APUNTES DE ANÁLISIS VECTORIAL

´ APUNTES DE ANALISIS VECTORIAL

4 de septiembre de 2007

´Indice general 1. Topolog´ıa de Rn . Sucesiones

1

1.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2. Norma, distancia y bolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2.1. Deﬁniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2.2. Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2.3. Distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.4. Bolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3. Conjuntos cerrados y abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4. Sucesiones de puntos de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4.1. Sucesiones de Cauchy. Completitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4.2. Conjuntos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5. Conjuntos compactos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2. L´ımites y continuidad de funciones en Rn

9

2.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2. Funciones de varias variables. Funciones escalares y vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3. L´ımite de una funci´ on en un punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.4. L´ımites direccionales, reiterados, inﬁnitos, ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.4.1. L´ımites direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.4.2. L´ımites reiterados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.4.3. L´ımites inﬁnitos y en el inﬁnito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.5. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.5.1. Propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.6. Otras propiedades de las funciones continuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.6.1. Teorema de Weierstrass. Consecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.6.2. Conjuntos arco-conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.6.3. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

i

ii

3. C´ alculo Diferencial en Rn

18

3.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3.2. Derivadas parciales y direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.2.1. Derivadas parciales. Matriz Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.2.2. Derivadas direccionales

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.3. Derivada o Diferencial de una funci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.3.1. Concepto de Diferencial. Propiedades

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.3.2. Aproximaci´on lineal, hiper-plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3.3.3. Condiciones suﬁcientes de diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3.4. Propiedades de las funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.4.1. Regla de la cadena. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.5. Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.5.1. Teorema de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.6. Teorema de la funci´ on inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.7. Teorema de la funci´ on impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

4. Aplicaciones geom´ etricas de la derivaci´ on.

35

4.1. Gradiente de un campo escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

4.1.1. Deﬁnici´ on y propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

4.1.2. Interpretaci´ on geom´etrica del gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

4.2. Curvas parametrizadas en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

4.2.1. Vector tangente a una curva. Orientaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

4.3. Curvas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

4.3.1. Curvas en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

4.3.2. Curvas en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

4.4. Superﬁcies parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

4.4.1. Vector ortogonal a una superﬁcie. Orientaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

4.5. Superﬁcies regulares en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

5. Estudio local de funciones en Rn

47

5.1. F´ ormula de Taylor. Expresi´ on del resto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

5.2. Extremos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

5.2.1. Formas cuadr´ aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

5.2.2. Extremos locales de funciones. Puntos cr´ıticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

5.2.3. Condici´ on suﬁciente de extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

5.3. Extremos condicionados locales. Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

iii

5.3.1. M´etodo de los multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

5.4. Extremos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

6. Integraci´ on de campos escalares en Rn

59

6.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

6.2. Integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

6.2.1. Partici´ on de rect´angulos. Funciones escalonadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

6.2.2. Integral doble de una funci´ on escalonada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

6.2.3. Integral doble de funciones acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

6.2.4. Interpretaci´ on geom´etrica de la integral doble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

6.2.5. Conjuntos de medida cero. Integraci´ on de funciones discontinuas . . . . . . . . . . . .

65

6.2.6. Integrales dobles en regiones m´ as generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

6.2.7. Propiedad aditiva de la integraci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

6.2.8. Teorema de Fubini (para regiones tipo I y tipo II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

6.2.9. Aplicaci´ on al c´ alculo de a´reas y vol´ umenes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

6.2.10. Cambio de variable en integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

6.3. Integrales triples. Integrales m´ ultiple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

6.3.1. Cambio de variable en integrales n-m´ ultiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

6.3.2. Propiedades de la integral m´ ultiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

6.4. Funciones deﬁnidas por integrales. Teorema de Leibnitz (derivaci´ on bajo el signo integral) . .

75

6.5. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

6.5.1. Integrales impropias de primera especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

6.5.2. Integrales impropias de segunda especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

7. Integrales de l´ınea y de superﬁcie

79

7.1. Longitud de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

7.2. Integral de l´ınea de una funci´ on escalar

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

7.3. Integral de l´ınea de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

7.4. Campo conservativo. Potencial escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

´ 7.5. Area de una superﬁcie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

7.6. Integral de superﬁcie de una funci´ on escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

7.7. Integral de superﬁcie de un campo vectorial en R

3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Teoremas integrales del An´ alisis Vectorial

89 91

8.1. Operadores diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

8.1.1. Gradiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

iv

8.1.2. Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

8.1.3. Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

8.1.4. Laplaciana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

8.1.5. Propiedades de los operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

8.2. Teoremas integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

8.2.1. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

8.2.2. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 8.2.3. Teorema de la divergencia (o de Gauss). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Cap´ıtulo 1

Topolog´ıa de Rn. Sucesiones 1.1.

Introducci´ on

En la asignatura de C´ alculo se estudian las funciones f : R → R. El objeto de este curso es estudiar las funciones f : Rn → Rm . Conceptos como continuidad, diferenciabilidad e integraci´ on conocidos para funciones de una variable se extender´ an a funciones de varias variables. Para ello es preciso introducir una m´etrica en Rn , es decir, saber cu´ al es la distancia entre dos puntos de Rn . Y a partir de ello daremos la noci´ on de conjuntos abiertos, cerrados y compactos en Rn . Tambi´en estudiaremos sucesiones de puntos y su convergencia.

1.2. 1.2.1.

Norma, distancia y bolas Definiciones

Deﬁnici´ on 1.1 Sea n > 0 un entero. Un conjunto ordenado de n n´ umeros reales (x1 , ... , xn ) se llama punto n-dimensional o vector con n componentes. Los puntos o vectores se designar´ an por x = (x1 , ... , xn ) e y = (y1 , ... , yn ). El n´ umero xk se llama k-´esima coordenada del punto x o k-´esima componente del vector x. Designaremos por Rn = {(x1 , ... , xn )| xi ∈ R}. Deﬁnimos ahora las operaciones algebraicas con puntos de Rn . Deﬁnici´ on 1.2 Sea x = (x1 , ... , xn) e y = (y1 , ... , yn ) de Rn entonces x = y ⇐⇒ x1 = y1 , ... , xn = yn .

1.

Igualdad

2.

Suma

3.

Multiplicaci´ on por un escalar si λ ∈ R, λx = (λx1 , ... , λxn ).

4.

Diferencia

5.

Vector nulo u origen

6.

x + y = (x1 + y1 , ... , xn + yn ).

x − y = x + (−1)y.

Producto escalar

0 = (0, ... , 0).

x, y = x · y =

n

xi yi .

i=1

1

2

1.2.2.

Norma

Deﬁnici´ on 1.3 Norma

x =

n x, x = x2 . i

i=1

Comentario Obs´ervese que cuando n = 1 ´esta es precisamente la deﬁnici´on de valor absoluto. Algunas propiedades de la norma son las siguientes: Proposici´ on 1.1 ∀x, y ∈ Rn , ∀λ ∈ R. 1.

x ≥ 0, y x = 0 ⇐⇒ x = 0

2.

λx = |λ|x y como consecuencia x − y = y − x.

3.

|x, y| ≤ x y (desigualdad de Schwarz).

4.

x + y ≤ x + y (desigualdad triangular).

5.

x − y ≥ | x − y |.

6.

Si x = (x1 , ... , xn), entonces |xi | ≤ x ≤

n

|xi |.

i=1

( Dem. ) Se basan en las propiedades del producto escalar y demostraremos u ´nicamente 3 y 4. 3. Basta con demostrar que:

n

2 ≤

xi yi

i=1

n

x2i

i=1

n

yi2

.

i=1

En efecto, observemos que n

2

(xi z + yi ) ≥ 0, ∀z ∈ R.

i=1

Si hacemos A =

n

x2i , B =

i=1

n

xi yi y C =

i=1

n

yi2 se tiene Az 2 + 2Bz + C ≥ 0 para todo z ∈ R y por

i=1

on real doble, o no tiene ninguna lo que tanto, la ecuaci´ on de 2o grado Az 2 + 2Bz + C = 0, o tiene una soluci´ 2 implica B − AC ≤ 0 que es la desigualdad buscada. Se ha supuesto que A = 0 si A = 0 la demostraci´ on es trivial pues todos los xi son nulos. 4. x + y2 =

n i=1

(xi + yi )2 =

n

(x2i + yi2 + 2xi yi ) = x2 + 2x · y + y2 ≤ x2 + 2 x y + y2

i=1

= ( x + y )2 en la u ´ltima desigualdad se tiene en cuenta 3. Se dice que (Rn , ) es un espacio normado.

3

1.2.3.

Distancia

Deﬁnici´ on 1.4 Se denomina distancia entre x e y a

d(x, y) = x − y.

Las propiedades de la distancia se obtienen a partir de las de la norma y algunas de ellas son las siguientes: Proposici´ on 1.2 ∀x, y, z ∈ Rn . 1.

d(x, y) = d(y, x).

2.

d(x, y) = 0 ⇐⇒ y = x.

3.

d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (desigualdad triangular).

( Dem. ) Inmediatas. Se dice que (Rn , d) es un espacio m´etrico. ´ Con estas deﬁniciones, siguiendo la terminolog´ıa del Algebra lineal, Rn es un espacio vectorial eucl´ıdeo.

1.2.4.

Bolas

Los siguientes conceptos generalizan en Rn las nociones de intervalos (abiertos y cerrados) en R. Deﬁnici´ on 1.5 Sea un punto a ∈ Rn y un escalar r ∈ R+ . Se denomina n-bola abierta con centro en a y radio r al conjunto B(a, r) = Br (a) ≡ {x ∈ Rn | x − a < r} Tambi´en se utiliza la bola perforada Br∗ (a) = Br (a) − {a}. Ejemplo 1.1 En R, Br (a) es el intervalo abierto (a − r, a + r). En R2 , Br (a) es el c´ırculo de centro a y radio r. En R3 , Br (a) es la esfera de centro a y radio r. Deﬁnici´ on 1.6 Un conjunto es acotado si existe alguna bola que lo contiene. Deﬁnici´ on 1.7 Se denomina entorno de un punto a, de Rn , a todo conjunto que contenga alguna bola de centro a.

1.3.

Conjuntos cerrados y abiertos

Deﬁnici´ on 1.8 Respecto de A, subconjunto de Rn , se dice que un punto a es: Punto interior: si existe alguna n-bola abierta, con centro a, tal que Br (a) ⊂ A. Punto adherente: si toda bola, con centro a, contiene puntos de A. Puede ser aislado: hay alguna bola Br (a) tal que Br (a) ∩ A = {a}, de acumulaci´ on: toda bola Br (a) contiene puntos de A diferentes de a.

4 Punto frontera: si toda bola Br (a) contiene puntos de A y de su complementario Rn − A. Punto exterior: si existe alguna bola Br (a) que no contiene ningun punto de A. Deﬁnici´ on 1.9 Sea A ⊂ Rn un subconjunto se definen: Interior de A, ˚ A = Int(A) = {puntos interiores deA}. Adherencia de A, A¯ = {puntos adherentes de A}. Conjunto derivado de A, A = {puntos de acumulaci´ on de A}. Frontera de A, Fr(A) = {puntos frontera de A}. Exterior de A, Ext(A) = {puntos exteriores de A}. Ejemplo 1.2 Si A = {1/n, n ∈ R}, entonces 0 es punto de acumulaci´ on de A. Teorema 1.1 Si x es un punto de acumulaci´ on de A, toda n-bola Br (x) contiene infinitos puntos de A. ( Dem. ) Supongamos que exista alguna bola Br (x) que contiene s´olamente n puntos de A, a1 , a2 , ... , an distintos de x. Sea r = min{x − a1 , ... , x − an }, entonces Br/2 (x) no contiene ning´ un punto de A distinto de x y por tanto x no es punto de acumulaci´ on de A. Corolario 1.1 Los conjuntos finitos no tienen puntos de acumulaci´ on. El rec´ıproco no necesariamente es cierto. Un conjunto inﬁnito puede no tener puntos de acumulaci´ on, como por ejemplo el conjunto B = {1, ... , n, ...}. Una condici´ on suﬁciente para que el reciproco sea cierto la da el siguiente teorema. Teorema 1.2 (de Bolzano-Weierstrass). Sea A ⊂ Rn un conjunto acotado con infinitos puntos, entonces existe al menos un punto de Rn que es punto de acumulaci´ on de A. Deﬁnici´ on 1.10 A subconjunto de Rn es: Abierto si todos sus puntos son interiores. Esto es, A es abierto ⇐⇒ A = Int A. Cerrado si su complementario, Rn − A, es abierto. Ejemplo 1.3 En Rn , (a1 , b1 ) × ... × (an , bn ) es un abierto, se denomina intervalo abierto n-dimensional o tambi´en rect´angulo abierto. En Rn , [a1 , b1 ] × ... × [an , bn] es un cerrado, se denomina intervalo cerrado n-dimensional o tambi´en rect´angulo cerrado. Los conjuntos finitos son cerrados.

5

Proposici´ on 1.3 1.

Propiedades de los conjuntos abiertos de Rn : Ø, Rn y las bolas abiertas, son abiertos. La uni´ on de abiertos es un abierto. ( Dem. ) Sea F una colecci´on arbitraria de abiertos y sea S = A. A∈F

∀x ∈ S existe A ∈ F tal que x ∈ A y como es abierto existe Br (x) ⊂ A ⊂ S por tanto x ∈ Int(S) luego S es un abierto. La intersecci´ on de dos abiertos es un abierto. Como consecuencia, la interseci´ on de un conjunto finito de abiertos es un abierto. ( Dem. ) Sea S = A1 ∩ A2 para todo x ∈ S existen Br1 (x) ⊂ A1 y Br2 (x) ⊂ A2 y sea r = min(r1 , r2 ), entonces Br (x) ⊂ S y por tanto todo punto de S es interior luego S es abierto. No necesariamente la intersecci´on de inﬁnitos abiertos es un abierto por ejemplo 1 1 = [−1, 1] (ve´ anse tambi´en los problemas adicionales). −1 − , 1 + n n n∈N 2.

Propiedades de los conjuntos cerrados de Rn : Ø, Rn y las bolas cerradas, son cerrados. La intersecci´ on de cerrados es un cerrado. ( Dem. ) La intersecci´on de cerrados es el complementario de la uni´ on de los complementarios, que son abiertos, y por lo anterior es un abierto y su complementario cerrado. La uni´ on de dos cerrados es un cerrado. Como consecuencia, la uni´ on de un conjunto finito de cerrados es un cerrado. ( Dem. ) Igual que la anterior. La uni´ on de inﬁnitos cerrados no necesariamente es un cerrado

1 1 = (−1, 1) (ve´anse tambi´en los problemas adicionales). −1 + , 1 − n n n∈N

por

ejemplo

Dentro de Rn los u ´ nicos conjuntos que son cerrados y abiertos son Ø y Rn . Proposici´ on 1.4 Otras caracterizaciones de conjunto cerrado son: A es cerrado

⇐⇒

¯ A = A.

A es cerrado

⇐⇒

contiene todos sus puntos de acumulaci´ on.

A es cerrado

⇐⇒

contiene todos sus puntos frontera.

1.4.

Sucesiones de puntos de

R

n

.

El concepto de sucesi´on de n´ umeros reales se generaliza en Rn de la siguiente manera: on N → Rn , y la Deﬁnici´ on 1.11 Se denomina sucesi´on (de puntos o vectores) en Rn a toda aplicaci´ notaremos por {xk }k∈N .

6

Comentarios Se usa la misma terminolog´ıa y notaci´ on que para sucesiones num´ericas. As´ı, las im´ agenes de la aplicaci´on se denominan t´erminos o elementos de la sucesi´on. El t´ermino general de una sucesi´on de vectores se designa por xk . Obs´ervese que como xk ≡ (x1k , . . . , xnk ), entonces una sucesi´on de vectores en Rn induce n sucesiones num´ericas {xik }k∈N con i = 1 . . . n. Deﬁnici´ on 1.12 Sea {xk } una sucesi´ on de puntos de Rn . Se dice que a ∈ Rn es el l´ımite de la sucesi´ on si, ∀ε > 0, ∃k0 ∈ N tal que si k ≥ k0 , entonces xk − a < ε. Se usar´ a la notaci´ on l´ım xk = a , o tambi´en k→∞ xk −→ a. k→∞

Si una sucesi´ on tiene l´ımite se dice que es convergente, si no lo tiene es no convergente o divergente. Comentarios Esta es la misma deﬁnici´on que para sucesiones num´ericas cambiando el valor absoluto por la norma. N´ otese que la deﬁnici´ on de l´ımite signiﬁca que, a partir del t´ermino k0 -´esimo todos los t´erminos est´an contenidos en una bola abierta de centro en a y radio ε. Las propiedades de las sucesiones de vectores son an´alogas a las de las sucesiones num´ericas: Proposici´ on 1.5 Sean {xk } y {yk } sucesiones en Rn y λ ∈ R. 1. 2.

olo si, l´ım (xk − a) = 0 (vector nulo). l´ım xk = a si y s´

k→∞

k→∞

olo si, l´ım xik = ai (i = 1, . . . , n), (las sucesiones de las coordenadas convergen a l´ım xk = a si y s´

k→∞

k→∞

las correspondientes coordenadas de a). 3.

Si {xk } es convergente entonces est´ a acotada.

4.

´nico. Si {xk } tiene l´ımite entonces ´este es u

5.

Si l´ım xk = a y l´ım yk = b , entonces l´ım (xk ± yk ) = a ± b.

6.

Si l´ım xk = a entonces l´ım λxk = λa.

7.

Si l´ım xk = 0 y {yk } es otra sucesi´ on tal que {yk } acotada entonces l´ım xk , yk = 0

8.

Si l´ım xk = a y l´ım yk = b entonces para la sucesi´ on de los productos escalares se tiene que

k→∞

k→∞

k→∞

k→∞

k→∞

k→∞

k→∞

k→∞

k→∞

l´ım xk , yk = a, b y como consecuencia l´ım xk = a.

k→∞

k→∞

( Dem. ) 1. Como en R. 2. Inmediata observando que, de acuerdo con el apartado 6 de la proposici´ on 1.1, |xik − ai | ≤ xk − a ≤

n

|xik − ai |

i=1

3. Como en R. 4. Es una consecuencia de 2 y de la unicidad del l´ımite de las sucesiones num´ericas.

7

5. Inmediata observando que, de acuerdo con la desigualdad triangular, xk + yk − a − b ≤ xk − a + yk − b 6. Inmediata. 7. Usando la desigualdad de Schwarz se tiene que 0 ≤ |xk , yk | ≤ xk yk −→ 0 k→∞

8. Obs´ervese que xk , yk − a, b = xk − a, yk + a, yk − a, b = xk − a, yk + a, yk − b y ambas sucesiones tienen l´ımite igual a 0 como consecuencia de 7.

Comentario Teniendo en cuenta la segunda propiedad, el c´ alculo de l´ımites de sucesiones de vectores se reduce al c´alculo de l´ımites de sucesiones num´ericas (las sucesiones de las cooordenadas).

1.4.1.

Sucesiones de Cauchy. Completitud

Igual que se hizo con las sucesiones num´ericas, se deﬁne el siguiente concepto: on. {xk } es una sucesi´on de Cauchy si ∀ε ≥ 0, ∃k0 ∈ N tal que si Deﬁnici´ on 1.13 Sea {xk } una sucesi´ k, l ≥ k0 , entonces xk − xl < ε. Comentario : N´ otese que esta deﬁnici´on signiﬁca que, a partir del t´ermino k0 -´esimo todos los t´erminos de la sucesi´on est´an contenidos en una bola abierta de di´ ametro ε. Proposici´ on 1.6 {xk } es una sucesi´ on de Cauchy si, y s´ olo si, lo son las n sucesiones num´ericas componentes {xik }. ( Dem. ) Inmediata observando que, de acuerdo de nuevo con el apartado 6 de la proposici´ on 1.1, |xik − xil | ≤ xk − xl ≤

n

|xik − xil |

i=1

Proposici´ on 1.7 Toda sucesi´ on en Rn convergente es de Cauchy. ( Dem. ) Como en R. Se dice que un espacio vectorial es completo si toda sucesi´ on convergente es de Cauchy. Teorema 1.3 (de completitud de Rn ): En Rn toda sucesi´ on de Cauchy es convergente, por tanto las sucesiones convergentes son las sucesiones de Cauchy. ( Dem. ) Basta usar las sucesiones de las coordenadas y el teorema de completitud de R.

8

1.4.2.

Conjuntos cerrados

Damos ahora una nueva caracterizaci´ on de conjunto cerrado a partir de sucesiones Proposici´ on 1.8 A ⊂ Rn es cerrado si, y s´ olo si, para toda sucesi´ on {xk } de puntos de A convergente, su l´ımite es un punto x ∈ A. ( Dem. ) ( =⇒ ) Si A es cerrado y xk → x, con {xk } ⊂ A, entonces en todo entorno de x hay puntos de {xk }, esto es puntos de A, luego x ∈ A¯ y, por tanto, x ∈ A. ( ⇐= ) ∀x ∈ Fr A, existe una sucesi´ on {xk } ⊂ A con xk → x. En efecto, basta tomar xk ∈ B 1 (x) ∩ A. Pero, por k hip´ otesis, toda sucesi´on de puntos de A convergente lo es a un punto de A, luego x ∈ A. Por consiguiente Fr A ⊂ A, luego A es cerrado.

1.5.

Conjuntos compactos.

Una vez estudiados los conjuntos abiertos y cerrados en Rn vamos a deﬁnir ahora los conjunto compactos. a acotado. Deﬁnici´ on 1.14 Sea K ⊂ Rn . K es un conjunto compacto si es cerrado y est´ La propiedad que relaciona los conjuntos compactos con las sucesiones es la siguiente: olo si, de toda sucesi´ on de puntos de {xk } ⊂ K se puede Proposici´ on 1.9 K ⊂ Rn es compacto si, y s´ obtener una subsucesi´ on convergente a un punto x ∈ K. ( Dem. ) ( =⇒ ) Sea K compacto y {xk } ⊂ K. Suponemos que la sucesi´on {xk } tiene inﬁnitos t´erminos distintos, en caso contrario es f´ acil extraer subsucesiones convergentes, entonces por el teorema 2 de Bolzano-Weierstrass tiene un punto de acumulaci´ on b, lo que implica que toda bola centrada en b contiene inﬁnitos puntos de la sucesi´on. Para la bola B1 (b) elegimos un punto xh1 ∈ {xk }. Para la bola B1/2 (b) elegimos un punto xh2 ∈ {xk }, con h2 > h1 . Para la bola B1/3 (b) elegimos un punto xh3 ∈ {xk }, con h3 > h2 , y as´ı sucesivamente. Obtenemos de esta forma una subsucesi´on {xhj }j∈N , en K, que tiene como l´ımite b y como K es cerrado entonces b ∈ K. ( ⇐= )(Reducci´ on al absurdo): 1. Si K no es cerrado ⇒ ∃x ∈ Fr K con x ∈ K. Sea {xk } ⊂ K tal que xk → x, entonces cualquier subsucesi´on de ´esta converge a x ∈ K, contra la hip´ otesis. 2. Si K no est´a acotado entonces, ∀k ∈ N, ∃ xk ∈ K con xk > K. Obtenemos as´ı una sucesi´on {xk } divergente que no tiene subsucesiones convergentes contra la hip´otesis.

Cap´ıtulo 2

L´ımites y continuidad de funciones en Rn 2.1.

Introducci´ on

En el curso de C´alculo Infinitesimal se analizaron u ´ nicamente las funciones f : R → R reales de variable real. Sin embargo, en la naturaleza hay fen´ omenos para cuya descripci´on matem´atica se requieren funciones que dependen de m´ as de una variable y que, en F´ısica, suelen denominarse campos. Por ejemplo, La temperatura de una regi´ on del espacio (a lo largo del tiempo): T

A ⊆ R4 −→ R (x, y, z, t) → T (x, y, z, t)

:

La velocidad de las part´ıculas de un ﬂuido en movimiento v

:

A ⊆ R3 (x, y, z)

−→ R3 → v(x, y, z)

El campo el´ectrico creado por una carga puntual. E

:

A ⊆ R3 (x, y, z)

−→ R3 → E(x, y, z)

En este cap´ıtulo comenzaremos el estudio de este tipo de funciones. En concreto estudiaremos los conceptos de l´ımite y continuidad. En los siguientes cap´ıtulos, se abordar´ an las cuestiones relativas a la diferenciabilidad e integrabilidad de estas funciones.

2.2.

Funciones de varias variables. Funciones escalares y vectoriales

Deﬁnici´ on 2.1 Se denomina campo o funci´ on de varias variables a toda aplicaci´ on f: A ⊆ Rn −→ Rm

(n > 1, m ≥ 1)

El conjunto A ⊆ R donde est´ a definida la aplicaci´ on recibe el nombre de dominio de la funci´ on y se denota por Dom f. n

Igualmente llameremos imagen de f al conjunto de puntos que son imagen de alg´ un punto del dominio, Im f = {y ∈ Rm | f(x) = y, x ∈ Dom f}. 9

10

1.

Si m = 1 entonces se dice que f es una funci´ on escalar.

2.

Si m > 1 entonces se dice que f es una funci´ on vectorial. La funci´ on vectorial f f

:

A ⊆ Rn x ≡ (x1 , . . . , xn )

−→ Rm → (f1 (x), . . . , fm (x))

da origen a m funciones escalares fj : A ⊆ Rn → R de manera que f(x) = (f1 (x), ... , fm (x)). Estas funciones escalares se denominan funciones componentes de f Una funci´ on se dice acotada si su imagen es un conjunto acotado. Comentario Como en general el estudio de funciones vectoriales se reduce al de sus funciones componentes haremos especial ´enfasis en el estudio de campos escalares. Ejemplo 2.1 Funciones escalares: temperatura, presi´ on, densidad,... Funciones vectoriales: campos gravitatorio, electrost´ atico, electromagn´etico... Introduzcamos, a continuaci´ on, algunas herramientas u ´tiles para el estudio de funciones. Deﬁnici´ on 2.2 1. Sea f : A ⊆ Rn → Rm una funci´ on. Se denomina gr´ aﬁca de la funci´ on f al conjunto de puntos de Rn+m graf f = {(x, f (x)) ∈ Rn+m | x ∈ A}

Figura 2.1: a) Gr´ aﬁca de un campo escalar en R y b) de un campo escalar en R2 2.

Sea F : A ⊆ Rn → R una funci´ on. Se denomina conjunto de nivel de F al conjunto de puntos del dominio donde la funci´ on tiene el valor constante k, es decir Φk = {x ∈ A | F (x) = k }

3.

Si f: A ⊂ R2 → R se denominan secci´ones de la gr´ afica de f a la intersecci´ on de graf f con planos de R3 . (Es habitual considerar los planos coordenados o planos paralelos a ´estos)

11

Comentario Un campo escalar f: A ⊆ R → R tiene como graﬁca, en general, una curva en R2 cuya ecuaci´on es y = f(x) lo que denominaremos ecuaci´on expl´ıcita de la curva. Igualmente si A ⊆ R2 la graﬁca de f est´a en R3 y es, generalmente, una superﬁcie cuya ecuaci´on expl´ıcita es z = f(x, y) (vease ﬁgura 2.1). Si se trata de una funci´ on de dos variables el conjunto de nivel es, en general, una curva cuya ecuaci´ on es F (x, y) = cte, diremos que es una curva en forma ´ımplicita. En el caso de tres variables tenemos la superﬁcie en forma ´ımplicita F (x, y, z) = cte. Obs´ervese que, en particular, para funciones de dos variables f(x, y), las secciones obtenidas al intersectar la gr´aﬁca de f con los planos paralelos al plano coordenado XY proyectadas ortogonalmente sobre dicho plano, coinciden con las curvas de nivel de la funci´ on . El estudio de las secciones y superﬁcies de nivel es u ´ til con vistas a tener una idea aproximada de c´ omo es la gr´aﬁca de la funci´ on. Sean f, g : Rn → Rm , se deﬁnen f + g, λf y fg como suma o producto componente a componente, es decir (f + g)(x) = ((f1 + g1 )(x), ... , (fm + gm )(x)) y an´ alogamente las otras. on compuesta g ◦ f : C ⊂ Rn → Por otra parte, si f : A ⊂ Rn → Rm y g : B ⊂ Rm → Rl se deﬁne la funci´ −1 R por (g ◦ f)(x) = g(f(x)), observemos que C = Dom(g ◦ f) = A ∩ f (B) l

2.3.

L´ımite de una funci´ on en un punto.

Continuaremos el an´ alisis de las funciones de varias variables estudiando el comportamiento de una funci´ on en el entorno de un punto. La primera noci´ on sobre este particular es la de l´ımite: Deﬁnici´ on 2.3 Sea f: A ⊆ Rn → Rm una funci´ on, a ∈ Rn un punto de acumulaci´ on de A y b ∈ Rm . Se dice que b es el l´ımite de f cuando x tiende a a si, ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que, si x ∈ A−{a} y x −a < δ, entonces f(x) − b < ε. Se escribir´ a l´ım f(x) = b, o bien f(x) −→ b 1 . x→a

x→a

La siguiente proposici´ on nos da una deﬁnici´ on alternativa de l´ımite. on, a ∈ Rn un punto de acumulaci´ on de A y b ∈ Rm . Proposici´ on 2.1 Sea f: A ⊆ Rn → Rm una funci´ on {xk } ⊂ A − {a} tal que l´ım xk = a, se tiene para la Entonces l´ım f(x) = b ⇐⇒ para toda sucesi´ x→a

k→∞

sucesi´ on de las im´ agenes, l´ım f(xk ) = b. k→∞

( Dem. ) Como en el caso de una variable. Las propiedades de los l´ımites de funciones de varias variables son an´ alogas a las del caso de una variable y son las siguientes: Proposici´ on 2.2 Sean f, g: A ⊆ Rn → Rm funciones, a ∈ Rn un punto de acumulaci´ on de A y b, c ∈ Rm . 1. 2.

Si una funci´ on tiene l´ımite,´este es u ´nico. l´ım f(x) = b ⇐⇒ l´ım fj (x) = bj (j = 1, . . . , m)

x→a

x→a

As´ı, el c´alculo de l´ımites de funciones vectoriales se reduce al c´alculo de l´ımites de funciones escalares. 3.

Si l´ım f(x) = b y l´ım g(x) = c, entonces l´ım (f(x) ± g(x)) = b ± c.

1 Esta

x→a

x→a

x→a

es la misma definici´ on que para funciones de una variable cambiando el valor absoluto por la norma.

12

4.

Si l´ım f(x) = b y λ ∈ R, entonces l´ım λf(x) = λb.

5.

Si m = 1, por tanto funci´ on escalar, f(x) = 0 ∀x ∈ A y l´ım f(x) = b = 0, entonces

x→a

x→a

x→a

1 est´ a bien f(x)

1 1 = x→a f(x) b

definida en A y l´ım 6.

Si m = 1, f tiene l´ımite en a y ´este es positivo, existe alguna bola perforada con centro en a sobre la que f toma valores positivos.

7.

Si l´ım f(x) = b y l´ım g(x) = c, entonces l´ım f(x)g(x) = (b1 c1 , . . . , bm cm )

8.

Si l´ım f(x) = b y l´ım g(x) = c, entonces l´ım f(x), g(x) = b, c lo que implica l´ım f(x) = b.

9.

Si f tiene l´ımite en a, entonces esta acotada sobre alguna bola de centro a.

10.

x→a

x→a

x→a

x→a

x→a x→a

x→a

Si m = 1 y f ≤ h ≤ g en un entorno perforado (sin el punto a) de a, y l´ım f(x) = l´ım g(x) = b, x→a

x→a

entonces l´ım h(x) = b. x→a

11.

on de A Sean f: A ⊆ Rn → Rm y g: B ⊆ Rm → Rl , con f(A) ⊂ B. Si a es punto de acumulaci´ y b = l´ım f(x) es un punto de acumulaci´ on de B, y l´ım g(y) = c entonces l´ım (g ◦ f)(x) = c en x→a

x→a

y→b

cualquiera de los dos casos siguientes b ∈ B g es continua en b, (se deﬁne posteriormente).

( Dem. ) Se deducen f´ acilmente de la deﬁnici´ on de l´ımite y las propiedades de la norma.

2.4.

L´ımites direccionales, reiterados, infinitos, ...

En el c´ alculo de l´ımites de funciones de varias variables no se dispone de t´ecnicas an´alogas a las del caso de una variable, no existe nada semejante a la regla de L’Hˆ opital. Ello obliga a desarrollar otros m´etodos de c´alculo basados en los conceptos que se van a exponer en este apartado. Dado que el l´ımite de una funci´ on vectorial se obtiene calculando el de sus funciones componentes, s´ olo vamos a considerar, en adelante, el caso de funciones escalares.

2.4.1.

L´ımites direccionales

Deﬁnici´ on 2.4 Sea f: A ⊆ Rn → R y a ∈ A un punto de acumulaci´ on de A. 1.

Sea c: I ⊂ R → A − {a} una aplicaci´ on continua tal que l´ım c(t) = a con t0 ∈ I, diremos que c(I) es t→t0

una curva en A. Se denomina l´ımite de f para x tendiendo a a seg´ un la curva c(t) al valor l´ım f(c(t)). t→t0

Obs´ervese que se trata de un l´ımite de una funci´ on de una variable. 2.

Con las mismas hip´ otesis que en el apartado anterior, se denomina l´ımite direccional de f para x → a al l´ımite seg´ un la recta c(t) = a + tv, esto es, l´ım f(a + tv). t→0

Como caso particular, en el caso de funciones de dos variables, y con curvas (rectas) dadas en forma on de A, expl´ıcita se tiene que, si f: A ⊆ R2 → R y a = (a1 , a2 ) es un punto de acumulaci´ 1. El l´ımite de f para x → a seg´ un la curva y = g(x), que pasa por a, es l´ım f(x, g(x)) x→a1

2. El l´ımite direccional de f para x → a seg´ un la recta y = mx + b, que pasa por a, es l´ım f(x, mx + b). x→a1

13

Proposici´ on 2.3 l´ım f(x) = b si, y s´ olo si, los l´ımites seg´ un todas las posibles curvas que pasen por a, x→a contenidas en su dominio, existen y son iguales a b. Y un corolario de este resultado, referido a los l´ımites direccionales es: Corolario 2.1 Si l´ım f(x) = b entonces los l´ımites direccionales seg´ un cualquier recta que pase por a existen x→a y valen b.

Comentarios Como consecuencia de la anterior proposici´on, si el l´ımite a lo largo de alguna curva no existe o no coincide con el l´ımite a lo largo de otra curva, en un mismo punto, deducimos que la funci´ on no tiene l´ımite en dicho punto. Constituye una herramienta u ´til para deducir que una funci´ on no tiene l´ımite. En general los apartados 10 y 11 de la proposici´ on 2.2 constituyen una herramienta util para el c´ alculo de l´ımites.

2.4.2.

