IES Padre Poveda (Guadix)

Matemáticas Aplicadas a las CCSS II

EJERCICIOS UNIDADES 1 y 2: MATRICES Y DETERMINANTES 1. (Jun-96) Encuentre una matriz X que verifique la igualdad A ⋅ B − X = A 2 , siendo:

⎛1 − 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜1 0 1 ⎟ ⎜1 0 0 ⎟ ⎝ ⎠

y

⎛1 0 1⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜0 1 1⎟ . ⎜1 1 0⎟ ⎝ ⎠

⎛ 2 1 ⎞ ⎛1 0⎞ ⎛ 3 − 1⎞ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = 2 ⎜⎜ ⎟⎟. 2⎠ ⎝3 4⎠ ⎝ 0 − 1⎠

2. (Jun-97) Halle la matriz X que verifica: X ⋅ ⎜⎜ ⎝1

⎛ a11 ⎝ a21

3. (Jun-98) Determine los elementos de una matriz A = ⎜⎜

aij = (− 1)

i+ j

(2i + j )

a12 ⎞ ⎟, donde a 22 ⎟⎠

i, j = 1,2

⎛ − 5⎞

Calcule la matriz inversa de A . Si B = ⎜⎜ ⎟⎟, calcule la matriz X que verifique A ⋅ X = B. ⎝ 7⎠

⎛1 x x 2 ⎞ ⎜ ⎟ 4. (Sept-98) Dada la matriz A = ⎜1 2 2 ⎟ , determine los valores de x para los que la matriz no ⎜1 2 1 ⎟ ⎝ ⎠ tiene inversa. Halle la inversa en el caso x = 3. ⎛ 1 1⎞ ⎛ 2 3⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ 0 1⎠ ⎝ −1 2⎠ a) (2 puntos) Resuelva la ecuación matricial A ⋅ X + 2 B = At , siendo At la matriz traspuesta de A. b) (1 punto) Calcule la matriz A 2000 .

5. (2000-Sept-1) Sean las matrices A = ⎜⎜

⎛1 0 0⎞ ⎛0 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 6. (2001-M3-A-1b) (2 puntos) Siendo A = ⎜ 2 1 0 ⎟ y B = ⎜ 1 0 ⎟ , razone si posee solución la ⎜1 0 1⎟ ⎜1 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ecuación matricial A ⋅ X = B y, en caso afirmativo, resuélvala. 7. (2001-M4-A-1) (3 puntos) Resuelva la siguiente ecuación matricial A ⋅ X − 2 B = C , siendo

⎛ 0 −1 2⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜1 0 1⎟ , ⎜1 1 0 ⎟⎠ ⎝

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜ − 2⎟ ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠

y

⎛ 5⎞ ⎜ ⎟ C = ⎜ 3⎟ . ⎜ − 1⎟ ⎝ ⎠

8. (2001-M5;Jun-B-1) a) (1 punto) Determine los valores de x e y que hacen cierta la siguiente igualdad:

x⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 1 − 1⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 1 ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ y − 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎝3 b) (2 puntos) Determine la matriz X de dimensión 2 × 2 tal que: ⎛ 1 3 ⎞ ⎛ 0 1⎞ ⎛ − 1 0 ⎞ ⎟⎟ − 2 ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ X ⋅ ⎜⎜ ⎝ 2 5 ⎠ ⎝ 1 1⎠ ⎝ 3 − 1 ⎠ Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro

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Bloque I: Álgebra Lineal Unidades 1 y 2: Matrices y Determinantes

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⎛ 1 x − 1⎞ ⎜ ⎟ 9. (2001-M6-A-1) Se considera la matriz A = ⎜ 1 1 1⎟ . ⎜x x 0 ⎟⎠ ⎝ a) (1.5 puntos) Calcule los valores de x para los que no existe la inversa de A . b) (1.5 puntos) Para x = 3 , calcule, si es posible, A −1 . ⎛1 0 −1 ⎞ ⎜ ⎟ 10. (2002-M1-B-1) Sea la matriz A = ⎜ 0 m − 6 ⎟ . ⎜1 1 − m⎟ ⎝ ⎠ a) (1.5 puntos) Determine para qué valores del parámetro m existe A −1 . b) (1.5 puntos) Calcule A −1 para m = 2 .

⎛1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ 11. (2002-M2-A-1b) (1.5 puntos) Dada la matriz A = ⎜1 1 0 ⎟ , determine, si existe, la matriz X ⎜1 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ que verifique A ⋅ X = ⎜ 2 ⎟ . ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ ⎛3 1⎞ ⎛1⎞ ⎛z⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ x⎞ 12. (2002-M4-A-1) (3 puntos) Sean las matrices A = ⎜ 1 3 ⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ , C = ⎜ 1 ⎟ y D = ⎜ z ⎟ . ⎝ y⎠ ⎜1 0⎟ ⎜0⎟ ⎜z⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Calcule x, y, z , sabiendo que A ⋅ B = 2C − D .

5⎞ ⎛ 2 −1 ⎞ ⎛ 0 1 2⎞ ⎛ −1 2 ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ y C = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ 3 − 2⎠ ⎝ − 1 1 − 1⎠ ⎝ 3 4 − 1⎠

13. (2002-M5-A-1) Sean las matrices: A = ⎜⎜

a) (1 punto) Realice, cuando sea posible, los siguientes productos de matrices: A⋅ B , B ⋅C , C ⋅ A b) (2 puntos) Resuelva la ecuación matricial: A ⋅ X + B = C .

