Apuntes de Algebra III Eugenio Miranda Palacios Curso 2012-2013

2

Índice general I

Prerrequisitos

7

1. Polinomios simétricos, resultante y discriminante 1.1. Polinomios simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Polinomios alternados . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. La resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. El discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Métodos de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Cálculo directo . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2. Método modular . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3. Por el algoritmo de Euclides . . . . . . . . 1.5.4. Determinante de Euler-Sylvester-Cayley . 1.5.5. Determinante de Bezout . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

9 10 15 15 15 16 16 17 17 18 18 18 20 22 22 24

2. Series de grupos y grupos solubles 2.1. Series de composición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. El programa de Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Grupos solubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29 30 32 36

II

39

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

Extensiones de cuerpos

3. Extensiones de cuerpos 3.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Elementos algebraicos y extensiones algebraicas . . . 3

41 42 43

4

ÍNDICE GENERAL

4. Cuerpos de descomposición 4.1. Cuerpo de descomposición . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Clausura algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47 48 53

5. Extensiones normales y separables 5.1. Elementos conjugados y extensiones conjugadas. 5.2. Extensiones normales . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Extensiones separables . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Derivada y raíces múltiples . . . . . . . . . . . . . .

57 58 58 60 62

III

. . . .

Teoría de Galois finita

63

6. Teoría de Galois finita 6.1. Grupos de automorfismos . . . . . . . . . 6.2. Correspondencia de Galois, caso finito . . 6.3. Ejemplos e ilustraciones . . . . . . . . . . 6.4. Propiedades de las extensiones de Galois

IV

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

Aplicaciones

65 66 69 72 73

75

7. Cuerpos finitos 7.1. Estructura de los cuerpos finitos . . . . . . . . . . . . 7.2. Factorización de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Ilustraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77 78 80 82

8. Extensiones ciclotómicas 8.1. Raíces de la unidad . . . 8.2. Polinomios ciclotómicos . 8.3. Extensiones ciclotómicas 8.4. Grupos de Galois . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

85 86 86 90 92

9. Construcciones con regla y compás 9.1. Los Elementos de Euclides . . . . . . . . . . . 9.2. Puntos construibles y números construibles . 9.3. Caracterización de los números construibles 9.4. Aplicación a los problemas clásicos . . . . . . 9.5. Polígonos regulares . . . . . . . . . . . . . . . 9.6. Construcciones explícitas . . . . . . . . . . . . 9.7. Construcciones con cónicas . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

99 100 102 103 105 106 107 109

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

ÍNDICE GENERAL

V

5

Teoría de ecuaciones

111

10.Extensiones cíclicas y radicales 113 10.1.Extensiones cíclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 10.2.Extensiones solubles y radicales . . . . . . . . . . . . . 115 11.Polinomios de grado 3 y 4 11.1.El grupo de un polinomio . . . . . . . 11.2.Los teoremas clasificatorios . . . . . 11.3.Polinomios de grado pequeño . . . . 11.3.1.Polinomios de grado 2 . . . . . 11.3.2.Polinomios de grado 3 . . . . . 11.3.3.Polinomios de grado 4 . . . . . 11.4.Cómo resolver una ecuación soluble 11.4.1.Polinomios cúbicos . . . . . . . 11.4.2.Polinomios cuárticos . . . . . . 11.4.3.Polinomios ciclotómicos . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

119 120 121 123 123 123 124 128 128 131 134

12.Polinomios de grado 5 143 12.1.Cálculo del grupo de Galois . . . . . . . . . . . . . . . 144 12.2.Resolviendo quínticas solubles . . . . . . . . . . . . . . 145

6

ÍNDICE GENERAL

Parte I Prerrequisitos

7

Capítulo 1 Polinomios simétricos, resultante y discriminante

9

10CAPÍTULO 1. POLINOMIOS SIMÉTRICOS, RESULTANTE Y DISCRIMINANTE

1.1.

Polinomios simétricos

Sea A un anillo conmutativo y sean X1 , . . . , Xn indeterminadas. Sea Sn el grupo simétrico sobre {1, . . . , n}. Para toda permutación σ ∈ Sn definimos σ · f (X1 , . . . , Xn ) = f (Xσ(1) , . . . , Xσ(n) ) Por ejemplo, sea f = X12 X2 −X3 y sean ρ = (1 3), σ = (1 2 3). Entonces ρ · f = X32 X2 − X1 y σ · f = X22 X3 − X1 . Definición 1.1.1. Un polinomio f ∈ A[X1 , . . . , Xn ] se llama simétrico si para toda permutación σ ∈ Sn se verifica σ · f = f . Lema 1.1.2. El conjunto de polinomios simétricos es un subanillo de A[X1 , . . . , Xn ] que contiene al anillo A. Sea Y otra indeterminada. Formamos el polinomio F (Y, X1 , . . . , Xn ) = (Y − X1 ) . . . (Y − Xn ) = Y n − s1 Y n−1 + · · · + (−1)n sn con coeficientes en A[X1 , . . . , Xn ]. Los polinomios coeficientes s1 = X1 +· · ·+Xn , . . . , sn = X1 . . . Xn son polinomios simétricos, y se llaman polinomios simétricos elementales. Obsérvese que el polinomio si es homogéneo de grado i. Definición 1.1.3. Sea ae X1e1 . . . Xnen un monomio no nulo. Se llama peso del monomio al entero e1 + 2e2 + · · · + nen . Sea g ∈ A[X1 , . . . , Xn ]. El peso de g es el mayor de los pesos de los monomios no nulos de g. Teorema 1.1.4 (Teorema fundamental de los polinomios simétricos). Sea A un dominio de integridad y sea f ∈ A[X1 , . . . , Xn ] un polinomio simétrico de grado d. Entonces existe un único polinomio g ∈ A[X1 , . . . , Xn ] de peso menor o igual a d tal que f (X1 , . . . , Xn ) = g(s1 , . . . , sn ) Demostración. Inducción sobre n y d. Si n = 1, sólo hay una indeterminada, así que s1 = X1 y g = f verifica las condiciones (en este caso el peso y el grado de f son iguales).

1.1. POLINOMIOS SIMÉTRICOS

11

Sea ahora n > 1 y supongamos el teorema cierto para n − 1 indeterminadas. Si d = 0, el polinomio f es constante. Tomando g = f se verifica el teorema (en este caso, el grado y el peso de f son ambos iguales a cero). Finalmente sean n > 1, d > 0 y suponemos el teorema cierto para todo polinomio simétrico en n indeterminadas de grado menor que d. En el anterior polinomio F sustituimos Xn = 0. Obtenemos F (Y, X1 , . . . , Xn−1 , 0) = (Y − X1 ) . . . (Y − Xn−1 )Y = Y n − (s1 )0 Y n−1 + · · · + (−1)n−1 (sn−1 )0 Y donde (si )0 se obtiene sustituyendo Xn = 0 en si . Es inmediato que (s1 )0 , . . . , (sn−1 )0 son precisamente los polinomios simétricos elementales en X1 , . . . , Xn−1 . El polinomio f (X1 , . . . , Xn−1 , 0) ∈ A[X1 , . . . , Xn−1 ] es simétrico. Por la hipótesis de inducción sobre n, existe un polinomio g1 ∈ A[X1 , . . . , Xn−1 ] de peso menor o igual a d tal que f (X1 , . . . , Xn−1 , 0) = g1 ((s1 )0 , . . . , (sn−1 )0 ). El polinomio f1 (X1 , . . . , Xn ) = f (X1 , . . . , Xn ) − g1 (s1 , . . . , sn−1 ) es simétrico y tiene grado menor o igual a d. Además f1 (X1 , . . . , Xn−1 , 0) = 0, luego f1 es divisible por Xn . Como es simétrico, también es divisible por X1 , . . . , Xn−1 . Como estos factores son primos relativos, su producto divide a f1 . Luego f1 = sn f2 (X1 , . . . , Xn ) con un polinomio f2 ∈ A[X1 , . . . , Xn ] que es simétrico y de grado estrictamente menor que d. Por la inducción sobre d, existe un g2 ∈ A[X1 , . . . , Xn ] de peso menor o igual a d − n tal que f2 (X1 , . . . , Xn ) = g2 (s1 , . . . , sn ) Sustituyendo obtenemos f (X1 , . . . , Xn ) = g1 (s1 , . . . , sn−1 ) + sn g2 (s1 , . . . , sn ) y cada término del miembro de la derecha tiene un peso menor o igual a d. La unicidad se deduce del próximo teorema. Teorema 1.1.5. Sea g ∈ A[X1 , . . . , Xn ]. Entonces g(s1 , . . . , sn ) = 0 si y sólo si g(X1 , . . . , Xn ) = 0.

12CAPÍTULO 1. POLINOMIOS SIMÉTRICOS, RESULTANTE Y DISCRIMINANTE Demostración. Inducción sobre n. Si n = 1 el resultado es trivial. Sea ahora n > 1 y suponemos el resultado cierto para n − 1 indeterminadas. Sea g ∈ A[X1 , . . . , Xn ] no nulo de grado mínimo tal que g(s1 , . . . , sn ) = 0. Escribimos g como un polinomio en Xn con coeficientes en X1 , . . . , Xn−1 : g = g0 + · · · + gd · Xnd Sustituyendo Xi por si en el polinomio g tenemos 0 = g0 (s1 , . . . , sn−1 ) + . . . gd (s1 . . . , sn−1 )sdn Sustituyendo ahora Xn = 0 obtenemos 0 = g0 ((s1 )0 , . . . , (sn−1 )0 ) Pero los (si )0 son los polinomios simétricos elementales en X1 , . . . , Xn−1 . Por inducción g0 (X1 , . . . , Xn−1 ) = 0. Ya que g0 = 0 podemos escribir g = f · Xn con f ∈ A[X1 , . . . , Xn ] y por tanto f (s1 , . . . , sn )sn = 0, luego f (s1 , . . . , sn ) = 0 y f es de grado estrictamente menor que g, lo cual es imposible. Ejemplo 1.1.6. Sea f = (X1 + X2 )(X1 + X3 )(X2 + X3 ) ∈ Z[X1 , , X2 , X3 ]. Es fácil comprobar que f es un polinomio simétrico homogéneo de grado 3. Queremos encontrar un polinomio g ∈ Z[X1 , X2 , X3 ] de peso menor o igual a 3 tal que f = g(s1 , s2 , s3 ). Para ello aplicamos la construcción de la demostración: 1. f (X1 , 0, 0) = 0, luego g1 = 0. 2. f (X1 , X2 , 0) = (X1 + X2 )X1 X2 . El resto del proceso de la demostración es trivial: f (X1 , X2 , 0) = g((s1 )0 , (s2 )0 ) = (s1 )0 (s2 )0 . 3. La demostración construye ahora el polinomio f1 (X1 , X2 , X3 ) = f (X1 , X2 , X3 ) − g(s1 , s2 ) = (X1 + X2 )(X1 + X3 )(X2 + X3 ) − (X1 + X2 + X3 )(X1 X2 + X1 X3 + X2 X3 ) = (X12 X2 + X12 X3 + X1 X22 + X1 X33 + X22 X3 + X2 X32 + 2X1 X2 X3 ) − (X12 X2 + X12 X3 + X1 X22 + X1 X32 + X22 X3 + X2 X32 + 3X1 X2 X3 ) = −X1 X2 X3 luego f (X1 , X2 , X3 ) = f1 (X1 , X2 , X3 ) + X1 X2 X3 = s1 s2 − s3 .

1.1. POLINOMIOS SIMÉTRICOS

13

Para escribir los polinomios se ha desarrollado una Psimétricos i1 in notación especial: Llamamos X1 . . . Xn a la suma de todos los monomios distintos que se obtienen al aplicar todas las permutaciones de Sn al monomio X1i1 . . . Xnin . Por ejemplo si n = 3, X X13 = X13 + X23 + X33 X X12 X2 = X12 X2 + X12 X3 + X22 X1 + X22 X3 + X32 X2 + X32 X1 . Un polinomio simétrico es una combinación lineal de térP i1 general in minos de la forma X1 . . . Xn con coeficientes en A. P Ejemplo 1.1.7. Sea f = X12 X2 con n = 3. Calculamos f (X1 , X2 , 0) = X12 X2 + X22 X1 = X1 X2 (X1 + X 1 )0 . P P2 ) =2 (s2 )0 (sP X − ( X X )( X1 ) = −3X1 X2 X3 . Ahora f = f − s s = X 2 1 2 1 2 1 1 P 2 Luego X1 X3 = s1 s2 − 3s3 . P Ejemplo 1.1.8. Seguimos tomando n = 3. Sea f = X13 . Entonces f (X1 , 0, 0) = X13 = (s1 )300 . El siguiente paso calcula f (X1 , X2 , 0) − (s1 )30 = −3(s1 )0 (s2 )0 . Luego f (X1 , X2 , 0) = (s1 )30 − 3(s1 )0 (s2 )0 . Finalmente calculamos f1 (X1 , X2 , X3 ) = f −(s31 −3s1 s2 ) = 3X1 X2 X3 , así que f = s31 − 3s1 s2 + 3s3 . Q Ejemplo 1.1.9. Sea ∆ = i · · · > Gr = 1 (2.1.1) Al número natural r le llamamos longitud de la serie 2.1.1 Definición 2.1.4. Dadas dos series para el mismo grupo G: G = G0 > G1 > · · · > Gr = 1 G = G00 > G01 > · · · > G0s = 1 decimos que la primera es un refinamiento de la segunda si todo grupo de la segunda aparece en la primera. Si además en la primera hay grupos que no aparecen en la segunda diremos que es un refinamiento propio. Definición 2.1.5. Una serie 2.1.1 se llama normal si para todo i = 1, 1, . . . , r se verifica que Gi es un subgrupo normal de Gi−1 . Una serie 2.1.1 se llama propia si todas las inclusiones son propias. Para cada serie 2.1.1 normal los grupos cocientes Gi−1 /Gi se llaman factores de la serie Dadas dos series normales G = G0 > G1 > · · · > Gr = 1 G = H0 > H1 > · · · > Hs = 1 del mismo grupo G diremos que son isomorfas si r = s y existe una permutación σ ∈ Sr tal que Gi−1 /Gi ∼ = Hσ(i)−1 /Hσ(i) para todo i = 1, 2, . . . r.

2.1. SERIES DE COMPOSICIÓN

31

Una serie normal propia sin refinamientos normales propios se llama serie de composición del grupo G. Para cada serie de composición de G los factores de la serie se llaman factores de composición del grupo G. Los órdenes de los factores de composición se llaman índices de composición del grupo G. Definición 2.1.6. Un grupo G se llama simple si no es trivial y no admite subgrupos normales propios. Lema 2.1.7. Un grupo abeliano finito simple es cíclico de orden primo Demostración. En un grupo abeliano G todos los subgrupos son normales. Así que G será simple si y sólo si no tiene subgrupos propios. Sea 1 6= x ∈ G. El grupo cíclico < x > es un subgrupo no trivial de G, luego < x >= G es cíclico. Si |G| = mn no es primo, < xm > sería un subgrupo propio de G, contradicción. Lema 2.1.8. Los factores de composición de un grupo G son simples. Demostración. Sea 2.1.1 una serie de composición del grupo G. y sea H un subgrupo normal propio de Gi−1 /Gi . Sea p : Gi−1 → Gi−1 /Gi la proyección y sea H 0 = p−1 (H). Entonces Gi−1 B H 0 B Gi y las inclusiones son propias. La serie G = G0 > · · · > Gi−1 > H 0 > Gi > · · · > 1 es un refinamiento propio de la dada, contradicción. No es cierto que todo grupo posea una serie de composición. De hecho Z no la tiene. Sin embargo tenemos: Lema 2.1.9. Todo grupo finito G posee una serie de composición. Demostración. Inducción sobre el orden de G. Para grupos de orden primo, G > 1 es una serie de composición. Supongámoslo demostrado para todos los grupos de orden menor que G. Sea G1 un subgrupo normal propio maximal de G (existe porque el conjunto de subgrupos de G es finito). Sea G1 > · · · > Gr = 1 una serie de composición de G (existe porque el orden de G1 es estrictamente menor que el orden de G). Entonces G > G1 > · · · > Gr = 1 es una serie de composición de G. Teorema 2.1.10 (Teorema de refinamiento de Schreier). Dos series normales arbitrarias de un grupo G tienen refinamientos isomorfos.

32

CAPÍTULO 2. SERIES DE GRUPOS Y GRUPOS SOLUBLES

Demostración. Sean las series normales G = G0 > G1 > . . . > Gr = 1

(2.1.2)

G = H0 > H1 > . . . > Hs = 1

(2.1.3)

Llamamos Gij = Gi (Hj ∩ Gi−1 ), i = 1, . . . , r, j = 1, . . . s. Entonces Gi−1 = Gi0 > Gi1 > · · · Gis = Gi es una cadena normal de Gi−1 a Gi . Uniendo estas cadenas obtenemos un refinamiento de 2.1.2: G = G10 > G11 > · · · > G1s (= G20 ) > G21 > · · · > Gr−1,s (= Gr0 ) > · · · > Grs = 1 (2.1.4) Similarmente los grupos Hij = Hj (Gi ∩ Hj−1 ), i = 1, . . . , r, j = 1, . . . s forman un refinamiento de 2.1.3: G = H01 > H11 > · · · > Hr1 (= H02 ) > H12 > · · · > Hs−1,r (= Hs0 ) > · · · > Hsr = 1 (2.1.5) Por el lema de Zassenhaus, Gi,j−1 /Gij ∼ = Hj.i−1 /Hji , lo que demuestra que los refinamientos anteriores son isomorfos. Si omitimos todas las repeticiones en 2.1.4 y 2.1.5 (correspondientes a factores triviales), las series que quedan siguen siendo isomorfas. Teorema 2.1.11 (Teorema de Jordan-Holder). Si un grupo admite una serie de composición, cualquier serie normal propia puede refinarse a una serie de composición. Dos series de composición de un grupo G son isomorfos. Demostración. Sea G un grupo que admite una serie de composición. Cualquier refinamiento de tal serie coincide con ella misma. Tomemos cualquier serie normal de G y construimos los refinamientos isomorfos de esta serie y la serie de composición dada que existen por el teorema de refinamiento de Schreier. Deben ser series de composición isomorfas a la dada.

2.2.

El programa de Holder

Sea G un grupo y N un subgrupo normal de G. El primer teorema de isomorfismo nos dice que el grupo cociente G/N describe la estructura de G “sobre” N (es decir, los retículos de subgrupo

2.2. EL PROGRAMA DE HOLDER

33

son isomorfos). Esto plantea el problema de hasta que punto el conocimiento de N y G/N fuerza cómo tiene que ser G. El teorema de Jordan-Holder nos dice que todo grupo finito tiene una serie de composición y aunque la serie en sí no tiene que ser única, su longitud y los tipos de isomorfismo de los factores sí son únicos. Además está claro que grupos isomorfos tienen los mismos factores de composición, aunque grupos no isomorfos también pueden tener los mismos factores (por ejemplo, Z6 y S3 ). Esta situación motiva un programa de dos partes para clasificar todos los grupos finitos salvo isomorfismo, expuesto por Holder en un artículo de 1893: 1. Clasificar todos los grupos finitos simples. 2. Hallar las técnicas para construir grupos a partir de otros mas sencillos. Estos dos problemas son una motivación importante para gran parte del desarrollo de la teoría de grupos. Problemas análogos se encuentran recurrentemente a través de toda la matemática. Vamos a comentar un poco los dos problemas del programa de Holder: La clasificación de los grupos simples finitos se completó en 1980. Los esfuerzos de unos 100 matemáticos repartidos entre 300 y 500 artículos que cubren entre 5,000 y 10,000 páginas de revistas demostraron el siguiente teorema: Teorema 2.2.1. Existe una lista consistente en 18 familias infinitas de grupos simples y 26 grupos simples no pertenecientes a estas familias (los grupos simples esporádicos) tal que todo grupo simple finito es isomorfo a uno de los grupos de esta lista. Tres ejemplos de familias infinitas: Zp para p primo, An para n ≥ 5 y P SLn (F ) para n ≥ 2 excepto P SL2 (Z2 ) y P SL2 (Z3 ). Vamos a demostrar el siguiente resultado: Teorema 2.2.2 (Abel). El grupo alternado An es simple para n ≥ 5 Demostración. Sea K 6= 1 un subgrupo normal de An . Queremos ver que necesariamente K = An . Lo demostramos en tres pasos: 1. K contiene un ciclo de longitud 3

34

CAPÍTULO 2. SERIES DE GRUPOS Y GRUPOS SOLUBLES Sea σ ∈ K una permutación distinta de la identidad que mueve el mínimo número de símbolos. Sea k = |{i = 1 . . . n | σ(i) 6= i}|. Como σ no es la identidad, k > 0. Si σ(i) = j 6= i, como σ es inyectivo tenemos que σ(j) 6= j. Así que k ≥ 2. Si k = 2, necesariamente σ = (i j) que no pertenece a An . Luego k ≥ 3. Supongamos que k ≥ 4. σ no es un ciclo de longitud 4, porque entonces sería impar. Descomponemos σ en producto de ciclos disjuntos. Dos posibilidades: σ1 = (1 2)(3 4)(producto de transposiciones disjuntas) σ2 = (1 2 3 . . . ) . . . (Si k > 3 necesariamente k ≥ 5) Sea τ = (3 4 5) ∈ An y definimos αi = (τ σi τ −1 )σi−1 ∈ K por ser K normal en An . Calculamos a) Si σi (t) = t e i > 5, entonces αi (t) = t. b) α1 (1) = τ σ1 τ −1 (2) = τ σ1 (2) = τ (1) = 1 α1 (2) = τ σ1 τ −1 (1) = τ σ1 (1) = τ (2) = 2 α1 (3) = τ σ1 τ −1 (4) = τ σ1 (3) = τ (4) = 5 6= 3 α2 (2) = τ σ2 τ −1 (1) = τ σ2 (1) = τ (2) = 2 α2 (3) = τ σ2 τ −1 (2) = τ σ2 (2) = τ (3) = 4 6= 3 luego en ambos casos αi es una permutación no trivial que deja fijos mas símbolos que σi , contradicción. Así que k = 3 y el grupo K contiene un ciclo de longitud 3, sea (1 2 3) ∈ K.

