1
Demostraci´on. La sucesi´on de sumas parciales de
∞ P
an es creciente y acotada superior-
n=1
mente. Proposici´ on 1.5.3. Sean
∞ P n=1
an y
∞ P
bn dos series de t´erminos positivos.
n=1
1. Si l´ım abnn = λ > 0, entonces ambas series tienen el mismo car´acter, es decir, o n→∞ ambas son convergentes o ambas son divergentes. an n→∞ bn
2. Si l´ım
=0y
∞ P
bn es convergente, entonces
n=1
∞ P
an es tambi´en convergente.
n=1
Demostraci´on. 1. Existe n0 ∈ N tal que λ2 bn < an < da el resultado.
3λ b 2 n
para todo n ≥ n0 . La Proposici´on 1.5.2 nos
2. Existe n0 ∈ N tal que an < bn para todo n ≥ n0 . La Proposici´on 1.5.2 nos da el resultado.
29
1.5.2.
Series alternadas
Definici´ on 1.5.4. Si an es una sucesi´on de n´ umeros positivos, a las series ∞ P
∞ P
(−1)n an y
n=1 n−1
(−1)
an se les llama series alternadas.
n=1
Proposici´ on 1.5.5. Si an es una sucesi´on decreciente de n´ umeros positivos y convergente ∞ ∞ P P n n−1 a 0, entonces las series alternadas (−1) an y (−1) an son convergentes. n=1
n=1
Demostraci´on. Vamos a considerar la segunda serie alternada. Un razonamiento an´alogo puede hacerse con la primera. Basta observar que las subsucesiones s2k−1 y s2k , con k ∈ N, son decreciente y creciente, respectivamente, y que s2k−1 > s2k para todo k ∈ N, con lo que la sucesi´on de intervalos encajados [s2k , s2k−1 ] tiene como intersecci´on de todos ellos un u ´nico n´ umero s (por converger a cero la longitud de los mismos) que es la suma de la serie.
1.5.3.
Convergencia absoluta
Definici´ on 1.5.6. Se dice que la serie ∞ P
∞ P
an es absolutamente convergente si la serie
n=1
|an | es convergente.
n=1
Observaci´ on 1.5.7. Si una serie es absolutamente convergente, entonces es convergente porque en virtud de la desigualdad triangular tiene la propiedad de Cauchy. Definici´ on 1.5.8. Si j : N → N es una biyecci´on, se dice que la serie ∞ P
reordenaci´ on de la serie
∞ P
aj(n) es una
n=1
an .
n=1 ∞ P
Teorema 1.5.9. Si la serie reordenaci´on suya
∞ P
an es absolutamente convergente y tiene suma s, cualquier
n=1
aj(n) tiene tambi´en suma s.
n=1
Demostraci´on. Sean sk y s0k las respectivas sucesiones de sumas parciales de ∞ P n=1
aj(n) . Ya que la serie
∞ P
∞ P
an y
n=1
|an | tiene la propiedad de Cauchy, dado > 0 existe k0 ∈ N
n=1
tal que si i, j ≥ k0 , con i < j, entonces
j P
|an | < . Consideramos los sub´ındices
n=i+1
j(1), j(2), . . . , j(k1 ) hasta que entre ellos est´en 1, 2, . . . , k0 . Si k > k1 , entonces se tiene |sk − s0k | < . 30
Definici´ on 1.5.10. Se dice que la serie converge pero la serie
∞ P
∞ P
an es condicionalmente convergente si
n=1
|an | diverge.
n=1
Teorema 1.5.11 (Riemann). Si la serie
∞ P
an es condicionalmente convergente, entonces
n=1
para todo α ∈ R existe una reordenaci´on suya
∞ P
aj(n) cuya suma es α.
n=1
Demostraci´on. Sean
∞ P
pn y
n=1
∞ P
qn las series de los t´erminos positivos y negativos de
n=1
an , respectivamente. Ya que la serie
∞ P
an es condicionalmente convergente, ambas son
n=1
divergentes. Dado α ≥ 0 (la demostraci´on para α < 0 es an´aloga) tomamos n1 como el primer n1 n1 P P natural tal que pn > α. Entonces pn − α ≤ pn1 . Ahora tomamos m1 como el primer natural tal que
n=1 n1 P n=1
pn +
m1 P
n=1
qn < α. Por tanto, α −
n=1
n1 P
pn −
n=1
m1 P
qn ≤ −qm1 . Continuando
n=1
indefinidamente con este procedimiento obtenemos una reordenaci´on de an p1 , . . . , pn1 , q1 , . . . , qm1 , pn1 +1 , . . . , pn2 , . . . cuya serie converge a α ya que l´ım an = 0. n→∞
1.5.4.
Criterios de convergencia
Proposici´ on 1.5.12 (Criterio de la ra´ız). 1. Si l´ım sup
∞ p P n |an | < 1, entonces an es absolutamente convergente. n=1
2. Si l´ım sup
∞ p P n |an | > 1, entonces an es divergente. n=1
Demostraci´on. p p 1. Sea l´ım sup n |an | < t < 1. Existe n0 ∈ N tal que n |an | < t si n ≥ n0 con lo que |an | < tn . Aplicando la Proposici´on 1.5.2 se obtiene el resultado. p 2. Si l´ım sup n |an | > 1, hay infinitos t´erminos de la sucesi´on |an | mayores que 1 por lo que an no converge a 0. 31
Proposici´ on 1.5.13 (Criterio del cociente). | 1. Si l´ım sup |a|an+1 < 1, entonces n|
2. Si l´ım inf
|an+1 | |an |
> 1, entonces
∞ P
an es absolutamente convergente.
n=1 ∞ P
an es divergente.
n=1
Demostraci´on. | < t < 1. Existe n0 ∈ N tal que |an+1 | < t|an | si n ≥ n0 con lo 1. Sea l´ım sup |a|an+1 n| n que |an0 +n | < t |an0 | para todo n ∈ N. Aplicando la Proposici´on 1.5.2 se obtiene el resultado. | 2. Si l´ım inf |a|an+1 > 1, existe n0 ∈ N tal que |an+1 | > |an | si n ≥ n0 por lo que an no n| converge a 0.
Proposici´ on 1.5.14 (Criterio de Raabe). 1. Si l´ım inf n 1 − 2. Si l´ım sup n 1 −
|an+1 | |an |
|an+1 | |an |
∞ P
> 1, entonces
an es absolutamente convergente.
n=1
< 1, entonces
∞ P
|an | es divergente.
n=1
Demostraci´on.
|an+1 | |an |
1. Sea l´ım inf n 1 − > t > 1. Existe n0 ∈ N tal que n|an | − n|an+1 | > t|an | para n ≥ n0 . Considerando las desigualdades anteriores para n = n0 , n0 + 1, . . . , n0 + m y sumando primeros miembros por un lado y segundos por el otro se obtiene f´acilmente n0 que |an0 +1 |+|an0 +2 |+· · ·+|an0 +m | < t−1 |an0 | para todo m ∈ N con lo que la sucesi´on ∞ P de sumas parciales de la serie |an0 +n | est´a acotada obteni´endose el resultado. n=1
2. Existe n0 ∈ N tal que (n − 1)|an | < n|an+1 | si n ≥ n0 . Aplicando sucesivamente esta desigualdad se obtiene que |an0 +n+1 | > (n0 − 1)|an0 | n01+n para todo n ∈ N lo cual nos da el resultado en virtud de la Proposici´on 1.5.2.
32
Proposici´ on 1.5.15 (Criterio de Dirichlet). Si an es una sucesi´on decreciente de n´ umeros ∞ P positivos convergente a 0 y la sucesi´on de sumas parciales de la serie bn est´a acotada, ∞ P
entonces la serie
n=1
an bn es convergente.
n=1
k P bn ≤ C para todo k ∈ N. Dados i, j ∈ N con i < j Demostraci´on. Sea C > 0 tal que n=1 se tiene que j j−1 j i n X X X X X bn ≤ 2Cai+1 . an bn = −ai+1 bn + (an − an+1 ) b m + aj n=1 n=1 m=1 n=i+1
n=i+1
Ya que la sucesi´on an converge a 0, la sucesi´on de sumas parciales de la serie
∞ P
an b n
n=1
tiene la propiedad de Cauchy. Proposici´ on 1.5.16 (Criterio de Abel). Si la serie
∞ P
an es convergente y la sucesi´on bn
n=1
es mon´otona y acotada (luego convergente a b), entonces la serie
∞ P
an bn es convergente.
n=1
Demostraci´on. Supongamos que bn es decreciente, luego la sucesi´on cn = bn − b es decre∞ ∞ P P ciente y convergente a 0. Se tiene que an b n = (an cn + ban ) con lo que aplicando el n=1
n=1
criterio de Dirichlet se obtiene el resultado. El otro caso es an´alogo.
1.5.5.
Producto de series
Definici´ on 1.5.17. Dadas dos series ∞ P n=0
cn donde cn =
n P
∞ P
an y
n=0
∞ P
bn se define su producto como la serie
n=0
ak bn−k .
k=0
Proposici´ on 1.5.18. Si
∞ P
an es absolutamente convergente y tiene suma s, y
n=0
convergente y tiene suma r, entonces la serie producto
∞ P
∞ P
bn es
n=0
cn tiene suma sr.
n=0
Demostraci´on. Sean sk , rk y tk las sucesiones de sumas parciales de
∞ P n=0
respectivamente. Se tiene que tk = sk r +
k P
an ,
∞ P n=0
bn y
∞ P
cn
n=0
ai (rk−i − r) para todo k ∈ N por lo que basta
i=0
33
comprobar que el sumatorio anterior converge a 0. Dado > 0 existe k0 ∈ N tal que |rk − r| < si k ≥ k0 . Si k > k0 , k X
ai (rk−i − r) =
i=0
k−k X0
ai (rk−i − r) +
i=0
k X
ai (rk−i − r).
i=k−k0 +1
El segundo sumatorio es la suma de k0 sucesiones que convergen a 0 y el valor absoluto ∞ P del primero es menor que |an |. Por tanto, n=0
k−k k ∞ X0 X X ai (rk−i − r) ≤ |an | ai (rk−i − r) ≤ l´ım sup l´ım sup i=0
i=0
n=0
para todo > 0. Ejercicios 1. Calcula la suma de cada una de las series siguientes: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
∞ P n=0 ∞ P n=1 ∞ P n=1 ∞ P n=1 ∞ P n=1 ∞ P n=1 ∞ P n=2 ∞ P n=3 ∞ P n=1 ∞ P n=1
1−2n . 3n 1 . n(n+1)
nan siendo 0 < a < 1. √1 √ . (n+1) n+n n+1 2n−1 . (1+2n )(1+2n−1 ) n2 +5n+7 . (n+2)! 4n−1 . (n+2)(n−1)2 3n2 +8n+6 . (n+2)! n−1 . n!(n+2) n2 . 3n
2. (Criterio de condensaci´on de Cauchy) Demuestra que si an es una sucesi´on decre∞ ∞ P P ciente a 0, entonces las series an y 2n a2n tienen el mismo car´acter. n=1
n=1
34
∞ P
3. Prueba que si la serie
an es convergente y la sucesi´on an es decreciente, entonces
n=1
l´ım nan = 0.
n→∞
4. Estudia la convergencia de: a) La serie arm´onica
∞ P n=1
b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)
∞ P n=1 ∞ P n=2 ∞ P n=1 ∞ P n=1 ∞ P n=1 ∞ P n=1 ∞ P n=1 ∞ P n=1 ∞ P n=1 ∞ P n=1
1 . np
√ 1 . n+100 1 . n(log n)p √1 . n n+1 n2 . n3 +1
an na siendo a > 0. 1 √ . (n+1) n n n2 . n! an n! nn
siendo a > 0.
1·3···(2n−1) . 2·4···(2n) n! a(a+1)(a+2)···(a+n−1)
siendo a > 2.
l ) 1 − log 2 + 21 − log 32 + · · · + ∞ P cos n m) . n n) n ˜) o) p) q)
n=1 ∞ P n=1 ∞ P
n=1 ∞ P
1 n
log 1 +
1 n3
1 n
− log n+1 + ···. n
.
1+cos2 n . nn
√ ( n n − 1)n .
n=1 ∞ P
1 . n log log n
n=3 ∞ tag 2n+1 π P ( 4 ) . log n n=2
35
r)
∞ P n=2
s)
∞ P
sen n . log n
sen (n
2 +1)2 π
n3
n=1
5. Reordena la serie
.
∞ P
(−1)n−1 n1 para que sea divergente.
n=1
6. Demuestra que
∞ P
(−1)n−1 n1 = log 2.
n=1
7. Dada una serie convergente
∞ P
an de t´erminos no negativos, prueba que
n=1 1 . 2
converge si p > ∞ P √ an an+1 ?
∞ P n=1
Da un contraejemplo para p =
1 . 2
√
an np
¿Es tambi´en convergente
n=1
8. Estudia la convergencia y la convergencia absoluta de las series siguientes: a)
∞ P n=1
b)
∞ P
an . n!
n!an .
n=1
c)
∞ P n=1
d)
∞ P n=1
e)
∞ P
sen n . n2
n2 n . n+1 1
1
1
2−(1+ 2 + 3 +···+ n ) .
n=1
9. Sea A = {nk : k ∈ N} la colecci´on de n´ umeros naturales que no tienen la cifra 0 en ∞ P 1 su representaci´on decimal. Prueba que converge y tiene suma menor que 90. nk k=1
10. Si
∞ P
an diverge, demuestra que
n=1
11. Si
∞ P
∞ P
nan tambi´en diverge.
n=1
an converge absolutamente, prueba que las series siguientes tambi´en:
n=1
a)
∞ P
a2n .
n=1
b)
∞ P n=1
c)
∞ P n=1
an 1+an
si an 6= −1 para todo n ∈ N.
a2n . 1+a2n
36
12. Estudia la convergencia de: a)
∞ P n=1
b)
∞ P
n2 +1 . n!
cosn a +
n=1
c)
∞ P n=1
d)
∞ P n=1
e)
n2 +1 nan
∞ P ∞ P n=1
g)
∞ P n=1
h)
∞ P n=1
i)
∞ P n=1
j)
∞ P n=1
k)
∞ P n=1
l)
∞ P n=1
m)
∞ P n=1
n)
∞ P n=1
n ˜)
∞ P n=1
o)
∞ P n=2
p)
∞ P n=2
q)
∞ P n=1
r)
∞ P
con 0 < a < π2 .
con a 6= 0.
3n . n2 +1
3 n+1 −n . n
n=1
f)
b n
1 an+b
con an + b 6= 0 para todo n ∈ N.
1 . n(n+1)(n+2) 1+sen2 an . n2 1 n
sen n1 .
√
√ n+1− n . n
n(n+1) . n2 +2n
1 1 n+ n . n 1 . 3−cos 1/n
a n n
n!.
1 . n(1+1/2+···+1/n) 1+1/2+···+1/n . n3 log n 1 . (log n)2n
log n+1 . n √
e−
n2 +1
.
n=1
37
s) t) u) v) w) x) y) z)
∞ P n=2 ∞ P n=1 ∞ P n=1 ∞ P n=1 ∞ P
1 . (log n)p an √ . n (−1)n . 1+1/2+···+1/n (−1)n (n+1) . n! (n2 +1)an . (n+1)!
n=1 ∞ P n=1 ∞ P n=1 ∞ P n=1
1/n2
e
1/(n2 +1)
−e
.