1 − 1⎞ ⎛ 2 ⎜ ⎟ 14. (2002-M6;Sept-A-1) Sea la matriz A = ⎜ 0 m−6 3⎟ . ⎜m +1 2 0 ⎟⎠ ⎝ a) (1 punto) Calcule los valores de m para que dicha matriz tenga inversa. b) (2 puntos) Haciendo m = 4 , resuelva la ecuación matricial X ⋅ A = (3 1 1) .

⎛ 1 − 1⎞ ⎛1 − 1 ⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ . 0⎠ ⎝2 ⎝1 2 ⎠

15. (2003-M1-A-1b) (1.5 puntos) Sean las matrices A = ⎜⎜

(

Calcule A t ⋅ B − 2 I 2

)

−1

, donde I 2 es la matriz unidad de orden 2.

⎛1 2⎞

⎛ 4 3⎞

⎟⎟ y N = ⎜⎜ ⎟⎟ . 16. (2003-M2;Jun-B-1) Sean las matrices M = ⎜⎜ ⎝3 4⎠ ⎝ 2 1⎠ a) (0.75 puntos) Calcule la matriz A = M ⋅ M t − 5M . b) (2.25 puntos) Calcule la matriz B = M −1 y resuelva la ecuación N + X ⋅ M = M ⋅ B , donde X es una matriz 2 × 2 . Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro

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x ⎞ ⎛2 ⎟⎟ . ⎝ 0 x + 2⎠

17. (2003-M3;Sept-A-1) Sea la matriz A = ⎜⎜

a) (1.5 puntos) Halle los valores de x para los que se verifica A 2 = 2 A . b) (1.5 puntos) Para x = −1 , halle A −1 . Compruebe el resultado calculando A ⋅ A −1 .

1 18. (2003-M4-B-1b) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación

−5

3

4 2+ x −1

1

x = 0. −3

m ⎞ ⎛ 3 ⎟⎟ . ⎝ 1 − m m + 1⎠ a) (1 punto) Calcule los valores de m para que dicha matriz tenga inversa. b) (2 puntos) Haciendo m = 0 , resuelva la ecuación matricial A ⋅ X ⋅ A = I 2 , donde I 2 es la matriz unidad de orden 2 y X es una matriz cuadrada de orden 2.

19. (2003-M5-B-1) Sea la matriz A = ⎜⎜

20. (2003-M6-B-1b) (1.5 puntos) Determine la matriz X , de orden 2, que verifica la igualdad:

⎛ 1 3⎞ ⎛ 1 5 ⎞ ⎛ −1 7 ⎞ ⎟⎟ − 2 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ X ⋅ ⎜⎜ ⎝ 0 1⎠ ⎝ − 1 2 ⎠ ⎝ 1 − 1⎠ ⎛ −1 0 ⎞ ⎛0 −1 2⎞ ⎛ − 1 2 − 1⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ y C = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ 1 2⎠ ⎝1 −1 0⎠ ⎝ 0 1 − 1⎠ a) (1 punto) Calcule ( A − I 2 ) ⋅ B , siendo I 2 la matriz identidad de orden 2. b) (1 punto) Obtenga la matriz B t y calcule, si es posible, B t ⋅ A . c) (1 punto) Calcule la matriz X que verifica A ⋅ X + B = C .

21. (2004-M2-A-1) Sean las matrices A = ⎜⎜

22. (2004-M3;Sept-B-1) (3 puntos) De una matriz A se sabe que su segunda fila es (− 1 2 ) y su

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ segunda columna es ⎜ 2⎟ . Halle los restantes elementos de A sabiendo que ⎜ −3⎟ ⎝ ⎠

⎛1 1 1⎞ ⎛0 0⎞ ⎜⎜ ⎟⎟⋅ A= ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝2 0 1⎠ ⎝0 −1⎠

0⎞ ⎛1 ⎟⎟ , halle A 2004 . 0 − 1 ⎝ ⎠

23. (2004-M4-A-1b) (1 punto) Dada la matriz A = ⎜⎜

⎛ 1 − 2⎞ ⎟ ⎜ ⎛ 2 −1 0⎞ ⎛2 1⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ , C = ⎜ 0 24. (2004-M5;Jun-B-1) Sean las matrices A = ⎜⎜ 2⎟. 2 − 1⎠ ⎝0 ⎝ 2 2⎠ ⎜− 2 0 ⎟⎠ ⎝ a) (2 puntos) Calcule la matriz P que verifica B ⋅ P − A = C t . b) (0.5 puntos) Determine la dimensión de la matriz M para que pueda efectuarse el producto A ⋅ M ⋅ C . c) (0.5 puntos) Determine la dimensión de la matriz N para que C t ⋅ N sea una matriz cuadrada.

⎛ − 2 − 1 1⎞ ⎟ 25. (2005-M2;Jun-A-1) Sean las matrices A = ⎜⎜ 0 1⎟⎠ ⎝ −1

⎛ 1 − 1⎞ ⎟ ⎜ y B=⎜ 2 0⎟ . ⎜ − 2 1⎟ ⎠ ⎝

a) (1 punto) Calcule la matriz C = B ⋅ A − A t ⋅ B t .