2. K contiene todos los ciclos de longitud 3 Sea (1 2 4) un ciclo que se diferencia de (1 2 3) en un único símbolo. Entonces (3 4 5)(1 2 3)(3 4 5)−1 = (1 2 4) ∈ K Sea ahora (1 4 5) un ciclo que se diferencia de (1 2 3) en dos símbolos. Entonces (2 4)(3 5)(1 2 3)((2 4)(3 5))−1 = (1 4 5) ∈ K Sea (4 5 6) un ciclo con todos los símbolos distintos de (1 2 3). Por los resultados anteriores, (1 2 6) ∈ K y de aquí (4 5 6) ∈ K.

2.2. EL PROGRAMA DE HOLDER

35

3. El grupo An está generado por todos los ciclos de longitud 3 Sea σ ∈ An arbitraria. La permutación σ es producto de un número par de transposiciones, sea σ = (τ1 τ2 ) . . . (τ2m−1 τ2m ). Cada producto τs τs+1 es de uno de los siguientes tipos: a) τs τs+1 = (i j)(i j) = (1) b) τs τs+1 = (i j)(j k) = (i j k) c) τs τs+1 = (i j)(k l) = (i j)(j k)(j k)(k l) = (i j k)(j k l) En cualquier caso es un producto de ciclos de longitud 3.

Una idea de la complejidad de la clasificación de los grupos finitos simples la proporciona uno de los teoremas claves de la clasificación: Teorema 2.2.3 (Feit-Thompson). Si G es un grupo simple de orden impar, entonces G ∼ = Zp para algún primo impar p. La demostración de este teorema (publicado en 1963) ocupa 255 páginas de matemática dura. La segunda parte del programa de Holder se llama problema de la extensión. Vamos a describirla con mas precisión: Dados dos grupos H y K, determinar (salvo isomorfismo) todos los grupos G que contienen un subgrupo normal N tal que N ∼ = H y G/N ∼ = K (se suele decir que G es una extensión de K por H). Por ejemplo si H = K = Z2 existen exactamente dos posibilidades: Z4 y Z2 × Z2 . El programa de Holder busca cómo pueden construirse los dos grupos de orden 4 a partir de los de orden 2 sin tener un conocimiento previo de la existencia de aquellos. Esta parte del programa de Holder es extremadamente difícil aún cuando los subgrupos envueltos son de orden pequeño. Por ejemplos, si |G| = 2n todos los factores de composición tienen orden 2. Sin embargo el número de grupos no isomorfos de orden 2n crece exponencialmente como función de n:

36

CAPÍTULO 2. SERIES DE GRUPOS Y GRUPOS SOLUBLES Orden: Número de Grupos: 2 1 4 2 5 8 16 14 51 32 64 267 2328 128 256 56092 10494213 512 1024 49487365422

Así que el número de extensiones de un 2-grupo por otro 2-grupo puede ser muy grande. Aún así existen unas cuantas técnicas interesantes y poderosas para revelar la estructura de amplias clases de grupos. No sería justo decir que la teoría de grupos finitos trata solamente del programa de Holder, pero sí es justo decir que el programa de Holder sugiere un gran número de problemas y motiva bastantes técnicas algebraicas. Por ejemplo, el estudio de las extensiones de K por H cuando H es abeliano nos lleva a clasificar las acciones (por automorfismos) de K sobre H.

2.3.

Grupos solubles

El teorema de Jordan-Holder nos dice que cada grupo determina unívocamente a su serie de composición (salvo isomorfismo). Nos permite por tanto definir clases especiales de grupos mediante propiedades que satisfacen sus factores de composición. La mas evidente de tales clases es la de los grupos solubles, que además tiene un papel clave en la teoría de Galois. Definición 2.3.1. Dado un grupo G, definimos la serie derivada de G como G = G0 > G0 > G00 > · · · > G(i > · · · donde G(i+1 = [G(i , G(i ] (el grupo derivado). En general esta serie no tiene porqué alcanzar el 1. De hecho tenemos: Teorema 2.3.2. Sea G un grupo finito. Las siguientes propiedades son equivalentes:

2.3. GRUPOS SOLUBLES

37

1. Los factores de composición de G son cíclicos de orden primo. 2. G tiene una serie normal con factores cíclicos. 3. G tiene una serie normal con factores abelianos. 4. Existe un i ≥ 1 tal que G(i = 1. Demostración. Es inmediato que 1 ⇒ 2 ⇒ 3. Veamos que 3 ⇒ 1: Sea G = H0 > · · · Hs = 1 una serie normal con factores abelianos. Por el teorema de Jordan-Holder, esta serie se puede refinar a una serie de composición, cuyos factores serán cocientes de subgrupos de la serie dada y por tanto abelianos. Todo grupo simple abeliano es cíclico de orden primo. Supongamos que la serie derivada alcanza el uno. Entonces es una serie con factores abelianos y ese es el enunciado 3. A la inversa, supongamos que G tiene la siguiente serie normal con factores abelianos: G = G0 > G1 > · · · > Gr = 1 Como G0 /G1 es abeliano, el grupo G1 contiene al derivado de G0 que es G0 . Por inducción supongamos que Gi ⊇ G(i . Como Gi /Gi+1 es abeliano se verifica que Gi+1 ⊇ G0i ⊇ (G(i )0 = G(i+1 . Al final 1 = Gr ⊇ G(r y la serie derivada alcanza el 1. Definición 2.3.3. Un grupo finito G se llama soluble si verifica las propiedades del teorema 2.3.2 El nombre de grupo soluble proviene de una importante aplicación a la resolución de ecuaciones por radicales que veremos mas adelante. La clase de los grupos solubles se comporta bien respecto a subgrupos y cocientes: Proposición 2.3.4. luble.

1. Todo subgrupo de un grupo soluble es so-

2. Todo grupo cociente de un grupo soluble es soluble. 3. Sea N un subgrupo normal de G. Si N y G/N son solubles, también G es soluble. Demostración. Sea H < G. Por inducción se ve que para todo i ≥ 0 se verifica H (i < G(i . Si G es soluble existe un r tal que H (r < G(r = 1, luego H es soluble. Un argumento similar se aplica a los cocientes.

38

CAPÍTULO 2. SERIES DE GRUPOS Y GRUPOS SOLUBLES

Supongamos que N es un subgrupo normal de G y que N y G/N son grupos solubles. Existe un s tal que (G/N )(s = 1, luego G(s < N . Existe ahora un r tal que N (r = 1. Luego G(r+s < N (r = 1 y G es soluble. Corolario 2.3.5. Todo producto finito de grupos solubles es soluble. Para la clase de los grupos solubles es posible generalizar los teoremas de Sylow. Nos limitamos a dar el siguiente enunciado cuya demostración puede verse en Hall, Teoría de grupos, páginas 152-154: Teorema 2.3.6 (Hall). Sea G un grupo soluble de orden mk con m, k naturales tales que m. c. d.(m, k) = 1. Entonces: 1. G posee al menos un subgrupo de orden m. 2. Dos subgrupos cualesquiera de orden m son conjugados. 3. Cualquier subgrupo cuyo orden m0 divida a m está contenido en un subgrupo de orden m. 4. El número nm de subgrupos de orden m puede expresarse como un producto de factores cada uno de los cuales es congruente con 1 módulo algún factor primo de m y es una potencia de un primo y divide a alguno de los factores principales de G. La primera propiedad anterior caracteriza a los grupos solubles: Teorema 2.3.7. Un grupo finito G es soluble si y sólo si para toda descomposición |G| = mk con m. c. d.(m, k) = 1 existe un subgrupo H < G de orden m.

Parte II Extensiones de cuerpos

39

Capítulo 3 Extensiones de cuerpos

41

42

3.1.

CAPÍTULO 3. EXTENSIONES DE CUERPOS

Generalidades

Definición 3.1.1. Una extensión de cuerpos F/K es un par de cuerpos F , K tales que K es un subcuerpo de F . El cuerpo K se llama cuerpo base y el cuerpo F se llama cuerpo extensión. En toda extensión F/K el cuerpo F es un espacio vectorial sobre K de forma natural Definición 3.1.2. Llamamos grado de la extensión F/K y representamos por [F : K] a la dimensión de F como espacio vectorial sobre K. Definición 3.1.3. Dada una extensión F/K cualquier subcuerpo F1 de F que contenga a K se llama cuerpo intermedio Definición 3.1.4. Una torre de cuerpos es una sucesión de subcuerpos: Fn ⊃ Fn−1 ⊃ · · · ⊃ F0 La longitud de la torre es n (el número de inclusiones) Definición 3.1.5. Una extensión F/K se llama finita si y sólo si [F : K] es finito. En otro caso se llama infinita Proposición 3.1.6. Sea E ⊃ F ⊃ K una torre de inclusiones. 1. Sean {ui ∈ E | i ∈ I} un sistema de generadores de E como espacio vectorial sobre F y {vj ∈ F | j ∈ J} un sistema de generadores de F como espacio vectorial sobre K. Entonces {ui vj | (i, j) ∈ I × J} es un sistema de generadores de E como espacio vectorial sobre K. 2. Sean {ui ∈ E | i ∈ I} linealmente independientes sobre F y {vj ∈ F | j ∈ J} linealmente independientes sobre K. Entonces {ui vj | (i, j) ∈ I × J} son linealmente independientes sobre K. 3. Sean {ui ∈ E | i ∈ I} una base de E sobre F y {vj ∈ F | j ∈ J}una base de F sobre K. Entonces {ui vj | (i, j) ∈ I × J} es una base de E sobre K. Teorema 3.1.7 (Teorema del grado). Sea E ⊃ F ⊃ K una torre de cuerpos. Entonces [E : F ][F : K] = [E : K]

3.2. ELEMENTOS ALGEBRAICOS Y EXTENSIONES ALGEBRAICAS43 Corolario 3.1.8. Sea E ⊃ F ⊃ K una torre de cuerpos. La extensión E/K es finita si y sólo si las extensiones E/F y F/K son ambas finitas. Corolario 3.1.9. Sea Fn ⊃ Fn−1 ⊃ · · · ⊃ F0 una torre de longitud n. Entonces [Fn : Fn−1 ] · · · [F1 : F0 ] = [Fn : F0 ] Corolario 3.1.10. Sea F/K una extensión tal que [F : K] = p es primo. Entonces no existe ningún cuerpo intermedio distinto de F o K.

3.2.

Elementos algebraicos y extensiones algebraicas

Lema 3.2.1. Para todo anillo A existe un único homomorfismo Z → A que se llama homomorfismo unital Definición 3.2.2. La característica del anillo A es car(A) = n > 0 si el núcleo del homomorfismo unital es nZ 6= 0. La característica del anillo A es car(A) = 0 si el núcleo del homomorfismo unital es 0 (es decir, si el homomorfismo unital es inyectivo). Lema 3.2.3. Si A es un dominio de integridad, entonces o bien car(A) = 0 o bien car(A) = p es un primo. Lema 3.2.4. car(A) = n si y sólo si n es el menor entero positivo tal que para todo a ∈ A se verifica na = 0. Lema 3.2.5. Sea A un anillo y sea {Bi | i ∈ I} una familia de subanillos de A. Entonces B = ∩i Bi es un subanillo de A. Sea A un anillo y sea {Ki | i ∈ I} una familia de subcuerpos de A. Entonces K = ∩i Ki es un subcuerpo de A. Definición 3.2.6. Sea A un anillo. Llamamos anillo primo de A a la intersección de todos los subanillos de A. Lema 3.2.7. El subanillo primo de un anillo A es isomorfo a Z si car(A) = 0 y a Z/nZ si car(A) = n 6= 0. Si A es un dominio de integridad y car(A) 6= 0, entonces p = car(A) es un primo.

44

CAPÍTULO 3. EXTENSIONES DE CUERPOS

Definición 3.2.8. Sea K un cuerpo. Llamamos subcuerpo primo de K a la intersección de todos los subcuerpos de K. Lema 3.2.9. El subcuerpo primo de un cuerpo K es isomorfo a Q cuando car(K) = 0 y a Z/pZ cuando car(K) = p 6= 0 Definición 3.2.10. Sea F/K una extensión y sea S un subconjunto de F . Llamamos subanillo generado por S sobre K y representamos por K[S] a la intersección de todos los subanillos de F que contienen a K y a S. Llamamos subcuerpo generado por S sobre K a la intersección de todos los subcuerpos de F que contengan a K y a S. Lema 3.2.11. Sea F/K una extensión y sean S, T subconjuntos de F . Entonces K[S ∪ T ] = K[S][T ] = K[T ][S] y K(S ∪ T ) = K(S)(T ) = K(T )(S) Cuando S = {u} consta de un único elemento, denotamos K[u] y K(u) en lugar de K[S] y K(S) respectivamente. Cuando S = {u1 , . . . , un } es un conjunto finito, el anillo K[S] lo denotamos como K[u1 , . . . , un ] y el cuerpo K(S) lo denotamos K(u1 , . . . , un ). Definición 3.2.12. Dados los cuerpos L ⊃ E, F ⊃ K llamamos compuesto de E y F al cuerpo EF = E(F ) = F (E). Si E y F no son subcuerpos de algún otro cuerpo L, no definimos el compuesto. Definición 3.2.13. Sea F/K una extensión y S un subconjunto de F . Diremos que S es un conjunto de generadores para F sobre K si F = K(S). Definición 3.2.14. Una extensión F/K se llama finitamente generada si existe un conjunto finito de generadores de F sobre K, es decir, si F = K(u1 , . . . , un ) con u1 , . . . , un ∈ F . Definición 3.2.15. Una extensión F/K se llama simple si existe un elemento u ∈ F tal que F = K(u). El elemento u se llama elemento primitivo para la extensión. Sea F/K una extensión y u ∈ F un elemento arbitrario. Consideramos el anillo K[u]. Por la propiedad universal del anillo de polinomios existe un único homomorfismo de anillos λ : K[X] → K[u] tal que ∀a ∈ K se verifica λ(a) = a y que λ(X) = u. Por el primer teorema de isomorfismo para anillos, K[u] ∼ = K[X]/ ker(λ). Distingamos dos casos:

3.2. ELEMENTOS ALGEBRAICOS Y EXTENSIONES ALGEBRAICAS45 1. ker(λ) = 0 y λ es inyectivo. Entonces existe un isomorfismo K[X] ∼ = K[u]. En este caso decimos que u es trascendente sobre K. El cuerpo K(u) es el cuerpo de fracciones de K[u] y es isomorfo a K(X) (cuerpo de fracciones de K[X]. 2. ker(λ) 6= 0. En este caso decimos que u es algebraico sobre K. Como K[X] es un dominio de ideales principales, el ideal ker(λ) es principal. Como el grupo de las unidades de K[X] es K × (grupo multiplicativo de K), existe un único polinomio mónico p(X) tal que ker(λ) = (p(X)). Este p(X) se llama polinomio mínimo de u sobre K y se representa por Irr(u, K). El anillo K[u] ∼ = K[X]/(p(X)) es un dominio de integridad (por ser subanillo del cuerpo F ), y por tanto el ideal (p(X)) es primo. Pero esto ocurre si y sólo si el polinomio p(X) es irreducible sobre K. Naturalmente sobre un cuerpo mayor p(X) puede ser reducible. Proposición 3.2.16. Sea F/K una extensión de cuerpos y sea u ∈ F un elemento algebraico sobre K con polinomio mínimo p(X) = Irr(u, K). Entonces 1. K(u) = K[u] 2. K[u] ∼ = K[X]/(p(X)) 3. [K(u) : K] es igual al grado de p(X) 4. {1, u, u2 , . . . , un−1 } es una base de K[u] sobre K. 5. Para un f ∈ K[X] se verifica que f (u) = 0 si y sólo si p | f . El grado de Irr(u, K) (que es igual a [K[u] : K]) se llama grado de u sobre K. Lema 3.2.17. Sea F ⊃ E ⊃ K y sea u ∈ F algebraico sobre K. Entonces u es algebraico sobre E y Irr(u, E) divide a Irr(u, K). Definición 3.2.18. Una extensión F/K se llama algebraica si todos los elementos de F son algebraicos sobre K. Una extensión F/K se llama trascendente si existe algún elemento u ∈ F que es trascendente sobre K. Sea ahora F/K una extensión arbitraria y sea {ui | i ∈ I} ⊂ F un subconjunto no vacío arbitrario. Consideramos el anillo de polinomios A = K[Xi | i ∈ I] y el único homomorfismo σ : A → F dado por σ(Xi ) = ui para todo i ∈ I.

46

CAPÍTULO 3. EXTENSIONES DE CUERPOS

Definición 3.2.19. Los elementos {ui | i ∈ I} se llaman algebraicamente independientes sobre K si el anterior homomorfismo σ es inyectivo. En caso contrario se llaman algebraicamente dependientes. Definición 3.2.20. Una extensión F/K se llama puramente trascendente si F = K(S) donde S es un conjunto de elementos algebraicamente independientes sobre K. Lema 3.2.21. Sea F/K una extensión arbitraria y sea S un subconjunto de F . 1. Para todo u ∈ K[S] existe un subconjunto finito {u1 , . . . , un } ⊂ S tal que u ∈ K[u1 , . . . , un ]. 2. Para todo u ∈ K(S) existe un subconjunto finito {u1 , . . . , un } ⊂ S tal que u ∈ K(u1 , . . . , un ). Lema 3.2.22. Sean L ⊃ E, F ⊃ K cuerpos tales que F = K(S). Entonces EF = E(S). Corolario 3.2.23. Sean L ⊃ E, F ⊃ K. Entonces [EF : K] ≤ [E : K][F : K] Corolario 3.2.24. Sean L ⊃ E, F ⊃ K con n = [E : K] y m = [F : K] primos relativos. Entonces [EF : K] = [E : K][F : K] Proposición 3.2.25. Sea F = K(u1 , . . . , un ) una extensión finitamente generada por elementos ui algebraicos. Entonces la extensión F/K es finita. Corolario 3.2.26. Sea F = K(S) con S ⊂ F arbitrario. Entonces F/K es algebraica si y sólo si todo u ∈ S es algebraico sobre K. Corolario 3.2.27. Una extensión F/K es finita si y sólo si es algebraica y finitamente generada. Corolario 3.2.28. Un elemento u ∈ F es algebraico sobre K si y sólo si existe un cuerpo intermedio E tal que E/K es finita y u ∈ E. Corolario 3.2.29. Dada una torre de cuerpos E ⊃ F ⊃ K, la extensión E/K es algebraica si y sólo si las extensiones E/F y F/K son ambas algebraicas. Corolario 3.2.30. Para una extensión arbitraria F/K el conjunto E de elementos de F que son algebraicos sobre K forman un subcuerpo de F . El cuerpo E del corolario 3.2.30 se llama clausura algebraica (relativa) de K en F .