(−1)n+1 n . n2 +1 (n!)2 a2n . (2n)!
38
Tema 2 Funciones, l´ımites y continuidad 2.1.
Funciones reales de variable real
Definici´ on 2.1.1. Una funci´ on f definida en A ⊂ R y que toma valores en B ⊂ R, f : A −→ B, es una regla que asocia un´ıvocamente a cada x ∈ A un numero real f (x) ∈ B que se llama imagen de x. A A se le llama dominio de f y se denota por dom(f ). Se llama rango o recorrido de f al conjunto rang(f ) = f (A) = {y ∈ B : ∃x ∈ A tal que f (x) = y}. Finalmente, se llama gr´ afica de f al subconjunto del producto cartesiano A × B formado por los pares (x, f (x)) con x ∈ A. Ejemplos 2.1.2. 1. Los t´erminos de una sucesi´on an pueden interpretarse como las im´agenes de los n´ umeros naturales mediante una funci´on f cuyo dominio es N, es decir, f (n) = an para cada n ∈ N. 2. La funci´on f definida en A ⊂ R tal que f (x) = x para cada x ∈ A se llama identidad de A. Se tiene que dom(f ) = rang(f ) = A. 3. Una funci´on tal que todas las im´agenes son el mismo n´ umero se llama funci´ on constante. Definici´ on 2.1.3. Se dice que una funci´on f : A −→ B es inyectiva si para cualesquiera x, y ∈ A con x 6= y, entonces f (x) 6= f (y). Y se dice que es sobreyectiva si f (A) = B. Si f es inyectiva y sobreyectiva, se dice que es biyectiva. Definici´ on 2.1.4. Dada una funci´on biyectiva f : A −→ B, se define su funci´on inversa −1 f : B −→ A de la siguiente forma: f −1 (y) = x siendo f (x) = y. 39
Observaci´ on 2.1.5. Si una funci´on f es biyectiva, claramente su inversa tambi´en lo es y la inversa de f −1 es f . Observaci´ on 2.1.6. Las gr´aficas de una funci´on y de su inversa son sim´etricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes. Observaci´ on 2.1.7. Si la funci´on f : A −→ B es inyectiva y no biyectiva, la funci´on f : A −→ f (A) es biyectiva. Definici´ on 2.1.8. A dos funciones f : A −→ B y g : B −→ C se asocia una nueva funci´on g ◦f : A −→ C llamada la composici´ on de f con g, y que est´a definida mediante (g ◦ f )(x) = g(f (x)) para cada x ∈ A. De forma an´aloga se define una cadena fn ◦ fn−1 ◦ · · · ◦ f2 ◦ f1 de n funciones. Como caso particular se tienen las iteraciones f n de una funci´on f : A −→ A consistentes en componer f consigo misma n veces. Definici´ on 2.1.9. La funci´on f : A −→ B est´a acotada superiormente si existe C ∈ R tal que f (x) ≤ C para todo x ∈ A. Y est´a acotada inferiormente si existe c ∈ R tal que f (x) ≥ c para todo x ∈ A. Si f est´a acotada superior e inferiormente se dice que est´a acotada. Si existe x0 ∈ A tal que f (x) ≤ f (x0 ) para todo x ∈ A se dice que f tiene en x0 un m´ aximo absoluto y que f (x0 ) es el m´ aximo de f . An´alogamente se define m´ınimo absoluto. Definici´ on 2.1.10. La funci´on f : A −→ B tiene en x0 ∈ A un m´ aximo (m´ınimo) relativo o local si existe δ > 0 tal que f (x) ≤ f (x0 ) (f (x) ≥ f (x0 )) para cualquier x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ A. Las operaciones aritm´eticas con funciones que tienen el mismo dominio se definen para cada x del mismo a trav´es de la correspondiente operaci´on aritm´etica con las im´agenes de x. Definici´ on 2.1.11. La funci´on f : A −→ B es c´ oncava si f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≥ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) para cualesquiera x1 , x2 ∈ A y λ ∈ [0, 1]. Y es convexa si se tiene la desigualdad contraria. Definici´ on 2.1.12. Una funci´on f se llama peri´ odica si existe T > 0 tal que f (x + T ) = f (x) para cada x y el menor T con esta propiedad se llama periodo. 40
Definici´ on 2.1.13. La funci´on f : A −→ B es creciente (estrictamente creciente) si f (x1 ) ≤ f (x2 ) (f (x1 ) < f (x2 )) siempre que x1 < x2 . Y es decreciente (estrictamente decreciente) si f (x1 ) ≥ f (x2 ) (f (x1 ) > f (x2 )) siempre que x1 < x2 . Todas estos tipos de funciones se denominan funciones mon´ otonas. Ejercicios 1. Construye una funci´on cuyo dominio sea [0, 1] y cuyo recorrido sea [−1, 2]. 2. ¿Cu´antas funciones se pueden definir con dominio {1, 2, 3} y recorrido {4, 5}? 3. Dibuja la gr´afica de las siguientes funciones definidas en A, indicando en cada caso el recorrido: a) f (x) = |x|, A = [−1, 1]. b) f (x) = x − [x], A = [−2, 3]. 4. Sean f : R −→ R una funci´on y A, B ⊂ R. Estudia si las igualdades siguientes son verdaderas o falsas: a) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B). b) f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B). c) f (A \ B) = f (A) \ f (B). d ) f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B). e) f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B). f ) f −1 (A \ B) = f −1 (A) \ f −1 (B). 5. Calcula f (A) y f −1 (B) en los siguientes casos: a) f (x) = 3x − 5, A = [−1, 2] y B = [0, +∞). b) f (x) = −x2 , A = (−2, 3] y B = (−4, 1). 6. Estudia si las siguientes funciones son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas: a) f (x) = b) f (x) = c) f (x) =
x . x−1
√
x2 + 2.
√ x . x2 +1
7. Halla el dominio de las siguientes funciones: √ a) f (x) = 1 − x2 . p √ b) f (x) = 1 − 1 − x2 . 41
c) f (x) = d ) f (x) =
1 1 + x−2 . x−1 √ √1−x . x−2
√ 1 − x2 + x2 − 1. q f ) f (x) = 1−|x| . 2−|x| q g) f (x) = (x−1)(x−2) − 1. (x−3)(x−4) p h) f (x) = arc sen(x − 1). e) f (x) =
√
2
i ) f (x) = log xx2 −5x+6 . +4x+6 q 2 . j ) f (x) = log 5x−x 4 8. Determina f ◦ f , f ◦ g, g ◦ f y g ◦ g en cada uno de los siguientes casos: a) f (x) = x2 y g(x) = x1 . 1 si x ≥ 0 b) f (x) = y g(x) = x1 . −1 si x < 0 0 si x ≤ 0 0 si x ≤ 0 c) f (x) = y g(x) = x si x > 0 −x2 si x > 0 9. Sea f (x) = 10. Sea f (x) =
1 . x−1
Calcula f 2 (x) y f 3 (x).
√ x . 1+x2
Calcula f n (x).
11. Halla el intervalo m´aximo en el que est´a definida la funci´on f (x) = log log log log x. 12. Calcula la funci´on inversa de f (x) =
x 1−x2
con x ∈ (0, 1).
13. ¿Es posible construir una funci´on definida en el intervalo [0, 1] que sea acotada y no tenga m´aximo ni m´ınimo absolutos?
2.2.
L´ımites
Definici´ on 2.2.1. Supongamos que f es una funci´on definida en un intervalo I y que c es un n´ umero interior a I, o bien un extremo de I, o bien +∞ si I no est´a acotado por la derecha, o bien −∞ si I no est´a acotado por la izquierda. Se dice que L es el l´ımite de f cuando x tiende a c, l´ım f (x) = L, si cada sucesi´on x→c de n´ umeros del dominio de f , distintos de c, cuyo l´ımite es c se transforma mediante f en una sucesi´on que tiene l´ımite L. Si c es interior a I o un extremo de I, se dice que L es el l´ımite lateral por la derecha de f cuando x tiende a c, l´ım+ f (x) = L, si cada sucesi´on de n´ umeros del x→c
42
dominio de f , mayores que c, cuyo l´ımite es c se transforma mediante f en una sucesi´ on que tiene l´ımite L. An´alogamente, se dice que L es el l´ımite lateral por la izquierda de f cuando x tiende a c, l´ım− f (x) = L, si cada sucesi´on de n´ umeros del dominio de x→c
f , menores que c, cuyo l´ımite es c se transforma mediante f en una sucesi´on que tiene l´ımite L. Observaci´ on 2.2.2. Solamente cuando los dos l´ımites laterales existen y son iguales resulta que f tiene l´ımite en c. Bas´andose en las propiedades conocidas para l´ımites de sucesiones se obtienen los dos siguientes resultados: Proposici´ on 2.2.3. Sean f y g dos funciones definidas en un intervalo I tales que l´ım f (x) = L ∈ R y l´ım g(x) = L0 ∈ R. Entonces: x→c
x→c
1. l´ım(f + g)(x) = L + L0 . x→c
2. l´ım(f g)(x) = LL0 . x→c
3. l´ım
x→c
f g
(x) =
L L0
si L0 6= 0.
Observaci´ on 2.2.4. Los casos no contemplados en el resultado anterior se estudian sin dificultad salvo L = +∞ y L0 = −∞ para la suma, L = 0 y L0 = ±∞ para el producto y L = L0 = 0 y L = ±∞ y L0 = ±∞ para el cociente, llamados indeterminaciones. Proposici´ on 2.2.5. 1. Sean f y g dos funciones definidas en un intervalo I. Si existe δ > 0 tal que se verifica f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ (c − δ, c + δ) y ambas funciones tienen l´ımite en c, entonces l´ım f (x) ≤ l´ım g(x). x→c
x→c
2. (M´etodo del sandwich) Sean f , g y h tres funciones definidas en un intervalo I. Si existe δ > 0 tal que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x ∈ (c − δ, c + δ) y adem´ as l´ım f (x) = l´ım h(x) = L, entonces l´ım g(x) = L. x→c
x→c
x→c
Teorema 2.2.6. El n´ umero L es el l´ımite de f (x) cuando x tiende al n´ umero c si y solo si se verifica la siguiente propiedad: para cada > 0 existe alg´ un δ > 0 tal que |f (x) − L| < cuando 0 < |x − c| < δ. Demostraci´on. Si se verifica esta propiedad, para cualquier sucesi´on xn de n´ umeros distintos de c que converge a c existe n0 ∈ N tal que 0 < |xn − c| < δ si n ≥ n0 con lo que f (xn ) converge a L. Rec´ıprocamente, dado > 0 basta razonar por reducci´on al absurdo considerando δ = n1 para todo n ∈ N. 43
Teorema 2.2.7. El n´ umero L es el l´ımite de f (x) cuando x tiende a +∞ (−∞) si y solo si se verifica la siguiente propiedad: para cada > 0 existe alg´ un A > 0 tal que |f (x) − L| < cuando x > A (x < −A). Demostraci´on. Si se verifica esta propiedad, para cualquier sucesi´on xn convergente a +∞ (−∞) existe n0 ∈ N tal que xn > A (xn < −A) si n ≥ n0 con lo que f (xn ) converge a L. Rec´ıprocamente, dado > 0 basta razonar por reducci´on al absurdo considerando A = n para todo n ∈ N. An´alogamente se demuestran los dos siguientes resultados: Teorema 2.2.8. El l´ımite de f (x) cuando x tiende al n´ umero c es +∞ (−∞) si y solo si para cada M > 0 existe alg´ un δ > 0 tal que f (x) > M (f (x) < −M ) cuando 0 < |x − c| < δ. Teorema 2.2.9. El l´ımite de f (x) cuando x tiende a +∞ (−∞) es +∞ (−∞) si y solo si para cada M > 0 existe alg´ un A > 0 tal que f (x) > M (f (x) < −M ) cuando x > A (x < −A). Definici´ on 2.2.10. Una funci´on f tiene la propiedad de Cauchy en c si para cada > 0 existe alg´ un δ > 0 tal que |f (x) − f (y)| < cuando 0 < |x − c| < δ y 0 < |y − c| < δ. Teorema 2.2.11. Una funci´on f tiene l´ımite finito cuando x tiende a un n´ umero c si y solo si f tiene la propiedad de Cauchy en c. Demostraci´on. Supongamos en primer lugar que f tiene la propiedad de Cauchy en c y sea xn una sucesi´on de n´ umeros distintos de c que converge a c. La sucesi´on f (xn ) tiene la propiedad de Cauchy luego converge a un n´ umero L. Si x0n tiene las mismas caracter´ısticas que xn , entonces f (x0n ) tambi´en converge a L porque en otro caso la sucesi´on x1 , x01 , x2 , x02 , x3 , x03 , . . . que tiene las mismas caracter´ısticas que xn y x0n se transformar´ıa mediante f en una sucesi´on con la propiedad de Cauchy que no puede ser convergente, lo cual es absurdo. Para el rec´ıproco basta usar la caracterizaci´on -δ del l´ımite y la desigualdad triangular.
Proposici´ on 2.2.12. Para toda funci´on mon´otona f existen los l´ımites laterales en cualquier punto. Demostraci´on. Supongamos que f , definida en el intervalo I, es creciente (el caso decreciente es an´alogo) y que c es un n´ umero interior a I (si c es un extremo la demostraci´on es an´aloga). Se tiene que l´ımx→c− f (x) = supxc f (x). Veamos 44
la primera igualdad pues la otra se obtiene an´alogamente. Ese supremo es un n´ umero porque el conjunto correspondiente est´a acotado superiormente por f (c). Dado > 0 existe x0 < c tal que sup f (x) − < f (x0 ). Basta tomar δ = c − x0 . x 0 calcula los siguientes l´ımites: a) l´ım
x→0
b) l´ım
x→0
c) l´ım
x→1
d ) l´ım
x→0
e) l´ım
x→0
2.3.
