An´ alisis de Varias Variables Ricardo A. S´aenz

´Indice general

Parte 1. Preliminares Cap´ıtulo 1.

El espacio euclidiano

3

§1.

Definiciones b´ asicas

3

Bestiario

9

§3.

Topolog´ıa de Rn

10

Rn

15

§5.

Conjuntos Compactos

§2. §4.

Sucesiones en

Ejercicios Cap´ıtulo 2. §1.

18 22

Funciones de varias variables

25

Definiciones b´ asicas

25

§2.

Continuidad

26

§3.

Funciones lineales

29

§4.

Continuidad uniforme

31

§5.

Oscilaci´ on

33

Ejercicios

35

Parte 2. C´ alculo en el espacio Euclideano Cap´ıtulo 3.

Diferenciabilidad

39

§1.

Derivada

39

§2.

Derivadas parciales

47

§3.

Teorema de la funci´on inversa

51

§4.

Teorema de la funci´on impl´ıcita

55 iii

´Indice general

iv

§5. Derivadas de orden mayor Ejercicios

57 62

Cap´ıtulo 4. Convexidad §1. Conjuntos convexos §2. Combinaciones convexas y simplejos

65 65 68

Cap´ıtulo 5. Integraci´ on §1. La integral de Riemann

79 79

§3. Funciones convexas §4. Puntos y valores extremos Ejercicios

§2. §3. §4.

Funciones Riemann-integrables Medida de Jordan El teorema de Fubini

Ejercicios Cap´ıtulo 6. §1. §2. §3.

70 75 77

85 93 96 100

Cambio de variable y aplicaciones

103

Particiones de la unidad La integral de Riemann en conjuntos abiertos Cambio de variable

103 108 116

§4. El teorema de Sard §5. El teorema de punto fijo de Brouwer Ejercicios

122 125 127

Parte 3. An´ alisis vectorial Cap´ıtulo 7. §1. §2.

Formas diferenciales

133

Campos vectoriales Formas diferenciales en R3

133 135

§3. Algebra exterior §4. Cambio de coordenadas Ejercicios

Cap´ıtulo 8. El diferencial exterior §1. El diferencial exterior §2. Campos vectoriales y formas §3. §4.

El lema de Poincar´e Conjuntos simplemente conexos

142 150 154 155 155 158 160 164

´Indice general

v

Ejercicios Cap´ıtulo 9. §1.

168 Integraci´ on de formas diferenciales

Complejos en

Rn

171 171

§2.

Integrales de l´ınea

178

Integraci´ on de formas diferenciales

185

§4.

Teorema de Stokes

186

§3.

Ejercicios

192

Parte 4. Variedades diferenciables Cap´ıtulo 10.

Variedades diferenciables

197

Rn

197

§1.

Variedades diferenciables en Espacio tangente

202

§3.

Variedades con frontera

205

§2.

Ejercicios Cap´ıtulo 11.

208 Orientaci´ on

211

§1.

Campos vectoriales y formas diferenciales

211

Orientaci´ on

214

§3.

Orientaci´ on inducida en ∂M

218

§2.

Ejercicios Cap´ıtulo 12.

221 El teorema de Stokes

223

§1.

Integraci´ on de formas en variedades

223

El teorema de Stokes

227

§3.

Volumen

229

Los teoremas cl´ asicos

233

§2.

§4.

Ejercicios

235

Parte 1

Preliminares

Cap´ıtulo 1

El espacio euclidiano

1.

Definiciones b´ asicas El espacio euclidiano, denotado por Rn , est´ a definido por el conjunto

(1.1)

Rn = {x = (x1 , x2 , . . . , xn ) : xi ∈ R}.

Es decir, Rn es el producto cartesiano de n copias de R, el conjunto de los n´ umeros reales. Recordemos que R es un campo ordenado completo, es decir, todo conjunto no vac´ıo acotado por arriba tiene una m´ınima cota superior (supremo). Una manera equivalente de enunciar la completitud de R es el hecho de que toda sucesi´on de Cauchy en R converge. Hablaremos m´ as sobre sucesiones de Cauchy, particularmente en Rn , m´ as adelante. Notemos que, en la ecuaci´ on (1.1), las coordenadas de cada vector en Rn se denotan con super´ındices, en lugar de sub´ındices: x1 , x2 , etc. Esto nos simplificar´ a la notaci´ on m´ as adelante. Rn es un espacio vectorial con suma x + y = (x1 + y 1 , x2 + y 2 , . . . , xn + y n ) y multiplicaci´ on escalar αx = (αx1 , αx2 , . . . , αxn ). Adem´ as, posee el producto interno x · y = x1 y 1 + x2 y 2 + . . . + xn y n =

n X

xi y i ,

i=1

3

4

1. El espacio euclidiano

tambi´en denominado producto punto. Este, a su vez, induce la norma v u n uX √ |x| = x · x = t (xi )2 , i=1

llamada la norma euclideana. Proposici´ on 1.1.

1. |x| = 0 si y s´ olo si x = 0;

2. |αx| = |α||x| para todo α ∈ R, x ∈ Rn ; 3. Si x, y ∈ Rn ,

(1.2) 4. Si x, y ∈ (1.3)

Rn ,

|x · y| ≤ |x||y|; |x + y| ≤ |x| + |y|.

La desigualdad (1.2) es llamada la desigualdad de Cauchy-Schwarz, mientras que la (1.3) como la desigualdad del tri´ angulo. Demostraci´ on. La demostraci´on de las propiedades (1) y (2) se dejan como ejercicio. Para (3), si x = 0, entonces ambos lados de la ecuaci´ on (1.2) son cero. Supongamos entonces que x 6= 0. Sea w el vector y·x x. w= |x|2

El vector w es llamado la proyecci´ on de y sobre x (v´ease la figura 1). Entonces,

y

w

x

Figura 1. Proyecci´ on de y en x

 y·x   y·x  0 ≤ |y − w|2 = (y − w) · (y − w) = y − x · y − x |x|2 |x|2 (y · x)2 (y · x)2 (y · x)2 2 2 + |x| = |y| − , = |y|2 − 2 |x|2 |x|4 |x|2

de lo cual la ecuaci´ on (1.2) se sigue inmediatamente.