⎛ 4⎞

b) (2 puntos) Halle la matriz X que verifique A ⋅ B ⋅ X = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ 2⎠ Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro

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1⎞ ⎛0 ⎟ ⎜ 1 3⎞ ⎛2 ⎟⎟ y B = ⎜ 1 − 2 ⎟ . 26. (2005-M4-A-1a) (1 punto) Sean las matrices A = ⎜⎜ ⎝ 1 − 2 0⎠ ⎜1 1 ⎟⎠ ⎝ De las siguientes operaciones, algunas no se pueden realizar; razone por qué. Efectúe las que se puedan realizar. A + B ; At + B ; A ⋅ B ; A ⋅ B t

⎛ 1 3⎞ ⎛ 2 −1⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟. x ⎟⎠ ⎝ 0 1⎠ ⎝0 a) (1.5 puntos) Determine el valor de x en la matriz B para que se verifique la igualdad A⋅ B = B ⋅ A. b) (1.5 puntos) Obtenga la matriz C tal que A t ⋅ C = I 2 .

27. (2005-M5;Sept-A-1) Sean las matrices A = ⎜⎜

y⎞ ⎛ −1 2⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ . x⎠ 1 0 ⎝ ⎠ a) (1 punto) Calcule, si existe, la matriz inversa de B . b) (2 puntos) Si A ⋅ B = B ⋅ A y A + A t = 3 ⋅ I 2 , calcule x e y . ⎛ x ⎝− y

28. (2005-M6-B-1) Sean las matrices A = ⎜⎜

⎛ 2 − 1⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ −1 0⎠ ⎝1 2 ⎠ a) (1.5 puntos) Calcule A−1 ⋅ (2 B + 3I 2 ) . b) (1.5 puntos) Determine la matriz X para que X ⋅ A = A + I 2 .

29. (2006-M1-B-1) Sean las matrices A = ⎜⎜

⎛x ⎝1

1 ⎞ ⎛ 0 1⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ . x + 1⎠ ⎝ 1 1⎠ a) (1 punto) Encuentre el valor o valores de x de forma que B 2 = A . b) (1 punto) Igualmente para que A − I 2 = B −1 . c) (1 punto) Determine x para que A ⋅ B = I 2 .

30. (2006-M3;Jun-A-1) Sean las matrices A = ⎜⎜

⎛ 2 1⎞

⎛1 − 2⎞ ⎟ . Calcule A−1 ⋅ B − At . 4⎟⎠

⎟⎟ , B = ⎜⎜ 31. (2006-M4-A-1a) (1.5 puntos) Sean las matrices A = ⎜⎜ ⎝ − 2 0⎠ ⎝2

(

)

32. (2006-M5-B-1) (3 puntos) Sean las matrices:

⎛1 0 0⎞ ⎛1⎞ ⎛ − 2⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ − 2⎞ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜1 1 0⎟ ; B = ⎜ 2⎟ ; C = ⎜ − 5⎟ ; D = ⎜ 2 ⎟ ; E = ⎜ − 5⎟ . ⎜3 0 1⎟ ⎜1⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ − 3⎟ ⎜ 5⎟ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Calcule los valores de los números reales x, y, z , para que se verifique la siguiente igualdad entre matrices: E − x ⋅ A ⋅ B = y ⋅ C + z ⋅ D . 2⎞ ⎛ 2 ⎟⎟ y B = (1 − 1) . 33. (2006-M6-A-1a) (2 puntos) Sean las matrices A = ⎜⎜ ⎝ − 5 − 4⎠ Explique qué dimensión debe tener la matriz X para que tenga sentido la ecuación matricial X ⋅ A + 2 B = (1 0 ) . Resuelva dicha ecuación.

⎛ 2 1⎞ ⎛1 x⎞ ⎛ 0 − 1⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ y C = ⎜⎜ ⎟. 2 ⎟⎠ ⎝ 1 1⎠ ⎝ x 0⎠ ⎝ −1 a) (1 punto) Encuentre el valor o valores de x de forma que B 2 = A . b) (1 punto) Igualmente para que B + C = A−1 . c) (1 punto) Determine x para que A + B + C = 3 ⋅ I 2

34. (2007-M1-A-1) Sean las matrices A = ⎜⎜

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⎛ 1 − 2 1⎞ ⎛ x⎞ ⎛− x⎞ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 35. (2007-M2;Jun-A-1) Sean las matrices A = ⎜ 0 1 0⎟ , X = ⎜ y ⎟ e Y = ⎜ 2 ⎟ . ⎜−1 ⎜ − 2⎟ ⎜ z⎟ 3 0 ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a) (1 punto) Determine la matriz inversa de A . b) (2 puntos) Halle los valores de x, y, z para los que se cumple A ⋅ X = Y .

⎛ 2 3⎞ ⎛9⎞ ⎟⎟ ⋅ A = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ − 1 5⎠ ⎝ 28 ⎠

36. (2007-M3;Sept-B-1a) (1.5 puntos) Halle la matriz A que verifica: ⎜⎜

⎛1 0 ⎞

⎟⎟ . Calcule el valor de b para que B 2 = I 2 . 37. (2007-M4-A-1a) (1 punto) Sea la matriz B = ⎜⎜ ⎝1 b ⎠ ⎛ 3 2⎞ ⎛ 2 5⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ , resuelva la ⎝ 2 4⎠ ⎝ − 3 1⎠ ecuación matricial A ⋅ X + B t = B , donde X es una matriz cuadrada de orden 2 .