Capítulo 4 Cuerpos de descomposición

47

48

CAPÍTULO 4. CUERPOS DE DESCOMPOSICIÓN

El estudio de las extensiones de cuerpos se origina en la necesidad de construir cuerpos que contengan al cuerpo base K en donde existan raíces de polinomios dados de K[X]. El ejemplo clásico es la construcción C = R(i) = R[X]/(X 2 + 1). Vamos a ver que el mismo método es válido para cualquier polinomio.

4.1.

Cuerpo de descomposición

Teorema 4.1.1 (Kronecker). Sea f un polinomio de grado positivo sobre un cuerpo K. Entonces existe una extensión F/K y un u ∈ F tal que f (u) = 0. Demostración. Descomponemos f en factores ireducibles sobre K: f = f1 . . . fm . El cuerpo buscado es F = K[X]/(f1 ) y una raíz de f es u = X + (f1 ) ∈ F . Sean Fi /Ki (i = 1, 2) dos extensiones de cuerpos y sean τ : F1 → F2 y σ : K1 → K2 dos homomorfismos tales que para todo a ∈ K1 se verifica τ (a) = σ(a). Definición 4.1.2. En las condiciones anteriores decimos que τ es una extensión de σ. Cuando σ = 1K : K → K decimos que τ es un homomorfismo sobre K Proposición 4.1.3. Sea σ : K1 → K2 un isomorfismo de cuerpos. Existe una única extensión a un isomorfismo σ : K1 [X] → K2 [X] definido por σ(X) = X Demostración. Es una aplicación directa de la propiedad universal del anillo de polinomios K1 [X]. Obsérvese que gr(f ) = gr(σ(f )) para todo polinomio f ∈ K1 [X]. Lema 4.1.4. En las condiciones de la proposición 4.1.3 sea f1 ∈ K1 [X] irreducible sobre K1 . El polinomio f2 = σ(f1 ) es irreducible sobre K2 . Demostración. Sea f1 = gh una descomposición del polinomio f1 . Entonces f2 = σ(g)σ(h) es una descomposición de f2 y los grados de los factores correspondientes son iguales. Como σ es un isomorfismo, aplicando el mismo argumento para σ −1 obtenemos que f1 es compuesto si y sólo si f2 es compuesto.

4.1. CUERPO DE DESCOMPOSICIÓN

49

Proposición 4.1.5. En las condiciones de la proposición 4.1.3 sean Fi /Ki con i = 1, 2 dos extensiones algebraicas, τ : F1 → F2 un homomorfismo sobre σ y u ∈ F1 una raíz de f1 . Entonces τ (u) es una raíz de f2 = σ(f1 ). Demostración. Un cálculo sencillo: Sea f1 = an X n + · · · + a1 X + a0 . Entonces f2 (τ (u)) = = = =

σ(an )τ (u)n + · · · + σ(a1 )τ (u) + σ(a0 ) τ (an )τ (u)n + · · · + τ (a1 )τ (u) τ (an un + · · · + a1 u + a0 ) τ (0) = 0

Corolario 4.1.6. Sea F/K una extensión algebraica y σ : F → F un homomorfismo sobre K. Entonces σ es un automorfismo. Demostración. Sea u ∈ F arbitrario. Sea f = Irr(u, K) y sean u = u1 , . . . , uk todas las raíces de f que hay en F (k ≤ gr(f )). Sea F1 = K(u1 , . . . , uk ) el subcuerpo de F generado por todas ellas. La extensión F1 /K es finita, y para cualquier homomorfismo σ : F → F el elemento σ(ui ) es una raíz de f , por tanto σ(ui ) = uj . Luego σ se restringe a un homomorfismo σ1 : F1 → F1 . Pero este es una aplicación K-lineal inyectiva. Como F1 es de dimensión finita sobre K, la aplicación σ1 es sobre y existe un v ∈ F1 ⊂ F tal que u = σ1 (v) = σ(v). Luego σ es sobre. Proposición 4.1.7. Con la notación de la proposición 4.1.5 sea f1 irreducible y sea ui una raíz de fi en alguna extensión Fi de Ki (i=1,2). Entonces existe un único isomorfismo τ : K1 (u1 ) → K2 (u2 ) sobre σ tal que τ (u1 ) = u2 . Demostración. El isomorfismo τ = ρ2 σ ¯ ρ−1 1 buscado es el compuesto de los tres isomorfismos siguientes:

K1 (u)

τ K2 (u)

6

ρ1 K1 [X] (f1 )

6

ρ2 σ ¯ - K2 [X] (f2 )

50

CAPÍTULO 4. CUERPOS DE DESCOMPOSICIÓN

Los isomorfismos ρi : Ki [X]/(fi ) ∼ = Ki (ui ) (i = 1, 2) son los establecidos en la definición de elemento algebraico y vienen dados por X + (fi ) 7→ ui . El isomorfismo σ ¯ es el inducido entre los cocientes por el σ dado en la proposición 4.1.3. Proposición 4.1.8. Con la notación de la proposición 4.1.7 el número de extensiones τ : K1 [u1 ] → F2 sobre σ es igual al número de raíces distintas de f2 en F2 . Demostración. Cualquiera de tales τ está totalmente determinada por la imagen de u. Como f2 (τ (u)) = τ (f1 (u)) = 0, necesariamente τ (u) es una raíz de f2 . Por la proposición 4.1.7, para cada v raíz de f2 en F2 existe un homomorfismo τ tal que τ (u) = v. En total existen tantos homomorfismos como raíces de f2 hay en F2 . Definición 4.1.9. Un cuerpo extensión F ⊃ K se llama cuerpo de descomposición de f sobre K si y sólo si existen u1 , . . . , un ∈ F tales que f = (X − u1 ) · · · (X − un ) y F = K(u1 , . . . , un ). Proposición 4.1.10. Sea E ⊃ F ⊃ K una torre de cuerpos tal que E es un cuerpo de descomposición de un polinomio f sobre K. Entonces E es también un cuerpo de descomposición de f sobre F . Demostración. Los elementos u1 , . . . , un raíces de f verifican E = K(u1 , . . . , un ) ⊂ F (u1 , . . . , un) ⊂ E luego E = F (u1 , . . . , un ). Teorema 4.1.11. Para todo polinomio f ∈ K[X] de grado n > 0 existe un cuerpo de descomposición F de f sobre K y se verifica que [F : K] ≤ n!. Demostración. Inducción sobre el grado de f . Si gr(f ) = 1, el polinomio es f = a1 X + a0 y su única raíz es u1 = −a0 /a1 ∈ K. Luego F = K es el cuerpo de descomposición de f sobre K. Además [F : K] = 1 = n! donde 1 = n = gr(f ). Sea ahora gr(f ) > 1. Por el teorema de Kronecker existe un cuerpo K1 = K(u1 ) ⊃ K con f (u) = 0. Descomponemos f = (X − u1 )f1 y gr(f1 ) = gr(f ) − 1 < gr(f ). Por la hipótesis de inducción existe F = K1 (u2 , . . . , un ) cuerpo de descomposición de f1 sobre K1 . Luego f = (X − u1 )(X − u2 ) . . . (X − un ) y F = K(u1 , u2 , . . . , un ) es un cuerpo de descomposición de f sobre K. Calculemos el grado: [F : K] = [F : K1 ][K1 : K] ≤ (n − 1)! · n = n!.

4.1. CUERPO DE DESCOMPOSICIÓN

51

Sea σ : K1 ∼ = K2 un isomorfismo de cuerpos, sea f1 ∈ K1 [X] arbitrario y sea f2 = σ(f1 ). Teorema 4.1.12. Sea Fi un cuerpo de descomposición de fi sobre Ki . Entonces existe un isomorfismo τ : F1 → F2 que es una extensión de σ. Demostración. Por inducción sobre el grado de f1 . Si gr(f1 ) = gr(f2 ) = 1 se verifica que Fi = Ki (i = 1, 2) y τ = σ. Sea ahora gr(fi ) > 1 y supongamos el teorema cierto para polinomios de grado menor. Sean ui ∈ Fi raíces respectivas de fi tales que Irr(u2 , K2 ) = σ(Irr(u1 , K1 )). Por la proposición 4.1.7 existe un isomorfismo σ1 : K1 (u1 ) ∼ = K2 (u2 ) extensión de σ tal que σ1 (u1 ) = u2 . Descomponemos fi = (X − ui )gi (i = 1, 2). Cada Fi es el cuerpo de descomposición de gi sobre Ki (ui ). Por la hipótesis de inducción existe una extensión τ : F1 ∼ = F2 del isomorfismo σ1 , que es también una extensión de σ. Corolario 4.1.13. Dos cuerpos de descomposición de f ∈ K[X] sobre K son isomorfos. Demostración. Aplicar la proposición anterior al isomorfismo identidad σ = 1K . Ejemplo 4.1.14. Sea f = X 2 + aX + b ∈ K[X] con K arbitrario. Si f es reducible sobre K el cuerpo de descomposición de f es el mismo K. Si f es irreducible llamamos F = K[X]/(f ) = K(u) donde u = X +(f ). Entonces f = (X − u)(X + (u + a)), el cuerpo de descomposición de f sobre K es F y [F : K] = 2. Ejemplo 4.1.15. Sea f = √ (X 2√ − 2)(X 2 − 3) ∈ Q[X]. El cuerpo de descomposición será F = Q( 2, 3) y su grado sobre Q es 4. Ejemplo 4.1.16. Sea f = X 3 + X + 1 ∈ Z2 [X]. Como f (0) 6= 0 6= f (1), el polinomio f no tiene raíces en Z2 y por tanto es irreducible en Z2 [X]. Sea u = X + (f ) ∈ Z2 [X]/(f ) = F . Un poco de cálculo muestra que u2 y u4 = u2 + u también son raíces de f y que f = (X − u)(X − u2 )(X − (u + u2 )). Luego f descompone en factores lineales en F y por tanto F = Z2 (u) es el cuerpo de descomposición de f sobre Z2 . Ejemplo 4.1.17. Sea f = X 4 + 1 ∈ Q[X]. Sea u una raíz de f . Las otras raíces son −u, u−1 y −u−1 que son todas distintas. Así que Q(u, −u, u−1 , −u−1 ) = Q(u) es el cuerpo de descomposición de f sobre Q. Igual sucede sobre Zp cuando p 6= 2. Sobre Z2 tenemos f = (X + 1)4 .

52

CAPÍTULO 4. CUERPOS DE DESCOMPOSICIÓN

Ejemplo 4.1.18. Sea f = X 4 + 4 ∈ Q[X]. En este caso el polinomio f es reducible: f = (X 2 + 2X + 2)(X 2 − 2X + 2). Las raíces de f son √ ±1 ± −1, así que el cuerpo de descomposición es Q(i). √ Ejemplo 4.1.19. Sea f = X 3 − 2 ∈ Q[X]. Sea u = 3 3 ∈ R y sea √ ω = (−1 + −3)/2 ∈ C la raíz cúbica de la unidad. Entonces las raíces de f son u, ωu y ω 2 u, y el cuerpo de descomposición de f sobre Q es Q(u, ω). Ejemplo 4.1.20. Sea f = X p −1 ∈ Q[X] con p primo. Sabemos que f = (X −1)Φp y que Φp = X p−1 +· · ·+X +1 es irreducible sobre Q. Sea u = X + (Φp ) ∈ Q[X]/(Φp ) = F . Sabemos que los p elementos 1, u, . . . , up−1 forman una base de F sobre Q y por tanto son distintos. Por otra parte f (uk ) = (uk )p − 1 = (up )k − 1 = 0 para k = 0, . . . p − 1 y tenemos p raíces de f en F . Luego f = (X − 1)(X − u) . . . (X − up−1 ) y F es el cuerpo de descomposición de f sobre Q (luego también F es el cuerpo de descomposición de Φp sobre Q). √ Ejemplo 4.1.21. Sea f = X p − 2 con p primo. Sea u = p 2 y sea ζ = e2πi/p . Las raíces de f en C son u, ζu, . . . , ζ p−1 u y el cuerpo de descomposición de f sobre Q es E = Q(u, ζu, . . . , ζup−1 ) = Q(u, ζ). Como [Q(u) : Q] = p y [Q(ζ) : Q] = p − 1 son primos relativos, obtenemos que [E : Q] = p(p − 1). Ejemplo 4.1.22. Sea ahora f = X p − t ∈ K = Zp (t) donde t es una indeterminada. Por el criterio de Eisenstein f es irreducible sobre K. Sea F = K(u) el cuerpo obtenido adjuntando a K una raíz de f . Como car(F ) = p el polinomio f descompone como f = (X − u)p y por tanto F es el cuerpo de descomposición de f sobre K. Igual k ocurre para el polinomio X p − t ∈ Zp (t). Definición 4.1.23. Sea F ⊂ K[X] cualquier conjunto de polinomios no constantes. Una extensión E/K se llama cuerpo de descomposición de F sobre K si para todo polinomio f ∈ F existen u1 , . . . , un ∈ E tales que f = (X − u1 ) · · · (X − un ) y además E = K(S) donde S = {u ∈ F | ∃f ∈ F f (u) = 0} Teorema 4.1.24. Para todo conjunto de polinomios no constantes F ⊂ K[X] existe un cuerpo de descomposición sobre K. Demostración. Sea F = {fλ | Q λ ∈ Λ} el conjunto de polinomios dados. Si Λ es finito, sea f = λ fλ . Por el teorema 4.1.11 existe un cuerpo de descomposición F de f sobre K, que es también el cuerpo de descomposición de F sobre K.

4.2. CLAUSURA ALGEBRAICA

53

Sea ahora Λ infinito. Para cada subconjunto finito J ⊂ Λ sea FJ un cuerpo de descomposición de J = {fλ | λ ∈ J} sobre K. Usando un argumento de sustitución de conjuntos podemos tomarlos de manera que si I ⊂ J se verifique FI ⊂ FJ . El conjunto S = {EJ | J ⊂ Λ, J finito} está ordenado por inclusión y es dirigido (es decir, para cualquier par FI , FJ ∈ S existe una extensión común FI∪J ∈ S). Sea F = ∪J∈S FJ . Definimos una suma y un producto en F de la siguiente manera: Para cualesquiera u, v ∈ F existe un J ∈ S tal que u, v ∈ FJ . Entonces la suma u + v y el producto uv en F son la suma y el producto en FJ . Es rutina comprobar que F es un cuerpo de descomposición de F sobre K. Proposición 4.1.25. Sean F1 , F2 dos cuerpos de descomposición sobre K de la misma familia de polinomios F. Entonces existe un isomorfismo σ : F1 ∼ = F2 sobre K. Demostración. Si F es finito esta proposición es un caso particular del corolario 4.1.13. Sea ahora F arbitrario. Formamos el conjunto E = {(E, τ ) | F1 ⊃ E ⊃ K, τ es una extensión de σ } Por el corolario 4.1.13 los E ⊃ K tales que E/K es finita pertenecen todos a E. Ordenamos el conjunto E de la siguiente manera: (E1 , τ1 )  (E2 , τ2 ) si y sólo si E1 ⊂ E2 y τ1 = τ2 |E1 . Es rutina comprobar que esta es una ordenación inductiva sobre E. Sea (F, σ) un elemento maximal. Si F $ F1 , por la proposición 4.1.7 existe un σ 0 : F 0 → F2 extensión de σ con F $ F 0 , en contra del carácter maximal de (F, σ). Finalmente, todo f ∈ F descompone en factores lineales en F1 y las raíces de todos estos polinomios se aplican mediante σ sobre las raíces de todos los f ∈ F en F2 . Pero estas últimas generan F2 sobre K, luego σ es sobre.

4.2.

Clausura algebraica

Proposición 4.2.1. Sea K un cuerpo. Los siguientes enunciados son equivalentes: 1. Todo polinomio no constante f ∈ K[X] tiene una raíz en K. 2. Para todo f ∈ K[X] de grado n > 1 existen u1 , . . . , un ∈ K tales que f = an (X − u1 ) · · · (X − un ).

54

CAPÍTULO 4. CUERPOS DE DESCOMPOSICIÓN

3. Un polinomio f ∈ K[X] es irreducible si y sólo si gr(f ) = 1. 4. Toda extensión algebraica de K es trivial. Demostración. 1 ⇒ 2 Por inducción sobre el grado de f . Si gr(f ) = 1 tenemos que f = a1 X + a0 = a1 (X − u1 ) con u1 = −a0 /a1 ∈ K. Sea ahora n = gr(f ) > 1. Por la hipótesis existe un ∈ K tal que f (un ) = 0. Dividimos f por X − un y obtenemos f = f1 · (X − un ) donde f1 = an X n−1 + . . . Por la hipótesis de inducción existen u1 , . . . , un−1 ∈ K tales que f1 = an (X − u1 ) . . . (X − un−1 ). Luego f = an (X − u1 ) . . . (X − un ). 2 ⇒ 3 Sea f ∈ K[X] irreducible. No es constante, luego f = an (X − u1 ) . . . (X −un ) con ui ∈ K. Como K[X] es un dominio factorial, f divide a uno de los factores de la derecha. Comparando grados obtenemos que gr(f ) = 1. 3 ⇒ 4 Sea E/K algebraica y u ∈ E arbitrario. Sea f = Irr(u, K). El polinomio f es irreducible, luego gr(f ) = 1 y f = X − u ∈ K[X]. Por tanto u ∈ K y E = K. 4 ⇒ 1 Sea f ∈ K[X] no constante. Por el teorema de Kronecker existe una extensión algebraica E/K y un elemento u ∈ E tal que f (u) = 0. Pero la hipótesis dice que E = K y por tanto u ∈ E. Definición 4.2.2. Un cuerpo verificando las propiedades de la proposición 4.2.1 se llama algebraicamente cerrado Proposición 4.2.3. Todo cuerpo algebraicamente cerrado es infinito. Demostración. Sea K = {a1 , . . . , am } un cuerpo finito. Formamos el polinomio f = (X − a1 ) . . . (X − am ) + 1. Para todo a ∈ K se verifica que f (a) = 1 6= 0, luego f no tiene raíces en K, de donde K no es algebraicamente cerrado. Proposición 4.2.4. Sea E/K una extensión arbitraria con E algebraicamente cerrado. Entonces el conjunto de elementos de E que son algebraicos sobre K forman un cuerpo algebraicamente cerrado. Demostración. Sea F el conjunto de elementos de E que son algebraicos sobre K. Ya hemos visto que F es un cuerpo (que se llama clausura algebraica (relativa) de K en E). Veamos que es algebraicamente cerrado: Sea f ∈ F [X] ⊂ E[X] no constante arbitrario. Por

4.2. CLAUSURA ALGEBRAICA

55

ser E algebraicamente cerrado, existe un u ∈ E tal que f (u) = 0. Entonces u es algebraico sobre F y por tanto también sobre K. Luego u ∈ F. Definición 4.2.5. Decimos que un cuerpo E es una clausura algebraica (absoluta) de K si E/K es una extensión algebraica y E es algebraicamente cerrado. Proposición 4.2.6. Para una extensión E/K las siguientes propiedades son equivalentes: 1. E es una clausura algebraica de K. 2. La extensión E/K es algebraica y todo polinomio no constante f ∈ K[X] descompone en factores lineales en E[X]. 3. E es el cuerpo de descomposición sobre K del conjunto de polinomios F = {f ∈ K[X] | gr(f ) > 0}. 4. La extensión E/K es algebraica y todo polinomio no constante f ∈ K[X] tiene una raíz en E. Demostración. 1 ⇒ 2 Por la proposición 4.2.1 para todo polinomio f ∈ F ⊂ E[X] existen u1 , . . . , un ∈ E tales que f = an (X − u1 ) . . . (X − un ). 2 ⇒ 3 Sea S = {u ∈ E | ∃f ∈ F f (u) = 0}. Como E/K es algebraica, S es el conjunto de elementos no nulos de E, y K(S) = E. Luego E es el cuerpo de descomposición de F sobre K. 3 ⇒ 1 Sea g ∈ E[X] no constante y sea F = E(u) un cuerpo extensión de F tal que g(u) = 0. El elemento u es algebraico sobre E y E/K es una extensión algebraica, luego u es algebraico sobre K. Sea f = Irr(u, K). Por la hipótesis existen elementos u1 , . . . , un ∈ E tales que f = (X − u1 ) . . . (X − un ). Como f (u) = 0 existe un i tal que u = ui y por tanto u ∈ E. La equivalencia con la condición 4 se verá mas adelante. Proposición 4.2.7. Sea E ⊃ F ⊃ K una torre de cuerpos con F/K algebraica. Entonces E es una clausura algebraica de F si y sólo si E es una clausura algebraica de K. Demostración. El cuerpo E es una clausura algebraica de F si y sólo si es algebraicamente cerrada y la extensión E/F es algebraica. Esto último ocurre si y sólo si E/K es algebraica, de donde el resultado.

