PREGUNTAS DE MATEMÁTICAS (para uso de alumnos)

MÓDULO III “ALGEBRA”

Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica

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I.- INTRODUCCIÓN Como primer paso para el aprendizaje de las matemáticas, es importante darse cuenta de que las matemáticas es más fácil estudiarlas en pequeñas dosis. Si bien esta afirmación es válida en casi cualquier tema, lo es aún más para el caso de las matemáticas. Dos horas de estudio al día es mucho más productivo que 10 horas en un solo día de la semana. Aunque es posible leer dos novelas en un fin de semana para un curso de literatura, es casi imposible ponerse al día en los estudios de dos semanas de matemáticas en un solo fin de semana. El estudio de las matemáticas es acumulativo y la construcción de conceptos se apoya en aquellos previamente adquiridos. También se necesita "tiempo de decantación", es decir, la oportunidad de reflexionar sobre los conceptos y las ideas antes de que otros se presenten. En segundo lugar, se debe tener presente que las matemáticas no son una disciplina para observar, sino una del tipo “hágalo usted mismo” en la cual el estudiante debe asumir un rol activo. Por esta razón usted debe resolver personalmente los problemas que se le presenten y reconocer que no existe un camino corto hacia el éxito. No obstante lo anterior, las siguientes orientaciones, las que se refieren a la preparación de clases, toma de apuntes, lectura de textos, resolución de problemas, y análisis de problemas, debieran serle útiles en el estudio de las matemáticas. 1. Preparación de clases La mirada preliminar es una parte importante del estudio, la cual no requiere de una gran cantidad de tiempo. Antes de cada clase, dé una mirada al material de apoyo y los temas que se estudiarán en la clase. Fórmese una visión general leyendo introducciones y resúmenes acerca de las materias que se estudiarán. Vea los problemas asociados a la sección para tener una idea general del enfoque de la clase. Esta vista previa debe servir de base general para el anclaje de la nueva información que se presentará en la clase. Por otra parte, revise permanentemente los aprendizajes esperados y los criterios de evaluación del programa de la asignatura, y especialmente los que serán abordados en la próxima clase. Esto le orientará respecto de los aprendizajes que debieran ser desarrollados y los indicadores o criterios que den cuenta que lo va logrando. 2. Tomar apuntes En clases, escuche activamente mientras toma apuntes. Intente aprender de la presentación del profesor. Ponga atención a los aprendizajes que se espera lograr en la clase. Anote observaciones explicativas sobre cada problema. Tenga en cuenta las condiciones particulares del problema, cómo avanzar de un paso a otro, y el por qué del enfoque adoptado para resolver el problema. Observe como cada problema se relaciona con el programa de la asignatura. Si pierde atención o no entiende algo en la clase, tome apuntes de lo que alcance y complete lo faltante más tarde. Tan pronto como sea posible después de las clases, revise y edite sus apuntes. Utilice el margen o la parte de atrás de la página contraria para resumir las materias y hacer una lista de los principales términos o fórmulas. También puede utilizar este espacio para tomar notas de algún texto, con lo que complementará sus apuntes de clase y creará una fuente de estudio integrada. Revise sus apuntes a intervalos regulares, sobre todo tan pronto como sea posible, justo antes y justo después de cada clase. Revise además que se han resuelto problemas correspondientes a todos los criterios de evaluación de los aprendizajes que se había considerado lograr en la clase. Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica 2 Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

