Unidad 1: Matrices.

Calcula A

 0 0 2   , siendo A   0 2 0   2 0 2  

2000

1 2

2 3  ; a) Calcula A y A , b) Halla una ley Dada la matriz A   0 1 general para calcular An .

1 2  1   Dada la matriz A   2 0  1 , calcula, si existen las siguientes  6 1 0    matrices: a) Una matriz X tal que X  A  1 0  1 . b) Una matriz Y 1 0 1  tal que A  Y   (PAU).  0 1 0 0 a 0   Dada la matriz A   0 0 a  . Hallar An para todo numero entero 0 0 0  

positivo n.

(PAU).  2 1

 3  1

 2

1

 , B    y C    Dadas las matrices: A    0 3 2 1   3  1 comprueba las siguientes igualdades: a) A  B  C    A  B  C ; b) A  B  C   A  B  A  C ; c)  A  B  C  A  C  B  C ; d)  A  B 2 ; e) A2  B 2  2 AB

 0 1 0 1 0 1     Dadas las matrices A   0 0 1  y B   0 1 0  1 0 0 0 0 1    

Encontrar la

regla de calculo de las potencias sucesivas de A y de B, es decir A n y Bn.

1

 5 2 0  a b 0     Dadas las matrices A   2 5 0  y B   c c 0  . Se pide: a) Encon0 0 1  0 0 1    

trar las condiciones que deben cumplir a, b yc para que se verifique A  B  B  A . b) Para a = b = c = 1, calcular B10 . (PAU Junio 2006-07).

Dadas las matrices

1 0    2 0 1  y B   0 1  y las ecuaciones A    1 2 0 1 1  

matriciales X – A = B ; Y – A·B = O y Z – B·A = O a) Señala las planteadas correctamente. b) En su caso, calcula la matriz X , Y ó Z. Razona la respuesta. (PAU). Encontrar un número real   0 , y todas las matrices B de dimension   0

 3 0

  B    2x2 (distintas de la matriz nula), tales que B    3 1 9 3 (PAU Junio 2002-03).

  1

6

Expresar la matriz X    como combinación lineal de A    y  2 2  1 B     1

a a

0 0

 distintas de la matriz   Hallar todas las matrices A   0 b 0 0 tales que A2  A . b) Para una cualquiera de las matrices A obtenidas en el apartado anterior, calcular M  A  A2      A10 . (PAU Septiembre 2005-06).

1 1  1  1     Obtener, para todo numero natural n, el valor de:  1 1   1 1  n

n

(PAU Modelo 2009-10).

2

 cos 

 sen 

 cos 

 sen 

 y B    Probar que las matrices A    sen cos    sen cos   conmutan es decir A·B = B·A . Hallar este producto. Aplicarlo para hallar A2, A3 y An , n  N.

Resolver el siguiente sistema matricial

4 8   2 A  3B    7 11 10 1   5 A  2 B    8 18 

(PAU).

Resuelve el sistema de ecuaciones matriciales: 7 3 X  2Y   16  6 X  3Y    2

3  4  12   27 

(PAU).

Resuelve los sistemas matriciales: 1

0

 a) 2 X  Y    1 1 1 3   X  Y   5  4

 2

4

 b) X  Y     4 2  2 8  3Y  X    12 2 

Sea A una matriz de dimensión 5x4, B una matriz de dimensión mxn y C otra de dimensión 3x7. Si se sabe que se puede obtener la matriz producto A·B·C, ¿cuál es la dimensión de la matriz B?. ¿Y la de la matriz A·B·C?. (PAU).

1 1 1   Sea A  1 1 1 1 1 1  

e I la matriz identidad de orden tres.

a) ¿Existe algún valor real, m, que verifique: (A – I ) · (A + mI) = I ? . Razona la respuesta. b) Calcula una matriz B tal que (A – I) · B = I4 . (PAU).

3

Sea A una matriz real cuadrada de orden n que verifica la igualdad A = I, siendo I la matriz identidad de orden n. Se pide: a) Expresar A -1 en terminos de A. b) Expresar An en terminos de A e I, para cualquier numero natural n. c) Calcular a para que A2 = I, siendo A la matriz: 2

1 1  A   0 a

(PAU Septiembre 2001-02).

Sea A una matriz mxn. a) ¿Existe una matriz B tal que B·A sea una matriz fila?. b) ¿Se puede encontrar una matriz B tal que A·B sea una matriz fila?. Si existe, ¿que dimensión tiene?. c) Busca una matriz B 1 1   tal que B  A  0 0 siendo A   0 1   0 0  

(PAU).

1 a

n  : a) Para cada numero natural n, hallar A . Sea la matriz A   0 1 22 b) Calcular A – 12A2 + 2A. (PAU).

1 0 1    Sea la matriz A   2 1 1  , con b un parámetro real. a) ¿Para qué 1 0 b2     x   0     valores del parámetro b el sistema de ecuaciones lineales A   y    0   z   0    

tiene solo la solución x = y = z = 0?. Justifica la respuesta.  x  1     b) Para b = - 1 resuelve, si es posible, el sistema A   y   1  z  1    

(PAU).

1 0

 y sea n un numero natural . Encontrar el Sea la matriz A   3 1 valor de An para cada n y hallar A350 – A250 . (PAU).

4

1 0

 17

29 

 A    . Calcular, escribienSea I y A las matrices I   0 1   10  17  do las operaciones necesarias: a) Las matrices A 2 y A5. b) Los números reales  y  para los que se verifica I  A3  I  A . (PAU).

Sean A una matriz cuadrada de orden n tal que A 2 = A, I la matriz unidad de orden n y B = 2A – I. Calcula B2. 0 1 1 1 0    Sean A, I y B las matrices A   1 1 0  , I   0 1 1 0 0 0 0     6  3  4   B  3 2 1  Contestar razonadamente, ¿existe  4 1 5  

0  0 y 1 

algún valor de 

real, tal que la igualdad  A  I 2  B sea cierta?. En caso afirmativo, hallar dicho valor de  . (PAU).  a1  Sean A y B matrices diagonales de orden tres: A   0 0   b1  B0 0 

0 b2 0

0  0 b3 

0 a2 0

0  0 a3 

Probar que A·B también es diagonal.

