TEMA1: MATRICES Y DETERMINANTES: MATRICES: Una matriz de dimensión m x n , es una tabla formada por m filas y n columnas.  a11 a12 a13 ... a1n     a21 a22 a23 ... a2n  A  (aij ) siendo i  1,....,m A   a31 a32 a33 ... a3n    j  1,....,n  ... ... ... ... ...  a   m1 am2 am3 ... amn  mxn 1 1  2 3 A 0 2  1 3

0  4 Por ejemplo: 1  2  4 x3 Se llama Matriz Fila a la que tiene una sola fila, ejemplo: A  1 2 3  11x 4

  1   Se llama Matriz Columna a la que tiene una sola columna, ejemplo: A   0  2   3 x1 Se llama Matriz Cuadrada a la que tiene igual número de filas que de columnas.

 3 1 1    2 Ejemplo: A   2 0  3 7 14    3 x3

Diagonal secundaria Diagonal principal

Dos matrices se dicen Equidimensionales, si tienen la misma dimensión, es decir igual número de filas e igual número de columnas.  1 4 7   1 1 1 Ejemplo: A   y B 2 Son Equidimensionales  2 1 0   1  2 8   2 x3  3  2 x3 Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan en mismo lugar en ambas son iguales. Se llama matriz traspuesta de una matriz A, a la matriz A’ que se obtiene a partir de A cambiando filas por columnas:

1 2 0 Ejemplo: A    3  1 1    2 x3



1 3    A'   2  1 0 1   3x2

Se llama matriz simétrica a una matriz cuadrada que coincide con su traspuesta 1

2 4   3  2 4  2 0   

Ejemplo: A   2 

Las matrices cuadradas que tienen todo unos en la diagonal principal y cero en el resto se denominan matrices unidad y se designa por I nxn Ejemplo: I 2x 2   1 0   0 1  

I 3x3

 1 0 0     0 1 0 0 0 1  

SUMA Y RESTA DE MATRICES: Para sumar o restar matrices, éstas deben tener la misma dimensión, y se realiza sumando o restando los elementos que ocupan la misma posición. La matriz resultado tiene la misma dimensión.

 2 1  1  3 3  1  1 2 0   A  B     y B     1 0 1  2 x3   4 5 5  2 x3   3 5 4  2 x3

Ejemplo: A  

El elemento neutro para la suma y la resta es la matriz nula 0mxn formada por m filas y n columnas de ceros El elemento opuesto es  A  (aij ) mxn La suma de matrices cumple la propiedad asociativa y conmutativa.

MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ.

 2 1 0  6 2 0      K  aij mxn  k·aij mxn Ejemplo: 3     1 1 5    3 3 15  MULTIPLICACIÓN DE MATRICES: Dos matrices A y B se dice que son multiplicables, si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. Es decir A  aij mxn y B  b jk nxp y el resultado es una matriz A  B  C  cik mxp

 

 

de dimensión m x p , en el que cada elemento cik , se obtiene multiplicando la fila i de la matriz A, por la columna j de la matriz B. Ejemplo:

 1 0 1 1   Sea A   0 1 0 2  y  1 0 1 1  3x4

2  0 B 1  0 

1    2 1   1  

Entonces:

1·2  0·0  (1)·1  1·0 1·1  0·(2)  (1)·1  1·1  1 1     A  B   0·2  1·0  0·1  2·0 0·1  1·(2)  0·1  2·1    0 0   (1)·2  0·0  1·1  1·0 (1)·1  0·(2)  1·1  1·1    3x2   1 1 3x2

 

Dada una matriz A  aij

mxn

, el elemento neutro es la matriz unidad de dimensión n x n.

No toda matriz tiene inversa para la multiplicación, sólo algunas matrices cuadradas. Si una matriz cuadrada A tiene inversa se denota por A1 Dos matrices de orden n son inversas si su producto es la matriz unidad de orden n Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es una matriz inversible o regular, en caso contrario se dice que es una matriz singular.

