Cuadernillos de apoyo pedagógico Microeconomía I

APÉNDICE HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS PARA EN ANÁLISIS MICROECONÓMICO.1 En general, los economistas usan, al igual que todos los profesionales, herramientas de trabajo comunes a su ciencia. Y normalmente, las ciencias operan usando como herramientas los modelos. Un modelo es un marco analítico para entender algún fenómeno que lo simplifica, con el objeto primordial de entender el fenómeno en sus partes esenciales, de manera de tal de describirlo y poder predecir sobre el mismo. Muchas veces (quizás Ud. crea demasiadas), los economistas utilizan los modelos matemáticos para explicar los fenómenos económicos. Esto no tiene ningún afán de complejizar excesivamente un asunto, sino todo lo contrario: Especificando un par de ecuaciones de comportamiento, haciendo los supuestos necesarios sobre las variables, y usando el razonamiento matemático y lógico, podemos llegar a conclusiones generales sobre fenómenos económicos importantes debidamente tipificados. Este Apéndice de Herramientas matemáticas usadas en el análisis económico pretende sintetizar el conjunto de conocimientos matemáticos que el estudiante del curso Microeconomía I debe manejar para trabajar con los modelos estudiados en el curso. (Modelo de la elección del consumidor, modelo de elección de los insumos, la producción, modelos de equilibrio parcial, modelos de monopolio, etc).

1

El Siguiente apéndice es un resumen de muchos de los conceptos explicados (Nicholson, 2002), capítulo 2: las matemáticas de la optimización. También se usan definiciones y explicaciones de conceptos extraídos de (Alpha Chiang, 2006). así como algunas explicaciones e interpretaciones de (Frank Ayres, 1991). En los casos en que las definiciones sean extraídas textuales; se citará a los autores correspondientes, en caso de no hacerlo, corresponde a una interpretación de los docentes a cargo de este trabajo, y cualquier error, u omisión será atribuible a los mismos y no representa las intenciones de Universidad de las Américas.

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I.

Desde la variable económica al modelo económico.

Una variablees algo cuya magnitud puede cambiar, es decir algo que puede tomar valores diferentes (Alpha Chiang, 2006). Las variables de Uso común en este curso serán:

 los precios de los bienes,  las cantidades producidas por empresas,  las cantidades demandadas por consumidores,  el ingreso obtenido por los consumidores,  el beneficio –o ganancias- obtenidas por los productores, sus costos,  y un gran etc.

Usualmente, representaremos estas variables con letras, o símbolos; por ejemplo:

࣊ = ࢈ࢋ࢔ࢋࢌ࢏ࢉ࢏࢕ ࢕࢈࢚ࢋ࢔࢏ࢊ࢕ ࢖࢕࢘ ࢒ࢇ ࢋ࢓ ࢖࢘ࢋ࢙ࢇ ࡽ ࢊࢊࢇ = ࢉࢇ࢔࢚࢏ࢊࢇࢊ ࢊࢋ࢓ ࢇ࢔ࢊࢇࢊࢇ

ࢁ ࢏ = ࢛࢚࢏࢒࢏ࢊࢇࢊ ࢕࢈࢚ࢋ࢔࢏ࢊࢇ ࢖࢕࢘ ࢋ࢒࢏− é࢙࢏࢓ ࢕ ࢉ࢕࢔࢙࢛࢓ ࢏ࢊ࢕࢘

(ࢊ࢕࢔ࢊࢋ ࢊࢋࢉ࢏࢓ ࢕࢙࢛ࢗࢋ: ࢏= {૚, ૛, … … . ࢔})

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Lo que se lee como que “La utilidad que estamos analizando es la obtenida por el i-ésimo consumidor”… ¿quién es este consumidor?, uno de todos los consumidores de este mercado que pueden ser el consumidor 1 ( ܷଵ ), consumidor 2 (ܷଶ), el consumidor i (ܷ௜), hasta el n-ésimo (el último) consumidor (ܷ௡ ). Un Modelo económico, normalmente 2 es unconjunto de ecuaciones que representan una explicación de un fenómeno económico, estás ecuaciones están compuestas por Variables y parámetros. Durante este curso usaremos muchos modelos matemáticos que representaran fenómenos económicos, los modelos matemáticos pueden ser Uni-ecuacionales (si tienen sólo una ecuación que describe el modelo), o multi-ecuacionales (si tienen un conjunto de ecuaciones que describen el modelo). Las ecuaciones a su vez tienen variables, hablemos un poco más de ellas. Existen, a nivel general dos tipos de variables:  Variables Endógenas: que son aquellas variables que el modelo intenta explicar y /o predecir¸ y  Variables Exógenas, que son variables que usamos para introducir en el modelo con el objetivo de explicar a las variables endógenas. Lo anteriormente dicho podemos esquematizarlo a través del siguiente diagrama de sistema de entrada y salida:

2

Existen modelos económicos que no usan ecuaciones, sino diagramas, o simplemente palabras. Un ejemplo de este tipo de modelos es el modelo de flujo circular de macroeconomía (Véase también (Mankiw, 2009), capítulo 2: “pensar como un economista”)

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Donde observamos que como inputs tomamos un conjunto de variables exógenas, tales como los precios y los ingresos; y las relacionamos (generalmente en ecuaciones -procesadores- como la función de utilidad, la función de gasto) con variables endógenas como las demandas, y la utilidad obtenida del consumo, con el objetivo de predecirlos valores de salida u outputs que estás variables endógenas tomarán.

