(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

Capítulo IV Variación de funciones. Extremos INTRODUCCIÓN En múltiples problemas de ingeniería se requiere optimizar una o varias de las variables que intervienen en problemas. Se dice que el ingeniero es un resolvedor de problemas de optimización tales como: la determinación de volúmenes máximos, superficies mínimas, máximos rendimientos, costos mínimos, áreas máximas, alturas mínimas, resistencias máximas, tiempos mínimos, velocidades máximas, fuerzas mínimas, intensidades de corriente máximas, esfuerzos mínimos y gastos hidráulicos máximos, entre otros. TEOREMAS DEL VALOR MEDIO TEOREMA DE WEIERSTRASS Sea la función y = f ( x ) , continua en el intervalo cerrado ⎡⎣a, b⎤⎦. Entonces hay un valor de la función f ( x1 ) = M llamado máximo absoluto, que no es superado por ningún otro valor de la función en el intervalo y un valor f ( x2 ) = m , llamado

mínimo absoluto, que no supera a ningún otro valor de la función en el intervalo. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

y

y M

M = f ( x1 )

m

y = f ( x)

m = f ( x2 ) a

x1

x2

y = f ( x)

M = f ( a)

M

m

b

x

x1 = a

m = f ( b) x2 = b

x

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

2

y

y y = f ( x)

M = f ( x1 )

M m

y = f ( x)

M = m = f ( x)

m = f ( x2 ) a = x1

b = x2

x

a

b

x

TEOREMA DE BOLZANO Sea y = f ( x ) una función continua en el intervalo cerrado

⎡⎣a, b⎤⎦ y sea y0 un valor de f ( x ) tal que m ≤ y0 ≤ M. Entonces existe al menos un valor x0 de x en el intervalo

⎡⎣a, b⎤⎦ para el cual y0 = f ( x0 )

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA En la figura se ilustra este teorema donde se ve que se demuestra para dos valores de x : x0 ∈ ⎡⎣a, b⎤⎦ y x1 ∈ ⎡⎣a, b⎤⎦ ; y0 = f ( x0 ) = f ( x1 )

y M y = f ( x) f ( x0 ) = f ( x1 ) m

x0

xM

x1

xm

b

x

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3

TEOREMA DE ROLLE Sea la función y = f ( x) que cumple las siguientes condiciones: i) Que f sea continua en el intervalo cerrado ⎡⎣a, b⎤⎦. ii) iii)

Que f sea derivable en el intervalo abierto Que f ( a) = f ( b ) .

( a, b ) .

Entonces existe por lo menos un valor en el intervalo abierto x1 ∈ ( a, b ) para el cual f ' ( x1 ) = 0 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Gráficamente, el teorema se verifica con claridad.

y

f ' ( x2 ) = 0

y = f ( x)

f ( a) = f ( b ) f ' ( x1 ) = 0

a

x1

f ' ( x3 ) = 0

x2

x3

b

x

Se cumple para x1 , x2 , x3 , donde la derivada vale cero. TEOREMA DE LAGRANGE (DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO DIFERENCIAL) Sea la función y = f ( x) que cumple las siguientes condiciones: i) Que f sea continua en el intervalo cerrado ⎡⎣a, b⎤⎦. ii) Que f sea derivable en el intervalo abierto ( a, b ) . Entonces existe por lo menos un valor en el intervalo abierto f ( b ) − f ( a) x1 ∈ ( a, b ) para el cual f ' ( x1 ) = b−a

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4

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA y y = f ( x) f ( b)

f ( b ) − f ( a)

f ( a)

a

x1

x2

x3

x4

b

x

b−a En la figura se ve que el teorema se cumple en cuatro puntos.

Ejemplo. Verificar para las siguientes funciones que se cumple el teorema mencionado y obtener el o los valores de x que satisfacen la hipótesis: x3 i) y = − x en x ∈ ⎡ -2 3,2 3 ⎤ " ( T. de Rolle ) ⎣ ⎦ 12 ii) y = x 3 − 2 x − 5 en x ∈ ⎡⎣−2,3 ⎤⎦ " ( T. de Lagrange )

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5

Ejemplo. Comprobar que se cumple el teorema del Valor medio del Cálculo diferencial para la función f ( x) = x

4 3

en el intervalo ⎡⎣−1,1⎤⎦ y obtener el o los valores de x que lo satisfacen.

Ejemplo.