38. (2007-M5-A-1b) (2 puntos) Dadas las matrices A = ⎜⎜

⎛ 1 0 2⎞ ⎛ − 2⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ − 2 1 0⎠ ⎝ 5⎠ a) (1.5 puntos) Calcule B ⋅ B t − A ⋅ At . b) (1.5 puntos) Halle la matriz X que verifica (A ⋅ At )⋅ X = B .

39. (2007-M6-A-1) Sean las matrices A = ⎜⎜

40. (2008-M1-A-1)

⎛ a 1⎞ ⎟⎟, calcule el valor de a para que A 2 sea la matriz 0 a ⎝ ⎠

a) (1 punto) Dada la matriz A = ⎜⎜ nula.

⎛1 2 ⎞

(

)

2

⎟⎟, calcule la matriz M −1 ⋅ M t . b) (2 puntos) Dada la matriz M = ⎜⎜ 1 1 ⎝ ⎠ 41. (2008-M2;Sept-A-1) a) (1.5 puntos) Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones dado por: ⎛1 + 3 x ⎜⎜ ⎝ x

2⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 5⎞ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟. − 1 ⎟⎠ ⎜⎝ y ⎟⎠ ⎜⎝ 4 ⎟⎠

⎛1 0 1⎞ ⎟ ⎜ b) (1.5 puntos) Calcule la matriz inversa de ⎜ 0 1 0 ⎟. ⎜1 2 0⎟ ⎠ ⎝

⎛0 2⎞ ⎛a b⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟. ⎝3 0⎠ ⎝ 6 1⎠ a) (1.5 puntos) Calcule los valores de a y b para que A ⋅ B = B ⋅ A. b) (1.5 puntos) Para a = 1 y b = 0, resuelva la ecuación matricial X ⋅ B − A = I 2 .

42. (2008-M3;Jun-A-1) Sean las matrices A = ⎜⎜

43. (2008-M4-B-1)

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ a) (1 punto) Dadas las matrices F = (2 −1 3) y C = ⎜ 5 ⎟ , calcule los productos C ⋅ F y F ⋅ C. ⎜ − 2⎟ ⎝ ⎠ 0⎞ ⎛2 ⎛ 1 − 3⎞ ⎛ 1 − 1⎞ ⎟⎟, B = ⎜⎜ ⎟⎟ y C = ⎜⎜ ⎟⎟, calcule b) (2 puntos) Dadas las matrices A = ⎜⎜ ⎝ 1 − 1⎠ ⎝ 2 −1⎠ ⎝ −1 0⎠ la matriz X que verifique la ecuación X ⋅ A −1 − B = C. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro

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Bloque I: Álgebra Lineal Unidades 1 y 2: Matrices y Determinantes

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44. (2008-M5-B-1)

⎛ 2 5⎞ ⎛ 1 ⎞

⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ (3 4). a) (2 puntos) Halle la matriz X que verifica la ecuación X ⋅ ⎜⎜ ⎝ 1 3⎠ ⎝ 2 ⎠ b) (1 punto) Determine los valores de x e y que cumplen la igualdad

0 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 2 1 ⎞ ⎛1⎞ ⎛1 ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟. ⎝ 3 − 1⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ − x y ⎠ ⎝1⎠ ⎛1 2⎞ ⎛ 0 − 1⎞ ⎟⎟, B = ⎜⎜ ⎟. 4 ⎟⎠ ⎝0 1⎠ ⎝2

45. (2008-M6-B-1) Sean A y B las matrices siguientes: A = ⎜⎜

a) (1 punto) Calcule ( A + B ) ⋅ ( A − B ). b) (2 puntos) Determine la matriz X , cuadrada de orden 2 , en la ecuación matricial

( A + 2 B ) ⋅ X = 3I 2 .

⎛ 1 − 1⎞ ⎛ 3 1⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ . 2⎠ ⎝0 ⎝ − 1 1⎠

46. (2009-M2;Sept -B-1) Sean las matrices A = ⎜⎜ a) (1 punto) Calcule A 2 y 2 B + I 2 .

b) (2 puntos) Resuelva la ecuación matricial A ⋅ X − I 2 = 2 B 2 . 47. (2009-M3;Jun-A-1) Sea la igualdad A ⋅ X + B = A , donde A, X y B son matrices cuadradas de la misma dimensión. a) (1 punto) Despeje la matriz X en la igualdad anterior, sabiendo que A tiene inversa. b) (2 puntos) Obtenga la matriz X

⎛ 2 5⎞ ⎟⎟ y ⎝ 1 3⎠

en la igualdad anterior, siendo A = ⎜⎜

⎛ 0 − 3⎞ ⎟. B = ⎜⎜ 2 ⎟⎠ ⎝ −1 48. (2009-M4-A-1)

⎛ 2 3⎞ ⎟⎟ , calcule la matriz M = At ⋅ A−1 . ⎝ 4 5⎠

b) (1 punto) Dada la matriz A = ⎜⎜

49. (2009-M6-A-1) (3 puntos) Sean las matrices:

4 − 1⎞ ⎛− 2 ⎛ −1 ⎟ ⎜ ⎜ A = ⎜ 0 −1 0 ⎟, B = ⎜ 0 ⎜ 1 ⎜ 3 1 2 ⎟⎠ ⎝ ⎝

3⎞ ⎛ 5 − 2 − 6⎞ ⎟ ⎟ ⎜ 2⎟. 2 − 1⎟ y C = ⎜ 0 − 3 ⎜− 2 0 − 1 ⎟⎠ 0 1 ⎟⎠ ⎝

1

Determine X en la ecuación matricial X ⋅ A − 2 B = C . 50. (2010-M1-B-1) a) (1 punto) Sean A, B y C matrices con 2, 3 y 2 filas respectivamente. Sabiendo que el producto de matrices A ⋅ B ⋅ C es posible y que el resultado es una matriz con 4 columnas, halle las dimensiones de dichas matrices.

