GUÍAS DE TRABAJOS PRÁCTICOS

ANÁLISIS MATEMÁTICO II 61.03- 81.01

1er. CUATRIMESTRE 2016 Profesora Responsable: María Inés Troparevsky

La elaboración de las guías de trabajos prácticos fue realizada por María Inés Troparevsky, Eduardo Zitto y Silvia Gigola.

Bibliografía Mardsen, J. & Tromba, A. J., Cálculo Vectorial. Ed. Addison-Wesley, 1998. Apostol, Tom M. , Calculus, vol II, Reverté, 2010. Pita Ruiz, Claudio, Cálculo vectorial , Prentice-Hall Hispanoamericana, 1995. Apostol, T. M. (2001), Análisis Matemático , Reverté Courant, J., Introducción al cálculo y al análisis matemático 2, Limusa, 1994. Penney, E., Cálculo y geometría analítica, Prentice-Hall Hispanoamericana, 1994. Santaló. L. A., Vectores y tensores con sus aplicaciones. Eudeba, 1993. Spiegel, M., Cálculo Superior. Mc-Graw Hill, 1991.

Bibliografía complementaria Ecuaciones Diferenciales Kreider, D., Kuller y Ostberg, D., Ecuaciones Diferenciales, Fondo Educativo Interamericano, 1973. Zill, D. G., Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones, Grupo Editorial Iberoamericana, 2007. Blanchard P., Devaney R., Hall G., Ecuaciones Diferenciales, Editorial Thomson, 1999.

Gu´ıa I: Geometr´ıa del plano y del espacio 1.

Repaso - Rectas y planos

1. Hallar, en cada caso, la ecuaci´on cartesiana de un plano que satisfaga las condiciones dadas. Analizar si esas condiciones determinan el plano un´ıvocamente. Graficar. a) es paralelo al plano x = 0 y contiene el punto P = (1, 2, −3); b) es perpendicular al eje z y pasa por el punto P = (1, −1, 2); c) pasa por (1, 1, 0), (0, 2, 1) y (3, 2, −1); d ) pasa por (2, 0, 1) y es perpendicular a la recta que pasa por (1, 1, 0) y (4, −1, −2); e) contiene a la intersecci´on de los planos de ecuaciones x+y −2 z = 0 y 2 x−y +z = 2. f ) es perpendicular al plano de ecuaci´on 2 x + 3 y + 4 z = 5. 2. Hallar, en cada caso, las ecuaciones cartesianas de una recta que satisfaga las condiciones dadas. Analizar si esas condiciones determinan la recta un´ıvocamente. Graficar a) pasa por el origen y es paralela a la recta dada por las ecuaciones x + 2 y − z = 2, 2 x − y + 4 z = 5; b) es perpendicular al plano de ecuaci´on 2x − 3y + 3z = 5 y pasa por el punto P = (1, 1, −1); c) est´a contenida en el plano de ecuaci´on y = 1 y pasa por el punto P = (−1, 1, 3); d ) est´a contenida en el plano de ecuaci´on x = 2 y pasa por los puntos P1 = (2, 1, 3) y P2 = (2, −1, 1); e) pasa por (1, 2, −1) y forma con los tres semiejes positivos a´ngulos iguales entre s´ı; f ) est´a contenida en la intersecci´on de los planos de ecuaciones y −x = 0 y z = 4−x−y. 3. En los siguientes casos, hallar k de manera que exista m´as de un plano que pase por p1 , p2 y p3 . Analizar una condici´on aplicable en general. a) p1 = (1, 0, 0), p2 = (0, 1, 0), p3 = (2, −1, k); b) p1 = (1, 1, 0), p2 = (1, −1, 1), p3 = (1, −3, k). 4.

a) Expresar 3 ˘i + ˘j en la forma ~u + ~v , con ~u paralelo a ˘i + ˘j y ~v perpendicular a ~u. b) Escribir la ecuaci´on vectorial del segmento de recta 2x − 3y = 2, en R2 , entre los puntos P1 = (4, 2) y P2 = (1, 0). 1

c) Describir el conjunto de vectores en el espacio que resultan perpendiculares al vector ~v = (1, −2, 1). ¿Qu´e representa? ~ = (1, −2, 1) y B ~ = (1, 2, −2), describir el conjunto de vectores P~ = (x, y, z) d ) Dados A ~ = P~ · B. ~ ¿Qu´e representa? que satisfacen P~ · A 5. Calcular las siguientes distancias: a) del origen al plano de ecuaci´on x + 2 y + 3 z = 4; b) del punto (1, 2, 0) al plano de ecuaci´on 3 x − 4 y − 5 z = 2; c) del origen a la recta de ecuaciones x + y + z = 0, 2 x − y − 5 z = 1; d ) de la recta de ecuaciones x−2 = (y+3)/2 = (z−1)/4 al plano de ecuaci´on 2 y−z = 1. 6. Dados los vectores ~u = 2 ˘i + ˘j − 2 k˘ y ~v = 2 ˘i − 2 ˘j − k˘ hallar: a) el a´ngulo entre ~u y ~v ; b) |~u|; c) 3 ~u − 2 ~v ; d ) un vector unitario paralelo a ~u; e) la proyecci´on de ~u sobre ~v . 7. Resolver cada uno de los siguientes problemas: a) Hallar los valores de k para los que los puntos (1, 1, −1), (0, 3, −2), (−2, 1, 0) y (k, 0, 2) son coplanares; determinar en esos casos una ecuaci´on del plano que los contiene. b) Hallar el ´area del paralelogramo dos de cuyos lados son los segmentos que unen el origen con (1, 0, 1) y (0, 2, 1). c) Probar que el tri´angulo de v´ertices A = (1, −1, 2), tiene un a´ngulo recto.

B = (3, 3, 8) y C = (2, 0, 1)

8. Sean v, w dos vectores distintos en R3 , con extremos P, Q respectivamente. a) Mostrar que el punto medio del segmento de extremos P, Q es el extremo del vector v+w v+w (es decir que el extremo del vector equidista de P y de Q). Ilustrar. 2 2 b) Mostrar que los puntos del segmento de extremos P, Q son los extremos de los vectores de la forma v + t(w − v), 0 < t < 1 y entonces la distancia de cada uno de ellos a P es tkw − vk. Interpretar gr´aficamente. 2

2.

Coordenadas cartesianas

9. Describir mediante un gr´afico las regiones planas dadas por: (a) {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 2}

(b) {(x, y) ∈ R2 : x ≤ y}

(c) {(x, y) ∈ R2 : x + y ≤ 1}

(d) {(x, y) ∈ R2 : 2x − 3y = 0, −1 < x < 1}

(e) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≥ 1, x ≥ 0}

(f) {(x, y) ∈ R2 :

(g) {(x, y) ∈ R2 : x2 + 4y 2 < 9, x ≥ 2}

x2 4

+

y2 9

= 1}

(h) {(x, y) ∈ R2 : x2 − 2x + y 2 /4 − y ≤ 16}

(i) {(x, y) ∈ R2 : x2 − y = 0}

(j) {(x, y) ∈ R2 : 2x2 − x + y ≤ 1}

(k) {(x, y) ∈ R2 : x − y 2 > 1}

(l) {(x, y) ∈ R2 : 2x + y 2 − y ≤ 1}

(m) {(x, y) ∈ R2 : x2 − y 2 = 1}

(n) {(x, y) ∈ R2 : xy ≥ 1}

(˜ n) {(x, y) ∈ R2 : y 2 − 4x2 < 1}

(o){(x, y) ∈ R2 : xy > −1, x + y ≥ 0}

(p) {(x, y) ∈ R2 : x ≤ e−y }

(q) {(x, y) ∈ R2 : sen(x) < 1/2}

(r) {(x, y) ∈ R2 : y < ln(x)}

(s) {(x, y) ∈ R2 : y = cosh(x)}

10. Describir mediante inecuaciones en coordenadas cartesianas las siguientes regiones planas: a) Interior del c´ırculo centrado en (0, 0) y de radio 2. b) Cuadrado de lado 1 con ejes paralelos a los ejes coordenados y v´ertice inferior izquierdo en (1, 1). c) Puntos por encima de la par´abola de ecuaci´on y = 2 x2 . d ) Puntos interiores a la elipse centrada en (0, 0), de semiejes de longitud 2 y 4, paralelos a los ejes coordenados. 11. Describir mediante inecuaciones el interior y la frontera de los conjuntos dados por:

3

(a) {(x, y) ∈ R2 : 0 < x2 + y 2 < 1}

(b) {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y < 0}

(c) {(x, y) ∈ R2 : 0 < |x| + |y| ≤ 1}

(d) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1}

(e) {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z ≥ 0}

(f) {(x, y, z) ∈ R3 : 1 ≤ x2 + y 2 + z 2 ≤ 5}

(g) {(x, y, z) ∈ R3 : z > x2 + y 2 }

(h) {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + z 2 ≤ 1}

12. Hallar, cuando sea posible, un punto exterior, un punto frontera y un punto interior a los siguientes conjuntos de R2 . Determinar cu´ales son compactos y cu´ales son arco-conexos. a) x + y > 2, b) x2 + y 2 ≤ 4, c) y − 2x2 ≥ 2, d ) 2x + 3y = 1 ¿Cu´ales son todos los puntos frontera? e) 2 < x < 3, y 2 < 1, f ) (x − 2y)(y − x2 ) = 0, g) xy < 0. 13. Describir mediante ecuaciones y/o inecuaciones conjuntos planos A que satisfagan: a) todo punto sea punto frontera; b) todo punto sea punto aislado; c) A − A0 = {(0, 0)}, donde A0 es el interior de A; d ) A es cerrado y su interior es {(x, y) : x2 + y 2 < 1}; e) A es no acotado y su frontera es {(x, y) : |x| + |y| = 1}.

3.

Coordenadas polares

14. Trazar aproximadamente en el plano xy, las siguientes curvas descriptas en coordenadas polares. Cuando no est´e indicado, observar qu´e dominio debe considerarse para la variable θ. Determinar cu´ales se corresponden con los gr´aficos que aparecen a continuaci´on.

4

(a) r = constante,

(b) θ = constante

(c) r = θ

(d) r = 2, 0 ≤ θ < π/2

(e) 1 ≤ r ≤ 2, θ = π/6

(f) r = cos(θ), 0 ≤ θ < π/2

(h) r = 4 cos(θ), θ ∈ [0, π/2] ∪ [3π/2, 2π)

√ (i) r = 2 cos(θ) + 2 3 sen(θ)

(g) cos(θ) =

4 r

15. Describir mediante inecuaciones en coordenadas cartesianas las siguientes regiones planas descriptas en coordenadas polares. (a) π/6 ≤ θ ≤ π/3

(b) 1 ≤ r < 2

(c) 1 < r ≤ 2, π/6 ≤ θ < π/3

(d) r ≤ 3 sen(θ), θ ∈ [0, π]

16. Describir mediante inecuaciones en coordenadas polares las regiones planas descriptas, en coordenadas cartesianas, por: 5

(a) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1}

(b) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 − 2 y ≤ 0, y > |x|}

(c) {(x, y) ∈ R2 : x2 ≥ 3 y 2 }

(d) {(x, y) ∈ R2 : x ≥ y, x < 3 y}

6

Gu´ıa II: Funciones , L´ımite, Continuidad, Curvas 1.

