AREA DE EDUCACIÓN

Programa de Matemáticas Para todas la modalidades del Bachillerato

Reforma Curricular del Bachillerato

UNIVERSIDAD ANDINA SIMÓN BOLÍVAR Área de Educación PROGRAMA DE REFORMA CURRICULAR DEL BACHILLERATO Programa de Matemáticas Primera versión: Salvador Campaña Elaboración y actualización: Juan Carlos Trujillo (Actualizado 2007)

Universidad Andina Simón Bolívar, Sede Ecuador, Quito, 1999 Este documento es propiedad intelectual de la Universidad Andina Simón Bolivar, Sede Ecuador. Puede ser utilizado libremente por los docentes en la enseñanza dentro de todo el sistema educativo. Puede reproducirse, en tanto se lo haga íntegramente y sin omisiones. Ninguna institución o persona puede publicar este programa o alguna de sus partes sin mencionar la propiedad intelectual de la universidad y contar con su autorización expresa. No se puede utilizar este programa para la elaboración de manuales, texto escolares u otra publicación, sin permiso expreso de la universidad.

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1 ENFOQUE DE LA DISCIPLINA Durante el último siglo, las ciencias de la naturaleza —y la mayoría de las ciencias sociales— adoptaron el lenguaje de la matemática para comunicar sus logros. Con ello pretendieron dar objetividad a sus interpretaciones de la realidad. Entonces, es necesario formar individuos capaces de comprender el método de la matemática a través de sus principios: la lógica, la noción de conjunto, el concepto de función y a través de las aplicaciones de estos principios en otras ciencias como, por ejemplo, la física, la biología, la economía, entre otras. Es así que la formación matemática de la secundaria debe apoyar, de manera sostenida, el acceso de los estudiantes a los contenidos de todos los campos del conocimiento. Para lograrlo, el proceso educativo debe ser, a más de funcional, conceptual, desprovisto de la fría tendencia a acumular procedimientos y conocimientos desligados del contexto donde estos se desenvuelven. Por lo tanto, la educación debe proyectarse a la formación de individuos que buscan autonomía en su proceso de conocimiento y que hacen un uso responsable de este conocimiento. Es imprescindible, entonces, que se diseñen propuestas de aprendizajes adecuadas para alcanzar los fines propuestos. Estas prácticas de enseñanza deben ser participativas, recursivas, reflexivas y deliberantes.

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FUNDAMENTOS PSICOPEDAGÓGICOS

Las características psicológicas de los alumnos en edad de estudios de bachillerato demandan aprendizajes sobre contenidos contextualizados. Por ello es necesario que los contenidos matemáticos se desarrollen en contextos específicos, principalmente en ámbitos de las ciencias que utilizan la matemática. No se pretende hacer de los estudiantes matemáticos profesionales, pero sí se trata de que comprendan cuál es el método de la disciplina y que valoren el hecho de que su comprensión es la única forma de apropiarse de esa matemática que las otras disciplinas utilizan. El lenguaje de la matemática es utilizado para expresar los “modelos” que las ciencias construyen para comprender y describir sus objetos de estudio. De modo general, los modelos comprenden cuatro momentos: la identificación clara del objeto de estudio; la identificación de los elementos relevantes y su representación simbólica; la “matematización” de las relaciones que se suponen existen entre los elementos relevantes y que da lugar a la formulación de un problema matemático cuya solución pretende explicar el objeto de estudio; la solución del problema matemático; y la interpretación de las soluciones matemáticas para lograr la descripción del objeto de estudio. Enfocar cada uno de los contenidos matemáticos, utilizando los mismos momentos que un modelo contiene, permite contextualizar dichos contenidos. De esta manera, los estudiantes tienen la posibilidad de comprender que los modelos utilizados por las ciencias están sujetos a lo que los investigadores consideran relevante, y que las conclusiones e interpretaciones de los resultados matemáticos dependen de tales suposiciones.

