APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN DE FUNCIONES A LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

1ª Determinar la ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE a la gráfica de una función y=f(x) en el punto de x=a ↔

contiene al punto (a,f(a)) y tiene por pendiente f´(a)

Actividad: Determina la ecuación de la recta tangente a la siguiente parábola en el punto de 2 ( ) y = x + 1 −2 abscisa x=3 y averigua su vértice como punto de tangente horizontal a la gráfica:

1º Calculamos el punto de tangencia: Si x=3 → y=(3+1)2-2=14 El punto de tangencia sería (3,14) 2º Calculamos la función derivada y con ella la pendiente de la recta tangente en x=3 y´=2.(x+1)2-1.(x+1)´=2.(x+1) → y´(3)=2.(3+1)=8

→ La recta tangente buscada contendría al punto (3,14) y tendría de pendiente m=f´(3)=8 4º Utilizando la ecuación de la recta punto-pendiente: Recta por el punto (3,14) y pendiente m=8, y=8.(x-3)+14

→

y=8x-10

5º Para determinar el vértice, como punto de tangente horizontal o pendiente 0, bastará con hacer 0 la derivada 2 y´=0 → 2.(x+1)=0 → x=-1 sería su abscisa y su ordenada y ( - 1) = ( - 1+ 1) − 2 = − 2 , el vértice es el punto V(-1,-2)

Concluimos: La recta tangente a la función en x=3 sería y=8x-10, y su vértice el punto (-1,-2)

2ª Estudiar la TENDENCIA o monotonía a trozos de la gráfica de una función y=f(x) f CRECIENTE en x=a ↔

f´(a) > 0

.

f DECRECIENTE en x=a ↔

f´(a) < 0

y=f(x)

a

Actividad: Estudia a trozos la tendencia de la gráfica de la función y = x 3 − 12x. 1º Derivamos la función y factorizamos, y´=3x2-12=3.(x2-4)=3.(x+2).(x-2) 2º Estudiamos el signo de y´ que tiene por raíces -2 y 2

Concluimos con el estudio de la tendencia a trozos de la gráfica o monotonía de y=f(x) La función crece en (-∞,-2)U(2,+∞) y decrece en (-2,2)

3ª Determinar los EXTREMOS RELATIVOS de una función y=f(x) como puntos de la gráfica donde se produce un cambio de tendencia . MÁXIMO en x=a ↔

MÍNIMO en x=a ↔

f´(a) = 0 y f´´(a) < 0

tangente horizontal y f´ decrece en x=a

f´(a)=0 y f´´(a) > 0

tangente horizontal y f´ crece en x=a

4 2 Actividad: Determina los extremos relativos de la gráfica de la función y = x − 2x .

1º derivamos e indicamos las raíces de y´

(

)

y´ = 4x − 4x = 4x . x 2 − 1 = 4x . ( x + 1) . ( x − 1) 3

raíces :

→

0,− 1 y1

2º volvemos a derivar para calcular y´´, donde sustituimos las raíces de y´ para estudiar la tendencia de y´ en esos puntos 2

y´´ = 12x − 4

→

y´´(0) = -4 < 0

;

y´´(-1) = 8 > 0

;

y´´(1) = 8 > 0

Concluimos con los extremos relativos de la gráfica de la función y=f(x), indicando abscisa y ordenada: − En x=0 la tangente es horizontal, f´(0)=0, f´ es decreciente, f´´(0)0 y f(-1)=-1 → (-1,-1) es un mínimo relativo − En x=1 la tangente es horizontal al ser f´(1)=0, f´ es creciente por ser f´´(1)>0 y f(1)=-1 → (1,-1) es un mínimo relativo

4ª Estudiar a trozos la CURVATURA de la gráfica de una función y=f(x) Curvatura negativa o CÓNCAVA en x=a ↔

f´´(a) < .0 Curvatura positiva o CONVEXA en x=a ↔ f´´(a) > 0

f´ decreciente en x=a

f´ creciente en x=a

Actividad: Estudia a trozos la curvatura de la gráfica de la función y = x 4 − 12x 2. 1º Calculamos y´´ e indicamos sus raíces 3 2 2

y´ = 4x

− 24x

→ y´´ = 12x

− 24 = 4.(x

− 2) = 4.(x

+

2 ).(x

−

2)

