Apuntes de Álgebra Lineal

Capítulo 3

Matrices y Determinantes 3.1.

Operaciones con matrices

3.1.1.

Suma, resta y multiplicación por escalares

Las matrices de un tamaño fijo m × n se pueden sumar entre sí y esta operación de sumar se puede definir operando elemento a elemento o bien operando columna a columna. Por ejemplo, consideremos las siguientes matrices de tamaño 2 × 3:  A=

1 4

2 5

3 6



 ,

B=

 −1 0 . 1 −2

7 −4

Operar elemento a elemento es poner:  A+B =

1+7 2−1 3+0 4−4 5+1 6−2





=

8 0

 3 , 4

1 6

mientras que operar columna a columna es poner A = [a1 a2 a3 ], B = [b1 b2 b3 ] con: a1 =

  1 , 4

a2 =

  2 , 5

a3 =

  3 , 6

 b1 =

 7 , −4

 b2 =

 −1 , 1

 b3 =

 0 , −2

de forma que a1 + b1 =

      1 7 8 + = , 4 −4 0

a2 + b2 =

      2 −1 1 + = , 5 1 6

a3 + b3 =

      3 0 3 + = , 6 −2 4

y entonces 8 0

1 6

 3 . 4

La definición de suma de matrices elemento a elemento es fácil de entender y de aplicar, pero tediosa para la demostración de propiedades. La segunda es una definición un poco más sutil y parece más complicada, pero bien mirada es incluso más sencilla que la primera y tiene la gran ventaja de que permite hacer demostraciones más sencillas de las propiedades de matrices. En cualquier caso, usaremos la definición primera sólo para demostrar el número más reducido posible de propiedades, de las cuales se puedan deducir todas las demás sin tener que recurrir constantemente a la definición. 1

Versión de 30 de noviembre de 2016, 21:02 h.

 A + B = [ a1 + b1 | a2 + b2 | a3 + b3 ] =

3.1. Operaciones con matrices

3. Matrices y Determinantes

Igual que ocurre con la suma de matrices, la multiplicación de números por matrices se puede definir elemento a elemento o por columnas. Por ejemplo, con la matriz B anterior, podemos poner:     3×7 3 × (−1) 3 × 0 21 −3 0 3B = = 3 × (−4) 3 × 1 3 × (−2) −12 3 −6 o podemos calcular:       21 −3 0 3b1 = , 3b2 = , 3b3 = , −12 3 −6

 y

3B = [3b1 3b2 3b3 ] =

21 −12

 −3 0 . 3 −6

Usando cualquiera de esas definiciones de suma y multiplicación por números no tiene ninguna dificultad el demostrar que estas operaciones de las matrices reales de un tamaño fijo m × n cumplen los axiomas de espacio vectorial real donde la matriz cero m × n, denotada 0, es aquella todos cuyos elementos son cero y la matriz opuesta, − A, de una matriz A es aquella cuyos elementos son los opuestos de los de A: (a) Propiedades de la suma de matrices (“Grupo conmutativo”): 1. Propiedad asociativa de la suma: A + ( B + C ) = ( A + B) + C. 2. Matriz cero: 0 + A = A + 0 = A. 3. Opuesta de una matriz: − A + A = A + (− A) = 0. (abreviación: en lugar de A + (− B) se puede escribir para mayor brevedad A − B). 4. Propiedad conmutativa de la suma: B + A = A + B. (b) Propiedades distributivas de la multiplicación por números: 1. Propiedad distributiva para la suma de matrices: x ( A + B) = xA + xB. 2. Propiedad distributiva para la suma de números: ( x + y) A = xA + yA. (c) “Acción de los escalares”: 1. Propiedad asociativa del producto de números por matrices: x (yA) = ( xy) A. 2. Ley de identidad: 1 A = A. (El número 1 es neutro para la multiplicación de números por matrices.) Además, se cumplen las siguiente propiedades, las cuales ya sabemos que se deducen de las anteriores pero que en este caso es más fácil demostrar directamente a partir de la definición del producto de un número por una matriz: (a) Toda matriz multiplicada por cero da la matriz cero: 0A = 0. (b) Todo múltiplo de la matriz cero es la matriz cero: c 0 = 0. (c) Multiplicar una matriz por −1 da la matriz opuesta: (−1) A = − A.

3.1.2.

Producto de matrices

Motivación Sabemos multiplicar una matriz por un vector y sabemos que el resultado es otro vector: b = Ax. Supongamos ahora que tenemos una segunda matriz, B, que se puede multiplicar por b y que la usamos para calcular el vector Bb = B( Ax). Problema: ¿Qué matriz hay que multiplicar por x para obtener directamente el vector B( Ax)? Para contestar a esto es necesario recordar que Ax es una combinación lineal de las columnas de A: Ax = x1 a1 + · · · + xn an y que la operación de producto de una matriz por un vector 2

3. Matrices y Determinantes

3.1. Operaciones con matrices

respeta las combinaciones lineales, por lo que B( Ax) = B( x1 a1 + · · · + xn an ) es igual a una combinación lineal de los vectores Ba1 , . . . Ban obtenidos al multiplicar B por cada columna de A. Estos vectores son matrices columna con el mismo número de elementos que cada columna de B y forman una nueva matriz que llamaremos C. La combinación lineal de estas columnas usando los elementos de x como coeficientes es a la vez el producto de C por x y también el vector B( Ax), por tanto C es la matriz que multiplicada por x nos da B( Ax). Definición del producto de matrices El producto de una matriz A por una matriz B es la matriz, denotada AB, cuyas columnas son el resultado de multiplicar A por cada columna de B. Es decir: cada columna del producto AB es el producto de A por la correspondiente columna de B: Definición del col j ( AB) = A · col j ( B).

producto de

(3.1) matrices.

Por tanto cada columna de AB es una combinación lineal de las columnas de A La propiedad característica del producto así definido es que para cualquier vector x que propiedad característica tenga tantos elementos como columnas tiene B, se cumple del producto

( AB)x = B( Ax). La regla “fila por columna”: Suponiendo que las columnas de B son b1 , . . . , b p y para calcular AB calculamos cada uno de los productos Ab j por la regla “fila×columna” llegamos a la conclusión de que cada fila del producto AB es igual a la correspondiente fila de A multiplicada por B: filai ( AB) = filai ( A) · B (3.2)

1 Ejercicio de tarea. Usa las ecuaciones (3.1) y (3.2) como corresponda para calcular la fila 3 y la columna 2 del producto AB y lo mismo para el producto BA, donde:     1 1 1 2 0 0 A = 1 2 3 , B = 0 3 0 . 1 4 5 0 0 5

Propiedades del producto de matrices A continuación se presenta la lista de las propiedades de la multiplicación de matrices. Aquí λ es un escalar cualquiera e Ik denota la matriz identidad k × k. (a) A( BC ) = ( AB)C (propiedad asociativa). (b) A( B + C ) = AB + BC (propiedad distributiva por la izquierda). (c) ( B + C ) A = BA + CA (propiedad distributiva por la derecha). En las propiedades (d) y (e) se supone que A tiene m filas y n columnas. (d) Im A = A = AIn . (e) (λIm ) A = λA = A(λIn ). Toda matriz de la forma λIm (o sea, que sea un múltiplo escalar de una matriz identidad) se llama una matriz numérica o matriz escalar. De ésta junto con la propiedad asociativa se puede deducir la siguiente, de la cual ésta es un caso particular: (f) (λA) B = λ( AB) = A(λB). 2 Ejercicio de tarea. Demuestra que la propiedad (f) se deduce de las propiedades (a) y (e). 3

3.1. Operaciones con matrices

3. Matrices y Determinantes

Sobre la no-conmutatividad del producto de matrices y otras advertencias. (a) No conmutatividad: En general AB 6= BA. Por ejemplo:    
1 3 4 3 4 = mientras que 2 6 8

3

4

 
1 = 11. 2

Pero la razón de esto no es que los resultados sean matrices de distinto tamaño, pues en general AB 6= BA incluso para matrices cuadradas:           0 1 4 0 ∗ 5 4 0 0 1 ∗ 4 = mientras que = . 2 3 0 5 ∗ ∗ 0 5 2 3 ∗ ∗ (b) Matrices nilpotentes: Existen matrices A 6= 0 tales que A2 = 0. Por ejemplo, 

0 0

1 0

2



=

0 0

1 0



0 0

1 0





=

0 0

 0 . 0

(c) Divisores de cero: Un producto de matrices igual a cero no implica que algún factor sea cero, es decir, si AB = 0, en general no se puede concluir que A = 0 o B = 0. Por ejemplo:  
0 1 0 = 0. 1 (d) No se cumple la Ley de cancelación: De AB = AC, en general no se puede deducir B = C. Por ejemplo:       0 1 0 2 0 1 0 3 = . 0 0 0 0 0 0 0 0

3.1.3.

Traspuesta de una matriz y sus propiedades. 

 a1   Para cualquier vector (o matriz de una sola columna) a =  ... , la matriz traspuesta es la am matriz fila que tiene los mismos elementos que a: aT = a1

...


am .

Para una matriz general de varias columnas A = [a1 . . . an ], la traspuesta es la matriz cuyas filas son las traspuestas de las columnas de A:  T a1  ..  T A =  . . aTn

De esta definición se deduce que la traspuesta de una matriz m × n es una matriz n × m. Por ejemplo: 

1 4

2 5

3 6

T



1 = 2 3

 4 5. 6

La operación de calcular la matriz traspuesta tiene las siguientes propiedades cuya demostración es un ejercicio que debe hacer el estudiante: 4

3. Matrices y Determinantes (a)

AT


T

3.2. Matrices elementales

=A

(b) ( A + B)T = AT + BT (c) (λA)T = λ AT (d) ( AB)T = BT AT (¡cambian de orden!)

Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen en esta sección: Enlaces: Ejercicio 1, Ejercicio 2.

3.2.

Matrices elementales

Ejecución de operaciones elementales mediante multiplicación de matrices Consideremos las siguientes matrices:    1 0 0 0 E1 =  0 1 0  , E2 =  1 3 0 1 0

1 0 0

 0 0, 1



1 E3 =  0 0

 0 0. 5

0 1 0

Obsérvese que todas ellas son el resultado de realizar una operación elemental de filas sobre la matriz identidad 3 × 3. Ahora calculemos los productos E1 A, E2 A, E3 A, donde A es una matriz cualquiera de tres filas. Por ejemplo:         a b a b c d a b c d  , E2 A =  a b  , E3 A =  c d A =  c d  con lo cual: E1 A =  e f e + 3a f + 3b e f 5e 5 f Vemos que cada uno de los productos nos da como resultado el mismo que si hubiésemos hecho sobre A la operación elemental con la que se consiguió la correspondiente matriz E. Esto es un hecho general y se cumple el siguiente teorema: Teorema: Sea A una matriz de m filas. Para realizar una operación elemental sobre A, basta realizar dicha operación elemental sobre las filas de la matriz identidad Im y multiplicar el resultado por A.

