C. E. I. P. VEINTE DE ENERO

ÁREA DE MATEMÁTICAS

TERCER CICLO

UNIDAD DIDÁCTICA: EL CONCEPTO DE FRACCIÓN.

RAMÓN GALÁN GONZÁLEZ

INDICE: Introducción……………………………………………………… Pág. 3. 1. Actividades previas…………………………………………… Pág. 6. 2. Dividiendo el metro en partes iguales……………………. . Pág. 18 2.1. Dividiendo el metro en dos partes iguales……….. Pág. 18 2.2. Dividiendo el metro en cuatro partes iguales……. Pág. 23 2.3. Dividiendo el metro en ocho partes iguales……… Pág. 28 3. Formando fracciones con las regletas 0’5, 0’25 y 0’125 y calculando su valor numérico. …………… Pág. 37 4. Comparando fracciones……………………………………. Pág. 42 5. Fracciones equivalentes…………………………………… Pág. 52 6. La quinta, la décima y la veinteava parte………………… Pág. 59 7. Formando fracciones con todas las regletas y calculando su valor numérico……………………………. Pág. 76 8. Comparando fracciones empleando todas las regletas…. Pág. 78 9. Transformar dos fracciones a común denominador. ……. Pág. 87 10. Clases de fracciones: propias e impropias. Los números mixtos. ………………………………………. Pág. 98 11. Aprendizajes colaterales. …………………………………. Pág. 107 12. Resolución de problemas. ………………………………... Pág. 112 ANEXO I. Actividades escritas. ……………………………… Pág. 120 - Introducción. - Cuaderno de actividades del alumno. - Análisis de las actividades escritas propuestas. ANEXO II. Construcción de los recursos empleados. …….. Pág. 170 Autor: Ramón Galán González

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INTRODUCCIÓN. Uno de los errores más usuales que observamos en el proceso de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas radica en la contradicción, que se produce entre los conceptos y los algoritmos. Por ello, es frecuente observar a los alumnos operar con distintas clases de números sin tener claro ni el concepto de número con los que realiza la operación, ni el concepto de la operación propiamente dicha. Este mismo hecho se observa en los alumnos cuando abordan el aprendizaje de las fracciones. Los alumnos de Educación Primaria calculan la fracción de un número, comparan fracciones, las sumas, las restan, las multiplican y las dividen, y, sin embrago, no trabajan, no entienden, no interiorizan en profundidad el concepto de fracción. En numerosos casos, el docente se limita a informar a los alumnos diciendo: “Una fracción son dos números separados por una raya horizontal. El número de arriba se llama numerador y el de abajo se llama denominador. El denominador indica las partes en que dividimos una figura, un número, una cosa. El numerador indica las partes que cogemos”. O también, esta otra información: “Una fracción es una división, exacta o no exacta, sin resolver a:b

a “ b

Transmitida esta información, se realizan posteriormente los típicos ejercicios de dividir una figura en determinadas partes iguales, y teniendo sombreadas algunas de estas partes, el alumno escribe debajo de estos gráficos la correspondiente fracción. A partir de aquí, el profesor da por hecho que el alumno ya presenta un dominio suficiente del concepto de fracción y que puede realizar, por ello, diversas operaciones. Esencialmente: calcular la fracción de un número, comparar fracciones, transformar a común denominador, y las cuatro operaciones básicas. Si procedemos de esta forma, lo único que conseguiremos será empobrecer las matemáticas, abordar los conceptos matemáticos de forma Autor: Ramón Galán González

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unilateral y superficial, realizar operaciones con fracciones carentes de sentido, únicamente fundamentadas en procedimientos extraños dictados por el profesor y que el alumno memoriza y repite mecánicamente. Lograremos únicamente un aprendizaje aparente, carente de significación. En definitiva, un aprendizaje vacío. Si todo lo anterior, lo unimos a una metodología donde predomina la clase magistral, la explicación dirigida al gran grupo, teniendo como recurso didáctico fundamental el libro de texto o una colección de ejercicios relativos a fracciones, la enseñanza se empobrece aún más. Con la propuesta que a continuación se oferta, se pretende aportar una alternativa a este mencionado proceder. A menudo el profesorado pregunta: ¿Para qué Nivel es este trabajo? La respuesta, la determina los alumnos. Depende del nivel de aprendizaje que muestren y el modo y la metodología que hemos aplicado a lo largo de los niveles inferiores de la Educación Primaria. Dicho esto, la experiencia nos informa que los alumnos de 4º Nivel pueden realizar numerosas actividades que aquí se proponen y, en cualquier caso, el límite los marcará el propio alumno. No obstante, en el caso de aplicarlo, en este referido Nivel, se recomienda no abordar ni la octava ni la veinteava parte del metro. Es decir, no realizar las actividades donde intervengan las regletas 0’125 m ni las regletas 0’05 m. Al inicio del 5º Nivel del Tercer Ciclo de Primaria puede iniciarse, sin ningún tipo de limitación, la alternativa que ofertamos relativa a la construcción del concepto de fracción. El presente trabajo tendrá una continuación posterior. En ella se abordará, entre otros, el cálculo de la fracción de un número, su aplicación a la resolución de problemas, las operaciones en el conjunto de las fracciones y la relación de éstas con el concepto de proporcionalidad y porcentajes. De igual modo, los alumnos aplicarán posteriormente el concepto de fracción a las medidas de capacidad, peso, tiempo, monetarias, etc. Hemos comprobado experimentalmente que los alumnos extrapolan el aprendizaje de este concepto a cualquier forma de expresión de medidas Por otra parte, estimamos conveniente indicar que a lo largo del presente trabajo, aparecerán fragmentos de texto escritos en letra cursiva y en color azul. Estos se corresponden con las preguntas que realizan el profesor y las respuestas que proporcionan los alumnos. Hay que tener Autor: Ramón Galán González

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presente que tanto las unas como las otras, tienen únicamente un carácter orientativo. De hecho, las respuestas de los alumnos son múltiples y dispares. Aquí reflejamos únicamente las más habituales. Por último, al final y como anexos, proporcionamos dos documentos. Uno de ellos, referido a un conjunto de actividades escritas que complementan las actividades prácticas que vamos a exponer. El otro documento hace referencia a los recursos didácticos que a lo largo del presente trabajo se mencionan. En este último documento que figura como anexo, se explicará el modo de construir todos y cada unos de dichos recursos ya que todos ellos pueden se elaborados por el profesor de un modo sencillo, rápido y económico. Con independencia de que en este anexo se explique detalladamente dichos recursos, y con el fin de seguir la exposición del trabajo, adelantaremos que dichos recursos están constituidos por una pizarra construida en tela de moqueta pegada a un tablero de madera, y que llamaremos franelograma, y un conjunto de figuras y regletas plastificadas que se adhieren a dicho franelograma. A lo largo de nuestra exposición el franelograma vendrá representado por el rectángulo que contiene a las figuras y a las regletas.

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1. Actividades previas. Antes de comenzar a trabajar con las regletas referidas a las fracciones del metro, se estima conveniente realizar actividades con los bloque lógicos de cartulinas plastificadas y que se adhieren al franelograma. Empezaremos con la siguiente actividad:

Teniendo delante el alumno estos dos triángulos del mismo tamaño pero de distinto color, formularemos al grupo las siguientes preguntas: - Observen los dos triángulos que están pegados en la pizarra. Nos vamos a fijar únicamente en su color y en su tamaño. - ¿Qué tienen de igual estos dos triángulos y qué tienen de diferente? Son de igual tamaño pero de distinto color. Con esta actividad inicial, se pretende que los alumnos establezcan semejanzas y diferencias entre dos atributos. En este caso, entre tamaño y color. A continuación le presentaremos al grupo dos triángulos del mismo color, uno grande y otro pequeño, y formulamos la siguiente pregunta:

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- Observen los dos triángulos que están colocados en la pizarra. - ¿Qué tienen ahora de igual estos dos triángulos y qué tienen de diferente? Son de igual color pero de distinto tamaño. Hay que observar que lo que antes era igual, el tamaño, ahora es lo diferente. Y viceversa, lo que antes era diferente, el color, ahora es lo semejante. Después de realizar distintos ejercicios como los anteriormente descritos, pasaremos a emplear piezas que se diferencien únicamente en el tamaño, por ejemplo, cuadrados de dos tamaños pero de distinto color. (Este nuevo material es muy fácil de elaborar y resulta muy económico. Son simples cuadrados de cartulina plastificados que se adhieren al franelograma, colocándoles por la parte posterior un pequeño trozo de velcro) Realizaremos las siguientes actividades: Pegamos en el franelograma las siguientes piezas y nos dirigimos al grupo:

Ahora vamos a considerar solamente el tamaño y el número de las piezas, es decir, únicamente nos vamos a fijar en el tamaño y en el número de estos cuadrados amarillos. - ¿Qué tienen de igual estos dos grupos entre sí? El número - ¿Qué tienen de diferente estos dos grupos entre sí? El tamaño. Autor: Ramón Galán González

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Pasamos a la siguiente actividad: Pegamos en el franelograma las siguientes piezas y nos dirigimos al grupo:

- ¿Qué tienen ahora de igual estos dos grupos entre sí? El tamaño. - ¿Qué tienen ahora de diferente estos dos grupos entre sí? El número.

Otra actividad del mismo tipo:

¿Qué tienen ahora de igual estos dos grupos entre sí? Las dos cosas, tanto el tamaño como el número. - ¿Qué tienen ahora de diferente estos dos grupos entre sí? Nada. Ni el tamaño ni el número.

Autor: Ramón Galán González

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Una última actividad del mismo tipo:

¿Qué tienen ahora de igual estos dos grupos entre sí? Nada. Ni el tamaño ni el número. - ¿Qué tienen ahora de diferente estos dos grupos entre sí? Las dos cosas, tanto el tamaño como el número. Con estas actividades se pretende que el alumno establezca igualdades y diferencias en relación a los atributos de tamaño y número, haciendo abstracción del resto de las cualidades o atributos. Como se observará posteriormente, el alumno, para aprehender el concepto de fracción, tendrá que establecer semejanzas y diferencias entre el número de partes (numerador) y tamaño de las partes (denominador). Después de realizar distintos ejercicios como los anteriormente descritos, pasaremos a emplear las regletas del metro. Estas regletas son tiras de cartulinas plastificadas, de diferentes colores y con una anchura similar a la cinta métrica. La longitud de las diferentes cintas será de 0’5 m, 0’25 m, 0’2 m, 0’125 m, 0’1m y 0’05 m. Es decir, se emplearán regletas o tiras cuyas longitudes serán la mitad, cuarta, la quinta, la octava, la décima y la veinteava parte del metro. Estas regletas llevarán impresas las longitudes que miden. De igual modo, llevarán el dispositivo para ser colocadas fácilmente sobre el franelograma.

Con el fin de que el lector pueda seguir con facilidad la exposición que aquí se realiza, representaremos las distintas regletas con distintos colores y con una longitud reducida a una escala 1: 10. Esto es, la regleta Autor: Ramón Galán González

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metro medirá 10 centímetros en nuestra exposición. La regleta 0’5 metros, aquí medirá 5 centímetros. La regleta 0’25 m en nuestro caso medirá 2’5 cm. Y así sucesivamente. El lector podrá identificar el tipo de regletas a la que nos referimos en un momento determinado por el color. Es decir: Regleta 0’5 m: Regleta 0’25 m: Regleta 0’2 m: Regleta 0’125 m: Regleta 0’1 m: Regleta 0’05 m:

Con este nuevo material, pasamos a realizar actividades como las anteriores. Por ejemplo las siguientes: Pegamos en el franelograma las siguientes piezas y nos dirigimos al grupo:

Autor: Ramón Galán González

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Seguimos considerando solamente el tamaño y el número de las piezas, es decir, únicamente nos vamos a fijar en el tamaño y en el número de estas regletas sacadas del metro. - ¿Qué tienen de igual estos dos grupos de regletas entre sí? El número - ¿Qué tienen de diferente estos dos grupos de regletas entre sí? El tamaño. El profesor debe ser consciente que el alumno, en estos momentos, está estableciendo semejanzas y diferencias entre las fracciones 3/4 y 3/10. Es decir, entre fracciones que tienen el mismo numerador pero distinto denominador. Expresado en otros términos, que ambas fracciones tiene el mismo número de partes pero que las partes son de distinto tamaño y que éste está en relación inversa al valor de absoluto del denominador, esto es, cuanto mayor sea el denominador menor será el tamaño de las partes. Otra actividad similar a la anterior:

- ¿Qué tienen ahora de igual estos dos grupos de regletas entre sí? El tamaño. - ¿Qué tienen ahora de diferente estos dos grupos de regletas entre sí? El número.

Como podemos comprobar, el alumno de forma intuitiva está estableciendo semejanzas y diferencias entre las fracciones 7/5 y 2/5.

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Ahora las fracciones tiene distinto número de partes pero las partes son del mismo tamaño. Otra actividad similar a la anterior:

- ¿Qué tienen ahora de igual estos dos grupos de regletas entre sí? Todo, tanto el número como el tamaño. - ¿Qué tienen ahora de diferente estos dos grupos de regletas entre sí? Nada, ni el número ni el tamaño.