Conjuntos de Nivel

1. En los siguientes casos, describir el dominio de f y determinar si es un conjunto cerrado, abierto, acotado. Describir los conjuntos de nivel de f y esbozar su gr´afico. √ (a) f (x, y) = 3(1 − x2 − y2 ) (b) f (x, y) = y − x p 4 − x2 − y 2

(c)f (x, y) =

(d) f (x, y) = 9x2 + 4y 2 1 (f) f (x, y) = p 2 x − y 2 − 16

(e) f (x, y) = x2 − y 2

(h) f (x, y) = e−x

(g) f (x, y) = 25 − x2 (i) f (x, y) =

p x2 + 2y 2

2 −y 2

(j) f (x, y) = m´ın(x, y)

2. Describir en coordenadas polares: a) el dominio de las funciones de los items b), c) y f) del ejercicio anterior; b) los conjuntos de nivel 0 de las funciones de los items c), e) y j) del ejercicio anterior; c) los conjuntos de positividad, C+ = {(x, y) ∈ Dom(f ) : f (x, y) > 0}, de las funciones de los items e), g) e i). 3. Graficar el conjunto de nivel 0 y el conjunto de nivel 4 de las siguientes funciones:  (a) f (x, y) =

x + y si x ≥ −2 0 si x < −2

(b) f (x, y) = sen(y − x)

4. Describir el dominio y los conjuntos de nivel de los siguientes campos escalares: a) f (x, y, z) = x + y + 2z

b) g(x, y, z) = ex

2 +y 2 −z 2

c) h(x, y, z) =

2x2 + y 2 z

5. La funci´on T (x, y) representa la temperatura en el punto (x, y) de una placa met´alica delgada plana, (x, y) ∈ D = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [−10, 10], y ∈ [−10, 10]} = [−10, 10] × [−10, 10]. Las curvas de nivel de T se denominan isotermas porque todos sus puntos tienen la misma temperatura. Dibujar algunas isotermas si T (x, y) = 64 − 4x2 − 8y 2 . 1

2.

L´ımite y Continuidad

6. En los siguientes casos hallar, si existe, el l´ımite indicado; en los casos en que no existe, fundamentar. (a)

xy − y 2

l´ım

(b)

(x,y)→(1,−1)

(c)

l´ım

p x2 + y 2

(d)

(x,y)→(0,0)

(e)

x2 (y − 2)2 (x,y)→(0,2) x2 + (y − 2)2 

l´ım (x,y)→(1,−2)

(i)

l´ım

√x y

l´ım

x2 + (y − 2)2 x

(x,y)→(1,−2)



(x,y)→(0,0)

xy,

y , x+1

p

x (x,y)→(0,0) x + y

(f)

l´ım

(g)

l´ım (x,y)→(0,4)

x2

+

y2

y+1 √ (x,y,z)→(0,1,1) z2 − 1  √  x (j) l´ım |x| , x



,x − y y cos(1/x), sen(3x) 2x

l´ım

(h) 

l´ım

x→0

(k)

x2 + y 2 (x,y)→(0,0) y

(l)

(m)

xy 2 (x,y)→(0,0) x2 + y 2

(n)

l´ım

x2 y 2 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 l´ım

x2 y + y (x,y)→(0,0) x2 + y 2

l´ım

l´ım

7. Determinar el dominio y los puntos de continuidad de las siguientes funciones:  (a) f (x, y) =  (c) f (x, y) = ( (e) f (x, y) =

1 cuando x − y > 0 0 cuando x − y ≤ 0

0

x2 − y cuando x 6= 2 y 3 cuando x = 2 y

(

x2 y x2 +y 2

(b) f (x, y) =

0 cuando xy = 6 0 1 cuando xy = 0 (x−2)2 (x−2)2 +y 2



(d) f (x, y) =

(x, y) 6= (2, 0) (x, y) = (2, 0)

2

0 (

(f) f (x, y) =

x2 +y x2 +y 2

0

(x, y) 6= (0, 0) (x, y) = (0, 0) (x, y) 6= (0, 0) (x, y) = (0, 0)

  1 − x2 si y = 0, | x |≤ 1 1 − y 2 si x = 0, | y |≤ 1 (g) f (x, y) =  0 en otro caso 8. Sea

 (h) f (x, y) =

x 2x + y

4x2 + y 2 < 1 4x2 + y 2 ≥ 1

 3  x − x(y + 1)2 si (x, y) 6= (0, −1) . f (x, y) = x2 + (y + 1)2  a si (x, y) = (0, −1)

Determinar, si es posible, el valor de a para que f (x, y) resulte continua en R2 . 9. En los siguientes casos definir, si es posible, una funci´on f continua en R2 que satisfaga las condiciones dadas. ¿Es u ´nica? a) f (x, y) = 0 cuando x2 + y 2 < 1, f (x, y) = 1 cuando x2 + y 2 > 2. b) f (x, y) = x − y cuando x − y < 1, f (x, y) = (y − x)2 cuando x − y > 1. 10. Sea f (x, y) = e−x

2 −y 2

.

a) Hallar las curvas de nivel de f . b) Determinar las intersecciones de la superficie gr´afico de f con los planos coordenados. c) Realizar un gr´afico aproximado de f . d ) Calcular

f (x, y). Para hacerlo, realizar la sustituci´on u = x2 + y 2 . Rela-

l´ım (x,y)→(∞,∞)

cionar el valor hallado con el resultado con los items anteriores. 11.

Realizar la sustituci´on u = 1/x, v = 1/y para calcular Calcular

l´ım (x,y)→(0,0)

√ xy

x2 +y 2

xy p . (x,y)→(∞,∞) x2 + y 2 l´ım

.

12. Sea f : R2 → R y (a, b) ∈ R2 . Definimos g y h de R en R mediante g(x) = f (x, b) y h(y) = f (a, y). a) Estudiar las relaciones entre los gr´aficos de h y g y el gr´afico de f . b) Si f es continua en (a, b): ¿Es g continua en a? ¿Es h continua en b? Justificar. c) Si f (x, y) = x2 + y 3 y (a, b) = (1, 2), hallar g y h. d ) Dar un ejemplo para mostrar que g puede ser continua en a y h en b, sin que f sea continua en (a, b). 3

13. Sea f : R2 → R, y (a, b) ∈ R2 . Fijado (α, β) ∈ R2 , definimos h : R → R mediante h(t) = f ((a, b) + t (α, β)). a) Estudiar la relaci´on entre el gr´afico de h y el de f . b) Dar un ejemplo para mostrar que a´ un cuando para cada (α, β) ∈ R2 h resulte continua en 0, f puede no ser continua en (a, b). c) ¿Es cierto que si f es continua en (a, b) entonces h es continua en 0?

3.

Curvas parametrizadas

14. Sea C la curva parametrizada por ~σ (t) = (R cos(t), R sen(t)), t ∈ [0, 2π), R > 0 fijo. Hallar la ecuaci´on de su recta tangente en t = π/4. Graficar la curva y la recta indicando la orientaci´on de la curva. 15. Sea C la curva dada por ~σ (t) = (t2 , t3 + 1, t3 − 1), t ∈ [1, 4]. a) Hallar la ecuaci´on de su recta tangente y su plano normal en ~σ (2). b) Hallar el m´odulo de su vector tangente en ~σ (2). c) Probar que la curva es plana. d ) Hallar la intersecci´on de C con el plano de ecuaci´on y + z = 2. √ 16. Sea C la curva dada por ~σ (t) = (t, 3 t), t ∈ [−1, 8]. a) Graficar la curva. b) Hallar la ecuaci´on de su recta tangente y su recta normal en t = 1. 17. Sean f : R3 → R, g : R3 → R, definidas por f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 y g(x, y, z) = (x2 − 2x + y 2 ). Hallar una parametrizaci´on para la curva determinada por la intersecci´on de las superficies de nivel de f y g que pasan por el punto (0, 0, −2). 18. Sean γ~1 (t) = (t, | t |) con t ∈ [−1, 1] y γ~2 (t) = (t3 , | t3 |) con t ∈ [−1, 1]. a) Verificar que ambas parametrizaciones definen la misma curva plana y graficarla. b) Si las parametrizaciones describen el movimiento de un punto en funci´on del tiempo t, hallar la velocidad (vector tangente a la curva) y la rapidez (su m´odulo) para cada parametrizaci´on. ¿Existen los vectores tangentes para todo valor del par´ametro? 19. En los siguientes casos, hallar una parametrizaci´on regular de la curva definida por el par de ecuaciones, y calcular su recta tangente en el punto indicado. 4

a) y = 4 − x, z = 4 − x2 , (1, 3, 3) p b) x2 + y 2 + z 2 = 2, z = x2 + y 2 , (0, 1, 1) c) z = x + y 2 , x = y 2 , (4, 2, 8) d ) x2 + y 2 + z 2 = 6, z = x2 + y 2 , (1, 1, 2) 20. Resolver los siguientes problemas: a) Una abeja vuela ascendiendo a lo largo de la curva intersecci´on de z = x4 + xy 3 + 12 con x = 1. En el punto (1, −2, 5) sigue a lo largo de la tangente en el sentido de las y crecientes. ¿D´onde cruza la abeja el plano y = 1? b) Una part´ıcula se mueve en el plano de manera que su posici´on al tiempo t es ~r(t) = (t − sen(t), 1 − cos(t)). Hallar los m´aximos de los m´odulos de su velocidad y su aceleraci´on. Dibujar aproximadamente la trayectoria y los vectores velocidad y aceleraci´on. c) Una part´ıcula se mueve a lo largo de la parte superior de la par´abola de ecuaci´on y 2 = 2 x de izquierda a derecha con rapidez constante de 5 metros/segundo. ¿Cu´al es su vector velocidad al pasar por (2, 2)?

5

Gu´ıa III: Derivadas, Diferenciabilidad, Superficies 1.

Derivadas

1. En los siguientes casos, calcular las funciones derivadas parciales de f y luego evaluarlas en los puntos indicados. a) f (x, y) = x y + x2 , en (2, 0); b) f (x, y) = senh(x2 + y), en (1, −1); xz en (1, 1, 1); c) f (x, y, z) = y+z d ) f (x, y, z) = ln(1 + x + y 2 z), en (1, 2, 0) y en (0, 0, 0); √ e) f (x, z) = sen(x z), en (π/3, 4); 1 , en (−3, 4); f ) f (x, y) = p 2 x + y2 R y2 g) f (x, y) = x sen(ln(1 + t3 )) dt, en (1, 2). 2. Hallar las derivadas parciales de las siguientes funciones en el origen. Analizar la continuidad de las funciones y de sus derivadas parciales en el origen. ( 3 3 2x −y para (x, y) 6= (0, 0) x2 +3y 2 a) f (x, y) = 0 para (x, y) = (0, 0) ( 2 2 x −2y para x 6= y x−y b) f (x, y) = 0 en otro caso  0 cuando xy 6= 0 c) f (x, y) = 1 cuando xy = 0 3. Determinar el dominio y hallar las derivadas de segundo orden de las siguientes funciones: a) f (x, y) = ln(x2 + y); b) f (x, y, z) = x sen(y) + y cos(z); x c) f (x, y) = arc tg ; y r x2 y 2 d ) f (x, y) = + 2; a2 b 2 e) f (x, y, z) = z ln(x + y 2 + z + 1). 1

(

2

2

xy xx2 −y cuando (x, y) 6= (0, 0) +y 2 4. Sea f (x, y) = . Mostrar que las derivadas cruzadas en 0 cuando (x, y) = (0, 0) (0, 0) de f existen y son distintas. ¿Es C 2 la funci´on f ? 5. Probar que la funci´on f (x, y) = ex sen(y) es arm´onica, es decir que es de clase C 2 y ∂ 2 f (x, y) ∂ 2 f (x, y) satisface la ecuaci´on de Laplace + = 0. ∂x2 ∂y 2  9 − x2 − y 2 cuando x2 + y 2 ≤ 9 6. Dada f (x, y) = . Analizar la continuidad y la exis0 cuando x2 + y 2 > 9 tencia de derivada parcial respecto de y en el punto (3, 0). 7. Analizar la existencia de las derivadas direccionales de la siguientes funciones en los puntos y direcciones dadas: a) f (x, y) = 3x2 − 2xy P0 = (0, 2) v˘ = ( 12 ,  √ xy si xy ≥ 0 b) f (x, y) = P0 = (0, 0) x + y si xy < 0

√

3 ) 2

v˘1 = ( √12 , √12 )

v˘2 = ( √12 , − √12 )

8. Analizar la existencia de las derivadas direccionales seg´ un distintas direcciones, en el origen, de las siguientes funciones:  2 x+1 x + y cuando x > 2y (a) f (x, y) = 2 (b) f (x, y) = 3 cuando x ≤ 2y x + y2 + 1  (c) f (x, y) =

2.



