Nivelaci´on de Matem´atica

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1

2 - Matrices y Determinantes 1.

Matrices

1.1.

Definici´ on

Una matriz A es cualquier ordenamiento rectangular de n´ umeros o funciones. a11  a21 A=  ..  . am1 

a12 a22 am2

··· ···

a1n a2n   ..  .  · · · amn 

A una matriz con m filas (horizontales) y n columnas (verticales) se la designa usualmente como matriz de m × n. A una matriz de n × n se la designa como matriz cuadrada. Al elemento ubicado en la fila n´ umero i y la columna n´ umero j de una matriz A de m × n se lo denota por aij . Por consiguiente, una matriz A se escribe abreviadamente como A = (aij )m×n , o simplemente A = (aij ). Una matriz de 1 × 1 es sencillamente interpretada como una constante.

1.2.

Definiciones b´ asicas

1.2.1.

Igualdad de matrices

Dos matrices A y B de m × n son iguales si aij = bij para cada i y cada j. 1.2.2.

Matriz columna

Una matriz columna X es cualquier matriz que tiene n filas y una columna. b11  b21    X =  ..  = (bi1 )n×1  .  bn1 



A una matriz columna tambi´en se la llama vector columna, o simplemente, vector. 1.2.3.

M´ ultiplo de una matriz:

Se define el m´ ultiplo de una matriz A como el producto de k por la matriz: ka11  ka21 kA =   ..  . kam1 

en donde k es una constante.

ka12 ka22 kam2

··· ···

ka1n ka2n   = (kaij )m×n ..  .  · · · kamn 

Nivelaci´on de Matem´atica 1.2.4.

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2

Matriz cero o nula

Se llama matriz nula a una matriz cuyos elementos son todos ceros. 1.2.5.

Matriz traspuesta

Se llama matriz traspuesta de una matriz A de n × m a donde las filas de AT son las columnas de A.    3 3 2 4 1 2    Ejemplo: Si A =  2 0 2 7 , entonces AT =  4 −9 2 −7 1 1

1.3.

la matriz AT de m × n 2 −9 0 2    2 −7  7 1 

Suma de matrices

Se define la suma de dos matrices A y B de m × n como la matriz A + B = (aij )m×n + (bij )m×n

1.4.

Producto de matrices

Sea A una matriz que tiene m filas y n columnas y sea B una matriz que tiene n filas y p columnas. Definimos el producto AB como la matriz de m × p a11  a21 AB =   ..  . am1 



=

    

a12 a22 am2



 b11 a1n  b a2n    21 ..  .  .   .. · · · amn bn1

··· ···

a11 b11 + a12 b21 + · · · + a1n bn1 a21 b11 + a22 b21 + · · · + a2n bn1 .. .

··· ···

am1 b11 + am2 b21 + · · · + amn bn1 =(

b12 b22

··· ···

bn2

· · · bnp



b1p b2p   ..  = . 

a11 b1p + a12 b2p + · · · + a1n bnp a21 b1p + a22 b2p + · · · + a2n bnp .. .

· · · am1 b1p + am2 b2p + · · · + amn bnp

n X

     

=

aik bkj )m×p

k=1

Ejemplo: 



  5 8 −4 −3   Si A =  1 0  y B = 2 0 2 7 







5.(−4) + 8,2 5.(−3) + 8,0 −4 −15     AB =  1.(−4) + 0,2 1.(−3) + 0,0  =  −4 −3  2.(−4) + 7,2 2.(−3) + 7,0 6 −6 Observaci´ on: El producto de matrices no es conmutativo. Esto es: AB 6= BA.

Nivelaci´on de Matem´atica 1.4.1.

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3

Matriz identidad

Para un n´ umero entero positivo n se denomina n × n:  1 0 0 ··· 0 1 0 ···  I =  .. . 0 0 0 ··· Para cualquier matriz A de n × n se tiene:

matriz identidad a la matriz de 0 0  ..  . 1 

AI = IA = A

1.5.

Propiedades

1.5.1.

Asociatividad

El producto de matrices es asociativo: Si A es una matriz de m × p, B es una matriz de p × r y C es una matriz de r × n, entonces A(BC) = (AB)C 1.5.2.

Distributividad

Si B y C son matrices de r × n y A es una matriz de m × r entonces: A(B + C) = AB + AC

2.