3. La lectura de libros de texto Al leer algún libro de texto de matemáticas, en primer lugar dé una hojeada al material para obtener una visión general. Luego lea cuidadosamente, asegurándose de que entiende cada parte que esté avanzando. A medida que lee, tome notas de las nuevas definiciones y símbolos. Es muy importante que traduzca las fórmulas y conceptos abstractos en sus propias explicaciones verbales. Ponga especial atención a los problemas que se muestren como ejemplos. Usted debiera analizar los problemas de ejemplo del texto, explicando cada paso con sus propias palabras y dibujando diagramas para acompañar estas explicaciones. Como práctica, cierre el libro y rehaga los ejemplos por sus propios medios. Por último, fíjese en cómo las materias se relacionan con las materias previas, y deténgase periódicamente a explicarse a si mismo las materias estudiadas. 4. Solución de problemas La mayor parte de su tiempo de estudio debería ser dedicado al desarrollo o el estudio de preguntas que representan problemas resueltos o por resolver. Cuando desarrolle un problema, lea primero toda la pregunta para obtener una visión general. En segundo lugar, establezca la variable desconocida en sus propios términos y anote cada información que se le entrega. A continuación, elabore un plan tentativo para resolver el problema mediante la utilización de uno o más de las siguientes tácticas: a. Establezca relaciones entre todos los hechos dados. b. Considere las fórmulas o definiciones que pudieran ser pertinentes. c. Trabaje hacia atrás, preguntándose: "¿Qué información necesito conocer para encontrar la respuesta?" d. Relacione el problema con algún ejemplo o ejercicio similar visto en clases o en un texto. e. Relacione el problema con un criterio de evaluación y aprendizaje esperado del programa de la asignatura. f. Resuelva una versión más simple del problema utilizando números pequeños. g. Divida el problema en varios problemas más simples. Desarrolle parte del problema y vea si está relacionado con el todo. h. Verifique que cada paso de la solución es correcta y clara. Luego, reescriba la solución correcta desde el principio hasta el fin.

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5. Análisis de problemas Después de haber trabajado un problema, analícelo. Enfóquese en los procesos utilizados (no en la respuesta) y hágase las siguientes preguntas: ¿Qué conceptos, fórmulas, y reglas apliqué? ¿Qué métodos usé? ¿Es comparable la solución con las de mis apuntes? ¿Qué aprendizajes esperados estoy logrando? ¿Puedo simplificar lo que hice?. Explique cada uno de los pasos usando sus propias palabras. De esta manera usted reforzará su comprensión del problema y le ayudará en el estudio posterior. Las sugerencias de estudio en este documento le ayudarán a mejorar su desempeño en su clase de matemáticas. Pero recuerde que los cursos de matemáticas son acumulativos, si tiene problemas con las materias al comienzo del curso, es probable que posteriormente estos problemas se multipliquen. Por lo tanto, usted debería buscar ayuda a tiempo si se encuentra con dificultades.

II.- PREGUNTAS DE MATEMÁTICAS Este documento contiene preguntas elaboradas por la Dirección de Evaluación de INACAP, con el objetivo de orientar a los alumnos en su estudio de las matemáticas, y a los docentes en la elaboración de las evaluaciones. Todas las preguntas están ajustadas a los criterios de evaluación y a través de ellos a los aprendizajes esperados del módulo III “Algebra” de los programas de matemáticas con código MATBxx de INACAP. En la primera parte del documento aparecen planteadas las preguntas con 4 alternativas de solución, y en la segunda parte, se muestra su resolución y la alternativa correcta. Si bien las preguntas están planteadas en formato de selección múltiple, la mayoría de ellas son preguntas de aplicación que pueden ser también planteadas como preguntas de desarrollo.

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Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones algebraicas.

Criterio de Evaluación 3.1.1 Calcula el valor numérico de expresiones algebraicas utilizando las reglas operatorias de los números reales.

1. El valor de la expresión

A) −

16 17

B) −

17 16

C)

a+b a−b 1 5 − + 2a − b, si a = y b = − , es : 4 2 4 2

17 16

D) 1,5

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones algebraicas.

Criterio de Evaluación 3.1.1 Calcula el valor numérico de expresiones algebraicas utilizando las reglas operatorias de los números reales.

2. Sea el ΔABC rectángulo en C. El valor de c = a2 + b2 , donde

a = 3 y b = 1, es :

Dibujo

A) 1 B)

2

C)

3

D) 2

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Aprendizaje Esperado 3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones algebraicas.

Módulo 3. Álgebra.

Criterio de Evaluación 3.1.1 Calcula el valor numérico de expresiones algebraicas utilizando las reglas operatorias de los números reales.