L´ımites reiterados

Deﬁnici´ on 2.5 Sea f : A ⊂ R2 → R, se define como l´ımites reiterados a l´ım l´ım f(x, y),

l´ım l´ım f(x, y)

x→a y→b

y→b x→a

Comentarios Si

l´ım

(x,y)→(a,b)

f(x, y) = p y existen l´ım f(x, y) y l´ım f(x, y) entonces existen los l´ımites reiterados de f x→a

y→b

y valen p. Puede ocurrir que exista

l´ım

(x,y)→(a,b)

f(x, y) y no exista alguno de los reiterados.

Si existen el l´ımite de la funci´ on y los reiterados en un mismo punto, han de coincidir.

2.4.3.

L´ımites infinitos y en el infinito.

Deﬁnici´ on 2.6 Sea f : A ⊂ Rn → Rm 1.

Diremos que l´ım f(x) = ∞ si ∀L > 0 ∃δ > 0 tal que ∀x ∈ A − {a} que cumpla x − a < δ se tiene x→a

f(x) > L. L´ımite inﬁnito. 2.

Si A es no acotado, diremos que l´ım f(x) = b si ∀ > 0 ∃M > 0 tal que ∀x ∈ A que cumpla x > M x→∞

se tiene f(x) − b < . L´ımite en el inﬁnito. 3.

Si A es no acotado, diremos que l´ım f(x) = ∞ si ∀L > 0 ∃M > 0 tal que ∀x ∈ A que cumpla x→∞

x > M se tiene f(x) > L. L´ımite inﬁnito en el inﬁnito.

2.5.

Continuidad

Deﬁnici´ on 2.7 Sea f : A ⊆ Rn → Rm y a ∈ A. Se dice que f es continua en a si, ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que ∀x ∈ A que cumpla x − a < δ entonces f(x) − f(a) < ε.

14

Comentarios Si a es un punto aislado de A entonces f es continua en a. Si a es un punto de acumulaci´ on de A entonces f es continua en a si l´ım f (x) = f (a).

x→a

f es continua en a si para toda sucesi´on {xk } de elementos de A tal que xk → a, se tiene f(xk ) → f(a). f es continua si lo es en todo punto de su dominio.

2.5.1.

Propiedades de las funciones continuas

Las propiedades de las funciones continuas se basan en las propiedades del l´ımite: Proposici´ on 2.4 Sean f , g: A ⊆ Rn → Rm funciones y a ∈ A. 1.

f es continua en a si y s´ olo si, cada una de sus funciones componentes fi es continua en a.

2.

Si f y g son continuas en a, tambi´en lo son: f ± g, fg y f , g.

3.

Sea λ ∈ R. Si f es continua en a, tambi´en lo es λf .

4.

Si m = 1 y f(x) = 0, ∀x ∈ A, entonces lo es

1 est´ a bien definida en A y si f es continua en a, tambi´en f(x)

1 . f(x)

5.

Si m = 1, f(x) = 0 y f es continua en a, f no cambia de signo en alg´ un entorno de a.

6.

Si f es continua en a, f est´ a acotada en alg´ un entorno de a.

7.

Si g: B ⊆ Rm → Rl , b = f (a) ∈ B y f y g son continuas en a y b respectivamente, entonces g ◦ f es continua en a.

Ejemplo 2.2 Las siguientes funciones son continuas: Las proyecciones coordenadas fi : Rn → R, fi (x) = xi . Las lineales. Las polin´ omicas. Las racionales, cociente de funciones polin´ omicas, en todo punto que no anule el denominador. Las trigonom´etricas, logaritmicas, exponenciales, · · · Teorema 2.1 Sea f : A ⊆ Rn → Rm . Las tres afirmaciones siguientes son equivalentes 1.

f es continua

2.

Para todo abierto V ⊂ Rm , f −1 (V ) = A ∩ U donde U es un abierto de Rn

3.

Para todo cerrado T ⊂ Rm , f −1 (T ) = A ∩ S donde S es un cerrado de Rn

15

Este teorema sirve para caracterizar conjuntos abierto y cerrados, veanse los ejercicos propuestos. ( Dem. ) Veamos que 1. ⇒ 2. Sea V un abierto de Rm y a un punto de f −1 (V ). Sea f (a) = b, como V es abierto existe Bε (b) ⊂ V . Por ser f continua en A existe Bδa (a) tal que f (Bδa (a) ∩ A) ⊂ Bε (b). De donde se deduce que Bδa (a) ∩ A ⊂ f −1 (f (Bδa (a) ∩ A)) ⊂ f −1 (Bε (b)) ⊂ f −1 (V ) y esto implica f −1 (V ) =



a∈f −1 (V

[Bδa (a) ∩ A] = 

a∈f −1 (V

)



Bδa (a) ∩ A = U ∩ A, con U abierto de Rn )

donde se ha tenido en cuenta que la uni´ on de abiertos es un abierto. Veamos que 2. ⇒ 1. Sea a ∈ A y f (a) = b. Veamos que f es continua en a. otesis f −1 (Bε (b)) = U ∩ A, con U abierto en Rn . Como Sean ε > 0 y Bε (b) la bola abierta en Rm . Por hip´ a ∈ U ∩ A y U es abierto, existe un δ > 0 tal que Bδ (a) ∩ A ⊂ U ∩ A = f −1 (Bε (b)) luego f (Bδ (a) ∩ A) ⊂ Bε (b) lo que implica que f es continua en a. Veamos que 2. ⇒ 3. T cerrado implica que Rm − T es un abierto. Luego por 2, f −1 (Rm − T ) = U ∩ A donde U es un abierto de Rn . Por tanto f −1 (T ) = (Rn − U ) ∩ A y Rn − U es un cerrado de Rn . Veamos que 3. ⇒ 2. An´ alogo al caso anterior.

1 , y T = [1, ∞) (que es cerrado en R). Se tiene que x −1 f (T ) = (0, 1] = (0, ∞) ∩ S, donde S = [0, 1] es cerrado en R.

Ejemplo 2.3 Sea f: (0, ∞) → R dada por f(x) =

2.6. 2.6.1.

Otras propiedades de las funciones continuas. Teorema de Weierstrass. Consecuencias

A continuaci´ on vamos a dar algunas propiedades de las funciones continuas, que son generalizaciones de otras bien conocidas en el c´ alculo de una variable. on continua y K un compacto. Entonces Teorema 2.2 (de Weierstrass): Sea f : K ⊂ Rn → Rm una funci´ f (K) es compacto. ( Dem. ) Se ha de demostrar que f (K) es cerrado y est´ a acotado.

16 1. f (K) es cerrado: Hemos de probar que Fr(f (K)) ⊂ f(K) Sea y ∈ Fr(f (K)), sabemos que existe una sucesi´on {yh } ⊂ f (K) tal que l´ım yh = y. h→∞

Sea {xh} la sucesi´on en K tal que f (xh) = yh . Por ser K compacto, existe una subsucesi´on {xhi } convergente en K, esto es, l´ım xhi = a ∈ K. Por ser f continua la sucesi´ on {f (xhi )} converge a f (a) i→∞

en Rm . Ahora bien, f (xhi ) = yhi y la sucesi´on {yhi } es subsucesi´on de {yh }, que tiene l´ımite, y por tanto ambas tiene que tener el mismo l´ımite. Luego y = f (a) ∈ f (K) lo que implica Fr(f (K)) ⊂ f(K), as´ı pues f (K) es un conjunto cerrado. 2. f (K) est´a acotado: Si no lo estuviera, ∀h ∈ N, ∃xh ∈ K tal que f (xh ) > h y tendr´ıamos la sucesi´on {xh } en K, que como es un compacto ha de tener alguna subsucesi´on convergente. Sea esta {xhl } y a ∈ K su l´ımite. Por tanto, puesto que f es continua, {f (xhl )} → f (a), lo cual es absurdo dado que la sucesi´on no est´ a acotada. Luego f (K) tiene que estar acotado.

Son consecuencias de este teorema: Proposici´ on 2.5 Sea K ⊂ Rn un compacto y f: K → R una funci´ on continua. Entonces f toma en K valores extremos ( Dem. ) Por el teorema anterior f(K) es un compacto o sea cerrado y acotado. Sea h = inf f(K), entonces h es un punto adherente de f(K), que es un cerrado, lo que implica h ∈ f(K) ⊂ f(K). Por tanto existe un x ∈ k tal que f(x) = h y por tanto f alcanza el ´ınﬁmo. Igualmente se demostrar´ıa la existencia del supremo. Corolario 2.2 Sea K ⊂ Rn un compacto y f : K → Rm una funci´ on continua: Cada componente de f toma en K valores extremos. f toma en K valores extremos. ( Dem. ) Basta considerar la proposici´ on anterior.

2.6.2.

Conjuntos arco-conexos

Deﬁnici´ on 2.8 Un camino en A es un aplicaci´ on continua γ : I → A ⊂ Rn , donde I ⊂ R es un intervalo. Si I = [t1 , t2 ] y γ(t1 ) = a1 , γ(t2 ) = a2 se dice que γ une a1 con a2 . Un conjunto A ⊂ Rn se dice arco-conexo si para todo par de puntos a1 , a2 ∈ A existe un camino en A que los une. En R los conjuntos arco-conexos son los intervalos Teorema 2.3 Sean f : A ⊂ Rn → Rm continua y A un conjunto arco-conexo. Entonces f (A) es arco-conexo. ( Dem. ) Sean y1 y y2 puntos de f (A), existen x1 , x2 ∈ A tales que f (x1 ) = y1 y f (x2 ) = y2 . Por ser A arco-conexo, existe un camino γ: [t1 , t2 ] → A, tal que γ(t1 ) = x1 y γ(t2 ) = x2 . Entonces f ◦ γ : [t1 , t2 ] → f (A) es un camino tal que f ◦ γ(t1 ) = y1 y f ◦ γ(t2 ) = y2 . Luego f (A) es arco-conexo.

17

2.6.3.

Continuidad uniforme

Deﬁnici´ on 2.9 Sea f : A ⊆ Rn → Rm . f es uniformemente continua en A si ∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que, si x, y ∈ A con x − y < δ, entonces f (x) − f (y) < ε 2 . Las propiedades de las funciones uniformemente continuas son las mismas que en el caso de una variable. on uniformemente continua en A. Entonces: Proposici´ on 2.6 Sea f : A ⊆ Rn → Rm una funci´ 1.

f es continua en A.

2.

Si {xm } es una sucesi´ on de Cauchy, tambi´en lo es {f (xm)}.

( Dem. ) Inmediatas ambas. Finalmente, enunciamos (sin demostrar) que: Teorema 2.4 (de Cauchy): Si K ⊂ Rn es un compacto y f : K → Rm es una funci´ on continua en K, entonces f es uniformemente continua en K.

2 Es la misma definici´ on que para funciones de una variable, sustituyendo valor absoluto por norma y tiene, por tanto, la misma interpretaci´ on geom´etrica.

Cap´ıtulo 3

C´ alculo Diferencial en Rn 3.1.

Introducci´ on

En este cap´ıtulo se trata esencialmente de extender el concepto de derivada a funciones de varias variables y sus propiedades. Como ya es costumbre, se busca generalizar el concepto ya existente en el caso de una variable. Por ello conviene recordar que, en ese caso, hay dos maneras de entender esta cuesti´on, que corresponden a otras tantas maneras de interpretar el concepto de derivada: la deﬁnici´ on de la derivada como l´ımite del cociente incremental f (a) = l´ım

h→0

f(a + h) − f(a) h

la interpretaci´ on geom´etrica de la derivada como aproximaci´on lineal, es decir: Dada una funci´ on f: A ⊆ R → R, con A abierto, y un punto a ∈ A, se pod´ıa interpretar la derivada de f en a como una aplicaci´ on lineal que mejor aproxima la funci´ on Ta

: R h

−→ R −→ Ta (h) = αh

(3.1)

podemos decir que α es la matriz asociada a dicha aplicaci´ on lineal y T (h) = αh. As´ı tenemos la aproximaci´on f(a+h) = f(a)+αh, que podemos interpretar como la recta de pendiente α que pasa por el punto (a, f(a)) y de todas ellas la que mejor aproxima la funci´ on para h peque˜ no es la que cumple l´ım

h→0

f(a + h) − f(a) − αh =0 h

=⇒

α = l´ım

h→0

f(a + h) − f(a) = f (a) h

(3.2)

que da lugar a la ecuaci´ on de la recta que es tangente a la graﬁca de f en el punto (a, f(a)) y = f(a) + α(x − a) Si para generalizar este concepto al caso de varias variables se sigue el primer m´etodo se llega a la noci´on de derivada parcial o, m´as gen´ericamente, al de derivada direccional. Sin embargo, el resultado obtenido es insatisfactorio por cuanto sus propiedades distan mucho de ser las esperadas (no se satisface por ejemplo que si una funci´ on es derivable en a entonces es continua en a), lo que no ocurre, como veremos, siguiendo ´ el segundo m´etodo. Este ser´ a, por tanto, el camino que seguiremos en la exposici´on. (A partir de ahora, siempre que no se diga expl´ıcitamente lo contrario, se toman los dominios de las funciones abiertos a ﬁn de evitar los puntos frontera).

18

19

3.2.

Derivadas parciales y direccionales

3.2.1.

Derivadas parciales. Matriz Jacobiana

Deﬁnici´ on 3.1 Si f : A ⊆ Rn → Rm , con A abierto. Se denomina derivada parcial de f en a respecto a la variable xi o tambi´en derivada parcial i-´esima de f en a al l´ımite (si existe) Di f (a) = fxi (a) =

f (a1 , . . . , ai + t, . . . , an ) − f (a1, . . . , an ) ∂f (a) = l´ım t→0 ∂xi t

Si las derivadas parciales existen ∀x ∈ A, se denomina funci´ on derivada parcial de f respecto a la variable xi o tambi´en funci´ on derivada parcial i-´esima de f a la funci´ on ∂f : A ⊂ Rn ∂xi a

−→

Rm

−→

∂f (a) ∂xi

Comentarios : Se cumple que ∂f (a) = ∂xi

∂f1 ∂fm (a), ... , (a) . ∂xi ∂xi

(3.3)

La derivada parcial de una funci´ on de varias variables no es otra cosa que la variaci´ on de la funci´ on respecto a una de las variables, manteniendo las otras constantes. As´ı pues, en muchos casos, se pueden calcular como derivadas ordinarias de una funci´ on de una variable. En algunas ocasiones ´esto no es as´ı. Ejemplo 3.1 Las derivadas parciales de la funci´ on f(x, y) = x1/3 y1/3 en (0, 0) son f(t, 0) − f(0, 0) 0 ∂f (0, 0) = l´ım = l´ım = 0, t→0 t→0 t ∂x t

f(0, t) − f(0, 0) ∂f (0, 0) = l´ım =0 t→0 ∂y t

pero no se pueden obtener derivando las funciones x1/3 e y1/3 , dado que ninguna de ellas es derivable en el origen. Una funci´ on puede tener derivadas parciales en un punto y no ser continua en dicho punto, luego no es una buena generalizac´on del concepto de derivada. Ejemplo 3.2 Sea f: R2 → R definida por f(x, y) =

0 si xy = 0 1 si xy = 0

Como f(t, 0) − f(0, 0) 0 ∂f (0, 0) = l´ım = l´ım = 0, t→0 t→0 t ∂x t

f(0, t) − f(0, 0) ∂f (0, 0) = l´ım =0 t→0 ∂y t

la funci´ on tiene derivadas parciales en (0, 0), sin embargo l´ım f(x, 0) = 0 y x→0

l´ım f(x, x) = 1 y por

x→0

tanto la funci´ on no es continua en (0, 0). Una funci´ on escalar de n variables puede tener hasta n derivadas parciales en cada punto. ∂f (a, b) es la pendiente de ∂x la recta tangente en (a, b, f(a, b)) a la curva obtenida al intersectar graf f con el plano y = b, cuya ∂f ∂f (a, b)(x − a). Igualmente interpretar´ıamos (a, b). ecuaci´on, en dicho plano, es z = f(a, b) + ∂x ∂y En el caso de una funci´on de dos variables el valor de la derivada parcial

20

A partir de las derivadas parciales se deﬁne la matriz jacobiana en un punto: Deﬁnici´ on 3.2 Sea f : A ⊆ Rn → Rm Si existen todas la derivadas parciales de f en a, se denomina matriz jacobiana de f en a a la matriz m × n que tiene por componentes los valores de estas derivadas parciales: 

 ∂f1 ∂f1 (a) . . . (a)  ∂x1 

∂xn   ∂fj . .   Jf (a) = (a) 1≤j≤m =  .. ..  ∂xi  ∂fm  ∂fm 1≤i≤n (a) . . . (a) ∂x1 ∂xn Si Jf (a) es una matriz cuadrada, se denomina jacobiano a su determinante.

3.2.2.

Derivadas direccionales

En la deﬁnici´ on 3.1 de derivada parcial se incrementa la funci´ on siguiendo direcci´ ones paralelas a los ejes, si en lugar de estas direcciones lo hacemos seg´ un un vector cualquiera u, obtenemos el concepto de derivada direccional. Deﬁnici´ on 3.3 Sean f : A ⊆ Rn → Rm , a un punto del abierto A y v ∈ Rn un vector. Se denomina derivada direccional de f en a seg´ un el vector v al l´ımite (si existe) l´ım

t→0

f (a + tv) − f (a) t

(3.4)

La denotaremos por f (a, v) o Dv f(a). Proposici´ on 3.1 se cumple que f (a, v) = (f1 (a, v), ... , fm (a, v)).

f (a, λv) = λf (a, v). f (a, 0) = 0. Comentarios : Observemos que las derivadas parciales deﬁnidas anteriormente no son m´as que las derivadas direccio∂f nales seg´ un los vectores de la base can´onica (a) = f (a, ei ). ∂xi Una funci´ on puede tener todas sus derivadas direcionales bien deﬁnidas en un punto y sin embargo no ser continua en este punto y por tanto tampoco son una buena generalizaci´ on del concepto de derivada. Ejemplo 3.3

 

xy2 Sea f: R → R definida por f(x, y) = x2 + y 4  0 2

si x = 0 si x = 0

Sea v = (v1 , v2 ) como f (0, v) = l´ım

t→0

f(tv1 , tv2 ) − f(0, 0) = l´ım t→0 t

v1 v22 2 v1 + t2 v24

 2  v2 =  v1 0

si v1 = 0 si v1 = 0

la funci´ on tiene derivadas direcionales en (0, 0), sin embargo el l´ımite de la funci´ on siguiendo la curva x = y2 vale y4 1 = = f(0, 0) = 0 l´ım f(y2 , y) = 4 4 y→0 y +y 2 y por tanto la funci´ on no es continua en (0, 0).

21

En el caso de una funci´ on de dos variables el valor de la derivada direccional D( v1 , v2 )f(a, b) es la pendiente de la recta tangente en (a, b, f(a, b)) a la curva obtenida al intersectar graf f con el plano x−a y−b = . v1 v2

3.3.

Derivada o Diferencial de una funci´ on

Dado que la generalizaci´ on de derivada, mediante l´ımite del cociente incremental, no es una buena deﬁnici´ on para funciones de varias variables, veamos si la interpretaci´ on geom´etrica de la derivada como la aplicaci´ on lineal, expresada en 3.1, que mejor aproxima la funci´ on, es decir que cumpla l´ım

h→0

f(a + h) − f(a) − Ta (h) =0 h

admite una mejor generalizaci´ on para funciones de varias variables.

3.3.1.

Concepto de Diferencial. Propiedades

Vamos a generalizar la idea de derivada de una funci´ on como la aplicaci´ on lineal que mejor aproxima la funci´ on. Deﬁnici´ on 3.4 Sea f : A ⊆ Rn → Rm , donde A es un abierto, y a ∈ A. Se dice que f es diferenciable o derivable en a si existe una aplicaci´ on lineal Ta : Rn → Rm que cumpla la condici´ on de tangencia que puede expresarse de cualquiera de las formas siguientes: 1.

f (a + h) = f (a) + Ta (h) + Ra (h) donde Ra(h) = o(h) cuando h → 0.

2.

l´ım

3.

h→0

f (a + h) − f (a) − Ta (h) = 0. h

f (x) = f (a) + Ta (x − a) + o(x − a) cuando x → a, donde se ha hecho x = a + h.

En tal caso se denomina diferencial o derivada de f en a a la aplicaci´ on lineal Ta que representaremos por f (a) o Df(a). Trataremos ahora de obtener esta aplicaci´ on lineal o diferencial y determinar su matriz asociada. Proposici´ on 3.2 Sea f : A ⊆ Rn → Rm , donde A es un abierto. Si f es diferenciable en a ∈ A entonces: 1.

Existen todas las derivadas parciales de f en a. Ademas la matriz asociada a la diferencial en las bases can´ onicas respectivas es la matriz jacobiana Jf (a).

2.

Existen todas las derivadas direccionales de f en a y f (a, v) = Df (a)(v) = Jf (a)v. ( Dem. )

1. Por ser f diferenciable en a, teniendo en cuenta la deﬁnici´ on (3.4), existe Df (a): Rn → Rm que tendr´ a como matriz asociada   t11 . . . t1n ..  . T (a) =  .. . tm1

. . . tmn

al ser diferenciable se ha de cumplir la condici´on de tangencia es decir l´ım

h→0

f (a + h) − f (a) − Df (a)(h) =0 ⇒ h

l´ım

h→0

f (a + h) − f (a) − T (a)(h) =0 h

22

lo que implica

l´ım

     f1 (a + h) f1 (a) t11    ..   .. ..  − . − . . fm (a + h) t fm (a) m1

   t1n h1 ..   ..  . . hn . . . tmn ...

h

h→0

=0

que ha de ser para todo h, en particular si hacemos h = kei donde ei es el vector correspondiente de la base can´ onica de Rn se tiene

l´ım

      f1 (a + kei ) f1 (a) kt1i    ..   ..  .. − −     . . . fm (a + kei ) ktmi fm (a) kei

k→0

=0

y para cada j, con 1 ≤ j ≤ m se tiene fj (a + kei ) − fj (a) − ktji =0 l´ım k→0 k es decir fj (a + kei ) − fj (a) fj (a + kei ) − fj (a) ∂fj l´ım (a) ⇒ T (a) = Jf (a) − tji = 0 ⇒ tji = l´ım = k→0 k→0 k k ∂xi Queda demostrado que si una funci´ on es diferenciable su matriz asociada es la matriz Jacobiana. Comentarios : Es obvio que tomando otras derivadas direccionales en a que no fueran seg´ un los vectores de la base can´onica de Rn se obtendr´ıa otra matriz asociada a la aplicaci´ on lineal Df (a). La matriz jacobiana Jf (a) es pues la matriz asociada a la diferencial referida a la base can´ onica. Obs´ervese que los coeﬁcientes de la matriz jacobiana son n´ umeros cuyo valor, en general, cambia al cambiar de punto. Esto pone de maniﬁesto que la aplicaci´ on diferencial depende del punto en cuesti´ on. N´ otese que esta proposici´on asegura la unicidad de la diferencial, ya que queda determinada por las derivadas parciales. 2. Igualmente aplicando la condici´ on de tangencia con h = kv y si tenemos en cuenta que Df (a) es lineal se tiene f (a + kv) − f (a) − Df (a)(kv) f (a + kv) − f (a) − kDf (a)(v) = l´ım =0 l´ım k→0 k→0 kv kv lo que implica f (a + kv) − f (a) − kDf (a)(v) f (a + kv) − f (a) − kDf (a)(v) 1 =0 l´ım = l´ım k→0 kv v k→0 k y por tanto f (a + kv) − f (a) Df (a)(v) = l´ım k→0 k Queda demostrado que si una funci´ on es diferenciable existen sus derivadas direcionales y se pueden calcular aplicando la Df (a) a la direcci´on v. En ambos casos los reciprocos no tienen por qu´e ser ciertos.

23

Ejemplo 3.4 1.

Veamos una funci´ on que tiene sus derivadas parciales definadas en un punto y sin embargo no es diferenciable en dicho punto. Sean f(x, y) = x1/3 y1/3 y a = (0, 0). Las derivadas parciales de f en a son (vease el ejemplo del apartado 3.1): ∂f f(t, 0) − f(0, 0) 0 f(0, t) − f(0, 0) 0 ∂f (0, 0) = l´ım = l´ım = 0, (0, 0) = l´ım = l´ım = 0 t→0 t→0 t t→0 t→0 t ∂x t ∂y t pero no es diferenciable por no cumplirse la condici´ on de tangencia, ya que

h1 f(h) − f(0, 0) − 0 0 1/3 1/3 h2 h h 1 2 = l´ım l´ım h→0 h (h1 ,h2 )→(0,0) h21 + h22 que no vale 0 dado que los l´ımites direccionales valen 1/3

h (mh1 )1/3 = ±∞ l´ım f(h1 , mh1 ) = 1 2 h1 →0 h1 + (mh1 )2 2.

Una funci´ on que tiene sus derivadas direccionales definidas en un punto que no es diferenciable en dicho punto.  x3  si(x, y) = (0, 0) Sean la funci´ on f(x, y) = , y v = (v1 , v2 ). Las derivadas direcionales de x2 + y 2  0 si(x, y) = (0, 0) f en el punto (0, 0) seg´ un v son

f (0, v) = l´ım

t→0

f(tv) − f(0, 0) = l´ım t→0 t

t3 v13 −0 v3 + t2 v22 = 2 1 2 t v1 + v2

t2 v12

∂f ∂f (0, 0) = f (0, e1 ) = 1 y (0, 0) = f (0, e2 ) = 0. ∂x ∂y Veamos ahora si, f es diferenciable en el punto (0, 0). Aplicando la condici´ on de tangencia se tiene

h1 h31 f(h) − f(0, 0) − 1 0 − h1 2 h2 h1 + h22 l´ım = l´ım h→0 h (h1 ,h2 )→(0,0) h21 + h22

y por tanto

y como si hacemos (h1 , h2 ) = (h, mh) se tiene l´ım f(h, mh) = l´ım

h→0

h→0

−hm2 m2 √ =± |h|(1 + m2 ) 1 + m2 (1 + m2 ) (1 + m2 )

vemos que no existe el l´ımite y por tanto la funci´ on no es diferenciable. Deﬁnici´ on 3.5 f se dice diferenciable si lo es en todo punto de su dominio. Proposici´ on 3.3 1.

Si f : A ⊂ Rn → Rm es diferenciable en a ∈ A, entonces f es continua en a.

2.

olo si lo son cada una de sus componentes fj con f : A ⊆ Rn → Rm es diferenciable en a ∈ A si y s´ 1 ≤ j ≤ m.

24

( Dem. ) 1. Por ser f diferenciable en a existe la aplicaci´on lineal Df (a): Rn → Rm que cumple l´ım

h→0

f (a + h) − f (a) − Df (a)(h) = 0 =⇒ h

l´ım (f (a + h) − f (a) − Df (a)(h)) = 0

h→0

y como la diferencial es una aplici´on lineal l´ım Df (a)(h) = 0, as´ı pues l´ım f (a + h) = f (a), y por tanto f es h→0

h→0

continua en a. 2. Es consecuencia inmediata de la condici´ on de tangencia y las propiedades de l´ımite.

3.3.2.

Aproximaci´ on lineal, hiper-plano tangente

Teniendo en cuenta el apartado 1. de la deﬁnici´ on 3.4, de funci´ on diferenciable, se tiene f (a + h) = f (a) + Df (a)(h) + o(h), Si en esta ecuaci´on hacemos x = a + h se tiene f (x) = f (a) + Df (a)(x − a) + o(x − a) ⇒ f (x) − f (a) − Df (a)(x − a) = o(x − a).

(3.5)

Esto sugiere que f (a) + Df (a)(x − a) es una buena aproximaci´ on de f (x) tenemos as´ı el concepto de aproximaci´on lineal. Proposici´ on 3.4 Sea f diferenciable en a. Se denomina aproximaci´on lineal de f en a, a la aplicaci´ on af´ın x −→ f (a) + Df (a)(x − a) Sea f: R2 → R diferenciable en a = (a1 , a2 ). La ecuacion 3.5 sugiere que el plano: z = f(a) + Df(a)(x − a) = f(a) +

∂f ∂f (a)(x − a1 ) + (a)(y − a2 ) ∂x ∂y

(3.6)

es tangente a la gr´ aﬁca de f en el punto de coordenadas (a, f(a)). Una generalizaci´ on de ´esto es Corolario 3.1 Sea f un campo escalar diferenciable en a la ecuaci´ on del hiper-plano tangente a la gr´ afica de f en el punto de coordenadas (a, f(a)) es xn+1 = f(a) + Df(a)(x − a) = f(a) +

n ∂f (a)(xi − ai ) ∂xi i=1

(3.7)

o, en forma vectorial, x = (a, f(a)) + λ1 (1, 0, . . . ,

3.3.3.

∂f ∂f (a)) + . . . + λn (0, . . . , 1, (a)) ∂x1 ∂xn

Condiciones suficientes de diferenciabilidad

Ya se ha visto, que la existencia de las derivadas parciales de una funci´ on, en un punto, no implica la diferenciabilidad de la funci´ on en dicho punto, ni incluso que sea continua. No obstante imponiedo determinadas condiciones podremos asegura la diferenciabilidad.

25

Teorema 3.1 Sean f : A ⊆ Rn → Rm y a un punto de A, si existen todas las derivadas parciales 1 ≤ i ≤ n y 1 ≤ j ≤ m, en un entorno de a, y son continuas en a, entonces f es diferenciable en a

∂fj ,con ∂xi

( Dem. ) Gracias a la proposici´ on 3.3.2 basta con demostrarlo para funciones escalares. Sean la bola de centro a y radio ε, Bε (a), en la que como sabemos existen las derivadas parciales de f , y h ∈ Rn tal que a + h ∈ Bε (a), se tiene f(a + h) − f(a) = + + + + =

[f(a + h1 e1 ) − f(a)]+ [f(a + h1 e1 + h2 e2 ) − f(a + h1 e1 )]+ [f(a + h1 e1 + h2 e2 + h3 e3 ) − f(a + h1 e1 + h2 e2 )]+ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− [f(a + h1 e1 + ... + hn en ) − f(a + h1 e1 + ... + hn−1 en−1 )] = ∂f ∂f (c1 )h1 + ... + (cn )hn ∂x1 ∂xn

donde c1 = a + λ1 e1 c2 = a + h1 e1 + λ2 e2 cn = a + h1 e1 + ... + λn en y as´ı

con con ... con

0 < λ1 < h1 0 < λ2 < h2 0 < λn < hn

n n

∂f ∂f ∂f (a)hi + (ci ) − (a) hi f(a + h) − f(a) = ∂xi ∂xi ∂xi i=1

i=1

y como las derivadas parciales son continuas en a, se tiene que

l´ım

n ∂f (a)hi f(a + h) − f(a) − ∂xi

h→0

i=1

h

= l´ım

n ∂f ∂f (ci ) − (a) hi ∂x ∂x i i i=1

h→0

n ∂f ∂f =0 (c ) − (a) i h→0 ∂xi ∂xi i=1

h

≤

l´ım

luego f es diferenciable en a. Deﬁnici´ on 3.6 Sea f : A ⊆ Rn → Rm y U ⊂ A. Se dice que f es una funci´ on de clase C1 o tambi´en diferenciable con continuidad en U si f tiene todas sus derivadas parciales definidas y son funciones continuas en U Comentarios 1. Como consecuencia del teorema anterior la funci´on es diferenciable en U . 2. Una funci´ on diferenciable puede no ser de clase C1 .

3.4.

Propiedades de las funciones diferenciables

Las propiedades elementales de la diferenciabilidad son las siguientes: Proposici´ on 3.5 Sean f , g: A ⊆ Rn → Rm funciones diferenciables en a ∈ A y λ ∈ R. Se tiene

26

1.

f + g es diferenciable en a y D(f + g)(a) = Df (a) + Dg(a).

2.

λf es diferenciable en a y D(λf )(a) = λDf (a).

3.

En el caso m = 1 (funciones escalares) fg es diferenciable en a y D(fg)(a) = g(a)Df(a) + f(a)Dg(a).

4.

1 −1 En el caso m = 1 y si f(a) = 0, entonces 1/f es diferenciable en a y D( )(a) = Df(a). f f(a)2

5.

f , g es diferenciable en a y Df , g(a) =

m

(gj (a)Dfj (a) + fj (a)Dgj (a)).

j=1

6.

Existe alg´ un entorno de a (excluido el punto a) donde

f(x) − f(a) esta acotado. x − a

( Dem. ) Ejercicio.

3.4.1.

Regla de la cadena. Aplicaciones

Una de las propiedades de las funciones diferenciables es la generalizaci´ on de la regla de la cadena al caso de varias variables; esto es, la diferenciaci´ on de funciones compuestas. Teorema 3.2 Sean f : A ⊆ Rn → Rm y g: B ⊆ Rm → Rp de forma que f (A) ⊆ B, con A y B abiertos. Supongamos que f es diferenciable en a ∈ A y g es diferenciable en b = f (a) ∈ B. Entonces g ◦ f es diferenciable en a y se tiene D(g ◦ f )(a) = Dg(b) ◦ Df (a) (3.8) ( Dem.)

Que f sea diferenciable en a signiﬁca que f (a + h) = f (a) + Df (a)(h) + R1 (h) con R1 (h) = o(h).

Que g lo sea en b = f(a) signiﬁca que g(b + k) = g(b) + Dg(b)k + T1 (k) con T1 (k) = o(k). Tomando k = f (a + h) − f (a) = f (a + h) − b se tiene g(f (a + h))

= =

g(f (a)) + Dg(b)(f (a + h) − f (a)) + T1 (k) (g ◦ f )(a) + Dg(f (a)) ◦ Df (a)(h) + Dg(f (a))(R1(h)) + T1 (k)

≡

(g ◦ f )(a) + Dg(f (a)) ◦ Df (a)(h) + R1 (h)

pero Dg(f (a))(R1(h)) = o(h) y, como h → 0 ⇒ k → 0, se tiene que T1 (k) = o(h), luego R1 (h) = o(h), lo cual completa la demostraci´on.

Comentarios Si f y g son C k entonces f ◦ g tambi´en lo es. Dado que el segundo miembro de la expresi´on 3.8 es una composici´ on de funciones lineales, en t´erminos de sus matrices se tiene J(g ◦ f )(a) = Jg(f (a))Jf (a) As´ı, si hacemos h = g ◦ f  ∂h1 (a) . . .  ∂x1  ..    ∂hp. (a) . . . ∂x1

y desarrollamos esta expresi´on se tiene    ∂g1 ∂g1 ∂h1 ∂f1 (b) . . . (b) (a) (a)     ∂y ∂y ∂xn m   1   ∂x1 .. .. .. .. =     . . . .     ∂fm ∂gp ∂hp ∂gp (a) (b) . . . (b) (a) ∂xn ∂y1 ∂ym ∂x1

...

...