56

CAPÍTULO 4. CUERPOS DE DESCOMPOSICIÓN

Teorema 4.2.8 (Steinitz). Para todo cuerpo K existe una clausura ¯ algebraica K. Demostración. Por el teorema 4.1.24 existe un cuerpo de descomposición para F = {f ∈ K[X] | gr(f ) > 0}. Por 4.2.6 es una clausura algebraica de K. Teorema 4.2.9. Dos clausuras algebraicas E1 , E2 del mismo cuerpo K son isomorfas sobre K. Demostración. Por 4.2.6 E1 y E2 son cuerpos de descomposición de la familia F = {f ∈ K[X] | gr(f ) > 0}. Por 4.1.25 son isomorfos sobre K. Teorema 4.2.10. Sea E ⊃ F ⊃ K una torre de cuerpos con E/K ¯ una clausura algebraica de K. Entonces todo algebraica y sea K ¯ sobre K tiene una extensión τ : E → K. ¯ homomorfismo σ : F → K Demostración. Por inducción transfinita. Sea ¯ y σi |F = σ} S = {(Ei , σi ) | F ⊂ Ei ⊂ E, σi : Ei → K El conjunto S no es vacío y está inductivamente ordenado por inclusión. Por el lema de Zorn existe un maximal (E1 , σ1 ). Si E1 ( E, ¯ una raíz de f . Por existe u ∈ E, u ∈ / E1 . Sea f = Irr(u, K) y sea v ∈ K ¯ extensión de σ1 tal que σ1 (u) = v, y el 4.1.7 existe un σ2 : E1 (u) → K par (E1 (u), σ2 ) contiene propiamente a (E1 , σ1 ) en contra del carácter maximal de éste último. Luego E1 = E y τ = σ1 es la extensión buscada. ¯ su clausura algeProposición 4.2.11. Sea K un cuerpo y sea K braica. ¯ es infinito numerable. 1. Si K es finito , entonces la clausura K ¯ tiene el mis2. Si K es infinito, entonces la clausura algebraica K mo cardinal que K. Demostración. Para cualquier cuerpo K sea Mn = {f ∈ K[X] | gr(f ) = n f mónico }. El conjunto Mn está en biyección con K n . El anillo K[X] es la unión disjunta de la familia numerable de todos los Mn , luego el cardinal de K[X] es la suma de los cardinales |Mn | = |K|n . Si K es infinito, |K|n = |K| y |K[X]| = |K|. Si |K| es finito también lo es |K|n y |K[X]| es numerable. ¯ es la unión del cero y de las raíces de todos los El conjunto K polinomios de la familia F = {f ∈ K[X] | gr(f ) > 0}. El número de ¯ = |K[X]|. ceros de cada polinomio f es finito, luego |K|

Capítulo 5 Extensiones normales y separables

57

58

5.1.

CAPÍTULO 5. EXTENSIONES NORMALES Y SEPARABLES

Elementos conjugados y extensiones conjugadas.

¯ una clausura algebraica de Sea K un cuerpo base fijo y sea K K también fija. Todos los elementos y todas los cuerpos extensión ¯ que vamos a considerar están en K. ¯ Los siguientes enunciados son Proposición 5.1.1. Sean u, v ∈ K. equivalentes: 1. Irr(u, K) = Irr(v, K) 2. Existe un isomorfismo τ : K(u) → K(v) tal que τ (u) = v ¯ tal que σ(u) = v 3. Existe un homomorfismo σ1 : K(u) → K ¯ →K ¯ tal que σ(u) = v. 4. Existe un automorfismo σ : K ¯ se llaman conjugados Definición 5.1.2. Dos elementos u, v ∈ K sobre K si verifican las propiedades enunciadas en 5.1.1. Proposición 5.1.3. Sean F1 /K y F2 /K dos extensiones algebraicas. Los siguientes enunciados son equivalentes: 1. Existe un isomorfismo σ : F1 → F2 sobre K. ¯ sobre K tal que σ1 (F1 ) = 2. Existe un homoomorfismo σ1 : F1 → K F2 . ¯ →K ¯ sobre K tal que σ2 (F1 ) = F2 ). 3. Existe un isomorfismo σ2 : K Definición 5.1.4. Dos extensiones F1 /K, F2 /K se llaman conjugadas si verifican las propiedades enunciadas en 5.1.3

5.2.

Extensiones normales

Teorema 5.2.1. Sea F/K una extensión algebraica, con F subcuer¯ Los siguientes enunciados son equivalentes: po de K. ¯ sobre K, σ(F ) = F 1. Para todo σ : F → K 2. Todo polinomio irreducible de K[X] que tiene una raíz en F descompone en factores lineales en F [X].

5.2. EXTENSIONES NORMALES

59

3. F es el cuerpo de descomposición sobre K de una familia de polinomios de K[X]. Definición 5.2.2. Una extensión F/K se llama normal si verifica las propiedades del teorema 5.2.1 Proposición 5.2.3. Propiedades de las extensiones normales: 1. Sea E/K una extensión normal y sea F/K una extensión algebraica arbitraria. Entonces la extensión EF/F es normal 2. Sea K ⊂ F ⊂ E una torre de de cuerpos con E/K normal. Entonces E/F es una extensión normal. 3. Sean F1 /K y F2 /K dos extensiones normales. Entonces F1 F2 /K es una extensión normal. 4. Sea Fλ /K, λ ∈ Λ una familia arbitraria de extensiones normales y sea E = ∩λ Fλ . Entonces la extensión E/K es normal. Definición 5.2.4. Sea F/k una extensión algebraica arbitraria. Llamamos clausura normal de F/K a la extensión E/K donde E = ∩{F1 | F1 ⊃ F y F1 /K es normal} Teorema 5.2.5. Para toda extensión algebraica F/K existe una clausura normal E/K. Teorema 5.2.6. Sean E1 /K y E2 /K dos clausuras normales de la extensión F/K. Entonces existe un isomorfismo E1 ∼ = E2 sobre F . Proposición 5.2.7. Sea E ⊃ F ⊃ K una torre de cuerpos tal que la extensión E/K es normal. Entonces todo homomorfismo τ : F → E se extiende a un automorfismo σ : E → E Proposición 5.2.8. Sea F = K(u1 , . . . , un ) una extensión finita y sea fi = Irr(ui , K) para i = 1, . . . , n. Entonces la clausura normal es E/K donde E es el cuerpo de descomposición de f = f1 · · · f2 sobre K. Corolario 5.2.9. Sea F/K una extensión finita de grado n = [F : K] y sea E/K su clausura normal. Entonces E/K es finita. Definición 5.2.10. Sea f ∈ K[X] un polinomio irreducible. Decimos que f es un polinomio normal sobre K si para toda extensión algebraica F/K tal que en F exista una raíz de f , el polinomio f descompone como un producto de factores lineales.

60

CAPÍTULO 5. EXTENSIONES NORMALES Y SEPARABLES

Proposición 5.2.11. Sea f un polinomio irreducible en K[X]. Los siguientes enunciados son equivalentes: 1. El polinomio f es normal sobre K. 2. El cuerpo de descomposición de f sobre K es K(u), donde u es una raíz de f . 3. Todas las raíces de f se expresan como polinomios en una cualquiera de ellas.

5.3.

Extensiones separables

Definición 5.3.1. Un elemento algebraico u sobre un cuerpo K se llama separable si Irr(u, K) no tiene raíces múltiples Definición 5.3.2. Una extensión algebraica F/K se llama separable si todo elemento de F es separable sobre K. Proposición 5.3.3. Sea E ⊃ F ⊃ K una torre de cuerpos tal que E/K es una extensión separable. Entonces E/F y F/K son extensiones separables. Sea una torre de cuerpos ¯ ⊃F ⊃K K ¯ es una clausura algebraica de K. donde K Definición 5.3.4. Llamamos grado separable de F sobre K al car¯ sobre K: dinal del conjunto de homomorfismos de F en K ¯ sobre K }| [F : K]s = |{σ : F → K Proposición 5.3.5. Sea una torre de cuerpos ¯ ⊃E⊃F ⊃K K ¯ es una clausura algebraica de K. Entonces donde K [E : K]s = [E : F ]s [F : K]s Proposición 5.3.6. Sea F/K una extensión finita. Entonces [F : K]s divide a [F : K] y por tanto [F : K]s ≤ [F : K]

5.3. EXTENSIONES SEPARABLES

61

Proposición 5.3.7. Sea E ⊃ F ⊃ K una torre de cuerpos con E/K finita. Entonces [E : K]s = [E : K] si y sólo si [E : F ]s = [E : F ] y [F : K]s = [F : K]. Proposición 5.3.8. Sea E/K una extensión finita. La extensión E/K es separable si y sólo si [E : K]s = [E : K]. Proposición 5.3.9. Sea F/K una extensión algebraica y S ⊂ F tal que F = K(S). Entonces la extensión F/K es separable si y sólo si todo elemento de S es separable sobre K. Proposición 5.3.10. 1. Sea E ⊃ F ⊃ K una torre de cuerpos con E/K algebraica. La extensión E/K es separable si y sólo si las extensiones E/F y F/K son separables. 2. Sean E/K una extensión algebraica separable y F/K una extensión arbitraria. Entonces EF/F es separable. 3. Sean E/K y F/K dos extensiones algebraicas separables. Entonces EF/K es separable. Corolario 5.3.11. Sea F/K una extensión separable y E/K su clausura normal. Entonces E/K es separable. ¯ sepaDefinición 5.3.12. El conjunto de todos los elementos de K ¯ que se llama clausura rables sobre K forman un subcuerpo de K sep separable de K y se denota por K . Teorema 5.3.13 (Teorema del elemento primitivo). Sea F/K una extensión finita. La extensión es simple si y sólo si el conjunto de cuerpos intermedios {E | F ⊃ E ⊃ K} es finito. Si la extensión F/K es finita y separable, entonces es simple. Definición 5.3.14. Sea K un cuerpo de característica p. El homomorfismo φ : K → K definido por φ(u) = up se llama endomorfismo de Frobenius del cuerpo K. Teorema 5.3.15. Para un cuerpo K las siguientes propiedades son equivalentes: 1. Todo polinomio f ∈ K[X] irreducible tiene sólo raíces simples. 2. Toda extensión E/K algebraica es separable. 3. Toda extensión E/K finita es separable.

62

CAPÍTULO 5. EXTENSIONES NORMALES Y SEPARABLES

4. car(K) = 0 ó car(K) = p y el endomorfismo de Frobenius es sobre. Definición 5.3.16. Un cuerpo K se llama perfecto si tiene las propiedades del teorema 5.3.15. Proposición 5.3.17. fecto.

1. Todo cuerpo de característica cero es per-

2. Todo cuerpo finito es perfecto. 3. Todo cuerpo algebraicamente cerrado es perfecto.

5.4.

Derivada y raíces múltiples

Definición 5.4.1. Sea f ∈ F [X] un polinomio y u ∈ F . Decimos que u es una raíz de f de multiplicidad k si f = (X − u)k f1 con f1 (u) 6= 0. El elemento u es una raíz simple si k = 1 y es una raíz múltiple si k > 1. P Definición 5.4.2. Para todo polinomio f = ni=0 ai X i = an X n + · · · + a1 X + a0 definimos la derivada de f como n X 0 f = ian X i−1 = nan X n−1 + · · · + a1 i=1

Proposición 5.4.3. La derivada verifica las siguientes propiedades: 1. Para todo par de polinomios f, g se verifica (f + g)0 = f 0 + g 0 2. Para todo par de polinomios f, g se verifica (f · g)0 = f 0 · g + f · g 0 3. (f m )0 = mf m−1 · f 0 Proposición 5.4.4. Las raíces de f son simples si y sólo si m. c. d.(f, f 0 ) = 1 Corolario 5.4.5. Sea f irreducible y f 0 6= 0. Entonces las raíces de f son simples Corolario 5.4.6. 1. Sea car(K) = 0 y f irreducible sobre K. Entonces las raíces de f son simples. 2. Sea car(K) = p > 0. El polinomio f irreducible tiene raíces multiples si y sólo si f (X) = g(X p ) Definición 5.4.7. Un polinomio f ∈ K[X] se llama separable sobre K si sus factores irreducibles tienen sólo raíces simples.

Parte III Teoría de Galois finita

63

Capítulo 6 Teoría de Galois finita

65

66

CAPÍTULO 6. TEORÍA DE GALOIS FINITA

6.1.

Grupos de automorfismos

Sea S un conjunto y F un cuerpo. Sea Fun(S, F ) = {f : S → F } el conjunto de todas las aplicaciones de S en F . Definimos en Fun(S, F ) una suma y un producto escalar por componentes: (f1 + f2 )(s) = f1 (s) + f2 (s) y (af )(s) = a · f (s) para todo s ∈ S y todo a ∈ F . Lema 6.1.1. El conjunto Fun(S, F ) con la suma y productos recién definidos es un espacio vectorial sobre F de dimensión |S|. Demostración. Ocho comprobaciones rutinarias. Sea ahora G un grupo sean y sean σ1 , . . . , σn : G → F × n homomorfismos distintos de G en el grupo multiplicativo de F . Proposición 6.1.2. Los homomorfismos σ1 , . . . , σn son linealmente independientes sobre F . Demostración. Un único homomorfismo es linealmente independiente sobre F . Supongamos que los homomorfismos dados son linealmente dependientes sobre F . Sea σ1 , . . . , σs un subconjunto linealmente dependiente de longitud mínima, de manera que existen a1 , . . . , as ∈ F × con a1 σ1 + · · · + as σs = 0. Despejando el último homomorfismo tenemos que σs = b1 σ1 + · · · + bs−1 σs−1 donde bi = ai /as ∈ F × . Es decir, que para cualquier x ∈ G se verifica σs (x) = b1 σ1 (x) + · · · + bs−1 σs−1 (x) Sea y ∈ G tal que σ1 (y) 6= σs (y). Sustituyendo yx en lugar de x en la expresión anterior tenemos que para todo x ∈ G se verifica σs (y)σs (x) = b1 σ1 (y)σ1 (x) + · · · + bs−1 σs−1 (y)σs−1 (x) Por otra parte, multiplicando la primera relación por σs (y) tenemos que para todo x ∈ G se verifica σs (y)σs (x) = b1 σs (y)σ1 (x) + · · · + bs−1 σs (y)σs−1 (x) Restando ambas relaciones obtenemos que para todo x ∈ G se verifica 0 = b1 (σ1 (y) − σs (y))σ1 (x) + · · · + bs−1 (σs−1 (y) − σs (y))σs−1 (x)

6.1. GRUPOS DE AUTOMORFISMOS

67

de donde 0 = b1 (σ1 (y) − σs (y))σ1 + · · · + bs−1 (σs−1 (y) − σs (y))σs−1 que es una relación lineal no trivial (el primer coeficiente no es cero) de longitud estrictamente menor que la dada, contradicción. Corolario 6.1.3 (Lema de Dedekind). Sean σ1 , . . . , σn : F1 → F2 n homomorfismos de cuerpos distintos. Entonces son linealmente independientes sobre F2 . Corolario 6.1.4. Si [F1 : K] = n, existen como máximo n homomorfismos distintos F1 → F2 sobre K. Demostración. Sean {u1 , . . . , un } una base de F1 sobre K. Si existen n + 1 homomorfismos distintos σi : F1 → F2 sobre K, el sistema de ecuaciones lineales homogéneas X1 σ1 (uj ) + · · · + Xn+1 σn+1 (uj ) = 0

j = 1, . . . n

tiene una solución no trivial c1 , . . . cn+1 ∈ F2 . Todo elemento u ∈ F1 se expresa como u = a1 u1 + · · · + an un y por tanto (c1 σ1 + · · · + cn+1 σn+1 )(u) = c1 σ1 (u) + · · · + cn+1 σn+1 (u) = 0 para todo u ∈ F1 . Luego los homomorfismos σi son linealmente dependientes sobre F2 , contradicción. Definición 6.1.5. Para toda extensión finita F/K llamamos grupo de la extensión al grupo G(F/K) = {σ ∈ Aut(F ) | ∀u ∈ F σ(u) = u} Corolario 6.1.6. Para toda extensión finita F/K se verifica |G(F/K)| ≤ [F : K] Sea E un cuerpo arbitrario y sea G < Aut(E) un subgrupo del grupo de automorfismos de E. Llamamos E G = {u ∈ G | ∀σ ∈ G σ(u) = u}. Lema 6.1.7. E G es un subcuerpo de E que se llama cuerpo fijo de G. Demostración. Comprobaciones rutinarias.

68

CAPÍTULO 6. TEORÍA DE GALOIS FINITA

Teorema 6.1.8 (Teorema de Artin). Sea G un subgrupo finito de Aut(E). Entonces [E : E G ] = |G|. Demostración. Ya sabemos que n = |G| ≤ [E : E G ]. Supongamos que la desigualdad sea estricta. Sea G = {σj | j = 1, . . . n} y sean u1 , . . . , un+1 ∈ E linealmente independientes sobre E G . Formamos el sistema de ecuaciones lineales homogéneas X1 σj (u1 ) + · · · + Xn+1 σj (un+1 ) = 0

j = 1, . . . , n

que tiene solución no trivial. Sea a1 , . . . , an+1 ∈ E una solución con el número mínimo de elementos no nulos. Sea a1 6= 0. Despejamos σj (u1 ) = b2 σj (u2 ) + · · · + bn σj (un+1 )

j = 1, . . . , n

Para σj = 1E (el elemento unidad de G), nos queda u1 = b2 u2 + . . . bn+1 un+1 . Los ui son linealmente independientes sobre E G , luego alguno de los coeficientes bi no está en E G . Sea b2 ∈ / E G , luego existe un τ ∈ G tal que τ (b2 ) 6= b2 . Tenemos que {τ σj | σj ∈ G} = G, luego aplicando τ a las igualdades anteriores tenemos que σj (u1 ) = τ (b2 )σj (u2 ) + · · · + τ (bn )σj (un+1 )

j = 1, . . . , n

Restando ambos sistemas obtenemos una solución del sistema original no trivial (porque b2 − τ (b2 ) 6= 0) de longitud estrictamente menor (el coeficiente correspondiente a u1 vale 0), contradicción Definición 6.1.9. Una extensión finita E/K se llama extensión de Galois si existe un grupo G < Aut E tal que E G = K. En este caso, el grupo G se representa pos Gal(E/K) y se llama grupo de Galois de la extensión E/K Proposición 6.1.10. Una extensión finita E/K es de Galois si y sólo si es normal y separable. Corolario 6.1.11. Sea F/K una extensión separable finita y sea E/K su clausura normal. Entonces E/K es una extensión finita de Galois. Demostración. Sea E/K una extensión de Galois. Entonces K = E G para algún grupo G. Cada automorfismo σ ∈ G se extiende a un ¯ luego [E : K]S ≥ |G| = [E : K] ≥ [E : K]s . homomorfismo σ 0 : E → K,

6.2. CORRESPONDENCIA DE GALOIS, CASO FINITO

69

Por tanto [E : K]s = [E : K] y la extensión es separable. El número ¯ es [E : K]s = |G|, luego para todo total de homomorfismos τ : E → K τ , τ (E) = E y la extensión E/K es normal. A la inversa, sea E/K una extensión normal y separable. Existen ¯ sobre K, y para n = [E : K]s = [E : K] homomorfismos τ : E → K todos ellos τ (E) = E. Luego G = G(E/K) tiene orden n. Tenemos la torre de cuerpos E ⊃ E G ⊃ K, y por el teorema de Artin, [E : E G ] = n = [E : K]. Luego [E G : K] = 1 y por tanto E G = K y la extensión E/K es de Galois.