(

)

⎛ 1 − 1⎞ ⎟⎟ ⎝ 2 − 1⎠

b) (1.5 puntos) Halle la matriz X que verifica I 2 − 2 X = A ⋅ A − B t , siendo A = ⎜⎜

⎛ 0 2⎞

⎟⎟ . y B = ⎜⎜ ⎝ −1 2⎠

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Bloque I: Álgebra Lineal Unidades 1 y 2: Matrices y Determinantes

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⎛a 1⎞ ⎛1 b⎞ ⎛ 1 3⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ y C = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ 0 2⎠ ⎝ 0 3⎠ ⎝ 2 5⎠ a) (1 punto) Halle los valores de a y b para que se verifique A − B + A ⋅ B t = C . b) (0.75 puntos) ¿Existe algún valor de b para el que el producto B ⋅ B t sea igual a la matriz

51. (2010-M2-A-1) Sean las matrices A = ⎜⎜

nula? c) (0.75 puntos) Para a = 0.5 y b = 1 , halle la matriz X que verifica la igualdad A ⋅ X + B = O ( O representa la matriz nula). 52. (2010-M3;Sept-B-1) Sean las matrices:

⎛ 1 2⎞ ⎛1 1 5 ⎞ ⎛ c d 6⎞ ⎟⎟ , Q = ⎜⎜ ⎟⎟ y R = ⎜⎜ ⎟⎟ . P = ⎜⎜ ⎝ a 0⎠ ⎝8 4 b ⎠ ⎝10 10 50 ⎠ a) (1 punto) Calcule, si es posible, P ⋅ Q y Q ⋅ P , razonando la respuesta. b) (1.5 puntos) ¿Cuánto deben valer las constantes a, b, c y d para que P ⋅ 2Q = R ? ⎛ 2 1⎞ ⎛ 1 2⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ 3 1⎠ ⎝ −1 0 ⎠

53. (2010-M5;Jun-B-1) Sean las matrices A = ⎜⎜

a) (1 punto) Calcule At ⋅ B − A ⋅ B t . b) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial AX + BA = B .

⎛0 1 1⎞ ⎟ ⎜ y D = ⎜ 1 0 1 ⎟. ⎜1 1 0⎟ ⎠ ⎝ a) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial 2 ⋅ X − C ⋅ D = (I 3 + D ) ⋅ C.

⎛0 1 0⎞ ⎟ ⎜ 54. (2011-M1-A-1) Sean las matrices C = ⎜ 1 0 1 ⎟ ⎜0 1 0⎟ ⎠ ⎝

b) (1 punto) Si las matrices C y D son las matrices de adyacencia de dos grafos, de vértices a, b, c y 1, 2, 3, respectivamente, haya la representación gráfica de dichos grafos. 55. (2011-M2-A-1)

⎛1 5 6⎞ ⎟ ⎜ 3 a) (1.25 puntos) Dada la matriz A = ⎜ 0 1 7 ⎟, calcule (I 3 − A) . ⎜0 0 1⎟ ⎠ ⎝ ⎛1 a⎞ ⎛ − 1⎞ ⎛5⎞ ⎟⎟, C = ⎜⎜ ⎟⎟, D = ⎜⎜ ⎟⎟, determine a y b de b) (1.25 puntos) Dadas las matrices B = ⎜⎜ ⎝b 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝10 ⎠ manera que B ⋅ C − D = O, siendo O la matriz nula. 56. (2011-M3-A-1) a) (1.5 puntos) De una matriz cuadrada, A, de orden 3 se conocen los siguientes elementos

a12 = a 21 = 2,

a13 = a31 = 0,

a23 = a32 = 1.

Determine los demás elementos de la matriz A sabiendo que debe cumplirse la ecuación A ⋅ B = C t , donde B t = (1 − 1 1) y C = (− 4 2 − 1).

⎛1 − 5⎞ ⎟⎟. ⎝ 3 − 5⎠

b) (1 punto) Calcule 2 D 2 , siendo D = ⎜⎜

⎛ 2 − 5⎞ ⎛ 3 −1 2⎞ ⎛ 1 2 3⎞ ⎟⎟, B = ⎜⎜ ⎟⎟, C = ⎜⎜ ⎟⎟. ⎝ 1 − 3⎠ ⎝0 1 1⎠ ⎝ − 1 5 3⎠

57. (2011-M4;Jun-A-1) Sean las matrices A = ⎜⎜

a) (1 punto) Calcule A 2 − B ⋅ C t . b) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial A ⋅ X + B = 2 ⋅ C.