 ∂f1 (a)  ∂xn  ..   .  ∂fm (a) ∂xn

27

esto es,

∂gk ∂hk ∂fj (a) = (f (a)) (a) (∀i = 1, . . . , n) (∀k = 1, . . . , p) ∂xi ∂yj ∂xi j=1 m

(3.9)

Una aplicaci´ on particular de la regla de la cadena es cambio de variables en ecuaciones diferenciales (veanse ejercicios). La composici´on de dos funciones no diferenciables puede ser diferenciable. En tal caso su diferencial ha de calcularse a partir de la expresi´on de la funci´ on compuesta, ya que no es aplicable la regla de la cadena. Ejemplo 3.5 Sean las funciones

f(x)

=

g(x)

=

x x2

si x ≤ 0 si x ≥ 0

x2 x

si x ≤ 0 si x ≥ 0

ninguna de ellas es diferenciable en el origen, pero su composici´ on (g ◦ f)(x) = x2 s´ı lo es. La mera existencia de las derivadas parciales no garantiza la validez la ecuaci´ on 3.9, puesto que el hecho de que dos funciones tengan derivadas parciales en un punto no asegura que su composici´ on tambi´en las tenga (a menos que la funci´ on sea diferenciable). Ejemplo 3.6 on (g ◦ f )(x) ≡ x2/3. Ambas, f y Sean las funciones g(x, y) ≡ x1/3 y1/3 y f (x) ≡ (x, x) y su composici´ g tienen derivadas parciales en el origen: ∂g (0, 0) = 0 ∂x ∂f1 (0) = 1 ∂x pero su composici´ on no es derivable en el 0.

3.5.

,

∂g (0, 0) = ∂y

0

,

∂f2 (0) ∂x

1

=

Derivadas parciales de orden superior

Sea f : A ⊆ Rn → Rm con A abierto. Supongamos que existen las derivadas parciales ∀x ∈ A. Podemos deﬁnir las funciones derivada parcial D i : A ⊂ Rn a

−→

Rm

−→

∂f (a) ∂xi

que asocian a cada punto a el valor de la respectiva derivada parcial en ese punto ecuaci´on 3.3 se tiene

Si existen

∂f (a) = ∂xi

∂f1 ∂fm (a), . . . , (a) . ∂xi ∂xi

∂f (a). Si recordamos la ∂xi

∂fj (a), 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m y son continuas en A, decimos que f es de clase C 1 en A. ∂xi

Sea f: A ⊆ Rn → R con A abierto, podemos ahora estudiar la existencia de las derivadas parciales y la diferenciabilidad de las funciones ∂f : A ⊂ Rn −→ R ∂xi Esto sugiere la siguiente deﬁnici´ on

28 Deﬁnici´ on 3.7 Sean f: A ⊆ Rn → R, con A abierto, y a ∈ A. Se denomina derivada parcial de segundo orden de f en a respecto a las variables xi y xj a la derivada parcial respecto a xj de la derivada respecto a xi de f en a es decir ∂f ∂f (a1 , ..., aj + t, ..., an) − (a) ∂2f ∂xi ∂xi Dj (Di f)(a) = (a) = l´ım t→0 ∂xj ∂xi t Si la anterior derivada parcial de segundo orden de f existe ∀x ∈ A, se denomina funci´ on derivada parcial de segundo orden de f respecto a las variables xi y xj a la funci´ on ∂2f : A ⊂ Rn ∂xj ∂xi a

−→ −→

R 2

∂ f (a) ∂xj ∂xi

Deﬁnici´ on 3.8 Sea f: A ⊆ Rn → R y a ∈ A, tal que existen todas la derivadas parciales de segundo orden de f en a. Se denomina matriz hessiana de f en a a la matriz n × n que tiene por componentes los valores de estas derivadas parciales:   ∂2f ∂2f (a) ... (a) 2  ∂x1 

2 ∂xn ∂x1   ∂ f(a) . .   Hf(a) = = . .   . ∂xj ∂xi 1≤i≤n  ∂ 2 f.  2 f ∂ 1≤j≤n (a) . . . (a) ∂x1 ∂xn ∂x2n Hf(a) es una matriz cuadrada y su determinante se denomina hessiano. La deﬁnici´ on de derivada parcial se puede iterar sucesivamente, obteni´endose as´ı todas las denominadas derivadas parciales de orden k de f. Esto es

Di1 ... Dik f(a) = .

∂k f (a) ∂xi1 . . . ∂xik

Entonces, atendiendo a la continuidad de estas funciones se deﬁne: Deﬁnici´ on 3.9 Sean f: A ⊆ Rn → R y A abierto. f es una funci´ on de clase Ck , k ∈ N en A si existen todas las derivadas parciales de orden ≤ k de f y son funciones continuas en A on de clase Ck en A, ∀k ∈ N. Se dice que f es una funci´ on de clase C∞ en A si f es una funci´ Proposici´ on 3.6 Si una funci´ on es de clase C k en A las derivadas parciales de orden k − 1 son funciones diferenciables en A. ( Dem. ) Basta considerar el teorema 3.1 En particular, se denominan derivadas cruzadas a las derivadas parciales de orden superior obtenidas derivando respecto a las mismas variables pero en orden diferente. Comentario : El orden en que se deriva para obtener las derivadas parciales de orden superior es relevante, ya que no siempre se cumple que las derivadas cruzadas sean iguales.

29

Ejemplo 3.7

 x2 − y 2    xy 2 x + y2 La funci´ on f(x, y) =    0

si (x, y) = (0, 0) si (x, y) = (0, 0)

tiene derivadas parciales primeras en todo su dominio y valen:  x4 y + 4x2 y3 − y5   si (x, y) = (0, 0)   (x2 + y2 )2 ∂f =  ∂x    l´ım f(t, 0) − f(0, 0) = 0 si (x, y) = (0, 0) t→0 t  5 3 2 x − 4x y − xy4   si (x, y) = (0, 0)   (x2 + y2 )2 ∂f =  ∂y    l´ım f(0, t) − f(0, 0) = 0 si (x, y) = (0, 0) t→0 t las derivadas parciales cruzadas de segundo orden son  x6 − y6 + 9x4 y2 − 7x2 y4   si (x, y) = (0, 0)   (x2 + y2 )3   2 ∂ f = ∂f ∂f  ∂x∂y  (t, 0) − (0, 0)    ∂y  l´ım ∂y = 1 si (x, y) = (0, 0) t→0 t  x6 − y6 + 9x4 y2 − 7x2 y4   si (x, y) = (0, 0)   (x2 + y2 )3   2 ∂ f =  ∂y∂x ∂f ∂f   (0, t) − (0, 0)   ∂x  l´ım ∂x = −1 si (x, y) = (0, 0) t→0 t Es decir que

3.5.1.

∂2f ∂2f (0, 0) = (0, 0) ∂y∂x ∂x∂y

Teorema de Schwarz

Vamos a estudiar a continuaci´on bajo qu´e condiciones se puede garantizar la igualdad de las derivadas cruzadas o, lo que es lo mismo, cu´ando la matriz hessiana es sim´etrica. La respuesta a esta cuesti´on la da el siguiente teorema: Teorema 3.3 (de Schwarz): Sean f: A ⊆ Rn → R, con A abierto, y a ∈ A. Supongamos que f es C 1 , y que las derivadas parciales Di f, Dj f: A → R son diferenciables en a entonces las derivadas parciales cruzadas son iguales ∂2f ∂2f (a) = (a) o Dj Di f(a) = Di Dj f(a) (∀i, j) ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi ( Dem. ) Por simplicidad haremos la demostraci´ on para una funci´ on f: A ⊂ R2 → R y consideraremos el origen de coordenadas, a = (0, 0). Sea F : R → R deﬁnida por F (h) = f(h, h) − f(h, 0) − f(0, h) + f(0, 0) hemos de ver que l´ım tanto

∂2f ∂2f (0, 0) como (0, 0) y por tanto las derivadas cruzadas coinciden en (0, 0). ∂x∂y ∂y∂x

h→0

F (h) es h2

30 Sea G: R → R deﬁnida por G(x) = f(x, h) − f(x, 0), entonces F (h) = G(h) − G(0) y como f es de clase C 1 , G es derivable, con derivada continua, y por el teorema del valor medio, existe un c tal que 0 < |c| < |h| que satisface

F (h) = hG (c) = h

∂f ∂f (c, h) − (c, 0) ∂f ∂f F (h) ∂x ∂x = (c, h) − (c, 0) ⇒ = 2 ∂x ∂x h h

∂f ∂2f ∂f ∂2f ∂f ∂f ∂2f (c, h) − (0, 0) − c 2 (0, 0) − h (0, 0) (c, 0) − (0, 0) − c 2 (0, 0) ∂2f ∂x ∂x ∂x ∂y∂x ∂x ∂x = − ∂x + (0, 0) h h ∂y∂x Por ser

F (h) ∂2f ∂f = diferenciable en (0, 0) puede deducirse que l´ım (0, 0) 2 h→0 h ∂x ∂y∂x

Siguiendo un razonamiento an´ alogo a partir de una funci´ on H: R → R deﬁnida por H(x) = f(h, y)−f(0, y) F (h) ∂2f llegamos a l´ım = (0, 0). h→0 h2 ∂x∂y Un corolario inmediato de este teorema es: on de clase Ck en A, entonces Corolario 3.2 Sean f: A ⊆ Rn → R,con A abierto y a ∈ A. Si f es una funci´ las derivadas cruzadas de orden l ≤ k se pueden calcular derivando en cualquier orden. Esto es ∂l f ∂lf (a) = (a) ∂xi1 . . . ∂xil ∂xiπ(1) . . . ∂xiπ(l) para cualquier permutaci´ on π de {1, ...l}. ( Dem. ) Inmediata si se tiene en cuenta la proposici´ on 3.6.

3.6.

Teorema de la funci´ on inversa

Este resultado es la generalizaci´on del teorema del mismo nombre en el caso de una variable. Teorema 3.4 Sean f : A ⊂ Rn → Rn , A abierto y a ∈ A, tal que: 1.

f es de clase C1 en A.

2.

det Jf (a) = 0, es decir con jacobiano no nulo en a.

Entonces existen unos abiertos V y W , que contienen a a y a f (a) respectivamente, tales que f : V → W es biyectiva. La inversa f −1 : W → V es de clase C 1 , o de clase C k si f lo es. Adem´ as para todo y ∈ W se tiene ! " −1 Df −1 (y) = Df (f −1(y)) ( Dem. ) V´ease C´alculo en variedades de M. Spivak.

31

Comentarios : Obs´ervese que ´este es un teorema de existencia local pues, en general, no puede asegurarse que la funci´ on inversa exista globalmente (p. ej., la funci´ on y = sin x s´olo tiene inversas locales). El teorema da condiciones para que exista (loc´ almente) la inversa de una funci´ on, asegura su diferenciabilidad y permite calcular su diferencial sin necesidad de conocer expl´ıcitamente la expresi´on de la funci´ on inversa. La condici´ on de det Jf (a) = 0 no es necesaria para la existencia de funci´ on inversa, pero s´ı lo es para que f −1 sea diferenciable. Deﬁnici´ on 3.10 Un difeomorﬁsmo o cambio de variables es una aplicaci´ on biyectiva ϕ: U → V entre dos abiertos de Rn , tal que ϕ y ϕ−1 son de clase C 1 . El teorema de la funci´ on inversa aﬁrma que si f es de clase C k , k ≥ 0, con jacobiano no nulo entonces f es localmente un difeomorfismo. Ejemplo 3.8 1.

Coordenadas polares. La aplicaci´ on: ϕ: (0, +∞) × (0, 2π) −→

−→ (r cos φ, r sin φ) = (x, y)

(r, φ) donde Dϕ(r, φ) =

∂(x, y) = ∂(r, φ)

R2 − {(x, 0), x ≥ 0}

cos φ sin φ

−r sin φ r cos φ

con jacobiano J(r, φ) = r

. 2.

Coordenadas cil´ındricas. La aplicaci´ on: ϕ: (0, +∞) × (0, 2π) × R

−→ (r cos φ, r sin φ, z) = (x, y, z)

(r, φ, z) donde

R3 − {(x, 0, z), x ≥ 0}

−→

 cos φ −r sin φ ∂(x, y, z)  Dϕ(r, φ, z) = = sin φ r cos φ ∂(r, φ, z) 0 0

 0 0  con jacobiano J(r, φ, z) = r 1

. 3.

Coordenadas esf´ericas. La aplicaci´ on: R3 − {(x, 0, z), x ≥ 0}

ϕ: (0, +∞) × (0, π) × (0, 2π) −→ (r, θ, φ)

−→ (r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ) = (x, y, z)

donde

  sin θ cos φ r cos θ cos φ −r sin θ sin φ ∂(x, y, z)  Dϕ(r, θ, φ) = = sin θ sin φ r cos θ sin φ r sin θ cos φ  con jacobiano J(r, θ, φ) = r 2 sin θ ∂(r, θ, φ) cos θ −r sin θ 0 . Se ha utilizado la notaci´ on

   ∂(f1 , . . . , fn ) = ∂(x1 , . . . , xn )  

∂f1 ∂x1 .. . ∂fn ∂x1

...

...

∂f1 ∂xn .. . ∂fn ∂xn

     

32

3.7.

Teorema de la funci´ on impl´ıcita

Es frecuente dar la ecuaci´ on de una curva en R2 mediante una expresi´ on del tipo F (x, y) = 0, o la de 3 una superﬁcie en R mediante F (x, y, z) = 0 y si generalizamos en Rn una hipersuperﬁcie por medio de una expresi´on del tipo F (x1 , . . . , xn ) = 0, denominada expresi´on impl´ıcita de la hipersuperﬁcie. Un problema que se plantea es si es posible describir la hiper-superficie por medio de una expresi´on expl´ıcita del tipo xn = f(x1 , . . . xn−1 ). Esto no siempre es posible como se pone de maniﬁesto con algunos ejemplos sencillos: Ejemplo 3.9 Sea la funci´ on F : R2 → R definida por F (x, y) = x2 + y2 − 1 y considerese los puntos de R2 que satifacen F (x, y) = 0, es decir la curva de nivel 0 de F . Se trata como es sabido de la circunferencia de centro (0, 0) y radio 1 cuya ecuaci´ on es x2 + y2 − 1 = 0. Si en dicha ecuaci´ on despejamos la variable y como funci´ on de x se obtienen las dos funciones que definen las semicircunferencias en forma explicita y = f1 (x) e y = f2 (x), con f1 , f2 : R → R donde f1 (x) = 1 − x2 y f2 (x) = − 1 − x2 Se dice que estas dos funciones estan definidas implicitamente por la ecuaci´ on F (x, y) = 0, adem´ as a cada punto de la circunferencia le corresponde una de las dos funciones y ambas funciones son diferenciables, en alg´ un abierto que contenga el punto, excepto en los puntos (±1, 0) como se puede comprobar gr´ aficamente. Otro ejemplo distinto al planteado anteriormente lo constituye un sistema lineal de m ecuaciones con n + m variables 0 = Ax + By + C (3.10) donde x ≡ (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , y ≡ (y1 , . . . , ym ) ∈ Rm , A y B son matrices reales de o ´rdenes m × n y m × m respectivamente y C es una matriz columna de m componentes. El problema es si se puede expresar el vector y como funci´ on de x. Para ello la c.n.s. es que det B = 0, en cuyo caso y = −B −1 (Ax + C). que se puede expresar como y = f (x). Se dice que f es la funci´ on impl´ıcita definida por la ecuaci´ on 3.10.

∂F Obs´ervese que si hacemos F(x, y) = Ax + By + C entonces B = . ∂y Un planteamiento general del problema es: Si tenemos la funci´ on F: Rn × Rm → Rm deﬁnida por F(x, y) = 0, con x ∈ Rn e y ∈ Rm es decir el sistema de m ecuaciones   F1 (x1 , ..., xn, y1 , ..., ym) = 0 ···  Fm (x1 , ..., xn, y1 , ..., ym) = 0 bajo qu´e condiciones se puede asegurar que podemos expresar las variables y en funci´ on de las x o lo que es lo mismo cu´ando el sistema anterior deﬁne la funci´ on impl´ıcita y = f (x). El siguiente teorema da condiciones suﬁcientes para poder asegurar la existencia (local) de este tipo de funciones, analizando, adem´ as, su diferenciabilidad. Teorema 3.5 Sean

F: W ⊆ Rn × Rm (x, y)

−→

Rm

−→ (F1 (x, y), . . . , Fm (x, y))

donde W es un abierto, F una funci´ on de clase C 1 y (a, b) ∈ W tal que F(a, b) = 0. Supongamos que la diferencial de F(x, y) respecto de las variables y ∈ Rm , D2 F(x, y), es inversible en el punto (a, b), es decir det (D2 F(x, y)) = 0.

33 Entonces existen abiertos A ⊂ Rn , a ∈ A, y B ⊂ Rm , b ∈ B con A × B ⊂ W y una u ´nica funci´ on f : A → B de clase C 1 tales que si (x, y) ∈ A × B, F(x, y) = 0 si y solo si y = f (x). Adem´ as para todo x ∈ A se tiene −1 Df (x) = − [D2 F(x, f (x))] D1 F(x, f (x)) (3.11) 

 ∂F1 ∂F1 ∂F1 ∂F1 ... ...  ∂x1 ∂xn ∂y1 ∂ym    ..  = ( D1 F . . .  DF =  . .. ..  . .  ∂Fm ∂Fm ∂Fm ∂Fm  ... ... ∂x1 ∂xn ∂y1 ∂ym

∂Fj ∂Fj D1 F(x) = (x) 1≤j≤m y D2 F(x) = (x) ∂xi ∂yi

donde

con

1≤i≤n

D2 F )

1≤j≤m 1≤i≤m

La funci´ on f se denomina funci´ on impl´ıcitamente deﬁnida por F. ( Dem. ) Para la demostraci´ on total v´ease M. Spivak, C´alculo en variedades. Vamos a demostrar s´olamente la ecuaci´on 3.11 Supongamos que la funci´on F: W ⊆ Rn × Rm → Rm satisface las hip´otesis del teorema y que F(a, b) = 0 y existen A ⊂ Rn , a ∈ A y B ⊂ Rm , b ∈ B y una funci´ on impl´ıcita f : A → B tal que ∀x ∈ A se tiene F(x, f (x)) = 0. Vamos a calcular Df (x). Consideremos la siguiente composici´on de funciones A

G −→

A×B

F −→

Rm

x

→

(x, f (x))

→

F(x, f (x))

Observemos que la funci´on compuesta F ◦ G es la funci´ on nula en A, F ◦ G = 0. Luego D(F ◦ G) ser´a la matriz nula de orden m × n, y por la regla de la cadena tendremos 0m×n = D(F ◦ G)(x) = DF(G(x)) ◦ DG(x) Escribiendo las matrices jacobianas correspondientes se tiene  

0m×n

∂F1 (G(x))  ∂x1  .. =   ∂Fm . (G(x)) ∂x1

...

...

∂F1 (G(x)) ∂xn .. . ∂Fm (G(x)) ∂xn

   ∂F1 0 (G(x))   ∂ym  ..  ∂f1  .  (x)   ∂Fm ∂x1 (G(x))  ..  ∂ym  .  ∂f m (x) ∂x1

∂F1 (G(x)) . . . ∂y1 .. . ∂Fm (G(x)) . . . ∂y1

que se puede expresar

0m×n = ( D1 F D2 F )

1 .. .

I Df

... ... ...

...

0 .. .



    1     ∂f1 (x)   ∂xn  ..   .  ∂fm (x) ∂xn

donde I es la matriz unidad de orden n × n, ecuaci´on que desarrollada queda 0 = D1 F I + D2 F Df y si multiplicamos por [D2 F]−1 y despejamos Df se tiene Df = −[D2 F]−1 D1 F

(3.12)

34

Comentarios La existencia de la funci´ on impl´ıcita es u ´ nicamente local, el teorema da condiciones suﬁcientes para asegurar su diferenciabilidad y permite calcular su diferencial sin necesidad de conocer expl´ıcitamente dicha funci´ on Corolario 3.3 Las derivadas de la funci´ on impl´ıcita se calculan aplicando la regla de la cadena a la ecuaci´ on F(x, f (x)) = 0 y son las soluci´ ones del sistema lineal de m × n ecuaciones: m ∂Fk ∂Fk ∂fj 0= + (k = 1, . . . , m ; i = 1, . . . , n) ∂xi (x,f (x)) ∂yj ∂xi x j=1 (x,f (x))

que es otra forma de expresar la ecuaci´on 3.12

Cap´ıtulo 4

Aplicaciones geom´ etricas de la derivaci´ on. 4.1.

Gradiente de un campo escalar.

Salvo menci´ on en contra consideraremos los dominios de las funciones abiertos.

4.1.1.

Definici´ on y propiedades.

Deﬁnici´ on 4.1 Sea f: A ⊆ Rn → R una funci´ on diferenciable y a ∈ A. Se denomina gradiente de f en a al vector de Rn cuyas componentes son los valores de las derivadas parciales de f en a

∂f ∂f grad f(a) ≡ (a), . . . , (a) ∂x1 ∂xn Se denomina gradiente de f a la funci´ on vectorial que asigna a cada punto el gradiente de la funci´ on en dicho punto: gradf : A ⊆ Rn −→ Rn →

a

grad f(a)

Comentarios Se denota con el operador nabla ∇ el gradiente, es decir gradf = ∇f donde

∂ ∂ ∇= , . . ., ∂x1 ∂xn Para deﬁnir el gradiente bastar´ıa en principo con la existencia de las derivadas parciales pero en la mayoria de las aplicaciones es necesario que la funci´ on sea diferenciable. Proposici´ on 4.1 Sean f y g: A ⊂ Rn → R funciones escalares diferenciables en A. Se cumple: ∇(f + g) = ∇f + ∇g. ∇(λf) = λ∇f, ∀λ ∈ R. ∇(fg) = f∇g + g∇f. ( Dem. )

Se obtienen de la deﬁnici´ on

35

36

4.1.2.

Interpretaci´ on geom´ etrica del gradiente

Si recordamos que una funci´ on diferenciable en el punto a tiene sus derivadas direccionales deﬁnidas, seg´ un cualquier vector v, en dicho punto y valen f (a, v) = J(a)v es facil comprobar que se cumple Dv f(a) = f (a, v) = J(a)v = ∇f(a), v = ∇f(a)v cos(∇f(a), v)

(4.1)

lo que permite establecer la siguiente proposici´ on on diferenciable en a tal que ∇f(a) = 0 y Proposici´ on 4.2 Sean f: A ⊆ Rn → R, a ∈ A y f una funci´ n v ∈ R un vector unitario. Entonces: 1.

grad f(a) indica la direcci´ on de m´ aximo crecimiento de la funci´ on y ´este vale grad f(a), consecuentemente −∇f(a) es la direcci´ on de m´ınimo crecimiento y vale −grad f(a)

2.

La derivada direccional de f en a es nula si, y s´ olo si, dicha direcci´ on es perpendicular a grad f(a)

( Dem. ) 1. Si observamos la ecuaci´on 4.1 vemos que f (a, v) presenta un m´ aximo si cos(∇f(a), v) = 1 lo que ocurre si ∇f(a) y v tienen la misma direcci´ on y sentido. 2. El mismo razonamiento. Una consecuencia del segundo apartado de la proposici´ on anterior es el siguiente cororlario. Corolario 4.1 Sea f: A ⊆ Rn → R una funci´ on diferenciable en a ∈ A y tal que grad f(a) = 0. Entonces grad f(a) es perpendicular al conjunto de nivel (curva, superficie, ...) de la funci´ on, que pasa por a. ( Dem. ) Es un resultado que se obtiene a partir del segundo apartado de la proposici´ on anterior. En efecto, basta considerar que la funci´ on es constante sobre el conjunto de nivel y, por tanto, si a es un punto de la superﬁcie de nivel, Dv f(a) = 0 para cualquier vector v tangente al conjunto de nivel en el punto a. Como consecuencia si f es un campo escalar en Rn dado que ∇f(a) es un vector ortogonal al conjunto de nivel que pasa por a, la ecuaci´on de la tangente (recta, plano, ...) a dicho conjunto de nivel es x − a, ∇f(a) = 0, con x = (x1 , ..., xn)

(4.2)

Ejemplo 4.1 √ 2 Sea la funci´ f(x, y) = 2x2 + y2 . El gradiente de f en el punto (1, 3) √ es el √on f: R → R definida por √ vector (4, 2 3), por tanto el vector (2, 3) es ortogonal a la curva 2x2 + y2 = k que pase por (1, 3), √ es decir a la elipse 2x2 + y2 = 5 y la ecuaci´ on de la recta tangente a dicha elipse en (1, 3) es √ √ √ (x − 1, y − 3), (2, 3) = 0 ⇒ 2x + 3y − 5 = 0 y la recta normal es:

√ √ √ x−1 y− 3 (x, y) = (1, 3) + λ(2, 3) ⇒ = √ 2 3

Para determinar el plano tangente al hiperboloide x2 +y2 −z 2 = 4 en el punto P = (2, 1, 1) consideramos la funci´ on f(x, y, z) = x2 + y2 − z 2 − 4 cuya superficie de nivel, que pasa por P , es dicho hiperboloide y por tanto el vector ∇f(2, 1, 1) = (4, 2, −2) es ortogonal a esta superficie y as´ı su plano tangente es (x − 2, y − 1, z − 1), (2, 1, −1) = 0 ⇒ 2x + y − z − 4 = 0 y su recta normal es (x, y, z) = (2, 1, 1) + λ(2, 1 − 1) ⇒

x−2 y−1 z−1 = = 2 1 −1

37

4.2.

Curvas parametrizadas en

R

n

Aunque en general estudiaremos u ´ nicamente curvas en R2 y R3 el concepto de curva param´etrica es n f´ acilmente generalizable en R . Deﬁnici´ on 4.2 Se denomina curva parametrizada en Rn a una funci´ on c:

I⊆R → t

Rn

→ c(t) = (x1 (t), . . . , xn (t))

donde I es un intervalo de R. Comentarios: A veces se denomina curva a la imagen de esta aplicaci´on, esto es, a su representaci´on gr´ aﬁca, y parametrizaci´ on a la propia funci´ on c. Para una curva dada no existe una u ´nica parametrizaci´ on. En algunos casos no es posible dar una parametrizaci´ on de toda la curva a la vez y hay que hacerlo por trozos. Ejemplo 4.2 c(t) = (t, f(t)), t ∈ [a, b] es un parametrizaci´ on de la gr´ afica de la funci´ on f(x) con x comprendido entre a y b. Una parametrizaci´ on de una circunferencia de radio a es c(t) = (a cos t, a sin t), t ∈ [0, 2π). c(t) = (2, 1, 3) + t(1, 3, 1) = (2 + t, 1 + 3t, 3 + t), t ∈ (−∞, ∞) es una parametrizaci´ on de la recta que pasa por el punto (2, 1, 3) y tiene la direcci´ on del vector (1, 3, 1). c(t) = (cos t, sin t, cos t + sin t), t ∈ [0, 2π) parametriza la curva intersecci´ on del cilindro x2 + y2 = 1 con el plano z = x + y. Atendiendo a las caracter´ısticas geom´etricas de las curvas se puede establecer la siguiente terminolog´ıa: Deﬁnici´ on 4.3 1.

Una curva es plana si su representaci´ on gr´ afica est´ a en R2 . En caso de no ser as´ı, la curva se denomina alabeada.

2.

Una curva es simple si su representaci´ on gr´ afica no tiene autointersecciones. Respecto de la parametrizaci´ on, ´esto equivale a que c sea inyectiva.

3.

Una curva es conexa si su representaci´ on gr´ afica tiene una s´ ola rama. Su parametrizaci´ on, es una funci´ on continua.

4.

Una curva es cerrada si es conexa, I = [a, b] es un intervalo cerrado y c(a) = c(b).

5.

Una curva es de Jordan si es cerrada y simple en I = (a, b).

6.

Una curva parametrizada es diferenciable si lo es la funci´ on c que la define. La curva es diferenciable a trozos si I se puede descomponer en un n´ umero finito de subintervalos en el interior de cada uno de los cuales la curva es diferenciable.

7.

Una curva es param´etricamente regular si c es de clase C 1 en IntI = (a, b) y c (t) = 0, ∀t ∈ (a, b). An´ alogamente se puede definir param´etricamente regular a trozos.

38

Comentarios Una curva puede ser param´etricamente regular (resp. diferenciable) en una parametrizaci´ on y no serlo en otra.

4.2.1.

Vector tangente a una curva. Orientaci´ on

Deﬁnici´ on 4.4 Sea c: I ⊆ R → Rn una curva parametrizada regular en t0 ∈ I con I abierto. 1.

Se denomina vector tangente a la curva en el punto c(t0 ) al vector c (t0 ) = (c1 (t0 ), . . . , cn (t0 ))

2.

Se denomina recta tangente a la curva en el punto c(t0 ) a la recta que pasa por dicho punto y tiene como vector director el vector tangente c (t0 ). Su ecuaci´ on vectorial es x = c(t0 ) + λc (t0 ) ⇒ (x1 , . . . , xn) = (c1 (t0 ), . . . , cn (t0 )) + λ (c1 (t0 ), . . . , cn (t0 )) (λ ∈ R)

(4.3)

si todas las componentes del vector tangente son no nulas, otra forma de la recta tangente es xn − cn (t0 ) x1 − c1 (t0 ) = ... = c1 (t0 ) cn (t0 ) 3.

Si I ⊂ R2 se denomina recta normal a la curva en el punto c(t0 ) a la recta que pasa por dicho punto y es perpendicular al vector tangente c (t0 ). Su ecuaci´ on vectorial es, por consiguiente, x − c(t0 ), c (t0 ) = 0 ↔ (x − c1 (t0 ))c1 (t0 ) + (y − c2 (t0 ))c2 (t0 ) = 0

4.

Si I ⊂ R3 se denomina plano normal a la curva en el punto c(t0 ) al plano que pasa por dicho punto y es perpendicular al vector tangente c (t0 ). Su ecuaci´ on vectorial es, por consiguiente, x − c(t0 ), c (t0 ) = 0 ↔ (x − c1 (t0 ))c1 (t0 ) + (y − c2 (t0 ))c2 (t0 ) + (z − c3 (t0 ))c3 (t0 ) = 0

5.

(4.4)

(4.5)

Si c1 (t) es otra curva regular en I y tal que c(t0 ) = c1 (t1 ), es decir se cortan en un punto. Se llama angulo de dos curvas al formado por sus vectores tangentes en el punto de corte ´ α = arc cos

c (t0 ), c1 (t1 ) c (t0 ) c1 (t1 )

Comentarios Obs´ervese que el vector c (t0 ) es efectivamente tangente a la curva en el punto c(t0 ) ya que, por ser la curva diferenciable en ´el, se veriﬁca la condici´on de tangencia que es justamente l´ım

λ→0

c(t0 + λ) − c(t0 ) − c (t0 )λ =0 λ

Sea c: I → Rn una parametrizaci´ on de una curva. El intervalo I puede ser interpretado como un intervalo de tiempo y el vector c(t) como la posici´on de una particula en el instante t. De esta forma puede hablarse de orientaci´ on o sentido de recorrido de la curva como su recorrido a lo largo del tiempo. Otra parametrizaci´ on de la curva puede dar lugar a la orientaci´ on contraria. Dos aplicaciones de la regla de la cadena relacionadas con este tema son las siguientes

39 Proposici´ on 4.3 Sean c: I ⊆ R → Rn una curva parametrizada en Rn diferenciable en t0 y f : Rn → Rm una funci´ on diferenciable en c(t0 ), es decir se tiene el esquema f ◦c

c : I ⊆ R −→ t

→

Rn

f −→

Rm

(c1 (t), . . . , cn (t))

→

(f ◦ c)(t)

Entonces 1.

Se denomina transformada de la curva c por la funci´ on f a en el punto t0 es:  ∂f1 (c(t0 )) . . .  ∂x1  .. α (t0 ) = J(f ◦ c)(t0 ) = Jf (c(to ))Jc(t0 ) =    ∂fm . (c(t0 )) . . . ∂x1

la curva α = f ◦ c, y su vector tangente  ∂f1 (c(t0 ))  c (t )   α (t )   0 0 ∂xn   1 .   1.  ..  .  =  . . .   .  ∂fm cn (t0 ) αm (t0 ) (c(t0 )) ∂xn

es decir, el vector tangente a la curva α es el transformado del vector tangente a c por la aplicaci´ on Dfc(t0 ). 2.

Si m = 1 la variaci´ on del campo escalar f a lo largo de la curva c en el punto c(to ) es  

c1 (t0 ) ∂f1 ∂f1   (c(t0 )) . . . (c(t0 ))  ...  = ∇f(c(t0 )), c (t0 ) (f ◦ c) (to ) = Df(c(to )) ◦ Dc(to ) = ∂x1 ∂xn cn (t0 ) que no es otra cosa que la derivada direccional de la funci´ on f en la direcci´ on del vector tangente a la curva en el punto c(t0 ).

Deﬁnici´ on 4.5 Sean α: I1 → Rn y β: I2 → Rn dos curvas parametrizadas de Rn . Se dice que ambas curvas son regularmente equivalentes, es decir tienen la misma gr´ afica, si existe un difeomorfismo f: I1 → I2 tal que α = β ◦ f. Adem´ as si f (t) > 0, en I1 , entonces ambas parametrizaciones recorren la curva en el mismo sentido, es decir dan la misma orientaci´ on.

I1

4.3.

α - Rn @ f 6 @ β R @ I2

Curvas regulares

En esta secci´ on daremos otras maneras de describir curvas en R2 o R3 . Deﬁniremos tambi´en el concepto de curva regular y lo estudiaremos para las distintas formas de describir una curva. Deﬁnici´ on 4.6 Un subconjunto C ⊂ Rn , n = 2 o 3 se dice que es una curva regular si para cada punto a ∈ C existe un abierto U de Rn , n = 2 o 3, con a ∈ U , y un difeomorfismo ϕ: U → V tal que ϕ(U ∩ C) = V ∩ (R × {0}) si C ⊂ R2

o

ϕ(U ∩ C) = V ∩ (R × {0} × {0}) si C ∈ R3

La curva es por tanto regular si localmente, en cada punto, existe un cambio de variables que la transforme en un trozo de recta.

40

4.3.1.

