Aventuras migratorias: ¿como evolucionan los sistemas planetarios? Frederic Masset Introducción Desde el descubrimiento del primer exoplaneta (o planeta extrasolar) a finales del 1995 por Michel Mayor y Didier Queloz, se han descubierto a la fecha alrededor de 700 planetas extrasolares. Las características orbitales de estos planetas, en muchos casos, no tienen nada en común con las de los planetas de nuestro sistema solar. Una de las grandes sorpresas de la llamada « caza de planetas » ha sido el descubrimiento de una gran proporción de planetas con órbitas muy pequeñas y períodos orbitales que se miden en días, que se suelen llamar planetas « calientes ». Así mismo, se han descubierto una gran proporción de planetas cuyas excentricidades son mucho mayores a las de los planetas del sistema solar (ciertas excentricidades pueden superar 0.9 !). Otra sorpresa mas reciente es el descubrimiento de planetas calientes que tienen una órbita retrograda, o sea que dan la vuelta alrededor de su estrella en sentido contrario al sentido de rotación de esta última. Este trabajo describe como los efectos de marea entre un planeta y el disco gaseoso dentro del cual se forma pueden contribuir a entender la variedad de los sistemas planetarios. Si bien estos efectos no son los únicos en esculpir los sistemas planetarios nacientes, desempeñan un papel de primer orden. La importancia de estos efectos se debe a la gran cantidad de masa disponible en el gas, la cual es susceptible de llevarse o entregar al planeta una cantitad importante de momento angular y energía orbital, y por ende de afectar sus elementos orbitales de manera considerable. La teoría de estos efectos ha alcanzado un nivel de refinamiento bastante importante. Sin embargo, muchos de los efectos de marea se manifiestan, como lo veremos a continuación, como el residuo sútil entre grandes efectos antagónicos, lo cual implica que necesitamos un conocimiento preciso de las condiciones que prevalecen en el disco para que la teoría de los efectos de marea tenga algun poder predictivo. Nuestro conocimiento de la física de los discos protoplanetarios en las regiones donde se forman los planetas (típicamente debajo de 10 unidades astronómicas) es muy escaso y dependiente de los modelos, ya que ningun instrumento todavía nos permite resolver estas regiones altamente embebidas de la llamada fase T Tauri, durante la cual la protoestrella está rodeada de un disco de gas masivo. A consecuencia, es todavia prematuro poder predecir las propiedades de los sistemas planetarios a los cuales estos objetos van a dar a luz. Sin embargo, esta situación va a cambiar en los próximos años, gracias a la puesta en servicio de ALMA (Atacama Large Millimeter Array), que permitirá resolver estas regiones en los objetos T Tauri. En este trabajo voy a describir como las interacciones de marea afectan principalmente al eje semi-mayor de un protoplaneta, proceso llamado migración planetaria. Describiré los distintos tipos de migracion conocidos a la fecha, y como la física del disco tiene impacto sobre la dirección y tasa de migración. Naturalmente, los efectos de marea pueden tambien afectar los otros elementos orbitales (excentricidad, inclinación, etc.), pero en este caso el efecto es, por lo general, trivialmente una amortiguación de la excentricidad (es decir una circularización de la órbita) o de la inclinación (es decir un alineamiento del plan del disco y de la órbita).

1. Migración de tipo I Debido a la observación anterior (que los efectos de marea suelen amortiguar las excentricidades, lo cual hacen sobre una muy corta escala de tiempo), es válido suponer que las órbitas de los protoplanetas son casi-circulares. A consecuencia es relevante considerar exclusivamente la componente tangencial de la fuerza de marea debida al disco, y la torca de dicha componente. En el caso de la órbitas casí circulares, el estudio de la migración se reduce a un estudio de las torcas de marea. Si submergimos un planeta en un disco gaseoso inicialmente no perturbado, excita por gravedad una estela espiral, de un brazo, que se propaga radialemente en el disco y corota con el planeta. Esta situación se muestra en la figura 1.

Figura 1. Estela espiral excitada en un disco gaseoso delgado por un planeta de baja masa. Se grafica en colores falsos la densidad de superficie del disco. El objeto central (estrella de tipo T Tauri) está en el centro del disco negro central, que corresponde a una región no cubierta por la malla de computo. La estela así generada corresponde a regiones mas densas del disco (correspondiendo a la estela) que ejercen una fuerza gravitatoria sobre el planeta, la cual es el resultado neto de las fuerzas ejercidas por el brazo interno y por el brazo externo, que tienen direcciones opuestas. Por razones históricas, la torca correspondiente se llama torca de Lindblad. Existe otra componente de la torca, cuyo origen no es la estela, sino el material que está cerca de la orbita, y que ejecuta, en el referencial corotante con el planeta, trayectorias cerradas en forma de herradura. Este material deriva lentamente

con respecto al planeta, e intercambia con el momento angular cuando ejecuta vueltas en U en las extremidades de la región herradura. La figura 2 muestra el aspecto de unas líneas de corriente herradura.