 Aplicación Económica: La restricción presupuestaria. En los modelos económicos intervienen muchas ecuaciones; como por ejemplo en la Teoría del consumidor, la siguiente ecuación, conocida como restricción de presupuesto; que nos dice en palabras que lo que una persona gasta en dos bienes cualesquiera, debe ser igual a lo que esa persona gana. Por eso es una restricción, porque estamos restringiendo los valores de demanda de los bienes(valorando su cantidad en términos monetarios, lo que significa multiplicándola por su precio). Por ejemplo: ʹ ܲ௑ ܺ ൅ ͺܲ௒ ܻ ൌ ‫ܫ‬

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Y tenemos que cada símbolo utilizado representa: ܺ ൌ ݀݁݉ ݈ܾܽ݊݀ܽ݀݁݅݁݊ܺሺ݁݊݀×݃݁݊ܽሻ ܻ ൌ ݀݁݉ ݈ܾܻܽ݊݀ܽ݀݁݅݁݊ሺ݁݊݀×݃݁݊ܽሻ

‫ܫ‬ൌ ݅݊݃‫ݎ݋݀݅ ݉ݑݏ݊݋݈ܿ݁݀݋ݏ݁ݎ‬ሺ݁‫ܽ݊݁݃×ݔ‬ሻ ܲ௑ ൌ ‫ܾ݈ܺ݊݁݅݁݀݋݅ܿ݁ݎ݌‬ሺ݁‫ܽ݊݁݃×ݔ‬ሻ ܲ௒ ൌ ‫ܻܾ݈݊݁݅݁݀݋݅ܿ݁ݎ݌‬ሺ݁‫ܽ݊݁݃×ݔ‬ሻ

ʹ ǡͺ ൌ ܲܽ‫ݏ݁ݐ݊ܽݐݏ݊݋ܿ݋ݏ݋ݎݐ݁ ݉žݎ‬Ǥ

Entonces la parte a la izquierda del igual en la ecuación me dice que de ese lado estaremos explicando el gasto. Es decir la cantidad demandada de cada bien al precio del mismo (el gasto en el bien). Entonces, la suma del gasto es todos los bienes (en este caso simplificamos a sólo 2 bienes) debe ser igual al ingreso (que es lo único que hay en la parte derecha de la ecuación). Además de las variables cantidad de cada bien, precios e ingreso, en esta ecuación aparecen dos números que conocemos como parámetros o constantes.

Diremos que: Un parámetro o constante, es una magnitud que no cambia, y por lo tanto es lo contrario –la antítesis- de una variable. Además, normalmente los parámetros le dan un cierto comportamiento o forma a cada una de las funciones con las que trabajaremos. En el ejemplo anterior, de la restricción presupuestaria, los parámetros son 2, y 8, e indican que el precio de 4 veces el precio de

ܺ.

ܻ será

siempre

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II.

Repaso sobre Funciones

¿Qué es una función? Una función es la herramienta matemática que se usa para entablar una relación entre dos –o quizás más- variables. Como hemos dicho, las variables se denotan con letras y subíndices, y generalmente una función se denota con:

ܻ = ݂(ܺ) Lo cual nos dice que la letra Y es función de la letra X. Y se lee como que “Y es función de X”. Es decir, las funciones se denotan diciendo que una variable es función de otra a través de un símbolo “=” sumado a una letra (generalmente la letra “݂”) que indica la forma funcional que relaciona o mapea a estas variables. En la terminología de funciones se indica que el conjunto de valores que puede tomar la variable ‫ ݔ‬se llama dominio de la función. Mientras que la cantidad de valores que puede tomar la variable ‫ݕ‬ se llama recorrido de la función. Por otro lado cada relación específica entre un ‫ݔ‬଴ (pre-imagen) y su respectivo ‫ݕ‬଴ (imagen) es un punto, o par ordenado que pertenece a la función, o al conjunto de valores definidos por la función.

Ejemplo: Si sabemos que la nota que se saca una persona es una variable continua (es decir que toma infinitos valores entre 1 y 7 –recorrido-), y que está relacionada con las horas de estudio que esta persona dedica, que también es una variable continua (toma infinitos valores entre 0 horas y 84 horas como máximo –dominio-) Lo podemos hacer mediante una función, que nos diga que la Nota “ܰ௜” del i-ésimo alumno, es función de las horas “‫ܪ‬௜” de estudio de ese i-ésimo alumno, matemática o formalmente:

ܰ௜ = ݂ (‫ܪ‬௜)

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Recordemos que la letra ݂ nos dice que hay una “relación” entre las variables, pero no especifica cuál relación, sino que lo deja abierto a miles de posibilidades, es decir a todas las posibilidades. La forma que toma cada una de éstas relaciones, será siempre un tipo distinto de función matemática. Normalmente, se usan distintas relaciones funcionales, muchas veces entre las mismas variables, con el objetivo de representar que esas variables se están relacionando de una forma en particular y precisa. Esto nos llevará a estudiar las distintas funciones matemáticas conocidas, y observar que aplicaciones tienen en la economía.

III.

Tipos de Funciones

 Función Constante. La función cuya imagen es siempre es siempre el mismo elemento o tiene el mismo valor numérico, se conoce como función constante; y por ejemplo tenemos la función ‫ ݕ‬ൌ ݂(‫ = )ݔ‬7

Que se puede expresar de forma alternativa como ‫ ݕ‬ൌ ͹, o ݂ሺ‫ݔ‬ሻൌ ͹.