Investigar si la función

f ( x ) = sen x cumple las

condiciones del teorema de Rolle en el intervalo ⎡⎣0,2π ⎤⎦ y en caso de hacerlo, obtener los valores de x en los que se satisface el teorema. Hacer una gráfica aproximada de la función en el intervalo considerado, señalando, si existen, los valores en los cuales se satisface el teorema. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

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FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES DEFINICIÓN. Una función es creciente si para dos valores cualesquiera x1 y x2 de su dominio, se cumple que: x2 > x1 ⇒ f ( x2 ) > f ( x1 ) Dos tipos de función creciente: y

y

f ' ( x1 ) > 0

f ( x2 )

f ' ( x1 ) > 0

f ( x2 )

f ( x1 )

f ( x1 )

f

x1

x2

x

f

x1

x2

x

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7

La derivada es la pendiente de la tangente, luego en una función creciente, por la geometría analítica y dado que la derivada es el límite del cociente de Δy (positivo ) entre Δx (positivo ) , entonces es positiva en todo su dominio.

DEFINICIÓN. Una función es decreciente si para dos valores cualesquiera x1 y x2 de su dominio, se cumple que: x2 > x1 ⇒ f ( x2 ) < f ( x1 ) Dos tipos de funciones decrecientes: y

y

f ' ( x1 ) < 0

f ' ( x1 ) < 0

f ( x1 )

f ( x1 ) f ( x2 )

f

x1

x2

x

f f ( x1 )

x1

x2

x

TEOREMA. Sea y = f ( x ) una función continua en el intervalo cerrado ⎡⎣a, b⎤⎦ , derivable en el intervalo abierto que f ' ( x ) > 0 en el intervalo ( a, b ) . Entonces la función es creciente en el intervalo

( a, b )

y tal

( a, b ) .

TEOREMA. Sea y = f ( x ) una función continua en el intervalo cerrado ⎡⎣a, b⎤⎦ , derivable en el intervalo abierto que f ' ( x ) < 0 en el intervalo ( a, b ) . Entonces la función es decreciente en el intervalo

( a, b )

y tal

( a, b ) .

Ejemplo. Investigar para qué intervalos de " x " la siguiente función es creciente y decreciente. Hacer una gráfica aproximada. 9 f ( x ) = x3 − x2 + 6x − 1 2 ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

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SIGNO DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN BIYECTIVA Una función biyectiva es aquella que cumple con ser inyectiva o uno a uno y suprayectiva o sobre, por lo que su derivada no cambia de signo, es decir, que permanece creciente o decreciente en todo su dominio. Como ejemplos: x2 i) f ( x ) = − 1 ; f : ⎡⎣0, ∞ ) → ⎡⎣−1, ∞ ) 2 x2 y= − 1 ⇒ x 2 = 2y + 2 ⇒ x = + 2y + 2 ∀ y ∈ ⎡⎣−1, 0 ) 2 Si se deriva se obtiene: x2 f ( x) = − 1 ⇒ f ' ( x ) = 2 x ≥ 0 ∀ x ∈ ⎡⎣0, ∞ ) 2 luego es siempre creciente en el dominio considerado. Su gráfica aproximada es: ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

9 y

y=

x2 −1 2

Df = [ 0, ∞ ) Rf = [ −1, ∞ ) = Cf x f '( x) > 0

( 0, − 1) ii) f ( x ) = 4 − x 2

;

( creciente )

f : ⎡⎣0, 2 ⎤⎦ → ⎡⎣0,4 ⎤⎦

y = 4 − x2

⇒

f ( x ) = 4 − x2

⇒

x = + 4 − y ∀ y ∈ ⎡⎣0,4⎤⎦

f ' ( x ) = −2 x ≤ 0 ∀ x ∈ ⎡⎣0, 2⎤⎦

Es una función decreciente en su dominio y su gráfica es: y

f ( x ) = 4 − x2

( 0, 4 )

Df = [0,2] Rf = [ 0, 4] = Cf

( 2, 0 ) f ' ( x ) < 0 ( decreciente )

x

EXTREMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS DEFINICIÓN. f ( x0 )

Una función

para un valor

cumple que:

x = x0

f ( x0 ) ≥ f ( x )

f ( x)

tiene un máximo relativo

en un intervalo ∀

⎡⎣a, b⎤⎦ , si se

x ∈ ⎡⎣a, b⎤⎦ ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

10 y

y

( a)

( b)

f ' ( x0 ) = 0

f

f ' ( x0 ) → ∞

f f ( x0 ) = máximo

f ( x0 ) = máximo

relativo

x0

a

relativo

x

b

a

x0

b

x

Como se aprecia en ambas figuras, antes del máximo relativo la función es creciente ( f ' ( x ) > 0 ) y después decreciente

( f ' ( x ) < 0 ) . Y en el máximo relativo la derivada

vale cero como en la figura como en la figura

( b) .