x2 − y cuando x > |y| x − y cuando x ≤ |y|

(d) f (x, y, z) =

p x + y + z cuando z > x2 + y 2 0 en otros casos

Diferenciabilidad

9. Hallar el gradiente de los siguientes campos escalares. ¿Existen puntos en el dominio de f en los cu´ales no existe el vector gradiente? ¿Es f continua en esos puntos? a) f (x, y) = f (x, y) = 16 (x2 + y 2 ) c) f (x, y) =

p

x2 + y 4

b) f (x, y) = y|x − 1| d)f (x, y, z) = x2 + ln(y 2 + 1) +

2

1 z 4 +2

10. Analizar la continuidad y la diferenciabilidad de las funciones siguientes en el origen  

a) f (x, y) =

2

(x + y ) sen x x2 +y 2

b) g(x, y) =

0

c) l(x, y) =

x2 y x2 +y 2

0 (

d ) m(x, y) =

1 2 x + y2

 si (x, y) 6= (0, 0)

0

  (



2

x2 y 2 x2 +y 2

0

en otro caso

si (x, y) 6= (0, 0) en otro caso si (x, y) 6= (0, 0) en otro caso si (x, y) 6= (0, 0) en otro caso

11. Sea f (x, y) = x2 + y 2 . a) Hallar el conjunto de nivel de f que contiene al punto (1, 2) y el vector gradiente de f en (1, 2). Graficar. b) Hallar una ecuaci´on para el plano tangente al gr´afico de f en el punto (1, 2, f (1, 2)). Realizar un gr´afico aproximado de la funci´on y su plano tangente en ese punto. 12. Dados el campo escalar f : D ⊆ R2 → R y P0 ∈ D se pide en cada caso: Hallar ∇f (P0 ), la curva de nivel de f que pasa por P0 = (x0 , y0 ) y su recta tangente en ese punto. Graficar. Representar en el gr´afico de f , Q0 = (x0 , y0 , f (x0 , y0 )), el plano tangente a la super~ = ( ∂f (P0 ), ∂f (P0 ), −1) . ficie en Q0 y el vector N ∂x ∂y Relacionar lo hecho en los items anteriores. a) f (x, y) = 5 + 2x − 3y, P0 = (0, 0) b) f (x, y) = x2 − 2x + y 2 , P0 = (−1, 2) p c) f (x, y) = 4 − x2 − y 2 , P0 = (1, −1) Justificar que las funciones dadas son diferenciables en los puntos indicados. ¿Esas funciones son diferenciables en sus dominios? 13. Sea f : R2 → R diferenciable en todo el plano. Sabiendo que el plano tangente a la superficie gr´afico de f en el punto (1, − 12 , f (1, − 12 )) tiene ecuaci´on 2x − 4y − 2z = −6, hallar f (1, − 12 ) y ∇f (1, − 12 ). 3

14. La elevaci´on de una monta˜ na sobre el nivel del mar est´a dada por la funci´on f (x, y) = −(x2 +y 2 )/200 1500 e . El semieje positivo de las x apunta hacia el este y el de las y hacia el norte. a) Hallar y dibujar algunas curvas de nivel de f . b) Un alpinista est´a en (10, 10, 1500 ), si se mueve hacia el noreste, ¿asciende o desciende?, e ¿con qu´e pendiente? 15. ¿Cu´ales son todos los puntos de la superficie gr´afico de f (x, y) = xyex+y , para los cuales resulta el plano tangente horizontal? 16. Probar que si un campo escalar definido en R2 es diferenciable en un punto entonces es continuo en ese punto. 17. Analizar la continuidad de las derivadas parciales y la diferenciabilidad en el origen de ( 3 3 x −y si (x, y) 6= (0, 0) x2 +y 2 . f (x, y) = 0 en otro caso ( 18. Dada f (x, y) =

x3 −x(y−1)2 x2 +(y−1)2

0

cuando (x, y) 6= (0, 1) cuando (x, y) = (0, 1)

a) Probar que f tiene derivadas en todas las direcciones en el punto (0, 1) y hallar todos los versores para los cuales la derivada direccional de f en (0, 1) es nula. b) ¿Qu´e se puede decir de la diferenciabilidad de f en (0, 1)? 2

19. Sea f (x, y, z) = exz+xy . Hallar un valor aproximado de f (0.1, 0.98, 2.05) utilizando una aproximaci´on lineal adecuada. 20. Sea f : R2 → R diferenciable, tal que f (1, 2) = 5. Sabiendo que su derivada direccional √ ∂f 1 1 en (1, 2) es m´axima en la direcci´on del versor ( √2 , √2 ) y ∂x (1, 2) = 3 2, se pide: a) hallar una ecuaci´on para el plano tangente a la superficie gr´afica de f en el punto (1, 2, f (1, 2)) b) calcular un valor aproximado de f (1.01, 1.98) utilizando una aproximaci´on lineal 21. Se desea estimar el a´rea de un rect´angulo, cuyos lados son a = (10 ± 0.1)m y b = 100m ±∆b. Determinar con que precisi´on medir´ıa el lado b (∆b) para que la contribuci´on de la incerteza en la medici´on de a y b en el error del a´rea sean del mismo orden. 4

q 22. El per´ıodo de oscilaci´on de un p´endulo ideal es T = 2π gl donde l es la longitud del hilo y g es la aceleraci´on de la gravedad. Calcular cotas para los errores absoluto y relativo que se cometen en la determinaci´on de g si el per´ıodo es T = 2 seg con error menor a 0.02 seg y l = 1m , con error inferior a 0.001m (considerar π = 3.1416). 23. En los siguientes casos hallar, cuando sea posible, una funci´on diferenciable (en un abierto U que contenga a todos los puntos del plano involucrados) f (x, y) que satisfaga las condiciones dadas. En los casos en que no sea posible, fundamentar esta imposibilidad. a) ∂f /∂x(0, 0) = 1, ∂f /∂y(0, 0) = 2, f (0, 0) = −1; b) ∂f /∂x(0, 0) = 1, ∂f /∂y(0, 0) = 2, f (0, 0) = −1, f (1, 0) = 1; c) ∂f /∂x(1, 2) = 3, ∂f /∂y(1, 2) = 4, f (1, 2) = −1, f (0, 0) = 0; d ) f es constante a lo largo de la curva de ecuaci´on y = x − x3 , ∂f /∂x(0, 0) = 1; e) las pendientes de la superficie z = f (x, y) en el punto (1, 0) en las direcciones (1, 1) y (0, −1) son 1 y 2 respectivamente, y f (1, 0) = −3. 24. Hallar las matrices jacobianas de los siguientes campos: a) F~ (x, y) = (3x2 y, x − y) ~ b) G(x) = (x2 + 1, 2x) c) h(x, y, z) = xy + z 2 x ~ d ) L(x, y) = (x2 y, y, x − xy) ~ (r, θ) = (r cos(θ), r sen(θ)) e) M ~ (x, y, z) = (2xy, x2 − zey ) f) N

3.

Superficies Parametrizadas

~ 25. Considere la superficie S dada en forma param´etrica por X(u, v) = (u + v, u − v, u v), 2 (u, v) ∈ R . a) Hallar una ecuaci´on cartesiana para S. b) Hallar la ecuaci´on del plano tangente a S en (3, −1, 2). 26. Determinar las ecuaciones del plano tangente y recta normal a la superficies siguientes en los puntos que se indican:

5

a) el paraboloide el´ıptico b) el elipsoide

x2 4

+ y2 +

4x2 + y 2 − 16z = 0 en el punto (2, 4, 2); z2 9

= 3 en el punto (−2, 1, −3);

c) la porci´on de cilindro el´ıptico ~ X(u, v) = (v, 2 + cos(u), 2 sen(u)),

0 ≤ u ≤ π, 0 ≤ v ≤ 4,

√ Q0 = (2, 3/2, 3);

d ) la porci´on de cono circular X(u, v) = (v cos(u), 2 v, v sen(u)),

0 ≤ u ≤ π, 0 ≤ v ≤ 3,

Q0 = (0, 4, 2);

e) la porci´on de hiperboloide de una hoja ~ X(u, v) = (cos(u) cosh(v) + 1, sen(u) cosh(v), senh(v)),

27. Sean D = [0, 2π] × [0, 1];

~ : D → R3 , Φ

D = [0, π] × [−1, 1], Q0 = (1, 1, 0).

~ Φ(u, x) = (x, 2 cos(u), 2 sin(u)).

a) Mostrar que es una parametrizaci´on de una porci´on de cilindro. Graficar ~ S = Img(Φ). b) Calcular el vector normal y analizar si es una parametrizaci´on regular en todos los puntos. √ c) Hallar el plano tangente a la superficie en el punto (1, 3, 1).

6

Gu´ıa IV: Funciones Compuestas e Impl´ıcitas 1.

Funciones Compuestas

1. Dada f (x, y) = sin((x − 2)2 + y − 1) expresarla como composici´on de dos funciones, f (x, y) = g(h(x, y)), indicando dominio y codominio de cada una de ellas. 2. Dada f (x, y) = xy +

y , 2x

3. Probar que f (x, y) =

hallar f (−1, 1), f (1 + x, 2y) y f (u + v, u − v).

4x4 + 12x2 y 2 + 9y 4 , es constante sobre los puntosa de la elipse 4 − 2x2 − 3y 2

2x2 + 3y 2 = 1. √ 4. Dadas f~(x, y) = (xy 4 + y 2 x3 , ln x) y ~g (u, v) = (v u, senu u ): a) hallar sus dominios y las expresiones de ~h = f~ ◦ ~g y de w ~ = ~g ◦ f~; b) calcular ~h0v (1, e) aplicando la regla de la cadena y usando la expresi´on de ~h hallada en a). 5. Si h = f ◦ ~g , calcular ∇h(A) en los siguientes casos: p a) A = (0, 1), f (u, v) = u/v y ~g (x, y) = (1 + ln(x + y), cos(xy)); 2

b) A = (1, 0), ~g (x, y) = (x, xey , x − y), sabiendo que ∇f (1, 1, 1) = (3, 1, 2) y f ∈ C 1 (R3 ).  x=t−1 x 2 6. Siendo z = e − x y − x con resulta z = h(t). Determinar funciones y = 2t2 f : R2 → R y ~g : R → R2 tales que h = f ◦ ~g . Demostrar que h tiene un m´aximo relativo en t0 = 1. 7. Dada w = ex−y − z 2 y + x con x = u − v, y = u + u3 ln(v − 1), z = uv; hallar la direcci´on de m´axima derivada direccional de w = w(u, v) en (1, 2) y el valor de dicha derivada m´axima. 8. Demostrar que z = f (x/y) satisface la ecuaci´on xzx + yzy = 0, ¿qu´e hip´otesis supuso? 9. Si f (x, y) = x + y, g(u) = (u − 1)2 , mostrar que ∇(g ◦ f ) resulta nulo en todos los puntos de la recta x + y = 1.