Curvas en R2

Deﬁnici´ on 4.7 Una curva en R2 viene dada por La gr´ afica de una funci´ on escalar f: A ⊆ R → R; esto es C = graf f = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ A, y = f(x)} Se dice, en este caso, que la curva est´ a dada en forma expl´ıcita. Un conjunto de nivel de una funci´ on escalar F : B ⊆ R2 → R; esto es C = {(x, y) ∈ B | F (x, y) = k}, con k ∈ R Se dice, en este caso, que la curva est´ a dada en forma impl´ıcita. Para el caso en que una curva venga expresada en forma expl´ıcita es decir y = f(x), la regularidad viene dada por la siguiente proposici´ on Proposici´ on 4.4 La gr´ afica de una funci´ on f: I ⊆ R → R, donde I es un abierto, es una curva regular si f es de clase C 1 . ( Dem. )

Basta considerar el cambio de variable ϕ : U ⊆ R2 (x, y)

−→

V

→

(x, y − f(x))

donde U y V son el abierto I × R, y ϕ(U ∩ C) = I × {0} es decir C se transforma en segmentos de recta. La expresi´on de las rectas tangente y normal, a la curva y = f(x), se puede obtener de cualquiera de las siguientes dos formas: Una parametrizaci´ on de dicha curva es α(t) = (t, f(t)) y un vector tangente a la curva, en el punto α(t0 ) = (x0 , y0 ), es α (t0 ) = (1, f (t0 )) y las rectas tangente y normal se determinan como en las escuaciones 4.3 y 4.4 respectivamente. Teniendo en cuenta la ecuaci´ on 3.7 Si tenemos una curva deﬁnida por la ecuaci´ on F (x, y) = 0, una condici´ on suﬁciente para que sea regular nos la proporciona el teorema de la funci´ on ´ımplicita. Proposici´ on 4.5 Sea F de clase C 1 y tal que ∇F (x, y) = (0, 0), ∀(x, y) tal que F (x, y) = 0. Entonces la curva definida en forma ´ımplicita por la ecuaci´ on F (x, y) = 0 es una curva regular. ( Dem. ) Por el teorema de la funci´ on ´ımplicita si ∇F (x, y) = (0, 0) entonces se tiene y = g(x) o x = h(y), seg´ un sea Fy = 0 o Fx = 0 con g y h funciones de clase C 1 , y por tanto la curva es regular por la proposici´ on anterior. Para determinar la ecuaci´ on de las rectas tangente y normal podemos considerar El vector tangente es (1, g (t)) o bien (h (t), 1)). En cada punto, ∇F (p) es perpendicular a la curva, de acuerdo con el corolario 4.1, y obtenemos la expresi´on de la recta tangente mediante la ecuaci´on 4.2.

41

4.3.2.

Curvas en R3

Procederemos de manera an´aloga a lo expuesto para curvas en R2 . Deﬁnici´ on 4.8 Una curva en R3 viene dada por La gr´ afica de un campo vectorial f : I ⊆ R → R2 ; esto es C = graf f = {(x, y, z) ∈ R3 | x ∈ I, y = f1 (x), z = f2 (x)} La intersecci´ on de dos superficies de nivel de funciones continuas F, G: A ⊂ R3 → R C = {(x, y, z) ∈ A | F (x, y, z) = 0, y G(x, y, z) = 0} Proposici´ on 4.6 La gr´ afica de un campo vectorial f : I ⊆ R → R2 es una curva regular en los puntos donde 1 f sea de clase C ( Dem. )

Basta considerar el cambio de variable ϕ :

I × R2

−→

I × R2

(x, y, z)

→

(x, y − f1 (x), z − f2 (x))

que transforma la curva en segmentos de recta. Si tenemos en cuenta que una parametrizaci´ on de la gr´ aﬁca de f es α(t) = (t, f1 (t), f2 (t)), el vector (1, f1 (t), f2 (t)) es tangente a la curva y la ecuaci´ on de la recta tangente a dicha curva en el punto (t0 , f1 (t0 ), f2 (t0 )) es (x, y, z) = (t0 , f1 (t0 ), f2 (t0 )) + λ(1, f1 (t0 ), f2 (t0 )) y el plano normal tiene de ecuaci´ on x − α(t0 ), α (t0 ) = 0 o x − t0 + f1 (t0 )(y − f1 (t0 )) + f2 (t0 )(z − f2 (t0 )) = 0 Si tenemos una curva deﬁnida por la intersecci´ on de dos superﬁcies, F (x, y, z) = 0 y G(x, y, z) = 0, el teorema de la funci´ on impl´ıcita nos proporciona una condici´ on suﬁciente para que sea regular. Proposici´ on 4.7 La curva C = {(x, y, z) ∈ A | F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0} es regular si, la funci´ on vectorial H: A ⊂ R3 → R2 definida por H = (F, G) es de clase C 1 y su matriz jacobiana tiene rango m´ aximo para cada (x, y, z) ∈ A. ( Dem. ) Si el rango de JH es m´aximo, o sea 2, quiere decir que dos de las variables se pueden expresar como funci´ on de la tercera y por tanto los puntos de C se pueden expresar mediante (x, h1(x), h2 (x)) o bien (h3 (y), y, h4 (y)) o (h5 (z), h6 (z), z) y por tanto en cualquiera de los tres casos tendr´ıamos una curva regular por la proposici´ on anterior. Un vector tangente se puede obtener de cualquiera de las dos formas Como aplicaci´on del teorema de le funci´ on ´ımplicita. Supongamos que se tiene Fy (x0 , y0 , z0 ) Fz (x0 , y0 , z0 ) = 0 Gy (x0 , y0 , z0 ) Gz (x0 , y0 , z0 ) entonces

h1 (xo )

h2 (x0 )

 = −

Fy (x0 , y0 , z0 )

Fz (x0 , y0 , z0 )

Gy (x0 , y0 , z0 )

Gz (x0 , y0 , z0 )

y el vector (1, h1(xo ), h2 (x0 ) es tangente a la curva,

−1  



Fx(x0 , y0 , z0 ) Gx(x0 , y0 , z0 )

 

42 Haciendo el producto vectorial ∇F (x0 , y0 , z0 ) ∧ ∇G(x0 , y0 , z0 ) se tiene un vector tangente. (raz´ onese porqu´e) A partir del vector tangente deﬁnimos la recta tangente y el plano normal.

4.4.

Superficies parametrizadas

Deﬁnici´ on 4.9 Una superﬁcie parametrizada en R3 es una funci´ on vectorial σ: D ⊆ R2 (u, v)

−→

R3

→

σ(u, v) = (x1 (u, v), x2 (u, v), x3 (u, v))

Comentarios Es habitual denominar superﬁcie a la imagen de esta aplicaci´ on, esto es, a su representaci´on gr´ aﬁca, S = Im σ, y parametrizaci´ on a la propia funci´ on σ. En algunos casos no es posible dar una parametrizaci´ on de toda la superﬁcie a la vez y hay que hacerlo por trozos. Para una superﬁcie existen inﬁnitas parametrizaciones. Ejemplo 4.3 Plano: σ(u, v) = (u, v, −u − v) con D = {(u, v) | u2 + v2 ≤ 1}. Representa la porci´ on de plano x + y + z = 0 interior al cilindro x2 + y2 ≤ 1. Esfera: σ(u, v) = (R sin u cos v, R sin u sin v, R cos u) con D = (u, v) ∈ [0, π)] × [0, 2π). Representa una esfera de centrada en el origen y radio R. Cono: σ(u, v) = (u sin α cos v, u sin α sin v, u cos α) donde D = (u, v) ∈ [0, a] × [0, 2π). Representa un cono con v´ertice en el origen, abertura α y generatriz de longitud a.

a+b a−b a+b a−b a−b Toro: σ(u, v) = + cos u cos v, + cos u sin v, sin u donde D = 2 2 2 2 2 (u, v) ∈ [0, 2π) × [0, 2π). De manera an´aloga a como se hizo con las curvas, se puede establecer la siguiente terminolog´ıa: Deﬁnici´ on 4.10 Una superificie parametrizada es 1.

Simple si S no tiene autointersecciones esto es equivalente a que σ sea inyectiva.

2.

Diferenciable si lo es σ.

3.

De clase C k si lo es σ. Puede demostrarse que:

Proposici´ on 4.8 Si σ: D ⊆ R2 → R3 es una superficie parametrizada simple entonces toda curva cerrada simple en D tiene como imagen por σ una curva cerrada simple en S = σ(D).

43

Vamos a establecer las siguientes deﬁniciones para superﬁcies parametrizadas: Deﬁnici´ on 4.11 Dada una superficie parametrizada diferenciable σ: D ⊆ R2 → R3 , con D abierto, se definen las funciones vectoriales

∂σ ∂σ ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z Tu (u, v) = = , , , Tv (u, v) = = , , ∂u ∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂v ∂v Sea (u0 , v0 ) ∈ D: 1.

Se denomina producto vectorial fundamental en (u0 , v0 ) respecto a la parametrizaci´ on dada σ a

∂(z, x) ∂(x, y) ∂(y, z) Tu (u0 , v0 ) ∧ Tv (u0 , v0 ) = (u0 , v0 ), (u0 , v0 ), (u0 , v0 ) (4.6) ∂(u, v) ∂(u, v) ∂(u, v) ∂(y, z) yu yv donde = zu zv ∂(u, v)

2.

on considerada si σ(u0 , v0 ) es un punto regular de la parametrizaci´ a) b)

∂σ ∂σ y son continuas en (u0 , v0 ), es decir, σ es de clase C 1 en (u0 , v0 ) y ∂u ∂v Tu (u0 , v0 ) ∧ Tv (u0 , v0 ) = 0, lo que implica Tu (u0 , v0 ) y Tv (u0 , v0 ) linealmente independientes o tembi´en rang Dσ = 2.

Las funciones

En caso contrario, se dice que es un punto singular. 3.

La superficie parametrica es regular si todos sus puntos son regulares

4.

La superficie parametrica es regular a trozos si su representaci´ on gr´ afica es la uni´ on de un n´ umero finito de imagenes de superficies parametrizadas regulares.

Comentarios Tal como ha sido deﬁnido punto regular un punto puede ser regular para una parametrizaci´ on y singular para otra. Deﬁnici´ on 4.12 Sean σ: D1 ⊆ R2 → R3 y γ: D2 ⊆ R2 → R3 dos parametrizaciones. Se dice que σ y γ son regularmente equivalentes si existe un difeomorfismo g: D1 → D2 tal que σ(D1 ) = (γ ◦ g)(D1 ). Esto implica que ambas parametrizaciones representan la misma superficie, es decir S = σ(D1 ) = γ(D2 ).

D1

σ

-

@ g @ R @

R3 6 γ D2

4.4.1.

Vector ortogonal a una superficie. Orientaci´ on

La interpretaci´ on geom´etrica de los vectores Tu (u0 , v0 ) y Tv (u0 , v0 ) y del producto vectorial fundamental es la siguiente: si en D ⊆ R2 se consideran las rectas u = u0 y v = v0 , sus im´agenes por σ, σ(u0 , v) y σ(u, v0 ), son curvas en R3 que est´an contenidas en S = Im σ. Entonces, Tv (u0 , v0 ) y Tu (u0 , v0 ) son respectivamente los vectores tangentes a dichas curvas en el punto σ(u0 , v0 ) (vease ﬁgura) como sugiere su propia deﬁnici´ on y veremos a continuaci´ on.

44

PVF Tv Tu

Proposici´ on 4.9 Sean σ: D ⊂ R2 → R3 una superficie param´etrica simple, regular y S = σ(D). Cualquier curva regular contenida en S se puede considerar localmente como una curva parametrizada en R3 de la forma σ ◦ γ: I ⊂ R → R3 donde γ es una curva parametrizada en R2 γ:

I⊆R t

→

R2

→ γ(t) = (x(t), y(t))

tal que γ(I) ⊂ D. Un vector tangente a la curva σ ◦ γ en el punto t0 es   x (t0 )  = x (t0 )Tu + y (t0 )Tv (σ ◦ γ) (t0 ) = Dσ(γ(t0 )) ◦ Dγ(t0 ) = Tu Tv  y (t0 ) Como vemos el vector tangente se encuentra en el plano deﬁnido por los vectores Tu y Tv esto nos proporciona las siguientes deﬁniciones Deﬁnici´ on 4.13 Sea S ⊂ R3 una superficie param´etrica regular. 1.

Se denomina plano tangente a la superficie en un punto al plano que pasa por dicho punto y tiene como vector caracter´ıstico el producto vectorial fundamental en el punto.

2.

Se denomina recta normal a la recta ortogonal al plano tangente. La ecuaci´on del plano tangente a S en el punto σ(a) es:

∂(y, z) ∂(z, x) ∂(x, y) 0 = (x, y, z)−σ(a), Tu (a)∧ Tv (a) = (x −σ1 ) (a) +(y −σ2 ) (a) +(z −σ3 ) (a) (4.7) ∂(u, v) ∂(u, v) ∂(u, v) o, equivalentemente (x, y, z) = σ(a) + λTu (a) + µTv (a) Una ecuaci´on vectorial de la recta normal es, por tanto, (x, y, z) = σ(a) + λTu (a) ∧ Tv (a) Deﬁnici´ on 4.14 Sea una superficie param´etrica regular S ⊂ R3 . Una orientaci´ on de la superficie es una funci´ on continua que asigna a cada punto de S un vector normal unitario n. Una superficie dotada con una orientaci´ on se dice que est´ a orientada.

45

Comentarios Dada una superﬁcie parametrizada regular, se llama orientaci´ on positiva a la que se obtiene tomando Tu ∧ Tv como vector unitario normal en cada punto n = y orientaci´ on negativa a la contraria. Tu ∧ Tv Est´ a claro, por tanto, que la orientaci´ on depender´ a de la parametrizaci´on. Obs´ervese que al dar un vector normal en cada punto de una superﬁcie se est´ an distinguiendo dos sentidos: el del vector y su opuesto, cada uno de los cuales corresponde a una de las orientaciones de la superﬁcie. Por tanto, una superﬁcie tiene, en un entorno de cada punto, s´ olo dos orientaciones, esto es, dos lados. La orientaci´ on es, en general, una propiedad local. Hay superﬁcies localmente orientables pero no en su totalidad. Por ejemplo, puede ocurrir que partiendo de un punto donde el vector normal es n, y siguiendo un camino cerrado sobre la superﬁcie cuando se vuelve al punto de partida dicho vector ha cambiado su sentido y es ahora −n. Esto ocurre en la banda de M¨ obius. Las superﬁcies que, consideradas en su totalidad, tienen dos lados reciben el nombre de superficies orientables, en contraposici´ on a las que s´ olo tienen un lado que son las superficies no orientables

4.5.

Superficies regulares en

R

3

An´ alogamente a como hicimos para las curvas regulares, en esta secci´on daremos otras maneras de describir superﬁcies en R3 . Deﬁniremos tambi´en el concepto de superﬁcie regular y lo estudiaremos para las distintas formas de describir una superﬁcie. Deﬁnici´ on 4.15 Un subconjunto S ⊂ R3 se dice que es una superﬁcie regular si para cada punto a ∈ S existe un abierto U de R3 , con a ∈ U , y un difeomorfismo ϕ: U → V tal que ϕ(U ∩ S) = V ∩ (R2 × {0})

Una superﬁcie es por tanto regular si localmente, en cada punto, existe un cambio de variable que la transforme en un trozo de plano. Deﬁnici´ on 4.16 Una superficie en R3 viene dada por La gr´ afica de toda funci´ on escalar continua f: A ⊆ R2 → R; esto es S := graf f = {(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ A, z = f(x, y)} Se dice, en este caso, que la superficie est´ a dada en forma expl´ıcita y se expresa mediante la ecuaci´ on z = f(x, y). Un conjunto nivel de una funci´ on escalar continua F : B ⊆ R3 → R; esto es S := {(x, y, z) ∈ R3 | F (x, y, z) = k, k ∈ R} Se dice, en este caso, que la superficie est´ a dada en forma impl´ıcita y se expresa mediante la ecuaci´ on F (x, y, z) = k. Veamos ahora condiciones suﬁcientes para que una superﬁcie explicita o ´ımplicita sea regular. Proposici´ on 4.10 (Condiciones suficientes de regularidad)

46

1.

Sea f: A ⊂ R2 → R, con A un abierto de R2 y f de clase C 1 entonces la superficie z = f(x, y) es regular en A.

2.

Sea F : A ⊂ R3 → R, con A un abierto de R3 y F de clase C 1 y tal que rang JF = 2, entonces la superficie F (x, y, z) = 0 es regular. ( Dem. ) 1. Basta considerar el cambio de variable ϕ

:

A×R

−→

A×R

(x, y, z)

→

(x, y, z − f(x, y))

por tanto, ϕ((A × R) ∩ S) = A × {0} y ϕ transforma S en una porci´ on de plano. 2. Por el teorema de la funci´ on impl´ıcita, si F es de clase C 1 y rang JF = 2 en los puntos de la superﬁcie F (x, y, z) = 0, entonces se tiene alguna de las siguientes opciones z = h1 (x, y), y = h2 (x, z) o x = h3 (y, z) con h1 , h2 o h3 de clase C 1 , por lo que se deduce que, seg´ un lo anterior, se trata de una superﬁcie regular. Vamos ahora a calcular las ecuaciones del plano tangente y la recta normal a una superﬁcie regular en un punto. Distinguiremos dos casos seg´ un la superﬁcie est´e dada en forma expl´ıcita o impl´ıcita. Forma expl´ıcita : S = graf f con z = f(x, y), a ∈ Dom f. Seg´ un vimos en la ecuaci´ on 3.7 del corolario 3.1 la ecuaci´ on del plano tangente a la superﬁcie S = graf f en el punto de coordenadas (a, f(a)) es z − f(a) = (x − a1 )

∂f ∂f (a) + (y − a2 ) (a) ∂x ∂y

Tambi´en se puede obtener parametrizando S mediante σ: Dom f → R3 con σ(x, y) = (x, y, f(x, y)) que tiene como producto vectorial fundamental i j k ∂f ∂f ∂f 1 0 Tx (x, y) ∧ Ty (x, y) = ∂x = − ∂x , − ∂y , 1 0 1 ∂f ∂y y si recordamos la ecuaci´ on 4.7 se obtiene como ecuaci´on del plano tangente −

∂f ∂f (a) (x − a1 ) − (a) (y − a2 ) + (z − f(a)) = 0 ∂x ∂y

y la ecuaci´on vectorial de la recta normal es (x, y, z) = (a1 , a2 , f(a)) + λ(∇f(a), −1) Forma impl´ıcita : S = {(x, y, z) ∈ R3 | F (x, y, z) = 0}, con a ∈ S. De acuerdo con la ecuaci´on 4.2 de el corolario 4.1, la ecuaci´ on del plano tangente a S en a es: 0 = (x, y, z) − (a1 , a2 , a3 ), ∇F (a) = (x − a1 )

∂F ∂F ∂F (a) + (y − a2 ) (a) + (z − a3 ) (a) ∂x ∂y ∂z

Tambi´en puede obtenerse como consecuencia del teorema de la funci´on ´ımplicita y siguiendo los pasos indicados en el apartado anterior. Una ecuaci´on vectorial de la recta normal es, por tanto, (x, y, z) = (a1 , a2 , a3 ) + λ∇F (a)

Cap´ıtulo 5

Estudio local de funciones en Rn En este cap´ıtulo se va a estudiar primero el problema de la aproximaci´ on local de funciones por medio del polinomio de Taylor. Despu´es trateremos de identiﬁcar y clasiﬁcar los extremos, locales y absolutos, de funciones de varias variables, tanto de forma libre como con condiciones.

5.1.

F´ ormula de Taylor. Expresi´ on del resto.

Vamos a generalizar el desarrollo de Taylor para funciones de varias variables. Dada una funci´ on f: A ⊆ Rn → R y a ∈ A, se trata de encontrar el polinomio de n variables que mejor aproxime la funci´ on f en un entorno de a. Recordemos en primer lugar c´ omo es un polinomio Pm (x) con x ∈ Rn y por tanto x = (x1 , . . . , xn ). Pm (x) = a0 + a1 x1 + . . . + an xn + a11 x1 x1 + . . . + a1n x1 xn + . . . + an1 xn x1 . . . + ann xn xn + . . . = # $% & # $% & n t´erminos n2 t´erminos = a0 +

n i=1

ai x i +

n n

ai 1 i 2 x i 1 x i 2 + . . . +

i1 =1 i2 =1

n i1 =1

...

n

ai1 ...im xi1 . . . xim

im =1

es decir es un polinomio de las variables x1 , . . . , xn. Llamaremos grado o orden de un t´ermino a la suma de los exponentes de sus variables y el mayor de los grados ser´a el grado del polinomio. Proposici´ on 5.1 Todo polinomio expresado en potencias de x1 , . . . , xn tambien se puede expresar en potencias de (x1 − a1 ) , . . . , (xn − an ). Es decir Pm (x) = Qm (x − a) para alg´ un polinomio Qm y cualquiera que sea a ∈ Rn Se propone como ejercicio comprobarlo para el polinomio P2 (x, y) = 6 + x + 2x2 − 3y2 + 5xy expresandolo en potencias de x − 1 y de y − 1. Deﬁnimos ahora qu´e se entiende por orden de contacto entre dos funciones en un punto. Deﬁnici´ on 5.1 Sean f, g: A ⊆ Rn → R y a un punto del abierto A. Se dice que estas dos funciones tienen en a un contacto de orden superior a m si f(x) − g(x) = 0, lo que tambi´en se expresa en la forma f(x) − g(x) = o ( x − am ) cuando x → a. x→a x − am l´ım

47

48

Ejemplo 5.1 Si f es diferenciable en a el polinomio P1 (x) = f(a) +

∂f ∂f (a)(x1 − a1 ) + . . . + (a)(xn − an ) ∂x1 ∂xn

tiene en a un contacto con f de orden superior a 1 ya que f(x) − P1 (x) = 0, (condici´ on de tangencia) x→a x − a l´ım

Vamos a tratar de establecer condiciones para que, dada una funci´ on f, exista un polinomio de grado m que tenga con f un contacto de orden superior a m en a. Primeramente veamos que si existe este polinomio es u ´ nico. Teorema 5.1 (de unicidad): Sea f: A ⊆ Rn → R, A abierto y a ∈ A. Si existe un polinomio Pm (x) de grado menor o igual a m tal que f(x) − Pm (x) = o ( x − am ) cuando x → a este polinomio es u ´nico. ( Dem. ) Supongamos que Pm (x) y Qm (x) son dos polinomios de grado m que satisfacen las condiciones del enunciado, si denotamos con Rm (x) el polinomio diferencia, se tiene Rm (x) = Pm (x) − Qm (x) = o ( x − am ) cuando x → a, es decir, l´ım

x→a

Rm (x) =0 x − am

(5.1)

Por la proposici´ on 5.1 se tiene Rm (x) = Bm (x − a) = b0 +

n

bi (xi − ai ) + . . . +

n

...

i1 =1

i=1

n

bi1 ...im (xi1 − ai1 ) . . . (xim − aim )

im =1

polinomio que en x = a + th, con t ∈ R y h un vector unitario cualquiera, vale Rm (a + th) = b0 +

n

b i hi t +

n n

b i 1 i 2 h i 1 h i 2 t2 + . . . +

i1 =1 i2 =1

i=1

n i1 =1

...

n

bi1 ...im hi1 . . . him tm

im =1

con lo que la ecuaci´on 5.1 queda b0 +

n

b i hi t +

2

b i 1 i 2 hi 1 hi 2 t + . . . +

i1 =1 i2 =1

i=1

l´ım

n n

n

...

i1 =1

n

bi1 ...im hi1 . . . him tm

im =1

=0

|t|m

t→0

o lo que es lo mismo n n n n n 2 m b0 + b i hi t + b i 1 i 2 hi 1 hi 2 t + . . . + ... bi1 ...im hi1 . . . him t i=1 i1 =1 i2 =1 i1 =1 im =1 =0 l´ım t→0 tm y por tanto b0 + l´ım

t→0

n i=1

b i hi t +

n n

b i 1 i 2 h i 1 h i 2 t2 + . . . +

i1 =1 i2 =1

n i1 =1

tm

...

n im =1

bi1 ...im hi1 . . . him tm =0

49

lo que implica b0 = 0. Entonces queda n

l´ım

n n

b i hi +

b i 1 i 2 hi 1 hi 2 t + . . . +

i1 =1 i2 =1

i=1

n

...

i1 =1

n

bi1...im hi1 . . . him tm−1

im =1

=0

tm−1

t→0

y tambien es nulo el coeﬁciente de t, es decir

n

bi hi = 0.

i=1

As´ı sucesivamente, deducimos que son nulos todos los coeﬁcientes, obteniendose el sistema.  b0 = 0        n     b i hi = 0     i=1 ... n

...

i1=1

n

bi1 ...im hi1 . . . him

im =1

            =0   

como esto ocurre cualquiera que sea el vector h = (h1 , . . . , hn ), se deduce que b0 = b1 = . . . = bm , luego Rm (x) es el polinomio nulo. Proposici´ on 5.2 Sean f: U ⊆ Rn → R de clase C k , con U abierto a ∈ U y h ∈ Rn . Si l ≤ k se define como derivada direccional de orden l de f en a seg´ un el vector h dl (l) (5.2) f (a, h) = l f(a + th) dt t=0 y por tanto

                  

n ∂f(a) hi f (a, h) = Df(a) · h = ∂xi1 1

i1 =1

f (a, h) =

n n ∂ 2 f(a) hi hi ∂xi1 ∂xi2 1 2

i1 =1 i2 =1

... f (k) (a, h) =

n i1 =1

...

n ik =1

∂ k f(a) h i . . . hi k ∂xi1 . . . ∂xik 1

                 

( Dem. ) Consideremos la siguiente composici´on de funciones I ⊂R

c −→ U ⊂ Rn →

t

a + th

f −→

R

→

f(a + th)

donde suponemos que a + th ∈ U, ∀t ∈ I. Si aplicamos la regla de la cadena en t = 0 se tiene (f ◦ c) (0) = Df(c(0)) ◦ Dc(0) =

∂f(a) ∂x1

...

∂f(a) ∂xn

 h1 n  ..  ∂f(a) hi1 = f (a, h)  . = ∂x i 1 i1 =1 hn 

(5.3)

50

Como f es de clase C k reiterando lo anterior para cada una de las funciones (f ◦ c) (0) =

∂f se obtiene ∂xi1

n

n n ∂ 2 f(a) ∂f (a, h)hi1 = hi1 hi2 = f (a, h) ∂x ∂x ∂x i i i 1 1 2 i =1 i =1 i =1 1

1

2

si operamos recursivamente y hasta orden k se tiene (f ◦ c)(k) (0) =

n i1 =1

...

n ik =1

∂ k f(a) hi . . . hik = f (k) (a, h) ∂xi1 . . . ∂xik 1

Con las mismas hip´otesis que en la proposici´ on 5.2, llamamos polinomio de Taylor de f en a de grado ≤ k respecto de las componentes de h = (h1 , . . . , hn ) a Pk (f, a, h) = f(a) + f (a, h) + . . . +

f (k) (a, h) k!

Teorema 5.2 (de Taylor): Sea f: U → R con U ⊂ Rn abierto, tal que el segmento [a, a + th] ⊂ U , para 0 ≤ t ≤ 1. Si f es una funci´ on de clase Ck+1 en U entonces f(a + h) = Pk (f, a, h) + Rk (f, a, h), f´ ormula de Taylor donde el t´ermino complementario o resto de Lagrange Rk (f, a, h) verifica que Rk (f, a, h) =

1 a, h). f (k+1) (˜ (k + 1)!

para un cierto punto ˜ a perteneciente al segmento [a, a + h], por consiguiente: Rk (f, a, h) = O hk+1 cuando h → 0. ( Dem. ) Si consideramos la composici´on 5.3 la funci´ on f ◦ c es una funci´ on real de clase C k+1 y cuyas derivadas conocemos por la proposici´ on 5.2 y a la que podemos aplicar el desarrollo de Taylor para funciones reales de variable real en t = 0 (f ◦ c)(t) = (f ◦ c)(0) + (f ◦ c) (0)t +

1 1 1 (f ◦ c) (0)t2 + . . . + (f ◦ c)(k) (0)tk + (f ◦ c)(k+1)(λ)tk . 2! k! (k + 1)!

para alg´ un λ que cumpla 0 < λ < t. En particular si calculamos el valor de esta expresi´ on en t = 1, y utilizamos la expresi´ on 5.2, se tiene (f ◦ c)(1) = f(a + h) = f(a) + f (a, h) + . . . +

a, h) f (k) (a, h) f (k+1) (˜ + k! (k + 1)!

donde a ˜ es alg´ un punto del segmento [a, a + h].

Comentarios Observese que la formula de Taylor queda por tanto n n n ∂f(a) 1 ∂ 2 f(a) hi 1 + hi hi + . . . + f(a + h) = f(a) + ∂xi1 2! i =1 i =1 ∂xi1 ∂xi2 1 2 i =1 1

1

2

n n ∂ k+1 f(˜ a) 1 ... hi . . . hik+1 (k + 1)! i =1 ∂xi1 . . . ∂xik+1 1 i =1 1

k+1

(5.4)

51

o tambi´en si hacemos a + h = x f(x) = f(a) +

n n n ∂f(a) 1 ∂ 2 f(a) (xi1 − ai1 ) + (xi1 − ai1 ) (xi2 − ai2 ) + . . . + ∂xi1 2! i =1 i =1 ∂xi1 ∂xi2 i =1 1

1

n

1 (k + 1)! i

...

1 =1

n ik+1 =1

2

∂ k+1 f(˜ a) (xi − ai1 ) . . . (xik+1 − aik+1 ) ∂xi1 . . . ∂xik+1 1

Los coeﬁcientes de los t´erminos de primer grado del polinomio de Taylor son los elementos de la matriz jacobiana de f en a. As´ımismo los coeﬁcientes de los t´erminos de orden dos, salvo el factor 1/2, son los elementos de la matriz Hessiana de f en a. El desarrolo Taylor se puede expresar mediante  ∂ 2 f(a) ∂ 2 f(a)  ...     2  ∂x1

h1 ∂x1 ∂xn  h1   ∂f(a) ∂f(a)  .  1 .. ..   .. +. . . .. + ( h1 . . . hn )  f(a+h) = f(a)+ ... .   . . 2 ∂x1 ∂x1  ∂ 2 f(a) ∂ 2 f(a)  hn hn ... ∂xn ∂x1 ∂x2n Corolario 5.1 Con las mismas hip´ otesis que el teorema de Taylor si f es de clase C k se verifica f(a + h) = Pk (f, a, h) + Rk (f, a, h), donde Rk (f, a, h) = o hk , cuando h → 0

( Dem. ) Si aplicamos el teorema de Taylor se tiene f(a + h) = Pk−1 (f, a, h) + Rk−1(f, a, h), donde Rk−1 (f, a, h) =

1 (k) a, h). f (˜ k!

(5.5)

por otro lado n n

f (k) (˜ a, h) − f (k) (a, h) a) ∂ k f(˜ hi 1 ∂ k f(a) hi = ... − ... k = 0 l´ım h→0 hk ∂xi1 . . . ∂xik ∂xi1 . . . ∂xik h h i1 =1

ik =1

se ha tenido en cuenta que como f es de clase C k sus derivadas de orden k son continuas en a y que est´an acotadas.

hi h

Por tanto a, h) − f (k) (a, h) = o hk a, h) = f (k) (a, h) + o hk cuando h → 0 =⇒ f (k) (˜ f (k) (˜ que llevado a la expresi´on 5.5 completa la demostraci´on. Teorema 5.3 (del valor medio): Sea f: U ⊂ Rn → R, de clase C 1 , con U abierto, tal que el segmento que une a con x est´e contenido en U , esto es a + λx ⊂ U , para 0 ≤ λ ≤ 1. Entonces existe un punto ζ, en dicho segmento tal que f(x) − f(a) = ∇f(ζ) · (x − a) ( Dem. ) Basta considerar el polinomio de Taylor de grado 0 y su correspondiente resto.

5.2.

Extremos locales

5.2.1.

Formas cuadr´ aticas

Antes de comenzar el estudio de los extremos de funciones de varias variables vamos a recordar algunas propiedades de las formas cuadr´ aticas.

52 Deﬁnici´ on 5.2 Sean E un espacio vectorial real con producto escalar (por ejemplo Rn ), {e1 , . . . , en } una base de E y A ∈ Mn×n una matriz real de orden n sim´etrica. Se denomina forma cuadr´ atica asociada a la matriz A respecto de la base {e1 , . . . , en }, a la aplicaci´ on A

: x=

E n

→ → A(x) =

xi ei

i=1

aij xi xj

i=1 j=1

es decir,



A(x) = ( x1

R n n

a11 ..  . . . xn ) . an1

  x1 a1n ..   ..  . .

...

xn

. . . ann

Deﬁnici´ on 5.3 Sea A: E → R una forma cuadr´ atica, se dice que es 1.

A es deﬁnida positiva si A(x) > 0,

∀x ∈ E, tal que

x = 0 .

2.

A es deﬁnida negativa si A(x) < 0,

∀x ∈ E, tal que

x = 0 .

3.

A es indeﬁnida si A(x) > 0, para alg´ un

x∈E

y

A(y) < 0, para alg´ un

y∈E .

Puede ser tambi´en semidefinida positiva si ∀x, A(x) ≥ 0. Igualmente se deﬁne semidefinida negativa. Veamos ahora diferentes criterios para determinar si se trata de una forma cuadr´ atica deﬁnida positiva o negativa. Proposici´ on 5.3 Sea A una forma cuadr´ atica. 1.

A es deﬁnida positiva ⇐⇒ ∃λ > 0 tal que

A(x) > λx2

∀x = 0 .

2.

A es deﬁnida negativa ⇐⇒ ∃λ < 0 tal que

A(x) < λx2

∀x = 0 .

( Dem. ) 1. A: E → R es un polinomio de grado 2 en n variables y por tanto es una funci´ on continua en E. El conjunto {x ∈ E | x = 1} es un compacto, luego A tiene sobre este conjunto un m´ınimo, sea λ es m´ınimo. Entonces, si suponemos que A es deﬁnida positiva este valor λ = A(x0 ), donde x0 = 1 ha de ser positivo y

x x ∀x ∈ E x = 0 A(x) = A x = x2 A ≥ λx2 x x el rec´ıproco es inmediato. 2. Se demuestra an´ alogamente. Proposici´ on 5.4 (Criterio de Silvester:) Sea A una forma cuadr´ atica sim´etrica asociada a la matriz   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n   A= ..  ..  . . an1

an2

. . . ann

y sean ∆i sus menores diagonales principales

∆1 = a11 ,

Entonces

a ∆2 = 11 a21

a12 , a22

a11 ∆3 = a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 , a33

...

a11 a21 ∆n = det A = .. . an1

a12 a22 an2

a1n a2n . . . ann ... ... .. .

53

1.

A es deﬁnida positiva ⇐⇒

∆i > 0

2.

A es deﬁnida negativa ⇐⇒

(−1)i ∆i > 0

∀i, i = 1, 2 · · · , n ∀i, i = 1, 2 · · · , n

Un criterio equivalente y algo m´as preciso es el siguiente: Proposici´ on 5.5 (Criterio de los valores propios:) Sea A: E → R una forma cuadr´ atica sim´etrica asociada a la matriz A. Por ser A sim´etrica sus valores propios son todos reales. Entonces 1.

A es deﬁnida positiva ⇐⇒ los valores propios de A son estrictamente positivos.

2.

A es deﬁnida negativa ⇐⇒ los valores propios de A son estrictamente negativos.

3.

A es indeﬁnida ⇐⇒ A tiene valores propios positivos y negativos.

4.

A es semideﬁnida positiva ⇐⇒ los valores propios de A son ≥ 0.

5.

A es semideﬁnida negativa ⇐⇒ los valores propios de A son ≤ 0.

5.2.2.

Extremos locales de funciones. Puntos cr´ıticos.

Como en el caso de funciones de una variable, se deﬁne: Deﬁnici´ on 5.4 Sea f: A ⊆ Rn → R, con A abierto y a ∈ A. Se dice que f tiene en a un 1.

m´ınimo local si existe Br (a) ⊂ A tal que f(x) ≥ f(a), ∀x ∈ Br (a).

