Análisis Funcional Álvaro Rovella

Andrés Sambarino

31 de agosto de 2005

Índice general 1. Espacios vectoriales topológicos 1.1. Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Topologías lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2 7 10

2. Topologías débiles 2.1. Construcción de topologías localmente convexas 2.2. Topologías débil y débil estrella . . . . . . . . . 2.3. Convexos compactos . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Teorema de Stone-Weierstrass . . . . . . . . . .

14 14 16 20 22

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3. Espacios de Hilbert 24 3.1. Teoría Básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2. El operador adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4. Operadores 31 4.1. Acotación uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.2. Aplicación abierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.3. Gráfico cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5. Fredholm y operadores compactos 37 5.1. Operadores compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.2. Perturbados compactos de la identidad . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.3. El álgebra de Calkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 6. Teorema Espectral 44 6.1. Operadores normales y autoadjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6.2. Teorema Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 7. Teorema de Lomonosov 49 7.1. Teorema de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 7.2. Subespacios invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 A. Teorema de von-Neumann

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1

Capítulo 1

Espacios vectoriales topológicos 1.1.

Espacios vectoriales

Un espacio vectorial es un grupo abeliano sobre el cual actúa un cuerpo. Básicamente tenemos un conjunto X, un cuerpo K y dos operaciones, suma, + : X × X −→ X, y producto por escalares, · : K × X −→ X que verifican ciertas propiedades. Si tenemos un subconjunto, {xi }i∈ I , de un espacio vectorial X el espacio generado por él es    X h{xi }i∈I i = aj xj : aj ∈ K y J ⊂ I finito   j∈J

En pocas palabras, el espacio generado por {xi } es el conjunto de todas las combinaciones lineales finitas de elementos de {xi } con escalares en K. Una base algebraica, o de Hamel, de un espacio vectorial es un subconjunto linealmente independiente, que genera todo el espacio. El siguiente teorema se prueba a partir del lema de Zorn. Teorema 1.1. Todo espacio vectorial tiene una base y dado cualquier subconjunto L.i. hay una base que lo contiene. Definición 1.1. Sea X un espacio vectorial, la dimensión de X es el número de elementos de una base y la notamos dim X. A partir de ahora siempre nos referiremos a K como R o C, y a X como un espacio vectorial, o sea, siempre estaremos asumiendo que X es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los reales o de los complejos.

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CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS

3

Definición 1.2. Sea X un espacio vectorial. X 0 , el dual algebraico, es el conjunto de todas las funcionales lineales en X, o sea X 0 = {ϕ : X −→ K lineal } Obviamente es también un espacio vectorial de modo que podemos llamar X 00 , el bidual algebraico de X, al dual algebraico de X 0 . Ejercicio. Sea J : X −→ X 00 dada por J(x)(ϕ) = ϕ(x), probar que J es lineal e inyectiva y es sobreyectiva si y solo si X tiene dimension finita. Dada una base algebraica {xα }α∈I de un espacio vectorial X, y dado un conjunto {bα }α∈I ⊂ K existe una única funcional lineal tal que ϕ(xα ) = bα ∀α ∈ I. El conjunto dual de una base {xα }α∈I es {ϕα }α∈I tal que  1 si α = β ϕα (xβ ) = δαβ = 0 en otro caso {ϕα } es claramente L.i. pero si X tiene dimensión infinita no genera X 0 . Un espacio vectorial topológico es un espacio vectorial dotado de una topología T1 de forma que las operaciones suma y producto por escalares sean funciones continuas. Por ejemplo, si tenemos un espacio vectorial X normado, esto es dotado de una función k k : X −→ R tal que: 1. kxk ≥ 0 ∀x ∈ X 2. kx + yk ≤ kxk + kyk ∀x, y ∈ X 3. kλxk = |λ|kxk ∀λ ∈ K y ∀x ∈ X 4. kxk = 0 ⇔ x = 0, tenemos un espacio vectorial topológico ya que la norma induce una distancia como d(x, y) = kx−yk y esta una topología que obviamente hace continuas a las operaciones + y · (R ó C con la topología usual). Vale observar que la distancia inducida por una norma es invariante por traslaciones. Definición 1.3. Decimos que un espacio vectorial normado es de Banach si es completo con la métrica inducida por la norma. Supongamos que tenemos dos normas en un mismo espacio vectorial X, k k1 y k k2 . Decimos que son equivalentes si existen constantes c1 y c2 tales que (1.) kxk1 ≤ c2 kxk2 y (2.) kxk2 ≤ c1 kxk1 La condición (1.) dice que k k2 domina a k k1 , o sea que la topología que define k k2 es mas fuerte que la que define k k1 , o sea que tiene mas abiertos. Teorema 1.2. Dos normas son equivalentes si y solo si inducen la misma topología.

CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS

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Supongamos que tenemos un operador, i.e. una transformación lineal, entre espacios normados, A : X −→ Y . Decimos que A está acotado si existe k > 0 tal que kA(x)k ≤ k ∀x tal que kxk ≤ 1. Proposición 1.3. Un operador entre espacios normados es acotado si y solo si es continuo si y solo si es uniformemente continuo. Si X e Y son espacios vectoriales normados notamos B(X, Y ) al espacio de los operadores acotados de X en Y , este es un espacio vectorial sobre el mismo cuerpo que Y , si para A ∈ B(X, Y ) definimos kAk = sup{kAxk : kxk ≤ 1} tenemos que B(X, Y ) es normado. Se deja como ejercicio probar que si An −→ A con esta norma entonces An converge uniformemente a A en cualquier bola de X. Teorema 1.4. B(X, Y ) es un espacio de Banach si Y lo es. Definición 1.4. El dual de un espacio normado X, X ∗ , es B(X, K), o sea, el conjunto de las funcionales lineales y continuas. Ejemplos. Veamos dos ejemplos de funcionales lineales no continuos. i) Tomemos X = C([0, 1]) = {f : [0, 1] −→ C continuas } con la norma 1, o sea, Z kf k1 = |f | El funcional ψ(f ) = f (0) es obviamente lineal pero no acotado. Observemos que ker ϕ = {f ∈ C([0, 1]) : f (0) = 0} es denso en este espacio con k k1 . ii) Sea `∞ (N) = {x : N −→ C : acotadas} tomamos X como aquellas sucesiones de `∞ (N) que convergen y ponemos kxk =

X |xn | n

2n

Consideramos ahora el funcional ψ(x) = l´ım x y la sucesión de elementos de X, x(n) = (0, . . . , 0, 1, 1, . . .) donde el primer 1 ocurre en el lugar n, entonces ψ(x(n) ) = 1 ∀n, pero es claro que x(n) −→ 0, por tanto ψ no es continuo. Sea c0 = ker ψ = {x : N −→ C : xn −→ 0}. Este conjunto es denso en X ya que dada y = (y1 , . . . , yn , . . . ) ∈ X y ε > 0 tomamos x = (y1 , . . . , yN , 0, 0, . . . ) ∈ c0 y tenemos que kx − yk =

∞ X |yn | N

2n

< ε.

CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS

5

Sea X ∗∗ el bidual de X, o sea, el dual de X ∗ . Hay una forma natural de encajar X en su bidual, consideramos J : X −→ X ∗∗ como J(x)(ϕ) = ϕ(x), o sea, las evaluaciones. J es lineal y es una isometría (esto se deducirá del teorema de Hahn-Banach), si es sobreyectiva decimos que X es reflexivo. Notemos que para que un espacio sea reflexivo pedimos que J, el encaje natural, sea sobreyectivo. Hay ejemplos de espacios isomorfos a su bidual que no son reflexivos. Definición 1.5. Sean X e Y espacios normados y A ∈ B(X, Y ), decimos que A es un isomorfismo si es biyectiva y tiene inversa continua. Dos espacios son isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos y son isométricamente isomorfos si existe un isomorfismo que es además una isometría, i.e. un operador que preserva la norma. Observemos que si dos espacios son isomorfos y uno de ellos es completo entonces el otro también lo es, por lo tanto hay espacios vectoriales que no son isomorfos a un dual ya que éste siempre es un espacio de Banach. Ejercicios. 1. X es un espacio de Banach si y solo si dada {xn } ∈ X tal que P entonces xn converge en X.

P

kxn k < ∞

2. Sea T ∈ B(X) con X Banach. Si kT k < 1 entonces T − I tiene inversa P continua, su inversa será n (T − I)n . 3. Sean A, B ∈ B(X) con X Banach. Si B tiene inversa continua y kAk < 1/kB −1 k entonces A + B tiene inversa continua. S es un subespacio de codimension 1 si existe v ∈ X\S tal que hS, vi = X. El núcleo o kernel de un operador A es ker A = A−1 ({0}). Observación. Dado un subespacio de codimension 1, S, existe ϕ ∈ X 0 tal que ker(ϕ) = S, recíprocamente, dada ϕ ∈ X 0 ker(ϕ) es un subespacio de codimension 1. Demostración. La primer afirmación es trivial, para la otra supongamos que ϕ(x0 ) 6= 0, entonces dado x ∈ X escribimos x=x−

ϕ(x) ϕ(x) x0 + x0 ϕ(x0 ) ϕ(x0 )

y tenemos que 

ϕ(x) ϕ x− x0 ϕ(x0 )

 =0

O sea que X = hker(ϕ), x0 i. La continuidad de un funcional lineal queda determinada a partir de su núcleo, por ejemplo, ambos funcionales no continuos que vimos en el ejemplo anterior tienen núcleo denso.

CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS

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Teorema 1.5. Sea X un espacio normado y ϕ un funcional lineal no nulo, entonces ϕ es continua si y solo si su núcleo no es denso si y solo si su núcleo es cerrado. Demostración. Es claro que si ϕ es continua su núcleo no es denso ya que es un cerrado de codimensión 1. Supongamos que ker(ϕ) no es denso, entonces existe x0 tal que ϕ(x) 6= 0 ∀x tal que kx − x0 k < δ, o sea que ϕ(y) 6= −ϕ(x0 ) ∀y ∈ B(0, δ). Ahora, si z ∈ ϕ(B(0, δ)) entonces todo el segmento [0, z] está contenido en ϕ(B(0, δ)), además, si |λ| = 1 entonces λz ∈ ϕ(B(0, δ)) ya que si ϕ(x) = z entonces λx ∈ B(0, δ) y ϕ(λx) = λz. O sea que la imagen de una bola, por un funcional lineal, es una bola de K. Como −ϕ(x0 ) ∈ / ϕ(B(0, δ)) tenemos que C 6= ϕ(B(0, δ)) o sea que existe k > 0 tal que kϕ(x)k ≤ k ∀kxk ≤ δ, o sea, ϕ es un funcional acotado. Corolario 1.6. Todo subespacio de codimension 1 en un espacio normado es cerrado o denso. Teorema 1.7. Dos espacios normados de dimensión n son isomorfos. Demostración. Sea ϕ : Kn −→ X tal que ϕ(a1 , . . . , an ) =

n X

ai xi

i=1

donde {x1 , . . . , xn } es una base de X. Claramente ϕ es biyectiva lineal y continua. Sea S la esfera en Kn , entonces existe δ tal que B(0, δ) ∩ ϕ(S) = ∅, pero ϕ−1 (B(0, δ)) es un convexo que contiene al 0 y no intersecta a S, de modo que ϕ−1 (B(0, δ)) ⊂ B(0, 1), por tanto, ϕ−1 es continua. Corolario 1.8. i) En espacios de dimensión finita todas las normas con equivalentes. ii) Todo espacio normado de dimensión finita es de Banach. iii) Todo subespacio de dimensión finita es cerrado. Teorema 1.9. Un espacio normado X es de dimensión finita si y solo si la clausura de la bola unidad es compacta. La demonstración se deduce a partir del siguiente lema. Lema 1.10 (Riesz). Sea X un espacio normado e Y un subespacio cerrado, entonces dado ε > 0 existe x de norma 1 tal que d(x, Y ) ≥ 1 − ε. Demostración. Existe x0 tal que d(x0 , Y ) = d > 0, dado d0 > d ∃x0 ∈ Y tal que kx0 − x0 k < d0 , tomando x0 − x0 x= 0 kx − x0 k y eligiendo d0 convenientemente queda concluida la prueba.

CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS

1.2.

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Convexidad

Decimos que un conjunto K es convexo si para todo par x, y ∈ K el segmento [x, y] = {ty + (1 − t)x : t ∈ [0, 1]} está totalmente contenido en K. Dados x1 , . . . , xn ∈ X una combinación lineal convexa es un elemento x ∈ X tal que x=

n X

ti xi

i=1

donde 0 ≤ ti ≤ 1 ∀i = 1 . . . n y t1 + . . . + tn = 1. Dado A ⊂ X se define co A, la envolvente convexa de A, como el conjunto de todas las combinaciones lineales convexas de elementos de A, equivalentemente co A es la intersección de todos los convexos que contienen a A. Mas adelante veremos que bajo ciertas condiciones podremos recuperar un convexo a partir de ciertos puntos, ver el teorema 2.9. Definición 1.6. Sea A un subconjunto de un espacio vectorial X. Decimos que a es un punto algebraicamente interior o que pertenece al interior algebraico de A si dado x ∈ X ∃ε > 0 tal que {(1 − t)a + tx : t ∈ (0, ε)} está contenido en A. Al interior algebraico de A lo notamos por ia A. Los conjuntos algebraicamente abiertos no son necesariamente topológicamente abiertos. Consideremos P = {(x, x2 ) : x > 0}, entonces A = C\P es algebraicamente abierto, porque 0 pertenece al interior algebraico de A pero no es abierto. Un conjunto A se dice absorbente si para cada x ∈ X existe λ > 0 tal que λ−1 x ∈ A, para que un convexo sea absorbente es necesario y suficiente que el cero este en su interior algebraico. Una funcional real q : X −→ R es subaditiva si q(x + y) ≤ q(x) + q(y), q es una funcional sublineal si además verifica que q(ax) = aq(x) ∀a > 0. La relación entre convexos y funcionales sublineales viene dada por la siguiente proposición. Proposición 1.11. Sea K un convexo absorbente entonces o n x qK (x) = ´ınf t > 0 : ∈ K t es una funcional sublineal no negativa tal que qK (x) < 1 ⇔ x ∈ ia K. Recíprocamente, si q es una funcional sublineal no negativa entonces K = {x : q(x) < 1} es un convexo absorbente algebraicamente abierto y q = qK . Demostración. Probemos que qK (x + y) ≤ qK (x) + qK (y). Sean a > qK (x) y b > qK (y) ⇒ x/a e y/b son elementos de K, entonces ax/a + by/b a+b es una combinación convexa de x/a e y/b por tanto pertenece a K, de donde a + b ≥ qK (x + y), conlcuimos de aqui que qK (x + y) ≤ qK (x) + qK (y).