5

1. Definiciones b´ asicas

Para (4), |x + y|2 = (x + y) · (x + y) = |x|2 + 2x · y + |y|2 ≤ |x|2 + 2|x||y| + |y|2 , donde la u ´ltima desigualdad se sigue por la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Por lo tanto, tenemos |x + y|2 ≤ (|x| + |y|)2 .



Observaci´ on 1.2. De la demostraci´on de la proposici´ on 1.1, podemos observar que tenemos igualdad en (1.2) si y solo si uno de los vectores x o y es m´ ultiplo escalar del otro. De hecho, si y es m´ ultiplo escalar de x, entonces y = w, su proyecci´ on sobre x. Similarmente, tenemos igualdad en (1.3) si y solo si x·y = |x||y|, es decir, cuando uno de los vectores x o y es m´ ultiplo escalar del otro y x · y > 0. Geom´etricamente, y se encuentra en la recta generada por x, y en la misma direcci´ on. Decimos que los vectores u1 , u2 , . . . , um ∈ Rn generan Rn si para todo x ∈ Rn existen α1 , . . . , αm tales que x = α1 u1 + α2 u2 + . . . + αm um . Es decir, todo x ∈ Rn es una combinaci´ on lineal de los vectores u1 , u2 , . . . , um . Decimos que u1 , u2 , . . . , um son linealmente independientes si α1 u1 + α2 u2 + . . . + αm um = 0 implica que α1 = α2 = . . . = αm = 0. Si u1 , u2 , . . . , um generan Rn y son linealmente independientes, entonces decimos que forman una base. Enunciaremos el siguiente teorema, cuya demostraci´on se puede encontrar en cualquier libro de ´algebra lineal. Teorema 1.3. Si u1 , u2 , . . . , um forman una base de Rn , entonces m = n. Es preciso observar que las bases no son u ´nicas; adem´ as, si u1 , . . . , um forn n man una base de R , entonces, para cada x ∈ R , existen u ´nicos α1 , . . . , αn tales que x = α1 u1 + α2 u2 + . . . + αn un . Ejemplo 1.4. La base est´ andar de Rn est´ a formada por los vectores e1 , e2 , . . . , en , donde i-´ esimo

ei = (0, 0, . . . ,

z}|{ 1 , . . . , 0).

6

1. El espacio euclidiano

De hecho, si x ∈ Rn , x = (x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 e1 + x2 e2 + . . . + xn en . En otras palabras, cada vector de Rn ya se encuentra representado en la base est´ andar. Ejemplo 1.5. En R2 , los vectores u1 = (1, 1), u2 = (1, −1) forman una base, ya que x1 + x2 x1 − x2 (x1 , x2 ) = u1 + u2 2 2 y son linealmente independientes. Decimos que los vectores x, y ∈ Rn son ortogonales si x · y = 0. Por ejemplo, como ei · ej = 0 si i 6= j, entonces los vectores e1 , . . . , en de la base est´ andar son ortogonales entre s´ı. Decimos que u1 , u2 , . . . , un forman una base ortonormal (o.n.) si los vectores son ortogonales entre s´ı y unitarios, es decir, |ui | = 1 para todo i. Por ejemplo, la base est´ andar e1 , . . . , en es una base ortonormal.

Los vectores u1 = (1, 1) y u2 = (1, −1) son ortogonales, pero no unitarios. Sin embargo, se pueden “normalizar”dividiendo cada vector entre su norma:  1 1   1 u1 u2 1  v1 = v2 = = √ ,√ , = √ , −√ . |u1 | |u2 | 2 2 2 2 Proposici´ on 1.6. Sea u1 , u2 , . . . , un una base ortonormal de Rn . 1. Si x ∈ Rn , x = (x · u1 )u1 + . . . + (x · un )un . pP 2 2. Si x ∈ Rn , |x| = i (x · ui ) .

3. Si x, y ∈ Rn ,

x·y =

n X (x · ui )(y · ui ). i=1

1. Si x = α1 u1 + α2 u2 + . . . + αn un , entonces

Demostraci´ on.

x · ui = (α1 u1 + α2 u2 + . . . + αn un ) · ui = αi ui · ui = αi . 2. Del inciso anterior, |x|2 = x · x = =

n X

n n   X X (x · ui )ui (x · ui )ui · i=1

i=1 n X

(x · ui )(x · uj )ui · uj =

i,j=1

i=1

(x · ui )2 .

7

1. Definiciones b´ asicas

3. Similarmente al inciso anterior, x·y = =

n X i=1

n X

n   X (y · ui )ui (x · ui )ui · i=1

n X (x · ui )(y · ui ). (x · ui )(y · uj )ui · uj = i=1

i,j=1

 El espacio generado por los vectores v1 , v2 , . . . , vr es el subespacio de Rn formado por todas las combinaciones lineales de v1 , v2 , . . . , vr , y se denota por gen{v1 , v2 , . . . , vr }. ProyV x es la proyecci´ on ortogonal de x sobre el subespacio V , es decir, el u ´nico vector y ∈ V tal que x − y es ortogonal a todo vector en V . Proposici´ on 1.7. Si V es el subespacio de Rn generado por los vectores ortonormales v1 , v2 , . . . , vr , entonces ProyV x =

r X (x · vi )vi . i=1

Demostraci´ on. La misma demostraci´on de la proposici´ on 1.6 muestra que, si z ∈ V , entonces r X (z · vi )vi , z= i=1

si v1 , v2 , . . . , vr son ortonormales. r X (x · vi )vi , entonces y ∈ V y, para z ∈ V , Por lo tanto, si y = i=1

r r   X X (z · vi )vi (x · vi )vi · (x − y) · z = x −



i=1

i=1

r r X X (x · vi )(z · vi ) = 0. (z · vi )vi − =x· i=1

i=1

 El siguiente teorema nos garantiza que, dado un espacio generado por vectores v1 , v2 , . . . , vr , siempre podemos escoger en ´el una base ortonormal. Su demostraci´on es constructiva, y al algoritmo resultante se le conoce como el proceso de Gram-Schmidt.