√ n
1+ax−1 . x √ √ n 1+ax− m 1+bx . x √ n x−1 √ . m x−1 √ √ n 1+ax m 1+bx−1 . x √ n 1+ax+bx2 −1 . x
Continuidad
Definici´ on 2.3.1. La funci´on f es continua en un punto c en el que est´a definida si f (c) = l´ım f (x). En caso contrario se dice que f es discontinua en c. Cuando el x→c
l´ımite existe y es finito pero distinto de f (c) se dice que la discontinuidad es evitable pues basta cambiar la definici´on de f en c poniendo f (c) igual a dicho l´ımite para que la discontinuidad desaparezca. La funci´on f es continua por la derecha en un punto c en el que est´a definida si f (c) = l´ım+ f (x). An´alogamente se define la continuidad por la izquierda. x→c
Una funci´on que es continua en cada punto del intervalo en el que est´a definida se denomina funci´on continua. Observaci´ on 2.3.2. Si una funci´on mon´otona f est´a definida a ambos lados de c, decir que f no es continua en c equivale a decir que l´ım+ f (x) 6= l´ım− f (x). El n´ umero x→c x→c l´ım f (x) − l´ım f (x) se llama salto de f en c. x→c+ x→c− Bas´andose en las propiedades conocidas para l´ımites de sucesiones se obtiene que la suma, el producto y el cociente de dos funciones continuas en c tambi´en lo es (si el denominador no se anula en c). Adem´as, si f es continua en c y g es continua en f (c), entonces g ◦ f es continua en c. Definici´ on 2.3.3. La funci´on f es uniformemente continua si para cada > 0 existe alg´ un δ > 0 tal que |f (x) − f (y)| < si |x − y| < δ. 46
Observaci´ on 2.3.4. Si una funci´on es uniformemente continua, entonces es continua. Proposici´ on 2.3.5. Cualquier sucesi´on convergente se transforma mediante una funci´ on uniformemente continua en una sucesi´on convergente. Demostraci´on. Es suficiente ver que las funciones uniformemente continuas conservan la propiedad de Cauchy para sucesiones. Teorema 2.3.6. Si la funci´on f es continua en [a, b], entonces es uniformemente continua. Demostraci´on. Supongamos que f no es uniformemente continua. Entonces existe > 0 tal que para todo n ∈ N existen xn e yn en el dominio de f tales que |xn − yn | < n1 y |f (xn ) − f (yn )| ≥ . Existe una subsucesi´on xj(n) convergente a un punto x ∈ [a, b]. La subsucesi´on yj(n) tambi´en converge a x pero f (xj(n) ) y f (yj(n) ) no pueden tener el mismo l´ımite, lo cual es contradictorio con que f sea continua en x. Proposici´ on 2.3.7. 1. La funci´on f es uniformemente continua en (a, b) si y solo si es continua y tiene l´ımite finito en a y en b. 2. Si f : [a, +∞) −→ R es continua y tiene l´ımite finito en +∞, entonces es uniformemente continua. Demostraci´on. 1. Si f tiene l´ımite finito en a y en b, basta con extender con continuidad la definici´on de f a [a, b], d´andole en a y en b como valor los respectivos l´ımites, y aplicar el teorema anterior. Si f es uniformemente continua en (a, b) y xn converge a a, entonces f (xn ) es convergente. Lo mismo le sucede a cualquier otra sucesi´on x0n convergente a a. Las dos sucesiones f (xn ) y f (x0n ) tienen el mismo l´ımite (en caso contrario basta considerar la sucesi´on x1 , x01 , x2 , x02 , x3 , x03 , . . .) con lo que l´ım+ f (x) existe y es finito. x→a
An´alogamente se prueba el resultado para b. 2. Sean L = l´ım f (x) y > 0. Existe A > a tal que |f (x) − L| < x→+∞
4
si x ≥ A, con lo
que si x, y ≥ A, entonces |f (x) − f (y)| < 2 . En [a, A] f es uniformemente continua, existiendo δ > 0 tal que si |x − y| < δ, entonces |f (x) − f (y)| < 2 . Si |x − y| < δ, x ∈ [a, A] e y > A, basta usar la desigualdad triangular a trav´es de f (A).
47
Teorema 2.3.8 (Teorema de los valores intermedios). Sea f una funcion continua cuyo dominio es un intervalo I y sean a, b ∈ I tales que f (a) 6= f (b). Si u es un n´ umero intermedio entre f (a) y f (b), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = u. Demostraci´on. Dividimos [a, b] en dos intervalos cuyo extremo com´ un es el punto medio. Si la imagen de este punto es u, ya se ha encontrado el c buscado. Si no, para alguno de los dos intervalos, que designamos [a1 , b1 ], sucede que u es intermedio entre f (a1 ) y f (b1 ). Continuando el proceso se obtienen dos sucesiones mon´otonas an y bn convergentes ambas a un n´ umero c ∈ [a, b]. Ya que f es continua en c, las dos sucesiones f (an ) y f (bn ) convergen a f (c) y, por otra parte, al ser u intermedio entre f (an ) y f (bn ) para cada n ∈ N, se tiene que f (c) = u con lo que, adem´as, c 6= a, b. Corolario 2.3.9 (Teorema de Bolzano). Sea f una funcion continua cuyo dominio es un intervalo I y sean a, b ∈ I tales que f (a) · f (b) < 0. Entonces existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0. Corolario 2.3.10. Una funci´on mon´otona definida en un intervalo es continua si y solo si el recorrido es tambi´en un intervalo. Corolario 2.3.11. Una funci´on mon´otona definida en un intervalo y cuyo recorrido es tambi´en un intervalo, si adem´as tiene inversa, verifica que ella y su inversa son continuas. Teorema 2.3.12 (Weierstrass). Dada una funci´on f continua y definida en [a, b], existen c1 , c2 ∈ [a, b] tales que f (c1 ) = sup f (x) y f (c2 ) = ´ınf f (x). x∈[a,b]
x∈[a,b]
Demostraci´on. Veamos primero que sup f (x) ∈ R. En caso contrario se puede elegir una x∈[a,b]
sucesi´on xn tal que f (xn ) > n para todo n ∈ N. Dicha sucesi´on posee una subsucesi´on xj(n) convergente a un n´ umero x ∈ [a, b] en el que f es continua, con lo que f (xj(n) ) debe converger a f (x) lo cual es absurdo. De forma an´aloga se prueba que ´ınf f (x) ∈ R. x∈[a,b]
Ahora, para cada n ∈ N existe xn ∈ [a, b] tal que f (xn ) > sup f (x) − n1 . De nuevo, x∈[a,b]
existe una subsucesi´on xj(n) convergente a un n´ umero c1 ∈ [a, b]. Se tiene que f (c1 ) no puede ser ni menor ni mayor que sup f (x). An´alogamente se encuentra c2 . x∈[a,b]
Ejercicios 1. Comprueba que la funci´on sen x es continua. 2. Estudia la continuidad de las funciones siguientes: a) f (x) = |x|. 48
x2 −4 x−2
b) f (x) = c) f (x) =
A √
√ x − [ x].
x si x 6∈ Q 1 − x si x ∈ Q
x2 si 0 ≤ x ≤ 1 2 − x si 1 < x ≤ 2
d ) f (x) = e) f (x) =
si x 6= 2 si x = 2
f ) f (x) = |x| + |x − 1| − |2x − 1|. 0 si x ∈ (R \ Q) ∩ [0, 1] g) f (x) = 1 si x = pq ∈ Q ∩ [0, 1], irreducible, q > 0 q 3. Da un ejemplo de una funci´on f definida en R que no sea continua en ning´ un punto pero que |f | sea continua. x si x < 0 x+|x| 4. Sean f (x) = 2 y g(x) = Estudia la continuidad de f , g, f ◦ g y x2 si x ≥ 0 g ◦ f. 1 5. Sea f (x) = λx2 −2λ+1 con x ∈ [0, 1]. Calcula el conjunto de valores λ que hacen que f sea continua.
6. Sean f, g : R −→ R funciones continuas tales que f (r) = g(r) para todo r ∈ Q. ¿Es cierto que f (x) = g(x) para todo x ∈ R? 7. Da un ejemplo de una funci´on definida en R: a) Discontinua en
1 n
para todo n ∈ N y continua en los dem´as puntos.
b) Discontinua en 0 y en
1 n
para todo n ∈ N y continua en los dem´as puntos.
8. Estudia la continuidad uniforme de las funciones siguientes: a) f (x) = x3 si x ∈ [1, A] y si x ≥ 1. b) f (x) = sen πx si x > 0. c) f (x) = sen x2 . √ d ) f (x) = x. e) f (x) = x2 . f ) f (x) = x sen x1 si x ∈ (0, 1). 9. Demuestra las afirmaciones siguientes: a) Existe x ∈ R tal que sen x = x − 1. b) La ecuaci´on x2x = 1 tiene al menos una soluci´on en (0, 1]. 49
c) La ecuaci´on x sen x =
π 4
posee al menos dos soluciones en [0, π].
d ) Existe x ∈ R tal que x179 +
163 1+x2 +sen2 x
= 119.
10. Sea f : R −→ R una funci´on continua tal que l´ım f (x) = +∞ y l´ım f (x) = −∞. x→+∞
x→−∞
Prueba que para todo y ∈ R existe x ∈ R tal que f (x) = y. 11. Sea f : [a, b] −→ [a, b] una funci´on continua. Prueba que f tiene al menos un punto fijo, es decir, un punto x ∈ [a, b] tal que f (x) = x. 12. Sea f : [0, 2] −→ R una funci´on continua tal que f (0) = f (2). Demuestra que existen x, y ∈ [0, 2] tales que |x − y| = 1 y f (x) = f (y). 13. Para cada una de las funciones f siguientes encontrar m ∈ Z tal que f tenga alg´ un cero en el intervalo [m, m + 1]: a) f (x) = x3 − x + 5. b) f (x) = x4 + 4x3 − 2x + 2. c) f (x) = 4x2 − 5x + 1. d ) f (x) = x5 + 5x4 + 2x + 1. 14. Sea f : [a, b] −→ Q una funci´on continua. ¿Qu´e puede decirse de ella? 15. Sea f : [a, b] −→ R una funci´on tal que |f (x) − f (y)| ≤ (x − y)2 para todos x, y ∈ [a, b]. ¿Est´a f acotada? 16. Sean f : [a, b] −→ R una funci´on continua y xn una sucesi´on contenida en [a, b]. ∞ P √1 (f (xn+1 ) − f (xn )) es convergente. Demuestra que la serie n n=1
17. Sea f : [0, 1] −→ R una funci´on continua tal que f (0) = f (1). Prueba que existe x ∈ 0, 12 tal que f (x) = f x + 12 . 18. Sea f : R −→ R una funci´on continua tal que l´ım f (x) = l´ım f (x) = 0.
x→−∞
x→+∞
Demuestra que f est´a acotada y que alcanza un m´aximo o un m´ınimo. Da un ejemplo que indique que no necesariamente se tienen por qu´e alcanzar tanto un m´aximo como un m´ınimo.
50
Tema 3 Derivaci´ on 3.1.
Definiciones
Definici´ on 3.1.1. Dada una funci´on f definida en un intervalo I y un punto c ∈ I, definimos la funci´on tasa de variaci´ on mediante τ (h) =
f (c + h) − f (c) h
con h 6= 0 tal que c + h ∈ I, o bien τ (x) =
f (x) − f (c) x−c
con x 6= c y x ∈ I. Observaci´ on 3.1.2. La tasa de variaci´on de f en c mide la inclinaci´on de la recta que pasa por los puntos de la gr´afica de f (c, f (c)) y (c + h, f (c + h)). Definici´ on 3.1.3. Dada una funci´on f definida en un intervalo I y un punto c ∈ I, definimos la derivada de f en c como el l´ımite finito f (c + h) − f (c) f (x) − f (c) = l´ım . x→c h→0 h x−c
f 0 (c) = l´ım
Cuando existe este l´ımite finito, decimos que f es derivable en c. Observaci´ on 3.1.4. La derivada de f en c mide la inclinaci´on de la recta tangente a la gr´afica de f en el punto (c, f (c)). Proposici´ on 3.1.5. Sean f una funci´on definida en un intervalo I y c ∈ I. Si f es derivable en c, entonces es continua en c. 51
Demostraci´on. El resultado se deduce de que f (x) − f (c) f (x) − f (c) (x − c) = l´ım l´ım(x − c) = f 0 (c) · 0 = 0. l´ım(f (x) − f (c)) = l´ım x→c x→c x→c x→c x−c x−c
Observaci´ on 3.1.6. La funci´on f (x) = |x| es continua en 0 pero no derivable. Definici´ on 3.1.7. Una funci´on f que tiene derivada en cada uno de los puntos de su dominio se llama funci´ on derivable, y en tal caso f 0 es la funci´on con el mismo dominio que asigna a cada x de ´el la derivada de f en x. A f 0 se le llama la funci´ on derivada (primera) de f . Definici´ on 3.1.8. Dada una funci´on f definida en un intervalo I y un punto c ∈ I, definimos la derivada lateral por la derecha de f en c como el l´ımite finito f+0 (c) = l´ım+ h→0
f (x) − f (c) f (c + h) − f (c) = l´ım+ . x→c h x−c
An´alogamente se define la derivada lateral por la izquierda de f en c, f−0 (c). Observaci´ on 3.1.9. Si c es uno de los extremos de I solo tiene sentido una de las dos derivadas laterales. Observaci´ on 3.1.10. La derivabilidad de f en c equivale a que las dos derivadas laterales de f en c existan y sean iguales. Ejercicios 1. Calcula la derivada de las siguientes funciones utilizando la definici´on: √ a) f (x) = x. b) f (x) = sen x. c) f (x) = log x. d ) f (x) = xn con n ∈ N. e) f (x) = |x|. 2. Estudia para cada una de las funciones siguientes si existe la derivada en 0 y, en caso negativo, si existen derivadas laterales en 0: x sen x1 si x 6= 0 a) f (x) = 0 si x = 0 2 x sen x1 si x 6= 0 b) f (x) = 0 si x = 0 52
c) f (x) = x|x|. 3. Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones definidas en [0, 1]: a) f verifica b) f (x) = c) f (x) =
que |f (x) − f (y)| ≤ (x − y)2 para todos x, y ∈ [0, 1]. x2 si x ∈ Q . 0 si x ∈ 6 Q 0 si x 6∈ Q 1 si x = pq ∈ Q, irreducible, q > 0 q
4. Sea f una funci´on derivable en c tal que f (c) = 0. Prueba que |f | es derivable en c si y solo si f 0 (c) = 0. √ 5. Determina la ecuaci´on de la recta tangente a la gr´afica de la funci´on x en el punto correspondiente a x = 21 . 6. Sea f una funci´on definida en el intervalo abierto I y derivable en a ∈ I. a) Prueba que el l´ımite l´ım
h→0
f (a+h)−f (a−h) 2h
existe y coincide con f 0 (a).
b) Da un ejemplo de una funci´on f para la cual exista ese l´ımite pero que no sea derivable en a.
3.2.
T´ ecnicas para el c´ alculo de derivadas
Proposici´ on 3.2.1. Sea f una funci´on definida en un intervalo I, mon´otona y continua 0 tal que f (c) 6= 0 y existe f −1 . Entonces f −1 es derivable en f (c) y (f −1 )0 (f (c)) =
1 f 0 (c)
.
Demostraci´on. Sea yn una sucesi´on arbitraria de numeros distintos de f (c) y convergente a f (c). Se trata de comprobar si converge la sucesi´on f −1 (yn ) − f −1 (f (c)) . yn − f (c) Si designamos f −1 (yn ) por xn , la sucesi´on anterior se puede expresar as´ı: xn − c . f (xn ) − f (c) Cada t´ermino de la sucesi´on xn es distinto de c y, por ser f −1 continua, la sucesi´on xn converge a c, con lo que f (xn ) − f (c) f 0 (c) = l´ım n→∞ xn − c obteni´endose el resultado. 53
Ejemplo 3.2.2. Sea f (x) = sen x, x ∈ − π2 , π2 . Entonces (arc sen x)0 =
1 1 =√ cos arc sen x 1 − x2
con x ∈ (−1, 1). Proposici´ on 3.2.3. Sean f y g dos funciones definidas en un intervalo I y derivables en c ∈ I, y λ ∈ R. Entonces: 1. f + g es derivable en c y (f + g)0 (c) = f 0 (c) + g 0 (c). 2. f g es derivable en c y (f g)0 (c) = f 0 (c)g(c) + f (c)g 0 (c). 3. La funci´on constante λ tiene derivada 0 en cada punto. 4. λf es derivable en c y (λf )0 (c) = λf 0 (c). 5. Si g(x) 6= 0 para todo x ∈ I,
1 g
6. Si g(x) 6= 0 para todo x ∈ I,
f g
es derivable en c y es derivable en c y
0 1 g
0 f g
0
g (c) (c) = − g(c) 2.