1  7  0 0 0  2         Sean las matrices A   2  , B   2  , C   0 1 0  y E   5  .   2 0 0 1  3  3          x   Calcular M   y  para que verifique la ecuación (A·B t + C)·M = E z  

5

2  1 2 0 1 1      Se consideran las matrices A    1  1 1  y B   5 1  3  1  2 2  0 0 2     

calcula (A + B)2 , A2 + 2AB + B2 y A2 + B2 , ¿Por qué no coinciden sus resultados?. ¿Cuál seria la formula correcta para el cuadrado de una suma de matrices?. 2  1 2   Se consideran las matrices A    1  1 1  e I 3x3. 1  2 2   

Se pide: a) Hallar (A – I)2. b) Calcular A4 haciendo uso del apartado anterior. (PAU MODELO 2005-06)

Se dice que una matriz cuadrada A es ortogonal si se verifica que A · At = I, donde At es la matriz traspuesta de A e I la matriz identidad. Si A y B son dos matrices ortogonales de igual orden, analiza si A · B es también una matriz ortogonal. (PAU). Si una matriz cuadrada A verifica A2 + 7A = I, siendo I la matriz unidad, calcula A-1 en funcion de A

6

Unidad 2: Determinantes Averiguar según el valor de a el número de raíces reales que tiene la x2 a ecuación a a

a x2 a a

a a x2 a

a a 0 a x2

(PAU).

Calcula el valor de los siguientes determinantes. 1 3 A 0 1

2 0 2 2

1 0 1 3

2 1 0 1

1 3 0 2 B  1 0 0 1

0 3 4 2

2 2 2 1

Comprobar, aplicando las propiedades de los determinantes, la a2 ab b 2 identidad: 2a a  b 2b  a  b 3 1 1 1

PAU Junio 2002-03).

Comprueba, utilizando las propiedades de los determinantes, que los siguientes determinantes, llamados de Vandermonde, verifican: 1 B  a a2

1 b b2

1 c  b  a   c  a   c  b  c2

1 a C  2 a a3

1 b b2 b3

1 c c2 c3

1 d  b  a   c  a   d  a   c  b   d  b   d  c  d2 d3

x2 1 1 1 x2 1 Comprueba que 1 1 x2 1 1 1

1 1 3  x  1 1 1

7

1 x Comprueba que la ecuación 2 x x3

1 1 1 2 3 4 0 4 9 16 8  27 64

tiene solo tres

soluciones sin necesidad de calcular el determinante. ¿Cuáles son?. 1 a bc Comprueba sin desarrollar que A  1 b c  a  0 1 c ab

 3

1

1 0

 , I    a) Comprobar que Dadas las matrices A    8 3 0 1     2 2 A   A  y que A  I  A  I . b) Sea M una matriz cuadrada de

orden 2. ¿Se puede asegurar que se cumple que M 2   M  ?. Razonar 2

la respuesta. c) Encontrar todas las matrices cuadradas M, de orden dos, tales que: M  I  M  I . (PAU Septiembre 2005-06).

El determinante de una matriz cuadrada A de orden n vale k. Hallar el determinante de las matrices 5A ; - A ; At y A·At .

El determinante de una matriz cuadrada A de orden n es k. ¿Qué condición debe verificar k para que la matriz tenga inversa?. Cuánto vale en ese caso A 1 .

El determinante de una matriz cuadrada A de orden tres vale 16. Hallar el determinante de las matrices: a) 5A ; b) – A ; c) - 6A ; d) At ; e) At·A ; f) A·At .

El determinante

2 a 4 a2 8 a3

5 13 vale cero para a = 3. Comprobar que es 35

así sin desarrollarlo.

8

Encontrar las transformaciones de filas o columnas necesarias para a 1 deducir: 1 1

1 a 1 1

1 1 a 1

1 1 3  a  3  a  1 1 a

Halla los valores reales de a, b, c y d para que se cumplan las 3 a 1 c 1 c  2 0 1 4  197 igualdades a) 4 1 1  2 ; b) c 2 a 2 2  3 1  2 b 1 d d 2 d 1 c) b 1 b  5 ; d) 2  1 0  18 d 0 d 3 5 2

 cos   Hallar el determinante de la matriz A   sen  0 

 sen cos  0

0  0 1 

Justifica, sin realizar calculo alguno, que: x x2 x3

y y2 y3

z 1 2 z  x yz x z3 x2

1 y y2

1 z z2

Obtén el desarrollo de los siguientes determinantes por los adjuntos 1 1 2 de la primera fila: A  3 0 1 2 1 0

1 3  2 B  0 1 2 1 4 2

Obtén, sin calcular el valor del determinante, dos soluciones para 1 1 1 x2 1 1

1 1 0 x

9

Obtener en función de a, b y c el determinante de la matriz 1 1  1  1 1 1  a A 1 1 b 1   1 1 1 c 

1  1 1  1

(PAU).

Resolver la ecuación :

a 1 7 2 0 a 1 5 7 0 0 0 a3 1 0 0 0 2a





2  x2 1 Resolver la ecuación: x 1 x  12

x 1 x 1 x 1

x  12 x 1  0 x2 1

(PAU Modelo 2008-09). Resolver las ecuaciones: x 1 1 0  x x 1 1 a) 0 1 1 x 1 1 1 0 x

b)

x 1 1  x x 1  0 1 1 x

Resolver las ecuaciones siguientes: 1 1 1 2 1 1 a) x 1 3 x 1 7

1 2 1 5 a 1 a 2  0 b) 0  a  1  0 c) 0 2 2  0 4 2 3 k2 a 1 a 3

1  x  x 1 1 2 d) x 2 0 1

a b 

 vale 12. Sabemos que el determinante de la matriz A   c d  Hallar él determinante de las matrices: a) 3A , b) -2A ; c) 7A d) At ; e) A·At ; f) At·A .

;

10

3 1 4 Sabiendo que 2  3  4  5 , determina sin desarrollarlos el valor de 2 0 1 3 2 4 3 2 2 los siguientes determinantes. a) 2  6  4 , b) 1  3 0 , 6 0 3 4 4 1 8 1 4 6 4 1 c)  5  3  4 y d) 4  4  3 3 0 1 4 1 0

a b Sabiendo que d e g h

c f  6 , determina sin desarrollar el valor de los i

2a 2b siguientes determinantes. a) d / 3 e / 3 g h

2c 2b f / 3 , b) 2e i 2h

c  3a f  3d i  3g

a/5 d /5 g /5

a b c be c f c) a  d ad  g beh c f i

a b Sabiendo que d e g h

c f  10 , calcula el valor de i

1 Sabiendo que 6

3 3  3 , y utilizando las propiedades de los



2 0

3a 2g 5d

3b 3c 2h 2i 5e 5 f

 

2  determinantes, calcular: a) el determinante de la matriz  6   10 20 30 3  2 3  4 3  6

b)

2 3

0 3

1 , c) 3

2  6

2



4 0



4

6  3 ,  

2  3

(PAU Junio Especifica 2009-10). 11

Sea A una matriz cuadrada de orden 3. a) Si sabemos que el determinante de la matriz 2Aes igual a 8, ¿Cuánto vale el A . b) Calcula para que valores de x se cumple que 2 A  8 , siendo la 1 1  x   matriz A   x  1 2 2   x 2  x 1  

(PAU).