6.2.

Correspondencia de Galois, caso finito

Sea E/K una extensión finita de Galois con grupo G = Gal(E/K). Definimos dos aplicaciones entre el conjunto S(G) de subgrupos de G y el conjunto F(E/K) de cuerpos intermedios de E/K de la siguiente manera: A cada subgrupo H < G le hacemos corresponder su cuerpo fijo E H = H ∗ = {u ∈ E | ∀σ ∈ H σ(u) = u} y a cada cuerpo intermedio F entre E y K le hacemos corresponder el grupo de Galois de la extensión E/F : GF = F ∗ = Gal(E/F ) = {σ ∈ G | ∀u ∈ F σ(u) = u} Proposición 6.2.1. Sean F, F1 , F2 cuerpos intermedios de E/K y H, H1 , H2 subgrupos de G = Gal(E/K). Entonces: 1. F1 ⊂ F2 ⇒ F1∗ ⊃ F2∗ ; H1 ⊂ H2 ⇒ H1∗ ⊃ H2∗ 2. F ⊂ F ∗∗ ; H < H ∗∗ 3. F ∗ = F ∗∗∗ ; H ∗ = H ∗∗∗ Demostración. 1. Sea F1 ⊂ F2 y sea u ∈ F1 arbitrario. Para todo ∗ σ ∈ F2 se verifica σ(u) = u. Luego σ ∈ F1∗ . Como esto es cierto para todo σ ∈ F2∗ , tenemos que F2∗ ⊂ F1∗ . A la inversa, sea H1 ⊂ H2 y sea σ ∈ H1 arbitrario. Para todo u ∈ H2∗ se verifica σ(u) = u, luego u ∈ H1+ . Como esto es cierto para todo u ∈ H2+ , tenemos que H2∗ ⊂ H1∗ .

70

CAPÍTULO 6. TEORÍA DE GALOIS FINITA

2. Para todo u ∈ F y todo σ ∈ F ∗ se verifica que σ(u) = u. Luego u ∈ F ∗∗ y por tanto F ⊂ F ∗∗ . Para todo σ ∈ H y todo u ∈ H ∗ se verifica que σ(u) = u. Luego σ ∈ H ∗∗ y por tanto H ⊂ H ∗∗ . 3. Por el apartado anterior, F ∗ ⊂ (F ∗ )∗∗ = F ∗∗∗ y H ∗ ⊂ (H ∗ )∗∗ = H ∗∗∗ . Como F ⊂ F ∗∗ , por el primer apartado F ∗ ⊃ (F ∗∗ )∗ = F ∗∗∗ . Como H ⊂ H ∗∗ , por el primer apartado H ∗ ⊃ (H ∗∗ )∗ = H ∗∗∗ . Definición 6.2.2. El par de aplicaciones F 7→ F ∗ y H 7→ H ∗ se llama correspondencia de Galois para la extensión E/K. Teorema 6.2.3 (Teorema fundamental). Sea E/K una extensión de Galois finita con grupo G = Gal(E/K). 1. La correspondencia de Galois establece una biyección F(E/K) ∼ = S(G) dada por F = H ∗ ↔ H = F ∗ 2. En esa biyección F1 ⊂ F2 si y sólo si H1 ⊃ H2 . 3. Dicha biyección es un antiisomorfismo de retículos: (F1 · F2 )∗ = F1∗ ∩ F2∗ y (F1 ∩ F2 )∗ = F1∗ ∨ F2∗ . 4. Las extensiones F1 /K y F2 /K son conjugadas si y sólo si los subgrupos F1∗ y F2∗ son conjugados en G. 5. La extensión F/K es normal si y sólo si F ∗ es un subgrupo normal de G. En este caso Gal(F/K) ∼ = G/F ∗ . 6. Para todo subgrupo H < G se verifica |H| = [E : H ∗ ] y [G : H] = [H ∗ : K]. Para todo F ∈ F(E/K) se verifica [E : F ] = |F ∗ | y [F : K] = [G : F ∗ ]. Demostración. Demostramos los diversos apartados en otro orden: Empezamos demostrando el último apartado: Para todo grupo H el teorema de Artin nos dice que |G| = [E : E G ] = [E : K] y |H| = [E : E H ] = [E : H ∗ ]. Por el teorema de Lagrange |G| = [G : H]|H|, y por el teorema del grado [E : K] = [E : H ∗ ][H ∗ : K].

6.2. CORRESPONDENCIA DE GALOIS, CASO FINITO

71

Simplificando los factores iguales nos queda que [G : H] = [H ∗ : K]. Para todo cuerpo intermedio F la extensión E/F es de Galois, con grupo Gal(E/F ) = E F = F ∗ y |F ∗ | = [E : F ]. Igualmente sabemos que |G| = [E : K]. Por el teorema del grado [E : K] = [E : F ][F : K] y por el teorema de Lagrange tenemos que |G| = [G : F ∗ ]|F ∗ |. Simplificando los factores iguales nos queda que [F : K] = [G : F ∗ ]. Demostramos ahora el primer apartado: Para todo H < G tenemos la torre de grupos G > H ∗∗ > H. Por el teorema de Lagrange, [G : H] = [G : H ∗∗ ][H ∗∗ : H]. Pero [G : H] = [H ∗ : K] y [G : H ∗∗ ] = [G : H ∗∗∗ ] = [H ∗∗∗ : K] = [H ∗ : K] son iguales, luego [H ∗∗ : H] = 1 y por tanto H ∗∗ = H. Para todo F ⊂ E tenemos la torre de cuerpos E > F ∗∗ > F . Por el teorema del grado, [E : F ] = [E : F ∗∗ ][F ∗∗ : F ]. Pero [E : F ] = |F ∗ | y [E : F ∗∗ ] = |F ∗∗∗ | = |F ∗ | son iguales, luego [F ∗∗ : F ] = 1 y por tanto F ∗∗ = F . Luego la aplicaciones de la correspondencia de Galois son inversas cada una de la otra, y por tanto son biyecciones. Por la proposición anterior, estas biyecciones invierten las inclusiones, que es el segundo apartado. Dichas biyecciones son antiisomorfismos de conjuntos ordenados. Por tanto llevan el supremo (mínima cota superior) de dos elementos en el ínfimo (máxima cota inferior) de sus imágenes y viceversa, que es el enunciado del tercer apartado. Demostramos el cuarto apartado: Sea F2 = σ(F1 ) con σ ∈ G. Para todo elemento u ∈ F2 existe un único v ∈ F1 tal que u = σ(v). Para todo automorfismo τ ∈ F1∗ tenemos que στ σ −1 (u) = στ (v) = σ(v) = u, luego στ σ −1 ∈ F2∗ . Como esto es cierto para todo τ ∈ F1∗ , tenemos que σF1∗ σ −1 ⊂ F2∗ . Partiendo de la expresión F1 = σ −1 (F2 ) y aplicando el mismo razonamiento obtenemos que σ −1 F2∗ σ ⊂ F1∗ . Por tanto F2 = σσ −1 F2∗ σσ −1 ⊂ σF1∗ σ −1 . Combinando ambas inclusiones nos queda que F2∗ = σF1∗ σ −1 . Partiendo de σF1∗ σ −1 = F2∗ y aplicando un razonamiento análogo, llegamos a que F2 = σ(F1 ).

72

CAPÍTULO 6. TEORÍA DE GALOIS FINITA El primer enunciado del quinto apartado es consecuencia inmediata del cuarto apartado. Para demostrar el isomorfismo, consideramos el homomorfismo de grupos Φ : G = Gal(E/K) → Gal(F/K) dado por restricción. Entonces Im(Φ) = Gal(F/K) y ker(Φ) = F ∗ . Por el primer teorema de isomorfismo para grupos obtenemos el isomorfismo buscado.

6.3.

Ejemplos e ilustraciones

Ejemplo 6.3.1. Extensiones cuadráticas Ejemplo 6.3.2. Q(u), u3 − 3u − 1 = 0 (raíces: u, 2 − u2 , −2 − u + u2 ) Ejemplo 6.3.3. x3 + x + 1 ∈ F2 [x]; raíces: u, u2 , u + u2 Ejemplo 6.3.4. Cuerpo de descomposición de x3 − 2 sobre Q Ejemplo 6.3.5. Q(u)/Q, u3 − 2 = 0 √ √ Ejemplo 6.3.6. Q( 2, 3)/Q q  √ √ Ejemplo 6.3.7. Q (2 + 2)(3 + 3) /Q p √  2 + 2 /Q Ejemplo 6.3.8. Q q  p √ Ejemplo 6.3.9. Q 2 + 2 + 2 /Q Ejemplo 6.3.10. car(F ) = p, E = F (u), up = a ∈ F imperfecto Ejemplo 6.3.11. Q(u)/Q, u6 − 3 = 0 Ejemplo 6.3.12. Q(u)/Q, u6 + 3 = 0 (Raíces: ±u, ±(u + u4 )/2, ±(−u + u4 )/2), G ∼ = S3 Ejemplo 6.3.13. Q(u)/Q, u4 − 2 = 0 |G| = 8 Ejemplo 6.3.14. X 4 + 1 Ejemplo 6.3.15. Q(u)/Q, u8 − 2 = 0 |G| = 16 Ejemplo 6.3.16. Q(u)/Q, u7 = 1 Ejemplo 6.3.17. Q(u)/Q, u17 = 1 Ejemplo 6.3.18. X p − 1 ∈ Q[X] Ejemplo 6.3.19. E = F (t) ⇒ G = {t → (at + b)/(ct + d) | ad − bc 6= 0}

6.4. PROPIEDADES DE LAS EXTENSIONES DE GALOIS

73

Ejemplo 6.3.20. car(F ) = 0, F = k(t), σ(t) = −t, τ (t) = 1 − t Ejemplo 6.3.21. car(F ) = p, F = k(t), σ(t) = −t, τ (t) = 1 − t Ejemplo 6.3.22. car(K) = p, K(t, u)/K(tp , up ) Ejemplo 6.3.23. C es algebraicamente cerrado. Ejemplo 6.3.24. Cuerpo de descomposición de X 5 − 4 ∗ X + 2 sobre Q (conjugación compleja) Ejemplo 6.3.25. Cuerpo de descomposición de X 5 − X − 1 sobre Q (reducción modulo 5 y 2) Ejemplo 6.3.26. F (t1 , · · · , tn )/F Ejemplo 6.3.27. Funciones racionales simétricas K(t1 , . . . , tn )/K(s1 , . . . , sn ) Ejemplo 6.3.28. Ecuación general de grado n

6.4.

Propiedades de las extensiones de Galois

Proposición 6.4.1. Sea E ⊃ F ⊃ K una torre de cuerpos tal que E/K es una extensión de Galois finita. Entonces la extensión E/F también es de Galois finita y el grupo Gal(E/F ) es un subgrupo de Gal(E/K). Definición 6.4.2. Una extensión finita E/K se llama abeliana si es de Galois y el grupo G = Gal(E/K) es abeliano. Una extensión finita E/K se llama cíclica si es de Galois y el grupo G = Gal(E/K) es cíclico. Una extensión finita E/K se llama soluble si es de Galois y el grupo G = Gal(E/K) es soluble. Proposición 6.4.3. Sea E ⊃ F ⊃ K una torre de cuerpos con E/K finita. Si la extensión E/K es abeliana (cíclica, soluble) también la extensión E/F es abeliana (cíclica, soluble). Proposición 6.4.4. Sea E ⊃ F ⊃ K una torre de cuerpos. 1. Si E/K es una extensión finita de Galois abeliana, la extensión F/K también es finita de Galois abeliana. 2. Si E/K es una extensión finita de Galois cíclica, la extensión F/K también es finita de Galois cíclica.

74

CAPÍTULO 6. TEORÍA DE GALOIS FINITA

Teorema 6.4.5. Sea E/K una extensión finita de Galois y F/K una extensión arbitraria tales que E, F son subcuerpos de otro cuerpo L. Entonces EF/F y E/(E ∩ F ) son extensiones finitas de Galois y la aplicación restricción σ 7→ σ|E define un isomorfismo Gal(EF/F ) ∼ = Gal(E/(E ∩ F )) < Gal(E/K). Corolario 6.4.6. Sea E/K una extensión finita de Galois y sea F/K arbitraria donde E y F son subcuerpos de otro cuerpo L. Entonces [EF : F ] divide a [E : K]. Este corolario no es válido si E/K no es de Galois: √ √ Ejemplo √ 6.4.7. Sean E = Q( 3 2), F = Q(ω 3 2) y K = Q. Entonces EF = Q( 3 2, ω) y E ∩F = Q. Luego [EF : F ] = 2 no divide a [E : K] = 3. Teorema 6.4.8. Sea E1 /K y E2 /K extensiones finitas de Galois con grupos Gi = Gal(Ei /K), ambas contenidas en otro cuerpo L. Entonces E1 E2 /K es una extensión finita de Galois y existe un homomorfismo inyectivo λ : Gal(E1 E2 /K) → G1 × G2 definido por restricción: λ(σ) = (σ|E1 , σ|E2 ). Si E1 ∩ E2 = K, el homomorfismo λ es un isomorfismo. Corolario 6.4.9. Sean E1 /K, . . . , En /K extensiones finitas de Galois con grupos respectivos G1 , . . . , Gn . Supongamos que todos los cuerpos Ei son subcuerpos de otro cuerpo L y que Ei ∩ (E1 · · · Ei−1 ) = K para i = 2, . . . , n. Entonces Gal(E1 · · · En /K) ∼ = G1 × · · · × Gn . Corolario 6.4.10. Sea E/K una extensión finita de Galois con grupo G. Supongamos que G = G1 × · · · × Gn . Sea Ei el cuerpo fijo de G1 × · · · × {1} × · · · × Gn (el elemento 1 aparece en la i-ésima coordenada). Entonces Ei /K es de Galois con grupo Gal(Ei /K) ∼ = Gi , Ei ∩ (E1 · · · Ei−1 ) = K y E = E1 · · · En .

Parte IV Aplicaciones

75

Capítulo 7 Cuerpos finitos

77

78

CAPÍTULO 7. CUERPOS FINITOS

El primer matemático que realizó cálculos extensos en cuerpos finitos distintos de Zp fue Gauss. El proyectado último capítulo de [15] estaba dedicado a un estudio profundo de los cuerpos finitos. Gauss los introducía (en lenguaje moderno) como extensiones de Zp por adjunción de raíces de polinomios irreducibles sobre Zp . Así que usaba dominios nuevos, pero rehusó darles nombre. Fue Galois quien introdujo en [13] el concepto de cuerpo finito. Por esta razón los cuerpos finitos se llaman también cuerpos de Galois. La discusión mas detallada de los cuerpos finitos y sus propiedades es la expuesta en [23]. La siguiente exposición sigue las líneas de [7], [9] y [22].

7.1.

Estructura de los cuerpos finitos

Sea F un cuerpo finito con |F | = q elementos. Recolectamos algunos hechos fáciles de demostrar: Lema 7.1.1.

1. La característica de F es un primo p 6= 0.

2. El cuerpo primo de F es isomorfo a Z/pZ. 3. La extensión F/Zp es finita. 4. Sea [F : Zp ] = n. Entonces q = |F | = pn . 5. El grupo multiplicativo F × es cíclico de orden q − 1. El último punto del lema anterior y el teorema de Lagrange para grupos implican que todo elemento no nulo u ∈ F es raíz del polinomio X q−1 − 1 ∈ Zp [X]. Luego todo elemento u ∈ F es raíz de f = X q − X ∈ F [X]. Así que el polinomio f Q descompone totalmente en F y todas sus raíces son distintas: f = a∈F (X − a) y por tanto: Proposición 7.1.2. 1. F es el cuerpo de descomposición del polinomio X q − X sobre Zp . 2. Dos cuerpos finitos con el mismo cardinal son isomorfos. La caracterización dada en esta proposición nos da la clave para demostrar la existencia de un cuerpo con q = pn elementos: Proposición 7.1.3. Sea q = pn con p primo. Existe un cuerpo con |F | = q elementos.

7.1. ESTRUCTURA DE LOS CUERPOS FINITOS

79

Demostración. Consideramos el polinomio f = X q − X ∈ Zp . Su derivada vale f 0 = −1 y no tiene raíces. Por tanto f tiene sólo raíces simples. Sea F el cuerpo de descomposición de f sobre Zp y sea S ⊂ F el conjunto de todas las raíces de f en F . Sabemos que |S| = q. Vamos a ver que S = F con lo que tendremos el resultado buscado. Para ello basta comprobar que S es un subcuerpo de F , es decir, que es cerrado para la suma, el producto, el opuesto y el inverso: Sean u, v ∈ S. Calculamos: (u + v)q − (u + v) = uq + v q − u − v = 0 (uv)q − (uv) = uq v q − uv = uv − uv = 0 (−u)q − (−u) = −uq + u = 0 (u−1 )q − u−1 = u−1 − u−1 = 0

(7.1.1) (7.1.2) (7.1.3) (7.1.4)

Las dos proposiciones anteriores unidas forman el siguiente teorema: Teorema 7.1.4 (Moore). Para cada primo p y para cada n 6= 1 existe exactamente un cuerpo con q = pn elementos (salvo isomorfismo), a saber, el cuerpo de descomposición de X q − X sobre Zp . Estos son los únicos cuerpos finitos. Definición 7.1.5. El único cuerpo con pn elementos se denota por Fpn y también por GF (pn ). Se llama cuerpo de Galois de orden pn . Proposición 7.1.6. Sea Fq un cuerpo finito y sea n > 1 un entero. En una clausura algebraica de Fq existe un único cuerpo extensión de grado n de Fq y este cuerpo es Fqn . Demostración. Por el teorema de Moore un tal cuerpo extensión n está caracterizado como el conjunto de raíces del polinomio X q − X Sea φ : Fpn → Fpn el endomorfismo de Frobenius definido por φ(u) = up . Proposición 7.1.7. El grupo Aut(Fpn ) es cíclico de orden n, generado por φ.

80

CAPÍTULO 7. CUERPOS FINITOS

Demostración. Sea G = hφi. El cuerpo fijo bajo G es p FG pn = {u ∈ Fpn | u = u} = Fp

el cuerpo primo de Fpn , que también es el cuerpo fijo bajo todo el grupo Aut(Fpn ). Por el teorema fundamental ambos grupos son el mismo y su orden es n = [Fpn : Fp ]. Teorema 7.1.8. Sean m, n ≥ 1 enteros. Entonces Fpn es un subcuerpo de Fpm si y sólo si n | m. En este caso la extensión Fpm /Fpn es cíclica y Gal(Fpm /Fpn ) = hφn i Demostración. Supongamos que Fpm ⊃ Fpn ⊃ Fp . Por el teorema del grado, n = [Fpn : Fp ] divide a m = [Fpm : Fp ]. A la inversa supongamos que n es un divisor de m, sea m = dn. El grupo Gal(Fpm /Fp ) = hφi es cíclico de orden n y posee un subgrupo (único) H = hφn i de orden d. Sea F = FH pn el cuerpo fijo bajo H. Entonces [F : Fp ] = [G : H] = m y por tanto |F | = pm y por el teorema de Moore F ∼ = Fpm . Además H = Gal(Fpm /Fpn ).

7.2.

Factorización de polinomios

El teorema de Moore provee un instrumento altamente eficiente para trabajar con polinomios de Fpn [X]. En primer lugar permite identificar y contar los polinomios irreducibles con grado dado. Proposición 7.2.1. Todo polinomio irreducible de grado n en Fp [X] n n es un factor de f = X p − X. Los factores irreducibles de f = X p − X en Fp [X] son exactamente los polinomios irreducibles en Fp [X] cuyo grado divida a n. Demostración. Sea g un factor irreducible de f y sea α una raíz de g. También es una raíz de f y por tanto α ∈ Fpn . Luego Fpn ⊃ Fp (α) ⊃ Fp . Por el teorema del grado gr(g) = [Fp (α) : Fp ] divide a n = [Fpn : Fp ]. A la inversa, sea g ∈ Fp [X] irreducible de grado m divisor de n y sea α una raíz de g. Entonces [Fp (α) : Fp ] = m y por el teorema 7.1.8, Fpm ⊃ Fp (α). Por el teorema de Moore f (α) = 0 y por tanto g | f . Corolario 7.2.2. Sea n primo. El número de polinomios mónicos irreducibles de Fp [X] de grado n es precisamente (pn − p)/n 6= 0.