Una última actividad similar a las anteriores:

- ¿Qué tienen ahora de igual estos dos grupos de regletas entre sí? Nada, ni el número ni el tamaño. - ¿Qué tienen ahora de diferente estos dos grupos de regletas entre sí? Todo, tanto el número como el tamaño

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Se repiten estas últimas cuatro actividades con las regletas del metro pero colocando las regletas de cada grupo unas detrás de otras. Se procede de este modo con el fin de irnos aproximando de forma paulatina al concepto de fracción aplicado al metro y tener una percepción más clara de cuál será el valor numérico de la fracción y, al mismo tiempo, poder comparar las dos fracciones entre sí. Pegamos en el franelograma las siguientes piezas y nos dirigimos al grupo: “Ahora colocamos las regletas unas detrás de otras. Nos fijamos únicamente en el número y en el tamaño y tienen que decir que tienen de igual y qué tienen de diferente las regletas de arriba con respecto a las regletas colocadas en la parte de abajo”

- ¿Qué tienen de igual estos dos grupos de regletas entre sí? El tamaño. - ¿Qué tienen de diferente estos dos grupos de regletas entre sí? El número. La siguiente actividad

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- ¿Qué tienen de igual estos dos grupos de regletas entre sí? Nada ni el número ni el tamaño. - ¿Qué tienen de diferente estos dos grupos de regletas entre sí? Todo, tanto el número como el tamaño. Hay que observar que estas dos fracciones, 2/5 y 8/20 son equivalentes, es decir, que aunque tengan distintos numeradores y denominadores, las dos representan la misma parte del metro, esto es, 0’4 m y, por lo tanto, el valor numérico de ambas será de 0’4. Una última actividad similar a las anteriores:

- ¿Qué tienen ahora de igual estos dos grupos de regletas entre sí? El número. - ¿Qué tienen ahora de diferente estos dos grupos de regletas entre sí? El tamaño. También es recomendable realizar estas actividades registrando los resultados en un pequeño cuadro de doble entrada. Este hecho facilita la aplicación de los ejercicios a todos y cada uno de los alumnos del grupo. Vemos algunos ejemplos: Cada alumno tiene en una hoja de papel, un cuadro de doble entrada similar al siguiente:

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IGUAL

DIFERENTE

NÚMERO TAMAÑO

Se le muestra al grupo las siguientes figuras en el franelograma:

Los alumnos, estableciendo semejanzas y diferencias con respecto al número y al tamaño de las figuras, escribirán una “X” en las casillas correspondientes. En este caso concreto: IGUAL NÚMERO

DIFERENTE

X

TAMAÑO

X

Otro ejemplo, ahora empleando las regletas del metro:

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En este caso: IGUAL

otras:

DIFERENTE

NÚMERO

X

TAMAÑO

X

Un último ejemplo colocando las regletas unas a continuación de las

En este caso: IGUAL NÚMERO TAMAÑO

DIFERENTE X

X

Otra variante de estas actividades y que aumenta un poco su grado de dificultad consiste en realizarlas de forma inversa. Ahora será el alumno quien tenga que colocar las regletas sobre el franelograma a partir de las semejanzas y diferencias establecidas de antemano. Vemos un ejemplo:

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Solicitamos a un alumno que coloque sobre el franelograma las regletas que estime conveniente, siempre y cuando reflejen lo que aparece en el siguiente cuadro de doble entrada:

IGUAL NÚMERO TAMAÑO

sería:

DIFERENTE

X X

En este caso, la actividad tiene múltiples soluciones. Una de ellas

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2. Dividiendo el metro en partes iguales. Las siguientes fases consistirán en dividir el metro en partes iguales. Para ello procederemos colocando una cinta métrica de un metro de longitud adherido al franelograma e iremos dividiendo el metro colocando, debajo de éste y de manera sucesiva, el número apropiado de las distintas clases de regletas: 0’5, 0’25, 0’20 etc. Al mismo tiempo daremos nombre y determinaremos el valor o longitud de cada regleta expresado en forma de número decimal. 2.1. Dividiendo el metro en dos partes iguales. Comenzamos con la regleta 0’5.

“En la pizarra tenemos una cinta métrica de un metro de longitud. Queremos dividirlo en dos partes iguales. ¿Qué regletas tendremos que emplear?” Uno de los alumnos, saldrá y realizará el ejercicio disponiendo las regletas de 0’5 m de la siguiente manera:

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A continuación formularemos las siguientes preguntas al grupo: - ¿Cuántas regletas hemos utilizado para dividir el metro en dos partes iguales? Dos. - ¿Cuánto mide la longitud de cada una de estas dos regletas? 5 dm. ó 50 cm. ó 500 mm. - ¿Cuánto mide la longitud, expresada en metros, de cada una de estas dos regletas? 0’5 m ó 0’50 m ó 0’500 m. Luego se le proporciona al grupo la siguiente información: Como hemos dividido el metro en dos partes iguales, en dos mitades, a estas regletas las llamaremos mitades. Cada una de estas mitades mide 50 cm, es decir, 0’5 m. Como estas regletas miden una mitad, los matemáticos también las llaman fracción 1/2. El 1 significa que tenemos una regleta y el 2 que es la mitad del metro, es decir, que hemos dividido el metro en 2 partes iguales. A continuación el profesor colocará en la pizarra las siguientes regletas:

Y formulará las siguientes preguntas: - ¿Qué número decimal hemos formado? 2’5 - ¿Por qué hemos formado el número 2’5? Porque tenemos 2 metros enteros y 50 cm más.

Autor: Ramón Galán González

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- Teniendo en cuenta que cada regleta mide 0’5 m, y que tenemos 5 regletas ¿qué multiplicación hemos formado y cuál es el resultado de la multiplicación? 0’5 x 5 = 2’5. - Teniendo en cuenta que tenemos 5 regletas mitades, ¿qué fracción hemos formado? 5/2. El profesor hará notar a los alumnos que el numerador 5 significa que hay 5 regletas y que el denominador 2 significa que el tamaño de las regletas son mitades del metro. Por último, el profesor preguntará al grupo: ¿Cuánto metros hemos formado con la fracción 5/2? 2’5 m.

Ahora será el alumno quien construya y no solamente interprete. Se le solicita a un alumno del grupo que forme el número decimal 4’5 con regletas de 0’5. “Forma el número 4’5 utilizando regletas de la mitad de un metro”

A continuación le formularemos las siguientes preguntas: - ¿Cuántas regletas has tenido que utilizar? 9. - Teniendo en cuenta que cada regleta mide 0’5 m y que has utilizado 9 regletas, ¿qué multiplicación has formado y cuál es el resultado de la multiplicación? 0’5 x 9 = 4’5. - Teniendo en cuenta que has utilizado 9 regletas mitades, ¿qué fracción has formado? 9/2. Autor: Ramón Galán González

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- ¿Cuánto metros has formado con la fracción 9/2? 4’5 m. De nuevo insistimos que la fracción 9/2 significa que el número 9 expresa el número de regletas que hemos utilizado, mientras que el 2 significa que cada regleta tiene el tamaño de la mitad de un metro. El profesor debe ser consciente que bajo este sencillo ejercicio el alumno: - Está interpretando el significado de un número decimal. 4’5 m = 4 metros enteros + 5 decímetros - Está realizando la multiplicación 0’5 x 9 = 4’5 - Está interpretando el significado de la fracción 9/2. - Está realizando la multiplicación 1/2 x 9 = 9/2 - Está calculando el valor numérico de la fracción 9/2 = 4’5 - Que ha calculado la mitad de 9 que es 4’5. - Que ha formado la división 9 : 2 = 4’5 - Que ha formado la división 4’5 : 0’5 = 9 - Que ha formado la división 4’5 : 9 = 0’5 Por último realizamos un ejercicio similar pero ahora el resultado será un número exacto de metros. “Forma la fracción 6/2” utilizando regletas de la mitad de un metro”

Autor: Ramón Galán González

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A continuación formularemos las siguientes preguntas: - ¿Cuántas regletas has tenido que utilizar? 6. - ¿Qué longitud tiene cada una de las regletas? 0’5 m ó 0’50 m. - ¿Cuántos metros enteros has formado? 3 - ¿Qué multiplicación has formado y cuál es el resultado? 0’5 x 6 = 3 - ¿Cuál es el valor de la fracción 6/2? 3 - Teniendo en cuenta que has utilizado 6 regletas y que las has agrupado de dos en dos para formar 3 metros, ¿qué división has realizado? 6:2=3

Autor: Ramón Galán González

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2.2. Dividiendo el metro en cuatro partes iguales. Se procede de igual modo que con la mitad.

“En la pizarra tenemos una cinta métrica de un metro de longitud. Queremos dividirla en cuatro partes iguales. ¿Qué regletas y cuántas tendremos que emplear?” Uno de los alumnos, saldrá y realizará el ejercicio disponiendo las regletas de 0’25 m de la siguiente manera:

A continuación formularemos las siguientes preguntas al grupo: - ¿Cuántas regletas hemos utilizado para dividir el metro en cuatro partes iguales? Cuatro. - ¿Cuánto mide la longitud de cada una de estas cuatro regletas? 25 cm. ó 250 mm. - ¿Cuánto mide la longitud, expresada en metros, de cada una de estas cuatro regletas? 0’25 m ó 0’250 m. Luego se le proporciona al grupo la siguiente información:

Autor: Ramón Galán González

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Como hemos dividido el metro en cuatro partes iguales, a estas regletas las llamaremos cuartas partes. Cada una de estas cuartas partes mide 0’25 m ó 0’250 m Como estas regletas miden una cuarta parte, los matemáticos también las llaman fracción 1/4. El 1 significa que tenemos una regleta y el 4, que es la cuarta parte del metro porque hemos dividido el metro en 4 partes iguales. A continuación el profesor colocará en la pizarra las siguientes regletas:

Y formulará las siguientes preguntas: - ¿Qué número decimal hemos formado? 3’25 - Teniendo en cuenta que cada regleta mide 0’25 m y que tenemos 13 regletas, ¿qué multiplicación hemos formado y cuál es el resultado de la multiplicación? 0’25 x 13 = 3’25. - Teniendo en cuenta que tenemos 13 regletas de cuartas partes, ¿qué fracción hemos formado? 13/4. El profesor hará notar a los alumnos que el numerador 13 significa que hay 13 regletas y que el denominador 4 significa que el tamaño de las regletas son cuartas partes del metro. Por último, el profesor preguntará al grupo: ¿Cuánto metros hemos formado con la fracción 13/4? 3’25 m. Ahora y de nuevo será el alumno quien construya y no solamente interprete lo que el profesor realiza. Se le solicita a un alumno del grupo que forme el número decimal 1’75 con regletas de 0’25. Autor: Ramón Galán González

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“Forma el número 1’75 utilizando regletas de la cuarta parte del metro”

A continuación le formularemos las siguientes preguntas: - ¿Cuántas regletas has tenido que utilizar? 7. - Teniendo en cuenta que cada regleta mide 0’25 m y que has utilizado 7 regletas ¿qué multiplicación has formado y cuál es el resultado de la multiplicación? 0’25 x 7 = 1’75. - Teniendo en cuenta que has utilizado 7 regletas de cuartas partes, ¿qué fracción has formado? 7/4. - ¿Cuánto metros has formado con la fracción 7/4? 1’75 m. De nuevo insistimos que la fracción 7/4 significa que el número 7 expresa el número de regletas que hemos utilizado, mientras que el 4 significa que cada regleta tiene el tamaño de una cuarta parte del metro. De nuevo, el profesor debe ser consciente que bajo este sencillo ejercicio el alumno: - Está interpretando el significado de un número decimal. 1’75 m = 1 metros entero + 75 centímetros. - Está realizando la multiplicación 0’25 x 7 = 1’75 - Está interpretando el significado de la fracción 7/4. - Está realizando la multiplicación 1/4 x 7 = 7/4 Autor: Ramón Galán González

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- Está calculando el valor numérico de la fracción 7/4 = 1’75 - Que ha calculado la cuarta parte de 7 que es 1’75. - Que ha formado la división 7 : 4 = 1’75 - Que ha formado la división 1’75 : 0’25 = 7 - Que ha realizado la división 1’75 : 7 = 0’25 Realizamos una actividad similar pero ahora con una fracción propia. Es decir, con una fracción cuyo numerador es menor que el denominador, o lo que es lo mismo, con una fracción cuyo valor numérico es inferior a 1. - “Forma el número 0’75 utilizando regletas de la cuarta parte del metro”

A continuación le formularemos las siguientes preguntas: - ¿Cuántas regletas has tenido que utilizar? 3. - Teniendo en cuenta que cada regleta mide 0’25 m y que has utilizado 3 regletas, ¿qué multiplicación has formado y cuál es el resultado de la multiplicación? 0’25 x 3 = 0’75. - Teniendo en cuenta que has utilizado 3 regletas de cuartas partes, ¿qué fracción has formado? 3/4. - ¿Cuánto metros has formado con la fracción 3/4? 0’75 m.

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Por último realizamos un ejercicio similar pero ahora el resultado será un número exacto de metros. “Forma la fracción 12/4” utilizando regletas de la cuarta parte del metro”

A continuación formularemos las siguientes preguntas: - ¿Cuántas regletas has tenido que utilizar? 12. - ¿Qué longitud tiene cada una de las regletas? 0’25 m ó 0’250 m. - ¿Cuántos metros enteros has formado? 3 - ¿Qué multiplicación has formado y cuál es el resultado? 0’25 x 12 = 3 - ¿Cuál es el valor de la fracción 12/4? 3 - Teniendo en cuenta que has utilizado 12 regletas y que las has agrupado de cuatro en cuatro para 3 formar metros, ¿qué división has realizado? 12 : 4 = 3 - Teniendo en cuenta que en total tienes 3 metros y que los has dividido en trozos de 0’25 m y que has obtenido 12 trozos, ¿qué división has formado? 3 : 0’25 = 12

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2.3. Dividiendo el metro en ocho partes iguales. Se opta por presentar antes la octava parte que la quinta parte porque la mitad, la cuarta parte y la octava parte forman un grupo de regletas relacionadas entre sí. La cuarta parte surge como consecuencia de dividir la mitad a la mitad. Lo mismo ocurre con la octava parte que surge como consecuencia de calcular la mitad de la cuarta parte. Algo similar sucede con las regletas de la quinta, la décima y la veinteava parte. La décima parte es la mitad de la quinta parte y, a su vez, la veinteava parte es la mitad de la décima parte. Se considera necesario trabajar con los alumnos esta relación que se establece entre la mitad, la cuarta y la octava parte. Por ello se propone realizar unas actividades previas con este fin. De forma colateral, estaremos iniciando a los alumnos en el concepto de fracciones equivalentes. Comenzamos dividiendo el metro en dos partes iguales y en cuatro partes iguales, para ello se le solicita a uno de los alumnos que realice la siguiente actividad:

“En la pizarra tenemos una cinta métrica de un metro de longitud. Divídela primero en dos partes iguales utilizando las regletas que consideres necesario”

Autor: Ramón Galán González

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“Ahora, debajo de las regletas que ya tienes colocadas en la pizarra, divide el metro en cuatro partes iguales utilizando las regletas que consideres necesario.”

Nos dirigimos al grupo y le preguntamos: - Observen las regletas que tenemos colocadas en la pizarra. - ¿Cuántas mitades hemos utilizado para formar el metro? Dos. - ¿Cuántas cuartas partes hemos utilizado para formar el metro? Cuatro. - ¿Cuántos centímetros mide la regleta de la mitad? 50 cm. - ¿Cuántos centímetros mide la regleta de la cuarta parte? 25 cm. - ¿Cuántos metros mide la regleta de la mitad? 0’5 m ó 0’50 m. - ¿Cuántos metros mide la regleta de la cuarta parte? 0’25 m. - Si dividimos la regleta de la mitad en dos partes iguales, ¿qué regleta obtenemos? La regleta de la cuarta parte.