 Aplicación Económica: Costos Marginales Constantes. Una aplicación económica que usaremos a menudo de las funciones constantes son las funciones de costos marginales constantes. Recuerde de su curso de introducción a la Economía, que el costo marginal para determinada empresa es el incremento en los costos totales, derivados de un aumento marginal –o unitario- en la cantidad producida, o

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ο‫ܶܥ‬Ȁሺοܳ ൌ ͳሻ

Si consideramos una gran empresa de comida rápida, que vende sus productos (hamburguesas, papas fritas y bebidas) a lo largo del mundo entero, y en cantidades gigantescas, tranquilamente podemos suponer que dada su organización y tecnología; producir una hamburguesa en el mercado interior de Santiago le supone un costo constante de 1, 6 dólares. O sea un dólar y 60 centavos. Si quisiéramos representar esto matemáticamente ¿cómo lo haríamos? La respuesta es usando una función que muestre que el costo marginal de producir una hamburguesa en Santiago es 1.6 us$. Para esto, usamos la notación anterior del costo marginal, pero ya que sabemos que ܳ son hamburguesas, reemplazamos la notación ܳ ൌ ݄, e igualamos esta expresión del costo marginal al valor constante 1.6 us$ ο‫ܶܥ‬ = 1.6 ∆ℎ = 1

Gráficamente, las funciones constantes como ésta, producen una recta horizontal

 Función Lineal, o Ecuación de la Recta. Normalmente, usamos la ecuación de la recta cuando queremos una función que describa que la relación de cambio entre las variables es

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siempre la misma. Dicho de otra forma cada vez que la variable independiente aumente en una determinada cantidad, podemos predecir sin ningún problema, el valor que tendrá ܻ. La siguiente ecuación Se conoce como Ecuación Recta

de

la

Donde ܻ ൌ ‫݁ݐ݊݁݅݀݊݁݌݈ܾ݁݀݁ܽ݅ݎܽݒ‬

‫ ܥ‬ൌ ݅݊‫݊×݅ܿ݅ݏ݋݌݁݀݁ݐ݂݊݁݅ܿ݅݁݋ܿ݋݋ݐ݌݁ܿݎ݁ݐ‬Ǥ ݉ ൌ ‫݋ܾ݅ ݉ܽܿ݁݀݊×ݖܽݎ݋݁ݐ݊݁݅݀݊݁݌‬Ǥ ܺ ൌ ‫݁ݐ݊݁݅݀݊݁݌݈ܾ݁݀݊݅݁ܽ݅ݎܽݒ‬Ǥ

Se conoce con este nombre, ya que como muestra la figura anterior (en varias ocasiones) la gráfica que esta relación indica es una línea recta.

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El primer componente es el Intercepto o coeficiente de posición que nos muestra gráficamente dónde la recta intercepta al eje de las abscisas, su interpretación práctica, usada en economía a menudo, es que nos dice cuánto vale la variable dependiente, si la variable independiente es cero. Para explicar su otro nombre (coeficiente de posición)véase en la figura siguiente, para un intercepto ‫ܥ‬଴, la recta tendrá unaposición en el plano, pero si el intercepto llegase a ser ‫ܥ‬ଵ ൐ ‫ܥ‬଴, la posición de la misma recta (o sea con la misma pendiente, lo que las haría paralelas) en el plano sería más alta. Por lo tanto este término constante le da su posición en el plano a cualquier recta. Gráficamente

La pendiente: Un asunto más técnico, pero de suma importancia. La inclinación de una rectase mide por un número llamado pendiente de la recta, representado en la función de ecuación de la recta anteriormente mostrada por la letra ݉ .En la figura anterior, las dos rectas tenían la misma pendiente, por eso son paralelas. Veamos cómo se calcula la pendiente. Sea una recta ࣦ ൌ ܻ ൌ ‫ ܥ‬൅ ݉ ‫ ܺכ‬y ܲଵ(‫ݔ‬ଵǡ‫ݕ‬ଵ)‫ܲݕ‬ଶሺ‫ݔ‬ଶǡ‫ݕ‬ଶ) dos puntos cualesquiera en ella. La pendiente ݉ de la recta ࣦ ൌ ܻ ൌ ‫ ܥ‬൅ ݉ ‫ܺכ‬ǡy que se ௬ ି௬ define como ݉ ൌ మ భes un cociente entre el cambio que sufre la variable ௫మି௫భ

dependienteο‫ݕ‬, dividido en el cambio que sufre la variable independienteο‫ݔ‬. Este cociente, la pendiente, también se conoce como razón media de cambio, y que se puede representar análogamente como ο‫ݕ‬Ȁο‫ݔ‬. Veamos lo anteriormente dicho en la gráfica del primer cuadrante

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Recta ℒ

En este caso ݉ es positivo puesto que cuando ܺ aumentó ܻ también lo hizo y un número positivo dividido en otro positivo darán sin lugar a dudas un número positivo. En estos casos, al ser la pendiente positiva, decimos que existe una relación directa entre las variables, o sea a medida que ‫ ݔ‬va aumentando en los número reales (nos movemos hacia el este.), ‫ ݕ‬también lo hace (nos movemos hacia el norte).

Entonces de forma general el valor de ݉ , la pendiente, nos dice cuánto aumenta (caso m>0), o disminuye (caso ݉ ൏ Ͳ) la variable dependiente ‫ݕ‬ cuando la variable ‫ ݔ‬aumenta en una unidad.

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 Aplicación Económica de contenidos: Rectas de demanda y oferta.

Usaremos los conocimientos aprendidos hasta ahora sobre las funciones, los parámetros, las variables y las rectas, para estudiar un modelo analítico que seguramente Ud. ya debe haber conocido, que es el modelo de Oferta y Demanda. En este modelo intentamos representar dos fuerzas que mueven a la economía. La primera es la fuerza que mueve a las personas a comprar determinados productos sobre los que tienen preferencias (Demanda) y la otra es la fuerza que mueve a los productores de cada uno de esos determinados productos a venderlos en un determinado mercado al precio aceptado y conocido por todos (Oferta). De esta forma, estas fuerzas pueden ser cuantificadas como las unidades de productos comprados/vendidos por cada integrante del mercado. Esto sería la demanda individual; pero podríamos sumar las cantidades compradas por todos los consumidores de este mercado a cada uno de los distintos precios posibles existentes, y considerar esto como la demanda del mercado. Por otro lado, se pueden sumar las distintas cantidades vendidas por cada productor individual a cada uno de los precios antes mencionados y considerar esto como la oferta del mercado. Tenemos la siguiente tabla, que resume la información respecto de la oferta y demanda en un mercado de helados de agua: PRECIO DEMANDA OFERTA 0 20 0 5 16 0 10 12 4 15 8 8 20 4 10 25 2 12 30 0 14 Lo que haremos será usar una función, para representar como depende la cantidad demandada/ofertada del precio al que se vende

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esa cantidad demandada/ofertada. Estas funciones se conocen como Funciones de oferta y demanda.

