Lecci´ on 10

Sistemas no homog´eneos y Aplicaciones

10.1.

Introducci´ on

Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales no homog´eneos son de la forma x0 = A(t)x + b(t),

(10.1)

donde, para cada t, A(t) es una matriz n × n, x es un vector columna de funciones inc´ognita y b(t) es un vector columna de funciones conocidas. La forma de proceder para resolver este tipo de sistemas es la misma que ya estudiamos para las ecuaciones diferenciales lineales no homog´eneas (Lecci´on 2). Primero demostraremos que la soluci´on general del sistema (10.1) es la suma de la soluci´on general del sistema homog´eneo x0 = A(t)x y de una soluci´on particular del no homog´eneo. A continuaci´on dise˜ naremos un m´etodo para encontrar una soluci´on particular del sistema no homog´eneo. Finalmente aplicaremos todo esto a los sistemas de coeficientes constantes. En la u ´ltima parte de la lecci´on veremos algunas aplicaciones de la resoluci´on de sistemas lineales a problemas en Ingenier´ıa Qu´ımica. 173

174

10.2.

Sistemas no homog´eneos y aplicaciones

Soluci´ on general de los sistemas no homog´ eneos

El siguiente resultado es la base para encontrar todas las soluciones del sistema (10.1): Teorema 10.1 .- Sea xh (t) la soluci´on general del sistema homog´eneo x0 = A(t)x y sea xp (t) una soluci´on particular del sistema no homog´eneo (10.1). Entonces la soluci´on general del sistema (10.1) es de la forma x(t) = xh (t) + xp (t). Demostraci´ on.- Desde luego si x(t) = xp (t) + xh (t) entonces x(t) es soluci´on de (10.1). En efecto, x0 (t) = x0p (t) + x0h (t) = A(t)xp (t) + b(t) + A(t)xh (t) = = A(t)(xp (t) + xh (t)) + b(t) = A(t)x(t) + b(t). As´ı pues todas las funciones vectoriales de la forma x(t) = xp (t) + xh (t) son soluci´on del sistema no homog´eneo. Veamos que no hay m´as; es decir, que cualquier soluci´on es de esta forma. Sea x(t) una soluci´on cualquiera del sistema (10.1) y xp (t) una soluci´on particular del mismo. Entonces x0 (t) − x0p (t) = A(t)x(t) + b(t) − A(t)xp (t) − b(t) = A(t)(x(t) − xp (t)), de modo que x(t) − xp (t) es una soluci´on del sistema homog´eneo x0 = A(t)x. Sea, ahora, X(t) = x1 (t) x2 (t) · · ·


xn (t)

una matriz fundamental de soluciones del sistema homog´eneo x0 = A(t)x; es decir, x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t) forman un sistema fundamental de soluciones de x0 = A(t)x. Como x(t) − xp (t) es una soluci´on del sistema homog´eneo x0 (t) = A(t)x(t), debe poder escribirse como una combinaci´on lineal de las columnas de X(t): x(t) − xp (t) = c1 x1 (t) + c2 x2 (t) + · · · + cn xn (t) para algunas constantes c1 , c2 , . . . , cn . Por lo tanto x(t) = xp (t) + c1 x1 (t) + c2 x2 (t). Esto significa que cualquier soluci´on del sistema no homog´eneo es suma de una soluci´on particular de ´este y de una soluci´on del sistema homog´eneo. Y esto es lo que se quer´ıa demostrar.

10.3 M´etodo de variaci´on de las constantes

10.3.

175

M´ etodo de variaci´ on de las constantes

Al igual que para las ecuaciones lineales utilizaremos el m´etodo de variaci´on de las constantes para obtener una soluci´on particular de los sistemas no homog´eneos. Una vez sepamos c´omo hacerlo, estaremos en condiciones de hallar las soluciones de los sistemas no homog´eneos de coeficientes constantes porque para estos sistemas sabemos obtener sistemas fundamentales de soluciones del sistema homog´eneo correspondiente. Recordemos que la soluci´on general del sistema homog´eneo x0 = A(t)x se puede escribir de la siguiente forma x(t) = X(t)c, donde X(t) es una matriz fundamental de soluciones y c un vector arbitrario de n´ umeros reales constantes. El m´etodo de variaci´on de las constantes consiste en buscar una soluci´on particular del sistema no homog´eneo x0 = A(t)x + b(t) de la forma xp (t) = X(t)c(t),

(10.2)

donde se ha sustitu´ıdo el vector de constantes c por un vector de funciones c(t) que se trata de determinar para que xp (t) sea soluci´on del sistema no homog´eneo. En lo que sigue haremos las operaciones necesarias para dar una expresi´on lo m´as expl´ıcita posible de c(t) y, a partir de ella, de x(t). Antes de proceder debemos recordar que, como X(t) es una matriz fundamental de soluciones, es invertible para todo t en el que A(t) es continua y X 0 (t) = A(t)X(t). Ahora, lo que queremos es que el vector xp (t) = c1 (t)x1 (t) + c2 (t)x2 (t) + · · · + cn xn (t) = X(t)c(t)

(10.3)

sea una soluci´on del sistema (10.1); i.e. del sistema x0 (t) = A(t)x(t) + b(t). Ahora bien, para que el vector xp (t) sea una soluci´on de (10.1) debe suceder que x0p (t) = A(t)xp (t) + b(t).