2 3. Sean: x = −1, y = 2 y z = . Luego, el valor de la expresión: 3

A)

9 180

B)

1 8

C)

1 4

D)

5 3

1 3 xy 2 es : 9yz 2

3xz −

Aprendizaje Esperado 3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones algebraicas.

Módulo 3. Álgebra.

Criterio de Evaluación 3.1.1 Calcula el valor numérico de expresiones algebraicas utilizando las reglas operatorias de los números reales.

4 y z =−3. 5 (5xy − 2xz) − (10yz + z 2 ) es :

4.

Sean:

x = 2, y =

Luego,

el

valor

de

la

expresión:

A) −19 B) −37 C) 35 D) 29

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Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones algebraicas.

Criterio de Evaluación 3.1.2 Aplica reglas de la operatoria para simplificar expresiones algebraicas dadas con paréntesis.

5. Al eliminar paréntesis y reducir la expresión a − [ −a − ( −b − c) − (a − c) − b] , resulta:

A) 2c − 3a B) 3a − 2c C) 2a + 3c A) −2a − 3c

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones algebraicas.

Criterio de Evaluación 3.1.2 Aplica reglas de la operatoria para simplificar expresiones algebraicas dadas con paréntesis.

6.

Al eliminar paréntesis y reducir ⎧ ⎫ 2 2 a ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − ⎢a + b ⎥ − ⎨− b − ⎢ − b − 1⎥ − [ −(2 − b)]⎬ , se obtiene: 5 ⎦ ⎩ 5 ⎣ ⎣2 ⎦ ⎭

A) 3 +

expresión:

a 2

B) 3a + C) 3 −

la

1 2

a 2

D) −3 −

a 2

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones algebraicas.

Criterio de Evaluación 3.1.2 Aplica reglas de la operatoria para simplificar expresiones algebraicas dadas con paréntesis.

7. Al reducir la expresión [ −(2a − b) + (3a − 4ab + 5b)] , se obtiene: A) −5a − 6b + 4ab B) a + 4b − 4ab C) 5a + 4b − 4ab D) a + 6b − 4ab Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica

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Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones algebraicas.

Criterio de Evaluación 3.1.2 Aplica reglas de la operatoria para simplificar expresiones algebraicas dadas con paréntesis.

8. Al eliminar paréntesis y reducir la 2 2 2 2 2 2 ⎡ ⎤ − ⎣ −(2a b + 4a − 2b ) + ( −a + a b + b ⎦ , tenemos como resultado:

expresión:

A) 5a 2 +a 2 b − 3b 2 B) −5a2 − a2b + b2 C) 3a2 + a2b + 3b2 D) 5a2 − a2b − 3b2

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones algebraicas.

Criterio de Evaluación 3.1.3 Utiliza el algoritmo de la división para obtener el cociente.

9. El cuociente de la división (c 2 + 2c + 28) ÷ (c 2 + 2c − 8) es : A) 1 B) 8 C) 28 D) 36

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones algebraicas.

Criterio de Evaluación 3.1.3 Utiliza el algoritmo de la división para obtener el cociente.

10. Al dividir (2x 2 + 7x + 12) ÷ (x 2 + 8x + 15) resulta como cuociente: A) – 9x B) 2 C) 15 D) 30

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Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones algebraicas.

Criterio de Evaluación 3.1.3 Utiliza el algoritmo de la división para obtener el cociente.

11. El cuociente que se obtiene al dividir x 2 + x − 2 por x − 1 es : A) 2x – 2 B) x 2 − 2 C) x + 2 D) 2x + 2

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones algebraicas.

Criterio de Evaluación 3.1.3 Utiliza el algoritmo de la división para obtener el cociente.

12. Al dividir el polinomio P(x) = 2x 3 + x 2 − 3x + 1 por el polinomio Q(x) = 2x − 1, se obtiene como cuociente: A) x 2 + x + 1 B) x 2 + x − 1 C) 2x 3 − x D) 2x 3 + x

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.

Criterio de Evaluación 3.2.1 Aplica reglas de factorización para representar expresiones algebraicas como productos.

