Matemáticas II

CÁLCULO DE DERIVADAS.

Calcula las derivadas de las siguientes funciones, simplificando al máximo el resultado.

1 1 + tan 2 x = 1 2 tan x sin 2x 3 Solución: y ′ = x2 4 5 5 x 3 + 2 Solución: y ′ =

1. y = ln tan x 2. y =

5

x3 + 2

3. y = e 2x + e x  2 + e x

Solución: y ′ = 2e 2x + 2e 2x + 2xe x

2

2

2 +1 4. y = sin π − 3 ln Solución: y ′ = 0 5 3 sin x 5. y = arcsincos x Solución: y ′ = − = −1 1 − cos 2 x 6. y = x x Solución: y ′ = x x ln x + 1 2 2 7. y = x + 2x + 1 Solución: y ′ = 2x + 2 − x + 2x +2 1 = 1 x+1 x+1 x + 1 8. y = sin ln2x + 1

3

Solución:

y′

=3

cos ln

1 2

2x + 1 3

1

ln 2 2x + 1 3 2x + 1

x 9. y = 5 Solución: y ′ = 5 x ln 5 10. y = −x 2 cos x + 2x sin x + 2 cos x Solución: y ′ = x 2 sin x 2x x cos x sin 2 x cos x 2 11. y = sintan Solución: y ′ = cos x tan x − tan x − sin x tan 2 x 1 + tan x = − 2 sin x cos x = − sin 2x

12. y = sin x + cos x 2 13. y = x 2 + 3xe sin x

Solución: y ′ = 2x + 3e sin x + x 2 + 3xcos xe sin x x Solución: y ′ = −2 1 − x 4 

14. y = arccos x 2

Solución: y ′ = −

15. y = arcsin 1 − x x+1 − x

16. y =

Solución: y ′ = 2sin x + cos xcos x − sin x = 2 cos 2x

Solución:

x+1 + x

y′

=

1 2 1 − x x 1 2 x+1

−

1 2 x

x + 1 + x

−

x + 1 − x x + 1 + x

2

1 + 1 2 x 2 x + 1

=

x − 1 + x 1 + x + x 17. y = 2x + 3 sin x x −x 18. y = e x − e −x e +e

19. y = ln

1 + x x Solución: y ′ = 2x + 3 sin x cos x ln2x + 3 + 2 sin x 2x + 3 e x − e −x  2 ′ Solución: y = 1 − x e + e −x  2

x2 + 1 3x

20. y = x 5 + 5 x

Solución: y ′ =

2 = 1 x2 − 1 2x x + 1

Solución: y ′ = 5x 4 + 5 x ln 5

21. y = cos 3x + 3 cos x 22. y = arctan

2 1 x 2 − x +2 1 + 1 x

2x 2

1−x 1+x

Solución: y ′ = −3 sin 3x − 3 sin x 1 − 1+x − 1−x 2 1+x 1 −1 Solución: y ′ = = 1−x 1−x 1 + 2 1 − x 2 2 1+x 1+x

1

Matemáticas II

23. y = 24. y = 25. y = 26. y = 27. y = 28. y =

3xex 1 + ln 3

x ex + 3x e = 3xex 1 + ln 3 1 + ln 3 1 −1+2x x x Solución: y ′ = x x − 12 ln x + 12 = − x − x ln x − 1 x x sin x cos 2x + cos x sin 2x Solución: y ′ = 3 cos x cos 2x − 3 sin x sin 2x 2 2 x −1 Solución: y ′ = 2x − 2 x −3 1 = 23 2 x x x sin5x + 7 ′ ln cos5x + 7 Solución: y = −5 cos5x + 7 1 ′ 3 x x Solución: y = x

Solución: y ′ = 3 x ln 3

2

3

2 +3 32. y = x + 2x x

33. y = sin 2 x + cos 2 x

36. y =

5

1 2 x 1 + x 2 + 3 = x2 − 3 Solución: y ′ = 2x x+ 2 − x + 2x x2 x2 Solución: y ′ = 0