 2a a a a     a 2a a a  Sea la matriz A   , calcular el valor de su a a 2a a     a a a 2a   

determinante en función de a.

(PAU).

Sean dos matrices cuadradas de orden n, A y B. Probar, haciendo uso de las propiedades estudiadas, que A  B  B  A , a pesar de que en general A  B  B  A  3

5

 4  2

 y B    Hallar los determinanSean las matrices : A     7 1 5 6  tes de las siguientes matrices. a) A ; b) B ; c) 3A ; d) 2B ; e) A + B ; f) 3A + 2B ; g) A·B ; h) B·A ; i) At .

Se considera la función: = f(-1), determina a y b.

Si

a d g

b e g

a b  2a 3b 1 x 0 0 f ( x)  0 1 x 0 0 0 1 x

Sí f(0) = -3 y f(1) (PAU).

i g h c f  3 , calcula sin desarrollar el valor de f  c d  a e  b 3c 3a 3b i

12

Si A  C1 , C2 , C3  es una matriz cuadrada de orden 3 con columnas C1 , C2 , C3 , y se sabe que det  A  4 , se pide a) Calcular det A3  y det 3 A . b) Calcular det B  y det B 1 , siendo B  2C3 , C1  C2 ,5C1  la matriz cuyas columnas son 2C3 , C1  C2 ,5C1 . (PAU Modelo 2008-09). a b  Si la matriz A   d e g h 

c  f  tiene determinante n, averigua el valor del i 

 6d  determinante de las siguientes matrices B   3g  9a  d  f  C  ac  g i 

e b h

4e 2 f   2h i  , 6b 3c 

f  e  cb i  h 

Simplificar sin desarrollar:

2a 3a  b 2c 3c  b

 0 0

 , a) ¿Cuál es el valor del deterSi A es una matriz tal que A 2    0 0 minante de A?. b) Calcular un numero k tal que: 2

 3  4   1 0   0 0   k         0 1   0 0  1  1 

(PAU Septiembre 2003-04).

Sin desarrollar los determinantes comprueba que: 1 a2 bc a a 2 ac b b 2 = 1 b 2 1 c2 ab c c 2

a3 b3 c3

13

Unidad 2 . Rangos de matrices 1 1  Considera la matriz A   m m 2 m m 

1   m 2  . Halla los valores de m para los m 2 

que el rango de A es menor que 3.

(PAU).

Determina los valores de x para los que el rango de la matriz x 3 0    A   0 1  x  valga 2. 1 1 1   

Estudiar el rango de A según los valores del parámetro a: a a  a 1 1   A 1 a  1 0 2a   a 1 1 0  

Razonar si A es inversible para algún valor

de a.

Estudiar el rango de A según los valores del parámetro a. ¿Para que valores de a es la A inversible?. a  1 0  3   A  5 1 1 3   2 0  6 a  8  

Estudiar el rango de las siguientes matrices según el valor del correspondiente parámetro. 1 1 1 1 a    a 1 2 1 1       2 1 1 2 ; B   0  a 1 ; C  0 2 2  A   1 3 4 a 1  a 2 3 k 2         1  7 3   m  2 3   2  4  ; E    D   2  5m m    1 5

14

1  1 1 a   Halla el rango de la matriz: A   0 1 a  1 0  según el valor del 1 1 a  1 

parámetro a.

(PAU).

Halla el rango de la matriz :

a 1 1  A   2 b b2 2 1 1 

a  1 a 

según los valores de

los parámetros a y b .

(PAU).

Halla el rango de las siguientes matrices: 3 1 2 0 1  A    6 2 4 0 2

1 2 3 0   B   2 1 4 0  3 2 2 1  

Halla el rango de las siguientes matrices:  1 3 5 0 3 0 6    1 3       a) A   6 7 9 0  ; b) B   2 0 4  ; c) C   7 9   6 5  7 4 4 0  5 0 10         1  2 9 0  d) D    2  4 1 3

Halla el rango o característica de las siguientes matrices: 4   1 2 3 0 2      1 2 3  ; B   3 2 1  ; C   0  1  2  A     2 1 4 0 0 1 1 1 3    

Hallar el rango de la matriz

 cos   A   sen  0 

 sen cos  0

0  0 1 

15

Hallar el rango de las siguientes matrices: 1  1  1  1 2 1 3 1     1 1  1  1 1 1  2 4  ; B A 1 1 1  1 3 2 1 3      1  1 1  1  5  2 1  2    

1 0 1    Sea la matriz A   4 1  m  . Determine los valores de m para los 0 m 3   

que Rango(A) < 3. ¿Puede ser rango(A) = 1 para algun valor de m?. (PAU). 1  1 Sea r el rango de la matriz A   2  0 

0 4 1 3

1 2 0 1

1  3 a) Hallar r, b) Señalar 0  2 

r filas y r columnas linealmente independientes.

16

Unidad 2. Matriz inversa. Ecuaciones matriciales Calcula la matriz X, tal que X · B + A = C siendo: 0 3 0   4  2 1   1 3 5   , B   2 0 1  , C    A    5 1  3   2 4  6  0  3 2  

(PAU).

Calcular una matriz cuadrada X sabiendo que verifica 0  2  0 0  1  0     X·A +B·A = A , siendo A   0  1 0  , B   0  2 0   2 0 1 0 0  0     2

2

(PAU Septiembre 2006-07). 1 1 1  0 0 1     Considera las matrices A   2 1 2  y B   0 1 1 , Calcula la 0 0 1  1 1 1    

matriz X que verifica que X·A + B = I. 1

x

(PAU). 0 1

 y B    . Halla x para que se Considera las matrices A   2 1 1 2 8

8

 cumpla A 2  B 2    6 12 

(PAU).

Contesta a las siguientes cuestiones: a) calcula los valores x, y, z que 1  2 1  0      y   verifican la siguiente ecuación matricial: x   2    1  1      1  z  3  2 1    10    

b) Expresa el sistema anterior en forma matricial A·X = B . c) Calcula la matriz inversa de A.