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Bloque I: Álgebra Lineal Unidades 1 y 2: Matrices y Determinantes

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⎛ 0 1 0⎞ ⎛ 3 − 1⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟. 2 ⎟⎠ ⎝1 0 1⎠ ⎝1 a) (1.25 puntos) Efectúe, si es posible, los siguientes productos: A⋅ At ; b) (1.25 puntos) Resuelva la siguiente ecuación matricial A ⋅ At ⋅ X = B

58. (2011-M5;Sept-B-1) Sean las matrices A = ⎜⎜

At ⋅ A;

A⋅ B

59. (2011-M6-B-1)

⎛0 3

−1 ⎞

⎛ 2 3 − 1⎞

⎟⎟ y N t = ⎜⎜ ⎟, razone a) (1.5 puntos) Dadas las matrices M = ⎜⎜ 0 ⎟⎠ ⎝1 0 − 2⎠ ⎝ −1 1 cuáles de las siguientes operaciones tienen sentido y efectúe las que puedan realizarse: M + Nt,

M t ⋅ N,

M ⋅ N.

b) (1 punto) Un industrial cafetero produce dos tipos de café, natural y descafeinado, en tres modalidades cada uno, A, B y C. Se han anotado en la matriz P los pesos, en kg, del café que el industrial produce de cada una de las modalidades de cada tipo, y en la matriz Q los precios a los que vende el kg de cada producto final: P : natural descafein.

A B C ⎛ 550 400 240 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 260 200 100 ⎠

A B C ⎛ 2.20 2.75 2.50 ⎞ ⎜ ⎟ Q: descafein. ⎜⎝ 3.20 3.90 3.60 ⎟⎠ natural

Efectúe el producto P ⋅ Q t y explique el significado económico de cada uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz resultante. 60. (2012-M1-A-1) Sean las matrices

2⎞ 0 1⎞ ⎛ −1 − 6⎞ ⎛ −1 1 ⎛a ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ y C = ⎜⎜ ⎟⎟ . A = ⎜⎜ 2 4 1 0 1 3 1 − − b ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a) (1 punto) Halle los valores de a y b para que se verifique B ⋅ C t = A. b) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial A ⋅ X − A 2 = I 2 . 61. (2012-M2-A-1) (2.5 puntos) Halle la matriz X que verifique la ecuación matricial A 2 ⋅ X = A − B ⋅ C , siendo A, B y C las matrices

⎛ −1 0⎞ ⎜ ⎟ ⎛1 1⎞ ⎛ 1 0 1⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ , C = ⎜ − 1 1 ⎟ . A = ⎜⎜ ⎝0 2⎠ ⎝ −1 1 4⎠ ⎜ 2 0⎟ ⎝ ⎠ 62. (2012-M3;Sept-B-1) Una fábrica produce dos tipos de productos, A y B, que distribuye a tres clientes. En el mes de enero el primer cliente compró 9 unidades de A y 5 de B, el segundo cliente 3 de A y 7 de B, y el tercer cliente 4 de A y 6 de B. En el mes de febrero el primer cliente y el segundo duplicaron las compras del mes anterior, y el tercer cliente compró de cada producto una unidad más de las que compró en enero. En marzo el primer cliente no compró nada, y el segundo y el tercero compraron lo mismo que en febrero. a) (0.75 puntos) Para cada mes construya la matriz de dimensión 3x2 correspondiente a las compras de ese mes. b) (0.5 puntos) Calcule la matriz de compras del trimestre. c) (1.25 puntos) Si los precios de los productos A y B son, respectivamente, 80 y 100 euros, calcule lo que factura la fábrica en el primer trimestre, por cada cliente y en total.

⎛ 1 − 1⎞ ⎟⎟. ⎝ 2 − 1⎠

63. (2012-M4;Jun-B-1) Sea la matriz A = ⎜⎜

a) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial A ⋅ X + A t = I 2 . b) (0.5 puntos) ¿Qué requisitos mínimos debe cumplir una matriz B para que pueda efectuarse el producto A ⋅ B ? c) (0.5 puntos) ¿Y para el producto 3 ⋅ B ⋅ A ? Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro

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Matemáticas Aplicadas a las CCSS II

64. (2012-M5-B-1) Los alumnos de 2º de Bachillerato organizan una venta de pasteles para el viaje de fin de curso. Venden pasteles grandes, que necesitan 2 huevos, 5 terrones de azúcar y 100 g de harina cada uno, y pasteles pequeños, que necesitan 1 huevo, 3 terrones de azúcar y 80 g de harina cada uno. a) (0.5 puntos) Presente en una matriz M, de dimensión 3x2, las cantidades de los elementos necesarios para la elaboración de un pastel grande y uno pequeño. b) (0.5 puntos) Si desean fabricar 20 pasteles de una clase y 30 de otra, escriba las dos matrices columna, A (20 grandes y 30 pequeños) y B (30 grandes y 20 pequeños) que representan este reparto. c) (1.5 puntos) Calcule los productos M ⋅ A y M ⋅ B e indique si con 8 docenas de huevos, 200 terrones de azúcar y 5 kg de harina se pueden elaborar 20 pasteles grandes y 30 pequeños. ¿Y 30 grandes y 20 pequeños? 65. (2012-M6-B-1) Una empresa vende tres artículos diferentes A, B y C, cada uno de ellos en dos formatos, grande y normal. En la matriz F se indican las cantidades de los tres artículos, en cada uno de los dos formatos, que ha vendido la empresa en un mes. En la matriz G se indican las ganancias, en euros, que obtiene la empresa por cada unidad que ha vendido de cada artículo en cada formato A B C A B C