Solución: y ′ = 2 × 5 x Solución: y ′ = 1x

2 +3

x ln 5

6

Solución: y ′ =

3 x 2 − 3

5

5

39. 40. 41.

x − 3 2

3

4

6

2 x 2 − 3 x =

5

5

x − 3 2

2

x

Solución: y ′ = 6xe 3x sinln x  y = cos ln x Solución: y ′ = − 1 x 2 1 y = 1 − x 2 arcsin x Solución: y ′ = − arcsin xx + 1 1 − x 2  x y = x tan x Solución: y ′ = x tan x 1 + tan 2 x ln x + tan x y = 3 sin 2 x + 2 sin x 3 Solución: y ′ = 6 sin x cos x + 6cos x 3 x 2 2

2

37. y = e 3x + 2e 3 38.

4

2x + 1 2

3

Solución: y ′ =

31. y = arctan x

2

2

3

Solución: y ′ = 2tan x cos 2 x1 + tan 2 x − 2 tan 2 x cos x sin x 1 Solución: y ′ = − 8x + 4

29. y = tan 2 x cos 2 x 1 30. y = 3 2x + 1 2

34. y = 5 x +3 3 35. y = ln x 3

 x

3

Solución: y ′ = x 2x 2 ln x + 2

42. y = x 2x

43. y = tan x cot x 44. y = x e + e x

Solución: y ′ = 0−1 − cot 2 gxg ′ x + g Solución: y ′ = x e ex + e x = x e−1 e + e x

45. y = 2 3 x 5 + 7 2

Solución: y ′ =

20 3 3

46. y = x arctan x − ln4 + x 2  2 47. y = ln e x 48. y =

2 +3x

1 − cos x 1 + cos x

x 5 +7

2

2

x 5 + 7x 4 =

20 x4 3 3 x 5 + 7

x − 2 x 2 = arctan 1 x Solución: y ′ = arctan 1 x + 1 2 2 1 + 1 x2 2 4+x 4

Solución: y ′ = 2x + 3 1

Solución: y ′ = 2

49. y = ln 1 + x 2 + arctan x

1−cos x 1+cos x

Solución: y ′ =

sin x + 1 − cos x sin x 1 + cos x 1 + cos x 2

=

1 1 + cos x

1 x+ 1 = x + 12 x2 + 1 x2 + 1 1+x

x Solución: y ′ = 1 2 ln 2 2 x 2 2 51. y = x + 2 Solución: y ′ = 2 x − 1 x + 23 2  x x

50. y = 2

x

−1 + 2arctan xx 1 − 2 arctan x2 x = − 2 2 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 

52. y = arctan2x 1+x

Solución: y ′ =

53. y = x ln x − x

Solución: y ′ = ln x

2

2

Matemáticas II

54. y = arctan1 + x 2  55. y = x 2 e x

3

6x 3 x 2 x

3

Solución: y ′ = cos xe sin x + cose x e x Solución: y ′ =

58. y = ln1 + x 2  + arctan x 59. y = x cos π

x 1 + x 2 + 1 2

Solución: y ′ = 2xe x + 3x 4 e x

3

56. y = e sin x + sin e x 57. y =

Solución: y ′ = 2

3 x

3

x 2  + 4

3  x 3

x 2 

2

= 76 x

2 x+ 1 = 2x2 + 1 x2 + 1 x2 + 1 x +1

Solución: y ′ =

Solución: y ′ = − 12 x

2 60. y = x − 1 Solución: y ′ = 1 x+1 Solución: y ′ = 2sin x + cos xcos x − sin x − 2 cos 2x 61. y = sin x + cos x 2 − sin 2x

62. y = tan x tan x

Solución: y ′ = tan tan x x1 + tan 2 x lntan x + 1 + tan 2 x = tan tan x x

1 + lntan x cos 2 x

63. y = tan x tan π Solución: y ′ = 0 x −x Solución: y ′ = 1 e x − 1 e −x 64. y = e + e 2 2 2 sin x = x ′ 65. y = x tan x + ln cos x. Solución: y = tan x + x1 + tan 2 x − cos x cos 2 x 9 66. y = 3 arctan 3x Solución: y ′ = 1 + 9x 2 6 67. y = 6x + 3 Solución: y ′ = − 2 6x + 3 4 x 3 3 2 3 2 3 x 2  x x  68. y = x ln 3