2.

m´aximo local si existe Br (a) ⊂ A tal que f(x) ≤ f(a), ∀x ∈ Br (a).

En ambos casos se dice que f tiene en a un extremo local. Si las desigualdades son estrictas, se denomina extremo local estricto. Una primera caracterizaci´on de los extremos locales viene dada por la siguiente proposici´on: Proposici´ on 5.6 Sea f: A ⊆ Rn → R, A abierto y a ∈ A, tal que f es diferenciable en a. Si f presenta un extremo local en a entonces Df(a) = 0 ( Dem. ) El segmento c(t) = a + tv, t ∈ (−δ, δ) est´a contenido en el abierto A para alg´ un valor de δ y cualquiera que sea v, como f presenta un extremo local en a entonces la funci´ on f ◦ c tiene en t = 0 un extremo, luego 0 = (f ◦ c) (0) = Df(c(0)) · c (0) = Df(c(0)) · v (∀v) es decir, todas las derivadas direccionales en a son nulas, luego tambi´en lo son las derivadas parciales y, por tanto, Df(a) = 0. Deﬁnici´ on 5.5 Sea f: A ⊆ Rn → R, A abierto y a ∈ A, tal que f es diferenciable en a. Se dice que a es un punto cr´ıtico si Df(a) = 0 Por consiguiente, vemos que si f es diferencible todos los extremos locales son puntos cr´ıticos, pero no al rev´es. Entonces: Deﬁnici´ on 5.6 Sea f: A ⊆ Rn → R, A abierto y a ∈ A, tal que f es diferenciable en a. Si a es un punto cr´ıtico de f pero no es un extremo se dice que es un punto de silla. As´ı pues, si a es un punto de silla de f, en cualquier entorno de a hay puntos donde la funci´ on toma valores mayores que f(a) y puntos donde la funci´ on toma valores menores que f(a).

54

5.2.3.

Condici´ on suficiente de extremo

Vamos a estudiar diferentes criterios para determinar si un punto cr´ıtico de una funci´ on es un m´ aximo o m´ınimo locales o un punto de silla. Sea f: A ⊆ Rn → R A abierto, a ∈ A y f de clase C 2 . asociada a la matriz hessiana Hf(a) que con las restricciones  2 ∂ f(a) ...  ∂x21  .. Hf(a) =   .  ∂ 2 f(a) ... ∂xn ∂x1

Denotaremos por Hf(a) la forma cuadr´ atica impuestas a f es sim´etrica  ∂ 2 f(a) ∂x1 ∂xn   ..   . 2 ∂ f(a)  ∂x2n

Estudiaremos ahora cu´ ando esta forma es deﬁnida, positiva o negativa, semideﬁnida o indeﬁnida y la relaci´on que puede tener con el comportamiento de la funci´on en a. Enunciamos la siguiente proposici´ on Proposici´ on 5.7 Sea f: A ⊆ Rn → R de clase C2 , A abierto y a ∈ A un punto cr´ıtico de f, entonces: 1.

Si Hf(a) es una forma cuadr´ atica definida positiva entonces f presenta un m´ınimo local estricto en a.

2.

Si Hf(a) es una forma cuadr´ atica definida negativa entonces f presenta un m´ aximo local estricto en a.

3.

Si Hf(a) es una forma cuadr´ atica indefinida entonces f presenta un punto de silla en a.

4.

En los dem´ as casos, esto es si Si Hf(a) es una forma cuadr´ atica semidefinida entonces no podemos decidir sobre el caracter de f en el punto cr´ıtico. Ser´ a preciso recurrir a otros procedimientos.

( dem. ) 1. Como f es de clase C 2 , por el corolario 5.1 sabemos que 1 f(x) = f(a) + ∇f(a) · (x − a) + Hf(a)(x − a) + o x − a2 , cuando x → a 2 donde Hf(a) es la forma cuadr´ atica asociada con la matriz hessiana de f en a, y como a es punto cr´ıtico la igualdad anterior podemos ponerla en la forma f(x) − f(a) =

1 Hf(a)(x − a) + o x − a2 , cuando x → a 2

expresi´on en la que si consideramos que Hf(a) es una forma cuadr´ atica deﬁnida positiva, y por tanto de acuerdo con la proposici´ on 5.3, existe λ > 0 tal que Hf(a)(x − a) > λx − a2 , se tiene: o x − a2 1 f(x) − f(a) 1 2 2 f(x) − f(a) > λx − a + o x − a > λ + l´ım =⇒ l´ım x→a x − a2 x→a 2 2 x − a2 o x − a2 como l´ım = 0, existe un entorno de a en el que f(x) − f(a) > 0, esto es f tiene en a un x→a x − a2 m´ınimo local estricto. An´ alogamente los dem´as casos.

Si tenemos en cuenta la proposici´ on anterior y el criterio de Silvester se tiene el siguiente resultado Proposici´ on 5.8 Sea f: A ⊆ Rn → R de clase C2 , A abierto y a ∈ A un punto cr´ıtico de f. Sean ∆i los menores diagonales principales de la matriz hessiana de f en a, entonces:

55

1.

Si ∆i > 0 para i = 1, . . . , n, entonces f presenta en a un m´ınimo local estricto.

2.

aximo local estricto. Si (−1)i ∆i > 0 para i = 1, . . . , n, entonces f presenta en a un m´

3.

Si no se cumplen ninguno de los casos anteriores, pero ∆n = 0, entonces f presenta en a un punto de silla.

4.

En los dem´ as casos no se puede decidir mediante este criterio sobre el caracter del punto cr´ıtico a. ( dem. )

atica Hf(a) es deﬁnida positiva. 1. Si ∆i > 0 para i = 1, . . . , n, la forma cuadr´ 2. En este caso se tiene una forma cuadr´atica deﬁnida negativa. 3. Si no se cumplen ninguno de los casos anteriores, la forma cuadr´ atica es indeﬁnida, ya que al ser ∆n = 0 no tiene el valor propio 0, y por tanto se tiene un punto de silla. Si en vez de utilizar el criterio de Silvester nos basamos en el criterio de los valores propios se tiene el siguiente resultado Proposici´ on 5.9 Sea f: A ⊆ Rn → R de clase C2 , A abierto y a ∈ A un punto cr´ıtico, entonces: 1.

Si todos los valores propios de la matriz hessiana de f en a son estrictamente positivos entonces f presenta un m´ınimo local estricto en a.

2.

Si todos los valores propios de la matriz hessiana de f en a son estrictamente negativos entonces f presenta un m´ aximo local estricto en a.

3.

Si la matriz hessiana de f en a tiene valores propios positivos y negativos, f tiene en a un punto de silla.

4.

En los dem´ as casos no se puede decidir mediante este criterio sobre el caracter del punto cr´ıtico a.

5.3.

Extremos condicionados locales. Multiplicadores de Lagrange

Hemos estudiado el problema de determinar los extremos locales de una funci´ on en todo su dominio, ahora se trata de hallar los extremos de la funci´ on sobre un conjunto de puntos del dominio, que estar´ an generalmente especiﬁcados por medio de una o varias expresiones. Deﬁnici´ on 5.7 Sean f: A ⊆ Rn → R, a ∈ A, G: A ⊆ Rn → Rm definida por G(x) = (g1 (x), . . . , gm (x)), con   g1 (x) = 0 m < n, y S el conjunto de puntos de Rn que satisface el sistema de ecuaciones ... .  gm (x) = 0 Supongamos que G(a) = 0. Entonces 1.

Se dice que f presenta en a un m´ınimo condicionado a G(x) = 0, si ∃Br (a) ⊂ A tal que, ∀x ∈ Br (a)∩S, se tiene que f(x) ≥ f(a).

2.

Se dice que f presenta en a un m´aximo condicionado a G(x) = 0, si ∃Br (a) ⊂ A tal que, ∀x ∈ Br (a)∩S, se tiene que f(x) ≤ f(a).

En cualquier caso se dice que f|S presenta un extremo condicionado en a. Las relaciones g1 (x) = . . . = gm (x) = 0 se denominan condiciones o ligaduras.

56

Comentarios : Obs´ervese que las ligaduras seleccionan puntos en el dominio A de f, los pertenecientes a los conjuntos de nivel cero de las funciones g1 , . . . , gm que, en los casos que nos interesar´an, ser´ an, generalmente curvas o superﬁcies. Los extremos libres de una funci´on no son necesariamente extremos condicionados, ni rec´ıprocamente. Para determinar los extremos locales de una funci´on restringida a un subconjunto es u ´til es siguiente teorema. Teorema 5.4 Sean f: A ⊂ Rn → R, A abierto y S ⊂ A, la funci´ on g: T ⊂ Rm → Rn , con T abierto, continua y tal que g(T ) = S. Entonces, si x0 ∈ S es un extremo local de f|S y g(t0 ) = x0 , t0 es un extremo local libre de f ◦ g. ( Dem. ) Lo haremos para el caso de un m´ınimo si fuera un m´ aximo el proceso es an´ alogo. Si x0 ∈ S es un m´ınimo local de f|S existe la bola B (x0 ) en Rn tal que f(x) ≥ f(x0 ), ∀x ∈ B (x0 ) ∩ S. Al ser g continua en T y g(T ) ⊂ S, existe Bδ (t0 ) en Rm tal que g(Bδ (t0 )) ⊂ B (x0 ) ∩ S, luego ∀t ∈ Bδ (t0 ) se tiene (f ◦ g)(t) ≥ (f ◦ g)(t0 ), lo que prueba que t0 es m´ınimo local de f ◦ g. Veamos, como consecuencia, una manera de determinar los extremos de una funci´on restringida a los punto de una curva en R2 o una superﬁcie en R3 . Corolario 5.2 1.

Sean f: A ⊂ R2 → R y α: (a, b) → R2 una parametrizaci´ on de un camino Γ en A. Si f|Γ tiene en α(t0 ) ∈ Γ un extremo local, entonces f ◦ α: (a, b) → R tiene un extremo local en t0 . En particular para f y α funciones diferenciables se tiene (f ◦ α) (t0 ) = 0.

2.

Sean f: A ⊂ R3 → R y σ: D ⊂ R2 → R3 una parametrizaci´ on de una superficie S en A. Si f|S tiene en σ(u0 ) ∈ S un extremo local, entonces f ◦ σ: D → R tiene un extremo local en u0 . En particular para f y σ funciones diferenciables se tiene ∇(f ◦ α)(u0 ) = 0.

5.3.1.

M´ etodo de los multiplicadores de Lagrange

Otra forma alternativa para la determinaci´ on de extremos condicionados nos la proporciona el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange que se basa en el siguiente teorema Teorema 5.5 (de Lagrange) Sean f: A ⊆ Rn → R, A abierto, a ∈ A, y G: A ⊆ Rn → Rm definida por G(x) = (g1 (x), . . . , gm (x)), con m < n, tales que f y G sean de clase C 1 y el rango de JG es m´ aximo. Entonces, si f tiene en a un extremo local restringido al conjunto S = {x ∈ A| G(x) = 0}, existen λ1 , . . . , λm ∈ R tales que ∇f(a) = λ1 ∇g1 (a) + . . . + λm ∇gm (a) Los coeficientes λ1 , . . . , λm se denominan multiplicadores de Lagrange. ( Dem. ) Haremos la demostraci´on para el caso de una sola ligadura g: A ⊂ R3 → R. Sea a un extremo local de f restringido al conjunto S = {x ∈ A| g(x) = 0}, entonces g(a) = 0 y adem´ as, como sabemos ∇g(a) es un vector ortogonal a la superﬁcie S en el punto a. on. Como a es un Sean Γ una curva cualquiera en S que pase por a y α: I → R3 una parametrizaci´ extremo local de f restringido a S entonces, si α(t0 ) = a, como consecuencia del apartado 1. del corolario 5.2 se tiene 0 = (f ◦ α) (t0 ) = Df(a)(α (t0 )) = ∇f(a) · α (t0 )

57 Luego el vector ∇f(a) es ortogonal al vector tangente a la curva Γ en a, para cualquier curva. Por tanto si ∇f(a) es perpendicular a todas las curvas de S que pasan por a, es ortogonal a S en a, as´ı pues ∇f(a) = λ∇g(a). El m´etodo de los multiplicadores de Lagrange consiste en hallar los puntos x = (x1 , . . . , xn) que sean soluci´on del sistema de n + m ecuaciones e inc´ognitas: las n coordenadas xi y los m multiplicadores λj  g1 (x) = 0  ... m ecuaciones.  gm (x) = 0 ∇f(x) = λ1 ∇g1 (x) + . . . + λm ∇gm (x) n ecuaciones. Si las funciones veriﬁcan las hip´ otesis del teorema y f tiene extremos locales restringidos al cojnjunto S = {x ∈ A| G(x) = 0}, ser´an algunas de las soluciones del sistema anterior. Observaciones: 1. En el caso que haya extremos locales f|S en puntos donde JG no tenga rango m´ aximo puede ser que estos puntos no aparezcan por este m´etodo. 2. El sistema puede ser incompatible si: No son compatibles las ligaduras. En cuyo caso S = Ø (el problema est´ a mal planteado). Ejemplo 5.2 : g1 (x, y, z) ≡ x2 + y2 − z = 0; g2 (x, y, z) ≡ 1 + z = 0. No tiene la funci´ on extremos condicionados a las ligaduras dadas. Ejemplo 5.3 : f(x, y) = x2 y; g(x, y) ≡ 1 − xy = 0. Observemos que si parametrizamos la ligadura por: α: (−∞, 0) → R2 1 t → t, t

y

β: (0, +∞) → R2 1 t → t, t

dado que f ◦ α = t es creciente y f ◦ β = t tambi´en es creciente, f no tiene extremo local en g(x, y) = 0. 3. El sistema puede ser indeterminado. Por ejemplo en el caso en que la ligadura es una superﬁcie de nivel de la funci´ on a extremar. En este caso ∇f(x) = ∇g(x) en todo punto de la condici´ on y por tanto todos los puntos de la ligadura son soluci´ on. Ejemplo 5.4 : f(x, y) = x2 − y2 ; g(x, y) ≡ x + y = 0. Se tiene que ∇f(x, y) = (2x, −2y) y ∇g(x, y) = (1, 1). Para cualquier punto de la condici´ on g(x, y) = 0 existe λ tal que ∇f(x, y) = λ∇g(x, y). 4. En el caso de que se obtenga λ1 = . . . = λm = 0, entonces ∇f(a) = 0, lo cual signiﬁca que la funci´ on tiene un punto cr´ıtico en a independientemente de las condiciones. Ejemplo 5.5 : f(x, y) = x2 + y2 + 1; g(x, y) ≡ y = 0. El sistema da como soluci´ on λ = 0 y (x, y) = (0, 0), que es un m´ınimo local de f sin la restricci´ on, como se puede comprobar.

58

5.4.

Extremos absolutos

Deﬁnici´ on 5.8 Sea f: A ⊂ Rn → R, A un subconjunto cualquiera. Se dice que f tiene en x0 un m´aximo absoluto si f(x0 ) ≥ f(x), ∀x ∈ A. An´ alogamente se define m´ınimo absoluto. Sabemos que si f: A ⊂ Rn → R es una funci´ on continua y A es un compacto (cerrado y acotado), f tiene extremos absolutos en A. Es decir, existen puntos en A en los que la funci´ on alcanza un m´ aximo y puntos en los que alcanza un m´ınimo. Nos proponemos dar un procedimiento para encontrar dichos puntos, limitandonos a los casos en A ⊂ R2 o A ⊂ R3 , en ambos supondremos que f es diferenciable en A. Si A ⊂ R2 y si suponemos que la frontera de A la constituyen un numero ﬁnito de curvas regulares Γi , procederemos de la siguiente forma 1. Determinamos los puntos cr´ıticos de f en Int A. 2. Determinar los extremos condicionados de f|Γi bien parametrizando la curva o bien mediante los multiplicadores de Lagrange. 3. Determinar los valores que toma f en cada uno de los puntos obtenidos y en los puntos de corte de las curvas Γi Los puntos en que f tiene el m´ınimo valor son los puntos de m´ınimo absoluto, an´ alogamente para los puntos de m´ aximo. Si A ⊂ R3 y si suponemos que la frontera de A la constituyen un numero ﬁnito de superﬁcies regulares Si , el procedimiento es 1. Determinamos los puntos cr´ıticos de f en Int A. 2. Determinar los extremos condicionados de f|Si bien parametrizando la superﬁcie o bien mediante los multiplicadores de Lagrange. 3. Determinar los extremos condicionados a las curvas intersecci´on de las superﬁcies que pertenezcan a la frontera de A, es decir extremos de f|Si ∩Sj . 4. Determinar los valores que toma f en cada uno de los puntos obtenidos y en los puntos de corte de las curvas intersecci´on de las superﬁcies. Los puntos en que f tiene el m´ınimo valor son los puntos de m´ınimo absoluto, an´ alogamente para los puntos de m´ aximo.

Cap´ıtulo 6

Integraci´ on de campos escalares en Rn 6.1.

Introducci´ on *

b

f(x) dx para funciones f: R → R. En

En la asignatura de C´ alculo se estudi´o el concepto de la integral a

este cap´ıtulo comenzaremos estudiando el concepto de integral, para funciones f: R2 → R, sobre un conjunto Q ⊂ R2 llamado regi´ on de integraci´ on. Posteriormente extenderemos la idea de integraci´on para funciones f: Rn → R sobre regiones Q ⊂ Rn . Primeramente consideraremos regiones Q rectangulares y luego trataremos sobre la integraci´on extendida a regiones m´as generales. En el caso de funciones f: R2 → R la integral que resulta se denomina integral doble y se representa por * * * * f

o

f(x, y)dxdy

Q

6.2. 6.2.1.

Q

Integral doble Partici´ on de rect´ angulos. Funciones escalonadas

Sea Q el rect´angulo Q = [a, b] × [c, d] = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ [a, b] e y ∈ [c, d]} Consideremos dos particiones P1 = {x0 , x1 , . . . , xn} y P2 = {y0 , y1 , . . . , ym } de [a, b] y [c, d] respectivamente (vease ﬁgura 6.1). on de Q. La partici´ on P1 × P2 descompone Q en n × m El producto cartesiano P1 × P2 es una partici´ subrect´angulos. Una partici´ on P de Q se dice que es m´as fina que P si P ⊆ P , esto es si todo punto de P est´a en P . Deﬁnici´ on 6.1 Una funci´ on f: Q ⊂ R2 → R, donde Q es un rect´ angulo, se llama escalonada si existe una partici´ on P de Q tal que, en cada uno de los subrect´ angulos abiertos de P f tiene un valor constante. Los valores que pueda tomar la funci´ on en la frontera de cada uno de los subrect´ angulos, no tienen importancia en la teor´ıa de integraci´ on, como veremos posteriormente. Proposici´ on 6.1 Si f y g son dos funciones escalonadas sobre el rect´ angulo Q entonces αf + βg tambi´en es una funci´ on escalonada en Q para todo α y β reales.

59

60

Figura 6.1: Partici´ on de Q en subrectangulos. ones de Q tales que f y g son constantes en cada uno de los ( Dem. ) Sean P y P dos partici´ subrect´angulos abiertos de P y P respectivamente. Entonces αf + βg es constante en los subrect´angulos abiertos de una partici´ on que contenga a P y P , en particular P ∪ P . Corolario 6.1 El conjunto de las funciones escalonadas en Q es un espacio vectorial.

6.2.2.

Integral doble de una funci´ on escalonada

Deﬁnici´ on 6.2 Sea f: Q ⊂ R2 → R una funci´ on escalonada en Q que toma el valor constante cij en cada subrect´ ngulo abierto (xi−1 , xi ) × (yj−1 , yj ) de una partici´ on P de Q (vease figura 6.2). Definimos como integral de f en Q a * * n m f= cij (xi − xi−1 ) (yj − yj−1 ) Q

i=1 j=1

Observemos que el valor de la integral no cambia si se sustituye la partici´ on P por otra m´ as ﬁna P . on escalonada en el rect´ angulo Q = [a, b] × [c, d], entonces Proposici´ on 6.2 Sea f: Q ⊂ R2 → R una funci´ , , + + * * * d * b * b * d f(x, y) dxdy = f(x, y) dx dy = f(x, y) dx dx Q

c

a

a

c

on de Q tal que f(x, y) = cij En efecto, sea P = {x0 , x1 , . . . , xn} × {y0 , y1 , . . . , ym } una partici´ * b para todo (x, y) ∈ (xi−1 , xi ) × (yj−1 , yj ). Consideremos la funci´ on A(y) = f(x, y) dx, que viene deﬁnida a por  si c < y < y1   c11 (x1 − a) + c21 (x2 − x1 ) + . . . + cn1 (b − xn−1 )  c12 (x1 − a) + c22 (x2 − x1 ) + . . . + cn2 (b − xn−1 ) si y1 < y < y2 A(y) = ...    c1m (x1 − a) + c2m (x2 − x1 ) + . . . + cnm (b − xn−1 ) si ym−1 < y < d ( Dem. )

entonces

61

Figura 6.2: Grafo de una funci´ on escalonada en Q. *

b

A(y) dy a

=

[c11 (x1 − a) + c21 (x2 − x1 ) + . . . + cn1 (b − xn−1 )] (y1 − c)+ [c12 (x1 − a) + c22 (x2 − x1 ) + . . . + cn2 (b − xn−1 )] (y2 − y1 )+ ... [c1m (x1 − a) + c2m (x2 − x1 ) + . . . + cnm (b − xn−1 )] (d − ym−1 ) = n m cij (xi − xi−1 ) (yj − yj−1 ) i=1 j=1

Las siguientes propiedades de la integral doble se siguen de la proposici´ on anterior y de las correspondientes propiedades en integrales unidimensionales. ones escalonadas en el rect´ angulo Q se cumple: Proposici´ on 6.3 Sean f, g: Q ⊂ R2 → R funci´ 1.

Linealidad

* *

* * (αf(x, y) + βg(x, y)) dxdy = α

Q

2.

Q

g(x, y) dxdy Q

Aditividad Si Q est´ a subdividido en dos rect´ angulos Q1 y Q2 se tiene * * * * * * f(x, y) dxdy = f(x, y) dxdy + f(x, y) dxdy Q

3.

* * f(x, y) dxdy + β

Q1

Q2

Si f(x, y) ≤ g(x, y), ∀(x, y) ∈ Q, entonces * * * * f(x, y) dxdy ≤ g(x, y) dxdy Q

Q

y en particular, si f(x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ Q se tiene * * f(x, y) dxdy ≥ 0 Q

62

6.2.3.

Integral doble de funciones acotadas

. on acotada en el rect´angulo Q. Si s, t: Q ⊂ R2 → R son dos funciones Sea f: Q ⊂ R2 → R una funci´ escalonadas en el rect´angulo Q tales que s(x, y) ≤ f(x, y) ≤ t(x, y), ∀(x, y) ∈ Q, decimos que s est´a por debajo de f en Q y que t est´a por encima de f en Q, y se denota por s ≤ f ≤ t. * *

-

Sean S =

tal que s es escalonada en Q con s ≤ f

s,

y

Q

-

* * tal que t es escalonada en Q con f ≤ t

t,

T = Q

Observemos que S y T no son vacios. En efecto, existen siempre funciones escalonadas en Q por encima y por debajo de f. Por ser f acotada en Q, existe M > 0 tal que |f(x, y)| ≤ M, ∀(x, y) ∈ Q, y por tanto se tiene −M ≤ f ≤ M . Por otra parte para cualesquiera funciones escalonadas s y t tales que s ≤ f ≤ t se tiene * * * * s ≤ t Q

Q

Por tanto, S es un subconjunto de R acotado superiormente por cualquier elemento de T . Y an´ alogamente T es un subconjunto de R acotado inferiormente por cualquier elemento de S. As´ı pues, S tiene extremo superior y T tiene extremo inferior y se cumple * * * * s ≤ sup S ≤ inf T ≤ t Q

Q

para toda s y t, funciones escalonadas, que cumplan s ≤ f ≤ t. Deﬁnici´ on 6.3 * * 1.

Se denomina integral inferior de f en Q al sup S, lo denotaremos por

f Q

* * 2.

f

Se denomina integral superior de f en Q al inf T , lo denotaremos por Q

3.

f=

Se dice que f es integrable en Q si sup S = inf T y entonces Q

* *

* *

* *

f= Q

f Q

Se puede observar que si f es una funci´ on acotada en Q, existen siempre las integrales inferior y superior de f en Q. Las propiedades de la proposici´ on anterior se cumplen tambi´en para integrales dobles de funciones acotadas sobre un rect´ angulo Q. Es interesante saber cu´ando una integral doble puede calcularse mediante integraciones unidimensionales reiteradas. De esta forma las t´ecnicas de integraci´on en una variable estudiadas en C´ alculo se pueden aplicar en el c´alculo de integrales dobles. Teorema 6.1 (de Fubini para funciones acotadas en Q). Sea Q = [a, b] × [c, d] y f: Q ⊂ R2 → R una funci´ on definida y acotada en Q. Supongamos que exista la integral de f en Q. Entonces

63 * 1.

b

Si ∀y ∈ [c, d] existe la integral

f(x, y) dx, se cumple que a

* *

*

d

+*

f(x, y) dxdy =

f(x, y) dx c

Q

* 2.

,

b

dy

a

d

Si ∀x ∈ [a, b] existe la integral

f(x, y) dy, se cumple que c

* *

*

b

+*

,

d

f(x, y) dxdy =

f(x, y) dy a

Q

dx

c

Comentarios: El teorema aﬁrma que si f es integrable en Q y si existe la funci´ on A(y) = * b f(x, y) dx, ∀y ∈ [c, d], entonces esta funci´on es integrable en el intervalo [c, d] y se cumple a

*

* *

d

A(y) dy = c

f(x, y) dxdy Q

Lo mismo para el otro caso. Nos interesa conocer ahora qu´e funciones son integrables en un rect´ angulo. Teorema 6.2 Sea Q = [a, b] × [c, d] y f: Q ⊂ R2 → R una funci´ on continua. Entonces f es integrable sobre Q y se cumple , , * * * +* * +* d

b

f(x, y) dxdy = c

Q

b

f(x, y) dx

d

dy =

a

f(x, y) dy a

dx

c

* *

* * ( Dem. )

Por ser f continua en el compacto Q, est´a acotada y por tanto existen

f y Q

f. Q

Tenemos que ver que son iguales. Como Q es un compacto y f es continua en Q entonces es uniformemente continua, luego para cada > 0 existe una partici´ on en un numero ﬁnito de subrect´ angulos I1 , . . . , In tales que la variaci´ on de f en cada uno de ellos es menor que . Sean Mi (f) y mi (f) el m´aximo y m´ınimo absolutos de f en cada rect´angulo Ii , 1 ≤ i ≤ n de la partici´ on, que existen por ser una funci´ on continua en un compacto (Vease ﬁgura 6.3). Se tiene Mi (f) − mi (f) < ε, para i = 1, . . . , n. Sean s y t dos funciones escalonadas tales que s ≤ f ≤ t, ∀(x, y) ∈ Q deﬁnidas por s(x, y) = mi (f) y t(x, y) = Mi (f), ∀(x, y) ∈ Int Ii . Entonces * * * * n n s= mi (f)a(Ii ) y t= Mi (f)a(Ii ) Q

Q

i=1

i=1

donde a(Ii ) es el ´area del rect´angulo Ii . * * * * n n s− t= (Mi (f) − mi (f)) a(Ii ) < ε a(Ii ) = ε a(Q), Q

Q

i=1

i=1

Como

* * Q

se tiene

* *

* * s≤

f≤ Q

* * Q

Q

t Q

* * f−

0≤

* * f

f ≤ ε a(Q) Q

∀ε > 0

a(Q) = a´rea de Q

64

Figura 6.3: ´Inﬁmo y supremo de f en Ii . * *

* *

luego

f= Q

* * f y por tanto existe

Q

f. Q

La segunda aﬁrmaci´on del teorema se deduce del teorema de Fubini, pues si f es continua en Q, la funci´ on * b Φy (x) = f(x, y) es continua en [a, b] para cada y ∈ [c, d]. Luego ∀ y ∈ [c, d] existe f(x, y) dx. a

6.2.4.

Interpretaci´ on geom´ etrica de la integral doble. * *

2

Sea Q = [a, b] × [c, d] y f: Q ⊂ R → R una funci´ on continua no negativa. Entonces

f(x, y) dxdy es Q

el volumen de la regi´ on V = {(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ Q y 0 ≤ z ≤ f(x, y)} (Vease ﬁgura 6.4).

Figura 6.4: Volumen de V .

65 * *

*

En efecto, sabemos que

d

+*

f(x, y) dxdy = *

Para cada y ∈ [c, d], A(y) =

f(x, y) dx c

Q

,

b

dy.

a

b

f(x, y) dx es el ´area de la secci´on de V producida por un plano paralelo a*

al plano XZ. Por tanto, vol(V ) =

d

A(y) dx c

6.2.5.

Conjuntos de medida cero. Integraci´ on de funciones discontinuas * *

2

Sea Q = [a, b] × [c, d] y f: Q ⊂ R → R. Se ha visto que existe

f(x, y) dxdy si f es continua en Q

Q. Vamos ahora a demostrar que tambi´en existe la integral doble de f en Q, siempre que el conjunto de discontinuidades de f tengan una medida suﬁcientemente peque˜ na. Para medir el tama˜ no de los conjuntos introduciremos el siguiente concepto. Deﬁnici´ on 6.4 Sea T ⊂ R2 , se dice que tiene medida cero, si para cada ε > 0 es posible recubrir T por una colecci´ on numerable de rect´ angulos la suma de cuyas a ´reas sea menor que ε. Es decir existe una colecci´ on n n angulos tales que T ⊂ Qk y µ(Qk ) < ε siendo µ(Qk ) el a ´rea del rect´ angulo Qk . {Qk : k ∈ N} de rect´ k=1

k=1

Ejemplo 6.1 : Teniendo en cuenta lo anterior, se comprueba f´ acilmente que: Todo conjunto con un n´ umero finito de puntos tiene medida cero. La reuni´ on de una colecci´ on numerable de conjunto de medida cero es de medida cero. Como casos particulares, en R, el conjunto de los n´ umeros racionales Q tiene medida cero y, por consiguiente, tambi´en el de los enteros Z y los naturales N. Todo subconjunto de un conjunto de medida cero tiene medida cero. Todo segmento de recta tiene medida cero. M´ as general: Si f: [a, b] → R es una funci´ on continua, la gr´ afica de f tiene medida cero. ( Dem. ) En efecto, por ser f continua en un compacto, es uniformemente continua, luego existe ε una partici´ on P de [a, b] de manera que la oscilaci´ on de f en cada subintervalo es menor que , b−a ε , la suma de luego en cada subintervalo la gr´ afica de f est´ a contenida en un rect´ angulo de altura b−a cuyas a ´reas es ε, por tanto, graf f es un conjunto de medida cero (vease figura 6.5).

Teorema 6.3 Sea Q = [a, b] × [c, d] y f: Q ⊂ R2 → R definida y acotada en Q. Entonces f es integrable en Q si y s´ olo si el conjunto de discontinuidades de f en Q tiene medida cero.

6.2.6.

Integrales dobles en regiones m´ as generales

Hasta ahora la integral doble s´ olo la hemos deﬁnido para regiones de integraci´ on rectangulares. Podemos extender el concepto de integraci´on a conjuntos m´ as generales. Deﬁnici´ on 6.5 Sea S un subconjunto acotado de R2 . Decimos que S es un conjunto medible Jordan si y s´ olo si Fr S es un conjunto de medida cero.

66

Figura 6.5: Gr´ aﬁca de contenido nulo. Sea S un conjunto medible Jordan de R2 y sea f: S ⊂ R2 → R una funci´ on deﬁnida y acotada en S. Sea Q = [a, b] × [c, d] un rect´ angulo tal que S ⊂ Q. Deﬁnimos la funci´ on f˜: Q ⊂ R2 → R por f(x, y) si (x, y) ∈ S f˜(x, y) = 0 si (x, y) ∈ Q − S Si f˜ es integrable en Q decimos que f es integrable en S y, por deﬁnici´ on * * * * f(x, y) dxdy = f˜(x, y) dxdy S

Q

Teorema 6.4 Sea S ⊂ R2 un conjunto medible Jordan y sea f: S ⊂ R2 → R definida y acotada en S. entonces f es integrable en S si y s´ olo si el conjunto de discontinuidades de f en S tiene medida cero. ( Dem. ) Sea Q un rect´angulo tal que S ⊂ Q y sea f˜: Q ⊂ R2 → R deﬁnida como se ha indicado anteriormente, las discontinuidades de f˜ son las de f en S y adem´as puede ser discontinua en puntos de la frontera de S. Como S es medible Jordan su frontera tiene medida cero, luego el teorema se obtiene como consecuencia del teorema 6.3.

6.2.7.

Propiedad aditiva de la integraci´ on

Teorema 6.5 Supongamos que f es integrable sobre un conjunto S ⊂ R2 , medible Jordan, supongamos tambi´en que S = A ∪ B donde A y B son conjuntos medibles Jordan sin puntos interiores en com´ un. Entonces f es integrable en A y en B y se cumple * * * * * * f(x, y) dxdy = f(x, y) dxdy + f(x, y) dxdy S

A

B

Vamos ahora a considerar un tipo de conjuntos de R2 , medibles Jordan, para los cuales el c´ alculo de la integral doble puede hacerse mediante integraci´ on reiterada. Son los que llamaremos conjuntos de Tipo I y de Tipo II. La mayor parte de las regiones de integraci´ on que trataremos ser´ an de algunos de estos tipos o si no, se pueden descomponer en un n´ umero ﬁnito de subregiones, cada una de las cuales es de alguno de esos tipos.

67

Deﬁnici´ on 6.6 Sea ϕ1 , ϕ2 : [a, b] → R funciones continuas tales que ϕ1 (x) ≤ ϕ2 (x), ∀x ∈ [a, b]. Llamaremos regi´ on de tipo I a las de la forma S = {(x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x)} Sea ψ1 , ψ2 : [c, d] → R funciones continuas tales que ψ1 (y) ≤ ψ2 (y), ∀y ∈ [c, d]. Llamaremos regi´ on de tipo II a las de la forma T = {(x, y) ∈ R2 | c ≤ y ≤ d, ψ1 (y) ≤ x ≤ ψ2 (y)}

Figura 6.6: Regiones de tipo I y tipo II.

6.2.8.