El problema: Queremos encontrar la forma de representar las funciones de oferta y demanda en el primer cuadrante del plano cartesiano (sólo puede haber precios y cantidades positivas). Por lo cual, debemos construir dos funciones lineales (rectas) que nos digan que la cantidad demandada/ofertada de un bien, depende (linealmente) del precio del bien en cuestión. Formalmente: Función de demanda: ࡽ ࢊ ൌ ࢌ(ࡼ࢘ࢋࢉ࢏࢕)

Función de oferta inversa: ࡽ ૙ ൌ ࢌ(ࡼ࢘ࢋࢉ࢏࢕)

Suponemos que existe una relación Lineal entre las cantidades (demandadas y ofertadas)y el precio. Pero invertimos la relación para poder expresar las cantidades en el eje de las abscisas, y el precio en el eje de las ordenadas. De esta forma, aplicando a la forma funcional ݂ la fórmula general de la ecuación de la recta:

ܲ‫ ܳ ∗ ݉ = ݋݅ܿ݁ݎ‬ௗ + ݊

(ܲܽ‫)ܽ݀݊ܽ ݉݁݀݁݀ ܽݒݎݑܿ ݈ܽ ܽݎ‬ ܲ‫ ݋݅ܿ݁ݎ‬ൌ ݉ ‫ ܳכ‬௢ ൅ ݊

(‫)ܽݐݎ݂݁݋݁݀ ܽݒݎݑܿ ݈ܽ ܽݎܽ݌‬

; Donde

ܳ ௗ ൌ ‫ܽ݀ܽ݀݊ܽ ݉݁݀݀ܽ݀݅ݐ݊ܽܥ‬

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ܳ ௢ ൌ ‫ܽ݀݅ܿ݁ݎ݂ܱ݀ܽ݀݅ݐ݊ܽܥ‬

݉ ൌ ‫ܽݐܿ݁ݎ݈ܽ݁݀݁ݐ݊݁݅݀݊݁݌‬ ݊ ൌ ݅݊‫݋ݐ݌݁ܿݎ݁ݐ‬Ǥ

Usamos el hecho de que conociendo dos puntos cualquiera de la recta podemos conocer su pendiente; y que una vez conocida esta, mediante álgebra podemos obtener el valor del intercepto. La fórmula para la pendiente es: ࡼ૛ െ ࡼ૚

࢓ ࢕ǡࢊ =

ࡽ ૛ࢊ࢕ െ ࡽ ૚ࢊ࢕

;

Tanto para la cantidad ofrecida, como para la demandada, por eso los supra índices "d"y subíndices "o" . Y encontramos n reemplazando o evaluando cualquier punto de los conocidos sobre la función lineal, con pendiente conocida. Eligiendo para la demanda dos pares ordenados ሺܲǢܳ݀݀ܽሻǣ (10; 12), (25; 2)

Y para la oferta ሺܲǢܱ݂ܳሻǣ (10; 4), (25; 12)

Obtenemos las pendientes, para la demanda: ࢓ ࢊࢊࢇ =

૛૞ െ ૚૙ ૚૞ =− ൌ െ૚ǡ૞Ǣ ૛ െ ૚૛ ૚૙

‫ ࢔ ׵‬ൌ ૛ૡ

Y para la oferta: ࢓ ࡻࢌ =

૛૞ െ ૚૙ ૚૞ = ൌ ૚ǡૡૠ૞ ૚૛ െ ૝ ૡ

‫ ࢔ ׵‬ൌ ૛ǡ૞

Ahora que conocemos la pendiente, y el intercepto para cada curva, las expresamos como lo hemos hecho usualmente, pero debemos invertirlas porque necesitamos saber cómo depende la cantidad demandada del precio, ese era el problema inicial:

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۱‫ ۯ܄܀܃‬۲۳ ۲۳‫ۼۯ ۻ‬۲‫∶ ۯ‬

ࡼ࢘ࢋࢉ࢏࢕ = ૛ૡ − ૚, ૞ ∗ ࡯ࢇ࢔࢚࢏ࢊࢇࢊࢊࢊࢇ ࡽࢊ =

૛ૡ ࡼ − ૚Ǥ૞ ૚Ǥ૞

۱‫ۯ܄܀܃‬۲۳‫۽‬۴۳‫׷ ۯ܂܀‬

ࡼ࢘ࢋࢉ࢏࢕ ൌ ૛ǡ૞ ൅ ૚ǡૡૠ૞࡯ࢇ࢔࢚࢏ࢊࢇࢊࡻࢌ ࡽࡻ = −

૛Ǥ૞ ࡼ + ૚. ૡૠ૞ ૚. ૡૠ૞

Una vez encontradas las funciones de oferta y demanda podemos igualarlas, para así encontrar lo que en la teoría económica se conoce como el equilibrio parcial del mercado, y que consiste en un par ordenado ܳ ∗ ǡܲ∗ que satisfaga la condición de equilibrio, o vaciado del mercado. Pero eso es objeto del curso de la línea de economía anterior a éste.3

 Función Cuadrática. Anteriormente, hemos usado los conocimientos aprendidos sobre la ecuación de la recta para mostrar una aplicación concreta al campo de la Economía a través de las funciones de oferta y demanda; no obstante, las relaciones lineales rara vez se dan en la realidad, y a pesar de que normalmente usaremos funciones lineales, en algunos casosestrictamente necesarios tendremos que utilizar otras formas funcionales adecuadas para cada problema, una de éstas será la función cuadrática. Sobre la que nos detendremos un poco.