Definición de matrices elementales Definición: Se llama matriz elemental a toda matriz obtenida realizando una operación elemental sobre las filas de una matriz identidad. Ejemplos: (1) Sea E la matriz obtenida al realizar filas sobre la matriz identidad 2 × 2:     1 0 F1 ↔ F2 0 1 −−−→ E = . I2 = 1 0 0 1

una operación elemental de intercambio de E es la matriz elemental correspondiente a la operación elemental “intercambiar las filas 1 y 2”.

Sea ahora A una matriz cualquiera con 2 filas. Entonces:      a b c F1 ↔ F2 d e f 0 A= −−−→ y también: EA = d e f a b c 1 5

1 0



a d

b e

c f





=

d a

e b

f c

 .

3.3. Matriz inversa

3. Matrices y Determinantes

El producto EA da como resultado el mismo que realizar sobre A la operación elemental de “intercambiar las filas 1 y 2 de A”. (2) Sea E la matriz obtenida al realizar una operación elemental de reemplazo de filas sobre la matriz identidad 3 × 3:     1 0 0 1 0 0 E es la matriz elemental correspondiente F2 +λF3 a la operación elemental “sumar I3 =  0 1 0  −−−−→ E =  0 1 λ  . a la fila 2 la 3 multiplicada por λ”. 0 0 1 0 0 1 Sea ahora A una matriz cualquiera con 3 filas. Entonces: ! ! A=

a c e

b d f

F2 +λF3

−−−−→

a c + λe e

b d + λf f

y también:

EA =

1 0 0

0 1 0

0 λ 1

!

a c e

b d f

!

=

a c + λe e

b d + λf f

!

El producto EA da como resultado el mismo que realizar sobre A la operación elemental de “suma a la fila 2 la fila 3 multiplicada por λ”.

3.3.

Matrices inversibles y cálculo de la matriz inversa

inversa por la izquierda

Sea A una matriz de m filas y n columnas. Se llama matriz inversa por la izquierda de A a toda matriz B tal que BA = In . En tal caso B será necesariamente n × m. Además, el sistema homogéneo Ax = 0 es determinado (el vector 0 es la única solución porque si hubiera otra, x, entonces x = BAx = B0 = 0) y por por ser determinado no tiene variables libres. Por tanto, si A tiene una inversa por la izquierda, A tiene un pivote en cada columna y no puede tener menos filas que columnas: m ≥ n.

inversa por la derecha

Se llama matriz inversa por la derecha de A a toda matriz C tal que AC = Im . En tal caso C será necesariamente n × m. Además, todo sistema Ax = b será compatible (ya que al menos el vector Cb será una solución). Por tanto, si A tiene una inversa por la derecha, entonces A tiene un pivote en cada fila y no puede tener más filas que columnas: m ≤ n.

matriz inversible

Una matriz A se llama inversiblesi tiene una inversa por la derecha y una inversa por la izquierda. En tal caso, se puede demostrar que la inversa por la izquierda es la misma matriz que la inversa por la derecha1 (llamándose entonces simplemente la matriz inversa de A). Por lo dicho antes, la matriz A es necesariamente una matriz cuadrada (al igual que su inversa). Por tanto una matriz es inversible si y sólo si existe una matriz B tal que BA = I

y

AB = I.

Toda matriz inversible es una matriz cuadrada. La matriz inversa de A se denota por A−1 . matriz singular

Se llama matriz singular a toda matriz cuadrada que no sea inversible. 3 Ejercicio de tarea. Suponiendo que M es una inversa de A por la izquierda y que N es una inversa de A por la derecha, demuestra: (a) M y N tienen el mismo número de filas y columnas que la traspuesta de A. (b) M = N. (c) A es una matriz cuadrada. 4 Ejercicio de tarea. Demostrar que si A es una matriz cuadrada entonces basta que tenga una inversa por un lado para que sea inversible. 1 Si

AC = Im y BA = In entonces C = ( BA)C = B( AC ) = B.

6

3. Matrices y Determinantes

3.3. Matriz inversa

Propiedades de la inversa
−1

(a)

A −1

(b)

( AB)−1

(c)


T −1

A

= A.

= B −1 A −1 .
T = A −1 .

De la segunda de estas propiedades se deduce que el producto de varias matrices inversibles de tamaño n × n es de nuevo una matriz inversible y su inversa es el producto de las inversas en el orden opuesto:
−1 1 −1 A1 · · · A k = A− k · · · A1 . Inversa de una matriz  2 × 2. La inversa (suponiendo que existe) de una matriz cuadrada a b de orden 2, A = c d , se obtiene multiplicando el inverso de ad − bc por la matriz obtenida al intercambiar las posiciones de los elementos de la diagonal y cambiar de signo a los otros dos: 

a c

b d

 −1

=

1 ad − bc



d −c

La comprobación de esto es un simple cálculo:     a b d −b ad − bc = c d −c a 0

 −b . a

0 ad − bc

 .

En el caso c = 0 es útil expresar la fórmula de la inversa de esta forma: 

a 0

b d

 −1



=

a −1 0

 − a−1 bd−1 . d −1

Uso de la inversa en la resolución de sistemas Para aquellos sistemas de ecuaciones lineales Ax = b en los que la matriz de coeficientes, A, sea una matriz inversible existe automáticamente solución única y esa solución está dada por x = A−1 b. Evidentemente esto sólo se aplica a sistemas con el mismo número de ecuaciones que incógnitas. Los casos en los que esta fórmula para la solución tiene mayor utilidad son los de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, en los cuales es muy sencillo ver si la matriz de coeficientes tiene inversa y apenas es nada costoso el calcular la inversa. Ejemplo:

El sistema 3x1 + 4x2 = 3 5x1 + 6x2 = 7

tiene matriz de coeficientes inversible y su inversa es la matriz 

3 5

4 6

 −1

1 = 18 − 20



6 −5

−4 3

 por tanto: 7

x=A

−1

1 b= 2



−6 4 5 −3

    3 5 = . 7 −3

3.3. Matriz inversa

3. Matrices y Determinantes

Caracterizaciones de las matrices inversibles Teorema de la matriz inversible Una matriz cuadrada real A de orden n es una matriz inversible si y sólo si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones: (a) A tiene una inversa por la derecha. (b) A tiene una inversa por la izquierda. (c) El sistema homogéneo representado por la ecuación Ax = 0 es determinado (no tiene más solución que la trivial). (d) A tiene n columnas pivote. (e) La forma escalonada reducida de A es la matriz identidad de orden n. (f) Para todo b ∈ Rn el sistema representado por la ecuación Ax = b es compatible. (g) Las columnas de A generan Rn . (h) AT es una matriz inversible. Lo mismo es cierto para las matrices complejas cambiando R por C en los enunciados en los que aparece.

Las inversas de las matrices elementales Toda matriz elemental tiene inversa y su inversa es otra matriz elemental: La correspondiente a la operación elemental inversa. En consecuencia, es muy sencillo escribir la matriz inversa de una matriz elemental. Por ejemplo:         1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 −λ . Si E = entonces E−1 = ; si E =  0 1 λ  entonces E−1 = 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1

Algoritmo para averiguar si una matriz es inversible y calcular su inversa Teorema. Una matriz cuadrada A es inversible si y sólo si es equivalente por filas a la correspondiente matriz identidad. En ese caso, cualquier sucesión de operaciones elementales de filas que reducen A a la identidad I también reducen I a la inversa de A. Demostración: Cada paso de la reducción corresponde a la multiplicación por la izquierda por una matriz elemental: A ∼ E1 A ∼ E2 E1 A ∼ · · · ∼ E p ( E p−1 · · · E1 ) A = I por tanto ( E p · · · E1 ) A = I, lo que significa que A es inversible y su inversa es: A−1 = E p · · · E1 . Corolario. Si una matriz cuadrada A es inversible entonces su forma escalonada reducida de ( A| I ) es ( I | A−1 ). Recíprocamente, si la forma escalonada reducida de ( A| I ) es ( I | M) entonces A es inversible y su inversa es A−1 = M De esto se deduce que la forma escalonada reducida de la matriz por bloques formada por una fila de dos bloques en la que el primero es la matriz A y el segundo la matriz identidad, es la que tiene como primer bloque la identidad y segundo la inversa de A:

( A | I ) ∼ · · · ∼ ( I | A −1 ) En otras palabras: Las mismas operaciones elementales que transforman una matriz inversible en la matriz identidad, transforman la matriz identidad en la inversa de la matriz. 8

3. Matrices y Determinantes

3.4. Factorización LU

Cómo calcular solamente una columna (o fila) particular de la matriz inversa. la columna j de A−1 basta resolver el sistema

Para calcular

Ax = e j donde e j es la columna j de la matriz identidad. Para calcular la fila i de A−1 basta calcular la columna i de AT dicho antes, basta resolver el sistema AT x = e i .


−1

, para lo cual, según lo

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3.4.

Un caso especial de la forma escalonada de una matriz: La Factorización LU

Motivación Supongamos que necesitamos resolver varios sistemas de ecuaciones que tienen la misma matriz de coeficientes A y sólo se diferencian en los términos independientes. Si se conocen dos matrices L, U tales que L es una matriz unitriangular inferior, es decir, triangular inferior con unos en la diagonal, U es una matriz escalonada y son tales que LU = A, entonces el sistema Ax = b o L(Ux) = b se puede resolver en dos pasos muy sencillos: Primero resolvemos el sistema Ly = b y después el sistema Ux = y. Una descomposición de una matriz, A = LU, como producto de dos matrices como las descritas se conoce como una factorización LU (o factorización “Lower-Upper") de A (leído: « factorización “L”-“U” »).

Existencia y unicidad No toda matriz admite una factorización LU, pero, como se verá más abajo, una matriz A la admitirá siempre que sea posible obtener una forma escalonada de A sin realizar operaciones elementales de intercambio de filas (ni, evidentemente, operaciones de reemplazo que se puedan combinar para conseguir un intercambio de filas, lo cual excluye las operaciones de reemplazo “regresivas” en que se suma un múltiplo de una fila a otra fila anterior ya que combinando tales operaciones con operaciones de reemplazo “progresivas” es posible conseguir un intercambio de filas). En otras palabras: La matriz A admite una factorización LU si se puede poner A en forma escalonada utilizando únicamente operaciones de reemplazo progresivas (sumar un múltplo de una fila a otra posterior a ella). Recíprocamente, si A admite una factorización LU, entonces es evidente que L, por ser una matriz triangular inferior, se puede poner en forma escalonada utilizando únicamente operaciones de reemplazo progresivas (¡obteniéndose una matriz identidad!). Esas operaciones transformarán A en U y por tanto A se puede poner en forma escalonada utilizando únicamente operaciones de reemplazo progresivas. En consecuencia: 9

Una matriz se llama unitriangular si es una matriz triangular y todos los elementos de su diagonal son iguales a 1.

