Trabajo de Fin de Grado. Matem´aticas. Universidad de Salamanca

Existencia de funciones meromorfas en Superficies de Riemann abiertas Rub´en Martos Prieto

Dirigido por: Pascual Cutillas Ripoll

´Indice 1 Introducci´ on

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2 Generalidades sobre las Superficies de Riemann 2.1 Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Resultados generalizados para Superficies de Riemann . . . . . . 2.3 El operador ∂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5 12 16

3 Resultados para el plano complejo C 17 3.1 El Teorema de Runge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Existencia de funciones meromorfas en abiertos de C . . . . . . . 25 4 Superficies de Riemann abiertas 5 Consecuencias y conclusiones 5.1 El Teorema de Behnke-Stein . . . . . . . . . . . . . 5.2 Existencia de funciones meromorfas en Superficies abiertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Variedades de Stein . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ap´ endices

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. . . . . . . . de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . .

42 42 44 46 50

A Elementos de Topolog´ıa 50 A.1 Haces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 A.2 Cohomolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ˇ A.2.1 Cohomolog´ıa de Cech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 B Elementos de An´ alisis Funcional 68 B.1 Teor´ıa General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 B.2 Espacios localmente convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 B.3 Distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 C Generalidades 89 C.1 Sucesiones y series de funciones holomorfas . . . . . . . . . . . . 89 C.2 Particiones de la unidad y orientabilidad . . . . . . . . . . . . . . 91 Bibliograf´ıa

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Resumen En el presente trabajo se desarrolla parte de la teor´ıa de las superficies de Riemann abiertas con el objetivo principal de la demostraci´ on de la existencia de funciones meromorfas (con ciertas caracter´ısticas prefijadas) sobre ellas. En primer lugar, se trata el problema para el caso de abiertos del plano complejo, siendo el Teorema de Aproximaci´ on de Runge el resultado central para la teor´ıa, pues permite demostrar la existencia de soluci´ on para las ecuaciones no homog´eneas de Cauchy-Riemann con lo que podemos concluir la demostraci´ on de los teoremas de existencia de funciones meromorfas con partes singulares prefijadas (Teorema de Mittag-Leffler ) y con divisor prefijado (Teorema de Weierstrass). Una vez hecho esto, se desarrollan resultados generales para el caso de las superficies de Riemann abiertas con el objetivo de generalizar los teoremas anteriores para tales superficies. As´ı, obtendremos el llamado Teorema de Behnke-Stein generalizando el cl´ asico teorema de Runge. Esto permite ya deducir las propiedades an´ alogas a las establecidas para abiertos del plano complejo, obteniendo finalmente la generalizaci´ on de los teoremas de Mittag-Leffler y Weierstrass, y con ello el problema de la existencia de funciones meromorfas (con parte singular prefijado o ´ divisor prefijado) sobre superficies de Riemann abiertas quedar´ a resuelto. Para el desarrollo de estas cuestiones se necesitar´ an conocimientos elementales de variable compleja y de superficies de Riemann. Con idea de introducir lenguaje, en la secci´ on 2 se hace una presentaci´ on de las superficies de Riemann en general. Por su parte, el ap´endice C trata de presentar algunas cuestiones m´ as t´ecnicas sobre variable compleja elemental y superficies de Riemann, que se suponen ya conocidas. La teor´ıa general de haces y cohomolog´ıa tambi´en se utiliza seg´ un el planteamiento seguido en el presente trabajo, de ah´ı que se haya incluido el ap´endice A en donde se exponen las definiciones b´ asicas y los resultados m´ as importantes sobre esta teor´ıa. El ap´endice B trata las cuestiones m´ as generales del An´ alisis Funcional que han sido utilizados en nuestros razonamientos (cabe destacar, el Teorema de Hahn-Banach, espacios de Fr´echet o ´ el Lema de Weyl de la teor´ıa general de distribuciones).

Palabras-clave: superficie de Riemann, variedad de Stein, Runge, Behnke-Stein, funci´ on meromorfa, Mittag-Leffler, Weierstrass.

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1.

Introducci´ on

El desarrollo de la idea de “Superficie de Riemann” comenz´o a mediados del siglo XIX de la mano del matem´atico alem´an Bernhard Riemann con el intento de extender el dominio de definici´on de las funciones holomorfas. La extensi´on m´ axima se logra no sobre el propio plano complejo, sino sobre copias de abiertos del mismo que se solapan. Las superficies de Riemann constituyen el lugar natural donde estudiar el comportamiento global de numerosas funciones, como la funci´on logaritmo; para la cual la superficie asociada estar´ıa formada por infinitos niveles ´o capas a modo de una escalera de caracol infinita. El estudio del comportamiento de la funci´on depende fuertemente de la copia del abierto en que nos encontremos (del “nivel” de la superficie en que nos encontremos) obteniendo resultados muy diferentes, lo cual constituye un detalle muy a tener en cuenta, sobre todo en la aplicaci´on a un problema f´ısico. Una de las particularidades que poseen algunas funciones complejas es que no son propiamente funciones, pues para un mismo valor de la variable la funci´ on le hace corresponder m´ ultiples valores. A este tipo de funciones se les llama “funciones multiformes” y pueden interpretarse (restringi´endolas si fuera necesario) como una colecci´ on de funciones cada una de las cuales tiene como dominio de definici´ on una copia de un abierto del plano. As´ı, cada una de estas funciones (que se llaman “ramas de la funci´ on multiforme”) est´a definida por medio de una de las posibilidades que da la funci´on multiforme. Por ejemplo, la funci´ on f (z) = log(z) definida en C∗ es una funci´on multiforme. En efecto, para cada z0 ∈ C∗ , la funci´on logaritmo le asigna el n´ umero complejo log(z0 ) := log(|z0 |) + it, siendo t el argumento de z0 . Ahora bien, el punto z0 es geom´etricamente el mismo que |z0 |ei(t+2πn) con n ∈ Z. Por tanto, hay infinitas posibilidades para el valor del logaritmo. Aplicando ahora la idea de Riemann, para solucionar este problema se considerar´ıan varias capas en el dominio de definici´ on de forma adecuada de modo que cuando el ´angulo llegue a t + 2π se pase a la capa superior, obteniendo como superficie de Riemann esa escalera de caracol de la que habl´abamos arriba. As´ı pues, el concepto de “Superficie de Riemann” surge inicialmente motivado por la idea que acabamos de describir: estudiar el dominio de las funciones multiformes haciendo variar la variable z sobre un dominio que puede recubrir una parte del plano complejo varias veces, de modo que la definici´on de estas funciones se sale del propio plano complejo. De esta manera, el concepto de “Superficie de Riemann” est´ a ligado al de “funci´on holomorfa”, es decir, cada funci´ on holomorfa determina una superficie de Riemann en concreto. Sin embargo, m´ as tarde se desarroll´o el estudio de las superficies de Riemann como un objeto en s´ı mismo, esto es, como variedades complejas independientes de las funciones holomorfas que las definieron inicialmente1 . Es en este momento en el que surge una generalizaci´on de la Geometr´ıa Diferencial usual que trata con las variedades diferenciables (es decir, con espacios sobre los que se lleva a cabo un estudio de la Geometr´ıa por medio del c´alculo diferencial de Rn ) para 1 Hay que decir que el propio Riemann hablaba en sus trabajos de la noci´ on de “variedad” como un concepto m´ as intr´ınseco al que se manejaba entonces, esto es, sin suponer que el objeto geom´ etrico en cuesti´ on estuviera sumergido en un cierto espacio af´ın. Ahora bien, podr´ıamos citar el libro [12] de H. Weyl de 1913 como uno de los trabajos principales que establece los fundamentos de la teor´ıa moderna de las Superficies de Riemann.

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pasar ahora al estudio de variedades complejas. En este sentido, una superficie de Riemann no es m´ as que una variedad compleja de dimensi´on 1. Por otro lado, la teor´ıa abstracta de las superficies de Riemann se divide en dos partes: una parte algebraica y una parte anal´ıtica. La parte algebraica consiste esencialmente en el estudio de las superficies de Riemann compactas, pues como es sabido toda superficie de Riemann compacta est´a asociada can´ onicamente a una curva algebraica del plano proyectivo. As´ı, bajo el punto de vista algebraico el estudio de una superficie de Riemann compacta, entendida como curva algebraica, se basa en el estudio de su cuerpo de funciones algebraicas (o sea, los cuerpos de grado de trascendencia 1 sobre C); el cual se corresponde con el cuerpo de funciones meromorfas de la superficie2 . En cuanto a la parte anal´ıtica, el problema fundamental trata de establecer la existencia de un cierto tipo de funciones (para nosotros las meromorfas), seg´ un la estructura que presente la superficie de Riemann. Tanto en la parte algebraica como en la parte anal´ıtica, las propiedades topol´ ogicas de la superficie de Riemann son esenciales, de modo que lo que en un principio parec´ıa ser un problema algebraico ´o anal´ıtico se convierte en un problema topol´ ogico. Un ejemplo esclarecedor es la existencia de una determinaci´ on uniforme de la funci´ on logaritmo complejo; se trata de determinar un dominio en C donde la funci´ on logaritmo sea verdaderamente una funci´on (es decir, donde deje de ser una funci´on multiforme tal y como hemos explicado arriba), pues bien, la condici´ on que debe cumplir dicho dominio para ello es topol´ ogica: ser simplemente conexo y no contener al cero. La diferencia que podemos apuntar entre las v´ıas algebraica y anal´ıtica para el estudio de las superficies de Riemann es la manera en que se describe el objeto geom´etrico. Algebraicamente, una variedad es descrita en t´erminos de “esquemas”, con lo que se define el modo en que se “observa” al espacio topol´ ogico en cuesti´ on, porque dar un esquema es dar la pareja formada por el espacio topol´ ogico y un haz de anillos sobre ´el, con lo que estamos diciendo con qu´e tipo de “observaciones” ´o “funciones” se est´a viendo tal espacio. El problema algebraico consiste, por tanto, en estudiar cu´ales son verdaderamente los “puntos” que est´ an siendo observados por ese tipo de funciones; (de ah´ı que el concepto de “punto” sea tan importante para el ´algebra) luego nuestro dato es el cuerpo de funciones racionales del correspondiente anillo de funciones de la variedad con el que se reconstruye la propia variedad. Anal´ıticamente, la descripci´on de una variedad se hace a la inversa, esto es, se define una variedad diciendo expl´ıcitamente qui´enes son los “puntos” que la forman en t´erminos del tipo de “observaci´on” que elijamos para ello. Por ejemplo, una subvariedad diferenciable se define como los ceros de un conjunto de funciones diferenciables, es decir, se define como el conjunto de puntos verificando las correspondientes condiciones que dan dichas funciones diferenciables. El problema abstracto que se plantea ahora, es precisamente la existencia de ese tipo de “funciones” con las que deberemos observar dichos “puntos”. En este sentido, el presente trabajo lleva a cabo un estudio anal´ıtico de las 2 Esta equivalencia entre curvas algebraicas y superficies de Riemann compactas (que al final se reduce a una equivalencia entre las categor´ıas del conjunto de cuerpos de funciones algebraicas y del conjunto de cuerpos de funciones meromorfas), permite estudiar la teor´ıa de funciones meromorfas en una superficie de Riemann compacta por t´ ecnicas puramente algebraicas. Esta idea se recoge en la llamada Teor´ıa de Dedekind-Weber, de la que puede verse un detallado estudio en [3].

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superficies de Riemann abiertas (esto es, no compactas). La conclusi´on final que se alcanza es precisamente la afirmaci´on de que existen funciones meromorfas (con parte singular prefijada ´ o con divisor prefijado) definidas sobre tales superficies, generalizando as´ı el caso que se tiene para abiertos del plano complejo.3 . Ahora bien, para alcanzar dicha conclusi´on se debe plantear otro problema como explicamos a continuaci´ on. En primer lugar, para abiertos del plano complejo la definici´on de funci´on holomorfa como una serie de potencias localmente sigue la idea de Weierstrass de interpretar las funciones como si fueran polinomios generalizados. As´ı, tal y como se detallar´ a m´ as adelante, el problema inicial que se plantea es la aproximaci´ on de funciones holomorfas por polinomios. Sin embargo, diferentes ejemplos muestran que esta aproximaci´on no puede realizarse globalmente en todo el dominio de definici´ on de la funci´on holomorfa, dependiendo fuertemente de la naturaleza topol´ ogica de dicho dominio. Quien se encarg´o de resolver este problema fue el matem´ atico alem´an Carl Runge4 y en lugar de plantear la aproximaci´ on directamente por polinomios, plante´o la aproximaci´on por funciones racionales. El resultado que demostramos primero aqu´ı es que la aproximaci´on es posible por medio de funciones holomorfas cuando el dominio de definici´on de la funci´ on holomorfa cumple cierta condici´on topol´ogica; m´as concretamente si U es un abierto de C y f es una funci´on holomorfa en U , entonces la funci´on f es l´ımite en O(U ) de una sucesi´on de funciones holomorfas cuando U r K no tiene componentes conexas relativamente compactas, para todo subconjunto compacto K de U . Este resultado es conocido como el Teorema de Aproximaci´ on de Runge y fue publicado en 1885 en [13].5 Como se ver´ a, el Teorema de Aproximaci´ on de Runge permite deducir, para el caso de abiertos del plano complejo, la existencia de funciones meromorfas (con ciertas caracter´ısticas prefijadas) en dichos abiertos, de modo que el problema abstracto planteado arriba estar´ıa resuelto para el caso del plano complejo C. Los teoremas que nos dan la existencia de estas funciones son los llamados Teorema de Mittag-Leffler y Teorema de Weierstrass 6 ; el primero de ellos nos dice que podemos construir una funci´on meromorfa cuyos polos y cuyo desarrollo de Laurent est´ an prefijados, mientras que el segundo nos dice que podemos construir la funci´ on meromorfa prefijando sus polos, sus ceros y los ´ordenes de 3 La teor´ ıa desarrollada para las superficies de Riemann abiertas constituye una verdadera generalizaci´ on de los resultados que se tienen para abiertos del plano complejo. Para el caso de las superficies de Riemann compactas, la misma conclusi´ on referida a los teoremas de existencia de funciones meromorfas no es cierta de forma tan general y es necesario imponer alguna condici´ on a˜ nadida para que el problema tenga soluci´ on. En [6] ´ o tambi´ en en [3] puede verse un estudio de las superficies de Riemann compactas en este sentido. 4 Carl David Tolm´ e Runge (1856-1927) fue un matem´ atico y f´ısico alem´ an nacido en la ciudad de Bremen y cuyos intereses inclu´ıan la espectroscop´ıa, la geodesia y la astrof´ısica. 5 Este teorema degenera en otras dos versiones con las que se demuestra que la aproximaci´ on puede darse por funciones racionales controlando en cierto sentido sus polos, lo cual permit´ıa deducir finalmente (gracias a los argumentos que emple´ o Runge en su trabajo original) la aproximaci´ on polinomial planteada desde el comienzo, de manera que ahora la condici´ on topol´ ogica que se requiere es que el dominio U de definici´ on fuera simplemente conexo. Runge, sin embargo, no habla de ello en su trabajo. 6 Como hemos comentado, para las superficies de Riemann compactas los teoremas de Mittag-Leffler y de Weierstrass no son ciertos de forma general. Para el Teorema de MittagLeffler, el Teorema de la Dualidad de Serre nos da cu´ ales son las condiciones necesarias y suficientes para que sea cierto sobre una superficie de Riemann compacta. El an´ alogo al Teorema de Weierstrass en superficies de Riemann compactas es el llamado Teorema de Abel. Todo ello puede verse en [6] o ´ tambi´ en en [3]

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dichos polos y ceros. En vista de que el Teorema de Aproximaci´ on de Runge es el que permite demostrar despu´es los teoremas de existencia de funciones meromorfas que buscamos, es obvia la intenci´ on de generalizar este teorema para el caso de las superficies de Riemann abiertas que nos ocupan. Dicha generalizaci´on se recoge en el llamado Teorema de Behnke-Stein y es llevada a cabo por los matem´aticos alemanes Heinrich Behnke7 y Karl Stein8 cuyo trabajo fue publicado en 1948 en [14] en “Mathematishche Annalen”9 . Pues bien, el mencionado teorema nos da cu´al ha de ser la condici´on topol´ ogica del abierto U de una superficie de Riemann abierta V para que una funci´ on holomorfa f en ´el pueda ser aproximada en los subconjuntos compactos de U por una sucesi´ on de funciones holomorfas. Dicha condici´on es que V r U no tenga componentes conexas compactas. Disponiendo ya del teorema de aproximaci´ on para las superficies de Riemann abiertas, toda la teor´ıa posterior que se apoya en este resultado es completamente an´aloga a la desarrollada para los abiertos del plano complejo, de modo que utilizando el Teorema de BehnkeStein, los teoremas de Mittag-Leffler y Weierstrass son generalizables de forma inmediata para las superficies de Riemann abiertas, obteniendo los teoremas de existencia de funciones meromorfas sobre tales superficies, como se quer´ıa. M´ as all´ a de las generalizaciones del Teorema de Mittag-Leffler y del Teorema de Weierstrass, el Teorema de Behnke-Stein permite deducir propiedades que caracterizan a las superficies de Riemann abiertas y que, posteriormente, se axiomatizan para dar lugar al concepto de variedad de Stein, de modo que el Teorema de Behnke-Stein podr´ıa enunciarse ahora diciendo que “Toda superficie de Riemann abierta es una variedad de Stein”. Haciendo referencia a lo que comentamos al comienzo, el problema inicial que motiva el estudio de las superficies de Riemann es el de saber cu´al es el dominio natural de definici´ on de las funciones holomorfas. Un abierto U de Cn se dice que es un “dominio de holomorf´ıa” si para cada punto z0 ∈ ∂U existe una funci´ on holomorfa en U que no puede extenderse como funci´on holomorfa en alg´ un entorno de z0 . Se demuestra que en C todos los abiertos son dominios de holomorf´ıa, pero en el caso de varias variables complejas no es cierto; de modo que el problema consiste en caracterizar este tipo de dominios. En este sentido surge el concepto de “variedad de Stein” (introducio en 1951 por Karl Stein) con el objetivo de generalizar el concepto de “dominio de holomorf´ıa” del espacio complejo n-dimensional. No es intenci´ on del presente trabajo hacer un estudio de los problemas planteados en t´erminos de variedades de Stein, pero al final del mismo se har´a una breve introducci´ on a este lenguaje para poner de manifiesto que este tipo de variedades representan la generalizaci´on de las superficies de Riemann abiertas.

7 Heinrich Behnke (1898-1979) fue un matem´ atico alem´ an nacido en la ciudad de Horn cuyo trabajo se centra en An´ alisis Complejo. 8 Karl Stein (1913-2000) fue un matem´ atico alem´ an nacido en la ciudad de Hamm cuyo trabajo se centra en An´ alisis Complejo y Criptograf´ıa. 9 Cabe decir que el resultado fue demostrado antes en 1943, pero su publicaci´ on se retras´ oa causa de la Segunda Guerra Mundial.

4

2.

Generalidades sobre las Superficies de Riemann

En t´erminos m´ as generales y dejando de lado las ideas primeras que motivan el concepto de superficie de Riemann, una tal superficie se va a presentar aqu´ı como “algo m´ as” que una superficie diferenciable, en el sentido de que, en lugar de exigir la diferenciabilidad para sus funciones de transici´on; se exigir´a la holomorf´ıa de las mismas. De esta manera, no se refleja de modo claro todo lo que hemos explicado en la introducci´on; sin embargo, representa un modo u ´til y sencillo para construir toda la teor´ıa relacionada.

2.1.

Definiciones y ejemplos

2.1.1 Definici´ on. Una superficie topol´ogica V es un espacio topol´ogico Hausdorff en el que cada punto tiene un entorno abierto homeomorfo a un abierto de R2 . 2.1.2 Definici´ on. Sea V una superficie topol´ogica. Un atlas holomorfo en V es una familia de parejas (cada una de las cuales se llamar´a carta) {(Ui , ϕi )}i∈I , donde Ui es un abierto de V y ϕi es un homeomorfismo de Ui con un abierto de C para cada i ∈ I de modo que adem´as se verique lo siguiente: 1. El conjunto {Ui }i∈I es un recubrimiento de V. 2. Si i, j ∈ I y Ui ∩Uj 6= φ, la composici´on ϕj ◦ϕ−1 : ϕi (Ui ∩Uj ) → ϕj (Ui ∩Uj ) i es holomorfa entre abiertos de C. A estas aplicaciones se les llama funciones de transici´ on. 2.1.3 Observaciones. (a) Como la composici´on ϕj ◦ ϕ−1 debe ser holomorfa i y esto es cierto para todos i, j ∈ I, entonces permutando los ´ındices se deduce que su inversa ϕi ◦ ϕ−1 tambi´en debe ser holomorfa. Por tanto, j podemos decir que las funciones de transici´on son isomorfismos holomorfos entre abiertos de C. (b) En palabras estamos diciendo que las funciones de transici´on representan los cambios de coordenadas entre dos cartas del atlas considerado en V. La condici´ on de atlas holomorfo establece que dicho cambio de coordenadas debe ser holomorfo. 2.1.4 Definici´ on. Sea V una superficie topol´ogica. Dos atlas holomorfos en V se dicen equivalentes si su uni´ on es otro atlas holomorfo. 2.1.5 Observaciones. (a) Para que dos atlas holomorfos sean quivalentes basta, en realidad, que su uni´on verifique la condici´on (2) de la definici´on de atlas holomorfo, pues la condici´on (1) siempre se va a cumplir, obviamente. Cuando ocurre esto, diremos que las cartas de sendos atlas holomorfos son compatibles. (b) Puesto que la composici´ on de isomorfismos holomorfos es un isomorfismo holomorfo, es f´ acil ver que la noci´on de atlas holomorfos equivalentes establece una relaci´ on de equivalencia en el conjunto de todos los atlas holomorfos de V, lo que permite considerar el correspondiente conjunto cociente. 5

2.1.6 Definici´ on. Sea V una superficie topol´ogica. Se llama estructura holomorfa en V a una clase de equivalencia en V de atlas holomorfos. 2.1.7 Observaci´ on. As´ı, una estructura holomorfa en V consiste en la elecci´on de un atlas holomorfo. Toda estructura holomorfa en V contiene un u ´nico atlas maximal, de manera que dado un atlas cualquiera de la estructura, dicho atlas maximal consiste en todas las cartas de V compatibles con las cartas del atlas escogido. 2.1.8 Definici´ on. Una superficie de Riemann es una superficie topol´ogica conexa en la que se considera una estructura holomorfa. 2.1.9 Observaci´ on. En la definici´on de superficie de Riemann imponemos la condici´ on de que la superficie topol´ogica sea, como espacio topol´ogico, conexa. Esto es as´ı porque en caso contrario, cada componente conexa de la superficie podr´ıa pensarse como una superficie topol´ogica independiente del resto, luego se estar´ıan considerando m´ ultiples superficies topol´ogicas simult´aneamente, que no es nuestra intenci´ on. 2.1.10 Ejemplos. (a) Sea U un abierto del plano complejo C. Sea F := {(U, z)} la familia formada por la u ´nica carta (U, z) donde z : U → U se le considera como homeomorfismo de U consigo mismo, pues representa la coordenada natural del plano complejo. Es obvio que F es un atlas holomorfo en U . Con la estructura holomorfa definida por este atlas, U es una superficie de Riemann. En particular, esto es cierto cuando U = C (b) Sea V una superficie de Riemann cualquiera y U ⊆ V un abierto suyo. Sea F = {(Ui , ϕi )}i∈I un atlas holomorfo que defina la estructura holomorfa de V. Llamemos FU a la familia {(U ∩ Ui , ϕi |U ∩Ui )}i∈I . Es inmediato ver que FU constituye un atlas holomorfo para U y adem´as si F0 es otro atlas holomorfo en V que sea equivalente a F, entonces FU y F0U son tambi´en equivalentes. Por lo tanto, la estructura holomorfa en U dada por FU est´a bien definida y se le llama estructura holomorfa en U inducida por la de V. Obviamente, U es tambi´en una superficie de Riemann con esta estructura. (c) Plano complejo ampliado Llamaremos plano complejo ampliado, y lo denotaremos por C, al plano complejo C junto con un s´ımbolo ∞ ∈ / C, que llamaremos punto del infinito. Es importante decir que la finalidad de a˜ nadir el punto ∞ a C es exclusivamente topol´ ogica y no algebraica, pues no es posible extender a C la suma y producto definidos en C, de manera que C tenga estructura de cuerpo. En cambio, s´ı es posible extender la topolog´ıa de C a C, de modo que C sea un espacio compacto. as que la compactificaci´on de Alexandroff de C, o sea, En efecto, C no es m´ se le considera con la siguiente topolog´ıa: los subconjuntos abiertos de C son los abiertos de C y los complementarios en C de los subconjuntos compactos de C. Es f´ acil ver que esto es, efectivamente, una topolog´ıa para C.

6

Definido ya topol´ ogicamente el plano complejo ampliado, veamos c´omo C es una superficie de Riemann. La estructura holomorfa en C se construye del siguiente modo: Tomemos los subconjuntos U0 := C y U1 := C∗ ∪ {∞} = C r {0} , que son claramente abiertos en C seg´ un la topolog´ıa que hemos definido. Consideremos ahora las siguientes aplicaciones ϕ0 : U0

−→

ϕ1 : U1

C

−→

C (

z

7−→

ϕ0 (z) := z

z

7−→

ϕ1 (z) :=

, si z ∈ C∗ 0 , si z = ∞ 1 z

Se demuestra f´ acilmente que ϕ0 y ϕ1 son homeomorfismos. Consideramos, por tanto, la familia F := {(U0 , ϕ0 ), (U1 , ϕ1 )}, que es un atlas holomorfo 1 en C porque un peque˜ no c´alculo muestra que (ϕ1 ◦ ϕ−1 0 )(z) = z estando −1 ∗ la composici´ on ϕ1 ◦ ϕ0 definida, adem´as, en C (y tomando valores en C∗ tambi´en). 2.1.11 Nota. A los homeomorfismos ϕ0 y ϕ1 que definimos arriba representando las respectivas coordenadas en U0 y en U1 , tambi´en se les suelen denotar por z y z 0 , respectivamente. De manera que el cambio de coordedef. 1 , para nadas, seg´ un lo que acabamos de obtener, se escribir´ıa z 0 (p) = z(p) todo p ∈ U0 ∩ U1 . Con la estrucutra holomorfa definida por F, C es una superficie de Riemann. De hecho, C es una superficie de Riemann compacta. (d) Recta proyectiva compleja En C2 r {(0, 0)} consideramos la siguiente relaci´on binaria: def.

(z1 , z2 ) ∼ (w1 , w2 ) ⇔ existe λ ∈ C∗ tal que (w1 , w2 ) = λ(z1 , z2 ) Esta relaci´ on es de equivalencia como puede comprobarse f´acilmente. Al conjunto cociente C2 r{(0, 0)} / ∼, o sea, el conjunto de las clases de equivalencia; lo denotaremos por P1 y es lo que se llama recta proyectiva compleja. Como vemos, los puntos de la recta proyectiva pueden identificarse con un par de n´ umeros complejos (t0 , t1 ) (siendo t0 , t1 no simult´aneamente nulos). Estos t0 , t1 est´ an determinados salvo multiplicaci´on por un escalar no nulo λ ∈ C∗ cualquiera y se llaman coordenadas homog´eneas del punto de P1 considerado. A la recta proyectiva compleja P1 = C2 r {(0, 0)} / ∼ le dotamos de la topolog´ıa cociente de C2 r{(0, 0)}, es decir, se trata de la topolog´ıa final de la aplicaci´ on natural de paso al cociente π : C2 r {(0, 0)} → C2 r {(0, 0)} / ∼= 1 P , que es por definici´ on la topolog´ıa m´as fina para la cual la aplicaci´on de paso al cociente es continua. As´ı, por la propia definici´on de esta topolog´ıa es claro que un subconjunto U de P1 es un abierto si y s´olo si π −1 (U ) es un abierto de C2 r {(0, 0)}. Con esta topolog´ıa, es inmediato que la recta proyectiva compleja P1 es un espacio topol´ogico Hausdorff. 7

Tomemos los subconjuntos:   U0 := (t0 , t1 ) ∈ P1 : t0 6= 0 y U1 := (t0 , t1 ) ∈ P1 : t1 6= 0 , que son abiertos de P1 como se deduce f´acilmente. Consideremos ahora las aplicaciones siguientes: ϕ0 :

U0 −→ (t0 , t1 ) 7−→

C ϕ0 ((t0 , t1 )) :=

ϕ1 : t1 t0

U1 −→ (t0 , t1 ) 7−→

C ϕ1 ((t0 , t1 )) :=

t0 t1

Se demuestra de forma sencilla que ϕ0 y ϕ1 son homeomorfismos. Consideramos as´ı, la familia F := {(U0 , ϕ0 ), (U1 , ϕ1 )}, que constituye un atlas holomorfo para la recta proyectiva compleja porque un peque˜ no c´alculo −1 1 muestra que (ϕ1 ◦ ϕ−1 )(z) = estando la composici´ o n ϕ ◦ ϕ defini1 0 0 z ∗ ∗ da, adem´ as, en C (y tomando valores en C tambi´en). Obs´ervese que los abiertos U0 y U1 considerados forman, efectivamente, un recubrimiento de la recta proyectiva. Con la estructura holomorfa definida por F, la recta proyectiva compleja P1 es una superficie de Riemann. (e) Esfera de Riemann Consideremos el siguiente subconjunto del espacio eucl´ıdeo R3 :  S := (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x21 + x22 + x23 = 1 , que representa la superficie esf´erica de R3 centrada en el origen de coordenadas (0, 0, 0) y de radio 1. La topolog´ıa de S ser´a la inducida por la de R3 . En dicha superficie, distinguimos dos puntos que, por motivos obvios, llamaremos polo norte N y polo sur S correpondi´endose con los puntos de R3 de coordenadas (0, 0, 1) y (0, 0, −1), respectivamente. Habiendo fijado estos puntos se consideran los siguientes abiertos de la superficie S: U0 := S r {N } y U1 := S r {S} y sobre cada uno de ellos se definen las aplicaciones siguientes: ϕ0 : U0 p

−→ 7−→

C ϕ1 : U1 ϕ0 (p) := α1 (p) + iα2 (p) p

−→ 7−→

C ϕ1 (p) := β1 (p) − iβ2 (p)

donde (α1 (p), α2 (p)) (resp. (β1 (p), β2 (p))) representan las coordenadas en {x3 = 0} = R2 = C de la proyecci´on estereogr´afica del punto p desde el polo norte (resp. desde el polo sur). Se ve sin dificultad que las aplicaciones ϕ0 y ϕ1 son homeomorfismos. Consideramos as´ı, la familia F := {(U0 , ϕ0 ), (U1 , ϕ1 )} cuyos abiertos U0 , U1 constituyen claramente un recubrimiento de la esfera S y un c´alculo muestra que F es un atlas holomorfo en la esfera. Con la estructura holomorfa definida por F, resulta que S es una superficie de Riemann. Obs´ervese que, de hecho, S es una superficie de Riemann compacta (por ser un subconjunto cerrado y acotado del espacio eucl´ıdeo R3 ) y se le llama esfera de Riemann. 8

2.1.12 Observaci´ on. Geom´etricamente, es l´ıcito pensar que la recta proyectiva compleja y el plano complejo ampliado, que hemos descrito en los ejemplos anteriores; puedan estar relacionados. Pues bien, resulta que son el mismo espacio topol´ ogico. En efecto, el homeomorfismo que se establece entre ellos consiste en definir cu´ al queremos que sea el punto del infinito para nuestra recta proyectiva: f : C = C ∪ {∞} z

−→ P1 = C2( r {(0, 0)} / ∼ [1, z] , si z 6= ∞ 7−→ f (z) := [0, 1] , si z = ∞

En este caso, estamos diciendo que el punto [0,1] de la recta proyectiva es el que va a representar al punto del infinito. Como C y P1 son el mismo espacio topol´ogico y el plano complejo ampliado era compacto, entonces la recta proyectiva compleja tambi´en lo es, luego P1 es una superficie de Riemann compacta. Adem´as, el homeomorfismo f permite deducir que C y P1 tienen incluso la misma estructura holomorfa como superficies de Riemann, pues los abiertos de sendos atlas holomorfos se identifican, como se ve inmediatamente. Obs´ervese, sin embargo, que el punto del infinito no puede representarse por ning´ un punto del plano eucl´ıdeo y, por ello, la recta proyectiva compleja (´ o el plano complejo ampliado) no es representable. Ahora bien, la esfera de Riemann constituye una visualizaci´on de la recta proyectiva, ya que la estructura holomorfa de la esfera de Riemann es la misma que la de la recta proyectiva compleja en el siguiente sentido: g: S

−→

P1 (

p

7−→

g(z) :=

[1, α1 (p) + iα2 (p)] , si p 6= N [0, 1] , si p = N

´ Este es un homeomorfismo entre ambos espacios topol´ogicos y consiste en entender el polo norte N como el punto del infinito de la recta proyectiva a trav´es de la proyecci´ on estereogr´ afica desde el polo norte. De esta manera, los abiertos de sendos atlas holomorfos se identifican, como se ve inmediatamente. 6. Toro Complejo de dimensi´on 1 Sean ω1 , ω2 ∈ C dos n´ umeros complejos linealmente independientes sobre R. Consideremos el subgrupo aditivo de C generado por estos vectores, es decir, G := {mω1 + nω2 }m,n∈Z A continuaci´ on consideramos el correspondiente grupo cociente V := C/G dot´ andolo de la topolog´ıa final de la proyecci´on natural de paso al cociente def. π : C → C/G = τ , esto es, la topolog´ıa m´as fina que hace continua a π. Al espacio topol´ ogico que acabamos de construir es al que se le llama toro complejo de dimensi´ on 1 y es f´acil ver que es un espacio Hausdorff. Adem´ as, V es un espacio topol´ogico compacto. En efecto, dados los generadores ω1 , ω2 del grupo G, consideremos el paralelogramo cerrado de v´ertices ω1 + ω2 , −ω1 + ω2 , −ω1 − ω2 y ω1 − ω2 , que denotaremos por P . 9

Por la propia definici´ on de V y la construcci´on de este paralelogramo, es claro que π(P ) = τ . Finalmente, como π es continua y P es un compacto (por ser un subconjunto cerrado y acotado de C), deducimos que V es compacto, como quer´ıamos. Dado z0 ∈ C, sea Dz0 un disco abierto centrado en z0 dentro el paralelo2 2 , z0 + −ω12−ω2 , z0 + ω1 −ω gramo cuyos v´ertices son: z0 + −ω12+ω2 , z0 + ω1 +ω 2 2 Con esta elecci´ on de Dz0 , resulta que dos trasladados cualesquiera de Dz0 por el grupo G son disjuntos, de modo que π −1 (π(Dz0 )) es la uni´on de todos los trasladados posibles de Dz0 por elementos de G (pues sus elementos son los n´ umeros complejos que se diferencian de un n´ umero de Dz0 en un elemento de G, por definici´oSn de la relaci´on de equivalencia que produce G), o sea, π −1 (π(Dz0 )) = ( mω1 + nω2 ) + Dz0 . m,n∈Z