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CRITERIOS PARA EL TRATAMIENTO DIDÁCTICO DE LOS CONTENIDOS

Clasificación de los contenidos según el aprendizaje Para la planificación curricular, los contenidos se clasifican en conceptuales, procedimentales y actitudinales1. Los contenidos conceptuales trascienden de la mera formulación de definiciones a la comprensión de sus significados. Esto solo es posible cuando estos conceptos son desarrollados 1. Terán, Rosmarie, Documento No. 1, Propuesta General del Programa de Reforma Curricular del Bachillerato, Ministerio de Educación y Cultura–Universidad Simón Bolívar Ecuador, Tercera Edición, 2003, Quito.

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en un determinado contexto o son remitidos a sus orígenes y evolución. Solo ahí tiene sentido el desarrollo de procedimientos para la manipulación y uso de los conceptos. En cuanto a los contenidos actitudinales, su propósito es desarrollar en los estudiantes “actitudes y hábitos relacionados” con la matemática. La actitud a desarrollar en la matemática es la de valorar el hecho de que solo apropiándose del método de la matemática es posible aprenderla. Para lograrlo, debe desarrollar hábitos como los de la abstracción, generalización, deducción, etc.

Metodología de acuerdo al tipo de contenidos Para organizar los tres tipos contenidos para ense˜nar una categoría matemática, por ejemplo, las ecuaciones de primer grado con una incógnita, es necesario establecer en primer lugar un contexto. El papel de este contexto es mostrar la necesidad de elaborar los conceptos relacionados con la categoría. El método del modelo puede ser de mucha utilidad para lograr un contexto. Consiste en proponer un problema, con situaciones cotidianas o de otras disciplinas (física, biología, ecología, etc.) y formular un modelo que describa la situación del problema. Para lograr esta descripción, es necesario primero desarrollar conceptos matemáticos que dan lugar a problemas matemáticos. Su solución establece la necesidad de desarrollar procedimientos. Una vez obtenidas las soluciones matemáticas, se interpretan para proponer una solución al problema. El siguiente paso es el de establecer generalizaciones y abstracciones que independizan los conceptos y procedimientos desarrollados de los contenidos particulares del problema. Esta última etapa corresponde a los contenidos actitudinales.

Tratamiento de los contenidos previos Es fundamental que se realice la identificación de los prerrequisitos antes del estudio de una categoría matemática. Sin embargo, es mejor dejar la nivelación de estos requisitos justo para hacerla en el momento antes de que van a ser utilizados, pues se logrará el efecto de darles significado a esos prerrequisitos en función de su necesidad para los nuevos conocimientos.

4 PROPÓSITOS DE LA DISCIPLINA Generales • Posibilitar en los estudiantes la capacidad de comprender y construir modelos simbólicos, basados en el lenguaje matemático desarrollado fundamentalmente en los dos últimos siglos, que intentan explicar fenómenos tanto naturales como sociales.

Propósitos Cognitivos • Identificar y comprender los principales conceptos articuladores de la matemática contemporánea: Conjunto, Número y Función. • Comprender el proceso de dos pasos a través del cual se desarrolla el que hacer matemático: Paso 1: Inducción. Paso 2: Deducción. • Conocer los principales sistemas deductivos de los conceptos articuladores de la matemática contemporánea.

Propósitos procedimentales • Desarrollar habilidades para inducir

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• Desarrollar habilidades para deducir. • Desarrollar habilidades para manipular el lenguaje formal de los sistemas deductivos. • Desarrollar la capacidad de formulación de modelos matemáticos.

Propósitos actitudinales • Valorar la capacidad de abstracción para la resolución de problemas. • Valorar la capacidad de generalización para la resolución de problemas. • Valorar el uso correcto del idioma escrito y hablado como medio para resolver un problema o explicar un fenómeno mediante un modelo matemático.

5 PROGRAMA DEL PRIMER AÑO Contenidos generales La utilización de la matemática para resolver un problema o para comprender un determinado fenómeno se basa en la posibilidad de formular un modelo de dicho problema o fenómeno. Los elementos relevantes del problema o del fenómeno en estudio son representados a través de variables e incógnitas, y las relaciones entre esos elementos relevantes se expresan mediante ecuaciones e inecuaciones de las variables e incógnitas utilizadas en la representación. Las soluciones de estas ecuaciones proveen los resultados que el modelo aporta para la solución del problema o el entendimiento del fenómeno que se estudia. En este año se busca que los y las estudiantes aprendan a formular modelos matemáticos que involucran: ecuaciones de primer grado con una incógnita, sistemas de ecuaciones lineales, inecuaciones con una incógnita, funciones trigonométricas de ángulos agudos y de ángulos positivos de cualquier magnitud. PRIMER AÑO

UNIDAD 1: ECUACIONES ALGEBRAICAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Logros esperados

Contenidos

C O G N I T I V O S 1. Modelos para la resolución de problemas.