7.2. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

81

n

Demostración. El polinomio X p − X es el producto de todos los polinomios mónicos irreducibles cuyo grado divida a n. Como éste es primo, sus únicos divisores son 1 y n. El producto de todos los factores de grado 1 es X p − X, y por tanto el producto de todos n los polinomios irreducibles de grado n es (X p − X)/(X p − X), un polinomio de grado pn − p. Luego el número de factores es (pn − p)/n. Un análisis mas detallado utilizando la función de Möbius permite enunciar una fórmula para el número de polinomios irreducibles de grado n general (puede verse, por ejemplo, en [22], cap. V ejercicio 22 o en [9], p. 502). Del teorema de Moore se deduce también el primer paso de un algoritmo efectivo para factorizar polinomios arbitrarios en Fp [X]. En primer lugar sea f ∈ Fp [X] no constante sea f 0 su derivada y sea g = m. c. d.(f, f 0 ). Lema 7.2.3. 1. Para un α algebraico sobre Fp , f (α) = 0 si y sólo si f1 (α) = 0 2. El polinomio f1 = f /g tiene todas las raíces simples. Q Q ki −1 ki . Es fácil ver que g = (X −α ) Demostración. Sea f = i i (X −α) i Q y por tanto f1 = i (X − αi ). Por este lema, los factores irreducibles de f1 son exactamente los factores irreducibles distintos de f . El cálculo de f1 a partir de f es rápido, utilizando el algoritmo de Euclides en Fp [X]. n

Lema 7.2.4. Sea f ∈ Fp [X]. El polinomio fn = m. c. d.(f, X p − X) es el producto de todos los factores irreducibles distintos de f cuyo grado divide a n n

Demostración. Sea g mónico e irreducible. Entonces g divide a X p − n X si y sólo si su grado divide a n, y el polinomio X p − X no tiene factores múltiples. Además g divide a fn sólo si divide a f . El lema precedente es la base del algoritmo siguiente: Sea f un polinomio tal que m. c. d.(f, f 0 ) = 1 y sea g una variable polinómica. 1. Asignamos g := f , n := 1 2. Si 2gr(g) < n vamos al paso 4

82

CAPÍTULO 7. CUERPOS FINITOS n

3. Asignamos fn := m. c. d.(g, X p − X), g := g/fn , n := n + 1. Volvemos al paso 2 4. Si gr(g) > 0, el polinomio g es irreducible. Cada polinomio fi obtenido es el producto de todos los factores irreducibles de f de grado n y f = gf1 f2 . . . . Este algoritmo es especialmente efectivo cuando todos los factores irreducibles de f tienen grados distintos. En el caso general sólo obtenemos una factorización parcial. Para obtener una factorización completa, hay que descomponer cada fn . Existe otro algoritmo eficiente para ello, el algoritmo de Berlekamp. Una exposición sencilla puede verse en [9], páginas 503-505.

7.3.

Ilustraciones

Ejemplo 7.3.1. Los elementos de F4 son las raíces del polinomio f = X 4 − X = X(X − 1)(X 2 + X + 1) ∈ F2 [X] En este caso los factores irreducibles de X 4 − X ∈ Z[X] siguen siendo irreducibles en F2 [X] = Z2 [X]. Nótese que en la descomposición de f aparecen los factores de X 2 − X, porque F4 contiene a F2 . Ejemplo 7.3.2. El cuerpo F8 es una extensión de F2 de grado 3. Sus elementos son las ocho raíces del polinomio f = X 8 − X = X(X − 1)(X 3 + X + 1)(X 3 + X 2 + 1) ∈ F2 [X]

(7.3.1)

así que los seis elementos en F8 que no están en F2 se reparten en dos clases: Las tres raíces de X 3 +X +1 y las tres raíces de X 2 +X +1. Los factores cúbicos de 7.3.1 son los dos polinomios irreducibles de grado 3 que hay en F2 [X]. Nótese que en el anillo Z la factorización del polinomio f es X 8 − X = X(X − 1)(X 6 + X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X + 1) y el tercer factor es reducible en F2 [X] aunque es irreducible en Z[X]. Para calcular en el cuerpo F8 elegimos una raíz α de una de las cúbicas, digamos de X 3 +X +1. Entonces {1, α, α2 } es una base de F8

7.3. ILUSTRACIONES

83

sobre F2 . Los elementos de F8 son las ocho combinaciones lineales con coeficientes en F2 : F8 = {0, 1, α, 1 + α, α2 , 1 + α2 , α + α2 , 1 + α + α2 } Nótese que F4 no está contenido en F8 , en consonancia con [F8 : F2 ] = 3, [F4 : F2 ] = 2 y 2 - 3. Ejemplo 7.3.3 (El cuerpo F16 ). El polinomio f = X 16 − X = X(X 15 − 1) es divisible en Z[X] por X 5 −1 y por X 3 −1. Efectuando las divisiones sobre los enteros obtenemos la factorización: X(X − 1)(X 2 + X + 1)(X 4 + X 3 + X 2 + X + 1)· · (X 8 − X 7 + X 6 − X 5 + X 4 − X 3 + X 2 − X + 1) Esta es la factorización en irreducibles en Z[X]. Pero en F2 [X] el factor de grado 8 es reducible y nos queda: X(X − 1)(X 2 + X + 1)(X 4 + X 3 + X 2 + X + 1)(X 4 + X + 1)(X 4 + X 3 + 1) Esta factorización muestra los tres polinomios irreducibles de grado 4 que hay en F2 [X]. Nótese que los factores de X 4 − X aparecen entre los factores de X 16 − X en coincidencia con el hecho de que F16 contiene a F4 .

84

CAPÍTULO 7. CUERPOS FINITOS

Capítulo 8 Extensiones ciclotómicas

85

86

CAPÍTULO 8. EXTENSIONES CICLOTÓMICAS

8.1.

Raíces de la unidad

Lema 8.1.1. Sea G un subgrupo finito del grupo multiplicativo K × de un cuerpo. Entonces G es cíclico. Demostración. Sea n = m. c. m.{o(α) | α ∈ G}. ∀α ∈ G, αn = 1. Si G no es cíclico, n  |G| y el polinomio f = X n − 1 tiene más raíces que su grado, imposible. En un cuerpo cualquiera K llamamos µn (K) = {ζ ∈ K | ζ n = 1}. Lema 8.1.2. µn (K) es un grupo cíclico finito, |µn (K)| ≤ n. Demostración. Trivial. Definición 8.1.3. Llamamos grupo de las raíces n-ésimas de la uni¯ siendo K ¯ la clausura algebraica de K. Los dad al grupo µn = µn (K) elementos de µn se llaman raíces n-ésimas de la unidad . Cualquier generador del grupo µn se llama raíz n-ésima primitiva de la unidad. Sea p = car(K) y sea n = pe m con p - m. Entonces f = X n − 1 = e (X m −1)p y las raíces n-ésimas de la unidad coinciden con las raíces m-ésimas de la unidad. Por ello a partir de ahora nos restringimos a que car(K) - n. Lema 8.1.4. d | n ⇔ µd ⊂ µn .

8.2.

Polinomios ciclotómicos

Definición 8.2.1. Se llama n-ésimo polinomio ciclotómico al polinomio Φn =

Y

(X − ζ) =

ζ primitiva

Y

(X − ζ a )

(a,n)=1

Lema 8.2.2. gr(Φn ) = ϕ(n) Lema 8.2.3. Xn − 1 =

Y

Φd

d|n

El lema anterior permite calcular recurrentemente la expresión explícita del polinomio ciclotómico:

8.2. POLINOMIOS CICLOTÓMICOS Lema 8.2.4. Φn = Q

87

Xn − 1 d|n, d6=n Φd

Ejemplo 8.2.5. Φ4 =

X4 − 1 X4 − 1 = 2 = X2 + 1 Φ1 Φ2 X −1

Ejemplo 8.2.6. Φ12 =

X 12 − 1 X6 + 1 X 12 − 1 = = = X4 − X2 + 1 6 2 Φ1 Φ2 Φ3 Φ6 Φ4 (X − 1)Φ4 X +1

El lema 8.2.4 también permite establecer cómo son los coeficientes de Φn : Lema 8.2.7. Φn es mónico y tiene coeficientes en el anillo primo Demostración. Ambas propiedades se comprueban por inducción sobre n. Para n = 1, Φ1 = X − 1 las verifica. Supongamos por inducción que ∀d  n, Φd es mónico y tiene sus coeficientes en el anillo primo. También X n − 1 verifica dichas propiedades. Luego en la expresión de Φn dada en 8.2.4 el numerador y el denominador son mónicos y con coeficientes en el anillo primo. Al calcular el cociente (por el algoritmo de la división de polinomios), Φn también verifica las mismas propiedades. Vamos a desarrollar una forma aún mas rápida para determinar el polinomio ciclotómico. Se define la función de Möbius µ : N → Z como:   si existe un primo p tal que p2 | n 0 µ(n) = (−1)r si n = p1 . . . pr con pi primos distintos   1 si n = 1 Lema 8.2.8. La función de Möbius verifica que ( X 1 si n = 1 µ(d) = 0 si n 6= 1 d|n Demostración. Una inducción fácil. Sea (A, +) un grupo abeliano y sean f, g : N → A dos aplicaciones.

88

CAPÍTULO 8. EXTENSIONES CICLOTÓMICAS

Teorema 8.2.9. Para todo n ∈ N f (n) = P todo n ∈ N g(n) = d|n µ(d)f (n/d)

P

d|n

g(d) si y sólo si para

Demostración. Es un ejercicio de cambio de índices de sumación: P Supongamos que para todo n se verifica f (n) = d|n g(d). Entonces  X

µ(d)f (n/d) =

d|n

X

µ(d)

d|n

X

g(k) =

XX

k|n/d

µ(d)g(k) =



X

k|n d|n/k

X 

k|n

µ(d) g(k) = g(n)

d|n/k

por el lema anterior. Un cálculo análogo muestra la otra implicación. Proposición 8.2.10 (Reglas de cálculo para los polinomios ciclotómicos). Si p es un primo, Φp (X) = X p−1 + X p−2 + . . . + X + 1. e−1

2. Φpe (x) = Φp (xp

), para todo r ≥ 1. e1 −1

3. Si n = pe11 pe22 . . . perr , entonces Φn (x) = Φp1 ...pr (xp1

...perr −1

).

4. Si n > 1 es impar Φ2n (x) = Φn (−x). 5. Φn =

Y (xn/d − 1)µ(d) d|n

Demostración.

1. Aplicación inmediata del lema 8.2.4: Φp (X) =

Xp − 1 = X p−1 + X p−2 + . . . + X + 1 X −1

2. Otra aplicación del lema 8.2.4: e

Φpe (X) =

Xp − 1 pe−1 = Φ (X ) p e−1 Xp − 1

3. Para demostrarlo necesitamos unos resultados previos: Llamamos m = pe11 −1 pe22 −1 . . . perr −1 , y para todo d | n, llamamos d d1 = (m,d) . Obsérvese que d = d1 · (m, d) | d1 m. Sea k = (d1 m)/d. Lema 8.2.11. φd (X) divide a φd1 (X m )

1.

8.2. POLINOMIOS CICLOTÓMICOS

89

Demostración. Sea ζ una raíz d-ésima primitiva de la unidad. Q Entonces t|d1 φt (ζ m ) = (ζ m )d1 − 1 = ζ dk − 1 = 0. Si demostramos que para t 6= d1 se verifica que φt (ζ m ) 6= 0, simplificando tendremos φd1 (ζ m ) = 0, luego φd (X) = Irr(ζ, Q) | φd1 (X m ) que es lo que buscamos. n = p1 . . . pr . Luego todo t | d1 es de la forma t = pi1 . . . pij . d1 | m Sea t 6= d1 y por sencillez numeramos los primos de forma que t = p1 . . . pj con j r (puede ser j = 0, cuando t = 1). Entonces

φt (ζ m ) | (ζ m )t − 1 = ζ mt − 1 6= 0 ya que mt md1 y el orden multiplicativo de ζ es exactamente d = md1 . Luego φt (ζ m ) 6= 0. Lema 8.2.12. Y d|n, d6=n

φd (X) =

Y

φd1 (X m )

d1 |p1 ...pr d1 6=p1 ...pr

Demostración. Por el lema 8.2.11, cada factor del miembro de la izquierda divide al miembro de la derecha. Como todos los factores de la izquierda son irreducibles sobre Q y distintos, su producto dividirá al polinomio que está a la derecha. Todos los factores son polinomios mónicos, así que ambos productos son mónicos. Finalmente contemos los grados:

gr(

Y

φd (X)) = gr((X n − 1)/φn (X)) = n − ϕ(n)

d|n, d6=n

gr(

Y

φd1 (X m )) = gr(((X m )p1 ...pr −1)/φp1 ...pr (X m )) = n−ϕ(p1 . . . pr )m

d1 |p1 ...pr d1 6=p1 ...pr

Por la fórmula para el cálculo de ϕ(n), ambos grados son iguales. Luego los dos polinomios enunciados son iguales. Vamos ya con la demostración de 3:

φn (X) = Q

e1 −1 er −1 Xn − 1 (X m )p1 ...pr − 1 =Q = φp1 ...pr (X p1 ...pr ) m d|n, d6=n φd (X) d1 |p1 ...pr , d1 6=p1 ...pr φd1 (X )

90

CAPÍTULO 8. EXTENSIONES CICLOTÓMICAS

4. Clasificamos los divisores de 2n en dos conjuntos: S1 es el conjunto de divisores impares (que son los divisores de n) y S2 es el conjunto de los divisores pares (que son de la forma 2d para d divisor de n). El lema 8.2.4 nos dice que X 2n − 1 =

Y

Φd (X) ·

d∈S1

Y

Φd (X) = (X n − 1)

d∈S2

Y

Φd (X)

d∈S2

Q Dividiendo obtenemos que X n + 1 = k|n Φ2k (X). Sustituimos X por −Y y cambiamos el signo de ambos miembros. De los factores de la derecha, −Φ2 (−Y ) = Φ1 (Y ) y por inducción para todo d < n, Φ2 d(−Y ) = Φd (Y ). Sustituyendo obtenemos: 



Y   · Φ2n (−Y ) Yn−1= Φ (Y ) d   d|n d ∼ = Z2 × Z2 . Existen tres subgrupos de orden 2 que corresponden a tres subcuerpos cuadráticos: √ < σ3 >∗ = Q(ζ + ζ 3 ) = Q(√−2) < σ5 >∗ = Q(ζ 2 ) = Q(√−1) ∗ −1 < σ7 > = Q(ζ + ζ ) = Q( 2) Ejemplo 8.4.6. Sea ζ una raíz quinta primitiva de la unidad. En este caso ∼ Gal(Q(ζ)/Q) =< σ2 >∼ = Z× p = Z4 Por el teorema fundamental existe un único subcuerpo no trivial, extensión cuadrática de Q y es el cuerpo fijo bajo < σ4 >. El elemento α = ζ + ζ −1 queda fijo bajo σ4 y por tanto pertenece a dicho cuerpo fijo. Nótese que α2 + α − 1 = (ζ 2 + 2 + ζ −2 ) + (ζ + ζ −1 ) − 1 = 0 √ Resolviendo explícitamente, α = (−1 + 5)/2. Luego Q(ζ + ζ −1 ) = √ Q( 5). Mas adelante obtendremos el resultado general: Sea ζ una raíz p-ésima primitiva de 1, con p un primo impar. Entonces Q(ζ) con√ tiene un único cuerpo cuadrático sobre Q, a saber, Q ( ±p).

94

CAPÍTULO 8. EXTENSIONES CICLOTÓMICAS

Ejemplo 8.4.7. Sea p un primo impar y sea ζ una raíz p-ésima primitiva de la unidad. Una base para Q(ζ) sobre Q viene dada por

ζ, ζ 2 , . . . , ζ p−1 (La razón para preferir esta base es que cualquier σ ∈ Gal(Q(ζ)/Q) sencillamente permuta los elementos de esta base). Nótese que es aquí donde hace falta que p sea primo: En general las raíces nésimas primitivas de la unidad no forman una base para la extensión ciclotómica correspondiente. Sea H < Gal(Q(ζ)/Q) arbitrario, y sea

αH =

X

σ(ζ)

σ∈H

la suma de los conjugados de ζ por los elementos de H. Para cualquier τ ∈ H, τ (α) = α, así que α ∈ H ∗ , el cuerpo fijo bajo H. Sea ahora τ 6∈ H. Entonces τ (α) es la suma de algunos de los elementos de la base (recuerdese que cualquier elemento de Gal(Q(ζ)/Q) permuta los elementos de la base), uno de los cuales es τ (ζ). Si fuese τ (α) = α, debe existir σ ∈ H tal que τ (α) = σ(α). Pero cualquier automorfismo está totalmente determinado por su efecto sobre α, así que τ = σ ∈ H, contradicción. Luego Q(α)∗ < H. Por las propiedades de la conexión de Galois, Q(α) > H ∗ , y combinando con el resultado anterior, Q(α) = H ∗ . El elemento α construido y sus conjugados bajo Gal(Q(ζ)/Q) se llaman períodos de ζ y son útiles en el estudio de la aritmética de los cuerpos ciclotómicos. El estudio de sus propiedades combinatorias se llama ciclotomía. Ejemplo 8.4.8. Vamos a determinar explícitamente los subcuerpos de Q(ζ) siendo ζ una raíz decimotercera primitiva de la unidad, ∼ que corresponden a los subgrupos de Z× 13 = Z12 . Un generador para este grupo cíclico es σ = σ2 que aplica ζ en ζ 2 . Los subgrupos no triviales corresponden a los divisores no triviales de 12, luego el retículo correspondiente es el siguiente (en cada inclusión se indica el índice):

8.4. GRUPOS DE GALOIS

95

3

2

< σ2 > 2

3

< σ3 >

2

< σ6 >

< σ4 >

3

2

1 Los generadores para los correspondientes cuerpos fijos son: = ζ + σ 6 (ζ) 4 = ζ + σ (ζ) + σ 8 (ζ) = ζ + σ 3 (ζ) + σ 6 (ζ) + σ 9 (ζ) 2 4 = ζ + σ (ζ) + σ (ζ) + σ 6 (ζ) + σ 8 (ζ) + σ 12 (ζ)

= = = =

ζ + ζ 12 ζ + ζ3 + ζ9 ζ + ζ 8 + ζ 12 + ζ 5 ζ + ζ 4 + ζ 3 + ζ 12 + ζ 9 + ζ 10

Y el diagrama de subcuerpos es: Q(ζ) 2

3

Q(α4 )

Q(α6 ) 3 2

2

Q(α3 )

Q(α2 )

3

2

α6 α4 α3 α2

Q

96

CAPÍTULO 8. EXTENSIONES CICLOTÓMICAS

Ejemplo 8.4.9. Sea p un primo impar y sea ζ una raíz p-ésima primitiva de la unidad. El grupo G = Gal(Q(ζ)/Q) es cíclico y contiene un único subgrupo de índice 2 que corresponde a una única subextensión cuadrática de Q. Según el ejemplo 8.4.7, dicho cuerpo es Q(α) siendo α el período correspondiente al único subgrupo H de índice 2. Como G =< σ | σ p−1 = 1 >∼ = Z× p y p − 1 es par, existe un × único morfismo Zp → {+1, −1} que aplica σ en -1. Este morfismo es sobre y su núcleo es precisamente el único subgrupo de índice 2 de Z× p . La imagen de a ∈ Zp mediante dicho morfismo se representa por   a p Esta expresión se llama símbolo cuadrático y por ser un morfismo verifica las propiedades siguientes:      b = ap 1. ab p p 2.

  a p

= 1 ⇔ a = b2

Sea α0 el conjugado de α bajo G y sea β = α − α0 . Para todo τ ∈ H, τ (β) = β. Y para todo τ 6∈ H, τ (β) = −β. Además β 6= −β porque los ζ a son linealmente independientes (son una base) sobre Q. Luego el cuerpo que buscamos es Q(β). Vamos ahora a determinar el polinomio mínimo de β sobre Q. Utilizando el símbolo cuadrático: X X X a β= τ (ζ) − τ (ζ) = ζa p × τ ∈H τ 6∈H a∈Zp

Calculamos su cuadrado: X a X  b  X X  ab  2 a b β = ζ ζ = ζ a+b p p p × × × × a∈Zp

b∈Zp

a∈Zp b∈Zp

Cambiamos el indice b por ab:  2  P P a b 2 × × β = ζ a(1+b) a∈Zp b∈Zp p   P P b × × = ζ a(1+b) a∈Zp b∈Zp p     P P P b −1 1+b a × × × = (ζ ) + ζ a(1−1) a∈Zp b∈Zp ,b6=−1 p a∈Zp p En el último miembro, todos los potencias de ζ de la segunda su  −1 matoria valen 1. Así que la segunda sumatoria vale p (p − 1).