(10.4)

Pero para derivar un producto de matrices de funciones se procede como para derivar un producto de funciones (respetando el orden de multiplicaci´on). Como por (10.3) xp (t) = X(t)c(t): x0p (t) = X 0 (t)c(t) + X(t)c0 (t). Y como X 0 (t) = A(t)X(t), se tiene que x0p (t) = A(t)X(t)c(t) + X(t)c0 (t) Sustituyendo en (10.4) obtenemos A(t)X(t)c(t) + X(t)c0 (t) = A(t)xp (t) + b(t) = A(t)X(t)c(t) + b(t)

176

Sistemas no homog´eneos y aplicaciones

Por lo tanto, para que xp (t) dado por (10.3) sea una soluci´on particular del sistema no homog´eneo (10.1) basta que X(t)c0 (t) = b(t) (10.5) Este es un sistema lineal de ecuaciones cuyos coeficientes e inc´ognitas son funciones, pero como la matriz de los coeficientes X(t) es una matriz invertible siempre tiene soluci´on: c0 (t) = X(t)−1 b(t). Ahora basta integrar para calcular c(t): Z c(t) =

X(t)−1 b(t) dt.

Esta expresi´on es an´aloga a la que obtuvimos para las ecuaciones lineales no homog´eneas (v´ease la ecuaci´on (2.8) de la Lecci´on 2). Ahora s´olo tenemos que sustituir en (10.2) para encontrar una expresi´on de una soluci´on particular de la ecuaci´on no homog´enea: Z  −1 xp (t) = X(t)c(t) = X(t) X(t) b(t) dt . (10.6) (Obs´ervese la anolog´ıa, de nuevo, con la ecuaci´on (2.9) de la Lecci´on 2 para la soluci´on particular de la ecuaci´on lineal no homog´enea). Una vez obtenida la expresi´on para xp (t), de acuerdo con el Teorema 10.1, la soluci´on general del sistema no homog´eneo ser´a  Z −1 X(t) b(t) dt x(t) = xh (t) + xp (t) = X(t)c + X(t)   Z (10.7) −1 = X(t) c + X(t) b(t) dt .

−1

N´otese que X(t) b(t) es un vector, y

Z

X(t)−1 b(t) dt es otro vector: aquel cuyas com-

ponentes se obtienen al integrar las componentes de X(t)−1 b(t). Observaciones 10.2 .- La expresi´on (10.7) es una f´ormula cerrada para expresar la soluci´on general de un sistema no homog´eneo de ecuaciones diferenciales lineales. Desde un punto de vista te´orico es muy interesante poder hacerlo de esta forma, pero no es muy pr´actico a la hora de calcular de forma expl´ıcita las soluciones. Ello es debido a la presencia de X(t)−1 , la inversa de la matriz fundamental de soluciones. El c´alculo de esta inversa puede ser terriblemente costoso. Lo que se hace en la pr´actica es resolver el sistema (10.5) para calcular c0 (t); y a continuaci´on integrar esta expresi´on. Esta es la forma pr´actica de calcular Z X(t)−1 b(t) dt que, en realidad, es c(t). El siguiente ejemplo puede servir para aclarar todo este proceso.

10.3 M´etodo de variaci´on de las constantes

177

Ejemplo 10.3 .- Hallar la soluci´on general del sistema x01 = −2x1 + 4x2 + x3 + et x02 = −x1 + 3x2 + x3 + tet x03 = −x1 + et Hallamos primero la soluci´on general del sistema homog´eneo, cuya matriz de coeficientes es   −2 4 1 A =  −1 3 1  , −1 0 0 y su polinomio caracter´ıstico   λ+2 −4 −1 1 λ − 3 −1  = λ3 − λ2 − λ + 1 = (λ − 1)2 (λ + 1). det  1 0 λ Los valores propios son λ1 = 1, doble, y λ2 = −1. Planteamos y resolvemos el sistema caracter´ıstico correspondiente al valor propio λ1 = 1:     3 −4 −1 v1  3v1 − 4v2 − v3 = 0     v1 − 2v2 − v3 = 0 v2 = 0 ⇔ (1I3 − A)v = 0 ⇔ 1 −2 −1  v1 + v3 = 0 1 0 1 v3 Siempre hay que comprobar que el determinante de la matriz λI − A es cero con λ el valor propio que se est´e considerando. En este caso puede no parecer inmediato   que as´ı es. −4 Un momento de observaci´on nos permite ver que la segunda columna −2 de la matriz 0 (1I3 − A) se obtiene al restar la primera a la tercera. Esto siginfica que la segunda columna es una combinaci´on lineal de las otras dos y que, por lo tanto, det(1I3 − A) = 0. Adem´as hay varias submatrices de tama˜ no 2 × 2 que son no singulares. Una sencilla es la formada por las filas y columnas segunda y tercera:   −2 −1 0 1 Entonces rang(1I3 − A) = 2 y podemos despejar v2 y v3 en funci´on de v1 : v3 = −v1

y 2v2 + v3 = v1 ⇔ v3 = −v1 , v2 = v1 .