8

1. El espacio euclidiano

Teorema 1.8 (Proceso de Gram-Schmidt). Sean v1 , v2 , . . . , vr vectores linealmente independientes en Rn . Entonces existen vectores ortonormales u1 , u2 , . . . , ur tales que para k = 1, . . . , r.

gen{u1 , u2 , . . . , uk } = gen{v1 , v2 , . . . , vk }

Demostraci´ on. Tomamos u1 = Para construir u2 , sea

v1 . |v1 |

w2 = v2 − (v2 · u1 )u1 . Vemos que w2 es ortogonal a u1 (figura 2), as´ı que tomamos v2

u2 w2 u1 Figura 2. La construcci´ on del vector w2 .

u2 =

w2 . |w2 |

Como u1 y u2 son combinaciones lineales de v1 y v2 , gen{u1 , u2 } ⊂ gen{v1 , v2 }.

De manera similar, v1 y v2 son combinaciones lineales de u1 y u2 , as´ı que gen{v1 , v2 } ⊂ gen{u1 , u2 }.

Por inducci´on, para construir uk+1 tomamos

wk+1 = vk+1 − Proygen{u1 ,...,uk } vk+1 .

Entonces es f´acil ver que wk+1 · ui = 0, i = 1, .., k, y wk+1 6= 0 por que los vi son linealmente independientes. Por lo que escogemos wk+1 . uk+1 = |wk+1 | Es f´acil ver, como antes, que gen{u1 , . . . , uk+1 } = gen{v1 , . . . , vk+1 }. 

9

2. Bestiario

La proposici´ on 1.6 y el proceso de Gram-schmidt implican que podr´ıamos escoger cualquier producto interno en Rn y ser´ıa indistinguible del producto punto est´ andar, es decir, tendr´ıamos la misma geometr´ıa siempre y cuando tomemos una base ortonormal respecto de dicho producto.

2.

Bestiario

En esta secci´ on listamos los subconjuntos de Rn de uso com´ un, como rectas, planos, o esferas, entre otros. La notaci´ on definida aqu´ı ser´ a utilizada en el resto del texto. 2.1.

Rectas. La recta que pasa por x1 y x2 est´ a parametrizada por γ(t) = (1 − t)x1 + tx2 ,

t ∈ R.

Notemos que γ(0) = x1 y γ(1) = x2 . La restricci´on de γ a [0, 1] es el segmento de x1 a x2 . 2.2.

Hiperplanos. Un hiperplano es un conjunto de la forma P = {x ∈ Rn : x · x0 = c},

donde x0 ∈ Rn , x0 6= 0, y c ∈ R. El hiperplano ortogonal a n ∈ R, que pasa por x∗ ∈ R, est´ a dado por {x : (x − x∗ ) · n = 0}.

Un hiperplano P divide a Rn en dos semiespacios {x : x · x0 > c}

y

{x : x · x0 < c}.

Si x0 = en y c = 0, a estos se les llama semiespacio superior e inferior de Rn , respectivamente. 2.3.

Esferas y Bolas. La esfera en Rn es el conjunto Sn−1 = {x : |x| = 1},

es decir, el conjunto de vectores unitarios en Rn . La bola est´ a dada por el conjunto Bn = {x : |x| ≤ 1}. Si x0 ∈ Rn y r > 0, la esfera de radio r alrededor de x0 est´ a dada por el conjunto Sr (x0 ) = {x : |x − x0 | = r} = rSn−1 + x0 , mientras que la bola de radio r alrededor de x0 est´ a dada por Br (x0 ) = {x : |x − x0 | ≤ r} = rBn + x0 . La bola abierta de radio R alrededor de x0 es el conjunto Br0 (x0 ) = {x : |x − x0 | < r}.

10

1. El espacio euclidiano

En la siguiente secci´ on se aclarar´ a la raz´ on por la cual Br0 (x0 ) es llamada bola abierta. 2.4. Conjuntos convexos y estrella. Decimos que A ⊂ Rn es un conjunto convexo si, para todo x, y ∈ A, el segmento de x a y est´ a en A. Decimos que A ⊂ Rn es un conjunto estrella si existe x0 ∈ A tal que, para x ∈ A, el segmento de x0 a x est´ a en A. V´ease la figura 3. M´as adelante (cap´ıtulo 4)

(b)

(a)

Figura 3. Ejemplos de un conjunto convexo (a) y un conjunto estrella (b).

estudiaremos los conjuntos convexos con m´ as profundidad. 2.5.

Rect´ angulos. Un rect´ angulo en Rn es un conjunto de la forma R = I1 × I2 × . . . × In ,

el producto cartesiano de n intervalos acotados Ii en R. Si cada Ii es un intervalo abierto, entonces decimos que R es un rect´ angulo abierto. Si cada Ii es cerrado, entonces decimos que R es un rect´ angulo cerrado.1

3.

Topolog´ıa de Rn

La topolog´ıa de un espacio permite estudiar los conceptos b´ asicos del an´ alisis como convergencia (estudiada m´ as tarde en este cap´ıtulo) o continuidad (estudiada en el siguiente cap´ıtulo). En esta secci´ on estudiaremos las principales propiedades topol´ogicas del espacio euclideano. Definici´ on 1.9. Decimos que U ⊂ Rn es un conjunto abierto si, para cada x ∈ U , existe ε > 0 tal que Bε0 (x) ⊂ U . Ejemplo 1.10. Los conjuntos ∅ y Rn son abiertos. El caso de Rn es claro; sin embargo, el hecho de que ∅ es abierto se debe a la veracidad del enunciado “si x ∈ ∅, entonces existe ε > 0 tal que Bε0 (x) ⊂ ∅”, ya que “x ∈ ∅” es falso, por la definici´on del conjunto vac´ıo. 1Los rect´ angulos en Rn tambi´ en son conocidos por los nombres cubo o hipercubo.