1

10. Sea f ∈ C 1 una funci´on escalar de dos variables, A ∈ Dom(f ) y ∇f (A) 6= 0. Demostrar que ∇f (A) es perpendicular a la curva de nivel de f que pasa por A y est´a localmente orientado hacia los niveles crecientes. Verificarlo gr´aficamente para f (x, y) = x2 + y 2 en los puntos (1, 1), (−1, 1), (1, −1) y (−1, −1) pertenecientes a la curva de nivel 2. 11. Suponer que f : R2 → R es una funci´on C 2 que satisface las condiciones dadas. Determinar, en cada caso, el gradiente de f en el punto A especificado y hallar una funci´on que satisfaga esas condiciones: a) f (1, 1 + t) = 1 + t, f (1 + t, 1) = 1 − t,A = (1, 1); b) f (t, t) = 1, f (t, t2 ) = 1 + t − t2 , A = (0, 0); √ √ c) fv0 (0, 0) = −2, f (t, 2t) = t, v = (− 2/2, 2/2), A = (0, 0). 12. Sea f~ : R2 → R2 , (u, v) 7→ f~(u, v) = (x(u, v), y(u.v)) una funci´on biyectiva y C 2 que satisface   ∂(x, y) 1 −1 (1, −2) = 2 1 ∂(u, v) y f~(1, −2) = (1, 2). a) Hallar un vector tangente en (1, 2) a la curva imagen por f~ de la circunferencia de ecuaci´on u2 + v 2 = 5. b) Hallar un vector tangente en (1, −2) de la preimagen por f~ de la recta de ecuaci´on y = 2x. 13. Sea S la superficie parametrizada por F~ (u, v) = (u cos v, u sen v, u) con (u, v) ∈ R2 y C la curva de ecuaci´on v = u2 − 1 en el plano uv. a) Hallar una parametrizaci´on regular para la curva C ∗ , imagen de C a trav´es de F~ . b) Sea A un punto cualquiera de C ∗ , probar que el plano tangente a S en A contiene a la recta tangente a C ∗ en dicho punto. x 14. Sea g : R → R diferenciable. Parametrizar la superficie S definida por z = y g( ), y > 0. y Probar que el plano tangente a S en cada uno de sus puntos, pasa por el origen. 15. Suponiendo que f tiene derivadas parciales continuas de todos los o´rdenes y z = f (x, y) ∂ 2z ∂ 2z ∂ 2z donde x = x(s, t) = 2s + 3t e y = y(s, t) = 3s − 2t, calcular 2 , y . ∂s ∂s∂t ∂t2

2

16. Mostrar que si f (x, y) es una funci´on arm´onica (i.e. f es de clase C 2 y satisface

∂ 2f ∂ 2f + = 0), ∂x2 ∂y 2

entonces f (x3 − 3xy 2 , 3x2 y − y 3 ) tambi´en es arm´onica.

2.

Funciones Impl´ıcitas

17. Demostrar que las ecuaciones dadas define impl´ıcitamente una funci´on z = f (x, y), en un entorno del punto (x0 , y0 ), cuyo gr´afico pasa por A = (x0 , y0 , z0 ). Calcular ∇f (x0 , y0 ) en cada caso. a) x2 − y 2 + z 2 = 0 , A = (4, 5, z0 ) , z0 > 0; b) z = 2 − ln(z + 3x − y 2 ) , A = (1, 2, 2). 18. Demostrar que (x2 + ln(x + z) − y, yz + exz − 1) = (0, 0) define una curva C regular en un entorno de (1, 1, 0) y hallar el plano normal a C en dicho punto. 19. Si u y v est´an definidas como funciones de x e y por x = u3 + v 3 , y = uv − v 2 en un ∂u ∂u ∂v ∂v ∂(u, v) , , , , en el punto (2, 0). entorno de (x0 , y0 , u0 , v0 ) = (2, 0, 1, 1), calcular ∂x ∂y ∂x ∂y ∂(x, y) 20. Demostrar que el sistema de ecuaciones  2  xy + zu + v 2 = 3 x3 z + 2y − uv = 2  xu + yv − xyz = 1 define x, y, z como funciones de u, v en el entorno de (x0 , y0 , z0 , u0 , v0 ) = (1, 1, 1, 1, 1) y calcular yu0 en (u0 , v0 ). 21. Un cierto gas satisface la ecuaci´on pV = T −

4p T2

donde p es la presi´on, V el volumen, T la temperatura y (p0 , V0 , T0 ) = (1, 1, 2). a) Calcular ∂T /∂p y ∂T /∂V en en (p0 , V0 ). b) Si mediciones de p y V arrojaron valores p = 1 ± 0.001, V = 1 ± 0.002, acotar el error si se estima la temperatura mediante T = 2. 22. Hallar una ecuaci´on cartesiana para la recta tangente a C en los siguientes casos 3

a) C = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 + 2xy = 4}, en (1, 1); b) C = {(x, y) ∈ R2 /xy + ln y = ex }, en (0, e); c) C = {(x, y, z) ∈ R3 /(xy + z, y + x − 2) = (3, 5)}, en (1, 6, −3). 23. Demostrar que la esfera x2 + y 2 + z 2 = r2 y el cono z 2 = a2 x2 + b2 y 2 son superficies ortogonales en todo punto de su intersecci´on. 24. Sea C la curva definida como intersecci´on de las superficies de ecuaciones y = x2 y exz−1 − xy + ln(yz) = 0. Si L0 es la recta tangente a C en A = (1, 1, 1), calcular la distancia desde A hasta el punto en que L0 corta al plano de ecuaci´on x + y = 8. 25. El siguiente sistema de ecuaciones define impl´ıcitamente una curva en un entorno del punto (5, 0, 4)  ln(x − z) + y + x = 5 eyz + z − x = 0 Encontrar la intersecci´on de la recta tangente a dicha curva en el punto (5, 0, 4) con el plano de ecuaci´on x + z = 10.

4

Gu´ıa V: Polinomio de Taylor . Extremos libres y condicionados 1.

Polinomio de Taylor

1. Expresar el polinomio p(x, y) = x3 − 2xy + y 2 en potencias de (x − 1) e (y + 1). 2. Calcular el polinomio de Taylor de 2◦ orden de f en A. a) f (x, y) = ex+y cos(y − 1), A = (−1, 1); √ b) f (x, y, z) = xy ln z, A = (1, 4, 1); c) f (x, y) = cos(x + y), A = (0, 0). 3. Hallar una cota (en funci´on de ∆x y ∆y), para el valor del t´ermino complementario del desarrollo de Taylor de primer orden correspondiente al ´ıtem 2a) y 2c). 4. Aproximar el valor 1.011.98 utilizando el polinomio de Taylor de primer orden (aproximaci´on lineal) de una funci´on adecuada en el punto A = (1, 2). 5. Demostrar que ex−1 ln(y − 1) ≈ y − 2 en un entorno del punto (1, 2). 6. Sabiendo que la ecuaci´on y − z + ezx = 0 en un entorno de (0, 0, 1), define impl´ıcitamente a z = f (x, y), hallar un valor aproximado para f (0.01, −0.02) aplicando el desarrollo de Taylor hasta 2◦ orden. 7. El polinomio de Taylor de 2◦ orden para f en el punto (2, 1) es p(x, y) = x2 −3xy+2x+y−1, hallar una ecuaci´on cartesiana para el plano tangente a la gr´afica de f en (2, 1, z0 ). 8. Sea w = f (u, v) definida en forma impl´ıcita por 3v + ue2w − w = 1 en un entorno del punto (u0 , v0 , w0 ) = (7, −2, 0). Si u = x − 2y y v = x + y, hallar el polinomio de Taylor de primer orden de w(x, y) en el punto (1, −3) y utilizarlo para calcular aproximadamente el valor de w cuando x = 0.97 e y = −3.01.

1

2.

Extremos Libres

9. Analizar la existencia de extremos relativos de f en su dominio. ¿Se puede determinar si alguno de los extremos hallados es absoluto? p (a)f (x, y) = (x3 + y 3 )(x3 − y 3 ) (b)f (x, y) = 4 − x2 − y 2 p p (d)f (x, y) = ln(2 − x2 − y 2 ) (c)f (x, y) = (x − 1)y 2

(e)f (x, y, z) = (x2 + y 2 )(2 − ez ) (g)z = x3 + y 3 +

48 x

+

48 y

(f)f (x, y) = ln(1 + x4 + y 4 ) (h)z = (2x − 3y + 4)2

(i)f (x, y) = x3 + y 3 + 3x2 − 2y 2 − 8

(j)z = (x − 3y)2 + (x + y)4

10. Hallar los extremos de f (x, y) = x2 + xy + y 2 − ax − by, para a, b ∈ R fijos. 11. Construir una funci´on f : R2 → R, que tenga un u ´nico m´aximo en el punto (1, −2) de valor 5. 12. Dada f (x, y) = ax3 + bxy + cy 2 , hallar todos los valores de a, b y c de manera que en (0, 0, 0) haya un punto silla de la gr´afica de f y en (1, 1) un m´ınimo de los valores de f .¿Es f (0, 0) un extremo local? 13. Sea f es una funci´on estrictamente positiva y C 3 cuyo gradiente se anula s´olo en P1 = (1, −1) y en P2 = (−1, 1). Sabiendo que el determinante Hessiano en esos puntos es no nulo, y que en P1 , f tiene un m´aximo de valor 10 y en P2 un m´ınimo de valor 3, estudiar 1 . los extremos de g(x, y) = f (x,y) (x − 1)2 − (y − 2)2 + 2(x − 1)(y − 2) y h : 2 R → R es una funci´on C 2 que satisface h0 (x) > 0, ∀ x. Estudiar los extremos de f . Justificar.

14. Sea f (x, y) = h(g(x, y)), donde g(x, y) = 2 − 3

15. Resolver: a) Una funci´on C 2 , z = f (x, y) tiene m´aximo relativo 3 en (1, 2). Hallar una ecuaci´on del plano tangente en (1, 2, 4) a la superficie de ecuaci´on z = f (x, y) + x2 . b) Sea f : R2 → R una funci´on C 3 que satisface ∇f (1, 2) = (1, 0), y cuya matriz Hessiana en (1, 2) es   1 0 0 2 2

Hallar a de manera que la funci´on g(x, y) = f (x, y) + ax + (y − 2)2 tenga extremo en (1, 2). ¿Qu´e tipo de extremo es? c) Una funci´on C 2 , G(x, y, z) tiene m´aximo relativo 0 en (1, 2, 3). Hallar una ecuaci´on del plano tangente en (1, 2, 3) a la superficie de ecuaci´on G(x, y, z) = 4x − y 2 . 16. Hallar los extremos relativos de f (x, y) = 27x + y + (x > 0, y > 0).

1 xy

en el primer cuadrante

17. Mostrar que f (x, y, z) = 4xyz − x4 − y 4 − z 4 tiene un m´aximo local en (1, 1, 1). 18. Hallar los extremos relativos de a) f (x, y, z) = −x3 + 3x + 2y 2 + 4yz + 3y + 8z 2 . b) f (x, y, z) = y +

x y

+

z x

+

1 z

19. Hallar b de manera que f (x, y) = 1−b (y − 2)2 + (x − 1)2 − 2(y − 2)2 tenga un extremo b local en el punto (1, 2) y clasificarlo. 20. Sea z = f (x, y) definida impl´ıcitamente en un entorno del punto (0, 0) por la ecuaci´on xy + z + ez − 1 = 0. Demostrar que el (0, 0) es un punto estacionario de f , clasificarlo y calcular f (0, 0). 21. La funci´on C 2 , f : R2 → R sobre la recta y = 3x + 2 vale x2 − ln(x − 1) + 3. ¿Es posible asegurar que f no tiene un extremo local en (2, 8)? 22. Demostrar que f (x, y, z) = x2 + y 2 + z + 2 tiene un m´ınimo relativo en (−1, 1, 12), cuando ~ se la eval´ ua en puntos del plano X(u, v) = (u − 3, v + 4, 2u − 2v − 2) con (u, v) ∈ R2 . ¿El punto hallado resulta punto cr´ıtico de la funci´on en su dominio?

3.

Extremos Condicionados

23. Hallar los extremos absolutos de f (x, y) = x2 + y 2 − x − y − 1 en a) la circunferencia x2 + y 2 = 1; b) el c´ırculo x2 + y 2 ≤ 1. 24. Hallar los extremos de f (x, y, z) = xz − yz evaluada en puntos de la curva intersecci´on de las superficies de ecuaciones x2 + z 2 = 2 y yz = 2. 25. Hallar los extremos absolutos de f (x, y) = 2x(y − 1) − x − y en el tri´angulo de v´ertices (0, 0), (1, 0) y (1, 4) (interior y per´ımetro). 3

26. Un cuerpo tiene forma de paralelep´ıpedo rectangular de volumen V y su superficie frontera tiene ´area A. Determinar las dimensiones del paralelep´ıpedo si se desea que tenga ´area m´ınima para un volumen V dado. 27. Un envase cil´ındrico debe tener 1 litro de capacidad, el material para las tapas cuesta 0.02$/cm2 mientras que el de la cara lateral 0.01$/cm2 . Calcular las dimensiones del envase para que el costo sea m´ınimo. 28. Calcular el m´aximo valor de f (x, y, z) = x2 + xy + y 2 + xz + z 2 sobre la superficie esf´erica de radio 1 con centro en el origen. 29. Hallar la distancia entre los planos x + y − z = 4 y z = x + y + 7. 30. Calcular la distancia entre las rectas L1 y L2 definidas por:   x+y+z =2 x+y =1 r1 = r2 = y=x z=1 aplicando el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange y parametrizando ambas rectas. √ 31. Hallar los puntos de la superficie z = xy + 1 m´as cercanos al origen. Observar que la superficie est´a definida para los puntos (x, y) que satisfacen xy ≥ −1 , por lo tanto deber´a analizar los extremos en el abierto xy > −1 y en el borde xy = −1.