1. Conocer los componentes de un modelo.

2. Ecuaciones algebraicas de primer grado con una incógnita.

2. Dada una ecuación, poder reconocer si es una ecuación algebraica de primer grado y justificar su respuesta.

P R O C E D I M E N T A L E S 1. Procedimiento para elaborar un modelo para resolver un problema.

1. Con asistencia del docente, formular el problema con precisión, obtener una ecuación algebráica cuya solución permita resolver el problema, resolver la ecuación e interpretar la solución de la ecuación para ofrecer una solución al problema planteado.

2. Procedimiento para resolver una ecuación algebraica de primer grado con una incógnita.

2. Conocer el procedimiento para resolver una ecuación algebraica de primer grado con una incógnita y las propiedades de cuerpo de los números reales que se requieren para ello.

A C T I T U D I N A L E S 1. Actitud crítica para la utilización de un modelo en la resolución de un problema.

1. Dado un problema y su resolución, observar críticamente si se ha seguido correctamente el procedimiento para obtener dicha resolución.

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PRIMER AÑO

UNIDAD 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Logros esperados

Contenidos

C O G N I T I V O S 1. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

1. Dadas un par de ecuaciones, poder reconocer si se trata de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y justificar su respuesta.

P R O C E D I M E N T A L E S 1. Método de eliminación por igualación para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

1. Aplicar el método en la resolución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

2. Método de eliminación por sustitución para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

2. Aplicar el método en la resolución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

3. Método general para la resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

3. Aplicar el método en la resolución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y explicar cómo se lo obtuvo.

A C T I T U D I N A L E S 1. Actitud crítica para distinguir entre la “solución matemática” y la “solución del problema”.

1. Dado un problema y su “solución matemática”, determinar si ésta provee una solución al problema. En caso afirmativo, dar la “solución del problema”.

PRIMER AÑO

UNIDAD 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON TRES INCÓGNITAS Contenidos

Logros esperados C O G N I T I V O S

1. Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.

1. Dadas un par de ecuaciones, poder reconocer si se trata de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas y justificar su respuesta.

P R O C E D I M E N T A L E S 1. Método de eliminación por igualación para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.

1. Aplicar el método en la resolución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.

2. Método de eliminación por multiplicación y adición para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.

2. Aplicar el método en la resolución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.

A C T I T U D I N A L E S 1. Actitud crítica para abstraer una solución particular y proponer una solución general.

1. Dada una solución de un problema en particular, generalizarla para que pueda ser aplicada a problemas de la misma clase.

PRIMER AÑO

UNIDAD 4: INECUACIONES DE PRIMER GRADO Contenidos

Logros esperados C O G N I T I V O S

1. Inecuaciones algebraicas de primer grado con una incógnita.

1. Dada una desigualdad, poder reconocer si se trata de una inecuación algebraica de primer grado con una incógnita y justificar su respuesta.

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P R O C E D I M E N T A L E S 1. Método general para resolver una inecuación algebraica de primer grado con una incógnita.

1. Aplicar el método en la resolución de una inecuación algebraica de primer grado, justificando cada paso en base a las propiedades de orden de los números reales.

2. Método de los intervalos para resolver una inecuación algebraica de primer grado con una incógnita.

2. Transformar una inecuación en otra equivalente, pero adecuada para aplicar el método de los intervalos para su resolución, y poder aplicar el método.

A C T I T U D I N A L E S 1. Valoración de la abstracción y generalización para aplicar una solución de un problema particular a otro problema.

1. Dada la solución de un problema en particular, aplicar el método de solución a otro problema de la misma clase, y valorar este procedimiento.

PRIMER AÑO

UNIDAD 5: LA TANGENTE Y LA COTANGENTE DE UN ÁNGULO AGUDO Logros esperados

Contenidos

C O G N I T I V O S 1. La tangente y la cotangente de un ángulo de un triángulo rectángulo.