(c) =
f 0 (c)g(c)−f (c)g 0 (c) . g(c)2
Demostraci´on. 1. Es evidente que (f + g)(c + h) − (f + g)(c) = f 0 (c) + g 0 (c). h→0 h l´ım
2. Usando que (f g)(c + h) − (f g)(c) = h→0 h f (c + h) − f (c) g(c + h) − g(c) l´ım g(c + h) + l´ım f (c) h→0 h→0 h h l´ım
y que g es continua en c se obtiene el resultado. 3. Trivial. 4. Basta usar 2 y 3. 5. Se tiene que l´ım
h→0
1 g(c+h)
−
h
1 g(c)
= − l´ım
h→0
1 g(c + h) − g(c) g(c)g(c + h) h 54
=−
g 0 (c) . g(c)2
6. Basta usar 2 y 5.
Proposici´ on 3.2.4 (Regla de la cadena). Si f es derivable en c y g es derivable en f (c), entonces g ◦ f es derivable en c y (g ◦ f )0 (c) = g 0 (f (c))f 0 (c). Demostraci´on. Supongamos en primer lugar que f (x) 6= f (c) si 0 < |x−c| < δ para cierto δ > 0. Entonces g(f (x)) − g(f (c)) f (x) − f (c) g(f (x)) − g(f (c)) = l´ım . l´ım x→c x→c x−c f (x) − f (c) x−c Ya que f es continua en c se obtiene el resultado. Si para todo δ > 0 existe x ∈ (c − δ, c + δ) \ {c} tal que f (x) = f (c), entonces existe una sucesi´on xn de n´ umeros distintos de c que converge a c tal que f (xn ) = f (c) para todo n ∈ N. De aqu´ı resulta que f 0 (c) = 0. Basta ahora demostrar que (g ◦ f )0 (c) = 0. Sea xn una sucesi´on de n´ umeros distintos de c convergente a c. Si f (xn ) = f (c) para alg´ un n ∈ N, el cociente g(f (xn )) − g(f (c)) xn − c se anula. En caso contrario, utilizando de nuevo la descomposici´on anterior, dicho cociente converge a g 0 (f (c))f 0 (c) = 0. Ejercicios 1. Calcula la derivada de las siguientes funciones: a) f (x) = cos x. b) f (x) = tag x. c) f (x) = log |x|. d ) f (x) = ex . e) f (x) = arc cos x. f ) f (x) = arc tag x. g) f (x) = xr con r ∈ R. h) f (x) = (cos x)1/x . sen2 x cos x1 i ) f (x) = 0 2 x sen x12 si j ) f (x) = 0 si
si x 6= 0 si x = 0 x 6= 0 x=0 55
q p √ k ) f (x) = 3 1 + 3 1 + 3 x. √ l ) f (x) = x2 − 3x + 2. m) f (x) = sen cos2 x. 2. Estudia la derivabilidad de las funciones siguientes: a) f (x) = |π 2 − x2 | sen2 x. b) f (x) = arc sen cos x. c) f (x) = |(x − 1)(x − 2)2 |. d ) f (x) = | cos x|. e) f (x) = sen |x|. 3. Calcula derivadas o derivadas laterales para las siguientes funciones: x cos πx si x 6= 0 a) f (x) = 0 si x = 0 x si x 6= 0 1+e1/x b) f (x) = 0 si x = 0 c) f (x) = arc sen x22x+1 . 4. Calcula λ y µ para que sea derivable la funci´on f (x) =
3.3. 3.3.1.
6 x+2 2
si x ∈ [0, 1] λx + µ si x ∈ (1, 2]
Propiedades de las funciones derivables Crecimiento y decrecimiento. M´ aximos y m´ınimos locales
Definici´ on 3.3.1. Si la funci´on f es continua en c por la derecha, se dice que f es creciente (decreciente) en c por la derecha si existe δ > 0 tal que f (x) > f (c) (f (x) < f (c)) cuando c < x < c + δ. An´alogamente, si f es continua en c por la izquierda, se dice que f es creciente (decreciente) en c por la izquierda si existe δ > 0 tal que f (x) < f (c) (f (x) > f (c)) cuando c − δ < x < c. Si f es continua en c, se dice que f es creciente (decreciente) en c si crece (decrece) a ambos lados de c. Proposici´ on 3.3.2. 1. Si existe f+0 (c) > 0, entonces f es creciente en c por la derecha. 56
2. Si existe f+0 (c) < 0, entonces f es decreciente en c por la derecha. 3. Si existe f−0 (c) > 0, entonces f es creciente en c por la izquierda. 4. Si existe f−0 (c) < 0, entonces f es decreciente en c por la izquierda. Demostraci´on. Basta probar el primer apartado pues el resto se demuestran an´alogamen(c) > λ si c < x < c + δ, con lo que se te. Dado 0 < λ < f+0 (c), existe δ > 0 tal que f (x)−f x−c obtiene el resultado. Observaci´ on 3.3.3. Derivada positiva (negativa) es condici´on suficiente para crecimiento (decrecimiento) pero no necesaria. Basta considerar la funci´on f (x) = x3 que es creciente y f 0 (0) = 0. Definici´ on 3.3.4. Dada una funci´on f continua en c, se dice que f tiene en c un m´ aximo (m´ınimo) local si existe δ > 0 tal que f (x) ≤ f (c) (f (x) ≥ f (c)) si |x − c| < δ. Al conjunto de m´aximos y m´ınimos locales de f se les llama extremos locales de f . Como consecuencia de la proposici´on anterior se obtiene claramente que: Proposici´ on 3.3.5. Si f tiene en c un extremo local y f es derivable en c, entonces 0 f (c) = 0.
3.3.2.
El teorema del valor medio
Teorema 3.3.6 (Rolle). Sea f una funci´on derivable en un intervalo acotado (a, b) y continua en sus extremos. Si f (a) = f (b), entonces existe c ∈ (a, b) tal que f 0 (c) = 0. Demostraci´on. Ya que f es una funci´on continua en [a, b], existen c1 , c2 ∈ [a, b] tales que f (c1 ) = sup f (x) y f (c2 ) = ´ınf f (x). x∈[a,b]
x∈[a,b]
Si c1 y c2 son los extremos del intervalo, entonces f es constante y f 0 (c) = 0 para todo c ∈ (a, b). En otro caso, c1 o c2 pertenece a (a, b) y entonces el m´aximo o m´ınimo absoluto es tambi´en un extremo local, por lo que al existir la derivada en ´el ´esta tiene que ser 0. Observaci´ on 3.3.7. Geom´etricamente el teorema de Rolle nos dice que en alg´ un punto (c, f (c)) de la gr´afica de f , siendo c intermedio entre a y b, la tangente es horizontal y paralela, por tanto, al segmento que une los extremos de la gr´afica. El siguiente resultado constituye una generalizaci´on del teorema de Rolle. 57
Teorema 3.3.8 (Valor medio). Sea f una funci´on derivable en un intervalo acotado (a, b) y continua en sus extremos. Existe c ∈ (a, b) tal que f (b) − f (a) = f 0 (c)(b − a). Demostraci´on. Basta aplicar el teorema de Rolle a la funci´on Φ(x) = (f (b) − f (a))x − (b − a)f (x).
Observaci´ on 3.3.9. Geom´etricamente el teorema del valor medio dice que en alg´ un punto (c, f (c)) de la gr´afica de f , siendo c intermedio entre a y b, la tangente es paralela al segmento que une los extremos de la misma. Y el siguiente resultado generaliza el teorema del valor medio. Teorema 3.3.10 (Cauchy). Sean f y g funciones derivables en un intervalo acotado (a, b) y continuas en los extremos. Existe c ∈ (a, b) tal que g 0 (c)(f (b) − f (a)) = f 0 (c)(g(b) − g(a)). Demostraci´on. Basta aplicar el teorema de Rolle a la funci´on Φ(x) = (f (b) − f (a))g(x) − (g(b) − g(a))f (x).
Veamos ahora algunas aplicaciones de estos teoremas. Proposici´ on 3.3.11. Si la funci´on f tiene derivada positiva (negativa) en cada punto de un intervalo I, entonces f es estrictamente creciente (decreciente) en I. Demostraci´on. Basta con probar la primera parte pues la otra se demuestra an´alogamente. Sean x, y ∈ I tales que x < y. Aplicando el teorema del valor medio al intervalo [x, y] se obtiene alg´ un c ∈ (x, y) tal que f (y) − f (x) = f 0 (c)(y − x), deduci´endose el resultado. Proposici´ on 3.3.12. Si la funci´on f es derivable en un intervalo I y |f 0 (x)| ≤ M para todo x ∈ I, entonces f es uniformemente continua. Demostraci´on. Dados x, y ∈ I, aplicando el teorema del valor medio se obtiene alg´ un c 0 intermedio entre x e y tal que |f (x) − f (y)| = |f (c)||x − y| ≤ M |x − y|, deduci´endose el resultado. 58
Proposici´ on 3.3.13. Sea una funci´on f derivable en alg´ un intervalo (a, a + δ) ((a − δ, a)) 0 0 y continua en a. Si existe l´ım+ f (x) ( l´ım− f (x)), entonces tambi´en existe f+0 (a) (f−0 (a)) x→a
x→a
y son iguales. Demostraci´on. En el primer caso basta aplicar el teorema del valor medio al intervalo [a, x] para cada x ∈ (a, a + δ) ya que si x → a+ , entonces c → a+ tambi´en. El otro caso es an´alogo. Observaci´ on 3.3.14. La existencia de f+0 (a) no garantiza la de l´ım+ f 0 (x). Basta consix→a 2 x sen x1 si x > 0 derar la funci´on f (x) = y a = 0. 0 si x = 0 En el resultado siguiente a ∈ [−∞, +∞]. Teorema 3.3.15 (L’Hˆopital). Sean f y g dos funciones que verifican las condiciones siguientes: 1. l´ım f (x) = l´ım g(x) = 0, +∞, −∞. x→a
x→a
2. En las proximidades de a son derivables, y g y g 0 no se anulan. f 0 (x) 0 x→a g (x)
3. l´ım
= λ ∈ [−∞, +∞].
f (x) x→a g(x)
Entonces l´ım
= λ.
Demostraci´on. Supongamos en primer lugar que el l´ımite com´ un de la condici´on 1 es 0 y que a ∈ R. La condici´on 2 se verifica en alguno de los intervalos (a − δ, a) o (a, a + δ), o en ambos. Por la condici´on 1, si definimos f (a) = g(a) = 0, entonces f y g son continuas en a. Suponemos que f y g est´an definidas en [a, a + δ), y para (a − δ, a] se har´ıa un razonamiento an´alogo. Fijado x ∈ (a, a + δ), utilizando el teorema de Cauchy en el intervalo [a, x] se obtiene c ∈ (a, x) tal que g 0 (c)(f (x) − f (a)) = f 0 (c)(g(x) − g(a)) es decir, f (x) f 0 (c) = 0 . g(x) g (c) Cuando x → a+ , tambi´en c → a+ , con lo que se tiene el resultado. Estudiemos ahora el caso a = +∞, y el problema es an´alogo si a = −∞. 59
Las funciones f y g verifican la condici´on 2 en (A, +∞) para cierto A > 0. Hacemos el cambio de variable x = 1t y consideramos las funciones F (t) = f 1t y G(t) = g 1t , las cuales se encuentran en la situaci´on del caso anterior para a = 0, obteni´endose el resultado. Supongamos ahora que el l´ımite com´ un de la condici´on 1 es +∞ (el caso −∞ se prueba an´alogamente) y que a ∈ R. De la misma forma que antes el caso infinito se reduce al caso finito mediante un cambio de variable. El problema fundamental ahora es que no podemos definir f y g en a de manera que sean continuas, y por ello deberemos aplicar el teorema de Cauchy en intervalos a la derecha o a la izquierda de a y un poco separados de a. Haremos un razonamiento para la parte derecha de a, y para la parte izquierda se proceder´ıa an´alogamente. Suponemos que la condici´on 2 se verifica en el intervalo (a, b]. Si x ∈ (a, a + δ) siendo δ suficientemente peque˜ no, se verifica la identidad siguiente: f (x) − f (b) 1 − f (x) = g(x) g(x) − g(b) 1 −
g(b) g(x) f (b) f (x)
ya que los denominadores que aparecen son distintos de 0 por la condici´on 1. Aplicando el teorema de Cauchy al intervalo [x, b] se obtiene c ∈ (x, b) tal que f (x) − f (b) f 0 (c) = 0 g(x) − g(b) g (c) por lo que la referida identidad se puede tambi´en escribir as´ı: f (x) f 0 (c) = 0 h(x) g(x) g (c) en donde h(x) es el segundo factor del segundo miembro de ella. Ya que l´ım+ h(x) = 1, tomando b para que
3.3.3.
f 0 (c) g 0 (c)
x→a
est´e suficientemente cerca de λ, se obtiene el resultado.
Derivadas de orden superior y el teorema de Taylor
Definici´ on 3.3.16. Sea f una funci´on derivable en todos los puntos de un intervalo I. 0 Si f es derivable en c ∈ I, es decir, si existe y es finito f 0 (x) − f 0 (c) l´ım , x→c x−c ´este se designa f 00 (c) y se llama la derivada segunda de f en c. An´alogamente se define la derivada n-´ esima de f en c, f (n) (c). 60
Teorema 3.3.17 (generalizado de Cauchy). Sean f y g funciones derivables con continuidad hasta el orden n − 1 en [a, b] y tales que f (n) (x) y g (n) (x) existen para todo x ∈ (a, b). Entonces existe c ∈ (a, b) tal que ! ! n−1 (k) n−1 (k) X X g (a) f (a) (b − a)k = f (n) (c) g(b) − (b − a)k . g (n) (c) f (b) − k! k! k=0 k=0 Demostraci´on. Basta aplicar el teorema de Cauchy a las funciones F (x) =
n−1 (k) X f (x)
k!
k=0
(b − x)k
y G(x) =
n−1 (k) X g (x)
k!
k=0
(b − x)k .
Teorema 3.3.18 (Taylor). Sea f una funci´on derivable con continuidad hasta el orden n − 1 en [a, b] y tal que f (n) (x) existe para todo x ∈ (a, b). Entonces existe c ∈ (a, b) tal que n−1 (k) X f (a) f (n) (c) f (b) − (b − a)k = (b − a)n . k! n! k=0 Demostraci´on. Basta aplicar el teorema generalizado de Cauchy a f y g(x) = (x−a)n . Teorema 3.3.19 (Taylor-Young). Sea f una funci´on derivable hasta el orden n − 1 en [a, b] y tal que f (n) (c) existe para cierto c ∈ [a, b]. Entonces el polinomio de Taylor de f de orden n centrado en c, es decir, Pn,f,c (x) =
n X f (k) (c) k=0
k!