;

raíces

de

y´´:

-

2

y

2

2º Hacemos un estudio del signo de y´´ para conocer la tendencia de y´, determinando así la curvatura de y

Convexa o curvatura

−

en

(

− ∞ ,−

) (

2 ∪

2 ,+ ∞

)

3º Concluimos con la curvatura de la gráfica de la función y=f(x) y cóncava o curvatura +

en

(

−

2,

2

)

5ª Determinar los PUNTOS DE INFLEXIÓN de la gráfica de una función y=f(x) como puntos donde se produce un cambio de curvatura De curvatura negativa a positiva o de CÓNCAVA A CONVEXA en x=a ↔ f´´(a) = 0 y f´´´(a) > 0 x=a es un mínimo relativo para y=f´(x)

De curvatura positiva a negativa o de CONVEXA A CÓNCAVA en x=a ↔ f´´(a) = 0 y f´´´(a) < 0

x=a es un máximo relativo para y=f´(x)

4

2 − 12x .

de

y´´: −

Actividad: Determina los puntos de inflexión de la gráfica de la función y = x

(

)

3

1º Calculamos y´´ e indicamos sus raíces: y´ = 4x − 24x y´´ = 12x

2

(

− 24 = 12 . x 2 − 2 = 12 . x +

)(

2 . x−

; 2

2º Calculamos y´´´ para sustituir en ella las raíces de y´´

→

y´´´

( )

)

y´´ = 12x →

2

− 24

raíces

y´´´= 24x

2 = 24. 2 > 0

;

− En x= −

2

( )

y´´´ -

2 = − 24. 2 < 0

Concluimos con los puntos de inflexión de la gráfica de la función y=f(x), indicado abscisa y ordenada: − En x=

2 y

( 2 ,− 20 ) 2 hay un punto de inflexión de curvatura positiva a negativa o de convexa a cóncava: ( − 2 ,− 20 )

2 hay un punto de inflexión de curvatura negativa a positiva o de cóncava a convexa:

1º Bto. CC. SS. -- I. E. S. SABINAR

Ejercicios: 1.Representa las funciones polinómicas: a) 2. Representa las funciones racionales: a) Problemas:

y = x3 − 3x2 x+ 3 y= x− 1

b) b)

y = ( x + 1) 2 . ( x + 3) 2

x2 y= x− 1

1. El ayuntamiento está realizando un estudio sobre el nivel de contaminación acústica en la ciudad, un primer plan de choque afectará a aquellos lugares donde llegue a superar los 65 decibelios en horario diurno. En un barrio concreto de la ciudad se han realizado mediciones de ruido en la franja horaria más conflictiva, modelándose el nivel de ruido mediante la función R(x)=2943-780x+69x2-2x3, indicando R el nivel de ruido en decibelios y x el tiempo entre las 9 y 14 horas de un día laborable. a) Determina cuándo crece el nivel de ruido y cuándo decrece. b) Dibuja la gráfica de la función e indica si se debería iniciar un plan de choque en ese barrio. 2. Un dirigente de un determinado partido político afirma que dimitirá si el porcentaje de votos al partido no alcanza el 20 %. Se estima que el porcentaje de participación en la consulta será de al menos el 40 %, que el porcentaje de votos que recibirá este partido político dependerá del porcentaje de participación y vendría dado por P(x)=-0,00025x 3+0,045x22,4x+50 siendo 40 ≤ x ≤ 100. a) Dibuja la gráfica de la función. b) Indica cuándo crece el porcentaje de votos al partido y cuándo decrece. ¿Según la función es posible que el dirigente no tenga que dimitir? 3. El índice de popularidad de cierto gobernante era de 2,5 puntos cuando inició su mandato y a los 50 días alcanzó el máximo índice de popularidad con 7,2 puntos. Sabiendo que durante los primeros 100 días de su mandato dicho índice de popularidad fue cambiando de acuerdo con la expresión I(x)=ax 2+bx+c, 0 ≤ x ≤ 100. a) Determina los coeficientes a, b y c justificando tu respuesta. b) Representa la función obtenida.