Seguimos reforzando esta idea. Se le solicita a uno de los alumnos que realice la siguiente actividad: “Forma el número decimal 1’50, primero utilizando regletas de la mitad y luego, debajo, utilizando regletas de la cuarta parte”

Autor: Ramón Galán González

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Nos dirigimos al grupo y le preguntamos: - Observen las regletas que tenemos colocadas en la pizarra. - ¿Cuántas mitades hemos utilizado para formar el número 1’50? Tres. - ¿Cuántas cuartas partes hemos utilizado para formar el número 1’50? Seis. - ¿Qué multiplicación hemos formado con las regletas de la mitad? 0’5 x 3 = 1’5

o también

0’50 x 3 = 1’50

- ¿Qué multiplicación hemos formado con las regletas de la cuarta parte? 0’25 x 6 = 1’50 - ¿Qué fracción hemos formado con las tres regletas de la mitad? 3/2. - ¿Qué fracción hemos formado con las seis regletas de la cuarta parte? 6/4. - ¿Cuál es el valor de la fracción 3/2? 1’5 ó 1’50. - ¿Cuál es el valor de la fracción 6/4? 1’5 ó 1’50. - ¿Cuál de las dos fracciones tiene mayor valor? Las dos iguales. - ¿Cómo es posible que las dos fracciones tengan el mismo valor si la fracción 3/2 sólo tiene tres regletas y la fracción 6/4 tiene el doble de regletas, es decir, 6 regletas? Porque las regletas de la cuarta parte miden menos, miden la mitad que las otras. Autor: Ramón Galán González

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Hay que observar que de manera intuitiva hemos establecido una relación de proporcionalidad inversa al comprobar que la multiplicación 0’50 x 3 = 1’50 es equivalente a la multiplicación 0’25 x 6 = 1’50. O en otros términos, como el número de regletas aumenta al doble, de 3 a 6 regletas, el tamaño disminuye a la mitad, de 50 cm. a 25 cm. Introducimos ahora las regletas de la octava parte. Para ello incorporaremos la regleta de 0’125 m. “En la pizarra tenemos una cinta métrica de un metro de longitud. Divídela primero en dos partes iguales utilizando las regletas que consideres necesario”

“Ahora, debajo de las regletas que ya tienes colocadas en la pizarra, divide el metro en cuatro partes iguales utilizando las regletas que consideres necesario.”

“Por último, debajo de las regletas que ya tienes colocadas en la pizarra, divide el metro en ocho partes iguales utilizando las regletas que consideres necesario.”

Autor: Ramón Galán González

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Nos dirigimos al grupo y le preguntamos: - Observen las regletas que tenemos colocadas en la pizarra. - ¿Cuántos milímetros mide la regleta de la mitad? 500 mm. - ¿Cuántos milímetros mide la regleta de la cuarta parte? 250 mm. - ¿Cuántos milímetros tiene que medir cada una de las regletas que hemos utilizado para dividir el metro en ocho partes iguales? 125 mm. - ¿Cuál será la longitud, expresada en metros, de cada una de las regletas que hemos utilizado para dividir el metro en ocho partes iguales? 0’125 m. Luego se le proporciona al grupo la siguiente información: Como hemos dividido el metro en ocho partes iguales, a estas regletas las llamaremos octavas partes. Cada una de estas octavas partes mide 125 milímetros, es decir, 0’125 m. Como estas regletas miden una octava parte, los matemáticos también las llaman fracción 1/8. El 1 significa que tenemos una regleta y el 8 que es la octava parte del metro porque hemos dividido el metro en 8 partes iguales. A continuación el profesor colocará en la pizarra las siguientes regletas:

Y formulará las siguientes preguntas: Autor: Ramón Galán González

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- ¿Qué número decimal hemos formado? 1’375 - Teniendo en cuenta cada regleta mide 0’125 m y que tenemos 11 regletas, ¿qué multiplicación hemos formado y cuál es el resultado de la multiplicación? 0’125 x 11 = 1’375. - Teniendo en cuenta que tenemos 11 regletas de octavas partes, ¿qué fracción hemos formado? 11/8. El profesor hará notar a los alumnos que el numerador 11 significa que hay 11 regletas y que el denominador 8 significa que el tamaño de las regletas son octavas partes del metro. Por último, el profesor preguntará al grupo: ¿Cuánto metros hemos formado con la fracción 11/8? 1’375 m.

A continuación, se le solicita a un alumno del grupo que forme el número decimal 0’625 con regletas de 0’125. “Forma el número 0’625 utilizando regletas de la octava parte del metro”

Si el alumno tuviera dificultad en calcular el número de regletas que se necesitan, razonaríamos diciéndole que dos regletas juntas de 0’125 tienen la misma longitud que una regleta de la cuarta parte. Si fuera necesario, incluso, le haríamos ver que cuatro regletas de la octava parte es lo mismo que la mitad de un metro. De cualquier forma, esta información la proporcionaríamos en el caso de que ningún alumno del grupo supiera el número de regletas que se tendrían que colocar y, en todo caso, el alumno que proporcionara la respuesta acertada tendrá que explicar cómo ha calculado para saber que son cinco regletas. Autor: Ramón Galán González

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A continuación le formularemos las siguientes preguntas al grupo: - ¿Cuántas regletas has tenido que utilizar? 5. - Teniendo en cuenta que cada regleta mide 0’125 m y que has utilizado 5 regletas, ¿qué multiplicación has formado y cuál es el resultado de la multiplicación? 0’125 x 5 = 0’625. - Teniendo en cuenta que has utilizado 5 regletas de octavas partes, ¿qué fracción has formado? 5/8. - ¿Cuánto metros has formado con la fracción 5/8? 0’625 m. De nuevo insistimos que la fracción 5/8 significa que el número 5 expresa el número de regletas que hemos utilizado, mientras que el 8 significa que cada regleta tiene el tamaño de una octava parte del metro. Por último realizamos un ejercicio similar pero ahora el resultado será un número exacto de metros. “Forma la fracción 16/8” utilizando regletas de la octava parte del metro”

A continuación formularemos las siguientes preguntas: - ¿Cuántas regletas has tenido que utilizar? 16. - ¿Qué longitud, expresada en metros, tiene cada una de las regletas? 0’125 m. - ¿Cuántos metros enteros has formado? 3 Autor: Ramón Galán González

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- ¿Qué multiplicación has formado y cuál es el resultado? 0’125 x 16 = 2 - ¿Cuál es el valor de la fracción 16/8? 2 - Teniendo en cuenta que has utilizado 16 regletas y que las has agrupado de ocho en ocho para formar 2 metros enteros, ¿qué división has realizado? 16 : 8 = 2 - Teniendo en cuenta que en total tienes 2 metros y que los has dividido en trozos de 0’125 m y que has obtenido 16 trozos, ¿qué división has formado? 2 : 0’125 = 16 Mediante la siguiente actividad relacionamos la cuarta parte con la octava parte. Se le solicita a uno de los alumnos que realice la siguiente actividad: “Forma el número decimal 1’75, primero utilizando regletas de la cuarta parte y luego, debajo, utilizando regletas de la octava parte”

Nos dirigimos al grupo y le preguntamos: - Observen las regletas que tenemos colocadas en la pizarra. - ¿Cuántas cuartas partes hemos utilizado para formar el número 1’75? 7.

Autor: Ramón Galán González

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- ¿Cuántas octavas partes hemos utilizado para formar el número 1’75? 14. - ¿Qué multiplicación hemos formado con las regletas de la cuarta parte? 0’25 x 7 = 1’75 - ¿Qué multiplicación hemos formado con las regletas de la octava parte? 0’125 x 14 = 1’75 - ¿Qué fracción hemos formado con las 7 regletas de la cuarta parte? 7/4. - ¿Qué fracción hemos formado con las 14 regletas de la octava parte? 14/8. - ¿Cuál es el valor de la fracción 7/4? 1’75. - ¿Cuál es el valor de la fracción 14/8? 1’75. - ¿Cuál de las dos fracciones, 7/4 ó 14/8, tiene mayor valor? Las dos iguales. - ¿Cómo es posible que las dos fracciones tengan el mismo valor si la fracción 7/4 sólo tiene menos regletas que la fracción 14/8? Porque las regletas de la cuarta parte miden más que las regletas de la octava parte, miden el doble. De nuevo, el profesor debe ser consciente que de manera intuitiva los alumnos han establecido una relación de proporcionalidad inversa al comprobar que la multiplicación 0’25 x 7 = 1’75 es equivalente a la multiplicación 0’125 x 14 = 1’75. O en otros términos, como el número de regletas aumenta al doble, de 7 a 14 regletas, el tamaño disminuye a la mitad, de 25 cm. (250 mm.) a 125 mm.

Autor: Ramón Galán González

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3. Formando fracciones con las regletas 0’5, 0’25 y 0’125 y calculando su valor numérico. Antes de introducir las regletas de la quinta, décima y veinteava parte, seguimos trabajando con el concepto de mitad, cuarta y octava parte aplicados al metro. Se toma esta decisión con el fin de consolidar el aprendizaje adquirido. Se proponen algunos ejemplos de los siguientes tipos de actividades:

Se les informa previamente a los alumnos que el valor numérico de la fracción es el número decimal que ésta representa y se les formula las siguientes preguntas: - ¿Qué fracción hemos formado? 15/2 - ¿Cuál es el valor numérico de la fracción 15/2? 7’5 La misma actividad pero ahora referida a la cuarta parte:

- ¿Qué fracción hemos formado? 10/4 - ¿Cuál es el valor numérico de la fracción 10/4? 2’5

Autor: Ramón Galán González

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La misma actividad pero ahora referida a la octava parte:

- ¿Qué fracción hemos formado? 7/8 - ¿Cuál es el valor numérico de la fracción 7/8? 0’875 Ahora el alumno será quien construya: “Construye mediante las regletas de la mitad, la fracción 4/2”

¿Cuál es el valor numérico de la fracción que has construido? 2. Otro ejercicio: “Construye mediante las regletas de la cuarta parte, la fracción 11/4”

¿Cuál es el valor numérico de la fracción que has construido? 2’75.

Autor: Ramón Galán González

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Otro ejercicio: “Construye mediante las regletas de la octava parte, la fracción 12/8”

¿Cuál es el valor numérico de la fracción que has construido? 1’5. Otros ejercicios similares: “Construye de todas las maneras posibles la fracción cuyo valor numérico sea 2’5”

Si algún alumno tratara de construir el número 2’5 empleando regletas distintas, como por ejemplo se observa en el siguiente gráfico:

Autor: Ramón Galán González

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Entonces le preguntaríamos ¿Cuántas regletas has utilizado? 6 regletas. ¿De qué tamaño? Mitades y cuartas parte. ¿Cómo tendríamos entonces que escribir la fracción, 6/2 ó 6/4? El alumno debe comprender que ambas soluciones son incorrectas, ya que, necesariamente, las regletas o partes del metro han de ser todas iguales entre sí. Otro ejercicio: “Construye de todas las maneras posibles la fracción cuyo valor numérico sea 0’75”

Hay que observar que en este caso, no podemos formar la correspondiente fracción utilizando las regletas de 0’5 Una última propuesta de ejercicio: “Construye de todas las maneras posibles la fracción cuyo valor numérico sea 1’125”

Autor: Ramón Galán González

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Hay que observar que en este caso, sólo podemos formar la correspondiente fracción utilizando las regletas de la octava parte.

Autor: Ramón Galán González

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4. Comparando fracciones: Ahora comenzamos a comparar dos fracciones. Una vez construidas las fracciones, a simple vista podemos saber qué fracción es menor o mayor. Basta simplemente mirar. Sin embargo realizaremos una serie de actividades con el fin de que el alumno descubra que incidencia o relación tienen el numerador y el denominador a la hora de comparar dos fracciones. Para ello volvemos a los ejercicios del principio. Establecemos semejanzas y diferencias entre el número y el tamaño de las regletas que tienen dos fracciones. Pegamos en el franelograma las siguientes piezas y nos dirigimos al grupo:

- ¿Qué fracción hemos formado con las regletas de arriba? 2/4 - ¿Qué fracción hemos formado con las regletas de abajo? 4/4 - Ahora se van a fijar únicamente en el número y en el tamaño de las regletas que tienen las dos fracciones y tienen que decir que tienen de igual y qué tienen de diferente las regletas de la fracción 2/4 con respecto a las regletas de la fracción 4/4” - ¿Qué tienen de igual las regletas de las dos fracciones? ¿El número o el tamaño? El tamaño. - ¿Qué tienen de diferente las regletas de las dos fracciones? ¿El número o el tamaño? El número.

Autor: Ramón Galán González

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- ¿Cuál de las dos fracciones tendrá mayor valor? 4/4. ¿Por qué? Porque tiene mayor número de regletas. - ¿Qué valor tiene la fracción 2/4? 0’5 - ¿Qué valor tiene la fracción 4/4? 1.

Ahora realizamos otra actividad pero siendo igual el número y distinto el tamaño de las regletas: Construimos en el franelograma las siguientes fracciones y nos dirigimos al grupo:

- ¿Qué fracción hemos formado con las regletas de arriba? 3/8 - ¿Qué fracción hemos formado con las regletas de abajo? 3/4 - De nuevo se van a fijar únicamente en el número y en el tamaño de las regletas que tienen las dos fracciones y tienen que decir que tienen de igual y qué tienen de diferente las regletas de la fracción 3/8 con respecto a las regletas de la fracción 3/4” - ¿Qué tienen de igual las regletas de las dos fracciones? ¿El número o el tamaño? El número. - ¿Qué tienen de diferente las regletas de las dos fracciones? ¿El número o el tamaño? El tamaño. - ¿Cuál de las dos fracciones tendrá mayor valor? 3/4. ¿Por qué? Porque las regletas son de mayor tamaño. Autor: Ramón Galán González

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- ¿Qué valor tiene la fracción 3/8? 0’375 - ¿Qué valor tiene la fracción 3/4? 0’75. Reforzamos el aprendizaje con otras actividades similares pero ahora vamos cambiando el vocabulario. De forma progresiva nos iremos refiriendo a las regletas con el nombre de “partes”: - Observa y analiza las fracciones las fracciones que tenemos en el franelograma:

- ¿Qué fracción hemos formado en la parte de arriba? 2/8 - ¿Qué fracción hemos formado en la parte de abajo? 3/8 - ¿Qué tienen en común las fracciones 2/8 y 3/8? ¿El número de partes o el tamaño de las regletas o partes? El tamaño de las partes. - ¿Qué tienen de diferentes las fracciones 2/8 y 3/8? ¿El número o el tamaño de las regletas o partes? El número de regletas o partes. - ¿Qué valor tiene la fracción 2/8? 0’250 - ¿Qué valor tiene la fracción 3/8? 0’375 - Por lo tanto, ¿qué fracción tiene más valor? 3/8. - ¿Quién podría explicar por qué sucede esto? Porque las partes son iguales y la fracción de abajo, 3/8, tiene más partes que la de arriba, 2/8. Autor: Ramón Galán González

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- ¿Alguien podría decir en cuánto es mayor la longitud que representa la fracción 3/8 que la longitud que representa la fracción 2/8? 0’125 m.