(PAU).

Dada la ecuación matricial A · X + B = C, se pide obtener la matriz X siendo:

1 1 0 1 1  0 1       A   1 2 0  , B   0 1  , C   1 3 0 0 1  1 1 1 2      

(PAU).

17

1 2

t -1 2  calcula la expresión: (A · A ) · A Dada la matriz A   3 4

1 1 2   Dada la matriz A   2 x 1  calcula para que valor de x, posee 1 4 x   inversa y para cuales no es inversible. Calcular A-1. (PAU).

1 a 1   Dada la matriz A   0 1 0  estudiar para que valores de a tiene 0 1 a  

inversa y calcularla siempre que sea posible. ( PAU Junio Especifica 2009-10). 1 1  1  x   Dada la matriz A   1 1  x 1  , obtén los valores de x para los  1 1 1  x  

que posee inversa. Calcular A-1.

 2 a 1 1    1  se pide: a) Determinar el rango Dada la matriz A   2a 0 2 0 a  1 

de A según los valores del parámetro a. b) Decir cuando la matriz A es invertible. Calcular la inversa par a = 1. (PAU Septiembre 2007-08). 0 a   a   Dada la matriz: A   a a  1 0  , se pide: a) Estudiar el rango de  0 a a  2  

la matriz A según los valores del parámetro a. b) ¿Para que valores de a existe la matriz inversa. Obtener la matriz inversa de A para a = 1 (PAU Septiembre común 2009-10).

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 2  Dada la matriz M   2  2 

1      1  a) Determinar el rango de M según  1 1 

los valores del parametro  . b) Determinar para que valores de  existe la matriz in versa de M. Calcular dicha matriz inversa para   0 . (PAU Modelo 2006-07).  m 1 2m    Dada la matriz: M   m 1 2  , se pide: a) Determinar los valores 0 1 1   

del parámetro m para los cuales la matriz M es invertible. b) Determinar los valores del parámetro m para los cuales la matriz M 25 es invertible. c) Para m = -1 calcular, si es posible, la matriz inversa M 1 de M. (PAU Septiembre 2008-09). 1 2 0 1 1 2      Dadas las matrices: A   0 1 2  , B   1 1  1 a) Determinar la 0 2 3 0 1 3      matriz inversa de B. b) Determinar una matriz X tal que A  B  X

(PAU Septiembre 2003-04). 0 0  1 1 0    Dadas las matrices: A    3 1  1 y B   0  1  5 1 2  0 0    1 a) Hallar A . b) Hallar la matriz X, tal que: A  X  At

significa matriz traspuesta de A).  4  2

0  0  . Se pide : 0 

 B (donde A

t

(PAU Junio 2003-04).  4

 2

 , B    , obtener una matriz Dadas las matrices: A    3 1  1 1  cuadrada X de orden 2 que verifique la ecuación matricial A X  B  A  B . (PAU Septiembre 2008-09).

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Determina la matriz X, sabiendo que se verifica: X · A2 + B · A = A2  0 0  1  0 0  2     y que: A   0  1 0  y B   0 2 0   2 0 0  1 0 0     

(PAU).

Estudia para que valores de m la matriz siguiente tiene inversa m 0 1     0 1 1  . En caso de ser posible, halla su inversa para m = -1 (PAU). m 0 m  

Estudiar para que valores del parámetro a tiene inversa cada una de las siguientes matrices y hallar la inversa en esos casos: 0 2 a  2   a) A   0 a  2 0   0 0 a  

a 0   a   a  1 a  1 b) B   2   2a  1 0 a  3  

 1 1 1   Halla la matriz inversa de la matriz: A    1 2 1   0 1 0  

En la matriz del anterior, señala los cambios que ocurren en A -1 si en la matriz A se intercambian dos de sus filas o dos de sus columnas. ¿Y si se multiplica una de sus filas por un numero p  0?. ¿Y si se multiplica por p  0 una columna?. Halla, si existe, una matriz cuadrada A de orden 2, que cumpla las siguientes condiciones: a) Coincide con su traspuesta. 1 1  1  1   3  3    A       3    1  1 0 1   3

b) Verifica la ecuación matricial 

(PAU).  7

4 

 Hallar la inversa de la matriz A     9  3 (A-1)2 = (A2)-1 .

y comprueba sí

20

Hallar las inversas de las matrices:

a)

 1 0 1   A   3 1 0  0 5 1  

; b)

 1 1 1    B   1  1 11 1 1 1   

1

2

 ; Resolver la ecuación matricial A·X = B siendo: A    0  1  1 2 3  B    0  1 1

Resolver la ecuación matricial A2·X – B = A2 siendo: 0 1 0 0 1 0     A   0 2 0 y B   0  3 0  0 0 1 0 0  1   

(PAU).

Resolver la ecuación matricial B·(2A + I) = A·X·A + B siendo 2  1  1 1 1 0  , B    e I    A   0 1    1  1 0 1

(PAU).

4

1

 , Resuelve la ecuación matricial A·X + C = B, siendo A    1 0 2 0  1  1 0 1 2 1  y C    B     2 1 1 0  1 0  3 0

(PAU).

1 1 0   1     Sea la ecuación A·X = B con : A   3 0 2  y B   2  5 1 1 3    

Hallar A-1 y X. 1 1 1 0     Sea k un numero natural y sean las matrices A   0 1 0 , B   1  y 0 0 1   1     k C  1 1 2 a) Calcular A . b) Hallar la matriz X que verifica la

ecuación Ak  X  B  C .

(PAU Junio 2000-01).

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Sean A y B dos matrices invertibles que verifican la identidad A + B = A·B. Comprobar que entonces se tiene la formula: I  B1  B 1  A (donde I denota la matriz identidad). b) Dada la 1

matriz A   2 A  B  A B .

1   1

hallar la matriz B para la cual se verifica (PAU Septiembre 2002-03).

1  7  0 0      Sean las matrices A   2  , B   2  , C   0 1   2 0 0  3       x   Calcular M   y  para que verifique la ecuación z  

0  2    0 y E   5 .  3 1   

(A·Bt +C)·M = E. (PAU).

 1 0  1  1 0 2     Sean las matrices A    1 0 2  , B    1 1 0  a) Calcular A-1. b) 0 1 0  1 0 3    

Resolver la ecuación matricial A·X = B·A. (PAU Prueba 2001-02).  1 1

 7  3

 , B    . a) Hallar una matriz X tal Sean las matrices: A    8  3  0 1 que X  A  X 1  B . b) Calcular A10 . c) Hallar todas las matrices M que satisfacen  A  M    A  M   A2  M 2 . (PAU Modelo 2007-08).