( a)

y no existe (tiende a infinito)

DEFINICIÓN. Una función f ( x ) tiene un mínimo relativo f ( x0 ) para un valor x = x0 en un intervalo ⎡⎣a, b⎤⎦ , si se cumple que: f ( x0 ) ≤ f ( x ) ∀ x ∈ ⎡⎣a, b⎤⎦ y

y

( a)

( b)

f

f

f ' ( x0 ) → ∞

f ' ( x0 ) = 0 f ( x0 ) = mínimo

f ( x0 ) = mínimo

relativo

a

x0

b

x

relativo

a

x0

b

x

En las definiciones anteriores se pudo hablar de una vecindad (entorno) de x = x0 en lugar del intervalo ⎡⎣a, b⎤⎦ . Dado que se habla del mayor o del menor valor en el intervalo o en la vecindad, una función, considerando todo su dominio, puede tener uno o más extremos relativos (de ahí el nombre) o locales. Asimismo, por la definición de estos extremos, se pude tener una función con un mínimo relativo mayor que un máximo relativo. Véase la siguiente figura: ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

11 y

MA

f

mA

Mr Mr

Mr mr

Mr

mr

x1

x2

x4

x3

mr

x5 x6

x

x7

También se puede presentar el caso de una función que no tenga extremos relativos, a pesar de que la derivada pase por el valor cero o por la no existencia. y

f ' ( x0 ) → ∞

y

asíntota f ' ( x0 ) = 0

a

x0

f f

b

x

a

x0

x

b

∴ no hay máximos ni mínimos relativos

DEFINICIÓN. Se conocen como valores críticos de la variable independiente " x " a los valores del eje de las abscisas donde la derivada es cero o no existe. y

f ' ( x ) no existe

f

f '( x ) = 0 f '( x ) → ∞

f '( x ) = 0

no hay Mr = MA

no hay

asíntota

m r (pico ) x

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Para calcular los extremos relativos de una función se estudiarán dos métodos atendiendo a su primera y segunda derivada respectivamente. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA 1. Se calcula la derivada de la función. 2. Se obtienen los valores críticos donde la derivada vale cero o no existe. 3. Se analiza el posible cambio de signo de la derivada, antes y después de cada punto crítico, lo que manifestaría la presencia de un extremo relativo. Si la función no está definida o si la derivada no cambia de signo, no hay extremos relativos. Si la función está definida, entonces se pueden presentar los siguientes casos: - Si la derivada cambia de positiva a negativa, quiere decir que la función cambia de creciente a decreciente y se tiene un máximo relativo. - Si la derivada cambia de negativa a positiva, quiere decir que la función cambia de decreciente a creciente y se presenta un mínimo relativo. Ejemplo. Obtener los máximos y mínimos relativos de las funciones siguientes por medio del método de la primera derivada y hacer un trazo aproximado de sus gráficas a partir de los resultados obtenidos: x4 x3 3 x2 i) f ( x ) = ; ii) y = 2 sen x + sen 2 x ; 0 ≤ x ≤ 2π − − 4 6 2

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Ejemplo. Determinar los extremos relativos de las siguientes funciones y hacer un trazo aproximado de sus gráficas: 2 i) y = 2 x

;

ii) f ( x ) = x + 3 x

2 3

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Ejemplo. Determinar los extremos relativos de la siguiente función y trazar de manera aproximada su gráfica: ⎧ x2 4 − ⎪⎪ 2 f ( x) = ⎨ ⎪ x +1 ⎪⎩ 2

si

x≤2

si

x>2

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Ejemplo. Determinar los máximos y mínimos de la función f ( x ) = x 2 − 2 x − 3 . Graficar los resultados obtenidos.

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA TEOREMA. Sea una función y = f ( x ) , derivable en x = x0 y supóngase que f ' ( x0 ) = 0

y

f '' ( x0 ) < 0 . Entonces esta función

tiene un máximo relativo en x = x0 . TEOREMA. Sea una función

y = f ( x ) , derivable en

supóngase

y

que

f ' ( x0 ) = 0

f '' ( x0 ) > 0 .

x = x0 y

Entonces

esta

función tiene un mínimo relativo en x = x0 . Secuela de pasos del criterio de la segunda derivada para determinar los máximos y mínimos relativos de una función: ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

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1. Se calcula la derivada de la función. 2. Se obtienen los valores críticos donde la derivada vale cero o no existe. 3. Se calcula la segunda derivada de la función y se sustituye en ella cada uno de los valores críticos. - Si la segunda derivada es negativa, la función presenta un máximo relativo en ese valor crítico. - Si la segunda derivada es positiva, la función presenta un mínimo relativo en ese valor crítico. Nota. Si la segunda derivada es cero o no existe, entonces habría que utilizar el criterio de la primera derivada para ver si se presentan extremos relativos. Ejemplo. Determinar los extremos relativos de las siguientes funciones mediante el criterio de la segunda derivada y hacer un trazo aproximado de sus gráficas, utilizando los resultados obtenidos: i) f ( x ) = x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 + 1 ; ii) y = x 1+ x x4 iii) f ( x ) = 16