3

Si quiere ver una referencia más detallada y explicativa sobre este tema, véase (Mankiw, 2009), capítulo 4: El funcionamiento de los mercados: las fuerzas de la oferta y la demanda.

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Las funciones cuadráticas, al igual que la función lineal anteriormente estudiada, son casos particulares de otra función general, que es la función polinomial, incluso la función constante también lo es. La función polinomial general de una variable ‫ݔ‬, es la función que relaciona la variable ‫ ݕ‬con la variable ‫ ݔ‬de la siguiente manera ‫ ݕ‬ൌ ܽ଴ ൅ ܽଵ‫ݔ‬ଵ ൅ ܽଶ‫ݔ‬ଶ ൅ ܽଷ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ ڮ‬൅ ܽ௞ ‫ݔ‬௞

Donde si nos fijamos, el primer índice de cada constante ܽ coincide con el exponente de la variable ‫ ݔ‬y esto no es coincidencia, puesto que el objetivo es diferenciar cada parámetro, mediante la identificación de la potencia de ‫ ݔ‬a la que acompaña. Nótese que el primer parámetro es el que acompaña a la variable ‫ ݔ‬con exponente0, pero recuerde que: Para todo ‫ݔ‬, siempre se cumple que ‫ݔ‬଴ = 1,y además:ܽ଴Xͳ ൌ ܽ଴

Para cada función polinomial, decimos que el exponente más grande que la función tiene nos determina “el grado” de la función. Para la función polinomial general anteriormente descrita, el grado de ésta es ݇.

Para la función ‫ ݕ‬ൌ ܽ଴ ൅ ܽଵ‫ݔ‬ଵ, el grado es 1. Si observamos bien, esta es la función lineal, debido a que cualquier número elevado a 1 es el propio número, ܽ଴ sería el intercepto, ܽଵsería la pendiente. La función cuadrática es aquella donde el mayor exponente al que está elevada la variable independiente es 2, es decir ‫ ݕ‬ൌ ܽ଴ ൅ ܽଵ‫ݔ‬ଵ ൅ ܽଶ‫ݔ‬ଶ

Al igualar esta función a cero, obtenemos la ecuación cuadrática, que es aquella ecuación que nos servirá para obtener los ceros o raíces soluciones de la ecuación.

ܽ଴ ൅ ܽଵ‫ݔ‬ଵ ൅ ܽଶ‫ݔ‬ଶ = 0

Es necesario, antes de proseguir, hacer un pequeño cambio de notación, llamaremos a cada parámetro, con una letra distinta, para incluirlos en una fórmula, recordemos que esto no cambia en nada ni la ecuación, ni el problema que estamos intentando resolver solamente es un cambio de etiqueta en la ecuación, pura cosmética. Entonces, en la fórmula ܽ଴ ൅ ܽଵ‫ݔ‬ଵ ൅ ܽଶ‫ݔ‬ଶ = 0 , ordenaremos los elementos desde el que tenga mayor potencia, al que tenga menor, de la

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siguiente ଶ

forma ଵ

aଶx + aଵx + a଴ = 0

Y luego cambiamos las etiquetas de las constantes por las letras del abecedario en el orden de la mayor, a la menor potencia, por tanto la ecuación cuadrática queda representada por

ܽଶ‫ݔ‬ଶ ൅ ܽଵ‫ݔ‬ଵ ൅ ܽ଴ ൌ ܽ‫ݔ‬ଶ ൅ ܾ‫ݔ‬ଵ ൅ ܿ ൌ Ͳ

La ventaja de la expresión ܽ‫ݔ‬ଶ ൅ ܾ‫ݔ‬ଵ ൅ ܿ, es que al igualarla a cero, existe el método algebraico conocido como la fórmula cuadrática que nos da las soluciones o raíces del problema

∗ ଵ

∗ ଶ

‫ݔ‬ଵ∗ ǡ‫ݔ‬ଶ∗ :

ଶ

ଵ/ଶ

Dónde la parte + del signo ± produce ‫ݔ‬ଵ∗ , y el − del signo ± produce ‫ݔ‬ଶ∗ . Nótese que:

Si ܾଶ െ Ͷܽܿ ൌ Ͳ ՜ ‫ݔ‬ଵ∗ ൌ ‫ݔ‬ଶ∗

Es decir, si el discriminante es cero, los dos valores soluciones serán los mismos. Si ܾଶ െ Ͷܽܿ ൏ Ͳ ՜ ‫ݔ‬ଵ∗ ǡ‫ݔ‬ଶ∗ ∉ ℜ.

Es decir, si el discriminante es negativo, los valores solución no existirán en los reales. Si ܾଶ െ Ͷܽܿ ൐ Ͳ ՜ ‫ݔ‬ଵ∗ ് ‫ݔ‬ଶ∗ .

Es decir, si el discriminante es positivo, los dos valores soluciones diferirán. Y este es el caso que normalmente nos interesará en economía.

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 Aplicación Económica: Equilibrio de mercado parcial: un modelo no lineal4. Supóngase que la demanda clásica de forma lineal en el modelo de equilibrio del mercado parcial (anteriormente analizado como modelo de oferta-demanda), por una función de demanda cuadrática, mientras que seguimos considerando una función de oferta lineal. También, utilícense coeficientes numéricos en vez de parámetros. Entonces tenemos un modelo representado por las siguientes ecuaciones: ܳௗ ൌ ܳ௦

ܳௗ ൌ Ͷ െ ܲଶ

ܳௌ ൌ Ͷܲ െ ͳ

Como se mencionó anteriormente, este sistema de ecuaciones se puede resolver para encontrar el Equilibrio Parcial del Mercado. `Para esto utilizamos las ecuaciones antes mostradas, y resolvemos el sistema. ¿Cómo procedemos?  La primera ecuación ܳௗ ൌ ܳ௦ nos dice que demanda y oferta deben ser iguales.  La segunda y tercera ecuación ܳௗ ൌ Ͷ െ ܲଶ; ܳௌ ൌ Ͷܲ െ ͳ. Describen la relación entre demanda y precio, y la oferta y el precio, respectivamente  Por lo tanto ¡podemos igualar la segunda y tercera ecuaciones, lo que significa que estamos haciendo uso de la primera. ܳௗ ൌ ܳ௦ ൌ Ͷ െ ܲଶ=Ͷܲ െ ͳ ՜ ܲଶ ൅ Ͷܲ െ ͷ ൌ Ͳ