3.4. Factorización LU

3. Matrices y Determinantes

La factorización LU de una matriz A existe si y sólo si A se puede poner en forma escalonada utilizando únicamente operaciones elementales de reemplazo progresivas (sumar un múltplo de una fila a otra posterior a ella). En general, la factorización LU de una matriz no es única, como muestra el siguiente ejemplo. Sean       1 0 0 1 0 0 1 2 L1 = 2 1 0 , L2 = 2 1 0 , U = 0 0 . 3 0 1 3 1 1 0 0 Evidentemente L1 y U constituyen una factorización LU de su producto L1 U e igualmente L2 y U constituyen una factorización LU de su producto L2 U. Por otra parte, es fácil comprobar que L1 U = L2 U, por consiguiente tenemos aquí dos factorizaciones LU de la misma matriz.

Algoritmo de la factorización LU (a) Se reduce A a una forma escalonada, U, mediante una sucesión de operaciones de reemplazo progresivas si es posible. Si no es posible, la matriz A no tiene factorización LU. (b) Se colocan los elementos bajo la diagonal de unos de L de forma que la misma sucesión de operaciones elementales reduzcan L a la matriz identidad. Entonces

( E p · · · E1 ) A = U

( E p · · · E1 ) L = I.

y

De aquí se deduce A = ( E p · · · E1 )−1 U = LU. Ejemplo Calcular la factorización LU de la matriz  2 4  −4 −5 A=  2 −5 −6 0

 −1 5 −2 3 −8 1  −4 1 8 7 −3 1

La primera columna de L es la primera columna pivote de A dividida por el primer elemento: 

1  −2 L=  1 −3

0 1

0 0 1

 0 0  0 1

Claramente, las operaciones elementales que produzcan ceros en la primera columna de A también producirán ceros en la primera columna de L. Ahora intentamos hallar una forma escalonada de A utilizando solamente operaciones de reemplazo. Después de crear ceros en la primera columna, el problema ha sido reducido a uno con una fila y una columna menos: 

2  −4 A=  2 −6

4 −5 −5 0

   −1 5 −2 2 4 −1 5 −2  3 −8 1 3 1 2 −3  ∼ 0  −4 1 8 0 −9 −3 −4 10 7 −3 1 0 12 4 12 −5 10

3. Matrices y Determinantes



3 A 0 =  −9 12

3.5. Factorización de rango máximo





1 2 −3 −3 −4 10 4 12 −5

de donde

1 L 0 =  −3 4



1  −2 L=  1 −3



0 1

0 0 1

y

0 1 −3 4

0 0 1

 0 0  0 1

En el siguiente paso: 

3 A 0 =  −9 12

1 −3 4

   −3 3 1 2 −3 10 ∼ 0 0 2 1 −5 0 0 4 7

2 −4 12



A00 =

y, puesto que



A00

2 4

1 7 

=



2 4



de donde

1 7

2  −4 A= 2 −6

3.5.





∼ 4 −5 −5 0

2 0

−1 3 −4 7

L00 =



1 2

0 1

1  −2 L=  1 −3

 y

0 1 −3 4

0 0 1 2

 0 0  0 1

 1 , tenemos: 5 5 −8 1 −3

−2 2 1 0 ∼ 0 8 1 0





4 3 0 0

−1 1 0 0

5 2 2 0

−2 −3 =U 1 5



Rango de una matriz y factorización de rango máximo

Se llama rango de una matriz A, y se denota ran( A), al número de pivotes de A (es decir, el número de filas no nulas o de elementos principales en cualquier forma escalonada de A): Rango de una matriz.

ran( A) = número de pivotes de A. Como los distintos pivotes están en distintas filas, el rango de una matriz es siempre menor o igual al número de filas de la matriz. Análogamente, como los distintos pivotes están en distintas columnas, el rango de una matriz es siempre menor o igual al número de columnas de la matriz. En consecuencia, si A es una matriz m × n de rango r, su rango es siempre menor o igual que el mínimo de m y n: r ≤ m´ın(m, n). En consecuencia, decimos que A tiene rango máximo si su rango verifica: Matriz de rango máximo. r = m´ın(m, n) En la matriz (ampliada) de un sistema de ecuaciones lineales compatible no hay ningún pivote en la columna de los términos independientes por tanto su rango es igual al de la matriz de coeficientes. Por otra parte, el sistema será determinado si y sólo si ese rango es igual al número de incógnitas. Se llama factorización de rango máximo de una matriz A a toda descomposición de A como producto de dos matrices, A = MN, de tal forma que M y N sean matrices de rango máximo y ambas con el mismo rango que A. Veremos a continuación que el cálculo de la forma escalonada reducida nos ofrece sin más cálculos una factorización de rango máximo de cualquier matriz no nula. Evidentemente la factorización de rango máximo de una matriz no es única, pues si A = MN es una factorización de rango máximo de una matriz no nula de rango r, para cualquier matriz inversible r × r, B, A = ( MB)( B−1 N ) es también una factorización de rango máximo de A. 11

3.5. Factorización de rango máximo

3. Matrices y Determinantes

La factorización de rango máximo proporcionada por la forma escalonada reducida Para una matriz cualquiera A, de m filas, n columnas y rango r < m´ın(m, n), sea M la matriz formada por sus columnas pivote y sea N la matriz formada por las filas no nulas de su forma escalonada reducida. El número de columnas de M es igual al rango de A y lo mismo ocurre con el número de filas de N ya que la forma escalonada reducida tiene exactamente una fila no nula por cada pivote de A. En consecuencia se puede multiplicar M por N y el resultado es una matriz m × n. Ejemplo.

Sea A la matriz 

 −2 −6 6 4 6  0 0 1 2 0 . A=  0 0 0 3 9 1 3 −3 −2 −3 Calculamos su forma escalonada reducida:  1 0 A −−−−−−−→  0 F4 − F1 0 1 3 F3

− 12 F1

3 0 0 0

−3 1 0 0

−2 2 1 0

F2 − 2F3 1 −3 0  F1 + 2F3  0 −−−−−−−→  0 3  F + 3F 2 1 0 0





3 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

−15 −6  . 3 0



Las columnas pivote de A son la primera, tercera y cuarta, por tanto las matrices M y N son     −2 6 4 1 3 0 0 −15   0 1 2 −6 . , y N = 0 0 1 0 M=  0 0 3 0 0 0 1 3 1 −3 −2 El producto de M y N es:   −2 6 4  1 3 0 0  0 1 2  0 0 1 0 MN =   0 0 3 0 0 0 1 1 −3 −2

   −2 −6 6 4 6 −15  0 0 1 2 0 . −6 =   0 0 0 3 9 3 1 3 −3 −2 −3

¿Por qué es el resultado de este producto igual a la matriz A de partida? La explicación es muy sencilla. Por un lado, al multiplicar M por una cualquiera de las columnas pivote de N (que son columnas de una matriz identidad) da como resultado la correspondiente columna pivote de A. Esto explica por qué se recuperan las columnas pivote y colocadas en su sitio. Pero también es claro que cada columna no pivote de N consiste en los coeficientes que necesitamos en una combinación lineal de las columnas pivote de A para que el resultado sea la correspondiente columna no pivote de A. En consecuencia, el cálculo de la forma escalonada reducida de una matriz nos proporciona una factorización de rango máximo de esa matriz: Toda matriz de rango r > 0 es igual al producto de la matriz formada por sus columnas pivote por la matriz formada por las filas no nulas de su forma escalonada reducida. Ejemplo.

La matriz 

1 A = 0 1

2 2 2 12

3 4 3

 4 6 4

3. Matrices y Determinantes

3.6. Matrices por bloques

tiene claramente rango 2 y sus dos primeras columnas son linealmente independientes, por lo tanto se tiene      1 2 3 4 1 2  1 0 x1 y1 A = 0 2 4 6 = 0 2 0 1 x2 y2 1 2 3 4 1 2     x1 y1 donde las columnas e son respectivamente las soluciones (¡únicas!) de los sistemas x2 y2 

1 0 1

   3 2   x 1 2 = 4 , x2 2 3 

Resolviéndolos:

3.6.

1 0 1

2 2 2

3 4 3



   2   4 y 1 2 = 6 . y2 2 4

1 0 1

  4 1 6 = 0 4 1

 2  1 2 0 2

0 1

 −1 −2 . 2 3

Matrices por bloques

En la introducción de matrices como tablas de números que representaban sistemas de ecuaciones y en el método de las operaciones elementales para su resolución predominaba la idea de matriz como conjunto de filas, una para cada ecuación. Por otra parte, la definición del producto de matrices y de la matriz traspuesta se ha basado en considerar una matriz como un conjunto ordenado de columnas y no simplemente como un rectángulo de números. En otras palabras, hemos estado considerando una matriz como una fila de matrices columna. Esto se podría llamar “una descomposición de una matriz en bloques-columna”. En esta sección vamos a ver que la descomposición de las matrices en otros tipos de bloques puede ser enormemente útil. En general, podemos partir tanto las filas como las columnas de una matriz m × n, A, para obtener una descomposición de A en submatrices A I J , donde I = 1, 2, . . . , p y J = 1, 2, . . . , q:  A=

   

A11 A21 .. . A p1

A12 A22 .. . A p2

...

A1q A2q .. . A pq

n1

n2

...

nq

... ...

    

m1 m2 .. . mp

donde la submatriz A I J tiene m I filas y n J columnas, es decir tamaño m I × n J . Esta descomposición se llama descomposición por bloques de la matriz A. Los números m1 , m2 , . . . , m p y n1 , n2 , . . . , nq que indican los tamaños de los bloques verifican, evidentemente, que m1 + m2 + · · · + m p = m

y

n1 + n2 + . . . nq = n.

La submatriz A I J es el bloque I J de esta descomposición por bloques de A.

Operaciones con matrices por bloques Lo interesante de operar con matrices por bloques es que podemos actuar como si cada bloque fuese un número. Entonces las operaciones con matrices por bloques se reducen a las operaciones con matrices que ya conocemos, excepto que hay que asegurarse de que cuando vayamos a sumar o multiplicar dos bloques sus tamaños sean compatibles para la operación que queremos realizar. 13

3.6. Matrices por bloques

3. Matrices y Determinantes

Multiplicación por escalares El caso de multiplicación de una matriz por bloques por un escalar no ofrece dificultad ya que todo bloque, independientemente de su tamaño, se puede multiplicar por cualquier número. Suma de matrices por bloques Para poder sumar dos matrices por bloques, es necesario no sólo que sean matrices del mismo tamaño sino también que estén divididas en bloques de la misma forma de tal manera que bloques correspondientes sean del mismo tamaño y se puedan sumar. Producto de matrices por bloques Para hallar el producto AB de dos matrices por bloques se puede usar la regla usual de “fila por columna” siempre que el número de bloques en cada “fila de bloques” de A sea igual al número de bloques en cada “columna de bloques” de B y además que los bloques en esa fila de bloques de A sean compatibles para multiplicación por los bloques de la columna de bloques de B. Una de las consecuencias de la multiplicación de matrices por bloques es la siguiente alternativa a la regla “fila por columna” para la multiplicación de matrices: Regla columna por fila: Sean a1 , . . . , an las columnas de A y sean b1 , . . . , bn las filas de B. Entonces el producto matricial a1 b1 es una matriz con tantas filas como A y tantas columnas como B. Lo mismo ocurre con los demás productos ai bi y el producto de matrices AB es igual a la suma: AB = a1 b1 + · · · + an bn Ejemplo.