;

5 3

iv) y = 3 x + 10 x

2 3

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Ejemplo. Determinar los extremos relativos y absolutos de la ⎡ 3 5⎤ siguiente función, definida en el intervalo ⎢ − , ⎥ . Hacer un ⎣ 2 2⎦ trazo aproximado de su gráfica. f ( x ) = x3 − 3 x + 3

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CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN DEFINICIÓN. Se dice que una curva es cóncava hacia arriba cuando las rectas tangentes a todos sus puntos están situadas por debajo de su gráfica, y cóncava hacia abajo cuando las rectas tangentes están por encima de su gráfica. DEFINICIÓN. Al punto en el que una curva cambia su concavidad se le conoce como Punto de Inflexión y es en este punto el único lugar en el cual la tangente corta a la curva sin tocar su gráfica en otro lugar.

y concavidad hacia arriba PI

concavidad hacia abajo

f

x PI (Punto de inflexión)

Otra forma de definir la concavidad es: ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

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DEFINICIÓN. La curva que representa gráficamente a la función y = f ( x ) , continua en el punto P ( x0 , y0 ) , es cóncava hacia arriba en P si existe un entorno de P en el cual todos sus puntos pertenecientes a la curva excepto P , se encuentran arriba de su tangente en P . DEFINICIÓN. La curva que representa gráficamente a la función y = f ( x ) , continua en el punto P ( x0 , y0 ) , es cóncava hacia abajo en P si existe un entorno de P en el cual todos sus puntos, pertenecientes a la curva, excepto P , se encuentran abajo de la tangente a la curva en P . Relación entre la concavidad y la segunda derivada: TEOREMA.

Sea la función

y = f ( x ) y considérese que su

segunda derivada existe y es positiva en el punto P ( x0 , y0 ) , es decir,

f '' ( x0 ) > 0 . Entonces su gráfica es una curva

" C"

cóncava hacia arriba en dicho punto. TEOREMA.

Sea la función

y = f ( x ) y considérese que su

segunda derivada existe y es negativa en el punto P ( x0 , y0 ) , es decir, f '' ( x0 ) < 0 . Entonces su gráfica es una curva " C " cóncava hacia abajo en dicho punto. TEOREMA. Sea la función y = f ( x ) cuya representación es la curva " C " . Y considérese que para x = x0 se cumple que: f '' ( x0 ) = 0 y f ''' ( x0 ) ≠ 0 Entonces el punto P ( x0 , y0 ) es un punto de inflexión de la curva " C " .

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y

Máximo relativo Punto de Inflexión mínimo relativo

y = sen x

π

π

4

2

3π 4

π

5π 4

3π 2

+

7π 4

2π

+

y ' = cos x

x

x

−

+ x

y '' = − sen x

−

+ y ''' = − cos x

−

−

x

Criterio para determinar los puntos de inflexión y el sentido de la concavidad. Secuela de pasos: 1. Se calculan la primera, segunda y tercera derivadas. 2. Se iguala cero o se analiza la no existencia de la segunda derivada para determinar los valores " x " donde es posible que haya puntos de inflexión. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

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3. En los valores donde puede haber punto de inflexión se analiza la tercera derivada que si es diferente de cero garantiza la existencia de punto de inflexión lo que se hace también al investigar si hay cambio de signo en la segunda derivada o cambio en la concavidad. Se hace el siguiente razonamiento: d2 y - Si cambia de negativa a positiva, entonces, si la dx 2 función existe, se presenta un punto de inflexión y la gráfica de la función cambia de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba. d2 y - Si cambia de positiva a negativa, entonces, si la dx 2 función existe, se presenta un punto de inflexión y la gráfica de la función cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo. Ejemplo. Dada la siguiente función, investigar dónde es creciente o decreciente, determinar sus extremos relativos, calcular sus puntos de inflexión, decir en qué intervalos es cóncava hacia arriba y en cuáles hacia abajo, y hacer un trazo aproximado de su gráfica: f ( x ) = −3 x 5 + 5 x 3

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De la tabla se puede concluir que la función:

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Ejemplo. Calcular los extremos relativos, los puntos de inflexión, los intervalos de creciente o decreciente y el sentido de la concavidad para la siguiente función: y = x5 −

20 x 3 3

Hacer un trazo aproximado de la gráfica de a función con los resultados obtenidos.

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De la tabla se puede concluir que la función:

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