Y ܲଶ ൅ Ͷܲ െ ͷ ൌ Ͳ es una ecuación cuadrática, por lo que podemos usar la fórmula cuadrática para resolver para ܲ∗ . Podemos ver que: ܽ ൌ ͳǢܾ ൌ ͶǢܿ ൌ െͷ . Por lo tanto usando la fórmula cuadrática:

4

Este ejemplo ha sido extraído en su totalidad de el parágrafo 3.3 del capítulo 3 de (Alpha Chiang, 2006)

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ܲଵ∗ ǡܲଶ∗ =

ିସേሺଵ଺ାଶ଴ሻభȀమ ଶ

=

ିସേ଺ ଶ

= 1, −5 ,

pero ya que no existen precios

negativos, el valor admitido es ܲ ൌ ͳ es el precio de equilibrio. Lo que nos indica a su vez que la cantidad de equilibrioܳௗ ൌ ܳ௦ ൌ ܳ ∗ = 3.

IV.

Concepto de derivada y su aplicación económica.

Incremento El incremento ο‫ ݔ‬de una variable ‫ ݔ‬es el cambio en ‫ ݔ‬cuando crece o decrece desde un valor ‫ ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ଵ hasta otro valor ‫ ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ଶ en su dominio (todos los posibles valores que puede llegar a toma la variable ‫ݔ‬ሻ. De ahí que ο‫ ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ଶ െ ‫ݔ‬ଵ, y podemos escribir ‫ݔ‬ଶ ൌ ‫ݔ‬ଵ ൅ ο‫ݔ‬.

Por otro lado, si la variable ‫ ݕ‬es función de la varaible ‫ ݕ( ݔ‬ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ). Cuando la variable ‫ ݔ‬experimenta un incrementoο‫ ݔ‬a partir de ‫ ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ଵ (esto significa que cambia desde ‫ ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ଵ a ‫ ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ଵ ൅ ο‫)ݔ‬, este cambio, conllevará que la función también cambie, en el siguiente incremento ο‫ ݕ‬ൌ ݂(‫ݔ‬ଵ ൅ ο‫ )ݔ‬െ ݂ሺ‫ݔ‬ଵ) a partir de ‫ ݕ‬ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ଵ). Estamos entonces en condiciones de definir el cociente razón media de cambio, que anteriormente habíamos conocido como la pendiente de una función

ο௬

ο௫

=

௖௔௠ ௕௜௢௘௡௬

௖௔௠ ௕௜௢௘௡௫

;

no obstante, la razón media de cambio,

nos entrega la variación de ‫ ݕ‬frente a las varaiciones de ‫ ݔ‬en términos unitarios. Y si por ejemplo, ‫ ݕ‬ൌ ܿ‫;݈݄ܽ݊݁݅ܿݏ݈ܽ݅݅ ݂݉ܽݏ݈ܽ݁݀݋ ݉ݑݏ݊݋‬y‫ ݔ‬ൌ ܽÓ‫ݏ݋‬ǡ‫݋݌ ݉݁݅ݐ݋‬ǡme interesaría saber, no solamente cuánto cambia el consumo de las familias chilenas por año, sino también por mes, o por minutos, etc. A veces, los economistas, necesitan analizar incluso hasta el último peso gastado, o incrementado. La escuela marginalista de la economía, es una escuela que ha incorporado en el campo analítico de la economía moderna el concepto de “pensar en términos marginales”, debido al supuesto de que “las personas racionales, piensan y toman sus decisiones en términos marginales”.5 Por lo tanto, muchas veces, se hace necesario, introducir en el análisis herramientas que reflejen esta minuciosidad a la hora de trabajar con los 5

(Mankiw, 2009) Capítulo 1.

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datos económicos. Este espacio teórico lo viene a llenar el concepto de derivada. Esto debido a que; si manipulamos esta razón de cambio

ο௬

,Pero

ο௫

la consideramos no cuando los cambios de la variable ‫ݔ‬son unitarios, sino cuando son muy pequeños, lo más pequeños que pudiésemos llegar a imaginar. De esta manera la fórmula para la derivada en un punto ‫ ݔ‬ൌ ‫ݔ‬଴.

limο௫՜ ଴

ο௬

ο௫

=

௙(௫బାο௫)ି௙ሺ௫బ) ο௫

; Que quiere decir que analizamos el cociente

de la razón media de cambio de ‫ ݕ‬respecto de ‫ݔ‬, pero cuando este último varía en una variación tan pequeña, que ésta tiende a cero(la variación más pequeña que podríamos imaginar). Llamamos a esta variación infinitesimal (infinitamente decimal, infinitamente pequeña). Este es el objetivo, analizar una razón instantánea de cambio.Y esto lo haremos a través de la función derivada. Esta función (que en breve mostraremos cómo se obtiene), lo que hace es “aproximar” una recta tangente que une las dos coordenadas que estamos intentando analizar, coordenadas que nos hablan de una razón de cambio6. Dicho de otra forma, la derivada nos entrega la pendiente que tiene la recta tangente al punto que estamos analizando, y por tanto la pendiente de nuestra función en algún punto en particular, específicamente, en el punto que evaluemos la función, por ejemplo ࢞૚. Geométricamente.

6

Nótese que ésta razón de cambio es instantánea, es decir, los dos puntos que analizamos son tan próximos, que no podríamos distinguirlos al ojo humano, ni dibujarlos en Word; pero el dibujo que mostraremos a continuación, debe interpretarse como una imagen tomada con un telescopio.