Ejercicios:

 1 0 1   2 1 3 2 x 3

1. Dada la matriz A  

a. Indicar cual es el elemento neutro para la multiplicación y comprobarlo. b. Calcular 2·A – 3·I 2. Resolver la ecuación:

 1  1  x   1 x   3              3 2   y   y  1  2 

 1 2   1 2 1 7  3. Comprobar que la inversa de la matriz A   es A   7   3 1 3 1   2x2 7  7  1 2 0  3 0 0 1       4. Dadas las matrices A    1 1 1  ; B   1 2  ; C   1 1  Calcula:  0 1 0  1 1   1  1   3 x3  3x2  3x2 a. A · (B + C) b. 3·B – 2·C c. A + B

d. B · A e. A · B f. A · B + A · C

 3  2 1  3 0 1    Calcula: ; B    0 1  2 x2  2  1 1  2 2 x4

5. Dadas las matrices A  

a. Una matriz C tal que B + C = B , ¿cómo se llama esa matriz? b. A 2 c. A2  B 6. Un contratista quiere adquirir las cantidades requeridas de madera, ladrillo, hierro, vidrio y pintura de tres proveedores. Los precios de cada proveedor para los materiales vienen dados por la siguiente matriz:

8 5 7 2 4   A  9 4 5 2 5 9 5 6 1 5   donde cada fila se refiere a un proveedor y la columna a los materiales, en el orden dado anteriormente. El contratista quiere adquirir todos los materiales del mismo proveedor. La obra I requiere 20 unidades de madera, 4 de ladrillos, 5 de hierro, 3 de vidrio y 3 de pintura; la obra II necesita 15, 0, 8, 8 y 2 y la obra III necesita 30, 10, 20, 10 y 12 unidades respectivamente. Resumir esta información en una matriz B y formar la matriz de precios en cada obra según el proveedor y decir que proveedor debe abastecer cada obra.

7. Una empresa comercializa tres producto demandados por tres clientes. Los datos referidos a las demandas de cada cliente están en la siguiente tabla: Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Producto 1 10 8 7 Producto 2 12 12 8 Producto 3 13 15 11 La atención a los clientes se puede efectuar por dos rutas comerciales distintas en las que los costes de los productos varían de la forma siguiente: Ruta 1 Ruta 2 Precio producto 1 5 6 Precio producto 2 2 7 Precio producto 3 9 4 Para maximizar los beneficios, ¿qué ruta interesa más a la empresa? PAU (Septiembre 96) 8. Resolver la ecuación matricial AX + B = 2C siendo

2 0   A    1  1

 3 1 0  B    1 2 1

 4 1 2  C    0 0 1

CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA: A. A partir de la definición:

 2  1  x y  , debemos encontrar una matriz A1    tal que: 1 1  z t   2  1  x y   1 0  2 x  z  1 2 y  t  0           y   1 1   z t   0 1 x  z  0 y  t  1

Sea A  

Y resolviendo esos dos sistemas obtenemos

1   1  3 3 A   1 2  3  3 1

Ejercicio: Halla, si es posible, la inversa de las siguientes matrices: a.

 1 2    2 4

b.

2 3     1  1

B. Mediante el método de Gauss:

 a11  a21

Dada la matriz A  

a12   partimos de a22 

 a11 a12 1 0    y mediante las  a21 a22 0 1 

siguientes transformaciones: - Multiplicar por un número distinto de cero - Sumar o restar a una fila otra multiplicada por un número

 1 0 b11 b12  b b   donde A1   11 12   0 1 b21 b22   b21 b22 

Para llegar a 

Si en el proceso aparece en el lugar de la matriz A alguna fila nula, la matriz no tiene inversa Finalmente comprobamos que realmente es la matriz inversa

Ejercicio: Halla, por este método, la matriz inversa de la matrices del ejercicio anterior.