A continuación, y con el fin de verificar si los alumnos han integrado o interiorizado el aprendizaje, se le plantea al grupo el siguiente ejercicio sin colocar las regletas en el franelograma: Se escribe en la pizarra las fracciones 2/4 y 3/4 y se le formula las siguientes cuestiones: - ¿Qué tienen en común las fracciones 2/4 y 3/4? ¿El número o el tamaño de las regletas o partes? El tamaño de las partes. - ¿Qué tienen de diferentes las fracciones 2/4 y 3/4? ¿El número o el tamaño de las regletas o partes? El número de regletas o partes. - ¿Qué valor tiene la fracción 2/4? 0’50 ó 0’5 - ¿Qué valor tiene la fracción 3/4? 0’75 - Por lo tanto, ¿qué fracción tiene más valor? 3/4. - ¿Quién podría explicar por qué sucede esto? Porque las partes son iguales y la fracción 3/4 tiene más partes que la fracción 2/4. - ¿Alguien podría decir en cuánto es mayor la longitud que representa la fracción 3/4 que la longitud que representa la fracción 2/4? 0’25 m. A continuación, se representan dichas fracciones en el franelograma y se comprueban los resultados.

Autor: Ramón Galán González

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Después de realizar distintos ejercicios de este tipo, pasamos a realizar ejercicios similares pero ahora comparando fracciones que tienen el mismo numerador pero denominadores distintos. Construimos en el franelograma las siguientes fracciones y nos dirigimos al grupo:

- ¿Qué fracción hemos formado con las regletas de arriba? 3/2 - ¿Qué fracción hemos formado con las regletas de abajo? 3/4 - De nuevo se van a fijar únicamente en el número y en el tamaño de las regletas que tienen las dos fracciones y tienen que decir que tienen de igual y qué tienen de diferente las regletas o partes de la fracción 3/2 con respecto a las partes de la fracción 3/4” - ¿Qué tienen de igual las partes de las dos fracciones? ¿El número o el tamaño? El número de las partes o regletas - ¿Qué tienen de diferente las partes de las dos fracciones? ¿El número o el tamaño? El tamaño de las partes. - ¿Cuál de las dos fracciones tendrá mayor valor? 3/2. ¿Por qué? Porque las regletas o las partes son de mayor tamaño. - ¿Qué valor tiene la fracción 3/2? 1’5 - ¿Qué valor tiene la fracción 3/4? 0’75. Reforzamos el aprendizaje con otras actividades similares.

Autor: Ramón Galán González

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- Observa y analiza las fracciones las fracciones que tenemos en el franelograma:

- ¿Qué fracción hemos formado en la parte de arriba? 5/4 - ¿Qué fracción hemos formado en la parte de abajo? 5/8 - ¿Qué tienen en común las fracciones 5/4 y 5/8? ¿El número o el tamaño de las regletas o partes? El número de regletas o partes. - ¿Qué tienen de diferentes las fracciones 5/4 y 5/8? ¿El número o el tamaño de las regletas o partes? El tamaño de las partes. - ¿Qué valor tiene la fracción 5/4? 1’25. - ¿Qué valor tiene la fracción 5/8? 0’625 - Por lo tanto, ¿qué fracción tiene más valor? 5/4. - ¿Quién podría explicar por qué sucede esto? Porque, aunque las dos fracciones tienen 5 partes, las cuartas partes son de mayor tamaño que las octavas partes. - ¿Alguien podría decir en cuánto es mayor la longitud que representa la fracción 5/4 que la longitud que representa la fracción 5/8? 0’625 m. Es muy importante que el alumno que aporte esta última respuesta explique el procedimiento del cálculo. Nuestra experiencia de aula nos informa que los alumnos, en este caso como en otros muchos, razonan de muy diversas maneras. Este hecho enriquece sobre manera el aprendizaje del grupo y fomenta la investigación por encontrar nuevas y originales formas de razonamiento. Autor: Ramón Galán González

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De nuevo, y con el fin de verificar si los alumnos han integrado o interiorizado el aprendizaje, se le plantea al grupo el siguiente ejercicio sin colocar las regletas en el franelograma: Se escribe en la pizarra las fracciones 7/2 y 7/8 y se le formula las siguientes cuestiones: - ¿Qué tienen en común las fracciones 7/2 y 7/8? ¿El número o el tamaño de las regletas o partes? El número de partes. - ¿Qué tienen de diferentes las fracciones 7/2 y 7/8? ¿El número o el tamaño de las regletas o partes? El tamaño de las partes. - ¿Qué valor tiene la fracción 7/2? 3’5 - ¿Qué valor tiene la fracción 7/8? 0’875 - Por lo tanto, ¿qué fracción tiene más valor? 7/2. - ¿Quién podría explicar por qué sucede esto? Porque aunque tengan las dos fracciones igual número de partes, las partes de la fracción 7/2 son de mayor tamaño. - ¿Alguien podría decir en cuánto es mayor la longitud que representa la fracción 7/2 que la longitud que representa la fracción 7/8? 2’625 A continuación, se representan dichas fracciones en el franelograma y se comprueban los resultados.

Autor: Ramón Galán González

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Después de realizar ejercicios similares como el anterior, pasamos a comparar dos fracciones que tienen distintos numeradores y distintos denominadores. Para ello emplearemos dos procedimientos: Uno. Hallando y comparando el valor numérico de las dos fracciones. Otro. Transformando a común denominador las dos fracciones. Veamos en primer lugar el primer procedimiento aunque el alumno ya presenta dominio de este aprendizaje toda vez que sabe calcular el valor numérico de una fracción y sabe comparar dos números decimales. Como el segundo procedimiento implica el aprendizaje previo de fracción equivalente, se pospone para más adelante, después que el alumno haya trabajado la quinta, la décima y la veinteava parte. Construimos en el franelograma las siguientes fracciones y nos dirigimos al grupo: - Observa y analiza las fracciones que tenemos en el franelograma:

- ¿Qué fracción hemos formado en la parte de arriba? 3/4 - ¿Qué fracción hemos formado en la parte de abajo? 5/8 - ¿Qué tienen en común las fracciones 3/4 y 5/8? ¿El número o el tamaño de las regletas o partes? Ninguna cosa en común. Ni el número ni el tamaño de las partes - ¿Qué valor tiene la fracción 3/4? 0’75. Autor: Ramón Galán González

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- ¿Qué valor tiene la fracción 5/8? 0’625 - Por lo tanto, ¿qué fracción tiene más valor? 3/4. - ¿Alguien podría decir en cuánto es mayor la longitud que representa la fracción 3/4 que la longitud que representa la fracción 5/8? 0’125. Vemos otra actividad Construimos en el franelograma las siguientes fracciones y nos dirigimos al grupo: - Observa y analiza las fracciones las fracciones que tenemos en el franelograma:

- ¿Qué fracción hemos formado en la parte de arriba? 13/4 - ¿Qué fracción hemos formado en la parte de abajo? 5/2 - ¿Qué tienen en común las fracciones 13/4 y 5/2? ¿El número o el tamaño de las regletas o partes? Ninguna cosa en común. Ni el número ni el tamaño de las partes - ¿Qué valor tiene la fracción 13/4? 3’25. - ¿Qué valor tiene la fracción 5/2? 2’5 - Por lo tanto, ¿qué fracción tiene más valor? 13/4.

Autor: Ramón Galán González

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- ¿Alguien podría decir en cuánto es mayor la longitud que representa la fracción 13/4 que la longitud que representa la fracción 5/2? 1’25. De nuevo, y con el fin de verificar si los alumnos han integrado o interiorizado el aprendizaje, se le plantea al grupo el siguiente ejercicio sin colocar las regletas en el franelograma: Se escribe en la pizarra las fracciones 5/4 y 12/8 y se le formula las siguientes cuestiones: - ¿Cuál es el valor numérico de la fracción 5/4? 1’25. - ¿Cuál es el valor numérico de la fracción 12/8? 1’50. - ¿Cuál de los dos fracciones tiene mayor valor? 12/8. - ¿Alguien podría decir en cuánto es mayor la longitud que representa la fracción 12/8 que la longitud que representa la fracción 5/4? 0’25. Representamos las fracciones en el franelograma y comprobamos los resultados: Es conveniente observar que en este tipo de ejercicio, el alumno primero calcula y posteriormente comprueba.

Autor: Ramón Galán González

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5. Fracciones equivalentes. Construimos en el franelograma las siguientes fracciones y nos dirigimos al grupo: - Observa y analiza las fracciones las fracciones que tenemos en el franelograma:

- ¿Qué fracción hemos formado en la parte de arriba? 10/4 - ¿Qué fracción hemos formado en la parte de abajo? 5/2 - ¿Qué tienen en común las fracciones 10/4 y 5/2? ¿El número o el tamaño de las regletas o partes? Ninguna cosa en común. Ni el número ni el tamaño de las partes - ¿Qué valor tiene la fracción 10/4? 2’5. - ¿Qué valor tiene la fracción 5/2? 2’5 - Por lo tanto, ¿qué fracción tiene más valor? Las dos tienen el mismo valor. - Si comparamos el número de partes que tiene la fracción 10/4 con el número de partes que tiene la fracción 5/2, ¿este número ha aumentado o ha disminuido? Ha disminuido a la mitad. - Si comparamos el tamaño de las partes que tiene la fracción 10/4 con el tamaño de las partes que tiene la fracción 5/2, ¿ha aumentado o ha disminuido? Ha aumentado al doble

Autor: Ramón Galán González

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- ¿Alguien podría explicar cómo es posible que las dos fracciones tengan el mismo valor si las fracciones tienen distinto número de partes y el tamaño de las partes también es diferente? Aquí las respuestas pueden ser múltiples. Lo importante es que sea el mayor número de alumnos quienes aporten una explicación. El profesor encaminará las respuestas de los alumnos a que estos descubran que son equivalentes debido a que como las partes de la fracción 5/2 son el doble del tamaño de la fracción 10/4, entonces el número de las partes se tiene que reducir a la mitad. Se trata, en definitiva de trabajar de forma intuitiva con los alumnos la relación de proporcionalidad inversa que existe entre el número de partes que representa el numerador de una fracción con respecto al tamaño de las partes que representa el denominador de una fracción. Vemos otra actividad. Ahora relacionando cuartas partes con octavas partes. - Observa y analiza las fracciones las fracciones que tenemos en el franelograma:

- ¿Qué fracción hemos formado en la parte de arriba? 7/4 - ¿Qué fracción hemos formado en la parte de abajo? 14/8 - ¿Qué tienen en común las fracciones 7/4 y 14/8? ¿El número o el tamaño de las regletas o partes? Ninguna cosa en común. Ni el número ni el tamaño de las partes - ¿Qué valor tiene la fracción 7/4? 1’75. Autor: Ramón Galán González

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- ¿Qué valor tiene la fracción 14/8? 1’75 - Por lo tanto, ¿qué fracción tiene más valor? Las dos tienen el mismo valor. - Si comparamos el número de partes que tiene la fracción 7/4 con el número de partes que tiene la fracción 14/8, ¿este número ha aumentado o ha disminuido? Ha aumentado al doble. - Si comparamos el tamaño de las partes que tiene la fracción 7/4 con el tamaño de las partes que tiene la fracción 14/8, ¿ha aumentado o ha disminuido? Ha disminuido a la mitad. - ¿Alguien podría explicar cómo es posible que las dos fracciones tengan el mismo valor? Después de realizar este ejercicio, el profesor proporcionará a los alumnos la siguiente información: - En una fracción el número situado en la parte de arriba, el que se refiere al número de partes, se llama numerador. -

En una fracción el número situado en la parte de abajo, el que se refiere al tamaño de las partes, se llama denominador.

(Evidentemente esta información, la relativa a los términos de una fracción, puede proporcionarse con anterioridad a esta actividad) - Cuando dos fracciones representan el mismo valor, aunque tengan distinto número de partes (numerador) y sea distinto también el tamaño de las partes (denominador), se dicen que son equivalentes. - “Equi” significa igual. “Valente” significa valor. Por lo tanto, “equivalente” significa igual valor.

Por último, se relacionan mitades con octavas partes. Se representan las fracciones en el franelograma y se realizan cuestiones similares a los dos ejercicios anteriores. Autor: Ramón Galán González

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- ¿Qué fracción hemos formado en la parte de arriba? 3/2 - ¿Qué fracción hemos formado en la parte de abajo? 12/8 - ¿Qué valor tiene la fracción 3/2? 1’5. - ¿Qué valor tiene la fracción 12/8? 1’5 - Por lo tanto, ¿qué fracción tiene más valor? Las dos tienen el mismo valor. - ¿Son equivalentes las dos fracciones? Sí - Si comparamos el número de partes que tiene la fracción 3/2 con el número de partes que tiene la fracción 12/8, ¿este número ha aumentado o ha disminuido? Ha aumentado cuatro veces más. - Si comparamos el tamaño de las partes que tiene la fracción 3/2 con el tamaño de las partes que tiene la fracción 12/8, ¿ha aumentado o ha disminuido? Ha disminuido cuatro veces menos - ¿Alguien podría explicar cómo es posible que el tamaño de las partes haya disminuido, si el denominador de la fracción 12/8 es mayor que el denominador de la fracción 3/2? Es importante esta última pregunta, toda vez que es necesario que el alumno descubra que cuanto mayor sea el número que figura en el denominador de una fracción, menor será el tamaño de la parte que representa.

Autor: Ramón Galán González

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Para afianzar el concepto de fracciones equivalente también pueden realizarse actividades del siguiente tipo Expresa el número decimal 1’25 mediante dos fracciones que sean equivalentes entre sí.

- ¿Qué fracción has formado en la parte de arriba? 5/4 - ¿Qué fracción has formado en la parte de abajo? 10/8 - ¿Por qué son equivalentes estas dos fracciones? Porque representan el mismo valor, 1’25. - ¿Se podría formar el número 1’25 mediante una fracción que tuviese como denominador el número dos? No. ¿Por qué? Otra actividad del mismo tipo: Expresa el número entero 2 mediante tres fracciones que sean equivalentes entre sí.

