IES Padre Poveda (Guadix)

Matemáticas Aplicadas a las CCSS II

EJERCICIOS UNIDADES 1 y 2: MATRICES Y DETERMINANTES ⎛0 1 0⎞ ⎜ ⎟ 1. (2011-M1-A-1) Sean las matrices C = ⎜ 1 0 1 ⎟ ⎜0 1 0⎟ ⎝ ⎠

⎛0 1 1⎞ ⎜ ⎟ y D = ⎜ 1 0 1 ⎟. ⎜1 1 0⎟ ⎝ ⎠ a) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial 2 ⋅ X − C ⋅ D = (I 3 + D ) ⋅ C. b) (1 punto) Si las matrices C y D son las matrices de adyacencia de dos grafos, de vértices a, b, c y 1, 2, 3, respectivamente, haya la representación gráfica de dichos grafos.

2. (2011-M2-A-1)

⎛1 5 6⎞ ⎜ ⎟ 3 a) (1.25 puntos) Dada la matriz A = ⎜ 0 1 7 ⎟, calcule (I 3 − A) . ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 a⎞ ⎛ − 1⎞ ⎛5⎞ ⎟⎟, C = ⎜⎜ ⎟⎟, D = ⎜⎜ ⎟⎟, determine a b) (1.25 puntos) Dadas las matrices B = ⎜⎜ ⎝b 3⎠ ⎝3⎠ ⎝10 ⎠ y b de manera que B ⋅ C − D = O, siendo O la matriz nula. 3. (2011-M3-A-1) a) (1.5 puntos) De una matriz cuadrada, A, de orden 3 se conocen los siguientes elementos

a12 = a 21 = 2,

a13 = a31 = 0,

a23 = a32 = 1.

Determine los demás elementos de la matriz A sabiendo que debe cumplirse la ecuación A ⋅ B = C t , donde B t = (1 − 1 1) y C = (− 4 2 − 1).

− 5⎞ ⎟. − 5 ⎟⎠ − 5⎞ ⎛ 3 −1 2⎞ ⎛ 1 2 3⎞ ⎟⎟, B = ⎜⎜ ⎟⎟, C = ⎜⎜ ⎟⎟. − 3⎠ ⎝0 1 1⎠ ⎝ −1 5 3⎠

⎛1 ⎝3 ⎛2 4. (2011-M4;Jun-A-1) Sean las matrices A = ⎜⎜ ⎝1 b) (1punto) Calcule 2 D 2 , siendo D = ⎜⎜

a) (1 punto) Calcule A 2 − B ⋅ C t . b) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial A ⋅ X + B = 2 ⋅ C.

⎛ 0 1 0⎞ ⎛ 3 − 1⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝1 0 1⎠ ⎝1 2 ⎠ a) (1.25 puntos) Efectúe, si es posible, los siguientes productos: A⋅ At ; At ⋅ A; A⋅ B b) (1.25 puntos) Resuelva la siguiente ecuación matricial A ⋅ At ⋅ X = B

5. (2011-M5;Sept-B-1) Sean las matrices A = ⎜⎜

6. (2011-M6-B-1)

⎛0 3

−1 ⎞

⎛2

3 − 1⎞

⎟⎟, ⎟⎟ y a) (1.5 puntos) Dadas las matrices M = ⎜⎜ N t = ⎜⎜ ⎝ −1 1 0 ⎠ ⎝1 0 − 2⎠ razone cuáles de las siguientes operaciones tienen sentido y efectúe las que puedan realizarse: M + Nt,

M t ⋅ N,

M ⋅ N.

b) (1 punto) Un industrial cafetero produce dos tipos de café, natural y descafeinado, en tres modalidades cada uno, A, B y C. Se han anotado en la matriz P los pesos, Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro

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en kg, del café que el industrial produce de cada una de las modalidades de cada tipo, y en la matriz Q los precios a los que vende el kg de cada producto final: P : natural descafein.