3. Topolog´ıa de Rn

11

Ejemplo 1.11. Una bola abierta es un conjunto abierto. Para mostrar esto, consideremos la bola Br0 (x) = {y ∈ Rn : |x − y| < r}, y tomamos y ∈ Br0 (x). Sean δ = r − |x − y| y z ∈ Bδ0 (y). Entonces, por la desigualdad del tri´ angulo, |z − x| ≤ |z − y| + |y − x| < δ + |x − y| = r, por lo que z ∈ Br0 (x) y por lo tanto Bδ0 (y) ⊂ Br0 (x). Ejemplo 1.12. Un rect´ angulo abierto es un conjunto abierto: Si R = (a1 , b1 ) × (a2 , b2 ) × · · · × (an , bn ) y x ∈ R, sea ε=

1 m´ın{x1 − a1 , b1 − x1 , . . . , xn − an , bn − xn }. 2

Entonces Bε0 (x) ⊂ R. El ejemplo anterior permite concluir la siguiente proposici´ on, la cual provee una definici´on equivalente de conjunto abierto. Proposici´ on 1.13. U ⊂ Rn es abierto si, y solo si, para todo x ∈ U existe un rect´ angulo abierto R tal que x ∈ R y R ⊂ U . Demostraci´ on. Sea U abierto y x ∈ U . Entonces existe ε > 0 tal que Bε (x) ⊂ U . Sea   ε ε ε ε   ε  ε  R = x1 − √ , x1 + √ × x2 − √ , x2 + √ ×· · ·× xn − √ , xn + √ . n n n n n n Entonces x ∈ R y R ⊂ Bε0 (x) ⊂ U .

Supongamos ahora que para cada x ∈ U podemos encontrar un rect´ angulo abierto R = (a1 , b1 ) × (a2 , b2 ) × . . . × (an , bn ) tal que x ∈ R y R ⊂ U . Sea 1 ε = m´ın{x1 − a1 , b1 − x1 , . . . , xn − an , bn − xn }. 2  Entonces Br0 (x) ⊂ R ⊂ U , y U es abierto. Definici´ on 1.14. Sea A ⊂ Rn y x ∈ Rn . Decimos que x es un punto de acumulaci´ on de A si, para todo r > 0, Br0 (x) ∩ A es infinito. Observaci´ on 1.15. De manera an´ aloga a la definici´on de abierto, podemos mostrar que x es un punto de acumulaci´ on de A si, y solo si, para todo rect´ angulo abierto R tal que x ∈ R, R ∩ A es infinito.

12

1. El espacio euclidiano

Si el conjunto A tiene alg´ un punto de acumulaci´ on, entonces A, por la definici´on anterior, es infinito. Adem´as, si x es un punto de acumulaci´ on de A, entonces no necesariamente x ∈ A. Sin embargo, si x es un punto de acumulaci´ on de A y x ∈ / A, entonces nos podemos “acercar” desde A a x arbitrariamente; es decir, para todo r > 0, existe y ∈ A tal que |x − y| < r. Proposici´ on 1.16. Sea A ⊂ Rn y x ∈ Rn . x es un punto de acumulaci´ on 6 ∅. de A si, y solo si, para todo r > 0, Br0 (x) ∩ A \ {x} = Es decir, x es punto de acumulaci´ on de A si, y solo si, cada bola alrededor de x contiene puntos de A distintos de x. Demostraci´ on. Claramente, si x es punto de acumulaci´ on de A, Br0 (x) ∩ 0 A \ {x} = 6 ∅ porque Br (x) ∩ A es infinito.

Para mostrar la inversa, suponemos que x no es punto de acumulaci´ on de A. Entonces existe r > 0 tal que Br0 (x) ∩ A es finito. Si Br0 (x) ∩ A = {x}, entonces Br0 (x) ∩ A \ {x} = ∅. Suponemos entonces que Br0 (x) ∩ A = {x1 , . . . , xk } = 6 {x},

y sea δ = m´ın{|xi − x| : xi 6= x}. Entonces Bδ0 (x) ∩ A \ {x} = ∅.



Desde luego, esta proposici´ on tambi´en se puede enunciar, de manera equivalente, con rect´ angulos (ejercicio 11). Definici´ on 1.17. Decimos que A ⊂ Rn es cerrado si contiene todos sus puntos de acumulaci´ on. Esta definici´on sugiere que un conjunto cerrado no tiene “puntos cercanos exteriores”, y de ah´ı el nombre “cerrado”. En particular, si A es cerrado yx∈ / A, entonces existe r > 0 tal que Br0 (x) ∩ A es finito, digamos Br0 (x) ∩ A = {x1 , . . . , xk }.

Si tomamos δ = m´ın{|xj − x| : j = 1, . . . , k}, entonces Bδ0 (x) ∩ A es vac´ıo. Ahora veamos la relaci´ on entre conjuntos cerrados y abiertos.

Proposici´ on 1.18. A ⊂ Rn es cerrado si, y solo si, Rn \ A es abierto. Demostraci´ on. Supongamos que A es cerrado y x ∈ Rn \A. Como x ∈ / A, x 0 no es punto de acumulaci´ on de A, as´ı que existe ε > 0 tal que Bε (x)∩ A = ∅. Es decir, Bε0 (x) ⊂ Rn \ A. As´ı que Rn \ A es abierto.

Supongamos ahora que Rn \ A es abierto y x ∈ / A. Entonces x ∈ Rn \ A. Como Rn \ A es abierto, existe ε > 0 tal Bε0 (x) ⊂ Rn \ A. Entonces Bε0 (x) ∩ A = ∅, por lo que x no es punto de acumulaci´ on de A. Por lo tanto, A es cerrado. 

3. Topolog´ıa de Rn

13

Esta proposic´ on nos permite definir, equivalentemente, un conjunto cerrado simplemente como el complemento de un conjunto abierto, sin hacer referencia a los puntos de acumulaci´ on. Sin embargo, de manera inversa, tambi´en nos ofrece una alternativa: podemos definir primero los conjuntos cerrados a trav´es de sus puntos de acumulaci´ on, y luego definir un conjunto abierto como el complemento de un conjunto cerrado. Cualquiera de estas opciones es v´alida para definir la topolog´ıa en Rn , y todas son utilizadas en distintos textos de an´ alisis, dependiento del gusto del autor. Definici´ on 1.19. Sea A ⊂ Rn . La frontera de A, fr A, es el conjunto de n x ∈ R tales que, para todo ε > 0, Bε0 (x) ∩ A 6= ∅

y

Bε0 (x) ∩ (Rn \ A) 6= ∅.