2

0

8  9

 , B    . Hallar una matriz X tal Sean las matrices: A    0  1 6  7 que X  A  X 1  B . (PAU Junio 2006-07).

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 1 3   1 2    y B    0  , donde  es Se consideran las matrices A   1  1  1  0 2  

cualquier numero real. a) Encuentra los valores de  para los que A·B es invertible. b) Determina los valores de  para los que B·A es invertible. c) Dados a y b, números reales cualesquiera, ¿puede ser el  x   a sistema A   y     compatible determinado?.  z  b  

(PAU Junio 1998-99).

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24

Unidad 3. Sistemas de ecuaciones Calcular las edades actuales de una madre y sus dos hijos sabiendo que hace 14 años la edad de la madre era 5 veces la suma de las edades de los hijos en aquel momento, que dentro de 10 años la edad de la madre será la suma de las edades que los hijos tendrán en ese momento y que cuando el hijo mayor tenga la edad actual de la madre, el hijo menor tendrá 42 años. (PAU Junio 2001-02).

De tres números x, y ,z, sabemos lo siguiente: que el primero mas el segundo suman 0; que el primero mas el tercer suman 1; que la suma de los tres es 0 y, para terminar, que el primero multiplicado por un numero k mas el doble de la suma del segundo y del tercero da 1. a) ¿Que puede decirse del valor de k?. b) ¿Cuánto valen esos tres números?. (PAU).

El capitán Ala Triste tiene a su cargo tres compañías: una de suizos, otra de zuavos y una tercera de sajones. Al asaltar una fortaleza el capitán promete una recompensa de 901 escudos que se repartirán de la siguiente forma: El soldado que primero suba junto con todos los de su compañía recibirán un escudo y el resto de la recompensa se repartirá a partes iguales entre las otras dos compañías. Si el primero que sube es suizo, las otras dos compañías recibirán ½ escudo cada una; si el primero que sube es zuavo, las otras dos reciben 1/3 de escudo cada una y si el primero que sube es sajón, las otras dos obtienen ¼ de escudo. ¿Cuántos hombres hay en cada compañía?.

El tío Evaristo tiene 10 litros de mezcla de agua y vino. Al probarla, observa que esta muy aguada, por lo que decide añadirle una cierta cantidad de vino y entonces la cantidad de agua es del 30 % del total. Como sigue estando aguada, le añade de nuevo la misma cantidad de vino que antes y entonces la cantidad de agua es del 20 % del total. ¿Cuantos litros de vino se añaden en cada ocasión y cuantas hay de agua?.

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En una autonomía existen tres hospitales dedicados a urgencias. Se sabe que en el primer hospital se han atendido en doble de casos que en el segundo y que en el tercero se han atendido solo la mitad que en el segundo, Si el total de urgencias ha sido de 3003, ¿cuántas prestaciones ha realizado cada hospital? Plantear el sistema y resolverlo.

En una confitería envasan los bombones en cajas de 250 g, 500 g y 1 Kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño que de tamaño mediano. Sabiendo que el precio del kg de bombones es de 40 euros y que el importe total de los bombones envasados es de 1250 euros: a) Plantea un sistema de ecuaciones para determinar cuantas cajas se han envasado. b) Resuelve el sistema. En una feria, un granjero vendió cada ganso, pollo y codorniz por 10, 5 y 1 € respectivamente. En total vendió 50 animales y recibió 100 €. ¿cuántos animales vendió de cada clase, si vendió la quinta parte de pollos que de codornices?.

La liga de futbol de un cierto país la juegan 21 equipos a doble vuelta. Este año, los partidos ganados valían 3 puntos, los empatados 1 punto y los perdidos 0 puntos. En estas condiciones, el equipo campeón de liga obtuvo 70 puntos. Hasta el año pasado, los partidos ganados valían 2 puntos y el resto igual. Con este sistema el actual campeón habría obtenido 50 puntos. ¿Cuántos partidos gano, empato y perdió el equipo campeón?. (PAU).

La suma de las edades en el momento actual, de un padre y sus dos hijos es de 73 años. Dentro de 10 años, la edad del padre será el doble de la edad del hijo menor. Hace 12 años, la edad del hijo mayor era el doble de la edad de su hermano. Hallar la edad actual de cada uno.

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Las edades, en años, de un niño, su padre y su abuelo verifican las siguientes condiciones: - La edad del padre es  veces la de su hijo. - El doble de la edad del abuelo mas la edad del niño y mas la del padre es de 182 años. - El doble de la edad del niño mas la del abuelo es 100. a) Establece las edades de los tres suponiendo que  = 2. b) Para  = 3, ¿que ocurre con el problema planteado?. c) Siguiendo con  = 3, ¿que ocurre si en la segunda condición la suma es de 200 en vez de 182?. (PAU).

Luis, Juan y Oscar son tres amigos. Luis le dice a Juan: Si te doy la tercera parte del dinero que tengo, los tres tendremos la misma cantidad. Calcular lo que tiene cada uno, sabiendo que entre los tres reúnen 60 €. (PAU).

Resuelve el sistema que se obtenga del siguiente enunciado: ¿Cuantos litros de leche con 35% de grasa han de mezclarse con leche del 40% de grasa, para obtener 20 litros de leche con el 25% de grasa?.

Si a un numero de dos cifras se le suma 18, se obtiene un numero con las cifras intercambiadas. Sabiendo que la suma de las cifras del numero es 16, encuentra dicho numero.

Si la altura de Carlos aumentase el triple de la diferencia entre las alturas de Toni y de Juan, Carlos seria igual de alto que Juan. Las alturas de los tres suman 515 cm. Ocho veces la altura de Toni es lo mismo que nueve veces la altura de Carlos. Hallar las tres alturas.

Si la suma de las dos cifras de un numero es 11 y al invertir el orden de las cifras, el nuevo numero aumenta en 27 unidades. Calcular el numero.

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Si se mezclan 60 litros de vino blanco con 20 litros de vino tinto, se obtiene un vino del 10% de alcohol. Si, por el contrario se mezclan 20 litros de vino blanco con 60 litros de tinto, se obtiene un vino de 11 % de alcohol. ¿Qué graduación tendra una mezcla de 40 litros de vino blanco y 40 litros de tinto?. (Llamar x a la graduación del vino blanco, y a la graduación del vino tinto, z a la graduación de la mezcla)

Tres amigos juegan tres partidas a los chinos. Acuerdan que, si uno pierde le dará a cada uno de los otros dos, igual cantidad de dinero que la que tengan en ese momento. Cada uno pierde una partida y todos acaban con 40 €. ¿Con cuanto dinero empezó a jugar cada jugador?.