(x − c)k
es el u ´nico polinomio P (x) de grado menor o igual que n tal que f (x) − P (x) = 0. x→c (x − c)n l´ım
Demostraci´on. Por inducci´on se prueba que el polinomio de Taylor de f de orden n centrado en c verifica que el l´ımite del enunciado es nulo. Basta emplear el teorema de 0 L’Hˆopital y utilizar que Pn+1,f,c = Pn,f 0 ,c . Para ver la unicidad, supongamos que P y Q son dos polinomios de grado menor o igual que n que verifican que el l´ımite del enunciado es nulo. Entonces P (x) − Q(x) = a0 + a1 (x − c) + · · · + an (x − c)n . 61
Ya que P (x) − Q(x) f (x) − Q(x) f (x) − P (x) = l´ım − l´ım =0 n n x→c x→c x→c (x − c) (x − c) (x − c)n l´ım
se tiene que a0 = l´ım(P (x) − Q(x)) = l´ım x→c
x→c
P (x) − Q(x) (x − c)n (x − c)n
= 0.
Pero entonces P (x) − Q(x) a1 = l´ım = l´ım x→c x→c x−c
P (x) − Q(x) (x − c)n−1 (x − c)n
= 0.
Reiterando este proceso se obtiene que P = Q. Definici´ on 3.3.20. Dadas dos funciones f y g definidas en un intervalo I y c ∈ I, se dice que f (x) = o(g(x)) cuando x → c si f (x) = 0. x→c g(x) l´ım
3.3.4.
An´ alisis local de una funci´ on derivable
Definici´ on 3.3.21. Se dice que la funci´on f es c´ oncava en a si existe δ > 0 tal que 0 f (x) < f (a) + f (a)(x − a) si 0 < |x − a| < δ. An´alogamente, se dice que la funci´on f es convexa en a si existe δ > 0 tal que f (x) > f (a) + f 0 (a)(x − a) si 0 < |x − a| < δ. Y f tiene en a un punto de inflexi´ on si existe δ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ, 0 la diferencia f (x) − [f (a) + f (a)(x − a)] es positiva para x > a y negativa para x < a o viceversa. Observaci´ on 3.3.22. Concavidad de f en a significa que en las proximidades de a la gr´afica de f est´a por debajo de la tangente en (a, f (a)), convexidad significa que est´a por encima y punto de inflexi´on significa que la tangente atraviesa a la gr´afica. Proposici´ on 3.3.23. Sea f una funci´on con derivada de orden n en un intervalo I en cuyo interior est´a a y tal que f (n) es continua en a, f (n) (a) 6= 0 y f 00 (a) = f 000 (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0. Entonces: 1. Si n es par y f (n) (a) > 0, entonces f es convexa en a, y si adem´as f 0 (a) = 0, entonces f tiene en a un m´ınimo local. 62
2. Si n es par y f (n) (a) < 0, entonces f es c´oncava en a, y si adem´as f 0 (a) = 0, entonces f tiene en a un m´aximo local. 3. Si n es impar, entonces f tiene en a un punto de inflexi´on. Demostraci´on. Aplicando el teorema de Taylor al intervalo de extremos a y x siendo x cualquier punto de I, se obtiene que f (x) − [f (a) + f 0 (a)(x − a)] =
f (n) (c) (x − a)n n!
para alg´ un c intermedio entre a y x. Ya que f (n) es continua en a, existe δ > 0 tal que f (n) es positiva en (a − δ, a + δ) si en a lo es o negativa en dicho intervalo si en a lo es. Se presentan, pues, cuatro posibilidades al analizar si f (n) (c) (x − a)n n! es positivo o negativo cuando x ∈ (a − δ, a + δ) dependiendo de la paridad de n y del signo de f (n) (a). Todas ellas se estudian sin dificultad obteni´endose el resultado. Ejercicios 1. Sea f una funci´on derivable para x > A tal que l´ım f 0 (x) existe y es finito. Calcula: x→+∞
a) l´ım (f (x + 2) − f (x)). x→+∞
b) l´ım
x→+∞
f (2x)−f (x) . x
2. Sea f una funci´on definida y continua en [0, +∞) tal que f (0) = 0, f es derivable en (0, +∞) y f 0 es creciente. Sea g(x) = f (x) definida en (0, +∞). Prueba que g es x creciente. 3. Demuestra que el polinomio c0 +c1 x+c2 x2 +· · ·+cn xn tiene alg´ un cero en el intervalo 1 1 1 (0, 1) si c0 + 2 c1 + 3 c2 + · · · + n+1 cn = 0. 4. Calcula los l´ımites siguientes usando el teorema de L’Hˆopital: log(1+ax) con a, b > 0. x→0 log(1+bx) √ n l´ım m√1+ax−1 con a, b > 0. 1+bx−1 x→0
a) l´ım b)
xn x x→+∞ e
c) l´ım d ) l´ım
x→+∞
con n ∈ N.
(x2 + x) log 1 +
1 x
−x . 63
1 x2
e) l´ım
x→0
−
cotag x x
f ) l´ım (2 − x)tag
πx 2
. .
x→1
g) l´ım (log cotag x)tag x . x→0
1
h) l´ım x 1−x . x→1
i ) l´ım cotag x − x1 . x→0 1 j ) l´ım e 1−cos x sen x . x→0 k ) l´ım x1 − ex1−1 . x→0 1 l ) l´ım log1 x − x−1 . x→1
x(ex +1)−2(ex −1) . x3 x→0
m) l´ım
5. Prueba que si existe f 00 (x), entonces f (x + h) + f (x − h) − 2f (x) = f 00 (x). h→0 h2 l´ım
¿Puede existir este l´ımite y que no exista f 00 (x)? 6. Demuestra que f 0 (x) = 0 para cada x de un intervalo I si y solo si f es constante en I. 7. Prueba las desigualdades siguientes: a) x + 1 ≤ ex para todo x ∈ R. b) log(x + 1) < x para todo x > 0. c) 1 −
a b
< log ab <
b a
− 1 con 0 < a < b.
8. Escribe el polinomio x4 + x3 − 3x2 + 4x − 4 como una suma de potencias de x − 1, y el polinomio x4 − 11x3 + 43x2 − 60x + 14 como una suma de potencias de x − 3. 9. Demuestra que: a) ex =
∞ P k=0
xk k!
para todo x ∈ R.
b) log(1 + x) =
∞ P
k
(−1)k−1 xk para todo x ∈ (0, 1].
k=1
c) sen x = d ) cos x =
∞ P k=1 ∞ P k=0
(−1)k−1 x2k−1 (2k−1)! (−1)k x2k (2k)!
para todo x ∈ R.
para todo x ∈ R. 64
e) x < (1 + x) log(1 + x) < x +
x2 2
para todo x > 0.
10. Prueba las desigualdades siguientes: a) 1 − b)
2n P
x2 2
≤ cos x para todo x ∈ R. k
(−1)k+1 xk ≤ log(x + 1) ≤
k=1
2n+1 P k=1
k
(−1)k+1 xk para todo x > 0.
11. Comprueba que el error cometido al sustituir sen(ex − 1) por x + 21 x2 es menor que 1 . 3 · 10−3 si |x| ≤ 10 12. Prueba que el error cometido al sustituir cos2 3x por 1 − 9x2 + 27x4 es menor que 1 4 · 10−5 si |x| ≤ 10 . 13. Se supone que f (a) = g(a) y que f 0 (x) < g 0 (x) para todo x ∈ [a, b]. Demuestra que f (x) < g(x) para todo x ∈ [a, b]. 14. Sea f continua en [a, b] y con derivada segunda en (a, b). Se supone que en el segmento que une los extremos de la gr´afica de f hay alg´ un otro punto de ella. 00 Demuestra que existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0. 15. Sea f continua en [a, b]. En (a, b) hay n + 1 puntos en los cuales f toma el mismo valor. Demuestra que si f tiene derivada n-´esima en (a, b), entonces existe c ∈ (a, b) tal que f (n) (c) = 0. 16. Calcula los l´ımites siguientes usando el teorema de Taylor-Young: 1 6 (sen x−x)2 − 36 x . 8 x x→0
a) l´ım
arc tag x−sen x . x→0 tag x−arc sen x
b) l´ım
1−x+log x √ 2. x→1 1− 2x−x
c) l´ım
d ) l´ım
x→0
sen √ x−x cos x . x2 −sen2 x
17. Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones siguientes: a) f (x) =
2x . x2 +1
b) f (x) = cos x − x. c) f (x) = x2 e−x . 18. Dada la funci´on
f (x) =
x4 sen2 0
1 x
si x 6= 0 si x = 0
demuestra que tiene en 0 un m´ınimo local, que f 0 (0) = f 00 (0) = 0 y que no existe f 000 (0). 65
19. Prueba que la funci´on f (x) = ax −
x3 x2 +1
es creciente en R si y solo si a ≥ 89 .
20. Determina el rect´angulo inscrito en la elipse los ejes y que tenga a´rea m´axima.
x 2 a
+
y 2 b
= 1 con lados paralelos a
21. Determina el paralelep´ıpedo de base cuadrada inscrito en una semiesfera de radio 1 que tiene volumen m´aximo. 22. Representa gr´aficamente las funciones siguientes: a) f (x) = x3 − 5x2 + 5x − 1. b) f (x) =
x3 . (x+1)2
√ 3 c) f (x) = (x − 1) x2 . d ) f (x) = xe1/x . e) f (x) = − 14 x2 log x. f ) f (x) =
1 . log x
Recuerda que si l´ım+ f (x) = ±∞ o l´ım− f (x) = ±∞, se dice que la recta x = c es x→c
x→c
una as´ıntota vertical de la gr´afica de f , si l´ım f (x) = L o l´ım f (x) = L, se x→+∞
x→−∞
dice que la recta y = L es una as´ıntota horizontal y la recta y = λx + µ con λ 6= 0 es una as´ıntota oblicua si l´ım (f (x) − λx − µ) = 0 o l´ım (f (x) − λx − µ) = 0. x→+∞
x→−∞
66
Tema 4 Integraci´ on 4.1.
C´ alculo de primitivas
Definici´ on 4.1.1. Se dice que la funci´on derivable F es una primitiva de la funci´on f R 0 si F = f , utiliz´andose la notaci´on f (x) dx = F (x). Es trivial probar el resultado siguiente: Proposici´ on 4.1.2. La condici´on necesaria y suficiente para que dos funciones derivables sean primitivas de la misma funci´on es que su diferencia sea constante. Observaci´ on 4.1.3. Si conocemos una primitiva F de f , todas las dem´as se obtienen sumando a F un n´ umero real arbitrario. De la derivada de un producto de dos funciones se obtiene f´acilmente la regla siguiente: Proposici´ on 4.1.4. Dadas dos funciones derivables f y g se tiene que Z Z 0 f (x)g (x) dx = f (x)g(x) − f 0 (x)g(x) dx. La regla de la cadena es otra herramienta para el c´alculo de primitivas. Si queremos hallar una primitiva de f (x), es u ´til a veces hacer un cambio de variable x = ϕ(t) de −1 tal manera que ϕ y ϕ sean derivables. Si podemos encontrar una primitiva G(t) del producto g(t) = f (ϕ(t))ϕ0 (t), entonces la funci´on F (x) = G(ϕ−1 (x)) es una primitiva de f (x). Ejercicios 1. Calcula las primitivas siguientes: 67
a)
R
b)
R
1√ x−1+ x+1 1 dx. 1+sen x √
dx.
R
tag 2 x dx. R √ d ) x 1 − x2 dx. c)
2. Calcula las primitivas siguientes utilizando la regla del producto: R a) x2 ex dx. R b) x cos x dx. R c) arc tag x dx. R d ) log |x| dx. R e) arc sen x dx. R f ) ex cos x dx. R g) log3 x dx. R h) log xlog x dx. R i ) x log2 x dx. R sen x j ) x√arc1−x dx. 2 R k ) sen2 x dx. 3. Calcula las primitivas de funciones racionales siguientes: R 2 +7x−1 a) x2x 3 +x2 −x−1 dx. R b) xx+4 2 +1 dx. R x2 +x+2 c) x4 +2x2 +1 dx. R 2x2 +x+1 d ) (x+3)(x−1) 2 dx. R 1 e) x4 +1 dx. R f ) (x2x−1 2 +2)2 dx. 4. Calcula las primitivas siguientes mediante cambio de variable: R√ a) 1 − x2 dx. R√ b) x2 + 1 dx. R √ c) x x + 1 dx. R x −x d ) e e+2e dx. 2x +1 R sen x e) sen x+cos x dx. R f ) sen3 x cos4 x dx. 68
g)
R
1+cos2 x cos x(1+sen2 x)
h)
R
i)
R
1 sen2 x cos2 x √ 4x √ dx. 1+ x
j)
R
1 cos x
dx.
dx.
dx.
5. Calcula las primitivas siguientes: a)
R
2−sen x 2+cos x
b)
R
1 1+sen2 x
c)
R
1−r cos x 1−2r cos x+r2
d)
R
√1 1+ x+1
e)
R
4x +1
f)
R
2x +1 √ 1−x √ 1− x
g)
R
cos 2x sen2 x dx.
h)
R
1 sen 3x cos x
i)
R
x 1+
j)
R
√ 2+ x+1 √ (x+1)2 − x+1
k)
R√
l)
R
√ 1 x−x2
m)
R
sen3 x √ cos x
n)
R
1 a2 ex +b2 e−x
n ˜)
R
o)
R
1 x(x7 +1)
p)
R
cos x log(1 + cos x) dx.
q)
R
x2 −3x+3 x2 −3x+2
r)
R
3x+5 (x2 −2x+2)2
s)
R
√1 x x2 −1
dx. dx. dx.
dx.
dx. dx.
dx. 2
√1 x
dx.
dx.
2x − x2 dx. dx. dx.
dx. √ x5 1 − x3 dx.
q
t)
R
1 x+1
u)
R
1 2+3 tag x
v)
R
√
dx.
dx. dx.
dx.
x+3 x−1
dx.
dx.
x2 3x2 −x+1
dx. 69
4.2.
La integral de Riemann
Sea f : [a, b] −→ R acotada, es decir, |f (x)| ≤ M para todo x ∈ [a, b]. A continuaci´on vamos a describir un proceso (integraci´on) que asocia a f un determinado n´ umero (integral) que, cuando f es continua y positiva en [a, b], es el ´area del recinto plano determinado sobre [a, b] por la gr´afica de f y las rectas x = a y x = b. Definici´ on 4.2.1. Dados x1 < x2 < · · · < xr−1 n´ umeros de (a, b), se dice que P = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xr−1 , b = xr } es una partici´ on del intervalo [a, b]. La norma de P se define como |P | = m´ax {xi − xi−1 }. 1≤i≤r
La colecci´on de todas las particiones de [a, b] se designa por P. A cada P ∈ P asociamos las sumas r X (xk − xk−1 ) S(f, P ) =
sup
k=1
x∈[xk−1 ,xk ]
s(f, P ) =
r X
(xk − xk−1 )
k=1
´ınf
f (x)
f (x)
x∈[xk−1 ,xk ]
y r X σ(f, P ) = (xk − xk−1 )f (tk ) k=1
donde tk ∈ [xk−1 , xk ] para todo 1 ≤ k ≤ r. Proposici´ on 4.2.2. 1. Para toda P ∈ P se tiene que −M (b − a) ≤ s(f, P ) ≤ σ(f, P ) ≤ S(f, P ) ≤ M (b − a). 2. Para todas P, P 0 ∈ P se tiene que s(f, P ) ≤ S(f, P 0 ). 3. Se tiene que −M (b − a) ≤ sup s(f, P ) ≤ ´ınf S(f, P ) ≤ M (b − a). P ∈P
P ∈P
Demostraci´on. 1. Trivial. 70
2. El resultado se debe a que s(f, P ) ≤ s(f, P ∪ P 0 ) ≤ S(f, P ∪ P 0 ) ≤ S(f, P 0 ) donde P ∪ P 0 se obtiene a˜ nadiendo a P los elementos de P 0 que no le pertenecen. 3. Basta usar los apartados ya probados.