Equivalentemente, x ∈ fr A si, y solo si, para todo rect´ angulo abierto R que contiene a x, R ∩ A 6= ∅

y

R ∩ (Rn \ A) 6= ∅.

V´ease la figura 4.

A AC

Figura 4. Un punto en la frontera de A.

Notemos que, si x ∈ fr A, entonces x es un punto de acumulaci´ on de A o n de R \ A. M´as a´ un, si x es un punto de acumulaci´ on de A y x ∈ / A, entonces x ∈ fr A. Podemos observar, adem´ as, que fr A = fr(Rn \ A).

Ejemplo 1.20. fr Rn = fr ∅ = ∅.

14

1. El espacio euclidiano

Ejemplo 1.21. La frontera de un bola es una esfera. De hecho, fr Br (x) = fr Br0 (x) = Sr (x). M´as a´ un, fr Sr (x) = Sr (x). Ejemplo 1.22. Si R = (a1 , b1 ) × . . . × (an , bn ), entonces fr R = {a1 } × [a2 , b2 ] × . . . × [an , bn ] ∪ {b1 } × [a2 , b2 ] × . . . × [an , bn ] ∪ . . .

∪ [a1 , b1 ] × . . . × {bn }.

Es decir, fr R es la uni´ on de las ”caras”de R. T Ejemplo 1.23. Sea Q = [0, 1] Q y consideremos Q × [0, 1] ⊂ R2 . (V´ease la figura 5.) Si x ∈ [0, 1] × [0, 1] y x ∈ (a, b) × (c, d) entonces existe 1

.

0

1/3

1/2

2/3

1

Figura 5. Representaci´ on simple del conjunto A = Q × [0, 1]. N´ otese que A est´ a formado por la uni´ on de rectas verticales, cada una sobre un n´ umero racional en [0, 1].

q ∈ (a, b) ∩ [0, 1] ∩ Q,

as´ı que (q, x2 ) ∈ Q × [0, 1]. Adem´as, existe

α ∈ (a, b) ∩ [0, 1] \ Q,

as´ı que (α, x2 ) ∈ R2 \ (Q × [0, 1]). Por lo tanto

fr(Q × [0, 1]) = [0, 1] × [0, 1].

¯ est´ Definici´ on 1.24. Sea A ⊂ Rn . La cerradura de A, denotada por A, a definida como la uni´ on de A y sus puntos de acumulaci´ on. La siguiente proposici´ on establece algunas propiedades de la cerradura. Proposici´ on 1.25. Sea A ⊂ Rn . 1. A¯ es cerrado. 2. Si E es cerrado y E ⊃ A, entonces A¯ ⊂ E. ¯ 3. Si A ⊂ B entonces A¯ ⊂ B.

4. Sucesiones en Rn

15

¯ 4. A¯ = A. Demostraci´ on. 1. Sea x un punto de acumulaci´ on de A¯ y sea R un rect´ angulo que contiene a x. Queremos mostrar que R∩A es infinito, ¯ de tal forma que x es punto de acumulaci´ on de A y entonces x ∈ A. Si no, como R ∩ A¯ es infinito, podemos tomar y ∈ R ∩ (A¯ \ A). Pero entonces y es un punto de acumulaci´ on de A y, como y ∈ R, R ∩ A es infinito, lo cual es una contradicci´ on. 2. Si x es un punto de acumulaci´ on de A y A ⊂ E, entonces x es un punto de acumulaci´ on de E. Como E es cerrado, x ∈ E. Pero esto implica que A¯ ⊂ E.

3. La demostraci´on es similar a (2). ¯ De (3), como A ⊂ A, ¯ 4. Por (1), A¯ es cerrado, as´ı que, por (2), A¯ ⊂ A. ¯ tenemos A¯ ⊂ A.



La parte (2) de la proposici´ on 1.25 implica que la cerradura del conjunto A es el “menor” de los conjuntos cerrados que contienen a A. Definici´ on 1.26. Sea A ⊂ Rn . El interior de A es el conjunto

int(A) = A0 = {x ∈ A : existe ε > 0 tal que Bε0 (x) ⊂ A}.

El exterior de A est´ a definido como el conjunto ext(A) = {x ∈ Rn \ A : existe ε > 0 tal que Bε0 (x) ∩ A = ∅}. Similarme a la cerradura, es posible mostrar que el interior de A es ahora el “mayor” de los conjuntos abiertos contenidos en A (ejercicio 14). Adem´as, notamos que ext(A) = int(Rn \ A). La siguiente proposici´ on es muy f´acil de demostrar (ejercicio 15). Proposici´ on 1.27. Sea A ⊂ Rn . 1. A0 = A \ fr A.

¯ 2. ext(A) = int(Rn \ A). 3. fr A = A¯ ∩ (Rn \ A).

¯ = R. N´otese que, en este caso, el interior es Ejemplo 1.28. Q0 = ∅ y Q vac´ıo, a´ un cuando la cerradura es “grande”.

4.

Sucesiones en Rn

Una sucesi´on en Rn es una funci´on f : N → Rn . Si f (k) = xk , simplemente denotamos f como (xk )∞ k=0 , o simplemente como (xk )k o (xk ), si los

16

1. El espacio euclidiano

sub´ındices y sus rangos son claros. Notemos que xk = (x1k , x2k , . . . , xnk ), por lo que cada una de las coordenadas de los xk definen una sucesi´on (xik )k en R. Definici´ on 1.29. Decimos que la sucesi´on (xk ) converge a L ∈ Rn si, para todo ε > 0, existe N tal que, si k ≥ N , |L − xk | < ε. Si la sucesi´on (xk ) converge a L, escribimos xk → L. M´as a´ un, L es u ´nico (ejercicio 16), y lo llamamos el l´ımite de (xk ), y escribimos L = l´ım xk . No es muy dif´ıcil verificar los siguientes enunciados, cada uno caracterizando la convergencia de una sucesi´on: 1. La sucesi´on (xk ) converge a L ∈ Rn si, para todo ε > 0, existe N tal que, para k ≥ N , xk ∈ Bε0 (L);

2. La sucesi´on (xk ) converge a L ∈ Rn si, para todo rect´ angulo abierto R que contiene a x, existe N tal que, para k ≥ N , xk ∈ R.