Autor: Ramón Galán González

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- ¿Qué fracción has formado en la parte de arriba? 4/2 - ¿Qué fracción has formado en el centro? 8/4 - ¿Qué fracción has formado en la parte de abajo? 16/8 - ¿Por qué son equivalentes estas tres fracciones? Porque representan el mismo valor, 2. De nuevo, pueden plantearse ejercicios relativos a la equivalencia de dos fracciones, sin representarlas previamente en el franelograma. Se escribe en la pizarra las dos siguientes fracciones: 7/8 y 3/4 y se le pregunta al grupo: - ¿Son equivalentes la fracciones 7/8 y 3/4? No. - ¿Por qué no son equivalentes? Porque no tienen o no representan el mismo valor. - ¿Qué valor representa la fracción 7/8? 0’875 - ¿Qué valor representa la fracción 3/4? 0’75 - ¿Cuál de las dos tiene más valor? 7/8 - ¿Cuánto valor de más tiene la fracción 7/8 que la fracción 3/4? 0’125. A continuación se representan las dos fracciones en el franelograma y se comprueban los resultados:

Autor: Ramón Galán González

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Otra actividad: Se escribe en la pizarra las dos siguientes fracciones: 1/2 y 4/8 y se le pregunta al grupo: - ¿Son equivalentes la fracciones 1/2 y 4/8?Sí - ¿Por qué son equivalentes? Porque tienen o representan el mismo valor. - ¿Qué valor representan las dos fracciones? 0’5 A continuación se representan las dos fracciones en el franelograma y se comprueban los resultados:

Autor: Ramón Galán González

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6. La quinta, la décima y la veinteava parte. Una vez que hemos dividido el metro en 2, 4 y 8 partes iguales y hemos establecido la relación existente entre la mitad, la cuarta y la octava parte, procedemos ahora a dividir el metro en 5, 10 y 20 partes iguales. Posteriormente, recorreremos el mismo proceso, esto es: - Calcularemos valores numéricos. - Compararemos fracciones - Estableceremos relaciones de equivalencia entre fracciones. Dado que el proceso es el mismo pero aplicado a la quinta, décima y veinteava parte, podemos proceder de forma más rápida. De hecho supone, en cierto modo, un repaso de lo aprendido por el alumno hasta ahora. 6.1. Dividiendo el metro en 5 partes iguales. Comenzamos con la regleta 0’2.

“En la pizarra tenemos una cinta métrica de un metro de longitud. Queremos dividirlo en cinco partes iguales. ¿Qué regletas de las que ahora tenemos aquí tendremos que emplear?” Uno de los alumnos, saldrá y realizará el ejercicio disponiendo las regletas de 0’2 m de la siguiente manera:

Autor: Ramón Galán González

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A continuación formularemos las siguientes preguntas al grupo: - ¿Cuántas regletas hemos utilizado para dividir el metro en cinco partes iguales? Cinco. - ¿Cuánto mide la longitud de cada una de estas regletas? 2 dm. ó 20 cm. ó 200 mm. - ¿Cuánto mide la longitud, expresada en metros, de cada una de estas regletas? 0’2 m ó 0’20 m ó 0’250 m. Luego se le proporciona al grupo la siguiente información: Como hemos dividido el metro en cinco partes iguales, a estas regletas las llamaremos quintas partes. Cada una de estas quintas partes mide 0’2 m. Como estas regletas miden una quinta parte, los matemáticos también las llaman fracción 1/5. El 1, que figura en el numerador, significa que tenemos una regleta y el 5, que figura en el denominador, que es la quinta parte del metro porque hemos dividido el metro en 5 partes iguales. A continuación el profesor colocará en la pizarra las siguientes regletas:

Y formulará las siguientes preguntas: - ¿Qué número decimal hemos formado? 1’4 - Teniendo en cuenta que cada regleta mide 0’2 m y que tenemos 7 regletas, ¿qué multiplicación hemos formado y cuál es el resultado de la multiplicación? 0’2 x 7 = 1’4. Autor: Ramón Galán González

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- Teniendo en cuenta que tenemos 7 regletas de la quinta parte, ¿qué fracción hemos formado? 7/5. - ¿Cuántos metros hemos formado con la fracción 7/5? 1’4 m. Ahora será el alumno quien construya. Se le solicita a un alumno del grupo que forme el número decimal 2’8 con regletas de 0’2. “Forma el número 2’8 utilizando regletas de la quinta parte del metro”

A continuación le formularemos las siguientes preguntas: - ¿Cuántas regletas has tenido que utilizar? 14. - Teniendo en cuenta que cada regleta mide 0’2 m y que has utilizado 14 regletas, ¿qué multiplicación has formado y cuál es el resultado de la multiplicación? 0’2 x 14 = 2’8. - Teniendo en cuenta que has utilizado 14 regletas de la quinta parte, ¿qué fracción has formado? 14/5. - ¿Cuánto metros has formado con la fracción 14/5? 2’8 m. Por último realizamos un ejercicio similar pero ahora el resultado será un número exacto de metros. “Forma la fracción 15/5” utilizando regletas de la quinta parte”

Autor: Ramón Galán González

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A continuación formularemos las siguientes preguntas: - ¿Cuántas regletas has tenido que utilizar? 15. - ¿Qué longitud tiene cada una de las regletas? 0’2 m ó 0’20 m ó 0’200 m - ¿Qué numero de metros has formado? 3 - ¿Qué multiplicación has formado y cuál es el resultado? 0’2 x 15 = 3 - ¿Cuál es el valor de la fracción 15/5? 3 - Teniendo en cuenta que has utilizado 15 regletas y que las has agrupado de cinco en cinco para 3 formar metros, ¿qué división has realizado? 15 : 5 = 3 - Teniendo en cuenta que tienes 3 metros y que los has dividido en trozos de 0’2 y que has obtenido 15 trozos, ¿qué división has realizado y cuál es su resultado? 3 : 0’2 = 15 6.2. Dividiendo el metro en diez partes iguales. Se procede de la forma acostumbrada.

“En la pizarra tenemos una cinta métrica de un metro de longitud. Queremos dividirla en diez partes iguales. ¿Qué regletas y cuántas tendremos que emplear?”

Autor: Ramón Galán González

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Uno de los alumnos, saldrá y realizará el ejercicio disponiendo las regletas de 0’1 m de la siguiente manera:

A continuación formularemos las siguientes preguntas al grupo: - ¿Cuántas regletas hemos utilizado para dividir el metro en diez partes iguales? Diez. - ¿Cuánto mide la longitud de cada una de estas diez regletas? 1 dm. ó 10 cm. o 100 mm. - ¿Cuánto mide la longitud, expresada en metros, de cada una de estas diez regletas? 0’1 m ó 0’10 m ó 0’100 Luego se le proporciona al grupo la información correspondiente: Como hemos dividido el metro en diez partes iguales, a estas regletas las llamaremos décimas partes. Cada una de estas cuartas partes mide 0’1 m ó 0’10 m ó 0’100 Como estas regletas miden una décima parte, los matemáticos también las llaman fracción 1/10. El numerador 1 significa que tenemos una regleta y el denominador 10 que es la décima parte del metro porque hemos dividido el metro en 10 partes iguales. A continuación el profesor colocará en la pizarra las siguientes regletas:

Autor: Ramón Galán González

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Y formulará las siguientes preguntas: - ¿Qué número decimal hemos formado? 1’3 - Teniendo en cuenta que cada regleta mide 0’1 m y que tenemos 13 regletas, ¿qué multiplicación hemos formado y cuál es el resultado de la multiplicación? 0’1 x 13 = 1’3. - Teniendo en cuenta que tenemos 13 regletas de décimas partes, ¿qué fracción hemos formado? 13/10. - ¿Cuánto metros hemos formado con la fracción 13/4? 1’3 m. Se le solicita a un alumno del grupo que forme el número decimal 0’7 con regletas de 0’1. “Forma el número 0’7 utilizando regletas de la décima parte del metro”

A continuación le formularemos las siguientes preguntas: - ¿Cuántas regletas has tenido que utilizar? 7. - Teniendo en cuenta que cada regleta mide 0’1 m y que has utilizado 7 regletas, ¿qué multiplicación has formado y cuál es el resultado de la multiplicación? 0’1 x 7 = 0’7. - Teniendo en cuenta que has utilizado 7 regletas de décimas partes, ¿qué fracción has formado? 7/10. - ¿Cuánto metros has formado con la fracción 7/10? 0’7 m. Es importante que el profesor observe que al estar trabajando con las regletas de la décima parte, estamos trabajando la división entre diez, es decir, entre la unidad seguida de un cero, tanto en su expresión como operación de dividir entre 10, como en su expresión de multiplicar por 0’1. Autor: Ramón Galán González

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que:

A partir de estos ejercicios, el alumno puede deducir, por ejemplo, 7 : 10 = 0’7

26 : 10 = 2’6

30 : 10 = 3

0’1 x 7 = 0’7

26 x 0’1 = 2’6

30 x 0’1 = 3

- “Forma el número 2’6 utilizando regletas de la décima parte del metro”

A continuación le formularemos las siguientes preguntas: - ¿Cuántas regletas has tenido que utilizar? 26. - Teniendo en cuenta que cada regleta mide 0’1 m y que has utilizado 26 regletas, ¿qué multiplicación has formado y cuál es el resultado de la multiplicación? 0’1 x 26 = 2’6. - Teniendo en cuenta que has utilizado 26 regletas de décimas partes, ¿qué fracción has formado? 26/10. - ¿Cuánto metros has formado con la fracción 26/10? 2’6 m. Por último realizamos un ejercicio similar pero ahora el resultado será un número exacto de metros. “Forma la fracción 30/10” utilizando regletas de la décima parte del metro”

Autor: Ramón Galán González

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A continuación formularemos las siguientes preguntas: - ¿Cuántas regletas has tenido que utilizar? 30. - ¿Qué longitud tiene cada una de las regletas? 0’1 m - ¿Cuántos metros enteros has formado? 3 - ¿Qué multiplicación has formado y cuál es el resultado? 0’1 x 30 = 3 - ¿Cuál es el valor de la fracción 30/10? 3 - Teniendo en cuenta que has utilizado 30 regletas y que las has agrupado de diez en diez para formar metros, ¿qué división has realizado? 30 : 10 = 3 - Teniendo en cuenta que en total tienes 3 metros y que los has dividido en trozos de 0’1 m y que has obtenido 30 trozos, ¿qué división has formado? 3 : 0’1 = 30 6.3. Dividiendo el metro en veinte partes iguales. Volvemos a recordar que se opta por presentar la quinta, la décima y la veinteava parte, formando un bloque, ya que las tres relaciones numéricas están, a su vez, relacionadas entre sí: la décima parte es la mitad de la quinta parte y la veinteava parte es la mitad de la décima parte y, por lo tanto, la veinteava parte es la cuarta parte de la quinta parte. O expresándolo en términos inversos: una quinta parte es igual a dos décimas partes, una décima parte es igual a dos veinteavas partes y, por lo tanto, una quinta parte es igual a cuatro veinteavas partes. Es importante que el alumno establezca estas relaciones entre la quinta, la décima y la veinteava parte ya que posteriormente las utilizará para el cálculo mental. Veamos un ejemplo: Consideremos la décima parte del número 84, esto es, 8’4. Autor: Ramón Galán González

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La décima parte de 84 puede manifestarse matemáticamente de diversas maneras: 84 : 10 = 8’4 84 x 0’1 = 8’4 Los 2/20 de 84 = 8’4 El 10 % de 84 = 8’4 Partiendo de este sencillo cálculo (separar una cifra decimal), al alumno le resultará muy fácil calcular la quinta parte y la veinteava parte de 84. Para calcular la quinta parte de 84, le bastará con calcular el doble de 8’4, esto es, 16’8. Para calcular la veinteava parte de 84, le bastará con calcular la mitad de 8’4, esto es, 4’2. Por ello, los alumnos podrán calcular mentalmente y con una gran facilidad, cálculos matemáticos como los siguientes: Quinta parte: 84 : 5= 16’8 84 x 0’2 = 16’8 Los 4/20 de 84 = 16’8 El 20 % de 84 = 16’8 Veinteava parte: 84 : 20= 4’2 84 x 0’05 = 4’2 Los 1/20 de 84 = 4’2 El 5 % de 84 = 4’2

Autor: Ramón Galán González

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Comenzamos dividiendo el metro en cinco partes iguales y en diez partes iguales, para ello se le solicita a uno de los alumnos que realice la siguiente actividad:

- “En la pizarra tenemos una cinta métrica de un metro de longitud. - Divídela primero en cinco partes iguales utilizando las regletas que consideres necesario”

“Ahora, debajo de las regletas que ya tienes colocadas en la pizarra, divide el metro en diez partes iguales utilizando las regletas que consideres necesario.”

Nos dirigimos al grupo y le preguntamos: - Observen las regletas que tenemos colocadas en la pizarra. - ¿Cuántas quintas partes hemos utilizado para formar el metro? Cinco. - ¿Cuántas décimas partes hemos utilizado para formar el metro? Diez. Autor: Ramón Galán González

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- ¿Cuántos centímetros mide la regleta de la quinta parte? 20 cm. - ¿Cuántos centímetros mide la regleta de la décima parte? 10 cm. - ¿Cuántos metros mide la regleta de la quinta parte? 0’2 m ó 0’20 m. ó 0’200 m. - ¿Cuántos metros mide la regleta de la décima parte? 0’1 m ó 0’10 m. ó 0’100 m. - Si dividimos la regleta de la quinta en dos partes iguales, ¿qué regleta obtenemos? La regleta de la décima parte. - Si unimos dos regletas de la décima parte, ¿qué regletas formamos? La regleta de la quinta parte. Seguimos reforzando esta idea. Se le solicita a uno de los alumnos que realice la siguiente actividad: “Forma el número decimal 1’60, primero utilizando regletas de la quinta parte y luego, debajo, utilizando regletas de la décima parte”

Nos dirigimos al grupo y le preguntamos: - Observen las regletas que tenemos colocadas en la pizarra. - ¿Cuántas quintas partes hemos utilizado para formar el número 1’60? Ocho. - ¿Cuántas décimas partes hemos utilizado para formar el número 1’60? Dieciséis.