Definici´ on 4.2.3. Las integrales superior e inferior de f en [a, b] se definen, respectivamente, mediante Z b Z b f (x) dx = f = ´ınf S(f, P ) a
P ∈P
a
y Z
b
b
Z f (x) dx =
a
f = sup s(f, P ). P ∈P
a
Cuando son iguales se dice que f es integrable (Riemann), el valor com´ un se designa Rb Rb f (x) dx = a f y se denomina integral (Riemann) de f en [a, b]. a Proposici´ on 4.2.4. Una funci´on f definida en [a, b] y acotada es integrable si y solo si para todo > 0 existe P ∈ P tal que S(f, P ) − s(f, P ) < . Demostraci´on. Supongamos que f es integrable. Dado > 0 existe P 0 ∈ P tal que Rb Rb S(f, P 0 ) < a f + 2 . An´alogamente existe P 00 ∈ P tal que s(f, P 00 ) > a f − 2 . Sea P = P 0 ∪ P 00 . Entonces Z b Z b f − < s(f, P ) ≤ S(f, P ) < f+ 2 2 a a con lo que S(f, P ) − s(f, P ) < . Rec´ıprocamente, dado > 0 existe P ∈ P tal que S(f, P ) − s(f, P ) < , con lo que b
Z
b
Z f−
a
f 0 y, por tanto, Z
b
Z f=
a
b
f. a
Corolario 4.2.5. Si f : [a, b] −→ R es continua, entonces es integrable. Demostraci´on. Ya que f es uniformemente continua en [a, b], dado > 0 existe δ > 0 tal que |f (x) − f (y)| < b−a si |x − y| < δ. Basta entonces elegir P ∈ P tal que |P | < δ para obtener el resultado. 71
Observaci´ on 4.2.6. Si f : [a, b] −→ R es continua y Pn es una sucesi´on de particiones de [a, b] tal que l´ım |Pn | = 0, entonces l´ım (S(f, Pn ) − s(f, Pn )) = 0 y, puesto que n→∞ n→∞ Rb s(f, Pn ) ≤ a f ≤ S(f, Pn ) para todo n ∈ N, resulta tambi´en que la sucesiones S(f, Pn ) y s(f, Pn ) (y cualquier σ(f, Pn )) convergen a la integral. Veamos ahora las propiedades de las funciones integrables: Proposici´ on 4.2.7. Sean f y g funciones integrables en [a, b] y λ ∈ R. Entonces se verifica: Rb Rb Rb 1. f + g es integrable en [a, b] y a (f + g) = a f + a g. Rb Rb 2. λf es integrable en [a, b] y a (λf ) = λ a f . 3. Si c ∈ (a, b), entonces f es integrable en [a, c] y en [c, b] y Rb Rb 4. Si f ≤ g, entonces a f ≤ a g. R R b b 5. |f | es integrable en [a, b] y a f ≤ a |f |.
Rb a
f=
Rc a
f+
Rb c
f.
Demostraci´on. 1. Sea > 0. Ya que f y g son integrables existen particiones P, P 0 ∈ P tales que S(f, P ) − s(f, P ) < 2 y S(g, P 0 ) − s(g, P 0 ) < 2 . Tomando P 00 = P ∪ P 0 se tiene que S(f + g, P 00 ) − s(f + g, P 00 ) ≤ S(f, P 00 ) + S(g, P 00 ) − s(f, P 00 ) − s(g, P 00 ) ≤ S(f, P ) + S(g, P 0 ) − s(f, P ) − s(g, P 0 ) < . con lo que f + g es integrable. La igualdad integral se obtiene tomando ´ınfimos y supremos respectivamente en P en las desigualdades S(f +g, P ) ≤ S(f, P )+S(g, P ) y s(f + g, P ) ≥ s(f, P ) + s(g, P ). 2. La demostraci´on de esta propiedad es similar a la de la anterior. 3. La primera parte es trivial y la segunda se deduce de la primera propiedad pues f coincide salvo en c con la suma de sus restricciones a [a, c] y [c, b]. 4. Basta con tomar ´ınfimos en P en la desigualdad S(f, P ) ≤ S(g, P ). 5. La primera parte se debe a que |f | es la composici´on de la funci´on integrable f con la funci´on continua valor absoluto (ver Ejercicio 2). Utilizando los apartados 2 y Rb Rb Rb Rb Rb 4 se tiene que − a f = a (−f ) ≤ a |f | y a f ≤ a |f | con lo que se obtiene la segunda parte. 72
Proposici´ on 4.2.8. Si f : [a, b] −→ R es continua, entonces alg´ un x ∈ [a, b].
Rb a
f = (b − a)f (x) para
Demostraci´on. Ya que b
Z (b − a) m´ın f (x) ≤
f ≤ (b − a) m´ax f (x)
x∈[a,b]
se tiene que
Rb a
x∈[a,b]
a
f = (b − a)µ para alg´ un m´ın f (x) ≤ µ ≤ m´ax f (x). El teorema de los x∈[a,b]
x∈[a,b]
valores intermedios hace el resto. Definici´ on 4.2.9. Sea f : [a, b] −→ R integrable. A la funci´on F (t) =
0 si t = a f (x) dx si a < t ≤ b a
Rt
se le llama integral indefinida de f en [a, b]. Proposici´ on 4.2.10. La integral indefinida de f es una funci´on continua. Demostraci´on. Ya que −M (t − a) ≤ F (t) ≤ M (t − a) se tiene que l´ım F (t) = 0 con lo que F es continua en t = a. t→a
Y dado el intervalo (a, x] contenido en el intervalo de definici´on de F , si a < u < v ≤ x, entonces Z v Z v |f | ≤ M (v − u) |F (v) − F (u)| = f ≤ u
u
con lo que F es uniformemente continua en (a, x]. Ejercicios 1. Demuestra que una funci´on mon´otona definida en [a, b] es integrable. 2. Demuestra que la composici´on de una funci´on integrable y una continua es integrable. 3. Demuestra que una funci´on acotada cuyo conjunto de puntos de discontinuidad es finito es integrable. 73
4. Prueba que la funci´on definida en [0, 1] por 0 si x 6∈ Q f (x) = 1 si x = pq ∈ Q, irreducible, q > 0 q es integrable y calcula su integral. 5. Demuestra que la composici´on de dos funciones integrables puede ser no integrable. 6. Demuestra que el producto de dos funciones integrables es integrable. 7. Demuestra que si
∞ P
an es una serie convergente de elementos de [0, 1] y f es una
n=1
funci´on integrable en [0, 1], entonces la serie
∞ R P an n=1
0
f es absolutamente convergente.
8. Sea f una funci´on integrable en [a, b] no negativa. Prueba que si f es continua en c Rb y f (c) > 0, entonces a f > 0.
4.3.
El teorema fundamental del C´ alculo
Teorema 4.3.1 (Teorema fundamental del C´alculo). Sea f una funci´on acotada e integrable definida en [a, b] y sea F la integral indefinida de f , es decir, 0 si t = a F (t) = R t f (x) dx si a < t ≤ b a Entonces, F es una funci´on continua y, si f es continua en c ∈ [a, b], F es derivable en c y F 0 (c) = f (c). Demostraci´on. La continuidad se prueba de forma an´aloga al caso continuo pero usando una cota de |f |. Supongamos ahora que f es continua en c ∈ [a, b]. Estudiemos F+0 (c). La otra derivada lateral se estudia an´alogamente. Dado > 0 existe δ > 0 tal que |f (x) − f (c)| < si |x − c| < δ. Entonces, si 0 < h < δ, se tiene que R c+h R c+h (f (x) − f (c)) dx F (c + h) − F (c) |f (x) − f (c)| dx c − f (c) = ≤ c 0. n→∞ q R2 b) 1 log x dx; l´ım n 1 + n1 1 + n2 · · · 1 + nn . n→∞ R1 p p p +···+np c) 0 x dx; l´ım 1 +2np+1 con p ∈ N. n→∞ R2 1 1 d ) 1 dx ; l´ım 1 + n+2 + · · · + n+n . x n→∞ n+1 R1 1 1 1 . e) 0 x2dx+1 ; l´ım n n2 +1 2 + n2 +22 + · · · + n2 +n2 n→∞
f) g) h)
n P √ dx ; l´ √ 1 ım . 0 x2 +1 n→∞ n2 +k2 k=1 √ √ √ R1√ 1+ 2+ 3+···+ n √ x dx; l´ ım . 0 n n n→∞
R1
n R1√ P 2 dx; l´ 1 − x ım 0
n→∞ k=1
√
n2 −k2 . n2
3. Sea f una funci´on continua. Prueba que las funciones siguientes son derivables y calcula sus derivadas: R1 a) F (t) = t f (x) dx. R t2 b) F (t) = 0 f (x) dx. 4. Calcula las integrales siguientes: R 2π a) 0 m´ax{sen x, cos x} dx. R π/2 3 x sen3 x b) 0 cos1+sen dx. 2x R2 x2 c) 0 (x2 +1) 3/2 dx. R3 d ) −3 |x(x − 1)(x + 1)(x − 2)| dx. 75
5. Sean f una funci´on continua en R y u y v dos funciones derivables en R. Se define la funci´on g en R como Z v(x) f (t) dt. g(x) = u(x)
Demuestra que g es derivable en R y que g 0 (x) = f (v(x))v 0 (x) − f (u(x))u0 (x). 6. Calcula la derivada de las funciones siguientes: a) f (x) =
Rx
b) f (x) =
R x2
et 0 t4 +t2 +2
x
dt.
√ dt . t2 +1
7. Calcula los l´ımites siguientes: a) l´ım
R x2 0
x→0
√ sen t dt . x3 2 t2 dt 0 e Rx 2t2 dt 0 e
R x
b) l´ım
x→+∞
.
8. Calcula el a´rea de la regi´on acotada por la curva y = x3 − x y su tangente en el punto de abcisa x = −1. 9. Halla el ´area de la regi´on limitada por la par´abola y = −x2 − 2x + 3, su tangente en el punto (2, −5) y el eje OY . √ √ 10. La corona circular centrada en el origen y de radio interior 2 y radio exterior 6 se corta con la par´abola x = y 2 . Calcula el a´rea de cada una de las dos regiones que se forman. 11. Halla λ para que la curva y = λ cos x divida en dos partes de igual a´rea la regi´on acotada por el eje OX, la recta x = π2 y la curva y = sen x.
4.4.
Integrales impropias
Ahora vamos a extender la definici´on de integral a intervalos no cerrados o no acotados para funciones no necesariamente acotadas. Las integrales de esta naturaleza se suelen denominar integrales impropias. La funci´on f objeto de nuestro estudio ser´a localmente integrable en el intervalo I en el que est´e definida, es decir, integrable en cada intervalo cerrado y acotado contenido en I. 76
Definici´ on 4.4.1. Si I = [a, b) siendo b ∈ R ∪ {+∞}, la integral de f en I de define como Z b− Z t f = l´ım− f t→b
a
a
en el supuesto de que este l´ımite exista (finito o infinito) y se dice que f es integrable en I si dicho l´ımite es finito. Si I = (a, b] siendo a ∈ R ∪ {−∞}, definimos an´alogamente Z
b
a+
b
Z f = l´ım+ t→a
f. t
Si I = (a, b) (acotado o no por ambos lados), se dice que f es integrable si existe c ∈ I tal que f es integrable en (a, c] y en [c, b), y la integral de f en I se define mediante Z
b−
Z
c
f= a+
Z
b−
f+ a+
f. c
Observaci´ on 4.4.2. De las propiedades de la integral se deduce f´acilmente que si existe alg´ un c con esta propiedad, entonces cualquier punto de (a, b) tambi´en la tiene, y la definici´on de la integral es independiente del c que se elija. Veamos ahora algunos criterios de comparaci´on. Nos referiremos a un intervalo [a, b) y de forma an´aloga se puede hacer para (a, b]. El primero de ellos se obtiene f´acilmente: Proposici´ on 4.4.3. Sean f y g definidas en [a, b) tales que 0 ≤ f (x) ≤ g(x) para cada x de alg´ un intervalo [c, b) con c ∈ [a, b). Entonces, si g es integrable, f tambi´en lo es, y si f tiene integral infinita, g tambi´en. De este resultado se deducen los dos siguientes: Proposici´ on 4.4.4. Sean f y g definidas en [a, b) tales que f (x) ≥ 0, g(x) > 0 y λ≤
f (x) ≤µ g(x)
para cada x de alg´ un intervalo [c, b) con c ∈ [a, b) y λ, µ > 0. Entonces f es integrable si y solo si g tambi´en lo es. Observaci´ on 4.4.5. La tercera de las anteriores condiciones se cumple si l´ım−
x→b
f (x) = L > 0. g(x) 77
Proposici´ on 4.4.6. Sean f y g definidas en [a, b) tales que f (x) ≥ 0 y g(x) > 0 para cada x de alg´ un intervalo [c, b) con c ∈ [a, b), y adem´as l´ım−
x→b
f (x) = 0. g(x)
Entonces, si g es integrable, f tambi´en lo es, y si f tiene integral infinita, g tambi´en. Ejercicios 1. Calcula las integrales impropias siguientes: R1 a) 0+ log x dx. R +∞ b) 0 e−x dx. R +∞ c) 0 xn e−x dx con n ∈ N. R +∞ d ) 0 x21+1 dx. R +∞ √ e) 0 e− x dx. 2. Prueba que: R +∞ 2 a) 0 2xe−x dx = 1. √ R +∞ x b) 1 arcxtag dx = π4 + log 2. 2 R1 c) 0+ x−2 e−1/x dx = 1e . R1 d ) 0+ x2 log x dx = − 19 . 3. Determina para cada una de las integrales impropias siguientes si es finita o no, y calc´ ulala cuando sea finita: R 2 dx a) 1+ x log . x R1 b) 0+ x log x dx. R +∞ c) 2 logx x dx. R 1− dx d ) −1+ √1−x 2. R 2 dx e) 1+ √x−1 . R +∞ dx f ) 2 x log 2 . x R +∞ dx g) 0+ x(x+4) . R +∞ h) 1 x4x+1 dx. R +∞ dx i ) 2 x2 +x−2 . 78
j) k) l) m)
R π/2
dx . cos x 0 R +∞ dx √ . 0 x2 + x
R +∞ 1
dx . x(x2 +1)
R 1 q 1+x −1
1−x
dx.
4. Sean f y g dos funciones definidas en (a, b) tales que las dos integrales impropias Rb Rb f y a g son finitas. Muestra con un ejemplo que, en general, la integral impropia a Rb f g no tiene por qu´e ser finita. a
4.5. 4.5.1.
