Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC.

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Parte I

La Integral de Riemann Repasaremos los elementos principales del concepto de integral de Riemann para funciones reales de variable real f : [a, b] → R que sean acotadas (o sea, su recorrido es un conjunto acotado en R)

1.

Definición y propiedades básicas Sea f : [a, b] → R acotada. Una partición del intervalo [a, b] es un conjunto P = {x0 , x1 , x2 , ..., xn }

de n + 1 puntos tales que a = x0 < x1 < ... < xn = b La partición P divide al intervalo [a, b] en n subintervalos [xk−1 , xk ], con 1 ≤ k ≤ n, cada uno de longitud ∆xk = xk − xk−1 Ahora tomamos una partición P del intervalo [a, b] y para la función acotada f : [a, b] → R consideramos: sobre cada subintervalo [xk−1 , xk ], Mk = sup {f (x) : xk−1 ≤ x ≤ xk } mk = ´ınf {f (x) : xk−1 ≤ x ≤ xk } y definimos la suma superior y la suma inferior de f asociada a P : U (f, P) = L (f, P) =

n
k=1 n


Mk ∆xk mk ∆xk

k=1

Con estas definiciones se obtienen finalmente las llamadas integral superior e integral inferior de f  b f dx = ´ınf {U (f, P) : P es partición de [a, b]} a  b f dx = sup {L (f, P) : P es partición de [a, b]} a

2 Como f es acotada se tiene que existen reales M y m tales que ∀x ∈ [a, b] : m ≤ f (x) ≤ M de donde resulta fácilmente que m (b − a) ≤ L (f, P) ≤ U (f, P) ≤ M (b − a) cualquiera sea la partición P escogida. Esto muestra que las integrales inferior y superior de f están bien definidas (siempre existen). Definición 1 Se dice que f : [a, b] → R acotada es integrable Riemann ssi 

b

f dx =

a

y en este caso



b

f dx =

a





b

f dx a

b

f dx = a



b

f dx a

se llama integral de f sobre [a, b] . También se escribe

b a

f (x) dx.

El símbolo f ∈ R significa que f es integrable Riemann. Ahora interesa determinar en qué casos una función acotada resulta integrable. Dadas dos particiones P y Q de [a, b], se dice que Q es un refinamiento de P ssi P ⊆ Q (o sea todos los puntos de la partición P también son puntos de Q. Interesa ver cómo cambian las sumas inferior y superior cuando se refina una partición. Teorema 2 Si Q es un refinamiento de P, entonces L (f, P) ≤ L (f, Q)

y

U (f, Q) ≤ U (f, P)

Dem. Los detalles técnicos se hacen para una partición Q que tiene sólo un punto más que P. De aquí se obtiene que



a

b

f dx ≤



b

f dx a

En efecto, dadas dos particiones P1 y P2 de [a, b] se puede considerar el refinamiento P = P 1 ∪ P2 y luego L (f, P1 ) ≤ L (f, P) ≤ U (f, P) ≤ U (f, P2 )

3 es decir L (f, P1 ) ≤ U (f, P2 ) para cualquier par de particiones. Se sigue que L (f, P1 ) ≤ ´ınf U (f, P2 ) = P2



b

f dx a

y ahora tomando sup sobre P1 resulta 

b

f dx ≤

a



b

f dx a

Un criterio para integrabilidad es Teorema 3 Sea f : [a, b] → R. f ∈ R en [a, b] ⇐⇒ dado ε > 0 existe una partición P de [a, b] tal que: U (f, P) − L (f, P) < ε Dem. (⇒) Suponga f integrable y sea ε > 0 (dado). b b f dx = ´ınf {U (f, P) : P es partición de [a, b]}. Luego, a f dx + a inferior de este conjunto y existe una partición P1 tal que U (f, P1 ) < U (f, P1 ) −



a



b

f dx +

a

b

f dx <

ε 2

no es cota

ε 2

ε 2

Similarmente existe una partición P2 tal que  b ε f dx − L (f, P2 ) < 2 a b b b Ahora bien, a f dx = a f dx = a f dx.Luego, sumando la dos desigualdades anteriores resulta U (f, P1 ) − L (f, P2 ) < ε y tomando P = P 1 ∪ P2 U (f, P) − L (f, P) < U (f, P1 ) − L (f, P2 ) < ε