4

Gu´ıa VI: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 1.

Generalidades

1. Dadas las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias determinar su orden, indicar cu´ales son lineales y cu´ales son homog´eneas demostrar que la funci´on propuesta es soluci´on de la ecuaci´on. a) y 0 = 3y,

y = e3x ;

b) y 0 + 4y = 8x,

y = 2x − e−4x − 1/2;

c) y 00 −

y = x2 − x−1 ;

2 y x2 00

= 0,

d ) y 000 + y − y 0 − y = 1,

y = −1 + 2ex ;

e) y 00 + 2y 0 − 3y = e−2x ,

y = − e 3 + ex ;

f ) xy 0 = 2y,

−2x

y = x2 ;

g) yy 0 − 4x = 0,

y = 2x.

2. Hallar, si es posible, una soluci´on de la ecuaci´on xy 0 = 1 en los dominios que se indica (0, +∞) (−2, −1) (−1, 1) 3. En los siguientes casos, verificar que la funci´on propuesta es soluci´on general de la ecuaci´on diferencial y determinar el valor de las constantes de manera que se satisfaga la condici´on dada. Graficar aproximadamente la soluci´on obtenida. a) y 0 − 3y = −3, 0

b) y y = x, c) y 0 =

xy , x2 −1 0

y = 1 + ce3x , 2

2

y − x = c, x2 + cy 2 = 1,

d ) y 00 − y − 2y = 0, e) y 00 + y = 0,

y(0) = 2;

y(0) = 1; y(0) = 2;

y = c1 e−x + c2 e2x ,

y = c1 sen(x) + c2 cos(x),

y(0) = 2, y 0 (0) = −3; y(0) = −1, y 0 (0) = 1.

4. Hallar, si es posible, una soluci´on y = y(x) de la ecuaci´on y 0 = 2y de manera que la recta tangente a su gr´afico en el punto (0, y(0)) sea paralela a la recta y = 3x. ¿Es u ´nica?

1

5. Proponer una ecuaci´on diferencial del orden indicado de manera que la familia de curvas dada corresponda a su soluci´on general. a) xy = C, primer orden. b) 4x2 − 2y 3 = C, primer orden. c) Par´abolas con eje x y v´ertice en el origen de coordenadas, primer orden. d ) Rectas que pasan por (2, 2), primer orden.

2.

Ecuaciones Diferenciales de primer orden

6. Hallar la soluci´on general de a) xdy = ydx. dy b) x dx − y 2 = xy 2 .

c) y 0 + 3y = 2. d ) yy 0 = xsen(x2 ). e) y 0 + y sen(x) = sen(2x). 7. Hallar la soluci´on de los siguientes problemas de valores iniciales a) xy 0 = (xy − x), y(1) = 2. b) y 0 + 2x2 y = x2 , y(0) = 2. c) y 0 + y = 1, y(0) = 5/2. d ) xy 0 + y = x2 , y(3) = 0. e) x2 y 0 = y 2 + xy, y(1) = 1. f ) xy 0 = y + xey/x , y(1) = 0. 8. Resolver los siguientes problemas planteando una ecuaci´on diferencial adecuada a) Hallar las curvas planas tales que la recta normal en todo punto pasa por el origen. b) Hallar las curvas planas tales que la recta tangente en todo punto pasa por el origen. c) Hallar las curvas planas tales que la pendiente en cada punto es igual al cociente abscisa/ordenada del punto. d ) Hallar la curva plana que pasa por (1, 6) y satisface que en cada punto de coordenadas (x, y) la recta tangente se interseca con el eje de ordenadas en un punto de ordenada 5y. 2

e) Hallar las curvas para las que el ´area del tri´angulo que tiene como v´ertices un punto P de la curva, el punto de intersecci´on de la tangente en el punto P con el eje x, y la proyecci´on de P en el eje x es constante (no depende de P ) y vale 2. 9. Un term´ometro que marca 10◦C se lleva a una habitaci´on a 20◦C. En un minuto la temperatura del term´ometro asciende a 15◦C. Si la velocidad con que cambia la temperatura del term´ometro es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la de la habitaci´on (que se supone constante 1 ), obtenga y grafique el comportamiento de la temperatura del term´ometro en funci´on del tiempo. ¿Cu´ando estar´a a 1◦C de la temperatura ambiente? 10. La rapidez de desintegraci´on de una sustancia radiactiva es proporcional a la cantidad de sustancia presente. Si hay inicialmente 50 g de sustancia y al cabo de 3 d´ıas quedan solamente 10 g, ¿qu´e porcentaje de la cantidad original quedar´a al cabo de 4 d´ıas? dP

constante 0.03 durante T d´ıas, al cabo de los 11. Una poblaci´on P de bacterias crece con dt P cuales se incrementa a 0.05. Hallar T sabiendo que la poblaci´on se duplic´o en 20 d´ıas. 12. Una bola esf´erica de nieve se derrite de manera que la derivada de su volumen V (t) respecto del tiempo t es proporcional a su ´area en ese mismo momento. Si para t = 0 el di´ametro es de 5cm y 30 minutos despu´es el di´ametro es de 2cm. En qu´e momento el di´ametro ser´a de 1cm? 13. Un objeto de masa m cae hacia la superficie de la tierra, su ca´ıda est´a retardada por la resistencia del aire que es proporcional a su velocidad por lo tanto, a partir de la segunda = mg − kv, donde g es la aceleraci´on de la gravedad, Ley de Newton sabemos que m dv dt k > 0 y v(t) es la velocidad del cuerpo en el instante t. Si la ca´ıda comienza en t = 0 con v(0) = 0, graficar v = v(t) y analizar su comportamiento para t −→ +∞. 14. La ley de Malthus supone que la tasa (o velocidad) de crecimiento de una poblaci´on (p0 ) es en cada instante directamente proporcional a la cantidad de individuos (p) existentes. a) Proponer una ecuaci´on diferencial que representa esta relaci´on y verificar que si p(t0 ) = p0 , resulta p(t) = p0 eα(t−t0 ) , siendo α la constante de proporcionalidad. b) Sabiendo que la poblaci´on de la tierra aument´o en promedio el 2 % anual desde 1960 a 1970 (α = 0.02) y que al principio de 1965 se estimaba en 3340 millones de personas, calcular mediante este modelo en cu´anto tiempo se predice la duplicaci´on de la poblaci´on (el valor observado fue de 35 a˜ nos). c) Cuando el tama˜ no p de la poblaci´on es demasiado grande el modelo de Malthus debe ser corregido para contemplar el hecho de que los individuos compiten por 1

Caso del cuerpo colocado en un flu´ıdo (aire de la habitaci´on) indefinido a temperatura uniforme.

3

alimento, recursos naturales y espacio vital disponibles . As´ı surge la ley log´ıstica de crecimiento p0 = αp − βp2 propuesta por Verhulst en 1837, donde las constantes α y β se llaman coeficientes vitales de la poblaci´on. Resolver la ecuaci´on log´ıstica y demostrar que independientemente de la condici´on inicial (p(t0 ) = p0 ), la poblaci´on tiende a α/β cuando t → ∞ (observar que en el modelo lineal es divergente). 15. La ecuaci´on del tipo: y 0 + P (x)y = Q(x)y n , n > 1 se denomina ecuaci´on de Bernoulli. Demostrar que mediante la transformaci´on z = y 1−n esta ecuaci´on se reduce a una del tipo lineal. 16. Observar que la ecuaci´on log´ıstica es una ecuaci´on de tipo Bernoulli y resolverla a partir del la transformaci´on propuesta en el ejercicio anterior. v )), si el movimiento 17. Considerando la ley de Newton (fuerza(F~ )=masa(m) · aceleraci´on( d~ dt rectil´ıneo de un punto material con masa m se produce en un medio que le opone una resistencia del tipo αv+βv n , donde v es la velocidad, debe cumplirse que −αv−βv n = mv 0 ; β n α es decir, v 0 + m v = −m v . Considerando n = 2, m = 2 kg, α = 2 kg/s, β = 4 kg/m, y que a los 0 segundos la velocidad inicial es de 20 m/s, determinar y grafique el comportamiento de la velocidad del punto en funci´on del tiempo.

2.1.

Curvas Ortogonales

18. Hallar en cada caso la familia de curvas ortogonales a las de la familia dada. Ilustrar mediante un gr´afico. (a) y = Cx2

(b) xy = C

(c) x2 + y 2 = K

(d) 2x + y = C

(e) x − 3 = cy 2

(f) y − 1 = Kx

2.2.

Ecuaciones Diferenciales Exactas

19. Resolver los siguientes ejercicios en los que intervienen ecuaciones diferenciales totales exactas o transformables a este tipo.

4

a) Soluci´on particular de 3x2 ydx + (x3 + sen(y))dy = 0 que pasa por (1, 0) . b) Soluci´on general de (2xy −3 + 1)dx − (3x2 y −4 − 2y)dy = 0. c) Soluci´on particular de 2xyy 0 = x2 − y 2 que pasa por el punto (3, 2) ¿Puede resolverse como homog´enea?. d ) Soluci´on general de (x − y + 3)y 0 = (4 − x − y). e) Soluci´on particular de (y/x − 1)dx + dy = 0 tal que y(2) = 2. Observar que, adem´as de existir un factor integrante, tambi´en puede trat´arsela como lineal o como homog´enea. f ) Soluci´on particular de 2xdx + x2 y −1 dy = 0 tal que y(2) = 1 g) Soluci´on general de (xy + y cos(x))dx + (x2 + 2sen(x))dy = 0. 20. Dada la ecuaci´on M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0, probar que si e

R

f (s)ds

2.3.

∂M ∂y

− N

∂N ∂x

= f (x), entonces

es un factor integrante para la ecuaci´on.

L´ıneas de Campo

21. Una mariposa est´a inicialmente posada en la posici´on ~r(0) = (1/2, 0, −1/3) (posici´on en metros y t en segundos) y se deja llevar por el viento. Si su velocidad en la posici´on ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) es ~v (t) = ~r 0 (t) = (z(t), x(t), 0), t ≥ 0, hallar y dibujar aproximadamente la trayectoria de la mariposa. 22. Comprobar que la curva parametrizada por ~γ (t) es una l´ınea de campo del campo F~ en los siguientes casos: √ a) ~γ (t) = (t2 , 2 t − 1, t), t > 0, F~ (x, y, z) = (y + 1, 2, 21z ) b) ~γ (t) = ( t13 , et , 1/t), F~ (x, y, z) = (−3 z 4 , y, −z 2 ) c) ~γ (t) = (sen(t), cos(t), et ), F~ (x, y, z) = (y, −x, z) 23. Hallar una expresi´on para la familia de l´ıneas de campo en los siguientes casos, adem´as, salvo en el e), dibujarlas e indicar su orientaci´on.

5

(a) F~ (x, y) = (−y, x) (c)F~ (x, y) =



1 ,1 2x−y x

(b) F~ (x, y) = 



y , −x x2 +y 2 x2 +y 2



(d)F~ (x, y) = (x2 , y 2 )

(e) F~ (x, y, z) = (x, y 2 , z)

(f) F~ (x, y) = (2x − y, y)

(g) F~ (x, y) = (x2 , xy)

~ X) ~ = X/|| ~ X|| ~ 3 con X ~ = (x, y) 6= ~0. (h) E(

6

Gu´ıa VII: Integrales curvil´ıneas 1.

