”Je vous conseille de douter de tout, except´e que les trois angles d’un triangle sont ´egaux ` a deux droit” Voltaire ´ PRACTICA VII - TRIGONOMETR´IA En un tri´angulo distinguimos: -3 v´ertices: A, B y C -3 lados: a, b y c -3 ´angulos: α, β y γ

P.1. Argumentar por qu´ e no existe un tri´ angulo con tres lados a = 2, b = 7 y c = 10. P.2. Argumentar por qu´ e no existe un tri´ angulo con dos ´ angulos α y β iguales ambos a un ´ angulo recto. Entre los lados y los ´angulos de un tri´angulo hay ciertas relaciones, que vamos a describir, y que permiten conocer los tres lados y tres ´angulos de un tri´angulo conociendo solo unos pocos datos. Teorema. Los tres ´angulos de un tri´ angulo suman dos rectos. As´ı α + β + γ = π . Observemos que si conocemos: A) dos lados y el ´angulo entre ellos, el tri´angulo queda determinado

B) dado un lado y dos ´angulos,el tri´angulo queda determinado.

As´ı hemos visto, gr´aficamente, que con tres datos es posible determinar todo el tri´angulo. La trigonometr´ıa ense˜ na a conocer n´ umericamente los seis datos de un tri´angulo conociendo solo tres. Los Teoremas de Pit´agoras y Tales son esenciales en lo que sigue. Record´emoslos. 1

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Teorema de Pit´ agoras. En un tri´ angulo rect´ angulo h2 = a2 + b2

P.3. Deducir que en un tri´ angulo cualquiera la altura sobre el lado mayor cae dentro de dicho lado (Indicaci´ on: Suponer que el pie de la altura cae fuera del lado y de ello encontrar una contradicci´on ). Definici´ on. Dos tri´angulos son semejantes si tiene los tres ´ angulos iguales.

Si sobreponemos dos ´angulos iguales de dos tri´angulos semejantes:

Teorema de Tales. Dados dos tri´ angulos semejantes como los de la figura anterior se cumplen las siguientes igualdades: A0 B 0 A0 C 0 B0C 0 = = AB AC BC P.4. La torre donde el drag´ on custodia a la doncella proyecta una sombra de unos 10m de larga. A su vez un palo de un metro proyecta una sombra de 45cm. ¿Qu´ e altura ha de tener la escalera que permita escapar a la doncella?

P.5. (Teorema de la Altura) Dado un tri´ angulo rect´ angulo ∆ABC y H el pie de la altura sobre la hipotenusa, comprobar que h2 = AH × HC (Indicaci´ on: ver que ∆AHB y ∆BHC son tri´angulos semejantes ).

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LAS FUNCIONES SENO Y COSENO Sobre Γ la circunferencia de centro el origen y radio 1, y por tanto de longitud 2π, se considera el ´angulo α que queda determinado por un punto P ∈ Γ:

La medida en radianes del ´angulo α es la longitud del arco P0 P . As´ı α ∈ [0, 2π). Definici´ on.Dado un ´angulo α ∈ [0, 2π) se llama coseno de α, cos α = P1 se llama seno de α, sen α = P2 se llama tangente de α, tan α =

P2 P1

P.6. Calcular cos π2 y sen π. ¿Por qu´ e cos2 α + sen2 α = 1 ? Calcular sen π4 y cos 3π .(Indicaci´ on: usar el teorema de Pit´agoras ). 4 P.7. ¿Por qu´ e cos α, sen α ∈ [−1, 1], ∀α ∈ [0, 2π) ? P.8. Comprobar que en un tri´ angulo rect´ angulo se verifica que: b c c cos γ = , sen γ = y que tan γ = a a b

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(Ind´ıcaci´ on: usar el teorema de Tales ). As´ı como con la cinta m´etrica se miden longitudes, existen aparatos, los teodolitos, que miden ´angulos. P.9. En el problema P.4., las llamas del drag´ on nos imped´ıan acercar la cinta m´ etrica a la base de la torre, por ello dimos una estimaci´ on de la longitud de su sombra. Ahora con el teodolito medimos los ´ angulos π4 y π8 , y con la cinta m´ etrica (¡lejos de las llamas!) AB = 200m. ¿Cu´ al es la altura de la torre?

(Indicaci´ on: tan π4 =

h HA

y tan π8 =

h HA+200

; usar P.8. para hallar la altura h ).

P.10. De un tri´ angulo se conocen la longitud de dos lados: 3 y 7; y el ´ angulo que forman entre ellos: 22,50 . ¿Cu´ al es el ´ area del tri´ angulo P.11. Las ciudades A y B van a ser unidas por tren. Entre ellas hay una monta˜ na que tendr´ a que ser perforada. Desde un punto C, desde el que se ven A y B, se miden las distancias CA = 3Km y CB = 27km, as´ı como el ´ angulo o < ACB = 135 . Determinar la longitud de la v´ıa. P.12. Calcular el ´ angulo β del tri´ angulo del dibujo.

(Indicaci´ on: es suficiente con calcular sen β ). ´ ´ FORMULAS TRIGONOMETRICAS Las funciones seno, coseno y tangente aparecen en muchos c´alculos. Las siguientes igualdades son utiles al manipular esta funciones. Si α y β son ´angulos: 1) cos2 α + sen2 α = 1

2) cos( π2 − α) = sen α

3) sen(α + β) = cos α sen β + sen α cos β

4) sen 2α = 2 cos α sen α

5) cos(α + β) = cos α cos β − sen α sen β

6) cos 2α = cos2 α − sen2 α

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P.13. Deducir 4) de 3). Calcular cos π8 y sen π8 . P.14. Si α ∈ [0, π2 ), del siguiente dibujo deducir 2).

(Indicaci´ on: usar que los ´angulos de un tri´angulo suman π y usar P.8.). P.15. Si α y β son ´ angulos cuya suma es menor que π, deducir del siguiente dibujo la igualdad 3).

(Indicaci´ on:´areaT = ´areaT1 + ´areaT2 ; usar adem´as P.10. ). P.16. Deducir de las f´ ormulas trigonom´ etricas que 1 + cos2α cos2 α = 2