13. Sea la expresión 25ab − 5b2 , entonces su factorización corresponde a: A) 5b(a − 5b) B) 5b(5a − b) C) 5b(5a + b) D) 5b(a + 5b)

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Aprendizaje Esperado 3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.

Módulo 3. Álgebra.

Criterio de Evaluación 3.2.1 Aplica reglas de factorización para representar expresiones algebraicas como productos.

14. Los factores de la expresión 9a2 − 12ab + 4b2 resulta: A) (3a − 2b)(3a − 2b) B) (3a + 2b)(3a + 2b) C) (3a − 2b)(3a + 2b) D) (3b − 2a)(3b − 2a)

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.

Criterio de Evaluación 3.2.1 Aplica reglas de factorización para representar expresiones algebraicas como productos.

15. Al factorizar la expresión 3a2 − 15a + 18 se obtiene: A) 3a(a2 + 5a + 6) B) 3(a2 + 5a + 6) C) 3a(a − 5) − 18 D) 3(a − 3)(a − 2)

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.

Criterio de Evaluación 3.2.1 Aplica reglas de factorización para representar expresiones algebraicas como productos.

16. Aplicando reglas de factorización a la expresión 9a2 − 12ab + 4b2 el producto que se obtiene es: A) 3a + 2b2 B) (3a + 2b)2 C) (3a − 2b)2 D) 3a − 2b2

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Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.

Criterio de Evaluación 3.2.2 Aplica las reglas operatorias de fracciones algebraicas y factorización, para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.

17. Al factorizar y simplificar la expresión:

a −1 + a−2 ; resulta: a−2

A) a + 1 B) – a – 1 C) – a + 1 D) a – 1

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.

Criterio de Evaluación 3.2.2 Aplica las reglas operatorias de fracciones algebraicas y factorización, para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.

18. Al factorizar y simplificar la expresión:

y 2 − 1 y 2 − 5y + 6 2 ; se obtiene: ⋅ ⋅ y−3 y−2 y −1

A) 2(– y – 1) B) 2(y + 1) C) 2(y – 1) D) 2(1– y)

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Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.

Criterio de Evaluación 3.2.2 Aplica las reglas operatorias de fracciones algebraicas y factorización, para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.

19. Al factorizar y simplificar la expresión

A)

2x − 2 x−3

B)

x −1 x−3

C)

x −1 2x + 4

D)

x −1 2x − 6

Módulo 3. Álgebra.

2x 2 + 2x − 4 , se obtiene: 4x 2 − 4x − 24

Aprendizaje Esperado 3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.

Criterio de Evaluación 3.2.2 Aplica las reglas operatorias de fracciones algebraicas y factorización, para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.

20. El resultado de factorizar y simplificar la siguiente expresión algebraica y2 − 1 y 2 − 2y − 1 ÷ 2 ; es: fraccionaria: 2 y + 5y + 6 y + y − 2

A)

y+3 y +1

B)

y +1 y+3

C)

y −1 y+3

D)

y+3 y −1

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Aprendizaje Esperado 3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.

Módulo 3. Álgebra.

Criterio de Evaluación 3.2.3 Aplica reglas de racionalización para eliminar raíces en expresiones fraccionarias racionales algebraicas que contengas una o dos raíces en el denominador.

21. Al racionalizar la expresión

A)

(x 5 − 2) 5 5

B)

( − x 5 − 2) 5 5

C)

(2 − x 5) 5 5

D)

(2 + x 5) 5 5

2−x 5 5

se obtiene:

Aprendizaje Esperado 3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.

Módulo 3. Álgebra.

Criterio de Evaluación 3.2.3 Aplica reglas de racionalización para eliminar raíces en expresiones fraccionarias racionales algebraicas que contengas una o dos raíces en el denominador.

22. Al racionalizar la expresión

a2 − 2ab + b2 a− b

resulta

A) (a + b)( a + b)

B) (a + b)( a − b) C) (a − b)( a − b) D) (a − b)( a + b)

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Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.

Criterio de Evaluación 3.2.3 Aplica reglas de racionalización para eliminar raíces en expresiones fraccionarias racionales algebraicas que contengas una o dos raíces en el denominador.