Resulta que π|Dz0 : Dz0 → π(Dz0 ) es un homeomorfismo y la familia F := {(π(Dz0 ), ϕz0 )}z0 ∈C , donde ϕz0 denota la aplicaci´on inversa de π| (que es un homeomorfismo de π(Dz0 ) con Dz0 ) es un atlas holomorfo para τ como muestra un peque˜ no razonamiento utilizando el hecho de que G es un grupo discreto. Con la estructura holomorfa definida por F, el toro es una superficie de Riemann. De hecho, el toro τ es una superficie de Riemann compacta. 2.1.13 Observaci´ on. Por la observaci´on 2.1.12, el plano complejo ampliado, la recta proyectiva compleja y la esfera de Riemann son la misma superficie de Riemann. As´ı pues, los ejemplos (c), (d), (e), (6) anteriores se pueden resumir en dos: una esfera y un toro. 2.1.14 Definici´ on. Sea V una superficie de Riemann. Una funci´on f : V → C se dice que es holomorfa en un punto p ∈ V si existe una carta (U, ϕ) de un atlas holomorfo que defina la estructura holomorfa de V con p ∈ U tal que f ◦ ϕ−1 : ϕ(U ) −→ C es holomorfa en un entorno de ϕ(p). Se dir´ a que f es holomorfa en V si f es una funci´on holomorfa para todo punto p ∈ V. Al conjunto de funciones holomorfas en V se le denotar´a por O(V) 2.1.15 Observaciones. (a) La definici´on anterior no depende de la carta (U, ϕ) escogida ni tampoco del atlas holomorfo escogido, como se comprueba inmediatamente. (b) De la misma manera puede definirse una funci´on holomorfa sobre un abierto de la superficie de Riemann V utilizando la estructura holomorfa de dicho abierto herededa de la de V (ver (b) de los ejemplos anteriores). Obs´ervese que si f es una funci´ on holomorfa en V, entonces tambi´en lo es en cualquiera de sus abiertos. (c) Puede comprobarse con la definici´on, que la suma y el producto de funciones holomorfas en V es de nuevo una funci´on holomorfa en V. Las constantes tambi´en son funciones holomorfas en V. Por tanto, resulta que el conjunto O(V) es una C-´ algebra. 10

2.1.16 Definici´ on. Sean V, W dos superficies de Riemann. Una aplicaci´on continua f : V → W se dice que es holomorfa en un punto p ∈ V si existen cartas (U, ϕ) de un atlas holomorfo que defina la estructura holomorfa de V y (V, ψ) de un atlas holomorfo que defina la estructura holomorfa de W con p ∈ U y f (p) ∈ V tales que la aplicaci´on entre abiertos de C: ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ(U ∩ f −1 (V )) −→ ψ(f (U ) ∩ V ) es holomorfa en un entorno de ϕ(p). Diremos que f es holomorfa en V si f es una aplicaci´on holomorfa para todo punto p ∈ V. 2.1.17 Observaciones. (a) De nuevo, la definici´on anterior no depede de las cartas (U, ϕ) y (V, ψ) escogidas ni de los atlas holomorfos escogidos, como se comprueba inmediatamente. (b) Queda definida al mismo tiempo una aplicaci´on holomorfa entre abiertos de las superficies de Riemann V y W utilizando la estructura holomorfa de dichos abiertos herededa de la de la correspondiente superficie. (c) Puede comprobarse sin dificultad que la composici´on de aplicaciones holomorfas entre superficies de Riemann es de nuevo una aplicaci´on holomorfa entre superficies de Riemann. (d) Si f : V → W es una aplicaci´on holomorfa entre superficies de Riemann y V es un subconjunto abierto cualquiera de W, entonces siempre se tiene inducido de forma natural un homomorfismo entre los anillos de funciones holomorfas O(V ) y O(f −1 (V )) del siguiente modo: f ∗ : O(V ) −→ h 7−→

O(f −1 (V )) f ∗ (h) := h ◦ f

A este homomorfismo se le llamar´a pull-back de f . 2.1.18 Definici´ on. Una aplicaci´on holomorfa entre superficies de Riemann f : V → W se dice que es un isomorfismo holomorfo si f es biyectiva y su inversa tambi´en es una aplicaci´on holomorfa. En tal caso, se dir´ a que las superficies de Riemann V y W son anal´ıticamente isomorfas. Aplicando las definiciones que venimos dando, no muestra dificultad la demostraci´ on de la siguiente: 2.1.19 Proposici´ on. Sea V una superficie de Riemann y F un atlas holomorfo que defina la estructura holomorfa de V. Si U es un subconjunto abierto de V y ϕ : U → C es una funci´ on compleja en U , entonces las siguientes condiciones son equivalentes: 1. ϕ es holomorfa y univalente. 2. ϕ es un isomorfismo holomorfo de U con un abierto ϕ(U ) de C. 3. ϕ es un homeomorfismo de U con un abierto de C y F ∪ {(U, ϕ)} es otro atlas holomorfo en V. 11

Este resultado motiva la siguiente: 2.1.20 Definici´ on. Sea V una superficie de Riemann. Un subconjunto abierto U de V en el que haya definida una funci´on compleja ϕ verificando cualquiera de las condiciones de la proposici´on anterior, se llamar´a abierto coordenado de V y a la funci´ on ϕ se le llamar´a coordenada (holomorfa) en U . 2.1.21 Observaciones. (a) Si F = {(Ui , ϕi )}i∈I es un atlas holomorfo definiendo una estructura holomorfa en la superficie de Riemann V, entonces de la propia definici´ on se sigue que los abiertos Ui son abiertos coordenados en V con ϕi como la correspondiente coordenada, para cada i ∈ I. (b) Sea U un abierto coordenado cualquiera en V con coordenada holomorfa ϕ. Por verificarse la condici´ on (3) de la proposici´on 2.1.19, entonces es claro que la pareja (U, ϕ) tambi´en es v´alida para comprobar la condici´on de holomorf´ıa en un punto p ∈ V de una funci´on definida en V. Entre todos los abiertos coordenados que se puedan considerar en una superficie de Riemann, hay un caso particular especialmente importante que definimos a continuaci´ on: 2.1.22 Definici´ on. Sea V una superficie de Riemann. Un disco coordenado D en V con coordenada ϕ es un subconjunto abierto de V tal que hay una coordenada holomorfa ϕ en alg´ un entorno abierto de D que identifica a D con un disco de C. Al punto de D que se transforma en el centro del disco ϕ(D) se le llama centro de D (respecto de la coordenada ϕ) y al radio de ϕ(D) se le llama radio de D (respecto de la coordenada ϕ). 2.1.23 Observaci´ on. Hay que notar que una superficie de Riemann es, en particular, una variedad diferenciable y como tal podemos hacer un “An´alisis Complejo” sobre ella distinguiendo la carta local en la que estemos trabajando. En este sentido, si f es una funci´on holomorfa en V, entonces sabremos derivarla en un punto p ∈ V respecto de una coordenada fijada. En efecto, si (U, ϕ) es un abierto coordenado conteniendo al punto p, entonces ϕ(p) representa al punto p como n´ umero complejo en C respecto de la coordenada natural z de C y podemos definir ∂f ∂(f ◦ ϕ−1 ) (p) := (ϕ(p)) ∂ϕ ∂z

2.2.

Resultados generalizados para Superficies de Riemann

Vistas las definiciones del apartado anterior, podemos decir que una superficie de Riemann se reduce localmente a un abierto del plano complejo, pues los abiertos coordenados en una superficie de Riemann son isomorfos a abiertos de C. Obs´ervese que cada punto de la superficie estar´a contenido en diferentes cartas y ninguna de ellas es distinguible de las dem´as. Por este motivo, llevaremos sobre las superficies de Riemann aquellas nociones de variable compleja en el plano que no dependan del abierto de C escogido. En este sentido, la teor´ıa de variable compleja conocida sobre C se “copia” pr´ acticamente para el caso de las superficies de Riemann. 12

2.2.1 Nota. Como consecuencia de esto, a lo largo del presente trabajo los resultados que se expongan referidos a abiertos del plano complejo (que no necesiten hip´ otesis a˜ nadidas sobre los mismos) son v´alidos y generalizables de forma inmediata para el caso de superficies de Riemann. Cuando esto sea as´ı, se har´ a notar ´ o bien se sobreentender´a que esto es as´ı como por ejemplo sucede con la Teor´ıa de Distribuciones desarrollada en el ap´endice B. As´ı, el conocido Principio de Prolongaci´ on Anal´ıtica de variable compleja para abiertos de C junto con todas sus consecuencias sigue siendo cierto sobre una superficie de Riemann. A su vez, puede darse una generalizaci´on de este resultado para el caso de aplicaciones holomorfas entre superficies de Riemann: 2.2.2 Teorema (Principio de Prolongaci´on Anal´ıtica). Sean V y W dos superficies de Riemann y f : V → W una aplicaci´on holomorfa entre ellas. Si f es constante en un subconjunto no discreto de V, entonces f es constante en toda V. Otro resultado b´ asico de variable compleja que se lleva a las superficies de Riemann de forma inmediata es que toda funci´on holomorfa no constante sobre una superficie de Riemann es abierta (generalizable tambi´en para el caso de aplicaciones holomorfas); y como consecuencia el conocido Principio del m´ odulo m´ aximo: 2.2.3 Teorema (Principio del m´odulo m´aximo). Sea V una superficie de Riemann y f : V → C una funci´ on holomorfa no constante en ella. Entonces, |f | nunca alcanza su m´ aximo en V (salvo que fuera constante, obviamente). Por otro lado, lo m´ as elemental es ver que toda funci´on holomorfa en un disco coordenado de una superficie de Riemann puede expresarse como suma de una serie de potencias de la coordenada. En efecto, sea D un disco coordenado con coordenada ϕ en una superficie de Riemann V. Sea p0 el centro del disco D. Si f es una funci´on holomorfa en D, entonces por definici´ on resulta que f ◦ϕ−1 : ϕ(D) → C es una funci´on holomorfa (utilizando la observaci´ on (b) de 2.1.21) y como consecuencia sabemos que en ∞ P un entorno de cada punto de ϕ(D) se verifica (f ◦ ϕ−1 )(z) = an (z − z0 )n n=0

con an ∈ C, para cada n ∈ Z+ y siendo z0 el centro del disco ϕ(D) de C. Llamemos p := ϕ−1 (z) ∈ D. Sustituyendo en la expresi´on queda: f (p) =

∞ X

an (ϕ(p) − ϕ(p0 ))n

n=0

lo cual es cierto para todo punto p ∈ D; que es precisamente lo que quer´ıamos demostrar. An´ alogamente, podemos demostrar que una funci´on holomorfa en un disco coordenado sin su centro puede desarrollarse en serie de Laurent, de modo que con las notaciones precedentes; llamando p := ϕ−1 (z) ∈ D r {p0 } escribir´ıamos f (p) =

∞ X

an (ϕ(p) − ϕ(p0 ))n

n=−∞

13

lo cual es cierto para todo punto p ∈ D r {p0 }, siendo la serie uniformemente convergente en los compactos de D r {p0 }. En virtud de la expresi´ on que acabamos de obtener sobre el desarrollo de Laurent de una funci´ on holomorfa en un disco coordenado D sin su centro p0 y distinguiendo la forma que presente la parte singular de dicho desarrollo, obtenemos igual que para discos sin centro en el plano complejo tres posibilidades que dan lugar a la clasificaci´ on de las singularidades aisladas para una funci´on f como la de arriba: 1. Singularidad evitable El punto p0 es una singularidad evitable cuando todos los coeficientes de sub´ındice negativo del desarrollo de Laurent son nulos ´o equivalentemente cuando f est´ a acotada en alg´ un entorno de p0 ´o equivalentemente si existe l´ım f (p) ∈ C. p−→p0

2. Polo El punto p0 es un polo para la funci´on cuando todos los coeficientes de sub´ındice negativo del desarrollo de Laurent son nulos salvo un conjunto finito de ellos ´ o equivalentemente si l´ım f (p) = ∞. p−→p0

Se dir´ a que el punto p0 es un polo de orden k ∈ N si k es el m´aximo tal que a−k 6= 0. 3. Singularidad esencial El punto p0 es una singularidad esencial cuando infinitos coeficientes de sub´ındice negativo del desarrollo de Laurent son distintos de cero ´o equivalentemente cuando la imagen por f de cualquier entorno reducido de p0 es densa en C ´ o equivalentemente cuando no existe l´ım f (p) (ni finito p−→p0

ni infinito). 2.2.4 Observaci´ on. En las equivalencias mencionadas se han utilizado los an´ alogos al Teorema de las singularidades evitables de Riemann y al Teorema de Weierstrass conocidos de variable compleja, que siguen siendo v´alidos para las superficies de Riemann. 2.2.5 Definici´ on. Una funci´ on meromorfa en una superficie de Riemann V es una funci´ on que est´e definida y sea holomorfa en el complementario en V de alg´ un subconjunto discreto S tal que no tenga ninguna singularidad esencial en S. Al conjunto de funciones meromorfas en V se denotar´a por M(V). 2.2.6 Observaci´ on. Es inmediato ver que el conjunto M(V) tiene estructura de anillo con la suma y producto usuales de funciones. Adem´as, utilizando el Principio de Prolongaci´ on Anal´ıtica se deduce f´acilmente que M(V) tambi´en tiene estructura de cuerpo. Una de las consecuencias que se obtienen del Principio de Prolongaci´ on Anal´ıtica es que el anillo de funciones holomorfas de una superficie de Riemann, O(V); es un anillo ´ıntegro y como tal es l´ıcito considerar su cuerpo de fracciones, pero ¿qui´en es este cuerpo, realmente?

14

Por definici´ on, dicho cuerpo consiste en el cociente de funciones holomorfas cuyo denominador no sea id´enticamente nulo en V. Es f´acil ver que el cuerpo M(V) se corresponde con esta definici´on, pero localmente. Pues bien, un problema general que se plantea es ver que este cuerpo no se reduce a las constantes. Como aplicaci´ on del Teorema de Weierstrass (que se demostrar´a m´as adelante), se ver´ a que el cuerpo de funciones meromorfas de una superficie de Riemann abierta V es exactamente el cuerpo de fracciones del anillo O(V). Obs´ervese que para el caso en que V sea una superficie de Riemann compacta, resulta que sus u ´nicas funciones holomorfas son las constantes, esto es, O(V) = C; como se deduce del Principio del m´ odulo m´ aximo. Luego, en este caso el cuerpo de funciones meromorfas de V no es el cuerpo de fracciones de O(V) (pues en tal caso, M(V) deber´ıa ser constante, lo cual no es cierto porque para una superficie de Riemann compacta sabemos que existen funciones meromorfas no constantes como puede verse en [3]). Para terminar, otro de los resultados fundamentales de variable compleja que se lleva inmediatamente al caso de las superficies de Riemann es el conocido Teorema de los Residuos (junto con todas sus consecuencias). 2.2.7 Definici´ on. Sea V una superficie de Riemann. Una 1-forma holomorfa ω en V es una 1-forma diferencial compleja en V que para cada abierto coordenado de V con coordenada ϕ, se expresa como ω = f dϕ, siendo f una funci´on holomorfa en dicho abierto coordenado. Al conjunto de 1-formas holomorfas en V lo denotaremos por Ω(V). 2.2.8 Definici´ on. Sea V una superficie de Riemann. Una 1-forma meromorfa ω en V es una 1-forma holomorfa en el complementario en V de alg´ un subconjunto discreto que para cada abierto coordenado de V con coordenada ϕ, se expresa como ω = f dϕ, siendo f una funci´on meromorfa en dicho abierto coordenado. Al conjunto de 1-formas meromorfas en V lo denotaremos por M1 (V). 2.2.9 Definici´ on. Sea V una superficie de Riemann. Dados un punto p de la superficie y una 1-forma meromorfa ω en alg´ un entorno abierto de p, se define el residuo de ω en el punto p como sigue: Z 1 ω Res(ω, p) := 2πi D para alg´ un disco coordenado D en V conteniendo al punto p y tal que ω sea holomorfa en alg´ un entorno de D, salvo quiz´as en p. 2.2.10 Observaci´ on. Aplicando el Teorema de Stokes, se ve inmediatamente que la definici´ on de residuo no depende del disco coordenado D escogido. 2.2.11 Teorema (de los Residuos). Sea V una superficie de Riemann. Sea V una subvariedad compacta con borde de clase C 1 a trozos de V y sea ∂V la frontera orientada de V . Si ω es una 1-forma meromorfa en alg´ un entorno abierto de V sin puntos singulares en ∂V , entonces: Z X ω = 2πi Res(ω, p) ∂V

p∈V

15

2.3.

El operador ∂

Como ya hemos dicho, si V es una superficie de Riemann, entonces es en particular una variedad diferenciable, luego sobre ella tiene sentido considerar 1-formas diferenciales (complejas). De manera que si U es un abierto coordenado de V con coordenada ϕ, sabemos que cualquier 1-forma diferencial compleja de clase C ∞ en U , digamos ω; puede escribirse como ω = f1 dϕ + f2 dϕ, para ciertas funciones f1 , f2 ∈ C ∞ (U ). En este sentido, denotaremos por (0,1) (U ) al conjunto de las 1-formas diferenciales complejas ω de clase C ∞ en U (que tiene adem´as estructura natural de C-espacio vectorial) cuya expresi´on local en coordenadas es ω = f dϕ, para cierta funci´ on f ∈ C ∞ (U ) (se comprueba f´acilmente que esta definici´on no depende de la coordenada ϕ escogida del abierto U considerado).

a

2.3.1 Nota. Por simplicidad en la notaci´on, a una coordenada ϕ de un abierto coordenado U de V se le denotar´a por z, de modo que si p ∈ U , z(p) es la coordenada del punto p en la carta escogida. Si V es una superficie de Riemann cualquiera, entonces se tiene una aplicaci´on lineal natural entre C ∞ (V) y (0,1) (V), que denotaremos por ∂ y est´a definida por: ∂f ∂f := dz , ∂z para toda funci´ on f ∈ C ∞ (V), siendo z una coordenada de alg´ un abierto coordenado de la superficie (puede comprobarse f´acilmente que esta definici´on no depende de la coordenada considerada en cada abierto coordenado) Por definici´ on de funci´ on holomorfa, es claro que el n´ ucleo de esta aplicaci´on es precisamente O(V); con lo que se dispone siempre de la siguiente sucesi´on exacta: ∂ 0 → O(V) → C ∞ (V) → (0,1) (V)

a

a

N´ otese que el operador ∂ no tiene porqu´e ser exhaustivo necesariamente. De hecho, la epiyectividad de este operador es fundamental en toda la teor´ıa que vamos a desarrollar a lo largo del presente trabajo, pues constituye la base para llegar a los teoremas de existencia de funciones meromorfas, como se observar´ a m´ as adelante. Un resultado que se ver´ a en la secci´on siguiente, y que se deduce del Teorema de Aproximaci´ on de Runge (v´ease 3.2.1), nos da que el operador ∂ s´ı es exhaustivo para un abierto cualquiera del plano complejo C y como consecuencia esto sigue siendo cierto para abiertos coordenados de una superficie de Riemann cualquiera. Para el caso de las superficies de Riemann en general no podemos afirmarlo directamente para abiertos arbitrarios. M´as adelante se ver´a que en caso de que U sea un abierto relativamente compacto de una superficie de Riemann abierta, el operador ∂ tambi´en es exhaustivo. Y finalmente, se ver´a que este operador es exhaustivo sobre una superficie de Riemann abierta en general, que es lo que nos permitir´ a obtener los teoremas de existencia de funciones meromorfas sobre este tipo de superficies.

16

3.

Resultados para el plano complejo C

En este apartado se quieren presentar los resultados referidos a abiertos del plano complejo que se pretenden generalizar para el caso de superficies de Riemann abiertas. En todo lo que sigue, se hace uso (entre otras cosas) de resultados elementales de variable compleja que se suponen conocidos. En cualquier caso, se puede consultar el ap´endice C donde se ha hecho un resumen de las propiedades m´as importantes que se han utilizado aqu´ı sobre la topolog´ıa de la convergencia en compactos con la que se dota al espacio de las funciones complejas continuas (y, por tanto, al espacio de las funciones holomorfas), los teoremas referidos a las sucesiones y series de funciones holomorfas y existencia de particiones de la unidad. En este sentido, si U es un abierto de C y K un subconjunto compacto suyo, seguiremos la siguiente notaci´ on: kf kK := m´ax|f (z)| , z∈K

para toda f ∈ C(U ). De modo que k · kK constituye una seminorma en C(U ).

3.1.

El Teorema de Runge

Uno de los problemas fundamentales en An´alisis consiste en estudiar la aproximaci´ on de funciones por medio de otro tipo de funciones. Un teorema central que establece un resultado en este sentido es el conocido Teorema de StoneWeierstrass (el cual puede consultarse en [2]), seg´ un el cual toda funci´on continua definida sobre un compacto de R es l´ımite uniforme de una sucesi´on de polinomios en dicho compacto. El desarrollo de la teor´ıa general de funciones holomorfas se basa en la idea de Weierstrass de tratar las funciones como si fueran polinomios generalizados, introduciendo el concepto de “funci´on anal´ıtica”. Sabemos as´ı que las funciones holomorfas se expresan localmente como una serie de potencias ´ o lo que es lo mismo como l´ımite de una sucesi´on de polinomios; m´ as expl´ıcitamente, si f : U → C es una funci´on holomorfa siendo U un abierto de C, entonces para cada punto z0 ∈ U existe un disco abierto D(z0 , r) ⊂ U , con r > 0 tal que en dicho disco, la funci´on f se expresa como: f (z) =

∞ X

an (z − z0 )k = l´ım

n→∞

k=0

n X

an (z − z0 )k ,

k=0

siendo an ∈ C, para cada n ∈ N. De esta manera dir´ıamos que para cada punto z0 ∈ U , el anillo de polinomios definidos sobre D(z0 , r), con r > 0 es denso en el anillo de funciones holomorfas definidas sobre D(z0 , r) ⊂ U , con r > 0. 3.1.1 Nota. Observermos que cuando se diga que una sucesi´on de polinomios converge a una funci´ on f en O(U ) quiere decir que la convergencia debe darse uniformemente en cada compacto de U . La pregunta que nos hacemos es si esto sigue siendo cierto globalmente, es decir, si toda funci´ on holomorfa en U es l´ımite de una sucesi´on de polinomios en O(U ). En t´erminos generales no podemos afirmar que esto sea as´ı, como 17

muestra el siguiente ejemplo: tomemos U := C r {0} y la funci´on holomorfa en U dada por f (z) := z1 , entonces f no es aproximable en O(U ) por polinomios, es decir, no existe una sucesi´ on de polinomios {Pn (z)}n∈N tal que {Pn } −→ f n→∞

en O(U ). En efecto, supongamos que fuera as´ı y tomemos para nuestro ejemplo el subconjunto compacto de U dado por la circunferencia unidad, esto es, S 1 := {z ∈ U : |z| = 1}; entonces obtendr´ıamos el siguiente absurdo: Z Z 1 2πi = dz = l´ım Pn (z) dz = 0 n→∞ S 1 S1 z 3.1.2 Lema. Si f es una funci´on compleja de clase C ∞ y soporte compacto en C, entonces para todo z ∈ C se verifica lo siguiente: Z 1 1 ∂f f (z) = dw ∧ dw 2πi C w − z ∂w Demostraci´ on. Fijado z ∈ C, consideramos en C r {z} la 1-forma diferencial 1 f (w) compleja de clase C ∞ y soporte compacto dada por ω := 2πi w−z dw. Dados , R > 0 con  < R, consideramos la corona circular centrada en z y radios  y R. Llamemos V al recinto que encierra la mencionada corona y C , CR las correspondientes circunferencias que constituyen la corona, de manera que ∂V = CR ∪ Cˆ , siendo Cˆ la circunferencia C orientada como borde de V . Aplicando el Teorema de Stokes a la 1-forma ω, se obtiene lo siguiente: Z Z Z Z ω= ω− ω= dω (3.1) ∂V

CR

C

V

Un peque˜ no c´ alculo muestra que la diferencial de ω viene dada por dω =

−1 1 ∂f dw ∧ dw 2πi w − z ∂w

Tengamos en cuenta que la 1-forma ω tiene soporte Rcompacto en C, de modo que a medida que R se hace m´as grande, la integral CR ω se anula. Por tanto, tomando l´ımites en la igualdad (3.1) cuando R → ∞ y cuando  → 0, entonces resulta lo siguiente: Z Z 1 f (w) −1 1 ∂f −l´ım dw = dw ∧ dw (3.2) →0 C 2πi w − z 2πi w − z ∂w C  Desarrollemos ahora el primer miembro de la igualdad (3.2) que acabamos de obtener: Z Z Z 2π 1 f (w) 1 f (w) 1 f (z + eit ) it ∗ l´ım dw = l´ım dw = l´ım ie dt = →0 C 2πi w − z 2πi →0 C w − z 2πi →0 0 eit  Z Z 2π 1 ∗∗ 1 it l´ım f (z + e )dt = f (z)dt = = 2π →0 C 2π 0 1 = 2πf (z) = f (z) 2π En (*) se ha seguido el cambio de variable w := z + eit con t ∈ [0, 2π] con el que parametrizamos la circunferencia C por el ´angulo. En (**) se tiene en 18

cuenta que para cada  > 0, f (z +eit ) es una sucesi´on de funciones que converge uniformemente a la funci´ on f (z), de modo que el l´ımite conmuta con la integral. Comparando el resultado que acabamos de obtener con la f´ormula (3.2), se deduce ya la f´ ormula del enunciado y concluimos.  3.1.3 Observaci´ on. La integral sobre C del Lema anterior no presenta ning´ un 1 tipo de problema aunque en su integrando aparezca el factor w−z porque si hacemos el cambio de variable w := z + reit con r > 0 y t ∈ [0, 2π], entonces un peque˜ no c´ alculo muestra que dw ∧ dw = −2ir dr ∧ dt de modo que el integrando de la f´ ormula quedar´ıa: 1 ∂f 1 ∂f 1 ∂f dw ∧ dw = it (−2ri) dr ∧ dt = it (−)2i dr ∧ dt w − z ∂w re ∂w e ∂w 3.1.4 Lema. Sea K un subconjunto compacto de C y sea µ : C(K) → C una aplicaci´ on lineal y continua. La funci´on dada por: Fµ (z) := µw



1  , para todo z ∈ C r K w−z

es holomorfa (donde µw denota a la aplicaci´on µ dada que se aplica a considerada ´esta u ´ltima como funci´on de w para cada z ∈ C r K fijo).

1 w−z

Demostraci´ on. Sea z0 ∈ C r K y sea D un disco abierto centrado en z0 y con radio r < d(z0 , K). Entonces, un c´alculo elemental prueba que, en D, la funci´on 1 w−z se expresa como suma de una serie del siguiente modo: ∞ X 1 (z − z0 )n = w − z n=0 (w − z0 )n+1

Aplicando µw a la igualdad obtenida y teniendo en cuenta que ´esta es una aplicaci´ on lineal y continua (y adem´as para cada z ∈ D la convergencia de la serie de funciones de w ∈ K considerada es uniforme en K), queda: def.

Fµ (z) = µw



∞ ∞  X 1 1  X  n not. = µw an (z − z0 )n (z − z ) ≡ 0 n+1 w−z (w − z ) 0 n=0 | n=0 {z }

De esta expresi´ on se deduce que Fµ es holomorfa en D, pero como cada punto z0 ∈ CrK es el centro de alg´ un disco donde esto es as´ı, entonces deducimos que Fµ es holomorfa en C r K, como se quer´ıa demostrar concluyendo el lema.  Haciendo referencia al ejemplo expuesto arriba, en lugar de plantear el problema directamente con los polinomios; el primer paso consiste en averiguar bajo qu´e condiciones podemos dar la aproximaci´on de funciones holomorfas por medio de funciones holomorfas, es decir, ¿dado un abierto U ⊂ C, cu´ales son sus subconjuntos compactos K ⊂ U para los cuales cualquier funci´on holomorfa definida en un entorno de K puede ser uniformemente aproximable sobre K por funciones holomorfas en U ? La respuesta a este problema se incluye en la primera versi´ on del Teorema de Aproximaci´ on de Runge, que damos a continuaci´on.

19

3.1.5 Nota. Si K es un subconjunto compacto de U , denotaremos por O(K) al conjunto de los g´ermenes de funciones holomorfas en K, es decir, al conjunto de las funciones holomorfas en un entorno de K identificando dos cualesquiera de ellas que concidan en un entorno de K. En tal caso se tiene siempre una aplicaci´ on natural O(U ) → O(K), pues toda funci´on holomorfa en U define un germen de funci´ on holomorfa en K ⊂ U . 3.1.6 Teorema (de Aproximaci´on de Runge). Sea U ⊆ C un abierto y K un subconjunto compacto suyo. Las siguientes condiciones son equivalentes: 1. La imagen de O(U ) en O(K) es densa, esto es, si f0 es una funci´on holomorfa en un entorno de K, dado  > 0 hay una funci´on holomorfa f en U tal que kf0 − f kK < . 2. U r K no tiene componentes conexas relativamente compactas. 3. Para cada z0 ∈ U r K hay una funci´on f ∈ O(U ) tal que |f (z0 )| > kf kK Demostraci´ on. Veamos la equivalencia (1)⇔(2). Supongamos primero que se verifica (1) y por reducci´on al absurdo supongamos que U r K tiene una componente conexa relativamente compacta, digamos V . Por tanto, V es un subconjunto compacto de U y observemos que ∂V ⊆ K. 1 , que es una funci´on holomorfa en alg´ un Sea z0 ∈ V y consideremos z−z 0 entorno de K. Por hip´ otesis, hay una sucesi´on (fn )n∈N de funciones holomorfas 1 en U que converge uniformemente a z−z en K, por lo que (fn ) tambi´en converge 0 uniformemente en ∂V ⊆ K. Del Principio del m´ odulo m´ aximo se deduce que (fn ) tambi´en converge uniformemente en todo V . Sea g la funci´on continua en V y holomorfa en V igual al l´ımite uniforme en V de la sucesi´on (fn ) (obs´ervese que es continua por ser l´ımite uniforme de funciones continuas y es holomorfa por el Teorema de Weierstrass sobre la convergencia uniforme en compactos de funciones holomorfas, que puede consultarse en el ap´endice C). 1 Es claro que g y z−z coinciden en ∂V (porque en ∂V las dos son l´ımite 0 uniforme de (fn )), lo cual implica que g(z)(z − z0 ) − 1 = 0, para todo z ∈ ∂V . Aplicando de nuevo el Principio del m´ odulo m´ aximo, esta igualdad se verifica tambi´en en todo V , lo cual es imposible!!. Rec´ıprocamente, supongamos ahora que se verifica (2). Queremos ver que la imagen de O(U ) en O(K) es densa. En virtud del corolario B.1.22 del Teorema de Hahn-Banach (en su versi´ on geom´etrica), resulta que para nuestro objetivo basta con ver que toda forma lineal y continua de O(K) que se anule sobre la imagen de O(U ), es id´enticamente nula en O(K). Adem´as, en virtud del propio Teorema de Hahn-Banach (en su versi´on anal´ıtica, ver B.1.12), podemos suponer que la forma lineal y continua considerada de O(K) es la restricci´on a O(K) de una forma lineal y continua de C(K). En definitiva, basta con probar que toda forma lineal y continua de C(K) que se anule en la imagen de O(U ) en O(K) tambi´en se anula en todo O(K). Sea µ una tal forma lineal de C(K) y sea Fµ ∈ O(C r K) como en el lema 3.1.4 previo. Veamos que Fµ es id´enticamente nula en C r K, para lo cual vamos a verlo sobre cada una de sus componentes conexas.