Teorema de Fubini (para regiones tipo I y tipo II)

Teorema 6.6 Sea f: A ⊂ R2 → R una funci´ on acotada e integrable en A *

ϕ2 (x)

Si A es un conjunto tipo I y existe A y se tiene

ϕ1 (x)

f(x, y) dy para cada x ∈ [a, b], entonces f es integrable en

* *

*

+*

b

f(x, y) dxdy =

f(x, y) dy *

ψ2 (y)

En caso de que A sea un conjunto tipo II y exista ψ1 (y)

*

d

+*

f(x, y) dx para cada y ∈ [c, d], entonces f ,

ψ2 (y)

f(x, y) dxdy =

f(x, y) dx c

A

dx

ϕ1 (x)

a

A

es integrable en A y se tiene * *

,

ϕ2 (x)

dy

ψ1 (y)

Corolario 6.2 Sea S una regi´ on tipo I y f: S ⊂ R2 → R una funci´ on definida y acotada en S y continua en Int S. Entonces f es integrable en S y , * * * b +* ϕ2 (x) f(x, y) dxdy = f(x, y) dy dx S

a

ϕ1 (x)

68

An´ alogamente para regi´ on tipo II. Sean Q = [a, b] × [c, d] un rect´ angulo tal que S ⊂ Q y f˜: Q ⊂ R2 → R deﬁnida por f(x, y) si (x, y) ∈ S ˜ y) = f(x, 0 si (x, y) ∈ Q − S * * ˜ y) dxdy = f(x, f˜ es continua en Q salvo, como m´aximo, en un conjunto de medida cero, luego existe Q * * f(x, y) dxdy. ( Dem. )

S

* Por otra parte, como f es continua en Int S, para cada x ∈ [a, b] existe de Fubini deducimos el resto.

6.2.9.

ϕ2 (x)

f(x, y) dy y por el teorema ϕ1 (x)

Aplicaci´ on al c´ alculo de a ´reas y vol´ umenes.

Sea S una regi´on del tipo I S = {(x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b y ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x)} Si aplicamos el teorema anterior a la funci´ on f(x, y) = 1, ∀ (x, y) ∈ S se obtiene * * * b dxdy = [ϕ2 (x) − ϕ1 (x)] dx a

S

El segundo miembro es el ´area de la regi´ on S (vease ﬁgura 6.6), luego una aplicaci´ on de integrales dobles puede ser el c´alculo de a´reas. Supongamos ahora una funci´ on f: S ⊂ R2 → R continua, y tal que f(x, y) ≥ 0, ∀ (x, y) ∈ S. Sabemos que , * * * b +* ϕ2 (x) f(x, y) dydx = f(x, y) dy dx ϕ1 (x)

a

S

*

Sea V = {(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ S, 0 ≤ z ≤ f(x, y)},

ϕ2 (x)

f(x, y) dx es el ´area de la secci´on producida ϕ1 (x)

en V por un plano parelelo al plano Y Z. * * Luego f(x, y) dydx es el volumen de la regi´on V de R3 (ver ﬁgura 6.7). S

En general, si f, g: S ⊂ R2 → R y f(x, y) ≤ g(x, y) ∀ (x, y) ∈ S ,

* * (f(x, y) − g(x, y)) dxdy representa S

el volumen de la regi´ on de R3 comprendida entre las gr´ aﬁcas de f y de g y tal que su proyecci´ on ortogonal en el plano XY es S. An´ alogamente para regiones de tipo II.

6.2.10.

Cambio de variable en integral doble

En C´ alculo se vi´ o que si f: R → R es una funci´ on continua y g: [a, b] → R es diferenciable con continuidad, entonces * * g(b)

b

f(x) dx = g(a)

f(g(t)) g (t) dt

a

donde Si g es inyectiva la expresi´on anterior tambi´en se puede poner de la forma * * b f(x) dx = f(g(t)) |g (t)| dt g((a,b))

a

69

Figura 6.7: Volumen de la regi´ on V . donde g((a, b)) es el intervalo imagen por g de (a, b). Estas f´ ormulas nos permiten simpliﬁcar el c´ alculo de integrales en R. Para funciones f: R2 → R tenemos un teorema an´alogo que enunciamos a continuac´on on inyectiva de clase C 1 y tal que Teorema 6.7 Sea T ⊂ R2 un conjunto abierto y g: T → R2 una aplicaci´ det(J g(u, v)) = 0, ∀ (u, v) ∈ T , es decir, el determinante de la matriz de jacobiana de g no nulo. Si S = g(T ) y la funci´ on f: S ⊂ R2 → R es integrable en S, se tiene * * * * f(x, y) dxdy = f(g(u, v)) | det(J g(u, v))| dudv S

T

Teorema de diﬁcil demostraci´on y que omitiremos, u ´ nicamente vamos a ver un razonamiento geom´etrico que justiﬁca su validez. Sean g: T ⊂ R2 → R2 deﬁnida por g(u, v) = (X(u, v), Y (u, v)) y T una regi´ on del plano U V tal que g(T ) = S, como en la ﬁgura 6.8.

Figura 6.8: Cambio de variable g(u, v) = (X(u, v), Y (u, v)).

70

Consideremos las funciones vectoriales

∂g ∂X ∂Y V1 (u, v) = = (u, v), (u, v) ∂u ∂u ∂u

V2 (u, v) =

∂g = ∂v

∂X ∂Y (u, v), (u, v) ∂v ∂v

Estos vectores V1 (u, v) y V2 (u, v) pueden interpretarse geom´etricamente de la siguiente forma: Consideremos un segmento rectilineo horizontal en el plano U V , por ejemplo v = cte, como en la ﬁgura 6.9, la imagen de este segmento por g es una curva en el plano XY cuyo vector tangente es precisamente V1(u, v) y si consideramos un segmento u = cte su imagen por g es una curva con vector tangente V2 (u, v).

Figura 6.9: Curva u y su vector tangente. Un rect´angulo de lados ∆u y ∆v en el plano U V tiene como imagen por g en el plano XY un paralelogramo curvo, como se expresa en la ﬁgura 6.10 cuya longitud de lados es aproximadamente ∆uV1 y ∆vV2 y para ∆u y ∆v peque˜ nos su a´rea es aproximadamente la del paralelogramo determinado por los vectores ∆uV1 y ∆vV2 , esto es la norma del producto vectorial ∆uV1 × ∆vV2 = V1 × V2 ∆u∆v

Figura 6.10: Rect´angulo de lados ∆u y ∆v y su imagen por g.

71 calculamos ahora V1 × V2 de V1 × V2 =

la siguiente forma i j k ∂X ∂Y 0 = ∂u ∂u ∂X ∂Y 0 ∂v ∂v

k = det(Jg(u, v)) k ∂Y ∂v

∂X ∂u

∂Y ∂u

∂X ∂v

luego el a´rea vale | det(Jg(u, v))| ∆u∆v. Por tanto puede interpretarse el jacobiano como un factor de proporcionalidad de a´reas. Consideremos una partici´ on P de un rect´ angulo Q que contenga a T , tal que los subrect´ angulos de P de dimensi´on ∆u y ∆v sean suﬁcientemente peque˜ nos. Podemos considerar que det(Jg(u, v)) es pr´ acticamente constante en cada subrect´ angulo parcial de P , es decir que es una funci´ on escalonada sobre Q. Consideramos que vale cero fuera de T . Entonces * * * * | det(J g(u, v))| dudv = | det(J g(u, v))| dudv = | det(J g(u, v))| ∆u∆v Q

T

y * por * las consideraciones anteriores esta suma es aproximadamente igual al ´area de S que sabemos que vale dxdy y por tanto S * * * * dxdy = | det(J g(u, v))| dudv S

Q

Ejemplo 6.2 Coordenadas polares: El cambio de variables g: T = (0, +∞) × (0, 2π) → R2 − {(x, 0), x ≥ 0} definido por g(r, ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ) es un difeomorfismo entre cualquier subconjunto abierto de T y su imagen, con jacobiano ∂X ∂Y ∂r ∂r cos ϕ sin ϕ det(J g(r, ϕ)) = = r = 0 = −r sin ϕ r cos ϕ ∂X ∂Y ∂ϕ ∂ϕ y por tanto

* *

* * f(x, y) dxdy = S

f(r cos ϕ, r sin ϕ) rdrdϕ T

Transformaciones lineales: Son de la forma g(u, v) = (Au + Bv, Cu + Dv) y su jacobiano vale A C = AD − BC det(J g(u, v)) = B D y si AD − BC = 0 entre cualesquiera abiertos de R2 , T y S hay difeomorfismo y se tiene * * * * f(x, y) dxdy = |AD − BC| f(Au + Bv, Cu + Dv) dudv S

6.3.

T

Integrales triples. Integrales m´ ultiple.

El concepto de integral bidimensional puede extenderse de R2 a Rn , n ≥ 3. Como el desarrollo es an´alogo al caso n = 2 s´olo expresaremos los principales resultados. on deﬁnida y acotada en su dominio. La integral de f en S se representa Sea f: S ⊂ Rn → R una funci´ por * * * * . . . f(x1 , . . . , xn ) dx1 . . . dxn o . . . f(x) dx S

S

72

Deﬁniremos primero la integral n-m´ ultiple para una funci´ on deﬁnida en un intervalo n-dimensional, es decir I = [a1 , b1 ] × . . . × [an , bn ] o tambi´en I = [a, b] donde a = (a1 , . . . , an ) y b = (b1 , . . . , bn ). Deﬁnici´ on 6.7 Llamaremos medida de I a µ(I) = (b1 − a1 ) . . . (bn − an ) Sea P1 , . . . , Pn particiones de [a1 , b1 ], . . . , [an , bn ] respectivamente. El producto cartesiano P = P1 × . . . × Pn es una partici´ on de [a, b]. Una funci´ on f: [a, b] ⊂ Rn → R se dice escalonada si en cada uno de los subintervalos abiertos determinados por una cierta partici´ on P , f es constante. La integral de esa funci´on escalonada sobre el recinto [a, b] es * * ... f(x) dx = ci µ(Ii ) [a,b]

i

donde ci es el valor de f en i-esimo subintervalo abierto Ii de la partici´ on P . La suma est´a extendida a todos los subintervalos de P . A partir de la integral n-m´ ultiple para funciones escalonadas, deﬁnimos la integral de funciones acotadas sobre intervalos. Sean f una funci´ on acotada en [a, b], s y t funciones escalonadas en [a, b] tales que s ≤ f ≤ t. Si existe un n´ umero I y s´olo uno tal que * * * * s ≤ I ≤ ... t ... [a,b]

[a,b]

para culesquiera funciones escalonadas que cumplan s ≤ f ≤ t entonces se dice que f es integrable en [a, b] y * * ... f(x) dx = I [a,b]

Si f es continua en [a, b] entonces f es integrable sobre [a, b]. Tambi´en se cumple el teorema 6.3, es decir si f es acotada en [a, b] es integrable sobre [a, b] si el conjunto de discontinuidades tiene medida cero. Un conjunto acotado S tiene medida cero si para cada ε > 0 existe una colecci´on numerable de intervalos n-dimensionales cuya uni´ on cubre S y tal que la suma de sus vol´ umenes es menor que ε. Sea S ⊂ Rn un conjunto medible Jordan. Para deﬁnir la integral de una funci´ on acotada f sobre S, ˜ Q ⊂ Rn → R deﬁnida sobre el intervalo Q que contiene a S y que coincide con consideremos una funci´ on f: f en S y es nula fuera de S. Entonces * * * * ... f = ... f˜ S

Q

caso de que exista esta u ´ ltima integral. Algunas integrales m´ ultiples pueden calcularse mediante integrales reiteradas de dimensi´on inferior. Por ejemplo, sea S ⊂ R3 deﬁnida por S = {(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ Q, ϕ1 (x, y) ≤ z ≤ ϕ2 (x, y)} donde Q ⊂ R2 es un conjunto acotado y ϕ1 y ϕ2 son funciones continuas en Q y tales que ϕ1 (x, y) ≤ ϕ2 (x, y), ∀ (x, y) ∈ Q tal como indica la ﬁgura 6.11. Entonces si f es continua en Int S se cumple que f es integrable sobre S y vale , * * * * * +* ϕ2 (x,y)

f(x, y, z) dxdydz = S

f(x, y, z) dz Q

dxdy

ϕ1 (x,y)

Esta regi´ on S corresponde a lo que podemos denominar regi´ on de tipo I en R3 . Igualmente podriamos integrar primero en y, en ciertas regiones, o en x.

73

Figura 6.11: Integraci´ on en R3 sobre una regi´ on tipo I.

6.3.1.

Cambio de variable en integrales n-m´ ultiples

El teorema 6.7 que enunciamos para el caso de dos variables se satisface tambi´en en Rn . En el caso de n = 3 se tiene * * * * * * f(x, y, z) dxdydz = f(g(u, v, w)) |J g(u, v, w)| dudvdw S

T

donde g(u, v, w) = (X(u, v, w), Y (u, v, w), Z(u, v, w)) y adem´as ∂X ∂X ∂u ∂v ∂Y ∂Y J g(u, v, w) = ∂u ∂v ∂Z ∂Z ∂u ∂v

∂Y ∂w ∂Z ∂w

∂X ∂w

Observese que J g(u, v, w) puede interpretarse como un factor de proporcionalidad de volumenes, es decir un paralelepipedo de volumen ∇u∇v∇w se transforma en un paralelepido curvo de volumen |J g(u, v, w)|∇u∇v∇w. En efecto si consideramos las funciones vectoriales V1 (u, v, w) =

∂g ∂u

V2 (u, v, w) =

∂g ∂v

V3 (u, v, w) =

∂g ∂w

∂X ∂Y ∂Z = (u, v, w), (u, v, w), (u, v, w) ∂u ∂u ∂u

∂X ∂Y ∂Z = (u, v, w), (u, v, w), (u, v, w) ∂v ∂v ∂v

=

∂X ∂Y ∂Z (u, v, w), (u, v, w), (u, v, w) ∂w ∂w ∂w

Un razonamiento similar al que vimos en el caso bidimensional conduce a que el s´olido imagen del paralelepipedo de lados ∇u, ∇v y ∇w est´a limitado por superﬁcies en xyz que se obtienen al hacer respectivamente u = cte, v = cte o w = cte y forman aproximadamente un paralelepipedo determinado por los vectores ∇u V1 , ∇v V2 y ∇w V3 . Si tenemos en cuenta que el volumen de un paralelepipedo es igual al valor absoluto del producto mixto de los tres vectores que lo determinan, en nuestro caso se tiene |(∇u V1 ) · (∇v V2 × ∇w V3 )| = |V1 · (V2 × V3 )|∇u∇v∇w = |J g(u, v, w)|∇u∇v∇w Ejemplo 6.3

74

Coordenadas cil´ındricas g

: (0, +∞) × (0, 2π) × R −→ R3 − {(x, 0, z) | x ≥ 0, z ∈ R} →

(r, θ, z)

(x, y, z) = (r cos θ, r sin θ, z)

ya sabemos que g es un cambio de variables, luego si T ⊂ (0, +∞) × (0, 2π) × R es un abierto y acotado y g(T ) = S, como cos θ −r sin θ 0 J g(r, θ, z) = sin θ r cos θ 0 = r 0 0 1 * * *

se tiene

* * * f(x, y, z) dxdydz =

f(r cos θ, r sin θ, z) r drdθdz

S

T

Coordenadas esf´ericas g

R3 − {(x, 0, z) | x ≥ 0, z ∈ R}

: (0, +∞) × (0, π) × (0, 2π) −→ →

(r, θ, φ)

(x, y, z) = (r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ)

g es un cambio de variables y si T ⊂ (0, +∞) × (0, 2π) × R es un abierto y acotado y g(T ) = S sin θ cos φ r cos θ cos φ −r sin θ sin φ J g(r, θ, φ) = sin θ sin φ r cos θ sin φ r sin θ cos φ = r 2 sin θ cos θ −r sin θ 0 y como sin θ ≥ 0 se tiene * * * * * * f(x, y, z) dxdydz = f(r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ) r 2 sin θ drdθdφ S

T

* * dxdy, el volumen de An´ alogamente a como vimos que el ´area de una regi´ on S ⊂ R2 viene dada por S * * * un s´ olido V ⊂ R3 viene dado por dxdydz y en general el volumen de un s´olido V de Rn se calcula V * * por · · · dx1 · · · dxn V

Ejemplo 6.4 El volumen de una esfera de radio 1, x2 + y2 + z 2 ≤ 1, vale +* √ 2 2 , * * * * * * * 1−x −y Vol (V ) = dxdydz = dz dxdy = √ x2 +y 2 +z 2 ≤1

x2 +y 2 ≤1

−

1−x2−y 2

x2 +y 2 ≤1

2

1 − x2 − y2 dxdy

y si hacemos el cambio a coordenadas polares se tiene

1 * 2π * 1 (1 − r 2 )3/2 4 Vol (V ) = dθ 2r 1 − r 2 dr = 2π − = π 3/2 3 0 0 0

6.3.2.

Propiedades de la integral m´ ultiple

Igual que en el caso de dos variables, la integraci´ on de funciones de varias variables tiene las siguientes propiedades Proposici´ on 6.4 1.

(Linealidad). Si f y g son funciones integrables en A y µ, λ ∈ R, entonces µf ± λg es integrable en A y * * * µf ± λg = µ f ±λ g A

A

A

75

2.

(Monoton´ıa). Si f y g son funciones integrables en A y f ≤ g en A entonces * * f≤ g A

3.

(Aditividad). Si f es integrable en A1 y A2 , entonces f es integrable en A1 ∪ A2 y * * * * f= f+ f− f A1 ∪A2

4.

A

A1

A1 ∩A2

A2

(del valor medio). Sea A ⊂ Rn y f: A → R una funci´ on continua en A. Entonces ∃x0 ∈ A tal que * f = f(x0 )v(A) A

6.4.

Funciones definidas por integrales. Teorema de Leibnitz (derivaci´ on bajo el signo integral)

* b Sea f: [a, b] × [c, d] ⊂ R2 → R supongamos que para cada y ∈ [c, d] exista la integral f(x, y) dx a * b podemos entonces deﬁnir la funci´ on F : [c, d] → R por F (y) = f(x, y) dx. Vamos a estudiar propiedades a

de la funci´ on F , como continuidad y derivabilidad seg´ un sea la funci´ on f. Teorema 6.8 (Para el l´ımite bajo el signo integral) *

on continua y sea F : [c, d] → R definida por F (y) = Sea f: [a, b] ×[c, d] ⊂ R2 → R una funci´

b

f(x, y) dx. a

Entonces F es continua, esto es, si c ≤ y0 ≤ d *

*

b

l´ım

f(x, y) dx =

y→y0

*

b

b

l´ım f(x, y) dx =

a y→y0

a

f(x, y0 ) dx a

Como f es continua en el compacto [a, b] × [c, d] es uniformemente continua, esto es

( Dem. ) ∀ε > 0

∃δ > 0

(x, y) − (x1 , y1 ) < δ

tal que si

entonces

|f(x, y) − f(x1 , y1 )| < ε

En particular si |y − y0 | < δ entonces |f(x, y) − f(x, y0 )| < ε para todo x ∈ [a, b]. Por tanto *

*

b

|F (y) − F (y0 )| = |

f(x, y) dx − a

*

b

b

f(x, y0 ) dx| ≤ a

|f(x, y) − f(x, y0 )| dx < ε(b − a) a

Esto es, F es continua en y0 . *

2

Teorema 6.9 Sea f: [a, b] × [c, d] ⊂ R → R tal que para cada y ∈ [c, d] existe la integral * b sea F (y) = f(x, y) dx.

b

f(x, y) dx y a

a

Supongamos que existe y es continua

∂f (x, y), ∀(x, y) ∈ [a, b] × [c, d]. Entonces F es derivable y ∂y F (y) =

*

b

a

∂f (x, y) dx ∂y

76

( Dem. )

Sea c ≤ y0 ≤ d, entonces F (y) − F (y0 ) = y − y0

*

b

a

f(x, y) − f(x, y0 ) dx = y − y0

*

b a

∂f (x, z) dx ∂y

∂f (x, y) es continua en [a, b] × [c, d] ∂y es uniformemente continua, luego igual que en la demostraci´ on del teorema anterior obtenemos donde z es un punto intermedio entre y e y0 distinto para cada x. Como

∀ε > 0

∃δ > 0

|y−y0 | < δ

tal que si

entonces

∂f (x, y) − ∂f (x, y0 ) < ε, ∂y ∂y

∀x ∈ [a, b].

∂f ∂f y tambi´en se cumplir´a que (x, z) − (x, y0 ) < ε pues |z − y0 | < δ. As´ı ∂y ∂y * * b F (y) − F (y ) * b ∂f b ∂f ∂f 0 − (x, y0 ) dx = (x, z) dx − (x, y0 ) dx ≤ y − y0 ∂y ∂y ∂y a a a * b ∂f (x, z) − ∂f (x, y0 ) dx < ε (b − a) ∂y ∂y a * b ∂f luego existe F (y0 ) y F (y0 ) = (x, y0 ) dx a ∂y Puede ocurrir que los l´ımites de integraci´ on dependan tambi´en de y, entonces tenemos el siguiente teorema Teorema 6.10 (de Leibnittz) Sea f: [a, b] × [c, d] ⊂ R2 → R una funci´ on continua y sean α, β: [c, d] → R funciones derivables tales ∂f que a ≤ α(y) ≤ β(y) ≤ b para cada y ∈ [c, d]. Supongamos que existe y es continua en el conjunto ∂y T = {(x, y) ∈ R2 | α(y) ≤ x ≤ β(y), c ≤ y ≤ d}. * β(y) Entonces la funci´ on F (y) = f(x, y) dx existe y es derivable ∀y ∈ [c, d] y se cumple α(y)

*

F (y) =

β(y)

α(y)

( Dem. )

∂f (x, y) dx + f(β(y), y)β (y) + f(α(y), y)α (y) ∂y

on F (y) por Sea y0 ∈ [c, d]. Escribimos la funci´ *

*

α(y0 )

*

α(y0 )

*

α(y0 )

β(y0 )

f(x, y) dx + α(y0 )

α(y)

β(y)

f(x, y) dx +

α(y)

F (y) − F (y0 ) 1 = y − y0 y − y0

*

β(y0 )

f(x, y) dx +

F (y) =

f(x, y) dx β(y0 )

f(x, y) − f(x, y0 ) 1 dx + y − y0 y − y0

como f es una funci´ on continua, podemos poner 1 y − y0

*

α(y0 )

f(x, y) dx = α(y)

α(y0 ) − α(y) f(x, y) y − y0

donde x es un valor intermedio entre α(y) y α(y0 ), luego

*

β(y)

f(x, y) dx β(y0 )

77

l´ım

y→y0

1 y − y0

*

α(y0)

f(x, y) dx = l´ım

y→y0

α(y)

α(y0 ) − α(y) f(x, y) = −α (y0 )f(α(y0 ), y0 ) y − y0

An´ alogamente

l´ım

y→y0

1 y − y0

*

β(y0 )

f(x, y) dx = β (y0 )f(β(y0 ), y0 )

β(y)

y sabemos por el teorema anterior que * β(y0 ) * β(y0 ) f(x, y) − f(x, y0 ) ∂f l´ım dx = (x, y0 ) dx y→y0 α(y ) y − y0 α(y0) ∂y 0 de donde se sigue el teorema. Este teorema puede generalizarse a funciones de m´as variables. As´ı, si consideramos las funciones f: Rm → R

α, β: Rn → R con 0< m ≤ n+1 * β(x1 ,...,xn ) f(x1 , . . . , xm ) dxm , siempre que exista esta integral. podemos deﬁnir la funci´ on F (x1 , . . . , xn ) = y

α(x1 ,...,xn )

Entonces se tiene

Teorema 6.11 Si se cumplen las condiciones 1.

f es de clase C 1

2.

α(x1 , . . . , xn ) y β(x1 , . . . , xn ) son funciones continuas cuyas derivadas parciales para todo i, 1 ≤ i ≤ n

Entonces tambi´en existen las derivadas parciales ∂F = ∂xi

6.5.

*

β(x1 ,...,xn )

α(x1 ,...,xn )

∂α ∂β y existen ∂xi ∂xi

∂F 1 ≤ i ≤ n y se cumple ∂xi

∂f ∂β ∂α (x1 , . . . , xm) dxm + f(x1 , . . . , β(x1 , . . . , xn )) − f(x1 , . . . , α(x1, . . . , xn )) ∂xi ∂xi ∂xi

Integrales impropias *

Son integrales

f donde el dominio de integraci´ on A no es un conjunto medible Jordan o la funci´ on f A

no es integrable. Por ejemplo cuando A no es un conjunto acotado o la funci´ on f no es acotada en alg´ un * conjunto de medida cero. Aun as´ı podemos calcular f aproximando por integrales bien deﬁnidas. A

6.5.1.

Integrales impropias de primera especie

Deﬁnici´ on 6.8 Sea A ⊂ Rn un conjunto no acotado y f: A → R una funci´ on tal que satisface 1.

f tiene signo constante en A

2.

f es integrable en Br (p) ∩ A, para alg´ un punto p ∈ A y ∀r > 0.

Entonces decimos que

*

* f = l´ım A

r→∞

f A∩Br (p)

Si existe este l´ımite decimos que su valor es la integral impropia de primera especie de f en A.

78

6.5.2.

Integrales impropias de segunda especie

Deﬁnici´ on 6.9 Sean A ⊂ Rn un conjunto acotado, A∗ = A − {p} con p ∈ A y f: A∗ → R una funci´ on que satisface 1.

f es de signo constante en A∗

2.

f es acotada en A − Br (p), ∀r > 0

3.

f es integrable en A − Br (p), ∀r > 0

entonces

*

* f = l´ım

A

r→0

f A−Br (p)

Si existe este l´ımite decimos que su valor es la integral impropia de segunda especie de f en A.

Cap´ıtulo 7

Integrales de l´ınea y de superficie 7.1.

Longitud de una curva

Teorema 7.1 Sea C el camino α: [a, b] ⊆ R → A ⊆ Rn con derivada α continua en [a, b], entonces la longitud L de la curva α([a, b]) viene dada por: *

*

b

dl =

L=

α (t) dt

a

C

b−a , m = b y ti+1 − ti = h para 0 ≤ i ≤ m − 1.

(Dem.) Supongamos que dividimos el intervalo [a, b] en m intervalos de la misma longitud h = on, esto es t0 = a, tm sea P = {t0 , t1 , . . . , tm } los puntos de esa partici´

Consideremos la poligonal en Rn que une los puntos α(t0 ), . . . , α(tm ). La longitud de dicha poligonal es m−1

α(ti+1 ) − α(ti ) =

i=0

m−1 .

2

2

[x1 (ti+1 ) − x1 (ti )] + . . . + [xn (ti+1 ) − xn (ti )] =

i=0 m−1 .

2

2

[x1 (ti + h) − x1 (ti )] + . . . + [xn (ti + h) − xn (ti )]

i=0

observese que l´ım

m−1

h→0

α(ti + h) − α(ti ) = L

i=0

Por el teorema del valor medio para cada componente xj , 1 ≤ j ≤ n, existen ζi ∈ (ti , ti +h) 0 ≤ i ≤ m−1 tales que xj (ti + h) − xj (ti ) = xj (ζi )h, 0 ≤ i ≤ m − 1 y cuando h → 0, ζi → ti . Por la continuidad de α se deduce que L = l´ım

h→0

m−1 i=0

α(ti + h) − α(ti ) = l´ım

h→0

m−1 . i=0

x12 (ti ) + . . . + xn2 (ti ) =

*

b

α (t) dt

a

Comentarios: Puede demostrarse que este resultado es independiente de la parametrizaci´ on elegida, como se ver´a en la proposici´ on 7.1. En particular, supongamos que queremos calcular la longitud de la gr´ aﬁca de una funci´ on f: [a, b] → R de clase C 1 . Dicha gr´ aﬁca puede considerarse como el camino deﬁnido por

79

80

α: [a, b] → R2 t → (t, f(t)) y α (t) = (1, f (t)). Por el teorema anterior *

b

L=

α (t) dt =

*

a

1 + f 2 (t) dt

b

a

. En general, dado un camino α: [a, b] → R con derivada α continua, podemos deﬁnir la funci´ on longitud del camino por * t

L: [a, b] → R

donde

L(t) =

α (s) ds

a

y, por tanto, L (t) = α (t).

7.2.

Integral de l´ınea de una funci´ on escalar

Deﬁnici´ on 7.1 Sean α: [a, b] → Rn un camino con derivada continua en (a, b), α([a, b]) = C y ϕ: C ⊂ Rn → R un campo escalar definido y acotado en C, entonces se denomina integral de l´ınea del campo escalar ϕ a lo largo de la curva C, caso de que exista, a la siguiente integral *

*

b

(ϕ ◦ α)(t) L (t) dt =

ϕ dl = C

a

*

b

(ϕ ◦ α)(t) α (t) dt

(7.1)

a

Si ϕ es continua en C dicha integral existe. Proposici´ on 7.1 La integral de l´ınea de un campo escalar ϕ a lo largo de una curva C no depende de la parametrizaci´ on. (Dem.) Si α: [a, b] → Rn y β: [c, d] → Rn son dos parametrizaciones regularmente equivalentes de la curva C recordando la deﬁnici´ on 4.5 se tiene el siguiente esquema α -

[a, b]

@ f @ R @

Rn 6 β [c, d]

donde f: [a, b] → [c, d] es un difeomorﬁsmo y α(t) = β(f(t)) y por tanto α (t) = β (f(t))f (t). Supongamos que la integral de l´ınea del campo escalar ϕ a lo largo de C exista respecto de la parametrizaci´ on β, entonces se tiene *

*

d

ϕ dl = C

(ϕ ◦ β)(s) β (s) ds

c

en la integral anterior hacemos el cambio de variable s = f(t), y por tanto ds = f (t)dt. En el caso que ambas parametrizaciones tiene la misma orientaci´on, es decir f (t) > 0 y por tanto f(a) = c y f(b) = d, se tiene *

* ϕ dl =

C

a

b

(ϕ ◦ β)(f(t)) β (f(t)) f (t) dt =

*

b

a

(ϕ ◦ β)(f(t)) β (f(t))f (t) dt =

* a

b

(ϕ ◦ α)(t) α (t) dt

81 Si f (t) < 0 se tiene f(a) = d y f(b) = c y por tanto *

*

C

b

ϕ dl = −

(ϕ◦β)(f(t)) β (f(t)) f (t) dt =

*

a

b

(ϕ◦β)(f(t)) β (f(t))f (t) dt =

*

a

b

(ϕ◦α)(t) α (t) dt

a

Comentarios: Como se ha visto el resultado de una integral de l´ınea no depende de la parametrizaci´ on de la curva ni de su sentido de recorrido se dice que son integrales que no tienen orientaci´ on. Como el c´alculo de una integral de l´ınea de un campo escalar se reduce al c´alculo de una integral de una funci´ on de una variable sobre un intervalo, ´esta tiene las propiedades de las integrales de funciones de una variable (linealidad, monoton´ıa, aditividad del intervalo,. . .). Como caso particular, tomando la funci´ on ϕ = 1 en la integral, se obtiene la expresi´ on para calcular la longitud del arco de curva C.

7.3.

Integral de l´ınea de un campo vectorial

Deﬁnici´ on 7.2 Sean α: [a, b] → Rn un camino con derivada continua en (a, b), α([a, b]) = C y f : C ⊂ Rn → n R un campo vectorial definido y acotado en C, entonces se denomina integral de l´ınea o circulaci´on del campo vectorial f a lo largo de la curva C, caso de que exista, a la siguiente integral * C

*

b

f · dl =

n *

(f ◦ α)(t) · α (t) dt =

a

b

[ fi (α)(t) αi (t) ] dt

(7.2)

a

i=1

Si f es continua en C dicha integral existe. La integral de l´ınea de una funci´ on vectorial se puede representar de las siguientes formas *

*

1.

en R2 se expresa por

* C

* f · dl =

C

C

f · dl =

C

f1 dx1 + . . . + fn dxn

f1 dx + f2 dy y en R3

* C

* f · dl =

C

f1 dx + f2 dy + f3 dz

2. Si α(a) = A y α(a) = B puede ponerse *

* C

f · dl =

3. Para caminos cerrados, es decir α(a) = α(b) * C

B

A

f · dl

/ f · dl =

C

f · dl

Proposici´ on 7.2 El valor absoluto de la integral de l´ınea de un campo vectorial f a lo largo de una curva C no depende de la parametrizaci´ on. El signo depende de la orientaci´ on de la misma. (Dem.)

La demostraci´on es semejante a la de la proposici´on 7.1.

Si α: [a, b] → Rn y β: [c, d] → Rn son dos parametrizaciones regularmente equivalentes de la curva C recordando la deﬁnici´ on 4.5 se tiene el siguiente esquema

82

α -

[a, b]

@ h @ R @

Rn 6 β [c, d]

Donde h: t ∈ [a, b] → [c, d] es un difeomorﬁsmo y α(t) = β(h(t)) y por tanto α (t) = β (h(t))h (t). Calculamos la integral de l´ınea del campo vectorial f a lo largo de C mediante la parametrizaci´ on β seg´ un la ecuaci´on 7.2 * * d

C

f · dl =

(f ◦ β)(s) · β (s) ds

c

en la integral anterior hacemos el cambio de variable s = h(t), y por tanto ds = h (t)dt, en el caso que ambas parametrizaciones tengan la misma orientaci´on, es decir h (t) > 0 se tiene h(a) = c y h(b) = d por el contrario si h (t) < 0 se tienen orientaciones opuestas y entonces h(a) = d y h(b) = c *

*

C

b

f · dl = ±

*

b

(f ◦ β)(h(t)) · β (h(t)) h (t) dt = ± a

(f ◦ α)(t) · α (t) dt

a

m´as para el caso en que las parametrizaciones α y β orienten la curva C en el mismo sentido y menos si la orientan en sentido contrario. Comentarios: Como en el caso de campos escalares el c´alculo de una integral de l´ınea de un campo vectorial se reduce al c´alculo de una integral de una funci´ on de una variable sobre un intervalo. Como consecuencia tiene las propiedades de linealidad, monoton´ıa, aditividad del intervalo,. . .. Sea α(t) una parametrizaci´ on de la curva C entonces * C

* f ·dl =

b

*

b

(f ◦α)(t)·α (t) dt = a

a

α (t) (f ◦α)(t)· α (t) dt = α (t)

*

α (t) (f ◦α)(t)· dl = α (t) C

* C

fT dl

on que relaciona la integral donde fT es la componente tangencial del vector f sobre la curva C, expresi´ de un campo vectorial con la de un campo escalar. Es decir la circulaci´ on de un vector f a lo largo de una curva C es la integral de su componente tangencial respecto de la longitud de arco. La integral de l´ınea de una funci´ on vectorial tiene orientaci´ on es decir su valor depende del sentido de recorrido de la curva como pone de maniﬁesto la proposici´ on 7.2

7.4.

Campo conservativo. Potencial escalar

Recordemos que el segundo teorema fundamental de C´ alculo nos dice que si f: [a, b] → R es una funci´ on de clase C 1 entonces * b f (x) dx = f(b) − f(a) a

Veamos ahora un teorema an´alogo para funciones escalares ϕ de varias variables. Teorema 7.2 Sean ϕ: S ⊂ Rn → R de clase C 1 en el abierto arco-conexo S (vease la deﬁnici´on 2.8), A y B dos puntos de S y α un camino en S regular o regular a trozos que une esos puntos. Entonces *

B A

∇ϕ · dl = ϕ(B) − ϕ(A)

83

(Dem.)