178

Sistemas no homog´eneos y aplicaciones

Conseguimos un vector propio asociado al valor propio λ1 = 1 dando a v1 el valor 1, por ejemplo:   1  1 . v1 = −1 Una soluci´on ser´a 

 1 x1 (t) = eλ1 t v 1 = et  1  . −1 Como la dimesi´on del subespacio de soluciones es 1 = 3 − 2 = n − rang(1I3 − A) y λ = 1 es valor porpio de multiplicidad algebraica q = 2, debemos encontrar un vector propio generalizado. Para ello calculamos (1I3 − A)2 : 

 4 −4 0 0 0 , (1I3 − A)2 =  0 4 −4 0 que obviamente tiene rango 1 = n − q = 3 − 2. Podemos encontrar una soluci´on del sistema (1I3 − A)2 v = 0 que sea linealmente independiente de v 1 . Es f´acil ver que la soluci´on general de este sistema es:   v1 v1  . v3   1  1 . Debemos escoger un vector de esta forma que sea linealmente independiente con −1 Una posible elecci´on es   0  v 2 = 0 . 1 Con este vector conseguimos una segunda soluci´on del sistema homog´eneo: x2 (t) = etA v 2 = = et (v t(A − I)v 2 ) = 2+     0 0 −3 4 1 t      0 + t −1 2 1 0 = = e −1 0 −1 1  1  t = et  t  1−t

10.3 M´etodo de variaci´on de las constantes

179

Finalmente, debemos calcular un vector propio asociado a λ2 = −1:     1 −4 −1 v1  v1 − 4v2 − v3 = 0     v2 = 0 ⇔ v1 − 4v2 − v3 = 0 (−1I3 − A)v = 0 ⇔ 1 −4 −1  1 0 −1 v3 v1 − v3 = 0. Claramente rang(−1I3 − A) = 2 y una submatriz cuadrada de orden 2 con determinante distinto de cero es, de nuevo, la fomada por las dos u ´ltimas filas y columnas. Despejando v2 y v3 en funci´on de v1 obtenemos que v3 = v1 y v2 = 0. Poniendo v1 = 1 tenemos que el vector   1  v 3 = 0 1 es un vector propio asociado a λ2 = −1. La terecera soluci´on ser´a   1 x3 (t) = e−t 0 . 1 Y una matriz fundamental de soluciones ser´a  et tet e−t tet 0 . =  et t t −e (1 − t)e e−t 

X(t) = x1 x2 x3




La soluci´on general del sistema homog´eneo ser´a:   et [c1 + c2 t] + c3 e−t . et [c1 + c2 t] xh (t) = X(t)c =  t −t e [−c1 + c2 (1 − t)] + c3 e Ya tenemos la soluci´on general del sistema homog´eneo y una matriz fundamental de soluciones. Una soluci´on particular del sistema no homog´eneo se puede obtener por el m´etodo de variaci´on de las constantes: xp (t) = X(t)c(t) siendo c(t) la integral de la soluci´on del sistema X(t)c0 (t) = b(t). Debemos resolver el siguiente sistema y luego integrar la soluci´on:  t 0 = et  e c1 (t) + tet c02 (t) + e−t c03 (t) 0 t 0 t 0 e c1 (t) + te c2 (t) = tet X(t)c (t) = b(t) ⇔  −et c01 (t) + (1 − t)et c02 (t) + e−t c03 (t) = et Restando a la primera ecuaci´on la segunda obtenemos e−t c03 (t)

t

t

= e − te ⇒

c03 (t)

2t

= (1 − t)e ⇒ c3 (t) =

Z

(1 − t)e2t dt

180

Sistemas no homog´eneos y aplicaciones

Integrando por partes   t 3 2t c3 (t) = − + e . 2 4 Sumando las ecuaciones primera y tercera: et c02 (t) + 2e−t c03 (t) = 2et ⇔ c02 (t) + 2(1 − t) = 2 ⇔ c02 (t) = 2t ⇔ c2 (t) = t2 . Sustituyendo las expresiones obtenidas en la segunda ecuaci´on: 1 2 et c01 (t) + 2t2 et = tet ⇔ c01 (t) = t − 2t2 ⇔ c1 (t) = − t3 + t2 . 3 2 Entonces la soluci´on particular del sistema no homog´eneo es   3 t t2 t 3   et + − + 3 et [c1 (t) + c2 (t)t] + c3 (t)e−t   23 2 2  4 = et [c1 (t) + c2 (t)t] − t + t et xp (t) = X(t)c(t) =      3 32 2 t −t e [−c1 (t) + c2 (t)(1 − t)] + c3 (t)e − 5t3 + 3t2 − 2t + 34 et

   . 

Y la soluci´on general: 



3 4

t 2

t2 2

t3 3



t

−t

c1 + c2 t + − + + e + c3 e    3 2  x(t) = xh (t) + xp (t) =  c1 + c2 t + t2 + t3 et    2 3 −c1 + c2 (1 − t) + 43 − 2t + 3t2 + 5t3 et + c3 e−t

   . 

Volvamos a escribir la expresi´on de la soluci´on general del sistema no homog´eneo de ecuaciones diferenciales lineales (10.7):   Z −1 x(t) = X(t) c + X(t) b(t) dt . En el caso particular en que el sistema sea de coeficientes constantes: x0 = Ax + b(t) sabemos que una matriz fundamental de soluciones es X(t) = etA . Adem´as sabemos tambi´en que la inversa de etA es e−tA (ver (9.4) en la Lecci´on 9). As´ı pues, en este caso, podemos escribir la soluci´on como sigue:   Z tA −tA x(t) = e c + e b(t) dt . (10.8) Esta expresi´on es u ´til en aquellas situaciones en las que, por un medio u otro, podamos calcular de forma expl´ıcita la exponencial de tA. Por ejemplo, cuando A tiene un u ´nico valor propio, la Proposici´on 9.7 de la Lecci´on 9 nos proporciona una forma expl´ıcita de calcular etA . No obstante, en los ejercicios, procederemos siempre como en el ejemplo de m´as arriba.