23. El resultado de racionalizar

A)

x y +2 y x2y

B)

x y +2 y xy

C)

x y +2 x2 y

D)

x y +2 xy

Módulo 3. Álgebra.

x+2 x y

es:

Aprendizaje Esperado 3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.

Criterio de Evaluación 3.2.3 Aplica reglas de racionalización para eliminar raíces en expresiones fraccionarias racionales algebraicas que contengas una o dos raíces en el denominador.

24. Al racionalizar la expresión

A)

x x − xy x2 + y

B)

x x − xy x2 − y

C)

x x + xy x2 − y

D)

x x − xy x2 + y

x x− y

se obtiene:

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Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

Criterio de Evaluación 3.3.1 Emplea métodos para resolver ecuaciones lineales con una variable.

25. La solución de la ecuación 7x + (3x 2 − 4) = x(5 − x) + (2x + 3)2 , es:

A) −

10 3

B) −

13 10

C)

10 13

D)

13 10

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

Criterio de Evaluación 3.3.1 Emplea métodos para resolver ecuaciones lineales con una variable.

26. Al despejar m en la igualdad

A)

1− b a

B)

b −1 a

C)

1+ b a

D)

−1 − b a

1 = m2 se obtiene: a b − m m2

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Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

Criterio de Evaluación 3.3.1 Emplea métodos para resolver ecuaciones lineales con una variable.

27. Al resolver la ecuación 3x − 2(x + 1) = (5x − 1) − (x − 1) se obtiene:

A) −

4 3

B) −

2 3

C)

2 3

D)

4 3

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

Criterio de Evaluación 3.3.1 Emplea métodos para resolver ecuaciones lineales con una variable.

28. La solución de la ecuación

3x − 2 x − 1 2x + 5 es: − = 3 2 6

A) – 12 B) – 6 C) 6 D) 12

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

Criterio de Evaluación 3.3.2 Utiliza diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres variables.

29. Al resolver el sistema de ecuaciones:

3(x + y) + 2y = 2x − (x − 2y) ; se obtiene: 2(x + y) + 3 = x − y

A) x = −3 ; y = −2 B) x = −2; y = −3 C) x = 3 ; y = 2 D) x = 3 ; y = −2

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Aprendizaje Esperado 3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

Módulo 3. Álgebra.

Criterio de Evaluación 3.3.2 Utiliza diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres variables.

30. Los valores de x, y, z al resolver el sistema de ecuaciones

A) x =

a b c ;y= ;z= a+b+c a+b+c a+b+c

B) x =

b a c ;y= ;z= a+b+c a+b+c a+b+c

C) x =

c b a ;y= ;z= a+b+c a+b+c a+b+c

D) x =

a c b ;y= ;z= a+b+c a+b+c a+b+c

x+ y+z =1 x y z = = a b c

son:

Aprendizaje Esperado 3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

Módulo 3. Álgebra.

Criterio de Evaluación 3.3.2 Utiliza diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres variables.

31. El resultado del sistema de ecuaciones:

2(x − 1) = 3(y + 2) −(x − y) = 1

es:

A) x = 11 ; y = 10 B) x = −10 ; y = −11 C) x = −11 ; y = −10 D) x = 10 ; y = 11

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Aprendizaje Esperado 3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

Módulo 3. Álgebra.

Criterio de Evaluación 3.3.2 Utiliza diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres variables.

3x − y + z = 6

32. Al resolver el sistema de ecuaciones:

x − z = 4 ; se obtiene: x − 2y = −1

A) x = 3 ; y = 2 ; z = −1 B) x = −3 ; y = −2 ; z = 1 C) x = −1 ; y = 2 ; z = 3 D) x = 1 ; y = −2 ; z = −3

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

Criterio de Evaluación 3.3.3 Utiliza métodos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

33. De los CD que tenía un vendedor, le regaló a su hermano la mitad menos uno, a su amigo Roberto la tercera parte menos dos, quedándose con la cuarta parte de los que tenía menos tres. ¿Cuántos CD tenía el vendedor? A) 12 B) 24 C) 36 D) 72