Sea  A=

A1 A3

A2 A4



una matriz cuadrada de orden 2n descompuesta en cuatro bloques n × n, A1 , A2 , A3 , A4 . Se trata de encontrar una matriz   P1 P2 P= P3 P4 con P1 , P2 , P3 , P4 bloques n × n, verificando que el producto PA intercambie la primera y la segunda fila de bloques de la matriz A, es decir, tal que  PA =

A3 A1

 A4 . A2

Dado que el intercambio de filas es una operación elemental, basta realizar esta operación sobre la matriz identidad por bloques:     I 0 0 I , P= 0 I I 0 Efectuando el producto PA por bloques obtenemos P1 A1 + P2 A3 = 0A1 + I A3 = A3 P1 A2 + P2 A4 = 0A2 + I A4 = A4 P3 A1 + P4 A3 = I A1 + 0A3 = A1 P3 A2 + P4 A4 = I A2 + 0A4 = A2 y se verifica lo pedido. 14

3. Matrices y Determinantes

3.6. Matrices por bloques

5 Ejercicio de tarea. En las condiciones del ejemplo anterior hállense: (a) Una matriz P tal que PA sea igual al resultado de multiplicar la primera fila de bloques de A por la izquierda por una matriz inversible X de orden n. (b) Una matriz P tal que PA sea igual al resultado de sumar a la segunda fila de bloques de A la primera fila de bloques multiplicada por la izquierda por una matriz cuadrada X de orden n.

Inversa de una matriz por bloques En general no es sencillo calcular la inversa de una matriz por bloques realizando solamente operaciones por bloques, pero hay un caso especial en el que sí es posible: Es el caso de una matriz partida en 2 × 2 bloques, que sea triangular por bloques y tal que los bloques en la diagonal sean cuadrados. Sean A y C matrices cuadradas (no necesariamente del mismo tamaño) y sea B una matriz con el mismo número de filas que A y el
mismo número de columnas que C, de forma que se puede formar la matriz por bloques A0 CB , que resulta ser una matriz cuadrada. Entonces 

A 0

B C

 −1



=

A −1 0

 − A−1 BC −1 . C −1

(3.3)

Es sencillo demostrar la fórmula (3.3) por medio de la multiplicación directa, es decir, calculando el producto  −1   A − A−1 BC −1 A B . 0 C 0 C −1 6 Ejercicio de tarea. Usando las propiedades de la traspuesta deduce la siguiente fórmula a partir de (3.3):   −1   A 0 A −1 0 = . (3.4) B C −C −1 BA−1 C −1 7 Ejercicio de tarea. Usa las fórmulas (3.3) y (3.4) según convenga para calcular la siguiente matriz inversa:  −1  1 2 −2 0 0 3 7 3 0 0   0 0 1 0 0   . 1 2 −1 2 1 3 2 5 3 2  7   −3 0  13 −27

Solución:  

−2 1 0 −4 8

20 −9 1 45 −91

0 0 0 2 −3

 0  0 0  −1 2

Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen en esta sección: Enlaces: Ejercicio 5, Ejercicio 6, Ejercicio 7. 15

3.7. Determinantes

3. Matrices y Determinantes

3.7.

Determinantes

3.7.1.

Definición de determinante

Para calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden n tenemos que saber elegir n elementos de la matriz de forma que tomemos solo un elemento de cada fila y de cada columna como se ilustra en la siguiente figura:       

2 7 7 8 6

1 6 9 0 3

3 8 5 6 9

4 9 3 4 7

5 0 1 2 4

    .  

(3.5)

Además, hacer una elección de elementos de esta forma no es suficiente. Hay, en general, muchas formas de elegir n elementos de forma que se cumpla dicha condición y es necesario realizar todas las elecciones posibles. Ejercicio (a) ¿Cuál es el número total de dichos productos en una matriz de tamaño 3 × 3? (b) ¿Cuál es la fórmula general que nos da el número de dichos productos para una matriz de orden n? Solución: (a) 6. (b) n!

Para cada elección de n elementos elegidos como se ha dicho, tenemos que hallar el producto todos ellos y volver a elegir otros n elementos tomando sólo uno de cada fila y uno de cada columna y hallar su producto y así sucesivamente.

Definición de determinante.

Definición. El determinante de una matriz cuadrada es la suma equilibrada de todos esos posibles productos que se pueden formar eligiendo un elemento de cada fila de forma que estén todos en distintas columnas.

Significado de “suma equilibrada”.

¿Qué es una “suma equilibrada”? La expresión “suma equilibrada” en la definición de determinante significa que cada uno de esos productos va multiplicado por +1 o por −1 según cómo se hayan elegido los factores. Concretamente, cada uno de esos productos va multiplicado por (−1) p siendo p el número de intercambios de filas y columnas que sean necesarios para colocar todos los factores de ese producto en la diagonal. Por ejemplo, para el producto de los elementos elegidos en (3.5), el número de intercambios de filas o columnas es p = 3 ya que se necesitan tres intercambios: 

1

2

3

4

5

6  9  0

7

8

9

0

7

5

3

8

6

3

6

9





6

7

1  9  0

3

4

7

5

3

4

  F1 ↔ F2  −−−−−−→  2 

2

1

8

6

4

7

4

3

6

9

7



8

9

0



5

    2  1

4



6

7

8

9

0

1 F3 ↔ F5  −−−−−−→  3 0

2

3

4

5

6

9

7

8

6

4

  F4 ↔ F5 4   −−−−−−→ 2 

9

7

5

3

1

16





6

7

8

9

0

1  3  9

2

3

4

5

6

9

7

7

5

3

  4   1 

0

8

6

4

2

3. Matrices y Determinantes

3.7. Determinantes

por lo tanto el sumando correspondiente a esta elección de elementos es:

(−1)3 × 6 × 2 × 9 × 3 × 2. Si todos los factores se han elegido sobre la diagonal, p = 0 y el producto va multiplicado por (−1)0 = 1. El ejemplo típico de esto es el de cualquier matriz identidad. En ella hay un único producto de elementos elegidos de distintas filas y columnas que no da cero: es el producto de los elementos de la diagonal. Por tanto tenemos:

Matriz identidad. orden n,

El determinante de una matriz identidad es 1. Si In es la matriz identidad de det(− In ) = (−1)n .

det In = 1 ,

Matriz diagonal. Igual que en una matriz identidad, en una matriz diagonal el producto de los elementos de la diagonal es el único producto de elementos elegidos de distintas filas y columnas que no da cero. Por lo tanto: 

d1

 0 det  .  .. 0

 ··· 0 ..  .. . .  = d1 · · · d n .  .. .. . 0 . · · · 0 dn 0 .. .

Determinante de una matriz 2 × 2. El ejemplo general no trivial
más sencillo de cálculo de determinantes es el del determinante de una matriz 2 × 2, A = ac db . En este caso sólo hay dos productas posibles: ad y bc. El primero llevará signo positivo y el segundo negativo, por tanto:  det

3.7.2.

a c

b d



= ad − bc.

Consecuencias inmediatas de la definición

Determinante de la matriz traspuesta. Dado que la definición de determinante es simétrica respecto a las filas y columnas, el valor del determinante de una matriz es igual al de su traspuesta. det( AT ) = det A. Consecuencia: Toda propiedad de los determinantes enunciada en términos de filas y columnas se cumple también al sustituir cada ocurrencia de la palabra “fila” por “columna” y cada ocurrencia de la palabra “columna” por “fila”.

Matriz con una fila o columna de ceros. Si todos los elementos de una fila o de una columna son cero el determinante es cero. (Puesto que en cada uno de los productos hay un factor igual a cero.) Por ejemplo: 

a det d g

b e h 17

 0 0 = 0. 0

3.7. Determinantes

3. Matrices y Determinantes

Efecto de un intercambio de filas o columnas. Si se intecambian las posiciones de dos filas o de dos columnas de una matriz, se cambia el signo de su determinante (ya que se cambia el signo de cada sumando en la “suma equilibrada”). Consecuencia 1: Si Pjk es la matriz elemental que intercambia las filas j y k, (a) det( Pjk A) = − det A. (b) det Pjk = −1. (c) det( Pjk A) = det Pjk · det A. Consecuencia 2: Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas iguales, su determinante es cero (ya que intercambiando esas dos filas o columnas el determinante no cambia y a la vez cambia de signo). Por ejemplo:   a b a det d e d  = 0. g h g Trasladar una fila arriba o abajo o una columna a derecha o izquierda. Trasladar una fila hacia arriba atravesando k filas es colocarla justo encima del bloque formado por las k filas inmediatamente anteriores sin alterar el orden de esas k filas. Esto es equivalente a realizar k intercambios de filas y por tanto el determinante queda multiplicado por (−1)k . Lo mismo ocurre al trasladar una fila atravesando k filas hacia abajo o cuando esto se hace con columnas en lugar de filas. Si se traslada una fila a derecha o izquierda atravesando k filas o se tralada una columna arriba o abajo atravesando k columnas el determinante queda multiplicado por (−1)k . 8 Ejercicio de tarea. Usa la propiedad anterior para demostrar que si en una matriz se traslada todo un bloque de h filas a derecha o izquierda atravesando un bloque de k filas el determinante queda multiplicado por (−1)hk . Usa este resultado para calcular   0 In det . Im 0 Efecto de un reescalado de una fila o columna. Si se multiplican todos los elementos de una fila o de una columna de una matriz por un número, se multiplica su determinante por ese número. Consecuencia 1: Si Eλ es una matriz elemental de reescalado por el escalar λ, (a) det( Eλ A) = λ det A. (b) det Eλ = λ. (c) det( Eλ A) = det Eλ · det A. Consecuencia 2: Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas que son una múltiplo de la otra, su determinante es cero (ya que es un múltplo del determinante de una matriz con dos filas o columnas iguales). Por ejemplo: 

a det d g

b e h

  3a a 3d  = 3 det d 3g g

b e h

 a d  = 0. g

Múltiplo escalar de una matriz. Si una matriz cuadrada de orden n la multiplicamos por un número p, todas las columnas quedan multiplicadas por p, luego el determinante de la matriz queda multiplicado por p n veces, es decir, el determinante queda multiplicado por pn . Esta propiedad nos permite contestar a la siguiente pregunta: 18

3. Matrices y Determinantes

Ejercicio:

5  0 Sea A =   −5 0

−7 3 −8 5

2 0 0 0

 2 −4 . 3 −6

Sabiendo que det A = 20

calcular

det(3A).

Solución: det(3A) = 34 × 20 = 1620



3.7. Determinantes

Matriz triangular. Si todos los elementos encima o debajo de la diagonal son cero, todos los productos en los que intervenga un elemento fuera de la diagonal son cero y el determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal. 