Tres personas A, B y C van a hacer un regalo a un amigo común. El regalo les cuesta 86 euros. Como no todos disponen del mismo dinero, deciden pagar de la siguiente manera: A paga el triple de lo que pagan B y C juntos, y por cada 2 euros que paga B, C paga 3 euros. Se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar cuanto paga cada uno de ellos. b) Resuelve el sistema planteado por el método de Gauss. Tres personas A, B y C deciden repartirse 8600 pts, de la siguiente forma: A recibe el triple de lo que reciban B y C juntos y además por cada 2 pts que reciba B, el C recibe 3 pts. Se pide: a) Plantear el sistema de ecuaciones que permita determinar cuanto recibe cada uno. b) Resolver el sistema. Un almacenista dispone de tres tipos de cafés: el A, a 9,80 € / kg; el B, a 8,75 € / kg, y el C, a 9,50 € / kg. Desea hacer una mezcla con los tres tipos de café para suministrar un pedido de 1050 kg a un precio de 9,40 € / kg. ¿Cuántos kg de cada tipo de café debe mezclar sabiendo que debe poner del tercer tipo el doble de lo que ponga del primero y del segundo juntos?. (PAU Junio 1997-98).

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Un ama de casa adquirió en el mercado ciertas cantidades de patatas, manzanas y naranjas a un precio de 1, 1,20 y 1,50 euros por kg respectivamente. El importe total de la compra fue de 11,60 euros. Si el peso total de la misma es de 9 kg y, además, compró 1 kg más de naranjas que de manzanas: a) Plantea un sistema de ecuaciones para determinar la cantidad adquirida de cada producto, b) resuelve el sistema.

Un automóvil sube las cuestas a 54 km/h, las baja a 90 km/h y en llano marcha a 80 km/h. Para ir de la ciudad A ala B tarda 2 horas y 30 minutos y para volver de B a A, 2 horas y 38 minutos. ¿Cuál es la longitud del camino llano entre A y B si se sabe que A y B distan entren sí 192 km?. Un cajero automático contiene 95 billetes de 100, 200 y 500 € y un total de 20000 €. Si el número de billetes de 100 es el doble que el número de billetes de 200, averiguar cuantos billetes hay de cada tipo. (PAU Septiembre 1998-99).

Un coleccionista decide regalar un montón de sellos. A cada persona con la que se encuentra le da la mitad de los sellos que llevaba mas uno, y se encuentra exactamente a 6 personas. Si al final regala todos los sellos, ¿Cuántos sellos tenis el coleccionista?. (PAU). Un estudiante hizo un examen que constaba de tres preguntas y obtuvo un 8 de calificación. En la segunda pregunta saco 2 puntos más que en la primera y en la tercera obtuvo 1 punto más que en la segúnda. Plantea el sistema de ecuaciones y resuélvelo por el método de Gauss.

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Un mayorista del sector turístico vende a la agencia de viajes A, 10 billetes a destinos nacionales, 10 billetes a destinos extranjeros europeos comunitarios y 10 billetes a destinos internacionales no comunitarios, cobrando por todo ello 12000 €. A una segunda agencia B le vende 10 billetes a destinos nacionales, y 20 a internacionales no comunitarios, y cobra 13000 €. A una tercera agencia C le vende 10 billetes a destinos nacionales y 10 a destinos extranjeros europeos comunitarios, cobrando 7000 €. Se pide: a) Hallar el precio de cada billete. b) Por razones de mercado, el mayorista se ve obligado a bajar un 20 por ciento el precio de todos los billetes nacionales. Hallar en que porcentaje debe incrementar el precio de todos los billetes extranjeros comunitarios, manteniendo constante el precio de todos los billetes internacionales no comunitarios, para mantener constantes sus ingresos totales por las ventas a las tres agencias. (PAU)

Un vinatero posee tres tipos de vino con precios por litro de 3, 4 y 7 euros, respectivamente. ¿Cómo debería mezclarlos para obtener un litro de vino cuyo precio fuese 5 euros el litro, teniendo en cuenta que debe emplear doble cantidad del vino de 4 euros por litro que del vino que solo cuesta 3 euros el litro?.

Una empresa desea disponer de dinero en efectivo en euros, dólares y libras. El valor total entre las tres monedas ha de ser igual a 264000 €. Se quiere que el valor del dinero disponible en euros sea el doble del valor del dinero en dólares y que el valor del dinero en libras sea la décima parte del dinero en euros. Si se supone que una libra esterlina es igual a 1,5 euros y que un dólar es igual a 1,1 euros, se pide determinar la cantidad de euros, dólares y libras que la empresa ha de tener disponible.

Una persona va al supermercado y compra una docena de huevos, una bolsa de patatas y una botella de aceite. El día siguiente compra una botella de huevos y dos botellas de aceite. Vuelve a la tienda y compra una bolsa de patatas y otra docena de huevos. El primer día pago 6 €, al día siguiente se gasto 6,5 € y en la tercera ocasión pago 3,5 €. Calcula, si es posible, el precio de los huevos, las patatas y el aceite.

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Una refinería compra petróleo a dos países A y B. Comprando 500 barriles al país A y 15500 barriles al país B, resulta un precio medio de 19´875 dólares el barril. Comprando 1000 barriles al país A y 1000 al país B, el precio medio es de 18 dólares el barril. ¿Cuanto cuesta el barril de crudo de cada país?.

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32

UNIDAD 3: Estudio general de sistemas de ecuaciones lineales. Averigua si es posible escribir un sistema lineal homogéneo (sus términos independientes son nulos) de dos ecuaciones con dos incógnitas que sea: a) compatible y determinado; b) compatible e indeterminado; c) incompatible. Razona la respuesta en cada caso y pon un ejemplo cuando la respuesta sea afirmativa.

Averigüe si el siguiente sistema

x  3 y  2z  0 2 x  4 y  3z  0 puede ser compatible x  y  mz  0

indeterminado para algún valor de m. ¿Es incompatible para algún valor de m? x  2 y  2z  t  4 x y  z t  5 Clasifica y resuelve el siguiente sistema: x y zt  6 6 x  3 y  3z  2t  32

Considera el sistema:

x  y  z 1 a) Añade una ecuación lineal 3x  4 y  2 z  3

al sistema anterior de modo que el sistema resultante sea incompatible. b) Si añadimos al sistema dado la ecuación mx + y – z = -1, determina para que valores del parámetro m el sistema resultante es compatible indeterminado y resuélvelo. (PAU). Considerar el siguiente sistema de ecuaciones, en el que a es un parametro real:

 ax  4 y  az  a Se pide a) Discutir el sistema. b) 4 x  ay  az  a  x  y  z 1

Resolver el sistema para a = 1.

(PAU Modelo 2004-05).

33

Dadas las ecuaciones

3x  2 y  z  5 2 x  3 y  2 z  4

a) Añade una ecuación para

que el sistema sea incompatible. b) Añade una ecuación para que el sistema sea compatible determinado. Justifica en cada caso el procedimiento seguido para añadir la ecuación. (PAU).

Dado el sistema

3x  2 y  z  5 2x  3y  z  4

a) Añade una ecuación lineal de

manera que el sistema resultante sea incompatible. b) Añade una ecuación lineal de manera que el sistema resultante sea compatible indeterminado. Resuelve el sistema. (PAU).

Dado el sistema

2x  y  2z  1 x yz 3

a) ¿Cómo ha de ser la ecuación que

debe de añadirse para que sea incompatible?. b) ¿Cómo es la ecuación que debe de añadirse para que resulte compatible indeterminado?. Resuelve el sistema. (PAU).

Dado el sistema

x  2y  1 , a) escribir una tercera ecuación de la x  y  2z  1

forma ax  by  c (distinta de las dos anteriores) de manera que el sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas resultante siga siendo compatible. b) Dado el sistema

2x  2 y  z  1 , escribir una tercera ecuación de x  y  2z  1

la forma x  y  z  1 (distinta de los dos anteriores) de manera que el sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas resultante sea compatible indeterminado. (PAU Junio 03-04).

Dado el sistema:

ay  bx  c cx  az  b si a,b y c son no nulos, el sistema tiene bz  cy  a

solución única. Halla dicha solución.

(PAU).

34

1  a x  2 y  4 z  0 Dado el sistema: x  1  a  y  z  0 a) Estudiar la compatibilidad  x  ay  z  0

según los valores del parámetro a. b) Resolver el sistema anterior cuando sea compatible indeterminado. (PAU Junio 2003-04). 2x  y   Dado el sistema x  2 y  4 se pide: a) Discutir el sistema según los 3x  y  2

valores del parámetro  . b) Resolver el sistema cuando sea posible. (PAU Junio 2008-09). xz 2 Dado el sistema: x  y  z  4  x  y  z  5

se pide: a) Discutirlo para los

distintos valores del parámetro  . b) Resolverlo cuando el sistema sea compatible indeterminado. c) Resolverlo para   2 . (PAU Modelo 2009-10). x  2 y  z  0 Dado el sistema x  y  2 z  0 se pide: a) Obtener los valores del x  y  2 z  0 parámetro  para los cuales el sistema tiene soluciones distintas de: x = y = z = 0. b) Resolver el sistema para   5

(PAU Septiembre 2008-09).

Dado el sistema de ecuaciones:

x  2 y  3z  3 Se pide: a) Calcular a y 2x  3y  z  5

b de manera que al añadir una tercera ecuación de la forma ax+ y + bz = 1 el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el sistema original. b) Calcular las soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de las incógnitas sea igual a 4. (PAU Septiembre 2006-07).

35

x  y  2z  2 Dado el sistema de ecuaciones 2 x  y  3z  2 Se pide: a) Discutirlo 5 x  y  az  6

según los valores del parámetro a. b) Resolverlo cuando tenga infinitas soluciones. (PAU Junio 2000-01).

Dado el sistema de ecuaciones:

x  ay  z  a ax  2 z  2 se pide: a) Discutirlo x  z  2

según los valores del parámetro a. b) Resolverlo en el caso a = 0. (PAU Junio General 2009-10). x  k  1 y  2 z  1 Dado el sistema de ecuaciones lineales kx  y  z  k a) Discuk  1x  2 y  z  k  1

tirlo según los distintos valores del parámetro k. b) Resolverlo cuando tenga infinitas soluciones. (PAU. Septiembre 2006-07). x  y  mz  m  2 Dado el sistema de ecuaciones lineales 2 x  m  1 y  m  1z  m m  2x  3 y  2m  1z  3m  4

a) Discutirlo según los distintos valores del parámetro m . b) Resolverlo cuando tenga infinitas soluciones. (PAU Modelo 2007-08). 2x  3y  z  k Dado el sistema de ecuaciones x  2 y  3z  2 a) Discutirlo según los kx  ky  4 z  1

distintos valores de k. b) Resolverlo cuando sea compatible indeterminado. (PAU Modelo 2005-06). x  ky  k 2 z  1

Dado el sistema de ecuaciones: x  ky  kz  k 2

a) Discutirlo según

 x  ky  k 2 z  k 2

los distintos valores de k. b) Resolverlo para k = -1 (PAU Modelo 2006-07). 36

x y 3 Dado el sistema de ecuaciones: 2 x  3 y  2k 3x  5 y  k

a) Discutirlo según los

distintos valores del parámetro k. b) Resolverlo en los casos en que sea posible. (PAU Modelo 2008-09).

Dado el sistema homogéneo

x  ky  z  0 kx  y  z  0 Averiguar para que k  1x  y  0

valores de k tiene soluciones distintas de x = y = z = 0. Resolverlo en tales casos. (PAU. Junio 2005-06). Determina, según los valores del parámetro , cuando tiene solución x  y  z   2

el sistema: x  1    y    1z   2 x  y  z  2 2

Resuélvelo cuando sea compatible indeterminado.

(PAU).

Discute el siguiente sistema para los distintos valores del parámetro x  y  az  a 2 a. x  ay  z  a ax  y  z  1

Resuélvelo en los casos de compatibilidad.

(PAU).

x  2y  z  2 Discute el sistema de ecuaciones lineales x  1  b  y  bz  2b según los x  by  1  b z  1

valores de b.

(PAU).

ax  2 y  6 z  0 Discute el sistema de ecuaciones 2 x  ay  4 z  2 según los valores 2 x  ay  6 z  a  2

del parametro a. b) Resuelve el sistema de ecuaciones anterior para a = 2. (PAU Junio 1998-99).

37

Discute, en función de a, el sistema

ax  ay  a x  ay  1

(PAU).

Discute y resuelve por Cramer los siguientes sistemas:

3 p  3q  11r  0 3x  5 y  33  2 z x  2y  z  6 4 p  7r  0 2a  3b  6 a) b) 3x  19  y c)  3x  y  2 z  3 d) 5 p  3q  3r  0  a  5b  3 10  3z  x  2 y 2 x  3 y  z  3  6 p  6q  r  0

Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro k y resolverlo en el caso de que sea compatible indeterminado: kx ` z  k x  ky  z  1 3x  y  kz  2

Discutir el siguiente sistema. Hallar, si existe, su solución cuando





x  a 2  1 y  az  1

a = 0.

a

2



 1 y  a  1z  0

xa z 0 2

Discutir la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones

x yz a x  y  z 1 en función del parámetro a 3x  3 y  az  a

(PAU).

Discutir la existencia de soluciones del siguiente sistema según los valores del parámetro  . Resolverlo, si es posible, para  = 0. x  2y  z  3 x    3 y  3z  1

Discutir razonadamente, en función del parámetro k, el siguiente

x  ky  z  k  2 sistema: kx  y  z  k x  y  kz  2k  1

(PAU Modelo 2009-10).

38

Discutir según los valores del parámetro real  el sistema:

x  3 y  z   x  y  z  1 y resolver el sistema anterior en el caso   2 x  y  z 1

(PAU Septiembre 2003-04).

Discutir y resolver el siguiente sistema según los valores del parámetro :

x  y  z  1 x  y  z  

x  y  z   2

Discutir y resolver el siguiente sistema según los valores del parámetro a:

ax  y  z  1 x  2y  z  2 x  3y  z  0

Encuentra el valor del parámetro a, a  , para los cuales el

2x  3y  2z  4 sistema: ax  y  z  2 6 x  5 y  3z  5a

es compatible, y, en caso afirmativo,

resuélvelo.

(PAU).

Encuentra la relación entre las soluciones obtenidas y la matriz 2 3    1 1

inversa de la matriz de los coeficientes 

(PAU).

Estudie, según los valores del parametro a, el sistema de ecuaciones

ax  ay  a lineales siguiente: x  y  az  a x  2 y  3z  a

(PAU).

  x  z Hallar para que valores de  es incompatible el sistema: 1  2 x  y  z 3  x  3z

39

Obtén los valores x, y, z que verifiquen la siguiente ecuación matricial:

 1   1 1 1      y   x   2    2 1      0    1  0 1  z   0       

Resolver el sistema de ecuaciones

x  y  3z  0 . Hallar la solución 2x  3y  z  5

del sistema anterior tal que la suma de los valores correspondientes a cada una de las tres incógnitas sea igual a 4. (PAU. Septiembre 2006-07). x  2 y  z  3v  4 x  2 y  z  3v  4 Resolver el siguiente sistema: 2 x  4 y  2 z  6v  8 2x  2z  0

(PAU Septiembre 2007-08).

Resuelve el sistema de ecuaciones

x  2 y  3z  1 . Hallar dos 2x  y  z  2

constantes  y  de manera que al añadir al sistema anterior una tercera ecuación: 5x  y  z   , el sistema resultante sea compatible indeterminado. (PAU Junio 2004-05).

Resuelve los siguientes sistemas: x  y  z  16 2 x  3 y  3z  12 x  y  2 z  4 x  3 y  2 z  11 a) x  z  11 b) x  4 y  5 z  11 c) 2 x  y  3z  4 d) 2 x  y  3z  17 y  z  13 3x  2 y  z  7 2x  y  6z  3 3x  5 y  z  4 2x  3y  z  0 x yz 0 e) x  2 y  z  6 f) x  y  2 z  0 4 x  7 y  z  12 x  3y  4z  0

x  2y  z  0 g) 3x  4 y  z  0 2 x  y  8z  0

x yz 0 h) 2 x  3 y  2 z  0 x yz 0

40

Resuelve los siguientes sistemas:

x  y 1  0 a) 2 x  y  6  0 x  3y  2

2x  4 y  z  3 x y 5 5 x  2 y  3z  7t  1 b) c) x  2 y  z  3 d) yx2 5 x  2 y  3z  4 3x  y  5 z  1

9 x  5 y  10 2x  3y  z  2  0 e) x  2 y  2 z  3  0 f) y  3z  5 4 x  y  3z  4  0 3x  4 z  7

x  3 y  z  1 x  5 y  3z  3 g) x  y  z 1 3x  7 y  5 z  5

Resuelve los siguientes sistemas homogéneos:

x yz 0 a) 2 x  y  0 x  3y  2z  0

x  2 y  3z  0 b) 4 x  5 y  6 z  0 7x  8 y  9z  0

Resuelve los sistemas de ecuaciones: 2x  3y  1 x y 0

y

2x  3 y  0 x  y 1

Resuelve, utilizando un método algebraico, el siguiente sistema de

x yz 3 ecuaciones: 2 x  y  z  4 x  4 y  2z  5

Sea el sistema de ecuaciones:

x  2y  z  0 Hallar los valores de  y  2z  t  0 2 x  2y  t  0

para los que el rango de la matriz de coeficientes del sistema es 2. Resolverlo si  = 0

Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del

x  3 y  az  4 parametro real a: x  ay  z  2 Se pide: a) Discutir el sistema según x  4 y  5z  6

los diferentes valores del parametro a. b) Resolver el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones. (PAU Modelo 2003-04).

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1 1 1      x   1 1    1 Se considera el sistema de ecuaciones:  a) Discu y  1  1   1      1 1   z   1      tirlo según los valores del parámetro real  . b) Resolverlo para   3 . c) Resolverlo para   1 . (PAU. Junio 2000-01). 2 x  my  3z  3 Se considera el sistema de ecuaciones: x  y  2 z  0 se pide: 5 x  m  1 y  z  9

a) Discutir el sistema según los valores de m. b) Resolver el sistema para el caso m = 0. (PAU Junio Especifica 2009-10).

m  2x  m  1y  z  3 Se considera el sistema de ecuaciones: mx  y  z  2

Se pide:

x  my  z  1

a) Resolverlo para m = 1. b) Discutirlo para los distintos valores de m. (PAU Junio 2002-03).

3x  4 y  3z  9 Se considera el sistema de ecuaciones: mx  2 y  z  5 x yz 2

Se pide:

a) Determinar los valores de m para que el sistema dado tenga solución única. b) Resolverlo para m = 1. (PAU Septiembre 2002-03).

42