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LECCIÓN
Áreas de rectángulos y paralelogramos
CONDENSADA
8.1 En esta lección ● ● ●
Revisarás la fórmula del área de un rectángulo Usarás la fórmula del área de un rectángulo para encontrar las áreas de otras formas Descubrirás la fórmula del área de un paralelogramo
El área de una figura plana es el número del unidades cuadradas que pueden acomodarse de manera que llenen la figura completamente. Es probable que ya conozcas varias fórmulas del área. Las investigaciones en este capítulo te ayudarán a comprender y recordar las fórmulas.
Área 15 unidades cuadradas
Área 11 unidades cuadradas
En las páginas 410–411 de tu libro, se analiza la fórmula para el área de un rectángulo. Lee ese texto atentamente. Asegúrate de que comprendes los significados de base y altura y que la fórmula del área tiene sentido para ti. Después completa la Conjetura del área de un rectángulo en tu libro. En el Ejemplo A de tu libro, se muestra cómo la fórmula del área para los rectángulos puede ayudarte a encontrar las áreas de otras formas. He aquí otro ejemplo.
EJEMPLO A
Solución
Encuentra el área de este cuadrado.
Rodea el cuadrado “inclinado” con un cuadrado de 7 por 7, con lados horizontales y verticales. Después, resta el área de los cuatro triángulos rectángulos que se forman del área del cuadrado que rodea el cuadrado inclinado. Cada uno de los cuatro triángulos es la mitad de un rectángulo de 2 por 5, de manera que cada uno tiene un área de 12 2 5, ó 5 unidades cuadradas. Por lo tanto, el área del cuadrado original es (7 7) (4 5) 29 unidades cuadradas. (continúa)
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Lección 8.1 • Áreas de rectángulos y paralelogramos (continuación) Al igual que con un rectángulo, cualquier lado de un paralelogramo puede llamarse base. Sin embargo, la altura de un paralelogramo no es necesariamente un lado. Más bien, la altura es la longitud de una altitud de la base. La altitud es cualquier segmento del lado opuesto a la base, perpendicular a la recta que contiene la base.
Altitud
Base
Investigación: Fórmula del área para paralelogramos Sigue los Pasos 1 y 2 de la investigación en tu libro. En el Paso 2, cada nueva forma que hagas tendrá la misma área que el paralelogramo original, porque simplemente habrás reordenado las partes, sin añadir o eliminar ninguna pieza. b
Forma un rectángulo con las dos partes. Observa que la base y la altura del rectángulo son iguales que la base y la altura del paralelogramo original. Como las áreas del rectángulo y del paralelogramo son iguales, el área del paralelogramo es bh. Esto puede resumirse en una conjetura. Conjetura del área de un paralelogramo El área de un paralelogramo se
h
s s
C-76
expresa por la fórmula A bh, donde A es el área, b es la longitud de la base, y h es la altura del paralelogramo.
Si las dimensiones de una figura se miden en pulgadas, pies, o yardas, el área se mide en pulg2 (pulgadas cuadradas), pies2 (pies cuadrados), o yardas2 (yardas cuadradas). Si las dimensiones se miden en centímetros o metros, el área se mide en cm2 (centímetros cuadrados) o m2 (metros cuadrados). Lee el Ejemplo B en tu libro y después lee el ejemplo siguiente.
EJEMPLO B
Solución
Un paralelogramo tiene una altura de 5.6 pies y un área de 70 pies2. Encuentra la longitud de la base. A bh 70 b(5.6) 70 b 5.6 12.5 b
Escribe la fórmula. Sustituye los valores conocidos. Resuelve para la longitud de la base. Divide.
La altura mide 12.5 pies.
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LECCIÓN
Áreas de triángulos, trapecios, y papalotes
CONDENSADA
8.2 En esta lección ●
Descubrirás las fórmulas del área para triángulos, trapecios, y papalotes
Puedes usar las fórmulas del área que ya conoces para derivar nuevas fórmulas de área.
