IES Padre Poveda (Guadix)

Matemáticas II

EJERCICIOS UNIDADES 5 y 6: MATRICES Y DETERMINANTES 1. (2014-M1;Jun-B-3) (2.5 puntos) Considera las matrices

⎛0 1 1⎞ ⎛ 1 −1 1 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ y A = ⎜1 0 0⎟ B = ⎜ 1 −1 0⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎜ −1 2 3⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ 2 Determina, si existe, la matriz X que verifica AX + B = A .

1 ⎞ ⎛1 + m ⎛1 − 1⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ . 1− m⎠ ⎝ 1 ⎝1 0 ⎠ a) (0.75 puntos) ¿Para qué valores de m se verifica que A 2 = 2 A + I ? ( I denota la

2. (2014-M2-B-3) Considera las matrices, A = ⎜⎜

matriz identidad) b) (1.75 puntos) Para m = 1, calcula A −1 , y la matriz X que satisface AX − B = AB.

⎛ a11 ⎜ 3. (2014-M3-A-3) Se sabe que el determinante de la matriz A = ⎜ a 21 ⎜a ⎝ 31

a12 a22 a32

a13 ⎞ ⎟ a 23 ⎟ es -3. Calcula, a33 ⎟⎠

indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes: a) (1 punto) det (− 2 A) y det A −1 .

( )

a 21

a 22

a 23

b) (1.5 puntos) 7 a11

7 a12

7a13

2a31

2a32

2a33

;

a11

a 21 + 2a31

a12

a 22 + 2a32

a13

a23 + 2a33

3a11 3a12 15a13 5a32 ; a 21 a 22 5a 23 a31 a32 5a33 5a33 5a31

4. (2014-M3-B-3) Considera las matrices,

0 − 3⎞ ⎛1 0 2⎞ ⎛ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ 1 1 1 ⎟ y B = ⎜ 3 − 1 − 3⎟ . ⎜ 2 3 0⎟ ⎜ −1 − 2 −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −1 a) (0.5 puntos) Calcula A . b) (2 puntos) Halla la matriz X que verifica que At X + B = I , siendo I la matriz identidad y At la matriz traspuesta de A . ⎛x y z⎞ ⎜ ⎟ 5. (2014-M4;Sept-B-3) Sabiendo que el determinante de la matriz A = ⎜ 1 0 1 ⎟ es 2, calcula los ⎜ 1 2 3⎟ ⎝ ⎠ siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilices: a) (0.5 puntos) det (3 A)

( )

b) (0.5 puntos) det A −1 .

( )

( )

También: det A31 ; det A31

3

0

1

c) (0.75 puntos) 3 x

2y

z

3

4

3

−1

.

1

2

3

d) (0.75 puntos) x + 2 y + 4 z + 6

−1

0

−1

e) (0.75 puntos) Sea C una matriz cuadrada tal que C −1 = C t . ¿Puede ser det (C ) = 3 ? Razona la respuesta. f) (0.5 puntos) Si B es una matriz cuadrada tal que B 3 = I , halla det (B ) . Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro

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Bloque II: Álgebra Lineal Unidades 5 y 6: Matrices y Determinantes

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Matemáticas II

6. (2014-M5-B-3) (2.5 puntos) Considera las matrices

0 0⎞ ⎛1 ⎛0 0 1⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ A = ⎜0 − 2 1⎟ y B = ⎜1 1 1⎟ . ⎜ 0 − 5 3⎟ ⎜1 0 0⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ −1 Halla la matriz X que verifica A XA = B − A. ⎛a b ⎜ 7. (2014-M6-A-3) Se sabe que el determinante de la matriz A = ⎜ b d ⎜c e ⎝

c⎞ ⎟ e ⎟ es 3, halla los f ⎟⎠

siguientes determinantes, indicando, en cada caso, las propiedades que utilices: a) (1 punto) det A3 , det A −1 , det A + At , det A−1 At . ( At indica la traspuesta de A ).

( )

⎛a ⎜ b) (0.75 puntos) det ⎜ c ⎜ 2b ⎝ ⎛a ⎜ c) (0.75 puntos) det ⎜ b ⎜c ⎝

( )

(

)

(

)

c⎞ ⎟ e f ⎟. 2d 2e ⎟⎠ b 4a − c ⎞ ⎟ d 4b − e ⎟ . e 4c − f ⎟⎠ b

8. (2013-M1-B-3) Sea M una matriz cuadrada de orden 3 tal que su determinante es det (M ) = 2 . Calcula: a) (0.5 puntos) El rango de M 3 . b) (0.75 puntos) El determinante de 2 M t ( M t es la matriz traspuesta de M ).

