CAPÍTULO I: MATRICES 1.− DEFINICIÓN Y CLASES • Una matriz es un conjunto de números dispuestos en filas y columnas. Si hay m filas y n columnas, la matriz aparecerá así:

• El elemento está situado en la fila i y en la columna j. • El número de filas y columnas recibe el nombre de dimensión de la matriz. • Si m=n se dice que la matriz es cuadrada de orden n. • El número total de elementos de la matriz es . • Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar coinciden en su valor. Según la forma de la matriz, esta puede ser: • Matriz fila: tiene una sola fila. • Matriz columna: tiene una sola columna. • Matriz cuadrada: tiene el mismo nº de filas que de columnas. • Matriz rectangular: no es cuadrada. • Matriz traspuesta: dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se designa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas. • Matriz simétrica: una matriz cuadrada es simétrica si sus elementos cumplen que (los elementos de la diagonal principal pueden tomar cualquier valor). • Matriz antisimétrica: se llama así a toda matriz cuadrada que cumple que ( los elementos de la diagonal principal son todos nulos). Atendiendo a los elementos, una matriz puede ser: • Matriz nula: todos sus elementos son cero. • Matriz diagonal: es una matriz cuadrada que tiene los elementos que no pertenecen a la diagonal principal iguales a cero. • Matriz escalar: es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales. • Matriz unidad: matriz escalar con todos los elementos de la diagonal principal iguales a uno. 1

• Matriz triangular: matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal son cero. 2.− OPERACIONES CON MATRICES. 2.1.− SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES. • Para sumar dos matrices, estas deben tener la misma dimensión. Cada elemento de la primera matriz se suma con su homólogo en la segunda . • La diferencia de matrices se defina como la suma de la primera con la opuesta de la segunda. 2.2.− PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ. • Para multiplicar una matriz por un número real, se multiplica dicho número por todos y cada uno de los elementos de la matriz. 3.− PRODUCTO DE MATRICES. 3.1.− PRODUCTO DE UNA FILA POR UNA COLUMNA.

3.2.− PRODUCTO DE DOS MATRICES. • Dos matrices son multiplicables si el número de columnas de la primera es igual al número de filas de la segunda. La matriz producto tendrá tantas filas como la primera y tantas columnas como la segunda matriz. Se multiplicarán las filas de la primera matriz por las columnas de la segunda. • El producto de matrices no tiene la propiedad conmutativa. • Dos matrices A y B son inversas si los productos A"B y B"A son iguales a la matriz unidad. • Una matriz A es regular si posee matriz inversa. A la matriz inversa de A se la designa por A−1 Ejercicios: • Dadas las matrices A y B, hallar 3 A+2 B, siendo

• Calcular el siguiente producto de matrices:

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• Realizar el mismo ejercicio con las siguientes matrices:

• Calcular las matrices A y B que son solución del siguiente sistema matricial:

CAPÍTULO II: DETERMINANTES 1.− DETERMINANTES DE SEGUNDO ORDEN. Dada la matriz cuadrada de orden dos , se llama determinante de A al número real

2.− DETERMINANTES DE TERCER ORDEN. Dada una matriz cuadrada de orden tres, su determinante se calculará mediante la regla de Sarrus.

3.− PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES. •

• Si multiplicamos una fila o una columna de una matriz cuadrada por un número real, el determinante queda multiplicado por dicho número. • El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los determinantes. • Si permutamos dos filas (dos columnas) entre sí, el determinante cambia de signo. 3

• Si una matriz tiene una fila (una columna) formada por ceros, su determinante es nulo. • Si una matriz tiene dos filas (dos columnas) iguales, su determinante es cero. • Si una matriz tiene dos filas (dos columnas) proporcionales, su determinante es cero. • Si una línea es combinación lineal de otras, el determinante es cero. • Si a una fila (una columna) se le suma otra fila, multiplicada por un número, el determinante no varía. Ejercicios: • Resuelve el siguiente determinante (resta la 1ª fila a la 2ª y a la 3ª)

• Haz una operación análoga para resolver el determinante siguiente:

4.− CÁLCULO DE UN DETERMINANTE POR EL ADJUNTO. • Dada una matriz cuadrada A, se define el adjunto del elemento aij como el determinante de la matriz resultante de eliminar la fila i y la columna j, multiplicado por (−1)i+j. Al adjunto de aij lo designaremos por Aij. • Si en una línea de una matriz cuadrada A sólo hay un elemento distinto de cero (aij), se verifica que

Ejercicios: • Aplica la anterior propiedad para resolver los siguientes determinantes: •

•

•

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5.−RANGO DE UNA MATRIZ. • Una línea, L, de una matriz depende linealmente de sus paralelas L1, L2, ..., Ln, si existen unos números reales a1,a2,..., an tales que verifican la igualdad:

Ejemplo: en la matriz

la fila segunda depende linealmente de la primera, y la columna tercera depende linealmente de la primera columna y de la segunda. • Un conjunto de líneas paralelas de una matriz es linealmente dependiente si al menos una de ellas depende linealmente de las restantes. • Un conjunto de líneas paralelas de una matriz es linealmente independiente si ninguna de ellas depende linealmente de las restantes. • En una matriz A, el número de filas linealmente independientes es igual al número de columnas linealmente independientes. A este número se le llama rango de A. 5.1.− CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ. Veamos cómo se calcula el rango de una matriz, con algunos ejemplos: • Rango de la matriz

• Rango de la matriz

Ejercicio: demostrar que, cualesquiera que sean los números reales a, b, c, las filas F1=(0,1,c), F2=(1,a,b) y F3=(0,0,1) son linealmente independientes. 6.− MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA. • La matriz inversa de una matriz cuadrada A es otra matriz A−1 tal que :

siendo I la matriz unidad. • Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se designa por adj(A), a la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento aij por su adjunto Aij. Ejercicio: 5

• Calcula la matriz adjunta de la matriz

• Calcula el producto • Calcula el • Calcula el producto • ¿Qué puedes deducir del resultado obtenido? • Si A es una matriz cuadrada regular, entonces su inversa es la matriz:

Ejemplo: vamos a calcular la inversa de la matriz

EJERCICIOS Y PROBLEMAS • Calcular los siguientes determinantes de orden dos:

• Calcular los siguientes determinantes de orden tres:

• Calcular los siguientes determinantes de orden cuatro:

• Calcular el rango de las matrices:

• Resolver la ecuación matricial BX=C , siendo las matrices:

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• Si A es la matriz , calcular la matriz • Hallar la matriz X tal que AX=B+2C, siendo las matrices:

PROBLEMAS • Dos matrices A y B son inversas y además todos sus elementos son números enteros. ¿Cuáles son los posibles valores de det(A) y de det(B)? • En una granja se venden pollos, pavos y perdices a razón de 200, 150 y 400 ptas/kg, respectivamente. En cierta semana los ingresos totales de la granja ascendieron a 570.000 ptas. Además, se sabe que la cantidad de pollo vendida superó en 100 kg a la de pavo y que se vendió de perdiz la mitad que de pavo. • Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar la cantidad vendida de cada uno. • Expresa matricialmente el problema. • Calcula el determinante de la matriz asociada al problema. • Resuelve el sistema mediante la matriz inversa. EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD • Si A y B son dos matrices cualesquiera, ¿es correcta la siguiente cadena de igualdades?

• Dadas las matrices explica si hay alguna matriz de 2º orden X, tal que . • Responde a las siguientes cuestiones: • Sea A una matriz de 3 filas y 4 columnas, y C una matriz de 2 filas y 3 columnas. ¿Qué dimensión tiene la matriz B sabiendo que existe el producto A"B"C? • Sea D una matriz tal que al multiplicarla por su traspuesta da una matriz de dimensión , y el producto es . ¿Qué dimensión tiene D? ¿Tiene D matriz inversa? • Siendo Et=(1 2 3), calcula • Responde a las siguientes cuestiones:

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• Determina para qué valores de x no existe la inversa de la matriz

• Calcula A−1 para x=2. 18 1

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