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Prof. Enrique Mateus Nieves Doctorando en Educación Matemática .
Asíntotas en una función. Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.
Definición: Si un punto ( x , y ) se desplaza continuamente por una función y f ( x ) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.
Las asíntotas se clasifican en:
Verticales Asíntotas Horizontales Oblicuas
Asíntotas Verticales (paralelas al eje Y) Si existe un número “a” tal, que:
Ejemplo. f ( x )
lim f(x) la recta " x a " es la asíntota vertical xa
1 1 ; lim , 2 x 2 x 2 x 22
x 2 es la asíntota vertical.
Asíntotas Horizontales (paralelas al eje X) Si existe el límite: lim f x b , la recta “y=b” es la Asíntota horizontal x
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Ejemplo: f ( x )
x 1 x 1 ; lim 1, x 3 x x 3
y 1 es la asíntota horizontal.
Asíntotas Oblicuas. (inclinadas) Si existen los límites: lim
x
f x m; lim f x m x n x x
La recta “ y mx n ” es la asíntota oblicua.
2x 2 2x 2x 2 Ejemplo: f x lim x 3 lim 2 2m x x 3 x x 3 x x 2
lim
x
2x 2 2 x - 6 n, x3
y 2x 6 Es la asíntota oblicua.
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Nota: 1. Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de unas, implica la no existencia de las otras. 2. En el cálculo de los límites se entiende la posibilidad de calcular los límites laterales (derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la existencia de asíntotas por la derecha y por la izquierda diferentes o solo una de las dos.
Posición relativa de la función con respecto a la asíntota
Para estudiar la posición relativa de la función con respecto a la asíntota, primero calcularemos los puntos de corte de ambas resolviendo el sistema:
y f x Pa ,b y Asíntota Estos puntos determinan los cambios de posición de la función respecto de la asíntota. Estos cambios quedarán perfectamente establecidos estudiando el Signo [f(x) - Asíntota].
Ejemplo: La función y f x
x3 tiene por asíntota oblicua la rectan y x 2 x 12
Calculamos los puntos de intersección de ambas:
x3 x3 2 8 x 2 x 3 3x 2 x y x 12 2 3 3 x 1 y x 2 y
2 8 , 3 3
El punto de corte de las dos funciones es P
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Ahora estudiamos el signo de FUNCIÓN-ASÍNTOTA. x3 3x 2 2 - x 2 0 0 3x 2 0 x Esto nos indica que en el intervalo 23 , la 2 2 3 x 1 x 1 función está por encima de la asíntota y en el intervalo , 23 la función está por debajo de la asíntota.
En resumen:
Asíntotas verticales Se calcula el Dominio (Dm) de la función Tomamos el límite, para los valores de x que no pertenecen al Dm. Si el limite nos da infinito, en esos valores hay una asíntota vertical lim f x xa
Para saber a valor tiende la función hay que tomar el o los límites laterales.(la solución puede ser solo
Son rectas paralelas al eje Y. Se escriben x igual al valor de la asíntota vertical. Estas son algunas clases de funciones que pueden tener asíntotas verticales:
Funciones racionales indeterminadas de la forma Funciones logarítmica Función tangente.
k 0
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Ejemplos de funciones k
Función racional. Indeterminación 0 : sea f x
x 1 x 1
Dm f x - 1 de ahí que:
x 1 2 k que es un tipo de indeterminación tipo 0 y hay una asíntota vertical en x=1 x -1 0 Tomamos los límites laterales para ver a que tiende la función por su izquierda y por su derecha. lim x 1
Sustituimos los valores de x por la izquierda x 0,99 y por la derecha x 1,1 . Solo nos interesa el signo que tome no los números, la única solución va a ser o,
x 1 0,99 1 x 1 1,1 1 y lim la información de los límites x 1 x - 1 x 1 x - 1 0,99 1 1,1 1 laterales la usamos para representar la gráfica. Observe los límites laterales en x=1 de la figura: lim
Función logarítmica
f x log x Dm f x 0, El 0 no está incluido, pero el 0,000000001 si. Tomamos el límite lateral en cero por la derecha para ver el signo. lim log x lim log 0,00000001 8
x 0
x 0
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Asíntotas horizontales Características y pasos para calcular asíntotas horizontales: las asíntotas horizontales nos indican a que tiende la función cuando x es muy grande o muy pequeña. Calculamos el límite de la función cuando x tiende a infinito. Si existe el limite (valor finito), el valor del límite es de una asíntota horizontal. lim f x b y se escribe y=b x
Son rectas paralelas al eje X. se escriben y= al valor de la asíntota horizontal Las funciones Racionales tienen asíntota horizontal en estos casos:
Px 1 Cuando el numerador y el denominador son del mismo grado Qx 2 Cuando el grado del denominador es mayor que el grado del numerador
Las Funciones Exponenciales tienen una asíntota horizontal en y=0
Ejemplo de asíntotas horizontales f x
x 1 x 1
lim
x
x 1 1 Luego hay una asíntota horizontal en y=1. x -1
Nota: para saber si la función tiende a 1 por arriba o por debajo, damos valores “grande y pequeño” a x. i. x 10 f 10
10 1 11 1,22 La función se acerca a uno por arriba de la asíntota cuando x 10 1 9
Prof. Enrique Mateus Nieves Doctorando en Educación Matemática . ii. x 10 f - 10
10 1 - 9 0,81 10 1 - 11
La función se acerca a uno por abajo de la asíntota cuando x
Ver la gráfica en la página anterior.
