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> > > 1.INTEGRAL DE RIEMANN > > DEFINICIÓN.Un conjunto de puntos P=(x0,x1,...,xn)es una partición > del intervalo [a,b] si > > a= xo > DEFINICIÓN. Sea f una función acotada en [a,b] y P=(xo,x1....,xn)una > partición de [a,b]. Definimos las siguientes cantidades para > i=1,2,...,n, > > Mi= sup(f(x):xE(E=pertenece)[xi−1,xi]) > mi =inf(f(x):xE[xi−1,xi]) > ^xi(^=variación)=xi−xi−1 > > La suma superior asociada a P de f y la suma inferior asociada a P > de f son,respectivamente, > > Uf(P)=EE(=sumatorio)Mi^xi, Lf(P)=EEmi^xi > > TEOREMA 1.1 Sea una función acotada en [a,b]. Entonces > > sup(P)Lf(P)<=inf(P)Uf(P), > > donde el supremo y el ínfimo se toman sobre todas las posibles > particiones P del intervalo [a,b] > > DEFINICIÓN. Si f es una función acotada en [a,b] tal que existe un > número real I verificando > > sup(p)Lf(P)=inf(P)Uf(P)=I, > > diremos que f es integrable en [a,b]. Al número I lo llamaremos > integral (definida)de f en [a,b] y lo escribiremos > > I=$(=integral)f=$f(x)dx > > OBSERVACIÓN. Si f es integrable en el intervalo, el número I es el > único que verifica > > Lf(P)<=I<=Uf(P) para toda partición P de [a,b]. > > TEOREMA 1.2 Si f es una función acotada en [a,b] y existe una > sucesión de particiones (Pn) de [a,b] tales que > > lim(n−>inf)Uf(pn)=lim(n−>inf)Lf(pn), > 1
> entonces f es integrable en [a,b] y además > > lim(n−>inf)Uf(pn)=lim(n−>inf)Lf(pn)=$f > > TEOREMA 1.3 Si f, g son funciones integrables en [a,b] y cER, > entonces > > 1. f+g es integrable en [a,b] y $f+g= $f+$g > 2. cf es integrable en [a,b] y $cf= c$f > 3. /f/(=valor absoluto de f) es integrable en [a,b] y > $/f/=>/$f/ > 4. fg es integrable en [a,b] y ($fg)**2<=($f**2)($g**2) > > OBSERVACIONES. Las propiedades 1 y 2 nos indican que el conjunto de > las funciones integrables en [a,b] es un espacio vectorial y la > integral es un operador lineal en este espacio. La propiedad 4 se > denomina desigualda de Cauchy−Schwarz > > TEOREMA 1.4 Si f es una función continua en [a,b], entonces f es > integrable en [a,b]. De hecho, se tiene el siguiente resultado: > > lim(n−>inf)EEf(yi)^xi= $f > > donde dada una partición P llamamos delta a la mayor de las longitudes > ^xi y elegimos puntos cualesquiera yiE[xi−1,xi]. En particular, si > ^xi=(b−a)/N para i=1,...,n se tiene > > lim(n−>inf)(b−a)/nEEf(a+i((b−a)/n))=$f > > OBSERVACIÓN. Este teorema también es cierto si f es una función > continua a trozos. > DEFINICIÓN. Si a > b$a f=−a$b f (b y a son los extremos. En los anteriores > y posteriores casos se entiende que los extremos son estos) > > TEOREMA 1.6 Si f es integrable en [a,b], entonces es integrable en > cualquier intervalo contenido en [a,b]. Además, para todo > c,d,eE[a,b](sin importar cómo estén ordenados)se tiene > > d$c f+ e$d f= e$c f > > TEOREMA 1.7 Si f es integrable en [a,b] y m<=f(x)<=M para todo > xE[a,b+, entonces > > m(b−a)<=$f<=M(b−a) > > COROLARIO 1.1 Sean f,g funciones integrables en [a,b] > > 1. Si f(x)=>0 para todo xE[a,b], entonces $f=>0 > 2. Si f(x)=>g(x) para todo xE[a,b], entonces $f=>$g > 2
> > TEOREMA 1.8 (Teorema del valor medio de la integral). Sean f continua > en [a,b] y g integrable en [a,b] con g(x)=>0 para todo xE[a,b]. > Entonces > > 1. Existe c1E[a,b] tal que $f= f(c1)(b−a) > 2. Existe c2E[a,b] tal que $fg= f(c2)$g > > > TEOREMA 1.9 Si f es integrable en [A,B], aE[A,B] y F(x)=$f(t)dt para > todo xE[A,B] entonces: > > 1. F es continua en [A,b] > 2. Si f es continua en x entonces F es derivable en x, > y d(=derivada)F(x)=f(x) > > OBSERVACIÓN La parte 2 de este teorema se conoce como teorema > fundamental del Cálculo. > > COROLARIO 1.2 Si f es continua en [a,b] y g y h son derivables en > [c,d] y con valores en [a,b], entonces la función > > A(x)= h(x)$g(x) f(t)dt > > es derivable en [c,d] y su derivada es dA(x)= > f(h(x))dh(x)−f(g(x))dg(x) > > TEOREMA 1.10 (regla de Barrow). Sean f y g continuas en [a,b] y g > derivable en (a,b). Entonces > > $f=g(b)−g(a)=:g(x)] con límites b y a > > TEOREMA 1.11 (integración por partes). Si df y dg son funciones > continuas en [a,b] entonces > > $f(x)dg(x)dx= f(b)g(b)−f(a)g(a)−$df(x)g(x)dx > > TEOREMA 1.12 (cambio de variable). Sea g una función tal que dg es > continua en [a,b] y sea f integrable en [g(a),g(b)]. Entonces > > g(b)$g(a) f(x)dx= $f(g(t))dg(t)dt. > > > > > >
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