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Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

Criterio de Evaluación 3.3.3 Utiliza métodos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

34. El perímetro de una terraza rectangular es 28 m y el triple del largo es igual a cuatro veces el ancho, entonces el largo y el ancho de la terraza son, respectivamente: A) 6 m y 6 m

Dibujo y

B) 8 m y 8 m C) 8 m y 6 m

x

D) 6 m y 8 m

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

Criterio de Evaluación 3.3.3 Utiliza métodos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

35. Si la diferencia entre el doble de un número y el triple de otro número es 1 y la adición entre el triple del primero y el doble del segundo es 8. Entonces los números son:

A)

1 y0 2

B) 2 y 1 C) 0 y −

1 3

D) – 4 y – 3

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

Criterio de Evaluación 3.3.3 Utiliza métodos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

36. Los lados de un triángulo son tres números impares consecutivos. Si el perímetro de dicho triángulo es de 75 cms., entonces la dimensión del lado mayor en cms. es: A) 23 B) 25 C) 27 D) 30 Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica

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Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.4 Aplica métodos de resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en problemas de aplicación.

Criterio de Evaluación 3.4.1 Emplea procedimientos para resolver inecuaciones lineales y expresa la solución en notación de intervalos.

37. La solución de la inecuación (4x + 1)2 − 8 > (4x + 1)(4x − 1) ; es: ⎡3 ⎡ A) ⎢ , + ∞ ⎢ ⎣4 ⎣ ⎤3 ⎡ B) ⎥ , + ∞ ⎢ ⎦4 ⎣ 3⎤ ⎤ C) ⎥ −∞ , ⎥ 4⎦ ⎦ 3⎡ ⎤ D) ⎥ −∞ , ⎢ 4⎣ ⎦

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.4 Aplica métodos de resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en problemas de aplicación.

Criterio de Evaluación 3.4.1 Emplea procedimientos para resolver inecuaciones lineales y expresa la solución en notación de intervalos.

38. Al resolver la inecuación:

2(x − 7) 4 − (x − 5) +2≤ ; resulta: 3 5

⎡ 67 ⎡ A) ⎢ , + ∞ ⎢ ⎣ 13 ⎣ ⎤ 67 ⎡ B) ⎥ , + ∞ ⎢ ⎦ 13 ⎣ 67 ⎡ ⎤ C) ⎥ −∞ , 13 ⎢⎣ ⎦ 67 ⎤ ⎤ D) ⎥ −∞ , 13 ⎥⎦ ⎦

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20

Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.4 Aplica métodos de resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en problemas de aplicación.

Criterio de Evaluación 3.4.1 Emplea procedimientos para resolver inecuaciones lineales y expresa la solución en notación de intervalos.

39. El intervalo solución de la inecuación: (3x − 1) − (x 2 − 1) ≥ x(4 − x) + 3 ; es: A) [−3, + ∞ [ B) ] − ∞ , − 3] C) [−3, + ∞ [ D) ] − ∞ , − 3[

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.4 Aplica métodos de resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en problemas de aplicación.

Criterio de Evaluación 3.4.1 Emplea procedimientos para resolver inecuaciones lineales y expresa la solución en notación de intervalos.

40. El intervalo solución de la inecuación:

5x − 4 x + 7 4x − 1 − > ; es: 2 3 8

⎤ 101 ⎡ A) ⎥ ,+ ∞ ⎢ ⎦ 40 ⎣ ⎡101 ⎡ ,+ ∞⎢ B) ⎢ ⎣ 40 ⎣ 101⎤ ⎤ C) ⎥ −∞ , 40 ⎥⎦ ⎦ 101⎡ ⎤ D) ⎥ −∞ , 40 ⎢⎣ ⎦

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Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.4 Aplica métodos de resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en problemas de aplicación.

Criterio de Evaluación 3.4.2 Aplica procedimientos para resolver sistemas de inecuaciones lineales.