Figura 2. Representación de algunas líneas de corriente en la región coorbital de un planeta massivo (abajo, en en punto mas oscuro de la estela). El disco naranja representa un elemento de fluido sentado en una línea herradura. Todas las líneas mostradas aquí no son de tipo herradura, como se puede apreciar en la parte inferior de la figura. Solamente las que yacen lo mas cerca de la órbita presentan la característica « vuelta en U ». El ancho de la región herradura crece con la masa del planeta, razón por la cual para esta figura se escogió un planeta gigante. La tasa de intercambio de momento angular entre el planeta y los elementos de fluido en las extremidades de la region herradura corresponde a lo que se llama la torca de corotación. La torca total ejercida por el disco sobre el planeta corresponde a la torca de corotación y a la torca diferencial de Lindblad. Vamos a presentar ambas torcas en mas detalle. 1.1 Torca diferencial de Lindbad La torca diferencial de Lindblad, que corresponde como lo mencionamos mas arriba, a la torca ejercida por la estela, tiene la siguiente expresión (Ward, 1997 ; Paardekooper et al. 2010): LR  (2.5 1.7  0.1)2a4q2h 2



donde ∑ es la densidad de superficie del disco, a es el radio orbital del planeta, q el cociente de masas del planeta y de la estrella, h la relación de aspecto H/R del disco. Dentro del parentesis,  representa la pendiente (sin dimensión) del perfil de temperatura :

d logT , d logr y  representa la pendiente (sin dimensión) del perfil de densidad de superficie : d log .   d logr







La formula indicada para la torca de Lindblad es válida en discos localmente isotérmicos, es decir cuando la temperatura en la vecindad del planeta se relaja hacia su valor de equilibrio en un tiempo menor al tiempo dinámico (orbital) del sistema. En el caso contrario, es necesario dividir la expresión de la torca por , cociente de los calores específicos a presión y volumen constantes (indice adiabático). La expresión de la torca muestra algunas características muy importantes, entre las cuales : - con valores « razonables » de la pendiente de temperatura (una temperatura que decae hacia afuera mas lentamente que r 1.47 ), la torca es negativa y a consecuencia la migración se hace hacia el objeto central (el planeta pierde momento angular). - El pequeño valor del coeficiente de  vuelve la torca casí insensible al gradiente radial de densidad de superficie. A primera vista esto puede parecer contra-intuitivo :  nos esperamos que perfiles muy agudos, correspondiendo a discos que tienen mucho mas materia dentro de la órbita  que afuera, podría proporcionar una torca de signo opuesto a discos con una pendiente opuesta. Sin embargo, los discos protoplanetarios no son discos Keplerianos stricto sensu. El gradiente radial de presión entra en juego en el equilibrio rotacional del disco, lo cual hace que la materia rota generalmente un poco mas despacio que el planeta. Esto induce un tralasdo radial de la estela, cuyo efecto contrarresta los del gradiente de densidad. Este mecanismo se llama el pressure buffer (Ward 1997), y es el mayor responsable de que la migración planetaria sea tan insensible a las propiedades del disco, e invariablemente dirigido hacia dentro. Nótase que la fórmula de la torca de Lindblad ha sido obtenida en la aproximación bidimensional. Hasta la fecha no existe una fórmula obtenida analíticamente para discos tridimensionales que abarque a la vez el gradiente de densidad de superficie y el gradiente de temperatura, pero existen evidencias numéricas con simulaciones tridimensionales que la fórmula en discos 3D no ha de diferir mucho de la que aquí proporcionamos (Casoli & Masset, en prep.). 1.2 Torca de corotación Hasta el final de los años noventa, el estudio de la región coorbital y de la torca de corotación habia sido bastante menospreciado. Había para esto dos razones : - primero, estudios analíticos en el regimen lineal habian demostrado que a lo mucho, la torca de corotación podía representar 50% de la torca de Lindblad, en valor absoluto. Era entonces admitido que era la torca de Lindblad que llevaba la batuta, imponiendo el sentido de la migración y el orden de magnitud de la tasa (Tanaka et al, 2002). - Segundo, se suponía que la torca de corotación saturaba, es decir que su valor tendiera hacia cero a largo tiempo (Masset, 2001 ; Balmforth & Korycansky, 2001). Este proceso de saturación ha sido el enfoque de numerosos estudios recentes, con lo cual es importante presentarlo en algun detalle. Vimos mas arriba que los elementos de fluido de la región herradura intercambian periodicamente momento angular con el planeta, cada vez que ejecutan una vuelta en U en las extremidades de la líneas en herradura. Periodicamente, un elemento de fluido da y recibe del planeta la misma