20

Consideremos primero la componente conexa no acotada de CrK, llam´emosla X. Si z ∈ X y |z| > |w|, para todo w ∈ K, tenemos que: 1 −1 1 = w−z z 1−

w z

∞ ∞ X −1 X wn wn = − , = z n=0 z n z n+1 n=0

donde la serie de funciones de w obtenida converge uniformemente en K. Por tanto, aplicando ahora la forma lineal µw y teniendo en cuenta que µ conmuta con la suma infinita (porque µ es continua y la serie converge uniformemente en K), resulta: ∞  1  X µw (wn ) def. =− , Fµ (z) = µw w−z z n+1 n=0 lo cual es cero porque µw (wn ) = 0, ya que wn es una funci´on entera, luego es holomorfa en cualquier abierto U ⊆ C y, por tanto, est´a en la imagen de O(U ) en O(K). As´ı, hemos demostrado que Fµ = 0 para los puntos de X con m´odulo suficientemente grande. Por el Principio de prolongaci´ on anal´ıtica, deducimos que Fµ = 0 en todo X. Pasemos a ver que Fµ = 0 en cualquier componente conexa acotada de CrK, que llamaremos Y . Y ser´ a, por tanto, una componente conexa relativamente compacta de C r K y como U r K no tiene componentes conexas relativamente compactas, por hip´ otesis; debe ser Y ∩ (C r U ) 6= φ, lo cual implica que Y ∩ (C r U ) 6= φ porque ∂Y ⊂ K ⊂ U . Sea z0 ∈ Y ∩ (C r U ) 6= φ y sea D un disco abierto centrado en z0 que no corte a K. Razonando como en la demostraci´on del lema 3.1.4 previo, vemos que para todo z ∈ D se tiene que: Fµ (z) =

∞ X

µw

n=0

Como z ∈ C r U , entonces



 1 (z − z0 )n (w − z0 )n+1

1 (w−z0 )n+1

∈ O(U ), para todo n ∈ N y como µ se   anula en la imagen de O(U ) en O(K), tenemos que µw (w−z10 )n+1 = 0, para todo n ∈ N. Por lo tanto, Fµ (z) = 0, para todo z ∈ D. Se deduce que Fµ se anula en Y ∩ D y aplicando el Principio de prolongaci´ on anal´ıtica obtenemos que Fµ = 0 en todo Y . En definitiva, queda demostrado que Fµ es id´enticamente nula en C r K. Consideremos ahora un germen cualquiera f ∈ O(K) para ver que µ(f ) = 0. Sea W un entorno abierto de K en el que haya una funci´on holomorfa cuyo germen sea f (que seguiremos denotando por f ). Sea ϕ ∈ Cc∞ (C) cuyo soporte est´e contenido en W e igual a 1 en un entorno de K. Entonces, el producto ϕf (extendido por cero fuera de W ) puede ser considerado como una funci´on de Cc∞ (C). Por el lema 3.1.2, resulta que para todo z ∈ K se tiene lo siguiente: Z 1 1 ∂ϕf f (z) = ϕ(z)f (z) = dw ∧ dw 2πi C w − z ∂w Aplicando µz a ambos lados de la igualdad de arriba y teniendo en cuenta que µz conmuta con la integral, queda: Z 1 ∂(ϕf ) −Fµ (w) dw ∧ dw µ(f ) = 2πi C ∂w 21

Por lo que demostramos antes, resulta que Fµ (w) = 0, para todo w ∈ C r K. ) un Mientras que si w ∈ K, entonces ∂(ϕf ∂w = 0 porque ϕf y f coinciden en alg´ entorno de K en donde f es holomorfa. En cualquier caso, el integrando de la f´ ormula anterior es nulo en todo C, luego µ(f ) = 0 en C, como se pretend´ıa demostrar. Vista la equivalencia de (1) con (2), vamos a ver ahora que (1) (´o (2)) implica la condici´ on (3). En efecto, sea z0 ∈ U r K y sea K 0 := K ∪ {z0 }, que tambi´en es compacto y verifica que U r K 0 no tiene componentes conexas relativamente compactas (porque U r K no las tiene por hip´otesis). Consideremos una funci´on h ∈ O(K 0 ) que sea cero en alg´ un entorno abierto de K y 1 en el punto z0 . Por la hip´ otesis de la condici´ on (1), existe una funci´on f ∈ O(U ) tal que kh−f kK 0 < 13 . Se tiene entonces que |f (z0 )| > 23 y kf kK < 13 . Rec´ıprocamente, vamos a ver que (3) implica la condici´on (2). En efecto, porque si U r K tuviera una componente conexa relativamente compacta, digamos V ; entonces ∂V ⊂ K, luego para todo z ∈ V ser´ıa |f (z)| ≤ kf kK , para todo funci´ on f ∈ O(U ) (aplicando el Principio del m´ odulo m´ aximo). Sin embargo, por hip´ otesis debe existir una funci´on f ∈ O(U ) tal que |f (z)| > kf kK , obteniendo, por tanto, una contradicci´on con lo anterior!!. Con todo esto, el teorema queda completamente demostrado.  3.1.7 Observaci´ on. Dado un abierto U de C, denotaremos por A(U ) al conjunto de las funciones racionales con polos fuera de U . Seg´ un los razonamientos que se han llevado en el Teorema de aproximaci´ on de Runge, es claro que el mismo teorema es cierto para el anillo A(U ) en lugar de para el anillo de funciones holomorfas en U . Hist´ oricamente, Runge plante´o la aproximaci´on de una funci´on holomorfa aproximando a su vez la f´ ormula integral de Cauchy asociada por medio de sumas de Riemann. De esta manera, obten´ıa funciones racionales para la aproximaci´ on de la funci´ on, pero ´estas presentaban polos en donde la funci´on original era holomorfa. Por este motivo, desarrolla un razonamiento con el que puede “empujar” dichos polos para que dejen de ser un problema. Surge as´ı una “segunda versi´ on del Teorema de Aproximaci´ on de Runge”. 3.1.8 Proposici´ on. Sea V una superficie de Riemann. Si para cada subconjunto A de V escribimos η(A) := A ∪ {componentes conexas relativamente compactas de V r A} , entonces se verifican las siguientes propiedades: 1. Si A, B son subconjuntos de V tales que A ⊆ B, entonces η(A) ⊆ η(B). 2. η(η(A)) = η(A), para todo subconjunto A de V. 3. Si A es un subconjunto cerrado de V, entonces η(A) es cerrado. 4. Si A es un subconjunto compacto de V, entonces η(A) es compacto. Demostraci´ on. 1. Sean A, B subconjuntos de V tales que A ⊆ B. Sea C una componente conexa de V r A. Si C corta a una componente conexa de V r B, digamos C 0 , entonces C ∪ C 0 es conexo y est´a contenido en V r A, por lo que tiene que ser C = C ∪ C 0 , o sea, C 0 ⊆ C. Se deduce que C r B 22

es uni´ on de dos componentes conexas de V r B, que ser´an relativamente compactas si lo es C, luego η(A) ⊆ η(B), ya que cada componente relativamente compacta de V r A est´a contenida en B ´o en {componentes conexas relativamente compactas de V r B} 2. No hay nada que decir. 3. Sea A un subconjunto cerrado de V. V r η(A) es la uni´on de las componentes conexas de V r A que no son relativamente compactas. Como todas estas componentes conexas son abiertas por ser A cerrado, entonces V r η(A) es abierto. 4. Sea A un subconjunto compacto de V, U un entorno abierto relativamente compacto de A y C una componente conexa de V r A. Como ∂C ⊆ A, se tiene que ´ o bien C ⊆ U o´ bien C corta a ∂U . Como ∂U es compacto, s´olo un conjunto finito de componentes conexas de V rA pueden cortar a ∂U , por lo que se tiene que η(A) ⊆ U ∪C1 ∪. . .∪Cn , siendo C1 , . . . , Cn las componentes conexas relativamente compactas de V r A que cortan a ∂U . Se deduce que η(A) es relativamente compacto porque U ∪ C1 ∪ . . . ∪ Cn lo es. Como A es cerrado (por ser compacto en V), entonces η(A) es cerrado por la propiedad (3) anterior. En definitiva, η(A) es cerrado y relativamente compacto, luego es compacto.  3.1.9 Lema. Sea U ⊆ C un abierto. Existe una sucesi´on (Kn )n∈N de subconjuntos compactos de U verificando las siguientes propiedades: ∞ S 1. U = Kn n=1 ◦

2. Kn ⊆ K n+1 , para todo n ∈ N 3. U r Kn no tiene componentes conexas relativamente compactas para todo n ∈ N. Demostraci´ on. De An´ alisis elemental sabemos de la existencia de una sucesi´on (Qn )n∈N de subconjuntos compactos de U verificando los an´alogos a (1), (2) del enunciado. Sea K1 := η(Q1 ). Supongamos que ya hemos elegido K1 , . . . , Kn−1 de ma◦

nera que Kj ⊂ K j+1 , para cada j = 1, . . . , n − 2; Qj ⊆ Kj , para cada j = 1, . . . , n−1 y U rKj no tiene componentes conexas relativamente compactas para cada j = 1, . . . , n − 1. ◦

Tomemos m ∈ N con m ≥ n tal que Qm contenga a Kn−1 y definimos ◦

Kn := η(Qm ), entonces Kn−1 ⊂ K n , Qn ⊂ Kn y adem´as U r Kn no tiene componentes conexas relativamente compactas. Por tanto, la sucesi´ on (Kn )n∈N del enunciado ha quedado definida por inducci´ on.  Teniendo en cuenta el Teorema de Aproximaci´ on de Runge, la observaci´on 3.1.7 y el lema 3.1.9 que acabamos de demostrar, el siguiente teorema es inmediato: 23

3.1.10 Teorema (segunda versi´on del Teorema de Aproximaci´on de Runge). Sea U ⊆ C un abierto. Toda funci´on holomorfa en U es uniformemente aproximable en los compactos de U por funciones racionales con polos fuera de U . Finalmente, una “tercera versi´on del Teorema de Aproximaci´ on de Runge” permite incluso “elegir ” los polos de las funciones racionales aproximantes, en el sentido que detallaremos posteriormente. 3.1.11 Lema. Sea K un subconjunto compacto de C y sea C un subconjunto cerrado y conexo de C disjunto con K. Si a, b son puntos de C, cualquier funci´on racional con polo s´ olo en b es uniformemente aproximable en K por funciones racionales con polo s´ olo en a. Demostraci´ on. Como C es conexo, hay un conjunto finito de puntos de C, digamos a0 := a, a1 , . . . , an := b tales que d(aj , aj+1 ) < d := d(K, C) y basta con demostrar el lema para dos puntos consecutivos de los considerados. Por tanto, podemos suponer que d(a, b) < d. Por otro lado, como toda funci´on racional con polo s´olo en b es de la forma λ1 λk + ... + + P (z) , (z − b)k z−b para alg´ un k ∈ N y siendo P (z) un polinomio en z; entonces basta con ver que 1 es uniformemente aproximable en K por funciones racionales con polo s´olo z−b en a. En efecto, para cada z ∈ K se tiene lo siguiente: ∞ 1 X (b − a)n 1 1 1 1 = = = , b−a z−b (z − a) − (b − a) z − a 1 − z−a z − a n=0 (z − a)n

siendo la serie uniformemente convergente en K, como se quer´ıa demostrar.  3.1.12 Observaci´ on. El lema anterior sigue siendo v´alido cuando C es un subconjunto cerrado de C, conexo y disjunto con K como se ve aplicando, si fuera preciso, una homograf´ıa. Por tanto, podemos tomar b := ∞, si fuera conveniente hacerlo. Teniendo en cuenta la segunda versi´ on del Teorema de Aproximaci´ on de Runge, el lema 3.1.11 y la observaci´on 3.1.12 de arriba, se deduce inmediatamente el siguiente: 3.1.13 Teorema (tercera versi´on del Teorema de Aproximaci´on de Runge). Sea U un subconjunto abierto de C y S un subconjunto de C formado por un u ´nico punto de cada componente conexa de CrU . Toda funci´on holomorfa en U es uniformemente aproximable en los compactos de U por funciones racionales con polos en los puntos de S. 3.1.14 Nota. Con las mismas condiciones y notaciones de la tercera versi´on del Teorema de Aproximaci´ on de Runge, es obvio que en caso de que C r U sea conexo, entonces toda funci´ on holomorfa en U es uniformemente aproximable en los compactos de U por polinomios (pues bastar´a tomar S := {∞}). Como nota hist´ orica, podemos decir que a este resultado lleg´o D. Hilbert sin mencionar en su trabajo a Runge y de forma independiente al Teorema de Runge, sin embargo, no se sabe a ciencia cierta si Hilbert estaba ´o no informado sobre los trabajos que realizaba Runge. 24

3.2.

Existencia de funciones meromorfas en abiertos de C

A continuaci´ on, a partir del Teorema de Aproximaci´ on de Runge vamos a deducir un resultado sobre la epiyectividad del operador ∂ que utilizaremos posteriormente. 3.2.1 Teorema. Sea U ⊆ C un abierto. La aplicaci´on de C ∞ (U ) en C ∞ (U ) definida por f 7→ ∂f ∂z es exhaustiva. Demostraci´ on. Sea g ∈ C ∞ (U ) y veamos que existe una f ∈ C ∞ (U ) tal que ∂f ∂z = g. Demostremos el teorema, primero para el caso en que la funci´on g ∈ C ∞ (U ) tenga soporte compacto. En tal caso, la funci´on f ∈ C ∞ (U ) que buscamos puede definirse por: Z 1 1 g(w) dw ∧ dw f (z) := 2πi C w−z para todo z ∈ U . Obs´ervese antes de continuar que, como la funci´on g es de soporte compacto por la hip´ otesis que hemos hecho, entonces la integral de la f´ ormula anterior no presenta ning´ un problema en este sentido pues se reduce a la integral sobre un rect´ angulo cerrado en C que contenga al soporte de g. Como 1 tampoco lo presenta la funci´ on del integrando aunque aparezca el factor w−z cuando w recorre C por el motivo que expusimos en 3.1.3. Haciendo el cambio de variable de integraci´on u := w − z y teniendo en cuenta que se verifican las hip´otesis necesarias para derivar respecto de z bajo el signo integral, escribimos lo siguiente: Z Z 1 1 ∂g 1 ∂g 1 ∂f (z) = (z + u) du ∧ du = (z + u) du ∧ du = ∂z 2πi C ∂z u 2πi C ∂u u Z 1 ∂g 1 = (w) dw ∧ dw = g(z) 2πi C ∂w w−z donde se ha deshecho el cambio de variable y se ha utilizado adem´as el Lema 3.1.2 Pasemos al caso general. Sea g ∈ C ∞ (U ) cualquiera y consideremos una sucesi´ on de subconjuntos compactos de U , digamos (Kn )n∈N , tal que: 1. U =

∞ S

Kn

n=1 ◦

2. Kn ⊆ K n+1 , para todo n ∈ N 3. U r Kn no tiene componentes conexas relativamente compactas para cada n ∈ N. (de la cual sabemos su existencia por el Lema 3.1.9). Para cada n ∈ N sea ϕn una funci´on de clase C ∞ con soporte contenido en Kn (y, por tanto, compacto) e igual a 1 en alg´ un entorno de Kn−1 para todo n ≥ 2. Definimos ψ1 := ϕ1 y ψn := ϕn − ϕn−1 para cada n ≥ 2. Entonces, estas funciones verifican lo siguiente: para todo n ∈ N, ψn es de clase C ∞ y tiene soporte (compacto) contenido en Kn , para todo n ≥ 2, ψn−1 se anula en alg´ un ∞ P entorno de Kn−1 y ψn = 1 en U . n=1

25

Como para todo n ∈ N, ψn g es una funci´on de clase C ∞ en U y tiene soporte compacto, entonces el teorema es cierto por lo que demostramos antes n y deducimos que existe una funci´on fn ∈ C ∞ (U ) tal que ∂f ∂z = ψn g. Como ψn es cero en alg´ un entorno abierto de Kn−1 para cada n ≥ 2, deducimos que fn es una funci´ on holomorfa en un entorno abierto de Kn−1 para cada n ≥ 2. El Teorema de Aproximaci´ on de Runge (ver 3.1.6) nos da que, para cada n ≥ 2, existe una hn ∈ O(U ) tal que kfn − hn kKn−1 < 21n Sea m ∈ N cualquiera, por la condici´on que acabamos de obtener resulta que la serie f1 + (f2 − h2 ) + . . . + (fm − hm ) + (fm+1 − hm+1 ) + . . . + (fn − hn ) + . . . converge uniformemente en los subconjuntos compactos de U . Adem´as, todos sus t´erminos a partir del (m+1)-´esimo son funciones holomorfas en alg´ un entorno de Km , luego aplicando el corolario C.1.10 deducimos que la suma de la serie es ∞ ◦ P una funci´ on holomorfa, de hecho fn − hn ∈ O(K m ). El mismo corolario n=m+1

C.1.10 nos da tambi´en que en estas condiciones la serie es derivable t´ermino a t´ermino respecto de z, por tanto teniendo en cuenta que las funciones hn son ◦

holomorfas en todo U para cada n ∈ N, para el abierto K m podemos escribir lo siguiente: ∂f ∂z

=

∞ X ∂f1 ∂(f2 − h2 ) ∂(fm − hm ) ∂(fn − hn ) + + ... + + = ∂z ∂z ∂z ∂z n=m+1

=

∂f1 ∂(f2 − h2 ) ∂(fm − hm ) + + ... + ∂z ∂z ∂z

As´ı, teniendo en cuenta finalmente las propiedades que cumplen las funciones ψn definidas arriba; se ha obtenido lo siguiente: m m ∞ X X X ∂fn ∂f = = ψn g = ψn g = g , ∂z ∂z n=1 n=1 n=1 ◦

lo cual es cierto en K m para cada m ∈ N. Como U =

∞ S

Kn , se concluye el

n=1

teorema.



3.2.2 Observaci´ on. El teorema anterior se puede enunciar tambi´en diciendo que el sistema de ecuaciones diferenciales no homog´eneas dado por las ecuaciones de Cauchy-Riemann siempre tiene soluci´on, pero la soluci´on a la ecuaci´on ´nica, como es obvio; pues est´a determinada salvo suma diferencial ∂f ∂z = g no es u de funciones holomorfas. El siguiente lema es un resultado sencillo de demostrar, pero fundamental para concluir los teoremas posteriores. Aqu´ı comenzamos a utilizar terminolog´ıa y resultados de Topolog´ıa Algebraica referidos a la teor´ıa de haces y de cohomolog´ıa, que hemos incluido en el ap´endice A. 3.2.3 Lema. Sea U ⊆ C un abierto. Si O denota al haz de las funciones ˇ holomorfas definido sobre U , entonces su primer grupo de cohomolog´ıa de Cech 1 en U es trivial, esto es, H (U, O) = 0. Es m´ as, el haz O es ac´ıclico, es decir, Hp (U, O) = 0, para todo p ≥ 1. 26

Demostraci´ on. Consideremos la siguiente sucesi´on exacta de haces en U : ∂

∂z C ∞ −→ 0 , 0 −→ O −→ C ∞ −→

donde el primer homomorfismo no trivial es la inclusi´on natural y el segundo homomorfismo no trivial consiste en la derivaci´on con respecto a z, que es un homomorfismo exhaustivo como muestra el teorema 3.2.1 que acabamos de demostrar. Adem´ as, obs´ervese que la sucesi´on es, efectivamente, exacta porque una funci´ on compleja diferenciable es holomorfa si y s´olo si su derivada parcial con respecto a z es cero, como se sabe de la teor´ıa elemental de funciones. De la teor´ıa general de cohomolog´ıa de haces, sabemos que la sucesi´on exacta corta que acabamos de escribir lleva asociada una sucesi´on exacta larga de ˇ grupos de cohomolog´ıa de Cech en U y una parte de la misma es: ∂

∂z Γ(U, C ∞ ) → H1 (U, O) → H1 (U, C ∞ ) → . . . . . . → Γ(U, C ∞ ) →

∂ es exhausComo hemos dicho, el homomorfismo definido por el operador ∂z tivo. Por otro lado, sabemos que el haz de las funciones diferenciables en U , C ∞ , es un haz fino (v´ease el ejemplo (a) de A.2.38) y como consecuencia su primer ˇ grupo de cohomolog´ıa de Cech es nulo (v´ease A.2.39). As´ı, de la parte de la sucesi´ on exacta larga de cohomolog´ıa que hemos escrito; se deduce inmediatamente que H1 (U, O) = 0, como se quer´ıa demostrar. Finalmente, para cada p ≥ 2 una parte de la sucesi´on exacta larga de grupos ˇ de cohomolog´ıa de Cech en U asociada a la sucesi´on exacta corta de arriba es:

. . . → Hp−1 (U, C ∞ ) → Hp (U, O) → Hp (U, C ∞ ) → . . . Como el haz de funciones diferenciables C ∞ es fino, entonces Hp−1 (U, C ∞ ) = Hp (U, C ∞ ) = 0, para todo p ≥ 2 y, por tanto, Hp (U, O) = 0, para todo p ≥ 2.  3.2.4 Observaci´ on. Si consideramos una superficie de Riemann V y U un subconjunto abierto suyo, es l´ıcito considerar los grupos de cohomolog´ıa de ˇ Cech de O en U , como ya se sabe. Pues bien, en caso de que el abierto U ⊂ V sea un abierto coordenado de la superficie de Riemann, entonces quiere decir (por definici´ on, v´ease 2.1.20) que dicho abierto se identifica con un abierto del plano complejo; luego v´ıa esta identificaci´on el lema anterior sigue siendo cierto. En definitiva, el haz de funciones holomorfas de una superficie de Riemann es ac´ıclico en cualquier abierto coordenado de tal superficie. Tratamos ahora la construcci´on de funciones meromorfas en un abierto del plano complejo, esto es, se trata de construir una funci´on meromorfa cuyos polos e incluso la parte singular de su desarrollo de Laurent puedan ser prefijados. Por claridad en nuestra exposici´on, damos la siguiente definici´on no est´andar: 3.2.5 Definici´ on. Sea U ⊆ C un abierto. Una distribuci´on de partes singulares en U es una ley que asigna a cada punto a ∈ U una parte singular en a, es 1 decir, un polinomio en z−a sin t´ermino independiente, de modo que estas partes singulares sean distintas de cero u ´nicamente en un subconjunto discreto de U . Al conjunto de todas las distribuciones de partes singulares en U lo denotaremos por S(U ).

27

3.2.6 Observaci´ on. En primer lugar, obs´ervese que el conjunto S(U ) tiene una estructura natural de grupo abeliano con la suma de polinomios. Fijado el abierto U ⊆ C, la asignaci´ on a cada subconjunto abierto W de U del grupo de las distribuciones de partes singulares en W junto con los homomorfismos de restricci´ on es claramente un prehaz de grupos abelianos en U y como se ve inmediatamente tambi´en es un haz. A este haz se le denotar´a por S. Sea U ⊆ C un abierto y f ∈ M(U ) una funci´on meromorfa en dicho abierto, entonces a la funci´ on f podemos asociarle una distribuci´on de partes singulares de modo natural. Llamemos a dicha distribuci´on s(f ) ∈ S(U ), la cual viene definida por la siguiente ley: a cada punto a ∈ U se le asigna la parte singular del desarrollo de Laurent de f en a. Formalmente: ( 0 , si f es holomorfa en alg´ un entorno de a s(f ) : a ∈ U λ−k λ−1 + . . . + , si f tiene en a un polo de orden k z−a (z−a)k Este razonamiento muestra entonces, que siempre existe un homomorfismo natural de grupos abelianos M(U ) → S(U ) asignando a cada funci´on meromorfa f con la distribuci´ on s(f ) que acabamos de describir. 3.2.7 Teorema (de Mittag-Leffler). Sea U ⊆ C un abierto. Cualquier distribuci´ on de partes singulares en U es de la forma s(f ), para alguna funci´on f ∈ M(U ). Demostraci´ on. Consideremos la siguiente sucesi´on exacta de haces en U : 0 −→ O −→ M −→ M/O −→ 0 , donde el primer homomorfismo no trivial es la inclusi´on natural y el otro homomorfismo no trivial es el paso al cociente. ˇ Tomemos la sucesi´ on exacta larga de grupos de cohomolog´ıa de Cech asociada a la sucesi´ on exacta corta de haces que acabamos de escribir: 0 → O(U ) → M(U ) → Γ(U, M/O) → H1 (U, O) → . . . , donde se tiene que H1 (U, O) = 0 por el lema 3.2.3, lo cual quiere decir que el homomorfismo M(U ) → Γ(U, M/O) es epiyectivo. Por tanto, si vemos que existe un isomorfismo ψ : S(U ) → Γ(U, M/O) que haga conmutativo el diagrama siguiente: / Γ(U, M/O) M(U ) 8  S(U )

ψ

el teorema quedar´ıa demostrado. Veamos c´ omo definir el homomorfismo ψ. Sea s ∈ S(U ) una distribuci´on de partes singulares en U , entonces por definici´on se tiene que s se anula en todos los puntos de U salvo en un subconjunto discreto suyo, digamos {ak }k∈I siendo I una familia finita ´ o numerable de ´ındices. En tal caso, para cada k ∈ I se tiene 1 ) siendo Pk un polinomio en una variable con coeficientes que s(ak ) := Pk ( z−a k complejos sin t´ermino independiente. Como {ak }k∈I es un subconjunto discreto de U , podemos considerar un entorno abierto de ak que no contenga a ning´ un 28

otro punto ak0 con k 0 6= k, digamos Wk para cada k ∈ I; y achic´andolos si fuera preciso, los tomamos disjuntos entre s´ı y contenidos en U . Tomemos otros subconjuntos abiertos de U , digamos {Wn0 }n∈N de tal manera que {Wk }k∈I ∪ {Wn0 }n∈N sea un recubrimiento de U . Restringimos la secci´ on s al abierto Wk , de modo que s|Wk es distinta de cero u ´nicamente en el punto ak , en donde la distribuci´on le asigna el polinomio 1 ). Es decir, en cualquier punto de Wk distinto de ak , la secci´on s tiene Pk ( z−a k i h 1 ) ∈ M(Wk )/O(Wk ) para cada k ∈ I germen nulo. Por tanto, tomado Pk ( z−a k y 0 ∈ M(Wn0 )/O(Wn0 ) para todo n ∈ N, entonces las secciones de M/O en los abiertos {Wk }k∈I , {Wn0 }n∈N coinciden en las intersecciones no vac´ıas y por la condici´ on de haz se deduce que ´estas definen una secci´on global, que es la que llamamos ψ(s) ∈ Γ(U, M/O). De la construcci´ on seguida, se deduce que ψ as´ı definida es un isomorfismo y adem´ as hace conmutativo el diagrama de arriba; lo que nos permite dar por terminado el teorema.  Podemos dar ahora la versi´on multiplicativa de este teorema; consiste en poder prefijar los polos, los ceros y los ´ordenes de tales polos y ceros de una funci´ on meromorfa; aunque en este caso perdemos el control sobre el propio desarrollo singular de la funci´ on. Para ello necesitamos introducir las siguientes definiciones. 3.2.8 Definici´ on. Sea U ⊆ C un abierto. Un divisor en U es una aplicaci´on de U en Z que se anula en todos los puntos del complementario en U de alg´ un subconjunto discreto suyo. Si δ : U → Z es un tal divisor y S es un subconjunto discreto de U tal que δ ≡ 0 en U r S, entonces al divisor δ se le representar´a formalmente de la siguiente manera: X δ := np · p , p∈S

siendo np el n´ umero entero que δ asigna al punto p. 3.2.9 Observaci´ on. En primer lugar, el conjunto de los divisores en U tiene estructura natural de grupo abeliano con la suma de aplicaciones. Fijado un abierto U de C, a cada subconjunto abierto suyo, digamos W ⊆ U podemos asignarle el conjunto de los divisores en W . Esta asignaci´on junto con los homomorfismos de restricci´ on de aplicaciones constituye un prehaz en U que tambi´en es haz como se ve inmediatamente. 3.2.10 Definici´ on. Sea U ⊆ C un abierto y S un subconjunto finito suyo. Si δ es un divisor en U que se anula en U r S, se dir´a que δ es un divisor finito, de modo que si p1 , . . . , pk son los puntos de S, el divisor δ se le representa formalmente como sigue: k X δ := nj · pj , j=1

siendo nj el n´ umero entero que δ asigna al punto pj , para todo 1 ≤ j ≤ k. 3.2.11 Definici´ on. Sea U ⊆ C un abierto y S un subconjunto discreto e infinito suyo. Si δ es un divisor en U que se anula en U r S, se dir´a que δ es un divisor 29

infinito, de modo que si {pk }k∈N son los puntos de S, el divisor δ se le representa formalmente como sigue: ∞ X δ := nk · pk , k=1

siendo nk el n´ umero entero que δ asigna al punto pk , para todo k ∈ N. 3.2.12 Definici´ on. Sea U ⊆ C un abierto y f una funci´on meromorfa en U no id´enticamente nula en ninguna de las componentes conexas de U , o sea, f ∈ M∗ (U ). Se llama divisor de la funci´on f a la aplicaci´on de U en Z definida del siguiente modo: div(f ) : U p

−→ 7−→

Z div(f )(p) := ordp (f ) ,

donde ordp (f ) es el n´ umero entero definido por:   n , si f tiene en p un cero de orden n ordp (f ) := 0 , si f no se anula ni tiene polo en p   −m , si f tiene en p un polo de orden m 3.2.13 Definici´ on. Sea U ⊆ C un abierto. Un divisor δ en U se dice que es principal si exsite una funci´ on f ∈ M∗ (U ) tal que div(f ) = δ. El resultado que anunci´ abamos arriba es el siguiente: 3.2.14 Teorema (de Weierstrass). Sea U ⊆ C un abierto. Todo divisor en U es principal. Demostraci´ on. Consideremos la siguiente sucesi´on exacta de haces en U : 1 −→ O∗ −→ M∗ −→ M∗ /O∗ −→ 1 , donde el primer homomorfismo no trivial es la inclusi´on natural y el otro homomorfismo no trivial es el paso al cociente. ˇ Tomemos la sucesi´ on exacta larga de grupos de cohomolog´ıa de Cech asociada a la sucesi´ on exacta corta de haces que acabamos de escribir: 1 → O∗ (U ) → M∗ (U ) → Γ(U, M∗ /O∗ ) → H1 (U, O∗ ) → . . . , Como el haz cociente M∗ /O∗ es isomorfo de modo natural al haz de los divisores en U , el teorema quedar´ a demostrado si vemos que H1 (U, O∗ ) es trivial. Para ello consideremos ahora la siguiente sucesi´on exacta de haces en U : 0 −→ Z −→ O −→ O∗ −→ 1 , donde Z representa al haz de las funciones localmente constantes con valores enteros, el primer homomorfismo no trivial es la inclusi´on natural de estas funciones como funciones holomorfas y el otro consiste en que si W es un subconjunto abierto de U y f ∈ O(W ), le asociamos e2πif ∈ O∗ (W ). Es inmediato comprobar que la sucesi´ on escrita es, efectivamente, exacta. Tomemos la sucesi´on exacta larga de grupos de cohomolog´ıa que lleva asociada: . . . → H1 (U, O) → H1 (U, O∗ ) → H2 (U, Z) → . . . 30

Por el lema 3.2.3 sabemos que H1 (U, O) = 0 y ahora teniendo en cuenta que el abierto U ⊆ C puede pensarse como una superficie diferenciable y como tal es orientada, entonces H2 (U, Z) = 0 (por una propiedad topol´ogica conocida de tales superficies que puede verse en [1]); lo cual nos permite deducir ya que H1 (U, O∗ ) = 0, como se pretend´ıa demostrar. 

31

4.

Superficies de Riemann abiertas

En este apartado vamos a desarrollar una teor´ıa general sobre las superficies de Riemann abiertas con idea de demostrar el Teorema de Behnke-Stein, que se tratar´ a m´ as tarde. Los resultados que presentaremos aqu´ı son propiedades generales de este tipo de superficies, con las que concluiremos un teorema fundamental, que serivir´ a de base para el Teorema de Behnke-Stein. En definitiva, este apartado del trabajo constituye la parte preparatoria para concluir, de la forma m´ as sencilla posible, la tesis planteada desde el comienzo. La teor´ıa general de haces y cohomolog´ıa (expuesta en el ap´endice A) se usa frecuentemente en todo lo que sigue. Tambi´en se utilizan conceptos b´asicos de an´ alisis funcional (Teorema de Hahn-Banach, espacios de Fr´echet, etc.) y en cuanto a la teor´ıa general de distribucines cabe destacar la importancia del conocido Lema de Weyl (todo ello est´a expuesto en el ap´endice B). 4.1 Observaci´ on. Sea V una superficie de Riemann cualquiera y U, V abiertos suyos con V ⊂ U . Sea U := {Ui }i∈I un recubrimiento abierto de U por abiertos coordenados (por ejemplo, discos coordenados). En virtud de la observaci´ on 3.2.4 y aplicando el Teorema de Leray (consultar en A.2.40), se tiene que H1 (U, O) = H1 (U, O). def.

As´ı, cada elemento de H1 (U, O) = Z 1 (U, O)/B 1 (U, O) es por definici´ on la clase cociente de un 1-cociclo de U con coeficientes en O, el cual denotaremos 1 . De nuevo por definici´ on, este 1-cociclo asocia a cada 1-s´ımplice {Ui , Uj } por zU de U con i, j ∈ I una secci´ on de O en Ui ∩ Uj , digamos s. De manera que si para cada 1-s´ımplice {Ui ∩ V, Uj ∩ V } le asociamos la restricci´ on de la secci´ on s tendremos definido un 1-cociclo de UV := {Ui ∩ V }i∈I con coeficientes en O, cuya clase cociente en H1 (UV , O) denotaremos por z 1V . De nuevo por la observaci´ on 3.2.4 y aplicando el Teorema de Leray se tiene que H1 (UV , O) = H1 (V, O). Por tanto, la construcci´ on natural que acabamos de describir nos da que siempre existe un homomorfismo del siguiente tipo: H1 (U, O) −→ H1 (V, O) z 1U 7−→ z 1V , al que nos referiremos como homomorfismo natural de restricci´on. 4.2 Lema. Sea V una superficie de Riemann abierta y U un subconjunto abierto suyo. Si U es relativamente compacto, entonces hay un conjunto finito de discos coordenados recubriendo U , de modo que llamando U 0 a su uni´ on; el homomorfismo natural de restricci´ on H1 (U 0 , O) → H1 (U, O) es exhaustivo. Demostraci´ on. Sea W0 un disco coordenado en V con W0 ∩ U 6= φ y sea D0 otro disco coordenado respecto de la misma coordenada tal que D0 ⊂ W0 y tal que D0 ∩ U 6= φ. Sean W1 , . . . , Wm otros discos coordenados en V que recubran U r W0 y que no corten a D0 . En virtud de la observaci´ on 3.2.4 y aplicando el Teorema de Leray (consultar 1 en A.2.40), se tiene que H1 ({Wi ∩ U }m i=0 , O) = H (U, O). Llamando U0 a U ∪ D0 , la propiedad an´ aloga es cierta tambi´en, esto es, H1 ({Wi ∩ U0 }m i=0 , O) = 1 H (U0 , O).

32

Vamos a demostrar que H1 (U0 , O) → H1 (U, O) es exhaustivo; pero por lo 1 que acabamos de decir, basta con ver que H1 ({Wi ∩ U0 }m i=0 , O) → H ({Wi ∩ , O) es exhaustivo. U }m i=0 Observemos primero que las 1-cocadenas de {Wi ∩ U0 }m i=0 con coeficientes en O son las mismas que las 1-cocadenas de {Wi ∩ U }m con coeficientes en O i=0 porque la intersecci´ on de Wi ∩ U0 con Wj ∩ U0 es la misma que la de Wi ∩ U con Wj ∩ U , para cuando i ´ o j es mayor ´o igual que 1. En efecto, tomemos i ´o j mayor ´ o igual que 1 y supongamos (sin p´erdida de generalidad) que i ≤ j, de donde se deduce que j ≥ 1. Entonces: (Wi ∩ U0 ) ∩ (Wj ∩ U0 )

=

(Wi ∩ (U ∪ D0 )) ∩ (Wj ∩ (U ∪ D0 )) =

=

(Wi ∩ (U ∪ D0 )) ∩ (Wj ∩ U ) =

=

Wi ∩ (Wj ∩ U ) ∩ (U ∪ D0 ) =

=

Wi ∩ (Wj ∩ U ) = (Wi ∩ U ) ∩ (Wj ∩ U )

Para el caso en que i = j = 0 se tendr´ıa la intersecci´on de W0 ∩ U0 con W0 ∩ U0 , por un lado, y, por otro lado, la correspondiente W0 ∩ U con W0 ∩ U ; pero las 1-cocadenas alternadas asocian a dos abiertos iguales el valor cero, luego en este caso tambi´en ser´ıan iguales (de hecho, ser´ıan cero). Como consecuencia, es claro que los 1-cociclos de sendos recubrimientos son tambi´en los mismos. Por ˇ tanto, aplicando la definici´ on de cohomolo´ıa de Cech (teniendo en cuenta que la aplicaci´ on de paso al cociente es exhaustiva), se concluye lo que quer´ıamos. Finalmente, por recurrencia; si D1 , . . . , Dn son discos coordenados como el D0 del comienzo, de modo que U ⊆ D0 ∪D1 ∪. . .∪Dn y llamando Ui a U ∪(D0 ∪ D1 ∪ . . . ∪ Di ), para cada i = 0, . . . , n, entonces el argumento an´alogo al anterior muestra que H1 (Ui−1 , O) → H1 (Ui , O) es exhaustiva. Con lo cual, llamando U 0 a D0 ∪. . .∪Dn , tendr´ıamos que H1 (U 0 , O) → H1 (U, O) es exhaustiva; alcanzando la conclusi´ on deseada.  4.3 Lema. Sea V una superficie de Riemann abierta y U un subconjunto abierto suyo. Si U es relativamente compacto, entonces H1 (U, O) es un C-espacio vectorial de dimensi´ on finita. Demostraci´ on. Aplicando el lema previo, sean D1 , . . . , Dn discos coordenados en V recubriendo U y de modo que el homomorfismo natural de restricci´on n S H1 ( Di , O) → H1 (U, O) sea exhaustivo. i=1

Consideremos discos D10 , . . . , Dn0 respecto de las mismas coordenadas que D1 , . . . , Dn , respectivamente; con los mismos centros, con radios m´as peque˜ nos y de modo que tambi´en recubran a U . Para cada j = 1, . . . , n llamaremos Vj a Dj0 ∩ U , con lo que tenemos que n S U = Vj y sigue siendo cierto que V j ⊂ Dj , para cada j = 1, . . . , n. Aplij=1

cando el Teorema de Leray se deduce que la restricci´on H1 ({Dj }nj=1 , O) → H1 ({Vj }nj=1 , O) es exhaustiva. Consideremos las dos aplicaciones siguientes: α : Z 1 ({Dj }nj=1 , O) ⊕ C 0 ({Vj }nj=1 , O) −→ (z 1 , c0 ) 7−→

33

Z 1 ({Vj }nj=1 , O) α(z 1 , c0 ) := z 1 |{Vj }nj=1 + ∂(c0 )

β : Z 1 ({Dj }nj=1 , O) ⊕ C 0 ({Vj }nj=1 , O) −→ Z 1 ({Vj }nj=1 , O) (z 1 , c0 ) 7−→ α(z 1 , c0 ) := z 1 |{Vj }nj=1 + 0 donde ∂ denota al operador coborde (ver A.2.19) Es claro que tanto α como β son aplicaciones lineales y continuas. Veamos que α es adem´as exhaustiva. Como H1 ({Dj }nj=1 , O) → 1 H ({Vj }nj=1 , O) es exhaustiva, dado z 1 ∈ Z 1 ({Vj }nj=1 , O), entonces existe un  1-coborde b1 ∈ B 1 ({Vj }nj=1 , O) tal que z 1 + b1 ∈ Im Z 1 ({Dj }nj=1 , O) →  Z 1 ({Vj }nj=1 , O) . Se deduce, por tanto, que dado z 1 ∈ Z 1 ({Vj }nj=1 , O), existe una 0-cocadena c ∈ C 0 ({Vj }nj=1 , O) y un 1-cociclo w1 ∈ Z 1 ({Dj }nj=1 , O) tales que z 1 = w1 |{Vj }nj=1 + ∂(c0 ) ∈ Im(α). Veamos ahora que β es una aplicaci´on completamente continua (v´ease B.2.19, para consultar esta terminolog´ıa). En primer lugar, puesto que el operador coborde ∂ es una aplicaci´ on continua, entonces su n´ ucleo es un subespacio vectorial cerrado. Para nosotros, resulta que Z 1 ({Dj }nj=1 , O) y Z 1 ({Vj }nj=1 , O) son subespacios cerrados de C 1 ({Dj }nj=1 , O) y C 1 ({Vj }nj=1 , O), respectivamente. Por otro lado, teniendo en cuenta la definici´on de cocadenas (v´ease (a) de A.2.16) es claro que: M O(Di ∩ Dj ) (4.1) C 1 ({Dj }nj=1 , O) ∼ = 0

1≤j≤n

C 1 ({Vj }nj=1 , O) ∼ =

M

O(Vi ∩ Vj )

(4.2)

1≤j≤n

Como cada uno de los Vj , Dj son abiertos coordenados de nuestra superficie de Riemann y por construcci´ on se tiene que Vi ∩ Vj ⊂ Di ∩ Dj , el ejemplo B.2.21 nos da que cada uno de los morfismos de restricci´on O(Di ∩ Dj ) → O(Vi ∩ Vj ) son aplicaciones completamente continuas. Por la descomposici´ on escrita en (4.1) y (4.2) se deduce que la restricci´on C 1 ({Dj }nj=1 , O) → C 1 ({Vj }nj=1 , O) tambi´en es completamente continua. Esto, junto con lo que hemos dicho antes nos da que la restricci´on Z 1 ({Dj }nj=1 , O) → Z 1 ({Vj }nj=1 , O) es tambi´en completamente continua. Luego, inmediatamente obtenemos que β es completamente continua; como quer´ıamos ver. Teniendo en cuenta que el espacio de las funciones holomorfas de abiertos coordenados de la superficie de Riemann V es un espacio de Fr´echet (como muestra el ejemplo (a) de B.2.14), las descomposiciones (4.1) y (4.2), el hecho de que los cociclos correspondiente son subespacios cerrados de las cocadenas correspondientes como dijimos arriba y utilizando las propiedades b´asicas de los espacios de Fr´echet (las cuales pueden verse en B.2.18), deducimos que α y β son aplicaciones lineales y continuas entre espacios de Fr´echet. Adem´as, hemos demostrado que α y β verifican las hip´otesis del Teorema de Schwartz (cuyo enunciado puede consultarse en B.2.23). Aplicando dicho teorema, por tanto, obtenemos que el con´ ucleo de α − β es un C-espacio vectorial de dimensi´on finita. Finalmente, aplicando las definiciones y el Teorema de Leray se obtiene que

34

dicho con´ ucleo es precisamente: Coker(α − β)

def.