A B C ⎛ 550 400 240 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ 260 200 100 ⎠

A B C ⎛ 2.20 2.75 2.50 ⎞ ⎟ ⎜ Q: descafein. ⎜⎝ 3.20 3.90 3.60 ⎟⎠ natural

Efectúe el producto P ⋅ Q t y explique el significado económico de cada uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz resultante. 7. (2010-M1-B-1) a) (1 punto) Sean A, B y C matrices con 2, 3 y 2 filas respectivamente. Sabiendo que el producto de matrices A ⋅ B ⋅ C es posible y que el resultado es una matriz con 4 columnas, halle las dimensiones de dichas matrices. b) (1.5 puntos) Halle la matriz X que verifica I 2 − 2 X = A ⋅ A − B t , siendo

(

)

⎛ 1 − 1⎞ ⎛ 0 2⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ . A = ⎜⎜ ⎝ 2 − 1⎠ ⎝ −1 2 ⎠ ⎛a 1⎞ ⎛1 b⎞ ⎛ 1 3⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ y C = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ 0 2⎠ ⎝ 0 3⎠ ⎝ 2 5⎠ a) (1 punto) Halle los valores de a y b para que se verifique A − B + A ⋅ B t = C . b) (0.75 puntos) ¿Existe algún valor de b para el que el producto B ⋅ B t sea igual a la

8. (2010-M2-A-1) Sean las matrices A = ⎜⎜

matriz nula? c) (0.75 puntos) Para a = 0.5 y b = 1 , halle la matriz X que verifica la igualdad A ⋅ X + B = O ( O representa la matriz nula). 9. (2010-M3;Sept-B-1) Sean las matrices:

⎛ 1 2⎞ ⎛1 1 5 ⎞ ⎛c d 6 ⎞ ⎟⎟ , Q = ⎜⎜ ⎟⎟ y R = ⎜⎜ ⎟⎟ . P = ⎜⎜ ⎝ a 0⎠ ⎝8 4 b ⎠ ⎝10 10 50 ⎠ a) (1 punto) Calcule, si es posible, P ⋅ Q y Q ⋅ P , razonando la respuesta. b) (1.5 puntos) ¿Cuánto deben valer las constantes a, b, c y d para que P ⋅ 2Q = R ? ⎛ 2 1⎞ ⎛ 1 2⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ 3 1⎠ ⎝ −1 0 ⎠

10. (2010-M5;Jun-B-1) Sean las matrices A = ⎜⎜

a) (1 punto) Calcule At ⋅ B − A ⋅ B t . b) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial AX + BA = B .

⎛ 1 − 1⎞ ⎛ 3 1⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝0 2 ⎠ ⎝ − 1 1⎠

11. (2009-M2;Sept -B-1) Sean las matrices A = ⎜⎜ a) (1 punto) Calcule A 2 y 2 B + I 2 .

b) (2 puntos) Resuelva la ecuación matricial A ⋅ X − I 2 = 2 B 2 . 12. (2009-M3;Jun-A-1) Sea la igualdad A ⋅ X + B = A , donde A, X y B son matrices cuadradas de la misma dimensión. a) (1 punto) Despeje la matriz X en la igualdad anterior, sabiendo que A tiene inversa.

⎛ 2 5⎞ ⎟⎟ y ⎝ 1 3⎠

b) (2 puntos) Obtenga la matriz X en la igualdad anterior, siendo A = ⎜⎜

⎛ 0 − 3⎞ ⎟⎟ . B = ⎜⎜ ⎝−1 2 ⎠ Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro

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13. (2009-M4-A-1)

⎛ 2 3⎞ ⎟⎟ , calcule la matriz M = At ⋅ A−1 . ⎝ 4 5⎠

b) (1 punto) Dada la matriz A = ⎜⎜

14. (2009-M6-A-1) (3 puntos) Sean las matrices:

⎛− 2 1 3 ⎞ ⎛ 5 − 2 − 6⎞ ⎛ − 1 4 − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ 0 − 1 0 ⎟, B = ⎜ 0 2 − 1⎟ y C = ⎜ 0 − 3 2 ⎟ . ⎜ 1 0 1⎟ ⎜− 2 0 −1⎟ ⎜ 3 1 2 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Determine X en la ecuación matricial X ⋅ A − 2 B = C. 15. (2008-M1-A-1)

⎛ a 1⎞ ⎟⎟, calcule el valor de a para que A 2 sea la a 0 ⎝ ⎠

a) (1 punto) Dada la matriz A = ⎜⎜ matriz nula.

⎛1 2 ⎞

(

)

2

⎟⎟, calcule la matriz M −1 ⋅ M t . b) (2 puntos) Dada la matriz M = ⎜⎜ 1 1 ⎝ ⎠ 16. (2008-M2;Sept-A-1) a) (1.5 puntos) Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones dado por: ⎛1 + 3 x 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎜⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟. − 1⎟⎠ ⎜⎝ y ⎟⎠ ⎜⎝ 4 ⎟⎠ ⎝ x ⎛1 0 1⎞ ⎟ ⎜ b) (1.5 puntos) Calcule la matriz inversa de ⎜ 0 1 0 ⎟. ⎜1 2 0⎟ ⎠ ⎝

⎛0 2⎞ ⎛a b⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟. ⎝3 0⎠ ⎝ 6 1⎠ a) (1.5 puntos) Calcule los valores de a y b para que A ⋅ B = B ⋅ A. b) (1.5 puntos) Para a = 1 y b = 0, resuelva la ecuación matricial X ⋅ B − A = I 2 .

17. (2008-M3;Jun-A-1) Sean las matrices A = ⎜⎜

18. (2008-M4-B-1)

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ a) (1 punto) Dadas las matrices F = (2 − 1 3) y C = ⎜ 5 ⎟ , calcule los ⎜ − 2⎟ ⎝ ⎠ productos C ⋅ F y F ⋅ C. ⎛2 0 ⎞ ⎛ 1 − 3⎞ ⎛ 1 − 1⎞ ⎟⎟, B = ⎜⎜ ⎟⎟ y C = ⎜⎜ ⎟⎟, b) (2 puntos) Dadas las matrices A = ⎜⎜ ⎝ 1 − 1⎠ ⎝ 2 −1⎠ ⎝ −1 0 ⎠ calcule la matriz X que verifique la ecuación X ⋅ A −1 − B = C. 19. (2008-M5-B-1)

⎛ 2 5⎞ ⎛ 1 ⎞

⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ (3 4). a) (2 puntos) Halle la matriz X que verifica la ecuación X ⋅ ⎜⎜ ⎝ 1 3⎠ ⎝ 2 ⎠ b) (1 punto) Determine los valores de x e y que cumplen la igualdad

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⎛ 1 0 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 2 1 ⎞ ⎛1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟. ⎝ 3 − 1⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ − x y ⎠ ⎝1⎠ ⎛1 2⎞ ⎛ 0 − 1⎞ ⎟⎟, B = ⎜⎜ ⎟⎟. ⎝0 1⎠ ⎝2 4 ⎠

20. (2008-M6-B-1) Sean A y B las matrices siguientes: A = ⎜⎜

a) (1 punto) Calcule ( A + B ) ⋅ ( A − B ). b) (2 puntos) Determine la matriz X , cuadrada de orden 2 , en la ecuación matricial

( A + 2 B ) ⋅ X = 3I 2 .