Aplicaciones de la integral Longitud de la gr´ afica de una funci´ on
Definici´ on 4.5.1. Dada una funci´on continua f definida en [a, b] con derivada continua se define la longitud de su gr´afica como Z bp L= (f 0 (x))2 + 1 dx. a
Observaci´ on 4.5.2. La justificaci´on de la definici´on anterior es la siguiente: Al elegir P = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xr−1 , b = xr } ∈ P queda determinada una poligonal inscrita en la curva y la suma de las longitudes de los segmentos que la constituyen es r X p (f (xk ) − f (xk−1 ))2 + (xk − xk−1 )2 k=1
la cual, aplicando el teorema del valor medio en cada intervalo [xk−1 , xk ], se transforma p 0 2 en cierta σ( (f ) + 1, P ).
4.5.2.
Volumen y superficie lateral de un cuerpo de revoluci´ on
Definici´ on 4.5.3. Sea f una funci´on continua definida en [a, b] con valores no negativos y derivada continua. Mediante la rotaci´on de la gr´afica de f en torno del segmento de extremos a y b se genera un cuerpo cuyo volumen V y superficie lateral S se definen del siguiente modo: Z b
π(f (x))2 dx
V = a
y Z S=
b
p 2πf (x) (f 0 (x))2 + 1 dx.
a
79
Observaci´ on 4.5.4. La justificaci´on de la definici´on anterior es an´aloga a la de la longitud de la gr´afica de una funci´on.
4.5.3.
Las funciones trigonom´ etricas
Definici´ on 4.5.5. El n´ umero π se define como Z 1√ π=2 1 − x2 dx. −1
Para x ∈ [−1, 1], el a´rea A(x) del sector limitado por la circunferencia unidad (de centro el origen y radio 1), el eje OX y el segmento que une el origen con el punto √ (x, 1 − x2 ) es la siguiente: √ Z 1√ x 1 − x2 + 1 − t2 dt. A(x) = 2 x Definici´ on 4.5.6. Si x ∈ [0, π], entonces cos x es el u ´nico n´ umero de [−1, 1] tal que A(cos x) = y sen x =
x 2
√ 1 − cos2 x.
Observaci´ on 4.5.7. La existencia de cos x viene dada por el teorema de los valores intermedios ya que A es una funci´on continua y A(−1) = π2 y A(1) = 0. Es claro que si x ∈ [π, 2π], entonces sen x = − sen(2π − x) y cos x = cos(2π − x), y si x = 2πk +x0 para alg´ un k ∈ Z y alg´ un x0 ∈ [0, 2π], entonces sen x = sen x0 y cos x = cos x0 . Las derivadas de las funciones sen y cos se obtienen f´acilmente: Proposici´ on 4.5.8. Si 0 < x < π, entonces (cos x)0 = − sen x y (sen x)0 = cos x. Observaci´ on 4.5.9. Es f´acil demostrar que las derivadas anteriores se tienen para todo x que no sea m´ ultiplo de π, y para estos u ´ltimos basta aplicar la Proposici´on 3.3.13. Las dem´as funciones trigonom´etricas (tag , sec, cosec y cotag ) se definen de la manera habitual. Restringiendo la funci´on sen a − π2 , π2 para tener inyectividad se obtiene su funci´on inversa arc sen con dominio [−1, 1]. An´alogas funciones se obtienen restringiendo la funci´on cos a [0, π] y la funci´on tag a − π2 , π2 . En este u ´ltimo caso el dominio de la funci´on arc tag es todo R. 80
4.5.4.
Las funciones logar´ıtmica y exponencial
Definici´ on 4.5.10. Si x > 0, entonces se define Z x 1 log x = dt. 1 t Proposici´ on 4.5.11. Si x, y > 0, entonces log xy = log x + log y. Demostraci´on. Dado y > 0, consideramos la funci´on f (x) = log xy. Ya que f 0 = log0 , se tiene que log xy = log x + c para cierta constante c. Tomando x = 1 se obtiene que c = log y lo cual completa la demostraci´on ya que y era arbitrario. F´acilmente se obtienen los siguientes corolarios: Corolario 4.5.12. Si n ∈ N y x > 0, entonces log xn = n log x. Corolario 4.5.13. Si x, y > 0, entonces log xy = log x − log y. La funci´on log es creciente y no est´a acotada ni superior ni inferiormente (basta considerar log 2n y log 21n ). Al ser continua, R es el dominio de log−1 . Definici´ on 4.5.14. La funci´ on exponencial exp se define como log−1 . Ya que log x se define solo para x > 0, se tiene que exp x > 0 para todo x ∈ R. Adem´as, es f´acil obtener que exp0 = exp y que exp(x + y) = exp x · exp y para cualesquiera x, y ∈ R. Definici´ on 4.5.15. Se definen e = exp 1, ex = exp x y ax = ex log a con x ∈ R y a > 0. Es f´acil comprobar que 1. (ax )y = axy . 2. a1 = a. 3. ax+y = ax ay . 4. loga x =
log x log a
donde loga x es la funci´on inversa de ax . Ejercicios
1. Calcula la longitud de las gr´aficas de las funciones siguientes: 81
a) f (x) =
√
2x con x ∈ [1, 3].
b) f (x) = ex con x ∈ [−1, 2]. c) f (x) = log cos x con x ∈ 0, π4 . 2. Halla la longitud de las siguientes curvas: a) Una circunferencia de radio r. b) El arco de la par´abola de ecuaci´on y = x2 comprendido entre los puntos (0, 0) y (1, 1). c) El arco de la cicloide parametrizado por c(t) = (r(t − sen t), r(1 − cos t)) con t ∈ [0, 2π]. d ) El arco de la curva y 2 = x3 determinado por la recta x = 34 . e) El arco de la curva x = 41 y 2 − 12 log y entre los puntos de ordenadas 1 y 2. f ) La astroide x2/3 + y 2/3 = a2/3 con a > 0. 3. Calcula el volumen y la superficie de una esfera de radio r. 4. Halla el volumen del cuerpo engendrado por la rotaci´on en torno al eje OX de las gr´aficas de las funciones siguientes: a) f (x) = sen x con x ∈ [0, π]. b) f (x) = e−x con x ∈ [0, a]. √ c) f (x) = x 1 − x2 con x ∈ [0, 1]. d ) f (x) = a cosh xa con x ∈ [−c, c] y a, c > 0. 5. Calcula el volumen del cuerpo engendrado por la rotaci´on en torno al eje OX de la curva a2 y 2 = ax3 − x4 con a > 0. 6. Halla el volumen del cuerpo engendrado por la rotaci´on en torno al eje OY de la figura limitada por la curva y = sen x, con 0 ≤ x ≤ π2 , el eje OY y la recta y = 1. 7. Calcula el ´area de la superficie engendrada al girar en torno al eje OX las gr´aficas de las funciones siguientes: a) f (x) = tag x con x ∈ 0, π4 . b) f (x) =
x2 2
con x ∈ [1, 2].
8. Halla el a´rea del elipsoide formado al girar alrededor del eje OX la elipse con a > b > 0.
x2 a2
2
+ yb2 = 1
9. Calcula el ´area de la superficie generada al girar alrededor del eje OX la porci´on de la par´abola y 2 = x + 4 determinada por la recta x = 2.
82
Tema 5 Sucesiones y series de funciones 5.1.
Convergencia puntual
Definici´ on 5.1.1. Cuando a cada n ∈ N se asocia una funci´on fn y todas ellas tienen el mismo dominio, que suele ser un intervalo I, tenemos una sucesi´ on de funciones definida en I que notaremos por fn o fn (x). Si P = {x ∈ I : fn (x) es una sucesi´on convergente}, se dice que la sucesi´on fn converge en P . De forma natural definimos en P la funci´on f como f (x) = l´ım fn (x) n→∞
denominada l´ımite puntual de fn en P , dici´endose que fn converge a f en P . La serie de funciones
∞ P
fn (x) se define como la sucesi´on de funciones sumas
n=1
parciales cuyo l´ımite puntual se denomina suma de la serie. Ejercicios 1. Estudia la convergencia puntual de las sucesiones de funciones siguientes: a) fn (x) = xn con x ≥ 0. si 0 ≤ x ≤ 1/n nx 2 − nx si 1/n < x ≤ 2/n b) fn (x) = 0 si 2/n < x ≤ 1 2. Estudia la convergencia puntual de las series de funciones siguientes: a) b)
∞ √ P (nx− n=2 ∞ P n=0
x (x+1)n
√
n+1
x) con x ≥ 0.
con x ∈ [0, 1].
83
5.2.
Convergencia uniforme
Definici´ on 5.2.1. La sucesi´on de funciones fn converge uniformemente a f en P si para todo > 0 existe n0 ∈ N tal que |fn (x) − f (x)| < para todo n ≥ n0 y todo x ∈ P . Observaci´ on 5.2.2. Conviene observar que en la definici´on anterior y a diferencia de la convergencia puntual, n0 no depende del x ∈ P que elijamos. Definici´ on 5.2.3. La sucesi´on de funciones fn tiene la propiedad de Cauchy uniforme en P si para todo > 0 existe n0 ∈ N tal que |fn (x) − fm (x)| < para cualesquiera n, m ≥ n0 y todo x ∈ P . Observaci´ on 5.2.4. Es evidente que la propiedad de Cauchy uniforme es equivalente a la convergencia uniforme. La existencia de la funci´on l´ımite f est´a garantizada ya que para cada x ∈ P la sucesi´on num´erica fn (x) converge por tener la propiedad de Cauchy y su l´ımite es f (x). Es trivial probar que Proposici´ on 5.2.5. La sucesi´on de los t´erminos de una serie de funciones uniformemente convergente converge uniformemente a la funci´on 0. Veamos ahora algunos criterios de convergencia uniforme: Proposici´ on 5.2.6 (Criterio de Dini). Sea fn una sucesi´on de funciones continuas que converge en cada punto de [a, b] a una funci´on continua f . Si fn (x) ≤ fn+1 (x), o bien fn+1 (x) ≤ fn (x), para todo x ∈ [a, b] y todo n ∈ N, entonces la convergencia de fn a f es uniforme. Demostraci´on. Supongamos que fn (x) ≤ fn+1 (x) para todo x ∈ [a, b] y todo n ∈ N. En el otro caso el razonamiento es an´alogo. Para cada x ∈ [a, b] existe n0 (x) ∈ N tal que 0 ≤ f (x) − fn (x) < si n ≥ n0 (x). Al ser continua en x la funci´on f − fn0 (x) existe un intervalo abierto Ix de centro x tal que 0 ≤ f (t) − fn0 (x) (t) < si t ∈ Ix ∩ [a, b]. La colecci´on de intervalos abiertos {Ix : x ∈ [a, b]} cubre a [a, b] pero basta para ello una subcolecci´on finita {Ix1 , Ix2 , . . . , Ixh }. Tomando n0 = m´ax{n0 (x1 ), n0 (x2 ), . . . , n0 (xh )} se obtiene el resultado pues fijado t ∈ [a, b] y n ≥ n0 , existe 1 ≤ j ≤ h tal que t ∈ Ixj con lo que 0 ≤ f (t) − fn (t) ≤ f (t) − fn0 (xj ) (t) < .
84
Proposici´ on 5.2.7 (Criterio de Weierstrass). Sean fn una sucesi´on de funciones definidas en P y µn una sucesi´on de n´ umeros positivos que verifica que |fn (x)| ≤ µn para todo ∞ ∞ ∞ P P P x ∈ P y la serie µn es convergente. Entonces las series fn y |fn | convergen n=1
n=1
n=1
uniformemente en P .
Demostraci´on. Ya que para todo x ∈ P se tiene que
∞ P
|fn (x)| ≤
n=1
∞ P
µn , hay convergencia
n=1
absoluta en cada punto de P . La propiedad de Cauchy de de Cauchy uniforme para
∞ P
∞ P
µn n=1 ∞ P
|fn |.
fn y
n=1
y la desigualdad triangular nos dan la propiedad
n=1
Proposici´ on 5.2.8 (Criterio de Dirichlet). Sean fn y gn dos sucesiones de funciones definidas en P tales que para cada x ∈ P , fn (x) es una sucesi´on de n´ umeros positivos decreciente a 0 siendo uniforme la convergencia de fn a 0 en P y existe C ∈ R tal que |g1 (x) + g2 (x) + · · · + gn (x)| ≤ C para todo n ∈ N y todo x ∈ P . Entonces la serie
∞ P
fn gn converge uniformemente en P .
n=1
Demostraci´on. Probemos que se cumple la propiedad de Cauchy uniforme en P . Designamos Gn a la suma g1 + g2 + · · · + gn . Dados 1 < q ≤ p se tiene que |fq gq + · · · + fp gp | = |fq (Gq − Gq−1 ) + · · · + fp (Gp − Gp−1 )| = | − fq Gq−1 + (fq − fq+1 )Gq + · · · + (fp−1 − fp )Gp−1 + fp Gp | ≤ 2Cfq . La convergencia uniforme de fn a 0 en P nos da el resultado. Proposici´ on 5.2.9 (Criterio de Abel). Sean la sucesi´on de funciones fn tal que fn (x) decrece para cada x ∈ P y existe C ∈ R tal que |fn (x)| ≤ C para todo n ∈ N y todo ∞ P gn convergente uniformemente en P . Entonces la serie x ∈ P , y la serie de funciones ∞ P
n=1
fn gn converge uniformemente en P .
n=1
Demostraci´on. Procediendo de la misma forma que en la demostraci´on del criterio de 85
Dirichlet y siendo G la suma de la serie
∞ P
gn tenemos que
n=1
|fq gq + · · · + fp gp | = | − fq Gq−1 + (fq − fq+1 )Gq + · · · + (fp−1 − fp )Gp−1 + fp Gp | p−1 X = | − fq (Gq−1 − G) + (fk − fk+1 )(Gk − G) + fp (Gp − G)| k=q p−1
≤ |fq ||Gq−1 − G| +
X (fk − fk+1 )|Gk − G| + |fp ||Gp − G|. k=q
La convergencia uniforme de Gn a G y la acotaci´on de las fn por C nos dan el resultado. Ejercicios 1. Estudia la convergencia puntual y uniforme de las sucesiones de funciones siguientes: a) fn (x) = nx(1 − x)n . b) fn (x) = 1 − nx . c) fn (x) = sen nx . d ) fn (x) = nx e−x/n con x ≥ 0. 0 si 0 ≤ x < 1 + n1 e) fn (x) = 2 si x ≥ 1 + n1 xn +1 √ n x + 1 si 0 ≤ x√≤ n 2 f ) fn (x) = 3 si x > n 2 nx si 0 ≤ x ≤ n1 g) fn (x) = 1 si x > n1 nx h) fn (x) =
2n2 x . (n2 x2 +1) log(n+1)
1 n2 x si 0 ≤ x ≤ 2n 1 1 n n − x si 2n < x < n1 i ) fn (x) = 0 si n1 ≤ x ≤ 1
j ) fn (x) =
2
log(n3 x2 +1) n2
con x ∈ [0, 1].