1. Conocer la definición de la tangente y la cotangente y explicar el significado de estas dos funciones trigonométricas mediante la interpretación geométrica y la etimología de las palabras tangente y cotangente.

2. La tangente y la cotangente de los ángulos de 30, 45 y 60 grados.

2. Conocer los valores de la tangente y la cotangente de los ángulos de 30, 45 y 60 grados.

3. La relación entre la tangente y la cotangente de un ángulo agudo.

3. Explicar la cotangente en términos de la tangente de un ángulo

P R O C E D I M E N T A L E S 1. Método para calcular la tangente y la cotangente de los ángulos de 30, 45 y 60 grados.

1. Utilizar un triángulo equilátero y un triángulo rectángulo isósceles para calcular la tangente y la cotangente de los ángulos de 30, 45 y 60 grados.

2. Las tablas de valores de las funciones trigonométricas.

2. Utilizar una calculadora o un libro de tablas de funciones trigonométricas para obtener los valores de la tangente y la cotangente de cualquier ángulo agudo.

A C T I T U D I N A L E S 1. Valoración de la capacidad de realizar deducciones y demostraciones matemáticas para explicar una situación o resolver problemas.

1. Dada una demostración, sentirse motivado a comprenderla para lograr apropiarse de la solución de un problema o la explicación de una situación. Además, ser riguroso en la ejecución de instrucciones paso a paso para lograr la demostración de un resultado matemático.

PRIMER AÑO

UNIDAD 6: EL SENO Y EL COSENO DE UN ÁNGULO AGUDO Contenidos

Logros esperados C O G N I T I V O S

1. El seno, el coseno, la secante y la cosecante de un ángulo de un triángulo rectángulo.

1. Conocer las definciones del seno, del coseno, de la secante y de la cosecante, y explicar el significado de estas cuatro funciones trigonométricas mediante la interpretación geométrica y la etimología de las palabras seno, coseno, secante y cosecante.

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2. El seno, el coseno, la secante y la cosecante de los ángulos de 30, 45 y 60 grados.

2. Conocer los valores del seno, el coseno, la secante y la cosecante de los ángulos de 30, 45 y 60 grados.

3. Identidades fundamentales.

3. Dada una igualdad que involucra funciones trigonométricas, poder determinar si se trata de una identidad b´asica, y poder explicar porqué lleva ese nombre.

4. Identidades pitagóricas.

4. Dada una igualdad que involucra funciones trigonométricas, poder determinar si se trata de una identidad pitagórica, y poder explicar porqué lleva ese nombre.

P R O C E D I M E N T A L E S 1. Método para calcular seno, el coseno, la secante y la cosecante de los ángulos de 30, 45 y 60 grados.

1. Utilizar un triángulo equilátero y un triángulo rectángulo isósceles para calcular seno, el coseno, la secante y la cosecante de los ángulos de 30, 45 y 60 grados.

2. Demostración de las identidades fundamentales y pitagóricas.

2. Realizar autónomamente las demostraciones de las identidades fundamentales y pitagóricas, y saber dónde y cómo aplicarse.

A C T I T U D I N A L E S 1. Valoración de la capacidad de realizar deducciones y demostraciones matemáticas para establecer la corrección de una generalización.

1. Mostrar disposición para realizar la demostración de una fórmula general siguiendo una guía paso a paso, y ejecutar rigurosamente dichas instrucciones, justificando cada una de las afirmaciones realizadas.

PRIMER AÑO

UNIDAD 7: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE CUALQUIER ÁNGULO Logros esperados

Contenidos

C O G N I T I V O S 1. Angulos en un sistema de coordenadas.

1. Ubicar un ángulo en un sistema de coordenadas e identificar el cuadrante al que pertenece.

2. Funciones trigonométricas de un ángulo en un sistema de coordenadas.

2. Conocer la definición general de una función trigonométrica.

3. Interpretación geométrica de las funciones trigonométricas.

3. Realizar los dibujos de cualquier función trigonométrica en un círculo trigonométrico.

4. Las leyes de los senos y de los cosenos.

4. Identificar en qué situaciones son útiles estas leyes y conocer sus demostraciones.

P R O C E D I M E N T A L E S 1. Cálculo de las funciones trigonométricas para los ángulos de 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315, 330, 345, 360 grados.