⎛ 2 1⎞ ⎛1 x⎞ ⎛ 0 − 1⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ y C = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ 1 1⎠ ⎝ x 0⎠ ⎝−1 2 ⎠ a) (1 punto) Encuentre el valor o valores de x de forma que B 2 = A . b) (1 punto) Igualmente para que B + C = A−1 . c) (1 punto) Determine x para que A + B + C = 3 ⋅ I 2 ⎛ 1 − 2 1⎞ ⎛ x ⎞ ⎛− x⎞ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 22. (2007-M2;Jun-A-1) Sean las matrices A = ⎜ 0 1 0⎟ , X = ⎜ y ⎟ e Y = ⎜ 2 ⎟ . ⎜ −1 3 0⎟ ⎜ − 2⎟ ⎜ z ⎟ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a) (1 punto) Determine la matriz inversa de A . b) (2 puntos) Halle los valores de x, y, z para los que se cumple A ⋅ X = Y .

21. (2007-M1-A-1) Sean las matrices A = ⎜⎜

⎛ 2 3⎞ ⎛9⎞ ⎟⎟ ⋅ A = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ − 1 5⎠ ⎝ 28 ⎠

23. (2007-M3;Sept-B-1a) (1.5 puntos) Halle la matriz A que verifica: ⎜⎜

⎛1 0 ⎞

⎟⎟ . Calcule el valor de b para que B 2 = I 2 24. (2007-M4-A-1a) (1 punto) Sea la matriz B = ⎜⎜ 1 b ⎝ ⎠ ⎛ 3 2⎞ ⎛ 2 5⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ , resuelva la ⎝ 2 4⎠ ⎝ − 3 1⎠ ecuación matricial A ⋅ X + B t = B , donde X es una matriz cuadrada de orden 2 .

25. (2007-M5-A-1b) (2 puntos) Dadas las matrices A = ⎜⎜

⎛ 1 0 2⎞ ⎛ − 2⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ − 2 1 0⎠ ⎝ 5 ⎠

26. (2007-M6-A-1) Sean las matrices A = ⎜⎜

a) (1.5 puntos) Calcule B ⋅ B t − A ⋅ At . b) (1.5 puntos) Halle la matriz X que verifica A ⋅ At ⋅ X = B .

(

)

⎛ 2 − 1⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ −1 0 ⎠ ⎝1 2 ⎠ a) (1.5 puntos) Calcule A−1 ⋅ (2 B + 3I 2 ) . b) (1.5 puntos) Determine la matriz X para que X ⋅ A = A + I 2 .

27. (2006-M1-B-1) Sean las matrices A = ⎜⎜

⎛x ⎝1

1 ⎞ ⎛ 0 1⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ . x + 1⎠ ⎝ 1 1⎠ a) (1 punto) Encuentre el valor o valores de x de forma que B 2 = A . b) (1 punto) Igualmente para que A − I 2 = B −1 . c) (1 punto) Determine x para que A ⋅ B = I 2 .

28. (2006-M3;Jun-A-1) Sean las matrices A = ⎜⎜

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⎛ 2 1⎞ ⎛1 − 2⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ − 2 0⎠ ⎝2 4 ⎠

29. (2006-M4-A-1a) (1.5 puntos) Sean las matrices A = ⎜⎜

(

)

Calcule A−1 ⋅ B − At . 30. (2006-M5-B-1) (3 puntos) Sean las matrices:

⎛1 0 0⎞ ⎛1⎞ ⎛ − 2⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ − 2⎞ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜1 1 0⎟ ; B = ⎜ 2⎟ ; C = ⎜ − 5⎟ ; D = ⎜ 2 ⎟ ; E = ⎜ − 5⎟ . ⎜3 0 1⎟ ⎜1⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ − 3⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Calcule los valores de los números reales x, y, z , para que se verifique la siguiente igualdad entre matrices: E − x ⋅ A ⋅ B = y ⋅ C + z ⋅ D . 2 ⎞ ⎛ 2 ⎟⎟ y B = (1 − 1) . 31. (2006-M6-A-1a) (2 puntos) Sean las matrices A = ⎜⎜ ⎝ − 5 − 4⎠ Explique qué dimensión debe tener la matriz X para que tenga sentido la ecuación matricial X ⋅ A + 2 B = (1 0 ) . Resuelva dicha ecuación. ⎛ 1 − 1⎞ ⎟ ⎜ ⎛ − 2 − 1 1⎞ ⎟⎟ y B = ⎜ 2 32. (2005-M2;Jun-A-1) Sean las matrices A = ⎜⎜ 0 ⎟. ⎝ − 1 0 1⎠ ⎜− 2 1 ⎟ ⎠ ⎝ t t a) (1 punto) Calcule la matriz C = B ⋅ A − A ⋅ B . ⎛ 4⎞ b) (2 puntos) Halle la matriz X que verifique A ⋅ B ⋅ X = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ 2⎠