Z 1 ({Vj }nj=1 , O)/B 1 ({Vj }nj=1 , O) =

def.

H1 ({Vj }nj=1 , O) = H1 (U, O) ,

=

=

def.

alcanz´ andose la conclusi´ on que se buscaba.



4.4 Observaci´ on. Supongamos ahora que V es una superficie de Riemann compacta. En tal caso, el mismo argumento utilizado en el lema 4.3 permite decir que H1 (V, O) es un C-espacio vectorial de dimensi´ on finita. Como consecuencia, se tiene que Hp (V, O) es un C-espacio vectorial de dimensi´ on finita, para todo p ∈ Z+ . Adem´ as, se tiene lo siguiente: 1. Como suponemos ahora que V es compacta, entonces H0 (V, O) = Γ(V, O) = O(V) = C 2. Hp (V, O) = 0, para todo p ≥ 2. En efecto, tomemos la sucesi´ on exacta natural de hace en V dada por: ∂

0 → O → C∞ →

a (0,1) → 0 ,

de modo que tomando la sucesi´ on exacta larga de grupos de cohomolog´ıa, para cada p ≥ 2 se tiene:

a (0,1)) → Hp(V, O) → Hp(V, C ∞) → . . . , donde Hp−1 (V,a (0,1) )= 0 = Hp (V, C ∞ ) (porque a (0,1) y C ∞ son haces fi. . . → Hp−1 (V,

nos en V como se hizo notar en A.2.38), deduci´endose ya lo que quer´ıamos. 4.5 Lema. Sea V una superficie de Riemann abierta y U un abierto suyo. Si U es relativamente compacto, existe una funci´ on holomorfa no constante en U . Demostraci´ on. Sea U 0 un entorno abierto relativamente compacto de U en V y sea p ∈ ∂U . Basta con ver que existe una funci´on holomorfa en U 0 r {p} con polo en p, porque en tal caso, como la funci´on tiene polo, no puede ser una funci´ on constante y como p es un punto de la frontera, entonces al restringir a U ser´ a una funci´ on holomorfa. Denotemos por Mm al haz de las funciones meromorfas en U 0 sin polos en U 0 r {p} y con polo de orden menor ´o igual m ∈ N en el punto p. Veamos que H1 (U 0 , Mm ) es un C-espacio vectorial de dimensi´on finita, para todo m ∈ N. Dado m ∈ N, consideremos la siguiente sucesi´on exacta de haces en U 0 : 0 → O → Mm → M00m → 0 donde el primer homomorfismo no trivial es la inclusi´on y el otro es el paso al cociente, siendo M00m el haz cociente de Mm por O. Obs´ervese que las fibras de O y de Mm coinciden en todo punto q ∈ U 0 r {p} (porque en U 0 r {p}, las funciones que da el haz Mm son holomorfas), luego estamos diciendo que la fibra de M00m es cero en todo punto q ∈ U 0 r {p}. Por el ejemplo (c) de A.2.38, se tiene que M00m es un haz fino. Por tanto, tomando la sucesi´on exacta larga ˇ de grupos de cohomolog´ıa de Cech asociada a la anterior sucesi´on exacta corta, escribimos lo siguiente: . . . → H1 (U 0 , O) → H1 (U 0 , Mm ) → H1 (U 0 , M00m ) → . . . 35

Como M00m es un haz fino, entonces sabemos que es un haz ac´ıclico (ver A.2.39); luego H1 (U 0 , M00m ) = 0, de donde deducimos que la aplicaci´on H1 (U 0 , O) → H1 (U 0 , Mm ) de la sucesi´ on de arriba es exhaustiva. Por tanto, hemos demostrado que H1 (U 0 , Mm ) es un C-espacio vectorial cociente de H1 (U 0 , O), el cual es de dimensi´ on finita en virtud del lema 4.3 previo; luego H1 (U 0 , Mm ) es tambi´en de dimensi´ on finita, como se quer´ıa. Por otro lado, consideremos la siguiente sucesi´on exacta de haces en U 0 : 0 → Mm → Mm+1 → M0m → 0 donde el primer homomorfismo no trivial es la inclusi´on y el otro homomorfismo es el paso al cociente siendo M0m el haz cociente de Mm+1 por Mm . Obs´ervese que para cada q ∈ U 0 r {p}, las fibras de los haces Mm y Mm+1 en q tambi´en coinciden (porque en U 0 r{p}, las funciones que dan los haces Mm y Mm+1 son holomorfas) ´ o equivalentemente, la fibra de M0m en q ∈ U 0 r {p} es trivial. Mientras que su fibra en el punto p son precisamente las constantes, esto es, (M0m )p = C (pues har´ıamos cociente por funciones con polo de orden menor ´ o igual que m + 1 por funciones con polo de orden menor ´o igual que m). En este sentido, decimos que M0m es un haz concentrado en {p}, ya que por todo lo que hemos dicho se tiene que: Hp (U 0 , M0m ) = 0 para todo p ≥ 1 y H0 (U 0 , M0m ) = C. Tomemos entonces la sucesi´on exacta larga de grupos de cohomolog´ıa asociada a la sucesi´ on exacta corta de arriba. Una parte de la misma es: 0

→ Γ(U 0 , Mm ) → Γ(U 0 , Mm+1 ) → Γ(U 0 , M0m ) → →

H1 (U 0 , Mm ) → H1 (U 0 , Mm+1 ) → H1 (U 0 , M0m ) → . . .

Como H1 (U 0 , M0m ) = 0, el morfismo H1 (U 0 , Mm ) → H1 (U 0 , Mm+1 ) es exhaustivo y como adem´ as Γ(U 0 , M0m ) = C, entonces surgen dos posibilidades: 1. dimC H1 (U 0 , Mm ) = 1 + dimC H1 (U 0 , Mm+1 ) 2. dimC H1 (U 0 , Mm ) = dimC H1 (U 0 , Mm+1 ) La posibilidad (1) se reduce a la posibilidad (2) porque de (1) se deduce que dimC H1 (U 0 , Mm ) es una funci´on decreciente de m, luego en alg´ un momento debe estacionar, es decir, la igualdad (1) s´olo puede darse para un conjunto finito de valores de m ∈ N, de modo que hay un m0 ∈ N tal  que dimC H1 (U 0 , Mm0 ) = dimC H1 (U 0 , Mm 0 +1 ), lo cual im-

plica que Ker H1 (U 0 , Mm0 ) → H1 (U 0 , Mm0 +1 ) = Im Γ(U 0 , Mm0 +1 ) →  Γ(U 0 , M0m0 ) es trivial y, por ello, podemos escribir la siguiente sucesi´on exacta: 0 → Γ(U 0 , Mm0 ) → Γ(U 0 , Mm0 +1 ) → Γ(U 0 , M0m0 ) → 0 ,

de donde se deduce que Γ(U 0 , Mm0 ) ( Γ(U 0 , Mm0 +1 ), o sea, que existe una funci´ on meromorfa en U 0 , sin polos en U 0 r {p} y con polo en p de orden exactamente m0 + 1; lo cual acaba la demostraci´on del lema como ya razonamos al comienzo.  4.6 Lema. Sea V una superficie de Riemann abierta y U un abierto suyo. Si U es relativamente compacto, entonces H1 (U, O) es trivial. 36

Demostraci´ on. Por el lema previo sabemos de la existencia de una funci´on holomorfa y no constante en U , llam´emosla f . Observemos ahora que H1 (U, O) es un O(U )-m´odulo, luego en particular es un C[f ]-m´ odulo y por el lema 4.3, sabemos que es un C-espacio vectorial de dimensi´ on finita. Vamos a ver que existe un polinomio P en f con coeficientes complejos tal que P · H1 (U, O) = 0. En efecto, tomemos elementos m1 , . . . , mr ∈ H1 (U, O) que generen este grupo de cohomolog´ıa sobre O(U ). Como H1 (U, O) es de dimensi´on finita como C-espacio vectorial, no puede ser que los infinitos elementos suyos {m1 , f m1 , f 2 m1 , . . .} sean linealmente independientes sobre C; lo que quiere decir que hay un polinomio en f con coeficientes en C, digamos P1 (f ); tal que P1 (f ) · m1 = 0. An´ alogamente, vemos que existen polinomios P2 , . . . , Pr ∈ C[f ], de modo que Pi (f ) · mi = 0, para cada i = 2, . . . , r. Por tanto, el polinomio que buscamos es P (f ) := P1 (f ) · . . . · Pr (f ). Tomemos pues un polinomio P ∈ C[f ] como antes y consideremos as´ı la siguiente sucesi´ on exacta de haces en U . 0→P ·O →O →F→0 , donde el primer homomorfismo no trivial es la inclusi´on y el otro es el paso al cociente, siendo F el haz cociente de O por P · O. Obs´ervese que sobre los puntos que no son ceros del polinomio P , las fibras del haz F son cero, es decir, F es un haz soportado en el conjunto discreto de los ceros de P . Luego, haciendo referencia al ejemplo (c) de A.2.38, deducimos que F es un haz fino y, por tanto, es ac´ıclico como ya sabemos, o sea, Hp (U, F) = 0, para todo p ≥ 1. Tomando la sucesi´on exacta larga de grupos de cohomolog´ıa asociada a la anterior sucesi´ on exacta corta de haces, escribimos una parte de la misma: . . . → H1 (U, P · O) → H1 (U, O) → H1 (U, F) → . . .   Adem´ as, Im H1 (U, P · O) → H1 (U, O) est´a contenida en P · H1 (U, O) (sin m´ as que tener en cuenta que todo 1-cociclo de alg´ un recubrimiento adecuado de U con coeficientes en P · O es el producto de P por un 1-cociclo de este mismo recubrimiento con coeficientes en O; ya que O es un O-m´odulo). es tal que P · H1 (U O) = 0, entonces Como el polinomio P escogido  Im H1 (U, P · O) → H1 (U, O)

= 0. Por la condici´on de exactitud de la su  cesi´ on, obtenemos que tambi´en es Ker H1 (U, O) → H1 (U, F) = 0 y como

H1 (U, F) = 0, por lo dicho antes, deducimos ya que H1 (U, O) = 0, concluyendo el lema.  4.7 Observaci´ on. Si U es un abierto relativamente compacto en una superficie de Riemann abierta V, entonces dada ω ∈ (0,1) (V) existe una funci´ on f ∈ C ∞ (U ) tal que ∂f = ω|U . En efecto, consideremos la sucesi´ on exacta de haces de que se dispone de forma natural seg´ un se vio en 2.3:

a

∂

0 → O → C∞ →

a (0,1) → 0

Tomando la sucesi´ on exacta larga de grupos de cohomolog´ıa que lleva asociada y teniendo en cuenta que H1 (U, O) es trivial en virtud del lema que acabamos 37

de demostrar, se deduce inmediatamente que el operador ∂ es exhaustivo, que es precisamente lo que dec´ıamos arriba. Para el siguiente lema hacemos uso de la topolog´ıa definida en el ejemplo (b) de B.2.14 para C ∞ (V), siendo V una superficie de Riemann cualquiera. 4.8 Lema. Sea V una superficie de Riemann y T : C ∞ (V) → C una aplicaci´ on lineal y continua. Entonces, existe un subconjunto compacto K de V tal que f ∈ C ∞ (V) y sop(f ) ⊂ V r K implica que T (f ) = 0. Demostraci´ on. Por la continuidad de T , hay un entorno abierto U de 0 en C ∞ (V) tal que si f ∈ U , entonces |T (f )| < 1. Como U es un subconjunto abierto de C ∞ (V), entonces U contiene un abierto b´asico de la topolog´ıa de C ∞ (V); llam´emosle U0 . Por definici´on de esta topolog´ıa, dicho abierto b´asico es de la forma: U0 := {f ∈ C ∞ (V) : m´ax{pK1 ,α1 (f ), . . . , pKr ,αr (f ) < }} , para alg´ un  > 0, algunos subconjuntos compactos K1 , . . . , Kr de V y algunos α1 , . . . , α2 ∈ (Z+ )2 . Tomemos ahora el subconjunto compacto de V dado por K := K1 ∪ . . . ∪ Kr . Obs´ervese que si f ∈ C ∞ (V) y sop(f ) ⊂ V r K, entonces f se anula en alg´ un entorno de K1 , . . . , Kr (por la elecci´on de K). Por tanto, ser´ıa pK1 ,α1 (f ) = . . . = pKr ,αr (f ) = 0, luego f ∈ U0 ⊂ U y con ello |T (f )| < 1. Esto sigue siendo cierto para nf , con n ∈ N, escribiendo |T (nf )| < 1, para todo n ∈ N o equivalentemente |T (f )| < n1 , para todo n ∈ N; lo cual quiere decir que ´ T (f ) = 0, como se quer´ıa demostrar. 

a

4.9 Observaci´ on. Obs´ervese que debido a la topolog´ıa considerada en (0,1) (V) (ver B.2.16), el lema an´ alogo al anterior sigue siendo cierto cuando sustituimos C ∞ (V) por (0,1) (V), siguiendo el mismo razonamiento.

a

4.10 Lema. Sea V una superficie de Riemann y U un subconjunto abierto suyo. Si S : (0,1) (V) → C es una aplicaci´ on lineal y continua tal que S(∂g) = 0, para toda funci´ on g ∈ Cc∞ (U ); entonces hay una 1-forma holomorfa σ en U tal que: Z S(ω) = σ∧ω ,

a

U

a (0,1)(V) con soporte compacto contenido en U .

para toda ω ∈

Demostraci´ on. Sea W un abierto coordenado de V contenido en U con coordenada z. Consideramos la siguiente aplicaci´on: T : Cc∞ (W ) −→ h

C 7−→

T (h) := S(hdz) ,

donde hdz se le considera como 1-forma diferencial en toda V con soporte compacto (ya que el soporte de la funci´on h es compacto y est´a contenido en W ). Puesto que S es lineal y continua por hip´otesis, entonces T tambi´en lo es; o sea, T es una distribuci´ on en W (consultar B.3.3). Adem´as, si ϕ ∈ Cc∞ (W ), def.

∂ϕ entonces T ( ∂ϕ on que cumple S. Ahora bien, ∂z ) = S( ∂z dz) = 0, por la condici´ por la definici´ on de derivada de una distribuci´on (ver B.3.6) se tiene que T ( ∂ϕ ∂z ) =

38

∂T ∂z

. Del Lema de Weyl (ver en B.3.14) se deduce, por tanto, que T es una funci´on holomorfa en W , es decir, existeR una funci´on f ∈ O(W ) tal que T = Tf , o sea, para cada h ∈ Cc∞ (W ), T (h) = W f h dxdy, siendo x := Re(z), y := Im(z). Con lo cual, dada ω ∈ (0,1) con soporte compacto contenido en W , luego de la forma ω = hdz con h ∈ Cc∞ (W ); podemos escribir lo siguiente: Z Z Z i def. ∗ S(ω) = S(hdz) = T (h) = f h dxdy = σW ∧ ω , f h dz ∧ dz ≡ 2 W W W

a

donde se ha definido σW := f 2i dz. En (*) simplemente se ha utilizado el cambio de coordenadas reales a coordenada compleja teniendo en cuenta que dz ∧ dz = −2i dx ∧ dy (como muestra un sencillo c´alculo). Sea W 0 otro abierto coordenado de V contenido en U , entonces existe una 1-forma holomorfa σW 0 en W 0 verificando lo an´alogo a lo que hemos obtenido 0 arriba. As´ı, en caso de que W ∩ W 0 6= φ, se deduce f´acilmente que σW = σW . Con todo ello, hemos demostrado que existe una 1-forma holomorfa σ en U tal que σ = σW , para todo abierto coordenado W contenido en U ; de modo que si ω ∈ (0,1) y tiene soporte compacto contenido en alg´ un abierto coordenado R de U , entonces S(ω) = U σ ∧ ω. Consideremos ahora ω ∈ (0,1) cualquiera con soporte compacto contenido en U y sea {Wi }i∈I un recubrimiento de U por abiertos coordenados. Sea {ϕn }n∈N una partici´ on de la unidad en U subordinada al recubrimiento {Wi }i∈I (v´ease C.2). Como estamos suponiendo que sop(ω) es compacto, entonces hay un conjunto finito de abiertos del recubrimiento {Wi } considerado que recubren sop(ω), luego hay un conjunto finito de funciones de la partici´on de la unidad considerada, digamos ϕn1 , . . . , ϕnr tales que ϕn1 + . . . + ϕnr = 1 en sop(ω). En consecuencia, utilizando esta partici´on de la unidad y lo que hemos demostrado antes escribimos lo siguiente: Z Z S(ω) = S(ϕn1 ω + . . . + ϕnr ω) = σ ∧ (ϕn1 ω) + . . . + σ ∧ (ϕnr ω) =

a

a

U

Z = U

U

Z r X σ ∧ ( ϕnj ω) = σ∧ω , j=1

U

con lo que se concluye finalmente el lema.



4.11 Teorema. Sea V una superficie de Riemann abierta y U un subconjunto abierto relativamente compacto suyo. Si V r U no tiene componentes conexas compactas y U 0 es un entorno abierto relativamente compacto de U , entonces la imagen de O(U 0 ) en O(U ) (por el homomorfismo de restricci´ on) es densa. Demostraci´ on. En virtud del corolario B.1.22 del Teorema de Hahn-Banach (en su versi´ on geom´etrica), resulta que para nuestro objetivo basta con ver que toda forma lineal y continua de O(U ) que se anule sobre la imagen de O(U 0 ), es id´enticamente nula en O(U ). Adem´as, en virtud del propio Teorema de HahnBanach (en su versi´ on anal´ıtica, ver B.1.12), podemos suponer que la forma lineal y continua considerada de O(U ) es la restricci´on a O(U ) de una forma lineal y continua de C ∞ (U ). Consideremos entonces T : C ∞ (U ) → C una aplicaci´on lineal y continua que se anula sobre la imagen de O(U 0 ) en O(U ). Queremos ver que T |O(U ) ≡ 0. 39

Por lo que hemos dicho en la observaci´on 4.7 sabemos que dada una forma ω ∈ (0,1) (V), existe una funci´on f ∈ C ∞ (U 0 ) tal que ω|U 0 = ∂f , lo cual nos permite definir una aplicaci´ on S : (0,1) (V) → C como S(ω) := T (f |U ), para toda ω ∈ (0,1) (V). Obs´ervese que la definici´on de S no depende de la funci´on f ∈ C ∞ (U 0 ) escogida, pues si f1 ∈ C ∞ (U 0 ) es otra funci´on verificando lo an´alogo a f para una misma forma ω ∈ (0,1) (V) dada, entonces ∂(f − f1 ) = 0 y por definici´ on del operador ∂ es claro que f − f1 ∈ O(U 0 ), luego (f − f1 )|U est´a en la imagen de O(U 0 ) en O(U ) y como T es nula en esta imagen por hip´otesis, deducimos que se obtiene la misma definici´on para S con la nueva funci´on f1 . Por la linealidad de T , S tambi´en es una aplicaci´on lineal. Veamos que tambi´en es continua. Consideremos el siguiente conjunto:

a

a

a

a

E := {(ω, f ) ∈

a (0,1)(V) × C ∞(U 0) : ω|0U = ∂f }

a

Tanto (0,1) (V) como C ∞ (U 0 ) son espacios de Fr´echet como ya se sabe (consusltar B.2.14) y como E es un subespacio cerrado (por la continuidad del operador ∂) de su producto directo, entonces las propiedades enunciadas en B.2.18 sobre los espacios de Fr´echet, nos dan que el conjunto E que acabamos de definir, tambi´en es un espacio de Fr´echet. Consideremos el siguiente diagrama conmutativo: E π1

π2

/ C ∞ (U )

S

 /C

T



a (0,1)(V)

donde π1 indica la proyecci´ on de E en el primer factor y π2 la proyecci´on de E en el segundo factor, y debe entenderse (seg´ un el diagrama) que esta π2 va seguida de la restricci´ on de funciones de C ∞ (U 0 ) a C ∞ (U ). Es claro que la proyecci´ on π1 es una aplicaci´on lineal, continua y exhaustiva entre espacios de Fr´echet; luego el Teorema de la Aplicaci´ on Abierta de Banach (ver B.1.8 y B.2.13) nos da que π1 es una aplicaci´on abierta, de modo que junto con la conmutatividad del diagrama y la continuidad de T , se deduce la continuidad de S, como se quer´ıa. Por otro lado, dada la aplicaci´on lineal y continua T : C ∞ (U ) → C consideremos un subconjunto compacto K de U tal que si h ∈ C ∞ (U ) y sop(h) ⊂ U r K, entonces T (h) = 0; el cual existe en virtud del lema 4.8. An´ alogamente, dada la aplicaci´on lineal y continua S : (0,1) (V) → C consideremos un subconjunto compacto L de V tal que si ω ∈ (0,1) (V) y sop(ω) ⊂ V r L, entonces S(ω) = 0; el cual existe por el mismo resultado. Vamos a ver que el compacto L podemos escogerlo como η(K). Sea g ∈ Cc∞ (V) tal que sop(g) ⊂ V r K. Por definici´on de la aplicaci´on S, se tiene que S(∂g) = T (g|U ) y como sop(g|U ) ⊂ U r K, entonces es T (g|U ) = 0. Con lo cual podemos aplicar el lema 4.10 al abiertoRV r K, de modo que existe una 1-forma holomorfa σ en V r K tal que S(ω) = VrK σ ∧ ω, para toda ω ∈ (0,1) (V) con soporte compacto contenido en V r K. Por la on de L, resulta que si adem´as sop(ω) ⊂ V r L, entonces 0 = R elecci´ S(ω) = VrK σ ∧ ω, para toda ω ∈ (0,1) (V) y como consecuencia se deduce que σ es id´enticamente nula en V r (K ∪ L) Como cualquier componente conexa de Vrη(K) tiene que cortar a Vr(K∪L) (porque no es relativamente compacta), σ = 0 en alguna parte abierta no vac´ıa

a

a

a

a

40

de la mencionada componente conexa y como σ es holomorfa, σ es id´enticamente nula sobre toda esa componente conexa (por el Principio de Prolongaci´ on Anal´ıtica). Por tanto, σ = 0 en V r η(K). R Con lo cual, si ω ∈ (0,1) (V) y sop(ω) ⊂ V r η(K), entonces Vrη(K) σ ∧ ω = S(ω) = 0, lo que quiere decir que podemos suponer que L es de la forma η(K). Finalmente, sea f ∈ O(U ) y sea ϕ ∈ Cc∞ (U ) igual a 1 en alg´ un entorno de η(K) contenido en U , lo cual es posible porque η(U ) = U porque V r U no tiene componentes conexas compactas por hip´otesis. Se tiene lo siguiente:

a

T (f ) = T (ϕf ) = S(∂ϕf ) , que es cero porque ∂ϕf = 0 en alg´ un entorno de η(K), pues en dicho entorno es ϕf = f , que es holomorfa; luego sop(∂ϕf ) ⊂ V r η(K). Todo ello nos permite concluir el teorema. 

41

5. 5.1.

Consecuencias y conclusiones El Teorema de Behnke-Stein

Como se explic´ o en la secci´on 3.1, el problema fundamental que se plantea en el plano complejo es la aproximaci´on de una funci´on holomorfa por medio de polinomios globalmente, esto es, en todo el dominio de definici´on de dicha funci´ on holomorfa. En la mencionada secci´on, el Teorema de Aproximaci´ on de Runge nos da, por su parte, la condici´on que debe cumplir el abierto U de definici´ on de una funci´ on holomorfa para que ´esta sea aproximable por funciones holomorfas. Recordemos que dicha condici´on era U r K no tenga componentes conexas relativamente compactas, para cada subconjunto compacto K de U . En este sentido, observamos que el teorema 4.11 con el que se ha concluido el apartado anterior representa ya una generalizaci´on del teorema de Runge para el caso de abiertos relativamente compactos en superficies de Riemann abiertas, pues en caso de que V sea una superficie de Riemann abierta y U un abierto relativamente compacto en V tal que V r U no tenga componentes conexas compactas, entonces el mencionado teorema nos dice que toda funci´on holomorfa en U es uniformemente aproximable por funciones holomorfas de un entorno abierto relativamente compacto de U . As´ı, el Teorema de Behnke-Stein generaliza esta condici´on para superficies de Riemann abiertas con abiertos arbitrarios de las mismas, es decir, la aproximaci´ on se hace por medio de funciones holomorfas sobre toda la superficie V imponiendo la condici´ on an´ aloga a la del cl´asico Teorema de Aproximaci´ on de Runge, esto es, que V r U no tenga componentes conexas compactas. Teniendo en cuenta el teorema 4.11 del apartado anterior, lo primero que debemos hacer con idea de abordar el Teorema de Behnke-Stein seg´ un lo que acabamos de explicar, consiste en expresar una superficie de Riemann abierta como uni´ on de abiertos relativamente compactos cumpliendo adem´as las condiciones naturales en t´erminos de la conlusi´on que queremos demostrar. Esto lo recogemos en la siguiente: 5.1.1 Proposici´ on. Sea V una superficie de Riemann abierta. Se verifica que: 1. Existe una sucesi´ on de abiertos relativamente compactos en V, (Un )n∈N tal que: a) V =

∞ S

Un

n=1

b) U n ⊂ Un+1 , para todo n ∈ N c) V r Un no tiene componentes conexas compactas, para todo n ∈ N 2. Si U 0 es un abierto de V tal que V r U 0 no tiene componentes conexas compactas y U es un subconjunto abierto de U 0 tal que U 0 r U no tiene componentes conexas compactas, entonces V r U tampoco las tiene. Demostraci´ on. 1. Por el lema 3.1.9, sabemos de la existencia de una sucesi´on de compactos (Kn )n∈N en V tal que: a) V =

∞ S

Kn

n=1

42

◦

b) Kn ⊂ K n+1 , para todo n ∈ N c) V rKn no tiene componentes conexas relativamente compactas, para todo n ∈ N Recubramos ∂Kn+1 con discos coordenados D1 , . . . , Dr que no corten a r S Kn y sea Un := Kn+1 r Dj , que es un abierto relativamente compacto j=1

de V por construcci´ on. Veamos que V r Un no tiene componenentes conexas relativamente compactas. En efecto, pues si existiera una tal componente, digamos A; deber´ıa un punto en ∂Dj , ser ∂A ⊂ ∂Un (pues ∂A ⊂ U n ), por lo que habr´ıa alg´ para alg´ un j = 1, . . . , r en ∂A, luego tambi´en en A (que es cerrado). Como A es una componente conexa y Dj ⊂ V r Un , entonces Dj ⊂ A y como Dj corta a alguna componente conexa X de V r Kn+1 , tendr´ıa que ser X ⊆ A, lo cual es imposible porque X no es relativamente compacta (por la elecci´ on de los (Kn )n∈N ). 2. En efecto, supongamos que A es una componente conexa compacta de V r U . No puede ser que A ⊂ U 0 (porque U 0 r U no tiene componentes conexas compactas), luego A corta a V rU 0 , por lo que tiene que contener a alguna componente conexa de V r U 0 , lo cual es imposible porque ninguna de ellas es compacta.  Todo ello nos permite dar finalmente el ansiado: 5.1.2 Teorema (de Behnke-Stein). Sea V una superficie de Riemann abierta y U un subconjunto abierto suyo. Si V r U no tiene componentes conexas compactas, entonces O(V) es denso en O(U ), esto es, toda funci´on holomorfa en U es uniformemente aproximable en los compactos de U por funciones holomorfas en V. Demostraci´ on. Sea f ∈ O(U ) y K un subconjunto compacto de U . Dado  > 0, vamos a ver que existe una funci´on F ∈ O(V) tal que kF − f kK < . En virtud de la proposici´ on 5.1.1 previa, podemos suponer que U es relativamente compacto en V. As´ı, sea (Un )n∈N una sucesi´on de abiertos en V como en la mencionada proposici´ on tal que U = U1 (como suponemos que U es relativamente compacto, entonces a partir de un ´ındice n ∈ N todos los abiertos Un de la sucesi´ on contendr´ an a nuestro U por las propiedades que verifica esta sucesi´ on de abiertos y por ello podemos tomar U = U1 ). Por el teorema 4.11 (el cual se puede aplicar a cada uno de los abiertos de la sucesi´ on (Un )n∈N escogida por las propiedades que verifica), sabemos que existe una funci´ on f1 ∈ O(U2 ) tal que kf1 −f kK < 2 . Aplicando el mismo teorema por recurrencia, se deduce que para cada n ≥ 2 existe una funci´on fn ∈ O(Un+1 ) tal que kfn − fn−1 kU n−1 < 2n . Como consecuencia, se obtiene que para cada n ∈ N, la sucesi´on {fn+p }p∈N converge uniformemente en Un a una funci´on Fn ∈ O(Un ) y que si m > n, Fm coincide con Fn en Un . Luego, como esto es cierto para cada n ∈ N y (Un )n∈N forman un recubrimiento de V, hay una funci´on F ∈ O(V) tal que F = Fn , en cada Un .

43

Adem´ as, por la construcci´ on hecha se tiene lo siguiente:   kF − f kK ≤ kf1 − f kK + kf2 − f1 kU + . . . < + 2 + . . . =  , 2 2 como se quer´ıa demostrar.

5.2.