10.3 M´etodo de variaci´on de las constantes

10.3.1.

181

El Problema de condiciones iniciales

Tal y como vimos en la Lecci´on 8, el Problema de condiciones iniciales para un sistema lineal de dimensi´on n, que escribiremos,  0 x = Ax + b(t) x(t0 ) = x0 se resuelve de forma similar a como hac´ıamos para las ecuaciones lineales. Tenemos dos opciones: (a) Hallar la constante de la soluci´on general mediante sustituci´on de la condici´on inicial en la misma, o (b) Usar una expresi´on cerrada para la soluci´on de dicho problema. La primera opci´on ya la hemos utilizado en numerosas ocasiones: una vez obtenida la soluci´on general x(t), que depende de un vector de constantes arbitrarias c, se sustituye la condici´on inicial x(t0 ) = x0 y se resuelve el sistema algebraico lineal correspondiente. Una vez obtenida la constante, se sustituye en la soluci´on general obteniendo la soluci´on particular que satisface la condici´on inicial dada. Este es el m´etodo habitual para sistemas y el que usaremos en el ejemplo de m´as abajo. Existe, no obstante, una forma de expresar la soluci´on del problema de condiciones iniciales similar a la que obtuvimos para las ecuaciones lineales (ver la Secci´on 2.4, Lecci´on 2):   Z t

(t−t0 )A

x(t) = e

e(t0 −s)A b(s) ds

x0 +

(10.9)

t0

Desde luego una funci´on vectorial como la de (10.9) es soluci´on de la ecuaci´on x0 = Ax + b(t) porque es una forma particular de la soluci´on general (10.8). Adem´as es inmediato que x(t0 ) = e0 x0 = In x0 = x0 , por lo que tambi´en se cumple la condici´on inicial. Como siempre, en el caso de los sistemas, las expresiones cerradas tienen un mayor inter´es te´orico que pr´actico, salvo que se disponga de un procedimiento r´apido para hallar la exponencial de una matriz. N´otese que si el sistema es homog´eneo (b(s) = 0) entonces la expresi´on (10.9) se reduce a x(t) = e(t−t0 )A x0 , que es la expresi´on que encontramos en la Propiosici´on 9.3 en la Lecci´on 9.

182

Sistemas no homog´eneos y aplicaciones

Ejemplo 10.4 .- Hallar la soluci´on del siguiente problema de condiciones iniciales:   −4 4 x0 = −10 8  1 x(0) = 2  Calculamos, en primer lugar, el polinomio caracter´ıstico de A =  det

λ+4 −4 10 λ − 8



−4 −4 10 8



= λ2 − 4λ + 8.

Las ra´ıces de este polinomio son λ1 = 2 + 2i y λ2 = 2 − 2i. Por lo tanto los valores propios de A son n´ umeros complejos conjugados. Buscamos un vector propio para el valor propio 2 + 2i:       6 + 2i −4 v1 0 (6 + 2i)v1 − 4v2 = 0 ((2+2i)I2 −A)v = 0 ⇔ = ⇔ . 10 −6 + 2i v2 0 10v1 + (−6 + 2i)v2 = 0 −10 y se la sumamos a la segunda. Con esto 6 + 2i anulamos la segunda ecuaci´on, lo que demuestra que la segunda ecuaci´on es combinaci´on lineal de la primera y que rang((2 + 2i)I2 − A) = 1. Adem´as el nuevo sistema, equivalente, se reduce a una ecuaci´on (6 + 2i)v1 − 4v2 = 0 (la otra es 0=0). Por lo tanto Multiplicamos la primera ecuaci´on por

v2 =

3 + 2i v1 . 2

Un vector propio de A asociado al valor propio 2+2i se obtiene dando cualquier valor distinto de cero a v1 . En particular poniendo v1 = 2 tenemos que       2 2 0 v= = +i 3+i 3 1 es un vector propio de A asociado al valor propio 2 + 2i. Una soluci´on (compleja) del sistema ser´a:     2 0 (2+2i)t 2t x(t) = e v = e (cos(2t) + i sen(2t)) +i 3 1 Dos soluciones reales linealmente independientes son la parte real y la parte imaginaria de esta soluci´on. Las calculamos. Ponemos v = v 1 + iv 2 . As´ı x(t) = e2t (cos(2t) + i sen(2t))(v 1 + iv 2 ) = = e2t [(cos(2t)v 1 − sen(2t)v 2 ) + i(cos(2t)v 2 + sen(2t)v 1 )].