y⎞ ⎛ −1 2⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ . x⎠ ⎝ 1 0⎠ a) (1 punto) Calcule, si existe, la matriz inversa de B . b) (2 puntos) Si A ⋅ B = B ⋅ A y A + A t = 3 ⋅ I 2 , calcule x e y . ⎛ x ⎝− y

33. (2005-M6-B-1) Sean las matrices A = ⎜⎜

⎛ −1 0⎞ ⎛0 −1 2⎞ ⎛ − 1 2 − 1⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ y C = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ 1 2⎠ ⎝1 −1 0⎠ ⎝ 0 1 − 1⎠ a) (1 punto) Calcule ( A − I 2 ) ⋅ B , siendo I 2 la matriz identidad de orden 2. b) (1 punto) Obtenga la matriz B t y calcule, si es posible, B t ⋅ A . c) (1 punto) Calcule la matriz X que verifica A ⋅ X + B = C .

34. (2004-M2-A-1) Sean las matrices A = ⎜⎜

35. (2004-M3;Sept-B-1) (3 puntos) De una matriz A se sabe que su segunda fila es (− 1 2 ) y

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ su segunda columna es ⎜ 2 ⎟ . ⎜ − 3⎟ ⎝ ⎠

⎛ 1 1 1⎞ ⎛0 0 ⎞ ⎟⎟ ⋅ A = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ 2 0 1⎠ ⎝ 0 − 1⎠

Halle los restantes elementos de A sabiendo que ⎜⎜

⎛1 0 ⎞ ⎟⎟ , halle A 2004 . 0 − 1 ⎝ ⎠

36. (2004-M4-A-1b) (1 punto) Dada la matriz A = ⎜⎜

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⎛ 1 − 2⎞ ⎟ ⎜ ⎛ 2 −1 0 ⎞ ⎛2 1⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ , C = ⎜ 0 37. (2004-M5;Jun-B-1) Sean las matrices A = ⎜⎜ 2 ⎟. ⎝ 0 2 − 1⎠ ⎝ 2 2⎠ ⎜− 2 0 ⎟ ⎠ ⎝ t a) (2 puntos) Calcule la matriz P que verifica B ⋅ P − A = C . b) (0.5 puntos) Determine la dimensión de la matriz M para que pueda efectuarse el producto A ⋅ M ⋅ C . c) (0.5 puntos) Determine la dimensión de la matriz N para que C t ⋅ N sea una matriz cuadrada.

⎛ 1 − 1⎞ ⎛1 − 1⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝2 0 ⎠ ⎝1 2 ⎠

38. (2003-M1-A-1b) (1.5 puntos) Sean las matrices A = ⎜⎜

(

Calcule A t ⋅ B − 2 I 2

)

−1

, donde I 2 es la matriz unidad de orden 2.

⎛1 2⎞

⎛ 4 3⎞

⎟⎟ y N = ⎜⎜ ⎟⎟ . 39. (2003-M2;Jun-B-1) Sean las matrices M = ⎜⎜ ⎝3 4⎠ ⎝ 2 1⎠ a) (0.75 puntos) Calcule la matriz A = M ⋅ M t − 5M . b) (2.25 puntos) Calcule la matriz B = M −1 y resuelva N + X ⋅ M = M ⋅ B , donde X es una matriz 2 × 2 .

la

ecuación

x ⎞ ⎛2 ⎟⎟ . ⎝ 0 x + 2⎠

40. (2003-M3;Sept-A-1) Sea la matriz A = ⎜⎜

a) (1.5 puntos) Halle los valores de x para los que se verifica A 2 = 2 A . b) (1.5 puntos) Para x = −1 , halle A −1 . Compruebe el resultado calculando A ⋅ A −1 .