3.7.3.

a11

0

  a21 det   .  ..

a22 .. .

am1

am2

  ··· 0 a11  ..  ..  . .   = a11 · · · amm = det  0  ..  ..  . . 0  0 · · · amm



a21

···

a22 .. . ···

 · · · am2   ..  . .. . .  0 amm

am1

Cálculo del determinante por desarrollo de cofactores de una fila o columna

Desarrollo por la primera columna. Si queremos calcular un determinante, necesitamos formar todos los posibles productos que se pueden formar eligiendo un elemento de cada fila y de cada columna. Esto se puede hacer ordenadamente de la siguiente forma: Primero formamos todos los productos en los que aparece el primer elemento de la primera columna, a11 . La suma de todos estos productos (cada uno con su signo) es igual a a11 multiplicado por el determinante de la matriz A11 que se obtiene al eliminar en la original la primera fila y la primera columna, es decir (ver más abajo), el determinante del menor del elemento (1, 1). Después formamos todos los productos en los que interviene el segundo elemento de la primera columna, a21 . La suma equilibrada de estos productos es igual a − a21 multiplicado por el determinante de la matriz A21 que se obtiene al eliminar en la original la segunda fila y la primera columna (el menor del elemento (2, 1)). Continuando de esta manera, vemos que el determinante de la matriz se puede expresar como una suma de productos de los elementos ai1 de la primera columna, cada uno de ellos multiplicado por el determinante de una matriz de un orden menor que la dada: det A = a11 det A11 − a21 det A21 + · · · ± an1 det An1

(3.6)

Para entender perfectamente esta forma de calcular un determinante necesitamos introducir algunos conceptos: Menor de un elemento. Dada una matriz A, se llama menor del elemento que ocupa la posición (i, j) (es decir, fila i, columna j) y se denota Aij a la matriz obtenida al eliminar toda la fila i y toda la columna j de la matriz dada. Cofactor de un elemento. Dada una matriz cuadrada A, se llama cofactor del elemento que ocupa la posición (i, j) al determinante det Aij del menor de ese elemento multiplicado por +1 o −1 dependiendo de si i + j es par o impar. Así, el cofactor del elemento (i, j) de la matriz A se calcula por la fórmula: Cij = (−1)i+ j det Aij . Usando cofactores, la fórmula (3.6) se puede escribir: det A = a11 C11 + · · · + an1 Cn1 19

3.7. Determinantes

3. Matrices y Determinantes

Los cofactores de los elementos de una fila o columna nos permiten calcular el determinante de una matriz cuadrada mediante la fórmula de expansión del determinante por los cofactores de una fila o columna. La expansión del determinante de una matriz n × n, A = ( aij ) por la columna j es: det A = a1j C1j + · · · + anj Cnj La expansión del determinante de la misma matriz por la fila i es: det A = ai1 Ci1 + · · · + ain Cin

3.7.4.

Consecuencias no tan inmediatas de la definición

Efecto de descomponer una fila o columna como suma de dos. Si en una matriz cuadrada se descompone una fila o columna como suma de dos, su determinante se descompone en suma de dos (esto se demuestra desarrollando el determinante por los elementos de dicha fila o columna). Por ejemplo: 

a det d g

b e h

 c+p f + q = (c + p)C13 + ( f + q)C23 + (k + r )C33 k+r

= (cC13 +  a = det d g

f C23 + kC33 ) + ( pC13 + qC23 + rC33 )    b c a b p e f  + det d e q  . h k g h r

Efecto de sumar o restar a una fila otra fila o a una columna otra columna. Si en una matriz cuadrada se le suma o resta a una fila otra fila o a una columna otra columna, su determinante no cambia. Por ejemplo: 

a det d g

b e h

  c+b a f + e  = det d k+h g

b e h

  c a f  + det d k g

b e h

  b a e  = det d h g

b e h

 c f. k

Efecto de una operación de reemplazo de una fila o columna. Si a una fila o columna se le suma otra multiplicada por un escalar el determinante de la matriz no cambia. Por ejemplo: 

a det d g

b e h

  c + 3a a f + 3d = det d k + 3g g

b e h

 c f. k

Consecuencia: Si E es una matriz elemental de reemplazo y A es una matriz cuadrada del mismo tamaño que E, (a) det( EA) = det A. (b) det E = 1. (c) det( EA) = det E · det A. Con lo anterior se completan las consecuencias de los efectos que tiene sobre el determinante de una matriz el realizar operaciones elementales de filas. En el siguiente ejercicio se obtiene una importante propiedad de la que se obtendrán consecuencias en el ejercicio 11. 20

3. Matrices y Determinantes

9 Ejercicio de tarea. (a) Usando el hecho de que toda matriz unitriangular inferior (triangular inferior con unos en la diagonal) multiplicada por la izquierda por cualquier matriz efectúa sobre ésta una sucesión de operaciones de reemplazo de filas que no cambian el determinante, justifica que si M es una matriz unitriangular inferior entonces det( MA) = det A.

(3.7)

(b) Usa las propiedades de la traspuesta para deducir, a partir de (3.7), que si N es una matriz unitriangular superior det( AN ) = det A. (3.8) Pista: (a) M es el producto de matrices elementales de reemplazo de filas.

matriz unitriangular

3.7. Determinantes

3.7.5.

Cálculo de un determinante por reducción a forma escalonada

De las propiedades enunciadas en la sección anterior se deduce que si una matriz A se transforma, mediante operaciones elementales de filas, en una matriz escalonada U y solamente se han usado operaciones de reemplazo y de intercambio (o sea, sin usar operaciones de reescalado, lo cual, por otra parte, siempre es posible), entonces el determinante de la matriz escalonada U es igual al determinante de A multiplicado por ±1 dependiendo de si el número de operaciones de intercambio ha sido par o impar. En otras palabras, si U es una forma escalonada de A obtenida sin operaciones de reescalado y con r operaciones de intercambio, entonces det A = (−1)r det U. Al aplicar esta técnica de cálculo de un determinante no es necesario limitarse a operaciones elementales de filas. Se pueden realizar operaciones elementales de filas y de columnas mezcladas según convenga, teniendo cuidado de contabilizar en r el número total de intercambios de filas y columnas. Puesto que toda matriz cuadrada escalonada es triangular, el determinante de U es igual al producto de todos los elementos de su diagonal y en consecuencia, el determinante de A es igual a (−1)r multiplicado por todos los elementos de la diagonal de U. Si A no es inversible (es decir, es singular) entonces la matriz escalonada U tiene algún elemento de la diagonal igual a cero y en consecuencia su determinante es cero. Recíprocamente si U tiene determinante cero, algún elemento de su diagonal es cero y su número de pivotes es menor que el número de columnas. Esto implica que A es necesariamente singular, Por tanto tenemos: Proposición. cero:

Una matriz es singular (no tiene inversa) si y sólo si su determinante es igual a det A = 0

3.7.6.

si y sólo si

A es singular.

Teorema fundamental del cálculo de determinantes

Teorema. (a) De los efectos que tiene sobre el determinante de una matriz el realizar operaciones elementales de filas (véase más arriba) se deduce que para toda matriz elemental E y toda matriz A del mismo tamaño se verifica det( EA) = det E · det A.

(3.9)

(b) Del apartado (a) se deduce que si A y B son dos matrices cuadradas del mismo tamaño, det( AB) = det A · det B. 21

(3.10)

3.7. Determinantes

3. Matrices y Determinantes

Demostración: Basta demostrar (b) ya que el apartado (a) se ha justificado ampliamente más arriba. En el caso de que A no es inversible entonces AB tampoco lo es y, por la proposición de la sección anterior, ambos miembros de la ecuación son iguales a cero. Si A es inversible entonces es igual a un producto de matrices elementales: A = E1 · · · Ek y en consecuencia: det( AB) = det( E1 ) det( E2 · · · Ek B) = · · · = det E1 · · · det Ek det B = det( E1 · · · Ek ) det B = det A det B.

Corolario 1.

Si A es una matriz inversible, entonces det( A−1 ) =

1 . det A

(3.11)

Corolario 2. Si A y B son dos matrices semejantes (esto es, existe una matriz inversible, M, tal que A = MBM−1 ) entonces, det A = det B.

3.7.7.

Ejemplos de determinantes especiales

(a) Si en una matriz cuadrada de orden n todos los elementos de una columna son iguales a p, su determinante es igual a p multiplicado por un determinante de orden n − 1. Lo mismo ocurre si todos los elementos de una fila son iguales. Se resta la primera fila de cada una de las demás, con lo que la columna en cuestión se convierte en ( p, 0, . . . , 0) y ahora se desarrolla el determinante por esa columna. 

a det  d g

b e h

  p a p  = det  d − a p g−a

b e−b h−b

  p d−a 0  = (−1)1+3 p · det g−a 0

e−b h−b

 .

(b) Si en una matriz cuadrada de orden n la suma de los elementos de una fila es igual a la de los de otra fila cualquiera (todas las filas tienen la misma suma) entonces el determinante es igual a esa suma multiplicada por un determinante de orden n − 1. Para verlo, realizamos sobre la matriz original las siguientes operaciones de reemplazo: Sumamos a la primera columna todas las demás columnas, con lo cual la primera columna tiene todos los elementos iguales y estamos en la situación del ejemplo anterior. 

a det  b c

3.7.8.

b c b

  c a+b+c a  = det  a + b + c a a+b+c

b c b

  c c−b a  = ( a + b + c) det b−b a

a−c a−c

 .

Determinantes de matrices por bloques

Sean A y C matrices cuadradas (no necesariamente del mismo tamaño) y sea B una matriz con el mismo número de filas que A y el
mismo número de columnas que C, de forma que se puede formar la matriz por bloques A0 CB . Entonces 

A det 0

B C



= det A · det C. 22

(3.12)

3. Matrices y Determinantes

3.7. Determinantes

Esto es una sencilla consecuencia del teorema fundamental (ver ecuación (3.10)) combinado con la siguiente identidad:      A B A 0 I A −1 B = , 0 C 0 I 0 C pero también puede demostrarse de forma independiente del teorema fundamental usando solamente la definición de determinante. La demostración se basa en la observación de que al
formar los productos de elementos que forman el determinante de A0 CB , si en un producto determinado apareciese un elemento de B, también habría uno del bloque nulo simétrico y ese producto sería cero. Cada uno de los productos no nulos es, pues, un producto de dos factores: uno es uno de los productos que forman det A y el otro es uno de los productos que forman det C. Usando las propiedades de la traspuesta es muy sencillo deducir de (3.12) su versión “traspuesta”:   A 0 det = det A · det C. (3.13) B C La fórmula (3.12) (y análogamente la (3.13)) sigue siendo cierta en un caso más general. Supongamos que A es una matriz n × n partida en k × k bloques (no necesariamente del mismo tamaño) y tal que los bloques de la diagonal, Aii para i = 1, . . . k, son cuadrados (siendo el tamaño de Aii , pi × pi ) y los bloques debajo de la diagonal son todos matrices nulas,   A11 A12 . . . A1k  0 A22 . . . A2k    A= ..  .. .. ..  . . . . 0 ... 0 Akk Entonces el determinante de A es el producto de los determinantes de las matrices de la diagonal: det( A) = det( A11 ) · · · det( Akk ).