Autor: Ramón Galán González

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- ¿Qué multiplicación hemos formado con las regletas de la quinta partes? 0’2 x 8 = 1’6

o también

0’20 x 8 = 1’60

- ¿Qué multiplicación hemos formado con las regletas de la décima parte? 0’1 x 16 = 1’6 o también 0’10 x 16 = 1’60 - ¿Qué fracción hemos formado con las ocho regletas de la quinta parte? 8/5. - ¿Qué fracción hemos formado con las dieciséis regletas de la décima parte? 16/10. - ¿Cuál es el valor de la fracción 8/5? 1’6 ó 1’60. - ¿Cuál es el valor de la fracción 16/10? 1’6 ó 1’60. - ¿Cuál de las dos fracciones tiene mayor valor? Las dos iguales. - ¿Son equivalentes las dos fracciones? Sí - ¿Cómo es posible que las dos fracciones sean equivalentes si la fracción 8/5 tiene de numerador 8, es decir, sólo tiene ocho regletas, mientras que la fracción 16/10 tiene el doble de regletas, es decir, el numerador es igual a 16? Porque para formar una quinta parte se necesitan dos regletas de la décima parte. De nuevo y de manera intuitiva hemos establecido una relación de proporcionalidad inversa al comprobar que la multiplicación 0’2 x 8 = 1’6 es equivalente a la multiplicación 0’1 x 16 = 1’6. O en otros términos, como el número de regletas aumenta al doble, de 8 a 16 regletas, el tamaño disminuye a la mitad, de 20 cm. a 10 cm. Introducimos ahora las regletas de la veinteava parte. Para ello incorporaremos la regleta de 0’05 m. “En la pizarra tenemos una cinta métrica de un metro de longitud. Divídela primero en cinco partes iguales utilizando las regletas que consideres necesario” Autor: Ramón Galán González

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“Ahora, debajo de las regletas que ya tienes colocadas en la pizarra, divide el metro en diez partes iguales utilizando las regletas que consideres necesario.”

“Por último, debajo de las regletas que ya tienes colocadas en la pizarra, divide el metro en veinte partes iguales utilizando las regletas que consideres necesario.”

Nos dirigimos al grupo y le preguntamos: - Observen las regletas que tenemos colocadas en la pizarra. - ¿Cuántos centímetros mide la regleta de la quinta parte? 20 cm. - ¿Cuántos centímetros mide la regleta de la décima parte? 10 cm. - ¿Cuántos centímetros tiene que medir cada una de las regletas que hemos utilizado para dividir el metro en veinte partes iguales? 5 cm. Autor: Ramón Galán González

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- ¿Cuál será la longitud, expresada en metros, de cada una de las regletas que hemos utilizado para dividir el metro en veinte partes iguales? 0’05 m. Luego se le proporciona al grupo la siguiente información: Como hemos dividido el metro en veinte partes iguales, a estas regletas las llamaremos veinteavas partes. Cada una de estas veinteavas partes mide 5 centímetros, es decir, 0’05 m. Como estas regletas miden una veinteava parte, los matemáticos también las llaman fracción 1/20. El numerador 1 significa que tenemos una regleta y el denominador 20 que es la veinteava parte del metro porque hemos dividido el metro en 20 partes iguales. A continuación el profesor colocará en la pizarra las siguientes regletas:

Y formulará las siguientes preguntas: - ¿Qué número decimal hemos formado? 0’25 - Teniendo en cuenta que cada regleta mide 0’05 m y que tenemos 5 regletas, ¿qué multiplicación hemos formado y cuál es el resultado de la multiplicación? 0’05 x 5 = 0’25. - Teniendo en cuenta que tenemos 5 regletas de veinteavas partes, ¿qué fracción hemos formado? 5/20. - ¿Cuánto metros hemos formado con la fracción 5/20? 0’25 m.

Autor: Ramón Galán González

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A continuación, se le solicita a un alumno del grupo que forme el número decimal 1’15 con regletas de 0’05. “Forma el número 1’15 utilizando regletas de la veinteava parte del metro”

A continuación le formularemos las siguientes preguntas al grupo: - ¿Cuántas regletas has tenido que utilizar? 23. - Teniendo en cuenta que cada regleta mide 0’05 m, y que has utilizado 23 regletas y ¿qué multiplicación has formado y cuál es el resultado de la multiplicación? 0’05 x 23 = 1’15. - Teniendo en cuenta que has utilizado 23 regletas de veinteavas partes, ¿qué fracción has formado? 23/20. - ¿Cuánto metros has formado con la fracción 23/20? 1’15 m. Por último realizamos un ejercicio similar pero ahora el resultado será un número exacto de metros. “Forma la fracción 40/20” utilizando regletas de la veinteava parte del metro”

Autor: Ramón Galán González

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A continuación formularemos las siguientes preguntas: - ¿Cuántas regletas has tenido que utilizar? 40. - ¿Qué longitud, expresada en metros, tiene cada una de las regletas? 0’05 m. - ¿Cuántos metros enteros has formado? 2 - ¿Qué multiplicación has formado y cuál es el resultado? 0’05 x 40 = 2 - ¿Cuál es el valor de la fracción 40/20? 2 - Teniendo en cuenta que has utilizado 40 regletas y que las has agrupado de veinte en veinte para formar 2 metros enteros, ¿qué división has realizado? 40 : 20 = 2 - Teniendo en cuenta que en total tienes 2 metros y que los has dividido en trozos de 0’05 m y que has obtenido 40 trozos, ¿qué división has formado? 2 : 0’05 = 40 Mediante la siguiente actividad relacionamos la décima parte con la veinteava parte. Se le solicita a uno de los alumnos que realice la siguiente actividad: “Forma el número decimal 0’7, primero utilizando regletas de la décima parte y luego, debajo, utilizando regletas de la veinteava parte”

Autor: Ramón Galán González

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Nos dirigimos al grupo y le preguntamos: - Observen las regletas que tenemos colocadas en la pizarra. - ¿Cuántas décimas partes hemos utilizado para formar el número 0’7? 7. - ¿Cuántas veinteavas partes hemos utilizado para formar el número 0’7? 14. - ¿Qué multiplicación hemos formado con las regletas de la décima parte? 0’1 x 7 = 0’7 - ¿Qué multiplicación hemos formado con las regletas de la veinteava parte? 0’05 x 14 = 0’05 - ¿Qué fracción hemos formado con las 7 regletas de la décima parte? 7/10. - ¿Qué fracción hemos formado con las 14 regletas de la veinteava parte? 14/20. - ¿Cuál es el valor de la fracción 7/10? 0’7. - ¿Cuál es el valor de la fracción 14/20? 0’7. - ¿Cuál de las dos fracciones, 7/4 ó 14/8, tiene mayor valor? Las dos iguales, son dos fracciones equivalentes. - ¿Cómo es posible que las dos fracciones sean equivalentes si la fracción 7/10 tiene menos regletas que la fracción 14/20? Porque las regletas de la décima parte miden más que las regletas de la veinteava parte, miden el doble.

Autor: Ramón Galán González

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7. Formando fracciones con todas las regletas y calculando su valor numérico. Comenzamos utilizando las regletas de la quinta, décima y veinteava parte del metro. Se proponen algunos ejemplos de los siguientes tipos de actividades:

- ¿Qué fracción hemos formado? 14/5 - ¿Cuál es el valor numérico de la fracción 14/5? 2’8 Otra actividad:

- ¿Qué fracción hemos formado? 20/10. - ¿Cuál es el valor numérico de la fracción 20/10? 2 Otra actividad:

- ¿Qué fracción hemos formado? 11/20. - ¿Cuál es el valor numérico de la fracción 11/20? 0’55.

Autor: Ramón Galán González

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Seguimos con el resto de las regletas:

- ¿Qué fracción hemos formado? 15/4. - ¿Cuál es el valor numérico de la fracción 15/4? 3’75. Otra actividad:

- ¿Qué fracción hemos formado? 11/2. - ¿Cuál es el valor numérico de la fracción 11/2? 5’5. Una última actividad de este tipo:

- ¿Qué fracción hemos formado? 6/8. - ¿Cuál es el valor numérico de la fracción 6/8? 0’75. Autor: Ramón Galán González

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8. Comparando fracciones empleando todas las regletas: De nuevo recorremos el proceso que realizamos con las regletas de la mitad, cuarta y octava parte con el fin de comparar dos fracciones, aunque en este caso acortaremos el proceso y emplearemos el término “partes” en lugar del término “regletas”. Retornamos de nuevo a los ejercicios iniciales ya que es fundamental que el alumno dote de significación tanto al número que figura en el numerador de una fracción como al número que figura en el denominador. Es importante que el alumno diferencie entre el número de partes y el valor de las partes. En nuestro caso, el denominador, el valor de las partes, viene determinado por el tamaño. Establecemos pues semejanzas y diferencias entre el número y el tamaño de las regletas que tienen dos fracciones. Pegamos en el franelograma las siguientes piezas y nos dirigimos al grupo:

- ¿Qué fracción hemos formado arriba? 3/5 - ¿Qué fracción hemos formado abajo? 7/5 - Ahora se van a fijar únicamente en el número y en el tamaño de las partes que tienen las dos fracciones, y tienen que decir que tienen de igual y qué tienen de diferente las partes de la fracción 3/5 con respecto a las partes de la fracción 7/5” - ¿Qué tienen de igual las partes de las dos fracciones? ¿El número o el tamaño? El tamaño.

Autor: Ramón Galán González

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- ¿Qué tienen de diferente las partes de las dos fracciones? ¿El número o el tamaño? El número. - ¿Cuál de las dos fracciones tendrá mayor valor? 7/5. ¿Por qué? Porque tiene mayor número de partes. - ¿Qué valor tiene la fracción 2/4? 0’6 - ¿Qué valor tiene la fracción 7/5? 1’4.

Ahora realizamos otra actividad pero siendo igual el número y distinto el tamaño de las regletas: Construimos en el franelograma las siguientes fracciones y nos dirigimos al grupo:

- ¿Qué fracción hemos formado arriba? 4/5 - ¿Qué fracción hemos formado abajo? 4/10 - De nuevo se van a fijar únicamente en el número y en el tamaño de las partes que tienen las dos fracciones y tienen que decir que tienen de igual y qué tienen de diferente las partes de la fracción 4/5 con respecto a las partes de la fracción 4/10” - ¿Qué tienen de igual las partes de las dos fracciones? ¿El número o el tamaño? El número. - ¿Qué tienen de diferente las partes de las dos fracciones? ¿El número o el tamaño? El tamaño.

Autor: Ramón Galán González

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- ¿Cuál de las dos fracciones tendrá mayor valor? 4/5. ¿Por qué? Porque las partes son de mayor tamaño. - ¿Qué valor tiene la fracción 4/5? 0’8 - ¿Qué valor tiene la fracción 4/10? 0’4. A continuación, y con el fin de verificar si los alumnos han integrado o interiorizado el aprendizaje, se le plantea al grupo el siguiente ejercicio sin colocar las regletas en el franelograma: Se escribe en la pizarra las fracciones 7/20 y 10/20 y se le formula las siguientes cuestiones: - ¿Qué tienen en común las fracciones 7/20 y 10/20? ¿El número o el tamaño de las partes? El tamaño de las partes. - ¿Qué tienen de diferentes las fracciones 7/20 y 10/20? ¿El número o el tamaño de las partes? El número de partes. - ¿Qué valor tiene la fracción 7/20? 0’35 - ¿Qué valor tiene la fracción 10/20? 0’5 - Por lo tanto, ¿qué fracción tiene más valor? 10/20. - ¿Quién podría explicar por qué sucede esto? Porque las partes son iguales y la fracción 10/20 tiene más partes que la fracción 7/20. - ¿Alguien podría decir en cuánto es mayor la longitud que representa la fracción 10/20 que la longitud que representa la fracción 7/20? 0’15 m. A continuación, se representan dichas fracciones en el franelograma y se comprueban los resultados.

Autor: Ramón Galán González

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Después de realizar distintos ejercicios de este tipo, pasamos a realizar ejercicios similares pero ahora comparando fracciones que tienen el mismo numerador pero denominadores distintos. Se escribe en la pizarra las fracciones 7/10 y 7/20 y se le formula las siguientes cuestiones: - ¿Qué tienen en común las fracciones 7/10 y 7/20? ¿El número o el tamaño de las partes? El número de partes. - ¿Qué tienen de diferentes las fracciones 7/10 y 7/20? ¿El número o el tamaño de las partes? El tamaño de las partes. - ¿Qué valor tiene la fracción 7/10? 0’7 - ¿Qué valor tiene la fracción 7/20? 0’35 - Por lo tanto, ¿qué fracción tiene más valor? 7/10. - ¿Quién podría explicar por qué sucede esto? Porque aunque tengan las dos fracciones igual número de partes, las partes de la fracción 7/10 son de mayor tamaño. - ¿Alguien podría decir en cuánto es mayor la longitud que representa la fracción 7/10 que la longitud que representa la fracción 7/20? 0’35. A continuación, se representan dichas fracciones en el franelograma y se comprueban los resultados.

Autor: Ramón Galán González

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Después de realizar ejercicios similares como el anterior, pasamos a comparar dos fracciones que tienen distintos numeradores y distintos denominadores. Ahora es cuando emplearemos los dos procedimientos anteriormente citados: Uno. Hallando y comparando el valor numérico de las dos fracciones. Otro. Transformando a común denominador las dos fracciones. Veamos en primer lugar el primer procedimiento aplicados a todas las relaciones numéricas establecidas hasta ahora ya que el alumno presenta dominio de este aprendizaje toda vez que sabe calcular el valor numérico de una fracción y sabe comparar dos números decimales. Para aplicar el segundo procedimiento se muestra necesario un nuevo aprendizaje: transformar dos fracciones en otras dos fracciones equivalentes pero con igual denominador. Construimos en el franelograma las siguientes fracciones y nos dirigimos al grupo: - Observa y analiza las fracciones que tenemos en el franelograma:

- ¿Qué fracción hemos formado en la parte de arriba? 3/4 - ¿Qué fracción hemos formado en la parte de abajo? 4/5 - ¿Qué tienen en común las fracciones 3/4 y 4/5? ¿El número o el tamaño de las partes? Ninguna cosa en común. Ni el número ni el tamaño de las partes. Autor: Ramón Galán González

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- ¿Qué valor tiene la fracción 3/4? 0’75. - ¿Qué valor tiene la fracción 4/5? 0’8 - Por lo tanto, ¿qué fracción tiene más valor? 4/5. - ¿Alguien podría decir en cuánto es mayor la longitud que representa la fracción 3/4 que la longitud que representa la fracción 4/5? 0’05. Vemos otra actividad Construimos en el franelograma las siguientes fracciones y nos dirigimos al grupo: - Observa y analiza las fracciones las fracciones que tenemos en el franelograma:

- ¿Qué fracción hemos formado en la parte de arriba? 21/10 - ¿Qué fracción hemos formado en la parte de abajo? 5/2 - ¿Qué tienen en común las fracciones 13/4 y 5/2? ¿El número o el tamaño de las partes? Ninguna cosa en común. Ni el número ni el tamaño de las partes - ¿Qué valor tiene la fracción 21/10? 2’1. - ¿Qué valor tiene la fracción 5/2? 2’5 Autor: Ramón Galán González

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- Por lo tanto, ¿qué fracción tiene más valor? 5/2. - ¿Alguien podría decir en cuánto es mayor la longitud que representa la fracción 5/2 que la longitud que representa la fracción 21/10? 0’4. De nuevo, y con el fin de verificar si los alumnos han integrado o interiorizado el aprendizaje, se le plantea al grupo el siguiente ejercicio sin colocar las regletas en el franelograma: Se escribe en la pizarra las fracciones 6/5 y 12/8 y se le formula las siguientes cuestiones: - ¿Cuál es el valor numérico de la fracción 6/5? 1’2. - ¿Cuál es el valor numérico de la fracción 12/8? 1’50. - ¿Cuál de los dos fracciones tiene mayor valor? 12/8. - ¿Alguien podría decir en cuánto es mayor la longitud que representa la fracción 12/8 que la longitud que representa la fracción 6/5? 0’30. Representamos las fracciones en el franelograma y comprobamos los resultados: Recordamos de nuevo que en este tipo de ejercicio, el alumno primero calcula y posteriormente comprueba.