1 41. (2003-M4-B-1b) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación 4

−1

3 2+ x 1

−5

x = 0. −3

m ⎞ ⎛ 3 ⎟⎟ . ⎝1 − m m + 1⎠ a) (1 punto) Calcule los valores de m para que dicha matriz tenga inversa. b) (2 puntos) Haciendo m = 0 , resuelva la ecuación matricial A ⋅ X ⋅ A = I 2 , donde I 2 es la matriz unidad de orden 2 y X es una matriz cuadrada de orden 2.

42. (2003-M5-B-1) Sea la matriz A = ⎜⎜

43. (2003-M6-B-1b) (1.5 puntos) Determine la matriz X , de orden 2, que verifica la igualdad:

⎛ 1 3⎞ ⎛ 1 5⎞ ⎛ −1 7 ⎞ ⎟⎟ − 2 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ X ⋅ ⎜⎜ ⎝ 0 1⎠ ⎝ − 1 2 ⎠ ⎝ 1 − 1⎠ ⎛3 1⎞ ⎛1⎞ ⎛z⎞ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ x⎞ 44. (2002-M4-A-1) (3 puntos) Sean las matrices A = ⎜ 1 3 ⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ , C = ⎜ 1 ⎟ y D = ⎜ z ⎟ . ⎝ y⎠ ⎜1 0⎟ ⎜0⎟ ⎜z⎟ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Calcule x, y, z , sabiendo que A ⋅ B = 2C − D . 1 − 1⎞ ⎛ 2 ⎜ ⎟ 45. (2002-M6;Sept-A-1) Sea la matriz A = ⎜ 0 m−6 3 ⎟. ⎜ m +1 2 0 ⎟⎠ ⎝ a) (1 punto) Calcule los valores de m para que dicha matriz tenga inversa. b) (2 puntos) Haciendo m = 4 , resuelva la ecuación matricial X ⋅ A = (3 1 1) . Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro

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ALGUNOS EJEMPLOS DE EJERCICIOS DE MATRICES COMO EXPRESIONES DE TABLAS Y GRAFOS: Ejemplo 1. Sean los grafos siguientes:

a) Escriba la matriz de adyacencia asociada a los grafos A y B de la figura anterior. b) Si las matrices C y D unen los nodos numerados con las etiquetas 1, 2, 3, represente los grafos asociados a dichas matrices de adyacencia.

⎛ 0 1 0⎞ ⎜ ⎟ C = ⎜1 0 1⎟ ⎜ 0 1 0⎟ ⎝ ⎠

⎛0 1 1⎞ ⎜ ⎟ D = ⎜1 0 1⎟ ⎜1 1 0⎟ ⎝ ⎠

c) Realice la siguiente operación matricial: D ⋅ C − C ⋅ D Ejemplo 2. En un instituto I hay alumnos de tres pueblos, A, B y C. La distancia entre A y B es 6 km, la de B a C es 7 km, la de A a C es 10 km y la de A a I es 8 km. Una empresa de transporte escolar hace dos rutas: la ruta 1 parte de B y recorre sucesivamente C, A e I; la ruta 2 parte de C y recorre sucesivamente B, A e I.