10.3 M´etodo de variaci´on de las constantes

183

Por lo tanto 2t

2t

2t

2t

x1 (t) = e (cos(2t)v 1 − sen(2t)v 2 ) = e



 2 cos(2t) , 3 cos(2t) − sen(2t)

y x2 (t) = e (cos(2t)v 2 + sen(2t)v 1 ) = e



 2 sen(2t) . 3 sen(2t) + cos(2t)

Una matriz fundamental de soluciones en este caso es   2 cos(2t) 2 sen(2t) 2t . X(t) = e 3 cos(2t) − sen(2t) 3 sen(2t) + cos(2t) Y la soluci´on general del sistema:    2 cos(2t) 2 sen(2t) c1 2t x(t) = X(t)c = e . 3 cos(2t) − sen(2t) 3 sen(2t) + cos(2t) c2   1 Para calcular la soluci´on que verifica la condici´on inicial x(0) = planteamos el sistema: 2      1 2 cos(2 · 0) 2 sen(2 · 0) c1 2·0 X(0)c = x(0) ⇔ e = c2 2 3 cos(2 · 0) − sen(2 · 0) 3 sen(2 · 0) + cos(2 · 0) Es decir, 

2 0 3 1



c1 c2



 =

1 2



 ⇔

2c1 = 1 . 3c1 + c2 = 2

Por lo tanto, c1 = 1/2 y c2 = 1/2. La soluci´on del problema de condiciones iniciales ser´a:      2 cos(2t) 2 sen(2t) 1/2 cos(2t) + sen(2t) 2t 2t x(t) = e =e . 3 cos(2t) − sen(2t) 3 sen(2t) + cos(2t) 1/2 2 cos(2t) + sen(2t) Escrito en funci´on de las componentes: x1 (t) = e2t (cos(2t) + sen(2t)) x2 (t) = e2t (2 cos(2t) + sen(2t)). Para finalizar, utilizamos la expresi´on (10.9) para escribir la soluci´on del siguiente tipo especial de sistema lineales no homog´eneos:  0 x = Ax + Bu(t) x(0) = x0 . donde B es una matriz de tama˜ no n × m y u(t) es una funci´on vectorial de m componentes. A este tipo de sistemas se les llama sistemas din´amicos lineales o sistemas lineales de control.

184

Sistemas no homog´eneos y aplicaciones

El significado de este terminolog´ıa se explicar´a en un curso posterior. En este caso el t´ermino no homog´eneo es el vector b(t) = Bu(t) cuyas componentes son combinaciones lineales de las funciones que componen el vector u(t), que se conoce con el nombre de vector de controles o entradas. De acuerdo con (10.9) la soluci´on general de este problema de condiciones iniciales ser´a (n´otese que t0 = 0)   Z t −sA tA x0 + e Bu(s) ds = x(t) = e 0 Z t tA = e x0 + e(t−s)A Bu(s) ds. 0

Este tipo de sistemas aparece en numerosas aplicaciones y su estudio constituye toda una rama de las matem´aticas y la ingenier´ıa.

10.4.

Aplicaciones de los Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

10.4.1.

Cin´ etica Qu´ımica

Comenzamos la Lecci´on 8 de introducci´on alos sistemas de ecuaciones con un problema de cin´etica qu´ımica que daba lugar a un sistema de ecuaciones diferenciales en las concentraciones de los reactantes y productos que no era lineal. No le podemos aplicar, en consecuencia, las t´ecnicas que hemos desarrollado en este cap´ıtulo. En una pr´oxima lecci´on estudiaremos un poco los sistemas no lineales. Sin embargo hay reacciones qu´ımicas que s´ı se pueden modelizar mediante sistemas lineales. Tal es el caso de la siguiente ecuaci´on estequiom´etrica: A+B

k1

k2

C

k3 →

D

En estas ecuaciones k1 es la constante de velocidad de la reacci´on A+B → C, k2 la constante de velocidad de reacci´on A + B ← C y k3 la de C ← D. De acuerdo con lo que ya vimos en la Lecci´on 4, la variaci´on de las concentraciones de las sustancias presentes en estas reacciones responde al siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: ( d[A] = d[B] = −k1 [A]α [B]β + k2 [C]γ dt dt d[C] = k1 [A]α [B]β − k2 [C]γ − k3 [C]δ dt donde α, β y γ son los o´rdenes de reacci´on de las sustancias A, B y C, respectivamente en la primera reacci´on (A + B → C) y δ es el orden de reacci´on respecto de C en la segunda (C → D).

10.4 Aplicaciones de los Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

185

En particular para una reacci´on simple, de primer orden respecto de todas las sustancias, del tipo k1 k2 A B C → → el sistema de ecuaciones diferenciales que lo rige ser´ıa: ( d[A] = −k1 [A] dt d[B] = k1 [A] − k2 [B] dt Supongamos adem´as que las concentraciones iniciales, para t = 0, de las sustancias son [A]0 = a y, l´ogicamente, [B]0 = [C]0 = 0. Entonces si x(t) e y(t) representan las concentraci´on de las sustancias A y B que han reaccionado despu´es de t minutos, tenemos que [A] = a−x(t), [B] = y(t). Adem´as, como no hay ni entradas ni salidas, la suma de las concentraciones de las tres sustancias se mantiene constantemente igual a a. As´ı [C] = x(t) − y(t), y el sistema de ecuaciones queda:  0  d(a−x) z = −k1 z = −k1 (a − x) dt ⇔ dy y 0 = k1 z − k2 y = k1 (a − x) − k2 y dt donde hemos hecho la sustituci´on z(t) = a − x(t). De hecho z(t) es la concentraci´on de la sustancia A despu´es de t minutos. Adem´as, las condiciones iniciales son a = [A]0 = a−x(0) = z(0) y y(0) = 0. En realidad no es necesraio emplear las t´ecnicas para la resoluci´on de sistemas. Podr´ıamos resolver la primera de estas dos ecuaciones que es en variables separables para calcular z(t). Y una vez obtenida esta funci´on sustituir su valor en la segunda ecuaci´on. La ecuaci´on resultante ser´ıa una ecuaci´on lineal no homog´enea de primer orden, que se integrar´ıa por el m´etodo habitual. Sin embargo, como pr´actica de lo estudiado en este cap´ıtulo resolveremos el sistema utilizando las t´ecnicas expuestas en el mismo. La matriz del sistema es