La experiencia práctica dentro del aula ha puesto de manifiesto que los alumnos pueden realizar, de forma intuitiva, restas de dos fracciones Autor: Ramón Galán González

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aunque aún no hayan comenzado el aprendizaje de esta operación en el conjunto de las fracciones. Vemos la experiencia que nos ocurrió dentro del aula: Escribimos en la pizarra las fracciones 3/4 y 6/10 y propusimos al grupo que comparase las fracciones. -

¿Cuál es el valor numérico de la fracción 3/4? 0’75.

- ¿Cuál es el valor numérico de la fracción 6/10? 0’6. - ¿Cuál de los dos fracciones tiene mayor valor? 3/4. - ¿Alguien podría decir en cuánto es mayor la longitud que representa la fracción 3/4 que la longitud que representa la fracción 6/10? 0’15. A continuación, y con el fin de verificar de forma práctica el resultado calculado mentalmente, procedimos a representar dichas fracciones en el franelograma. De este modo:

Finalmente realizamos la siguiente pregunta: - ¿Mediante qué fracción podemos representar la diferencia que existe entre estas dos fracciones, es decir, mediante qué fracción podemos representar el número decimal 0’15? Varios alumnos levantaron la mano y a quien se le otorgó la palabra respondió: Autor: Ramón Galán González

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- Mediante la fracción 3/20. Por último, se le solicitó al alumno que comprobara de forma práctica su respuesta, y que colocara las regletas sobre el franelograma. El alumno completó la representación de la siguiente forma:

En definitiva, el alumno realizó la resta: 3/4 – 6/10 = 3/20, sin necesidad de transformar las fracciones a común denominador, es decir, sin necesidad de aplicar el algoritmo tradicional.

Autor: Ramón Galán González

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9. Transformar dos fracciones a común denominador. Como indicamos con anterioridad, se muestra necesario anticipar el aprendizaje de trasformar dos fracciones a común denominador con el fin de comparar dos fracciones que tienen distintos numeradores y distintos denominadores. Comenzamos con una actividad que reforzará el concepto de fracciones equivalentes. Se le propone al grupo la siguiente actividad. ¿De cuántas maneras, o mediante qué fracciones, podemos representar el número decimal 1’5? Los alumnos deberán construir en el franelograma las siguientes fracciones:

Dado que puede llevar bastante tiempo colocar todas las fracciones sobre el franelograma, esta actividad puede realizarse de forma teórica. Para ello realizaremos las siguientes preguntas: - ¿Podemos representar el número decimal 1’5 empleando regletas de la mitad? Sí. ¿Cuántas regletas tendríamos que emplear? 3. - ¿Podemos representar el número decimal 1’5 empleando regletas de la cuarta parte? Sí. ¿Cuántas regletas tendríamos que emplear? 6. - ¿Podemos representar el número decimal 1’5 empleando regletas de la quinta parte? No. Autor: Ramón Galán González

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- ¿Podemos representar el número decimal 1’5 empleando regletas de la décima parte? Sí. ¿Cuántas regletas tendríamos que emplear? 15. - ¿Podemos representar el número decimal 1’5 empleando regletas de la veinteava parte? Sí. ¿Cuántas regletas tendríamos que emplear? 30. Realizamos otra actividad del mismo tipo pero reduciendo las posibles respuestas: - ¿De cuántas maneras, o mediante qué fracciones, podemos representar el número decimal 0’6? Los alumnos deberán construir en el franelograma las siguientes fracciones:

Una última actividad de este tipo. - ¿De cuántas maneras, o mediante qué fracciones, podemos representar el número decimal 0’25? Los alumnos deberán construir en el franelograma las siguientes fracciones:

Autor: Ramón Galán González

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Pasamos a otro tipo de actividades. Presentamos al grupo el franelograma teniendo representadas en él las siguientes fracciones:

Realizamos las siguientes preguntas: - ¿Cuál es el valor de la fracción 3/4? 0’75 - ¿Cuál es el valor de la fracción 3/2? 1’5. -

¿El tamaño de las partes de la fracción 3/4 tiene el mismo valor que el tamaño de las partes de la fracción 3/2, es decir, tienen las dos fracciones el mismo denominador? No.

A continuación, sustituimos cada regleta de la mitad de la fracción 3/2 por dos regletas de la cuarta parte y formamos la fracción 6/4.

Preguntamos al grupo qué hemos hecho, qué hemos conseguido, que comparen lo que aparecía anteriormente en el franelograma y lo que aparece ahora. Partiendo de las respuestas que aporten los alumnos, debemos dirigir su atención al hecho de que hemos sustituido la fracción 3/2 por su Autor: Ramón Galán González

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equivalente 6/4 y que ahora las dos fracciones tienen el mismo denominador, es decir, hemos construido las dos fracciones con la misma clase de regletas. Es conveniente, cuando planteamos preguntas al grupo, que perdamos el miedo a que se produzcan diversas respuestas o respuestas equivocadas. Justamente debemos pretender lo contrario. Es importante que los alumnos participen aportando distintas soluciones, distintos planteamientos, distintos razonamientos, fomentar entre ellos la discusión teórica. Incluso, cuando la respuesta de un alumno no sea acertada, no es conveniente cortarle, diciéndole simplemente que está equivocado, sino que explique y defienda su solución o su razonamiento frente al razonamiento de los compañeros que muestran su desacuerdo. Nuestra experiencia dentro del aula nos informa que en el transcurso de estas discusiones, los alumnos aportan formas de razonar sorprendentes y creativas. En definitiva, no se trata de que la respuesta de un alumno tenga, o no tenga, el visto bueno del profesor, sino de que el alumno aprenda a justificar, razonar y defender sus posiciones frente a las opiniones contrarias. A continuación de esta actividad, se realizan otras del mismo tipo, es decir, actividades donde únicamente sea necesario cambiar las regletas de una de las fracciones para conseguir que las dos fracciones tengan el mismo denominador. Vemos otro ejemplo:

¿Qué regletas tenemos que cambiar para que las fracciones sigan teniendo el mismo valor pero que estén formadas entre sí por el mismo tipo de regletas? Del mismo modo, es conveniente plantear a los alumnos problemas que no tengan una única solución, sino diversas soluciones. En este caso, podemos observar que existen tres soluciones. Estas serían: Autor: Ramón Galán González

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Seguidamente, proponemos a los alumnos ejercicios similares pero en los cuales sea necesario cambiar las regletas de las dos fracciones. Vemos algunos ejemplos:

Autor: Ramón Galán González

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En este caso, existen dos posibles soluciones: emplear regletas de la décima parte y regletas de la veinteava parte. Sin embargo, y es evidente, que la solución de emplear regletas de la décima parte simplifica la solución del ejercicio. Así se lo debemos hacer ver a los alumnos, aunque ellos mismo lo deducen, ya que emplear regletas de la veinteava parte alarga el ejercicio. Es decir, en este caso y pese a que son posibles dos soluciones correctas, una de ellas es más recomendable que la otra. Una solución es más adecuada que otra cuando simplifica la solución del problema. En este caso, en el franelograma aparecerán las siguientes fracciones:

En este tipo de actividades es conveniente realizar preguntas como las siguientes: - ¿Qué dos fracciones teníamos al principio? 3/2 y 4/5. - ¿Qué fracciones tenemos ahora? 15/10 y 8/10. - ¿Cómo son entre sí las fracciones 3/2 y 15/10? Equivalentes. ¿Por qué? Porque tienen el mismo valor. Las dos tienen un valor de 1’5. - ¿Qué otras dos fracciones son equivalentes? 4/5 y 8/10. ¿Qué valor tienen? 0’8 - ¿Que tenían en común las dos fracciones del principio? ¿El número de partes (numerador) o el tamaño de las partes (denominador)? No tenían ninguna de las dos cosas en común. - ¿Y ahora, qué tienen en común las dos nuevas fracciones? El tamaño de las partes o denominadores.

Autor: Ramón Galán González

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Este es el momento en el cual el profesor puede proporcionar al grupo una información similar a la siguiente: “Lo que acabamos de realizar, recibe el nombre de transformar a común denominador dos fracciones. Es decir, dos fracciones que en un principio tienen distintos denominadores, las transformamos en otras dos equivalentes pero que a la vez tiene el mismo denominador.” Se muestra necesario que el profesor sea consciente de que los alumnos, cuando realizan este tipo de actividades, en muchos casos están trabajando el concepto de mínimo común múltiplo pero de forma práctica y, en cierto modo, intuitiva. Para ello, vamos a analizar más detenidamente esta última actividad. Al principio, los alumnos tenían en el franelograma las fracciones 3/2 y 4/5. Es decir:

Se les solicitó que transformaran estas dos fracciones en otras dos fracciones equivalentes pero empleando la misma clase de regletas para las dos fracciones. Vimos que existían dos posibles soluciones: emplear regletas de la décima parte, o emplear regletas de la veinteava parte. Se optó por la primera solución dado que simplificaba la resolución del problema. Calculemos ahora los primeros múltiplos de 2 y de 5. Múltiplos de 2 = 2 – 4 – 6 – 8 – 10 – 12 – 14 – 16 – 18 – 20 – 22... Múltiplos de 5 = 5 – 10 – 15 – 20 – 25 – 30… Los múltiplos comunes de 2 y 5, es decir, los números que contienen de una manera exacta y al mismo tiempo a los números 2 y 5 son: 10 -20 – 30… Autor: Ramón Galán González

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Esto significa que podemos emplear como denominador común de ambas fracciones, el 10 (regleta de la décima parte), el 20 (regleta de la veinteava parte) el 30 y así sucesivamente. Sin embargo, de estos múltiplos comunes de 2 y 5, el menor, el mínimo es el número 10. El numero 20 también es un múltiplo común de 2 y 5 pero no es el menor, el mínimo. Esto significa que tanto el 10 como el 20 contienen exactamente a 2 y 5 y, por ello, podemos emplear las regletas de la décima parte o de la veinteava parte. Sin embargo, con el objeto de simplificar la solución del problema, se opta por la regleta de la décima parte, por el denominador 10, esto es, por el mínimo común múltiplo de 2 y 5, es decir, por el número más pequeño que contiene exactamente y al mismo tiempo al 2 y al 5. Ahora podemos proponer actividades similares a las anteriores pero cambiando el enunciado: - “Trasforma a común denominador las fracciones 3/4 y 3/5” Tenemos la siguiente situación inicial:

En este caso, teniendo en cuenta de las regletas de que disponemos, la única solución es emplear la regleta de la veinteava parte. Esto es:

Autor: Ramón Galán González

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Ahora podemos comparar dos fracciones mediante el segundo procedimiento, esto es, transformando previamente las dos fracciones a común denominador. Hay que observar, sin embargo, que el alumno no tiene necesidad de transformar las dos fracciones a común denominador para comparar dos fracciones, puesto que el valor de cada fracción puede observarse a simple vista. Además, el alumno tiene la capacidad de calcular mentalmente el valor numérico de una fracción. No obstante, trabajaremos este segundo procedimiento porque en sí mismo enriquece el concepto de fracción y, por otro lado, favorecerá la comprensión posterior de las operaciones de sumar y restar en el conjunto de las fracciones. Empezaremos escribiendo en la pizarra dos fracciones y solicitaremos al grupo que diga cuál de las dos fracciones representa mayor valor. - Observa las fracciones 7/4 y 7/5 que están escritas en la pizarra. - ¿Qué tienen en común estas dos fracciones? El número de regletas, es decir, el número de partes, esto es, el mismo numerador. - ¿Cuál de las dos fracciones tiene mayor valor numérico? ¿7/4 ó 7/5 y por qué? Tiene mayor valor numérico 7/4 porque las dos fracciones tienen el mismo número de partes, es decir, el mismo numerador, y, sin embargo, las cuartas partes tienen mayor valor que las quintas partes. Posteriormente realizamos la comprobación práctica:

Realizamos a continuación esta otra actividad: Autor: Ramón Galán González

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- Observa las fracciones 7/4 y 5/4 que están escritas en la pizarra. - ¿Qué tienen en común estas dos fracciones? El tamaño de las regletas, es decir, el tamaño de las partes, esto es, el mismo denominador. - ¿Cuál de las dos fracciones tiene mayor valor numérico? ¿7/4 ó 5/4 y por qué? Tiene mayor valor numérico 7/4 porque tiene dos cuartas partes más que la fracción 5/4. Posteriormente realizamos la comprobación práctica:

Realizamos una última actividad: - Observa las fracciones 6/8 y 4/5 que están escritas en la pizarra. - ¿Qué tienen en común estas dos fracciones? Nada. Ni el número de partes ni el tamaño de las partes. Ni los numeradores, ni los denominadores. - ¿Podríamos saber a simple vista, fijándonos en el numerador y en el denominador, es decir, sin calcular el valor numérico, cuál de las dos fracciones tiene mayor valor? No. - ¿Qué regletas tendríamos que emplear para representar las dos fracciones con la misma clase de regletas? Regletas de la veinteava parte. - ¿Cuántas regletas de la veinteava parte tendríamos que emplear para representar la fracción equivalente a 6/8? 15 regletas. -

¿Cuántas regletas de la veinteava parte tendríamos que emplear para representar la fracción equivalente a 4/5? 16 regletas.

Autor: Ramón Galán González

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Vamos a comprobar los resultados:

Es conveniente hacer observar a los alumnos que: - Cada 2 octavas partes equivale a 5 veinteavas parte, por este motivo necesitamos 15 veinteavas partes para formar la fracción equivalente a 6/8. - Mientras que, cada una de las quintas partes equivale a 4 veinteavas partes, por este motivo necesitamos 16 veinteavas partes para formar la fracción equivalente a 4/5.