8.4. GRUPOS DE GALOIS

97

1+b Respecto a la primera es una raíz primitiva ya P asumatoria, ζ1 = ζ que p es primo, y a ζ1 = −1. Recapitulando, 2

β =

X b∈Z× p ,b6=−1

Luego β =

        X b −1 −1 −1 b (−1)+ (p−1) = (−1)+ p= p p p p p p ×

r

b∈Zp

−1 p



p. El signo vale exactamente



−1 p



= (−1)

p−1 2

, pero

nosotros no lo demostraremos. Teorema 8.4.10. Toda extensión cuadrática de Q está contenida en una extensión ciclotómica. √ Demostración. Sea K = Q( D) una extensión cuadrática arbitraria de Q. Descomponemos en factores primos D = ±p1 . . . pt . Por el √ ejemplo 8.4.9, para pi impar ±pi está √ en Q(ζi ), la pi -ésima extensión ciclotómica de Q. Para pi = 2, 2 ∈ Q(ζ) para √ ζ la raíz octava en la exde la unidad por el ejemplo 8.4.5. También √ √−1 está √ √ tensión ciclotómica octava de Q.Luego D ∈ Q( −1, p1 , . . . , pt ) ⊂ Q(i, ζ1 , . . . , ζt ) = Q(ζ) siendo ζ = iζ1 . . . ζt una raíz 4D-ésima o D-ésima de la unidad. El teorema anterior tiene una generalización muy fuerte, cuya demostración requiere un desarrollo mucho mas largo y profundo del que nos podemos permitir: Teorema 8.4.11 (Kroneker-Weber). Toda extensión abeliana de Q está contenida en una extensión ciclotómica. Otra cuestión interesante que se presenta en teoría de Galois es la realización de un grupo: Dado un grupo finito arbitrario G, ¿existe una extensión de Galois K/Q tal que Gal(K/Q) ∼ = G? La respuesta general no es conocida, pero para tipos particulares importantes de grupos se sabe que es afirmativa. Desde hace casi un siglo se sabe que la respuesta es sí para G = Sn ó An , y en 1954 Shafarevic demostró que la respuesta es afirmativa para todo grupo soluble finito. Su demostración utiliza profundos resultados aritméticos, pero para grupos abelianos finitos podemos demostrarlo ya: Teorema 8.4.12. Sea G un grupo abeliano finito arbitrario. Existe una extensión K/Q tal que Gal(K/Q) ∼ = G.

98

CAPÍTULO 8. EXTENSIONES CICLOTÓMICAS

Demostración. Sea G ∼ = Zd1 × · · · × Zdt la descomposición cíclica de G. Para cada factor invariante di sea pi un primo tal que pi ≡ 1 (m´od di ) y que los pi son todos distintos (tales primos existen por el corolario 8.3.5). Sean ζi raíces pi -ésimas primitivas de la unidad. Sabemos que para i = 1 . . . t, Q(ζi ) contiene un subcuerpo Ki tal que Gal(Ki /Q) es cíclico de orden di . Entonces K = K1 . . . Kt es la extensión buscada.

Capítulo 9 Construcciones con regla y compás

99

100

9.1.

CAPÍTULO 9. CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS

Los Elementos de Euclides

El rigor matemático nace en la Grecia clásica. El pensamiento racional de la filosofía clásica concedía prioridad al conocimiento obtenido por deducción sobre el que se obtiene por observación directa. El método deductivo fué evolucionando desde Tales hasta Aristóteles que es su mayor representante. Evidentemente la matemática es la rama del conocimiento mas adecuada a este método. Durante dos mil años la expresión mas perfecta de este método fueron los Elementos de Euclides ([10]). La idea es partir de unos cuantos conceptos “definidos” en términos sencillos y unos pocos postulados y axiomas cuyo verdad es “evidente” y deducir a partir de ellos los teoremas que serán entonces tan válidos como los postulados de los que se han deducido. El primer libro de los Elementos contiene 23 definiciones, 5 postulados, 5 axiomas o nociones comunes y 48 proposiciones. Algunas de las proposiciones son teoremas (es decir, expresan propiedades de figuras existentes) y otras son construcciones (es decir, construyen puntos y figuras a partir de otras). Euclides utilizó las construcciones en el sentido de los teoremas de existencia (para demostrar que algunas entidades existen realmente). Por ejemplo, se puede definir una bisectriz de un ángulo como la recta del plano del ángulo que pasa por el vértice de este y lo divide en dos ángulos iguales. Pero una definición no establece la existencia de lo que se está definiendo. Para demostrar que un ángulo dado tiene una bisectriz, Euclides muestra que esta entidad puede realmente construirse (Elementos I.9, [10] p. 213). En matemáticas es bueno saber que el conjunto de objetos que satisfacen una cierta condición no está vacío. Los cinco postulados de Euclides son ([10], página 197): 1. Postúlese el trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera. 2. Y el prolongar continuamente una recta finita en línea recta. 3. Y el describir un círculo con cualquier centro y distancia. 4. Y el ser todos los ángulos rectos iguales entre sí. 5. Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas

9.1. LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES

101

prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los (ángulos) menores que dos rectos. Los tres primeros postulados enuncian las construcciones primitivas a partir de las cuales obtenemos todas las demás. Constituyen las “reglas del juego” de las construcciones euclídeas. Como sólo permiten rectas y círculos que son líneas que se trazan con regla y compás, dichas construcciones se llaman construcciones con regla y compás. Además de la bisectriz de un ángulo antes citada, Euclides realiza muchas otras construcciones sencillas: La mediatriz de un segmento (Elementos I.10), el triángulo equilátero sobre un segmento dado (Elementos I.1), el cuadrado sobre un segmento dado (Elementos I.46), el cuadrado, el pentágono, el hexágono y el pentadecágono regulares inscritos en un círculo dado (Elementos IV.6, IV.11, IV.15 y IV.16 respectivamente), la perpendicular desde un punto a una recta dada (Elementos I.12), la paralela desde un punto a una recta dada (Elementos I.31) etcétera. A pesar de la limitación de las herramientas que podemos utilizar, es sorprendente la complejidad de las construcciones posibles. Por ejemplo, podemos construir todas las circunferencias que sean tangentes a otras tres dadas (problema de Apolonio), trazar tres circunferencias en los ángulos de un triángulo tales que cada una sea tangente a las otras dos y además a los lado del ángulo (problema de Malfatti) o inscribir en una circunferencia dada un triángulo cuyos lados (prolongados si fuera necesario) pasen por tres puntos dados (problema de Castillon-Cramer). Pero existen construcciones que no pueden efectuarse con regla y compás. Problemas imposibles famosos desde la Grecia clásica, son: 1. La duplicación del cubo, o sea construir la arista de un cubo cuyo volumen sea el doble del de otro cubo dado. 2. La trisección del ángulo, o sea dividir un ángulo arbitrario dado en tres partes iguales. 3. La cuadratura del círculo, o sea construir un cuadrado que tenga un área igual a la de un círculo dado. 4. Construir el heptágono regular y mas generalmente, el polígono regular de n lados con n arbitrario.

102

CAPÍTULO 9. CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS

Nuestro objetivo es obtener una interpretación algebraica de la construcción con regla y compás y encontrar condiciones necesarias (y otras suficientes) para que una construcción sea posible.

9.2.

Puntos construibles y números construibles

Vamos a dar una interpretación algebraica de la construcción con regla y compás y en ella obtendremos condiciones necesarias para que una construcción determinada sea posible. Empezamos con una definición rigurosa de puntos construibles. Notación. Dados dos puntos A 6= B llamamos AB a la única recta que pasa por ambos y A(B) a la circunferencia con centro A que pasa por B. Sean P0 , P1 , . . . , Pn puntos distintos del plano euclídeo E con n ≥ 1. Definimos una sucesión creciente infinita de conjuntos de puntos del plano C0 ⊂ C1 ⊂ . . . Ci ⊂ . . . por recurrencia: Comenzamos con C0 = {P0 , . . . , Pn }. Supongamos definido Ci . Entonces Ci+1 = Ci ∪ Si ∪ Si0 ∪ Si00 donde Si = {P ∈ E | P ∈ AB ∩ CD con A, B, C, D ∈ Ci , AB 6= CD } Es decir, Si está formado por los puntos que se obtienen como intersección de rectas distintas definidas por pares de puntos de Ci . Si0 = {P ∈ E | P ∈ AB ∩ C(D) con A, B, C, D ∈ Ci } O sea que los puntos de Si0 son los que se obtienen como intersección de las rectas definidas por pares de puntos de Ci con circunferencias cuyos centros están en Ci y que pasan por puntos de Ci Si00 = {P ∈ E | P ∈ A(B) ∩ C(D) con A, B, C, D ∈ Ci , A(B) 6= C(D) } Finalmente, Si00 está constituido por los puntos de intersección de los pares de circunferencias distintas que tienen su centro en Ci y pasan por puntos de Ci .

9.3. CARACTERIZACIÓN DE LOS NÚMEROS CONSTRUIBLES103 Definición 9.2.1. El conjunto de puntos construibles (con regla y compás) a partir de los puntos {P0 , . . . , Pn } es C(P0 , . . . , Pn ) = ∪∞ i=0 Ci Elegimos ahora un sistema de coordenadas euclídeas tal que P0 = (0, 0) (el origen de coordenadas) y P1 = (1, 0). Asociamos con cada punto P = (a, b) del plano el número complejo z = a + ib. De esta manera identificamos el plano euclídeo con el cuerpo C de los números complejos. El conjunto dado {P0 , . . . , Pn } se identifica con un conjunto de números complejos {z0 , . . . , zn } donde z0 = 0 y z1 = 1. Definición 9.2.2. El conjunto de números complejos construibles (con regla y compás) a partir de los números {z1 , . . . , zn } es el conjunto de números complejos que corresponden a puntos de C(P0 , . . . , Pn ). Se representa por C(z1 , . . . , zn )

9.3.

Caracterización de los números construibles

Lema 9.3.1. 1. El número complejo z = a + bi con a, b ∈ Q pertenece a C(z1 , . . . , zn ) si y sólo si a, b ∈ C(z1 , . . . , zn ). 2. El número complejo z = r(cos(θ) + i sen(θ)) con r real positivo pertenece a C(z1 , . . . , zn ) si y sólo si r, cos(θ) + i sen(θ) pertenecen a C(z1 , . . . , zn ). Nótese que C(z1 , . . . , zn ) contiene a todos los números complejos de la forma a + ib con a, b ∈ Q. y que este conjunto es denso en C. Proposición 9.3.2. C(z1 , . . . , zn ) es un subcuerpo de C que verifica 1. z1 , . . . , zn ∈ C(z1 , . . . , zn ) 2. Para todo z ∈ C(z1 , . . . , zn ) el conjugado complejo z¯ pertenece a F. √ 3. Para todo z ∈ C(z1 , . . . , zn ) se verifica que z ∈ C. Proposición 9.3.3. Sea F un subcuerpo de C que verifica: 1. z1 , . . . , zn ∈ F

104

CAPÍTULO 9. CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS

2. Para todo z ∈ F el conjugado complejo z¯ está en F . 3. Para todo z ∈ F se verifica que también

√

z ∈ F.

Entonces C(z1 , . . . , zn ) ⊂ F . Corolario 9.3.4. Sea C el conjunto de todos los subcuerpos F de C que verifican: 1. z1 , . . . , zn ∈ F 2. Para todo z ∈ F el conjugado complejo z¯ está en F . 3. Para todo z ∈ F se verifica que también

√

z ∈ F.

Entonces C(z1 , . . . , zn ) = ∩F ∈C F . Teorema 9.3.5. Sea K = Q(z1 , . . . , zn , z¯1 , . . . , z¯n ). Un número complejo z pertenece a C(z1 , . . . , zn ) si y sólo si z pertenece a un subcuerpo de C de la forma K(u1 , . . . , un ) donde u21 ∈ K y para todo i = 2, . . . , n se verifica u2i ∈ K(u1 , . . . , ui−1 ) Corolario 9.3.6. Sea K = Q(z1 , . . . , zn , z¯1 , . . . , z¯n ). Entonces cualquier z ∈ C(z1 , . . . , zn ) es algebraico sobre K de grado una potencia de 2. Definición 9.3.7. Para cualquier cuerpo K con car(K) 6= 2 una torre de cuerpos de la forma K(u1 , . . . , un ) ⊃ K(u1 , . . . , un−1 ) ⊃ · · · ⊃ K(u1 ) ⊃ K donde u21 ∈ K y u2i ∈ K(u1 , . . . , ui−1 ) para i = 2, . . . , n se llama torre de raíces cuadradas sobre K. El corolario 9.3.6 enuncia condiciones suficientes (pero no necesarias) para que z sea construible. Usando la teoría de Galois se obtienen condiciones necesarias y suficientes: Teorema 9.3.8 ([19] p. 271). Un número complejo z es construible con regla y compás si y sólo si z es algebraico sobre Q y la clausura normal K/Q de Q(z)/Q tiene grado [K : Q] = 2n , (n ∈ N)

9.4. APLICACIÓN A LOS PROBLEMAS CLÁSICOS

9.4.

105

Aplicación a los problemas clásicos

En muchos problemas de construcción los datos son exactamente dos puntos (o un segmento, lo que es lo mismo). En este caso en el corolario 9.3.6 se verifica que K = Q y el cuerpo C = C(0, 1) se llama sencillamente cuerpo de los números contructibles (euclídeos). El corolario 9.3.6 muestra que tales números son algebraicos sobre Q de grado una potencia de 2. Vamos a aplicar este resultado para demostrar la imposibilidad de resolver los cuatro problemas clásicos: Ejemplo 9.4.1 (Trisección del ángulo). No todo ángulo se puede trisecar con regla y compás. En particular el ángulo π/3 no puede ser trisecado, porque ello implicaría que u = 2 cos(π/3) sería construible. Pero u es raíz de X 3 − 3X − 1 que es irreducible sobre Q y por tanto el grado de u sobre Q es 3. Por el corolario 9.3.6, u no es construible. Ejemplo 9.4.2 (Duplicación del cubo). Tomando como unidad la arista de un cubo dado, √ el cubo de volumen doble tendría una arista de longitud u = 3 2. Pero Irr(u, Q) = X 3 − 2 y por el corolario 9.3.6 u no es construible. Ejemplo 9.4.3 (Cuadratura del círculo). El área de un círculo √ de radio 1 vale π. El lado de un cuadrado de la misma área vale u = π que es un número trascendente sobre Q. Luego no es construible. Ya que π es trascendente sobre Q, tampoco se puede rectificar la circunferencia, es decir, construir con regla y compás un segmento de longitud igual a la de una circunferencia. Ejemplo 9.4.4 (Construcción del p-gono regular, con p primo). Esta construcción es equivalente a la del número complejo z = e2πi/p (la raíz p-ésima de la unidad). Sabemos que z p = 1 y como X p − 1 = (X − 1)(X p−1 + · · · + X + 1) y z 6= 1, tenemos que z es raíz del polinomio Φp (X) = X p−1 + X p−2 + · · · + X + 1. Este polinomio Φp es irreducible sobre Q (aplíquese el criterio de Eisenstein al polinomio f (X) = Φp (X + 1)). Luego una condición necesaria para que el pgono regular sea construible con regla y compás es que p − 1 = 2s para algún entero positivo s. Como 6 = 7 − 1 no es una potencia de 2, el heptágono regular no se puede construir con regla y compás.

106

CAPÍTULO 9. CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS

9.5.

Polígonos regulares

En la sección anterior hemos visto que la condición necesaria para que el p-gono regular sea construible con p primo es que p = 2s + 1. Mas adelante, cuando desarrollemos la teoría de Galois, veremos que esta condición también es suficiente. Pero ahora vamos a analizar un poco mas esta construcción. Es curioso que históricamente se demostró antes la suficiencia de esta condición (en [15]) que su necesidad (en [32]) Primos de Fermat En primer lugar, supongamos que el exponente s es divisible por un primo impar q, sea s = qt. Entonces p = 2s + 1 = (2t )q + 1 = (2t + 1)(2t(q−1) − 2t(q−2) + · · · − 2t + 1) es una factorización no trivial de p que por lo tanto no es primo. Así pues s no es divisible por ningún primo impar, y s = 2t . t Los primos de la forma p = Ft = 22 + 1 se llaman primos de Fermat porque este matemático los estudió y conjeturó que para t todo t ≥ 0, 22 + 1 es un primo. Así ocurre para los primeros valores: t: 0 1 2 3 4 2t Ft = 2 + 1: 3 5 17 257 65537 5 Pero el siguiente número F5 = 22 + 1 = 4294967297 no es primo. (La demostración mas corta es la siguiente: El número 641 = 54 + 24 = 5 · 27 + 1 divide a los dos números siguientes: a = 54 · 228 + 232 y b = 54 · 228 − 1 y por tanto divide a su diferencia a − b = 232 + 1 = F5 ). Queda abierta la cuestión de si Ft es primo para algún valor de t mayor que 5. Se ha demostrado que Ft es primo si y sólo si Ft divide a 3(Ft −1)/2 . Utilizando este criterio (y efectuando los cálculos por ordenador) se ha demostrado que Ft es compuesto para todo 5 ≤ t ≤ 22. Por ello la construcción de Hermes que citaremos después es la última que se intentará nunca. Polígonos regulares de n lados, con n compuesto Hasta ahora hemos estudiado sólo las construcciones de n-gonos regulares cuando n es primo. El caso general se reduce a éste por las observaciones siguientes: Si n = mq y el n-gono regular es construible, sea éste P0 P1 · · · Pn−1 . El m-gono regular está formado por los vértices P0 Pq · · · Pq(m−1) , y

9.6. CONSTRUCCIONES EXPLÍCITAS

107

por tanto es construible. Así por ejemplo, el polígono mas fácil de construir es el hexágono regular, y el triángulo equilátero se obtiene uniendo los vértices alternos del hexágono (Hay dos de tales triángulos, formando una estrella de David). Por otra parte, supongamos que m. c. d.(m, n) = 1 y que el m-gono regular y el n-gono regular son construibles. Existen r, s ∈ N tales que sn − rm = 1 y diviendo por mn s r 1 = − mn m n así que para construir la mn-ésima parte de la circunferencia, tomamos a partir de un punto de la circunferencia s lados del m-gono y r lados del n-gono. Su diferencia es el lado del mn-gono. Euclides en Elementos IV.16 procede de manera ligeramente distinta: 1/15 = 1/2(1/3 − 1/5), así que a partir de un punto A de la circunferencia construye un vértice del pentágono regular B y un vértice del triángulo equilátero, sea Γ. Biseca el arco BΓ, sea E el punto medio y cada uno de los segmentos BE y BΓ es un lado del pentadecágono regular. Naturalmente, si el m-gono es construible, también lo es el 2mgono: Basta bisecar cada uno de los ángulos centrales del m-gono, y la bisectriz de un ángulo es construible con regla y compás. Esta tres observaciones demuestran la mitad del siguiente teorema: Teorema 9.5.1 ([19], p. 274). Un n-gono regular es construible con regla y compás si y sólo si n = 2e p1 . . . ps donde s ≥ 0 y los pi son primos de Fermat distintos. La demostración de la otra mitad (la suficiencia de la condición sobre n) requiere teoría de Galois y la haremos en su momento.

9.6.