 A=

−k1 0 k1 −k2



y su polinomio caracter´ıstico p(λ) = (λ + k1 )(λ + k2 ), cuyas ra´ıces son λ1 = −k1 y λ2 = −k2 . Estas ra´ıces pueden ser repetidas o no seg´ un que k1 = k2 o k1 6= k2 , respectivamente. Si k1 = k2 entonces un vector propio de A asociado a la ra´ız doble −k1 es   0 v1 = , k1 y un vector propio generalizado ser´ıa  v2 =

1 0



186

Sistemas no homog´eneos y aplicaciones

As´ı un vector soluci´on del sistema de ecuaciones diferenciales es   0 −k1 t x1 (t) = e v1 = . k1 e−k1 t Y el otro

x2 (t) = etA v 2 = = e−k1 t (v 2 + t(A 2) =   + k1 I2 )v  1 0 = e−k1 t +t = 0 k1 t   1 e−k1 t k1 t

La soluci´on general del sistema es:     z(t) a2 e−k1 t = y(t) (a1 + a2 t)k1 e−k1 t Imponemos ahora las condiciones iniciales: z(0) = a, y(0) = 0:     a a2 = 0 a1 Entonces a2 = a y a1 = 0, y la soluci´on del Problema de Condiciones iniciales es: z(t) = ae−k1 t y(t) = ak1 te−k1 t Si k1 6= k2 debemos encontrar vectores propios asociados a los valores propios λ1 = −k1 y λ2 = −k2 . Para el primero debemos resolver el sistema      0 0 v1 0 = k1 −k2 − k1 v2 0 Una soluci´on es



k2 − k1 k1

v1 = Resolviendo el sistema



−k1 − k2 0 k1 0



obtenemos el vector

 v2 =

v1 v2 0 1







 =

0 0



10.4 Aplicaciones de los Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

187

que es un vector propio asociado a λ2 = −k2 . La soluci´on general del sistema en este caso ser´a:   z(t) = a1 e−k1 t v 1 + a2 e−k1 t v 2 = y(t)  =

a1 (k2 − k1 )e−k1 t a1 k1 e−k1 t + a2 e−k2 t



Imponemos las condiciones iniciales z(0) = a, y(0) = 0:     a a1 (k2 − k1 ) = 0 a1 k 1 + a2 de donde obtenemos:

a ak1 a2 = k2 − k1 k1 − k2 por lo que la soluci´on del Problema de condiciones iniales es: a1 =

z(t) = ae−k1 t
ak1 y(t) = e−k1 t − e−k2 t k2 − k1 Y la soluci´on del problema; es decir, la concentraci´on de cada sustancia presente despu´es de t minutos es: [A] = [A]0 e−k1 t 
[A]0 k1 −k1 t   6 k2 e − e−k2 t si k1 =  k2 − k1 [B] =    [A] k te−k1 t si k1 = k2 0 1 [C] = [A]0 − [A] − [B] La Figura 10.1 ilustra los tres tipos de comportamientos exhibidos por el sistema. En todos los casos se ha tomado [A]0 = 1 y k1 = 1 (en unidades apropiadas). La primera figura, con k2 = 10, muestra el comportamineto del sistema para valores de k1 muy peque˜ nos en comparaci´on con los de k2 . En este caso la cantidad de la sustancia intermedia B es, a lo largo de todo el tiempo de reacci´on, peque˜ na respecto de A y C. En efecto, al ser la constante de velocidad de la segunda reacci´on mucho mayor que la primera, la sustancia B se convierte r´apidamente en la sustancia C, mientras que la formaci´on de B a partir de A es lenta. Por el contrario, la figura (c) muestra el comportamineto cuando k1 es 10 veces mayor que k2 . Se observa que la cantidad de B es grande relativamente a la de C debido a que el proceso B → C es lento. En este caso B s´olo comienza a decrecer cuando se empieza a agotar la cantidad de sustancia A.

188

Sistemas no homog´eneos y aplicaciones

1.0

1.0

1.0

0.9

0.9

0.9

0.8

0.8

0.8

C

0.7

0.7

0.6

0.6

0.5

0.5

0.4

0.4

0.3

0.3

A

0.2

B

0.1 0.0 0.00

1.25

2.50

3.75

(a) k 1 = 1, k 2 = 10

5.00

A

B

0.7

C

0.6 0.5 0.4

B

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

0.0 0.00

A

1.25

2.50

3.75

(b) k 1 = k 2= 1

5.00

0.0 0.00

C

1.25

2.50

3.75

5.00

(c) k 1 = 1, k 2 = 0’1

Figura 10.1: Comparativa de la evoluci´on de las sustancias en A → B → C

10.4.2.