Investigación 1: Fórmula del área para triángulos Sigue el Paso 1 en tu libro para crear y rotular un par de triángulos congruentes. Ya conoces la fórmula del área de rectángulos y paralelogramos. Acomoda los dos triángulos congruentes de manera que formen una de estas figuras. Escribe una expresión para el área de toda la figura. Después escribe una expresión para el área de uno de los triángulos. Resume tus descubrimientos completando la conjetura siguiente. Conjetura del área de un triángulo El área de un triángulo se expresa por la
C-77
fórmula __________________, donde A es el área, b es la longitud de la base, y h es la altura del triángulo.
A continuación, considerarás el área de un trapecio.
Investigación 2: Fórmula del área de un trapecio Sigue los Pasos 1 y 2 en tu libro para crear y rotular dos trapecios congruentes. Puedes acomodar los trapecios de manera que formen un paralelogramo. b2 h
b1 s s
b1
h b2
¿Cuál es la longitud de la base del paralelogramo? ¿Cuál es la altura? Usa tus respuestas para escribir una expresión para el área del paralelogramo. Después usa la expresión del área del paralelogramo para escribir una expresión para el área de un trapecio. Resume tus descubrimientos completando la siguiente conjetura. Conjetura del área de un trapecio El área de un trapecio se expresa por la
C-78
fórmula __________________, donde A es el área, b1 y b2 son las longitudes de las dos bases, y h es la altura del trapecio.
(continúa)
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Lección 8.2 • Áreas de triángulos, trapecios, y papalotes (continuación) Finalmente considerarás el área de un papalote.
Investigación 3: Fórmula del área de un papalote Dibuja un papalote. Dibuja sus diagonales. Sea d1 la longitud de la diagonal que conecta los ángulos del vértice y sea d2 la longitud de la otra diagonal. d2
d1
Recuerda que la diagonal que conecta los ángulos del vértice de un papalote lo divide en dos triángulos congruentes. Considera el lado rotulado d1 como la base de uno de los triángulos. Después, como la diagonal que conecta los ángulos del vértice de un papalote es la mediatriz de la otra diagonal, la altura del triángulo es 12d 2.
_1 d 2 2
d1
d1
_1 d 2 2
Escribe una expresión para el área de uno de los triángulos. Después usa la expresión del área del triángulo para escribir una expresión para el área del papalote. Resume tus descubrimientos completando la siguiente conjetura. Conjetura del área de un papalote El área de un papalote se expresa por la
C-79
fórmula __________________, donde A es el área, y d1 y d 2 son las longitudes de las diagonales.
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LECCIÓN
CONDENSADA
8.3
Problemas del área
En esta lección ●
Usarás una diversidad de estrategias para aproximar las áreas de figuras con formas irregulares
Ya has descubierto fórmulas para las áreas de rectángulos, paralelogramos, triángulos, trapecios, y papalotes. En esta lección, usarás estas fórmulas, junto con otros métodos, para encontrar las áreas aproximadas de figuras con formas irregulares.
Investigación: Solución de problemas con fórmulas del área En la siguiente página, encontrarás ocho figuras geométricas. Para cada figura, encuentra una forma de calcular el área aproximada. Después anota el área y escribe una o dos oraciones explicando cómo la encontraste. A continuación se muestran algunas sugerencias de métodos para encontrar el área de cada figura. Lee estas sugerencias solamente si no puedes avanzar. Existen muchas maneras de encontrar cada área. Los métodos que uses pueden ser muy diferentes de los aquí descritos. Figura A
Divide la figura en dos rectángulos.
Figura B Esta figura es un papalote. Usa lo que aprendiste en la Lección 8.2 para encontrar el área. Figura C
Divide la figura en triángulos, o rodea la figura con un rectángulo.
Figura D
Divide la figura en triángulos.
Esta figura es un trapecio. Usa lo que aprendiste en la Lección 8.2 para encontrar el área.
Figura E
Encuentra el área de los dos cuadrados. Recorta las otras dos partes y reacomódalas para crear una forma reconocible.
Figura F
Divide este dodecágono en 12 triángulos isósceles idénticos, con los ángulos del vértice en el “centro” del polígono.