Determinante de una matriz

Para cada matriz cuadrada A existe un n´ umero llamado determinante de la matriz. El determinante de una matriz se denota  por det A o por |A|. a11 a12 El determinante de una matriz A = de 2 × 2 se define: a21 a22 det A = |A| = a11 a22 − a12 a21 



a11 a12 a13   El determinante de una matriz A =  a21 a22 a23  de 3 × 3 se puede calcular: a31 a32 a33 repitiendo las dos primeras filas debajo de la tercera y procediendo del siguiente modo:

det A =

a11 a 21 a31 a11 a 21

a12 a22 a32 a12 a22

a13 a23 a33 = a13 a23

= (a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a12 a23 a31 ) − (a13 a22 a31 + a23 a32 a11 + a33 a12 a21 ) O sea la suma de los productos de los elementos de las diagonales que descienden hacia la derecha menos la suma de los productos de los elementos de las diagonales que descienden hacia la izquierda. Este procedimiento se llama Regla de Sarrus.

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2.1.

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4

Menor complementario

Se llama menor complementario de un elemento de una matriz de orden n al determinante de orden n − 1 de la matriz que se obtiene si en la matriz inicial se borra la fila y la columna que  contienen al elemento  indicado. 1 0 −1 1  2 1 −3 −1    . El menor complementario del elemento Ejemplo: Para la matriz   0 1 1 2  1 5 −3 2 1 0 1 a23 = −3 es: 0 1 2 = 4 −3 2 5

2.2.

Cofactor

Se llama cofactor de un elemento de una matriz al producto del menor complementario por (−1)k , donde k es la suma de los n´ umeros de la fila y columna que contienen al elemento dado.   1 0 −1 1  2 1 −3 −1   Ejemplo: Para la matriz   . El cofactor del elemento a23 = −3 es:  0 1 1 2  −3 2 1 5 1 0 1 (−1)2+3 0 1 2 = (−1)5 4 = −4 −3 2 5

2.3.

C´ alculo de determinantes por fila (o columna)

Para calcular un determinante de orden n se elige una fila (o columna) y se procede a sumar los productos de sus elementos por los cofactores correspondientes, de esta manera se obtienen n determinantes de orden n − 1. Se sigue aplicando este m´etodo hasta tener determinantes de orden 2 o 3 que se resuelven con los m´etodos anteriores. Ejemplo: Calculo general de un determinante de 3 × 3 usando la primera fila 1+1

det A = (−1)

a a11 22 a32







a a23 11 + (−1)1+2 a12 a31 a33



a a13 21 + (−1)1+3 a13 a31 a33



a22 a32

Verificar que se obtiene el mismo resultado que el obtenido por la Regla de Sarrus Ejemplo: Calcular el determinante de la matriz: 1  2    0 −3 

0 −1 1 1 −3 −1    1 1 2  2 1 5 

Si se desarrolla por la segunda fila: 1 2 0 −3

0 −1 1 0 −1 1 1 −1 1 1 −3 −1 = (−1)2+1 2 1 1 2 + (−1)2+2 1 0 1 2 + 1 1 2 2 −3 1 5 1 5 2 1 5

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5



1 +(−1)2+3 (−3) 0 −3

1 0 1 1 2 + (−1)2+4 (−1) 0 −3 2 5 Se sigue con el c´alculo de los cuatro determinantes de tres por

3.



0 −1 1 1 2 1 tres.

Matriz Inversa Sea A una matriz de n × n. Si existe una matriz B de n × n tal que: AB = BA = I

en donde I es la matriz identidad, entonces se dice que B es la inversa multiplicativa de A y se la denota por B = A−1

3.1.

Definici´ on

Sea A una matriz de n × n. Si det A 6= 0, entonces se dice que A es no singular. Si det A = 0, entonces se dice que A es singular

3.2.

Teorema

Una matriz A de n × n tiene una inversa multiplicativa A−1 si y solo si A es no singular.

3.3.

Teorema

Sea A una matriz no singular de n × n y sea Aij la matriz de n × n formada por los cofactores de cada elemento de la matriz, entonces: 1 A−1 = (Aij )T det A Ejemplo: Hallar, si es posible, la matriz inversa de 



1 0 −1   A =  1 −3 −1  0 1 2 Puesto que det A = 6, A es una matriz no singular de 3 × 3 y por el teorema admite matriz inversa. La matriz de los cofactores Aij es: 1 −1 1 −3 −1 − 2 0 2 0 1 7 −2 1 1 0 −1 1 −1 = −1 Aij = − 2 −1 2 0 2 0 1 −3 0 −3 −1 1 −1 1 0 − 1 −1 1 3 −1 Luego, la inversa de A es: 3 1 0 − 1 0 −3





A−1















7 −1 −3 7/6 −1/6 −1/2 1 0 = −1/3 1/3 0 = −2 2 6 1 −1 −3 1/6 −1/6 −1/2

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4.