Existencia de funciones meromorfas en Superficies de Riemann abiertas

A continuaci´ on, vamos a ver algunas de las principales consecuencias del Teorema de Behnke-Stein. Seguiremos el mismo esquema que se hizo en la secci´on 3.2, pues como el Teorema de Behnke-Stein representa la generalizaci´on del Teorema de Aproximaci´ on de Runge, entonces las mismas conclusiones son ciertas ahora para las superficies de Riemann abiertas y adem´as los mismos argumentos que se utilizaron para el caso de los abiertos del plano complejo son ahora aplicables para el caso de este tipo de superficies. Por este motivo, no detallamos las demostraciones de estos resultados, pues ahora la teor´ıa estudiada para C se “copia” para las superficies de Riemann abiertas al disponer ya de nuestro teorema de aproximaci´ on de funciones holomorfas sobre tales superficies. 5.2.1 Teorema. Sea V una superficie de Riemann abierta. El operador ∂ : C ∞ (V) → (0,1) (V) es exhaustivo.

a

Demostraci´ on. Si U es un subconjunto abierto relativamente compacto de V, entonces la observaci´ on 4.7 nos dice que el operador ∂ : C ∞ (U ) → (0,1) (U ) es exhaustivo. Considerando una sucesi´on (Un )n∈N de abiertos en V como en la proposici´ on 5.1.1 y aplicando el argumento an´alogo al que se segu´ıa en el teorema 3.2.1, pero utilizando aqu´ı el Teorema de Behnke-Stein (en lugar de utilizar el Teorema de Aproximaci´ on de Runge) se obtiene f´acilmente la conclusi´ on deseada. 

a

5.2.2 Lema. Sea V una superficie de Riemann abierta. Si O denota al haz de funciones holomorfas definido sobre V, entonces su primer grupo de cohomolog´ıa ˇ de Cech en V es trivial, esto es, H1 (V, O) = 0. Es m´ as, el haz O es ac´ıclico, es decir, Hp (V, O) = 0, para todo p ≥ 1. Demostraci´ on. Basta con considerar la sucesi´on exacta natural de haces que nos proporciona el operador ∂: ∂

0 → O → C∞ →

a (0,1) → 0

Tomando la sucesi´ on exacta larga de grupos de cohomolog´ıa que lleva asociada y aplicando el teorema previo, se deduce inmediatamente la afirmaci´on del enunciado.  Finalmente, los buscados teoremas de existencia de funciones meromorfas sobre las superficies de Riemann abiertas se obtienen ya de forma inmediata, pues los resultados previos que acabamos de exponer nos permiten razonar de modo completamente an´ alogo a como se hizo en el apartado 3.2 para dar el Teorema de Mittag-Leffler y el Teorema de Weierstrass. Obs´ervese que las definiciones 3.2.5 y 3.2.8 pueden darse tambi´en para una superficie de Riemann arbitraria, obteniendo por un lado: 44

5.2.3 Definici´ on. Sea V una superficie de Riemann y U un abierto suyo. Una distribuci´ on de partes singulares en U es una ley que asigna a cada punto a ∈ U 1 sin t´ermino indeuna parte singular en a, es decir, un polinomio en z−z(a) pendiente siendo z una funci´ on coordenada en U , de modo que estas partes singulares sean distintas de cero u ´nicamente en un subconjunto discreto de U . Al conjunto de todas las distribuciones de partes singulares en U lo denotaremos por S(U ). Con lo que damos la generalizaci´on del Teorema de Mittag-Leffler para superficies de Riemann abiertas: 5.2.4 Teorema (de Mittag-Leffler, generalizado). Sea V una superficie de Riemann abierta. Toda distribuci´ on de partes singulares en V es de la forma s(f ), para alguna funci´ on f ∈ M(V). Y por otro lado, 5.2.5 Definici´ on. Sea V una superficie de Riemann y U un abierto suyo. Un divisor en U es una aplicaci´ on de U en Z que se anula en todos los puntos del complementario en U de alg´ un subconjunto discreto suyo. Si δ : U → Z es un tal divisor y S es un subconjunto discreto de U tal que δ ≡ 0 en U r S, entonces al divisor δ se le representar´a formalmente de la siguiente manera: X δ := np · p , p∈S

siendo np el n´ umero entero que δ asigna al punto p. 5.2.6 Definici´ on. Sea V una superficie de Riemann, U un abierto suyo y f una funci´ on meromorfa en U no id´enticamente nula en ninguna de las componentes conexas de U , o sea, f ∈ M∗ (U ). Se llama divisor de la funci´on f a la aplicaci´on de U en Z definida del siguiente modo: div(f ) : U p

−→ 7−→

Z div(f )(p) := ordp (f ) ,

donde ordp (f ) es el n´ umero entero definido por:   n , si f tiene en p un cero de orden n ordp (f ) := 0 , si f no se anula ni tiene polo en p   −m , si f tiene en p un polo de orden m 5.2.7 Definici´ on. Sea V una superficie de Riemann y U un abierto suyo. Un divisor δ en U se dice que es principal si exsite una funci´on f ∈ M∗ (U ) tal que div(f ) = δ. Con lo que damos la generalizaci´on del Teorema de Weierstrass para superficies de Riemann abiertas: 5.2.8 Teorema (de Weierstrass, generalizado). Sea V una superficie de Riemann abierta. Todo divisor en V es principal. Haciendo referencia a la observaci´on 2.2.6, podemos describir ya qui´en es el cuerpo de funciones meromorfas de una superficie de Riemann abierta: 45

5.2.9 Teorema. Sea V una superficie de Riemann abierta. El cuerpo de funciones meromorfas en V, M(V), es el cuerpo de fracciones del anillo de funciones holomorfas en V, O(V). Demostraci´ on. En primer lugar, es claro que para demostrar que M(V) es el cuerpo de fracciones de O(V) basta que ver que toda funci´on meromorfa en V puede expresarse como cociente de dos funciones holomorfas en V. En efecto, sea h ∈ M(V). P Si {pi }i∈I denota el conjunto de los polos de la funci´on h, sea δp := − mi ·pi i∈I

el divisor de polos correspondiente, donde mi es el orden del polo pi para cada i ∈ I. En virtud del Teorema de Weierstrass sabemos de la existencia de una funci´ on holomorfa g ∈ O(V) cuyo divisor sea precisamente −δp , es decir, g es una funci´ on holomorfa en V con ceros u ´nicamente en {pi }i∈I de ´ordenes mi para cada i ∈ I, respectivamente. Por otro lado, si P {qj }j∈J denota por su parte el conjunto de ceros de la funci´ on h, sea δc := nj · qj el divisor de ceros correspondiente, donde nj es j∈J

el orden del cero qj para cada j ∈ J. En virtud del Teorema de Weierstrass sabemos de la existencia de una funci´on holomorfa f1 ∈ O(V) cuyo divisor sea precisamente δc , es decir, f1 es una funci´on holomorfa en V con ceros u ´nicamente en {qj }j∈J de ´ ordenes nj para cada j ∈ J, respectivamente. La funci´ on fg1 es una funci´on meromorfa en V cuyo divisor asociado es, por construcci´ on, el mismo que el divisor de la funci´on h escogida. Como consecuencia, h y fg1 se distinguen en una funci´on holomorfa sin ceros, digamos f2 ∈ O∗ (V); es decir, f1 f h = f2 ≡ , g g donde f := f1 f2 es una funci´ on holomorfa en V con ceros u ´nicamente en {qj }j∈J y se concluye la demostraci´ on. 

5.3.

Variedades de Stein

En este apartado se quiere hacer una breve menci´on sobre el marco m´as general en que se encuentra el Teorema de Behnke-Stein, cuya demostraci´on ha sido uno de los objetivos finales del trabajo. Las “variedades de Stein” pueden considerarse como el ambiente natural donde estudiar la teor´ıa de funciones de la forma m´as general posible (puede decirse que las variedades de Stein son para la geometr´ıa compleja como las variedades afines para la geometr´ıa algebraica). As´ı, hay dos teoremas fundamentales en el estudio de la teor´ıa de funciones sobre estas variedades, que son los llamados Teorema A de Cartan y Teorema B de Cartan, con los que puede darse una caracterizaci´ on de las variedades de Stein en t´erminos de cohomolog´ıa, lo que permite despu´es, adem´ as, dar los teoremas an´alogos al de Mittag-Leffler y Weierstrass generalizados ahora para este tipo de variedades. As´ı como la teor´ıa elemental de funciones de una variable compleja da pie a generalizarla para las superficies de Riemann; la an´aloga teor´ıa de funciones para el caso de varias variables complejas se traslada a las variedades complejas en general. Si al trabajar con superficies de Riemann distingu´ıamos el caso de las superficies de Riemann abiertas en particular, ahora se distingue el caso de las

46

variedades complejas que sean de Stein. Como ya se ha explicado en la introducci´ on, el problema fundamental (desde un punto de vista geom´etrico-anal´ıtico) es el de la existencia de funciones meromorfas. Para la teor´ıa de funciones de una varibale compleja, dicho problema se conclu´ıa con los teoremas de MittagLeffler y Weierstrass; el problema an´alogo para la teor´ıa de funciones en varias variables se plantea con los llamados Primer problema de Cousin y Segundo Problema de Cousin, respectivamente; demostr´andose que para una variedad de Stein dichos problemas tienen soluci´on.10 Evidentemente, no es el objetivo aqu´ı llevar a cabo un estudio de las cuestiones anteriores, pero si el lector est´a interesado el libro [8] de C. Gunning y H. Rossi puede ser una buena referencia donde encontrar una detallada construcci´ on de la teor´ıa de funciones en varias variables complejas. Pues bien, en vista de lo que acabamos de explicar y por lo que ya hemos demostrado anteriormente acerca de las superficies de Riemann abiertas, es natural pensar que toda superficie de Riemann abierta sea una variedad de Stein. Introduciendo algo de lenguaje, esto es lo que nos proponemos ver a continuaci´ on, que no es m´ as que una consecuencia de los resultados previos. 5.3.1 Definici´ on. Una variedad topol´ogica V de dimensi´on n ∈ N es un espacio topol´ ogico Hausdorff en el que cada punto tiene un entorno abierto homeomorfo a un abierto de Rn . An´ alogamente a como se hizo en 2.1 se define un “atlas holomorfo” sobre una variedad topol´ ogica de dimensi´on n, con lo que tambi´en se da la definici´on de ”estructura holomorfa”, pero en lugar de considerar C, se debe tomar Cn . As´ı, surge la siguiente: 5.3.2 Definici´ on. Una variedad compleja de dimensi´on n (´o variedad anal´ıtica de dimensi´ on n) es una variedad topol´ogica de dimensi´on n en la que se considera una estructura holomorfa. 5.3.3 Ejemplo. Las superficies de Riemann que hemos estudiado son variedades complejas de dimensi´ on n=1. 5.3.4 Nota. As´ı como una superficie de Riemann se interpretaba, por su definici´ on, como un espacio que localmente es C, una variedad compleja n-dimensional se interpreta como un espacio que localmente es Cn . Como hemos hecho notar, los principales resultados conocidos de variable compleja se generalizan de forma inmediata para el caso de las superficies de Riemann. Por otro lado, se puede hacer un estudio de la teor´ıa de funciones de varias variables complejas introduciendo el concepto de funci´on holomorfa para funciones de varias variables complejas y llevando a cabo una teor´ıa generalizada de la ya conocida para una variable compleja. De modo que esta teor´ıa puede generalizarse ahora para variedades complejas n-dimensionales de forma an´aloga a como se hace con la teor´ıa de funciones de una variable compleja para las superficies de Riemann. En particular, por ejemplo, si V es una variedad compleja n-dimensional entonces es l´ıcito considerar el espacio O(V) de las funciones holomorfas de V, 10 Para el segundo habr´ ıa que imponer una condici´ on topol´ ogica a˜ nadida, que para el caso de las superficies de Riemann abiertas se verifica de forma natural.

47

pues la definici´ on de funci´ on holomorfa sobre una tal V ser´a la an´aloga a la de funci´ on holomorfa sobre una superficie de Riemann. Todo esto puede verse de forma detallada en [8]. 5.3.5 Definici´ on. Sea V una variedad compleja y K un subconjunto compacto suyo. Se llama envolvente holomorfa de K al siguiente conjunto: ˆ := {p ∈ V : |f (p)| ≤ kf kK , para toda f ∈ O(V)} K 5.3.6 Observaci´ on. La envolvente holomorfa de un subconjunto compacto K siempre es un subconjunto cerrado como se ve f´acilmente. 5.3.7 Definici´ on. Sea V una variedad compleja y U un abierto suyo. Se dice que U es holom´ orficamente convexo si la envolvente holomorfa de todo subconjunto compacto de U es un subconjunto compacto de U . 5.3.8 Definici´ on. Una variedad compleja V se dice que es una variedad de Stein si se verifican las siguientes propiedades: 1. V es holom´ orficamente convexa. 2. O(V) separa puntos, esto es, si p, q ∈ V son puntos distintos de la variedad, entonces existe una funci´on holomorfa f en V tal que f (p) 6= f (q). 5.3.9 Lema. Sea V una superficie de Riemann abierta. Si {pi }i∈I es un conjunto discreto de puntos distintos de V, entonces dado para cada i ∈ I un n´ umero complejo zi ∈ C existe una funci´on holomorfa f ∈ O(V) tal que f (pi ) = zi , para cada i ∈ I. Demostraci´ on. Dado el conjunto discreto de puntos {pi }i∈I , definimos el divisor P en V, δ := 1 · pi . Entonces, el Teorema de Weierstrass (ver 5.2.8) nos asegura i∈I

la existencia de una funci´ on meromorfa en V cuyo divisor es precisamente δ, llam´emosla h. Obs´ervese que para este divisor δ la funci´on h es en realidad holomorfa y estamos diciendo que en cada punto pi , h tiene S un cero de orden 1. Para cada j ∈ I definimos el abierto: Uj := V r {pi }i∈I . En tal caso, i6=j

es obvio que {Uj }j∈I constituye un recubrimiento abierto de la superficie V. z Para cada j ∈ I definimos la funci´on gj := hj , que es una funci´on meromorfa en V (cuyos polos son los ceros de la funci´on h, o sea, los puntos {pi }i∈I del enunciado). De la propia definici´ on del abierto anterior, es claro que para cada j, k ∈ I se tiene que Uj ∩ Uk = V r {pi }i∈I . Por lo tanto, se deduce que h1 es una funci´on holomorfa en Uj ∩ Uk , para todos j, k ∈ I. As´ı pues, definimos la siguiente distribuci´ on de partes singulares en V: ( gj , si p = pj , para alg´ un j ∈ I s:p∈V s(p) := 0, si p 6= pj , para todo j ∈ I En virtud del Teorema de Mittag-Leffler (ver 5.2.4), sabemos de la existencia de una funci´ on meromorfa en V cuya distribuci´on singular asociada es precisamente s, llam´emosla g. Esto quiere decir que la funci´on g es tal que la parte zj singular de su desarrollo de Laurent en cada punto pj es precisamente z−z(p , j) donde z es una funci´ on coordenada en Uj . 48

Definimos ahora f := gh. En tal caso, en cada abierto Uj escribimos lo siguiente: f = gh = gj h − gj h + gh = gj + (g − gj )h = zj + (g − gj )h , donde hay que observar que en Uj , g − gj es una funci´on holomorfa (pues en Uj el punto problem´ atico para g y gj ser´ıa pj , pero al tomar la diferencia de las funciones, el punto deja de ser singular). Como esto es cierto para todo j ∈ I, se deduce que f es una funci´ on holomorfa en V. Adem´as, cada pj es un cero de la funci´ on h por construcci´ on; luego es claro que f (pj ) = zj , para todo j ∈ I (en virtud de la expresi´ on que acabamos de obtener arriba). Todo ello concluye la demostraci´on.  5.3.10 Observaci´ on. Sea V una variedad compleja cualquiera verificando la siguiente propiedad: para toda sucesi´on discreta de puntos {pn }n∈N de V, existe una funci´ on holomorfa en V, digamos f ; tal que lim |f (pn )| = ∞. n→∞ En tal caso, resulta que V es holom´orficamente convexa. En efecto, sea K un subconjunto compacto de V cualquiera y, por reducci´on al absurdo, supongamos ˆ no es compacta. Entonces, existe un subconjunto que su envolvente holomorfa K ˆ infinito de K que no tiene puntos de acumulaci´on, es decir, existe una sucesi´on ˆ Por la hip´otesis que cumple V, resulta que discreta de puntos {pn }n∈N ⊂ K. existe una funci´ on holomorfa f en V tal que lim |f (pn )| = ∞. Ahora bien, por n→∞

definici´ on de la envolvente holomorfa de K, se tiene que |f (xn )| ≤ kf kK < ∞, ˆ es un cerrado, se llega a contradicci´on. Por tanto, para todo n ∈ N!! y como K ˆ K debe ser compacto, como se quer´ıa demostrar. Pues bien, el lema 5.3.9 previo y la observaci´on que acabamos de hacer nos permiten ya concluir con el siguiente: 5.3.11 Teorema. Toda superficie de Riemann abierta es una variedad de Stein.

49

Ap´ endices A.

Elementos de Topolog´ıa

Aqu´ı pretendemos dar conceptos b´asicos y demostrar algunos resultados elementales de Topolog´ıa Algebraica que se han manejado en los razonamientos previos aplic´ andolos al caso que nos ocupa de las superficies de Riemann.

A.1.

Haces

A.1.1 Definici´ on. Sea X un espacio topol´ogico cualquiera. Un prehaz F de grupos abelianos en X es una ley que asigna a cada abierto U ⊆ X un grupo not. abeliano F(U ) ≡ Γ(U, F) verific´andose lo siguiente: 1. Si V ⊆ X es otro abierto contenido en U , existe un morfismo de grupos φU,V : F(U ) → F(V ); que se llamar´a morfismo de restricci´on (por simplicidad, si s ∈ F(U ), entonces denotaremos φU,V (s) ≡ s|V ) 2. Para todo abierto U ⊆ X, φU,U = Id 3. Si W ⊆ V ⊆ U son abiertos, entonces φU,W = φV,W ◦ φU,V (con nuestra notaci´ on es s|W = (s|V )|W , si s ∈ F(U )) A.1.2 Observaci´ on. De modo an´alogo puede definirse un prehaz en un espacio topol´ ogico X para cualquier otra categor´ıa (conjuntos, anillos, espacios vectoriales, etc.). Para nosotros los prehaces siempre lo ser´an de, al menos, grupos abelianos (salvo que se especifique otra categor´ıa concreta). A.1.3 Ejemplos. (a) Sea π : E → X una aplicaci´on continua entre espacios topol´ ogicos. Para cada abierto U ⊆ X, sea F(U ) el conjunto de las secciones continuas de π sobre U , es decir, F(U ) := {s : U → E, continuas tales que π ◦ s = Id} = HomX (U, E) (donde se considera a E y al abierto U como espacios topol´ogicos sobre X para la u ´ltima igualdad). Por otro lado, si V ⊆ X es otro abierto contenido en U , entonces se tiene un morfismo de restricci´ on natural F(U ) → F(V ) que consiste en la restricci´on usual de aplicaciones. Con todo ello, la regla F := HomX ( · , E) que acabamos de definir es un prehaz de grupos abelianos en X, que llamaremos prehaz de las secciones continuas de π ´ o prehaz de las secciones continuas de E. (b) Sea X un espacio topol´ ogico y Z el grupo abeliano de los n´ umeros enteros (que supondremos dotado de la topolog´ıa discreta). El prehaz constante Z se define como Z(U ) := Z para todo abierto U ⊆ X, tomando como morfismos de restricci´ on la identidad (es claro que la regla U Z(U ) que acabamos de definir es, efectivamente, un prehaz de grupos abelianos en X). Denotaremos con Z tanto al prehaz constante Z como al grupo Z de los n´ umeros enteros propiamente dicho, siendo el propio contexto quien los diferencie. 50

(c) Sea X un espacio topol´ ogico cualquiera. Para cada abierto U ⊆ X denotaremos por C(U, C) al grupo de las funciones continuas en U con valores complejos, de manera que si V ⊆ X es otro abierto de X contenido en U , podremos consisderar el correspondiente grupo C(V, C). La restricci´on natural de funciones da lugar a un morfismo de grupos: φU,V : C(U, C) −→ f 7−→

C(V, C) f |V

not.

As´ı, la regla C( · , C) ≡ C que acabamos de definir junto con la restricci´on natural de funciones, constituye un prehaz de grupos abelianos en X; como se ve inmediatamente. Obs´ervese que cada uno de los conjuntos C(U, C) es adem´as una C-´algebra, de modo que C( · , C) es, de hecho, un prehaz de C-´algebras en X. (d) Sea X una variedad diferenciable. Para cada abierto U ⊆ X denotaremos por C ∞ (U, C) al grupo de las funciones de clase C ∞ en U con valores complejos. Al igual que antes, junto con la restricci´on natural de funciones; not. C ∞ ( · , C) ≡ C ∞ constituye un prehaz de grupos abelianos en X; como se ve inmediatamente (de hecho, puede pensarse como un prehaz de C-´ algebras en X). (e) Sea V una superficie de Riemann. Para cada abierto U ⊆ V denotaremos por O(U ) al grupo (aditivo) de las funciones holomorfas en U . Al igual que antes, junto con la restricci´on natural de funciones; O constituye un prehaz de grupos abelianos (aditivos) en V; como se ve inmediatamente (de hecho, puede pensarse como un prehaz de C-´algebras en V). (f) Sea V una superficie de Riemann. Para cada abierto U ⊆ V denotaremos por M(U ) al grupo (aditivo) de las funciones meromorfas en U . Al igual que antes, junto con la restricci´on natural de funciones; M constituye un prehaz de grupos abelianos (aditivos) en V; como se ve inmediatamente (de hecho, puede pensarse como un prehaz de C-´algebras en V). (g) Sea V una superficie de Riemann. Para cada abierto U ⊆ V denotaremos por O∗ (U ) al grupo (multiplicativo) de las funciones holomorfas en U sin ceros en U . Al igual que antes, junto con la restricci´on natural de funciones; O∗ constituye un prehaz de grupos abelianos (multiplicativos) en V; como se ve inmediatamente. (h) Sea V una superficie de Riemann. Para cada abierto U ⊆ V denotaremos por M∗ (U ) al grupo (multiplicativo) de las funciones meromorfas en U no id´enticamente nulas en ninguna componente conexa de U . (i) Sea V una superficie de Riemann. Para cada abierto U ⊆ V denotaremos por (0,1) (U) al grupo (aditivo) de las 1-formas diferenciales complejas ω en U cuya expresi´ on local en coordenadas es ω = f dϕ, para cierta funci´on f ∈ C ∞ (U ) siendo ϕ una funci´on coordenada en el abierto U considerado.

a

51

Comprob´ andose f´ acilmente que esta definici´on no depende de la coordenada ϕ escogida en el abierto en cuesti´on, resulta que junto con la restricci´on natural de funciones; (0,1) constituye un prehaz de grupos abelianos (aditivos) en V, como se ve inmediatamente.

a

Al igual que antes, junto con la restricci´on natural de funciones; M∗ constituye un prehaz de grupos abelianos (multiplicativos) en V; como se ve inmediatamente. A.1.4 Definici´ on. Sea X un espacio topol´ogico. Si F, F0 son prehaces de grupos abelianos sobre X, un homomorfismo de prehaces ϕ : F → F0 consiste en dar para cada abierto U ⊆ X un morfismo de grupos abelianos ϕ(U ) : F(U ) → F0 (U ) tal que sea compatible con los morfismos de restricci´on de los prehaces considerados. Es decir, tal que para cada par de abiertos U, V ⊆ X con V ⊆ U el siguiente diagrama sea conmutativo: F(U )  F(V )

ϕ(U )

ϕ(V )

/ F0 (U )  / F0 (V )

Definimos ahora el concepto de “fibra” de un prehaz. Dado un espacio topol´ ogico X y p ∈ X un punto suyo,podemos considerar diferentes entornos alrededor del mismo. Haciendo referencia al ejemplo cl´asico del prehaz de las funciones continuas, el objetivo de la “fibra” consiste en definir una funci´ on en un entorno tan “peque˜ no” como queramos alrededor del punto p. Es decir, el punto p puede pensarse dentro del dominio de diferentes funciones dependiendo del entorno considerado de ´el, de manera que identificaremos aquellas funciones (y respectivos entornos) cuando en un entorno m´as peque˜ no a´ un , dichas funciones coincidan. Formalmente, la definici´on es la siguiente: A.1.5 Definici´ on. Sea X un espacio topol´ogico y F y prehaz sobre X. Si p ∈ X es un punto del espacio topol´ogico, se define la fibra del prehaz F en p como sigue: Fp := l´ımF(U ) −→

U 3p

A los elementos de Fp se les llamar´a g´ermenes de F en p. A.1.6 Observaciones. (a) La categor´ıa a la que pertenece la fibra de un prehaz en un punto es precisamente la del tipo de prehaz que se considere, esto es, si F es un prehaz de grupos abelianos en X (resp. anillos, espacios vectoriales, etc.), entonces Fp ser´a un grupo abeliano (resp. anillo, espacio vectorial, etc.); pues se trata del l´ımite inductivo de objetos de dicha categor´ıa. (b) El sistema inductivo que se utiliza para dar la definici´on anterior consiste en el conjunto de los grupos abelianos que asocia el prehaz F a cada uno de los abiertos U de X, junto con los morfismos de restricci´on.

52

(c) Teniendo en cuenta la definici´on del l´ımite inductivo y lo que hemos explicado arriba, podemos dar una construcci´on m´as intuitiva de la fibra: sea X un espacio topol´ ogico y F un prehaz en X. Dado un punto p ∈ X consideramos parejas (U, s), donde U ⊆ X es un abierto que contiene a p y s es una secci´ on de F en U . Se define la siguiente relaci´on de equivalencia: (U, s) ∼ (U 0 , s0 ) si existe un abierto W ⊆ U ∩ U 0 conteniendo al punto p y tal que s|W = s0 |W Pues bien, el conjunto de parejas (U, s) que hemos descrito, cociente por la relaci´ on de equivalencia que acabamos de definir se denotar´a por Fp y es precisamente la fibra de F en el punto p. As´ı pues, los g´ermenes de F en p son clases de equivalencia representadas por un entorno del punto y una secci´on del prehaz en dicho entorno. (d) Si ϕ : F → F0 es un morfismo de prehaces en X, entonces para cada punto p ∈ X se tiene de forma natural un morfismo entre las fibras ϕp : Fp → F0 p definido del siguiente modo: ϕp ((U, s)) := (U, ϕ(U )(s)), para todo (U, s) ∈ Fp y donde ϕ(U ) es el morfismo dado. Puede demostrarse sin dificultad que la definici´on no depende del representante escogido de la clase (U, s). A.1.7 Ejemplo. Sea V una superficie de Riemann y consideremos en ella el prehaz O de las funciones holomorfas. Sea p ∈ V un punto de la superficie de Riemann. Si f es una funci´on holomorfa en dicho punto, sabemos que la funci´on puede expresarse como suma de una serie de potencias (con coeficientes complejos) convergente en un entorno coordenado del punto, respecto de la coordenada fijada. Llamemos Uf a dicho entorno. Ahora, si g es otra funci´on holomorfa en el mismo punto p, entonces tendremos la situaci´ on an´ aloga para otro entorno diferente quiz´as, digamos Ug . De manera que, las parejas (Uf , f ), (Ug , g) estar´an relacionadas en el sentido de la definici´ on de fibra, cuando en la instersecci´on de dichos entornos, los desarrollos en serie de las funciones (que representan a las propias funciones en sendos entornos) coinciden. En definitiva, estamos diciendo que si p ∈ V es un punto de la superficie de Riemann, la fibra Op del prehaz de las funciones holomorfas en el punto p es precisamente el grupo de las series de potencias respecto de la coordenada fijada en un entorno del punto tales que convergen en alg´ un entorno del mismo. (An´ alogamente, si M es el prehaz de las funciones meromorfas y p ∈ V un punto de la superficie de Riemann, entonces la fibra Mp de dicho prehaz en el punto p es precisamente el grupo de las series de Laurent que convergen en alg´ un entorno reducido del punto, respecto de la coordenada fijada en dicho entorno). Seg´ un hemos visto, el concepto de “prehaz” trata de formalizar la esencia del proceso de restricci´ on de funciones. A continuaci´on, introducimos el concepto de “haz” que consiste, en este caso, en formalizar la esencia del proceso de reconstrucci´ on de funciones “globales” a partir de funciones locales (el cual tiene en consideraci´ on tambi´en el proceso de restricci´on). A.1.8 Definici´ on. Sea X un espacio topol´ogico y F un prehaz de grupos abelianos en X. Se dice que F es un haz (de grupos abelianos) en X si para todo abierto U ⊆ X y todo recubrimiento por abiertos {Ui }i∈I de U se verifica lo siguiente: 53

1. Si s ∈ F(U ) y s|Ui = 0 para cada i ∈ I, entonces s = 0 2. Si {si }i∈I es una familia de elementos de los grupos F(Ui ) y siempre que Ui ∩ Uj 6= φ se tiene que si |Ui ∩Uj = sj |Ui ∩Uj , entonces hay un elemento s ∈ F(U ) tal que s|Ui = si , para cada i ∈ I. En otras palabras, si tenemos una colecci´on de elementos si ∈ F(Ui ) para cada i ∈ I que conincidan S en las intersecciones de los abiertos, entonces existe un u ´nico elemento s ∈ Ui tal que s|Ui = si i∈I

A.1.9 Observaci´ on. La condici´on de haz permite trabajar con sus elementos a nivel local para deducir propiedades globales. En este sentido se verifica lo siguiente: sea F un haz en X y s, s0 dos elementos de F en un abierto U ⊆ X. La condici´on necesaria y suficiente para que s y s0 sean iguales es que sus g´ermenes sean iguales para todo punto de U . En efecto, supongamos que los g´ermenes de s y s0 son iguales para todo punto de U , es decir, sp = s0p para todo punto p ∈ U ; en tal caso para cada punto p ∈ U existe un entorno suyo en U , digamos Up tal que s|Up = s0 |Up . Puesto que los abiertos Up con p ∈ U recubren el abierto U y F es un haz, entonces s = s0 en todo U como quer´ıamos demostrar. El rec´ıproco es inmediato. A.1.10 Ejemplos. (a) Los ejemplos (a), (c), (d), (e), (f), (g), (h), (i) expuestos en A.1.3, son tambi´en haces porque las propiedades de continuidad y holomorf´ıa son cuestiones locales. (b) El ejemplo (b) expuesto en A.1.3 no es un haz porque podemos tomar dos n´ umeros enteros distintos, digamos n, m ∈ Z y sendos entornos disjuntos, digamos Un , Um (pues Z es discreto). Por tanto, como Un ∩Um = φ, entonces n|Un ∩Um = m|Un ∩Um y, sin embargo, no existe un elemento e ∈ Z(Un ∪ def.

Um ) = Z tal que e|Un = n y e|Um = m; pues tal elemento deber´ıa ser de la forma e = (n, m) que, obviamente, no es un n´ umero entero!! A.1.11 Definici´ on. Sea X un espacio topol´ogico. Una sucesi´on de homomorfismos de haces de grupos abelianos en X ϕi−1

ϕi

ϕi+1

. . . −→ Fi−1 −→ Fi −→ Fi+1 −→ . . . se dice que es exacta si para todo punto p ∈ X la sucesi´on de fibras (ϕi−1 )p

(ϕi )p

(ϕi−1 )p

. . . −→ (Fi−1 )p −→ (Fi )p −→ (Fi+1 )p −→ . . . es una sucesi´ on exacta de grupos abelianos. A continuaci´ on, vamos a construir un espacio topol´ogico asociado a un prehaz. Sea X un espacio topol´ ogico y F un prehaz en X. Para cada punto p ∈ X, sea Fp la fibra del prehaz F en p. Consideremos as´ Fı, la uni´on disjunta de todas las posibles fibras del prehaz escribiendo: |F| := Fp p∈X

Se tiene una proyecci´ on natural π : |F| → X asignando a cada germen con el correspondiente punto en donde se tiene definido dicho germen.

54

Por otro lado, dado un abierto U ⊆ X y un elemento s ∈ F(U ), se tiene definida la siguiente aplicaci´ on: se : U p

−→ 7−→

|F| se(p) := sp

donde sp denota el germen del elemento s en el punto p (o sea, el elemento de Fp que corresponde a s ∈ F(U )). Obs´ervese que, por la propia construcci´on, es claro que la aplicaci´ on se es una secci´on de la proyecci´on natural π, es decir, π ◦ se = Id Por lo tanto, variando los abiertos de X y los elementos del prehaz en cada abierto, disponemos de una colecci´on de aplicaciones sobre el conjunto |F|. As´ı, en |F| consideramos como base de abiertos los conjuntos {e s(U )} con U abierto de X y s ∈ F(U ) (puede comprobarse sin dificultad que, efectivamente, este conjunto constituye una base de entornos para una topolog´ıa en |F|). Obs´ervese que esta topolog´ıa es precisamente la m´ınima que hace continuas cada una de las aplicaciones se que hemos considerado. Con todo esto, damos la siguiente: A.1.12 Definici´ on. Sea X un espacio topol´ogico y F un prehaz en X. Se llama espacio etal´e al espacio topol´ ogico |F| que acabamos de construir. A.1.13 Definici´ on. Sea X un espacio topol´ogico, F un prehaz en X y |F| su espacio etal´e. Llamaremos haz asociado al prehaz F, y lo denotaremos por F# , al haz de secciones continuas del espacio etal´e, esto es, F# := HomX ( · , |F|) A.1.14 Observaci´ on. Se tiene un morfismo natural de prehaces h : F → F# definido del siguiente modo: si U ⊆ X es un abierto y s ∈ F(U ) una secci´on del prehaz dado en dicho abierto, entonces h(U )(s) := se, que efectivamente es un elemento de F# (U ), como comentamos anteriormente. Se comprueba entonces que la condici´on necesaria y suficiente para que un prehaz F sea un haz es que el morfismo de prehaces h : F → F# que acabamos de describir sea un isomorfismo. Por este motivo, si F es un haz en X y U es un abierto de X, entonces a los elementos de F(U ) se les llamar´a secciones del haz F en U ; pues estos elementos ser´ an precisamente aplicaciones continuas de U en |F| cuya composici´on con la proyecci´ on natural π es la identidad. A.1.15 Ejemplo. Hab´ıamos visto en el ejemplo (b) de A.1.10 que el prehaz constante Z no es un haz. Nos preguntamos entonces, cu´al es el haz asociado. Sea X un espacio topol´ ogico. En primer lugar, es claro por la propia definici´ on que la fibra del prehaz constante Z en cualquier punto de X es el propio grupo Z. El espacio etal´e asociado al prehaz es, por tanto: G G |Z| = Zp = Z≡X ×Z p∈X

p∈X

Con este c´ alculo, la definici´ on de haz asociado a un prehaz nos da lo siguiente: def.

Z# = HomX ( · , |Z|) = HomX ( · , X × Z) = HomX ( · , Z) 55

Es decir, hemos obtenido que para cada abierto U ⊆ X el haz asociado Z# (U ) consiste en las aplicaciones continuas de U en el grupo de los n´ umeros enteros. Como Z se supone dotado de la topolog´ıa discreta, todo elemento suyo n ∈ Z es cerrado y abierto a la vez. Puesto que las aplicaciones de U a Z que consideramos son continuas, la antiimagen por cualquiera de ellas de cada elemento n ∈ Z ser´ a un abierto y cerrado a la vez en U , en particular, ser´a abierto y se deduce, por tanto, que estas aplicaciones son localmente constantes (e iguales al elemento n considerado). En definitiva, podemos decir que el haz asociado al prehaz constante Z consiste en el haz de las funciones localmente constantes con valores enteros. Como hemos visto, podemos relacionar entre s´ı diferentes haces por medio de los morfismos de haces; nos preguntamos entonces si tienen cabida los conceptos de n´ ucleo, imagen o con´ ucleo de dichos morfismos. En efecto: A.1.16 Definici´ on. Sea X un espacio topol´ogico y ϕ : F → F0 un morfismo de haces de grupos abelianos. Se define el n´ ucleo de ϕ, y lo denotaremos por Ker ϕ, al haz en X definido por (Ker ϕ)(U ) := Ker ϕ(U ) para todo abierto U ⊆ X y donde ϕ(U ) es el morfismo de grupos abelianos dado por ϕ A.1.17 Definici´ on. Sea X un espacio topol´ogico y ϕ : F → F0 un morfismo de haces de grupos abelianos. Se define la imagen de ϕ, y lo denotaremos por Im ϕ, al haz asociado al prehaz en X definido por U

Im ϕ(U )

para todo abierto U ⊆ X y donde ϕ(U ) es el morfismo de grupos abelianos dado por ϕ A.1.18 Definici´ on. Sea X un espacio topol´ogico y F, F0 dos haces de grupos abelianos. Se define el haz cociente de F por F0 , y lo denotaremos por F/F0 , al haz asociado al prehaz en X definido por U

F(U )/F0 (U )

para todo abierto U ⊆ X.

A.2.

Cohomolog´ıa

En general, la teor´ıa de la homolog´ıa y cohomolog´ıa trata de asociar a un objeto matem´ atico (un espacio topol´ogico, por ejemplo) una sucesi´on de grupos abelianos con los que recojamos la informaci´on esencial de dicho objeto, ayudando en la tarea de clasificaci´on del mismo. Por su parte, los grupos de cohomolog´ıa pueden pensarse como un m´etodo de asignaci´on de invariantes a un espacio topol´ ogico, o sea, son una herramienta algebraica para estudiar la geometr´ıa del espacio topol´ ogico y juegan un papel importante en la teor´ıa de las superficies de Riemann.