 1 2 2   Ejercicio: Halla la matriz inversa de A    2 1 3   1 0  1    1  2  4   1 7  Solución: A    1 3  1  2  5    1 4 4   Ejercicio: Calcula la matriz inversa de A   0 2 4  0 0 1   Ejercicio: (PAU Junio 2014) Dadas las matrices

 a 2  3 1  0  1  , B    y C    A    1 b  4 2 2 3  a. Calcula B 1 , matriz inversa de B

b. Determina los valores que deben tomar “a” y “b” para que se verefique:

A·B 1  2· I  C t C. Por adjuntos: Se necesita conocer el cálculo de determinantes.

RANGO DE UNA MATRIZ: -

Dos filas (o columnas) son linealmente dependientes si son proporcionales Una fila F, depende linealmente de otras filas F1 , F2 , ..., Fn si existen unos números

-

reales a1 , a2 , ..., an no todos nulos, tal que: F  a1· F1  a2 · F2  ...  an · Fn Por el contrario son linealmente independientes si no son proporcionales y por tanto no hay ninguna relación de la forma F  a1· F1  a2 · F2  ...  an · Fn entre ellas.

El Rango o Característica de una matriz es el número de filas, o columnas, linealmente independientes. CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ: En el cálculo del rango de una matriz, evidentemente éste no varía si: - Se suprimen las filas o columnas nulas - Se suprimen las filas o columnas proporcionales - Se suprimen las filas o columnas dependientes de otras El Rango de una matriz tampoco varía si: - Multiplicamos una fila o columna por un número distinto de cero - Sumamos o restamos una fila o columna a otra Aplicando estas propiedades a una matriz podemos llegar a transformarla en una matriz escalonada que nos indicará el número de filas o columnas independientes.

Ejemplo: Sea

3   1 2 3  1 2     A   4 5 6    0  3  6  podemos apreciar que F3  2· F2  Rango( A)  2  7 8 9   0  6  12      En caso de no ver clara la dependencia entre las dos filas, podríamos poder continuando con el escalonamiento de la matriz:

3  1 2 3   1 2 3  1 2       A   4 5 6    0  3  6    0  3  6   Rango( A)  2  7 8 9   0  6  12   0 0 0       Ejercicio: Calcula el rango de las siguientes matrices:

 1 2 3   i. A   3 6 9   2 4 6    2 1 3   ii. B   1 1 1   3 2 1    2 3 5   iii. C   1 2 3   1 1 2  

DETERMINANTES: Sólo se puede calcular determinantes de matrices cuadradas. Determinante de segundo orden:

 a11  a21

Dada la matriz cuadrada de segundo orden A   A al número real det( A)  A  Ejemplo:

a12   se llama determinante de a22 

a11 a12  a11·a22  a12 ·a21 a21 a22

2 3  2  12  10 4 1

Determinante de tercer orden:

 a11 a12  Dada la matriz cuadrada de tercer orden A   a21 a22 a  31 a32

a13   a23  se llama determinante a33 

de A al número real

a11 a12 det( A)  A  a21 a22 a31 a32

a13 a23  a11 ·a22 ·a33  a12 ·a23 ·a31  a13 ·a21 ·a32  a13 ·a22 ·a31  a12 ·a21 ·a33  a11 ·a23 ·a32 a33

3 2 1 0  36  0  5  8  0  30  19 Ejemplo: 5 4 2 1  3 Ejercicio: Calcular los siguientes determinantes:

3 2 = 2 1

2 1 0 3 1 4 1 1 2

1 2  3 6

1 2 3 0 4 5 0 0 6

7 0  21  8

1 0 3 2 1 4  1 3 1

Propiedad: Una matriz cuadrada tiene matriz inversa y por tanto es una matriz regular si su determinante es distinto de cero. Si su determinante es cero entonces la matriz no tiene matriz inversa y por tanto es una matriz singular. Ejercicio: Indica si las siguientes matrices tienen inversa y calcúlala:

 3 1 2   5  2  y B    1 2 1  A   3 1   2 3 3   1 a 2    Ejercicio: Calcula el valor de “a” para que la matriz A   2 a  2  sea singular. 5 1 1   