4 (⇐) Como para cada partición L (f, P) ≤



b

f dx ≤

a

resulta 0≤



b

f dx − a



b

f dx ≤ U (f, P)

a



b

f dx ≤ U (f, P) − L (f, P)

a

Ahora la hipótesis indoca que esta diferencia es menor o igual que todo ε > 0. Lo que indoca que vale 0. Es decir,  b  b f dx = f dx a

a

y f ∈ R. A partir de esta caracterización de las funciones integrables se establecerá que las funciones continuas y las funciones monótonas son integrables. Para esto se requiere el concepto de norma de una partición P : a = x0 < x1 < ... < xn = b P = m´ax {∆xk : 1 ≤ k ≤ n} Observe que norma pequeña significa que todos los subintervalos tienen longitud pequeña. Teorema 4 Sea f : [a, b] → R. f continua en [a, b] =⇒ f ∈ R en [a, b] Además, para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que: para cada partición P = {x0 , x1 , ..., xn } con P < δ y cualquier elección de tk ∈ [xk−1 , xk ], para k = 1, 2, ..., n se tiene   n  b  
  f (t ) · ∆x − f dx   0.Como f es uniformemente continua, existe δ > 0 tal que ∀x, y : |x − y| < δ =⇒ |f (x) − f (y)| < ε/ (b − a)

Luego, para una partición P con P < δ se obtiene Mk − mk < ε/ (b − a) , ∀k n
U (f, P) − L (f, P) = (Mk − mk ) · ∆xk < ε k=1

5 Además, como los valores

n 

b

f (tk ) · ∆xk y

a

k=1

se verifica la condición indicada.

f dx están entre L (f, P) y U (f, P) ,

Teorema 5 Sea f : [a, b] → R. f monótona en [a, b] =⇒ f ∈ R en [a, b] . Dem. Caso f monótona creciente. b−a b−a Para una partición P con ∆xk = para todo k (luego, P = ) se n n tiene mk = f (xk−1 ) y Mk = f (xk ) n
U (f, P) − L (f, P) = (f (xk ) − f (xk−1 )) · ∆xk k=1

b−a [f (b) − f (a)] n

=

y dado ε > 0 se puede escoger n suficientemente grande para que U (f, P)−L (f, P) < ε ,lo que muestra que f ∈ R. El siguiente teorema resume varias propiedades importantes de la integral. Teorema 6 Sean f, g : [a, b] → R acotadas. a) f, g ∈ R ⇒ (f + g) ∈ R y (cf ) ∈ R , cualquiera sea la constante c y además 



b a

b

(f + g) dx = f dx + a  b  b cf dx = c f dx a



b

g dx

a

a

b) Si f (x) ≤ g (x) en [a, b], entonces 

b

f dx ≤ a



b

g dx

a

c) Si f ∈ R en [a, b] y a < c < b, entonces f ∈ R en [a, c] y en [c, b] y además 

b

f dx =

a



a

c

f dx +



b

f dx

c

d) Si f ∈ R en [a, b] y |f (x)| ≤ M , ∀x ∈ [a, b], entonces  b      ≤ M (b − a) f dx   a

6 Dem. a) Se mostrará sólo para h = f + g. Es fácil ver que para una partición P cualquiera L (f, P) + L (g, P) ≤ L (h, P) ≤ U (h, P) ≤ U (f, P) + U (g, P) Por ejemplo, para la desigualdad de la derecha se tiene ∀x ∈ [xk−1 , xk ] : h (x) = f (x) + g (x) ≤ Mk (f) + Mk (g) ⇒ Mk (h) ≤ Mk (f ) + Mk (g) de donde se deduce la desigualdad indicada. Sea ε > 0. existen particiones P1 , P2 tales que U (f, P1 ) − L (f, P2 ) < ε U (g, P1 ) − L (g, P2 ) < ε y estas desigualdades se mantienen para P = P 1 ∪ P2 . Así entonces U (h, P) − L (h, P) ≤ 2ε lo que muestra que h = f + g es integrable. Ahora para la fórmula de la integral de h se tiene, para el ε dado y la misma partición P  U (f, P) − L (f, P) < ε =⇒ U (f, P) < L (f, P) + ε < f dx + ε  También, U (g, P) < g dx + ε De aquí, 

h dx ≤ U (h, P) ≤ U (f, P) + U (g, P) ≤



f dx +

y como ε era arbitrario, se concluye que    (f + g) dx ≤ f dx + g dx Un argumento similar permite establecer que    f dx + g dx ≤ (f + g) dx estableciéndose la igualdad requerida. El resto de la demostración queda de ejercicio.