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8

Definición 1.7. Una funcional como en la proposición anterior se llama funcional de Minkowski para el convexo K. Teorema 1.12 (Hahn-Banach). Sea f una funcional lineal real en un subespacio M ⊂ X y q una funcional sublineal tal que f (x) ≤ q(x) ∀x ∈ M , entonces existe una extensión lineal, f , de f a todo X tal que f (x) ≤ q(x) ∀x ∈ X. Demostración. Sea F = {g : H −→ R funcionales lineales extensiones de f donde H es un subespacio tales que g(x) ≤ q(x) ∀x ∈ H}. En F ponemos el orden g < h si h es extensión de g, obviamente toda cadena tiene una cota así que tenemos un elemento maximal f0 : M0 −→ R, tenemos que probar que M0 = X. Basta probar que si v ∈ X\M0 podemos extender f0 a hM0 , vi pero eso lo hacemos de la siguiente manera, necesitamos definir f0 (v) de forma que para todo λ, µ ∈ R+ y x, y ∈ M0 se cumpla que f0 (x) + λf0 (v) ≤ q(x + λv) f0 (y) − µf0 (v) ≤ q(y − µv) o sea que f0 (v) ≤

1 (q(x + λv) − f0 (x)) ∀λ > 0 x ∈ M0 λ

f0 (v) ≥

1 (f0 (y) − q(y − µv)) ∀µ > 0 y ∈ M0 µ

y

Basta observar que     1 1 sup (f0 (y) − q(y − µv)) ≤ ´ınf (q(x + λv) − f0 (x)) x∈M λ>0 λ y∈M0 µ>0 µ

Corolario 1.13. Sea p una seminorma en X y f una funcional lineal definida en un subespacio M de X que cumple |f (x)| < p(x) ∀x ∈ M . Entonces existe una funcional lineal, f , que extiende a f y cumple que |f (x)| ≤ p(x) ∀x ∈ X. Demostración. Como una seminorma es un funcional sublineal el corolario es obvio para funcionales reales sustituyendo x por −x. Si X es un espacio vectorial sobre C entonces alcanza con extender g = Re f a una g tal que g(x) ≤ p(x) y después tomar f (x) = g(x) − ig(ix) ya que, como existe α ∈ C de módulo 1 tal que |f (x)| = αf (x) tenemos que |f (x)| = αf (x) = g(αx) ≤ p(αx) = |α|p(x) = p(x)

Corolario 1.14. Sea X un espacio normado y f una funcional definida en un subespacio M , lineal y continua. Entonces f tiene una extensión f a X que verifica kf k = kf k.

CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS

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Corolario 1.15. Sea X un espacio normado y x0 6= 0, entonces existe f ∈ X ∗ tal que f (x0 ) = kx0 k y kf k = 1. El corolario anterior podría reformularse de esta manera mas general. Corolario 1.16. Si q es un funcional sublineal positiva y q(x0 ) 6= 0 entonces existe una funcional lineal real f tal que f (x0 ) = q(x0 ) y f (x) ≤ q(x) ∀x ∈ X. Cualquiera de los corolarios anteriores merece el nombre de teorema de HahnBanach. Consideremos el operador J : X −→ X ∗∗ tal que J(x)(ϕ) = ϕ(x), es consecuencia inmediata del corolario 1.15 que J es una isometría. Decimos que H es un hiperplano si S = {v 0 − v 00 : v 0 , v 00 ∈ H} es un subespacio de codimensión 1. Cualquier hiperplano podemos escribirlo como S + v donde S es un subespacio de codimension 1. Sea H = S +v un hiperplano del espacio vectorial X sobre R, tomamos ϕ tal que ker ϕ = S entonces H = {ϕ−1 (ϕ(v))}. Definimos H + = {x : ϕ(x) > ϕ(v)} y por analogía definimos H − . H + y H − son los semiespacios determinados por H, son algebraicamente abiertos pero no son necesariamente topológicamente abiertos, para ver esto basta tomar S denso. Se deja como ejercicio probar que la partición X = H + ∪ H ∪ H − no depende de la ϕ elegida. La clausura algebraica de H + es ca(H + ) = H + ∪ H. Decimos que H separa los conjuntos A y B si A ⊂ H + y B ⊂ ca(H − ) o viceversa. Teorema 1.17 (Hahn-Banach). Sea X un e.v. real, A convexo algebraicamente abierto y B convexo disjunto de A entonces existe un hiperplano H que separa A y B. Demostración. Tomamos x0 ∈ A e y0 ∈ B y definimos Z = A − B + z0 donde z0 = y0 − x0 . Entonces Z es un convexo algebraicamente abierto y 0 ∈ Z, tomamos q la funcional de Minkowski para Z, entonces, por el corolario 1.16 existe ϕ una funcional lineal tal que ϕ(z0 ) = q(z0 ) ≥ 1 (z0 ∈ / Z). Para x ∈ A e y ∈ B tenemos que ϕ(x) − ϕ(y) + ϕ(z0 ) ≤ q(x − y + z0 ) < 1 entonces ϕ(x) − ϕ(y) < 1 − ϕ(z0 ) ≤ 0 ⇒ α = sup{ϕ(x) : x ∈ A} ≤ ´ınf{ϕ(y) : y ∈ B} como A es algebraicamente abierto ϕ(x) < α ∀x ∈ A, entonces el hiperplano H = ϕ−1 (α) separa A y B. Corolario 1.18. Todo convexo algebraicamente abierto es la intersección de todos los semiespacios que lo contienen.

CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS

1.3.

10

Topologías lineales

Ya hablamos de espacios vectoriales topológicos al principio del capítulo, vamos ahora a dar una definición formal de topología lineal y estudiar los espacios vectoriales topológicos. Definición 1.8. Sea X un espacio vectorial, una topología en X es una topología vectorial , o lineal, si la aplicación + : X × X −→ X, (x, y) 7→ x + y, es continua, el mapa · : K×X −→ X, (k, x) 7→ kx es continuo y la topología es T1 . Un espacio vectorial con una topología lineal es un espacio vectorial topológico (e.v.t.). Definición 1.9. Si X es un e.v.t. definimos el dual de X, X ∗ , como el conjunto de todas las funcionales lineales y continuas. Ejercicio. ¿Es la topología de los algebraicamente abiertos una topología lineal?. Ejemplos. 1. Cualquier subespacio de un e.v.t. es un e.v.t.. 2. Las topología discreta e indiscreta no son lineales ya que una no hace continuo al producto por escalares y la otra no es T1 . 3. Sea S un conjunto arbitrario y K = R ó C, entonces la topología producto en KS es lineal y corresponde, como es sabido, a la convergencia puntual. Consideremos el subespacio (KS )0 = {ϕ : sop ϕ es finito} o sea, aquellas ϕ que se anulan salvo en una cantidad finita de puntos. (KS )0 hereda una topología vectorial de KS . Deducimos de aquí que todo espacio vectorial puede ser dotado de una topología lineal, basta observar que si β es una base de X entonces X es isomorfo, como e.v., a (Kβ )0 . 4. Todo espacio vectorial normado es un e.v.t.. Esto no es necesariamente cierto cuando tenemos una métrica, incluso si es invariante por traslaciones, basta tomar la métrica discreta. Ejercicios. 1. Toda topología lineal es Hausdorff. 2. Basta conocer una base de entornos de 0 para conocer la topología. 3. Para que una métrica invariante por traslaciones induzca un topología lineal es suficiente que λn −→ 0 ⇒ λn x −→ 0 ∀x ∈ X λn ∈ K. Definición 1.10. Un e.v.t. X es metrizable si existe una métrica invariante por traslaciones que induce su topología. Si en e.v.t. es metrizable y es completo decimos que es un espacio de Frechet. Observar que la completitud no depende de la métrica ya que podemos expresarla en términos de la topología vectorial: {xn } es de Cauchy si dado U entorno de 0 existe n0 tal que si n, m ≥ n0 entonces xn − xm ∈ U además, xn −→ x si xn − x ∈ U para todo n ≥ n0 .

CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS

11

Teorema 1.19 (Birkhoff-Kakutani). Un espacio vectorial topológico es metrizable sii satisface el primer axioma de numerabilidad.

Convexidad local Definición 1.11. Un espacio vectorial topológico es localmente convexo si el cero tiene una base de entornos convexos. Como en un espacio vectorial topológico X el interior de un conjunto está contenido en su interior algebraico, resulta bien definida la funcional de Minkowski para un entorno convexo del 0. A partir de este hecho comienza la construcción de funcionales lineales y continuos en espacios localmente convexos. Agregando hipótesis la funcional de Minkowski podría llegar a ser una seminorma, o una norma. El siguiente ejemplo nos muestra que la convexidad local es una hipótesis mínima para asegurarnos una cantidad suficiente de funcionales lineales y continuas. R Ejemplo. Para p ∈ (0, 1) se define Lp (µ) = {f : |f |p < ∞}. Vamos a tomar µ como la medida de Lebesgue en el [0, 1]. Se verifica fácilmente que (a + b)p ≤ ap + bp p ∈ (0, 1) R por lo tanto definiendo d(f, g) = |f − g|p obtenemos una métrica en Lp invariante por traslaciones que induce una topología lineal, además, Lp es completo con esta distancia. Es claro que esta métrica no proviene de una norma ya que d(λf, 0) = |λ|p d(f, 0), se podría tratar de arreglar este inconveniente elevando todo a 1/p (como en el caso p ≥ 1) pero como p ∈ (0, 1) perderíamos la desigualdad triangular. Veamos que hay solo dos convexos abiertos: Lp y ∅. Sea V un convexo abierto y f ∈ Lp , podemos suponer que 0 ∈ V así que ∃B(0, r) ⊂ V . Sea n > 0 tal que Z np−1 |f |p < r Existe una partición del [0, 1] 0 = x0 < x1 < . . . < xn = 1 tales que R Z xi |f |p p |f | = n xi−1 R Definimos gi = nX(xi−1 ,xi ] f, cada gi ∈ V porque |gi |p < r, pero como n

f=

1X gi n i=1

deducimos que f ∈ V , por tanto V = Lp . Sea ϕ : Lp −→ K una funcional lineal y continua, entonces si D denota el disco unidad en K tenemos que ϕ−1 (D) es un abierto convexo que contiene al cero, por tanto ϕ−1 (D) = Lp , por tanto ϕ ≡ 0. O sea, (Lp )∗ = {0}.

CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS

12

Definición 1.12. Sea X un e.v.t., A ⊂ X se dice acotado si ∀U entorno del cero ∃λ0 tal que A ⊂ λU para todo λ ≥ λ0 . Si 0 tiene un entorno acotado se dice que X es localmente acotado. Definición 1.13. A ⊂ X se dice equilibrado o balanceado si λA ⊂ A ∀|λ| ≤ 1. Ejercicios. 1. Si U es un entorno acotado balanceado de 0 entonces {U/n}n∈N es una base decreciente de entornos de 0. 2. Metrizable no implica localmente acotado. Lema 1.20. Sea X un e.v.t., entonces 0 tiene una base de entornos equilibrados, si además X es localmente convexo el cero tiene una base de entornos convexos y equilibrados. Demostración. Sea U = {U entornos del 0} y sea U ∈ U . Como la multiplicación por escalares es continua existen ε > 0 y V ∈ U tales que si |λ| < ε y v ∈ V ⇒ λv ∈ U , o sea, λV ⊂ U . Entonces [ W = λV ⊂ U |λ| 0. Veamos que q(αx) = |α|q(x) ∀x ∈ X y α ∈ K\{0}.   o n |α| |α| αx ∈ U = ´ınf t > 0 : x∈ U q(αx) = ´ınf t > 0 : t t α Ahora, como |α|/αU = U porque U es equilibrado tenemos que q(αx) = q(|α|x) = |α|q(x). Esto prueba que q es una seminorma en X, y por tanto induce una topología τ 0 . Una base de entornos del origen es Un = {x : q(x) < 1/n}. Veamos que al topología τ 0 es la topología τ del espacio. x ∈ Un ⇔ q(x) < 1/n ⇔ q(nx) < 1 ⇔ nx ∈ U ⇔ x ∈ 1/nU , y como U es acotado y balanceado 1/nU es una base de entornos decrecientes. Probamos entonces que hay un único punto donde q se anula. Por tanto es una norma y su topología inducida queda determniada por la base de entornos decrecientes encontrada. Teorema 1.26. Si X es un espacio vectorial topológico de dimensión finita sobre K entonces X es isomorfo a Kn . La prueba de este teorema es muy similar a la vista en espacios normados, por lo que será omitida. Corolario 1.27. En Kn hay una única topología vectorial.

Capítulo 2

Topologías débiles Informalmente, si tenemos un espacio vectorial topológico X, y notamos X ∗ por su dual, vamos a definir la topología débil en X como la topología más débil en X que nos da el mismo dual, o sea, si notamos por τω a la topología débil entonces tenemos que (X, τω )∗ = X ∗ . La topología débil siempre va a ser localmente convexa, esto nos va a permitir usar muchos resultados del capítulo anterior. Lo interesante es que el estudio de ésta topología nos va dar resultados sobre la topología original.

2.1.

Construcción de topologías localmente convexas

Sea X un espacio vectorial y P una familia de seminormas que separa puntos, i.e. dado x 6= 0 ∃p ∈ P tal que p(x) 6= 0. Para p ∈ P y n ∈ N definimos   1 U (p, n) = x ∈ X : p(x) < n Sea β la familia de intersecciones finitas de conjuntos U (p, n). Proposición 2.1. β es base de una topología τ en X lineal y localmente convexa, además τ es la mínima topología que hace continuos a todos los elementos de P. Si P = {pn } es numerable entonces τ es metrizable y viene dada por la métrica X 1 pn (x − y) d(x, y) = 2n 1 + pn (x − y) n Demostración. Un conjunto A es abierto según τ si para todo x0 ∈ A existen p1 , . . . , pk ∈ P y n1 , . . . , nk ∈ N tales que \ x0 + U (pj , nj ) ⊂ A j

14

CAPÍTULO 2. TOPOLOGÍAS DÉBILES

15

Observemos que x0 +

\

U (pj , nj ) = {x : pj (x − x0 ) < 1/nj ∀j = 1 . . . k}

j

Se deja como ejercicio probar que las operaciones son continuas. Que la topología es T1 se deduce inmediatamente del hecho de que P separa puntos, si p(x) 6= 0 entonces U (p, p(x)/2) es un entorno del origen que no contiene a x. Como P es una familia de seminormas U (p, n) es convexo y la intersección de convexos es convexa, así que τ es localmente convexa. Obviamente cada p ∈ P es continua, sea τ 0 otra topología que verifica esta misma condición, para cada p ∈ P y n ∈ N existe un entorno del origen V según τ 0 tal que x ∈ V ⇒ p(x) < 1/n ⇒ V ⊂ U (p, n), por lo tanto, τ ⊂ τ 0 . Vale un recíproco de la proposición anterior, si tenemos una topología vectorial localmente convexa, tomamos β una base de entornos convexos y equilibrados del origen y formamos la familia de seminormas P = {pU : U ∈ β} donde pU es la funcional de Minkowski para U, entonces P separa puntos y si notamos por τP la topología inducida por P entonces τP es la topología original. Observación. Un conjunto es acotado con la topología inducida por una familia de seminormas si y solo si toda seminorma de la familia está acotada en ese conjunto: Si toda p está acotada en A entonces dado V entorno del origen existen ni y pi tales que {x : pi (x) < 1/ni } ⊂ V , si pi (A) ≤ Mi tomando M > Mi ni i = 1 . . . n se tendrá que A ⊂ M V. Veamos dos ejemplos. Sea Ω un abierto de Rn y C(Ω) = {f : Ω −→ C continuas} y sea Kn una sucesión de compactos crecientes a Ω. Sea pn (f ) = sup{|f (x)| : x ∈ Kn }. Ésta es una familia de seminormas que separa puntos y por tanto genera una topología localmente convexa y metrizable que viene dada por X 1 pn (f − g) d(f, g) = 2n 1 + pn (f − g) n (C(Ω), d) es completo porque cada C(Kn ) lo es, además no es localmente acotado: Sea U un entorno del cero, U= {f : pn (f ) < ε}, si x0 ∈ Ω\Kn existe fM ∈ C(Ω) tal que fM (x0 ) = M y fM |Kn = 0. Si x0 ∈ Kj y V = {f : pj (f ) < δ} entonces como fM ∈ U para todo M > 0 podemos tomar M para que fM (x0 )/t = M/t ≥ δ o sea fM /t ∈ / V , por tanto U no está acotado. Concluimos que metrizable no implica localmente acotado y aplicando el teorema de Kolmogorov tenemos que C(Ω) no es normable. Observar que la topología inducida es la topología de convergencia uniforme sobre compactos. Supongamos ahora Ω un abierto de R2 y consideremos H(Ω) las funciones holomorfas definidas en Ω, con la topología relativa a C(Ω). Sea A ⊂ H(Ω) acotado, esto significa que dado n existe Mn tal que pn (f ) ≤ Mn ∀f ∈ A, o sea

CAPÍTULO 2. TOPOLOGÍAS DÉBILES

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que |f (z)| ≤ Mn ∀z y para toda f ∈ A, o sea que A es una familia uniformemente acotada sobre compactos, aplicando el teorema de Montel tenemos que toda sucesión tiene una subsucesión convergente, o sea, A es compacto. Por lo tanto H(Ω) no es localmente acotado, si lo fuera H(Ω) sería localmente compacto y por tanto de dimensión finita.