Sin embargo, en la pr´ actica, la siguiente proposici´ on es muy u ´til. Proposici´ on 1.30. La sucesi´ on (xk )k converge en Rn si, y solo si, cada i (xk )k converge en R. Demostraci´ on. Suponemos que xk → L y sea ε > 0. Sea N tal que k ≥ N implica |xk − L| < ε. Entonces, para k ≥ N , q |xik − Li | ≤ (x1k − L1 )2 + . . . + (xik − Li )2 + . . . + (xnk − Ln )2 < ε. Suponemos ahora que cada xik → Li , y sea ε > 0. Tomamos Ni tal que, para k ≥ Ni , ε |xik − Li | < √ . n Tomamos N = m´ axi Ni y L = (L1 , . . . , Ln ). Entonces, si k ≥ N , r q ε2 ε2 1 n 2 2 |xk − L| ≤ (xk − L1 ) + . . . + (xk − Ln ) < + ... + = ε. n n  Decimos que (xk ) es una sucesi´ on en A ⊂ Rn si xk ∈ A para todo k. La siguiente proposici´ on clasifica los conjuntos cerrados en t´erminos de sucesiones.

4. Sucesiones en Rn

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Proposici´ on 1.31. Un conjunto A ⊂ Rn es cerrado si, y solo si, para toda sucesi´ on (xk ) en A que converge a L, L ∈ A. En otras palabras, un conjunto es cerrado si contiene sus l´ımites. Demostraci´ on. Supongamos que A es cerrado y sea (xk ) en A una sucesi´on que converge a L. Sea R un rect´ angulo abierto que contiene a L, y ε > 0 tal que Bε (L) ⊂ R. Entonces, como xk → L, existe K tal que xK ∈ R. Como xK ∈ A, hemos demostrado que R ∩ A 6= ∅. Entonces, L est´ a en A ´o es un punto de acumulaci´ on de A. Como A es cerrado, en ambos casos L ∈ A.

Supongamos ahora que toda sucesi´on en A que converge tiene su l´ımite en A. Sea x un punto de acumulaci´ on de A. Para cada k ≥ 1, sea xk ∈ A tal que |xk − x| < 1/k. Tal xk debe existir porque B1/k (x) ∩ A 6= ∅. Entonces xk es una sucesi´on en A y xk → x, por lo que x ∈ A.  Definici´ on 1.32. Decimos que la sucesi´on (xk ) es acotada si existe M > 0 tal que xk ∈ BM (0) para todo k; es decir , |xk | ≤ M . Equivalentemente, (xk ) es acotada si existe un rect´ angulo R tal que xk ∈ R, para todo k. M´as a´ un, (xk ) es acotada en Rn si, y solo si, cada (xik ) es acotada en R. El siguiente teorema es muy importante, y es conocido como el teorema de Bolzano-Weierstrass. Para su demostraci´on asumiremos el teorema en la recta real R.2 Teorema 1.33 (Bolzano-Weierstrass). Toda sucesi´ on acotada tiene una subsucesi´ on que converge. Demostraci´ on. Si (xk ) es acotada, cada (xik ) es acotada. Por el teorema de on que converge, digamos Bolzano-Weierstrass en R, (x1k ) tiene una subsucesi´ (x1kl )l . Inductivamente, si (x1kl )l , (x2kl )l , . . . , (xpkl )l son subsucesiones convergentes de (x1k ), . . . , (xpk ), respectivamente, entonces tomamos una subsucesi´ on de (kl ) de tal forma que (xp+1 klm )m converge. Al final, obtenemos subsucesiones (x1kl )l , (x2kl )l , . . . , (xnkl )l convergentes, por lo que (xkl ) es un subsucesi´ on de (xk ) convergente, por la proposicion 1.30.  El teorema de Bolzano-Weierstrass nos permite demostrar la siguiente propiedad de los conjuntos cerrados, de la cual haremos uso m´ as adelante. 2V´ ease, por ejemplo, [Gaughan].

18

1. El espacio euclidiano

Proposici´ on 1.34. Sea A un conjunto cerrado no vac´ıo y x ∈ Rn . Entonces existe un punto y ∈ A tal que |x − y| es m´ınimo. Demostraci´ on. Sea x ∈ Rn y definimos d : A → R por d(y) = |x − y|. Sea r0 = ´ınf{d(y) : y ∈ A}. Entonces, para todo k ≥ 1, existe yk ∈ A tal que r0 ≤ d(yk ) < r0 + 1/k.

La sucesi´on (yk ) es acotada y, por el teorema de Bolzano-Weierstrass, tiene una subsucesi´ on que converge, digamos ykl → y. Como A es cerrado, la proposici´ on 1.31 implica que y ∈ A.

Adem´ as, d(y) = r0 . Para ver esto, dado ε > 0 tomamos K > 2/ε tal que |yK − y| < ε/2. Entonces 1 ε r0 ≤ d(y) = |x − y| ≤ |x − yK | + |yK − y| < r0 + + < r0 + ε. K 2 Como ε > 0 es arbitrario, d(y) = r0 . 

