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Área e integral de funciones de superficies paramétricas Jana Rodriguez Hertz Cálculo 3 IMERL

10 de mayo de 2011

integral de una función

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área de superficie paramétrica

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área de superficie paramétrica

definición (área) Φ : D ⊂ R2 → R3 superficie regular

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área de superficie paramétrica

definición (área) Φ : D ⊂ R2 → R3 superficie regular área de la superficie Φ(D):

integral de una función

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área de superficie paramétrica

definición (área) Φ : D ⊂ R2 → R3 superficie regular área de la superficie Φ(D): ZZ kΦu ∧ Φv kdu dv

A(Φ(D)) = D

definición definición

justificación

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justificación

Φ(Rij ) ≈ k4uΦu ∧ 4v Φv (ui , vj )k

integral de una función

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justificación

Φ(Rij ) ≈ k4uΦu ∧ 4v Φv (ui , vj )k = kΦu ∧ Φv (ui , vj )k4u4v

definición

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definición

justificación

Φ(Rij ) ≈ kΦu ∧ Φv (ui , vj )k4u4v

integral de una función

definición

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definición

justificación

Φ(Rij ) ≈ kΦu ∧ Φv (ui , vj )k4u4v A(Φ(D)) = lim

Rij →0

X i,j

Φ(Rij )

integral de una función

definición

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integral de una función

definición

justificación

Φ(Rij ) ≈ kΦu ∧ Φv (ui , vj )k4u4v A(Φ(D)) = lim

Rij →0

X i,j

ZZ kΦu ∧ Φv kdu dv

Φ(Rij ) = D

definición la esfera

la esfera

la esfera

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integral de una función

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la esfera

la esfera

la esfera   x = r cos u sin v y = r sin u sin v con u ∈ (0, 2π), v ∈ (0, π)  z = r cos v

integral de una función

definición

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la esfera

la esfera

la esfera   x = r cos u sin v y = r sin u sin v con u ∈ (0, 2π), v ∈ (0, π)  z = r cos v RR A(S 2 ) = D kΦu ∧ Φv kdu dv

integral de una función

definición

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la esfera

la esfera

la esfera   x = r cos u sin v y = r sin u sin v con u ∈ (0, 2π), v ∈ (0, π)  z = r cos v RR A(S 2 ) = D kΦu ∧ Φv kdu dv Φu = (−r sin u sin v , r cos u sin v , 0)

integral de una función

definición

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la esfera

la esfera

la esfera   x = r cos u sin v y = r sin u sin v con u ∈ (0, 2π), v ∈ (0, π)  z = r cos v RR A(S 2 ) = D kΦu ∧ Φv kdu dv Φu = (−r sin u sin v , r cos u sin v , 0) Φv = (r cos u cos v , r sin u cos v , −r sin v )

integral de una función

definición la esfera

la esfera

la esfera

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integral de una función

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la esfera

la esfera

la esfera i Φu ∧ Φv = −r sin u sin v r cos u cos v

j r cos u sin v r sin u cos v

k 0 −r sin v

=

definición

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integral de una función

la esfera

la esfera

la esfera i Φu ∧ Φv = −r sin u sin v r cos u cos v

j r cos u sin v r sin u cos v

k 0 −r sin v

=

= (−r 2 cos u sin2 v , −r 2 sin u sin2 v , −r 2 sin v cos v )

definición

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integral de una función

la esfera

la esfera

la esfera i Φu ∧ Φv = −r sin u sin v r cos u cos v

j r cos u sin v r sin u cos v

k 0 −r sin v

=

= (−r 2 cos u sin2 v , −r 2 sin u sin2 v , −r 2 sin v cos v ) kΦu ∧ Φv k2 = r 4 (sin4 v + sin2 v cos2 v ) = r 4 sin2 v

definición

ejemplos

integral de una función

la esfera

la esfera

la esfera i Φu ∧ Φv = −r sin u sin v r cos u cos v

j r cos u sin v r sin u cos v

k 0 −r sin v

=

= (−r 2 cos u sin2 v , −r 2 sin u sin2 v , −r 2 sin v cos v ) kΦu ∧ Φv k2 = r 4 (sin4 v + sin2 v cos2 v ) = r 4 sin2 v kΦu ∧ Φv k = r 2 sin v

definición la esfera

la esfera

la esfera

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la esfera

la esfera

la esfera A(S 2 ) = r 2

R 2π 0

du

Rπ 0

sin vdv

integral de una función

definición

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la esfera

la esfera

la esfera A(S 2 ) = r 2

R 2π 0

du

Rπ 0

sin vdv A(S 2 ) = 4πr 2

integral de una función

definición el toro

el toro

el toro

ejemplos

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definición

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el toro

el toro

el toro   x = (a + r cos u) cos v y = (a + r cos u) sin v con u, v ∈ (0, 2π)  z = r sin u

integral de una función

definición

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el toro

el toro

el toro   x = (a + r cos u) cos v y = (a + r cos u) sin v con u, v ∈ (0, 2π)  z = r sin u RR A(T 2 ) = D kΦu ∧ Φv kdu dv

integral de una función

definición

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el toro

el toro

el toro   x = (a + r cos u) cos v y = (a + r cos u) sin v con u, v ∈ (0, 2π)  z = r sin u RR A(T 2 ) = D kΦu ∧ Φv kdu dv Φu = (−r sin u cos v , −r sin u sin v , r cos u)

integral de una función

definición

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el toro

el toro

el toro   x = (a + r cos u) cos v y = (a + r cos u) sin v con u, v ∈ (0, 2π)  z = r sin u RR A(T 2 ) = D kΦu ∧ Φv kdu dv Φu = (−r sin u cos v , −r sin u sin v , r cos u) Φv = (−(a + r cos u) sin v , (a + r cos u) cos v , 0)

integral de una función

definición el toro

el toro

el toro

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integral de una función

definición

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el toro

el toro

el toro Φ u ∧ Φv = i −r sin u cos v −(a + r cos u) sin v

j −r sin u sin v (a + r cos u) cos v

k r cos u 0

=

definición

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integral de una función

el toro

el toro

el toro Φ u ∧ Φv = i j k −r sin u cos v −r sin u sin v r cos u −(a + r cos u) sin v (a + r cos u) cos v 0 = r (a + r cos u)(cos u cos v , − cos u sin v , − sin u)