2.2.

Topologías débil y débil estrella

Lema 2.2. Sean ϕ1 , . . . , ϕn , ψ funcionales lineales en un espacio vectorial X, entonces son equivalentes 1. Dado ε > 0 existen constantes k1 , . . . , kn tales que |ϕi (x)| < ki implica |ψ(x)| < ε, 2. ψ es combinación lineal de ϕ1 , . . . , ϕn , T 3. ker ψ ⊃ ker ϕi . Demostración. Es claro que 1) implica 3) y que 2) implica 1). Probemos entonces que 3) implica 2). T T Podemos suponer que para todo j ∈ {1 . . . n} se tiene que k6=j ker ϕk k ker ϕk , aquella ϕj que no lo verifica tendrá coeficiente 0 en la combinación lineal que encontremos. Tenemos entonces que para cada j existe xj tal que ϕk (xj ) = 0 si k 6= j y ϕj (xj ) = 1. Dado x ∈ X escribimos y =x−

n X

ϕj (x)xj

j=1

entonces ϕj (y) = 0 ∀j = 1 . . . n por tanto y ∈ 0 = ψ(x) −

n X

T

k

ker ϕk ⇒ y ∈ ker ψ entonces

ψ(xj )ϕj (x)

j=1

de donde ψ es combinación lineal de ϕ1 , . . . , ϕn . Proposición 2.3. Sea X un espacio vectorial y φ un subespacio de X 0 , el dual algebraico de X, que separa puntos. La mínima topología lineal que hace continuos a todos los elementos de φ es una topología localmente convexa y su dual es φ. Demostración. Consideremos la siguiente familia de seminormas P = {|ϕ| : ϕ ∈ φ} Ésta familia separa puntos de X, por la proposición 2.1 P induce una topología lineal localmente convexa, resta ver que φ es su dual. Obviamente cualquier

CAPÍTULO 2. TOPOLOGÍAS DÉBILES

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elemento de φ va a ser un operador continuo, sea ahora ψ ∈ X 0 continuo, o sea que dado ε > 0 existen k1 , . . . , kn ∈ K y ϕ1 , . . . , ϕn tales que |ϕi (x)| < 1/ki implica |ψ(x)| < ε, entonces ψ es una combinación lineal de ϕ1 , . . . , ϕn y por tanto un elemento de φ. Definición 2.1. Sea (X, τ ) un e.v.t. tal que X ∗ separa puntos, la topología de la proposición anterior para X ∗ se llama topología débil de (X, τ ) y la denotamos por τω o simplemente ω. Si (X, τ ) es de dimensión finita entonces τ = τω porque hay una única topología vectorial. Éste es raramente el caso, si X es normable y de dimensión infinita siempre la topología débil es estrictamente mas débil que la topología original. Un conjunto A es ω-acotado si ϕ(A) está acotado para toda ϕ ∈ X ∗ . Si U es un entorno de 0 entonces U contiene un conjunto de la forma \ V = {x : |ϕi (x)| < εi } donde ϕi ∈ X ∗ y εi > 0, si toda ϕ ∈ X ∗ está acotada en V entonces toda ϕ es combinación lineal de ϕ1 , . . . , ϕn o sea que X ∗ es de dimensión finita. Concluimos que (X, τω ) no es localmente T acotado, mas aún, el conjunto V contiene un subespacio de codimension finita, ker ϕi . P P Ejemplo. Sea `1 = {x : N −→ C : |xn | < ∞} con la norma kxk = |xn |. Entonces un sucesión converge débilmente si y solo si lo hace con la norma, por tanto (`1 , τω ) no es primer axioma y por tanto no es metrizable. Consideremos J : X −→ (X ∗ )0 dada por J(x)(ϕ) = ϕ(x) donde ϕ ∈ X ∗ . J(X) es un subespacio de (X ∗ )0 que separa puntos, aplicando la proposición 2.3 obtenemos una topología lineal localmente convexa en X ∗ . Definición 2.2. La topología inducida por J(X) en X ∗ es llamada topología débil estrella y denotada ω ∗ . ω ∗ es la mínima topología vectorial que hace continuas a todas las evaluaciones, además se deduce que el dual es J(X). Observemos que X ∗ es un subconjunto de KX y que la topología ω ∗ es la topología relativa del producto ya que un ω ∗ -entorno del origen es de la forma {ϕ ∈ X ∗ : |ϕ(xi )| < εi i = 1 . . . n} donde x1 , . . . , xn ∈ X. O sea, la topología débil estrella es la de la convergencia puntual. Teorema 2.4 (Banach-Alaoglu). Sea X un espacio vectorial topológico, U entorno del 0 entonces C = {ϕ ∈ X ∗ : |ϕ(x)| ≤ 1 ∀x ∈ U } es débil ∗-compacto

CAPÍTULO 2. TOPOLOGÍAS DÉBILES

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Demostración. Por ser U entorno del cero existe α(x) tal que x ∈ α(x)U o sea que |ϕ(x)| ≤ α(x) si ϕ ∈ C por tanto Y C ⊂ {ϕ ∈ KX : |ϕ(x)| ≤ α(x) ∀x ∈ X} = D(0, α(x)) x∈X

que es compacto, donde D(0, α(x)) es el disco de centro 0 y radio α(x) en K. Falta probar que C es cerrado. Sea ϕ0 en la clausura de C, con la topología producto, x, y ∈ X, α ∈ K y ε > 0, un entorno de ϕ0 es {ϕ : |(ϕ − ϕ0 )(x)| < ε, |(ϕ − ϕ0 )(y)| < ε y |(ϕ − ϕ0 )(x + αy)| < ε} Tomamos ϕ en ese entorno y en C, como ϕ es lineal tenemos que |ϕ0 (x + αy) − ϕ0 (x)−αϕ0 (y)| = |(ϕ0 −ϕ)(x+αy)−(ϕ0 −ϕ)(x)−α(ϕ0 −ϕ)(y)| ≤ ε+ε+|α|ε = (2 + |α|)ε, por tanto ϕ0 es lineal. Sea x ∈ U y ε > 0, un entorno de ϕ0 es {ϕ : |ϕ(x) − ϕ0 (x)| < ε} si ∃ϕ ∈ C es ese entorno entonces |ϕ0 (x)| ≤ |ϕ(x)| + ε ≤ 1 + ε, por tanto |ϕ0 (x)| ≤ 1. Concluimos que C = C, como la topología débil estrella en C es la relativa de la producto tenemos que C es ω ∗ -compacto. Lema 2.5. Sean τ 0 y τ 00 dos topologías en un conjunto Z, si τ 0 ⊂ τ 00 , (Z, τ 0 ) es Hausdorff y (Z, τ 00 ) es compacto entonces τ 0 = τ 00 . Corolario 2.6. Sea X es un e.v.t. separable entonces todo subconjunto de X ∗ ω ∗ -compacto es metrizable. Demostración. La prueba se deduce inmediatamente del hecho que si la familia de seminormas es numerable entonces la topología que inducen es metrizable, y del lema anterior. Por ejemplo, si X es normado entonces B ∗ = {ϕ ∈ X ∗ : kϕk ≤ 1} es ω -compacto, por tanto no es un entorno débil ∗ del origen, salvo en dimensión finita. Si además X es separable entonces B ∗ es metrizable, sin embargo (X ∗ , ω ∗ ) no tiene que ser metrizable para esto. ∗

Medidas invariantes Sea S un espacio topológico localmente compacto y Hausdorff, denotamos por C0 (S) a aquellas funciones continuas de S −→ C cuyo módulo es pequeño fuera de un compacto. Teorema 2.7 (Riesz). Si dotamos a C0 (S) con la norma del supremo entonces C0 (S)∗ es isométricamente isomorfo a M = {medidas complejas regulares de Borel} con la norma kµk = |µ|(S) donde |µ| denota la variación total de µ. Si S es compacto y ϕ ∈ C0 (S)∗ = C(S)∗ es tal que ϕ(f ) ≥ 0 si f ≥ 0 y ϕ(1) = 1 entonces la medida asociada es una medida de probabilidad.

CAPÍTULO 2. TOPOLOGÍAS DÉBILES

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El isomorfismo del teorema de Riesz viene dado por ϕ 7→ µ donde ϕ(f ) = f dµ. Al identificar C0 (S)∗R con M tenemos una topología débil estrella en M , a R saber, µn −→ µ en ω ∗ si f dµn −→ f dµ ∀f ∈ C0 (S). Aplicando el teorema de Banach-Alaoglu tenemos que B ∗ = {µ ∈ M : kµk ≤ 1} es ω ∗ -compacto. Además las medida de probabilidad son un ω ∗ -cerrado de B ∗ , de donde concluimos que R

MP = {µ ∈ M : µ ≥ 0 y µ(S) = 1} es ω ∗ -compacto. Supondremos de ahora en más que S es un espacio compacto y Hausdorff. Definición 2.3. Sea F : S −→ S una función continua, decimos que una medida de probabilidad µ es invariante para F si µ(A) = µ(F −1 (A)) para todo A Boreliano. Una medida µ es invariante para F si y solo si Z Z hdµ = h ◦ F dµ para toda h ∈ C(S). El conjunto de las medidas invariantes para F es un convexo ω ∗ -compacto, vamos a mostrar que es no vacío. Para x ∈ S definimos µn =

n−1 1X δ i n i=0 F (x)

donde δx (A) = 0 si x ∈ / A y δx (A) = 1 si x ∈ A. Como cada µn es de probabilidad tenemos una subsucesión convergente en ω ∗ , µnk −→ µ. Sea f ∈ C(S), entonces Z f dµnk

Z nk −1 nk −1 1 X 1 X i = f (F (x)) y f ◦ F dµnk = f (F i+1 (x)) nk i=0 nk i=0

entonces Z

Z

1 (f (x) − f (F nk (x))) −→ 0 nk R R porque f está acotada, por lo tanto f dµ = f ◦ F dµ. f dµnk −

f ◦ F dµnk =

Concluimos que si F : S −→ S es continua entonces el conjunto de las medidas de probabilidad invariantes sobre F es un compacto convexo no vacío. A continuación estudiamos convexos compactos.

CAPÍTULO 2. TOPOLOGÍAS DÉBILES

2.3.

20

Convexos compactos

En esta sección probaremos el teorema de Krein-Milman que enuncia que podemos recuperar cualquier compacto convexo como la clausura de la envolvente de sus puntos extremales. Teorema 2.8. Sean A y B convexos disjuntos no vacíos de un espacio vectorial topológico X. i) Si A abierto entonces existe ψ ∈ X ∗ y α ∈ R tal que Re ψ(x) < α ≤ Re ψ(y) ∀x ∈ A y ∈ B ii) Si A es compacto, B es cerrado y X es localmente convexo entonces existen ψ ∈ X ∗ α1 y α2 ∈ R tales que Re ψ(x) ≤ α1 < α2 ≤ Re ψ(y) ∀x ∈ A y ∈ B iii) Si X ∗ separa puntos, A y B son convexos compactos entonces existe ψ ∈ X ∗ tal que sup Re ψ(x) < ´ınf Re ψ(y) x∈A

y∈B

Demostración. La primer parte es un leve refinamiento del teorema de HahnBanach ( 1.17). Para la segunda parte usamos el siguiente hecho, válido en cualquier e.v.t.: Si A es un compacto y B es cerrado entonces existe V entorno de 0 tal que (A+V )∩B = ∅, si X es localmente convexo podemos tomar V convexo y por tanto A + V es convexo. Aplicando la parte i) y usando el hecho de que A es compacto obtenemos el resultado. Para la última parte tomamos la topología débil en X, ésta es localmente convexa, aplicando la parte ii) obtenemos una ψ ∈ (X, ω)∗ que satisface la tesis, como la topología débil no aumenta el dual tenemos que ψ ∈ X ∗ . Definición 2.4. Sea K un subconjunto de X, un punto x ∈ K es extremal si cada vez que escribimos x = ty0 + (1 − t)y1 con y0 6= y1 ∈ K y t ∈ [0, 1] entonces t = 0 o t = 1. Un punto x es extremal de K si cada vez que hay un segmento contenido en K que lo contiene, él es extremo del segmento. Si K es convexo es equivalente decir que x es extremal a decir que K\{x} continua siendo convexo. Notamos por ext(K) al conjunto de los puntos extremales de K. Ejemplos. 1. El conjunto de los puntos extremales no es necesariamente cerrado, mismo en dimensión finita, basta tomar un círculo en el plano z = 0 y un segmento vertical en R3 que intersecta al círculo en un punto. Éste punto no es extremal. 2. En C([0, 1], R) la bola unidad B = {kf k∞ ≤ 1} tiene solo dos puntos extremales f = 1 y f = −1.