1. Conocer los valores de estas funciones trigonométricas y su relación con las funciones trigonométricas de los ángulos de 30, 45 y 60 grados.

2. Resolución de triángulos.

2. Identificar las identidades trigonométricas adecuadas para la resolución de un triángulo y poder aplicarlas.

A C T I T U D I N A L E S 1. Valoración de la autonomía para realizar demostraciones matemáticas.

1. Mostrar disposición para realizar demostraciones matemáticas.

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6 PROGRAMA DEL SEGUNDO AÑO Contenidos generales El concepto de función se empezó a desarrollar en la modernidad como una herramienta para formular modelos sobre el comportamiento de un fenómeno dinámico. En el siglo 18, los matemáticos más sobresalientes desarrollaron estudios bastantes amplios sobre la noción de función. Sin embargo, al igual que gran parte de la matemática de la época, no había un fundamento lógico para la noción función. En el siglo 19, con el aparecimiento de los conjuntos de Cantor, se propuso la definición de función como un tipo particular de conjunto; ésta es la definición que utilizamos hasta la actualidad. El concepto de función es uno de los tantos conceptos matemáticos que encontraron fundamento lógico durante el siglo XIX. En la actualidad, los modelos matemáticos utilizan las funciones, tanto en su versión intuitiva como en su versión formal, para representar el comportamiento que tienen los elementos que intervienen en el fenómeno que es modelado. Las ecuaciones e inecuaciones que aparecen en estos modelos son también caracterizadas mediante conjuntos asociados a ciertas funciones. El concepto de número es un concepto primario en la matemática. Su evolución ha marcado el quehacer de la matemática desde sus inicios hasta el primer tercio del siglo 20. Hacia finales del siglo 19, la comunidad matemática logró establecer los fundamentos lógicos para la noción de número real. Con ello, se obtuvo un estudio completo de las funciones de números reales, llamadas funciones reales. De esta manera se encontró un sistema formal único para explicar las funciones de números que habían aparecido los siglos anteriores: polinomios, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. En este año se estudian todas las funciones indicadas desde un solo principio: las funciones reales como mecanismo para la formulación de modelos de problemas o fenómenos de tipo natural o social. SEGUNDO AÑO

UNIDAD 1: LA NOCIÓN DE FUNCIÓN Contenidos

Logros esperados C O G N I T I V O S

1. La función como regla de asignación.

1. Definir una función mediante la especificación del conjunto de salida, del conjunto de llegada y de la regla de asignación.

2. Dominio y recorrido de una función.

2. Dada una función, saber cómo determinar su dominio y recorrido.

3. Representación gráfica de una función.

3. Dada una función, saber cómo elaborar su gráfica.

P R O C E D I M E N T A L E S 1. La función lineal.

1. Determinar su dominio, su recorrido y elaborar su gráfica.

2. La función valor absoluto.

2. Determinar su dominio, su recorrido y elaborar su gráfica.

3. La función signo.

3. Determinar su dominio, su recorrido y elaborar su gráfica.

4. La función escalonada.

4. Determinar su dominio, su recorrido y elaborar su gráfica.

A C T I T U D I N A L E S 1. Valoración de la abstracción y generalización como un medio para formular un modelo mediante funciones.

1. Mostrar disposición para abstraer y generalizar.

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SEGUNDO AÑO

UNIDAD 2: LA FUNCIÓN AFÍN Contenidos

Logros esperados C O G N I T I V O S

1. Definición de función afín.

1. Determinar su dominio, su recorrido y su gráfica.

2. Caracterización de la función afín.

2. Dada una función, determinar si es o no afín.

3. Operaciones algebraicas con funciones.

3. Dadas varias funciones, operar algebraicamente entre ellas.

4. La función inversa.

4. Dada una función, determinar si es invertible.

P R O C E D I M E N T A L E S 1. Elaboración de modelos de problemas mediante funciones afines.

1. Dado un problema, resolverlo mediante un modelo que utilice funciones afines.

2. Cálculo de la función inversa.

2. Dada una función invertible, calcular su inversa.

A C T I T U D I N A L E S 1. Valoración de la demostración como medio idóneo para lograr autonomía en la apropiación de conocimientos matemáticos.