41. La solución del sistema de inecuaciones: A)

C)

B)

D)

x > −2 ; es: 0 ≤ y 1 A) x ≤ −1 y ≥1

B)

x−y ≥1 x ≥1 y ≤1

x −y ≥1 C) x ≤1 y ≥ −1 x − y ≥ −1 D) x ≤1 y ≥ −1

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.4 Aplica métodos de resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en problemas de aplicación.

Criterio de Evaluación 3.4.3 Utiliza procedimientos para resolver problemas de inecuaciones y/o sistemas de inecuaciones lineales.

45. El intervalo que expresa la condición “los números menores que 17” es: A) ] − ∞ , 17] B) ] − ∞ , 17[ C) [17 , ∞ + [ D) ]17 , ∞ + [

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25

Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

Aprendizaje Esperado 3.4 Aplica métodos de resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en problemas de aplicación.

Módulo 3. Álgebra.

Criterio de Evaluación 3.4.3 Utiliza procedimientos para resolver problemas de inecuaciones y/o sistemas de inecuaciones lineales.

46. Se sabe que el perímetro de un rectángulo es a lo menos 16 cms y a lo más 20 cms y que el largo y el ancho no pueden medir menos de 4 cms y de 3 cms respectivamente. Entonces el sistema de inecuaciones que representa el problema es: Dibujo

16 ≤ x + y ≤ 20 A) x ≥ 4 y≥3

y

8 ≤ x + y ≤ 10 B) x ≥ 4 y≥3

x

16 ≤ x + y ≤ 20 C) x ≤ 4 y≤3 8 ≤ x + y ≤ 10 D) x ≤ 4 y≤3

Aprendizaje Esperado 3.4 Aplica métodos de resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en problemas de aplicación.

Módulo 3. Álgebra.

Criterio de Evaluación 3.4.3 Utiliza procedimientos para resolver problemas de inecuaciones y/o sistemas de inecuaciones lineales.

47. La solución expresada en notación de intervalo, de la expresión “los números que son mayores o iguales a 2 o menores que – 3 “ ; es: A) ] − ∞ , − 3] ∪ ]2 , ∞ + [ B) ] − ∞ , − 3[ ∩ [2 , ∞ + [ C) ] − ∞ , − 3[ ∩ ]2 , ∞ + [ D) ] − ∞ , − 3[ ∪ [2 , ∞ + [

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Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.4 Aplica métodos de resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en problemas de aplicación.

Criterio de Evaluación 3.4.3 Utiliza procedimientos para resolver problemas de inecuaciones y/o sistemas de inecuaciones lineales.

48. La adición entre el doble de un número y el triple de otro número es mayor que 15 y la diferencia entre el mayor y el menor es menor o igual que 2. El sistema de inecuaciones que representa dicha situación es:

A)

2x + 3y > 15 x−y≤2

B)

2x + 3y ≥ 15 x−y 15 x−y≤2

D)

3x + 2y ≥ 15 x−y (4x + 1)(4x − 1) ; es: Resolución (4x + 1)2 − 8 > (4x + 1)(4x − 1) 16x 2 + 8x + 1 − 8 > 16x 2 − 1 8x > 6 x>

]

3 4

3 ,+ ∞[ 4

ALTERNATIVA B

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41

Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

38. Al resolver la inecuación:

2(x − 7) 4 − (x − 5) +2≤ ; resulta: 3 5

Resolución

2(x − 7) 4 − (x − 5) +2≤ 3 5 10(x − 7) + 30 ≤ 3(4 − x + 5) 10x − 70 + 30 ≤ 27 − 3x 13x ≤ 67 x≤

]−∞ ,

67 13

67 ] 13

ALTERNATIVA D

39. El intervalo solución de la inecuación: (3x − 1) − (x 2 − 1) ≥ x(4 − x) + 3 ; es: Resolución (3x − 1) − (x 2 − 1) ≥ x(4 − x) + 3 3x − 1 − x 2 + 1 ≥ 4x − x 2 + 3 −3 ≥ x

] − ∞ , − 3]