CAPÍTULO 2. TOPOLOGÍAS DÉBILES

21

3. La envolvente convexa de un cerrado puede no ser cerrada, tomar {(x, x2 ) : x ≥ 0}. 4. Existen ejemplos de compactos convexos en espacios vectoriales topológicos que no tienen puntos extremales. Una variedad afín A es un subespacio corrido del origen. Es decir, para todo v ∈ A se tiene que A − v es un subespacio de X. Si A es una variedad afín entonces S = {v 0 − v 00 : v 0 , v 00 ∈ A} es un subespacio de X. Una variedad se dice extremal respecto de K ⊂ X si A ∩ K 6= ∅ y siempre que un segmento de K tiene un punto interior en A el segmento está totalmente contenido en A. Observación. La intersección decreciente de variedades afines extremales cerradas respecto de un compacto K es no vacía, ya que, como cada una intersecta a K tenemos una sucesión decreciente de compactos contenidos en K y la intersección de compactos decrecientes es no vacía. Teorema 2.9 (Krein-Milman). Sea X un espacio vectorial topológico tal que X ∗ separa puntos y K ⊂ X un compacto convexo, entonces K es la clausura de la envolvente convexa de sus puntos extremales, o sea, K = co(ext K) Demostración. Sea C = co(ext K). Es obvio que C ⊂ K, supongamos que hay un punto z ∈ K\C. Por el teorema 2.8 existe una funcional lineal real y continua tal que ϕ(z) > ϕ(x) ∀x ∈ C. Sea β = m´ax{ϕ(y) : y ∈ K} y H = ϕ−1 (β), obviamente este hiperplano no contiene puntos de C, y por tanto no tiene puntos extremales de K. Ahora, H es una variedad afín extremal ya que si un segmento s ⊂ K tiene un punto interior en H entonces restringimos ϕ a s y tenemos una función lineal afín de [0, 1] −→ R que toma su máximo en su interior, por lo tanto es contante, o sea s ⊂ H. Por el lema de Zorn tenemos una variedad extremal afín minimal M ⊂ H. Ésta M es no vacía por la observación anterior y no podrá contener a más de un punto, de no ser así habrá una ψ ∈ X ∗ real no constante en M porque X ∗ separa puntos. Luego si γ = m´ax{ψ(y) : y ∈ K ∩ M } entonces ψ −1 (γ) es una variedad afín extremal estrictamente contenida en M. Como M = {x0 } éste deberá ser un punto extremal de K, esto contradice el hecho de que en H no había puntos extremales de K, por tanto K ⊂ C entonces K = C. Corolario 2.10. Si X es localmente convexo y K ⊂ X es compacto entonces K ⊂ co(ext K). Para probar este corolario hay que observar que en la prueba del teorema anterior el único momento donde usamos la convexidad de K era en el hecho de que co(ext K) ⊂ K. Ahora esto no es necesariamente cierto ya que K no es convexo. Pero la demostración sigue así: si x ∈ K\C tenemos que C es un convexo cerrado y {x} es convexo compacto, la hipótesis de convexidad local nos permite usar el item ii) del teorema 2.8. A partir de aquí la prueba sigue

CAPÍTULO 2. TOPOLOGÍAS DÉBILES

22

igual. Sea F : S −→ S una función continua de un espacio topológico Hausdorff y compacto. Ya vimos que el conjunto de las medidas invariantes sobre F es un convexo compacto no vacío. Veamos ahora que los puntos extremales de este conjunto son medidas ergódicas. Definición 2.5. Una medida µ invariante sobre F es ergódica si cada vez que F −1 (A) = A tenemos que µ(A) = 0 ó µ(A) = 1. La ergodicidad de una medida mide cuan bien distribuye F los puntos de S. Supongamos que µ es un punto extremal de las medida invariantes sobre F , si µ no es ergódica entonces existe A invariante por F tal que µ(A) ∈ (0, 1), tomamos µ(E ∩ Ac ) µ(E ∩ A) y µ1 (E) = µ0 (E) = µ(A) µ(Ac ) entonces µ = µ(A)µ0 + µ(Ac )µ1 , ésta es una combinación lineal convexa de µ, por tanto µ no es extremal.

2.4.

Teorema de Stone-Weierstrass

Culminamos el capítulo con la prueba del teorema de Stone-Weierstrass. Weierstrass probó algunos casos particulares y Stone probó finalmente la versión general. Vamos con algunos preliminares. Sea X un espacio vectorial topológico y A ⊂ X un subespacio. Definimos el anulador de A como A⊥ = {ϕ ∈ X ∗ : ϕ|A ≡ 0} Por el teorema de Hahn-Banach tenemos que si A⊥ = {0} entonces A es denso en X. Definición 2.6. Un álgebra es un espacio vectorial X dotado de un producto · : X × X −→ X asociativo y distributivo respecto de la suma. Obviamente una subalgebra es un subespacio que continua siendo un álgebra. Un álgebra es normada si X es un espacio normado y kxyk ≤ kxkkyk. Sea X un espacio de Banach, si es además un álgebra normada decimos que X es un álgebra de Banach. Si S es compacto y Hausdorff entonces C0 (S) = C(S) es un álgebra de Banach con el producto punto a punto. Abusaremos notación y escribiremos C(S)∗ = M según el teorema de Riesz ( 2.7). Definición 2.7. Sea µ una medida. El soporte de µ es el complemento de aquellos puntos que tienen un entorno que mide 0 según |µ|. O sea sop µ = {x : ∃U entorno de x /|µ|(U ) = 0}{ Obviamente sop µ es cerrado.

CAPÍTULO 2. TOPOLOGÍAS DÉBILES

23

Lema 2.11. Sea A una subalgebra cerrada de C(S) y µ un punto extremal de K = {ν ∈ A⊥ : kνk ≤ 1}. Si f ∈ A verifica que 0 ≤ f ≤ 1 entonces f es constante en el soporte de µ. Demostración. Sean las medidas Z Z ν(E) = f dµ y σ(E) = (1 − f )dµ E

E

Vamos a probar que µ = ν/kνk ó µ = σ/kσk. Como µ es extremal de K tenemos que kµk = 1. Ahora, ν/kνk ∈ K ya que si g ∈ A entonces Z Z gdν = gf dµ = 0 S

S

porque gf ∈ A, de la misma forma σ/kσk ∈ K. Escribimos µ = kνkν/kνk + kσkσ/kσk ésta es una combinación convexa porque kνk+kσk = kµk = 1, como µ es extremal tenemos que µ = ν/kνk ó µ = σ/kσk. Supongamos que µ = ν/kνk, la otra opción es totalmente análoga, y tomemos un Boreliano E, entonces Z Z f dµ = ν(E) = kνkµ(E) = kνkdµ E

E

por lo tanto f = kνk c.t.p., como f es continua tendrá que coincidir con kνk en todo punto de sop µ. Teorema 2.12 (Stone-Weierstrass). Sea A una subálgebra cerrada de C(S) que contiene a las constantes y es cerrada por conjugaciones. Si A separa puntos de S entonces A = C(S) Demostración. Sea K = {ν ∈ A⊥ : kνk ≤ 1}. K es un convexo ω ∗ -cerrado, por Banach-Alaoglu es ω ∗ -compacto y no vacío (0 ∈ K). Aplicamos Krein-Milman y obtenemos un punto extremal de K, µ. Sea t0 ∈ sop µ, entonces dado s ∈ S tomamos f ∈ A tal que 0 ≤ f ≤ 1 y f (s) 6= f (t0 ) (para esto usamos todas las propiedades de A), aplicando el lema tenemos que s ∈ / sop µ, por tanto sop µ = {t0 } entonces µ = αδt0 con α ∈ C y |α| = 1. Como µ ∈ A⊥ tenemos que Z α = 1dµ = 0 por tanto µ = 0. Concluimos que {0} es el único punto extremal de K, así A⊥ = {0} y por tanto A es denso en C(S), como A es cerrado tenemos que A = C(S).

Capítulo 3

Espacios de Hilbert 3.1.

Teoría Básica

Un producto interno (p.i.) en un espacio vectorial H es un mapa h, i ; H × H −→ C que verifica: 1. hαx + βy, zi = α hx, zi + β hy, zi ∀x, y, z ∈ H y α, β ∈ C. 2. hx, yi = hy, xi ∀x, y ∈ H y α ∈ C. 3. hx, xi ≥ 0 y es nulo sii x = 0. Si H es un espacio vectorial dotado de un producto interno decimos que es un espacio pre-Hilbertiano. Todo producto interno induce una norma en H de la p forma kxk = hx, xi. Si (H, k k) es un espacio de Banach decimos que (H, h, i) es un espacio de Hilbert . Observación. 1. En un espacio pre-Hilbertiano se verifica la desigualdad de Schwartz i.e.: | hx, yi | ≤ kxkkyk y | hx, yi | = kxkkyk implica x = λy. Demostración. 0 ≤ hx + λy, x + λyi = kxk2 + |λ|2 kyk2 + 2 Re hλy, xi Elegimos λ = − hx, yi /kyk2 entonces 0 ≤ kxk2 +

| hx, yi |2 | hx, yi |2 −2 2 kyk kyk2

2. Hay una condición necesaria y suficiente para que una norma sea proveniente de un producto interno: La ley del paralelogramo: kx − yk2 kx + yk2 + = kxk2 + kyk2 2 2 24

CAPÍTULO 3. ESPACIOS DE HILBERT

25

Definición 3.1. Dados x e y en un espacio pre-Hilbertiano decimos que x es ortogonal a y si hx, yi = 0 y lo notamos x ⊥ y. Un conjunto es ortogonal si todos sus elementos son ortogonales dos a dos, y es ortonormal si además todos tienen norma 1. Observación. (Teorema de Pitágoras) Si x ⊥ y entonces kx − yk2 = kxk2 + kyk2 . Teorema 3.1 (Gram-Schmidt). Si {x1 , . . . , xn } es linealmente independiente entonces existe {e1 , . . . , en } ortonormal tal que h{ei }i=1...k i = h{xi }i=1...k i ∀k = 1 . . . n. Proposición 3.2. Sea H un espacio pre-Hilbertiano y sea {e1 , . . . , en } un conjunto ortonormal. Escribimos V = h{ei }ni=1 i, entonces dado x ∈ H existe un único PV (x) ∈ V que verifica kx − PV (x)k ≤ kx − yk ∀y ∈ V. Además kxk2 ≥ kPV (x)k2 . Demostración. Tal PV (x) tendrá que escribirse de la forma λ1 e1 + · · · + λn en y x − PV (x) será ortonormal a todos los ei entonces + * n X λi ei , ej = hx, ej i − λj hej , ej i 0= x− i

Así obtenemos nuestro candidato, PV (x) = Pitágoras tenemos que

Pn

i=1

hx, ei i ei . Sea y ∈ V , por

kx − PV (x)k2 + kPV (x) − yk2 = kx − yk2 Por tanto kx − PV (x)k ≤ kx − yk y la igualdad es válida solamente cuando PV (x) = y. Es claro que x − PV (x) ⊥ PV (x), así, nuevamente por Pitágoras, kxk2 = kPV (x)k2 − kx − PV (x)k2 . Como corolario obtenemos la desigualdad de Bessel. Corolario 3.3 (Desigualdad de Bessel). Sea {eα }α∈I un conjunto ortonormal, entonces X sup | hx, ei i |2 ≤ kxk2 F ⊂I finito

i∈F

Sean I un conjunto arbitrario y {xi }i∈I ∈ X espacio vectorial topológico. Definimos el conjunto dirigido D = {F ⊂ I : F finito} ordenado con la inclusión. Si la red S : D −→ X definida por X S(F ) = xi i∈F

es convergente denotamos su limite como

X i∈I

Ejemplos.

xi

CAPÍTULO 3. ESPACIOS DE HILBERT

26

Si X = R y xi no negativos entonces S converge si y solo si X sup xi < ∞ F ⊂I:F finito

i∈F

y el límite es el mismo. X = R y xi cualesquiera entonces S converge ⇔ los xi son nulos salvo una cantidad numerable y la serie de los xi ’s converge absolutamente. En el caso XP = C o RR podemos pensar que en I consideramos la medida del conteo y I xi = I x donde x : I −→ X está definido por x(i) = xi . Hechas estas consideraciones observemos lo siguiente. Supongamos que tenemos un conjunto ortonormal {ei }i∈I y para cada x consideramos el mapa x ˆ : I −→ C definido por x ˆ(i) = hx, ei i. Si dotamos I con la medida del conteo la desigualdad de Bessel dice que Z X X |ˆ x|2 = |ˆ x(i)|2 = | hx, ei i |2 ≤ kxk2 < ∞ I

I

I

2

Así tenemos que x ˆ ∈ L (I, conteo). La pregunta es que condiciones hay que pedirle al conjunto ortonormal {ei } y al espacio H para que la aplicación x 7→ x ˆ sea un isomorfismo lineal. ProposiciónP3.4. Sea {ei }i∈I un conjunto ortonormal en un espacio de Hilbert H, entonces hx, ei i ei converge en H. Demostración. Por la desigualdad de Bessel, solo una cantidad numerables de hx, ei i son no nulos, por ejemplo hx, en i n ∈ N. Solo resta ver que SN = PN n=1 hx, en i en es de Cauchy. Ahora kSN − SM k2 =

N X

| hx, en i |2 −→ 0

n=M +1

por la desigualdad de Bessel. El siguiente teorema clasifica los espacios de Hilbert. Teorema 3.5. Sea H un espacio de Hilbert y {ei } un conjunto ortonormal, las siguientes afirmaciones son equivalentes. 1. h{ei }i∈I i = H. 2. {ei }i∈I es ortonormal maximal. P 3. ∀x ∈ H se tiene que x = hx, ei i ei . P 4. kxk2 = | hx, ei i |2 . 5. H es isomorfo a L2 (I), I con la medida del conteo.

CAPÍTULO 3. ESPACIOS DE HILBERT

27

Demostración. 1) implica 2). Sea x ∈ H ortogonal a todos los ei ’s, sabemos que Pk dado ε > 0 existe k ∈ N tal que kx − 1 αn en k < ε. Entonces 2

D

kxk = | x, x −

X

E

αn en | ≤ kxkkx −

k X

αn en k

1

Así kxk < ε ∀ε. Concluimos entonces que x = 0 y por tanto {ei } es ortonormal maximal. 2) implica 3). P Sabemos que dicha suma converge por la proposición 3.4, pongamos y = hx, ei i ei , es una simple cuenta verificar que x − y ⊥ ei para todo i ∈ I. 2) implica que x − y = 0 y por tanto 3). 3) implica 4). Fácil. 4) implica 5). Para x ∈ H definimos x ˆ : I −→ C dado por x ˆ(i) = hx, ei i entonces x ˆ ∈ L2 (I) y kxk = kˆ xk. Tenemos que ϕ : H −→ L2 (I) donde ϕ(x) = x ˆ 2 es una isometría lineal, resta ver al sobreyectividad. Sea y ∈ L (I), la suma P P y(i)ei es convergente en H, es claro entonces que si definimos x = y(i)ei tenemos ϕ(x) = y. 5) implica 1). Basta probar que el espacio generado por los elementos {ˆ ei } es denso en L2 (I). Observemos que eˆi (j) = δij . Tomemos x ∈ L2 (I) entonces x(i) = 0 salvo para una cantidad numerable de i0 s pongamos i1 , . . . , in , . . . entonces n ∞ X X kx − x(iJ )ˆ eij k = kx(ij )k2 −→ 0 j=1

j=n

Tenemos entonces un todo espacio de Hilbert podemos recuperarlo a partir de un conjunto ortonormal maximal, por esto decimos que un conjunto ortonormal maximal es una base de Hilbert. Teorema 3.6. Dos bases de Hilbert tienen el mismo cardinal. Demostración. Sean A y B dos bases de Hilbert de H, ambas de cardinal infinito. Para cada b ∈ B definimos Ab = {a ∈ A : ha, bi = 6 0} este conjunto es numerable ya que son S los coeficientes de b en la base A. Ahora, como B es base tenemos que A = b Ab , luego #(A) ≤ #(B). repitiendo el razonamiento para B obtenemos que #(B) ≤ #(A). Teorema 3.7. La completación de un espacio pre-Hilbertiano es un espacio de Hilbert.