1. Mostrar disposición para realizar demostraciones.

SEGUNDO AÑO

UNIDAD 3: LA FUNCIÓN CUADRÁTICA Logros esperados

Contenidos

C O G N I T I V O S 1. Definición de función cuadrática.

1. Determinar su dominio, su recorrido y su gráfica.

2. Caracterización de la función cuadrática.

2. Dada una función, determinar si es o no cuadrática.

3. Composición de funciones

3. Dadas dos funciones, determinar si es posible obtener su compuesta.

4. Funciones polinomiales.

4. Dada una función, determinar si es polinomial.

P R O C E D I M E N T A L E S 1. Elaboración de modelos de problemas mediante funciones cuadráticas.

1. Dado un problema, resolverlo mediante un modelo que utilice funciones cuadráticas o polinomiales.

A C T I T U D I N A L E S 1. Valoración de la demostración como medio idóneo para tomar conciencia del propio proceso de aprendizaje.

1. Mostrar disposición a realizar demostraciones.

SEGUNDO AÑO

UNIDAD 4: FUNCIONES PARA CONTAR Contenidos

Logros esperados C O G N I T I V O S

1. Caracterización de la función inversa: funciones inyectivas y sobreyectivas.

1. Dada una función, determinar si es invertible.

2. Conjuntos infinitos.

2. Dado un conjunto, determinar si es infinito.

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P R O C E D I M E N T A L E S 1. Contando el conjunto de los números pares e impares.

1. Dado un conjunto infinito, determinar su número de elementos.

2. Contando el conjunto de los números racionales.

2. Dado un conjunto, saber si tiene el mismo número de elementos que el conjunto de los números racionales.

3. Contando el conjunto de los números reales.

3. Dado un conjunto, saber si tiene el mismo número de elementos que el conjunto de los números reales.

A C T I T U D I N A L E S 1. Valoración el conocimiento de la evolución de los conceptos matemáticos como medio para comprenderlos.

1. Mostrar disposición a conocer la evolución de los conceptos.

SEGUNDO AÑO

UNIDAD 5: SUCESIONES FINITAS Logros esperados

Contenidos

C O G N I T I V O S 1. Progresiones aritméticas.

1. Dada una sucesión, determinar si es una progresión aritmética.

2. Progresiones geométricas.

2. Dada una sucesión, determinar si es una progresión geométrica.

P R O C E D I M E N T A L E S 1. Elaboración de modelos de matemáticas financieras mediante progresiones aritméticas y geométricas.

1. Dado un problema, resolverlo mediante progresiones.

A C T I T U D I N A L E S 1. Valoración de la generalización como método adecuado para apropiarse de conocimientos.

1. Mostrar disposición a la generalización.

SEGUNDO AÑO

UNIDAD 6: FUNCIÓN EXPONENCIAL Contenidos

Logros esperados C O G N I T I V O S

1. Definición de la función exponencial.

1. Conocer la definición de función exponencial.

2. Caracterización de la función exponencial.

2. Conocer las propiedades de una función exponencial.

3. Monotonía de una función.

3. Comprender el significado geométrico de la monotonía.

P R O C E D I M E N T A L E S 1. Elaboración de modelos mediante funciones exponenciales.

1. Dado un problema, resolverlo mediante un modelo que utilice funciones exponenciales.

2. Determinación de la monotonía de una función.

2. Dada una función, determinar si es monótona.

A C T I T U D I N A L E S 1. Valoración de la demostración como método idóneo para apropiarse de los conocimientos matemáticos.

1. Mostrar disposición a realizar demostraciones.

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SEGUNDO AÑO

UNIDAD 7: FUNCIÓN LOGARITMO Contenidos

Logros esperados C O G N I T I V O S

1. Definición de la función logaritmo.

1. Conocer la definición de función logaritmo.

2. Caracterización de la función logaritmo.

2. Conocer las propiedades de una función logaritmo.

P R O C E D I M E N T A L E S 1. Elaboración de modelos mediante funciones logarítmicas.