Si x ∈ A, entonces d(x) = 0, por lo que d toma su m´ınimo en x. Ahora bien, como A es cerrado, si x ∈ / A, entonces x no es un punto de acumulaci´ on de A y existe r > 0 tal que Br0 (x) ∩ A = ∅. Entonces r0 ≥ r > 0. Definici´ on 1.35. Decimos que la sucesi´on (xk ) es una sucesi´ on de Cauchy si, para cada ε > 0, existe N tal que, si k, l ≥ N , entonces |xk − xl | < ε. En otras palabras, (xk ) es de Cauchy si sus t´erminos se acercan entre s´ı, arbitrariamente. Si una sucesi´on converge, entonces es de Cauchy. Para verificarlo, suponemos que xk → L. Entonces, dado ε > 0, existe N tal que, si k ≥ N , |xk − L| < ε/2. Por lo tanto, si k, l ≥ N , ε ε |xk − xl | ≤ |xk − L| + |L − xl | < + = ε. 2 2 De manera inversa, si (xk ) es de Cauchy, entonces converge. Esto se sigue del teorema de Bolzano-Weierstrass (ejercicios 19-21).

5.

Conjuntos Compactos

En esta secci´ on estudiaremos los conjuntos compactos y su relaci´ on con n sucesiones en R . La idea de compacidad fue descubierta por Heine en el estudio de funciones uniformemente continuas, las cuales estudiaremos en el siguiente cap´ıtulo. Definici´ on 1.36. Sea A ⊂ Rn . Una S cubierta de A es una colecci´on {Uα } de conjuntos abiertos tales que A ⊂ α Uα .

Si {Uα } es una cubierta de A, una subcubierta es un subconjunto de S {Uα }, digamos {Uαβ } ⊂ {Uα }, tal que A ⊂ β Uαβ .

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5. Conjuntos Compactos

Decimos que A es compacto, si toda cubierta de A tiene una subcubierta finita. Ejemplo 1.37. ∅ es compacto. Ejemplo 1.38. Un conjunto finito {x1 , x2 , . . . , xk } es compacto. Si {Uα } es una cubierta de {x1 , x2 , . . . , xk }, existe, para cada i = 1, 2, .., k, αi tal que xi ∈ Uαi . Entonces {Uα1 , Uα2 , . . . , Uαk } es una subcubierta finita. Proposici´ on 1.39. Si A es compacto, entonces es cerrado. Demostraci´ on. Demostraremos que, si A no es cerrado, entonces existe una cubierta de A que no tiene subcubiertas finitas, y por lo tanto no es compacto. Sea x ∈ / A un punto de acumulaci´ on de A. Entonces, para todo ε > 0, n Bε (x) ∩ A 6= ∅. Consideremos los conjuntos S Uk = Rn \ B1/k (x). Cada Uk es abierto porque B1/k (x) es cerrado, y k Uk = R \ {x}. Como x ∈ / A, entonces la colecci´ on {Uk : k ≥ 1} es una cubierta para A.

Sin embargo, {Uk : k ≥ 0} no tiene subcubiertas finitas: Para cada axi ki , entonces colecci´ on finita Uk1 , . . . , Ukp , si N = m´ p \

i=1

Uki = UN = Rn \ B1/N (x).

Como BN (x) ∩ A 6= ∅, entonces {Uk1 , . . . , Ukp } no cubre a A.



No todos los conjuntos cerrados son compactos. El espacio Rn es cerrado, por ejemplo, pero no es compacto porque la cubierta de bolas Bk0 (0), k ≥ 1, no tiene una subcubierta finita. Sin embargo, los subconjuntos cerrados de conjuntos compactos s´ı lo son. Proposici´ on 1.40. Sean E ⊂ F ⊂ Rn . Si E es cerrado y F es compacto, entonces E es compacto. Demostraci´ on. Sea {Uα } una cubierta de E. Como E es cerrado, entonces S Rn \ E es abierto, as´ı que {Rn \ E} {Uα } es una cubierta de F . Como F es compacto, tiene una subcubierta finita, digamos {Rn \E, Uα1 , Uα2 , . . . , Uαk }. Entonces {Uα1 , Uα2 , . . . , Uαk } es una subcubierta finita para E.  Definici´ on 1.41. Decimos que un conjunto A es acotado si est´ a contenido en una bola BM (0), para alg´ un M > 0. De manera equivalente, A es acotado si existe un rect´ angulo R tal que A ⊂ R. Proposici´ on 1.42. Si A es compacto, entonces es acotado.

20

1. El espacio euclidiano

Demostraci´ on. Al igual que en la demostraci´on de la proposici´ on 1.39, mostraremos la contrapositiva. Es decir, supondremos que A no es acotado para concluir que no es compacto. S Consideremos la colecci´on {Bk0 (0) : k ≥ 1}. Como k Bk0 (0) = Rn , {Bk0 (0) : k ≥ 1} es una cubierta para A. Sin embargo, no tiene subcubiertas finitas, porque 0 (0) 6⊃ A, Bk01 (0) ∪ . . . ∪ Bk0p (0) = BN

donde N = m´ axi ki , porque A no es acotado.



Las proposiciones 1.39 y 1.42 implican el siguiente teorema. Teorema 1.43. Sea A un conjunto compacto y (xk ) una sucesi´ on en A. Entonces (xk ) tiene una subsucesi´ on que converge en A. Demostraci´ on. Como A es acotado, entonces la sucesi´on (xk ) tiene una subsucesi´ on que converge, por el teorema de Bolzano-Weierstrass. Como A es cerrado, el l´ımite de esta subsucesi´ on est´ a en A.  El siguiente teorema clasifica los conjuntos cerrados en Rn , y es conocido como el teorema de Heine-Borel. Teorema 1.44 (Heine-Borel). A ⊂ Rn es compacto si y s´ olo si A es cerrado y acotado. Demostraci´ on. Ya hemos demostrado que todo conjunto compacto es cerrado y acotado (proposiciones 1.39 y 1.42). Para la inversa, por la proposici´ on 1.40, es suficiente con demostrar que un rect´ angulo cerrado es compacto, y lo haremos por contradicci´ on. Sea R = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ] un rect´ angulo cerrado en Rn , y {Uα } una cubierta para R que no tiene subcubiertas finitas. Observemos que R es la uni´ on de 2n rect´ angulos cerrados I1 × · · · × In , a j + bj donde cada Ij es [aj , cj ] o [cj , bj ], cj = , el punto medio del intervalo 2 [aj , bj ]. Entonces, para al menos uno de esos rect´ angulos, digamos R1 , {Uα } no tiene subcubiertas finitas para R1 . Continuamos de esta forma para obtener una sucesi´on R1 , R2 , . . . de rect´ angulos cerrados tales que 1. {Uα } no tiene subcubiertas finitas para Rk ;

2. Rk+1 ⊂ Rk ; y

3. si Rk = I1 × · · · × In , la longitud de cada intervalo Ij es

bj − aj . 2k

21

5. Conjuntos Compactos

Tomamos xk ∈ Rk . Entonces cada sucesi´on (xjk ) satisface que, para k, l ≥ N , |xjk − xjl | ≤

bj − a j . 2N

Entonces cada (xjk ) es de Cauchy, y por lo tanto (xk ) es de Cauchy y converge (ejercicios 18-21). Digamos xk → x.

