CAPITULO 3 ANÁLISIS DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES

3.1

INTRODUCCIÓN

La estabilidad relativa y la respuesta transitoria de un sistema de control en lazo cerrado están directamente relacionadas con la localización de los polos de dicha función de transferencia (o las raíces de la función característica) en el plano complejo, por tal razón es necesario analizar el comportamiento de los polos del sistema en lazo cerrado a la variación de los parámetros, en otras palabras, es importante el análisis del Lugar Geométrico de las Raíces del sistema en lazo cerrado. Este capitulo estudia la técnica para el trazado del Lugar Geométrico de las Raíces en forma manual y con ayuda de Matlab. 3.2

DEFINICIÓN DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES

La técnica del Lugar Geométrico de las Raíces (LGR) es un método gráfico para dibujar la posición de los polos del sistema en el plano complejo a medida que varia un parámetro, la información que proporciona este método es utilizada para el análisis de la estabilidad y funcionamiento del sistema. En la figura 3.1 se muestra un sistema en lazo cerrado, en donde la constante k es el parámetro que se va a variar para trazar el LGR, la variación de k es desde cero hasta infinito (0≤ k 0

la función característica del sistema es s3 + 8s2 + 32s + k = 0 Aplicando el criterio de Routh-Hurwitz

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s3 s2 s1 s0

1 8 256 − k 8 k

32 k 0 0

Del arreglo de Routh-Hurwitz se puede observar que puede haber un cambio de signo si k > 256, si k = 256, entonces los polos del sistema de control están ubicados sobre el eje imaginario. Para determinar la frecuencia a la que ocurre este corte con el eje imaginario, se hace el análisis de la segunda fila del arreglo (s2) 8s2 + k = 0 = 8(jw)2 + 256 -8w2 + 256 = 0

⇒

como s = jw 32 = ±5.656 rad/seg

w=

Lo que quiere decir que el LGR corta al eje imaginario en ± j 5.656. 3.3.4 Ángulos de Salida (Polos) y llegada (Ceros) Sabemos que el LGR inicia en los polos y termina en los ceros del sistema en lazo abierto, para poder determinar con precisión la dirección de cada segmento del LGR es necesario calcular el ángulo de salida y llegada en cada polo y cero. Este calculo se realiza aplicando la condición de ángulo, la cual es aplicada para cada polo y cero del sistema en lazo abierto. En la figura 3.4 se muestra como se calcula el ángulo de salida de un segmento del LGR. jw

φ3

x

x

φ1 σ

φ2 x

Figura 3.4: Calculo de Ángulo de Salida.

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Para encontrar el ángulo de salida en el polo –1 + 2j se toma una vecindad muy pequeña alrededor del polo, a la cual se le aplicará la condición de ángulo así:

1800 = φ1+ φ2 + φ3

(3.10)

De 3.10 despejamos el ángulo φ3,

φ3 =1800 - φ1 - φ2 El resultado indica el ángulo por el cual debe salir el segmento del LGR correspondiente al polo. Este proceso se aplica a cada polo y cero del sistema en lazo abierto. 3.3.5 Trazado del Lugar Geométrico de las Raíces Para el trazado de LGR, se retoman paso a paso los anteriores ítems, a continuación se realizará un ejemplo del trazado del LGR. Ejemplo 3.5

Dado el sistema de la figura 3.4, dibuje el LGR, determinando las asíntotas, punto de ruptura y corte con el eje imaginario. R(s) + _

C(s)

S+1 S2 K

Figura3.4: Sistema Realimentado

i)

Marcar los polos y ceros en el plano s. jw

o

-1

x

σ

Figura 3.5: Ubicación de Polos y Ceros.

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ii) Calcular número, ángulo y puntos de corte de las asíntotas. N=2–1=1 Luego se tiene una asíntota, el ángulo con respecto al eje real es: f

=

(2 n

q

p

+ 1) 180 0 = 180 0 −nz

para q = 0

No es necesario calcular puntos de corte ya que solo hay una asíntota. iii) Calcular el punto de ruptura. La función características es:

1+

k ( s + 1) =0 s2

⇒

P( s) = −

s2 s +1

Luego se determina el máximo de P(s) dP(s ) 2 s (s + 1) − s 2 =− =0 ds (s + 1)2 Los valores de s para que se cumpla la anterior ecuación son: s = 0 y s = -2. Como el sistema tiene dos polos en cero es lógico pensar que s = 0 es un punto de ruptura, para saber si s = -2 es otro punto de ruptura es necesario aplicar la condición de ángulo en este punto, de la figura 3.5

∠G(s) = ψ1 - φ1 = 1800 - 1800 - 1800 = - 1800 Como cumple la condición de ángulo s = -2 es punto de ruptura del LGR. iv) Corte con el eje imaginario. Para este punto se utiliza el criterio de Routh-Hurwitz, para lo cual se requiere la función característica del sistema, la cual es:

s2 + ks + k = 0 Aplicando el criterio de Routh-Hurwitz

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s2 s1 s0

1 k k 0 k 0

Para que el LGR corte el eje imaginario k debe ser igual a cero.

v) Los ángulos de salida y de llagada se calculan para polos y ceros complejos conjugados. vi) Para el trazado del LGR, se analizan los datos anteriormente obtenidos y se trazan los segmentos del LGR. La figura 36 muestra el LGR. jw

-2

o

-1

x

σ

Figura 3.6: LGR de G(s) = (s+1)/s2.

3.4

TRAZADO DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES CON MATLAB

A continuación se presenta el programa en Matlab para dibujar el LGR. El sistema el cual se le va a trazar el LGR es:

F (s ) =

s +1 s + 9s + 28s 2 + 40s 4

3

Los polos de F(s) son: s = 0, s = -5 y s = -2 ± j2. Los ceros de F(s) son: s = -1.

% Definición de la % Función de Transferencia Num=[1 1] Den=[1 9 28 40 0]; F=tf(Num,Den); % Graficación del LGR rlocus(F)

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Figura 3.6: Lugar Geométrico de las Raíces.

Como ejercicio el lector puede verificar por medio de Matlab el LGR del ejercicio 3.5.

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