1. Dado un problema, resolverlo mediante un modelo que utilice funciones logaritmos.

A C T I T U D I N A L E S 1. Valoración de la demostración como método idóneo para apropiarse de los conocimientos matemáticos.

1. Mostrar disposición a realizar y comprender demostraciones.

SEGUNDO AÑO

UNIDAD 8: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Contenidos

Logros esperados C O G N I T I V O S

1. Definición de las funciones trigonométricas.

1. Conocer la definición de las funciones trigonométricas.

2. Funciones trigonométricas inversas.

2. Determinar las condiciones suficientes para que las funciones trigonométricas sean invertibles.

P R O C E D I M E N T A L E S 1. Elaboración de modelos mediante funciones trigonométricas.

1. Dado un problema, resolverlo mediante un modelo que utilice funciones trigonométricas.

2. Funciones trigonométricas de múltiplos de ángulos.

2. Demostrar identidades trigonométricas que involucren múltiplos de ángulos.

3. Funciones trigonométricas de sumas y restas de ángulos.

3. Demostrar identidades trigonométricas que involucren sumas y restas de ángulos.

4. Ecuaciones trigonométricas.

4. Resolver ecuaciones trigonométricas.

A C T I T U D I N A L E S 1. Valoración de la demostración como método idóneo para apropiarse de los conocimientos matemáticos.

1. Mostrar disposición a realizar y comprender demostraciones.

7 PROGRAMA DEL TERCER AÑO Contenidos generales Los fundamentos de la matemática son estudiados en dos disciplinas: la lógica matemática y la teoría de conjuntos. En éstas se introducen las nociones básicas del método de la matemática, las mismas que son requisitos para abordar el estudio de las matemáticas superiores que son

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impartidas en las universidades de todo el mundo. La primera parte del tercer año se dedica a una introducción elemental de lógica y conjuntos. Por otro lado, la geometría analítica, que surgió en la modernidad como resultado del rompimiento con la concepción griega de que los números solo podían representar magnitudes lineales, de superficie o de volumen, posibilitó el estudio de las cónicas, ya no desde el punto de vista geométrico, sino a través de ecuaciones algebraicas. En el siglo 19, el surgimiento del concepto de espacio vectorial como alternativa a la imposibilidad de dotarle al espacio tridimensional de una estructura de cuerpo, permite estudiar las cónicas de una manera más sencilla que las ecuaciones algebraicas cartesianas. En la segunda parte de este año, se estudia una introducción al álgebra lineal, no solo como herramienta para el estudio de la geometría analítica, sino como una herramienta útil para la formulación de modelos matemáticos para resolver problemas de ingeniería, de economía, biología, finanzas, etc. TERCER AÑO

UNIDAD 1: INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA Logros esperados

Contenidos

C O G N I T I V O S 1. Principios de la Lógica.

1. Conocer el principio de identidad, el tercero excluido y el de contradicción.

2. Proposiciones.

2. Representar un razonamiento mediante proposiciones.

3. Predicados.

3. Representar un razonamiento mediante predicados.

P R O C E D I M E N T A L E S 1. Cálculo proposicional.

1. Utilizar las tablas de verdad para determinar la validez de un razonamiento.

2. Cálculo de predicados.

2. Utilizar los diagramas de Venn para determinar la validez de un razonamiento.

3. Métodos de demostración.

3. Aplicar los métodos de validación para realizar demostraciones.

A C T I T U D I N A L E S 1. Valoración de la demostración para lograr autonomía en la adquisición de conocimientos.

1. Mostrar disposición a realizar demostraciones.

TERCER AÑO

UNIDAD 2: CONJUNTOS Contenidos

Logros esperados C O G N I T I V O S

1. La noción de Conjunto.

1. Representar un conjunto.

2. Relaciones entre conjuntos.

2. Definir la igualdad y la inclusión de conjuntos.

3. Operaciones entre conjuntos.

3. Definir la unión, la intersección, la diferencia y el complemento de conjuntos.

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P R O C E D I M E N T A L E S 1. Propiedades de las operaciones entre conjuntos.

1. Conocer las propiedades fundamentales.

2. Algunos conjuntos particulares.

2. Conocer los naturales, los enteros, los racionales y los reales.

A C T I T U D I N A L E S 1. Valoración de la demostración para lograr autonomía en la adquisición de conocimientos.