(

)

2

c) (0.75 puntos) El determinante de M −1 . d) (0.5 puntos) El determinante de N , donde N es la matriz resultante de intercambiar la primera y segunda filas de M . 9. (2013-M2;Sept-A-3) Considera las matrices

1⎞ ⎛1 0 1⎞ ⎛−1 1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ A = ⎜1 1 0⎟ y B = ⎜ 1 −1 1 ⎟ . ⎜0 0 2⎟ ⎜0 0 − 1⎟⎠ ⎠ ⎝ ⎝ a) (1 punto) Halla, si es posible, A −1 y B −1 . b) (0.25 puntos) Halla el determinante de AB 2013 At siendo At la matriz traspuesta de A . c) (1.25 puntos) Calcula la matriz X que satisface AX − B = AB . 10. (2013-M3-B-3) Sean A y B las matrices

⎛ 2 − 3⎞ ⎛ 1 − 4⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ . A = ⎜⎜ ⎝− 3 5 ⎠ ⎝− 9 5 ⎠ a) (1.25 puntos) Calcula las matrices X e Y para las que 2 X − Y = A y X − 3Y = B . b) (1.25 puntos) Halla la matriz Z que verifica B 2 + ZA + B t = 3I ( I denota la matriz identidad y B t la matriz traspuesta de B ). ⎛ −1 2⎞ ⎛1 − 1⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ 0 1⎠ ⎝1 0 ⎠ a) (1.25 puntos) Calcula X e Y tales que X − Y = At y 2 X − Y = B ( At es la matriz traspuesta de A ). b) (1.25 puntos) Calcula Z tal que AZ = BZ + A .

11. (2013-M4-B-3) Considera las matrices A = ⎜⎜

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Bloque II: Álgebra Lineal Unidades 5 y 6: Matrices y Determinantes

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12. (2013-M5-A-3) Considera las matrices

⎛ −1 1 0⎞ ⎟ ⎜ ⎛0 2 1⎞ ⎛ 1 2⎞ ⎟⎟ y C = ⎜⎜ ⎟⎟ . A = ⎜ 2 0 0 ⎟ , B = ⎜⎜ 1 2 0 − 1 6 ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎜ 1 0 1⎟ ⎠ ⎝ a) (0.75 puntos) Halla A −1 . b) (1.25 puntos) Calcula la matriz X que satisface AX = B t C ( B t es la matriz traspuesta de B ).

( )

c) (0.5 puntos) Halla el determinante de A2013 B t B A−1

2013

.

⎛a b ⎜ 13. (2013-M5-B-3) Sabiendo que el determinante de una matriz A = ⎜ d e ⎜p q ⎝

c⎞ ⎟ f ⎟ es 4 , calcula los r ⎟⎠

siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilizas: a) (1 punto) det (− 2 A) y det A−1 .

( )

a b) (1.5 puntos) 2d

p

−b

− 2e 2 f −q

− 3d

c y

r

− 3e − 3 f

a

b

c

−p

−q

−r

0 −1 ⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 14. (2013-M6;Jun-A-3) Sea M = ⎜ 0 m + 1 0 ⎟. ⎜1 1 m − 1⎟⎠ ⎝ a) (0.75 puntos) Determina los valores de m para los que los vectores fila de M son linealmente independientes. b) (1 punto) Estudia el rango de M según los valores de m . c) (0.75 puntos) Para m = 1 , calcula la inversa de M .

⎛1 1 ⎞ ⎟⎟ . ⎝1 − 1⎠

15. (2013-M6;Jun-B-3) Sea A = ⎜⎜

a) (1.5 puntos) Comprueba que A2 = 2 I y calcula A −1 . b) (1 punto) Calcula A2013 y su inversa. 16. (2012-M1-A-3) (2.5 puntos) Considera las matrices

⎛1 2 0⎞ ⎟ ⎜ A = ⎜ 0 1 2⎟ ⎜1 2 1⎟ ⎠ ⎝

⎛0 1⎞ ⎟⎟ B = ⎜⎜ ⎝1 0⎠

⎛ −1 2 0⎞ ⎟⎟ C = ⎜⎜ ⎝ 1 1 2⎠

y

t Determina, si existe, la matriz X que verifica AXB = C , siendo C t la matriz traspuesta de C.

