´ ´ potencial Sumas de Riemann Funciones integrables Riemann Calculo de la integral Teoremas de integrabilidad La funcion

La Integral de Riemann

´ ´ potencial Sumas de Riemann Funciones integrables Riemann Calculo de la integral Teoremas de integrabilidad La funcion

´ ´ potencial Sumas de Riemann Funciones integrables Riemann Calculo de la integral Teoremas de integrabilidad La funcion

1

Sumas de Riemann

2

Funciones integrables Riemann

3

´ Calculo de la integral

4

Teoremas de integrabilidad

5

´ potencial La funcion

´ ´ potencial Sumas de Riemann Funciones integrables Riemann Calculo de la integral Teoremas de integrabilidad La funcion

´ Dado un intervalo [a, b] ⊆ R con a < b, se llama particion de [a, b] a cualquier subconjunto finito P = {x0 , x1 , . . . , xn } ⊂ [a, b] de forma que a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b.

M4 m4

´ P de [a, b] dividen a dicho Los puntos de la particion intervalo en n subintervalos de la forma [xi−1 , xi ]. ´ de [a, b]. Escribiremos P ∈ P si P es una particion ´ acotada y Si f : [a, b] → R es una funcion P = {x0 , x1 , . . . , xn } ∈ P definimos mi = ´ınf{f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]} Mi = sup{f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]} para todo i = 1, 2, . . . , n.

x0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

´ Figura 7.1: Calculo de M4 y m4

´ ´ potencial Sumas de Riemann Funciones integrables Riemann Calculo de la integral Teoremas de integrabilidad La funcion

´ ´ potencial Sumas de Riemann Funciones integrables Riemann Calculo de la integral Teoremas de integrabilidad La funcion

Sumas de Riemann ´ Definicion ´ acotada y Sea f : [a, b] → R una funcion P = {x0 , x1 , . . . , xn } ∈ P. Se define la suma inferior de Riemann de f ´ P como el valor correspondiente a la particion L(f , P) =

n X

mi (xi − xi−1 ).

i=1

Se define la suma superior de Riemann de f ´ P como el valor correspondiente a la particion U(f , P) =

n X

Mi (xi − xi−1 ).

x0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

Figura 7.2: Suma inferior

x0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

Figura 7.3: Suma superior

i=1 ´ ´ potencial Sumas de Riemann Funciones integrables Riemann Calculo de la integral Teoremas de integrabilidad La funcion

Propiedades de las sumas de Riemann

´ ´ potencial Sumas de Riemann Funciones integrables Riemann Calculo de la integral Teoremas de integrabilidad La funcion

1

Sumas de Riemann

2

Funciones integrables Riemann

3

´ Calculo de la integral

4

Teoremas de integrabilidad

5

´ potencial La funcion

´ acotada. Sea f : [a, b] → R una funcion 1

Si P y Q son dos particiones de [a, b] entonces L(f , P) ≤ U(f , Q).

2

Si P y Q son dos particiones de [a, b] de modo que P ⊆ Q entonces L(f , P) ≤ L(f , Q) ≤ U(f , Q) ≤ U(f , P).

´ ´ potencial Sumas de Riemann Funciones integrables Riemann Calculo de la integral Teoremas de integrabilidad La funcion

Integral de Riemann

´ ´ potencial Sumas de Riemann Funciones integrables Riemann Calculo de la integral Teoremas de integrabilidad La funcion

´ Definicion Se dice que f es integrable Riemann en [a, b] si

´ Definicion

b

Z

f =

´ acotada. Sea f : [a, b] → R una funcion Se define la integral inferior de Darboux de f en [a, b] como el valor Z b f = sup{L(f , P) : P ∈ P}, a

es decir, es el supremo de todas las sumas inferiores.

a

f. a

Rb Rb En este caso, este valor se denota por a f o a f (x)dx, y se denomina integral definida de f en [a, b]. Si f es integrable Riemann en [a, b] se define

Se define la integral superior de Darboux de f en [a, b] como el valor

Z

a

Z f (x)dx = −

b

Z

b

Z

b

f = ´ınf{U(f , P) : P ∈ P},

b

f (x)dx a

a

Z

a

f (x)dx = 0.