1. Mostrar disposición a leer y comprender demostraciones.

TERCER AÑO

UNIDAD 3: LAS CÓNICAS Logros esperados

Contenidos

C O G N I T I V O S 1. La recta.

1. Conocer la definición geométrica y analítica de la recta.

2. La circunferencia.

2. Conocer la definición geométrica y analítica de la circunferencia.

3. La parábola.

3. Conocer la definición geométrica y analítica de la parábola.

4. La elipse.

4. Conocer la definición geométrica y analítica de la elipse.

5. La hipérbola.

5. Conocer la definición geométrica y analítica de la hipérbola.

P R O C E D I M E N T A L E S 1. Ecuaciones general y normal de la recta.

1. Identificar que una curva es la recta a través de su ecuación.

2. Forma general de la ecuación de una circunferencia.

2. Identificar que una curva es la circunferencia a través de su ecuación.

3. Forma general de la ecuación de una parábola.

3. Identificar que una curva es la parábola a través de su ecuación.

4. Forma general de la ecuación de una elipse.

4. Identificar que una curva es la elipse a través de su ecuación.

5. Forma general de la ecuación de una hipérbola.

5. Identificar que una curva es la hipérbola a través de su ecuación.

A C T I T U D I N A L E S 1. Valoración de la demostración para lograr autonomía en la adquisición de conocimientos.

1. Mostrar disposición a leer y comprender demostraciones.

TERCER AÑO

UNIDAD 4: EL ESPACIO VECTORIAL Contenidos

Logros esperados C O G N I T I V O S

1. Definición de

.

1. Conocer los axiomas de cuerpo y orden.

2. Producto escalar.

2. Conocer la definición y su origen.

3. Norma de un vector.

3. Interpretar geométricamente la norma de un vector.

4. Ortogonalidad de vectores.

4. Relacionar la ortogonalidad con el producto escalar.

5. Bases.

5. Conocer la base canónica de

.

15

P R O C E D I M E N T A L E S 1. Cálculo del ángulo formado entre dos vectores.

1. Determinar cuando dos vectores son ortogonales.

2. Determinar si un conjunto de vectores es una base.

2. Encontrar bases para

.

A C T I T U D I N A L E S 1. Valoración de la demostración para lograr autonomía en la adquisición de conocimientos.

1. Mostrar disposición para realizar demostraciones.

TERCER AÑO

UNIDAD 5: APLICACIÓN DE

A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

Contenidos

Logros esperados C O G N I T I V O S

1. La recta como un subespacio afín.

1. Conocer la definición de una recta como un subespacio afín.

2. El plano como un subespacio afín.

2. Conocer la definición de un plano como un subespacio afín.

3. Producto vectorial.

3. Interpretar geométricamente el producto vectorial.

P R O C E D I M E N T A L E S 1. Las ecuaciones de las cónicas.

1. Identificar las cónicas a partir de sus ecuaciones.

A C T I T U D I N A L E S 1. Valoración de la demostración para lograr autonomía en la adquisición de conocimientos.

1. Mostrar disposición para realizar demostraciones.

TERCER AÑO

UNIDAD 6: APLICACIONES LINEALES Y MATRICES Contenidos

Logros esperados C O G N I T I V O S

1. Aplicaciones lineales.

1. Conocer la definición de una aplicación lineal.

2. Núcleo y recorrido de una aplicación lineal.

2. Conocer la definición del núcleo y recorrido de una aplicación lineal.

3. Matriz de una aplicación lineal.

3. Conocer la definición de matriz de una aplicación lineal.

P R O C E D I M E N T A L E S 1. Determinar si una aplicación es lineal.

1. Demostrar que una aplicación es lineal.

2. Cálculo el núcleo y el recorrido de una aplicación lineal.

2. Interpretar geométricamente el núcleo de una aplicación lineal.

3. Obtención de la matriz de una aplicación lineal.

3. Calcular la matriz de una aplicación lineal.

4. Sistemas de ecuaciones lineales.

4. Resolver sistemas de ecuaciones lineales.

A C T I T U D I N A L E S 1. Valoración de la demostración para lograrrautonomía en la adquisición de conocimientos.

1. Mostrar disposición para realizar demostraciones.