Balance de materia

Al igual que para ecuaciones tambi´en se pueden presentar problemas sobre balances de materia que dan lugar a sistemas de ecuaciones lineales. El siguiente es un ejemplo t´ıpico.

Ejemplo 10.5 .- Dos tanques est´an conectados como se muestra en la Figura 10.2. Inicialmente en el dep´osito B hay 1 Kgr. de sal disuelto y en el tanque A s´olo hay agua. En ese mismo instante se comienza a bombear una disoluci´on de agua y sal con un caudal de 4 l./min. y una concentraci´on de 30 gr./l. al tanque A. La disoluci´on circula entre los tanques y hacia el exterior de acuerdo a los datos de la Figura 10.2, y se supone que se encuentra uniformemente distribu´ıda. (a) Halla la concentraci´on de sal en cada tanque en cualquier instante. (b)¿Cu´ando ser´a m´axima y m´ınima la concentraci´on en el tanque A? ¿Y en el tanque B? (c) Prueba que la concentraci´on de los dos tanques tiende a equilibrarse. Es decir, la concentraci´on l´ımite, cuando t → +∞, en ambos tanques es la misma.

Soluci´ on.- La forma de solucionar este tipo de problemas consiste en realizar un balance de materia Acumulaci´on = Entradas-Salidas+Generaci´on para cada dep´osito. En este caso no hay generaci´on de materia; as´ı que si designemos con los s´ımbolos cA (t) y cB (t) las funciones que nos proporcionan las concentraciones en los tanques A y B a lo largo del tiempo:

10.4 Aplicaciones de los Sistemas de Ecuaciones Diferenciales 4 l./min. 30 gr./l.

189

3 l./min.

A

B

100 l. 2 l./min.

100 l.

2 l./min.

1 l./min.

Figura 10.2: Entrada en A: m ˙ eA = 30 gr./l. · 4 l./min. +cB gr./l.· 1 l./min. = (120 + cB ) gr./min. Salida del tanque A: m ˙ sA = 5 l./min.cA gr./l. = 5cA gr./min. AV ) = V c0A = 100c0A Acumulaci´on en el tanque A= d(cdt Entrada en el tanque B: m ˙ eB = 3 l./min. cA gr./l. = 3cA gr./min. Salida del tanque B: m ˙ sB = 3 l./min. cB gr./l. = 3cB gr./min. BV ) = V c0B = 100c0B Acumulaci´on en el tanque B= d(cdt Concentraci´on inicial en A: cA (0) = 0 gr./l. Concentraci´on inicial en B: cB (0) = 1000 gr./100 l.= 10 gr./l. El balance de materia en cada tanque da lugar a un sistema lineal de ecuaciones diferenciales de primer orden: ( d(cA V ) =m ˙ eA − m ˙ sA dt d(cB V ) =m ˙ eB − m ˙ sB dt En este caso concreto el sistema es:    c0A = − 5 cA + 1 cB + 120 100c0A = 120 + cB − 5cA 100 100 100 ⇔ 3 3 100c0B = 3cA − 3cB  0  cB = cA − cB 100 100 con una condici´on inicial: cA (0) = 0, cB (0) = 10. Se trata de un sistema no homog´eneo. Buscamos primero la soluci´on general del sistema homog´eneo.   5 1 − 100 100    La matriz del sistema es A =  . Ponemos B = 100A. Si λ es valor propio  3 3  − 100 100 λ de B con v como vector propio, entonces es el correspondiente valor propio de A con el 100 mismo vector propio v. Calculamos, entonces, los valores propios de B:   λ + 5 −1 det = λ2 + 8λ + 12 = (λ + 6)(λ + 2). −3 λ + 3 

190

Sistemas no homog´eneos y aplicaciones

2 y As´ı pues, los valores propios de B son λ1 = −2 y λ2 = −6, y los de A: λ1 = − 100 6 λ2 = − . Calculamos un vector propio para cada valor propio. Empezamos con λ1 = −2. 100 Debemos resolver el sistema (λ1 I2 − B)v = 0      3 −1 v1 0 3v1 − v2 = 0 = ⇔ ⇔ v2 = 3v1 . −3 1 v2 0 −3v1 + v2 = 0   1 1 Escogiendo v1 = 1, un vector propio asociado al valor propio λ1 = −2 es q = . Y la 3 soluci´on correspondiente (recordemos que los vectores propios de A y B son “los mismos”):    − 2 t 2 e 100 1 − 100 t 1 x (t) = e . = 2 3 3e− 100 t Procedemos de la misma forma con λ2 = −6:      −1 −1 v1 0 −v1 − v2 = 0 = ⇔ ⇔ v2 = −v1 . −3 −3 v2 0 −3v1 − 3v2 = 0 2

Escogiendo v1 = 1, un vector propio asociado al valor propio λ1 = −6 es q =



 1 . Y la −1

soluci´on correspondiente: 6 − 100 t

2



x (t) = e

  − 6 t  1 e 100 = . 6 −1 −e− 100 t

La soluci´on general del sistema homog´eneo ser´a:   2 6 c1 e− 100 t + c2 e− 100 t xh (t) = 2 6 3c1 e− 100 t − c2 e− 100 t con c1 y c2 constantes arbitrarias. Calculamos una soluci´on del sistema no homog´eneo por el m´etodo de variaci´on de las constantes: xp (t) = c1 (t)x1 (t) + c2 (t)x2 (t), siendo c1 (t) y c2 (t) las funciones que se obtienen integrando las soluciones del siguiente sistema: 2