⎛ 100 150 80 ⎞ ← grande ⎛ 6 8 5 ⎞ ← grande ⎟⎟ ⎟⎟ F = ⎜⎜ G = ⎜⎜ ⎝ 200 250 140 ⎠ ← normal ⎝ 4 5 3 ⎠ ← normal a) (1 punto) Efectúe los productos F t ⋅ G y F ⋅ G t . b) (0.75 puntos) Indique en qué matriz se pueden encontrar las ganancias que ha recibido la empresa en ese mes por el total de las unidades vendidas de cada uno de los tres artículos y especifique cuáles son esas ganancias. c) (0.75 puntos) Indique en qué matriz se pueden encontrar las ganancias que ha recibido la empresa en ese mes por el total de las unidades vendidas en cada uno de los dos formatos, especifique cuáles son esas ganancias y halle la ganancia total. 66. (2013-M1-B-1)

⎛2⎞ ⎛ 2 0 − 1⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ b) (1.5 puntos) Sean las matrices A = (1 − 2 3) , B = ⎜ − 1⎟ y C = ⎜ 1 1 − 1⎟ . ⎜1⎟ ⎜1 3 2 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Resuelva, si es posible, la ecuación matricial B ⋅ A + 2 X = C .

⎛ 1 ⎜ 67. (2013-M2;Sept-B-1) Sean las matrices A = ⎜ 5 ⎜⎜ − 2 ⎝ 5

⎞ ⎛3 ⎞ 0⎟ − 1⎟ ⎜ ⎛ 1 0 − 1⎞ ⎟, B =⎜5 ⎟ , C = ⎜⎜ ⎟. 3⎟ 4 4⎟ 2 1 3 ⎟⎠ ⎜ ⎝ ⎟ ⎜ ⎟ 5⎠ ⎝5 5 ⎠ a) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial (2 A + B ) ⋅ X = 3 A − B . b) (1 punto) Determine en cada caso la dimensión de la matriz D para que se puedan realizar las siguientes operaciones: C ⋅ D + A , C t ⋅ D ⋅ C , D ⋅ C t , C ⋅ D ⋅ C t .

68. (2013-M3-A-1)

⎛3 1⎞ ⎛ 2 1⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝5 2⎠ ⎝ 3 2⎠ Determine la matriz X que verifica B ⋅ X = 3 A + At . ⎛2 5 ⎞ ⎛ 6 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ b) (1.25 puntos) Calcule la matriz Y que verifica ⎜ 1 − 5 ⎟ ⋅ Y = ⎜ − 12 ⎟ ⎜ 2 −1⎟ ⎜ −6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a) (1.25 puntos) Se consideran las matrices A = ⎜⎜

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⎛8⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 2 3⎞ ⎛ 3 − 5 3⎞ ⎛ 5⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ , C = ⎜ 3 ⎟ , D = ⎜⎜ ⎟⎟ . 69. (2013-M4-A-1) Sean las matrices A = ⎜⎜ ⎝ 3 5⎠ ⎝ 0 2 1⎠ ⎝ 3⎠ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ a) (1 punto) Calcule A3 . b) (1.5 puntos) Determine la matriz X para que A ⋅ X + B ⋅ C = D .

⎛0 1⎞ ⎛1 2⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝1 0⎠ ⎝3 1⎠

70. (2013-M5-B-1) Sean las matrices A = ⎜⎜

a) (1 punto) Calcule A 2 y A2013 . b) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial A ⋅ X + I 2 = 5B t − A 2 .

⎛ 2 − 1⎞ ⎛ −1 1⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝a b ⎠ ⎝ 3 0⎠ ⎛ 5 − 2⎞ ⎟⎟ . ¿Es A simétrica? a) (1.25 puntos) Obtenga a y b sabiendo que A 2 = ⎜⎜ ⎝− 2 1 ⎠ b) (1.25 puntos) Para los valores a = 3 y b = 1 calcule la matriz X tal que A ⋅ B = 2( X − 3I 2 ) .

71. (2013-M6;Jun-A-1) Sean las matrices A = ⎜⎜

⎛ − 5 0⎞ ⎛ − 1 − 8 − 1⎞ ⎟⎟ y C = ⎜⎜ ⎟. 6 ⎟⎠ ⎝ 4 6⎠ ⎝−9 3

72. (2014-M1-A-1) Sean las matrices B = ⎜⎜

a) (0.5 puntos) Determine la dimensión que debe tener una matriz A para que se verifique la igualdad A ⋅ B = 2C t . b) (2 puntos) Halle la matriz A anterior, sabiendo que de ella se conocen los elementos

a31 = 2, a12 = −3, a22 = 1. 73. (2014-M2-B-1) a) (1 punto) Determine los valores de x e y que hacen cierta la igualdad

⎛ 2 − 1⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 1 x ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟. ⎝ 3 − 1⎠ ⎝ − y ⎠ ⎝ y − 1⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎛ 1 3⎞

⎛0

⎟⎟ − 2 ⋅ ⎜⎜ b) (1.5 puntos) Resuelve la ecuación matricial: X ⋅ ⎜⎜ ⎝ 2 5⎠ ⎝ −1

− 1⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎟=⎜ ⎟. 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 − 1⎟⎠

⎛1 a⎞ ⎟⎟ y B = (− 1 1) . ⎝0 1⎠

74. (2014-M3-A-1) Se consideran las matrices A = ⎜⎜

a) (1.25 puntos) Calcule el valor del parámetro a para que se verifique (B ⋅ A) = A ⋅ B t . b) (1.25 puntos) Para a = 2, resuelva la ecuación matricial X ⋅ A = B. t

⎛1 a⎞ ⎛1 2 0⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ , siendo a un ⎝0 1⎠ ⎝3 4 0⎠

75. (2014-M4;Jun-A-1) Se consideran las matrices A = ⎜⎜

número real cualquiera. a) (1 punto) Obtenga la matriz A 2014 . b) (1.5 puntos) Para a = 2, resuelva la ecuación matricial A3 ⋅ X − 4 B = O.