1. Determine la matriz M, 2x3, que expresa los kilómetros que recorren los alumnos de cada pueblo por cada ruta. 2. El número de alumnos que siguen cada ruta de cada pueblo es: Pueblo A: 10 alumnos la ruta 1 y 9 alumnos la ruta 2. Pueblo B: 15 alumnos la ruta 1 y 8 alumnos la ruta 2. Pueblo C: 5 alumnos la ruta 1 y 9 alumnos la ruta 2. Determine la matriz N, 3x2, que indique los alumnos que siguen cada ruta de cada pueblo. 3. Si la empresa cobra 12 céntimos por Km a cada persona, determine la matriz P = 0.12 M· N, e interprete cada uno de sus elementos.

M=

Ruta 1 Ruta 2

A B C ⎛ ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠

Alumnos A N = Alumnos B Alumnos C

Ruta 1 Ruta 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

Ejemplo 3. En una empresa de fabricación de móviles hay 3 categorías de empleados: A, B y C y se fabrican dos tipos de móviles: M y P. Diariamente cada empleado de la categoría A fabrica 4 móviles del tipo M y 3 del tipo P, mientras que cada uno de la categoría B fabrica 5 móviles del tipo M y 4 del tipo P, y cada uno de la categoría C fabrica 6 móviles del tipo M y 5 móviles del

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tipo P. Para fabricar cada móvil del tipo M se necesitan dos chips y 4 conexiones y para fabricar cada móvil del tipo P 4 chips y 6 conexiones. a) Escriba una matriz X, 3x2, que describa el número de móviles de cada tipo y otra matriz Y, de orden 2, que exprese el número de chips y conexiones de cada tipo de móvil. b) Realice el producto de matrices X·Y e indique qué expresa dicho producto. Ejemplo 4. Un proveedor que suministra materia prima a 3 fábricas, F, G y H, transporta una parte de sus envíos a cada fábrica por carretera y la otra parte por tren, según se indica en la matriz T, cuyos elementos son las toneladas de materia prima que recibe cada fábrica por cada vía de transporte.

F

G

H

⎛ 300 200 150 ⎞ carretera ⎟⎟ T = ⎜⎜ ⎝ 400 250 200 ⎠ tren Los precios del transporte de cada tonelada de materia prima son 200 euros por carretera y 180 euros por tren, como indica la matriz C = (200 180). Explique qué operación debe efectuarse con estas matrices para determinar una nueva matriz cuyos elementos sean los costes de llevar este material a la fábrica. Ejemplo 5. Una persona tiene que comprar 2 kg de manzanas, 1 kg de ciruelas y 1.5 kg de plátanos y otra necesita 0.5 kg de manzanas, 2.5 de ciruelas y 3 de plátanos. En la frutería A, los precios de las manzanas son 1.8 euros/kg, los de las ciruelas 2.1 y los de los plátanos 1.9 y en la frutería B son 1.7, 2.3 y 1.75 respectivamente. Se escriben las matrices

1 1.5 ⎞ ⎛ 2 ⎟⎟ M = ⎜⎜ ⎝ 0.5 2.5 3 ⎠

⎛ 1 .8 1 .7 ⎞ ⎟ ⎜ N = ⎜ 2 .1 2 .3 ⎟ ⎜1.9 1.75 ⎟ ⎠ ⎝

y

a) Determine M·N e indique qué representa cada uno de los elementos de la matriz producto. b) ¿En qué frutería le conviene a cada persona hacer la compra? Ejemplo 6. Un fabricante de productos lácteos, que vende 3 tipos de productos, leche, queso y nata, a dos supermercados, S y H, ha anotado en la matriz A los pesos en kg de cada producto que vende a cada supermercado y , en la matriz B, las ganancias que obtiene en cada supermercado por cada kg de esos productos

leche queso nata

leche queso nata

4 1 ⎞ S ⎛ 0.20 ⎛ 500 300 250⎞ S ⎟⎟ ⎟⎟ Matriz B = ⎜⎜ Matriz A = ⎜⎜ ⎝ 0.25 3.60 1.20 ⎠ H ⎝ 460 300 200⎠ H Efectúe el producto A ⋅ B t y explique el significado económico de cada uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz resultante. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro

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