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A pesar de que las reglas y procedimientos para obtener una función derivada de otra función, son bastante complejos, y podrían dar para todo un curso de cálculo diferencial e integral, en este caso haremos un breve y simple descripción de las principales reglas de derivación que usaremos en este curso. Siempre hay que tener una sola cosa clara en nuestros ejercicios: cuando sacamos una derivada, estamos analizando cómo cambia la función, o el valor que toma la imagen ‫ ݕ‬, cuando la preimagen ‫ ݔ‬cambia en una variación muy pequeña, es decir estamos obteniendo la pendiente de la función en ese punto.

Reglas de derivación. A continuación, presentaremos las fórmulas más usadas para la derivación en Microeconomía, con una breve explicación, para luego hacer un par de ejemplos, puramente matemáticos. Y luego, como es costumbre, pasar a la aplicación económica. El proceso mediante el cuál calculamos la derivada de una función se llama derivación. Las que se mencionan a continuación son las fórmulas elementales. Para poder enunciarlas, debemos hacer las siguientes suposiciones: ‫ ݑ‬ൌ ݂(‫)ݔ‬ǡ‫ ݒ‬ൌ ݂(‫)ݔ‬ǡ‫ ݓ‬ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ , es decir ‫ݑ‬ǡ‫ݒ‬ǡ‫ ݓݕ‬Son funciones

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diferenciables7 de ‫ ݔ‬y ܿ, ݉ son constantes, o parámetros que pueden llegar a intervenir en éstas funciones. Las Reglas:

1.

ௗ

ௗ௫

(ܿ) = 0.

Esta primera regla nos dice que si estamos derivando cualquier función de ‫ݔ‬, como ‫ݑ‬ǡ‫ݒ‬ǡ‫ ݓ‬, y en algunas de ella aparece una constante “‫”ܥ‬, la derivada de esta constante será 0. Esto se aplica al ejemplo de la función constante que vimos anteriormente: Ejemplo Si ‫ ݑ‬ൌ ͷ ՜

2.

ௗ௨

ௗ௫

ௗ

ௗ௫

=0

(‫ = )ݔ‬1.

La regla nº 2 nos dice que si estamos derivando una función ‫ݑ‬ǡ‫ݒ‬ǡ‫ ݓ‬ǡ con respecto a la variable ‫ ;ݔ‬la derivada de la variable ‫ ݔ‬elevada a la potencia 1, será siempre el número 1. Ejemplo

‫ ݒ‬ൌ ͻ ൅ ‫ ݔ‬൅ ‫ݔ‬଴

݀ ‫ ݒ‬ൌ (0) + (1) + (0) ݀‫ݔ‬ ݀ ‫ ݒ‬ൌ ͳǤ ݀‫ݔ‬

En este caso, mezclamos la regla 1 y la regla2. Por la regla 1, la derivada de 9 es 0, y puesto que ‫ݔ‬଴ = 1, su derivada también es 0.. Por otro 7

Una función es diferenciable cuando podemos calcular su derivada. Este supuesto es casi obvio, pero existen ciertas funciones que no lo cumple, y estamos diciendo que ‫ݑ‬ǡ‫ݒ‬ǡ‫ ݓ‬no son, ni representan ninguna de esas funciones.

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lado, la derivada con respecto a la propia ‫ ݔ‬ൌ ͳ. Al sumarlas, tenemos que finalmente

3.

ௗ

ௗ௫

ௗ ‫ݒ‬ൌ ௗ௫

ͳ.

(‫ ݑ‬+ ‫ ݒ‬+ ⋯ ) =

ௗ

ௗ௫

(‫ )ݑ‬+

ௗ

ௗ௫

(‫ )ݒ‬+

ௗ

ௗ௫

(… ).

Esta regla nos dice que la derivada de una suma de funciones de la variable ‫ݔ‬, es la suma de las derivadas individuales de cada función.

En el ejemplo anterior se uso esta regla. Como se ve, muchas veces las reglas de derivadas no son excluyentes, sino que se aplican a la par con otras reglas. ௗ

ௗ

4.ௗ௫ (ܿ‫ܿ = )ݑ‬ௗ௫ (‫)ݑ‬.

Esta regla, conocida como la derivada de una constante, nos dice que si una función de ‫ ݔ‬se está multiplicando por alguna constante ܿ, esta constante se mantiene inalterada en la derivada. Ejemplo ‫ ݕ‬ൌ ʹ ݆൅ ʹ ‫ݔ‬ ݀‫ݕ‬ = 0+2 ݀‫ݔ‬ ݀‫ݕ‬ = 2. ݀‫ݔ‬

ௗ

ௗ

ௗ

5.ௗ௫ (‫ ݑ = )ݒݑ‬ௗ௫ (‫ )ݒ‬+ ‫ ݒ‬ௗ௫ (‫)ݑ‬.

La quinta regla, conocida como regla del producto. Nos dice que si tenemos‫ݑ‬ǡ‫ݒ‬, dos funciones cualesquiera de ‫ݔ‬. La derivada del producto de éstas funciones será la suma entre la primera función no derivada ‫ݑ‬ multiplicado por la derivada de la otra función otra función

ௗ ‫ݑ‬ ௗ௫

ௗ ‫ݒ‬ ௗ௫

por la segunda función sin derivar ‫ݒ‬.

más la derivada de la

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ௗ

ௗ

ௗ

ௗ

6.ௗ௫ (‫ ݓݒ = ) ݓݒݑ‬ௗ௫ (‫ )ݑ‬+ ‫ ݓݑ‬ௗ௫ (‫ )ݒ‬+ ‫ ݒݑ‬ௗ௫ (‫) ݓ‬. Esta regla es sólo una extensión de la anterior. ௗ

௨

ଵ ௗ

7.ௗ௫ ቀ௖ቁ = ௖ ௗ௫ (‫)ݑ‬, ܿ ≠ 0.