Repaso de curvas

1. Hallar una parametrizaci´on para las siguientes curvas y graficarlas.  x + 2y − z = 4 a) C : en el primer octante. y = 2x − 1  2 x + y2 = 4 b) C : z=2  2 x + y2 = 4 c) C : en el primer octante. z = 2x  x2 z 2 + 3 =4 4 d) C : 2x + y = 1 2. Hallar otra parametrizaci´on para las curvas del ejercicio anterior de manera que resulten orientadas en sentido opuesto. 3. Sea f~ : [0, 2π] → R2 , f~(t) = (cos(t), sen(t)). La curva que describe es la circunferencia de radio 1, centrada en el origen, a partir del punto (1, 0) en sentido antihorario. a) Suponiendo que la parametrizaci´on dada describe, en funci´on del tiempo t, el movimiento de un punto material que recorre la curva, demostrar que la velocidad f~0 tiene m´odulo constante (rapidez constante). b) Reparametrizarla de manera de recorrer la curva 4 veces m´as r´apido conservando la orientaci´on. c) Reparametrizarla de manera de recorrer la curva 2 veces m´as lentamente invirtiendo la orientaci´on. ¿Cu´al es su rapidez? 4. Probar que ~r(t) = (1, 2 cos(2t), 2 sen(2t)) es soluci´on del problema de valores iniciales  r ~v (t) = d~ (t) = w × ~r(t), w = 2˘i dt ~r(0) = ˘i + 2˘j

2.

Integral de campos escalares sobre curvas

5. Calcular

R C

f ds en los siguientes casos. 1

a) f (x, y) = 1/(x2 + y 2 ), C : x2 + y 2 = 4, y > 0. b) f (x, y, z) = 2x−yz, C recta intersecci´on de los planos 2y −x+z = 2 con x−y +z = 4 desde (7, 4, 1) hasta (4, 2, 2). 6. Calcular la longitud de: a) la curva parametrizada por ~σ (t) = (t, 43 t3/2 , 2t), 0 ≤ t ≤ 2. Parametrizarla por longitud de arco; ~ = (3 cos(t), 3 sen(t), 4t) con t ∈ [0, 2π]. Hallar b) la h´elice C de ecuaci´on param´etrica X √ √ su recta tangente y su plano normal en (3 2/2, 3 2/2, π). 7. Resolver a) Hallar la masa de un alambre cuya forma es la de la curva intersecci´on de z = 2−x2 −2y 2 y z = x2 , en el primer octante, entre (0, 1, 0) y (1, 0, 1) si su densidad es δ(x, y, z) = xy. b) Hallar la masa de un alambre en forma de V , en R2 cuya forma es la de la curva y = |x|, comprendida entre x1 = −1 y x2 = 1, si su densidad en cada punto es proporcional al valor absoluto del producto de las coordenadas del punto. c) Calcular la masa de un hilo met´alico con densidad en cada punto es proporcional al producto de las distancias desde el punto a los planos coordenados, si la forma del alambre coincide con la de la curva intersecci´on del cilindro x2 + y 2 = 4 con el plano z = 2. d ) Hallar la masa, el centro de masa y la densidad media de un alambre en forma de h´elice, ~λ(t) = (cos t, sen t, t), t ∈ [0, 2π], cuya funci´on de densidad es δ(x, y, z) = k(x2 + y 2 + z 2 ). e) Hallar el momento de inercia de un alambre homog´eneo de densidad constante δ0 cuya forma es la de la curva parametrizada por ~σ : [−a, a] → R2 , ~σ (t) = (t, cosh t), respecto de cada uno de los ejes coordenados. f ) Hallar el momento de inercia respecto del eje y de un alambre de densidad constante, √ t cuya forma coincide con la de la curva definida por x = e , y = 2t, z = e−t para 0 ≤ t ≤ 1. p 8. Sean R > 0, f : D → R, f (x, y) = R − x2 + y 2 , con D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 ≤ R}, justificar geom´etricamente que la funci´on representa la distancia de un punto del dominio a la circunferencia de radio R centrada en el origen. Calcular el valor medio de f sobre la R curva parametrizada por ~λ : [−a, a] → R2 , ~λ(t) = (t, mt), donde m es fijo y a = √1+m 2, e interpretar el resultado obtenido. 2

9. Suponer que la curva C parametrizada por ~λ : [a, b] → R2 de clase C 1 es R la curva de nivel 2 3 de la funci´on continua f : U ⊂ R → R y su longitud es 4. Calcular C f ds ¿Cu´al es el valor medio de f sobre la curva?

3.

Integral de campos vectoriales sobre curvas

10. Calcular la circulaci´on de f~(x, y) = (y, −x) desde el punto (1, 0) hasta el punto (0, −1) a lo largo de: a) un segmento que une los puntos. b) las 3/4 partes del c´ırculo unitario. 11. Calcular R a) C + (2x, −y) · d~s, donde C es el cuadrado |x| + |y| = 1. R b) C + (xy, x2 ) · d~s, siendo C la frontera de la regi´on del primer cuadrante limitada por xy ≤ 1 , y ≤ x2 , 8y ≥ x2 . 12. Resolver a) Sea C parametrizada por ~σ (t) = (t, t2 , 2t) con t desde 0 hasta 2. Expresar C como intersecci´on de dos superficies y graficarla. Calcular la circulaci´on de f~(x, y, z) = (xy, x, zy) a lo largo de C ¿cu´ales son los puntos inicial y final del recorrido? b) Idem que el inciso anterior para ~σ (t) = (t + 1, 2t + 1, t), t desde −1 hasta 2 y el campo f~(x, y, z) = (x + 2y + z, 2y, 3x − z). 13. Calcular el trabajo que realiza una fuerza constante de magnitud 2, en la direcci´on positiva del eje y, sobre una part´ıcula puntual cuya trayectoria es la circunferencia unitaria, (0, −1) −→ (1, 0) −→ (0, 1), 14. Sea g una funci´on continua en R3 .Calcular la circulaci´on de f~(x, y, z) = (2g(x, y, z), xy − 9xg(x, y, z), 3yg(x, y, z)), desde (1, y0 , z0 ) hasta (8, y1 , z1 ) a lo largo de la curva C cuyos puntos pertenecen a la superficie de ecuaci´on z = x − y 2 , y su proyecci´on sobre el plano xy cumple con la ecuaci´on x = y 3 .

3

3.1.

Campos de gradientes

15. Analizar si los siguientes campos admiten funci´on potencial y en caso afirmativo hallarla. a) f~(x, y) = (2x + y 2 sen(2x), 2y sen2 x). b) f~(x, y, z) = (xy, x + zy, yz). c) f~(x, y, z) = (y − 2xz + 1, x + 2y, −x2 ). d ) f~(x, y, z) = ((1 + xz)exz , xexz , yx2 exz ). 16. Sea f~(x, y) = (x, x − y 2 ) a) Mostrar que f~ no admite funci´on potencial. b) Hallar la circulaci´on de f~ a lo largo de la curva positivamente orientada C, per´ımetro de la regi´on descripta por 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y 2 . 17. Sea f~(x, y, z) = (4x/z, 2y/z, −(2x2 + y 2 )/z 2 ), z 6= 0 a) Mostrar que f~ admite funci´on potencial para z > 0. b) Describir las superficies equipotenciales de f~. c) Calcular la circulaci´on de f~ a lo largo de la curva descripta por x = 1 + log(1 + | sen(t)|), y = et(π−t) , z(t) = 1 + t/π, t ∈ [0, π]. 18. Si f y g son campos escalares C 1 en un D conexo y si C es una curva contenida en D de A a B entonces R a) C (f ∇g + g∇f ) · d~s = f (B)g(B) − f (A)g(A) R b) C (2f g∇f + f 2 ∇g) · d~s = f 2 (B)g(B) − f 2 (A)g(A) R ∇g c) Si g 6= 0 en D, entonces C g∇fg−f · d~s = f (B)/g(B) − f (A)/g(A) 2 19. ¿Cu´al es el trabajo que realiza f~(x, y, z) = (y 2 cos x + z 3 )˘i + (2y sen x − 4)˘j + (3xz 2 + 2)k˘ sobre una part´’icula cuya trayectoria es la curva parametrizada por x = arc sen t, y = 1 − 2t, z = 3t − 1, 0 ≤ t ≤ 1? 20. Resolver a) ¿Para qu´e valores de a y b resulta conservativo el campo f~(x, y, z) = (ax sen(πy), x2 cos(πy)+bye−z , y 2 e−z )? Para esa elecci´on de a y b calcular la circulaci´on de f~ a lo largo de la curva parametrizada por ~σ (t) = (cos t, sen(2t), sen2 (t)), 0 ≤ t ≤ π. 4

b) ¿Para qu´e valores de a y b , y en qu´e dominio que contenga a (1, 1, 1), resulta 2 ˘ Para esa elecci´on conservativo el campo f~(x, y, z) = (ax ln(z))˘i+(by 2 z)˘j +( xz +y 3 )k? de a y b calcular la circulaci´on de f~ a lo largo del segmento que une el punto (1, 1, 1) al (2, 1, 2). R c) Verificar que C (3x − 2y 2 ) dx + (y 3 − 4xy) dy no depende de C, s´olo de los puntos inicial y final del arco de curva. Calcular la integral cuando se circula desde (1, 3) hasta (2, 4). R d ) Evaluar C (ex sen y + 3y) dx + (ex cos y + 2x − 2y) dy, sobre la elipse 4x2 + y 2 = 4. Indicar el sentido elegido. R 21. Sea ϕ ∈ C 2 (R3 ), demuestre que f~ = ϕ∇ϕ es un campo de gradientes y calcule λAB f~ · d~s R s = 4. (A y B son los puntos inicial y final del sabiendo que ϕ(B) = 7 y que λAB ∇ϕ · d¯ arco de curva suave λAB ). 22. Sea C una curva  simple cerrada,que no pasa por el origen y que encierra una regi´on R. x −y , . Sea f~(x, y) = x2 + y 2 x2 + y 2 H a) Probar que si (0, 0) ∈ / R, entonces C + f~ · d~s = 0. b) Probar que si C es una circunferencia centrada en el origen de cualquier radio, H orientada en sentido horario, entonces C f~ · d~s = −2π. c) Probar que el campo f~ tiene matriz jacobiana continua y sim´etrica en R2 − {(0, 0)}. ¿Es f~ un campo gradiente? ¿Es posible definir f~ en un dominio donde sea un campo de gradiente?

3.2.

L´ıneas de Campo

23. Determinar la correspondencia de los siguientes gr´aficos con los campos vectoriales f~i : R2 → R2 , f~1 = (x, 0), f~2 = (y, 1), f~3 = (−y, x) y f~4 = (2x, 2y).

5

¿Puede graficar aproximadamente sus l´ıneas de campo? 24. Dado el campo f~(x, y) = (−y, x) a) Probar que las l´ıneas de campo son circunferencias. b) Probar que kf~(x, y)k es constante sobre circunferencias centradas en el origen. c) Si C es una circunferencia centrada en el origen de radio R, calcular, sin efectuar la H integral, + f~ · d~s C

25. Si f~ : R2 → R2 es un campo de gradientes, y φ, un campo C 1 en R2 es su funci´on potencial, demostrar que las l´ıneas de campo y las l´ıneas equipotenciales son familias de curvas ortogonales. Comprobar este resultado para los campos f~(x, y) = (x, y) y ~g (x, y) = (−4x, 1).

6

Gu´ıa VIII: Integrales M´ ultiples 1.

Integrales Dobles

1. Calcular el a´rea de las siguientes regiones planas. Graficar la regi´on. a) definida por y ≥ x2 , y ≤ x. b) definida por x + y ≤ 2 , y ≤ x, y ≥ 0. c) limitada por y = x3 y y = x. d ) limitada por la l´ınea de nivel 4 de f (x, y) = |x| + |y|. e) limitada por las curvas de nivel 2 y 4 de f (x, y) = x + 2y en el 1◦ cuadrante. 2. Expresar cada integral invirtiendo el orden de integraci´on. Graficar la regi´on de integraci´on. R 1 R √2−y2 R 2 R 2x (b) 0 y f (x, y) dxdy (a) 1 dx x f (x, y) dy R1 R1 (c) −1 x2 f (x, y) dydx

(d)

R1

dy −1

R ey 0

f (x, y) dx

3. Calcular la masa y el centro de masa de una placa plana definida por |x| ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, si su densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al eje y. 4. Calcular la masa de la placa plana definida por |x| ≤ y ≤ 2 cuando la densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto a la recta x = 1. 5. Interpretar gr´aficamente la regi´on de integraci´on y calcular las siguientes integrales (en algunos casos puede convenirle invertir el orden de integraci´on). R1 R1 (a) −1 |y| 2x dxdy

(b)

R2

R1R1 2 (c) 0 y ex dxdy

(d)

R

2 17/4−x R

−2 √ 4−x2

x dydx

y dxdy (D indica el disco de radio 1 centrado en el origen.)