(3.14)

Esta fórmula puede deducirse de (3.12) por el método de inducción. 10 Ejercicio de tarea. Si A es una matriz inversible y M = tra     I 0 A A B = C D −CA−1 I 0

A B C D




es una matriz cuadrada, demues B D − CA−1 B

y usa el ejercicio 9-ecuación (3.7) para deducir de ello   A B det = det A · det( D − CA−1 B). C D Las operaciones de matrices por bloques son una poderosa herramienta para demostrar algunas fórmulas que aparentemente no tienen nada que ver con las matrices por bloques. Como ejemplo, el siguiente ejercicio demuestra la fórmula (3.10). 11 Ejercicio de tarea. El objetivo de este ejercicio es demostrar el teorema fundamental del cálculo de determinantes, det( AB) = det A · det B, usando solamente las propiedades de las operaciones de matrices por bloques. Para ello hacemos los siguientes pasos donde A, B, C y D son matrices cuadradas del mismo tamaño e I es la matriz identidad del mismo tamaño que A, B, etc.: 23

3.8. Regla de Cramer y fórmula de la matriz inversa

3. Matrices y Determinantes

(a) Demuestra que  −C − D . A B 

I I

0 I



I 0

−I I



A C

B D



= det

−I I



I 0

B D



A C

Pista: Calcula el producto

 det



(b) Usa el resultado anterior combinado con (3.13) (supuesto demostrado independientemente del teorema fundamental) para deducir   A B det = det(−C ) det B. C 0 (c) Usa la multiplicación de matrices por bloques para comprobar la identidad      A 0 I B A AB = −I B 0 I −I 0 y deduce de ella, del apartado anterior y del ejercicio 9-ecuación (3.8), que   A 0 det( AB) = det . −I B (d) Combina (3.13) con el resultado anterior para deducir la fórmula buscada.

Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen en esta sección: Enlaces: Ejercicio 8, Ejercicio 9, Ejercicio 10, Ejercicio 11.

3.8.

Regla de Cramer y fórmula de la matriz inversa

La regla de Cramer es un método que nos permite escribir una fórmula para cada incógnita de un sistema de ecuaciones lineales cuya matriz de coeficientes es una matriz inversible. Dichas fórmulas nos permiten calcular la solución de dicho sistema por medio de determinantes. Para explicar la fórmula que corresponde a cada incógnita es necesario comprender una operación especial que se puede realizar sobre una matriz de m filas y que consiste en sustituir una columna determinada por un vector dado de Rm .

La operación de sustituir una columna de una matriz por un vector dado Supongamos que A es una matriz de m filas y n columnas, y que b es un vector de Rm . Denotamos A( j←b) la matriz obtenida a partir de A al sustituir la columna j de A por el vector b. Por ejemplo, si     1 0 a A = 2 4 y b = b 5 9 c entonces



A (1← b )

a = b c

 0 4, 9



A (2← b )

1 = 2 5

 a b. c

En relación con esta operación de matrices el cálculo de determinantes tiene las siguientes propiedades: 24

3. Matrices y Determinantes

3.8. Regla de Cramer y fórmula de la matriz inversa

(a) Si x es el vector de componentes ( x1 , . . . , xn ), entonces
det I( j←x) = x j . Por ejemplo:  Si

 x1 x =  x2  , x3



det I(3←x)

entonces




1 0 = det  0 1 0 0

  x1 1 x2  = x3 det 0 x3

0 1



= x3 .

(b) Para cualquier vector x ∈ Rn , el producto de A por la matriz I( j←x) es: A I( j←x) = A( j← Ax) . Por ejemplo: 

A I( j←x)

1 = 2 5

 0  1 4 0 9

x1 x2



       1 1 x1 = A A = 2 Ax = A(2← Ax) 0 x2 5

Combinando esta propiedad con la anterior deducimos:
det A( j← Ax) = x j det A.

(3.15)

(c) Si A es una matriz cuadrada de orden n y e j es la columna j de la matriz identidad In , entonces el cofactor del elemento ( j, i ) de A es:
Cji = det A(i←e j ) . Por ejemplo, 

1 A = 2 5

Si

 3 7 6

0 4 9



entonces

A (3← e2 )

1 = 2 5

0 4 9

 0 1 0

y por tanto 

det A(3←e2 )




1 = det  2 5

0 4 9

  0 1 2+3  1 = (−1) det 5 0

0 9



= − det A2 3 = C2 3 .

La Regla de Cramer En términos de la operación estudiada más arriba, la regla de Cramer se enuncia así: Regla de Cramer. Si A es una matriz n × n inversible y b ∈ Rn , entonces el vector x = ( x1 , . . . , xn ) cuyos elementos están definidos por:
det A( j←b) xj = det A es la solución única del sistema compatible determinado Ax = b. Demostración: Si A es una matriz inversible y Ax = b entonces A( j←b) = A( j← Ax) . Tomando determinantes y usando (3.15): det A( j←b) = x j det A. 25

3.9. Ejercicios adicionales

3. Matrices y Determinantes

Una fórmula para la matriz inversa Si A es una matriz inversible n × n, la columna j de A−1 es un vector x j que satisface el sistema de ecuaciones Ax j = e j (donde, igual que antes, usamos la notación e1 , . . . , en para las columnas de la matriz identidad de orden n). En consecuencia, por la regla de Cramer, x j está dado por 
   det A(1←e j ) Cj1 1  ..  .  = 1  xj =  ..  . .  det A det A
 Cjn det A(n←e j ) Ahora bien, la columna de cofactores que aparece en esta fórmula tiene por elementos los de la fila j de la matriz de cofactores de A. En conclusión, La matriz inversa de A es igual al inverso del determinante de A multiplicado por la traspuesta de la matriz de cofactores de A: T  C11 · · · C1n 1  . . ..  . .. A −1 =  .. . det A Cn1 · · · Cnn

3.9.

Ejercicios adicionales

Operaciones con matrices I 1. Dado que los vectores en Rn pueden ser considerados comomatrices n × 1, las propiedades  1 −3 5 de las traspuestas también se aplican a vectores. Sean A = y x = Calcula −2 4 3 ( Ax)T , x T A T , xx T , y x T x. ¿Está definido el producto A T x T ? I 2. Sean A una matriz 4 × 4 y x un vector en R4 . ¿Cuál es la forma más rápida de calcular A2 x: Haciendo A( Ax) o haciendo ( A · A)x?. Cuenta las multiplicaciones que hay que hacer en cada caso. En los ejercicios 3 y 4, calcula cada suma o producto si la matriz está definida. Si alguna expresión no está definida, explica por qué. Sean 



 1 2 C= , −2 1   3 5 D= , −1 4

 −1 A= , 2   7 −5 1 B= , 1 −4 −3

I 3. −2A,

2 4

0 −5

B − 2A,

AC,

CD.

I 4. A + 2B,

 E=

3C − E,

 −5 . 3

CB,

EB.

En el resto de esta serie de ejercicios y en las series que siguen, debe suponerse que cada expresión de matrices está definida. Esto es, los tamaños de las matrices (y de los vectores) involucrados “se corresponden” de manera apropiada.

26

3. Matrices y Determinantes

I 5. Calcula 3I2 − A y (3I2 ) A con  A=

4 5

 −1 . −2

3.9. Ejercicios adicionales

I 6. Calcula A − 5I3 y (5I3 ) A, con   9 −1 3 7 −6 . A =  −8 −4 1 8

En los ejercicios 7 y 8, calcula el producto AB en dos formas: (a) mediante la definición, donde Ab1 y Ab2 se calculan por separado, y (b) mediante la regla fila-por-columna para calcular AB.         −1 2 4 −2 3 −2 1 3 4, B = 0, B = I 7. A =  5 I 8. A = −3 −2 1 2 −1 2 −3 3 5

I 9. Si una matriz A es de orden 5 × 3 y el producto AB es de orden 5 × 7, ¿cuál es el orden de B? I 10. ¿Cuántas filas tiene B si BC es una matriz de orden 3 × 4?. 

I 11. Sean A

2 −3 

I 12. Sean A =

  5 4 ,yB= 1 3

2 −4

 −5 . ¿Qué valor(es) de k, si hay, hacen que AB = BA?. k

     −3 8 4 5 −2 ,B= ,yC= 6 5 5 3 1

Comprueba que AB = AC y que sin embargo B 6= C. 

   1 1 1 2 0 0 I 13. Sean A = 1 2 3 y D = 0 3 0. Calcula AD y DA. Explica cómo cambian las filas 1 4 5 0 0 5 o columnas de A cuando se multiplica por D a la derecha o a la izquierda. Halla una matriz B de orden 3 × 3, que no sea la matriz identidad o la matriz cero, tal que AB = BA. 

 3 −6 I 14. Sea A = . Construye una matriz B de orden 2 × 2 tal que AB sea igual a la matriz −1 2 cero. Las columnas de B no deben ser iguales entre sí y deben ser distintas de cero.

I 15. Sean r1 , . . . , r p vectores en Rn , y sea Q una matriz de orden m × n. Escribe la matriz [ Qr1 . . . Qr p ] como un producto de dos matrices sin usar una matriz identidad. Los ejercicios 16 y 17 tratan de matrices arbitrarias A, B y C para las cuales las sumas y productos indicados están definidos. Indica para cada una de las siguientes afirmaciones si es verdadera o falsa. Justifica tus respuestas.

I 16. (a) Si A y B son matrices de orden 2 × 2 con columnas a1 , a2 y b1 , b2 , respectivamente, entonces AB = [a1 b1 a2 b2 ]. (b) Toda columna de AB es una combinación lineal de las columnas de B usando como coeficientes los elementos de la columna correspondiente de A. (c) AB + AC = A( B + C ) 27

3.9. Ejercicios adicionales

3. Matrices y Determinantes

(d) A T + B T = ( A + B) T (e) La traspuesta de un producto de matrices es igual al producto de sus traspuestas en el mismo orden.

I 17. (a) Si A y B son matrices 3 × 3 y B = [b1 b2 b3 ], entonces AB = [ Ab1 + Ab2 + Ab3 ]. (b) La segunda fila de AB es la segunda fila de A multiplicada a la derecha por B. (c) ( AB)C = ( AC ) B (d) ( AB) T = A T B T (e) La traspuesta de una suma de matrices es igual a la suma de sus traspuestas.