Supongamos que el camino α es regular, entonces * B * t1 ∇ϕ · dl = ∇ϕ(α(t)) · α (t) dt con A

α(t0 ) = A y α(t1 ) = B

(7.3)

t0

Se tiene la siguiente composici´on de funciones α [t0 , t1 ] −→ S ⊆ Rn t → α(t)

ϕ −→ R → ϕ(α(t)) = g(t)

como g = ϕ ◦ α es de clase C 1 , por la regla de la cadena su derivada es g (t) = ∇ϕ(α(t)) · α (t) y as´ı la ecuaci´on 7.3 queda * B * t1 * t1 ∇ϕ · dl = ∇ϕ(α(t)) · α (t) dt = g (t) dt = g(t1 ) − g(t0 ) = ϕ(B) − ϕ(A) A

t0

t0

igualmente si la curva fuese regular a trozos. Vemos pues que la integral de l´ınea de un gradiente continuo no depende del camino sino u ´nicamente de los puntos extremos. Corolario 7.1 Con las mismas hip´ otesis que el teorema 7.2 si el camino es cerrado simple y regular se tiene / ∇ϕ dl = 0. (7.4) C

El pr´ oximo teorema nos mostrar´ a que los gradientes continuos son los u ´nicos campos vectoriales con esta propiedad. Recordemos el primer teorema fundamental del C´ alculo: Sea f: [a, b] → R una funci´ on integrable en [a, x] para cada x ∈ [a, b]. Se deﬁne la funci´ on ϕ: [a, b] → R como * x ϕ(x) = f(t) dt, a≤x≤b a

Entonces existe ϕ (x) para cada x ∈ (a, b) donde f es continua y se cumple ϕ (x) = f(x) Vamos a dar un teorema an´ alogo para funciones f : Rn → Rn Teorema 7.3 Sea f : S ⊂ Rn → Rn un campo vectorial continuo en el abierto y arco-conexo S. Supongamos que la integral de l´ınea de f es independiente del camino en S. Por tanto podemos definir un campo escalar ϕ por * x

ϕ(x) = A

f · dl

donde

A∈S

(7.5)

entonces se cumple que ∇ϕ(x) = f (x)

(Dem.)

∀x ∈ S

Basta con demostrar que ∀x ∈ S y ∀k, 1 ≤ k ≤ n se cumple

componente k-esima de f .

∂ϕ (x) = fk (x) donde fk es la ∂xk

En efecto sean Br (x) una n-bola de centro x y radio r tal que Br (x) ⊂ S, que existe por ser S abierto, y v un vector unitario en Rn . Como x + hv ∈ S siempre que 0 < |h| < r se tiene * x+hv ϕ(x + hv) − ϕ(x) = f · dl x

84

a lo largo de cualquier camino regular o regular a trozos que une x con x +hv. En particular para el segmento de recta α: [0, 1] → S t → x + thv observemos que α (t) = hv, de donde *

*

x+hv

f · dl

ϕ(x + hv) − ϕ(x) = h

x

h

0

=

1

*

hf (x + thv) · v dt

1

=

h

0

f (x + thv) · v dt

si consideramos v = ek el k-esimo vector coordenado, se tiene * ϕ(x + hek ) − ϕ(x) = h

*

1

0

* f (x + thek ) · ek dt =

1

0

fk (x + thek ) dt =

h

0

fk (x + uek ) du h

donde hemos hecho el cambio de variable th = u. Por ser f un campo vectorial continuo podemos deﬁnir la funci´ on g: (−r, r) → R por * t fk (x + uek ) du g(t) = 0

y por el primer teorema fundamental del C´ alculo se cumple g (t) = fk (x + tek ) As´ı pues

y en particular

g (0) = fk (x)

ϕ(x + hek ) − ϕ(x) g(h) − g(0) ∂ϕ (x) = l´ım = l´ım = g (0) = fk (x) h→0 h→0 ∂xk h h

Teorema 7.4 Sea f : S ⊆ Rn → Rn un campo vectorial continuo en el abierto arco-conexo S. Entonces, son equivalentes: 1.

f es el gradiente de alg´ un campo escalar ϕ en S, es decir f (x) = ∇ϕ(x)

2.

La integral de l´ınea de f entre dos puntos cualesquiera de S es independiente del camino.

3.

La integral de l´ınea de f a lo largo de cualquier curva cerrada regular o regular a trozos contenida en S es nula. (Dem.) Probaremos que (1) ⇒ (3), (3) ⇒ (2) y por u ´ltimo que (2) ⇒ (1). (1) ⇒ (3) es consecuencia directa del corolario 7.1. (3) ⇒ (2) Sean A y B dos puntos de S y sean C1 y C2 dos caminos cualesquiera en S que unen A con B. Supongamos que sus respectivas parametrizaciones vienen dadas por C1

por

α: [a, b] → Rn

y

C2

por β: [c, d] → Rn

Como tienen los mismos extremos suponemos que A = α(a) = β(c) y B = α(b) = β(d). Sea γ: [a, b + d − c] → Rn el camino cerrado en S deﬁnido por α(t) si t ∈ [a, b] γ(t) = β(b + d − t) si t ∈ [b, b + d − c]

85 /

Entonces

*

*

f · dl =

0= C

f · dl − C1

* f · dl

* f · dl =

=⇒

C2

C1

f · dl C2

(2) ⇒ (1) es consecuencia del teorema 7.3. Deﬁnici´ on 7.3 Sea f : U ⊂ Rn → Rn un campo vectorial continuo en el abierto U de Rn . Se dice que f es conservativo si existe un campo escalar ϕ: U ⊂ Rn → R, de clase C 1 , tal que ∇ϕ(x) = f (x) ∀x ∈ U . Se dice que ϕ es el potencial escalar de f . Vemos pues que los campos conservativos son aquellos para los que la integral de linea que une dos puntos no depende del camino. Vamos a dar ahora una condici´ on necesaria para determinar si un campo vectorial es conservativo. Proposici´ on 7.3 Sea f : U ⊂ Rn → Rn un campo vectorial de clase C 1 en el abierto U de Rn . Si f es un gradiente en U , entonces se cumple ∂fj ∂fi (x) = (x) ∂xj ∂xi

1≤i≤n 1≤j≤n

∀x ∈ U

y

on de clase C 2 . Luego por el (Dem.) Supongamos que f = ∇ϕ en U donde ϕ: ⊂ Rn → R es una funci´ teorema de Schwartz se cumple ∂2ϕ ∂2ϕ = ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi

=⇒

∂fj ∂fi = ∂xi ∂xj

con

1≤i≤n 1≤j≤n

El rec´ıproco de la proposici´ on anterior no es cierto. Veamos un contraejemplo. Sea la funci´ on f: U ⊂ R2 → R2 , donde U = {(x, y) ∈ R2 : (x, y) = (0, 0)}, deﬁnida por

x −y , f (x, y) = x2 + y 2 x2 + y 2 ∂f1 ∂f2 = ∀(x, y) ∈ U , es decir cumple la condici´on necesaria de campo consevativo, ∂y ∂x sin embargo f no es un gradiente en U , pues podemos encontrar un camino cerrado dentro de U tal que la circulaci´on de f no es nula. Se puede comprobar que

α: [0, 2π] −→ R2 t → (R cos t, R sin t)

En efecto, sea

C = α([0, 2π]) es la circunferencia de centro (0, 0) y radio R /

* f · dl =

C

0

2π

f (α(t)) · α (t) dt =

* 0

2π

(cos2 t + sin2 t) dt = 2π = 0

En el cap´ıtulo siguiente veremos que la condici´ on de la proposici´ on 7.4 es tambi´en suﬁciente para alg´ un tipo de conjuntos U ⊆ Rn .

7.5.

´ Area de una superficie.

Proposici´ on 7.4 Sea

σ: T ⊂ R2 (u, v)

−→ R3 → (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

86 una superficie parametrizada simple y regular, entonces el a ´rea de S = σ(T ) viene dada por * * * area de S = ´ dS = Tu × Tv dudv S

(Dem.)

T

Veamos una justiﬁcaci´ on intuitiva.

Sea el rect´angulo N ⊂ T con v´ertices en los puntos (u, v), (u + u, v), (u, v + v) y (u + u, v + v), cuya a´rea es uv. Se trata de calcular el a´rea del elemento de superficie σ(N ), que denotaremos S (ver ﬁgura 7.1).

σ , T = ∂σ y T × T . Figura 7.1: Interpretaci´ on geom´etrica de los vectores Tu = ∂∂u v u v ∂v Una aproximaci´ on al valor de dicha a´rea se obtiene de la siguiente forma: Consideremos el segmento de extremos (u, v) y (u + u, v). Su imagen por σ es una curva sobre la superﬁcie S cuya longitud, para valores u peque˜ nos, es aproximadamente σ(u + u, v) − σ(u, v) = u

σ(u + u, v) − σ(u, v) ≈ uTu (u, v) u

Igualmente el segmento de extremos (u, v) y (u, v + v) su imagen por σ es una curva sobre la superﬁcie S cuya longitud, para valores v peque˜ nos, viene dada por σ(u, v + v) − σ(u, v) = v

σ(u, v + v) − σ(u, v) ≈ vTv (u, v) v

As´ı pues la imagen por σ del rect´angulo N es un paralelogramo curvo sobre S cuya a´rea ser´a aproximadamente el ´area del paralelogramo determinado por los vectores uTu (u, v) y vTv (u, v) cuyo valor es uTu (u, v) × vTv (u, v) = Tu (u, v) × Tv (u, v)uv De esta manera podemos considerar la norma del producto vectorial fundamental Tu (u, v) × Tv (u, v) * * dudv, tiene sentido la expresi´ on como un factor de proporcionalidad de a´reas, y como ´area de T = T * * 0 area de S = S dS = ´ Tu (u, v) × Tv (u, v) dudv. T

Comentarios: Aunque el c´alculo del a´rea de una superﬁcie se realiza a partir de una parametrizaci´ on de ´esta, como veremos en la proposici´ on 7.5, dicho c´ alculo es independiente de la parametrizaci´ on.

87 Sean f: T ⊆ R2 → R una funci´ on de clase C 1 y S = graf f = {(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ T, z = f(x, y)}, es decir una superﬁcie en forma expl´ıcita. Para calcular el a´rea de S, podemos parametrizar la superﬁcie, tal como se expresa en la ﬁgura 7.2, en la forma σ: A ⊂ R2 (x, y)

→ R3 → (x, y, f(x, y))

Figura 7.2: Superﬁcie en forma expl´ıcita, z = f(x, y). Entonces,

∂σ = ∂x

∂f ∂σ ∂f 1, 0, , = 0, 1, y ∂x ∂y ∂y i j k ∂σ ∂σ 1 0 ∂f × = ∂x ∂x ∂y 0 1 ∂f ∂y

y por tanto

∂f ∂f = − ,− ,1 ∂x ∂y

1

2 2 ∂σ ∂f ∂f ∂σ + ∂x × ∂y = 1 + ∂x ∂y

de esta forma obtenemos * * area de S = ´

1

1+

T

∂f ∂x

2 +

∂f ∂y

2 dxdy

Supongamos ahora que S = graf f est´a sobre un plano cualquiera. Consideremos la parametrizaci´ on de S dada en el punto anterior. Sabemos que el producto vectorial fundamental es un vector perpendicular al plano. Consideremos el vector unitario en el eje Z es decir k = (0, 0, 1). Entonces,

∂σ ∂σ × ∂x ∂y

·k=

∂f ∂f − , − , 1 · (0, 0, 1) = 1 ∂x ∂y

luego 1=

∂σ ∂σ × k cos γ ∂x ∂y

=⇒

∂σ ∂σ 1 × = ∀(x, y) ∈ T ∂x ∂y cos γ

Por tanto, * * area de S = ´ T

1 a´rea de T dxdy = cos γ cos γ

o bien

cos γ =

a´rea de T ´area de S

88

donde T es la proyecci´on de S sobre el plano XY en direcci´on Z y γ es el ´angulo formado por el vector ortogonal al plano y k o tambi´en el formado por el plano y el plano XY , f´ ormula an´ aloga a la que en trigonometr´ıa se conoce como regla del coseno (vease ﬁgura 7.3).

Figura 7.3: Regla del coseno para un rect´ angulo. Observemos que si f es constante, es decir, S est´a en un plano paralelo al plano coordenado XY , ∂f ∂f entonces =0y = 0 y adem´ as γ = 0 y seg´ un lo anterior se tiene ∂x ∂y * * ´area de S = dxdy A

que es la f´ ormula ya conocida para el c´ alculo de a´reas en R2 .

7.6.

Integral de superficie de una funci´ on escalar

Deﬁnici´ on 7.4 Sean σ: D ⊂ R2 → R3 , con D abierto, una superficie parametrizada simple y regular, σ(D) = S y f: S ⊂ R3 → R un campo escalar definido y acotado en S. * fdS a la integral, caso de que exista Se denomina integral de superﬁcie de f y se denota por S

*

* * f(σ(u, v)) Tu ∧ Tv dudv

fdS = S

D

Proposici´ on 7.5 La integral de superficie de un campo escalar f sobre una superficie regular S no depende de la parametrizaci´ on de S. (Dem.) Sean σ: D1 ⊂ R2 → R3 y γ: D2 ⊂ R2 → R3 dos parametrizaciones regularmente equivalentes de S, si recordamos la deﬁnici´ on 4.12 se tiene el siguiente esquema D1

σ

-

@ g @ R @

R3 6 γ D2

donde g: D1 → D2 es un difeomorﬁsmo y adem´ as σ(D1 ) = γ ◦ g(D1 ) y por tanto se tiene

89



∂x  ∂u    ∂y Dσ(u, v) =   ∂u    ∂z 

∂u

  ∂x  ∂v        ∂y  = Dγ(g(u, v)) Dg(u, v) = Dγ(s, t) Dg(u, v) =    ∂v       ∂z ∂v

∂x ∂s ∂x ∂t +  ∂s ∂u ∂t ∂u    ∂y ∂s ∂y ∂t   ∂s ∂u + ∂t ∂u    ∂z ∂s ∂z ∂t + ∂s ∂u ∂t ∂u

∂x ∂s ∂y ∂s ∂z ∂s

 ∂x  ∂t    ∂y    ∂t    ∂z  ∂t

∂s ∂u ∂t ∂u

 ∂s ∂v   = ∂t  ∂v

 ∂x ∂s ∂x ∂t + ∂s ∂v ∂t ∂v   

∂y ∂s ∂y ∂t   = ∂γ ∂s + ∂γ ∂t , ∂γ ∂s + ∂γ ∂t + ∂s ∂u ∂t ∂u ∂s ∂v ∂t ∂v ∂s ∂v ∂t ∂v    ∂z ∂s ∂z ∂t  + ∂s ∂v ∂t ∂v

De donde

∂σ ∂σ ∂γ ∂s ∂γ ∂t ∂γ ∂s ∂γ ∂t ∂γ ∂γ ∂s ∂t ∂s ∂t ∂γ ∂γ × = + × + = × − = × Jg(u, v) ∂u ∂v ∂s ∂u ∂t ∂u ∂s ∂v ∂t ∂v ∂s ∂t ∂u ∂v ∂v ∂u ∂s ∂t

Si calculamos la integral de f en S utilizando la parametrizaci´ on γ y posteriormente hacemos el cambio de variable (s, t) = g(u, v) se tiene ** ** ** ∂γ ∂γ ∂σ ∂γ ∂γ ∂σ dudv f(γ(s, t)) × × × dsdt = f(γ(g(u, v))) |Jg(u, v)|dsdt = f(σ(u, v)) ∂s ∂t ∂u ∂v ∂u ∂v D2 D1 D1 que corresponde con el c´alculo de la integral de f en S utilizando la parametrizaci´ on σ Comentarios: Obs´ervese que como consecuencia de la anterior proposici´on la deﬁnici´ on 7.4 de integral de superﬁcie a partir de una parametrizaci´ on es correcta. Como caso particular, tomando la funci´ on f = 1 en la integral, se obtiene la expresi´ on para calcular el area de la superﬁcie. ´ El resultado de una integral de superﬁcie no depende de la orientaci´ on de la superﬁcie.

7.7.

Integral de superficie de un campo vectorial en

R

3

Tambi´en se denominan integral de flujo o ﬂujo de f a trav´es de S Deﬁnici´ on 7.5 Sean σ: D ⊂ R2 → R3 , con D abierto, una superficie parametrizada simple regular, σ(D) = S y f : S ⊂ R3 → R3 un campo vectorial definido y acotado en S. * f · dS a la integral, caso de que exista, siguiente Se denomina integral de superﬁcie de f y se denota por S

*

* * f · dS =

S

f (σ(u, v)) · (Tu × Tv ) (u, v) dudv D

Si consideramos el vector normal unitario n =

Tu × Tv que sabemos que es normal a la superﬁcie S Tu × Tv

en cada punto, obtenemos * * * * * * * f · dS = f (σ(u, v)) · (Tu × Tv ) dudv = f (σ(u, v)) · nTu × Tv dudv = f · n dS = fN dS S

D

D

S

S

90

As´ı el ﬂujo de f a trav´es de S es tambi´en la integral de la componente normal de f , es decir fN , en S. Veamos ahora que el valor absoluto de la integral de un campo vectorial sobre S tampoco depende de c´omo se parametrice la superﬁcie. Proposici´ on 7.6 El valor absoluto de la integral de superficie de un campo vectorial f sobre una superficie regular S no depende de la parametrizaci´ on de S. El signo depende de la orientaci´ on de ´esta. Es decir si σ: D1 ⊂ R2 → R3 y γ: D2 ⊂ R2 → R3 son dos parametrizaciones regularmente equivalentes de S se tiene * * * * f (σ(u, v)) · (Tu × Tv ) dudv = ± f (γ(s, t)) · (Ts × Tt ) dsdt D1

D2

(Dem.) Si calculamos la integral de f en S utilizando la parametrizaci´ on γ y posteriormente hacemos el cambio de variable (s, t) = g(u, v) se tiene

** ** ** ∂γ ∂γ ∂γ ∂γ ∂σ ∂σ f (γ(s, t))· × dsdt = f (σ(u, v))· × |Jg(u, v)|dsdt = ± f (σ(u, v))· × dudv ∂s ∂t ∂u ∂v ∂u ∂v D2 D1 D1 que corresponde con el c´alculo de la integral de f en S utilizando la parametrizaci´ on σ. Observemos que el signo es + o − seg´ un sea el signo del jacobiano de g o lo que es lo mismo si las dos parametrizaciones orientan S de la misma forma. Recordemos que en un difeomorﬁsmo Jg(u, v) = 0 y por tanto el jacobiano es siempre ∀(u, v) o positivo o negativo.

Cap´ıtulo 8

Teoremas integrales del An´ alisis Vectorial En el cap´ıtulo anterior se ha tratado sobre la integraci´ on de funciones escalares y vectoriales a lo largo de curvas y superﬁcies. En el presente cap´ıtulo vamos a estudiar primeramente los operadores diferenciales y posteriormente los teoremas del An´alisis vectorial, que relacionan las integrales vistas anteriormente.

8.1.

Operadores diferenciales.

8.1.1.

Gradiente.

En el Tema IV ya estudiamos el gradiente de una funci´ on escalar y sus propiedades geom´etricas. Recordemos brevemente su deﬁnici´ on y algunas propiedades. Deﬁnici´ on 8.1 Sea f: A ⊂ Rn → R, con A abierto, un campo escalar de clase C 1 . Definimos como gradiente de f en A el campo vectorial

grad f = ∇f: A ⊂ Rn → Rn

dado por

∇f(x) =

∂f ∂f (x), . . . , (x) ∂x 1 ∂x n

El operador gradiente u operador nabla suele representarse simb´ olicamente por ∇ =

∂ ∂ , . . ., ∂x1 ∂xn

Proposici´ on 8.1 Sean f, g: A ⊂ Rn → R, con A abierto, campos escalares de clase C 1 . Se cumple 1.

∇(f + g) = ∇f + ∇g.

2.

∇(λf) = λ∇f

3.

∇(fg) = f∇g + g∇f.

∀λ ∈ R.

(Dem.) Basta comprobar las igualdades.

8.1.2.

Divergencia

Deﬁnici´ on 8.2 Sea f : A ⊂ Rn → Rn , con A abierto, un campo vectorial de clase C 1 . Definimos como divergencia de f en A el campo escalar 91

92

div f = ∇ · f : A ⊂ Rn → R

dado por

div f (x) = ∇ · f (x) =

∂f1 ∂fn (x) + . . . + (x) ∂x1 ∂xn

Se utiliza la notaci´ on simb´ olica

∂ ∂ ∂f1 ∂fn · (f1 , . . . , fn ) = ∇·f = , . . ., +...+ ∂x1 ∂xn ∂x1 ∂xn En el caso particular de que el campo vectorial f sea el campo de velocidad de un ﬂuido v = (v1 , v2 , v3 ) : A ⊂ R3 → R3

con

div v =

∂v1 ∂v2 ∂v3 + + ∂x ∂y ∂z

entonces una interpretaci´ on de la divergencia es la tasa de variaci´ on (expansi´ on o compresi´on, seg´ un el signo) de masa de ﬂuido por unidad de volumen. Proposici´ on 8.2 Sean f , g : A ⊂ Rn → Rn , con A abierto, campos vectoriales de clase C 1 y sea h: A ⊂ n R → R un campo escalar de clase C 1 . Entonces 1.

div(f + g) = div f + div g.

2.

div(λf ) = λ div f

3.

div(hf ) = h div f + ∇h · f .

∀λ ∈ R.

(Dem.) Basta comprobar las igualdades.

8.1.3.

Rotacional

Se deﬁne para campos vectoriales en R3 Deﬁnici´ on 8.3 Sea f : A ⊂ R3 → R3 , con A abierto, un campo vectorial de clase C 1 . Definimos como rotacional de f en A el campo vectorial rot f = ∇ × f : A ⊂ R3 → R3 dado por

i ∂ rot f = (∇ × f ) = ∂x f 1

j ∂ ∂y f2

k

∂f3 ∂ ∂f2 ∂f1 ∂f3 ∂f2 ∂f1 − , − , − = ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y f3

Vamos a considerar el signiﬁcado f´ısico de rot f para un determinado campo vectorial. Sea un s´ olido r´ıgido que gira alrededor del eje Z con velocidad angular constante ω. Consideremos el campo vectorial v : R3 → R3 que asocia a cada punto del s´olido su velocidad. Si ω = (0, 0, ω) veamos que v =ω×r En efecto, el vector velocidad v es perpendicular al plano determinado por los vectores ω y r. Por otra parte si α es el ´angulo girado en un tiempo t y S es el espacio recorrido en ese mismo tiempo, se tiene S =α d

93

donde d es la distancia del punto al eje de giro. Ahora bien, d = r sin θ siendo θ el ´angulo que forman el vector posici´on r con el vector ω. Por tanto v =

S αd = = ω r sin θ t t

Por tanto,

i j v = ω × r = 0 0 x y

k ω z

=⇒

v=ω×r

= (−ωy, ωx, 0)

y

i j k ∂ ∂ ∂ rot v = = (0, 0, 2ω) = 2ω ∂x ∂y ∂z −ωy ωx 0 Vemos pues que en la rotaci´on de un cuerpo r´ıgido alrededor de un eje, el rotacional del campo de velocidades es un campo vectorial constante. Adem´ as dicho rotacional es un vector que tiene direcci´ on paralela al eje de rotaci´ on y su norma es el doble de la velocidad angular. Deﬁnici´ on 8.4 Sea f : A ⊂ R3 → R3 , con A abierto, un campo vectorial de clase C 1 . Se dice que f es irrotacional en A si rot f = 0. Proposici´ on 8.3 Sean f , g : A ⊂ R3 → R3 , con A abierto, campos vectoriales de clase C 1 y sea h: A ⊂ 3 R → R un campo escalar de clase C 1 . Entonces 1.

rot(f + g) = rot f + rot g.

2.

rot(λf ) = λ rot f

3.

rot(hf ) = h rot f + ∇h × f .

∀λ ∈ R.

(Dem.) Basta comprobar las igualdades. Proposici´ on 8.4 1.

Sea f: A ⊂ R3 → R, con A abierto, un campo escalar de clase C 2 , entonces rot (grad f) = 0 as´ı pues grad f es irrotacional.

2.

Sea f : A ⊂ R3 → R3 , con A abierto, un campo vectorial de clase C 2 , entonces div (rot f ) = 0 esto es, rot f es un campo vectorial con divergencia nula.

(Dem.) 1.

i ∂ rot(grad f) = ∇ × (∇ f) = ∂x ∂f ∂x

j ∂ ∂y ∂f ∂y

k ∂ 2 ∂ f ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f = − , − , − =0 ∂z ∂y∂z ∂z∂y ∂z∂x ∂x∂z ∂x∂y ∂y∂x ∂f ∂z

ya que f es de clase C 2 sus derivadas cruzadas son iguales.

94

2. Se demuestra an´ alogamente al anterior.

8.1.4.

Laplaciana

Deﬁnici´ on 8.5 1.

Sea f: A ⊂ Rn → R, con A abierto, un campo escalar de clase C 2 . Definimos el operador laplaciana de f en A como el campo escalar f: Rn → R

2.

dado por

f(x) = ∇2 f(x) = (∇ · ∇)f(x) =

∂ 2f ∂2f (x) + . . . + 2 (x) 2 ∂x1 ∂xn

Sea f : A ⊂ Rn → Rn , con A abierto, un campo vectorial de clase C 2 . Definimos el operador laplaciana de f en A como el campo vectorial f : Rn → Rn

f (x) = ∇2 f (x) = (f1 (x), . . . , fn (x))

dado por

esto es, el campo vectorial cuyas componentes son las laplacianas de las componentes de f . Deﬁnici´ on 8.6 Sea f: A ⊂ Rn → R, con A abierto, un campo escalar de clase C 2 . Se dice que f es una funci´ on arm´ onica si f = 0. An´ alogamente se dice si f es un campo vectorial.

8.1.5.

Propiedades de los operadores diferenciales

Recordemos algunas de las propiedades de los operadores diferenciales Proposici´ on 8.5 (Con las adecuadas hip´ otesis sobre la diferenciabilidad con continuidad de las funciones que intervienen): 1.

(Linealidad del gradiente): ∇(αϕ ± βψ) = α∇ϕ ± β∇ψ

2.

(Gradiente del producto): ∇(ϕψ) = ψ∇ϕ + ϕ∇ψ

3.

(Rotacional de un gradiente): ∇ × (∇ϕ) = 0

4.

(Divergencia de un gradiente, la laplaciana): div (grad ϕ) = ∇2 ϕ = ϕ

5.

(Linealidad del rotacional): ∇ × (αf ± βg)α∇ × f ± β∇ × g

6.

(Rotacional del producto): ∇ × (ϕf ) = ϕ∇ × f + ∇ϕ × f

7.

(Rotacional del rotacional): ∇ × (∇ × f ) = ∇(∇ · f ) − ∆f

95

8.

(Divergencia del rotacional): ∇ · (∇ × f ) = 0

9.

(Linealidad de la divergencia): ∇ · (αf ± βg) = α∇ · f ± β∇ · g

10.

(Divergencia del producto): ∇ · (ϕf ) = ϕ∇ · f + ∇ϕ · f

11.

(Divergencia del producto vectorial): ∇ · (f × g) = g · (∇ × f ) − f · (∇ × g)

12.

(Linealidad de la laplaciana): (αf ± βg) = αf ± βg

8.2. 8.2.1.

Teoremas integrales Teorema de Green

El segundo teorema fundamental del c´ alculo para las integrales de l´ınea de un gradiente ∇ϕ a lo largo de un camino que une dos puntos A y B vale ϕ(B) − ϕ(A), es decir es una funci´ on de los extremos del camino. Existe un teorema an´ alogo en R2 que expresa una integral doble extendida a una regi´on R como una integral de l´ınea a lo largo de la curva cerrada que constituye la frontera geom´etrica o borde de R. Este teorema se denomina teorema de Green que enunciamos de la siguiente manera Teorema 8.1 (de Green) Sea f : S ⊂ R2 → R2 , con S abierto, un campo vectorial de clase C 1 , f (x, y) = (P (x, y), Q(x, y). Sea C una curva de Jordan regular a trozos y representemos por R la uni´ on de C y su interior. Supongamos que R est´ a contenida en S, entonces se cumple * *

/ ∂Q ∂P P dx + Q dy (8.1) − dxdy = ∂x ∂y R C donde la integral de l´ınea se toma recorriendo C en sentido contrario al de las agujas del reloj. Comentarios El teorema de Green es v´alido para curvas C de Jordan rectificables, esto es, curvas cerradas simples con longitud ﬁnita, La demostraci´ on en este caso es compleja. Como hemos deﬁnido la integral de l´ınea a lo largo curvas regulares a trozos enunciamos el teorema para este tipo de curvas. Sabemos que una curva de Jordan es una curva cerrada y simple. Toda curva de Jordan divide el plano en dos conjuntos abiertos, arco-conexos y disjuntos que tienen la curva C como frontera com´ un. Una de esas regiones es acotada y se llama interior a C. La otra es no acotada y se llama exterior a C. Para ciertas curvas de Jordan como circunferencias elipses o pol´ıgonos elementales es evidente la existencia de una regi´on interior, que es acotada, y otra exterior no acotada, pero demostrar que esto es cierto cualquiera que sea la cuva de Jordan no es f´acil. Otra diﬁcultad asociada a la formulaci´ on del teorema de Green es que la curva C debe ser recorrida en sentido contrario al de las agujas del reloj. Intuitivamente esto signiﬁca que la curva C se recorra de forma que la regi´ on R quede a la izquierda. Tambi´en para las curvas de Jordan anteriormente citadas el concepto de “contrario al de las agujas del reloj” es evidente, sin embargo para otras curvas se deber´ıa deﬁnir de forma m´ as rigurosa, posteriormente comentaremos una posible deﬁnici´on.

96

Recordemos la notaci´on /

* t1 * t1 * t1 / / (P, Q) dα = (P ◦α(t), Q◦α(t))·α (t) dt = P ◦α(t)x (t) dt+ Q◦α(t)y (t) dt = P dx+ Q dy t0

t0

t0

C

C

Vamos ahora a comprobar el teorema de Green para unas ciertas regiones especiales. Observemos en primer lugar que un enunciado equivalente del teorema se obtiene sustituyendo la ecuaci´ on 8.1 por las ecuaciones * * * * / / ∂Q ∂P Q dy y − P dx (8.2) dxdy = dxdy = ∂x R C R ∂y C (Dem.) En efecto, si las igualdades 8.2 son v´ alidas, sumando se deduce la ecuaci´on 8.1. Reciprocamente, si el campo vectorial (P (x, y), Q(x, y)) cumple las condiciones del teorema de Green y, por tanto, se satisface la igualdad 8.1, entonces los campos vectoriales (P, 0) y (0, Q) tambi´en cumplen aquellas condiciones y, por tanto, se satisfacen las igualdades 8.2. Sea ahora R una regi´ on del tipo I (vease ﬁgura 8.1), esto es, R = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, f(x) ≤ y ≤ g(x)} en donde f y g son continuas en [a, b] y f ≤ g, ∀x ∈ [a, b].

Figura 8.1: Regi´ on tipo I. aﬁca de f, C2 la gr´ aﬁca de g, C3 La frontera C de R consta de cuatro de cuatro curvas: C1 que es la gr´ el segmento x = a, y C4 el segmento x = b, cuyas parametrizaciones y sentidos correspondientes, si tenemos en cuenta que C se ha de recorrer en sentido contrario al de las agujas del reloj, son: C1 C2 C3 C4

: : : :

α1 (t) = (t, f(t)) α2 (t) = (t, g(t)) α3 (t) = (a, t) α4 (t) = (b, t)

a≤t≤b a≤t≤b f(a) ≤ t ≤ g(a) f(b) ≤ t ≤ g(b)

en en en en

el el el el

sentido sentido sentido sentido

de de de de

t t t t

crecientes decrecientes decrecientes crecientes

y y y y

α1 (t) = (1, f (t)) α2 (t) = (1, g (t)) α3 (t) = (0, 1) α4 (t) = (0, 1)

Vamos a comprobar que la segunda de las igualdades de la ecuaci´ on 8.2 se cumple en una regi´ on del tipo I. En efecto, , * b * b +* g(x) * b * * ∂P ∂P P (x, f(x)) dx − P (x, g(x)) dx dxdy = − dy dx = − a f(x) ∂y a a R ∂y Por otra parte,

*

/ P dx = C

*

*

P dx + C1

*

P dx + C2

P dx + C3

P dx C4

Veamos primeramente que las integrales a lo largo de los segmentos verticales son nulas. * g(a) * P (x, y) dx = − P ◦ α3 (t)x (t) dt = 0 C3

f(a)

97 ya que x (t) = 0 en C3 y lo mismo ocurre sobre la curva C4 . Por tanto, /

* P dx =

C

C1

* P dx+ C2

*

b

P dx =

* P ◦α1 (t)x (t) dt−

a

b

P ◦α2 (t)x (t) dt =

a

* *

as´ı se tiene −

R

*

b

a

∂P dxdy = ∂y

* P (t, f(t)) dt−

b

P (t, g(t)) dt a

/ P dx C

Un razonamiento parecido puede emplearse para demostrar que en regiones R del tipo II se cumple * * / ∂Q Q dy dxdy = R ∂x C Se obtiene de este modo una demostraci´on del teorema de Green para regiones que son a un tiempo de tipo I y de tipo II. Puede ahora demostrarse el teorema para regiones R que puedan descomponerse en un n´ umero ﬁnito de regiones que son de ambos tipos (vease ﬁgura 8.2).

Figura 8.2: Regi´ on cualquiera. Se introducen las secciones o cortes necesarias para conseguir subregiones de ambos tipos, se aplica el teorema a cada subregi´on y se suman los resultados. Las integrales a lo largo de los cortes se anulan, y la suma de las integrales a lo largo de las fronteras de las subregiones es igual a la integral de l´ınea a lo largo de la frontera de R. Comentario Calculo de a´reas mediante integrales de l´ınea: Sea R la regi´ on encerrada por una curva de Jordan C regular a trozos. Supongamos que f = (P, Q) con ∂Q ∂P P y Q funciones R2 → R de clase C 1 y tales que − = 1 en R. Entonces, se tiene ∂x ∂y * *

/ * * ∂Q ∂P dxdy = P dx + Q dy − dxdy = area de R = ´ ∂x ∂y R R C Por ejemplo, P y Q pueden ser P (x, y) = − 12 y y Q(x, y) =

1 2

x.