=

definición

ejemplos

integral de una función

el toro

el toro

el toro Φ u ∧ Φv = i j k −r sin u cos v −r sin u sin v r cos u −(a + r cos u) sin v (a + r cos u) cos v 0 = r (a + r cos u)(cos u cos v , − cos u sin v , − sin u) kΦu ∧ Φv k = r (a + r cos u)

=

definición el toro

el toro

el toro

ejemplos

integral de una función

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el toro

el toro

el toro A(T 2 ) = r

R 2π 0

dv

R 2π 0

(a + r cos u)du

integral de una función

definición

ejemplos

el toro

el toro

el toro A(T 2 ) = r

R 2π 0

dv

R 2π 0

(a + r cos u)du

A(T 2 ) = (2πr )(2πa)

integral de una función

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definición (integral) S = Φ(D) superficie paramétrica regular

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definición (integral) S = Φ(D) superficie paramétrica regular f : S → R función continua

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definición (integral) S = Φ(D) superficie paramétrica regular f : S → R función continua integral de f sobre S:

integral de una función

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definición (integral) S = Φ(D) superficie paramétrica regular f : S → R función continua integral de f sobre S: ZZ

ZZ f (Φ(u, v ))kΦu ∧ Φv kdu dv

fdS = S

D

integral de una función

definición ejemplo

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ejemplo

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ejemplo S está dada por z = x 2 + y con x ∈ [0, 1], y ∈ [−1, 1]

definición

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integral de una función

ejemplo

ejemplo

ejemplo S está dada por z = x 2 + y con x ∈ [0, 1], y ∈ [−1, 1] RR calcular S xdS

definición

ejemplos

integral de una función

ejemplo

ejemplo

ejemplo S está dada por z = x 2 + y con x ∈ [0, 1], y ∈ [−1, 1] RR calcular S xdS 1

parametrizar S

definición

ejemplos

integral de una función

ejemplo

ejemplo

ejemplo S está dada por z = x 2 + y con x ∈ [0, 1], y ∈ [−1, 1] RR calcular S xdS 1 2

parametrizar S calcular kΦu ∧ Φv k

definición

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integral de una función

ejemplo

ejemplo

ejemplo S está dada por z = x 2 + y con x ∈ [0, 1], y ∈ [−1, 1] RR calcular S xdS 1 2 3

parametrizar S calcular kΦu ∧ Φv k integrar

definición

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ejemplo

ejemplo

ejemplo   x =u y =v  z = u2 + v

integral de una función

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ejemplo

ejemplo   x =u y =v  z = u2 + v Φu = (1, 0, 2u)

integral de una función

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ejemplo

ejemplo

ejemplo   x =u y =v  z = u2 + v Φu = (1, 0, 2u) Φv = (0, 1, 1)

integral de una función

definición

ejemplos

ejemplo

ejemplo

ejemplo   x =u y =v  z = u2 + v Φu = (1, 0, 2u) Φv = (0, 1, 1) √ kΦu ∧ Φv k = 4u 2 + 2

integral de una función

definición

ejemplos

ejemplo

ejemplo

ejemplo   x =u y =v  z = u2 + v Φu = (1, 0, 2u) Φv = (0, 1, 1) √ kΦu ∧ Φv k = 4u 2 + 2 RR R1 R1 √ 2 xdS = dv S −1 0 u 4u + 2du

integral de una función

definición

ejemplos

ejemplo

ejemplo

ejemplo   x =u y =v  z = u2 + v Φu = (1, 0, 2u) Φv = (0, 1, 1) √ kΦu ∧ Φv k = 4u 2 + 2 RR R1 R1 √ 3 1 2 2 2 1 xdS = dv S −1 0 u 4u + 2du = 6 [4u + 2] |0

integral de una función

definición

ejemplos

ejemplo

ejemplo

ejemplo   x =u y =v  z = u2 + v Φu = (1, 0, 2u) Φv = (0, 1, 1) √ kΦu ∧ Φv k = 4u 2 + 2 RR R1 R1 √ 3 1 2 2 2 1 xdS = dv S −1 0 u 4u + 2du = 6 [4u + 2] |0 √ √ RR 6 − 13 2 S xdS =

integral de una función

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interpretación física

masa y carga de un objeto plano

f (x, y , z) = densidad de masa en el punto (x, y , z)

integral de una función

definición

ejemplos

interpretación física

masa y carga de un objeto plano

f (x, y , z) = densidad de masa en el punto (x, y , z) RR ⇒ S fdS masa total de la chapa

integral de una función

definición

ejemplos

interpretación física

masa y carga de un objeto plano

f (x, y , z) = densidad de masa en el punto (x, y , z) RR ⇒ S fdS masa total de la chapa f (x, y , z) = carga en el punto (x, y , z)

integral de una función

definición

ejemplos

interpretación física

masa y carga de un objeto plano

f (x, y , z) = densidad de masa en el punto (x, y , z) RR ⇒ S fdS masa total de la chapa f (x, y , z) = carga en el punto (x, y , z) RR S fdS carga total

integral de una función