es decir, es el ´ınfimo de todas las sumas superiores. a

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Ejemplo Teorema de Riemann ´ f : [a, b] → R es integrable⇔ ∀ε > 0 La funcion ∃P ∈ ℘ : U (f , P) − L (f , P) < ε Teorema ´ acotada en el intervalo [a, b]. Sea f una funcion 1

2

3

Si f es continua en [a, b] entonces f es integrable Riemann en [a, b]. ´ Si f es monotona en [a, b] entonces es integrable Riemann en [a, b], ´ Si f es continua (o monotona) en [a, b] excepto en un numero finito de puntos entonces f es integrable Riemann ´ en [a, b].

´ que se conoce como funcion ´ de Dirichlet, La siguiente funcion, ´ integrable en [0, 1]: es acotada pero no es una funcion ( 1 si x es un numero racional del intervalo [0,1] f (x) = . 0 si x es un numero irracional del intervalo [0,1] Es sencillo comprobar que L(f , P) = 0 y que U(f , P) = 1 para todo P ∈ P, por lo que f no es integrable.

´ ´ potencial Sumas de Riemann Funciones integrables Riemann Calculo de la integral Teoremas de integrabilidad La funcion

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Propiedades 1

Si f , g son funciones integrables en [a, b] y α, β ∈ R entonces (αf + βg) ´ es integrable y se verifica que tambien Z b Z b Z b (αf + βg) = α f +β g. a

2

a

a

Sea c ∈]a, b[. Entonces f es integrable en [a, b] si, y solo si, f es ´ se verifica que integrable en [a, c] y f es integrable en [c, b]. Ademas, Z b Z c Z b f = f+ f. a

a

Desigualdades relativas a la integral Sean f , g dos funciones integrables Riemann en [a, b]. Rb 1 Si f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] entonces a f (x)dx ≥ 0. 2

Si f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b] entonces Rb Rb f (x)dx ≤ a a g(x)dx.

3

Z Z b b f (x)dx ≤ |f (x)|dx. a a

c

3

´ lo es. Si f , g son integrables en [a, b] entonces fg tambien

4

Si f es integrable en [a, b] y g es integrable en [c, d] con f ([a, b]) ⊆ [c, d] entonces g ◦ f es integrable en [a, b]

5

´ lo es. Si f es integrable en [a, b] entonces |f | tambien

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´ ´ potencial Sumas de Riemann Funciones integrables Riemann Calculo de la integral Teoremas de integrabilidad La funcion

Primitiva 1

Sumas de Riemann

2

Funciones integrables Riemann

3

´ Calculo de la integral

´ Definicion ´ definida en [a, b], decimos que F es una Sea f una funcion primitiva de f si F 0 = f ´ Proposicion

4

Teoremas de integrabilidad

5

´ potencial La funcion

Rx i) Si f es integrable en [a, b] entonces: F (x) = a f (t) dt es ´ continua. una funcion ´ f es continua en [a, b] entonces (ii) Si ademRas x ´ primitiva de f . F (x) = a f (t) dt es una funcion

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Casu´ıstica

Casu´ıstica

´ continua en [a, b] admite una primitiva Toda funci R xon F (x) = a f , sin embargo: a) Existen funciones no integrables con primitiva:  2x sin x12 − x2 cos x12 x ∈ [−1, 1] \ {0} f (x) = 0 x =0 ´ que no es integrable (ya que ni siquiera es una funcion ´ esta´ acotada en su intervalo de definicion) ´ sin embargo, la funcion  2 x sin x12 x ∈ [−1, 1] \ {0} F (x) = 0 x =0

b) Hay funciones integrables no continuas con primitiva:  2x sin x1 − cos x1 x 6= 0 f (x) = 0 x =0 no es continua en cero pero s´ı es integrable y su primitiva es:  2 x sin x1 x 6= 0 F (x) = 0 x =0

es su primitiva en [−1, 1] ´ ´ potencial Sumas de Riemann Funciones integrables Riemann Calculo de la integral Teoremas de integrabilidad La funcion

´ ´ potencial Sumas de Riemann Funciones integrables Riemann Calculo de la integral Teoremas de integrabilidad La funcion

Casu´ıstica 1

Sumas de Riemann

2

Funciones integrables Riemann

3

´ Calculo de la integral

4

Teoremas de integrabilidad

5

´ potencial La funcion

c) Hay funciones integrables que no tienen primitiva. ´ f (x) = E(x) para todo x ∈ [0, 2] es una funcion ´ La funcion ´ monotona por lo que es integrable Riemann. Sin embargo no admite primitiva.