Como R es cerrado, x ∈ R, y existe α0 tal que x ∈ Uα0 . Pero Uα0 es abierto, por lo que existe un rect´ angulo abierto S tal que x ∈ S y S ⊂ Uα0 . Si S = (p1 , q1 ) × · · · × (pn , qn ), sea

δ = m´ın {xj − pj , qj − xj }, 1≤j≤n

bj − a j δ y sea K tal que < para todo j = 1, . . . , n. Como RK es cerrado, N 2 2 x ∈ RK , y entonces RK ⊂ S. Pero as´ı, RK ⊂ Uα0 , lo cual contradice el hecho que {Uα } no tiene subcubiertas finitas para RK .

Por lo tanto, todo rect´ angulo cerrado es compacto, como quer´ıamos verificar.  Ejemplo 1.45. La bola Bn y la esfera Sn−1 son conjuntos cerrados y acotados en Rn . Por el teorema de Heine-Borel, son compactos. El teorema de Heine-Borel tambi´en implica la inversa del teorema 1.43. Corolario 1.46. Si A es un conjunto tal que toda sucesi´ on en A tiene una subsucesi´ on que converge en A, entonces A es compacto.

Demostraci´ on. Mostraremos que, si A es un conjunto que no es cerrado o no es acotado, entonces tiene una sucesi´on sin subsucesiones convergentes en A. De hecho, por la proposici´ on 1.31, si no es cerrado entonces existe una sucesi´on en A con l´ımite fuera de A. Si A no es acotado, entonces existe una sucesi´on (xk ) en A tal que, digamos, |xk | > k. Entonces (xk ) no tiene subsucesiones convergentes.

Por lo tanto, si A es un conjunto tal que toda sucesi´on en A tiene una subsucesi´ on que converge en A, entonces A es cerrado y acotado. Por el teorema de Heine-Borel, A es compacto. 

22

1. El espacio euclidiano

Ejercicios 1. Muestra las primeras dos partes de la proposici´ on 1.1. 2. Muestra la desigualdad del tri´ angulo inversa: Si x, y ∈ Rn , |x| − |y| ≤ |x − y|.

3. Demuestra la identidad del palalelogramo: Si x, y ∈ Rn ,
1 |x|2 + |y|2 = |x + y|2 + |x − y|2 . 2 Explica qu´e tiene que ver esta identidad con un paralelogramo.

4. Sea V un subespacio de Rn y x ∈ Rn . Si y1 , y2 ∈ V son tales que x − y1 ⊥ z

y

x − y2 ⊥ z

para todo z ∈ V , muestra que y1 = y2 . (Sugerencia: Calcula |y1 − y2 |.)

5. Muestra que, si x1 , x2 ∈ Rn , el conjunto es un hiperplano.

{x ∈ Rn : |x − x1 | = |x − x2 |}

6. Muestra que la intersecci´ on de dos rect´ angulos en Rn es vac´ıa o es otro rect´ angulo. 7. Muestra que U ∈ Rn es abierto si, y solo si, para todo x ∈ U existe ε > 0 tal que Bε (x) ⊂ U . En otras palabras, podemos definir a los conjuntos abiertos en t´erminos de bolas cerradas. 8. Muestra que un semiespacio es abierto. n 9. Muestra que si {U S α } es una colecci´on de conjuntos abiertos en R , entonces la uni´ on α Uα es un conjunto abierto.

10. Muestra queTsi U1 , U2 , . . . , Uk son conjuntos abiertos en Rn , entonces la intersecci´ on ki=1 Ui es un conjunto abierto.

11. Muestra que x es punto de acumulaci´ on de A si, y solo si, para todo rect´ angulo abierto R que contiene a x, R ∩ A \ {x} = 6 ∅.

12. Muestra la tercera parte de la proposici´ on 1.25.

13. Muestra que, si x ∈ (fr A) \ A, entonces x es un punto de acumulaci´ on de A. 14. Sea A ∈ Rn y U ⊂ A abierto. Muestra que U ⊂ int A. 15. Demuestra la proposici´ on 1.27.

16. Sea (xk ) una sucesi´on en Rn tal que xk → L y xk → M . Muestra que L = M. 17. Muestra que, si (xk ) converge, entonces es acotada.

Ejercicios

23

18. Muestra que la sucesi´on (xk ) es de Cauchy en Rn si y solo si cada sucesi´on (xik ) es de Cauchy en R. 19. Si (xk ) es una sucesi´on de Cauchy, entonces es acotada. 20. Sea (xk ) una sucesi´on de Cauchy tal que una subsucesi´ on converge, digamos xkl → L. Muestra que xk → L.

21. Concluye, de los problemas anteriores, que toda sucesi´on de Cauchy en Rn converge. (Utiliza el teorema de Bolzano-Weierstrass.) 22. Muestra que todo conjunto infinito y acotado en Rn tiene un punto de acumulaci´ on.  1 3  23. Considera, en R, la cubierta { : n = 1, 2, . . .} del conjunto , 2n 2n o n 1 1 1, , , . . . . Muestra que esta cubierta no tiene subcubiertas finitas. 2 3 24. Considera, en Rn , la cubierta {An }n , 1 3 An = {x ∈ Rn : < |x| < }, 2n 2n para la bola punteada B1∗ (x) = {x : 0 < |x| ≤ 1}. Muestra que esta cubierta no tiene subcubiertas finitas.