cantitad de momento angular, que segun el caso lo promueve a una órbita de radio superior o le hace decaer al lado interno de la órbita. En promedio sobre el tiempo, el elemento de fluido ejerce entonces una torca nula sobre el planeta. Ocurre lo mismo con cada uno de los elementos de fluido de la región herradura, con lo cual la torca media ejercida por esta región sobre el planeta se cancela. Esta cancelación (o saturación, en la terminología consagrada) se manifiesta varios tiempos de libración despues de la inserción de un planeta en un disco. Inicialmente, podemos ver oscilar la torca de corotación entre valores positivos y negativos, pero a gran tiempo el valor decae hacia cero, debido a la mezcla de fase que ocurre en esta región (cada línea de corriente herradura tiene su propio tiempo de libración, diferente a los demas). El proceso de saturación se muestra en la figura 3.

Figura 3: Saturación de la torca de corotación. La gráfica de la izquierda es una vista esquematica de la región herradura, y la gráfica de la derecha muestra la torca de corotación en función del tiempo. La curva negra es el valor de la torca de corotación total (sumada sobre toda la región), mientras que las líneas azul y roja muestran de manera simplificada la contribución de dos líneas de corriente individuales, con escala arbitraria. A lo largo de la última década, sin embargo, se ha reconsiderado las dos razones mencionadas mas arriba por la cual se descartaba la torca de corotación : - Se ha mostrado que en muchos casos, incluso cuando la masa del planeta es pequeña, la torca de corotación no alcanza su valor lineal, si no que entra en un regimen no-lineal que le confiere un valor mayor al lineal, lo cual vuelve la torca de corotación potencialmente capaz de oponerse a la torca de Lindblad (Paardekooper & Papaloizou, 2009) - Los procesos disipativos en el disco (evolución viscosa, difusión térmica) pueden impedir la saturación de la torca, que converge a gran tiempo hacia un valor finito (Masset & Casoli, 2010). A estas dos grandes razones, conviene agregar una última : existe una nueva componente de la torca de corotación en los discos, que escala con el gradiente radial de la entropía del disco. Esta componente puede ser bastante grande, y oponerse a la torca de Lindblad, con tal que los perfiles de densidad y de temperatura del disco lleven a un fuerte gradiente radial de entropía (Paardekooper & Mellema, 2006 ; Baruteau & Masset, 2008 ; Masset & Casoli, 2009, Paardekooper et al, 2010).

2. Migración de tipo II La migración planetaria de los planetas de baja masa, sujetos a ambas torcas (Lindblad y corotación) es tradicionalmente llamada migración de tipo I. Cuando la masa del planeta aumenta, asistimos a dos fenómenos : - La región herradura aumenta su ancho proporcionalmente a la raíz cuadrada de la masa del planeta, hasta que el lóbulo de Roche de este emerja del disco. Cuando esto ocurre, la region herradura se vuelva todavía mas ancha, lo cual incrementa la torca de corotación, que puede volverse dominante sobre la torca de Lindblad. - La vueltas en U se vuelven asímetricas, lo cual desemboca en el vaciamiento progresivo de la región coorbital, donde el planeta socava un surco, como se representa en la figura 4.

Figura 4. Vueltas en U asimétricas de un planeta gigante. Si seguimos el trayecto de uno de los dos elementos L1 o L2 aquí representados, vemos que el flujo los mapea respectivamente en L1’ y L2’, con lo cual los tiende a alejar de la órbita (línea horizontal punteada). Despues de varios tiempos de libración herradura, esto lleva a un vaciamiento de la región coorbital. La figura 5 muestra el estado del disco 99 órbitas despues de la inserción de un planeta de masa igual a una masa de Jupiter. Claramente la migración de un planeta en este disco truncado por efectos de marea va a ser nítidiamente diferente de la de un planeta de baja masa que no vacía su región coorbital. En particular, al no tener materia en el surco, apagamos la torca de corotación. El planeta es exclusivamente sujeto a la torca de Lindblad, y esta también es muy diferente al caso de baja masa. Para entenderlo, hay que realizar que el disco es aquí particionado en dos regiones, el disco interno y el disco externo, y en primera aproximación suponemos que ambas partes no intercambian materia. Si suponemos que el disco tiene las propiedades características de los discos de T Tauri, las cuales tienen una tasa de acreción sobre la estrella de 10-7 a 10-9 masas solares por año, entonces la materia del disco deriva hacia el objeto central. Si el planeta no se moviera, la orilla externa del surco se aproximaría a el, favoreciendo la torca externa, la cual es negativa (el brazo espiral del disco