17. (2012-M2-B-3) (2.5 puntos) Encuentra la matriz X que satisface la ecuación XA + A3 B = A, siendo

⎛0 0 1⎞ ⎟ ⎜ A = ⎜0 1 0⎟ ⎜1 0 0⎟ ⎠ ⎝ Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro

⎛ 2 ⎜ B=⎜ 0 ⎜ −1 ⎝

y

3

−1 2 0

0⎞ ⎟ −1 ⎟ 2 ⎟⎠

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⎛0 0 1⎞ ⎟ ⎜ 18. (2012-M4;Sept-A-3) Sea la matriz A = ⎜ 2 1 2 ⎟ ⎜1 k 1⎟ ⎠ ⎝ a) (1 punto) ¿Para qué valores del parámetro k no existe la inversa de la matriz A ? Justifica la respuesta. b) (1.5 puntos) Para k = 0, resuelve la ecuación matricial ( X + I ) ⋅ A = At , donde I denota la matriz identidad y At la matriz traspuesta de A.

⎛ 3 − 2⎞ ⎛ − 2 1⎞ ⎟⎟, sea B la matriz que verifica que AB = ⎜⎜ ⎟⎟ 1⎠ ⎝ 7 3⎠ a) (1 punto) Comprueba que las matrices A y B poseen inversas. b) (1.5 puntos) Resuelve la ecuación matricial A−1 X − B = BA.

19. (2012-M5-B-3) Dada la matriz A = ⎜⎜ ⎝5

20. (2011-M1-A-3) Considera las matrices

⎛1 0 0 ⎞ ⎛0 0 1⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ A = ⎜ 0 λ 1 ⎟ y B = ⎜1 0 0⎟ ⎜ 0 −1 λ ⎟ ⎜ 0 1 0⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ a) (1 punto) ¿Hay algún valor de λ para el que A no tiene inversa? b) (1.5 puntos) Para λ = 1 , resuelve la ecuación matricial A−1 XA = B. ⎛ α 1 − 1⎞ ⎛0⎞ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 21. (2011-M2;Sept-A-3) Dadas las matrices A = ⎜ 1 α − 1⎟ y B = ⎜1 ⎟ ⎜ −1 −1 α ⎟ ⎜1 ⎟ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ a) (1.75 puntos) Calcula el rango de A dependiendo de los valores de α . b) (0.75 puntos) Para α = 2 , resuelve la ecuación matricial AX = B.

α 1⎞ ⎛ 1 3 1⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ − α 3⎠ ⎝ −1 4 2⎠ ⎛

22. (2011-M2;Sept-B-3) Sean las matrices A = ⎜⎜

1 A. 12 b) (1.25 puntos) Para α = −3 , determina la matriz X que verifica la ecuación At X = B , siendo At la matriz traspuesta de A. a) (1.25 puntos) Calcula los valores de α para los que la matriz inversa de A es

23. (2011-M3-A-3) Sean A y B dos matrices que verifican:

⎛ 4 2⎞ ⎛ 2 4⎞ ⎟⎟ y A − B = ⎜⎜ ⎟⎟ A + B = ⎜⎜ ⎝ 3 2⎠ ⎝ −1 2⎠ a) (1 punto) Halla las matrices ( A + B )( A − B ) y A2 − B 2 .

b) (1.5 puntos) Resuelve la ecuación matricial XA − XB − ( A + B ) = 2 I , siendo I la t

matriz identidad de orden 2 y ( A + B ) la matriz traspuesta de A + B. t

⎛ 3 0 ⎜ 24. (2011-M3-B-3) Sea la matriz A = ⎜ − 5 λ ⎜λ 0 ⎝

λ ⎞

⎟ − 5⎟ 3 ⎟⎠

a) (1 punto) Determina los valores de λ para los que la matriz A − 2 I tiene inversa, siendo I la matriz identidad de orden 3. b) (1.5 puntos) Para λ = −2 , resuelve la ecuación matricial AX = 2 X + I .

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Bloque II: Álgebra Lineal Unidades 5 y 6: Matrices y Determinantes

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⎛ − 1 1⎞ ⎟⎟ ⎝ 2 − 1⎠ a) (1 punto) Demuestra que A2 + 2 A = I y que A−1 = A + 2 I , siendo I la matriz

25. (2011-M4-B-3) Dada la matriz A = ⎜⎜

identidad de orden 2. b) (1.5 puntos) Calcula la matriz X que verifica la ecuación A2 + XA + 5 A = 4 I . 26. (2011-M5-B-3) Dada la matriz

3 4 ⎞ ⎛0 ⎟ ⎜ A = ⎜ 1 − 4 − 5⎟ ⎜ −1 3 4 ⎟⎠ ⎝ a) (0.5 puntos) Demuestra que se verifica la igualdad A3 = − I , siendo I la matriz identidad de orden 3. b) (1.25 puntos) Justifica que A es invertible y halla su inversa. c) (0.75 puntos) Calcula razonadamente A100 .