Asíntotas oblicuas DEFINICIÓN: Una recta de ecuación y mx n , lim f x mx - n 0
m 0. es asíntota oblicua de una función f(x) si
x
Proceso:
ordenada recta f x abscisa recta x calculamos la ecuación de la asíntota mediante: y = mx + n tomamos la ecuación de la función: y = f(x) calculamos la pendiente "m" con: m
Esto quiere decir que "m" es un valor muy próximo al cociente entre f(x) y x, cuando x toma valores f x grandes (en valor absoluto). Por tanto, para calcular "m" hallaremos el siguiente límite m lim x x Después de calcular "m" es fácil hallar el valor de "n". Fijándote en la definición inicial, se cumple que lim f x mx - n 0 . Operando se obtiene que "n" tomará el valor n lim f x mx x
x
En resumen. 1 la pendiente m lim
y mx n ,
m 0. Debemos calcular: 2 Ordenada
x
f x x
n lim f x m x x
Funciones racionales y asíntotas oblicuas:
una función racional tiene asíntotas oblicuas cuando el grado del numerador es una unidad mayor al grado del denominador. De ahí que:
Px Qx
x2 1 x2 1 lim Tiene asíntota oblicua x x 1 x 1 x3 1 x3 1 f x lim No tiene. tiene una rama parabólica x x 1 x 1 f x
Nota: las asíntotas horizontales y oblicuas son incompatibles. Si hay unas no puede haber las otras. Para funciones racionales se puede calcular el cociente QP xx ; este será la ecuación de la asíntota. El resto no nos interesa.
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Ejemplos de asíntotas oblicuas x2 2x 2 Como el grado del numerador es una unidad mayor que el frado del x 1 x2 2x 2 denominador, tiene una asíntota oblicua. Para ubicarla calculamos el límite así: lim este x x 1 Ejemplo 1: Sea f x
valor indica que sí hay una asíntota oblicua a la que debemos calcular su ecuación. Para ellos buscamos la pendiente:
Pendiente m lim
x
f x x2 2x 2 x2 2x 2 lim lim 1 x x x x( x 1 ) x2 x
x2 2x 2 x2 Ordenada n lim f x mx lim x lim 1 x x x 1 x x 1 Como la ecuación es de la forma: l siguiente gráfico)
Ejemplo 2. Sea f x
y mx n y x 1 (para representarla damos valore y obtenemos
x2 1 Px en esta función calculamos la ecuación de la asíntota oblicua dividiendo x 1 Q x
el cociente es la educación de la asíntota. Recuerde que el residuo o resto no nos interesa veamos:
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Ejercicios Para las siguientes funciones: grafíquelas e indique si tienen o no asíntotas y de qué clase: 1.
x 2 x 42 x6
f x
4. f x 7. f x
x xe x 1
3x 2 x 2 5x 2 4 x 1
2. f x
x 2 1 x
5. f x
0,5 x 2 x
8. f x 11. f x
10. f x
1 4x 3
13. f x
x 2 x 1 x 22 x 44 3
14. f x
2x x 3
x3 x2 1
e3x x 52
3. f x 6. f x
9.
x 2 1 x2 1
f x
12. f x
x2 e x 1
x2 2x x2 x 2
x2 7x 3 x2
15. f x cot x