56

A.2.1 Definici´ on. Un complejo de grupos abelianos consiste en una sucesi´on de grupos abelianos not.

di−1

d

di+1

i Gi+1 −→ . . . G• ≡ . . . −→ Gi−1 −→ Gi −→

tal que di ◦ di−1 = 0, para todo i ∈ I. Al grupo Gi se le llamar´ a t´ermino del complejo en grado i y al morfismo di : Gi → Gi+1 se le llamar´ a diferencial en grado i de Gi . A.2.2 Nota. Si en alguna situaci´on no resultara relevante el grado del complejo, a las diferenciales {di }i∈I se les denotar´a directamente por d y la condici´on de la definici´ on anterior se escribir´a d2 = 0. A.2.3 Observaci´ on. De modo an´alogo puede definirse un complejo para cualquier otra categor´ıa (anillos, espacios vectoriales, etc.). Para nosotros los complejos siempre lo ser´ an de, al menos, grupos abelianos (salvo que se especifique otra categor´ıa concreta). A partir del concepto de “complejo” obtenemos otros dos que dan lugar al concepto de “cohomolog´ıa”. A.2.4 Definici´ on. Sea G• un complejo de grupos abelianos. Se llaman ciclos de grado i del complejo G• al n´ ucleo de la diferencial en grado i y escribiremos: Z i (G• ) := Ker di A.2.5 Definici´ on. Sea G• un complejo de grupos abelianos. Se llaman bordes de grado i del complejo G• a la imagen de la diferencial en grado i − 1 y escribiremos: B i (G• ) := Im di−1 Obs´ervese que la condici´ on de complejo di ◦ di−1 = 0 equivale a decir que Im di−1 ⊆ Ker di , para todo i ∈ I. Utilizando las definiciones que acabamos de dar esto se traduce en que los bordes de grado i siempre est´an contenidos en los ciclos de grado i, para todo i ∈ I. Por tanto, es l´ıcito considerar el correspondiente grupo cociente dando lugar a la siguiente: A.2.6 Definici´ on. Sea G• un complejo de grupos abelianos. Se llama cohomolog´ıa i-´esima (´ o i-´esimo grupo de cohomolog´ıa) del complejo G• a los ciclos de grado i m´ odulo los bordes de grado i y escribiremos: Hi (G• ) := Z i (G• )/B i (G• ) A.2.7 Observaci´ on. Por lo que hemos hecho ver arriba, resulta que el concepto de “complejo” es m´ as d´ebil que el concepto de “sucesi´on exacta”. Si Hi (G• ) = 0, quiere decir que los ciclos de grado i son los mismos que los bordes de grado i, es decir, que para el grado i se verifica Im di−1 = Ker di ; o sea, la sucesi´on es exacta en este grado. De manera que la cohomolog´ıa i-´esima de un complejo mide el defecto de exactitud del mismo en el grado i, esto es, cu´anto le falta al complejo para que, verdaderamente, sea una suceci´on exacta. Esto motiva la siguiente: A.2.8 Definici´ on. Un complejo de grupos abelianos G• se dice que es ac´ıclico si todos sus grupos de cohomolog´ıa son triviales, es decir, si Hi (G• ) = 0, para todo i ∈ I. Equivalentemente, si G• es una sucesi´on exacta de grupos abelianos. 57

A.2.9 Definici´ on. Sean F • y G• dos complejos de grupos abelianos. Un homomorfismo de complejos ϕ : F • → G• consiste en dar una colecci´on de morfismos de grupos abelianos entre sendos t´erminos de los complejos considerados, de modo que sean compatibles con sendas diferenciales.  Es decir, una colecci´ on de morfismos ϕi : F i → Gi i∈I tales que hagan conmutativos los siguientes diagramas: F• ≡ ...

G• ≡ . . .

/ Fi

/ F i−1 

ϕi−1

/ F i+1

ϕi

 / Gi

/ Gi−1



/ ...

ϕi+1

/ Gi+1

/ ...

A.2.10 Definici´ on. Una sucesi´on de homomorfismos de complejos de grupos abelianos ϕj+1 ϕj ϕj−1 . . . −→ G•j−1 −→ G•j −→ G•j+1 −→ . . . se dice que es exacta cuando para cada grado i ∈ I . . . −→ Gij−1 −→ Gij −→ Gij+1 −→ . . . es una sucesi´ on exacta de grupos abelianos. De la propia definici´ on de homomorfismo de complejos (teniendo en cuenta la conmutatividad de los diagramas descritos arriba) se siguen inmediatamente las propiedades functoriales m´ as elementales de los complejos, que recojemos en la siguiente: A.2.11 Proposici´ on. Sean F • , G• dos complejos de grupos abelianos y ϕ : F • → G• un homomorfismo entre ellos. Entonces, se tiene inducido de modo natural 1. un morfismo entre los ciclos, Zϕ : Z i (F • ) → Z i (G• ), para cada i ∈ I. 2. un morfismo entre los bordes, Bϕ : B i (F • ) → B i (G• ), para cada i ∈ I. 3. un morfismo entre los grupos de cohomolog´ıa, Hϕ : Hi (F • ) → Hi (G• ), para cada i ∈ I. A.2.12 Definici´ on. Un homomorfismo de complejos ϕ : F • → G• se dice que es un quasi-isomorfismo si el homomorfismo inducido entre los grupos de cohomolog´ıa Hϕ : Hi (F • ) → Hi (G• ) es un isomorfismo de grupos abelianos, para todo i ∈ I. Un resultado bien conocido de Topolog´ıa Algebraica y fundamental para la teor´ıa general es que toda sucesi´on exacta corta de complejos tiene asociada (de forma natural) una sucesi´ on exacta larga de cohomolog´ıa. ι

A.2.13 Teorema (Sucesi´ on exacta larga de cohomolog´ıa). Sea 0 → E • → • p • F → G → 0 una sucesi´ on exacta corta de complejos de grupos abelianos y e d, d a las diferenciales de E • , F • , G• ; respectivamente. denotemos por d, Entonces, se tiene inducida de forma natural una sucesi´on exacta larga entre los grupos de cohomolog´ıa del siguiente modo: δ

. . . → Hi (E • ) → Hi (F • ) → Hi (G• ) → Hi+1 (E • ) → Hi+1 (F • ) → Hi+1 (G• ) → . . . Al morfismo δ se le llama morfismo de conexi´on (´o “connecting”). 58

A.2.1.

ˇ Cohomolog´ıa de Cech

Los haces en un espacio topol´ogico representan en cierto sentido el modo en que estamos “observando” todo el espacio topol´ogico, como lugar geom´etrico. Por ejemplo, si V es una superficie de Riemann y consideramos en ella el haz de las funciones de clase C ∞ con valores complejos, entonces el espacio topol´ogico V lo estamos observando (en cada regi´on suya) desde el punto de vista diferenciable sin m´ as, es decir, geom´etrica o topol´ogicamente estar´ıamos estudiando las propiedades de dicha superficie que son invariantes por cambios diferenciables. Mientras que si consideramos en V el haz de las funciones holomorfas, O, la manera de “interpretar” ´ o estudiar dicho espacio es de un punto de vista holomorfo, que es algo m´ as concreto que la diferenciabilidad. Dependiendo de la manera en que “observamos” nuestro espacio, es evidente que la geometr´ıa de dicho espacio ser´a una concreta. Por lo tanto, es l´ıcito definir grupos de cohomolog´ıa para un haz definido en el espacio topol´ogico en cuesti´on, pues los grupos de cohomolog´ıa son, como ya hemos dicho en A.2, la herramienta algebraica que nos permite estudiar la geometr´ıa del espacio, la cual depende del haz de funciones que se considere en ´el; como hemos explicado. Para ello, se construyen grupos abelianos a partir del haz F considerado con los que dar un complejo de grupos abelianos. El complejo resultante suele llamarse resoluci´ on y es lo que nos permite estudiar el haz F (en lugar de utilizar el propio haz) en t´erminos de cohomolog´ıa. A.2.14 Definici´ on. Sea X un espacio topol´ogico y U := {Ui }i∈I un recubrimiento abierto de X. Dado p ∈ Z+ , un p-s´ ımplice de U es un conjunto ordenado de p + 1 abiertos de U, digamos σp := Ui0 , . . . , Uip , tales que Ui0 ∩ . . . ∩ Uip 6= φ. A esta intersecci´ on se le llama soporte de σp y se denota por |σp |. Al conjunto de todos los p-s´ımplices de U lo denotaremos por Σp (U). A.2.15 Definici´ on. Sea X un espacio topol´ogico, U := {Ui }i∈I un recubrimiento abierto de X y F un haz de grupos abelianos en X. Dado p ∈ Z+ , una p-cocadena de U con coeficientes en F consiste en una aplicaci´ on cp que asigna a cada p-s´ımplice σp ∈ Σp (U) una secci´on continua de F sobre |σp | (o sea, cp (σp ) ∈ F(|σp |)). Al conjunto de p-cocadenas de U con coeficientes en F lo denotaremos por C p (U, F). A.2.16 Observaciones. (a) Por definici´on se tiene que def.

C p (U, F) =

 p c : Σp (U) → F(Ui0 ∩ . . . ∩ Uip ) ,

de modo que este conjunto podemos identificarlo de forma natural como sigue: Y C p (U, F) = F(Ui0 ∩ . . . ∩ Uip ) , (i0 ,...,ip )∈I p+1 p p asignando a cada
p-cocadena c ∈ C (U, F) la familia de secciones p c (Ui0 , . . . , Uip ) (i0 ,...,ip )∈I p+1 . En palabras, estamos identificando cada aplicaci´ on cp con el conjunto de todos los valores que toma dicha aplicaci´ on.

59

(b) Dadas dos p-cocadenas de U con coeficientes en F, digamos cp1 y cp2 , definimos su suma como la suma usual de aplicaciones, es decir: (cp1 + cp2 )(σp ) := cp1 (σp ) + cp2 (σp ) , para todo σp ∈ Σp (U). Evidentemente, la suma de dos p-cocadenas es de nuevo una p-cocadena y con esta ley interna se comprueba inmediatamente que C p (U, F) tiene estructura de grupo abeliano (puesto que F es un haz de grupos abelianos en X). A.2.17 Definici´ on. Sea X un espacio topol´ogico, U := {Ui }i∈I un recubrimiento abierto de X y F un haz de grupos abelianos en X. Dado p ∈ Z+ , una p-cocadena alternada es una p-cocadena de U con coeficientes en F, cp , tal que si σp := Ui0 , . . . , Uip ∈ Σp (U), entonces cp (Uiζ(0) , . . . , Uiζ(p) ) = sign(ζ) cp (Ui0 , . . . , Uip ) para toda permutaci´ on ζ del conjutno {0, . . . , p}. A.2.18 Nota. Puesto que las p-cocadenas que nosotros consideramos son todas p-cocadenas alternadas, seguiremos denotando por C p (U, F) al conjunto de las pcocadenas alternadas de U con coeficientes en F (que es claramente un subgrupo del conjunto de las p-cocadenas). A.2.19 Definici´ on. Sea X un espacio topol´ogico, U := {Ui }i∈I un recubrimiento abierto de X y F un haz de grupos abelianos en X. Para cada p ∈ Z+ , el operador coborde ∂ : C p (U, F) → C p+1 (U, F) es la aplicaci´ on que asigna a cada p-cocadena cp ∈ C p (U, F) la (p+1)-cocadena ∂(cp ) ∈ p+1 C (U, F) definida del siguiente modo: ∂(cp )(Ui0 , . . . , Uip+1 ) :=

p+1 X

ˆ i , . . . , Ui ) , (−1)k cp (Ui0 . . . , U p+1 k

(A.1)

k=0

 para todo (p + 1)-s´ımplice Ui0 , . . . , Uip+1 de U. El siguiente lema se demuestra sin dificultad aplicando la definici´on de operador coborde junto con la definici´on de suma de dos p-cocadenas y un peque˜ no c´ alculo que no merece la pena detallar aqu´ı. A.2.20 Lema. Sea X un espacio topol´ogico, U := {Ui }i∈I un recubrimiento abierto de X y F un haz de grupos abelianos en X. Entonces, el operador coborde ∂ es un homomorfismo de grupos y ∂ 2 ≡ ∂ ◦ ∂ = 0. Como consecuencia, para cada p ∈ Z+ la sucesi´on not.

∂

∂

C • (U, F) ≡ . . . −→ C p−1 (U, F) −→ C p (U, F) −→ C p+1 (U, F) −→ . . . es un complejo de grupos abelianos. Con este resulado, estamos en condiciones de definir ya los grupos de cohoˇ molog´ıa de Cech.

60

A.2.21 Definici´ on. Sea X un espacio topol´ogico, U := {Ui }i∈I un recubrimiento abierto de X y F un haz de grupos abelianos en X. Se llama grupo de los p-cociclos de U con coeficientes en F, y lo denotaremos por Z p (U, F), al grupo de los ciclos de grado p del complejo C • (U, F). Es decir, Z p (U, F) := Z p (C • (U, F)) A.2.22 Definici´ on. Sea X un espacio topol´ogico, U := {Ui }i∈I un recubrimiento abierto de X y F un haz de grupos abelianos en X. Se llama grupo de los p-cobordes de U con coeficientes en F, y lo denotaremos por B p (U, F), al grupo de los bordes de grado p del complejo C • (U, F). Es decir, B p (U, F) := B p (C • (U, F)) A.2.23 Nota. Para p = 0, convenimos en poner B 0 (U, F) = (0). A.2.24 Definici´ on. Sea X un espacio topol´ogico, U := {Ui }i∈I un recubrimiento abierto de X y F un haz de grupos abelianos en X. ˇ Se llama p-´esimo grupo de cohomolog´ıa de Cech del recubrimiento U con coeficientes en F, y lo denotaremos por Hp (U, F), al p-´esimo grupo de cohomolog´ıa del complejo C • (U, F). Es decir, Hp (U, F) := Hp (C • (U, F)) = Z p (U, F)/B p (U, F) ˇ A.2.25 Observaci´ on. El 0-´esimo grupo de cohomolog´ıa de Cech del recubrimiento U con coeficientes en F es exactamente el grupo de las secciones globales de F, de forma natural. Es decir, H0 (U, F) = Γ(X, F) ≡ F(X). En efecto, como B 0 (U, F) = (0), entonces por definici´on de grupo de cohomolog´ıa se tiene que H0 (U, F) = Z 0 (U, F). Los 0-cociclos vienen definidos por:
def. def. ∂ Z 0 (U, F) = Z 0 (C • (U, F)) = Ker C 0 (U, F) −→ C 1 (U, F) , de modo que una 0-cocadena c0 pertenece a H0 (U, F) si y s´olo si ∂(c0 ) = 0, def.

lo cual equivale a decir que 0 = ∂(c0 )(Ui , Uj ) = c0 (Uj ) − c0 (Ui ), para todos i, j ∈ I. Es decir, c0 es la 0-cocadena que a cada 0-s´ımplice, o sea, a cada abierto Ui con i ∈ I del recubrimiento U le asigna una misma secci´on, digamos que es una aplicaci´ on constante. Entonces, es obvio que en la intersecci´on de los abiertos, dichas secciones coinciden; luego S la definici´on de haz (ver A.1.8) nos da que existe una u ´nica secci´ on de F en Ui = X que coincide al restringir a cada i∈I

uno de los abiertos con las secciones definidas por la 0-cocadena, pero ´estas son todas las mismas como hemos dicho; entonces la secci´on global es igual a cada una de ellas, de modo que la propia 0-cocadena c0 puede identificarse con dicha secci´ on global, puesto que la 0-cocadena es la aplicaci´on constante a la secci´on global que acabamos de encontrar. A.2.26 Definici´ on. Sea X un espacio topol´ogico, U := {Ui }i∈I un recubrimiento abierto de X y F un haz de grupos abelianos en X. Se dice que F es un haz ac´ıclico con respecto al recubrimiento U si su cohoˇ molog´ıa de Cech respecto del recubrimiento U es nula, es decir, si Hp (U, F) = 0, para todo p ≥ 1.

61

Hasta aqu´ı hemos tratado con los grupos de cohomolog´ıa de un haz con respecto a un recubrimiento del espacio topol´ogico considerado, de modo que dependen del recubrimiento elegido. Lo que hacemos a continuaci´on es definir los grupos de cohomolog´ıa del haz con respecto al propio espacio topol´ogico, es decir, una cohomolog´ıa propia del espacio sin depender del modo en que lo recubrimos, para lo cual deberemos ir “refinando” progresivamente el recubrimiento del espacio que se haya considerado. A.2.27 Definici´ on. Sea X un espacio topol´ogico y U := {Ui }i∈I un recubrimiento abierto de X. Un refinamiento de U es otro recubrimiento abierto de X, digamos U 0 := {Uj0 }j∈J tal que para cada j ∈ J existe un α(j) ∈ I, de modo que Uj0 ⊆ Uα(j) . A la aplicaci´ on α : J → I se le llama aplicaci´ on de refinamiento. Sea X un espacio topol´ ogico, U := {Ui }i∈I un recubrimiento abierto de X y U 0 := {Uj0 }j∈J un refinamiento de U. Dado p ∈ Z+ , a cada p-s´ımplice del refinamiento U 0 podemos asociarle un p-s´ımplice del recubrimiento U por medio de la aplicaci´ on de refinamiento, del siguiente modo: si σp0 := {Uj00 , . . . , Uj0p } ∈ Σp (U 0 ), entonces  α(σp0 ) := Uα(j0 ) , . . . , Uα(jp ) ∈ Σp (U) (Obs´ervese que α(σp0 ) es, efectivamente, un p-s´ımplice de U por la condici´on de refinamiento). Gracias a esto, la aplicaci´ on de refinamiento α permite definir el siguiente homomorfismo de grupos, para cada p ∈ Z+ : α∗ : C p (U, F) −→ cp 7−→

C p (U 0 , F) α∗ (cp ) ,

donde α∗ (cp ) es la p-cocadena de U 0 con coeficientes en F definida por: α∗ (cp )(σp0 ) := cp (α(σp0 ))||σp0 | , para todo p-s´ımplice σp0 de U 0 . Es inmediato ver que α∗ es, efectivamente, un homomorfismo de grupos, en virtud de la definici´on de suma de p-cocadenas. A α∗ se le llama homomorfismo de refinamiento. A.2.28 Observaci´ on. Por un lado, de la propia definici´on de α(σp0 ) con σp0 ∈ Σp (U 0 ); se deduce que que si U 0 = U, entonces el morfismo de refinamiento α∗ se reduce a la identidad. Por otro lado, supongamos que U 00 es ahora un refinamiento de U 0 con aplicaci´ on de refinamiento β. Obs´ervese que U 00 ser´a tambi´en un refinamiento de U con su correspondiente aplicaci´on de refinamiento, digamos γ. Entonces, de la definici´ on dada de homomorfismo de refinamiento se deduce f´acilmente que β ∗ ◦ α∗ = γ ∗ . Aplicando directamente las definiciones, se ve f´acilmente que el homomorfismo α∗ que acabamos de obtener conmuta con el operador coborde ∂, es decir, se verifica que α∗ ◦ ∂ = ∂ ◦ α∗ . O bien, en otras palabras; estamos diciendo que

62

el siguiente diagrama es conutativo, para cada p ∈ Z+ : C p (U, F)

α∗

/ C p (U 0 , F)

∂

 C p+1 (U, F)

∂

 / C p+1 (U 0 , F)

∗

α

Como consecuencia, es inmediato ver que el homomorfismo de refinamiento α∗ transforma p-cociclos (resp. p-cobordes) de U con coeficientes en F en p-cociclos (resp. p-cobordes) de U 0 con coeficientes en F, para cada p ∈ Z+ . Luego, α∗ induce un homomorfismo entre los respectivos grupos cocientes, es decir, un homomorfismo entre los respectivos grupos de cohomolog´ıa, Hp (U, F) → Hp (U 0 , F); que seguiremos denotando por α∗ y seguiremos llamando homomorfismo de refinamiento. A.2.29 Observaci´ on. La aplicaci´on de refinamiento α no es, en general, la u ´nica posible para un mismo refinamiento U 0 de U; sin embargo, el homomorfismo de refinamiento α∗ : Hp (U, F) → Hp (U 0 , F) es independiente de la elecci´on de dicha aplicaci´ on. Sea α e : J → I otra aplicaci´on de refinamiento. Dados un p-cociclo z p ∈ Z p (U, F), entonces hay que ver que α∗ (z p ) − α e∗ (z p ) es un p-coborde de U 0 con coeficientes en F, es decir, tenemos que encontrar una (p − 1)-cocadena cp−1 de U 0 con coeficientes en F tal que ∂(cp−1 ) = α∗ (z p ) − α e∗ (z p ). Pues bien, dicha (p − 1)-cocadena es la que viene definida por: cp−1 (Uj00 , . . . , Uj0p−1 ) :=

p−1 X

(−1)l z p (Uα(j0 ) . . . . , Uα(jl ) , Uαe(jl ) , . . . , Uαe(jp−1 ) )

l=0

para todo (p − 1)-s´ımplice {Uj00 , . . . , Uj0p−1 } de U 0 , como muestra un peque˜ no c´ alculo. Fijado p ∈ Z+ , variando U entre todos los recubrimientos del espacio topol´ ogico X (en donde se tiene una relaci´on de orden por medio de los sucesivos refinamientos que se tomen de cada recubrimiento considerado) y en virtud de la observaci´ on A.2.28, es claro que el conjunto {Hp (U, F)} constituye un sistema inductivo de grupos abelianos junto con los homomorfismos de refinamiento, de modo que es l´ıcito considerar su l´ımite inductivo dando lugar a la siguiente: A.2.30 Definici´ on. Sea X un espacio topol´ogico y F un haz de grupos abeˇ de lianos en X. Dado p ∈ Z+ , se llama p-´esimo grupo de cohomolog´ıa de Cech p X con coeficientes en F, y lo denotaremos por H (X, F); al l´ımite inductivo que hemos descrito antes. Es decir: Hp (X, F) := l´ım Hp (U, F) −→ U

A.2.31 Definici´ on. Sea X un espacio topol´ogico y F un haz de grupos abeliaˇ nos en X. Se dice que F es un haz ac´ıclico si su cohomolog´ıa de Cech en X es p nula, es decir, si H (X, F) = 0, para todo p ≥ 1.

63

A.2.32 Observaciones. (a) En palabras, si U1 , U2 son dos recubrimientos abiertos de X, dados dos elemntos hp1 ∈ Hp (U1 , F) y hp2 ∈ Hp (U2 , F), diremos que est´ an relacionados cuando existe un refinamiento com´ un U 0 de U1 y U2 con α como aplicaci´on de refinamiento tal que α∗ (hp1 ) = α∗ (hp2 ). Es decir, los elementos de cada uno de los grupos de cohomolog´ıa se identifican cuando sean iguales en el grupo de cohomolog´ıa del refinamiento com´ un. (b) Si U es un recubrimiento cualquiera de X, entonces la observaci´on A.2.25 ˇ nos viene a decir que el 0-´esimo grupo de cohomolog´ıa de Cech de U con coeficientes en F es independiente del recubrimiento U escogido, pues hab´ıamos obtenido que H0 (U, F) = F(X). Por lo tanto, podemos escribir directamente H0 (X, F) = F(X), como se deduce inmediatamente. Veamos ahora que a una sucesi´on exacta corta de haces le corresponde de forma natural una sucesi´ on exacta larga de cohomolog´ıa (imponiendo alguna condici´ on topol´ ogica en el espacio X), para lo cual bastar´a con utilizar convenientemente el teorema A.2.13 tras haber probado algunas propiedades functoriales b´ asicas. La primera de ellas es la siguiente: A.2.33 Proposici´ on. Sea X un espacio topol´ogico y U := {Ui }i∈I un recubrimiento abierto de X. Si ϕ : F → F0 es un homomorfismo entre haces de grupos abelianos en X, entonces se tiene inducido de forma natural un homomorfismo de grupos abelianos Cϕ : C p (U, F) → C p (U, F0 ), para todo p ∈ Z+ haciendo conmutativo el siguiente diagrama: ∂ / p+1 C p (U, F) C (U, F) Cϕ

 C p (U, F0 )

Cϕ

∂

 / C p+1 (U, F0 )

Demostraci´ on. Como ϕ : F → F0 es un morfismo de haces de grupos abelianos en X, entonces para cada abierto U ⊆ X se tiene un homomorfismo de grupos abelianos ϕ(U ) : F(U ) → F0 (U ), por definici´on (ver A.1.4). As´ı, si cp es una p-cocadena de U con coeficientes en F, entonces Cϕ(cp ) ser´ a la p-cocadena de U con coeficientes en F0 definida del siguiente modo: Cϕ(cp )(σp ) := ϕ(|σp |)(cp (σp ))

(A.2)

para todo p-s´ımplice σp de U. Con la definici´ on que acabamos de dar, se ve inmediatamente que el diagrama del enunciado es, efectivamente, conmutativo.  Como consecuencia de este resultado, es claro que el morfimo Cϕ transforma p-cociclos (resp. p-cobordes) de U con coeficientes en F en p-cociclos (resp. pcobordes) de U con coeficientes en F0 , para todo p ∈ Z+ y, por ello, podemos dar la siguiente: A.2.34 Proposici´ on. Sea X un espacio topol´ogico y U := {Ui }i∈I un recubrimiento abierto de X. Si ϕ : F → F0 es un homomorfismo entre haces de grupos abelianos en X, entonces se tiene inducido de forma natural

64

1. un morfismo entre los p-cociclos, Zϕ : Z p (U, F) → Z p (U, F0 ), para todo p ∈ Z+ . 2. un morfismo entre los p-cobordes, Bϕ : B p (U, F) → B p (U, F0 ), para todo p ∈ Z+ . 3. un morfismo entre los grupos de cohomolog´ıa, Hϕ : Hp (U, F) → Hp (U, F0 ), para todo p ∈ Z+ . Con lo que finalmente, podemos dar ya el resultado buscado: A.2.35 Teorema. Sea X un espacio topol´ogico paracompacto. p ι Si 0 → F1 → F2 → F3 → 0 es una sucesi´on exacta corta de haces de grupos abelianos en X, entonces se tiene inducida de forma natural una sucesi´on exacta ˇ larga entre los grupos de cohomolog´ıa de Cech de X del siguiente modo: ...

→ δ

→

δ

Hp (X, F1 ) → Hp (X, F2 ) → Hp (X, F3 ) → Hp+1 (X, F1 ) → Hp+1 (X, F2 ) → Hp+1 (X, F3 ) → . . .

Al morfismo δ se le llama morfismo de conexi´on (´o “connecting”). Demostraci´ on. Para una detallada demostraci´on puede consultarse [8] (aunque aplicando las definiciones puede construirse f´acilmente una sucesi´on exacta corta de complejos con la que aplicar el teorema general dado en A.2.13, obteniendo una sucesi´ on exacta de grupos de cohomolog´ıa, que es la que se busca utilizando la condici´ on de paracompacidad de X). Aqu´ı nos limitamos a definir cu´al ha de ser el morfismo de conexi´ on δ (pues, en virtud de los razonamientos previos, los morfismos del tipo Hp (X, F1 ) → Hp (X, F2 ) y Hp (X, F2 ) → Hp (X, F3 ) est´an completamente definidos, para cada p ≥ 0). El connecting que vamos a definir, por simplicidad en la exposici´on y porque al aplicarlo al caso que nos ocupa de las superficies de Riemann abiertas es el que utilizaremos en realidad, es el que relaciona las secciones globales de F3 y el primer grupo de cohomolog´ıa de F1 : δ : H0 (X, F3 ) = F3 (X) −→

H1 (X, F1 )

Sea f3 ∈ F3 (X). Como el morfismo p : F2 → F3 es epiyectivo por hip´otesis, por definici´ on quiere decir que dicho morfismo es epiyectivo en fibra, luego existe un recubrimiento U := {Ui }i∈I de X y una 0-cocadena c0F2 de U con coeficientes en F2 tal que p(c0F2 (Ui )) = f3 |Ui , para todo i ∈ I. Es evidente que en Ui ∩ Uj es p(c0F2 (Ui ) − c0F2 (Uj )) = 0, para todos i, j ∈ I; lo cual quiere decir que c0F2 (Ui ) − c0F2 (Uj ) ∈ Ker p en Ui ∩ Uj , para todos i, j ∈ I. Por la exactitud de la sucesi´on de haces de que disponemos por hip´otesis, 1 1 deducimos que existe una secci´on fij ∈ F1 (Ui ∩ Uj ) tal que ι(fij ) = c0F2 (Uj ) − c0F2 (Ui ), para cada i, j ∈ I. 1 1 1 Ahora, en Ui ∩ Uj ∩ Uk se tiene claramente que ι(fij + fjk − fik ) = 0 y por 1 1 1 la inyectividad del morfismo ι se deduce que fij + fjk − fik = 0, para todos 1 i, j, k ∈ I. El conjunto de secciones {fij }i,j∈I nos define de forma natural una 1-cocadena de U con coeficientes en F1 , que llamaremos zF1 1 y viene dada por 1 zF1 1 (Ui ∩Uj ) := fij , para todos i, j ∈ I. Por el resultado que acabamos de obtener (y por la definici´ on del operador coborde) es claro que esta 1-cocadena es en 65

realidad un 1-cociclo de U con coeficientes en F1 , es decir, zF1 1 ∈ Z 1 (U, F1 ). Tomando su clase de equivalencia m´odulo los 1-cobordes de U con coeficientes en F1 como definici´ on de la imagen del elemento f3 ∈ F(X), el morfismo de conexi´ on δ ha quedado definido (comprob´andose que la construcci´on descrita no depende de las elecciones hechas).  A.2.36 Observaci´ on. Las superficies de Riemann son espacios topol´ogicos paracompactos, luego el teorema anterior es aplicable en ellas. Observemos, sin embargo, que la definici´on de los grupos de cohomolog´ıa de ˇ Cech de un espacio topol´ ogico X no es operativa, pues en general no es sencillo calcular un l´ımite inductivo. Adem´as, es natural preguntarse bajo qu´e condiciones la cohomolog´ıa de un espacio topol´ogico X pueda calcularse directamente por medio de un recubrimiento abierto suyo. Los recubrimientos que nos permiten hacer esto, se llamar´ an recubrimientos de Leray, ya que ser´an los recubrimientos que cumplen las hip´ otesis del llamado Teorema de Leray, que vamos a enunciar a continuaci´ on. Recordando la definici´ on de particiones de la unidad (ver C.2.1), la definici´on que damos ahora, representa en cierto sentido una generalizaci´onla suya cuando pasamos a utilzar haces: A.2.37 Definici´ on. Sea X un espacio topol´ogico. Un haz fino en X es un haz F de grupos abelianos en X tal que para cada abierto U ⊆ X, cada secci´on s ∈ F(U ) y cada recubrimiento abierto localmente finito de U , digamos {Wi }i∈I siendo cada Wi un subconjunto abierto de U ; existe P una secci´on si ∈ F(Wi ) nula fuera de Wi para cada i ∈ I y de modo que s = si . i∈I

A.2.38 Ejemplos. (a) Si X es una variedad diferenciable, entonces el haz de las funciones de clase C ∞ con valores complejos es un haz fino en X; como consecuencia de que en una variedad diferenciable existen particiones de la unidad, como se sabe.

a

(b) Si X es una variedad diferenciable, entonces el haz (0,1) es tambi´en un haz fino en X por el mismo motivo expuesto en el ejemplo anterior. (c) Sea X un espacio topol´ ogico y F un haz de grupos abelianos en X. Si todas las secciones de F se anulan salvo en un conjunto discreto de puntos, entonces F es un haz fino en X. Los siguientes resultados se han utilizado fuertemente en los argumentos del presente trabajo y su demostraci´on detallada puede encontrarse en [8]. A.2.39 Lema. Sea X un espacio topol´ogico. Los haces finos sobre X son ac´ıclicos con respecto a cualquier recubrimiento abierto localmente finito de X. Es decir, si U := {Ui }i∈I un recubrimiento abierto localmente finito de X y F un haz fino en X, entonces Hp (U, F) = 0, para todo p ≥ 1. En particular, si X es un espacio paracompacto, entonces los haces finos sobre X son ac´ıclicos; esto es, Hp (X, F) = 0, para todo p ≥ 1. A.2.40 Teorema (de Leray). Sea X un espacio topol´ogico y F un haz de grupos abelianos en X. Si U := {Ui }i∈I es un recubrimiento abierto de X tal que F

66

es un haz ac´ıclico con respecto al soporte de cualquier q-s´ımplice de U, esto es, Hp (|σq |, F|σq ) = 0, para todos p, q ∈ Z+ y todo σq ∈ Σq (U ); entonces Hp (X, F) = Hp (U, F) para todo p ≥ 1. A un tal recubrimiento U se le llamar´a recubrimiento de Leray.

67

B.

Elementos de An´ alisis Funcional

Aqu´ı pretendemos dar conceptos b´asicos y demostrar algunos resultados elementales de An´ alisis Funcional que se han manejado en los razonamientos previos aplic´ andolos al caso que nos ocupa de las superficies de Riemann.

B.1.