Solución: y ′ = ln 3

69. y = e ln 8x Solución: y ′ = 8 2 tan x 70. y = Solución: y ′ = 1 − 2 tan x2 1 + tan x 1 + tan 2 x 71. y = sin 3 x 4 Solución: y ′ = 12sin 2 x 4 cos x 4 x 3 72. y = cos 2 x1 + tan 2 x Solución: y ′ = −2cos x1 + tan 2 x sin x1 + tan 2 x1 + tan 2 x + 2xtan x1 + tan 2 x Solución: y ′ = − 12 73. y = 1x x 1 74. y = 1 + sin 2x Solución: y ′ = cos 2x 1 + sin 2x Solución: y ′ = 0 sin 2 x 1 76. y = sin x Solución: y ′ = cos x + = 1 + cos x 1 + cos x 1 + cos x 1 + cos x 2 75. y = e 0

77. y = sin 1 − 2 x

Solución: y ′ = − 1 2

cos 1 − 2 x  1 − 2 x 

2 x ln 2

1 78. y = e x

1 Solución: y ′ = − 12 e x x 1 79. y = arcsin x Solución: y ′ = 4 16 − x 2 

Solución: y ′ = e x lnsin x + e x cos x sin x 2x tan x − 1 1 + tan tan x−1 ′ Solución: y = sec x sec x − sec x tan x 1 tan 3 x − tan x + x Solución: y ′ = tan 2 x1 + tan 2 x − tan 2 x 3 x−2 Solución: y ′ = 1 − x − 2 2 x+2 x+2 x + 2 2 x2 +4 2 1 − x − x2 2 1 2 arctan 2x 2 Solución: y ′ = = 2 1−x x 1 + x2 1+4 2 2 1 − x 

80. y = e x ln sin x 81. y = 82. y = 83. y =

84. y =

3

Matemáticas II

1+ 85. y = ln x + 1 + x 2 86. y = lnln x

Solución: y ′ =

Solución: y ′ =

87. y = 2 − x 2  2 − x

1 x x + 1 2

x + x 2 + 1

=

1 1 + x 2 

1 x ln x

Solución: y ′ = −2x 2 − x − 1 2

2 − x 2 = 1 −8x + 5x 2 − 2 2 2 − x 2 − x

ln x Solución: y ′ = 2 x x ln x 89. y = arcsin x 2 Solución: y ′ = 2 arcsin x 1 − x 2 

88. y = x ln x

3 3 + 2x 2 2 1 − x 2 − x2 2 1 x 3 ′ = 1 3 90. y = 1 arctan Solución: y = 4 1 + 2x 2 2 3 1−x x x +x +1 3 1+3 2 1 − x 2  91. y = lnsin 2 x Solución: y ′ = 2 cos x sin x 92. y = 10 x tan x Solución: y ′ = 10 x tan x tan x + x1 + tan 2 x ln 10 Solución: y ′ = x cos x 1 + 1 tan 2 1 π + 1 x 2 2 4 ln tan π + x Solución: y ′ = 2 4 2 tan 1 π + 1 x 2 4 1 arctan x ′ arctan x e Solución: y = 2 e x +1 sin 3x cos 3x Solución: y ′ = 3 cos 2 3x − 3 sin 2 3x 1 + 1+x 1−x 1 − x 2 1 + x 2 ′ Solución: y = ln 1 − x = − 1+x 1−x x + 1x − 1 2x x 2x Solución: y ′ = 1 x 2 ln 1 x + 2 2 2 2 π ′ 2 ln sin Solución: y = 0 4 x ln x Solución: y ′ = ln x + 1 sin x + 1 − cos x sin x 1 + cos x 1 + cos x 2 1 Solución: y ′ = = 1 arctan 1 − cos x 2 1 + cos x 1 − cos x 1 − cos x 1 + 2 1 + cos x 1 + cos x x arccos x 2 Solución: y ′ = −2 1 − x 4 