2. Estudia la convergencia puntual y uniforme de las series de funciones siguientes: a) b)
∞ P n=0 ∞ P n=1
xn con x ∈ [0, 1). sen2 nx . n2
3. Prueba que si fn converge uniformemente a f y gn converge uniformemente a g, el producto fn gn puede no converger uniformemente a f g. 86
4. Demuestra que una sucesi´on de funciones acotadas puede converger a una funci´on no acotada. ¿Y si la convergencia es uniforme? 5. ¿Existe una sucesi´on de funciones discontinuas que converja uniformemente a una funci´on continua?
5.3. 5.3.1.
Propiedades de la funci´ on l´ımite Continuidad
Teorema 5.3.1. Sean fn una sucesi´on de funciones que converge uniformemente en P a una funci´on f y x0 un punto de acumulaci´on de P tal que cada fn tiene l´ımite finito λn en x0 . Entonces: l´ım l´ım fn (x) = l´ım l´ım fn (x). n→∞ x→x0
x→x0 n→∞
Demostraci´on. Hay que probar que l´ım λn = l´ım f (x).
n→∞
x→x0
Ya que |λp − λq | ≤ |λp − fp (x)| + |fp (x) − fq (x)| + |fq (x) − λq | para cualesquiera p, q ∈ N y x ∈ P , se tiene que λn tiene la propiedad de Cauchy y converge a λ ∈ R. Y como |f (x) − λ| ≤ |f (x) − fn (x)| + |fn (x) − λn | + |λn − λ| para cualesquiera n ∈ N y x ∈ P , se tiene que λ = l´ım f (x) x→x0
como quer´ıamos probar. Suponiendo en el teorema anterior que x0 ∈ P se obtienen las consecuencias siguientes: Corolario 5.3.2. Si fn es una sucesi´on de funciones continuas que converge uniformemente a una funci´on f , entonces f es continua. Corolario 5.3.3. Si
∞ P
fn es una serie de funciones continuas que converge uniforme-
n=1
mente a una funci´on f , entonces f es continua. 87
5.3.2.
Integraci´ on
Teorema 5.3.4. Sea fn una sucesi´on de funciones integrables en [a, b] que converge uniformemente a f . Entonces f es tambi´en integrable y Z b Z b fn (x) dx. f (x) dx = l´ım n→∞
a
Demostraci´on. Designemos λn =
a
Rb
fn (x) dx. Ya que Z b |λp − λq | ≤ |fp (x) − fq (x)| dx a
a
para cualesquiera p, q ∈ N, se tiene que λn tiene la propiedad de Cauchy (por tener fn la propiedad de Cauchy uniforme) y converge a λ ∈ R. Ahora, para todo n ∈ N y toda P ∈ P se tiene que |S(f, P ) − λ| ≤ |S(f, P ) − S(fn , P )| + |S(fn , P ) − λn | + |λn − λ| teni´endose la misma desigualdad para las sumas inferiores, con lo que queda probado el resultado.
5.3.3.
Derivaci´ on
Teorema 5.3.5. Sea fn una sucesi´on de funciones derivables en [a, b] tal que fn (t) converge para alg´ un t ∈ [a, b] y fn0 converge uniformemente en [a, b]. Entonces fn converge uniformemente en [a, b] a una funci´on derivable f y f 0 (x) = l´ım fn0 (x) n→∞
para todo x ∈ [a, b]. Demostraci´on. Dados p, q ∈ N y x ∈ [a, b], aplicando el teorema del valor medio se tiene que |fp (x) − fq (x)| ≤ |x − t||fp0 (c) − fq0 (c)| + |fp (t) − fq (t)| ≤ (b − a)|fp0 (c) − fq0 (c)| + |fp (t) − fq (t)| para alg´ un c intermedio entre x y t, con lo que fn tiene la propiedad de Cauchy uniforme en [a, b] (por tenerla fn0 y por tener fn (t) la propiedad de Cauchy) y converge uniformemente en este intervalo a una funci´on f . Ahora debemos comprobar que para todo x0 ∈ [a, b] se tiene que l´ım fn0 (x0 ) = l´ım
n→∞
x→x0
88
f (x) − f (x0 ) x − x0
o equivalentemente que l´ım l´ım
n→∞ x→x0
fn (x) − fn (x0 ) fn (x) − fn (x0 ) = l´ım l´ım . x→x0 n→∞ x − x0 x − x0
Para ello basta comprobar que la sucesi´on de funciones ϕn (x) =
fn (x) − fn (x0 ) x − x0
converge uniformemente en P = [a, b] \ {x0 }. En efecto, dados p, q ∈ N y aplicando el teorema del valor medio a la funci´on fp − fq en el intervalo de extremos x y x0 , obtenemos alg´ un c intermedio tal que ϕp (x) − ϕq (x) = fp0 (c) − fq0 (c) con lo que ϕn tiene la propiedad de Cauchy uniforme en P al tenerla fn0 en [a, b]. Ejercicios 1. Estudia la convergencia puntual y uniforme de las sucesiones de funciones siguientes: √ a) fn (x) = n x con x ≥ 0. 1 − nx si 0 ≤ x < n1 b) fn (x) = 0 si n1 ≤ x ≤ 1 c) fn (x) =
1−x2n . 1+x2n
d ) fn (x) =
xn xn +1
e) fn (x) =
1 . nx2 +1
f ) fn (x) =
nx−1 (1+x log n)(1+nx2 log n)
con x ∈ [0, 1].
con x ∈ [0, 1].
2. Estudia la convergencia puntual y uniforme de las series de funciones siguientes: a) b) c)
∞ P n=1 ∞ P n=1 ∞ P n=1
sen x (1+sen x)n
con x ∈ [0, π].
x2 . (x2 +1)n x ((n−1)x+1)(nx+1)
3. Demuestra que la serie
con x ≥ 0. ∞ P
2n−1
(−1)n−1 x2n−1 converge uniformemente en [0, 1], y sea f (x)
n=1
su suma. Prueba que f 0 (x) =
∞ P
(−1)n x2n =
n=0
si 0 ≤ x < 1 y demuestra que f (1) = π4 . 89
1 x2 +1
para cada x ∈ [0, 1). Calcula f (x)
4. Prueba que la sucesi´on fn (x) = n1 arc tag xn converge uniformemente en R a una funci´on f derivable para x = 1, pero f 0 (1) 6= l´ım fn0 (1). n→∞
5. Sea f (x) =
∞ P n=1
arc tag
x n2
con x ∈ R. ¿Se puede asegurar que f es derivable y que
f 0 se obtiene derivando t´ermino a t´ermino esta serie? 6. Una sucesi´on de funciones uniformemente continuas converge uniformemente a una funci´on f . ¿Puede ser f no uniformemente continua? 7. Demuestra que la funci´on f (x) =
∞ P n=1
sen nx n3
8. Dada la sucesi´on de funciones fn (x) = Rπ uniforme y calcula l´ım 0 fn (x) dx.
con x ∈ R tiene derivada continua.
2nx+sen6 nx , n
estudia convergencia puntual y
n→∞
9. Da un ejemplo de una sucesi´on de funciones integrables en un intervalo tal que su l´ımite puntual no sea integrable. 10. Dada la sucesi´on de funciones fn (x) = xn − x2n : a) Estudia su convergencia puntual y uniforme en [0, 1] y en 0, 12 . ∞ P b) Estudia si la serie fn (x) converge puntualmente a una funci´on f en [0, 1]. n=1
En caso afirmativo calcula f y estudia si dicha convergencia es uniforme. ∞ P c) Estudia la derivabilidad de f en [0, 1) y si f 0 (x) = fn0 (x). n=1
5.4.
Series de potencias
Definici´ on 5.4.1. Una serie de potencias centrada en a ∈ R es una serie de funciones del tipo ∞ X an (x − a)n n=0
donde a los n´ umeros an se les llama coeficientes de la serie. Observaci´ on 5.4.2. El tratamiento de una serie de potencias es independiente del valor de a con lo que consideraremos a = 0. Proposici´ on 5.4.3. Dada la serie de potencias
∞ P n=0
an xn , sea α = l´ım sup
p n |an | y ρ =
1 α
(llamado radio de convergencia) si α > 0. Entonces la serie converge absolutamente para todo x ∈ R si α = 0, converge absolutamente para x ∈ (−ρ, ρ) y diverge fuera de [−ρ, ρ] si α > 0, y converge solo para x = 0 si α = +∞. En los dos primeros casos (−ρ, ρ) 90
o R se llama intervalo de convergencia de la serie, y ´esta converge uniformemente en cada intervalo cerrado y acotado contenido en el intervalo de convergencia. Demostraci´on. Para la primera parte basta usar el criterio de la ra´ız. Y la segunda parte se obtiene aplicando el criterio de Weierstrass a los intervalos de la forma [−t, t] contenidos en el intervalo de convergencia. En cuanto a los extremos del intervalo de convergencia se tiene el siguiente resultado para el extremo derecho (para el izquierdo se tiene uno an´alogo): Proposici´ on 5.4.4. Si la serie de potencias
∞ P
an xn tiene intervalo de convergencia
n=0
(−ρ, ρ) y converge en ρ, entonces converge uniformemente en [0, ρ], definiendo en dicho intervalo una funci´on suma continua. Demostraci´on. Basta reescribir la serie de la forma n ∞ X x n an ρ ρ n=0 y aplicar el criterio de Abel. Una serie de potencias define una funci´on cuyo dominio es el intervalo de convergencia. Estudiemos las propiedades de dicha funci´on: Proposici´ on 5.4.5. Sean I el intervalo de convergencia de la serie de potencias
∞ P
an x n
n=0
y f (x) su suma. Entonces f es una funci´on derivable (y por tanto continua) y f 0 es la suma de la serie de las derivadas, es decir, 0
f (x) =
∞ X
nan xn−1
n=1
con x ∈ I. Demostraci´on. Usando el apartado 8 de la Proposici´on 1.4.39 se obtiene que la serie de las derivadas tiene le mismo intervalo de convergencia que la serie de potencias original. Aplicando el Teorema 5.3.5 se obtiene el resultado. Derivando sucesivamente se obtiene que f
(r)
(x) =
∞ X
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − r + 1)an xn−r
n=r
91
con r ∈ N y x ∈ I, con lo que f (r) (0) = r!ar y ya que f (0) = a0 se tiene que f (x) =
∞ X f (n) (0) n=0
n!
xn
para todo x ∈ I. Y si f es la suma de una serie de potencias de x − a se obtiene que f (x) =
∞ X f (n) (a) n=0
n!
(x − a)n .
Acabamos de comprobar que las funciones que se obtienen como sumas de series de potencias tienen infinitas derivadas en su intervalo de convergencia. ¿Y si f tiene infinitas derivadas en un intervalo I de centro a, existe una serie de potencias de x − a que converja en alg´ un intervalo J ⊂ I de centro a y cuya suma coincida con f en J? Cuando la respuesta es afirmativa, se dice que f es desarrollable en serie de potencias de x − a y la serie correspondiente se llama desarrollo de Taylor o serie de Taylor en torno de a para la funci´on f . Si tal serie existe, no puede ser otra que f (x) =
∞ X f (n) (a) n=0
n!
(x − a)n .
Teorema 5.4.6. Si una funci´on f tiene derivadas de cualquier orden en el intervalo acotado (a − δ, a + δ) y |f (n) (x)| ≤ M para cada n ∈ N y cada x de dicho intervalo, entonces ∞ X f (k) (a) f (x) = (x − a)k k! k=0 si |x − a| < δ. Demostraci´on. Dado x ∈ (a−δ, a+δ), aplicando el teorema de Taylor al intervalo cerrado y acotado de extremos x y a, se tiene que (n) n−1 (k) X f (cn ) M δn f (a) k n (x − a) = l´ım (x − a) ≤ l´ım =0 l´ım f (x) − n→∞ n! n→∞ n→∞ k! n! k=0 con cn intermedio entre x y a para cada n ∈ N. Ejercicios 1. Determina el intervalo de convergencia de cada una de las series de potencias siguientes y, en su caso, analiza si hay convergencia en sus extremos: 92
a) b) c) d) e) f)
∞ P n=1 ∞ P n=0 ∞ P n=1 ∞ P
2n n x . n
n!xn . 1 + 12 + · · · +
1 n
xn .
(log n)xn .
n=2 ∞ 1+ 1 n P ( n) n x . n! n=1 ∞ P 1·3·5···(2n−1) n x . 2·4·6···(2n+2) n=1
2. Se considera la serie de potencias
∞ P n=0
(−1)n x2n . 4n (n!)2
Demuestra que su radio de conver-
gencia es ∞. Si se denota por f a la funci´on suma de esta serie, prueba que, para cada x ∈ R, xf 00 (x) + f 0 (x) + xf (x) = 0. 3. Suma las series: ∞ P n2 +n+1 a) . n! b) c)
n=1 ∞ P
n=1 ∞ P n=1
1 . n(n+1)2n 3n2 +4n+5 . 3n
4. Calcula la derivada d´ecima de la funci´on f (x) = x6 ex en x = 0. 5. Dada una serie de potencias
∞ P
an xn tal que existen n´ umeros reales α y β de modo
n=0
que an + αan−1 + βan−2 = 0 para cada n ≥ 2: a) Demuestra que esta serie tiene radio de convergencia no nulo. b) Demuestra que si x es un n´ umero real en el que la serie es convergente, la suma de la serie, S(x), verifica que (1 + αx + βx2 )S(x) = a0 + (αa0 + a1 )x. 6. Demuestra que
∞ P n=1
(−1)n+1 n
= log 2.
7. Desarrolla en serie de potencias de x las siguientes funciones: q a) f (x) = log 1+x . 1−x b) f (x) =
2x . x4 +1
c) f (x) = arc tag
1−x2 . 1+x2
93
d ) f (x) =
x2 . (x−1)(2−x)2
e) f (x) =
log(1−x) . x−1
8. Estudia si f (x) =
sen x x
1
si x 6= 0 es desarrollable en serie de potencias de x. si x = 0
9. Determina la soluci´on de la ecuaci´on diferencial f 00 (x) + xf 0 (x) + f (x) = 0 en forma de serie de potencias, sujeta a las condiciones iniciales f (0) = 0 y f 0 (0) = 1. 10. Determina los radios de convergencia y las funciones suma de las siguientes series de potencias: a) b) c) d) e) f)
∞ P n=1 ∞ P n=1 ∞ P n=2 ∞ P n=1 ∞ P n=1 ∞ P
x2n . 2n x2n−1 . 2n−1 (−1)n xn . n(n−1) (−1)n 2nx2n+1 . (2n+1)! (−1)n xn . 2n (n+1)
(n3 + 1)xn−1 .
n=1
94
Bibliograf´ıa [GST] F. Galindo, J. Sanz y L.A. Trist´an, Gu´ıa Pr´actica de C´alculo Infinitesimal en una Variable Real, Thomson (2003). [GR1] M. de Guzm´an y B. Rubio, Problemas, Conceptos y M´etodos del An´alisis Matem´atico, volumen 1, n´ umeros reales, sucesiones y series, Pir´amide (1991). [GR2] M. de Guzm´an y B. Rubio, Problemas, Conceptos y M´etodos del An´alisis Matem´atico, volumen 2, funciones, integrales, derivadas, Pir´amide (1992). [GR3] M. de Guzm´an y B. Rubio, Problemas, Conceptos y M´etodos del An´alisis Matem´atico, volumen 3, sucesiones y series de funciones, n´ umeros complejos, DERIVE, aplicaciones, Pir´amide (1993).
95