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⎛2 1 ⎞ ⎛3 − 2⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ 3 − 2⎠ ⎝1 4 ⎠

76. (2014-M5-A-1) Se consideran las matrices A = ⎜⎜

a) (0.5 puntos) Efectúe la operación A⋅ B t . b) (0.75 puntos) Determine la matriz X tal que A + 2 X = B. c) (1.25 puntos) Calcule la matriz Y , sabiendo que

⎛6⎞ B ⋅ Y = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝9⎠ 77. (2014-M5-B-1) a) (1.5 puntos) Resuelve la ecuación matricial A ⋅ X = 2 ⋅ C − D t , siendo

(

)

⎛ 0 1⎞ ⎛ 0 2⎞ ⎛ 1 − 1⎞ ⎟⎟ , C = ⎜⎜ ⎟⎟ y D = ⎜⎜ ⎟⎟ . A = ⎜⎜ ⎝ 2 0⎠ ⎝ −1 2⎠ ⎝ 2 − 1⎠ b) (1 punto) Si A(0, 2 ), B (2, 0 ), C (4, 0 ), D(6, 3) y E (3, 6 ) son los vértices de una región factible, determine, en esa región, el valor mínimo y el valor máximo de la función F ( x, y ) = 4 x − 3 y + 8 e indique los puntos donde se alcanzan.

⎛1 − 7⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ 2 −1 ⎠ ⎝ − 5 2⎠

78. (2014-M6;Sept-A-1) Sean las matrices A = ⎜⎜

a) (1.25 puntos) Calcule las matrices X e Y para las que se verifica X + Y = A y 3 X + Y = B. b) (1.25 puntos) Halle la matriz Z que verifica B ⋅ Z + B t = 2 I 2 .

⎛2 1 ⎞ ⎛3 − 2⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ 3 − 2⎠ ⎝1 4 ⎠ a) (0.75 puntos) Efectúe la operación A⋅ B t . b) (0.75 puntos) Determine la matriz X tal que A + 2 ⋅ X = B. ⎛ 6⎞ c) (1 punto) Halle la matriz Y tal que B ⋅Y = ⎜⎜ ⎟⎟. ⎝9⎠

79. (2015-M1-A-1) Sean las matrices A = ⎜⎜

80. (2015-M2-A-1)

Sean

las

matrices

D = (1 − 1 2 ) .

⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 0 1 − 1⎟ , ⎜1 0 2 ⎟ ⎝ ⎠

⎛1 2 1 ⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎝1 − 2 0 ⎠

C = (2 1) ,

a) (0.8 puntos) Estudie cuáles de los siguientes productos de matrices se pueden realizar, indicando las dimensiones de la matriz resultante:

Bt ⋅ D D ⋅ Bt b) (0.5 puntos) Despeje la matriz X en la ecuación X ⋅ A −1 + 2 B = 3C t ⋅ D , sin calcular sus A⋅ B t

Ct ⋅ D

elementos. c) (1.2 puntos) Calcule la matriz A ⋅ B t − 2 D t ⋅ C .

(

)

⎛ 8 − 4⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 1 2⎞ ⎛ 1 2 2⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ , C = ⎜ 12 8 ⎟ . 81. (2015-M3;Sept-A-1) Sean las matrices A = ⎜⎜ ⎝ −1 2⎠ ⎝ −1 −1 2 ⎠ ⎜−8 4 ⎟ ⎝ ⎠ 2 a) (0.5 puntos) Calcule A . b) (2 puntos) Resuelva la ecuación matricial A ⋅ X + 4 B = C t . Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro

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⎛ 2 0⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 2 3⎞ ⎛ 2 − 3⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ , C = ⎜ 0 2 ⎟ . 82. (2015-M4;Jun-B-1) Sean las matrices A = ⎜⎜ ⎝ −1 1⎠ ⎝5 1 ⎠ ⎜ 3 0⎟ ⎝ ⎠ a) (1.7 puntos) Calcule las matrices X e Y si X + Y = 2 A y X + B = 2Y . b) (0.8 puntos) Analice cuáles de las siguientes operaciones con matrices se pueden realizar, indicando en los casos afirmativos las dimensiones de la matriz D:

A+ D = C

A⋅ D = Ct

D⋅ A = C

D ⋅ A = Ct

⎛ 0 − 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛ 2 1⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ y C = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝1 0 ⎠ ⎝1 1⎠ ⎝ 3 2⎠ a) (1.25 puntos) Resuelva la ecuación A ⋅ X + B ⋅ X = C . b) (1.25 puntos) Calcule A 4 y A80 .

83. (2015-M5-A-1) Sean las matrices A = ⎜⎜

84. (2015-M6-A-1)

⎛2 1⎞ ⎛ 1 − 1⎞ ⎟⎟ ⋅ X + ⎜⎜ ⎟⎟ = I 2 . ⎝ 1 2⎠ ⎝0 2 ⎠ ⎛0 1⎞ ⎛a b⎞ ⎟⎟ y A = ⎜⎜ ⎟⎟ , calcule los valores de a y b b) (1 punto) Dadas las matrices M = ⎜⎜ ⎝1 0⎠ ⎝ 2 1⎠ para que se verifique la ecuación M ⋅ A = A . a) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial ⎜⎜

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