I 18. Si A =



1 −2

−2 5



y AB =



−1 6

2 −9

−1 , halla la primera y la segunda columna de B. 3



I 19. Supongamos que las dos primeras columnas de B son iguales. ¿Qué puede decirse acerca de las columnas de AB (suponiendo que este producto está definido)?. ¿Por qué? I 20. Supongamos que la tercera columna de B es la suma de las primeras dos columnas. ¿Qué puede decirse acerca de la tercera columna de AB? ¿Por qué? I 21. Supongamos que la segunda columna de B es toda cero. ¿Qué puede decirse acerca de la segunda columna de AB? I 22. Supongamos que la última columna de AB es completamente cero, pero B por sí sola no tiene ninguna columna de ceros. ¿Qué puede decirse acerca de las columnas de A? I 23. Demuestra que si las columnas de B son linealmente dependientes, también lo son las columnas de AB. I 24. Supongamos que CA = In (la matriz identidad n × n). Demuestra que la ecuación Ax = 0 tiene únicamente la solución trivial. Explica por qué A no puede tener más columnas que filas. I 25. Supongamos que AD = Im , (la matriz identidad m × m). Demuestra que para todo b en Rm , la ecuación Ax = b tiene una solución. [Sugerencia: Piensa en la ecuación ADb = b.] Explica por qué A no puede tener más filas que columnas. I 26. Supongamos que A es una matriz de orden m × n y que existen matrices n × m, C y D, tales que CA = In y AD = Im . Demuestra que m = n y C = D. [Sugerencia: Piensa en el producto CAD).] I 27. Supongamos que A es una matriz de orden 3 × n cuyas columnas generan R3 . Explica cómo construir una matriz D de orden n × 3 tal que AD = I3 . En los ejercicios 28 y 29, considera los vectores en Rn como matrices n × 1. Para u y v en el producto de matrices u T v es una matriz 1 × 1, llamada producto escalar, o producto interno, de u y v. Por lo general, se escribe como un único número real sin paréntesis o corchetes. El producto de matrices uv T es una matriz de orden n × n, llamada producto exterior de u y v. Rn ,

28

3. Matrices y Determinantes

3.9. Ejercicios adicionales



   −2 a I 28. Sean u =  3 y v = b . Calcula u T v, v T u, u v T , v u T . −4 c

I 29. Si u y v están en Rn , ¿qué relación hay entre u T v y v T u? ¿Y entre u v T y v u T ? I 30. Demuestra que Im A = A cuando A es una matriz de orden m × n. Puedes utilizar el hecho de que Im x = x para todo x en Rm . I 31. Demuestra que AIn = A cuando A es una matriz de orden m × n. [Sugerencia: Usa la definición (de columnas) del producto de matrices AIn .] I 32. Halla una fórmula para ( ABx)T , donde x es un vector y A y B son matrices con los tamaños apropiados. I 33. Calcula Sk para k = 2, . . . , 6 donde 

0 0  S= 0 0 0

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

 0 0  0 . 1 0

I 34. (Para hacer con Mathematica en una práctica de laboratorio.) Describe con palabras qué pasa al calcular A5 , A10 , A20 y A30 para 

 1/6 0,5 1/3 A =  0,5 1/4 1/4 1/3 1/4 5/12

Matrices inversas 

 1 2 I 1. Sea A =  1 3 . Construye una matriz C de 2 × 3 (mediante ensayo y error) usando sólo 1 5 los números 1, −1 y 0 como elementos, de tal forma que CA = I2 . Calcula AC y observa que AC 6= I3 . 

 1 1 1 0 . Construye una matriz D de 4 × 2 usando sólo los números 1 y 0 0 1 1 1 como elementos, de tal forma que AD = I2 . ¿Es posible que CA = I4 para alguna matriz C de orden 4 × 2?. ¿Por qué sí o por qué no?.

I 2. Sea A =

En los ejercicios 3 a 6 halla las inversas de las matrices dadas.       8 6 3 2 8 5 I 3. I 4. I 5. 5 4 7 4 −7 −5



I 6.

I 7. Usa la inversa de la matriz del ejercicio 3 para resolver el sistema 8x1 + 6x2 = 2 5x1 + 4x2 = −1

I 8. Usa la inversa de la matriz del ejercicio 5 para resolver el sistema 8x1 + 5x2 = −9 −7x2 − 5x2 = 11 

I 9. Sean A =

1 5

         2 −1 1 2 3 , b1 = , b2 = , b3 = , b4 = . 12 3 −5 6 5 29

3 7

−4 −8



3.9. Ejercicios adicionales

3. Matrices y Determinantes

(a) Halla A−1 y utilízala para resolver las cuatro ecuaciones Ax = b1 , Ax = b2 , Ax = b3 , Ax = b4 (b) Las cuatro ecuaciones del apartado (a) pueden resolverse con el mismo conjunto de operaciones de fila, puesto que la matriz de coeficientes es la misma en cada caso. Resuelve las cuatro ecuaciones del apartado (a) reduciendo por filas la matriz aumentada [ A b1 b2 b3 b4 ] para hallar su forma escalonada reducida.

I 10. Usa el álgebra de matrices para mostrar que si A es inversible y D satisface AD = I, entonces D = A −1 . En los ejercicios 11 y 12, indica para cada afirmación si es verdadera o falsa. Justifica tus respuestas.

I 11. (a) Para que una matriz B sea inversa de A, ambas ecuaciones AB = I y BA = I deben ser ciertas. (b) Si A y B son matrices n × n inversibles, entonces A−1 B−1 es la inversa de AB.   a b (c) Si A = , y ab − cd = 0, entonces A es inversible. c d (d) Si A es una matriz inversible n × n, entonces la ecuación A x = b es compatible para toda b en Rn . (e) Toda matriz elemental es inversible.

I 12. (a) Un producto de matrices n × n inversibles es inversible, y la inversa del producto es el producto de sus inversas en el mismo orden. (b) Si A es inversible, entonces la inversa de A−1 es la propia A.   a b (c) Si A = , y ad = bc, entonces A no es inversible. c d (d) Si A se puede reducir por filas a la matriz identidad, entonces A es inversible. (e) Si A es una matriz inversible n × n, entonces las operaciones elementales de filas que reducen A a la identidad In también reducen A−1 a In .

I 13. Sea A una matriz inversible de n × n y sea B una matriz n × p. Demuestra que la ecuación AX = B tiene una única solución A−1 B. I 14. Sea A una matriz inversible n × n, y sea B una matriz n × p. Explica por qué A−1 B puede calcularse mediante reducción por filas: Si

[ A B] ∼ · · · ∼ [ I X ] entonces X = A−1 B

Observación: Si A tiene orden más grande que 2 × 2, entonces la reducción por filas de [ A B] es mucho más rápida (requiere menos operaciones) que calcular A−1 y luego el producto A−1 B.

30

3. Matrices y Determinantes

3.9. Ejercicios adicionales

I 15. Supongamos que AB = AC, donde B y C son matrices n × p y A es inversible. Demuestra que B = C. ¿Es esto cierto en general si A no es inversible? I 16. Supongamos ( B − C ) D = 0, donde B y C son matrices m × n y D es inversible. Demuestra que B = C. I 17. Supongamos que A, B y C son matrices inversibles n × n. Demuestra que ABC también es inversible construyendo una matriz D tal que ( ABC ) D = I y D ( ABC ) = I. I 18. Supongamos que A y B son matrices n × n, y que AB es inversible. Demuestra que A y B son inversibles. Sugerencia: Pon C = AB deduce qué se debe multiplicar a derecha/izquierda de C −1 para obtener las inversas requeridas y luego demuestra que efectivamente son las inversas requeridas...

I 19. Despeja A en la ecuación AB = BC suponiendo que A, B y C son cuadradas y que B es inversible. I 20. Supongamos que P es inversible y A = PBP−1 . Halla B en términos de A. I 21. Si A, B y C son matrices inversibles n × n, la ecuación C −1 ( A + X ) B−1 = In ¿tiene alguna solución para X? Si es así, hállala. I 22. Supongamos que A, B y X son matrices n × n con A, X, y A − AX inversibles, y supongamos que ( A − AX )−1 = X −1 B (3.16) (a) Explica por qué B es inversible. (b) Resuelve la ecuación (3.16) en X. Si es necesario usar la inversa de una matriz, explique por qué dicha matriz es inversible.

I 23. Explica por qué las columnas de una matriz A de n × n son linealmente independientes cuando A es inversible. I 24. Explica por qué las columnas de una matriz A de orden n × n generan Rn cuando A es inversible. I 25. Supongamos que A es n × n y que la ecuación A x = 0 tiene solamente la solución trivial. Explica por qué A tiene n columnas pivote y es equivalente por filas a In . Observación: Esto implica que A debe ser inversible.

I 26. Supongamos que para una matriz cuadrada A de orden n la ecuación Ax = b tiene una solución para todo b en Rn . Explica por qué A debe ser inversible. Sugerencia: Piensa si A es equivalente por filas a In

Los ejercicios 27 y 28 demuestran el teorema que dice:   a b Si A = entonces A es inversible sólo si ad − bc 6= 0 y en ese caso su inversa es c d   1 d −b −1 A = . a ad − bc −c

I 27. Demuestra que si ad − bc = 0, entonces la ecuación Ax = 0 tiene más de una solución. ¿Por qué implica esto que A no es inversible?  Sugerencia: Primero, considera el caso a = b = 0. Después, si a y b no son ambos cero, considera el vector x =

31

−b a

 .

3.9. Ejercicios adicionales

3. Matrices y Determinantes

I 28. Demuestra que si ad − bc 6= 0, la fórmula para A−1 es correcta. Halla las inversas de las matrices dadas en los ejercicios 31 a 34, caso de que existan. Usa el algoritmo explicado en clase consistente en hallar la forma escalonada reducida de la matriz ampliada [ A I ]. 

I 29.

1 4



2 7

1 I 31.  −3 2





I 30. 0 1 −3

 −2 4 4

5 4

10 7



1 I 32.  4 −2



 −2 1 −7 3 6 −4

I 33. Usa el algoritmo explicado en clase para hallar las inversas de     1 0 0 0 1 0 0   1 1 0 y 1 1 0 0. 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 Para cada una de las inversas halladas verifica que efectivamente es la inversa comprobando que cumple AB = I. 

 −2 −7 −9 5 6 . Halla la tercera columna de A−1 sin calcular las otras columnas. I 34. Sea A =  2 1 3 4 

1 I 35. Si existe, halla la inversa de la matriz A =  −1 5

3.9.1.

 −2 −1 5 6 −4 5

Operaciones elementales realizadas mediante matrices elementales

Los siguientes dos ejercicios demuestran casos especiales de las propiedades de las matrices elementales. Aquí A es una matriz 3 × 3 e I = I3 .

I 1. Usa la ecuación filai ( AB) = filai ( A) · B para demostrar que para i = 1, 2, 3, filai ( A) = filai ( I ) · A.