g dx + 2ε

7 Teorema 7 Sean f : [a, b] → R integrable con Recf ⊆ [m, M ] y φ : [m, M ] → R continua. Entonces, h = φ ◦ f es integrable en [a, b] . Dem. Sea ε > 0. Como φ es uniformemente continua en [m, M ] existe δ > 0, el cual puede tomarse menor que ε, tal que ∀s, t ∈ [m, M] : |s − t| < δ =⇒ |φ (s) − φ (t)| < ε Siendo f integrable, existe una partición P de [a, b] tal que U (f, P) − L (f, P) < δ 2 Ahora denotamos mk , Mk , m∗k , Mk∗ los mínimos y máximos de f y de h, en [xk−1 , xk ], respectivamente. Observe que Mk − mk

< δ =⇒ ∀x, y ∈ [xk−1 , xk ] : |f (x) − f (y)| < δ =⇒ |h (x) − h (y)| < ε =⇒ Mk∗ − m∗k ≤ ε

Como U (h, P) − L (h, P) =

n 

(Mk∗ − m∗k ) · ∆xk , vamos a separar el conjunto

k=1

{1, 2, ..., n} en A : k ∈ A ssi Mk − mk < δ (y luego, Mk∗ − m∗k ≤ ε) y en B : k ∈ B ssi Mk − mk ≥ δ. Para el conjunto B se tiene:

∆xk ≤ (Mk − mk ) · ∆xk < δ 2 δ k∈B

y así ,




k∈B

∆xk < δ

k∈B

y además Mk∗ − m∗k ≤ 2K con K = sup {|φ (s)| : m ≤ s ≤ M } Por lo tanto, U (h, P) − L (h, P) =




(Mk∗ − m∗k ) · ∆xk +

k∈A




(Mk∗ − m∗k ) · ∆xk

k∈B

≤ ε (b − a) + 2Kδ < ε (b − a + 2K) Como ε > 0 era arbitrario, h resulta ser integrable.

8 Teorema 8 Si f, g ∈ R en [a, b], entonces a) f g ∈ R en [a, b]     b  b b) |f| ∈ R en [a, b] y  a f dx ≤ a |f| dx

Dem. a) Al considerar φ (t) = t2 , resulta del teorema anterior que f 2 ∈ R. De aquí 4f g = (f + g)2 − (f − g)2 ∈ R y fg ∈ R b) Con φ (t) = |t| se obtiene que |f | ∈ R. Además de las desigualdades − |f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)| , ∀x ∈ [a, b] se obtiene −





b

|f (x)| dx ≤ f (x) dx ≤ a  b   b     y  f dx ≤ |f| dx a

a

c.q.d.

2.

b



b

|f (x)| dx

a

a

Teorema fundamental del Cálculo

En esta sección se repasa la conocida relación entre los conceptos de derivada e integral, apareciendo como procesos inversos uno del otro. Teorema 9 Sea f ∈ R en [a, b]. Se define F : [a, b] → R por  x F (x) = f (t) dt a

Se tiene entonces que F es continua. Además, si f es continua en x0 ∈ [a, b], entonces F es derivable en x0 con F ′ (x0 ) = f (x0 ) . Dem. f es acotada; esto es |f (t)| ≤ M , ∀t.Se sigue que para a ≤ x < y ≤ b :   y  x   |F (y) − F (x)| =  f (t) dt − f (t) dt a y  a y   =  f (t) dt ≤ |f (t)| dt x

x

≤ M |y − x|

lo que permite probar continuidad uniforme en [a, b] , de la F .

9 Ahora, suponiendo f continua en x0 se tiene, dado ε > 0 se elije δ > 0 tal que ∀x ∈ [a, b] : 0 < |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε y luego      x  F (x) − F (x0 )   1      − f (x ) = (f (t) − f (x )) dt 0 0    x − x0  x − x0 x0x 1 < |f (t) − f (x0 )| dt < ε |x − x0 | x0 para 0 < |x − x0 | < δ. Esto muestra que F ′ (x0 ) = f (x0 ) . En el caso que f sea continua en [a, b], la función F definida es una antiderivada de f. O sea, toda función continua posee una antiderivada. Corolario 10 Sea f : [a, b] → R una función continua. Si F es “cualquier” antiderivada de f , entonces  b f(x)dx = F (b) − F (a) a

x Dem. La función G(x) = a f(t)dt del TFC es una antiderivada de f , al igual que F . Luego, la diferencia entre ambas es una constante. Así, G(x) = F (x) + C y evaluando en x = a 0 = G(a) = F (a) + C ⇒ C = −F (a) y G(x) = F (x) − F (a). Finalmente, evaluando en x = b G(b) =



a

c.q.d.

b

f(t)dt = F (b) − F (a)