93. y = x sin x + cos x 94. y = 95. y = 96. y = 97. y = 98. y = 99. y = 100. y = 101. y = 102. y =

4 Solución: y ′ = − 12 4 x + 2 3 x + 2 ln x 104. y = x ln x + ln1 − x Solución: y ′ = ln x + x ln x 2 = 1−x 1−x 1 − x 1 − x 2 103. y =

105. y =

3x + 3 x + x 3

Solución: y ′ = 1 2

3 1 3 + + x2 x 3 3 x  2 2 x 3 

106. y = sincos x Solución: y ′ = − coscos x sin x 1 1 −1+2x 107. y = x x Solución: y ′ = x x − 12 ln x + 12 = − x − x ln x − 1 x x 108. y = 1 tan 2 x Solución: y ′ = tan x1 + tan 2 x = sin3x 2 cos x 109. y = x 2 + 1x 2 − 1 Solución: y ′ = 2xx 2 − 1 + 2x 2 + 1x = 4x 3 1 3 110. y = Solución: y ′ = − 5 2x x 4 x  111. y = cos 2x + sin 2x Solución: y ′ = −2 sin 2x + 2 cos 2x − cos 2x + sin 2x 2 −2 sin 2x − 2 cos 2x = cos 2x − sin 2x cos 2x − sin 2x cos 2x − sin 2x

4

Matemáticas II

4 4 = 2 sin 2x cos 2x − 1 1 − sin 4x 112. y = log 6 1 + 2x Solución: y ′ = −

113. y = 2 sin

1−x 1+x

114. y =

117.

118. 119.

x

1

Solución: y ′ =

1−x 1+x

−

1−x 1+x

2

1 − 1−x 1+x 1 + x 2

=

−1 1 + x 1 − x 2

1 1 = 1 + x − 1 − 1 − x 2 1+x 21 − x −1 + x1 + x 1 + x x − sin x cos x ln a tan x y= Solución: y ′ = x a a x 2 x tan x cos 2 x y = sin 2x + sin 4x Solución: y ′ = 2 cos 2x + 4 cos 4x − sin 2x + sin 4x 2 −2 sin 2x − 4 sin 4x = cos 2x + cos 4x cos 2x + cos 4x cos 2x + cos 4x 6 4 cos 3 2x − 3 cos 2x + 1 y = ax 2 + b 4 Solución: y ′ = 8axax 2 + b 3 2x 2 x x−2 y= Solución: y ′ = − = 3 3 x−1 x − 1 − 1 x x − 1

115. y = ln 116.

Solución: y ′ = 1 2 sin 2

x

2 2x + 1ln 2 + ln 3 cos x ln 2 x

Solución: y ′ =

120. y = x 2 + 4x + 4 x Solución: y ′ = x 2 + 4x + 4 x lnx 2 + 4x + 4 + x 2 2x + 4 x + 4x + 4 = x + 2 2x 2x + 2 lnx + 2 x+2 4x x 121. y = 4 arcsin x Solución: y ′ = 4 x ln 4 arcsin x + 1 − x 2  x 122. y = x + e x x−e

x x Solución: y ′ = 1 + e x − x + ex 2 1 − e x  = 2e x −1 +xx 2 x−e x − e  x − e  1 1 + x 123. y = x + 3ln x Solución: y ′ = − 3 x + 4ln x = − 2x − 1 +4 3 ln x x x3 x x 1 ln x 2 2 ln x −2 + 2x + ln x ′ 124. y = x + 2 ln x − x Solución: y = − 2 + x + 2 = x x x2 x x ′ x x 125. y = e sin x + e cos x Solución: y = 2e cos x = 2e cos x

126. y = xe x ln x 127. y = x arctan x x

128. y = x + 1x

Solución: y ′ = e x ln x + xe x ln x + e x = e x 1 + ln x + x ln x arctan x + arctan xx 2 + x x Solución: y ′ = arctan x + = 2 1+x 1 + x2 1 − 12 x x Solución: y ′ = x + 1x ln x + 1x + x x+ 1 x