Campos conservativos en el plano. Sea f (x, y) = (P (x, y), Q(x, y) un campo vectorial de clase C 1 en el abierto S del plano. Una condici´ on necesaria para que f sea el gradiente de un campo escalar ϕ (su potencial escalar) es que ∂P ∂Q = ∂y ∂x

en S

98

sin embargo esta condici´on no es suﬁciente. Por ejemplo el campo vectorial

f (x, y) =

−y x , 2 2 2 x + y x + y2

satisface la condici´on necesaria en el abierto S = R2 − {(0, 0)} pero no es un gradiente en S, por ejemplo las circulaciones a lo largo de circunferencias C centradas en el origen no son nulas. En efecto, una parametrizaci´ on de C es C : α(t) = (R cos t, R sin t),

t ∈ (0, 2π)

por lo que la circulaci´ on de f a lo largo de C vale /

* f (x, y) · dα =

C

0

2π

(f ◦ α)(t) · α (t) dt =

*

2π

0

−R sin t R cos t , R2 R2

* · (−R sin t, R cos t) dt =

2π

dt = 2π 0

Sin embargo la condici´ on necesaria es tambi´en suﬁciente si se impone que S sea un simplemente conexo Deﬁnici´ on 8.7 Sea S un conjunto abierto arco-conexo del plano se dice que que S es simplemente conexo si para toda curva de Jordan C en S, la regi´ on interior a C es tambi´en un subconjunto de S. Dicho de forma intuitiva, un conjunto abierto simplemente conexo es un abierto conexo sin “agujeros”. Teorema 8.2 Sea f (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) un campo vectorial de clase C 1 en un abierto simplemente conexo S del plano. Entonces, f es un gradiente en S si y s´ olo si ∂P ∂Q = ∂y ∂x

en S

(Dem.) Sabemos que es condici´on necesaria y para demostrar que es tambi´en condici´ on sufuciente nos basamos en teorema de Green. El teorema de Green puede generalizarse y ser aplicado a ciertas regiones m´ ultiplemente conexas. Teorema 8.3 (de Green en regiones m´ ultiplemente conexas). Sean C1 , . . . , Cn , n curvas de Jordan regulares a trozos que tengan las propiedades siguientes: 1.

Dos cualesquiera de esas curvas no se cortan.

2.

Todas las curvas C2 , . . . , Cn est´ an situadas en el interior de C1 .

3.

a en el exterior de la curva Cj para cada i = j, i > 1, j > 1. La curva Ci est´

Designemos por R la regi´ on que consite en la uni´ on de C1 y su interior pero no interior a C2 , . . . , Cn . Sea P y Q campos escalares derivables con continuidad en un abierto S que contenga a R. Entonces se tiene * *

R

∂Q ∂P − ∂x ∂y

/ P dx + Q dy −

dxdy = C1

n / k=2

Ck

P dx + Q dy

(8.3)

99

Figura 8.3: Regi´ on multiplemente conexa. < C R’ > A

> <

B

>

D

<

E

C’

< R’’ >

Figura 8.4: Regi´ on doblemente conexa. El teorema puede demostrarse introduciendo cortes que transforme R en una reuni´on de un n´ umero ﬁnito de regiones simplemente conexas bordeadas por curvas de Jordan. El teorema de Green se aplica separadamente a cada una de las partes y se suman los resultados. Comentaremos el caso para n = 2. Por inducci´ on se demuestra para un n´ umero cualquiera n de curvas. La idea de la demostraci´on cuando n = 2 se ilustra en la siguiente ﬁgura on cuya frontera donde C es la circunferencia exterior y C es la circunferencia interior. Sea R la regi´ orientada Γ1 es el camino que une los puntos A → B siguiendo una recta, B → D siguiendo el semicirculo superior C , de D → E recta y E → A por el semicirculo superior C. Consid´erese igualmente la frontera orientada Γ2 de la regi´ on R . Si ahora plicamos el teorema de Green a cada una de estas dos regiones se tiene * *

R

∂Q ∂P − ∂x ∂y

* * dxdy =

/

R

∂Q ∂P − ∂x ∂y

/ P dx + Q dy +

Γ1

dxdy =

/ P dx + Q dy −

C

∂Q ∂P − ∂x ∂y

R

/ P dx + Q dy =

Γ2

* * dxdy +

P dx + Q dy C

El signo menos aparece debido a la direcci´ on en que se recorre C . Esta es la ecuaci´on 8.3 en el caso n = 2. ∂Q ∂P Ya hemos visto que para una regi´on simplemente conexa S la condici´ on = implica que la integral ∂x ∂y / de linea P dx + Q dy es independiente del camino en S. Si S no es simplemente conexo no se deduce que la integral de l´ınea sea independiente del camino, pero como consecuencia del teorema anterior podemos deducir otra condici´ on de independencia.

100

Teorema 8.4 (De deformaci´ on de caminos) ∂Q ∂P = en S, sean ∂x ∂y C1 y C2 dos curvas de Jordan regulares a trozos situadas en S y que satisfacen las siguientes condiciones Sea f = (P, Q): R2 → R de clase C 1 en un abierto arco-conexo S. Supongamos que

C2 est´ a en el interior de C1 Los puntos interiores a C1 que son exteriores a C2 pertenecen a S Entonces se cumple /

/ P dx + Q dy =

C1

P dx + Q dy C2

recorriendose ambas curvas en el mismo sentido (vease ﬁgura 8.5).

Figura 8.5: Deformaci´ on de caminos. (Dem.) Es consecuencia directa del teorema de Green en regiones doblemente conexas vease ﬁgura 8.4.

∂P ∂Q El teorema tambi´en puede expresarse diciendo que bajo las condiciones del teorema = el ∂y ∂x valor de la integral de l´ınea a lo largo de una curva cerrada simple en S no var´ıa si el camino se cambia por deformaci´ on en otra curva cerrada simple cualquiera de S, de modo que todas las curvas intermedias que se van obteniendo en la deformaci´ on est´an dentro de S. Se supone que S es un abierto y conexo, no es preciso que sea simplemente conexo. Comentario: El n´ umero de giros Ya se sabe que el valor de una integral de l´ınea depende en general de la curva a lo largo de la cual se integra y del sentido en que dicha curva se recorre. Por ejemplo, la igualdad del teorema de Green, es decir la ecuaci´on 8.1, exige que la integral se tome en el sentido contrario al de las agujas del reloj. En un sentido riguroso del teorema de Green ser´ıa necesario describir anal´ıticamente lo que signiﬁca recorrer una curva cerrada en el sentido contrario al de las agujas de un reloj, y esto no siempre es sencillo. Para curvas regulares a trozos puede hacerse introduciendo el concepto de n´ umero de giros, una forma precisa para contar el n´ umero de veces que vector posici´on α de una curva gira alrededor de un punto dado cuando va describiendo una curva cerrada dada. Damos una breve sugerencia de en qu´e consiste este m´etodo.

y x Recordemos que si f (x, y) = − 2 y C es la circuferencia de centro (0, 0) y radio 1 , x + y 2 x2 + y 2 parametrizada mediante α(t) = (cos t, sin t), entonces 1 2π

/ f · dα = 1, C

si C se recorre n veces entonces

1 2π

/ f · dα = n. C

101

An´ alogamente puede demostrarse que si C es una curva cerrada del plano, regular a trozos y P = (x0 , y0 ) un punto no situado en la curva C, se tiene 1 2π

/ C

−(y − y0 ) dx + (x − x0 ) dy (x − x0 )2 + (y − y0 )2

es siempre un entero positivo, negativo o nulo. Y en particular, si C es una curva de Jordan ese entero es 0 si P es exterior a C y vale 1 o −1 si P es interior a C. Esto nos permite deﬁnir las orientacion positiva o negativa para C del siguiente modo. Si la integral anterior vale 1 para todo punto P interior a C decimos que α describe C en sentido positivo o contrario al de las agujas del reloj. Si la integral vale −1 decimos que α describe C en sentido negativo o de las agujas del reloj. Para probar que la integral da siempre 1 o −1 para una curva C de Jordan alrededor de un punto (x0 , y0 ) basta considerar el abierto y conexo S = R2 − {(x0 , y0 )}. * ∂P ∂Q P dx + Q dy se cumple = . Luego por el teorema 8.4 si (x0 , y0 ) Es f´ acil ver que en la integral ∂y ∂x C es un punto interior a C podemos reemplazar la curva C por una circuferencia de centro (x0 , y0 ) y el valor de la integral es el mismo. Si parametrizamos la circunferencia por α(t) = (x0 + a cos t, y0 + a sin t) obtenemos 1 2π

/

1 f · dα = 2π C

/ 0

2π

1 dt = ±1

+1 si la circunferencia se recorre positivamente y −1 si se recorre negativamente. Ecuaciones diferenciales exactas Deﬁnici´ on 8.8 Dada una ecuaci´ on diferencial en la forma P (x, y) + Q(x, y) y = 0 o en su forma m´ as com´ un P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0

(8.4)

se dice que es una ecuaci´on diferencial exacta si existe un campo escalar ϕ: R2 → R

que cumple

ϕx (x, y) = P (x, y)

y

ϕy (x, y) = Q(x, y)

y tal que la ecuaci´ on ϕ(x, y) = C define y como funci´ on ´ımplicita de x, es decir y = y(x). Obsevemos que en tal caso se tiene ϕ(x, y(x)) = C ecuaci´on que derivada respecto de x queda ϕx (x, y)+ϕy (x, y) y (x) = 0

=⇒

P (x, y) + Q(x, y) y = 0

=⇒

P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0

Como consecuencia ϕ(x, y) = C, con C ∈ R, representa la soluci´ on en forma impl´ıcita de la ecuaci´on 8.4. Nos interesa saber cu´ando una ecuaci´ on diferencial es exacta. Teorema 8.5 Sean P, Q: S ⊂ R2 → R funciones escalares de clase C 1 en el abierto simplemente conexo S. La ecuaci´ on P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 es diferencial exacta si y s´ olo si Py (x, y) = Qx (x, y) ∀(x, y) ∈ S. (Dem.) Se deduce del teorema de Green ya que en las hip´ otesis del teorema la condici´on Py = Qx es necesaria y suﬁciente para que el campo vectorial f = (P, Q) sea conservativo, esto es f (x, y) = ∇ϕ(x, y).

102

Factor integrante Sucede a veces que la ecuaci´on P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 no es diferencial exacta, pero puede haber una funci´ on µ(x, y) de manera que la ecuaci´on µ(x, y) P (x, y) dx + µ(x, y) Q(x, y) dy = 0 s´ı que sea diferencial exacta. La funci´on µ(x, y) se denomina factor integrante. De acuerdo con el teorema anterior para que esta u ´ltima ecuaci´ on sea diferencial exacta se ha de cumplir (µP )y = (µQ)x

esto es,

P µy − Q µx + (Py − Qx) µ = 0

Determinar una funci´ on µ(x, y) que satisfaga la ecuaci´on anterior no es en general f´ acil, se suelen buscar factores integrantes que sean funci´on s´ olamente de x, de y, de xy, . . .. La soluci´on de µ(x, y) P (x, y) dx + µ(x, y) Q(x, y) dy = 0 es tambi´en soluci´on de la ecuaci´on dada P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0.

8.2.2.

Teorema de Stokes

El teorema de Green expresa una relaci´on entre una integral doble extendida a una regi´ on plana y una integral de linea extendida a su frontera orientada. El teorema de Stokes que vamos a enunciar a continuaci´ on se puede considerar como una generalizaci´on del teorema de Green y establece una relaci´on entre el ﬂujo de un cierto campo vectorial a trav´es de una superﬁcie S y la circulaci´ on de cierto campo vectorial a lo largo del borde de S. Teorema 8.6 (de Stokes). Sea S una superficie parametrizada simple regular definida por σ : T ⊂ R2 → R 3

tal que

S = σ(T )

con T una regi´ on del plano limitada por una curva de Jordan Γ regular a trozos. Supongamos que σ es de clase C 2 en un abierto que contenga T ∪ Γ. Designemos por C = σ(Γ) = ∂(S), esto es, C es el borde de S. Sea f = (P, Q, R) : S ⊂ R3 → R3 , un campo vectorial de clase C 1 . Entonces se cumple *

* rot f · dS =

S

f · dγ C=∂(S)

La curva Γ se recorre en sentido positivo (contrario al de las agujas de un reloj) y la curva C en el sentido resultante de aplicar a Γ la funci´ on σ (ver figura 8.6). El producto vectorial Tu × Tv deﬁne una orientaci´ on sobre S y C se recorre en el sentido inducido por esa orientaci´ on. (Dem.) i ∂ rot f = ∂x P

j ∂ ∂y Q

k ∂ ∂z R

∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P − , − , − = ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

Sea σ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) una parametrizaci´ on de la superﬁcie S. Entonces su producto vectorial fundamental es

103

Figura 8.6: Teorema de Stokes. i Tu × Tv = xu xv

j yu yv

*

k zu zv * *

rot f · dS = S

* *

= T

∂R ∂Q − ∂y ∂z

rot f (σ(u, v)) · (Tu × Tv )(u, v) dudv = T

(yu zv − yv zu ) +

=

= (yu zv − yv zu , xv zu − xu zv , xu yv − xv yu )

∂P ∂R − ∂z ∂x

(xv zu − xu zv ) +

∂Q ∂P − ∂x ∂y

(xu yv − xv yu ) dudv =

* * ∂P ∂P − (xu yv − xv yu ) + (xv zu − xu zv ) dudv + ∂y ∂z T

* * ∂Q ∂Q − + (yu zv − yv zu ) + (xu yv − xv yu ) dudv + ∂z ∂x T +

* * ∂R ∂R − (xv zu − xu zv ) + (yu zv − yv zu ) dudv ∂x ∂y T

Ahora bien

∂ ∂ (P xv ) − (P xu ) = (Px xu + Py yu + Pz zu ) xv + P xuv − (Pxxv + Py yv + Pz zv ) xu − P xvu = ∂u ∂v = −Py (xu yv − xv yu ) + Pz (xv zu − xu zv ) An´ alogamente para los otros integrandos. De manera que queda **

* rot f · dS = S

T

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (P xv ) − (P xu ) + (Q yv ) − (Q yu ) + (R zv ) − (R zu ) dudv ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v

y si aplicamos el teorema de Green, se obtiene

104 *

* rot f · dS =

S

Γ

* P xu du + P xv dv +

*

Γ

Qyu du + Qyv dv +

Γ

Rzu du + Rzv dv

Por otra parte *

*

b

f dα =

f (α(t)) · α (t) dt

a

C

Si suponemos que Γ est´a parametrizada por α

: [a, b] −→ R2 t → (u(t), v(t))

C est´a parametrizada por γ = σ ◦ α deﬁnidas por α [a, b] −→ R2 t → (u(t), v(t))

σ −→ R3 → (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t)))

y por tanto   

xu u (t) + xv v (t) xv u (t) =  yu u (t) + yv v (t)  yv  v (t) zu u (t) + zv v (t) zv |α(t)



xu γ (t) = Dσ(α(t)) · α (t) =  yu zu luego *

* f dγ =

C

b

*

b

P (γ(t))(xu u (t)+xv v (t)) dt+ a

*

Q(γ(t))(yu u (t)+yv v (t)) dt+ a

= Γ

P xu du + P xv dv +

R(γ(t))(zu u (t)+zv v (t)) dt =

a

*

*

b

*

Γ

Qyu du + Qyv dv +

Γ

Rzu du + Rzv dv

Por tanto *

* rot f · dS =

S

f · dγ C=∂(S)

Observaci´ on Sabemos que si f : A ⊂ R3 → R3 es un campo vectorial conservativo de clase C 1 en el abierto A, entonces existe un campo escalar ϕ: A ⊂ R3 → R tal que ∇ϕ(x) = f (x), ∀x ∈ A y por el teorema de Schwarz se cumple que rot f = 0. En general que un campo vectorial tenga rotacional nulo, es decir sea irrotacional, es condici´ on necesaria pero no suﬁciente para que sea conservativo, sin embargo en algunos casos s´ı que lo es. Para deﬁnir cu´ ando la condici´ on de rotacional nulo es adem´ as suﬁciente, recordemos la deﬁnici´on 2.8 de conjunto arco-conexo y veamos la siguiente deﬁnici´on. Deﬁnici´ on 8.9 Sean A ⊂ R3 un conjunto arco-conexo y α0 , α1 : [0, 1] → A dos caminos en A con el mismo origen y extremo. Esto es, α0 (0) = α1 (0) = a y α0 (1) = α1 (1) = b. Se dice que ambos caminos son homot´ opicamente equivalentes si existe una aplicaci´ on continua Γ : [0, 1] × [0, 1] → A tal que para cada s ∈ [0, 1], Γs (t) = Γ(s, t) es un camino en A con origen Γs (0) = Γ(s, 0) = a y con extremo Γs (1) = Γ(s, 1) = b. Adem´ as, Γ0 (t) = Γ(0, t) = α0 (t) y Γ1 (t) = Γ(1, t) = α1 (t) ∀t ∈ [0, 1]. on continua en As´ı pues, dos caminos α0 y α1 son homot´opicamente equivalentes si existe una deformaci´ A que transforma uno en el otro.

105 Deﬁnici´ on 8.10 Sea A ⊂ R3 un conjunto arco-conexo. Se dice que que A es simplemente conexo si todo camino cerrado en A es homot´ opicamente equivalente a un camino constante. Esto es, si todo camino cerrado en A puede deformarse de forma continua en A y quedar reducido a un punto. Ejemplo 8.1 Son conjuntos simplemente conexos en R3 : R3 , una esfera, la regi´ on comprendida entre dos esferas, R3 − {p1 , . . . , pn }, R3 − {una semirrecta}, . . .. No son simplemente conexos en R3 : R3 − {una recta}, R3 − {una curva cerrada}, . . .. Teorema 8.7 Sea S ⊂ R3 un abierto simplemente conexo. Si f : S ⊂ R3 → R3 es un campo vectorial de clase C 1 con rot f = 0, entonces tiene potencial escalar en S, esto es, es f es conservativo en S. (Dem.) Por ser S simplemente conexo, dada una curva cerrada en S siempre la podemos considerar como el borde de una superﬁcie parametrizada simple y regular en S. Aplicando el teorema de Stokes, deducimos: * f · dα = 0,

para toda curva cerrada C en S.

C

y sabemos que esto es condici´on suﬁciente para que el campo vectorial f sea conservativo.

Extensiones del teorema de Stokes. 1. El teorema de Stokes puede extenderse a superﬁcies regulares simples m´as generales. Por ejemplo: Sea S una superﬁcie parametrizada simple regular deﬁnida por σ: T ⊂ R2 → R3 ,

σ(T ) = S

2

donde T es una regi´on de R multiplemente conexa (vease ﬁg 8.7).

Figura 8.7: Superﬁcie parametrizada con “agujeros”. Como σ es inyectiva, S = σ(T ) contendr´ a los mismos “agujeros” que T . Para extender el teorema de Stokes a tales superﬁcies se sigue el mismo razonamiento que en la demostraci´on del teorema de Stokes, s´olo que se usa el teorema de Green para regiones multiplemente conexas. De esta forma si T tiene dos agujeros y las curvas frontera Γ, Γ1 y Γ2 son recorridas de forma que la regi´ on quede a la izquierda, el teorema de Stokes se expresa mediante *

* rot f · dS = S

*

*

f · dγ + C

C1

f · dγ 1 +

C2

f · dγ 2

106 donde C, C1 y C2 son las im´agenes por σ de Γ, Γ1 y Γ2 respectivamente y γ(t) = σ(α(t)), γ 1 (t) = σ(α1 (t)) y γ 2 (t) = σ(α2 (t)). Las funciones α, α1 y α2 describen las curvas Γ, Γ1 y Γ2 en las direcciones indicadas. an recorridas en las direcciones inducidas por la aplicaci´on σ a partir de Las curvas C, C1 y C2 ser´ Γ, Γ1 y Γ2 . El teorema de Stokes tambi´en puede extenderse a alguna superﬁcies regulares no simples (pero no a todas). Veamos algunos ejemplos 2. Sea el cilindro parametrizado por (vease ﬁgura 8.8)

Figura 8.8: Superﬁcie parametrizada no simple. agenes Se trata en realidad de la reuni´ on de dos superﬁcies param´etricas regulares simples S1 y S2 , im´ de dos rect´angulos adyacentes T1 y T2 a trav´es de las aplicaciones σ1 y σ2 restricci´on de σ a T1 y T2 respectivamente. Sea α1 y α2 las funciones que describen las fronteras Γ1 y Γ2 orientadas positivamente. Entonces las funciones γ1 (t) = σ(α1(t))

y

γ2 (t) = σ(α2(t))

describen las im´agenes C1 y C2 de Γ1 y Γ2. Aplicando el teorema de Stokes, obtenemos *

*

*

(rot f ) · n1 dS + S1

(rot f ) · n2 dS = S2

* f · dγ1 +

C1

f · dγ2

(8.5)

C2

donde n1 y n2 son las normales unitarias determinadas por los productos vectoriales fundamentales de σ1 y σ2 . Como n1 y n2 coinciden en S1 ∩ S2 , el primer miembro de la ecuaci´on 8.5 puede escribirse por * S1 ∪S2

(rot f ) · n dS

donde n es el vector unitario determinado por el producto vectorial fundamental de σ. Es f´ acil ver que σ se ha elegido de manera que γ1 y γ2 determinen direcciones opuestas en cada arco de la intersecci´on C1 ∩ C2 . Por tanto, la ecuaci´ on 8.5 queda * S1 ∪S2

* (rot f ) · n dS =

C1

* f · dα1 +

C2

f · dα2

(8.6)

donde C1 y C2 son las dos circunferencias que forman el borde superior e inferior de S1 ∪ S2 . Las integrales de linea a trav´es de estas circuferencias se calculan en las direcciones inducidas, mediante la parametrizaci´ on σ, por las de Γ1 y Γ2 . Dado que C1 y C2 forman el borde de la superﬁcie S1 ∪ S2 , deducimos que la ecuaci´on 8.6 expresa que el ﬂujo de rot f a trav´es de la superﬁcie S1 ∪ S2 se puede calcular como una integral de linea de f a lo largo de la frontera geom´etrica orientada de S1 ∪ S2 . Sea trata pues de la extensi´ on del teorema Stokes al cilindro.

107

3. Sea ahora la superﬁcie de la ﬁgura 8.9

Figura 8.9: Banda de M¨ oebius. Se trata como antes de la reuni´ on de dos superﬁcies param´etricas regulares simples S1 y S2 im´ agenes de dos rect´angulos adyacentes T1 y T2 . Se llama banda de M¨ oebius. (Observemos que la circulaci´ones sobre las rectas verticales en la ﬁgura 8.8 se anulan y que no ocurre esto en la ﬁgura 8.9). Deﬁnimos α1, α2 , C1 y C2 para la banda de M¨ oebius como antes se hizo para el cilindro. En este caso el borde de S1 ∪ S2 es una curva cerrada simple C y no dos. Si aplicamos el teorema de Stokes a cada una de las partes S1 y S2 como se hizo en el cilindro obtenemos la ecuaci´on 8.5. Cuando intentamos sumar las dos integrales de superﬁcie del primer miembro surge una diﬁcultad. Las dos normales n1 y n2 no coinciden en sentido en toda la intersecci´on S1 ∩ S2 , no obstante podemos deﬁnir n por n=

n1 n2

en S1 y en S1 ∩ S2 en el resto

Esto nos da una normal discontinua. Pero el conjunto de de las discontinuidades constituye un conjunto de medida nula en el plano y no afecta a la existencia ni al valor de la integral de superﬁcie * S1 ∪S2

(rot f ) · n dS

La diﬁcultad es mayor con las integrales de l´ınea del segundo miembro de la ecuaci´ on 8.5. No es posible que γ1 y γ2 determinen direcciones opuestas en cada uno de los arcos de la intersecci´on S1 ∩S2 . Siempre uno de los arcos es recorrido dos veces en la misma direcci´on, y por consiguiente las integrales de l´ınea sobre ´el no necesariamente se anular´ an. Luego la suma de las integrales de l´ınea no es necesariamente igual a la integral de l´ınea sobre el borde de S1 ∪ S2 . En consecuencia el teorema de Stokes no puede extenderse a la banda de M¨ oebius. El cilindro es un ejemplo de superﬁcie orientable y la bande de M¨ oebius lo es de superﬁcie no orientable. Un modelo en papel de una superﬁcie orientable siempre presenta dos caras que pueden distinguirse pint´ andolas con colores diferentes. Las superﬁcies no orientables tiene s´olo una cara. El teorema de Stokes puede extenderse a las superﬁcies orientables mediante un procedimiento parecido al seguido para el cilindro. 4. La esfera es otra superﬁcie orientable (vease ﬁgura 8.10) Se trata de la uni´ on de dos superﬁcies param´etricas simples S1 y S2 (hemisferios), que pueden considerarse como la imagen de aplicaciones σ1 y σ2 deﬁnidas sobre un disco circular en el plano. Damos σ, γ1 , γ2 , C1 y C2 el mismo signiﬁcado que en los ejemplos anteriores C1 y C2 corresponden al ecuador. La superﬁcie S1 ∪ S2 se dice cerrada, σ1 y σ2 pueden elegirse de modo que las direcciones determinadas por γ1 y γ2 sean opuestas. Si aplicamos el teorema de Stokes a cada hemisferio y sumamos los resultados, obtenemos la ecuaci´on 8.5 como antes.

108

Figura 8.10: Esfera como superﬁcie orientable. Las normales n1 y n2 coinciden sobre la intersecci´on S1 ∩ S2 , luego podemos expresar las integrales sobre S1 y S2 como una integral sobre toda la esfera y las integrales de l´ınea de dicha ecuaci´ on 8.5 se anulan. Luego queda * (rot f ) · n dS = 0 S

Esto es v´alido igualmente para toda superﬁcie orientable cerrada.

8.2.3.

Teorema de la divergencia (o de Gauss).

El teorema de Stokes expresa una relaci´on entre una integral de ﬂujo a trav´es de una superﬁcie y una integral de l´ınea tomada sobre la curva o curvas que constituyen la frontera de tal superﬁcie. El teorema de de la divergencia expresa una relaci´ on entre una integral triple extendida a un s´ olido y una integral de superﬁcie sobre la frontera de ese s´ olido. Teorema 8.8 de Gauss (o de la divergencia). Sean f : U ⊂ R3 → R3 un campo vectorial de clase C 1 en el abierto U y V un s´ olido de R3 limitado por una superficie cerrada y orientable S contenida en U , con normal exterior y unitaria n. Entonces, se cumple *

* f · n dS

div f dV =

S=∂(V )

V

(Dem.) Sean f y n de componentes f = (P, Q, R) y n = (cos α, cos β, cos γ). Hemos de demostrar la ecuaci´on * * *

V

∂P ∂Q ∂R + + ∂x ∂y ∂z

* (P cos α + Q cos β + R cos γ) dS

dxdydz =

S=∂(V )

Basta pues demostrar las siguientes igualdades * * * V

* * * V

∂P dxdydz = ∂x ∂Q dxdydz = ∂y

* P cos α dS

(8.7)

Q cos β dS

(8.8)

S

* S

109 * * * V

∂R dxdydz = ∂z

* R cos γ dS

(8.9)

S

Vamos a demostrar u ´ nicamente la igualdad 8.9 para un s´ olido V de la forma V = {(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ T, g(x, y) ≤ z ≤ f(x, y)}, donde T es una regi´on conexa del plano xy y f y g son funciones continuas en T tales que g(x, y) ≤ f(x, y), ∀(x, y) ∈ T (vease ﬁgura 8.11).

Figura 8.11: S´ olido V . La frontera de V consta en este caso de la superﬁcie S1 , que es la gr´ aﬁca de z = f(x, y), la superﬁcie S2 que es la gr´ aﬁca de z = g(x, y) y eventualmente de una superﬁcie S3 que es una superﬁcie cil´ındrica engendrada por una recta paralela al eje Z que se mueve a lo largo de la frontera de T . La normal exterior a S tiene componente z no negativa en S1 , no positiva en S2 y nula en S3 . Los s´olidos de este tipo se llaman proyectables-xy. Son ejemplos de estos s´olidos, una esfera, un elipsoide, un cubo, el toro con eje paralelo al eje Z, etc. Para este tipo de s´ olidos se cumple * * * V

∂R dxdydz = ∂z

* * +* T

f(x,y)

g(x,y)

Por otra parte, se tiene * * R cos γ dS = S

∂R dz ∂z

,

* * [R(x, y, f(x, y)) − R(x, y, g(x, y))] dxdy

dxdy = T

* R cos γ dS +

S1

* R cos γ dS +

S2

R cos γ dS

(8.10)

S3

Sobre S3 la normal n tiene tercera componente nula, y por tanto cos γ = 0, luego la tercera integral es nula. Si parametrizamos S1 y S2 respectivamente por

σ1 : T

⊂

R2

−→

R3

σ2 : T

⊂

R2

−→

R3

(x, y)

−→

(x, y, g(x, y))

y (x, y)

−→ (x, y, f(x, y))

los productos vectoriales fundamentales son respectivamente

110

i ∂σ1 ∂σ1 × = 1 ∂x ∂y 0

k ∂f ∂f ∂f ∂x = − ∂x , − ∂y , 1 ∂f ∂y

j 0 1

y i j ∂σ2 ∂σ2 × = 1 0 ∂x ∂y 0 1

k ∂g ∂g ∂g = − , − , 1 ∂x ∂x ∂y ∂g ∂y

Por tanto, 1 cos γ = ∂σ1 ∂σ1 ∂x × ∂y

sobre S1

y

−1 cos γ = ∂σ2 ∂σ2 ∂x × ∂y

sobre S2

valores que llevados a la ecuaci´on 8.10 nos queda *

* * R cos γ dS =

S

T

* *

∂σ1 ∂σ1 dxdy + R(x, y, f(x, y)) × ∂σ1 ∂σ ∂x ∂y 1 ∂x × ∂y 1

∂σ2 ∂σ2 dxdy = R(x, y, f(x, y)) × ∂σ2 ∂σ ∂x ∂y 2 ∂x × ∂y −1

+ T

* * [R(x, y, f(x, y)) − R(x, y, g(x, y))] dxdy

= T

de donde se deduce que * * * V

∂R dxdydz = ∂z

* R cos γ dS S

Si el s´ olido V fuera proyectable sobre el plano yz un razonamiento an´ alogo demostrar´ıa la ecuaci´on 8.7 y la ecuaci´on 8.8 igualmente es v´ alida para un s´ olido proyectable sobre el plano xz. De esta forma se demuestra que el teorema de la divergencia se cumple en s´ olidos proyectables sobre los tres planos coordenados. Son ejemplos de este tipo de s´ olidos los conjuntos convexos en R3 , esto es, aquellos que dados dos puntos cualesquiera del conjunto el segmento que los une tambi´en es del conjunto. El teorema de Gauss tambien se cumple en algunos s´olidos que no son proyectables sobre los tres planos coordenados. Por ejemplo en un toro con eje paralelo al eje z. Este toro es proyectable xy pero no lo es xz ni yz. Para comprobar el teorema en este s´olido cortamos el toro en cuatro partes iguales por medio de los planos coordenados xz y yz. Aplicamos el teorema de Gauss a cada una de las las partes que s´ı son proyectables sobre los tres planos coordenados. La suma de las cuatro integrales triples es la integral triple sobre el toro y al sumar las integrales de superﬁcie sobre las fronteras de las cuatro regiones vemos que las aportaciones de las caras comunes a las

111

partes adyacentes se anulan unas con otras, puesto que las normales exteriores tienen sentidos opuestos. Luego la suma de las integrales de superﬁcie sobre las cuatro partes es igual a la integral de superﬁcie sobre el toro completo. Este ejemplo permite ver c´omo el teorema de la divergencia puede extenderse a ciertos s´olidos no convexos. Campo solenoidal, potencial vector. Deﬁnici´ on 8.11 Sea f : U ⊂ R3 → R3 un campo vectorial de clase C 1 en el abierto U . Se dice que f es un campo vectorial solenoidal en U , si existe un campo vectorial g: U ⊂ R3 → R3 tal que rot g = f . En este caso se dice que g es un potencial vector de f . Proposici´ on 8.6 Sea f : U ⊂ R3 → R3 un campo vectorial de clase C 1 en el abierto U . Consideremos las siguientes afirmaciones: 1.

f tiene potencial vector en U .

2.

Dada una curva orientable C ⊂ U y una superficie orientada S ⊂ U tal que el borde de S sea C, * f dS es independiente de S, depende u ´nicamente de C. C = ∂(S), la integral S

3.

*

Para toda superficie cerrada orientable S ⊂ U , el flujo de f a trav´es de S es nulo,

f dS = 0. S

4.

div f = 0. Se cumplen las siguientes implicaciones 1. =⇒ 2. , 2. ⇐⇒ 3. ,

1. =⇒ 3. , 2. =⇒ 4. ,

y

1. =⇒ 4. , 3. =⇒ 4.

(Dem.) 1. =⇒ 2. y 1. =⇒ 3. se deducen del teorema de Stokes. 1. =⇒ 4. ya que la divergencia de un rotacional es nula, vease la propiedad 8. de la proposici´ on 8.5. 2. =⇒ 4. es consecuencia del teorema de Gauss. Sin embargo si div f = 0 esto no implica, en general, que f tenga potencial vector, depende de la topologia del conjunto U donde f es de clase C 1 . En algunos casos s´ı puede asegurarse, por ejemplo si U es un conjunto estrellado. Deﬁnici´ on 8.12 Un conjunto U ⊂ R3 se dice estrellado si existe un punto p ∈ U tal que para todo x ∈ U el segmento que une p con x est´ a contenido en U . Se conoce el siguiente resultado. Teorema 8.9 (Lema de Poincar´e). Sea f : U ⊂ R3 → R3 un campo vectorial de clase C 1 en el conjunto estrellado U y tal que div f = 0. Entonces, f tiene potencial vector en U .

112

Observaciones 1. Si g es un potencial vector de f , entonces g + grad ϕ tambien es potencial vector de f , es consecuencia de la propiedad 3. de la propsici´ on 8.5. 2. Para calcular un potencial vector del campo vectorial f se resuelve la ecuaci´on rot g = f . Por ejemplo, sea f : U ⊂ R3 → R3 un campo vectorial de clase C 1 en el conjunto estrellado U con div f = 0. Para calcular un potencial vectorial g = (L, M, N ) puede considerarse nula una cualquiera de las componentes, por ejemplo N = 0, por lo dicho en apartado anterior, y esto facilita la resoluci´ on de rot g = f . Aplicaciones del teorema de la divergencia Dado un campo vectorial f = (P, Q, R) hemos deﬁnido

∂P ∂Q ∂R div f = + + ∂x ∂y ∂z

y

rot f =

∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P − , − , − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

Para calcular div f y rot f a partir de estas f´ ormulas se necesita conocer las componentes de f en coordenadas cartesianas, por tanto, un cambio en la posici´ on de los eje coordenados podr´ıa signiﬁcar un cambio en las funciones div f y rot f . Sin embargo, como consecuencia de los teorema de Stokes y Gauss, puede demostrarse que div f y rot f representan propiedades intr´ınsecas del campo vectorial f y no dependen de la elecci´on de los ejes coordenados que se haga. Veamoslo en primer lugar para la divergencia. Teorema 8.10 Sean V (t) una esfera de radio t > 0 y centro en a ∈ R3 , S(t) su frontera y f : V (t) ⊂ R3 → R3 un campo vectorial de clase C 1 en V (t). Representamos por |V (t)| el volumen de la esfera V (t) y por n el vector normal unitario y exterior a S(t), entonces se cumple

div f (a) = l´ım

t→0

1 |V (t)|

* f · n dS S(t)

De esta forma se ve que div f no depende de las coordenadas de f . (Dem.) Sea ϕ = div f . Dado ε > 0 hemos de encontrar un δ > 0 tal que * ϕ(a) − 1 f · n dS < ε |V (t)| S(t)

siempre que

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APUNTES DE ANÁLISIS VECTORIAL

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