I 2. Demuestra que si las filas 1 y 2 de A se intercambian, entonces el resultado es igual a EA, donde E es la matriz elemental formada al intercambiar las filas 1 y 2 de I. I 3. Demuestra que si la fila 3 de A se multiplica por 5, entonces el resultado es igual a EA, donde E es la matriz elemental formada al multiplicar la fila 3 de I por 5. I 4. Demuestra que si la fila 3 de A es reemplazada por fila3 ( A) − 4 fila1 ( A), el resultado es igual a EA, donde E es la matriz elemental formada a partir de I al reemplazar la fila 3 de I por fila3 ( I ) − 4 fila1 ( I ). 32

3. Matrices y Determinantes

3.9. Ejercicios adicionales

Determinantes En los siguientes enunciados se utilizan las barras verticales para representar un determinante, es decir, se usa la notación | A| = det A. En el caso del determinante de una matriz dada explícitamente por sus elementos las barras verticales sustituyen a los paréntesis que normalmente delimitan los elementos de la matriz. Cada una de las ecuaciones que aparecen en los ejercicios 1 a 4 ilustra una propiedad de los determinantes. Enuncia la propiedad que corresponda. 1 −3 2 −6 1 −3 0 2 4 6 5 −2 5 −2 5 −2 = 2 3 5 −2 6 = − 0 I 2. 3 I 1. 1 −3 4 −1 1 6 3 1 6 3 4 −1 8 8 1 1 2 3 2 3 1 3 −4 3 −4 1 5 −4 5 −4 = 0 5 0 −3 = 0 −6 I 4. 0 I 3. 2 5 −4 0 1 −5 3 7 4 5 −4 7 7

En los ejercicios 5 a 9 halla los determinantes indicados mediante reducción a forma escalonada. 1 3 0 4 1 5 −3 5 −6 −2 −5 1 7 4 3 4 I 7. I 6. 3 −3 I 5. −1 −4 3 5 2 1 2 13 −7 −2 −7 9 1 −1 2 −3 1 −1 −3 1 0 3 3 −4 0 0 1 5 4 1 2 −5 I 9. I 8. − 1 2 8 5 2 5 4 − 3 3 −1 −2 −3 −7 −5 3 2 Halla los determinantes de los ejercicios 10 a 17 mediante un desarrollo por cofactores en la fila o columna según te parezca mejor. Indica claramente cuál es la fila o columna utilizada. 1 2 −4 0 3 3 5 3 5 1 0 4 1 1 3 2 0 1 2 I 12. 3 I 13. 2 I 11. 4 −3 I 10. 2 3 1 0 2 4 1 4 −1 4 2 5 −1 4 8 5 −2 2 1 6 3 −4 4 3 0 3 −5 5 2 0 3 0 5 I 17. 4 I 16. 6 I 14. 4 I 15. 0 3 −2 5 2 −4 9 7 3 5 7 1 6

Para cada una de las matrices dadas en los ejercicios 18 a 20 halla una forma escalonada sin utilizar operaciones de reescalado. Realiza el menor número posible de operaciones e indica claramente el número de intercambios de filas utilizado y el valor del determinante de la matriz original.       6 0 0 5 1 −2 5 2 3 5 −8 4 1 0 0 −2 7 2 −5 0 3 0 3 −7    I 18.  I 19.  I 20.  2     0 0 0 2 −6 −7 5 0 0 1 5 8 3 1 8 5 0 4 4 0 0 0 2 Halla los determinantes de los ejercicios 21 a 26 combinando los métodos de la traspuesta, reducción por filas y desarrollo por cofactores, según sea más apropiado. 33

3.9. Ejercicios adicionales 2 3 I 21. −6 4 −3 1 I 24. −3 3

5 0 0 10

−3 −1 1 −3 −4 9 −4 −1

−2 1 3 0 4 −2 −4 0

−4 −3 8 4

3. Matrices y Determinantes −1 3 I 22. 5 4 4 0 I 25. 7 5 0

2 4 4 2 0 0 3 0 0

2 5 4 4 7 6 I 23. 6 − 2 − 4 −6 7 7 6 3 2 −5 9 0 − 4 0 6 −8 I 26. 8 −5 3 0 0 −3 4 2 3 2

1 2 0 0

0 0 6 3

3 3 6 4

−7 3 2 0 −6 4 5 2 9 −1

4 1 7 0 2

0 0 1 0 0



 a b c Halla los determinantes de los ejercicios 27 a 32 sabiendo que det  d e f  = 7. g h i b c a a b c a 3b c a b c e f I 30. h i g I 29. g h i I 28. d 3e f I 27. d e f d d e f g 3h i 5g 5h 5i a a + d b + e 2( c + f ) b c e 2f I 31. 2d + a 2e + b 2 f + c I 32. d g g h i h 2i

I 33. Usa determinantes para establecer cuáles de las siguientes matrices son inversibles:       3 −9 4 −9 6 −9 (a) (b) (c) 2 6 0 5 −4 6

Utiliza determinantes para averiguar si las matrices dadas en los ejercicios 34 a 36 son inversibles.       2 0 0 8 2 3 0 5 0 −1 1 −7 −5 0  I 34. 1 3 4 I 35. 1 −3 −2 I 36.  3 8 6 0 1 2 1 0 5 3 0 7 5 4

Utiliza determinantes para averiguar si los conjuntos de vectores dados en los ejercicios 37 a 39 son linealmente independientes. 

     4 −7 −3 I 37.  6,  0, −5 −7 2 6 

 3  5  I 39.   −6, 4



 2  −6  ,  0 7



     7 −8 7 I 38. −4,  5,  0 −6 7 −5



   −2 0  −1  0  ,    3  0 0 −3

Halla los determinantes de las matrices elementales dadas en los ejercicios 40 a 45. 34

3. Matrices y Determinantes 

0 1 k



 0 0 1 0 0 1

1 I 40. 0 0 1 I 41. 0 k

 0 0 1

3.9. Ejercicios adicionales 

 0 0 1 0 0 1



0 k 0

k I 42. 0 0 1 I 43. 0 0

 0 0 1



1 0 0

 0 0 1



0 1 0

 1 0 0

0 I 44. 1 0 0 I 45. 0 1

Usa los ejercicios 40 a 45 para contestar razonadamente las preguntas 46 y 47 siguientes.

I 46. ¿Cuál es el determinante de una matriz elemental de reemplazo de filas? I 47. ¿Cuál es el determinante de una matriz elemental escalonada con el número k en la diagonal? En los ejercicios 48 a 51, comprueba   que det( EA) = (det E)(det A), donde E es la matriz a b elemental que se muestra y A = . c d         0 1 1 0 1 k 1 0 I 48. I 49. I 50. I 51. 1 0 0 k 0 1 k 1 

I 52. Sea A =



I 53. Sean A =

 1 . Calcula 5A. ¿Es det(5A) = 5 det A? 2

3 4 a c

b d

 y k un número. Halla una fórmula que relacione det(kA) con k y det A.

I 54. Sea A es una matriz n × n. Para cada una de las siguientes afirmaciones indica si es verdadera o falsa. Justifica tus respuestas. (a) Un determinante de una matriz n × n está definido por determinantes de submatrices de orden (n − 1) × (n − 1). (b) El cofactor (i, j) de una matriz A es la matriz Aij que se obtiene al eliminar de A su i-ésima fila y su j-ésima columna. (c) El desarrollo por cofactores de A bajando por una columna da un resultado opuesto al que se obtiene mediante el desarrollo por cofactores a lo largo de una fila. (d) El determinante de una matriz triangular es la suma de los elementos de la diagonal principal.     3 1 yv= . Calcula el área del paralelogramo cuyos vértices son 0, u, v, y 0 2   3 1 u + v. Halla el determinante de la matriz [u v] = . ¿Qué diferencia hay entre los dos 0 2 resultados? Reemplaza el primer elemento de v por un número indeterminado x, y repite el problema. Haz un dibujo que explique tus resultados.

I 55. Sean u =

35

3.9. Ejercicios adicionales

3. Matrices y Determinantes

    a c I 56. Sean u = yv= donde a, b y c son positivos (por simplificar). Calcula el área del b 0 paralelogramo cuyos vértices son u, v, u + v, y 0. Halla los determinantes de las matrices [u v] y [v u]. Haz un dibujo que explique tus resultados. En los ejercicios 57 y 58, A y B son matrices n × n. Indica para cada enunciado si es verdadero o falso. Justifica tus respuestas.

I 57. (a) Una operación de reemplazo de filas no afecta al determinante de una matriz. (b) El determinante de A es el producto de los pivotes presentes en cualquier forma escalonada U de A, multiplicado por (−1)r , donde r es el número de intercambios de fila realizados durante la reducción por filas de A a U. (c) Si las columnas de A son linealmente dependientes, entonces det A = 0. (d) det( A + B) = det A + det B.

I 58. (a) Si se realizan dos intercambios sucesivos de fila, entonces el nuevo determinante es igual al determinante antiguo. (b) El determinante de A es el producto de los elementos diagonales de A. (c) Si det A es cero, entonces dos filas o dos columnas son iguales, o una fila o una columna es cero. (d) det A T = (−1) det A. 

1 I 59. Halla det B5 , donde B = 1 1

0 1 2

 1 2. 1

I 60. Utiliza las propiedades de los determinantes sobre cómo les afectan las operaciones elementales por filas para demostrar que si dos filas de una matriz cuadrada A son iguales, entonces det A = 0. Esto se cumple también para dos columnas. ¿Por qué? I 61. Demuestra que si A es inversible, entonces det A−1 =

1 . det A

I 62. Halla una fórmula para det(rA) cuando A es una matriz n × n. I 63. Sean A y B matrices cuadradas. Demuestra que aunque AB y BA no sean iguales, siempre es cierto que det( AB) = det( BA). I 64. Sean A y P matrices cuadradas, con P inversible. Demuestra que det( PAP−1 ) = det A. I 65. Sea U una matriz cuadrada tal que U T U = I. Demuestra que det U = ±1. I 66. Supongamos que A es una matriz cuadrada tal que det( A4 ) = 0. Explica por qué A no puede ser inversible. Comprueba que det( AB) = (det A)(det B) para las matrices de los ejercicios 67 y 68. 36

3. Matrices y Determinantes 

I 67. A =

3 6

 0 , 1

 B=

2 5

3.9. Ejercicios adicionales 0 4





I 68. A =

3 −1

 6 , −2

 B=

4 −1

2 −1



I 69. Sean A y B matrices 3 × 3, con det A = 4 y det B = −3. Utiliza las propiedades de los determinantes para calcular: (a) det( A5 )

(b) det(5A)

(c) det( B T )

(d) det( A−1 )

(e) det( A3 )

I 70. Sean A y B matrices de 4 × 4, con det A = −1 y det B = 2. Halla: (b) det( B5 )

(a) det( AB)

(c) det(2A)

(d) det( A T A)

I 71. Comprueba que det A = det B + det C, donde     a+e b+ f a b A= , B= , c d c d I 72. Demuestra que det A = det B + det C, donde    a b u1 + v1 a A =  c d u2 + v2  , B = c e f u3 + v3 e

b d f

 u1 u2  , u3

 C=

e c



a C = c e

(e) det( B − AB)

f d



b d f

 v1 v2  v3

Sin embargo, observa que A no es igual a B + C. 

I 73. Sean A =

1 0

0 1



 yB=

a c

 b . Demuestra que det( A + B) = det A + det B si, y sólo si, d

a + d = 0.

I 74. La multiplicación por la derecha por una matriz elemental afecta a las columnas de A en la misma forma en que la multiplicación por la izquierda afecta a las filas. Sea E una matriz elemental y A una matriz cuadrada del mismo orden. Utiliza el hecho evidente de que E T es otra matriz elemental, para demostrar que det( AE) = (det E)(det A)

37