CAPÍTULO 3. ESPACIOS DE HILBERT

28

Teorema 3.8. H es un espacio de Hilbert separable ⇔ H tiene una base de Hilbert numerable. Demostración. Si {en }n∈N es una base de Hilbert entonces el conjunto de las combinaciones finitas de coeficientes racionales de {en } es un subconjunto denso numerable. Si no tuviéramos una base de Hilbert numerable consideremos la siguiente base, eα (β) = δαβ . eα : I −→ C y keα − eβ k2 = keα k2 + keβ k2 = 2 entonces {B(eα , √12 )}α∈I es una familia no numerable de abiertos disjuntos. Sea H un espacio de Hilbert e y ∈ H. Definimos ϕy (x) = hx, yi, es claro que ϕy es lineal y la continuidad se deduce inmediatamente de la desigualdad de Schwartz, además |ϕy (y/kyk)| = kyk así kϕy k = kyk. El siguiente teorema nos dice que todo funcional en un espacio de Hilbert es de esta forma. Teorema 3.9 (De representación de Riesz). El mapa Θ : H −→ H ∗ definido por Θ(y) = ϕy es una isometría sobreyectiva. Demostración. Sea ψ ∈ H ∗ \{0}, ker ψ es un hiperplano cerrado por tanto existe y0 ∈ H ortogonal a ker ψ. Buscamos λ ∈ C para que ψ(x) = hx, λy0 i, si la igualdad fuera cierta entonces ψ(y0 ) = λky0 k2 , escribimos entonces λ=

ψ(y0 ) ky0 k2

Para verificar la igualdad en todos los puntos basta escribir x = m + ay0 con m ∈ ker ψ. Esto prueba la existencia de algún y tal que ψ(x) = hx, yi. Para la unicidad tenemos que si hx, yi = hx, y 0 i ∀x entonces hx, y − y 0 i = 0 ∀x y por tanto y − y 0 = 0. Observemos que el mapa Θ no es una isomorfismo porque no es lineal, Θ(αy) = αΘ(y). De todos modos, si dotamos a H ∗ del siguiente producto interno: hϕy , ϕz i = hz, yi, tenemos que todo espacio de Hilbert es isomorfo a su dual ya que si {ei } es una base de Hilbert de H entonces {ϕei } es una base de Hilbert de H ∗ . Tenemos también que todo espacio de Hilbert es reflexivo, aunque esto no es consecuencia de lo dicho en el párrafo anterior. El teorema 3.5 nos dice quienes son todos los espacios de Hilbert, aunque esto puede resultar en cierta perdida de información. Consideremos L2 (S 1 ,Rm), donde m denota la medida de Lebesgue, con el producto interno hf, gi = S 1 f gd m. Este es un espacio de Hilbert y el teorema de Fejer acierta que {z n : n ∈ Z} es una base de Hilbert de L2 (S 1 ) (también podemos observar esto a partir del teorema de Stone-Weierstrass). Por tanto tenemos un isomorfismo L2 (S 1 ) ∼ = `2 (N). De aquí nace la teoría de las series de Fourier.

CAPÍTULO 3. ESPACIOS DE HILBERT

3.2.

29

El operador adjunto

Sean H y G dos espacios de Hilbert y T ∈ B(H, G). Fijado y ∈ G consideramos el operador x 7→ hT x, yi, este es un operador acotado ya que | hT x, yi | ≤ kT kkxkkyk. Tenemos que fijado y ∈ G, hT x, yi ∈ H ∗ o sea que existe un único z ∈ H tal que hT x, yi = hx, zi (teorema 3.9). Definimos entonces el operador adjunto de T , T ∗ : G −→ H, de forma que ∗ T (y) = z. En particular se verifica la siguiente relación para cualesquiera x ∈ H ey∈G: hT x, yi = hx, T ∗ yi (3.1) Proposición 3.10. T ∗ : G −→ H es lineal y continua. Además se verifica: 1. (T + S)∗ = T ∗ + S ∗ . 2. (αT )∗ = αT ∗ . 3. (T S)∗ = S ∗ T ∗ . 4. (T ∗ )∗ = T . 5. kT k = kT ∗ k. Demostración. Toda la prueba se basa en la ecuación 3.1. Probemos algunas de las propiedades enunciadas anteriormente, por ejemplo, (T ∗ )∗ = T . hx, (T ∗ )∗ yi = hT ∗ x, yi = hy, T ∗ xi = hT y, xi = hx, T yi como la anterior se verifica para todos x, y tenemos que T = (T ∗ )∗ . Probemos ahora que kT ∗ k = kT k. kT ∗ yk2 = | hT ∗ y, T y i | = | hT T ∗ y, yi | ≤ kT kkT ∗ ykkyk Entonces kT ∗ k ≤ kT k, por tanto T ∗ es continua, como además T ∗∗ = T tenemos que kT k ≤ kT ∗ k. Observación. Puede definirse algo similar al operador adjunto entre espacios normados. Dado T ∈ B(X, Y ) con X e Y normados el conjugado de T es T 0 ∈ B(Y ∗ , X ∗ ) dado por T 0 (ϕ)(x) = ϕ◦T (x). Valen muchas de las propiedades enunciadas para el operador adjunto, en particular, como consecuencia de HahnBanach vale que kT k = kT 0 k. En espacios de Hilbert la única relación entre el operador conjugado y el operador adjunto es la conmutatividad del siguiente diagrama: T H 

∗

Θ

G Θ

? H∗ 

T0

? G∗

donde Θ denota la isometría natural entre un espacio de Hilbert y su dual.

CAPÍTULO 3. ESPACIOS DE HILBERT

30

Ejemplo. En Cn notamos por {e1 , . . . , en } la base canónica de Cn y {f1 , . . . , fn } su base dual. Si T es un operador de Cn en si mismo y A es su matriz asociada a la base canónica entonces su traspuesta es la matriz asociada a T 0 en {f1 , . . . , fn } y A traspuesta conjugada es la matriz asociada a T ∗ en {e1 , . . . , en }. Definición 3.2. Un operador entre espacios normados es una isometría si preserva la norma. En espacios de Hilbert las isometrías preservan el producto interno ya que kxk2 + kyk2 + 2 Re hx, yi = kx + yk2 = hT (x + y), T (x + y)i = = kT xk2 + kT yk2 + 2 Re hT x, T yi = kxk2 + kyk2 + 2 Re hT x, T yi Para la parte imaginaria hacemos la cuenta con y 0 = iy. Observación. T ∈ B(H, G) es una isometría sii T ∗ T = Id . Una isometría no es necesariamente sobreyectiva, basta considerar el shift en `2 (N), s(x1 , . . . , xn , . . . ) = (0, x1 , . . . , xn , . . . ), igual se verifica que s∗ s = Id . Definición 3.3. Un operador es unitario si es una isometría sobreyectiva. Proposición 3.11. T ∈ B(H, G) es unitario sii T es invertible y T −1 = T ∗ .

Capítulo 4

Operadores 4.1.

Acotación uniforme

Teorema 4.1 (De acotación uniforme). Sea X un espacio de Frechet y {pα : α ∈ I} una familia de seminormas continuas tales que p(x) = sup pα (x) < ∞ α∈I

Entonces p es una seminorma continua. Observación. Si tenemos una familia de funciones continuas fα : Y −→ R donde Y es una espacio topológico, entonces el mapa f : Y −→ R ∪ {∞} definido por f (x) = sup fα (x) se semicontinuo inferiormente, i.e. {x : f (x) > a} es abierto para todo a ∈ R. La demostración es inmediata. Demostración. Sea An = {x : pα (x) S ≤ n ∀α ∈ I}, es claro que An es cerrado ya que cada pα es continua. Además An = X, por el teorema de Baire obtenemos que algún An tiene interior no vacío, por tanto p está acotada en algún abierto no vacío, entonces p es continua. Veamos dos enunciados que son consecuencia del teorema anterior.La prueba del primero es simple. Teorema 4.2. Sean X de Banach e Y normado y Aα ∈ B(X, Y ) con α ∈ I. Si supα kAα xk < ∞ ∀x ∈ X entonces supα kAα k < ∞. Teorema 4.3. Sean X Banach e Y normado y Aα ∈ B(X, Y ), entonces o bien 1. supα kAα xk = ∞ en un residual de X ó 2. supα kAα k < ∞. Demostración. Sea Vn = {x : supα kAα xk > n}, este conjunto es abierto por una observación hecha anteriormente. Si algún Vn no fuera denso entonces existe

31

CAPÍTULO 4. OPERADORES

32

algún abierto U tal que U ∩ Vn = ∅ por tanto kAα xk ≤ n en U , de aquí concluimos (2). Si todo Vn es denso la intersección es el residual que buscamos y concluimos (1). Ejemplos. ω

1 Sea X un espacio normado y xn −→ x, queremos probar que {xn } está acotada en norma. Consideremos Jxn : X ∗ −→ C, como xn tiende débilmente a x tenemos que Jxn (ϕ) −→ Jx(ϕ) para toda ϕ ∈ X ∗ , por tanto supn |JxN (ϕ)| < ∞ ∀ϕ. Por el teorema de acotación uniforme concluimos que supn kJxn k < ∞ pero kJxn k = kxn k. Corolario 4.4. Sea hN i denso en X ∗ donde X es un espacio de Banach. ω Entonces xn −→ x ⇔ xn está acotada en norma y ϕxn −→ ϕx ∀ϕ ∈ N. 2 Sea x : N −→ C una sucesión P de complejos que verifica lo siguiente: para toda y ∈ `p (1 ≤ p < ∞) xn yn converge. Entonces x ∈ `q donde 1/p + 1/q = 1. Demostración. Observemos primero que la hipótesis implica que ∞ para toda y ∈ `p ya que si y ∈ `p definimos ( 0 si xn yn = 0 y 0 (n) = |xn yn | xn yn yn en otro caso

P

|xn yn | <

P P Como y 0 ∈ `p tenemos que |xn yn | = xn yn0 < ∞. PN Sea ϕN (y) = claro que cada ϕN es un operador lineal y 1 xn yn , es P continuo. Ahora, |ϕN (y)| ≤ |xn yn | < ∞ ∀y, entonces supN |ϕN (y)| < PN ∞, por tanto supN kϕN k < ∞, como kϕN kq = 1 |xn |q obtenemos que x ∈ `q . Nuestro objetivo en lo que sigue es probar el siguiente teorema. Teorema 4.5. Existe un residual G ⊂ C(S 1 ) tal que para toda f ∈ G existe un residual Rf ⊂ S 1 tal que S(n, x) 9 f (x) para todo x ∈ Rf . Informalmente, para casi toda f ∈ C(S 1 ) su serie de Fourier no converge en casi todo punto. Aquí “casi todo” es en un sentido topológico, “casi todo” en el sentido de medida y en el sentido topológico no son equivalentes, hay residuales en el [0, 1] de medida nula. Sea S 1 = {eit : t ∈ [−π, π]}. Ya observamos que {eint : n ∈ Z} es una base de Hilbert de L2 (S 1 , m) donde m denota la media de Lebesgue en [−π, π] normalizada. Dada f ∈ L2 (S 1 ) definimos la reducida n-esima de la serie de Fourier como la proyección de f sobre el espacio generado por {e−n , . . . , en }, o sea, n X

int  int Sn (f, x) = f, e e −n

CAPÍTULO 4. OPERADORES

33

Siempre hay convergencia en L2 de la serie, Carlesson probó además que hay convergencia c.t.p., esto no contradice lo que queremos demostrar. Sale de la definición que Sn (f, x) = f ∗ Dn (x) donde Dn denota el n−ésimo núcleo de Dirichlet definido por Dn (t) =

n X

eint

−n

Para facilitar las siguientes cuentas fijamos x = 0, el resultado no va a depender de esta elección. Z π Z π 1 1 f (t)Dn (−t)dt = f (t)Dn (t)dt Sn (f, 0) = 2π −π 2π −π Consideramos el operador An : C(S 1 ) −→ C definido por An (f ) = Sn (f, 0), por la cuenta de arriba kAn (f )k ≤ kf k∞ kDn k1 , por tanto An es un operador acotado. Se deja como ejercicio verificar que kAn k = kDn k1 −→ ∞. Por una de las versiones del teorema de acotación uniforme tenemos que existe un residual G0 ⊂ C(S 1 ) tal que supn kAn (f )k = ∞ ∀f ∈ G0 . Obtuvimos entonces que para cada punto x ∈ S 1 existe un residual Gx ⊂ C(S 1 ) tal que supn |Sn (f, x)| = ∞ ∀f ∈ Gx . {xn }n∈N en el círculo y el conjunto G = T Consideremos un conjunto denso 1 G , este es un residual de C(S ). Sea f ∈ G, entonces n xn \ {x : sup |Sn (f, x)| = ∞} = {x : Sn (f, x) ≥ k} n

k

Ahora, cada conjunto {x : Sn (f, x) ≥ n} es abierto y es denso porque contiene a {xn }, por tanto para cada f ∈ G hay un residual del círculo Rf tal que supn |Sn (f, x)| = ∞ ∀x ∈ Rf .

4.2.

Aplicación abierta

Decimos que un subconjunto de un espacio topológico es de primera categoría si se puede escribir como union numerable de conjuntos cuyas clausuras tienen interior vacío. Un conjunto es de segunda categoría si no es de primera categoría. Por ejemplo, en un espacio de Banach cualquier subespacio de dimensión de Hamel numerable será de primera categoría ya que los subespacios de dimensión finita son cerrados con interior vacío. Teorema 4.6 (Aplicación abierta). Sea T ∈ B(X, Y ), X de Banach e Y normado. Si T (X) es de segunda categoría en Y entonces T es abierta, sobreyectiva e Y es de Banach. Observación. Si T (B(0, 1)) contiene un abierto, T es abierta.