Teor´ıa General

En t´erminos muy generales, podr´ıamos decir que el An´alisis Funcional trata del estudio de los “espacios de funciones”. Estos espacios poseen una estructura algebraica o geom´etrica de espacio vectorial y una estructura topol´ogica, las cuales est´ an bien relacionadas entre s´ı. Estos espacios funcionales son, en su mayor parte, de dimensi´ on infinita; de manera que no todo lo conocido de ´algebra lineal es aplicable. El problema fundamental que se plantea es la extensi´on de las formas lineales definidas sobre un subespacio vectorial a todo el espacio ambiente. Para el caso de dimensi´on finita esto estar´ıa resuelto por dualidad, sin embargo, para el caso infinito no es tan inmediato. Si adem´as incluimos la condici´ on topol´ ogica de que dicha forma lineal deba ser tambi´en continua, se empeora el problema. El Teorema de Hahn-Banach da la respuesta definitiva a esta pregunta representando la pieza clave en el estudio de la dualidad de los espacios normados y el mismo teorema tiene una versi´on geom´etrica equivalente seg´ un la cual tenemos asegurada la existencia de un hiperplano que separa dos subconjuntos convexos dados. B.1.1 Definici´ on. Sea X un conjunto cualquiera. Una distancia en X es una aplicaci´ on d : X × X −→ R+ (x, y) 7−→ d(x, y) verificando las siguientes propiedades: 1. Dados x, y ∈ X, d(x, y) = 0 si y s´olo si x = y 2. d(x, y) = d(y, x), para todos x, y ∈ X 3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), para todos x, y, z ∈ X A la pareja (X, d) formada por un conjunto X y una distancia d en ´el, se le llamar´ a espacio m´etrico. B.1.2 Definici´ on. Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo k. Una norma en E es una aplicaci´ on k·k : E −→ R+ e 7−→ kek verificando las siguientes propiedades: 1. Dado e ∈ E, kek = 0 si y s´olo si e = 0 2. kλek = |λ| kek, para todo λ ∈ k y todo e ∈ E 3. ke1 + e2 k ≤ ke1 k + ke2 k, para todos e1 , e2 ∈ E A la pareja (E, k·k) formada por un k-espacio vectorial E y una norma k·k en ´el se le llamar´ a espacio normado. 68

B.1.3 Nota. Por simplificar la notaci´on, cuando la norma del espacio vectorial se d´e por supuesta (y no haya peligro de confusi´on), a un espacio normado (E, k·k) lo denotaremos simplemente por E. B.1.4 Definici´ on. Sea T : E → F una aplicaci´on lineal entre los espacios normados (E, k·kE ), (F, k·kF ). Se dice que T es continua si existe una constante M > 0 tal que kT (x)kF ≤ M kxkE , para todo x ∈ E. Como bien es sabido, una norma define de forma natural una distancia; por tanto, todo espacio normado es un espacio m´etrico y como tal se tiene definida en ´el una topolog´ıa, que es aquella que tiene como base de abiertos las bolas con respecto a la distancia que define la norma fijada. En este sentido, es l´ıcito hablar de conceptos de l´ımites, convergencia, etc. y podemos dar la siguiente: B.1.5 Definici´ on. Un espacio de Banach es un espacio normado y completo con respecto a la distancia definida por la norma fijada en dicho espacio. B.1.6 Definici´ on. Un conjunto X se dice que es un espacio de Baire si se satisface la siguiente condici´ on: dada cualquier familia numerable de conjuntos cerrados de X todos ellos con interior vac´ıo en X, digamos {Fn }n∈N ; entonces S su uni´ on Fn tambi´en tiene interior vac´ıo en X. n∈N

En palabras, estamos diciendo que un conjunto X es un espacio de Baire cuando no puede expresarse como uni´on numerable de cerrados con interior vac´ıo. Estos cerrados pueden interpretarse como “puntos” del espacio (en un sentido natural si pensamos en el propio concepto de “punto”); de manera que ser un espacio de Baire significa que dicho espacio es lo suficientemente grande como para no poder construirse numerablemente reuniendo este tipo de “puntos” del espacio. El siguiente resultado nos dice en particular que los espacios de Banach son espacios de Baire, lo cual permite demostrar propiedades importantes. B.1.7 Teorema (de la categor´ıa de Baire). Todo espacio m´etrico completo es un espacio de Baire. Su demostraci´ on no supone mucha dificultad, pero no la detallamos aqu´ı remitiendo a la bibliograf´ıa (ver [10] ´o tambi´en [9]) y continuar as´ı con los resultados referentes a los espacios de Banach y espacios normados propiamente dichos. Uno de los teoremas b´ asicos que se estudian en An´alisis Funcional es el siguiente, cuya demostraci´ on puede verse en [9]: B.1.8 Teorema (de la Aplicaci´on Abierta). Sea ϕ : E → F una aplicaci´on lineal y continua entre espacios de Banach. Si ϕ es epiyectiva, entonces ϕ es abierta. En particular, si ϕ es un isomorfismo algebraico, entonces ϕ es un homeomorfismo. B.1.9 Definici´ on. Sean X, Y dos conjuntos cualesquiera y f : X → Y una aplicaci´ on entre ellos. La gr´ afica de f se define como el siguiente subconjunto de X × Y : Γf := {(x, f (x)) ∈ X × Y : x ∈ X}

69

Cuando X e Y tienen alguna estructura adicional, es frecuente que ciertas propiedades de la funci´ on f puedan caracterizarse en t´erminos de su gr´afica. Por ejemplo, cuando X e Y son espacios vectoriales, es f´acil comprobar que la aplicaci´ on f es lineal si y s´ olo si su gr´afica Γf es un subespacio vectorial de X ×Y. Supongamos que X e Y son espacios topol´ogicos. Seg´ un la propia definici´on, la gr´ afica de una aplicaci´ on representa a ´esta geom´etricamente en la referencia natural del producto cartesiano, de manera que es l´ıcito relacionar la continuidad de la aplicaci´ on f considerada con su gr´afica, pues dependiendo del aspecto que presente la gr´ afica, podremos deducir propiedades de la propia aplicaci´on. Sin embargo, se necesitan algunas condiciones topol´ogicas adicionales sobre los espacios para dar una caracterizaci´on satisfactoria sobre la continuidad de la aplicaci´ on con respecto a su gr´afica. Supongamos que Y es un espacio Hausdorff. Si f : X → Y es continua, entonces un sencillo razonamiento muestra que Γf es un cerrado de X × Y . La principal consecuencia del Teorema de la Aplicaci´ on Abierta es el siguiente teorema, que nos da la caracterizaci´on definitiva para la continuidad de una aplicaci´ on en t´erminos de su gr´afica: (su demostraci´on puede encontrarse tambi´en en [9]). B.1.10 Teorema (de la Gr´ afica Cerrada). Sea ϕ : E → F una aplicaci´on lineal entre espacios de Banach. La condici´on necesaria y suficiente para que ϕ sea continua es que su gr´ afica Γϕ sea cerrada en E × F . Como dijimos al principio, uno de los problemas que se plantea el An´alisis Funcional consiste en el estudio de la dualidad de los espacios normados, para asegurar la existencia de formas lineales continuas. El cl´asico Teorema de Tietze nos asegura que toda funci´ on continua definida sobre un subconjunto cerrado de un espacio normal puede extenderse globlalmente como funci´on continua. Esto podr´ıa ayudarnos en nuestra tarea, sin embargo, la extensi´on que se consiguiera de una aplicaci´ on lineal y continua solo tiene asegurada la continuidad y no la linealidad. Por un argumento de inducci´on trasfinita aplicando el Lema de Zorn, la existencia de formas lineales que extienden a formas lineales de subespacios, viene dada por la siguiente: B.1.11 Proposici´ on. Sean E, F espacios normados cualesquiera sobre un cuerpo k tales que F ⊆ E. Dada una forma lineal ω ∈ F ∗ , existe una forma lineal Ω ∈ E ∗ prolongando a ω, es decir, Ω|F = ω. El teorema que sigue es el que da la respuesta al problema que venimos planteando (remitimos a la bibliograf´ıa para su demostraci´on, v´ease [9]). B.1.12 Teorema (de Hahn-Banach, versi´on anal´ıtica). Sea E un espacio normado cualquiera y F ⊂ E un subespacio propio suyo. Dada una forma lineal ω ∈ F ∗ tal que para todo x ∈ F es |ω(x)| ≤ kxk, existe una forma lineal Ω ∈ E ∗ prolongando a ω y tal que para todo x ∈ E es |Ω(x)| ≤ kxk. B.1.13 Observaci´ on. Hay que decir que la forma Ω global que se obtiene en el teorema no es u ´nica y adem´ as el teorema anterior no es constructivo (pues no se sabe cu´ al es expl´ıcitamente la forma Ω de la que se demuestra su existencia). Las

70

versiones geom´etricas del teorema de Hahn-Banach plantean de forma natural la relaci´ on entre la unicidad de la extensi´on y la geometr´ıa del espacio. De todas formas, el Teorema de Hahn-Banach nos dice que los duales (topol´ ogicos) de los espacios normados son no vac´ıos (pues nos dice que existen formas lineales continuas y adem´as de norma 1) y adem´as lo suficientemente grandes como para dar informaci´on estructural sobre ellos. B.1.14 Nota. Usualmente, en la notaci´on se distingue el dual topol´ ogico de un espacio vectorial del dual algebraico, que denotaremos E 0 y E ∗ , respectivamente. El dual topol´ ogico consiste en las formas lineales que adem´as son continuas, mientras que el dual algebraico se limita a considerar las formas lineales sin ninguna condici´ on a˜ nadida. Para el caso de dimensi´on finita, toda forma lineal es continua y por ello no hay problema; pero para el caso de dimensi´on infinita no es as´ı, de ah´ı la importancia del teorema anterior. B.1.15 Corolario. Sea E un espacio normado cualquiera. Existe una forma lineal continua ω ∈ E 0 y un punto x0 ∈ E tales que: 1. ω(y) ≤ kyk, para todo y ∈ E 2. ω(x0 ) = kx0 k A una forma lineal de este tipo se le llamar´a forma lineal normante. Demostraci´ on. Dado un vector cualquiera del espacio, digamos x0 ∈ E; consideramos el subespacio que lo genera, M :=< x0 > y sobre ´este definimos la siguiente forma lineal: ω:

M λx0

−→ 7−→

k ω(λx0 ) := λ kx0 k , para todo λ ∈ k

Obs´ervese que la forma ω que acabamos de definir cumple las hip´otesis del Teorema de Hahn-Banach de forma trivial, luego aplicando el mencionado teorema sabemos que existe una forma lineal continua en todo el espacio, digamos Ω ∈ E 0 ; prolongando a ω y dominada por la norma, esto es, tal que Ω(y) ≤ kyk, para todo y ∈ E. Adem´ as, como x0 ∈ M y Ω prolonga a ω, entonces se tiene def. que Ω(x0 ) = Ω|M (x0 ) = ω(x0 ) = kx0 k. Todo ello nos permite concluir.  B.1.16 Corolario. Sean E un espacio normado cualquiera y x0 , x1 ∈ E puntos suyos. Si ω(x0 ) = ω(x1 ), para toda forma ω ∈ E 0 ; entonces x0 = x1 . En palabras, las formas lineales continuas de un espacio normado separan puntos. En particular, para que un vector de un espacio normado sea cero basta con que sea cero al aplicarle una forma lineal continua cualquiera. B.1.17 Corolario. Sea E un espacio normado cualquiera, entonces para todo x ∈ E se verifica que: kxk = sup |ω(x)| ω∈BE 0

Demostraci´ on. Por un lado, sea ω0 una forma lineal normante como la que nos da el corolario B.1.15 (la cual tiene norma 1 como se deduce de las propiedades del mencionado corolario), entonces se tiene que kxk = |ω0 (x)| ≤ sup |ω(x)|. ω∈BE 0

71

Por otro lado, dada la forma lineal continua ω ∈ BE 0 , como cualquier otra aplicaci´ on lineal continua se tiene que |ω(x)| ≤ kωk · kxk, luego sup |ω(x)| ≤ ω∈BE 0

kxk. Las dos desigualdades que acabamos de obtener nos permiten concluir.



El problema puede plantearse geom´etricamente en el siguiente sentido: el cl´ asico Lema de Urysohn nos dice que las funciones continuas separan cerrados (disjuntos) de un espacio normal, de modo que este resultado da una motivaci´on para plantear geom´etricamente la existencia de una forma lineal y continua, que ser´ıa un hiperplano separando dos subconjuntos convexos (esto u ´ltimo es una hip´ otesis t´ecnica para que la “separaci´on” funcione bien). En este sentido aparece la versi´ on geom´etrica del Teorema de Hahn-Banach. (de nuevo, para los resultados que siguen a continuaci´on remitimos a la bibliograf´ıa pudi´endose consultar [9] ´ o [10]) B.1.18 Definici´ on. Sea E un k-espacio vectorial. Un subconjunto A de E se dice que es convexo si para todos a, b ∈ A y todo t ∈ [0, 1], el vector ta + (1 − t)b pertenece a A. B.1.19 Ejemplo. Sea (E, k·k) un espacio normado. Dado r > 0, consideremos la bola de radio r centrada en el origen, o sea, B(0, r) := {y ∈ E : kyk < r}. Decimos que esta bola es un subconjunto convexo de E. En efecto, sean y1 , y2 ∈ B(0, r), entonces ky1 k , ky2 k < r. Dado t ∈ [0, 1], tomamos la combinaci´on ty1 + (1 − t)y2 . Es inmediato, entonces que k(ty1 + (1 − t)y2 )k < r y, por tanto, ty1 + (1 − t)y2 ∈ B(0, r); como se quer´ıa demostrar. Obs´ervese que cualquier otra bola de E se obtiene trasladando la bola unidad (debido a la continuidad de las aplicaciones naturales del espacio vectorial), luego dados r > 0 y x ∈ E, podemos decir que la bola B(x, r) es un subconjunto convexo de E. B.1.20 Definici´ on. Sea E un espacio normado y sean A, B subconjuntos convexos suyos. Se dice que un hiperplano H := {x ∈ E : ω(x) = α} con ω ∈ E ∗ no id´enticamente nula y α ∈ R; separa A y B en sentido estricto si existe  > 0 tal que: 1. ω(x) ≤ α − , para todo x ∈ A. 2. ω(x) ≥ α + , para todo x ∈ B. B.1.21 Teorema (de Hahn-Banach, versi´on geom´etrica). Sea E un espacio normado cualquiera y sean A, B dos subconjuntos convexos, no vac´ıos y disjuntos de E. Si A es cerrado y B es compacto, entonces existe un hiperplano cerrado, digamos H := {x ∈ E : ω(x) = α} con ω ∈ E ∗ no id´enticamente nula y α ∈ R; tal que separa A y B en sentido estricto. B.1.22 Corolario. Sea E un espacio normado cualquiera y F ⊂ E un subespacio propio suyo. Dado x0 ∈ E rF existe una aplicaci´on lineal continua ω ∈ E 0 tal que ω|F = 0 y ω(x0 ) = d(x0 , F ). Demostraci´ on. Dado x0 ∈ E rF , aplicando el teorema anterior al tomar A := F y B := {x0 } resulta que existe un hiperplano cerrado separando F y {x0 } en sentido estricto, es decir, existe una forma lineal y continua ω ∈ E 0 no 72

id´enticamente nula, de modo que para alg´ un α ∈ R, el hiperplano de ecuaci´on ω = α separa a F y {x0 } en sentido estricto. Como consecuencia se tiene que: ω(x) < α < ω(x0 ) , para todo x ∈ F . Se deduce, por tanto, que ω(x) = 0, para todo x ∈ F , ya que λω(x) < α, para todo λ ∈ R y todo x ∈ F .  B.1.23 Observaci´ on. El corolario que acabamos de probar suele utilizarse para cuando queremos demostrar que un subespacio vectorial de un espacio vectorial normado es denso. El razonamiento consiste en considerar una forma lineal y continua sobre E, digamos ω; tal que ω = 0 sobre dicho subespacio, probando despu´es que ω es id´enticamente nula sobre E.

B.2.

Espacios localmente convexos

A veces, en un espacio vectorial necesitamos una noci´on de proximidad y para tenerla es necesario definir una topolog´ıa sobre dicho espacio. Puesto que el espacio vectorial ya tiene de por s´ı una estructura algebraica por definici´on, la estructura topol´ ogica (la topolog´ıa) que le a˜ nadamos deber´a ser compatible (en el sentido natural) con dicha estructura algebraica. Damos as´ı, la siguiente: B.2.1 Definici´ on. Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo k, dotado de una cierta topolog´ıa T . Se dice que (E, T ) es un espacio vectorial topol´ogico (abreviadamente e.v.t.) si las aplicaciones naturales: +: E×E (e, e0 )

−→ 7−→

·: k×E (λ, e)

E e + e0

−→ 7−→

E λ·e

son continuas (considerando en los conjuntos E × E y k × E las topolog´ıas producto respectivas). B.2.2 Observaci´ on. De la definici´on de e.v.t. se deduce que si U es un abierto de E, entonces a + U y λU son tambi´en abiertos de E, para todo a ∈ E y todo λ ∈ k. En particular, esto nos quiere decir que salvo una traslaci´on siempre podemos suponer que los abiertos considerados son entornos del origen del espacio vectorial, lo cual facilita los razonamientos. Obs´ervese que en la definici´on de e.v.t. se considera una topolog´ıa T arbitraria. Ahora bien, en el apartado anterior hemos tratado con los espacios normados, que son espacios topol´ogicos cuya topolog´ıa viene definida a trav´es de la norma considerada en el espacio, como ya explicamos. Esta norma, hace adem´ as que las aplicaciones naturales del espacio vectorial (la suma de vectores y el producto por escalar) sean continuas. Es decir, todo espacio normado es un e.v.t. B.2.3 Nota. En los espacios normados, adem´as de la noci´on de proximidad, disponemos de una herramienta para “medir” sus vectores: la norma; que es la que nos permite a su vez, determinar cu´an pr´oximos est´an dichos vectores A continuaci´ on, vamos a considerar una generalizaci´on de los espacios normados, de manera que sigamos obteniendo espacios vectoriales topol´ogicos. Para 73

ello, la topolog´ıa que se va a considerar en el espacio vectorial, vendr´a dada por una familia de seminormas. Obtendremos as´ı, los llamados espacios localmente convexos. B.2.4 Definici´ on. Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo k. Una seminorma en E es una aplicaci´ on p: E e

−→ 7−→

R+ p(e)

verificando las siguientes propiedades: 1. Si e ∈ E con e = 0, entonces p(e) = 0 2. p(λe) = |λ| p(e), para todo λ ∈ k y todo e ∈ E 3. p(e1 + e2 ) ≤ p(e1 ) + p(e2 ), para todos e1 , e2 ∈ E A la pareja (E, p) formada por un k-espacio vectorial E y una seminorma p en ´el se le llamar´ a espacio seminormado. B.2.5 Observaciones. (a) Sea E un k-espacio vectorial. Dada una seminorma p en E, se tiene inducida de forma natural una pseudodistancia en E, digamos d definida como d(x, y) := p(x − y), para todos x, y ∈ E. Obs´ervese que no es una distancia propiamente dicha porque decir que d(x, y) = 0 no implica que los puntos x, y ∈ E sean iguales, por la definici´on de seminorma.  Ahora bien, el conjunto de bolas B(x, r) := {y ∈ E : p(x − y) < r} r∈R+ , constituye una base de entornos abiertos para cada x ∈ E; obteniendo as´ı una topolog´ıa natural para E de forma an´aloga a como se tiene en un espacio normado (´ o en un espacio m´etrico, en general). (b) Los teoremas de Hahn-Banach y sus consecuencias, que hemos mencionado en el apartado anterior siguen siendo ciertas para el caso en que los espacios vectoriales que se consideran tienen una topolog´ıa definida a trav´es de una seminorma, en lugar de hacerlo con una norma. (c) Sea (E, p) un espacio seminormado. Al igual que se hizo en el ejemplo B.1.19, dados r > 0 y x ∈ E, la bola B(x, r) := {y ∈ E : p(x − y) < r} es un subconjunto convexo de E. Ahora, dado un espacio vectorial E y una familia de seminormas definidas en ´el, digamos {pi }i∈I , vamos a ver de qu´e manera podemos dotar de una buena topolog´ıa al espacio E. Para cada x0 ∈ E, una base de entornos abiertos para este punto ser´an los siguientes subconjuntos: {y ∈ E : m´ ax{pi1 (x0 − y), . . . , pik (x0 − y) < } , al variar  en (0, +∞) y {pi1 , . . . , pik } entre los subconjuntos finitos de {pi }i∈I . Puede comprobarse que, efectivamente, estos subconjuntos constituyen base para una topolog´ıa por abiertos en E. Adem´as, de la propia definici´on se deduce que con esta topolog´ıa, las operaciones naturales del espacio vectorial son continuas (los detalles para estas cuestiones pueden encontrarse en [9]). Luego, hemos construido un espacio vectorial topol´ogico que adem´as es localmente 74

convexo, es decir, cada punto de E tiene un entorno que es localmente convexo (en virtud de la observaci´ on (c) de B.2.5). Teniendo en cuenta lo que acabamos de decir y la observaci´on B.2.2, damos la siguiente: B.2.6 Definici´ on. Un espacio localmente convexo (abreviadamente e.l.c.) es un espacio vectorial topol´ ogico E cuya topolog´ıa est´a definida por una familia {pi }i∈ de seminormas en el siguiente sentido: una base de entornos de 0 ∈ E est´ a formada por los conjuntos del tipo: {y ∈ E : m´ax{pi1 (y), . . . , pik (y) < } , al variar  en (0, +∞) y {pi1 , . . . , pik } entre los subconjuntos finitos de {pi }i∈I . B.2.7 Ejemplo. Sea U un abierto de C. Entonces O(U ) es un espacio localmente convexo. En efecto, como se explica en C.1 en O(U ) tenemos definida una topolog´ıa a trav´es de las seminormas {pK } (las cuales est´an definidas por pK (f ) := m´ ax|f (z)|, para toda f ∈ O(U )), haciendo variar K entre los subconz∈K

juntos compactos de U (tomando como base de abiertos, las bolas adecuadas con la correspondiente pseudodistancia) y dicha topolog´ıa recibe el nombre de topolog´ıa de la convergencia compacta. Disponiendo de la familia de seminormas {pK }(K compacto de U) , podemos definir en O(U ) la topolog´ıa correspondiente que hemos descrito arriba, de modo que es sencillo comprobar (aplicando directamente las definiciones de cada topolog´ıa) que la topolog´ıa de las seminormas es exactamente la topolog´ıa de la convergencia compacta. Luego, O(U ) es un espacio localmente convexo. Obs´ervese adem´ as, que la misma topolog´ıa est´a definida por una familia numerable adecuada de seminormas. Esto es as´ı, porque dado el abierto U ⊂ C, sabemos de An´ alisis elemental que exite una sucesi´on (Kn ) de subconjuntos ∞ ◦ S compactos de U tal que U = Kn y Kn ⊆ K n+1 , para todo n ∈ N. Pues bien, n=1

la familia numerable {pKn }n∈N define la misma topolog´ıa, como se ve f´acilmente. En definitiva, O(U ) es un espacio localmente convexo y numerable. B.2.8 Definici´ on. Sea (X, T ) un espacio topol´ogico. Si en X existe una distancia d tal que la topolog´ıa Td que induce es la misma que la topolog´ıa T de que dispone ya el espacio X, entonces se dice que el espacio X es metrizable. La demostraci´ on de la siguiente proposici´on no muestra especial dificultad y no lo detallamos aqu´ı. B.2.9 Proposici´ on. Sea X un conjunto cualquiera. Para cada n ∈ N, sea dn una pseudodistancia en X, de modo que si x, y ∈ X con x 6= y, entonces existe n ∈ N tal que dn (x, y) > 0. ∞ P 1 dn (x,y) La funci´ on d : X × X → R+ definida por d(x, y) := 2n 1+dn (x,y) , para n=1

todos x, y ∈ X es una distancia en X. Adem´ as, la topolog´ıa Td que define esta distancia es exactamente la topolog´ıa Tdn que define el conjunto de pseudodistancias consideradas. En particular, podemos aplicar este resultado al caso que estamos tratando. Sea E un espacio localmente convexo cuya topolog´ıa viene definida por una 75

familia numerable de seminormas, digamos {pn }n∈N . En tal caso, es f´acil ver que E es un espacio metrizable, pues basta con definir la distancia an´aloga a la que da la proposici´ on anterior (observando que las seminormas inducen pseudodistancias, como dijimos en B.2.5): d(x, y) :=

∞ X 1 pn (x − y) , para todos x, y ∈ E 2n 1 + pn (x − y) n=1

B.2.10 Observaci´ on. Puede comprobarse que el rec´ıproco de la afirmaci´on anterior tambi´en es cierto, esto es, si E es un espacio localmente convexo metrizable, entonces su topolog´ıa viene definida por una familia numerable de seminormas. Si la topolog´ıa del e.l.c. E viene dada por la familia de seminormas {pi }i∈I y d es la distancia que define la misma topolog´ıa por hip´otesis, entonces para cada n ∈ N tomamos las bolas de radio n1 con respecto a dicha distancia y as´ı, para cada seminorma p1 , p2 , . . .; tomamos estas bolas obteniendo la familia numerable como se quer´ıa. B.2.11 Ejemplo. Sea U un abierto de C. En el ejemplo B.2.7, hab´ıamos visto que O(U ) es un espacio localmente convexo cuya topolog´ıa viene dada por una familia numerable de seminormas, luego en virtud de lo que acabamos de decir, resulta que O(U ) es un espacio localmente convexo y metrizable. B.2.12 Definici´ on. Un espacio de Fr´echet es un espacio localmente convexo, metrizable y completo. B.2.13 Observaci´ on. Por definici´on, un espacio de Fr´echet es en particular un espacio m´etrico y completo. Como consecuencia puede aplicarse el Teorema de Baire y con ello, el Teorema de la Aplicaci´ on Abierta de Banach (ver B.1.8) es generalizable para el caso de los espacios de Fr´echet. En este sentido, teniendo en cuenta la observaci´on (b) de B.2.5 resulta que toda la teor´ıa general sobre espacios normados y espacios de Banach que se ha expuesto en la secci´ on anterior de este ap´endice, es generalizable para espacios de Fr´echet. B.2.14 Ejemplos. (a) Sea U un abierto de C. En virtud del Teorema I de Weierstrass (ver C.1.8), sabemos que O(U ) es un espacio completo respecto a la topolog´ıa de la convergencia compacta. En el ejemplo B.2.7 hab´ıamos hecho notar que esta topolog´ıa es la misma que la que define directamente la familia de seminormas {pK }(K compacto de U) , luego O(U ) tambi´en es un espacio completo como espacio localmente convexo. Adem´as, es metrizable por el ejemplo B.2.11. En definitiva, O(U ) es un espacio de Fr´echet. B.2.15 Observaci´ on. Sea V una superficie de Riemann cualquiera. Si U es un abierto coordenado suyo, sabemos que se identifica con un abierto del plano complejo; luego por medio de esta identificaci´on podemos afirmar tambi´en que O(U ) es un espacio de Fr´echet, donde O denota aqu´ı el haz de funciones holomorfas sobre la superficie de Riemann considerada. (b) Sea V una superficie de Riemann cualquiera. Sobre el espacio de sus funciones holomorfas, O(V) se tiene la topolog´ıa usual de la convergencia compacta 76

(como se hace notar en C.1.1). Vamos a dar una nueva construcci´on de esta topolog´ıa. Como V es una superficie de Riemann, el Teorema de Rad´ o (ver C.2.4) nos permite considerar un recubrimiento finito ´o numerable de V por discos coordenados {Wj }j∈J . Para cada j ∈ J, llamaremos Kj a W j (que es un subconjunto compacto de V). Dado α := (α1 , α2 ) ∈ (Z+ )2 , denotaremos por Dα al operador de derivaci´on definido por ∂ α1 +α2 f Dα f := α2 , 1 ∂xα j ∂yj para toda funci´ on f ∈ C ∞ (V), y cada j ∈ J; siendo zj := xj + iyj una coordenada en alg´ un entorno de Kj . As´ı, en C ∞ (V) consideramos la familia de seminormas {pj,α }j∈J,α∈(Z+ )2 definidas por pj,α (f ) := m´ax {|Dα f (q)|} , q∈Kj

para cada j ∈ J, cada α ∈ (Z ) y cada f ∈ C ∞ (V). + 2

Esta familia de seminormas dota a C ∞ (V) de estructura de espacio localmente convexo. Adem´ as, como la familia de seminormas es numerable, dicho espacio es metrizable (por lo que hemos explicado anteriormente). Por la propia definici´ on de esta topolog´ıa, es claro que el espacio C ∞ (V) es completo. En definitiva, C ∞ (V) es un espacio de Fr´echet. A la topolog´ıa que acabamos de construir sobre C ∞ (V) se le llama topolog´ıa de la convergencia uniforme de las funciones y de todas sus derivadas en compactos de V. Y es inmediato que su restricci´on al espacio O(V) es precisamente la topolog´ıa usual de la convergencia compacta de que ya dispon´ıamos.

a

B.2.16 Observaci´ on. Consideremos el espacio (0,1) (V) (recordar 2.3). Siguiendo las mismas notaciones que antes, para cada j ∈ J y cada α ∈ (Z+ )2 podemos definir la familia de seminormas {pj,α } del siguiente modo: pj,α (ω) := m´ax {|Dα fj (q)|} , q∈Kj

a (0,1)(V) tal que en un entorno de Kj sea de la forma fj dzj .

para toda ω ∈ Entonces,

a (0,1)(V) tambi´en es un espacio de Fr´echet.

B.2.17 Nota. Si los espacios vectoriales topol´ogicos eran la generalizaci´on de los espacios normados al considerar ahora una seminorma; los espacios de Fr´echet representan la generalizaci´on de los espacios de Banach. Obs´ervese que todo espacio de Banach es un espacio de Fr´echet, como se ve inmediatamente. Adem´ as, los resultados dados en el apartado B.1 para espacios de Banach son generalizables tambi´en para espacios de Fr´echet, como ya hemos hecho notar. Las propiedades m´ as b´ asicas de los espacios de Fr´echet (cuya demostraci´on no supone mucha dificultad), las recogemos en la siguiente:

77

B.2.18 Proposici´ on. Se verifican las siguientes propiedades: 1. Todo espacio de Banach es un espacio de Fr´echet. 2. El producto cartesiano de un n´ umero finito de espacios de Fr´echet (resp. de Banach) dotado de la topolog´ıa producto es un espacio de Fr´echet (resp. de Banach). ˆ a su completado como 3. Sea E un e.v.t. metrizable y denotemos por E espacio m´etrico. ˆ tambi´en lo es y, por tanto, a) Si E es localmente convexo, entonces E es un espacio de Fr´echet. ˆ tambi´en lo es y, por tanto, es un espacio b) Si E es normado, entonces E de Banach. 4. Sea E un e.v.t. Si V es un subespacio vectorial de E, entonces con la topolog´ıa inducida, V tambi´en es un e.v.t. En particular, esto es cierto para su cierre, V . Adem´ as, si E es un espacio de Fr´echet, entonces todo subespacio vectorial cerrado de E es tambi´en de Fr´echet. 5. Sea E un e.v.t. y V un subespacio vectorial suyo. El cociente E/V est´a dotado de estructura de e.v.t. de forma natural: su topolog´ıa es la m´as fina que hace continua la aplicaci´on de paso al cociente π : E → E/V (o sea, la topolog´ıa final de π). B.2.19 Definici´ on. Sean E, F espacios localmente convexos y ϕ : E → F una aplicaci´ on lineal entre ellos. Se dice que ϕ es completamente continua si hay un entorno U de 0 en E tal que ϕ(U ) es relativamente compacto en F B.2.20 Observaci´ on. M´ as en general, podriamos decir que ϕ es completamente continua cuando transforma cualquier bola de E en un subconjunto relativamente compacto de F . Pero por las observaciones B.2.2 y B.2.5, podemos escribir la definici´ on de arriba. Se comprueba f´ acilmente que si ϕ es completamente continua, entonces es continua. B.2.21 Ejemplo. Consideremos el haz de funciones holomorfas en C, O; y sean U, V abiertos de C tales que V ⊂ U con V compacto. Consideremos as´ı la restricci´ on de funciones ϕ : O(U ) → O(V ). Evidentemente, el morfismo de restricci´ on es lineal. Veamos que adem´as ϕ es completamente continua. En efecto, el subconjunto {f ∈ O(U ) : pV (f ) < 1} de O(U ) es un abierto como se deduce inmediatamente de la definici´on de la topolog´ıa de O(U ) (de hecho, este subconjunto es uno de los de la base de dicha topolog´ıa, pues estamos suponiendo que V es compacto de U ). Su imagen por ϕ est´a contenida en {g ∈ O(V ) : |g| < 1 en V }, que es una familia normal de funciones holomorfas en V (recu´erdese la definici´ on C.1.11). Por el Teorema de Montel (ver C.1.12), este subconjunto es relativamente compacto en O(V ), y se concluye lo que quer´ıamos demostrar.

78

B.2.22 Observaci´ on. Sea V una superficie de Riemann cualquiera. Es l´ıcito considerar su haz de funciones holomorfas, O. Como ya sabemos, si U es un abierto coordenado de la superficie de Riemann, entonces se identifica con un abierto del plano complejo y, por ello, lo que digamos sobre los abiertos del plano seguir´ a siendo cierto para los abiertos coordenados de una tal superficie. Por tanto, si U, V son abiertos coordenados de V tales que V ⊂ U con V compacto, entonces el ejemplo anterior sigue siendo cierto y diremos que la rstricci´ on de funciones ϕ : O(U ) → O(V ) es una aplicaci´on completamente continua. Una propiedad esencial de los espacios de Fr´echet, cuya demostraci´on puede encontrarse en [8] y necesitamos para el presente trabajo es el siguiente: B.2.23 Teorema (de Schwartz). Sean E, F espacios de Fr´echet y α, β dos aplicaciones lineales y continuas de E en F . Si α es exhaustiva y β es completamente continua, entonces la imagen de α − β es cerrada y el con´ ucleo de α − β es de dimensi´ on finita.

B.3.

Distribuciones

De forma sencilla, podemos decir que una “distribuci´on” generaliza el concepto de funci´ on. La Teor´ıa de distribuciones fue desarrollada principalmente por Paul Dirac y Laurent Schwartz durante la primera mitad del siglo XX con el objetivo de abordar situaciones en las que la noci´on cl´asica de funci´on es insuficiente, de manera que constituye una teor´ıa revolucionaria; pues el trabajo final de Schwartz permiti´ o consolidar y dar rigor matem´atico al uso de este tipo de aplicaciones que surg´ıan de forma natural para describir ciertos procesos f´ısicos y cuyo manejo era m´ as bien intuitivo, sin ning´ un tipo de fundamento matem´ atico. Para ilustrar el problema que plantea la Teor´ıa de distribuciones supongamos una cuerda formada por dos trozos de diferente densidad, entonces, en la ecuaci´ on de la cuerda vibrante, 2 ∂2u 2∂ u − a =0 ∂t2 ∂x2

el coeficiente ser´ a igual a una constante diferente en cada uno de los correspondientes trozos y, por tanto, esta ecuaci´on no tendr´a soluciones “cl´asicas”, esto es, dos veces continuamente diferenciables. Supongamos, que el coeficiente a es constante, pero que la posici´on inicial de la cuerda tiene la forma de una l´ınea quebrada, dada por la ecuaci´on u|t=0 = ϕ(x). En el v´ertice de la l´ınea quebrada, la funci´on ϕ, no puede tener primera derivada (en ese punto habr´ıa una singularidad). Se demuestra que tampoco existe soluci´ on “cl´ asica” de la ecuaci´on de la cuerda vibrante con condicione iniciales ∂u u|t=0 = ϕ(x) |t=0 = 0 ∂t Dando un golpe seco a cualquier segmento de la cuerda, las oscilaciones que resultan est´ an descritas por la ecuaci´on: ∂2u ∂2u − a2 2 = f (x, t) , 2 ∂t ∂x 79

donde f (x, t) corresponde al efecto producido, que es una funci´on discontinua, distinta de cero solamente sobre el peque˜ no segmento de cuerda donde se ha dado ese “impulso” y durante un corto intervalo de tiempo. Esta ecuaci´on tampoco tiene soluci´ on “cl´ asica”. As´ı pues, el planteamiento f´ısico de la soluci´on a esta ecuaci´on en derivadas parciales queda sin resolver desde el punto de vista matem´atico; pero f´ısicamente el proceso ocurre, luego es deseable que pueda ser descrito de alguna forma. Entonces, introduciendo “soluciones discontinuas” para las ecuaciones diferenciales, el problema quedar´ıa resuelto satisfactoriamente. Vemos que el problema surge cuando intentamos describir un proceso puntual o inmediato ´ ´ o l´ımite en el sentido que explicamos a continuaci´on: supongamos que queremos empujar un objeto; para ello podemos aplicarle una fuerza durante un periodo de tiempo t. Si queremos comunicarle una determinada energ´ıa cin´etica, la fuerza aplicada nos determina la duraci´on t para alcanzar dicha energ´ıa. Si aumentamos la fuerza, el tiempo necesario ser´a menor. En el l´ımite, cuando t → 0, tendremos que aplicarle una fuerza infinita. Ser´ıa el equivalente f´ısico a un “martillazo”, un “chispazo”; o sea, una fuerza impulsiva. Comencemos con las definiciones formales. B.3.1 Definici´ on. Sea U un abierto de C y denotemos por Cc∞ (U ) al anillo de las funciones complejas de clase C ∞ y soporte compacto en U . Dada una sucesi´ on (fn )n∈N de funciones en Cc∞ (U ), diremos que (fn )n∈N ∞ converge en Cc (U ) a una funci´on f ∈ Cc∞ (U ) cuando se verifican las dos condiciones siguiente: 1. Hay un subconjunto compacto K de U tal que sop(fn ) ⊆ K, para todo n ∈ N. 2. Para cada α := (α1 , α2 ) ∈ (Z+ )2 , la sucesi´on (Dα fn )n∈N converge uniformemente en K a Dα f ; siendo Dα el operador de derivaci´on definido por α1 +α2 Dα (f ) := ∂∂xα1 yαf2 (donde se entiende que si alguno de los α1 , α2 es cero, entonces no se deriva respecto de la correspondiente variable). B.3.2 Observaci´ on. Puede demostrarse que en Cc∞ (U ) existe una topolog´ıa para la cual la noci´ on de convergencia de una sucesi´on de elementos de Cc∞ (U ) es precisamente la que hemos descrito arriba. B.3.3 Definici´ on. Sea U un abierto de C. Una distribuci´on en U es una aplicaci´ on lineal T : Cc∞ (U ) → C que sea continua en el sentido de que si (fn )n∈N converge a f en Cc∞ (U ), entonces existe l´ım T (fn ), siendo tal l´ımite T (f ). n→∞

Al conjunto de todas las distribuciones en U lo denotaremos por D(U ) B.3.4 Ejemplo. Sea h una funci´on compleja continua en U ⊆R C y consideremos la aplicaci´ on lineal Th : Cc∞ (U ) → C definida por Th (f ) := U h(z) f (z) dxdy, para todo f ∈ Cc∞ (U ). Obs´ervese que la integral escrita tiene sentido porque f tiene soporte compacto. Th es lineal de modo trivial y adem´as es continua porque se podr´a intercambiar el l´ımite con la integral en virtud de la definici´on de convergencia en Cc∞ (U ). En definitiva, Th es una distribuci´on, que llamaremos distribuci´ on asociada a h.