6

120 100 =0

c01 (t)e− 100 t + c02 (t)e− 100 t = 2

6

3c01 (t)e− 100 t − c02 (t)e− 100 t Sumando a la segunda ecuaci´on la primera: 2

4c01 (t)e− 100 t =

2 120 30 2 t ⇒ c1 (t) = e 100 ⇒ c1 (t) = 15e 100 t . 100 100

10.4 Aplicaciones de los Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

191

Y multiplicando la segunda ecuaci´on por (−1) y sumando al resultado 3 veces la primera ecuaci´on: 6 6 90 6 t 360 ⇒ c2 (t) = e 100 ⇒ c2 (t) = 15e 100 t 4c02 (t)e− 100 t = 100 100 As´ı que  − 2 t  − 6 t    100 2 6 e e 100 30 1 2 t t xp (t) = c1 (t)x (t) + c2 (t)x (t) = 15e 100 + 15e 100 = . 2 6 − 100 − 100 t t 30 3e −e La soluci´on general del sistema no homog´eneo ser´a   2 6 c1 e− 100 t + c2 e− 100 t + 30 x(t) = 2 6 3c1 e− 100 t − c2 e− 100 t + 30 Imponemos ahora la condici´on inicial cA = 0, cB = 10:     0 c1 + c2 + 30 c + c2 = −30 = x(0) = ⇔ 1 ⇔ c1 = −120 5, c2 = −170 5. 10 3c1 − c2 + 30 3c1 − c2 = −20 La concentraci´on en cada tanque en cada instante ser´a 2

6

cA (t) = −120 5e− 100 t − 170 5e− 100 t + 30 2 6 cB (t) = −370 5e− 100 t + 170 5e− 100 t + 30 2

6

(b) Tanto e− 100 t como e− 100 t son funciones decrecientes para todo t, por lo que cA (t) = 2 6 −120 5e− 100 t − 170 5e− 100 t + 30 es una funci´on creciente siempre. En consecuencia la concentraci´on en el tanque A ser´a m´ınima en el instante inicial y nunca ser´a m´axima, aunque se acerca asint´oticamente a 30 gr./l. . Esto es exactamente lo que nos dice el planteamiento del problema: inicialmente en A no hay sal y en cuanto se abren los grifos empieza a haberla. Y cada vez hay m´as sal, proviniente del exterior y de B. As´ı que la concentraci´on m´ınima es en el instante inicial que es cA (0) = 0 y nunca hay un valor m´aximo de sal aunque siempre cA (t) < 30. Para el tanque B la situaci´on es muy diferente. Podemos pensar de dos maneras. La primera formalmente. Para calcular el m´ınimo de una funci´on derivable, hallamos su primera derivada, la igualamos a cero y sustitu´ımos el valor en la segunda para comprobar que ´esta es positiva: 75 75 − 2 t 105 − 6 t 4 e 100 − e 100 = 0 ⇔ e− 100 t = ⇔ c0B (t) = 100 100 105 4 75 ⇔− t = ln ⇔ t = −25 ln 75105 = 80 4118. 100 105 Y 2 6 150 690 c00B (t) = − 4 e− 100 t − 4 e− 100 t ⇒ c00B (80 4118) = 00 0290 > 0. 10 10

192

Sistemas no homog´eneos y aplicaciones

Por lo tanto, la concentraci´on en el tanque B es m´ınima en el instante t = 80 4118 min., y no tiene m´aximo porque c0B (t) s´olo se anula en un punto. A partir de t = 80 4118 la concentraci´on de B crece indefinidamente acerc´andose cada vez m´as a 30 gr./l.. La segunda forma de pensar es m´as intuitiva: inicialmente en B hay sal y en A no. Cuando comienza el intercambio entre los dep´ositos de A y B, y dependiendo de los caudales de intercambio y la concentraci´on de sal que entra en A desde el exterior, puede suceder que la concentraci´on de sal en B disminuya. Si lo hace, lo har´a hasta que las concentraciones de A y B coincidan, y a partir de ese intante ambas concentraciones aumentar´an de la misma manera. Es decir, la concentraci´on en B ser´a m´ınima cuando cA = cB . Teniendo en cuenta que la segunda ecuaci´on del sistema es c0B = 3cA − 3cB , esto significa exactamente que c0B (t) = 0. De ah´ı que imponiendo la condici´on cA (t) = cB (t) obtenemos tambi´en que en t = 80 4118 min. se alcanza la m´ınima concentraci´on en B. (c) De las expresiones de cA (t) y cB (t) sale que l´ım cA (t) = l´ım cB (t) = 30,

t→+∞

t→+∞

l´ımite que ya se ha utilizado en el apartado anterior. La Figura 10.3 muestra las gr´aficas de la evoluci´on de la concentraci´on en cada dep´osito. En ellas se aprecian las propiedades que hemos venido estudiando en los apartados anteriores. 30

25

20

cA(t) cB(t)

15

10

5

0 0

50

100

150

200

250

300

Figura 10.3: Gr´aficas de las soluciones del sistema que modeliza la evoluci´on de las concentraciones en los dos tanques