CAPÍTULO 4. OPERADORES

34

Demostración. Probamos primero que T (B(0, 1)) contiene un entorno del origen. Supongamos que T (B(0, 1)) ⊃ U abierto de Y entonces existe una bola B(T x0 , δ) ⊂ T (B(0, 1)) entonces T (B(−x0 , 1)) ⊃ B(0, δ) ⇒ T (B(0, 1+kx0 k)) ⊃ B(0, δ) entonces T (B(0, 1)) ⊃ B(0, δ/(1 + kx0 k)). Ahora, dado A abierto tomamos B(x0 , r) ⊂ A entonces, como T (B(0, 1)) ⊃ B(0, δ), T (B(0, r)) ⊃ B(0, rδ) ⇒ T (B(x0 , r)) ⊃ B(T x0 , rδ), por tanto T (A) es abierto. Demostración del teorema. Por la observación anterior resta probar que la imagen por T de S alguna bola contiene un abierto. T (X) = T (B(0, n)). Como T (X) es de segunda categoría en Y , T (B(0, n)) tiene interior para algún n o, lo que es lo mismo, T (B(0, 1)) ⊃ B(0, δ). Esto implica que T (B(0, 1/2n )) ⊃ B(0, δ/2n ), llamemos a esta propiedad [Pn ]. Afirmamos que T (B(0, 1)) ⊃ B(0, δ/2). Sea y ∈ B(0, δ/2). Por [P1 ] existe x1 con kx1 k < 1/2 tal que ky−T x1 k < δ/4. Por [P2 ] existe kx2 k < 1/4 tal que ky − T x1 − T x2 k < δ/8. Por inducción construimos {xn } tal que kxn k < 1/2n y ky − T x1 − · · · − T xn k < δ/2n+1 P P Como X es Banach kx xn ∈ X y kxk < 1. P y Pn k < 1 tenemos que x = Además T x = T ( xn ) = T xn = y porque T es continua. Corolario 4.7. T ∈ B(X, Y ) con X e Y Banach. 1. Si T es sobre entonces T es abierta. 2. Si T es biyectiva entonces T −1 es continua. Esto implica que existen constantes c1 y c2 tales que c1 kxk ≤ kT xk ≤ c2 kxk. Un enunciado levemente mas general del teorema de la aplicación abierta es intercambiar X de Banach por X de Frechet e Y por un espacio vectorial topológico.

4.3.

Gráfico cerrado

Sean X e Y espacios normados si dotamos a X × Y de las operaciones obvias y de la norma k(x, y)k = kxk + kyk obtenemos que el producto de espacios normados es normado y es de Banach si y solo si X e Y son de Banach. Definición 4.1. Dado un operador T : X −→ Y definimos el gráfico de T como GT = {(x, T x) : x ∈ X} ⊂ X × Y Es claro que si f : X −→ Y es una función continua entre espacios topológicos Hausdorff entonces su gráfico es cerrado. Para operadores entre espacios de Banach el recíproco es valido.

CAPÍTULO 4. OPERADORES

35

Teorema 4.8 (Gráfico cerrado). Sea T un operador entre espacios de Banach. Entonces T ∈ B(X, Y ) ⇔ GT es cerrado. Demostración. Sean π1 y π2 las proyecciones de X × Y sobre X e Y respectivamente. Como GT es un subespacio cerrado de X × Y , es un espacio de Banach. Ahora, π1 : GT −→ X es un operador continuo y biyectivo, por el teorema de la aplicación abierta el operador x 7→ (x, T x) es continuo, como T = π2 (x, T x) concluimos que T es continuo. Si eliminamos la hipótesis de X Banach hay un contraejemplo para el teorema. Consideremos X = C 1 ([0, 1]) e Y = C([0, 1]) ambos con la norma del supremo. Sea T : X −→ Y el operador derivada, T f = f 0 , y sea (fn , fn0 ) −→ (f, g). Como fn converge uniformemente a f converge en un punto, como además fn0 −→ g tenemos que f 0 = g, por tanto GT es cerrado pero T no es acotado, basta observar que T (sen(nx)) = n cos(nx) ⇒ 1 = k sen(nx)k∞ pero kT (sen(nx))k∞ = n. Observación. El teorema del gráfico cerrado nos dice que al tratar de probar la continuidad de cierto operador alcanza con ver que si xn −→ x y T xn −→ y entonces T x = y. Ejemplo. Ya se vio en el practico que si dotamos a c = {x : N −→ C convergentes} con la topología de `∞ , podemos ver a toda funcional ϕ : c −→ C como un producto de vectores infinitos. O sea, existe un único a ∈ `1 (N) tal que   x1  .  ∞ X
 ..   ϕ(x) = an xn = a1 . . . an . . .   xn    n=1 .. . Además kϕk = kak1 . En (`∞ )∗ hay funcionales que no son multiplicar por un vector infinito, por esto (`∞ )∗ 6= `1 . que para todo x ∈ c, P∞Sea (αij ) una matriz infinita (i, j ∈ N). Supongamos ∞ α x converge a y ∀i ≥ 0 y que y = {y } ∈ ` . Vamos a probar dos i i j=1 ij j cosas: 1. sup i

∞ X

|αij | < ∞

j=1

2. El operador A : c −→ `∞ dado por A(x) = y es lineal y continuo. P∞ Sabemos que ∀x ∈ X, j=1 αij xj converge, de donde deducimos que {αij }j∈N ∈ P∞ `1 , además, por lo dicho anteriormente el funcional ϕi (x) = j=1 αij xj es acotado y kϕi k = k{αij }j∈N k1 . O sea que para todo i ∈ N ∃ki tal que ∞ X j=1

|αij | < ki

CAPÍTULO 4. OPERADORES

36

Para todo x ∈ c |ϕi (x)| ≤ supi |yi | porque y ∈ `∞ , por acotación uniforme deducimos que supi kϕi k < ∞. Esto es lo que queríamos probar. Resta ver la continuidad de A. Para esto usamos el gráfico cerrado (ejercicio). Ejercicio. Sean X, Y espacios de Banach entonces T ∈ B(X, Y ) ⇔ ϕ ◦ T ∈ X ∗ ∀ϕ ∈ Y ∗ ⇔ T : (X, ω) −→ (Y, ω) es continua.

Capítulo 5

Fredholm y operadores compactos Decimos que un operador A : X −→ Y entre espacios vectoriales es de Fredholm si la dimensión del kernel y la dimensión de cokernel son finitas. El cokernel de un operador A se define como el cociente entre Y y el rango de A, coker(A) = Y /Ran(A) . El índice de un operador de Fredholm es ind A = dim ker A − dim coker A. Se verifica que ind AB = ind A + ind B. El objetivo de este capítulo es probar que los operadores de Fredholm de rango cerrado son los elementos invertibles del álgebra de Calkin. Durante todo el capítulo utilizaremos la letra H para denotar un espacio de Hilbert y X e Y denotan espacios de Banach.

5.1.

Operadores compactos

Definición 5.1. Sea T un operador acotado de X a Y . Decimos que T es compacto si T (B) es compacto, donde B denota la bola unidad de X. Cualquier operador acotado de rango finito es obviamente compacto, el recíproco no es necesariamente cierto. Sea α ∈ c0 = {x : N −→ C / xn −→ 0}, consideramos el shift con pesos, s : `2 (N) −→ `2 (N) dado por s(x1 , . . . , xn , . . . ) = (0, α1 x1 , . . . , αn xn , . . . ) Este es un operador compacto de rango no finito, esto se podrá probar mas adelante. Proposición 5.1. Sea T ∈ B(X, Y ). Las siguientes afirmaciones son todas equivalentes. 37

CAPÍTULO 5. FREDHOLM Y OPERADORES COMPACTOS

38

1. T es compacto. 2. T (A) es compacto para todo A acotado de X. 3. Si {xn } es una sucesión acotada en X entonces {T xn } tiene una subsucesión convergente. 4. T lleva acotados en totalmente acotados. La prueba de esta proposición es simple por lo que será omitida. Las propiedades siguientes de los compactos se deducen inmediatamente de 5.1. Propiedades 1. a) T, S compactos, λ ∈ C entonces T + λS es compacto. b) T es compacto y S acotado entonces T S y ST son compactos. c) Si Tn son compactos y Tn −→ T entonces T es compacto. d) Si T ∈ B(H) entonces T es compacto si y solo si es límite de operadores de rango finito. Demostración. Probemos c) y d). Sea {xn } una sucesión acotada. Por un proceso diagonal obtenemos una subsucesión {x0n } tal que Tk (x0n ) es convergente para todo k. Ahora, kT x0n − T x0m k ≤ k(T − Tk )(x0n )k + kTk (x0n − x0m )k + k(T − Tk )x0m k Como {x0n } está acotada podemos hacer todos los términos arbitrariamente pequeños y obtenemos así que {T x0n } es de Cauchy y por tanto convergente. Para probar d), sea {ei }i∈I una base P de ortonormal. Para cada subconjunto finito F ⊂ I consideramos PF (x) = i∈F hx, ei i ei , obviamente PF tiene rango finito. El conjunto D de todos los subconjuntos finitos de I es un conjunto dirigido con el orden F1 ≤ F2 si F1 ⊂ F2 . Para cada x ∈ H la red {PF x} converge puntualmente a x. Supongamos que kPF T − T k no tiende a 0, entonces existe ε > 0 y D 0 ⊂ D tal que para todo F ∈ D 0 existe kxF k = 1 tal que kPF T xF − T xF k ≥ ε. Como T es compacto y kxF k = 1 tenemos que {T xF } tiene una subred convergente, abusando de notación escribimos T xF −→ y. Escribimos entonces ε ≤ kPF T xF − T xF k ≤ kPF T xF − PF yk + kPF y − yk − kT xF − yk −→ 0

Teorema 5.2. T ∈ B(H) es compacto si y solo si T ∗ es compacto. Demostración. Basta probar que si T es de rango finito entonces T ∗ también ya que el mapa ∗ : B(H) −→ B(H) P es continuo. Sea v1 , . . . , vn una base ortonormal del rango de T , o sea, T x = i hT x, vi i vi . Ahora * n + n X X hT x, yi = hT x, vi i vi , y = hT x, vi i hvi , yi = i

i

CAPÍTULO 5. FREDHOLM Y OPERADORES COMPACTOS n X

* ∗

hx, hy, vi i T vi i =

x,

i

n X

39

+ ∗

hy, vi i T vi

i

Pn ∗ ∗∗ Por tanto T ∗ y = = T i hy, vi i T vi , o sea, de rango finito. Como T tenemos probado el recíproco. Teorema 5.3. T es un operador compacto si y solo si T : (B, ω) −→ (H, k k) es continuo, donde B denota la bola unidad en un espacio de Hilbert H. Queda como ejercicio la demostración.

5.2.

Perturbados compactos de la identidad

Cualquier operador invertible es un operador de Fredholm, esto es claro ya que dim ker A = dim coker A = 0. Además si A es invertible y kT k < 1/kA−1 k entonces A − T es invertible. O sea que perturbados suficientemente pequeños de invertibles son invertibles. La pregunta es cuanto podemos perturbar un operador invertible y que continue siendo de Fredholm. De aquí en mas notaremos por B0 (X) a todos los operadores compactos de X en si mísmo e I denota el operador identidad. Teorema 5.4. Sea T ∈ B0 (X), entonces 1. dim ker(T − I) < ∞. 2. Ran(T − I) es cerrado. Demostración. Sea X 0 = ker(T −I), entonces T |X 0 = Id |X 0 . Como X 0 es cerrado es de Banach y, por ser T compacto en B(X), T es compacto en B(X 0 ). Ahora, como T |X 0 = Id |X 0 , Id |X 0 es compacto y por tanto X 0 es de dimensión finita. Como ker(T − I) es de dimensión finita, tenemos un subespacio cerrado M tal que X = ker(T − I) ⊕ M, llamemosle S = (T − I)|M . Así S : M −→ X es continuo e inyectivo, si probamos que la inversa es continua obtenemos que Ran(T − I) = S(M ) es cerrado. Para esto basta ver que existe δ > 0 tal que kSxk ≥ δkxk ∀x ∈ M , si esto no fuera cierto existiría una sucesión {xn } tal que Sxn −→ 0 y kxn k = 1. Como T es compacto T xn es convergente, tomando una subsucesión si es necesario, pongamos T xn −→ y. Ahora, xn = T xn −Sxn −→ y, pero como S es continua Sxn −→ Sy entonces Sy = 0, por tanto y = 0 lo que contradice el hecho de que kxn k = 1. Proposición 5.5. Sea T un operador acotado de H en si mismo, entonces se cumple que: a) (ker T )⊥ = Ran T ∗ . b) (Ran T )⊥ = ker T ∗ .

CAPÍTULO 5. FREDHOLM Y OPERADORES COMPACTOS

40

Demostración. Empecemos por b). y ∈ (Ran T )⊥ ⇔ hT x, yi = 0 ∀x ∈ H ⇔ hx, T ∗ yi = 0 ∀x ∈ H ⇔ T ∗ y = 0 ⇔ y ∈ ker T ∗ . Aplicando b) a T ∗ tenemos que (Ran T ∗ )⊥ = ker T ⇒ Ran T ∗ = (ker T )⊥ . Definición 5.2. Decimos que la sucesión de subespacios de H, {Hn }, se estabiliza si existe n ∈ N tal que Hn = Hn+1 . Observación. Sea A ∈ B(H). Si ker An = ker An+1 entonces 1. ker Am = ker An ∀m ≥ n. 2. A|Ran An es inyectiva. 3. ker An ∩ Ran An = {0} Teorema 5.6. Si T ∈ B0 (X), con X Banach, entonces ker(T −I)n se estabiliza. Demostración. Escribamos A = T − I, supongamos que no se estabiliza, o sea, ker A0

ker A1

···

ker An

··· .

Tomamos, por el lema de Riesz ( 1.10), una sucesión xn+1 ∈ ker An+1 tal que kxn k ≤ 2 y kxn+1 −xk ≥ 1 ∀x ∈ ker An (Si X es de Hilbert se toma simplemente xn+1 ∈ ker An+1 de norma 1 ortogonal a ker An ). Queremos ver que {T xn } no tiene subsucesiones convergentes. Tomamos m < n y calculamos kT xn − T xm k. T xn − T xm = Axn + xn − Axm − xm Como xn ∈ ker An , Axn ∈ ker An−1 . A su vez, xm ∈ ker Am ⇒ Axm ∈ ker Am−1 ker An−1 porque m < n. Además xm ∈ ker Am ker An−1 . Enn−1 tonces T xn − T xm = xn + y con y ∈ ker A por tanto kT xn − T xm k ≥ 1 de donde T no es compacto. Corolario 5.7. Si T ∈ B0 (H) y Ran(T − I) = H entonces ker(T − I) = {0}. Demostración. Si Ran(T − I) = H entonces Ran(T − I)n = H para cualquier n ∈ N, en particular aquel n para el cual ker(T − I)n se estabiliza. Entonces T − I|Ran(T −I)n es inyectiva, pero Ran(T − I)n = H, de aquí obtenemos el resultado. Corolario 5.8. Si T ∈ B0 (H) y ker T − I = {0} entonces Ran(T − I) = H. Demostración. Si ker(T − I) = {0} entonces Ran(T − I)∗ = (ker(T − I))⊥ = H. Como T ∗ es compacto T ∗ − I tiene rango cerrado así que Ran(T ∗ − I) = H, por el corolario anterior {0} = ker(T ∗ − I) = Ran(T − I)⊥ . Corolario 5.9. Si T ∈ B0 (H) entonces {Ran(T − I)m } se estabiliza en el mismo n donde se estabiliza {ker(T − I)m }.