80

Dado el abierto U ⊆ C, consideremos el C-espacio vectorial de las distribuciones en U , D(U ). En virtud del ejemplo anterior, podemos considerar la aplicaci´ on de C(U ) en D(U ) que asigna a cada funci´on compleja continua h con la distribuci´ on Th , definida en dicho ejemplo. Es obvio que esta aplicaci´ on es lineal y adem´ R as es inyectiva. En efecto, sea h ∈ C(U ) tal que Th ≡ 0, entonces Th (f ) = U h(z) f (z) dxdy = 0, para toda funci´ on f ∈ Cc∞ (U ); de donde se deduce que h ≡ 0 porque h es una funci´on continua y f es una funci´ on de soporte compacto en U , de modo que podemos tomar un rect´ angulo R := [a, b] × [c, d] conteniendo a dicho soporte en donde calcular la integral anterior. As´ı, f se anula en ∂R y el Lema fundamental del c´ alculo de variaciones (el cual puede consultarse en [2]) nos permite concluir. Como consecuencia, resulta que por medio de esta aplicaci´on podemos identificar C(U ) con un subespacio de D(U ) y, por esto, identificaremos cada funci´on continua h con la correspondiente distribuci´on Th , es decir, pensaremos a las funciones continuas en U como distribuciones en U . A continuaci´ on, vamos a ver que una funci´on continua, en tanto que se le considera como distribuci´ on; es infinitamente derivable. B.3.5 Lema. Sea U un abierto de C y h, f ∈ Cc∞ (U ). Entonces se verifica: Z Z Dα h(z) f (z) dxdy = (−1)|α| h(z) Dα f (z) dxdy , U

U

donde |α| := α1 + α2 , supuesto que α := (α1 , α2 ) ∈ (Z+ )2 Demostraci´ on. En primer lugar, obsrvamos que para demostrar la igualdad del ∂ (o sea, α = (1, 0)) enunciado basta con verlo para el caso en que Dα = ∂x ∂ ∂ α α o D = ∂y (o sea, α = (0, 1)). Vamos a verlo para D = ∂x ´ , es decir, vamos a ver que: Z Z ∂h ∂f (z) f (z) dxdy = − h(z) (z) dxdy ∂x U ∂x U Como h, f tienen soporte compacto en U por hip´otesis, sea K := [a, b]×[c, d] un rect´ angulo que contenga a sop(h) ∪ sop(f ), consideradas h, f como funciones de x, y. Entonces, para ver la igualdad de arriba basta con ver la siguiente: Z Z ∂h ∂f (z) f (z) dxdy = − h(z) (z) dxdy ∂x ∂x K K En efecto, aplicando el Teorema de Fubini e integrando por partes se obtiene lo siguiente: ! Z Z d Z b ∂h ∂h (z) f (z) dxdy = (z) f (z) dx dy = c K ∂x a ∂x ! Z d ix=b Z b ∂f = h(z) f (z) − h(z) (z) dx dy = ∂x x=a c a ! Z d Z b ∂f = h(b + iy)f (b + iy) − h(a + iy)f (a + iy) − h(z) (z) dx dy = ∂x c a ! Z d Z b Z ∂f ∂f = − h(z) (z) dx dy = − h(z) (z) dxdy ∂x ∂x c a K Todo ello acaba la demostraci´on.

 81

Utilizando la notaci´ on introducida en el ejemplo B.3.4, entonces la igualdad probada en el lema anterior puede reescribirse del siguiente modo: TDα h (f ) = (−1)|α| Th (Dα f ) , para cualesquiera h, f ∈ Cc∞ (U ) y todo α ∈ (Z+ )2 . Como hemos explicado al principio, la idea de la Teor´ıa de distribuciones consiste en generalizar el concepto de funci´on por medio del concepto de distribuci´ on; entonces, ¿c´ omo definimos la derivada de una distribuci´on? Pues bien, dado α ∈ (Z+ )2 la igualdad que hemos escrito arriba nos motiva a definir Dα T , siendo T una distribuci´ on en U ⊆ C; como sigue: B.3.6 Definici´ on. Sea U un abierto de C y α ∈ (Z+ )2 . Dada una distribuci´on T en U , se llama derivada de orden α de T a la distribuci´on Dα T en U definida por: Dα T (f ) := (−1)|α| T (Dα f ) , para toda funci´ on f ∈ Cc∞ (U ) B.3.7 Observaci´ on. Como toda funci´on continua h ∈ C(U ) define una distribuci´ on Th en U , entonces podemos derivar infinitamente a la funci´on h cuando la entendemos como distribuci´on, en virtud de la definici´on de derivada de distribuci´ on que acabamos de dar y dado α ∈ (Z+ )2 escribiremos: Dα h = Dα Th Cuando se estudian las funciones en el An´alisis elemental, nos preocupamos por estudiar de qu´e manera podemos conmutar las operaciones de derivar e integrar en los procesos de paso al l´ımite. Intuitivamente, las distribuciones o funciones generalizadas que aparecen debido a problemas f´ısicos representan un proceso de l´ımite de otras funciones, como hemos explicado al comienzo. En este sentido, vamos a ver que las distribuciones conmutan con la derivaci´on y con la integraci´ on. B.3.8 Proposici´ on. Sea U un abierto de C y (a, b) un intervalo real. Consideremos una funci´ on f : (a, b) × U → C de clase C ∞ y con soporte contenido en (a, b) × K, para alg´ un subconjunto compacto K de U ; y una distribuci´on T ∈ D(U ). La funci´ on de t ∈ (a, b) definida por t 7→ Tz (f  (t, z)) esinfinitamente diferenciable y adem´ as su derivada en t0 ∈ (a, b) es Tz ∂f ∂t (t0 , z) ; donde Tz indica que aplicamos la distribuci´ on T a la funci´on f considerada ´esta como funci´on s´olo de z para cada valor fijo de t. Demostraci´ on. Obs´ervese que para demostrarlo basta con ver que Tz (f (t, z)) es una funci´ on derivable de t verific´andose lo del enunciado (pues repitiendo el argumento a lo que se obtiene, resulta que efectivamente es infinamente diferenciable). As´ı pues, vamos a ver que:    ∂f  d Tz (f (t, z)) (t0 ) = Tz (t0 , z) dt ∂t O sea, vamos a ver que existe l´ım

n→∞

Tz (f (tn ,z))−Tz (f (t0 ,z)) , tn −t0

para cada sucesi´on

(tn )n∈N en (a, b)  r {t0 } convergente a t0 y que este l´ımite coincide precisamente con Tz

∂f ∂t (t0 , z)

82

Veamos primero que la sucesi´on



f (tn ,z)−f (t0 ,z) tn −t0

Cc∞ (U )



converge a

n∈N Cc∞ (U );

∂f ∂t (t0 , z)

en

(es decir, en el sentido de la topolog´ıa de es decir, que la convergencia es uniforme, pues la convergencia puntual est´a clara por la definici´on de derivada parcial). Como por hip´ otesis se tiene que sop(f ) ⊂ (a, b) × K, entonces el soporte de cada una de las funciones de la sucesi´on considerada est´a contenido en un mismo compacto. Por otro lado, para cada z fijo y dado α ∈ (Z+ )2 , aplicamos el Teorema de los incrementos finitos de An´ alisis elemental a la funci´on Dα (f (t, z)) en [t0 , tn ] (´ o bien en [tn , t0 ] dependiendo de que sea t0 < tn ´o tn < t0 ) y obtenemos: Dα (f (tn , z)) − Dα (f (t0 , z)) = (tn − t0 )

∂Dα (f (t0n , z)) , ∂t

siendo t0n un punto intermedio entre t0 y tn .   (t0 ,z) converge uniEste resultado nos permite decir ya que Dα f (tn ,z)−f tn −t0   ∂f formemente en el compacto (a, b) × K cuando n → ∞ a Dα ∂t (t0 , z) .  Con todo  esto podemos concluir que la sucesi´on de funciones f (tn ,z)−f (t0 ,z) ∞ converge a ∂f ıa. tn −t0 ∂t (t0 , z) en Cc (U ), como se quer´ n∈N

Finalmente, utilizando la linealidad y la continuidad de la distribuci´on T escribimos lo siguiente:   f (t , z) − f (t , z)   ∂f Tz (f (tn , z)) − Tz (f (t0 , z)) n→∞ n 0 (t0 , z) = Tz −→ Tz tn − t0 tn − t0 ∂t quedando demostrado el lema.



B.3.9 Proposici´ on. Sean U, V abiertos de C. Consideremos una funci´on f : U × V → C de clase C ∞ y con soporte contenido en K × L, siendo K y L subconjuntos compactos de U y V , respectivamente; y una distribuci´on T ∈ D(U ) La funci´ on Tz ((f (z, w))) es una funci´on de clase C ∞ y soporte compacto en V y se verifica lo siguiente: Z Z  Tz (f (z, w) dsdt = T f (z, w) dsdt V

V

donde Tz indica que aplicamos la distribuci´on T a la funci´on f considerada ´esta como funci´ on s´ olo de z para cada valor fijo de w. Demostraci´ on. En primer lugar, en virtud de la proposici´on previa resulta que Tz (f (z, w)) es una funci´ on de clase C ∞ en V (pues las partes real s e imginaria t de w ∈ V pueden entenderse como par´ametros). Adem´as, su soporte est´ a contenido en L, luego Tz (f (z, w)) es integrable en V . Consideremos ahora un rect´angulo R en C que contenga a L y sea Pn la angulos con la misma ´area, para cada n ∈ N. En tal partici´ on de R en n2 rect´ caso, se tiene: Z X A(R) f (z, w)dsdt = l´ım f (z, wni ) , n→∞ n2 V Rni ∈Pn

83

donde los Rni son los rect´ angulos de la partici´on Pn , wni es un punto de Rni ; para cada n ∈ N y cada i ∈ {1, . . . , n2 } y A(R) es el ´area del rect´angulo R comprueba f´ a cilmente que la sucesi´on de sumas de Riemann  Se R P A(R) f (z, wni ) n2 converge a V f (z, w)dsdt en Cc∞ (U ). Rni ∈Pn

n∈N

Finalmente, aplicando la distribuci´on T a ambos miembros de la igualdad de arriba, utilizando la continuidad de T junto con lo que acabamos de decir y su linealidad, se obtiene ya que: Z   X A(R)  = T f (z, wni ) f (z, w) dsdt = T l´ım n→∞ n2 V Rni ∈Pn Z X A(R) Tz (f (z, wni )) = l´ım = Tz (f (z, w) dsdt n→∞ n2 V Rni ∈Pn

quedando demostrado el lema.



Para lo que sigue vamos a considerar una funci´on ρ : C → R verificando las siguientes propiedades: 1. ρ es de clase C ∞ y soporte compacto contenido en D, siendo D el disco unidad de C. 2. ρ(z) = ρ(|z|), para todo z ∈ C. R 3. C ρ(z) dxdy = 1 B.3.10 Nota. Para ver que existe una tal ρ podemos considerar una funci´on c : R → R positiva, de clase C ∞ y sopote compacto contenido en (−1, 1), y obtener a partir de c una funci´on, que denotaremos por φ, definida por φ(t) := c(t) + c(−t), para todo t ∈ R. A partir, de φ, podemos definir ψ(z) := φ(|z|), para todo z ∈ C; para tomar finalmente: 1 ψ(z) , para todo z ∈ C ψ(z) dxdy C

ρ(z) := R

Ahora, dado  > 0, definimos la funci´on ρ (z) :=

1 z ρ( ) , para todo z ∈ C 2  

Es inmediato comprobar que la funci´on ρ que acabamos de definir verifica las siguientes propiedades: 1. ρ es de clase C ∞ y soporte compacto contenido en D(0, ). 2. ρ (z) = ρ (|z|), para todo z ∈ C. R 3. C ρ (z) dxdy = 1 Por otro lado, dado un abierto U de C y  > 0, definimos el siguiente subconjunto abierto de U : U := {z ∈ U : D(z, ) ⊂ U } = {z ∈ U : d(z, C r U ) > } 84

Ahora, dada una funci´ on continua en el abierto U , digamos f ∈ C(U ); definimos lo siguiente: Z S (f )(z) := ρ (z − w)f (w) dsdt , para todo z ∈ U U

donde s := Re(w) y t := Im(w). B.3.11 Observaciones. (a) La integral que hemos escrito arriba podr´ıa haberse tomado sobre D(z, ) en lugar de sobre U (pues la funci´on ρ (z − w) tendr´ a su soporte compacto contenido en D(z, ), debido a las propiedades que verifica una tal ρ ). Adem´as, haciendo el cambio de variable z − w := u, dicha integral puede escribirse como: Z S (f )(z) := ρ (u)f (z + u) dαdβ , para todo z ∈ U D(0,)

siendo ahora α := Re(u) y β := Im(u). R (b) Como U ρ (z − w)f (w) dsdt es derivable bajo el signo integral, entonces deducimos que S (f ) es una funci´on de z ∈ U de clase C ∞ , aunque f s´olo se suponga continua en U . Con las notaciones y observaciones precedentes, damos la siguiente: B.3.12 Proposici´ on. Sean U un abierto de C,  > 0 y f ∈ C ∞ (U ). Se verifica que: 1. para cada α ∈ (Z+ )2 , Dα (S (f )) = S (Dα f ) 2. si z ∈ U y f es arm´ onica en D(z, ), entonces S (f )(z) = f (z) Demostraci´ on. 1. Como hemos quedado en la observaci´on (a) de B.3.11, para cada z ∈ U la funci´ on S (f ) podemos escribirla como Z S (f )(z) := ρ (u)f (z + u) dαdβ D(0,)

Como podemos derivar bajo el signo integral respecto de x, y tantas veces como queramos, deducimos que Z def. Dα (S (f ))(z) = ρ (u)Dα f (z + u) dαdβ = S (Dα f )(z) , D(0,)

como se quer´ıa demostrar. 2. Como f se supone arm´ onica en D(z, ), entonces verifica la correspondiente propiedad de la media, o sea, Z 2π 1 f (z + reiϕ ) dϕ , f (z) = 2π 0 siendo r ∈ (0, )

85

Por otro lado, haciendo referencia de nuevo a la expresi´on de (a) de las observaciones B.3.11 y utilizando la propiedad de la media de la funci´on f , escribimos lo siguiente: Z ∗ S (f )(z) = ρ (u)f (z + u) dαdβ = D(0,)

Z

Z

iϕ

=



Z

= 0

0

0

Z

2πf (z)ρ (r)r dr = f (z) ! Z Z



2πρ (r)r dr = 0

2π



Z

ρ (r)r dϕ dr = f (z)

= f (z) 0

iϕ

ρ (r)f (z + re )r dϕ dr =

ρ (r)f (z + re )r drdϕ = D(0,) Z 

!

2π

0

ρ (u) dαdβ = f (z) D(0,)

En (*) hemos parametrizado el disco D(0, ) por el ´angulo, esto es, hemos hecho el cambio de variable u := reiϕ , con r ∈ (0, ) y ϕ ∈ (0, 2π). Obs´ervese que la funci´ on ρ es invariante por rotaciones porque esta funci´ on verifica que ρ (z) = ρ (|z|), para todo z ∈ C. Por tanto, podemos escribir ρ (r) = ρ (reiϕ ) tal y como hemos hecho en (*). Todo ello acaba la demostraci´on.  En B.3.6 definimos la derivada de una distribuci´on por medio del operador ∂2 ∂2 derivada D. El operador laplaciano viene definido por ∆ := ∂x 2 ◦ ∂y 2 , siendo {x, y} las coordenadas cartesianas reales de C y puede ser entendido como un nuevo operador de derivaci´ on; de modo que debido a la linealidad de las distribuciones y teniendo en cuenta la definici´on B.3.6, podemos definir el concepto de “distribuci´ on arm´ onica” como sigue: B.3.13 Definici´ on. Sea U un abierto de C. Una distribuci´on T ∈ D(U ) se dice que es arm´ onica en U si ∆T (f ) ≡ T (∆f ) = 0 , para toda funci´ on f ∈ Cc∞ (U ), siendo ∆ el operador laplaciano. B.3.14 Lema (de Weyl). Sea U un abierto de C y T una distribuci´on en U . Si T es una distribuci´ on arm´ onica en U , entonces T es una funci´on arm´onica en U , esto es, existe una funci´ on arm´onica en U , digamos u; tal que T = Tu . Demostraci´ on. Sea  > 0. Para cada z ∈ U , la funci´on de w ∈ C dada por ρ (w − z) tiene soporte compacto contenido en D(z, ) ⊂ U . Por tanto, podemos aplicar a esta funci´ on la distribuci´on T dada y considerar h : U → C definida por h(z) := Tw (ρ (w−z)), para todo z ∈ U ; donde Tw indica que la distribuci´on T se le aplica a la funci´ on ρ pensada ´esta como funci´on de w para cada valor fijo de z. Por la proposici´ on B.3.8 resulta que la funci´on h que acabamos de definir es de clase C ∞ en U . Para probar el lema basta con ver que se verifica que T = Th , es decir, que para toda funci´ on f ∈ Cc∞ (U ) se tiene que: Z T (f ) = h(z)f (z) dxdy U

86

Esto es as´ı porque si h1 , h2 son otras dos funciones verificando la igualdad de arriba, entonces deben coincidir en U (por la inyectividad de la aplicaci´on que asigna a cada funci´ on continua con la correspondiente distribuci´on), luego al variar  queda definida una funci´on en todo U , digamos u; que, en cada U , coincidir´ a con la funci´ on h de arriba. Para ello vamos a Rver en primer lugar que para toda funci´on f ∈ Cc∞ (U ) se tiene que T (S (f )) = U h(z)f (z) dxdy. Observemos que S (f ) tiene soporte compacto contenido en U porque sop(f ) es un subconjunto compacto S de U por hip´otesis y por la definici´on de S (f ) es claro que sop(S (f )) ⊂ D(z, ); luego sop(S (f )) est´a contenido en una z∈sop(f )

familia finita del tipo D(z1 , ) ∪ . . . ∪ D(zr , ) para ciertos z1 , . . . , zr ∈ sop(f ). Por este motivo, es l´ıcito aplicar la distribuci´on T a la funci´on S (f ). Aplicando la proposici´ on B.3.9, la definici´on de h y el hecho de que sop(f ) ⊂ U , escribimos lo siguiente: ! Z T (S (f ))

ρ (w − z)f (z) dxdy

= T

=

U

Z

Z Tw (ρ (w − z))f (z) dxdy =

= U

h(z)f (z) dxdy U

como se quer´ıa demostrar. Pasemos a ver ahora que T (f ) = T (S (f )), para toda funci´on f ∈ Cc∞ (U ), lo cual acabar´ a la demostraci´ on del teorema en virtud de lo que acabamos de obtener. Para ello consideremos una funci´on ψ ∈ C ∞ (C) tal que ∆ψ = f en C (la cual existe por 3.2.1 y por el hecho de que el operador laplaciano puede expresarse ∂ ∂ en la coordenada compleja z como ∆ = 4 ∂z ◦ ∂z ). Con lo cual, es claro que la funci´on ψ considerada es arm´onica en V := C r sop(f ), luego aplicando el apartado (2) de la proposici´on anterior, resulta que S (ψ) = ψ en V . Se deduce que sop(S (ψ)−ψ) es un subconjunto compacto def.

de U porque V = {z ∈ C : d(z, C r V ) > } = {z ∈ C : d(z, sop(f )) > }, luego C r V = {z ∈ C : d(z, sop(f )) ≤ }, que es un subconjunto compacto de U (por ser cerrado y acotado), luego sop(S (ψ) − ψ) tambi´en lo es. Como consecuencia, sop(S (f )−f ) = sop(S (∆ψ)−∆ψ) = sop(∆S (ψ)−∆ψ) tambi´en es un subconjunto compacto de U (para la u ´ltima igualdad hemos utilizado el apartado (1) de la proposici´ on anterior y la linealidad de la integral). Por tanto, es l´ıcito aplicar la distribuci´on T a la funci´on S (f )−f y escribimos lo siguiente: T (S (f ) − f ) = T (∆(S (ψ)) − ∆ψ) = T (∆(S (ψ) − ψ)) , lo cual es cero porque estamos suponiendo que T es una distribuci´on arm´onica. Aplicando ahora la linealidad de la distribuci´on T , obtenemos que T (S (f )) − T (f ) = 0, como quer´ıamos demostrar.  Argumentando como hicimos antes para dar la definici´on de “distribuci´on arm´ onica”, an´ alogamente podemos dar la definici´on de “distribuci´on holomor∂ fa”, considerando para este caso el operador ∂z :

87

B.3.15 Definici´ on. Sea U un abierto de C. Una distribuci´on T ∈ D(U ) se dice que es holomorfa en U si  ∂f  ∂T =0, (f ) ≡ T ∂z ∂z para toda funci´ on f ∈ Cc∞ (U ). B.3.16 Corolario. Sea U un abierto de C y T una distribuci´on en U . Si T es una distribuci´ on holomorfa en U , entonces T es una funci´on holomorfa en U , esto es, existe una funci´ on holomorfa en U , digamos f ; tal que T = Tf . Demostraci´ on. Basta tener en cuenta que el operador laplaciano ∆ se expresa ∂ ∂ en la coordenada compleja z como ∆ = 4 ∂z ◦ ∂z . Por tanto, es inmediato que si T es una distribuci´ on holomorfa en U , tambi´en es una distribuci´on arm´onica en U ; luego por el Lema de Weyl sabemos que T es una funci´on arm´onica en U , es decir, existe una funci´ on arm´onica f en U tal que T = Tf . Por tanto, la distribuci´ on T puede interpretarse como la propia funci´on f , luego como por hip´ otesis es ∂Tf ∼ ∂f ∂T = , 0= = ∂z ∂z ∂z se deduce que f es de hecho una funci´on holomorfa en U , como se quer´ıa. 

88

C.

Generalidades

El objetivo de este ap´endice es presentar u ´nicamente los resultados m´as b´ asicos que se han utilizado referidos a variable compleja elemental o sobre las superficies de Riemann para facilitar la lectura del trabajo.

C.1.

Sucesiones y series de funciones holomorfas

Comenzamos analizando cu´al ha de ser la topolog´ıa adecuada (los Teoremas de Weierstrass que siguen a continuaci´on nos dir´an el sentido en que decimos que la topolog´ıa escogida es la “adecuada”) para el conjunto de las funciones holomorfas en un abierto del plano complejo. Sea U un abierto del plano complejo C y consideremos el anillo de funciones complejas continuas en dicho abierto, C(U ). Nos preocupamos pues de dotar a este anillo de una topolog´ıa. Para ello, fijemos un subconjunto compacto de U , digamos K. Se define una seminorma en C(U ) del siguiente modo: not.

pK (f ) ≡ kf kK := m´ax|f (z)| , z∈K

para todo f ∈ C(U ). Esta seminorma induce en C(U ) una pseudodistancia definida de modo natural como sigue: dK (f, g) := kf − gkK , para todos f, g ∈ C(U ). Esta pseudodistancia define a su vez una topolog´ıa en C(U ), que denotaremos por TK ; en la que cada funci´ on f ∈ C(U ) tiene como base de entornos el conjunto de las “bolas” BK (f, r) := {g ∈ C(U ) : dK (f, g) < r}, cuando r recorre el conjunto de los n´ umeros reales positivos. Haciendo variar ahora K entre todos los subconjuntos compactos de U , obtenemos en C(U ) la llamada topolog´ıa de la convergencia uniforme en compactos ´o topolog´ıa de la convergencia compacta, que denotaremos por T ; que no es m´as que la reuni´on de todas las topolog´ıas TK . C.1.1 Observaci´ on. Sea V una superficie de Riemann cualquiera. Como ya se sabe, los abiertos coordenados de V se identifican con abiertos del plano complejo, luego todo lo que digamos sobre abiertos del plano complejo sigue siendo cierto para los abiertos coordenados de la superficie. De esta manera, dado un abierto coordenado U de V; en O(U ) podemos construir de forma completamente an´ aloga la topolog´ıa de la convergencia compacta. En particular, para O(V) (haciendo el proceso anterior para cada uno de los abiertos recubridores de un atlas que defina la estructura holomorfa de la superficie de Riemann). Con todo esto, ya disponemos de la noci´on de convergencia para una sucesi´on de elementos de C(U ) en el sentido de la topolog´ıa T que acabamos de definir: C.1.2 Definici´ on. Sea U ⊆ C un abierto. Una sucesi´on de funciones complejas continuas en U , (fn )n∈N se dice que converge a una funci´on f ∈ C(U ) si para cada subconjunto compacto K de U se verifica que l´ım fn (z) = f (z) uniformemente n→∞ en K.

89

C.1.3 Observaci´ on. N´ otese que seg´ un la topolog´ıa T definida en el anillo C(U ), la definici´ on anterior es la que surge de modo natural si aplicamos la definici´ on habitual de convergencia, pues dada la pseudodistancia dK en C(U ), decir que una sucesi´ on de funciones complejas continuas, (fn )n∈N , converge a una funci´ on f ∈ C(U ) es decir que para cada subconjunto compacto K de U y cada def.

 > 0 existe un δ,K tal que si n ≥ δ,K , entonces dK (fn , f ) = pK (fn − f ) = m´ ax|f (z)| < , es decir, |fn (z) − f (z)| < , para todo z ∈ K; o sea, que la z∈K

sucesi´ on (fn )n∈N converge uniformemente en los compactos de U en el sentido habitual, de aqu´ı la nomenclatura de la topolog´ıa. De la misma manera, tambi´en tenemos el concepto de sucesi´on de Cauchy para elementos de C(U ) en el sentido de la topolog´ıa T que acabamos de definir: C.1.4 Definici´ on. Sea U ⊆ C un abierto. Una sucesi´on de funciones complejas continuas en U , (fn )n∈N se dice que es de Cauchy cuando para cada subconjunto compacto K de U y cada  > 0 existe un n0 (, K) tal que si p, q ≥ n0 (, K), entonces dK (fp , fq ) < . Y tambi´en tendremos el concepto de serie de funciones holomorfas en un abierto U ⊆ C y la correspondiente noci´on de convergencia de la serie: C.1.5 Definici´ on. Sea U ⊆ C un abierto. Una serie
de funciones complejas continuas en U es una pareja de sucesiones (fn ), (Fn ) n∈N de funciones complejas continuas en U relacionadas por Fn :=P f1 + . . . + fn , para cada n ∈ N. A una tal serie se le representa por Pfn y a la sucesi´on (Fn )n∈N se le llama sucesi´ on de sumas parciales de la serie fn . P C.1.6 Definici´ on. Sea U ⊆ C un P abierto y fn una serie de funciones complejas continuas en U . Se dice que fn es convergente en C(U ) (en el sentido de la topolog´ıa T ) si la sucesi´ on de sumas parciales (Fn )n∈N es convergente en C(U ) (en el sentido de la topolog´ıa T ). En tal caso, a la funci´ on F := l´ım Fn se le llama suma de la serie y se n→∞ ∞ P escribe F := fn . n=1

Utilizando la topolog´ıa de la convergencia uniforme en compactos del anillo de funciones complejas continuas en un abierto U ⊆ C, vamos a analizar en este sentido la estructura del anillo de funciones holomorfas en U , O(U ); pues en O(U ) se considerar´ a la topolog´ıa heredada de la de C(U ). Todos los resultados que enunciamos a continuaci´on se suponen conocidos, ya que forman parte de un primer curso de variable compleja elemental; en cualquier caso, puede encontrarse un detallado desarrollo de los mismos en [3]. C.1.7 Teorema. Sea U ⊆ C un abierto. El anillo C(U ) es un espacio completo con respecto a la topolog´ıa T anteriormente definida. C.1.8 Teorema (I de Weierstrass). Sea U ⊆ C un abierto. El anillo de funciones holomorfas en U , O(U ), es un cerrado de C(U ). Como consecuencia, O(U ) es tambi´en un espacio completo. C.1.9 Teorema (II de Weierstrass). Sea U ⊆ C un abierto. Si una sucesi´on de funciones holomorfas en U converge a una cierta funci´on holomorfa en U , 90

entonces la sucesi´ on de las funciones derivadas converge a la derivada de dicha funci´ on. Es decir, si (fn )n∈N ⊂ O(U ) es tal que l´ım fn = f para alguna f ∈ O(U ), n→∞

entonces (fn0 )n∈N ⊂ O(U ) converge a f 0 , o sea, l´ım fn0 = f 0 . n→∞ P C.1.10 Corolario. Sea U ⊆ C un abierto. Si fn es una serie de funciones holomorfas en U convergente en O(U ) (en el sentido dePla topolog´ıa T fijada), entonces su suma F es holomorfa en U y adem´as F 0 = fn0 . C.1.11 Definici´ on. Sea U ⊆ C un abierto. Una familia de funciones holomorfas en U , digamos A ⊂ O(U ) se dice acotada ´o normal ´o de Montel si para cada compacto K de U , se verifica que sup pK (f ) < ∞, para toda funci´on f ∈ A. f ∈A

En palabras, existe una cota para todos los puntos del compacto K y todas las funciones de la familia A. Un resultado fundamental de variable compleja es el siguiente: C.1.12 Teorema (de Montel). Si U es un abierto de C y A ⊂ O(U ) es una familia normal de funciones holomorfas en U , entonces A es relativamente compacto. Si el lector est´ a familiarizado con el Teorema de Ascoli-Arzel´ a (cuyo enunciado y demostraci´ on puede verse en [11]), el Teorema de Montel surge de forma inmediata. De lo contrario, puede verse una detallada demostraci´on directa en [3].

C.2.

Particiones de la unidad y orientabilidad

A continuaci´ on, se exponen cuestiones elementales sobre la estructura topol´ ogica de las superficies de Riemann como pueda ser la existencia de particiones de la unidad (que nos permiten extender propiedades locales a nivel global), la orientabilidad de tales superficies y alguna otra propiedad a tener en cuenta. C.2.1 Definici´ on. Sea X un espacio topol´ogico y U := {Ui }i∈I un recubrimiento abierto de X. Una partici´ on de la unidad en X es una familia de funciones continuas {fj : X → [0, 1]}j∈J tal que verifica lo siguiente: 1. La familia de los soportes de dichas funciones, {sop.(fj )}j∈J , es localmente finita. P 2. La suma de estas funciones es id´enticamente 1, o sea, fj ≡ 1. j∈J

Se dice que la partici´ on de la unidad {fj }j∈J est´a subordinada al recubrimiento U si adem´ as se cumple que: 3. Para cada j ∈ J existe un ij ∈ I tal que sop.(fj ) ⊂ Uij . C.2.2 Teorema. Si V es una variedad diferenciable con una base numerable para su topolog´ıa, entonces para todo recubrimiento abierto U := {Ui }i∈I de X existe una partici´ on de la unidad subordinada al recubrimiento U. Como consecuencia de la existencia de particiones de la unidad se deduce la existencia de funciones verificando propiedades u ´tiles, que ayudan en las demostraciones de los resultados: 91

C.2.3 Corolario. Sean V una variedad diferenciable, K un subconjunto compacto suyo y U un entorno abierto de K. Entonces, existe una funci´on diferenciable f tal que: 1. sop.(f ) ⊂ U 2. f |K = 1 Nos preocupamos en analizar la topolog´ıa de una superficie de Riemann. Resulta que, en una tal superficie, siempre podemos tomar una base numerable de abiertos. Esto es importante, porque debido a esta propiedad tendremos asegurada (en virtud del teorema anterior) la existencia de particiones de la unidad para la superficie de Riemann. Las particiones de la unidad, junto con el hecho de que una superficie de Riemann es un espacio Hausdorff, son las propiedades topol´ ogicas fundamentales para que una tal superficie sea una variedad adecuada sobre la cual pueda llevarse a cabo un An´alisis Matem´atico: C.2.4 Teorema (de Rad´ o). En toda superficie de Riemann V existe una base numerable de abiertos. Su demostraci´ on puede verse en [6]. Otra propiedad topol´ ogica importante de las superficies de Riemann que hay que mencionar es su “orientabilidad”: C.2.5 Teorema. Toda superficie de Riemann es orientable. C.2.6 Observaci´ on. Un peque˜ no c´alculo muestra que el determinante jacobiano de cambio de coordenadas entre abiertos coordenados de una superficies de Riemann es siempre positivo (de hecho, si U y V son dos abiertos coordenados de una superficie de Riemann V de coordenadas z y w, respectivamente y ϕ : V → U es el correspondiente cambio de coordenadas, entonces dicho determinante jacobiano es |ϕ0 (w)|2 ), lo cual quiere decir (por definici´on) que la superficie de Riemann es orientable, luego el teorema anterior es inmediato.

92

Bibliograf´ıa [1] Jes´ us Mu˜ noz D´ıaz, “Funciones de variables complejas”. Publicaciones del departamento de teor´ıa de funciones, Universidad de Salamanca (1977)11 [2] J. Escuadra Burrieza, J. Rodr´ıguez Lombardero, A. Tocino Garc´ıa, “An´alisis Matem´ atico”. Hesp´erides. [3] Jes´ us Mu˜ noz D´ıaz, “Curso de Teor´ıa de Funciones I”. Tecnos. [4] Lars V. Ahlfors, “An´ alisis de variable compleja”. Aguilar. [5] Walter Rudin, “Real and Complex Analysis”. McGRAW HILL. [6] Otto Forster, “Lectures on Riemann Surfaces”. Springer. [7] George Springer, “Introduction to Riemann Surfaces”. Chelsea Publishing Company. [8] Robert C. Gunning, Hugo Rossi, “Analytic Functions of Several Complex Variables”. Prentice-Hall. [9] Aziz El Kacimi Alaoui, “Introducci´on al An´alisis Funcional”. Revert´e S.A. [10] Ha¨ım Br´ezis, “An´ alisis Funcional”. Alianza Universidad Textos. [11] Avner Friedman, “Foundations of Modern Analysis”. Dover Publications, Inc. New York. [12] Hermann Weyl, “Die Idee der Riemannschen Fl¨ache”. Leipzig, Berlin, B.G. Teubner. [13] C. Runge, “Zur Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen”, Acta Math. 6 (1885). [14] H. Behnke, K. Stein, “Entwicklung analytischer Funktionen auf Riemannschen Fl¨ achen”, Math. Ann. 120 (1947-49).

11 La referencia citada aqu´ ı son apuntes del Profesor Jes´ us Mu˜ noz D´ıaz de la Universidad de Salamanca de una asignatura impartida por ´ el en el u ´ltimo curso de la Licenciatura en Matem´ aticas de la misma Universidad. Entre otros temas, estos apuntes tratan sobre la teor´ıa de funciones de varias variables complejas y han servido de apoyo para el presente trabajo, pues en ellos se recopila dicha teor´ıa siguiendo el libro [8] y diversos seminarios de Cartan.

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