Figura G
Traza la figura en un papel cuadriculado. Estima el número de cuadrados que caben dentro de la figura. O bien, dibuja el rectángulo más grande que quepa dentro de la forma. Recorta las partes restantes y acomódalas para crear formas reconocibles. Figura H
(continúa)
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Lección 8.3 • Problemas del área (continuación)
E G
B
A
H
C
D
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F
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LECCIÓN
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Áreas de polígonos regulares
En esta lección ●
Descubrirás la fórmula del área para polígonos regulares
Puedes dividir un polígono regular en triángulos isósceles congruentes, dibujando unos segmentos desde el centro del polígono a cada vértice. El centro del polígono es en realidad el centro del círculo circunscrito. En la investigación, dividirás polígonos regulares en triángulos. Después escribirás una fórmula para el área de cualquier polígono regular.
Investigación: Fórmula del área para polígonos regulares El apotema de un polígono regular es un segmento perpendicular que va del centro del círculo circunscrito del polígono a un lado del polígono. Sigue los pasos en tu libro para encontrar la fórmula del área de un polígono regular de n lados, con lados de longitud s y apotema a. Tus descubrimientos pueden resumirse en esta conjetura. Conjetura del área de un polígono regular El área de un polígono regular se
C-80
1 asn, 2
expresa por la fórmula A donde A es el área, a es la apotema, s es la longitud de cada lado, y n es el número de lados. La longitud de cada lado multiplicada por el número de lados es el perímetro, P; entonces, sn P. Por lo tanto, la fórmula del área también se puede escribir como A 12aP.
Los ejemplos siguientes te muestran cómo aplicar tus nuevas fórmulas.
EJEMPLO A
Solución
Un nonágono regular tiene un área de 302.4 cm2 y una apotema de 9.6 cm. Encuentra la longitud de cada lado. Como estás tratando de encontrar la longitud del lado, s, tal vez sea más fácil usar la fórmula A 12asn. También podrías usar A 12aP, resolver para P, y después dividir el resultado entre 9 (el número de lados). 1 A 2asn Escribe la fórmula. 1 302.4 2(9.6)(s)9 Sustituye los valores conocidos. 302.4 43.2s 302.4 s 43.2 7s
Multiplica. Resuelve para s. Divide.
Cada lado tiene una longitud de 7 cm. El siguiente ejemplo es el Ejercicio 12 en tu libro. (continúa) Discovering Geometry Condensed Lessons in Spanish ©2004 Key Curriculum Press
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Lección 8.4 • Áreas de polígonos regulares (continuación) EJEMPLO B
Encuentra el área sombreada del octágono regular ROADSIGN. El apotema mide aproximadamente 20 cm. El segmento GI mide aproximadamente 16.6 cm. G N
S
R
D O
Solución
I
A
Primero, encuentra el área de todo el octágono. 1 A 2asn Escribe la fórmula. 1 A 2(20)(16.6)(8) Sustituye los valores conocidos. A 1328
Multiplica.
El área es aproximadamente 1328 cm2. La parte sombreada constituye 68 del octágono. (Si divides el octágono en ocho triángulos isósceles, seis estarán sombreados.) Así pues, el área sombreada es de aproximadamente 68(1328 cm2), ó 996 cm2.
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Áreas de círculos
En esta lección ●
Descubrirás la fórmula para el área de un círculo
Un rectángulo tiene lados rectos, mientras que un círculo es completamente curvo. Por eso, tal vez te sorprenda aprender que puedes usar la fórmula del área de un rectángulo para ayudarte a encontrar la fórmula del área de un círculo. En la siguiente investigación, verás cómo.
Investigación: Fórmula del área de un círculo Sigue los Pasos 1–3 en tu libro para crear una figura como la siguiente.
La figura se parece a un paralelogramo. Si cortas el círculo en más cuñas, podrías acomodar estas cuñas más delgadas para formar un paralelogramo más rectangular. No perderías ni ganarías área en este cambio, de manera que el área de este nuevo “rectángulo” sería la misma que el área del círculo original. Si pudieras cortar infinitas cuñas, en realidad tendrías un rectángulo de lados lisos. Los dos lados más largos del rectángulo estarían constituidos por la circunferencia del círculo. Considera uno de estos lados como la base. Escribe una expresión para la longitud de la base del rectángulo. ¿Cuál es la altura del rectángulo? ¿Cuál es el área del rectángulo? Recuerda que el área del rectángulo es igual que el área del círculo original. Usa esta idea y tus descubrimientos para completar esta conjetura. Conjetura del área de un círculo El área de un círculo se expresa por la
C-81
fórmula A _______________, donde A es el área y r es el radio del círculo.