⎛λ +1 0 ⎞ ⎟ − 1⎟⎠ ⎝ 1

27. (2011-M6;Jun-B-3) Dada la matriz A = ⎜⎜

a) (1.25 puntos) Determina los valores de λ para los que la matriz A2 + 3 A no tiene inversa. b) (1.25 puntos) Para λ = 0 , halla la matriz X que verifica la ecuación AX + A = 2 I , siendo I la matriz identidad de orden 2.

⎛ −1 2⎞ ⎛−3 0 ⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0 1⎠ ⎝ 2 − 1⎠

28. (2010-M3-A-3) Considera las siguientes matrices A = ⎜⎜

a) (0.75 puntos) Calcula A−1 . b) (1.75 puntos) Resuelve la ecuación matricial AXAt − B = 2 I , donde I es la matriz identidad de orden 2 y At es la matriz traspuesta de A . 29. (2010-M3-B-3) (2.5 puntos) Obtén un vector no nulo v = (a, b, c ) , de manera que las matrices siguientes tengan simultáneamente rango 2.

⎛1 1 a ⎞ ⎟ ⎜ A = ⎜1 0 b ⎟ ⎜1 1 c ⎟ ⎠ ⎝

0 a⎞ ⎛2 ⎟ ⎜ B = ⎜0 −1 b⎟ ⎜3 1 c ⎟⎠ ⎝

2⎞ ⎛ 5 −4 ⎟ ⎜ 30. (2010-M4-A-3) Sea la matriz A = ⎜ 2 − 1 1⎟ ⎜ − 4 4 − 1⎟ ⎠ ⎝ a) (1.25 puntos) Comprueba que se verifica 2 A − A2 = I . b) (1.25 puntos) Calcula A−1 . (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del apartado (a)). 31. (2009-M1-B-3) Sean A, B, C y X matrices cualesquiera que verifican A X B = C. a) (1 punto) Si las matrices son cuadradas de orden 3, y se sabe que el determinante de A es 3, el de B es − 1 y el de C es 6, calcula el determinante de las matrices X y 2 X .

⎛1 1 ⎞ ⎛1 − 2⎞ ⎛ 0 3⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ y C = ⎜⎜ ⎟⎟ calcula la matriz X . ⎝ 0 − 2⎠ ⎝ 2 − 3⎠ ⎝ 4 2⎠

b) (1.5 puntos) Si A = ⎜⎜

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Bloque II: Álgebra Lineal Unidades 5 y 6: Matrices y Determinantes

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32. (2009-M3:Jun-A-3) Sean F1 , F2 , F3 las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz B de orden 3, cuyo determinante vale − 2. Calcula, indicando las propiedades que utilices: a) (0.5 puntos) El determinante de B −1 .

( )

4

b) (0.5 puntos) El determinante de B t ( B t es la matriz traspuesta de B ). c) (0.5 puntos) El determinante de 2B. d) (1 punto) El determinante de una matriz cuadrada cuyas filas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 5 F1 − F3 , 3F3 , F2 .

1⎞ ⎛− 3 ⎟⎟ y B = A − kI , donde k es una ⎝ 2 − 1⎠

33. (2009-M6-A-3) Se consideran las matrices A = ⎜⎜

constante e I es la matriz identidad de orden 2. a) (0.75 puntos) Determina los valores de k para los que B no tiene inversa. b) (0.5 puntos) Calcula B −1 para k = −1. c) (1.25 puntos) Determina las constantes α y β para las que se cumple A2 + αA = β I . 34. (2007-M5-A-3)

⎛1 0 ⎞ ⎟⎟ verifica la ⎝1 m ⎠

a) (1.5 puntos) Calcula el valor de m para el que la matriz A = ⎜⎜

relación 2 A 2 − A = I y determina A −1 para dicho valor de m . b) (1 punto) Si M es una matriz cuadrada que verifica la relación 2 M 2 − M = I , determina la expresión de M −1 en función de M y de I .

⎛ 0 −1 − 2⎞ ⎟ ⎜ 35. (2008-M5-A-3) (2.5 puntos) Sea I la matriz identidad de orden 3 y A = ⎜ − 1 0 − 2 ⎟ . ⎜1 1 3 ⎟⎠ ⎝ 2 Calcula, si existe, el valor de k para el cual ( A − kI ) es la matriz nula.