CAPÍTULO 5. FREDHOLM Y OPERADORES COMPACTOS

41

Demostración. Como T es compacto (T − I)n es también un perturbado compacto de la identidad lo cual implica que (T − I)n tiene rango cerrado y por tanto completo. Además T − I|Ran(T −I)n es inyectiva. Como T − I : Ran(T − I)n −→ Ran(T − I)n+1 es inyectiva tenemos que, por el corolario anterior, Ran(T − I|Ran(T −I)n ) = Ran(T −I)n de donde Ran(T −I)n+1 = (T −I)(Ran(T −I)n ) = Ran(T −I)n Corolario 5.10. Sea T ∈ B0 (H) entonces H = Ran(T − I)n ⊕ ker(T − I)n donde n estabiliza ker(T − I)m . Demostración. Escribamos A = T −I para aliviar notación. Por una observación hecha anteriormente resta ver que para todo x ∈ H existen y ∈ Ran An tal que x−y ∈ ker An . Como Ran An se estabiliza en n tenemos que Ran An = Ran A2n , o sea que para todo x ∈ H An x ∈ Ran A2n , esto implica que existe z ∈ H tal que An x = A2n z de donde An (x − An z) = 0 o sea que x − An z ∈ ker An . El siguiente teorema es principal en el desarrollo de la siguiente sección. Teorema 5.11. Sea T un operador compacto de un espacio de Hilbert H en si mismo. Entonces T − I es un operador de Fredholm de rango cerrado e índice 0. Observación. Si H = M ⊕ M ⊥ y A ∈ B(H) es un operador de Fredholm que deja invariantes M y M ⊥ entonces ind A = ind A|M + ind A|M ⊥ . Demostración. Pongamos A = T − I. Se deduce inmediatamente del teorema 5.4 y de la proposición 5.5 que A es de Fredholm. Para calcular el índice descomponemos H en al forma Ran An ⊕ ker An . Sabemos que A|Ran An es biyectiva. Resta ver que ind A|ker An = 0. Para esto razonamos de la siguiente forma. Como A es Fredholm An es Fredholm porque (T − I)n = T 0 − I con T 0 ∈ B0 (H). Luego, ker An tiene dimensión finita y por tanto A|ker An tiene índice 0.

5.3.

El álgebra de Calkin

Sea H un espacio de Hilbert. Consideremos en B(H) la estructura de álgebra de Banach con el producto como composición. Por propiedades enunciadas anteriormente sabemos que B0 (H) es un ideal cerrado de B(H). El cociente B(H)/B0 (H) es también un álgebra de Banach llamada álgebra de Calkin. Denotamos por G al grupo de los invertibles del álgebra de Calkin, y dado A ∈ B(H) notamos [A] = {A + T : T ∈ B0 (H)} su clase de equivalencia en B(H)/B0 (H).

CAPÍTULO 5. FREDHOLM Y OPERADORES COMPACTOS

42

Lema 5.12. Sean X Banach, Y subespacio cerrado y Z subespacio de dimensión finita. Entonces Y + Z es cerrado. Demostración. Basta considerar π : X −→ X/Y ya que π −1 (π(Z)) = Y +Z. Teorema 5.13. A es un operador de Fredholm de rango cerrado si y solo si [A] ∈ G . Demostración. Si [A] ∈ G entonces existe B ∈ B(H) tal que BA = I + T1 y AB = I + T2 con T1 , T2 ∈ B0 (H). Tenemos que probar que dim ker A < ∞, dim coker A < ∞ y que A(H) es cerrado. Ran A = A(H) ⊇ A(B(H)) = Ran AB = Ran(I + T2 ). Como I + T2 es Fredholm su rango tiene codimension finita, por tanto la codimension de Ran A es finita de donde dim coker A < ∞. ker A ⊆ ker BA = ker(I + T1 ) que tiene dimensión finita. Tenemos probado que A, y análogamente B, es de Fredholm, hay que probar que su rango es cerrado. Afirmamos que AB(H) = A(B(H)): Sea y ∈ A(B(H)), luego existe z ∈ B(H) tal que Az = y. Como z ∈ B(H) tomamos xn ∈ B(H) tal que kBxn − zk < 1/n. kABxn − yk ≤ kAkkBxn − zk −→ 0 Como AB es un perturbado compacto de la identidad tenemos que Ran AB es cerrado, por tanto y ∈ Ran AB. Como AB(H) ⊂ A(B(H)) tenemos que AB(H) = A(B(H)). Para ver que A(H) es cerrado escribimos H = B(H) ⊕ B(H)⊥ entonces A(H) = A(B(H)) + A(B(H)⊥ ), por la afirmado A(B(H)) es cerrado y, como B es Fredholm, A(B(H)⊥ ) tiene dimensión finita, por el lema anterior A(H) es cerrado. Veamos ahora la prueba del directo. Sea A un operador de Fredholm de rango cerrado. A|ker A⊥ : ker A⊥ −→ Ran A es biyectivo, como Ran A es cerrado, S, la inversa de A|ker A⊥ , es continua. Tomamos el siguiente operador acotado  Sx si x ∈ Ran A Bx = 0 si x ∈ (Ran A)⊥ Escribimos H = ker A ⊕ (ker A)⊥ entonces dado z escribimos z = x + y donde x ∈ ker A e y ∈ (ker A)⊥ , entonces BAz = BAx + BAy = y o sea que BA = P(ker A)⊥ . Análogamente, escribiendo H = Ran A ⊕ Ran A⊥ tenemos que AB = PRan A . Concluimos entonces que BA = I − Pker A y que AB = I − P(Ran A)⊥ . O sea que [AB] = [I] = [BA] ya que Pker A y PRan A⊥ son compactos por tener rango finito. Probamos entonces que [A] ∈ G, lo que culmina la prueba.

CAPÍTULO 5. FREDHOLM Y OPERADORES COMPACTOS

43

Teorema 5.14. Sea A un operador de Fredholm de rango cerrado e índice n y T un operador compacto. Entonces A + T es un Fredholm de índice n. En otras palabras, el índice es constante en clases de equivalencia. Demostración. Sabemos que [A] = [A + T ] ∈ G. Tomamos entonces B ∈ B(H) tal que [A][B] = [I] ⇒ BA = I + T1 con T1 ∈ B0 (H), como ind(I + T1 ) = 0 tenemos que ind B + ind A = 0, pero [B][A + T ] = [I] de donde ind B + ind(A + T ) = 0. Teorema 5.15. El mapa ind es continuo, es decir, si A es un Fredholm de índice n entonces existe ε > 0 tal que si kA0 k < ε entonces A + A0 tiene índice n. Demostración. Sea B ∈ B(H) tal que BA = I + T con T ∈ B0 (H). Ahora, B(A + A0 ) = BA + BA0 = (I + BA0 ) + T . Tomando ε < 1/kBk y A0 tal que kA0 k < ε tenemos que kI − (I + BA0 )k ≤ kBkkA0 k < 1 por tanto I +BA0 es invertible por tanto 0 = ind(I +BA0 +T ) = ind B +ind(A+ A0 ). Pero también tenemos que 0 = ind B + ind A porque [A][B] = [I]. Como corolario tenemos que el mapa ind : G −→ Z es un homomorfismo de grupos continuo y sobreyectivo, para ver la sobreyectividad basta tomar una base de Hilbert y considerar e shift en un subconjunto numerable de esa base dejando el resto de as coordenadas fijas. Notemos por G0 a la componente conexa de [I]. Asumiendo que GL(H) = { invertibles de B(H)} es conexo se puede probar que ker ind = G0 de donde se deduce que G / G0 ∼ =Z

Capítulo 6

Teorema Espectral Si H es un espacio de Hilbert sobre C vale el siguiente teorema que es falso en espacios sore R. Teorema 6.1. Sea T ∈ B(H), H sobre C. Entonces hT x, xi = 0 ∀x ∈ H ⇔ T = 0. Demostración. hT (x + y), x + yi = hT x, yi+hT y, xi = 0 para cualquier elección de x, y ∈ H, en particular vale para iy, o sea, −i hT x, yi+i hT y, xi = 0, entonces −2i hT x, yi = −i(hT x, yi + hT y, xi) − i hT x, yi + i hT y, xi = 0 ∀x, y ∈ H de donde T = 0.

6.1.

Operadores normales y autoadjuntos

Definición 6.1. Un operador T ∈ B(H) se dice normal si conmuta con su adjunta, o sea, T ∗ T = T T ∗ . Un operador acotado se dice autoadjunto si T = T ∗ . Consideremos, para T ∈ B(H), el conjunto σ(T ) = {λ ∈ C : T − λI no es invertible} Este conjunto se llama el espectro de T . Que un operador sea no invertible no implica que este no sea inyectivo, consideramos entonces el siguiente conjunto σp (T ) = {λ ∈ C : ker(T − λI) 6= {0}} éste se denomina espectro puntual de T. Obviamente σp (T ) ⊂ σ(T ). Si λ ∈ σp (T ) decimos que λ es un autovalor de T y si x 6= 0 es tal que x ∈ ker(T −λI) decimos que x es un autovector asociado a λ. Observación. Sea T un operador compacto. Si λ 6= 0 entonces T − λI es un operador de Fredholm porque escribimos λ(T /λ−I). O sea que si λ 6= 0 entonces dim ker T − λI < ∞. 44

CAPÍTULO 6. TEOREMA ESPECTRAL

45

Veremos mas adelante que el shift en `2 (Z), s(en ) = en+1 , no pose espectro puntual, pero σ(s) = S 1 . Sin embargo, los operadores compactos se comportan de forma mas agradable con su espectro. Si T ∈ B0 (H) entonces σ(T ) ⊂ σp (T )∪ {0} ya que si 0 6= λ ∈ σ(T ) − σp (T ) tenemos que T − λI es un operador de Fredholm de rango cerrado e índice 0. Como λ ∈ / σp (T ) tenemos que dim ker T − λI = 0 de donde dim coker T − λI = 0. Por tanto T − λI es sobreyectiva, esto contradice el hecho de que λ ∈ σ(T ). Proposición 6.2. Sea T un operador acotado. 1. T es normal entonces kT xk = kT ∗ xk ∀x ∈ H. El recíproco es cierto si H es sobre C. 2. Si T es normal y λ ∈ σp (T ) entonces λ ∈ σp (T ∗ ). 3. Si T es normal, λ, µ ∈ σp (T ), λ 6= µ, entonces ker(T − λ) ⊥ ker(T − µI). Demostración. Si kT xk = kT ∗ xk para todo x ∈ H entonces hT x, T xi = hx, T ∗ T xi. Ahora, hT ∗ x, T ∗ xi = hx, T T ∗ xi, de donde hx, T ∗ T xi = hx, T T ∗ xi ∀x ∈ H Por el teorema 6.1 tenemos que T T ∗ = T ∗ T. Probemos 3). Sean x ∈ ker T − λI e y ∈ ker T − µI. λ hx, yi = hλx, yi = hT x, yi = hx, T ∗ yi = hx, µyi = µ hx, yi Como λ 6= µ, hx, yi = 0. Observación. A ∈ B(H) es autoadjunta entonces hAx, xi ∈ R ∀x ∈ H. El recíproco vale si H es sobre C. Demostración. El directo es claro ya que hAx, xi = hx, Axi. Para el recíproco utilizamos el teorema 6.1. Proposición 6.3. Sea A un operador autoadjunto. 1. Si ∀x ∈ H vale que | hAx, xi | ≤ kxk2 entonces kAk ≤ 1. 2. supkxk=1 | hAx, xi | = kAk. Demostración. Consideramos kxk = kyk = 1. hA(x + y), x + yi ≤ kx + yk2 − hA(x − y), x − yi ≤ kx − yk2 Sumando y aplicando la ley del paralelogramo obtenemos que 4 Re hAx, yi ≤ kx + yk2 + kx − yk2 ≤ 2(kxk2 + kyk2 ) = 4

CAPÍTULO 6. TEOREMA ESPECTRAL

46

O sea que Re hAx, yi ≤ 1. Como esto vale para cualquier par kxk = kyk = 1 tenemos que | hAx, yi | ≤ 1 ∀x, y de norma 1, de donde kAk ≤ 1. Escribimos α = supkxk=1 | hAx, xi |. Para cualquier x ∈ H consideramos   A x , x ≤ α ⇒ |h(A/α)x, xi| ≤ kxk2 . kxk kxk Aplicando la parte anterior tenemos que kA/αk ≤ 1 de donde kAk ≤ α. Proposición 6.4. Sea A un operador compacto y autoadjunto. Entonces existe λ ∈ σp (T ) tal que |λ| = kAk. Demostración. Como A es compacto tenemos que A : (B, ω) −→ (H, k k) es continuo, donde B denota la bola unitaria de H. El mapa x 7→ hAx, xi ∈ R de la bola con la topología débil a R es continuo. Por Banach-Alaoglu B es ω-compacto de donde existe x0 ∈ B tal que kAk = | hAx0 , x0 i | ≤ kAkkx0 k2 ≤ kAk Entonces la desigualdad de Schwartz para | hAx0 , x0 i | es una igualdad, por tanto Ax0 = λx0 . Es inmediato, a partir de ahora, que |λ| = kAk. Observación. La proposición anterior es válida para operadores compactos y normales admitiendo que H sea un C-espacio vectorial. Lema 6.5. Sean ε > 0 y T un operador compacto. Entonces {λ ∈ C : |λ| > ε} ∩ σp (T ) es finito. Demostración. De no ser así consideramos un conjunto ortonormal {en } de autovectores asociados a autovalores diferentes de módulo mayor que ε. La sucesión {T en } = {λn en } no tiene subsucesiones convergentes ya que, por el teorema de Pitágoras kT en − T em k2 = kλn en − λm em k2 = |λn |2 + |λm |2 ≥ 2ε. Un corolario inmediato de este lema es que si T es un operador compacto entonces σp (T ) es numerable, y, si es infinito, acumula en 0.

6.2.