ALTERNATIVA B

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42

Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

40. El intervalo solución de la inecuación:

5x − 4 x + 7 4x − 1 − > ; es: 2 3 8

Resolución

5x − 4 x + 7 4x − 1 − > 2 3 8 12(5x − 4) − 8(x + 7) > 3(4x − 1) 60x − 48 − 8x − 56 > 12x − 3 52x − 104 > 12x − 3 40x > 101 x>

]

101 40

101 ,+ ∞[ 40

ALTERNATIVA A

41. La solución del sistema de inecuaciones:

x > −2 0 ≤ y 17

ALTERNATIVA B

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45

Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

46. Se sabe que el perímetro de un rectángulo es a lo menos 16 cms y a lo más 20 cms y que el largo y el ancho no pueden medir menos de 4 cms y de 3 cms respectivamente. Entonces el sistema de inecuaciones que representa el problema es: Resolución 16 ≤ 2(x + y) ≤ 20 x≥4 y≥3

→

8 ≤ x + y ≤ 10 x≥4 y≥3

ALTERNATIVA B

47. La solución expresada en notación de intervalo, de la expresión “los números que son mayores o iguales a 2 o menores que – 3 “ ; es: Resolución

] − ∞ , − 3[ ∪ [2 , ∞ + [

ALTERNATIVA D

48. La adición entre el doble de un número y el triple de otro número es mayor que 15 y la diferencia entre el mayor y el menor es menor o igual que 2. El sistema de inecuaciones que representa dicha situación es: Resolución Sean: x = nº mayor ; y = nº menor Entonces: 2x + 3y > 15 x−y≤2

ALTERNATIVA A

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46

Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

49. Sea el polígono de vértices A = (0,0) ; B = (25,0) ; C = (25,12) ; D = (10,21) ; E = (0,18) . Si la función objetivo es: F(x,y) = 30x + 25y ; entonces el valor máximo es: Resolución F(0,0) = 30 ⋅ 0 + 25 ⋅ 0 = 0 F(25,0) = 30 ⋅ 25 + 25 ⋅ 0 = 750 F(25,12) = 30 ⋅ 25 + 25 ⋅ 12 = 1050 F(10,21) = 30 ⋅ 10 + 25 ⋅ 21 = 825 F(0,18) = 30 ⋅ 0 + 25 ⋅ 18 = 450

ALTERNATIVA D

50. La siguiente tabla muestra la producción de dos artículos que pasan por tres procesos. A P1 3 P2 2 P3 1

B Tiempo Máximo 5 35 3 22 1 10

Entonces las restricciones lineales son: Resolución 3x + 5y ≤ 35 2x + 3y ≤ 22 x + y ≤ 10 x,y ≥ 0

ALTERNATIVA B

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47

Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

51. Una empresa pesquera puede extraer como máximo 3500 toneladas de merluza y 2500 toneladas de salmón, pudiendo pescar en total no más de 4000 toneladas. Si el valor de venta de la merluza es de $1200 el Kg. y el del salmón es de $1800 el Kg., ¿cuál es el valor máximo de venta de ambos productos? Resolución

Sean x : ton. merluza y : ton. salmón Función Objetivo : f(x,y) = 1200x + 1800y x ≤ 3500 y ≤ 2500 x + y ≤ 4000 x,y ≥ 0 Vértices O = (0,0) A = (3500,0) B = (3500,500) C = (1500,2500) D = (0,2500)

Como el óptimo se encuentra en f(C) = 1200 ⋅ 1500 + 1800 ⋅ 2500 = $6.300.000 .-

el

punto

C,

Æ

ALTERNATIVA A

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Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

52. Una empresa constructora debe realizar un conjunto habitacional de dos tipos de departamentos. Para ello dispone de $2.100.000.000, siendo el costo de cada departamento $30.000.000 y $35.000.000 respectivamente, pero por un permiso municipal sólo pueden construir un máximo de 500 departamentos. La utilidad por cada departamento es de $4.500.000 y $3.500.000 respectivamente. Así, la función objetivo que representa dicha situación es: Resolución Sea x: depto. de $30.000.000 ; y: depto. de $35.000.000 la hora Función objetivo: f(x, y) = 4.500.000x + 3.500.000y

ALTERNATIVA C

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49

Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP