MATRICES. Calcula la matriz X, tal que X · B + A = C siendo: 0 3 0   4  2 1   1 3 5   , B   2 0 1  , C    A    2 4  6  5 1  3    0  3 2  

(PAU).

1 1 1  0 0 1     Considera las matrices A   2 1 2  y B   0 1 1 , Calcula la 0 0 1  1 1 1    

matriz X que verifica que X·A + B = I.

(PAU).

1 2  1   Dada la matriz A   2 0  1 , calcula, si existen las siguientes   6 1 0    matrices: a) Una matriz X tal que X  A  1 0  1 . b) Una matriz Y 1 0 1  tal que A  Y   (PAU). 0 1 0  

3 1

 , determina otra matriz B, tal que: Dada la matriz A   1 2 A+B=A·B (PAU).

8 5 4    Dada la matriz A   0 7 1  0 0  2  

, Halla A-1 .

1 2

t -1 2  calcula la expresión: (A · A ) · A Dada la matriz A   3 4

𝐃𝐚𝐝𝐚 𝐥𝐚 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳 𝐀 = 𝐢𝐧𝐯𝐞𝐫𝐬𝐚 𝐝𝐞 𝐁 = 𝐀𝟓𝟎

𝟏 𝟐 , 𝐜𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐚𝐫 𝐀𝐧 . 𝐒𝐢 𝐧 = 𝟓𝟎 , 𝐡𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐥𝐚 𝟎 𝟏

1

𝟏 Dada la matriz 𝑨 = 𝟏/𝟏𝟎 𝟏/𝟏𝟎 𝒙 𝟓 b) Resuelve el sistema 𝑨 · 𝒚 𝒛

𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 a) Calcular A + A2 , 𝟎 𝟏 𝟐𝟎 = 𝟓 𝟏

1 1 2   Dada la matriz A   2 x 1  calcula para que valor de x, posee 1 4 x   inversa y para cuales no es inversible. Calcular A-1. (PAU).

 2 1 4   Dada la matriz inversible A   3 2 5  hallar: 0 1 1  

a) At·A , b) A·At ,

c) A·A-1 , d) A-1·A , e) At·A-1 , f) A-1·At . 1 0   1 1  Dadas las matrices: A   0 2  , B   0 2   4 8  

Calcula: a) A·B ;

b) 2A · 3B ; c) B3 1  Dadas las matrices A   0 4  b) A·B ; c) A – B ; d) A + 3B ;

3 0  2 1 0    2 0  ; B   0 4 1  Calcular a) A + B ;  6 0 3 0 5    2 3 e) B ; f) A – B

𝟏 𝟎 −𝟏 𝟐 𝟏 Dadas las matrices 𝑨 = 𝟎 𝟏 𝟎 𝒚 𝑩 = 𝟎 −𝟏 −𝟏 𝟏 −𝟏 𝟏 𝟏 a) Resuelve la ecuación X · A + X = 2B b) Calcula la matriz inversa de A.

−𝟏 𝟏 𝟐

𝟏 𝟐 −𝟐 𝟑 −𝟏 𝟑 ,𝐁 = ,𝐂 = , 𝟎 𝟏 𝟏 𝟐 𝟒 𝟏 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒂) 𝑨 · 𝑩 −𝟏 , 𝒃) 𝑨 − 𝟐𝑩 · 𝑪𝒕 , 𝒄) 𝑫𝒂𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝟐𝐗 – 𝟑𝐘 = 𝐀 , 𝒉𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂𝒔 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒄𝒆𝒔 𝑿 𝒆 𝒀 , d) calcular A50. 𝐗 + 𝐘 = 𝐁 𝐃𝐚𝐝𝐚𝐬 𝐥𝐚𝐬 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐜𝐞𝐬 𝐀 =

𝐚 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟒 ,𝐁 = ,𝐂 = , 𝟏 𝐛 𝟎 𝟐 𝟏 𝟓 Calcular a) a y b para que se verifique que A · B = C b) Si a = b = 3 , calcular An por inducción. c) Calcular P = B2 – 2C + B · I 𝐃𝐚𝐝𝐚𝐬 𝐥𝐚𝐬 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐜𝐞𝐬 𝐀 =

𝟒 𝟔 𝟖 Dadas las matrices: 𝑨 = 𝟏 𝟐 𝟑 , 𝑩 = 𝟑 𝟒 𝟓 𝟐𝐗 −𝟏 a) A.B ; b) 𝑩 ; c) Resolver el sistema

𝟏 −𝟏 𝟎 𝟏 𝟏 𝟎

𝟎 𝟐 calcular −𝟏

+ 𝟑𝐘 = 𝐀 −𝟐𝐗 − 𝟐𝐘 = 𝐁

 2 1

 3  1

 2

1

 , B    y C    Dadas las matrices: A    0 3 2 1   3  1 comprueba las siguientes igualdades: a) A  B  C    A  B  C ; b) A  B  C   A  B  A  C ; c)  A  B  C  A  C  B  C ; d)  A  B 2 ; e) A2  B 2  2 AB

1 2 0 1 1 2      Dadas las matrices: A   0 1 2  , B   1 1  1 0 2 3 0 1 3     

Determinar a) la

matriz inversa de B. b) Determinar una matriz X tal que A  B  X −𝟏 𝟐 𝟏 𝟎 𝐃𝐚𝐝𝐚𝐬 𝐥𝐚𝐬 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐜𝐞𝐬 𝐀 = 𝐲 𝐁= . 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐮𝐧𝐚 −𝟏 𝟏 −𝟑 𝟏 𝐚 𝐛 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳 𝐗 = 𝐪𝐮𝐞 𝐯𝐞𝐫𝐢𝐟𝐢𝐪𝐮𝐞 𝐥𝐚 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐜𝐢𝐚𝐥 𝐜 𝐝 𝐗. 𝐀 + 𝐗 = 𝟐. 𝐁

3

𝟒 Resolver a) la 𝟎 𝟑𝐗 – 𝟓𝐘 = 𝐀 ecuación A · X – B2 = A · B ; b) El sistema 𝟒𝐗 – 𝟑𝐘 = 𝐁 Dadas las matrices 𝑨 =

𝟐 𝟎 −𝟏 𝒚𝑩= 𝟏 𝟑 𝟐

𝒙 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝑫𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒍𝒂𝒔 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒄𝒆𝒔 𝑨 = 𝟏 𝒏 𝟏 , 𝑿 = 𝒚 𝒚 𝑩 = 𝟎 , 𝒛 𝟎 𝟏 𝟏 𝒂) 𝑯𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒐𝒔 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒍𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝑨 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔𝒂. 𝒃) 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 𝑨 · 𝑿 = 𝑩 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒏 = 𝟑. (PAU Modelo 2007-08) Determina la matriz X que satisface la ecuación: 3X + I = A· B – A2 ,  1 1 2 1 0 2      siendo: A   2 0 3  y B   2 1 1   3 1 2  3 2  1    

e I la matriz unidad de

orden 3.

(PAU).

Encontrar las matrices X tales que A·X = X·A siendo 𝑨 =

𝟏 𝟒

𝟎 , 𝟐

b) Calcular la matriz inversa de A. Encontrar todas las matrices X cuadradas 2x2 que satisfacen la igualdad X·A = A·X, en cada uno de los dos casos siguientes: 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝒂) 𝑨 = ; 𝒃) 𝑨 = (PAU Modelo 2006-07) 𝟎 𝟑 𝟑 𝟎  7

4 

 Hallar la inversa de la matriz A     9  3 (A-1)2 = (A2)-1 .

y comprueba sí

0 1 0 1 0 0     Hallar la matriz inversa de I – A siendo: A   0 0 1  ; I   0 1 0  0 0 0 0 0 1    

Hallar las inversas de las matrices:

a)

 1 0 1   A   3 1 0  0 5 1  

; b)

 1 1 1    B   1  1 11 1 1 1   

Hallar x, y, z para que se verifique

𝟐 −𝟏 −𝟏 · 𝒙 + 𝟏 𝟑 𝟏

𝟎 𝟓 𝟐 ·𝒚= 𝟐 𝟏 𝟖

4 8   2 A  3B    7 11 Resolver el siguiente sistema matricial 10 1   5 A  2 B    8 18 

(PAU).

Resuelve el sistema de ecuaciones matriciales: 7 3 X  2Y   16  6 X  3Y    2

3  4  12   27 

(PAU).

Resuelve los sistemas matriciales: 1

0

 a) 2 X  Y    1 1 1 3   X  Y   5  4

 2

4

 b) X  Y     4 2   2 8  3Y  X    12 2 

 1 0  1   Resuelve la ecuación X · A + X = 2B , siendo: A   0 1 0  y   1 1  1   2 1 1   B  0 1 1  (PAU).  1 1  2  

5

1

2

 ; Resolver la ecuación matricial A·X = B siendo: A   0  1    1 2 3  B   0  1 1  

Resolver la ecuación matricial A.X + 2B = 3C siendo 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 𝟏 𝟎 𝟎 𝑨 = 𝟏 𝟏 𝟎 ,𝑩 = 𝟎 𝟏 𝟎 ,𝑪 = 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 b) Dada la matriz 𝑫 = 𝟎 𝟏 𝟎 𝐜𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐚𝐫 𝐃𝟏𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟏

Resuelve la ecuación matricial X · A + X = 2B, siendo 𝟏 𝟎 −𝟏 𝟐 𝟏 −𝟏 𝑨 = 𝟎 𝟏 𝟎 𝒚 𝑩 = 𝟎 −𝟏 𝟏 . b) Calcula la matriz −𝟏 𝟏 −𝟏 𝟏 𝟏 −𝟐 inversa de A. Resolver la ecuación matricial A·B·X – C·X = 2C siendo 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟎 𝟑 𝟏 𝟏 𝑨 = 𝟐 𝟏 ,𝑩 = 𝒚 𝑪 = −𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 −𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 𝟏 −𝟏 𝟏 1

0

 y Resuelve la ecuación matricial 2A = A·X + B, siendo: A    1 1  1 2  B    3 1

(PAU).

Resuelve la ecuación matricial, P·X + 3I = Q, donde I es la matriz  1 0   2 3  ; Q    2  1 2

identidad de orden 2 y P y Q son las matrices: P   2

(PAU).

Sea A una matriz mxn. a) ¿Existe una matriz B tal que B·A sea una matriz fila?. b) ¿Se puede encontrar una matriz B tal que A·B sea una matriz fila?. Si existe, ¿que dimensión tiene?. c) Busca una matriz B 1 1   tal que B  A  0 0 siendo A   0 1  0 0  

(PAU).

1 1 0   1     Sea la ecuación A·X = B con : A   3 0 2  y B   2  5 1 1 3    

Hallar A-1 y X.  1 1

10  Calcular A Sea la matriz A   a partir de la An  0 1 (PAU MODELO 2008-09)

1 a

n  : a) Para cada numero natural n, hallar A . Sea la matriz A   0 1 22 b) Calcular A – 12A2 + 2A. (PAU).

0 0 1   Sea la matriz A   1 0 0  a) Comprueba que A-1 = At ; b) Utili0 1 0  

zando el apartado anterior, calcula (At · A)1998 .

(PAU).

 2 2  2   Sea la matriz A   2 2  2  Se pide: a) Comprobar que A3 - 2A2 = 0.  2 2  2  

b) Hallar An.

(PAU MODELO 2004-05). 1 0

 y sea n un numero natural . Encontrar el Sea la matriz A   3 1 valor de An para cada n y hallar A350 – A250 . (PAU).

7

8  9

 1 1

 , B    . Hallar una matriz X tal Sean las matrices: A   0 1 6  7     que X  A  X 1  B .

𝟑 𝟏 𝟐 𝟏 𝒚𝑩= , Hallar la matriz X −𝟐 𝟎 −𝟏 𝟑 que verifique A.B – 2X = A + 3B , b) Calcular 𝑨−𝟏 𝒚 𝑩−𝟏 Sean las matrices: 𝑨 =

 2 3

1

3 

 , B    Hallar la matriz X Sean las matrices A y B: A    1 0  2  2 que verifica la igualdad: 2X – A·B = A2 . (PAU).

𝟒 −𝟑 Sean las matrices 𝑨 = 𝟓 −𝟒 −𝟏 𝟏 a) Hallar la matriz X que verifique c) Calcular A-1

−𝟑 𝟑 𝟐 −𝟏 −𝟒 𝒚 𝑩 = 𝟏 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 −𝟑 X·A – B = 2I ; b) A86 ;

2  1 2 0 1 1      Se consideran las matrices A    1  1 1  y B   5 1  3  1  2 2  0 0 2     

calcula (A + B)2 , A2 + 2AB + B2 y A2 + B2 , ¿Por qué no coinciden sus resultados?. ¿Cuál seria la formula correcta para el cuadrado de una suma de matrices?.

Se consideran las matrices 𝑨 =

𝒂−𝟐 𝟐 𝟐 𝒂 𝟐𝒂 𝟐 𝒂+𝟏

−𝟏 𝟐 ; 𝒂+𝟏

𝒙 𝟎 𝒚 𝑿= ; 𝑶 = 𝟎 . a) Calcúlense los valores de a para los cuales no 𝒛 𝟎 existe la matriz inversa A-1. b) Para a = - 1, calcúlese la matriz inversa A-1. c) Para a = 0, calcúlense todas las soluciones del sistema lineal A·X = O (PAU Septiembre especifica 2009-10).

Se dice que una matriz cuadrada A es ortogonal si 𝑨 · 𝑨𝒕 = 𝑰. 𝟒 𝟑 𝟎 − 𝟓 𝟓 𝟑 𝟒 𝒂) 𝑬𝒔𝒕𝒖𝒅𝒊𝒂𝒓 𝒔𝒊 𝒍𝒂 𝒔𝒊𝒈𝒖𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝑨 = 𝒆𝒔 𝟎 𝟓

𝟓

𝟎 𝟏 𝟎 𝒐𝒓𝒕𝒐𝒈𝒐𝒏𝒂𝒍. 𝒃) 𝑺𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝑨 𝒍𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒅𝒆𝒍 𝒂𝒑𝒂𝒓𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒂𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓, 𝒙 𝟏 𝒓𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓 𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝑨 · 𝒚 = 𝟏 . (PAU modelo 2004-05) 𝒛 −𝟏

Una matriz X es idempotente si y solo si X2 = X. ¿Cuáles de las siguientes matrices son idempotentes?  2  2  4  1 10  10  1 1 1       A   1 3 4  ; B  10 2  10  ; C   0 1 0   1  2  3 10  10 3   1 2 3      

(PAU).

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PROBLEMAS DE PLANTEAMIENTO DE SISTEMAS DE ECUACIONES. Dos hermanos, tienen entre ambos 29 años y uno de ellos le dice al otro: Dentro de 8 años, mi edad será el doble que la tuya. ¿Cuantos años tienen cada uno en la actualidad?. El testamento de un padre con 3 hijos contiene las siguientes disposiciones: La parte de mi hijo mayor será la mitad de la parte de los otros dos, mas 3000 €; la parte del más joven será la media de los otros dos, menos 3000 €. Si hay que repartir 9000 €, ¿a cuánto toca cada hijo?.

El tío Evaristo tiene 10 litros de mezcla de agua y vino. Al probarla, observa que está muy aguada, por lo que decide añadirle una cierta cantidad de vino y entonces la cantidad de agua es del 30 % del total. Como sigue estando aguada, le añade de nuevo la misma cantidad de vino que antes y entonces la cantidad de agua es del 20 % del total. ¿Cuantos litros de vino se añaden en cada ocasión y cuantas hay de agua?.

En una acería se fabrican tres tipos de productos: acero en láminas, en rollos o aceros especiales. Estos productos requieren chatarra, carbón y aleaciones en las cantidades que se indican en la tabla, por unidad de producto fabricado: Acero Acero Aceros Laminas rollos especiales Chatarra 8 6 6 Carbón 6 6 4 Aleaciones 2 1 3 a) Si se desea fabricar 6 unidades de acero en láminas, 4 unidades de aceros en rollos y 3 unidades de aceros especiales, obtén una matriz que indique las cantidades de chatarra, carbón y aleaciones que serán necesarias. b) Si se dispone de 34 unidades de chatarra, 28 de carbón y 9 aleaciones, cuantas unidades de cada tipo de acero se podrán fabricar con estos materiales?.

En una autonomía existen tres hospitales dedicados a urgencias. Se sabe que en el primer hospital se han atendido en doble de casos que en el segundo y que en el tercero se han atendido solo la mitad que en el segundo, Si el total de urgencias ha sido de 3003, ¿cuántas prestaciones ha realizado cada hospital? Plantear el sistema y resolverlo.

En una confitería envasan los bombones en cajas de 250 g, 500 g y 1 Kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño que de tamaño mediano. Sabiendo que el precio del kg de bombones es de 40 euros y que el importe total de los bombones envasados es de 1250 euros: a) Plantea un sistema de ecuaciones para determinar cuántas cajas se han envasado. b) Resuelve el sistema. (PAU). Juan le dice a Pedro: Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes. La suma del triple de la edad que tu tienes con la que yo tendré cuando tu tengas la edad que yo tengo es de 280. ¿Cuáles son las edades actuales de Juan y Pedro?.

La suma de las edades en el momento actual, de un padre y sus dos hijos es de 73 años. Dentro de 10 años, la edad del padre será el doble de la edad del hijo menor. Hace 12 años, la edad del hijo mayor era el doble de la edad de su hermano. Hallar la edad actual de cada uno.

La suma de las tres cifras de un número es 7. La cifra de las centenas es igual a la suma de la cifra de las decenas más el doble de la cifra de las unidades. Si se in-vierte el orden de las cifras, el nuevo número ha disminuido en 297 unidades. Calcular el número.

Los gastos diarios de tres estudiantes, Marta, Raúl y Pedro, suman 15,45 €. Si a lo que gasta Marta se le suma el triple de la diferencia entre los gastos de Raúl y Pedro obtendremos lo que gasta Pedro. Además, ocho veces la diferencia entre el gasto de Raúl y el de Marta es igual al gasto de Marta. Averigua cuál es la cantidad que gasta cada uno. (PAU).

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Por 9 entradas de Butaca de Patio (BP), 6 de Anfiteatro I (AI) y 9 de Anfiteatro II (AII) una persona ha pagado 480 euros. A otra persona le han cobrado 140 euros por 4 de AI y 6 de AII , y una tercera persona paga 160 euros por 3 de BP, 2 de AI y 3 de AII. a) Determina, solo con estos datos, el precio de las Butacas de Patio. b) ¿Puede hallarse el precio de las entradas de Anfiteatro I y II?. c) Si el precio de las entradas de anfiteatro I es el doble que el de las de Anfiteatro II, ¿pueden saberse los respectivos precios?. Hállalos. (PAU).

Resuelve el sistema que se obtenga del siguiente enunciado: ¿Cuantos litros de leche con 35% de grasa han de mezclarse con leche del 40% de grasa, para obtener 20 litros de leche con el 25% de grasa?.

Se desea confeccionar una dieta de tres clases de alimentos A,B y C. El A tiene 10 cal por cada 100 gr de alimento, el B tiene 30 cal por cada 100 gr y el C 40 cal por cada 100 gr. A) Si la dieta consta de 4000 gr de alimentos por día, dicha dieta está restringida a 840 cal exactas y la cantidad de alimento A ingerido debe de ser doble en peso que la cantidad de alimento de C. Hallar las cantidades que debe de ingerir de cada uno de los alimentos.

Se desea mezclar vino de 0,55 céntimos el litro con otro de 0,40 céntimos el litro, de modo que la mezcla resulte a 0,45 céntimos el litro. ¿Cuántos litros de cada clase deben de mezclarse para obtener 300 litros de mezcla.

Si a un numero de dos cifras se le suma 18, se obtiene un numero con las cifras intercambiadas. Sabiendo que la suma de las cifras del número es 16, encuentra dicho numero. (PAU).

Si la altura de Carlos aumentase el triple de la diferencia entre las alturas de Toni y de Juan, Carlos seria igual de alto que Juan. Las alturas de los tres suman 515 cm. Ocho veces la altura de Toni es lo mismo que nueve veces la altura de Carlos. Hallar las tres alturas.

Si la suma de las dos cifras de un número es 11 y al invertir el orden de las cifras, el nuevo número aumenta en 27 unidades. Calcular el número.

Si se mezclan 60 litros de vino blanco con 20 litros de vino tinto, se obtiene un vino del 10% de alcohol. Si, por el contrario se mezclan 20 litros de vino blanco con 60 litros de tinto, se obtiene un vino de 11 % de alcohol. ¿Qué graduación tendrá una mezcla de 40 litros de vino blanco y 40 litros de tinto?. (Llamar x a la graduación del vino blanco, y a la graduación del vino tinto, z a la graduación de la mezcla)

Sumando los años de antigüedad de tres empleados A, B y C, se obtienen 50 años. Además, el doble de las antigüedades de B y de C es igual al triple de la antigüedad de A, y la diferencia de antigüedad entre B y C es igual al 30 % de la antigüedad de A. Determina los años de antigüedad de cada empleado. (PAU). Tres personas A, B y C van a hacer un regalo a un amigo común. El regalo les cuesta 86 euros. Como no todos disponen del mismo dinero, deciden pagar de la siguiente manera: A paga el triple de lo que pagan B y C juntos, y por cada 2 euros que paga B, C paga 3 euros. Se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar cuánto paga cada uno de ellos. b) Resuelve el sistema planteado por el método de Gauss. (PAU). Un ama de casa adquirió en el mercado ciertas cantidades de patatas, manzanas y naranjas a un precio de 1, 1,20 y 1,50 euros por kg respectivamente. El importe total de la compra fue de 11,60 euros. Si el peso total de la misma es de 9 kg y, además, compró 1 kg más de naranjas que de manzanas: a) Plantea un sistema de ecuaciones para determinar la cantidad adquirida de cada producto, b) resuelve el sistema.

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Un automóvil sube las cuestas a 54 km/h, las baja a 90 km/h y en llano marcha a 80 km/h. Para ir de la ciudad A a la B tarda 2 horas y 30 minutos y para volver de B a A, 2 horas y 38 minutos. ¿Cuál es la longitud del camino llano entre A y B si se sabe que A y B distan entre sí 192 km?. (PAU).

Un estudiante hizo un examen que constaba de tres preguntas y obtuvo un 8 de calificación. En la segunda pregunta saco 2 puntos más que en la primera y en la tercera obtuvo 1 punto más que en la segúnda. Plantea el sistema de ecuaciones y resuélvelo por el método de Gauss.

Un número de tres cifras verifica que: a) La suma de sus cifras es 24. b) La diferencia entre las cifras de las centenas y las decenas es 1. c) Si se intercambian las cifras de las unidades y las centenas, el número disminuye en 198 unidades. Encuentra dicho número. (PAU). Un pastelero desea vender cajas que contengan al menos 12 unidades, con dulces de dos clases y a un precio menor de 5 . Si el precio de coste de cada una de las clases de dulces es de 50 y 25 céntimos la unidad: a) encuentra de forma gráfica el conjunto de soluciones. b) Si la caja no puede estar vacía ni contener una sola clase de dulce, halla todas las posibles combinaciones de las cajas que satisfacen las condiciones impuestas por el pastelero. (PAU).

Un viñatero posee tres tipos de vino con precios por litro de 3, 4 y 7 euros, respectivamente. ¿Cómo debería mezclarlos para obtener un litro de vino cuyo precio fuese 5 euros el litro, teniendo en cuenta que debe emplear doble cantidad del vino de 4 euros por litro que del vino que solo cuesta 3 euros el litro?. (PAU). Una madre y sus dos hijos tienen en total 60 años. El hijo mayor tiene 3 veces la edad del menor y la madre tiene el doble de edad que la suma de las edades de sus hijos. Plantear el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas y resolverlo por Gauss.

Una marca comercial utiliza tres ingredientes A, B y C en la elaboración de tres pizzas P1, P2 y P3. P1 se elabora con 1 unidad de A, 2 de B

y 2 de C; P2 con 2 unidades d A, 1 de B y 1 de C, y P3, con 2 unidades de A, 1 de B y 2 de C. El precio de venta al público es de 12 € para P1, 10,25 € para P2 y 12,25 € para P3. Sabiendo que el margen comercial (beneficio) es de 4 € en cada una de ellas, ¿qué le cuesta a dicha marca comercial cada unidad de A, B y C?. Justifica la respuesta. (PAU).

Una multinacional de seguros, tiene delegaciones en Madrid, Barcelona y Valencia. El número total de ejecutivos de las tres delegaciones asciende a 31. Para que el número de ejecutivos de la delegación de Barcelona fuese igual al de Madrid, tendrían que trasladarse tres de ellos de Madrid a Barcelona. Además, el número de los ejecutivos de Madrid excede en uno a la suma de los destinados en las otras dos ciudades. ¿Cuántos ejecutivos están destinados en cada ciudad?. Una refinería compra petróleo a dos países A y B. Comprando 500 barriles al país A y 15500 barriles al país B, resulta un precio medio de 19´875 dólares el barril. Comprando 1000 barriles al país A y 1000 al país B, el precio medio es de 18 dólares el barril. ¿Cuánto cuesta el barril de crudo de cada país?.

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Una empresa instala casas prefabricadas de tres tipos A, B y C. Cada casa de tipo A necesita 10 horas de albañilería, 2 horas de fontanería y 2 de electricista. Cada casa de tipo B necesita 15 horas de albañilería, 4 horas de fontanería y 3 de electricista. Cada casa de tipo C necesita 20 horas de albañilería, 6 horas de fontanería y 5 de electricista. La empresa emplea exactamente 270 horas de trabajo al mes en albañileria, 68 de fontanería y 58 de electricista. ¿Cuántas casas de cada tipo instala la empresa en un mes?. (PAU Septiembre 2007-08)

SISTEMAS DE ECUACIONES Averigua si es posible escribir un sistema lineal homogéneo (sus términos independientes son nulos) de dos ecuaciones con dos incógnitas que sea: a) compatible y determinado; b) compatible e indeterminado; c) incompatible. Razona la respuesta en cada caso y pon un ejemplo cuando la respuesta sea afirmativa. (PAU). x  2 y  2z  t  4

Clasifica y resuelve el siguiente sistema:

x y  z t  5 x y zt  6

(PAU).

6 x  3 y  3z  2t  32

1 1 3    Considera la matriz  2 3 4  siendo m un parámetro real. Se pi 3 4 m  

de: a) Calcula el rango de A según los valores del parámetro m,  x   0     b) Considera el sistema de ecuaciones lineales A   y    0  Discute si  z   0    

existe solución según los valores del parámetro m. En caso afirmativo resuelve el sistema. c) Para m = 7, considera el sistema de ecuaciones lineales

 x   2     A   y    0  discute si existe solución.  z   3    

(PAU).

x yz 6

Dado el sistema: x  2 y  2 z  5

a) Obtén su matriz de coeficien-

2 x  y  z  11

tes. b) Calcula su inversa. c) Sin resolverlo, razona si tendrá una única solución. (PAU). 1 1 1  2      y   Dado el sistema de ecuaciones lineales : x   2    0 1       3   1 1 0  z   2      

a) Exprésalo en la forma matricial AX = B y calcula la A-1. b) Resuélvelo.

(PAU). 17

𝑫𝒂𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔, 𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒂 − 𝒙 + 𝒂𝒚 + 𝒛 = 𝟏 𝒓𝒂𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 𝒓𝒆𝒂𝒍 𝒂: 𝟐𝒚 + 𝒂𝒛 = 𝟐 𝒂) 𝑫𝒊𝒔𝒄𝒖𝒕𝒊𝒓 𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒍𝒐𝒔 𝒙+𝒚+𝒛=𝟏 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒊𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒂. 𝒃) 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓 𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒂 = 𝟑 𝒚 𝒂 = 𝟏. (PAU Junio 2006-07)

Discute el sistema en función de los distintos valores de n, y resuélvex  2y  1

lo cuando sea posible. 3x  y  1

(PAU).

4x  y  n

Discute los sistemas y resuelve donde proceda: x  y  2z  1

x y 6

a) 2 x  y  4 z  7 b) 2 x  y  5 4x  y  9

(PAU).

4 x  3 y  11

Discute y resuelve el siguiente sistema según los distintos valores del 2y  z  a

parámetro a:

3 x  2 z  11 yz 6

(PAU).

2x  y  4z  a

Estudia según los valores del parámetro , es sistema de ecuaciones

x  y  1 lineales: y  z  1 x  2 y  z  1

indeterminado.

Resuélvelo en el caso de que sea compatible (PAU).

Halla el valor del parámetro k para que las tres rectas del plano, definidas por las siguientes ecuaciones, sean concurrentes en un punto. y  2x  4

2 y  3x  k  0 x y 0

(PAU).

Obten los valores x, y , z que verifican la siguiente ecuación matricial:  1   1 1 1      y   x   2    2 1      0    1  0 1  z   0       

(PAU).

x  2y  z  1

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: x  y  z  0 2 x  3 y  1 x yz 6

Resuelve el sistema: 2 x  3 y  z  9

(PAU).

3x  2 y  5 z  1

Resuelve por el método de Gauss: x  y  z  16

2 x  3 y  3z  12

a) x  z  11

b) x  4 y  5 z  11

y  z  13

3x  2 y  z  7

2x  3y  z  0

e) x  2 y  z  6 4 x  7 y  z  12

x yz 0

f) x  y  2 z  0 x  3y  4z  0

x  3 y  2 z  11

x  y  2 z  4

c) 2 x  y  3z  4 d) 2 x  y  3z  17 3x  5 y  z  4

2x  y  6z  3

x  2y  z  0

x yz 0

g) 3x  4 y  z  0 2 x  y  8z  0

h) 2 x  3 y  2 z  0 x yz 0

3x  2 y  4 z  8

Resuelve, por el método de Gauss, este sistema: x  y  2 z  1 7 x  8 y  8 z  22

(PAU).

Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del 𝟏 𝟏 −𝟏 𝟏 𝒙 parámetro real a: 𝟐 · 𝒙 + −𝟑 𝟐 · 𝒚 = 𝟐𝟐 . a) Discútase el −𝟒 𝒂 𝟕𝒂 𝟏 sistema para los diferentes valores del parámetro a. b) Resuélvase el sistema para el valor de a para el cual el sistema tiene infinitas soluciones. c) Resuélvase el sistema para a = 0. (PAU Septiembre común 2009-10)

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Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del 𝒙 + 𝒌𝒚 + 𝒛 = 𝟏 parámetro k: 𝟐𝒚 + 𝒌𝒛 = 𝟐 a) Discútase el sistema para los dife𝒙+𝒚+𝒛= 𝟏 rentes valores de k. b) Resuélvase el sistema en el caso de que tenga infinitas soluciones. c) Resuélvase el sistema para k = 3 (PAU modelo 2009-10).

Sea el siguiente sistema de ecuaciones, en función del parámetro m:

3x  2m  3 y  1  3mx  y  1

a) Exprésalo en forma matricial, siendo los elemen-

tos de una de las matrices que intervienen las variables x e y. b) Discútelo según los valores del parámetro m. c) Determina su solución para m = 5 (PAU). x  2 y  2z  0

Sea el sistema de ecuaciones lineales: y  z  1

a) Escríbelo en

x yz 2

forma matricial. b) Justifica sin resolverlo que no tiene solución única. Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente 𝒌𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟕𝒛 = 𝟖 𝒙 − 𝒚 + 𝒌𝒛 = 𝟐 a) Discútase el sistema para los del parámetro k: −𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟐 diferentes valores de k. b) Resuélvase el sistema en el caso de que tenga infinitas soluciones. c) Resuélvase el sistema para k = 0 (PAU Junio Específica 2009-10).

Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente 𝒙+𝒚+𝒛=𝟑 del parámetro k: 𝒙 + 𝒌𝒚 + 𝒛 = 𝟑 a) Discútase el sistema para los 𝒌𝒙 − 𝟑𝒛 = 𝟔 diferentes valores de k. b) Resuélvase el sistema en el caso de que tenga infinitas soluciones. c) Resuélvase el sistema para k = 3 (PAU Septiembre 2008-09).

Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente 𝒙 + 𝒚 + 𝒌𝒛 = 𝟒 del parámetro k: 𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟓 a) Discútase el sistema para los −𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝒛 = 𝟎 diferentes valores de k. b) Resuélvase el sistema en el caso de que tenga infinitas soluciones. c) Resuélvase el sistema para k = 0 (PAU Junio 2008-09).

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PROGRAMACIÓN LINEAL Dibuja la región definida por las siguientes desigualdades y determina en ella el punto en el que la función f(x,y) = 6x + y toma el valor má5 x  y  47

ximo:

9 y  2x  0 x  2 y  22

(PAU).

x0

Doscientas personas quieren organizar una excursión con una empresa que dispone de 4 autobuses de 40 plazas cada uno y 5 autobuses de 50 plazas cada uno. El alquiler de un autobús grande es de 180 €, y el alquiler de uno pequeño es de 120 € . ¿Qué combinación de autobuses minimiza el costo de la excursión si la empresa dispone de 5 conductores?. (PAU).

Los alumnos y alumnas de primero de Bachillerato, con el objetivo de recaudar fondos para el viaje fin de curso, deciden vender paquetes de dulces navideños. Disponen de 10 kg de polvorenes y 8 kg de mantecados. Acuerdan hacer dos tipos de paquetes: uno, a un precio de 3 €, formado por 100 gr de polvorones y 150 gr de mantecados, y otro, a un precio de 4 €, y que contiene 200 gr de polvorenes y 100 gr de mantecados. ¿Cuántos paquetes de cada tipo les interesa vender?. (PAU).

Me ofrecen la posibilidad de vender hasta un máximo de 24 toneladas de dos productos A y B, dándome una comisión de 150 € por tonelada vendida de A y 100 € por tonelada vendida de B. Averigua cuantas toneladas debo vender de A y de B para maximizar la ganancia. (PAU).

Representar la región del plano definida por el siguiente sistema de – 𝒙 + 𝒚 ≤ 𝟔𝟎 inecuaciones 𝒙 + 𝒚 ≥ −𝟒𝟎 . 𝑴𝒂𝒙𝒊𝒎𝒊𝒛𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝟏𝟏𝒙 + 𝟑𝒚 ≤ 𝟒𝟎 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟏𝟎𝒙 − 𝒚 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒈𝒊ó𝒏 𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒊𝒅𝒂. 𝑴𝒊𝒏𝒊𝒎𝒊𝒛𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒈 𝒙, 𝒚 = 𝒙 − 𝟏𝟎 𝒚 (PAU modelo 2007-08)

Se considera la región del primer cuadrante determinada por las inex y8

cuaciones: x  y  4

a) Dibuja la región y determina sus vértices,

x  2y  6

b) Dada la función objetivo f(x,y) = 3x + 2y , halla donde alcanza dicha función su valor mínimo y calcúlalo. (PAU).

Se considera la región factible dada por el siguiente conjunto de inex y5

cuaciones:

x  3y  9 x0

. Representa la región factible que determina

y0

el sistema de inecuaciones y halla la solución mínima y máxima para que cada una de las siguientes funciones: a) f(x,y) = 2x + 3y; b) f(x,y) = y - x (PAU). Se necesita una dieta que proporcione a un animal 3000 calorías y 80 unidades de proteínas diarias. En el mercado hay dos alimentos básicos que pueden usarse para preparar la dieta. El alimento A cuesta 20 céntimos/kg, y contiene 600 calorías y 2 unidades de proteínas. Y el alimento B cuesta 10 céntimos/kg, y contiene 50 calorías y 8 unidades de proteínas. Determina la combinación de alimento más económica que satisfaga las necesidades de la dieta. (PAU).

Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos; por necesidades del mercado, es necesario que haya mayor o igual numero de mecánicos que de electricistas, y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total, hay disponibles 20 electricistas y 30 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250 € por electricista y de 200 € por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben de elegirse para obtener el máximo beneficio?. (PAU).

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Un grupo inversor dispone de un máximo de 9 millones de euros para invertir en dos tipos de fondos de inversión, A y B. El fondo de inversión tipo A tiene una rentabilidad del 4% anual y una limitación legal de 5 millones de euros de inversión máxima. El fondo de inversión del tipo B tiene una rentabilidad del 3% anual, deben de invertirse al menos 2 millones de euros y no hay límite superior de inversión. El grupo inversor desea invertir en el fondo del tipo B, como máximo, el doble de lo invertido en el fondo del tipo A. ¿Qué cantidad debe invertir el grupo en cada tipo de fondo para obtener el máximo beneficio anual?. Calcúlese dicho beneficio máximo. (PAU Septiembre especifico 2009-10)

Un pastelero tiene 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 27,5 kg de mantequilla para hacer dos tipos de pasteles, P y P´. Para elaborar una docena de pasteles de tipo P necesita 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla, y para hacer una docena de tipo P´ necesita 6 kg de harina, 0,5 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla. El beneficio que obtiene por una docena del tipo P es 20 € y por una docena de tipo P´ es 30 €. Halla él numero de docenas que tiene que hacer de cada clase para que el beneficio sea máximo. (PAU). Un pintor necesita pintura par pintar como mínimo una superficie de 480 m2. Puede comprar la pintura a dos proveedores, A y B. El proveedor A le ofrece una pintura con un rendimiento de 6 m2 por kg. y un precio de 1 € por kg. La pintura del proveedor B tiene un precio de 1,2 € por kg y un rendimiento de 8 m2 por kg. Ningún proveedor le puede proporcionar más de 75 kg de pintura y el presupuesto máximo del pintor es de 120 €. Calcúlese la cantidad de pintura que el pintor tiene que comprar a cada proveedor para obtener el mínimo coste. Calcúlese dicho coste mínimo. (PAU Septiembre común 2009-10).

Una compañía naviera dispone de dos barcos A y B para realizar un determinado crucero. El barco A debe hacer tantos viajes o más que el barco B, pero no puede sobrepasar 12 viajes. Entre los dos barcos deben de hacer no menos de 6 viajes y no más de 20. La naviera obtiene un beneficio de 18000 € por cada viaje del barco A y 12000 € por cada viaje del B,. Se desea que las ganancias sean máximas. a) Expresar la función objetivo. b) Describir mediante inecuaciones las restricciones del problema y representar gráficamente el recinto definido. c) Hallar el numero de viajes que debe efectuar cada barco para obtener el máximo beneficio. Calcular dicho beneficio máximo. (PAU Modelo 2004-05) Una empresa constructora dispone de un total de 93000 m2 de terreno urbanizable. Decide construir dos tipos de viviendas unifamiliares: unas, en parcelas de 400 m2, que albergaran a familias de una media de 5 miembros, y cuyo precio de venta será de 400000 €; y otras, en parcelas de 300 m2, en donde vivirán familias de una media de 4 miembros, y costaran 320000 €. Las autoridades del municipio le imponen dos condiciones: (1) él número de casas no puede superar las 275; (2) el número de habitantes esperado no puede ser superior a 1200 personas. ¿Cuántas viviendas de cada tipo deben construirse para maximizar los ingresos por ventas?. (PAU).

Una fábrica de adornos produce broches sencillos y broches de fiesta. Sé obtiene un beneficio de 4 € por cada broche sencillo y de 6 € por cada broche de fiesta. En un día no se pueden fabricar más de 400 broches sencillos ni más de 300 de fiesta, y tampoco pueden producirse más de 500 broches en total. Suponiendo que se logra vender toda la producción de un día, ¿cuál es él numero de broches de cada clase que conviene fabricar para obtener el máximo beneficio?. Calcula la producción necesaria para conseguir el máximo beneficio si se obtiene 6 € para cada broche sencillo y 4,50 € para cada broche de fiesta.

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Una fábrica textil elabora prendas de punto de calidades A y B. Las prendas de calidad A se fabrican con 1 unidad de lana y 2 unidades de fibra sintética, y las de calidad B con 2 unidades de lana y 1 de fibra sintética. Los beneficios obtenidos en la venta de las prendas son de 15 € para las de calidad A y 10 € para las de calidad B. Sabiendo que solo se dispone de 180 unidades de lana y 240 de fibra sintética, se pide: a) Determina cuantas prendas de cada tipo deben de elaborarse para obtener un beneficio máximo si la producción no puede ser superior a 1000 prendas. b) ¿A cuanto ascenderá dicho beneficio?. (PAU). Una granja de aves cría pollos y patos con un coste por cada uno de 1 € y de 2 € respectivamente, y los vende a 1,80 € el pollo y a 2,30 € el pato. Sabiendo que la capacidad máxima de la granja es de 2000 animales y que solo se dispone de 3000 € para invertir en pollos y patos, se pide: a) Determina él numero de pollos y patos que se pueden criar para obtener un beneficio máximo. b) ¿Cuál será dicho beneficio máximo?. (PAU). Un club de futbol dispone de un máximo de 2 millones de euros para fichajes de futbolistas españoles y extranjeros. Se estima que el importe total de las camisetas vendidas por el club con el nombre de futbolistas españoles es igual al 10% de la cantidad total invertida por el club en fichajes españoles, mientras que el importe total de las camisetas vendidas por el club con el nombre de futbolistas extranjeros es igual al 15% de la cantidad total invertida por el club en fichajes de extranjeros. Los estatutos del club limitan a un máximo de 800.000 € la inversión total en fichajes extranjeros y exigen que la cantidad total invertida en fichajes de futbolistas españoles sea como mínimo de 500.000€. Además, la cantidad total invertida en fichajes españoles ha de ser mayor o igual que la invertida en fichajes extranjeros. ¿Qué cantidad ha de invertir el club en cada tipo de fichajes para que el importe de las camisetas vendidas sea máximo?. Calcúlese dicho importe máximo y justifíquese. (PAU Junio especifica 2009-10).

Una carpintería vende paneles de contrachapado de dos tipos A y B. Cada m2 de panel de tipo A requiere 0,3 horas de trabajo para su fabricación y 0,2 horas para su barnizado, proporcionando su venta un beneficio de 4 €. Cada m2 de panel B requiere 0,2 horas de trabajo para su fabricación y 0,2 horas para su barnizado, proporcionando su venta un beneficio de 3 €. Sabiendo que en una semana se trabaja un máximo de 240 horas en el taller de fabricación y de 200 horas en el taller de barnizado, calcular los m2 de cada tipo de panel que debe vender semanalmente la carpintería para obtener el beneficio máximo. Calcular dicho beneficio máximo. (PAU Septiembre 2008-09).

Una refinería utiliza dos tipos de petróleo, A y B, que compra a un precio de 350 € y 400 € por tonelada respectivamente. Por cada tonelada de petróleo de tipo A que refina, obtiene 0,10 T de gasolina y 0,35 T de fuel-oil. Por cada tonelada de petróleo de tipo B que refina, obtiene 0,05 T de gasolina y 0,55 T de fuel-oil. Para cubrir sus necesidades, necesita obtener al menos 10 T de gasolina y al menos 50 T de gas-oil. Por cuestiones de capacidad, no puede comprar más de 100 T de cada tipo de petróleo. ¿Cuántas toneladas de petróleo de cada tipo debe de comprar la refinería para cubrir sus necesidades al mínimo coste?. Determinar dicho coste mínimo. (PAU Junio 2008-09).

Se desea invertir una cantidad de dinero menor o igual que 125000 €, distribuidos entre acciones del tipo A y del tipo B. Las acciones de tipo A garantizan una ganancia del 10% anual, siendo obligatorio invertir en ellas un mínimo de 30000 € y un máximo de 81000€. Las acciones de tipo B garantizan una ganancia del 5% anual, siendo obligatorio invertir en ellas un mínimo de 25000€. La cantidad de acciones invertidas de tipo B no puede superar al triple de la cantidad invertida en acciones de tipo A. ¿Cuál debe de ser la distribución de la inversión para maximizar la ganancia anual?. Determínese dicha ganancia máxima. (PAU Septiembre 2008-09).

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