D

6. Sean Q = [0, 2] × [0, 2] y f : Q → R continua en Q. Si Z x Z y F (x, y) = du f (u, v) dv, (x, y) ∈ Q 0

0

1

mostrar que ∂ 2F ∂ 2F (x, y) = (x, y) = f (x, y) ∂x∂y ∂y∂x para todo (x, y) interior a Q.

1.1.

Cambio de Coordenadas

7. Resolver los siguientes ejercicios utilizando los cambios de coordenadas propuestos. , u−v ). a) Calcular a´rea(D), D = {(x, y) ∈ R2 /|x| + |y| ≤ 2}, usando (x, y) = ( u+v 2 2 R x+y ◦ dxdy, D descripto por 1 ≤ x + y ≤ 4 en el 1 cuadrante, usando b) Calcular e D

x + y = u, x = v. 2

2

c) Calcular el ´area de la regi´on plana definida por xa2 + yb2 ≤ 1 con a > 0, b > 0, usando (x, y) = (ar cos θ, br sen θ). R dxdy d ) Calcular , D descripto por x2 ≤ y ≤ 4x2 , x ≥ 1, y ≤ 9 usando la transformax D

ci´on (x, y) = (v/u, v 2 /u). 8. Calcular las siguientes integrales aplicando una transformaci´on lineal conveniente. R a) e(y−x)/(x+y) dxdy, D descripto por x + y ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0. D

b)

R

(x − y)2 sen2 (x + y) dxdy, D descripto por −π ≤ y − x ≤ π, π ≤ x + y ≤ 3π.

D

c)

R

(x + y)3 dxdy, D descripto por 1 ≤ x + y ≤ 4, −2 ≤ x − 2y ≤ 1.

D

9. Resolver utilizando coordenadas polares, ¿en qu´e casos merece especial cuidado el an´alisis de la integrabilidad de la funci´on en el dominio indicado?. R 2 2 a) ex +y dxdy, D c´ırculo de radio R con centro en (0, 0). D

b)

R D

x+y x2

dxdy, D descripto por 0 ≤ y ≤ x, x + y ≤ 2.

´ c) Area(D), D descripto por x2 + y 2 ≤ 4a2 , x2 + y 2 ≥ 2ax, con a > 0. R4 R 10. Sea f una funci´on continua tal que 0 f (t) dt = 1. Calcular f (x2 + y 2 ) dxdy siendo D

D ⊂ R2 el disco descripto por x2 + y 2 ≤ 4.

2

2.

Integrales Triples

11. Describir mediante un gr´afico en perspectiva las regiones del espacio dadas por: (a) x + y ≤ 1

(b) x2 ≥ y

(c) x2 − y 2 ≥ 0

(d) x2 + z 2 ≥ 1

(e) x2 + y 2 + z 2 = 9, 1 ≤ z ≤ 2

(f) (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 ≥ 1

(g) z > (x − 1)2 + (y + 2)2

(h) (x − 1)2 + y 2 − y + (z − 3)2 + 3z ≥ 1

(i) z > x2 − y 2

(j) x2 + y 2 + 2x − z 2 ≤ 0

(k) x2 − y 2 − z 2 ≤ 1

(l) x2 + y 2 ≥ 1, z ≥ x + y

2.1.

Coordenadas Cil´ındricas y Esf´ ericas

12. Describir mediante un gr´afico en perspectiva y en coordenadas cartesianas las siguientes regiones del espacio, dadas en coordenadas cil´ındricas. Indicar cu´ales tienen relaci´on con los gr´aficos que aparecen a continuaci´on. (a) r ≤ 1

(b) r = 2, 0 < θ < 3π/4

(c) r ≤ 2 cos(θ)

(d) r ≥ 2, r(cos θ + sen θ) ≤ 1

(e) 0 < θ < π/4, r ≥ 1/cos θ

(f) z 2 ≤ 2r2

(g) z 2 ≥ 1 + r2

(h) z 2 > 1 − r2

3

13. Describir en coordenadas cil´ındricas las regiones dadas en coordenadas cartesianas: √ (a) x ≤ 3y (b) z ≥ 3y (c) |z| ≤ x2 + y 2

(d) x2 + y 2 + z 2 − z < 0 , x2 + y 2 < z 2 , z ≥ 0

14. Describir mediante un gr´afico y en coordenadas cartesianas las regiones del espacio siguientes dadas en coordenadas esf´ericas (ρ ≥ 0, 0 ≤ θ < 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π). Indicar cu´ales tienen relaci´on con los gr´aficos que aparecen a continuaci´on. (a) ρ ≤ 2

(b) ρ ≤ 1, ϕ ≤ π/4

(c) θ = π/4

(d) ρ = 1, θ ≥ 3/2π

(e) ρ ≤ 2, θ = π/4

(f) θ < π/2, ϕ > 2π/3

4

15. Describir en coordenadas esf´ericas las siguientes regiones dadas en coordenadas cartesianas: en cartesianas por (a) x2 + y 2 ≥ 1

(b) |x| ≤ y

(c) x2 + y 2 + 3z 2 ≤ 1

(d) x =

√

3y, z = x, x ≥ 1

16. Calcular el volumen del cuerpo D mediante una integral triple usando el sistema de coordenadas que crea conveniente. a) D = {(x, y, z) ∈ R3 /x + y ≤ z ≤ 1 ∧ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0}. b) D = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 ≤ 1 ∧ y 2 + z 2 ≤ 1}. p c) D = {(x, y, z) ∈ R3 /z ≤ x2 + y 2 ∧ x2 + y 2 + z 2 ≤ 2}. d ) D limitado por z = 2x2 + y 2 , z + y 2 = 8. e) D definido por: y ≥ x2 , y ≤ x, z ≥ x + y, x + y + z ≤ 6. f ) D interior a la esfera de ecuaci´on x2 + y 2 + z 2 = 4r2 , con x2 + y 2 ≥ 2 r x, en el 1◦ octante. (r > 0).

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17. Demostrar que V = 92 a3 es el volumen del tetraedro en el primer octante limitado por los planos coordenados y el plano tangente a la superficie de ecuaci´on xyz = a3 en el punto (x0 , y0 , z0 ) de la misma (a 6= 0). 18. Calcular la masa del cuerpo limitado por x2 + y 2 + z 2 = 2 con y ≥ x2 + z 2 cuando la densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al eje y. 19. Calcular el momento est´atico del cuerpo H respecto del plano x z si la densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al plano x y. H est´a en el 1◦ octante definido por: x + y + z ≤ 2, z ≥ x + y, y ≤ x. 20. Calcular las coordenadas del centro de gravedad de un cuerpo con densidad constante limitado por x2 + z 2 = 1, y − x = 1, 1◦ octante. p 21. Calcular el volumen de la regi´on definida por x2 + y 2 − 6 ≤ z ≤ x2 + y 2 22. Hallar k > 0 de manera que el volumen del cuerpo comprendido entre el paraboloide x2 + y 2 = kz y el plano z = k sea 4π. 23. Calcular el momento de inercia respecto del eje x de un cuerpo con densidad constante limitado por x = y 2 + z 2 , 5x = y 2 + z 2 + 4. 24. Sea R ⊂ R3 la regi´on descripta por 0 ≤ z ≤ 4 − x2 − y 2 , x2 + y 2 − 2y ≥ 0, y ≥ 0. a) Hallar el ´area de la proyecci´on de R sobre el plano yz. b) Hallar el ´area de la proyecci´on de R sobre el plano xz. c) Hallar el ´area de la proyecci´on de R sobre el plano xy. 25. Graficar y describir en cada caso el conjunto que genera C al rotar en un ´angulo α0 en torno al eje z. Indicar el sentido de rotaci´on. a) C = {(0, 1, 1)}, ϕ0 = π/2 b) C = {(x, y, z) ∈ R3 /x = 0, z = 3y + 2}, ϕ0 = π/2 c) C = {(x, y, z) ∈ R3 /x = 0, z = 3y 2 + 2}, ϕ0 = 3π/2 d ) C = {(x, y, z) ∈ R3 /x = 0, z 2 + y 2 = 1}, ϕ0 = π/3

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Gu´ıa IX: Integrales de Superficie 1. Calcular el a´rea de las siguientes superficies: a) S: trozo de cilindro x2 + y 2 = 4 con 0 ≤ z ≤ 2. b) S: frontera del cuerpo definido por x + y + z ≤ 4, y ≥ 2x en el 1◦ octante. c) S: trozo de cilindro x2 + y 2 = 2 a y con x2 + y 2 + z 2 ≤ 4a2 , (a > 0). p √ d ) S: trozo de cono z = x2 + y 2 con z ≤ 4, y ≤ 3 x. 2. Calcular la masa de la porci´on de superficie c´onica dada por 4z 2 = x2 + y 2 con 0 ≤ z ≤ 1 y x ≤ y, sabiendo que la densidad superficial de masa en cada punto es proporcional a su distancia al plano xy. 3. Calcular el √ momento de inercia respecto del eje y de una chapa con forma de tronco de cono y = x2 + z 2 con 1 ≤ y ≤ 4, si la densidad es constante. 4. Calcular la integral de f (x, y, z) = x y − z sobre la superficie cil´ındrica y = z 2 con |x| ≤ y ≤ 2. R n dS, indicando claramente en un gr´afico la 5. Calcular el flujo de f~ a trav´es de S, f~.ˇ S

orientaci´on que Ud. ha elegido o le ha sido dada, para el vector normal unitario n ˘ en cada caso. a) f~(x, y, z) = (y, x2 − y, x y) a trav´es del trozo de superficie cil´ındrica de ecuaci´on y = x2 en el 1◦ octante, con x + y + z ≤ 2. 2 2 b) f~(x, y, z) = (x3 , y x2 , x z 2 ) a trav´es del trozo p de cilindro de ecuaci´on x + z = 4 cuyos puntos satisfacen la inecuaci´on z ≥ x2 + 2y 2 . c) f~(x, y, z) = (x y, x, 2z) a trav´es de la superficie frontera del cuerpo H con n ˘ saliente, 3 si H = [0, 2] × [0, 2] × [0, 2] ⊂ R . d ) f~(x, y, z) = (x − y, x, 2 − y) a trav´es de la superficie frontera del cuerpo definido por x + y ≤ 4, y ≥ x, z ≤ x, z ≥ 0, con n ˘ saliente. e) f~(x, y, z) = (y 3 z, xz − yz, x2 z) a trav´es de 2y = x2 con x2 + y 2 + z 2 ≤ 3 en el 1◦ octante. 6. Dado f~(x, y, z) = (x − y, a z, b y), determinar la relaci´on entre a y b para que sea nulo el flujo de f~ a trav´es de la superficie plana de ecuaci´on y + z = 3 en el 1◦ octante, con x ≤ 2. Indicar en un gr´afico la normal utilizada.