externo se ubica detras del planeta, si orientamos el disco en el sentido de su rotación), con lo cual favoreceríamos una migración hacia dentro (a una velocidad típica mucho mayor que la del disco). Al contrario, si el planeta migrara mas rapidamente que el disco, se favorecería la torca interna (positiva), deteniendo del mismo modo la migración. Vemos que tenemos aquí los elementos de un enganchamiento, tal que las torcas conspiran para mantener el planeta en el medio del surco y así forzarlo a migrar a la misma tasa que el disco : el planeta se ha vuelto un « super elemento de fluido » del disco y participa con los demas a la deriva viscosa hacia el centro. Este tipo de migración se llama migración de tipo II, y es el tipo de migración que caracteriza los planetas gigantes (los planetas cuyo lóbulo de Roche es de tamaño mayor al espesor del disco, Crida et al. 2006).

Figura 5. Surco en la región coorbital de un protoplaneta de masa joviana, 99 órbitas despues de la inserción del planeta en el disco. El planeta no está autorizado, en esta simulación, a acretar gas del disco, con lo cual el surco es exclusivamente vaciado mediante efectos de marea. La migración de tipo II tal como está descrita en las lineas anteriores solamente puede ocurrir si no hay comunicación entre el disco interno y el disco externo. En la realidad, puede haber un flujo de materia entre ambos discos, una parte del cual puede acabar desviada hacia el planeta, donde se acreta. Tambien hay que notar que el disco moverá eficazmente el planeta solamente cuando la masa de ese último es comparable con la masa del disco. En las últimas etapas de la formación planetaria, cuando el disco se vuelve tenue, ya no puede absorber una cantitad de momento angular que mueva significamente el planeta. Este último detiene su migración, y la materia atraviesa el surco para que prosiga la acreción. La migración de tipo II es mucho menos problemática que la migración de tipo I. Es mas lenta, y si bien el planeta se

acerca a la estrella en el tipo II, lo hace de manera cada vez mas lenta (por el aumento de su propia masa y el decrecimiento de la del disco que lo rodea).

3. Migración de tipo III La migración de tipo III, o desbocada, se da en ciertas condiciones, en discos masivos, cuando la torca de marea se vuelve sensible a la tasa de migración del planeta. Esta situación particular existe cuando un planeta depleta parcialmente su region coorbital, es decir para planetas sub-gigantes, típicamente saturnianos. En condiciones normales, la tasa de migración depende de la torca (que impone la tasa de pérdida de momento angular, y por ende de radio orbital, para una órbita casícircular). Esto siempre es el caso, pero en el caso de la migración desbocada, la torca es ademas una función de la tasa de migración. Tenemos entonces los ingredientes para un ciclo de retroacción. En este caso, se trata de retroacción positiva : « la consecuencia incrementa la causa ». Potencialmente, los ciclos de retroacción positiva pueden dar lugar a desbocamiento. Esto pasa si el disco es lo suficientemente masivo (Masset & Papaloizou, 2003). De manera mas precisa, es la torca de corotación la que puede depender de la tasa de migración, a traves de la deformación que experimentan las órbitas herradura cuando el planeta migra. La figure 6 muestra el diagrama esquemático del ciclo de retroacción, y la figura 7 el diagrama de ocurrencia de la migración de tipo III o desbocada en el espacio (Masa del planeta, Masa del disco).

Figura 7. La torca total es la suma de la torca de Lindblad (LR) y de la torca de corotación (CR). Esta torca total, via el operador A de cadena directa, impone la tasa de migración. Esta ultima, via el operador B de cadena de vuelta, altera la torca de corotación. El tiempo de latencia del ciclo es del orden del tiempo de libración en las órbitas herradura. La migración de tipo III añade potencialmente una gran variedad a la « historia migratoria » de un planeta dado. Al contrario de los dos otros tipos de migración (I y II) que son esencialmente monótonos y cuyas tasas dependen exclusivamente de las propiedades locales del disco, la migración de tipo III es reversible (se puede dar tanto hacia adentro como afuera), y depende no solamente de las propiedades locales del disco si no también de la tasa de migración instantánea del planeta, la cual depende de su historial migratorio (cuya memoria está almacenada en la región herradura).