Construcciones explícitas

Construcciones algebraicas explícitas Hasta finales del siglo XVIII no se conocían mas polígonos regulares constructibles que los expuestos en los Elementos. Pero el 30 de Marzo de 1796 el joven Gauss (tenía 19 años) escribe en su diario que había hallado “el principio sobre el que se basa la división de la circunferencia y en particular la división de la misma en 17

108

CAPÍTULO 9. CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS

partes”. En otras palabras, había demostrado que el 17-gono regular es construible. Posteriormente decía que este descubrimiento le había influido con fuerza para dedicar su vida a las matemáticas. Vamos a describir directamente la construcción del pentágono y del heptadecágono regular. Como dice Jacob Steiner, haremos nuestras construcciones “simplemente por medio del lenguaje”. Es decir, no nos interesa realizar explícitamente las construcciones geométricas mas elegantes, sino asegurarnos de que esas construcciones son realmente posibles. La construcción del pentágono regular equivale a la de la raíz quinta de la unidad ζ = cos(2π/5) + i sen(2π/5). Sabemos que ζ es raíz del polinomio Φ5 = X 4 + X 3 + X 2 + X + 1. Sea α = ζ + 1/ζ = ζ + ζ 4 . Un poco de manipulación muestra que α es raíz de X 2 +X −1 ∈ Q[X] y ζ es raíz de X 2 −αX +1 ∈ Q(α)[X]. Tenemos la torre de extensiones cuadráticas Q(ζ) ⊃ Q(α) ⊃ Q Por el teorema 9.3.5 ζ es construible. En [19] p. 222-223 se describe en detalle la construcción del heptadecágono regular. Resumiéndola, definimos sucesivamente los números ζ= γ= β= α=

cos(2π/17) + i sen(2π/17) ζ + ζ −1 = ζ + ζ 16 ζ + ζ −1 + ζ 4 + ζ −4 ζ + ζ −1 + ζ 4 + ζ −4 + ζ 9 + ζ −9 + ζ 2 + ζ −2

y formamos la torre Q(ζ) ⊃ Q(γ) ⊃ Q(β) ⊃ Q(α) ⊃ Q donde cada paso es una extensión cuadrática, ya que se verifican las siguientes ecuaciones cuadráticas: ζ 2 − γζ + 1 = γ 2 − βγ − (β 3 − 6β + 3)/2 = β 2 − αβ − 1 = α2 + α − 4 =

0 0 0 0

Recientemente en [18] se ha publicado una construcción algebraica explícita del polígono regular de 257 lados, donde los cálculos se han realizado con ayuda del programa de ordenador MAPLE V.

9.7. CONSTRUCCIONES CON CÓNICAS

109

Construcciones geométricas explícitas Cada una de las construcciones algebraicas anteriores se pueden trasladar paso a paso a una construcción geométrica, pero como ya hemos dicho, dicha construcción no será ni la mas corta ni la mas elegante de las posibles. Además de las construcciones expuestas en los Elementos, Ptolomeo y Richmond (1893) dieron construcciones del pentágono regular mas sencillas que las de Euclides. Richmond (1909) también describe una construcción sencilla del heptadecágono regular. Esta construcción y la del pentágono regular debida al mismo autor pueden verse en [8], sección 2.1. Richelot y Schwendenwein construyeron en 1832 el polígono regular de 257 lados y J. Hermes invirtió diez años sobre el de 65537 lados. Depositó su trabajo en una gran caja que aún se encuentra en la Universidad de Gottingen.

9.7.

Construcciones con cónicas

La imposibilidad de resolver con regla y compás los problemas clásicos lleva naturalmente a ampliar la gama de herramientas admisibles para hacer una construcción. Desde la antigüedad se sabía duplicar un cubo (Menaechmus, 350 a. c.) y trisecar un ángulo (Papus, 300 a. c.) utilizando parábolas e hipérbolas. Arquímedes descubrió una notable construcción del heptágono regular usando parábolas que se puede ver en [31]. La definición rigurosa de puntos “construibles con cónicas” y la caracterización de tales puntos están desarrolladas en [31] siguiendo unas líneas análogas a las expuestas en las secciones 9.2 y 9.3 anteriores. El teorema básico del citado artículo es Teorema 9.7.1. Un número complejo z es construible con cónicas si y sólo si z es algebraico sobre Q y la clausura normal K/Q de Q(z)/Q tiene grado [K : Q] = 2n 3m , (n, m ∈ N). De este teorema podemos deducir cuales son los polígonos construibles con ayuda de cónicas: Teorema 9.7.2. El n-gono regular es construible con cónicas si y sólo si n = 2s 3t p3 . . . pk donde s, t ≥ 0, pi 6= 2, 3 y cada pi es de la forma pi = 2u 3v + 1. Corolario 9.7.3. El heptágono regular es construible con cónicas.

110

CAPÍTULO 9. CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS

El artículo [31] termina con dos preguntas: 1) Se puede demostrar que las elipses son superfluas en la construcción de nuevos puntos, pero ¿podemos limitarnos a rectas, círculos e hipérbolas? 2) Las cónicas son curvas de género cero. ¿Cuales son los puntos construibles con curvas de género uno (es decir, cúbicas)?

Parte V Teoría de ecuaciones

111

Capítulo 10 Extensiones cíclicas y radicales

113

114

CAPÍTULO 10. EXTENSIONES CÍCLICAS Y RADICALES

10.1.

Extensiones cíclicas

Definición 10.1.1. Una extensión E/K se llama cíclica si es de Galois y su grupo de Galois es cíclico Teorema 10.1.2 (Lagrange). Sea K un cuerpo, n > 0 un entero primo con la característica de K y supongamos que existe una raíz n-ésima primitiva de la unidad en K. 1. Sea E/K una extensión cíclica de grado n. Entonces existe α ∈ E tal que E = K(α) y Irr(α, K) = X n − a para algún a ∈ K. 2. A la inversa, sea a ∈ K. Sea α una raíz de X n − a. Entonces K(α)/K es cíclica de grado d, d | n y αd ∈ K. Demostración. 1. Sea G = Gal(E/K) = hσi. y sea ζ ∈ K una raíz n-ésima primitiva de la unidad. Sea E = K(u). Definimos la resolvente de Lagrange α = α(u, ζ) ∈ E como α = u + ζσ(u) + ζ 2 σ 2 (u) + · · · + ζ n−1 σ n−1 (u) Por la independencia lineal de los homomorfismos {σ i } tenemos que α 6= 0. Aplicando el automorfismo σ obtenemos σ(α) = σ(u) + ζσ 2 (u) + ζ 2 σ 3 (u) + · · · + ζ n−1 σ n (u) = ζ 1 (u + ζσ(u) + ζ 2 σ 2 (u) + · · · + ζ n−1 σ n−1 (u)) = ζ −1 α Por inducción sobre i, σ i (α) = ζ −i α. Luego los elementos ζ −i α son n conjugados distintos de α, por lo que [K(α) : K] ≥ n. Como K(α) < E, queda que E = K(α). Además, σ(αn ) = σ(α)n = (ζα)n = αn . Luego a = αn es fijo bajo σ y todas sus potencias, por lo que a ∈ K. 2. Sea α una raíz de X n − a ∈ K[X]. El elemento ζ i α también es raíz del mismo polinomio y todas estas raíces son distintas. Luego K(α) es el cuerpo de descomposición sobre K del polinomio X n − a, y por tanto es de Galois. Sea G = Gal(K(α)/K). ∀σ ∈ G, σ(α) también es raíz de X n − a. Luego σ(α) = ωσ α, siendo ωσ una raíz de la unidad (no necesariamente primitiva). La

10.2. EXTENSIONES SOLUBLES Y RADICALES

115

aplicación σ 7→ ωσ es obviamente un monomorfismo de G en el grupo de las raíces n-ésimas de la unidad y como éste es cíclico de orden n, G es cíclico de orden d divisor de n. Sea G = hσi. Entonces ωσ es una raíz d-ésima primitiva de la unidad, y σ(αd ) = (ωσ α)d = αd . Luego αd ∈ K ya que es fijo bajo G y el teorema está demostrado.

10.2.

Extensiones solubles y radicales

Definición 10.2.1. Una extensión finita separable F/K se llama soluble si existe una extensión de Galois finita E/K con grupo G = Gal(E/K) soluble tal que K < F < E. La anterior definición es equivalente a decir que la clausura normal de F/K tiene grupo de Galois soluble. Definición 10.2.2. Una extensión finita F/K con m. c. d.([F : K], car(K)) = 1 se llama soluble por radicales si es separable y si existe una torre de extensiones finitas K = E0 < E1 < E2 < . . . < Em = E tal que F < E y que cada paso Ei+1 /Ei es de uno de los tipos siguientes: 1. Ei+1 = Ei (ζ) con ζ raíz de la unidad. 2. Ei+1 = Ei (α) con α raíz de un polinomio X n − a ∈ Ei [X] y n primo relativo con car(K). Proposición 10.2.3. 1. Sea F/K una extensión soluble por radicales, y sea L/K una extensión arbitraria. Entonces F L/L es una extensión soluble por radicales. 2. Sea L > F > K una torre de extensiones finitas. Entonces L/K es soluble por radicales si y sólo si L/F y F/K son solubles por radicales. 3. Sean F/K y L/K extensiones solubles por radicales. Entonces F L/K es soluble por radicales.

116

CAPÍTULO 10. EXTENSIONES CÍCLICAS Y RADICALES

Demostración.

1. Sea K = E0 < E1 < E2 < . . . < Em = E

la torre de extensiones del tipo 10.2.2 con F < E. Definimos una nueva torre: 0 = E0 L = E00 < E10 < E20 < . . . < Em 0 = EL > siendo Ei0 = Ei L. Es evidente que E00 = KL = L, que Em 0 0 F L y que si Ei+1 = Ei (α), entonces Ei+1 = Ei (α) es del mismo tipo. Luego la extensión F L/L es soluble por radicales.

2. Sea L/K soluble por radicales. El mismo cuerpo E que contiene a L también contiene a F . Luego F/K es soluble por radicales. Por otra parte, aplicamos el punto anterior a las extensiones L/K (que es soluble por radicales por hipótesis) y L/F . Nos queda que L = LF/F es soluble por radicales. A la inversa, sean L/F y F/K solubles por radicales. Sea E el cuerpo que contiene a F y que permite la torre 10.2.2. La extensión LE/E es soluble por radicales por el punto anterior. Sea E = Em < Em+1 < Em+2 < . . . < En > LE la torre que verifica las condiciones de 10.2.2. Pegamos ambas torres y obtenemos la torre: K = E0 < E1 < E2 < . . . < En > LE > L donde cada paso es de uno de los tipos permitidos. Luego L/K es radical. 3. Consecuencia inmediata de los dos puntos anteriores. Corolario 10.2.4. Sea F/K una extensión separable finita. Entonces F/K es soluble por radicales si y sólo si existe una torre K = L0 < L1 < L2 < . . . < Lm = L > F donde cada paso es de uno de los tipos descritos en 10.2.2, y además la extensión L/K es de Galois.

10.2. EXTENSIONES SOLUBLES Y RADICALES

117

Demostración. Sólo hay que demostrar la última propiedad. Sea F/K soluble por radicales, y sea K = E0 < E1 < E2 < . . . < Em = E ¯ ( clausura algebraica la torre que lo muestra. Para todo σ : E → K de K) que sea la identidad sobre K, la torre K = E0 < σ(E1 ) < σ(E2 ) < . . . < σ(Em ) = σ(E) tiene cada paso del mismo tipo, ya que σ(Ei+1 Q) = σ(Ei )(σ(α)). Luego σ(E)/K es soluble por radicales. Sea L = σ σ(E). Por el tercer punto de la proposición anterior, L posee una torre del tipo buscado. Además, L/K es la clausura normal de E/K y por tanto es de Galois. Teorema 10.2.5 (Galois). Sea F/K una extensión separable finita. Entonces F/K es soluble por radicales si y sólo si es soluble. Demostración. 1. Sea F/K soluble. Sea E/K una extensión de Galois con grupo soluble tal que E > F , y sea m el producto de todos los primos que dividen al orden de Gal(E/K). Sea ζ una raíz m-ésima primitiva de la unidad. Llamamos L = K(ζ). La extensión EL/L es de Galois con grupo isomorfo a un subgrupo de Gal(E/K), luego también soluble. Tomamos una serie de composición: Gal(EL/L) = G0 B G1 B · · · B Gn = 1 Cada cociente Gi /Gi+1 es cíclico de orden primo divisor de |G0 |. Por la correspondencia de Galois, obtenemos una torre de cuerpos: K < L = L0 < L1 < . . . < Ln = EL > F donde cada eslabón es una extensión de Galois con grupo cíclico de orden primo Gal(Li+1 /Li ) ∼ = Gi /Gi+1 . El cuerpo Li > L contiene todas las raíces de la unidad necesarias. Aplicando el teoremas 10.1.2 vemos que cada extensión es de uno de los tipos definidos en 10.2.2. Luego F/K es soluble por radicales. 2. Sea ahora F/K soluble por radicales. Por el corolario anterior, existe una extensión de Galois E/K tal que F < E y que existe una torre K = E0 < E1 < E2 < . . . < Em = E

118

CAPÍTULO 10. EXTENSIONES CÍCLICAS Y RADICALES donde cada eslabón es de uno de los tipos descritos en 10.2.2. Igual que antes, sea m el producto de todos los primos que dividen a | Gal(E/K)| y sea ζ una raíz m-ésima de la unidad. Llamamos L = K(ζ). L/K es de Galois con grupo abeliano y EL/L también es de Galois. Llamamos Li = Ei L. Obtenemos la torre L = L0 < L1 < L2 < . . . < Lm = EL donde cada paso es de uno de los tipos requeridos. Por la correspondencia de Galois, le corresponde una serie de subgrupos: Gal(EL/L) = G0 B G1 B G2 B . . . Gm = 1 donde cada cociente Gi /Gi+1 ∼ = Gal(Li+1 /Li) es abeliano para el primer tipo de 10.2.2 y cíclico para cada uno de los otros por el teorema 10.1.2. Luego Gal(EL/L) es soluble. Como Gal(L/K) ∼ = Gal(EL/K)/ Gal(EL/L) es abeliano, el grupo Gal(EL/K) es soluble y la extensión F/K es soluble ya que F < EL.

Corolario 10.2.6. 1. Sea L > F > K una torre de extensiones separables finitas. Entonces L/K es soluble si y sólo si L/F y F/K son solubles. 2. Sea F/K una extensión soluble, y sea L/K una extensión arbitraria. Entonces F L/L es una extensión soluble. 3. Sean F/K y L/K extensiones solubles. Entonces F L/K es soluble.

Capítulo 11 Polinomios de grado 3 y 4

119

120

CAPÍTULO 11. POLINOMIOS DE GRADO 3 Y 4

La teoría de Galois puede describirse como el estudio de las extensiones de cuerpos mediante grupos de automorfismos. Pero su origen estuvo motivado por la solución de ecuaciones polinómicas, y vamos a describir esta conexión.

11.1.

El grupo de un polinomio

Empezamos fijando las notaciones: Notación. Sea f = an X n + · · · + a0 ∈ K[X] un polinomio separable y sea E un cuerpo de descomposición de f sobre K. Sean α1 , . . . , αn las raíces de f en E. Entonces E = K(α1 , . . . , αn ). Llamamos G = Gal(E/K). Cualquier automorfismo σ de G está completamente determinado por su efecto sobre el conjunto de raíces S = {α1 , . . . , αn }. Además σ aplica cualquier raíz de f en otra raíz, y σ es inyectivo. Luego la restricción de σ a S es una aplicación biyectiva, es decir una permutación del conjunto S. Definimos una aplicación λ : G → Sn de la siguiente forma: λ(σ) = τ es la permutación definida por σ(αi ) = ατ (i) . Por las observaciones anteriores es inmediato que λ es inyectiva, y es rutina comprobar que es un homomorfismo de grupos. Definición 11.1.1. Llamamos grupo del polinomio f sobre K al grupo Gal(f /K) = Im(λ) Obsérvese que por el primer teorema de isomorfismo, Gal(E/K) ∼ = Gal(f /K). La diferencia estriba en que el primero es un grupo de automorfismos y el segundo es un grupo de permutaciones. Obsérvese también que Gal(f /K) no está determinado de manera única por la extensión, sino que depende de la numeración elegida para las raíces: Si cambiamos el orden de las raíces, cambiamos Gal(f /K) por otro grupo, conjugado suyo dentro de Sn . A pesar de ello, para simplificar la notación normalmente identificamos σ con λ(σ) y pasamos libremente de Gal(E/K) a Gal(f /K) y viceversa. En cada caso el contexto dejará claro si σ es un automorfismo o una permutación.

11.2. LOS TEOREMAS CLASIFICATORIOS

121

4 2 Ejemplo 11.1.2. Sea K =√Q, f = X + 6 = (X 2√− 2)(X 2 − 3). √ − 5X √ Las raíces de f son α1 = 2, α2 √ = −√ 2, α3 = 3, α4 = − 3. El cuerpo de descomposición es E √= Q( 2,√ 3) y el √ grupo√G = Gal(E/Q) √ √= {1, √ σ1 , σ2 , σ1 σ √2 } donde σ1 ( 2) = − 2, σ1 ( 3) = 3, σ2 ( 2) = 2, σ2 ( 3) = − 3. Entonces Gal(f /Q) = {1, (1 2), (3 4), (1 2)(3 4)}. Si hubiésemos escogido otra numeración para las raíces, obtendríamos un grupo distinto, pero conjugado del anterior. Ejemplo 11.1.3. Sea K = Q y sea f = X 3 − 2 ∈ Q[X]. Sea α una raíz suya y sea ω una raíz cúbica primitiva de la unidad. El cuerpo de descomposición es E = Q(α, ω). Las raíces de f son α, ωα, ω 2 α. [E : Q] = 6 y cualquier permutación de las raíces define un automorfismo. Luego Gal(f /K) = S3 . Sobre K = Q(ω) el grupo es A3 : Las raíces pueden permutarse cíclicamente y no de otra manera mientras que sobre Q(α), Gal(f /K) es cíclico de orden 2: α debe permanecer fija, y podemos intercambiar ωα y ω 2 α. La teoría de Galois de ecuaciones tiene dos problemas principales que estudiamos en las siguientes secciones:

1. Dados K y f , calcular Gal(f /K). 2. Conocido Gal(f /K) y siendo éste soluble, determinar una expresión explícita para las raíces de f por radicales sobre K.

11.2.

Los teoremas clasificatorios

Existen métodos muy diversos para atacar el primer problema. Recientemente se han desarrollado algoritmos para el caso K = Q por Soicher-Kay [27] (usando resolventes lineales), Stauduhar [29] (usando aproximaciones numéricas de las raíces) y Zassenhaus [33] (calculando estabilizadores de ideales minimales de álgebras lineales). También Girtsmair [17] ha desarrollado un método muy interesante, ya que es aplicable a cualquier cuerpo base K y está mas en línea con el que se expone a continuación. El método que vamos a aplicar es bueno para determinar Gal(F/K) cuando Sn tiene pocos subgrupos transitivos, por ejemplo cuando n = 3, 4, 5. Se basa en los teoremas 11.2.1, 11.2.2 y 11.2.4. Teorema 11.2.1. Sea f ∈ K[X] sin raíces múltiples. Sea f = f1 · · · fr la factorización en irreducibles sobre K. Dos ceros αi , αj de f son raíces del mismo fk si y sólo si i, j están en la misma órbita bajo Gal(f /K)

122

CAPÍTULO 11. POLINOMIOS DE GRADO 3 Y 4

Demostración. Supongamos que i, j están en la misma órbita. Entonces existe σ ∈ G tal que σ(αi ) = αj . Luego αi , αj son conjugados y por tanto son raíces del mismo polinomio irreducible. Sean ahora αi , αj raíces del mismo polinomio irreducible. Entonces son conjugados. Luego existe σ ∈ G tal que σ(αi ) = αj y j = λ(σ)(i) está en la misma órbita que i. Corolario 11.2.2 (Criterio de irreducibilidad de Galois). El polinomio f es irreducible sobre K si y sólo si Gal(f /K) es un subgrupo transitivo de Sn . Para todo grupo de permutaciones H < Sn podemos considerar el subgrupo H + = H ∩ An formado por las permutaciones pares de H. Su índice vale [H : H + ] = 1 ó 2. Tomamos H = Gal(f /K). Mediante el isomorfismo λ−1 a H + le corresponde un subgrupo G+ de G = Gal(E/K). Sea F el cuerpo fijo bajo G+ . Teorema 11.2.3. Supongamos que f no tiene raíces múltiples y que car(K) 6= 2. Sea Y δ= (αi − αj ) i