Los Ejemplos A y B en tu libro te muestran cómo usar tu nueva conjetura. Lee estos ejemplos atentamente y después lee los ejemplos siguientes. (continúa)
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Lección 8.5 • Áreas de círculos (continuación) EJEMPLO A
La circunferencia de un círculo es de 22 pies. ¿Cuál es el área del círculo?
Solución
Usa la fórmula de la circunferencia para encontrar el radio. Después usa la fórmula del área para encontrar el área.
C 2r 22 2r 11 r
Escribe la fórmula de la circunferencia. Sustituye los valores conocidos. Resuelve para r.
A r 2
Escribe una fórmula para el área.
A (11)2
Sustituye los valores conocidos.
A 121
Simplifica.
El área es 121 pies2, ó aproximadamente 380.1 pies2.
EJEMPLO B
En la pizzería de María, una pizza de pepperoni con un diámetro de 10 pulgadas cuesta $8, y una pizza de pepperoni con un diámetro de 12 pulgadas cuesta $10. ¿Cuál tamaño cuesta menos por pulgada cuadrada? 12 pulg
10 pulg
$8
Solución
$10
Encuentra el área de cada pizza, y después encuentra el precio por pulgada cuadrada. Pizza de 10 pulgadas
Pizza de 12 pulgadas
A r 2
A r 2
(5)2
(6)2
25
36 pulg 2.
Para El área es 25 encontrar el costo por pulgada cuadrada, divide el precio entre el área. 8 0.10 25
El área es 36 pulg 2. Para encontrar el costo por pulgada cuadrada, divide el precio entre el área. 10 0.09 36
La pizza de 10 pulgadas cuesta aproximadamente 10¢ por pulgada cuadrada.
La pizza de 12 pulgadas cuesta aproximadamente 9¢ por pulgada cuadrada.
La pizza de 12 pulgadas cuesta menos por pulgada cuadrada.
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LECCIÓN
CONDENSADA
8.6
De cualquier forma que lo rebanes
En esta lección ●
Aprenderás a encontrar el área de un sector, de un segmento, y de una corona de un círculo
En la Lección 8.5, descubriste la fórmula para calcular el área de un círculo. En esta lección aprenderás cómo encontrar las áreas de tres tipos de secciones de un círculo. Un sector de un círculo es la región entre dos radios de un círculo y el arco incluido. Un segmento de un círculo es la región entre una cuerda de un círculo y el arco incluido. Una corona circular (annulus) es la región entre dos círculos concéntricos. A continuación se ilustran los tres tipos de secciones.
Sector de un círculo
Segmento de un círculo
Corona circular
Las siguientes “ecuaciones ilustradas” te muestran cómo calcular el área de cada tipo de sección. a° b h r
r
r R
a° r
a ___ 360 a ___ 360
⭈
r
( ) ⭈ r
2
h
b
a°
a (___ 360 ) ⭈ r
Asector
2
1 _2 bh Asegmento
R
r
R 2 r 2 Acorona circular
Lee los ejemplos en tu libro atentamente. Después lee los siguientes ejemplos.
EJEMPLO A
R 9 cm y r 3 cm. Encuentra el área de la corona circular. R
r
(continúa) Discovering Geometry Condensed Lessons in Spanish ©2004 Key Curriculum Press
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Lección 8.6 • De cualquier forma que lo rebanes (continuación)
Solución
A R 2 r 2
La fórmula del área para una corona circular.
(9)2 (3)2
Sustituye los valores de R y r.
81 9
Evalúa los exponentes.
72
Resta.
El área de la corona circular es 72 cm 2. El ejemplo siguiente es el Ejercicio 12 en tu libro.
EJEMPLO B
El área sombreada es de 10 cm2. El radio del círculo grande es de 10 cm, y el radio del círculo pequeño es de 8 cm. Encuentra x, la medida del ángulo central.
x°
Solución
Primero, encuentra el área de toda la corona circular. A R 2 r 2
La fórmula del área para la corona circular.
(10)2 (8)2
Sustituye los valores de R y r.
36
Simplifica.
x El área sombreada, 10 cm 2, es 360 del área de la corona circular. Usa esta información para escribir y resolver una ecuación. x 10 360 36 10 360 36 x
100 x La medida del ángulo central es 100°.