4. Migración Estocástica o Difusiva Los tipos de migración contemplados anteriormente suponen un disco protoplanetario laminar. Los discos protoplanetarios, si bien deben su acreción hacia el objeto central a procesos que pueden modelizarse a gran escala como una viscosidad, son en realidad turbulentos, y no laminares. El origen de dicha turbulencia, bastante controversial, es generalmente atribuido a la llamada inestabilidad magnetorotacional (MRI).

Figura 8. La región gris es el dominio de ocurencia de la migración desbocada. Esta se ve preferencialmente para planetas de la masa de Saturno, embebidos en discos mas masivos que la llamada MMSN (Minimum Mass Solar Nebula, o nebulosa solar de masa mínima). En un disco turbulento, el planeta, ademas de la torca de su propia estela, está sometido a la torca estocástica originada por las fluctuaciones aleatorias de densidad en su vecindad. Esta componente estocástica causa una caminata aleatoria del semieje mayor que se superpone a los efectos sistemáticos de la estela (Johnson et al. 2006). La evolución del protoplaneta puede entonces describirse en terminos probabilísticos, con una densidad de presencia. Si arrancamos el planeta en una posición dada, esta densidad es inicialmente una singularidad (una función  de Dirac) que se va derramando, al mismo tiempo que su centro de simetría deriva radialmente. En un sentido, agudiza los problemas de tiempo de migración de tipo I, ya que tiende a bajar la esperanza de vida de un planeta dado (el tiempo que necesita para caer en la estrella), pero por otro lado la naturaleza estadística de este tipo de migración permite a una fracción de los planetas sobrevivir, por suerte, sobre todo el tiempo de vida del disco.

5. Migración de varios planetas Una situación importante y común, segun las estadísticas orbitales de exoplanetas, es cuando se tienen varios planetas en el disco, que experimentan migración convergente (el cociente de sus ejes semi-mayores tiende a decrecer con el tiempo). En este caso los planetas suelen atraparse en resonancias de medio movimiento (sus períodos orbitales se vuelven comensurables, con cocientes del tipo m :m+1 o m :m+2, donde m es un entero). El tipo de resonancia en el cual se enganchan los planetas, así como las propiedades del los angulos resonantes, almacenan información importante sobre la manera en que se dio la migración convergente (Rein & Papaloizou, 2009) o sobre las propiedades de la turbulencia en los discos (Lecoanet et al. 2009). Además, en el caso de los planetas gigantes, los efectos mutuos pueden revertir la migración de tipo II (Masset & Snellgrove, 2001). Este mecanismo, recientemente bautizado « bordada », podría explicar a la vez porque en nuestro sistema solar Jupiter no migró mas hacia adentro, porque la masa de Marte es pequeña, y podría rendir cuentas de las fracciones de populaciones de diferentes cuerpos en el cinturón de asteroides (Walsh et al. 2011). Bibliografía Balmforth, N. and Korycansky, D.G. 2001, MNRAS, 326, 833. Crida, A., Morbidelli, A. and Masset, F. 2006, Icarus, 181, 587 Johnson, E.T., Goodman, J., Menou, K., 2006, ApJ, 647, 1413. Lecoanet, D., Adams, F.C. and Bloch, A.M., ApJ, 692, 659. Masset, F. 2001, ApJ, 558, 453 Masset, F. and Snellgrove, M. 2001, MNRAS, 320, L55 Masset, F. and Papaloizou, J.C.B. 2003, ApJ, 588, 494. Masset, F. and Baruteau C. 2008,, ApJ, 672, 1054. Masset, F. and Casoli, J., 2009, ApJ, 703, 857. Masset, F. and Casoli, J. 2010, ApJ, 723, 1393 Paardekooper S.J. and Papaloizou, J.C.B. 2009, MNRAS, 394, 2283. Paardekooper, S.J. and Mellema, G. 2006, A&A 459, L17. Paardekooper, S.J., Baruteau, C., Crida, A. And Kley, W. 2010, MNRAS, 401, 1950. Rein, H. and Papaloizou, J.C.B. 2009, A&A, 497, 595. Tanaka, H., Takeuchi, T. and Ward, W.R. 2002, 565, 1257. Walsh, K.J., Morbidelli, A., Raymond S.N., O’Brien, D.P., and Mandell, A.M. 2011, Nature, 475, 206. Ward, W.R. 1997, Icarus, 126, 261.