129. y = x sin x ln x

Solución: = sin x + x cos x − sin2 x ln x ln x ln x ex x ′ Solución: y = − 130. y = arcsin1 − e  1 − 1 − e x  2 131. y =

3

y′

1 x2 − 5

= −

ex 2e x − e 2x 

2x

Solución: y ′ = − 3

3

4

x 2 − 5

Solución: y ′ = 74x 3 + 6x − 2 6 12x 2 + 6 1 1 133. y = ln arcsin x + arcsin ln x Solución: y ′ = + 2 arcsin x − x 1  x 1 − ln 2 x

132. y = 4x 3 + 6x − 2 7

134. y = x 5 e −x 135. y = 8

−6

arcsin

Solución: y ′ = 5x 4 e 1 x

− 1

x6

x cos x

Solución: y ′ =

1

1

8 arcsin x

Solución: y ′ = − x2

136. y =

− + 62 e x 6 x

1−

ln 8

1 x2

1 cos x − x sin x 2 x

5

Matemáticas II

3 137. y = 1 x 2 ln x − x 3 9 138. y = e x x 2 + 3x − 9 139. y = ln1 − x − 1 1−x

140. y = 141. y = 142. y = 143. y =

Solución: y ′ = 2 x ln x + 1 x − 1 x 2 3 3 3 Solución: y ′ = e x x 2 + 3x − 9 + e x 2x + 3 = e x x 2 + 5x − 6 1 Solución: y ′ = − 1 − = x−22 1−x 1 − x 2 x − 1 sin x ′ − arctancos x Solución: y = 1 + cos 2 x 1 ′ 3 sin x Solución: y = cos x 2 3 sin 3 x 5 sin5x + 2 sec5x + 2 Solución: y ′ = 5 sec5x + 2 tan5x + 2 = cos 2 5x + 2 2 tan 3 5x Solución: y ′ = 3tan 2 5x5 + 5 tan 2 5x = 15 sin4 5x cos 5x 3

144. y = x − 1 − x 2 3 x − 1 − x 2 

Solución: y ′ = 3 x − 1 − x 2 

2

1+

1 x 1 − x 2 

=

1 − x 2  + x

2

1 − x 2 

Solución: y ′ = a x x a−1 a + x ln a −1 − tan 2 x − 1 146. y = ln tan1 − x Solución: y ′ = − tanx − 1 2x + 3 2 ′ 147. y = Solución: y = − 4 2x + 35 = − 2 3x + 75 x − 1 x − 1 x − 1 4 x − 1 4 2 ′ 2 148. y = x − 1x + 1x + 1 Solución: y = x + 11 + x  + x − 11 + x 2  + 2x − 1x + 1x = 4x 3 145. y = a x x a

149. y =

x

Solución: y ′ = sin

sin x

−2 150. y = x 2 − 2x + 3 5

1 x

− 12 lnsin x + 1x cos x sin x x

x

2

Solución: y ′ = − 5

151. y = sin ln1 − 3x 152. y = 2

cos 2 x

2

sin 2 x

Solución:

y′

= −3 2

5

x 2 − 2x + 3

cos ln

2x − 2

1 − 3x

1 2

ln 1 − 3x 1 − 3x

Solución: y ′ = 0 x2

1 + x 2  + 153. y = ln x 1 + x 2

1 2

7

Solución: y ′ =

1+x 2

x 1 + x 2 

154. y = sin x − cos π − x Solución: y ′ = 0 2 2 155. y = ln 6x 7 − x Solución: y ′ = 7x − 1 x 7 14 2 2x + 1 ′ 156. y = arctan Solución: y = 3 1+ 3 3

1 3

=

1 + 2x 2 1 + x 2 x

4 1 + 2x 2

2 2 − x 2 x − 1 + 1x 157. y = x + Solución: y ′ = 1 π 4π 16 2 4 8 ax + b ac + b ′ 158. y = x − c Solución: y = − x − c 2 159. y = tan x − cot x Solución: y ′ = 1 + 1 tan 2 1 x + 1 cot 2 1 x = 22 2 2 2 2 2 2 sin x sin x ′ sin x sin x 160. y = sine  Solución: y = cose  cos xe

6