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7. Calcular el flujo del campo f~(x, y, z) = (x, y, z) a trav´es de la superficie de ecuaci´on z = a − x2 − y 2 que est´a por encima del plano z = b, donde a > b. Considerar n ˇ con componente z negativa. 8. Una porci´on S de la superficie de una esfera de radio 3 centrada en el origen tiene ´area 2. ¿Cu´anto vale el flujo del campo f~(x, y, z) = (x, y, z) a trav´es de S orientada con la normal hacia el interior de la esfera? 9. Calcular el flujo de f~(x, y, z) = (4y, y, ϕ(x, y, z)) continuo en R3 , a trav´es del trozo de cilindro x2 + y 2 = 1 con 0 ≤ z ≤ 2. Indicar en un gr´afico la orientaci´on elegiga. ¿Por qu´e el flujo no depende de ϕ? 10. Determinar los valores de a y b para los que se produce un m´ınimo relativo del flujo de f~(x, y, z) = (a b x, y/a, −z/b) a trav´es de z = x y con (x, y) ∈ [1, 2] × [1, 2], cuando el n ˇ se orienta de manera que n ˇ · (0, 0, 1) < 0. 11. Sea S ⊂ R3 la superficie descripta por x2 + y 2 = 1, x2 + z 2 − 2z ≤ 0, x ≤ 0, y ≤ 0. Hallar el flujo a trav´es de S del campo f~(x, y, z) = (x, y, z 2 ) con S orientada de manera que la coordenada y de su vector normal resulte positiva. ~r siendo ~r = (x, y, z). Probar que el flujo del campo f~ a k~rk3 trav´es de cualquier esfera centrada en el origen, con normal exterior, es 4π. ¿Por qu´e el flujo es independiente del radio de la esfera?

12. Sea f~ : R3 → R, f~(~r) =

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Gu´ıa X: Teoremas Integrales 1. Trabajando en coordenadas cartesianas y considerando las hip´otesis que fueran necesarias en cada caso, demostrar que: a) ∇ · (rot(f~)) = 0. b) rot(∇(f )) = 0. c) ∇(f g) = f ∇g + g ∇f . d ) ∇ · (f ~g ) = ∇f · ~g + f ∇ · ~g . e) ∇ × (f ~g ) = ∇f × ~g + f ∇ × ~g . f ) si ϕ : R → R y ~r = (x, y, z) es el vector posici´on, entonces ∇ϕ(k~rk) = ϕ0 (k~rk) k~~rrk . 2. Sea f~(x, y, z) = (2x, −y 2 z, h(x, y)) determinar la expresi´on de h de manera que f~ resulte irrotacional, sabiendo que f~(0) = (0, 0, 1). 3. Si f~(x, y, z) = (y 2 − z, 2xy + 1, h(x, y, z)), ¿es posible hallar h tal que f~ sea solenoidal e irrotacional? 4. Analizar en los siguientes casos, si el campo f~ dado admite funci´on potencial en su dominio.     2y 2y 2x 2x ~ , , 4z ~g (x, y, z) = − 2 , , 4z f (x, y, z) = x2 + y 2 x2 + y 2 x + y 2 x2 + y 2 5. Sea f~(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)), f~ ∈ C 1 tal que Q0x − Py0 = k 6= 0 (k constante). Obtener la f´ormula I 1 ´ f~ · d~s Area(D) = k ∂D+ para el c´alculo del ´area de una regi´on plana D mediante integral de l´ınea a lo largo de su frontera ∂D. x2 y 2 6. Calcular el a´rea de D ⊂ R2 definido por 2 + 2 ≤ 1 con a, b ∈ R+ integrando a b ~ f (x, y) = (0, x) a lo largo de su frontera. 7. Sea f~(x, y) = (x, x y 2 ) y D una regi´on plana cuyos puntos satisfacen 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4 a) Calcular la circulaci´on del campo f~ a lo largo de la curva borde de D, recorrida de manera que el interior de la regi´on quede a la izquierda. 1

b) Calcular la circulaci´on pedida en el item anterior utilizando el Teorema de Green.
Sea f~ : R2 − {(0, 0)} → R2 , f~ = (P, Q), f~ ∈ C 1 y Q0x − Py0 (x, y) = 4 en su dominio. H Calcular + f~ · d~s, siendo C una circunferencia con centro en el origen y radio r sabiendo C que para r = 1 el valor de dicha integral es 3π. 8. Sea f~ : R2 − {(0, 0)} −→ R2 , el campo definido por   2 y − x2 −2xy ~ , f (x, y) = (x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2 Mostrar que punto (0, 0).

H C+

f~ · d~s = 0 a lo largo de cualquier curva C cerrada, simple que rodee al

9. Sean f~(x, y, z) = (y + x, 2y, z) y C la curva intersecci´on de las superficies z = 27 − 2x2 − 2y 2 , x2 + y 2 = z. a) Graficar y parametrizar C. b) Probar que el campo f~ es perpendicular a C en el punto P = (−3, 0, 9). c) Hallar la circulaci´on de f~ a lo largo de C. Indicar la orientaci´on elegida. d ) Calcular el flujo del rotor de f~ a trav´es de la superficie z = x2 + y 2 con z ≤ 9 con la normal saliente. 10. Sea S la superficie de ecuaci´on y 2 + z 2 = 4 en el 1◦ octante, con x + y ≤ 2. Calcular la circulaci´on de f~(x, y, z) = (xy, y, yz) a lo largo de la curva frontera de S con orientaci´on (0, 0, 2) → (0, 2, 0) → (2, 0, 2) → (0, 0, 2). 11. Sea f~(x, y, z) = (x, y + z, z). Calcular el flujo de f~ a trav´es de la superficie frontera del cuerpo definido por x2 + y 2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 considerando la normal exterior. 12. Rehacer el ejercicio 4 d) de la Gu´ıa IX utilizando el Teorema de Gauss. 13. Calcular la circulaci´on de f~(x, y, z) = (z − xy, y − z, x3 + y) a lo largo de la curva borde de la regi´on contenida en el plano xy limitada por y = √ x, y √ = 2x, xy = 1, xy = 4 con x > 0 recorrida de manera que (1, 1, 0) −→ (2, 2, 0) −→ ( 2, 2 2, 0), aplicando el teorema del rotor. p 14. Calcular el flujo de f~ a trav´es de la semiesfera de ecuaci´on z = 25 − x2 − y 2 sabiendo que existe un campo ~g ∈ C 2 de manera que f~ = rot(~g ) y que f~(x, y, 0) = (0, y, x − 1). Indicar gr´aficamente la orientaci´on que ha elegido para n ˘. 2

15. Sea C ⊂ R3 la curva determinada por la intersecci´on de las superficies de ecuaciones z = 2x2 + y 2 y z = 6 − x2 − y 2 a) Hacer un gr´afico aproximado de la curva y las superficies. 2

2

b) Calcular la circulaci´on del campo F (x, y, z) = (2yxex + z, ex , x) sobre la porci´on de la curva C de coordenada y positiva indicando la orientaci´on elegida.  2  y 2xy 0 0 0 , calcular la 16. Dado el campo f~ cuya matriz jacobiana es Df~(x, y, z) =  0 2 0 z 2yz circulaci´on de f~ a lo largo de la curva intersecci´on del plano x + y + z = 4 con los planos coordenados. Indicar claramente en un esquema en qu´e sentido ha orientado la curva. 17. Dado f~(x, y,ZZ z) = (xg(y), g(y) − y, g(x) − zy), f~(0) = (0, 1, 1) hallar la expresi´on de f~ de ~ = 0, ∀S suave. manera que f~ · dS S

18. Sea f~ un campo de clase C 2 ,cuyo rotor es rot(f~) = (x − y, −2y + x, z). Calcular la ~ circulaci´on del campo f~ a lo largo de la curva de ecuaci´on X(t) = (3 cos t, 3 sen t, 6 − 3 cos t − 3 sen t) con t ∈ [0, 2π]. Indicar la orientaci´on elegida. 19. Demostrar que si ϕ es arm´onico, el flujo, con la normal exterior, de ϕ∇ϕ a trav´es de de la superficie frontera de un cuerpo H es igual a la integral triple de k∇ϕk2 extendida a H. 20. Sea f~ un campo vectorial no nulo en W ⊂ R2 abierto y arco-conexo. a) Mostrar que si C es una l´ınea de campo de f~ = ∇φ, la circulaci´on a lo largo de C de f~ es Z k∇φk ds C

b) Mostrar que si las l´ıneas de campo de f~ son cerradas, f~ no es un campo de gradientes. 21. Demostrar que el flujo de f~(x, y, z) = (x + yez , Q(x, z), 5z) a trav´es del trozo de esfera de ecuaci´on x2 + y 2 + z 2 = 13 con z ≥ 2 no depende de la funci´on Q. Indique gr´aficamente la orientaci´on que ha elegido para el versor normal a la superficie, y otras hip´otesis que se debieran considerar. 22. Sea f~(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), 2) un campo vectorial C 2 . Suponiendo que RRR ∇ · f~(x, y, z) dx dy dz = 3, siendo D la regi´on descripta por 0 ≤ z ≤ 1, x2 + y 2 ≤ 1, D 3

calcular el flujo de f~ a trav´es de S, siendo S la superficie cil´ındrica (¡sin tapas!) descripta, en coordenadas cil´ındricas, por r = 1, 0 ≤ z ≤ 1, orientada de manera que el vector normal se dirija hacia afuera del cilindro. 23. Sea f~(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), 2) un campo vectorial C 2 en la regi´on R ⊂ R3 descripta por x2 + y 2 + z 2 < 9. Suponiendo que ∇ × f~ = 0 en R, calcular la circulaci´on de f~ a lo largo de la curva parametrizada por (sen t, 1, cos t), con t variando desde 0 hasta π. 24. Sea f : R2 → R una funci´on C 2 , y sea F~ (x, y, z) = (fx0 (x, z), 0, x + y + fz0 (x, z)) Calcular la circulaci´on de F~ a lo largo de la curva cerrada definida por x2 + y 2 + z 2 = 25, y = 4 orientada de manera que su vector tangente en (3, 4, 0) tenga coordenada z negativa. 25. Sea f~(x, y, z) = (xP (x, y, z), yP (x, y, z), zP (x, y, z) − 2) un campo vectorial C 2 . SuponienRRR ∇ · f~(x, y, z) dx dy dz = 3, siendo M ⊂ R3 la regi´on descripta por x2 + y 2 + do que pM z 2 ≤ 25, 4 x2 + y 2 ≤ 3z, hallar el flujo de f~ a trav´es del casquete esf´erico definido por x2 + y 2 + z 2 = 25, z ≥ 4, con el vector normal orientado hacia el exterior de la esfera. 26. Sea f~ : R3 → R3 un campo vectorial C 2 , que satisface ∇× f~(x, y, z) = (0, x, 0). Sea g(a, b) la circulaci´on de f~ a lo largo del borde del rect´angulo descripto por y = −a2 + b2 x, −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ z ≤ 1 orientado de manera que su tangente en (0, −a2 , 1) tenga coordenada x negativa. Hallar el m´ınimo de g(a, b), (a, b) ∈ R2 . 27. Hallar a de manera que sea m´aximo el flujo del campo f~(x, y, z) = (x, y, z) a trav´es del borde (¡con tapas!) del cilindro el´ıptico descripto por x2 y2 + ≤ 1, 2 4a 4a2 1 − 1+4a 1 + 1+4a 2 2

0≤z≤1

28. Sea F~ un campo vectorial C 2 , F~ (x, y, z) = (xP (x, y, z), yQ(x, y, z), z) y sea S el semic´ırculo en el plano y = 0 descripto por y = 0, x2 + z 2 ≤ 1, x ≥ 0. Si el flujo del rotor de F~ a trav´es de S orientado de manera que su normal tenga coordenada y positiva es 4, hallar la circulaci´on de F~ a lo largo del arco de circunferencia parametrizado por ~σ (t) = (sen(t), 0, − cos(t)) con t desde 0 hasta π. 4

29. Sea f~(x, y, z) = (0, 0, zR(x, y)) un campo vectorial C 2 en la regi´on D ⊂ R3 descripta por ~ x2 + y 2 + z 2 < 9. Suponiendo que el flujo R R de f a trav´es del borde del cilindro definido por 2 2 x + y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2 es 3, calcular R(x, y) dx dy, siendo M el disco descripto en el M

plano xy por x2 + y 2 ≤ 1. 30. Hallar una funci´on g : R → R de manera que el flujo del campo F~ (x, y, z) = (x + z, g(y) + z 2 , z) a trav´es de la semiesfera x2 + y 2 + z 2 = 4, z ≥ 0, con la normal exterior, sea cero.

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