Esta regla nos dice que si cualquiera de nuestras funciones (‫ݑ‬ǡ‫ݒ‬ǡ‫ ݓ‬ሻ,

está multiplicada por la constante

ଵ ௖

, la derivada de esta expresión será

la constante por la derivada de la función. ௗ

௨

8.ௗ௫ ቀ௩ቁ =

೏ ೏ (௨)ି௨ (௩) ೏ೣ ೏ೣ ௩మ

௩

, ‫ ≠ ݒ‬0.

Esta regla, conocida como regla del cociente, tiene una construcción bastante parecida a la regla del producto, excepto que como es una división, los términos se restan y se dividen por denominador al cuadrado. ௗ

9.ௗ௫ (‫ݔ‬௠ ) = ݉ ‫ݔ‬௠ ିଵ. Esta regla conocida como regla del exponente, nos dice que si queremos la derivada de la variable ‫ ݔ‬elevada a cualquier exponente ݉ , debemos multiplicar la variable por este exponente m, y restarle uno al nuevo exponente de la variable. Ejemplo ‫ ݕ‬ൌ ʹ ‫ݔ‬ସ

݀‫ݕ‬ ൌ ʹ ‫כ‬Ͷ ‫ݔכ‬ଷ ݀‫ݔ‬ ݀‫ݕ‬ ൌ ͺ‫ݔ‬ଷ ݀‫ݔ‬

Vemos que aquí, primero utilizamos la regla de la constante, y el 2 se mantiene en la derivada, luego el exponente de ‫ ݔ‬en la función (4) baja multiplicando (ʹ ‫ݔ‬Ͷ ൌ ͺ), y la variable ‫ ݔ‬queda elevada al exponente menos uno (4 − 1 = 3).

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ௗ

ௗ

10.ௗ௫ (‫ݑ‬௠ ) = ݉ ‫ݑ‬௠ ିଵ ௗ௫ (‫)ݑ‬. La última regla aquí descrita es una extensión de la regla del exponente antes mostrada, y nos dice que si ahora tenemos una función,‫ݑ‬, de la variable ‫ݔ‬, que también está elevada a un exponente ݉ . En este caso, el exponente también baja a multiplicar a la función tal cual, quedando la función elevada a una potencia menor. Finalmente debemos multiplicar esto por la derivada de la función ‫ݑ‬. Ejemplo

‫ ݕ‬ൌ ሺͶ െ ʹ ‫ݔ‬ሻସ

݀‫ݕ‬ ݀ሺͶ െ ʹ ‫ݔ‬ሻ ൌ ͶሺͶ െ ʹ ‫ݔ‬ሻଷ ݀‫ݔ‬ ݀‫ݔ‬ ௗ௬

ௗ௫

= 4(Ͷ െ ʹ ‫)ݔ‬ଷʹ ‫ݔ‬.

 Aplicación económica: Productividad marginal. I.

Utilidad

marginal

y

Si tenemos la siguiente función de utilidad ‫ݑ‬, que nos representa las preferencias de un individuo sobre dos bienes, ‫ݔ‬ǡ‫ ݕ‬: ‫ ݑ‬ൌ ‫ ݔ‬൅ ʹ ‫ݕ‬ଶ

Y suponemos además, que el consumo del bien ‫ ݔ‬es constante e igual a 4.  Obtenga la derivada de

Solución

ࢊ࢛ ࢊ࢟

e interprétela.

En primer lugar, reemplazamos el consumo de la variable ‫ݔ‬, que se ha mantenido constante en 4. Y la función se transforma en ‫ ݑ‬ൌ Ͷ ൅ ʹ ‫ݕ‬ଶ

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Observamos que para calcular la derivada, deberemos aplicar tanto la regla 2 como la regla 9: ݀‫ݑ݀ ݑ‬ ݀‫ ݑ‬ଶ = 4+ ʹ‫ݕ‬ ݀‫ݕ݀ ݕ‬ ݀‫ݕ‬ ݀‫ݑ‬ ൌ Ͳ ൅ Ͷ‫ݕ‬ ݀‫ݕ‬ ݀‫ݑ‬ ൌ Ͷ‫ݕ‬Ǥ ݀‫ݕ‬ II.

Suponga que la curva de demanda inversa de un monopolio es ܲ ൌ ͳͲͲ െ ʹ ܳ . Además, por el curso de introducción a la economía sabemos que los Ingresos totales para cualquier empresa representativa (incluso un monopolio) será ‫ ܶܫ‬ൌ ܲ ‫ܳ כ‬.

 Obtenga la función de ingreso marginal de este monopolio.

Recordemos que si los ingresos totales están definidos como ‫ ܶܫ‬ൌ ܲ ‫ܳכ‬, y según la curva de demanda inversa del mercado tenemos la siguiente expresión para ܲ ൌ ͳͲͲ െ ʹ ܳ, entonces los ingresos totales serán re/definidos como : ‫ ܶܫ‬ൌ (ͳͲͲ െ ʹ ܳ)ܳ

Y por nuestro curso de introducción a la economía, sabemos que los ingresos marginales son cuánto aumentan (o varían) los ingresos totales cuando la cantidad vendida del bien ܳ, aumenta en una unidad. Podemos aproximar este cambio mediante la derivada

ௗூ் ௗொ

, pero debemos aplicar

la regla del producto, puesto que tenemos dos funciones de ܳ, el precio, y la constante ܳ ݀‫ܶܫ‬ = (ͳͲͲ െ ʹ ܳ)(1) + (ܳ)(−2) ݀ܳ ݀‫ܶܫ‬ ൌ ͳͲͲ െ ʹ ܳ െ ʹ ܳ ݀ܳ ݀‫ܶܫ‬ ൌ ͳͲͲ െ ͶܳǤ ݀ܳ