Teorema Espectral

Definición 6.2. Sea Hn una sucesión de subespacios cerrados en H ortogonales 2 a 2. Definimos la suma directa como D[ E M Hn = Hn n∈N

P P Lema 6.6. Hn = {x ∈ H : x = xn con xn ∈ Hn y kxn k2 < ∞}. P Además PHn converge puntualmente a P⊕Hn . L

CAPÍTULO 6. TEOREMA ESPECTRAL

47

Observación. Sea T un operador normal y compacto y sea M H0 = ker(T − λn I) λn ∈σp (T )−{0}

entonces T H 0 ⊂ H 0 y T ∗ H 0 ⊂ H 0 . Demostración. ker T − λI es T −invariante si λ ∈ σp (T ). Además ker T − λI = ker T ∗ − λI que es T ∗ invariante. Teorema 6.7 (Espectral). Sea T un operador compacto y autoadjunto de un espacio de Hilbert H en si mismo. Sea M H0 = ker(T − λn I) λn ∈σp (T )−{0}

Entonces H = ker T ⊕ H 0 y X

T =

λn Pn

λn ∈σp (T )

donde Pn es la proyección ortogonal sobre ker(T − λn I), la suma denota convergencia en norma. Demostración. Por la observación anterior T H 0 ⊂ H 0 y T ∗ H 0 ⊂ H 0 , entonces T H 0⊥ ⊂ H 0⊥ y T ∗ H 0⊥ ⊂ H 0⊥ . Además T |H 0⊥ es autoadjunta, si H 0⊥ 6= ker T entonces existiría una autovalor de T |H 0⊥ de norma no nula, esto es absurdo. P Sea kxk = 1 entonces x = x0 + λn xn entonces kT x −

N X

n≥N +1

xn con xn ∈ ker T − λn I entonces T x =

λn Pn xk2 = k

n=1

m´ ax {|λn |}

P

∞ X N +1

∞ X

λn xn k ≤

N +1

kxn k2 ≤ m´ax {|λn |} −→ 0 n≥N +1

Observación. Si H es sobre C el teorema espectral es válido para operadores compactos y normales. Ejemplo. Consideremos en `2 (Z) el shift dado por s(en ) = en+1 , no es compacto porque es invertible pero es normal, su adjunta es su inversa s∗ (en ) = en−1 . Supongamos que s x = λx entonces xn = λxn+1 , entonces x0 = λx1 = λn xn entonces xn = x0 /λn . Si |λ| > 1 entonces xn −→ ∞ si n −→ −∞ por tanto x∈ / `2 (Z). Si |λ| < 1P también concluimos un absurdo pues xn −→ ∞ si n −→ ∞. P Si |λ| = 1 entonces kxn k2 = kx0 k2 = ∞ de donde x ∈ / `2 (Z). Esto prueba

CAPÍTULO 6. TEOREMA ESPECTRAL

48

que σp (s) = ∅. Vamos a probar ahora que σ(s) = S 1 = {z ∈ C : |z| = 1}. Supongamos que |λ| > 1, entonces k s /λk < 1 entonces s /λ − I es invertible, de donde s −λI es invertible ⇒ λ 6∈ σ(s). Si |λ| < 1 entonces kλIk < 1 = 1/k s−1 k entonces s −λI es invertible y por tanto λ 6∈ σ(s). Concluimos que σ(s) ⊂ S 1 . Sea |λ| = 1. Queremos ver que s −λI no es sobreyectiva. Sea y ∈ Ran(s −λI), entonces yn = xn−1 − λxn , entonces xn−1 = yn + λxn . O sea, x0 = λx1 + y1 , x1 = λx2 + y2 ⇒ x0 = y1 + λy2 + λ2 x2 . En general xn = λ−n x0 +

n X

λi−n−1 yi

i=1

Consideremos la sucesión yn = λ1−n /n con y0 = 0, como |λ| = 1{yn } ∈ ` (Z). Si {yn } ∈ Ran(s −λI) entonces 2

xn = λ−n x0 + λ−n

n X 1 i=1

i

−→ ∞

concluimos entonces que {yn } ∈ / Ran(s −λI), y por lo tanto λ ∈ σ(s). Podemos usar esto para demostrar que [s] 6= [I] en el álgebra de Calkin. s −I es un operador normal, porque s lo es. Si [s] = [I] entonces s −I es un operador compacto. Ahora, s −I − λI = s −(1 + λ)I, deducimos entonces que λ ∈ σp (s −I) ⇔ λ + 1 ∈ σp (s) = ∅, esto contradice el teorema espectral ya que supusimos que s −I era compacto.

Capítulo 7

Teorema de Lomonosov 7.1.

Teorema de Schauder

Sea B ⊂ Rn la bola unidad cerrada. El teorema de Brouwer afirma que cualquier aplicación continua f : B −→ B tiene un punto fijo. La prueba de este teorema se basa en herramientas de topología diferencial por lo que la omitiremos. Este teorema tiene una generalización inmediata que es la siguiente. Corolario 7.1. Sea E ⊂ Rn un conjunto compacto convexo y f : E −→ E una función continua, entonces f tiene un punto fijo. Demostración. Sea B una bola cerrada de Rn que contiene a E. Dado x ∈ B existe y ∈ E tal que d(x, y) = d(x, E), como E es convexo este y es el único que verifica esta propiedad. Extendemos f a todo B de la siguiente forma: para x ∈ B tomamos y ∈ E a menor distancia de x y definimos f (x) = f (y). Tenemos entonces que f : B −→ E ⊂ B es continua, por el teorema de Brouwer hay un punto fijo x = f (x), pero f (B) ⊂ E por tanto x ∈ E y es un punto fijo de f : E −→ E. Schauder generaliza este resultado a espacios de Banach con un leve cambio en las hipótesis. Necesitamos de un lema que nos permitirá pasar del problema en dimensión infinita a uno de dimensión finita para aplicar el corolario anterior. Sea K ε > 0 fijo definimos B(ai , ε) y por

un subconjunto de un espacio de Banach X. SnSupongamos que para existe A = {a1 , . . . , an } ⊂ X tal que K ⊂ 1 B(ai , ε). Para x ∈ X mai (x) = m´ ax{0, ε − kx − ai k}. Obviamente mai es nula fuera de si x ∈ K existe j tal que maj (x) 6= 0. Definimos φA : K −→ X dada P ma (x)ai φA (x) = P i mai (x)

Vale observar que φA (x) es una combinación convexa de {a1 , . . . , an }. Lema 7.2. φA : K −→ X es una función continua y kφA (x) − xk < ε. 49

CAPÍTULO 7. TEOREMA DE LOMONOSOV

50

La prueba de este el lema es simple y queda como ejercicio. Teorema 7.3 (Schauder). Sea E un subconjunto convexo cerrado y acotado de un espacio de Banach X. Sea f : E −→ E una función continua tal que f (E) es compacto, entonces f tiene un punto fijo. Demostración. Sea K = f (E). Para cada n tomamos An ⊂ K finito tal que S K ⊂ a∈An B(a, 1/n). Tomamos φAn como en el lema anterior. Como φAn es una combinación convexa de los elementos de An tenemos que φAn (K) ⊂ E. Sea fn = φAn ◦ f : E −→ E, del lema deducimos que kfn (x) − f (x)k < 1/n ∀x ∈ E

(7.1)

Tomamos Xn = hAn i y En = E ∩Xn , entonces En es compacto y convexo y fn : En −→ En es continua. Como Xn es de dimensión finita, aplicando el corolario existe xn ∈ En tal que fn (xn ) = xn . Es fácil ver que la sucesión {f (xn )} ⊂ K tiene una subsucesión convergente a un punto de K por ser compacto, digamos f (xnk ) −→ x0 , entonces, por la ecuación 7.1 tenemos kxnk − x0 k ≤ kfnk (xnk ) − f (xnk )k + kf (xnk ) − x0 k −→ 0 Luego, como f es continua f (xnk ) −→ f (x0 ) pero f (xnk ) −→ x0 de donde f (x0 ) = x0 . Teorema 7.4 (Markov-Kakutani). Sea X un espacio normado y K ⊂ X compacto y convexo. Sea {Ai }i∈I una familia de mapas continuos afines de K en K que conmutan dos a dos. Entonces existe x ∈ K tal que Ai x = x ∀i ∈ I. La demostración queda como ejercicio.

7.2.

Subespacios invariantes

Sea A un operador acotado no escalar (A 6= λI) de un espacio de Banach X en si mismo. El problema que discutiremos en esta sección es la existencia de subespacios cerrados invariantes no triviales para A. La respuesta a esta pregunta en espacios de Banach es negativa como mostró Read en 1984 con un contraejemplo. En espacios de Hilbert tomamos x0 tal que Ax0 6= 0, el subespacio h{An x0 : n ≥ 0}i es cerrado e invariante, si H es no separable esta es una solución. Para espacios de Hilbert de dimensión numerable el problema continua abierto. Otras condiciones que implican la existencia de subespacios cerrados invariantes no triviales son las siguientes: σp (A) 6= ∅. En efecto, ker A − λI es invariante distinto de H. Si H es de dimensión finita sobre C entonces σp (A) 6= ∅. Si Ran A no es denso entonces RanA es invariante no trivial.

CAPÍTULO 7. TEOREMA DE LOMONOSOV

51

El problema se torna mas interesante al notar que aquellos operadores con espectro puntual distinto del vació forman un conjunto denso en B(H). Un subespacio cerrado M no trivial es hiperinvariante para A ∈ B(X) si es invariante para cualquier operador acotado que conmuta con A. Definición 7.1. Una subálgebra A de B(H) es irreducible si no existe subespacio cerrado invariante no trivial para todo A de A . Si λ ∈ σp (A) entonces ker(A − λI) es un subespacio invariante para la subálgebra A = {A0 ∈ B(H) : A0 A = AA0 }, o sea, ker(A − λI) es hiperinvariante para A. Lema 7.5. Sea A una subálgebra irreducible que contiene un compacto no nulo T . Entonces existe B ∈ A compacto tal que 1 ∈ σp (B). Demostración. Podemos suponer que kT k = 1. Sea x0 tal que kx0 k > 1 y kT x0 k > 1, entonces 0 ∈ / Q = T (B(x0 , 1)), Snademás Q es compacto. Afirmamos que existen A1 , . . . , An ∈ A tal que Q ⊂ 1 A−1 i (B(x0 , 1)). Para cada y ∈ H Hy = {Ay : A ∈ A } es un subespacio invariante para todo elemento de A , por ser A una subálgebra. Hy 6= {0} ya que de no ser así el subespacio unidimensional generado por y sería invariante para todo A ∈ A . Esto no es posible por ser A irreducible. Por el mismo argumento deducimos que Hy es denso en X. Entonces para todo y ∈ Q existe A ∈ A tal que kAy − x0 k < 1, o sea, Ay ∈ B(x0 , 1) entoncesSy ∈ A−1 (B(x0 , 1)). Como Q es compacto existen n A1 , . . . , An ∈ A tal que Q ⊂ 1 A−1 i (B(x0 , 1)) como habíamos afirmado. Sean m(t) = m´ ax{0, 1 − t} y φ(x) =

n X m(kAj x − x0 k) P Aj x m(kAj x − x0 k) j=1

entonces φ(Q) ⊂ B(x0 , 1). Componemos con T , entonces φT : B(x0 , 1) −→ B(x0 , 1), además φT (B(x0 , 1)) es compacto porque T es compacto y φ es continua. Aplicamos el teorema de Schauder y obtenemos un punto fijo z = φT z. El problema es que φT no es lineal, para esto consideramos Bx =

n X m(kAj T z − x0 k) P Aj T x m(kAj T z − x0 ) j=1

entonces B ∈ A porque es combinación lineal de Aj T y, por la misma razón, B es compacto. Además Bz = φT z = z, de donde 1 ∈ σp (B). Teorema 7.6 (Lomonosov). Sea X un espacio de Banach y A ∈ B(X) un operador no escalar. Si A conmuta con un operador compacto entonces A tiene un subespacio cerrado hiperinvariante no trivial.

CAPÍTULO 7. TEOREMA DE LOMONOSOV

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Demostración. Sea A = {A0 ∈ B(X) : AA0 = A0 A} la subálgebra de los operadores que conmutan con A. Por hipótesis contiene un compacto. Si fuera irreducible aplicamos el lema y obtenemos que existe B ∈ A compacto tal que 1 ∈ σp (B). ker B − I es A invariante porque BA = AB, como B es compacto B − I es Fredholm entonces dim ker B − I < ∞, por tanto A| ker(B − I) tiene un autovalor λ. ker(A − λI) es un subespacio hiperinvariante no trivial.

Apéndice A

Teorema de von-Neumann Sea G un semigrupo (i.e. hay un producto · : G × G −→ G asociativo) definimos `∞ (G, R) = {x : G −→ R : |x(g)| acotado}. Básicamente es poner en G la medida del conteo. Una media invariante a izquierda en G es una funcional lineal m : `∞ (G, R) −→ R que verifica: m es no negativa, o sea, m(f ) ≥ 0 si f ≥ 0. m(ft ) = m(f ) donde ft (s) = f (ts) ∀f ∈ `∞ (G, R) t, s ∈ G. m(1) = 1 donde 1 es la función constante 1. Se deduce inmediatamente de las propiedades que m(´ınf f ) ≤ m(f ) ≤ m(sup f ) de donde m es un funcional acotado y kmk = 1 porque m(1) = 1. Definición A.1. Si un semigrupo G admite un media invariante a izquierda decimos que G es promediable. En un grupo una media invariante a izquierda induce una media invariante a derecha: basta poner m∗ (f ) = m(f ∗ ) donde f ∗ (s) = f (s−1 ). Teorema A.1 (von-Neumann). Todo grupo abeliano es promediable. Demostración. Sea X = `∞ (G, R). El conjunto B = {ϕ ∈ X ∗ : ϕ(1) = 1, kϕk ≤ 1} = {ϕ ∈ X ∗ : ϕ(1) = 1, ϕ ≥ 0} es ω ∗ -compacto y convexo. Para cada t ∈ G definimos At (ϕ)(f ) = ϕ(ft ). Claramente At es lineal y ω ∗ -continua. Por ser G abeliano At As = Ast = Ats = As At , o sea, las At conmutan. Además At (B) ⊂ B, aplicando el teorema de MarkovKakutani ( 7.4) tenemos que hay un punto fijo m ∈ B para toda At . m es la media invariante a izquierda que buscamos.

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Índice alfabético absorbente, 7 acotado, 12 algebra, 22 de Banach, 22 de Calkin, 41 irreducible, 51 anulador, 22 autovalor, 44 autovector, 44 base algebraica, 2 de Hamel, 2 de Hilbert, 27 cokernel, 37 convexo, 7 envolvente, 7 local, 11 desigualdad de Bessel, 25 desigualdad de Schwartz, 24 dual, 10 algebraico, 3 equilibrado, 12 espacio de Banach, 3 de Frechet, 10 Hilbert, 24 vectorial, 2 vectorial normado, 3 vectorial topológico, 10 espectro, 44 espectro puntual, 44 estabiliza, 40 extremal, 20

funcional de Minkowski, 8 sublineal, 7 hiperinvariante, 51 hiperplano, 9 indice, 37 interior algebraico, 7 isometría, 5, 30 isomorfismo, 5 lema Riesz, 6 media invariante a izquierda, 53 medida ergódica, 22 invariante, 19 metrizable, 10 norma, 3 operador, 4 acotado, 4 adjunto, 29 autoadjunto, 44 compacto, 37 conjugado, 29 de Fredholm, 37 normal, 44 ortogonal, 25 ortonormal, 25 primera categoría, 33 producto interno, 24 promediable, 53

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ÍNDICE ALFABÉTICO

semiespacio, 9 Teorema acotación uniforme, 31 aplicación abierta, 33 Banach-Alaoglu, 17 Birkhoff-Kakutani, 11 espectral, 47 Hahn-Banach, 8, 9 Kolmogorov, 13 Krein-Milman, 21 Lomonosov, 51 Markov-Kakutani, 50 representación de Riesz, 28 Riesz, 18 Schauder, 50 Stone-Weierstrass, 23 von-Neumann, 53 topología débil, 17 débil estrella, 17 vectorial, 10 unitario, 30

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