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Área superficial
En esta lección ●
Aprenderás cómo encontrar las áreas superficiales de prismas, pirámides, cilindros, y conos
Puedes usar lo que sabes respecto a encontrar las áreas de figuras planas para encontrar las áreas superficiales de prismas, pirámides, cilindros, y conos. El área superficial de cada uno de estos sólidos es la suma de las áreas de todas las caras o superficies que rodean el sólido. Las caras incluyen las bases del sólido y sus caras laterales restantes. En un prisma, las bases son dos polígonos congruentes y las caras laterales son rectángulos o paralelogramos. En una pirámide, la base puede ser cualquier polígono. Las caras laterales son triángulos. Cara lateral Base
Bases
Cara lateral
Lee “Steps for Finding Surface Area” (los pasos para encontrar el área superficial) en la página 446 de tu libro. El Ejemplo A muestra cómo encontrar el área superficial de un prisma rectangular. Lee el ejemplo atentamente. Después lee el Ejemplo B, que muestra cómo encontrar el área superficial de un cilindro. Observa que, para encontrar el área de la superficie lateral del cilindro, necesitas imaginar cortar la superficie y aplanarla, de manera que obtengas un rectángulo. Como el rectángulo rodea exactamente la base circular, la longitud de la base del rectángulo es la circunferencia de la base circular. El área superficial de una pirámide es el área de la base, más las áreas de las caras triangulares. La altura de cada cara triangular se conoce como la altura inclinada (slant height). Para evitar confundir la altura inclinada con la altura de la pirámide, usa l en vez de h para la altura inclinada. Altura inclinada
Altura h
l
(continúa)
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Lección 8.7 • Área superficial (continuación) Investigación 1: Área superficial de una pirámide regular Las caras laterales de una pirámide regular son triángulos idénticos, y la base es un polígono regular. b b
b
b
l
b a b
b
b
b
b
b
b
b
b
b b
Cada superficie lateral es un triángulo con una longitud de base b y una altura l. ¿Cuál es el área de cada cara? Si la base es un n-ágono, entonces hay n caras laterales. ¿Cuál es el área total de la superficie lateral de la pirámide? ¿Cuál es el área de la base en términos de a, b, y n? Usa tus expresiones para escribir una fórmula para el área superficial de una pirámide n-agonal regular en términos del número de lados, n, la longitud de la base b, la altura inclinada l, y la apotema a. Usando el hecho de que el perímetro de la base es nb, escribe otra fórmula para el área superficial de una pirámide n-agonal regular en términos de la altura inclinada l, el apotema a y el perímetro de la base, P.
En la siguiente investigación, encontrarás el área superficial de un cono con un radio r y una altura inclinada l.
Investigación 2: Área superficial de un cono Al incrementarse el número de caras de una pirámide, ésta comienza a verse como un cono. Puedes concebir la superficie lateral como muchos triángulos delgados, o como un sector de un círculo. Puedes reacomodar los triángulos para formar un rectángulo. r
l
l
r
l
2r
r
Usa los diagramas para ayudarte a escribir una fórmula para el área de la superficie lateral en términos de r y l. Usando la expresión para un área de la superficie lateral y una expresión para el área de la base, escribe una fórmula para el área superficial del cono. (continúa)
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Lección 8.7 • Área superficial (continuación) El Ejemplo C en tu libro te muestra cómo aplicar la fórmula para el área superficial de un cono. Lee ese ejemplo atentamente. El ejemplo siguiente es el Ejercicio 9 en tu libro.
EJEMPLO
Encuentra el área superficial de este sólido. D 8, d 4, h 9. d
h
D
Solución
El área superficial es el área de la superficie lateral del cilindro externo, más el área de la superficie lateral del cilindro interno, más el área de las dos bases, que son coronas circulares. D 8 Área de la superficie lateral del cilindro externo 2 2 h 2 2 9 72 cm 2
d 4 Área de la superficie lateral del cilindro interno 2 2h 2 29 36 cm D d Área de una base 2 2 8 4 2 2 12 cm 2
2
2
2
2
2
Entonces, Área superficial total 72 36 2(12) 132 cm2 414.7 cm 2.
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