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Teorema (primero de la media) Sean f , g : I → R funciones continuas y sea g ≥ 0 en I ⇒ ∃z ∈ [a, b] tal que b

Z

fg = f (z) a

´ Teorema (fundamental del calculo)

b

Z

g a

´ constante unidad tenemos Si consideramos g como la funcion que, aplicando el teorema anterior: Z

b

Z

b

dx = f (z) (b − a)

f (x) dx = f (z) a

´ integrable f : I → R. Sea F una primitiva de una funcion Entonces: Z b

f = F (b) − F (a) a

(Demostrar)

a

con lo que 1 f (z) = b−a

Z

b

f (x) dx a

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´ ´ potencial Sumas de Riemann Funciones integrables Riemann Calculo de la integral Teoremas de integrabilidad La funcion

´ (integracion ´ por partes) Proposicion Sean f , g : I → R funciones continuas y supongamos: a) F primitiva de f b) g diferenciable y g 0 continua en I Entonces: Z b Z b fg = {F (b) g (b) − F (a) g (a)} − Fg 0 a

a

´ ´ derivable denotamos NOTACION: Si h es una funcion dh = h0 (x)dx.

a

a

g(a)

a

Si f : [a, b] → R continua y f ≥ 0 entonces, si

v =F

´ la formula anterior se escribe: Z b Z b udv = [uv ]a −

Sean f : [c, d] → R, g : [a, b] → R funciones continuas con g ([a, b]) ⊂ [c, d], si F primitiva de f y g diferenciable con g 0 continua. Entonces: Z g(b) Z b f = (f ◦ g) g 0

´ Proposicion

Tomando u=g

´ (integracion ´ por sustitucion) ´ Proposicion

b

vdu.

Rb a

f =0⇒f ≡0

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´ ´ potencial Sumas de Riemann Funciones integrables Riemann Calculo de la integral Teoremas de integrabilidad La funcion

Problema: Sean p, q : X → R campos escalares X ⊆ R2 cumpliendo que sus derivadas parciales son continuas y que

1

Sumas de Riemann

2

Funciones integrables Riemann

D2 p = D1 q

(1)

3

´ Calculo de la integral

4

Teoremas de integrabilidad

Problema: Encontrar un campo escalar H : X → R con derivadas parciales continuas hasta segundo orden, de forma que D1 H = p y D2 H = q

5

´ potencial La funcion

´ (1) es una condicion ´ necesaria para que exista H Observacion: ya que, aplicando el teorema de Schwartz: D2 p = D2 D1 H = D1 D2 H = D1 q

´ ´ potencial Sumas de Riemann Funciones integrables Riemann Calculo de la integral Teoremas de integrabilidad La funcion

´ Solucion ´ Si consideramos X como un rectangulo X = [a, b] × [c, d]. Fijamos (x0 , y0 ) ∈ X = [a, b] × [c, d]. ´ cumple los requerimientos: La siguiente funcion Z y Z x p (t, y0 ) dt + q (x, s) dx H (x, y ) = y0

x0

En efecto: Z

y

y

Z D1 q (x, s) dx = p (x, y0 ) +

D1 H (x, y) = p (x, y0 ) + y0

D2 p (x, s) dx y0

= p (x, y0 ) + p (x, y ) − p (x, y0 ) = p (x, y) ´ de forma analoga se obtiene D2 H (x, y ) = q (x, y ) ´ potencial H se llama funcion Ejercicio: ´ potencial (si existe) para Calcula la funcion 3

2

2

p (x, y ) = x + xy , q (x, y ) = x y + y

3