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6

Ejercicios

1. Dadas las matrices: 1  2  A=  0 −3 

0 −1 1 1 −3 −1    4 0 2  2 1 5

1  2     B=  0  −3 











2 −3 1 9 −7  D= 5  1 0 4



F =

1 0, 1 10 2

G=

1 −2 −2 4













H=



1 0 −1   C =  2 1 −3  0 1 1

1 0 −1 0 1 1





M=

16 20



1   L= 2  −5





1 0   E =  2 −1  0 1

Calcular: a) Si es posible: a) F + G b) C + D c) 2C + DT d) D − 4C f) 2H T + E g) H + E T h) F + C i) A + B b) Si es posible: a) F G b) CD DL h) AC i) CH

c) HE

d) EH

e) M LT

e) C − C T f) AB

g)

c) Utilizando la definici´on de igualdad entre matrices, la matriz X de 2 × 2 si: a) F X = G b) XF = I + X T d ) Los determinantes: a) det(F ) e) Si es posible: a) D−1 f ) Si es posible: a) D−1 D

b) F −1

a) det(C) c) G−1

b) DD−1

a) det(A)

a) det(G)

d) A−1

b) AA−1

g) Verificar que D = (D−1 )−1 . h) El ejercicio c) multiplicando, a la izquierda, por F −1 ambos miembros de la igualdad. 2. Una compa˜ n´ıa tiene cuatro panader´ıas y cada una de ellas produce tres tipos de pan: blanco, de centeno, e integral. El n´ umero de kilogramos de pan producidos diariamente en cada una de las panader´ıas se muestra en la siguiente tabla. Panaderias A B C Blanco 180 200 250 Centeno 50 75 100 Integral 200 250 300

D 100 50 175

Los precios, en pesos, por kilogramo de cada clase de pan son:

Precio

Blanco Centeno Integral 1,80 2,10 2,30

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7

Complete la siguiente tabla con el dinero recaudado por cada panader´ıa : A

B

C

D

Recaudaci´on Indicaci´on: escribir una matriz con las cantidades, una matriz fila con los precios, hacer el producto que corresponda. 

0 t  3. Dada la matriz: P =  t 1 t t de t P admite matriz inversa 



t  t Calcular det P . Estudiar para que valores 0 y calcularla. 

x 0 0  4. Dada la matriz: R =  0 y 0  Calcular det R. Estudiar para que valores  0 0 z de x, y, z R admite matriz inversa y calcularla. 5. a) Una matriz cuadrada A se dice ((diagonal)) si se cumple que aij = 0 si i 6= j. Escribir una matriz de 4 × 4 que sea diagonal. b) Una matriz cuadrada A se√dice etrica)) si se cumple que AT = A.  ((sim´  7 1 2   Verificar que A =  √2 5 0  es sim´etrica. 7 0 − 34 c) Una matriz cuadrada A se dice ((antisim´ etrica)) si se cumple que AT = −A. Escribir una matriz de 4 × 4 que sea antisim´etrica. ¿Cu´ales son los elementos de la diagonal principal? 6. En un vivero se cultivan cinco clases de ´arboles: roble, cerezo, pino, abeto y acacio. Los a´rboles se env´ıan a tres bocas de expendio seg´ un la siguiente tabla

A B C

ROBLE CEREZO PINO 25 15 50 50 75 25 100 25 50

ABETO ACACIO 25 50 100 50 75 125

Las ganancias, en pesos, por la venta de cada a´rbol es la siguiente:

GANANCIAS

ROBLE CEREZO PINO 3,50 4,10 2,75

ABETO ACACIO 1,75 2,50

Calcular el beneficio obtenido por cada boca de expendio si todav´ıa no se vendieron las siguientes cantidades de a´rboles: ROBLE CEREZO PINO A 5 1 0 B 2 7 2 C 12 6 8

ABETO ACACIO 2 5 10 10 15 25

Indicaci´on: realizar los c´alculos definiendo las matrices adecuadas.