⎛a 1 ⎞ ⎟⎟ , siendo a un número real. ⎝0 − a⎠ ⎛12 − 1⎞ ⎟⎟ . a) (1 punto) Calcula el valor de a para que A 2 − A = ⎜⎜ ⎝ 0 20 ⎠

36. (2006-M3;Jun-A-3) Considera A = ⎜⎜

b) (1 punto) Calcula, en función de a , los determinantes de 2 A y At . c) (0.5 puntos) ¿Existe algún valor de a para el que la matriz A sea simétrica? Razona la respuesta.

⎛ 2 0 5 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ − 2⎞ ⎛ 5⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 37. (2006-M3;Jun-B-3) (2.5 puntos) Resuelve ⎜ 1 1 − 2 ⎟ ⎜ y ⎟ + ⎜ 2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ⎜ −1 1 1 ⎟ ⎜ z ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 38. (2006-M6-A-3) Considera las matrices

⎛ − 3⎞ ⎛ −1 − 2⎞ ⎟ A = ⎜⎜ ⎟⎟ , B = (2 1) y C = ⎜⎜ 6 ⎟⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝6 a) (1.25 puntos) Halla, si existe, la matriz inversa de A B + C . ⎛ x⎞ ⎝ y⎠

⎛ x⎞ ⎝ y⎠

b) (1.25 puntos) Calcula, si existen, los números reales x e y que verifican: C ⎜⎜ ⎟⎟ = 3⎜⎜ ⎟⎟ . Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro

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Bloque II: Álgebra Lineal Unidades 5 y 6: Matrices y Determinantes

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⎛ 0 0⎞ ⎟⎟ , siendo ⎝ 0 0⎠

39. (2005-M2-B-3) (2.5 puntos) Halla la matriz X que cumple que A ⋅ X ⋅ A − B = ⎜⎜

1⎞ ⎛ 3 ⎛5 − 2⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ . A = ⎜⎜ ⎝ − 2 − 1⎠ ⎝1 3 ⎠ ⎛ 0 0 − 1⎞ ⎟ ⎜ 40. (2005-M3-B-3) Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea A = ⎜ − 1 1 − 1⎟ . ⎜1 0 b⎟ ⎠ ⎝ 2 a) (1.25 puntos) Determina el valor de b para el que A − 2 A + I = O . b) (1.25 puntos) Para b = 2 halla la matriz X que cumple que A ⋅ X − 2 At = O .

⎛2 1⎞ ⎟⎟ . ⎝1 2⎠ a) (1 punto) Halla los valores de x para los que la matriz A − xI no tiene inversa. b) (1.5 puntos) Halla los valores de a y b para los que A 2 + a A + bI = O .

41. (2005-M4-A-3) Sea I la matriz identidad de orden 2 y sea A = ⎜⎜

⎛0 0 1⎞ ⎛ 0 0 1⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 42. (2002-M1-B-3) Considera las matrices A = ⎜ 0 1 0 ⎟ , B = ⎜ x 1 0 ⎟ . ⎜1 0 0⎟ ⎜ y 0 0⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ a) (1 punto) Calcula la matriz inversa de A . b) (1 punto) Calcula A127 y A128 . c) (0.5 puntos) Determina x e y tal que AB = BA . ⎛2 ⎜ 43. (2002-M3;Sept-A-3) (2.5 puntos) Considera la matriz A = ⎜ t ⎜3 ⎝ Calcula los valores de t para los que el determinante de A es

0⎞ ⎟ 2 1⎟ . 0 1 ⎟⎠ t

positivo y halla el mayor valor

que alcanza dicho determinante.

3 4 ⎞ ⎛0 ⎟ ⎜ 44. (2001-M2;Jun-B-4) Considera la matriz A = ⎜ 1 − 4 − 5 ⎟ . ⎜ −1 3 4 ⎟⎠ ⎝ a) (1 punto) Siendo I la matriz identidad 3× 3 y O la matriz nula 3× 3 , prueba que A3 + I = O . b) (1.5 puntos) Calcula A10 . 45. Calcula An , A 2014 y A 2015 siendo:

⎛ 1 1⎞ ⎟⎟ a) A = ⎜⎜ ⎝ 0 1⎠

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⎛ 0 0 2⎞ ⎟ ⎜ b) A = ⎜ 0 2 0 ⎟ ⎜ 2 0 0⎟ ⎠ ⎝

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Bloque II: Álgebra Lineal Unidades 5 y 6: Matrices y Determinantes