Autor: Ramón Galán González

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10. Clases de fracciones: propias e impropias. Los números mixtos. Una de las limitaciones que actualmente se observa en el modo de presentar el concepto de fracción como resultado de dividir una cosa, una figura o un número en tantas partes como indica el denominador y coger tantas como indica el numerador, radica en la dificultad que manifiestan los alumnos a la hora de comprender el significado de una fracción impropia, es decir, de una fracción cuyo valor numérico es mayor que 1. Consideremos, por ejemplo, la fracción 11/8. Los años de experiencia nos han mostrado que los alumnos tiene dificultad para entender que una cosa, una figura, la dividamos en 8 partes y cojamos 11. Los alumnos manifiestan la idea que si una cosa la dividimos en 8 partes, no podemos coger más de 8 partes. De otro lado, hemos observado que los alumno que recorren el proceso de aprendizaje basado en dicho concepto de fracción, y que es el que predomina actualmente en las aulas, presentan también dificultad en expresar una fracción impropia en forma de una suma de un número entero más una fracción impropia y viceversa: Es decir:

30 6 = 3+ 8 8

;

3+

7 37 = 10 10

Veamos como resuelven dichos alumnos esta operación: 3+

7 37 = 10 10

- En algunos casos, los alumnos aplican el siguiente algoritmo:

3+

7 10

=

3 × 10 + 7 37 = 10 10

- En otros casos, resuelven el ejercicio transformando el número entero en una fracción de denominador 1 y, posteriormente, sumando las dos fracciones. De este modo: 3+

7 3 7 30 7 37 = + = + = 10 1 10 10 10 10

Autor: Ramón Galán González

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Aquí, como otras tantas veces, se pone de manifiesto el aprendizaje carente de significación. Los alumno realizan determinados algoritmos mediante un procedimiento que les resultan extraños, carece de sentido, y que, en la mayoría de los casos, son aprendidos de memoria a instancia del profesor. Sin embargo, en la metodología y mediante los recursos que aquí se proponen, este aprendizaje se resuelve sin dificultad alguna. De hecho, los alumnos desde el principio interpretan y construyen fracciones tanto propias como impropias, calculan el valor numérico de ambas y ni siquiera observan diferencias entre ambas. A continuación podremos observar de qué modo tan sencillo, casi de forma intuitiva y por medio de la percepción, nuestros alumnos resuelven operaciones como la anteriormente descrita. Comenzaremos, en un principio, proporcionando a los alumnos información sobre las dos clases de fracciones: propias e impropias. Para ello propondremos a un alumno del grupo la siguiente actividad: - Forma con las regletas las fracciones 3/5 y 9/4.

- ¿Cuál es el valor numérico de la fracción 3/5? 0’6 - ¿Cuál es el valor numérico de la fracción 9/4? 2’25. - ¿Cuál de las dos fracciones representa menos de un metro? La fracción 3/5. - ¿Cuál de las dos fracciones representa más de un metro? La fracción 9/4. Autor: Ramón Galán González

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- ¿Cuál de las dos fracciones tiene un valor numérico menor que 1? La fracción 3/5. -

¿Cuál de las dos fracciones tiene un valor numérico mayor que 1? La fracción 9/4.

- A las fracciones que tienen un valor numérico menor que 1, se les denomina fracciones propias. A las fracciones que tienen un valor numérico mayor que 1, se les denomina fracciones impropias. A continuación representamos en el franelograma las siguientes fracciones: 3/2 , 2/4 , 7/5 y 8/10.

Nos dirigimos al grupo y preguntamos: -¿Quién sabría decir, a simple vista, qué fracciones tienen un valor numérico menor que 1, es decir, qué fracciones son propias? Las fracciones 2/4 y 8/10. - ¿Quién sabría decir, a simple vista, qué fracciones tienen un valor numérico mayor que 1, es decir, qué fracciones son impropias? Las fracciones 3/2 y 7/5. Finalmente, escribimos en la pizarra varias fracciones y solicitamos a los alumnos que las clasifiquen en propias e impropias. Autor: Ramón Galán González

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Escribimos en la pizarra las fracciones: 1/2 , 5/2 , 7/4 , 3/4 , 2/5 , 13/8 y 9/20. Los alumnos formarán los dos grupos siguientes: Fracciones propias = 1/2 , 3/4 , 2/5 y 9/20. Fracciones impropias = 5/2 , 7/4 y 13/8. A continuación preguntaremos a los alumnos cómo han pensado, de qué modo han tenido que razonar o en qué se han fijado para saber qué fracción es propia y cuál es impropia. Por último, representaremos estas fracciones en el franelograma al tiempo que determinaremos sus respectivos valores numéricos.

Veamos ahora cómo los alumnos transforman una fracción impropia en un número mixto. Iniciamos el proceso solicitando a un alumno que forme en el franelograma la fracción impropia 11/4.

- ¿Cuál es el valor numérico de la fracción 11/4? 2’75. - ¿Cuántos metros enteros hemos formado con la fracción 11/4? 2 metros enteros. - ¿Cuántas cuartas partes nos sobran? 3 cuartas partes. - Sustituye ahora los metros enteros formados por cuartas partes por cintas métricas de 1 metro de longitud.

Autor: Ramón Galán González

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La siguiente actividad consiste en escribir en la pizarra la expresión matemática: 3 + 2/5 y pedirle al grupo de alumnos que forme en el franelograma lo mismo que aparece escrito en la pizarra. - ¿Quién sería capaz de formar en el franelograma lo mismo que aparece escrito en la pizarra? Es decir, tenemos que ver en el franelograma lo que tenemos escrito en la pizarra. Tenemos que “ver” el número 3 y tenemos que “ver” la fracción 2/5.

Es posible que el alumno forme la siguiente representación en el franelograma:

En ese caso, preguntaremos al grupo si están todos de acuerdo. Alentaremos el debate entre los alumnos. Finalmente el profesor expresará la respuesta: “Lo que aparece en el franelograma no es 3 + 2/5 puesto que lo vemos es en realidad son 17 regletas de la quinta parte. Por lo tanto, en el franelograma la fracción que aparece representada es 17/5. Si bien es cierto, que 17/5 partes es una expresión equivalente a 3 + 2/5.” La representación adecuada a 3 + 2/5 sería:

Seguiremos representando algunos números mixtos más para afianzar el conocimiento. Al mismo tiempo introduciremos la información relativa al número mixto. Veamos un ejemplo: Autor: Ramón Galán González

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Escribimos en la pizarra la expresión matemática: 4 + 3/8 y pedimos al grupo de alumnos que forme en el franelograma lo mismo que aparece escrito en la pizarra. - ¿Quién sería capaz de formar en el franelograma lo mismo que aparece escrito en la pizarra?

A continuación informamos al grupo: “Como lo que tenemos representado en el franelograma es una mezcla de metros enteros más una fracción, los matemáticos llaman a estas expresiones números mixtos.” Formulamos igualmente las siguientes preguntas: - ¿Cuántos metros enteros tenemos en el número mixto que hemos formado? 4 metros enteros. - En el número mixto que hemos formado tenemos, efectivamente, 4 metros enteros pero, ¿qué fracción más? 4 metros enteros más la fracción 3/8. - ¿Cuál es el valor numérico de la fracción 3/8? 0’375. - Si tenemos 4 metros enteros y la fracción 3/8 tiene un valor de 0’375., ¿Qué valor tendrá en total el número mixto representado en el franelograma? 4’375. Ahora pedimos al grupo que forme en el franelograma el número mixto 1 + 4/5

Autor: Ramón Galán González

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- ¿Quién quiere formar en el franelograma el número mixto 1 + 4/5?

- ¿Qué fracción impropia podríamos formar a partir del número mixto 1 + 4/5, si sustituyéramos el metro entero por regletas de la quinta parte? ¿Quién quiere realizar el ejercicio de forma práctica?

- ¿Qué fracción impropia hemos formado? 9/5. - ¿Alguien podría explicar por qué se ha formado la fracción 9/5? Porque un metro entero tiene 5 quintas partes, más otras 4 quintas partes que teníamos, en total tendremos 9 quintas partes. - ¿Cuál es el valor numérico del número mixto 1 + 4/5? 1’8. - ¿Cuál es el valor numérico de la fracción impropia 9/5? Lo mismo, 1’8. “Como las expresiones matemáticas 1 + 4/5 y 9/5 son en apariencia distintas pero en esencia tienen el mismo valor numérico, diremos que son expresiones matemáticas equivalentes”

Autor: Ramón Galán González

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Reforzaremos el este aprendizaje con un ejercicio inverso: - ¿Quién quiere formar en el franelograma la fracción impropia 11/4?

- ¿Cuál es el valor numérico de la fracción 11/4? 2’75. - Si sustituyéramos los metros que hemos formado uniendo las regletas de la cuarta parte por metros enteros, ¿qué número mixto formaríamos? 2 + 3/4.

Hasta ahora los alumnos han aprendido a expresar una determinada longitud en forma de número decimal, en forma de fracción y en forma de número mixto. Por este motivo, como última actividad, propondremos el siguiente ejercicio: Construimos en el franelograma la siguiente representación:

Solicitamos a distintos alumnos del grupo que expresen lo que aparece representado en el franelograma, en forma de número decimal, en forma de fracción impropia y en forma de número mixto. - ¿Qué numero decimal tenemos representado en el franelograma? 2’5. Autor: Ramón Galán González

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- ¿Qué fracción impropia tenemos franelograma? La fracción 20 /8.

representada

en

el

- ¿A qué número mixto equivale lo que tenemos representado en el franelograma? Al número mixto 2 + 4/8.

Entendemos que cuando los alumnos llegan al final de este proceso del aprendizaje, muestran un excelente dominio del concepto de fracción. Dicho dominio le posibilitará acceder a otros aprendizajes relacionados con el conjunto de las fracciones, así como diversos aspectos relacionados con el cálculo mental, con el concepto de proporcionalidad y con el cálculo de porcentajes que posteriormente tendrá que abordar.

Autor: Ramón Galán González

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11. Aprendizajes colaterales. Aunque el trabajo que aquí se expone esté referido al concepto de fracción, de forma continua se están trabajando numerosos aprendizajes colaterales. A la par que el alumno construye el concepto de fracción, se relaciona de igual modo con distintos conceptos y operaciones matemáticas. El profesor debe ser consciente de ello, de forma que debe aprovechar las actividades que aquí se proponen para abordar o repasar dichos conceptos y operaciones. Por la importancia que tienen, abordaremos, a continuación y en este apartado, el concepto de multiplicación y división. Supongamos que hemos propuesto a un alumno del grupo que forme en el franelograma la fracción 11/4 y que calcule su valor numérico.

Como podemos observar el valor numérico de la fracción es 2’75. Si observamos la representación que tenemos construida en el franelograma veremos que podemos expresarla en forma de dos multiplicaciones. Una, expresando la longitud de las regletas en metros. Observamos que tenemos una longitud de 0’25 m once veces. Por lo tanto, y según el concepto de multiplicación, lo expresaríamos escribiendo: 0’25 x 11 = 2’75 Otra, expresando la longitud de las regletas en centímetros. También podemos observar que tenemos una longitud de 25 cm. once veces. Por lo tanto, y según el concepto de multiplicación, lo expresaríamos escribiendo: 25 x 11 = 275

Autor: Ramón Galán González

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De esta doble expresión podemos dotar de sentido al algoritmo que circula de forma mayoritaria en las aulas y que está referido a la multiplicación de números decimales: “Para multiplicar dos números decimales se multiplican sin tener en cuenta la coma y después, en el resultado, se separan tantas cifras decimales como cifras decimales tengan el multiplicando y el multiplicador” Por otra parte, si observamos la representación del franelograma veremos que tenemos 11 regletas y que las agrupamos de 4 en 4 con la finalidad de formar metros enteros. De esta forma, obtenemos 2 grupos y sobran 3 regletas: Expresado en forma de división sería: 11 3

4 2

Pero también podemos interpretar la representación del franelograma considerando que tenemos una longitud total de 2’75 m y que la hemos dividido en 11 partes iguales y que cada parte tiene un valor de 0’25 m. Ahora tendremos la división: 2’75 : 11 = 0’25. Si hiciéramos la misma interpretación pero expresando la longitud en centímetros, tendríamos la división: 275 : 11 = 25 Por último, podemos interpretar la representación del franelograma considerando que tenemos una longitud total de 2’75 m y la hemos dividido en trozos de 0’25m y que, con ello, hemos obtenido 11 trozos o partes. Ahora tendremos la división: 2’75 : 0’25 = 11 Si hiciéramos la misma interpretación pero expresando la longitud en centímetros, tendríamos la división: 275 : 25 = 11 Autor: Ramón Galán González

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Por consiguiente, la representación del franelograma la podemos expresar en forma de dos multiplicaciones y cinco divisiones. El análisis que acabamos de realizar podemos trasladarlo a los alumnos en forma de preguntas relacionadas con la representación que aparece en el franelograma. Lo vemos con otro ejemplo:

Proponemos a un alumno del grupo que represente y calcule el valor numérico de la fracción 13/5

Formulamos las siguientes preguntas: - ¿Cuál es el valor numérico de la fracción 13/5? 2’6. - ¿Cuánto mide cada regleta expresada en metros? 0’2 - ¿Cuántas regletas tenemos? 13. - ¿Qué multiplicación hemos realizado? 0’2 x 13 = 2’6

- ¿Cuánto mide cada regleta expresada en centímetros? 20 - ¿Cuántas regletas tenemos? 13 - ¿Qué multiplicación hemos formado? 20 x 13 = 260

Autor: Ramón Galán González

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- ¿Cuántas regletas hemos utilizado? 13. - ¿De cuántas en cuántas las hemos agrupado para formar metros enteros? De 5 en 5. - ¿Cuántas regletas han sobrado? 3. - ¿Qué división hemos realizado? sobran 3.

13 dividido entre 5 a 2 y

- ¿Qué numero decimal hemos formado? 2’6 - ¿En cuántas partes iguales hemos dividido los 2’6 m? En 13 partes iguales, en 13 regletas. - ¿Cuánto mide cada regleta expresada en metros? 0’2. - ¿Qué división podemos escribir entonces? 2’6 : 13 = 0’2

- ¿Cuántos centímetros mide la longitud total que hemos formado con las regletas? 260 cm. - ¿En cuántas partes iguales hemos dividido los 260 m? En 13 partes iguales, en 13 regletas. - ¿Cuánto mide cada regleta expresada en centímetros? 20. - ¿Qué división podemos escribir entonces? 260 : 13 = 20

- ¿Qué numero decimal hemos formado? 2’6 - ¿Cuál es la longitud, expresada, en metros, de cada parte, es decir, de cada regleta en que hemos dividido el número 2’6? 0’2 Autor: Ramón Galán González

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- ¿Cuántas partes o regletas hemos necesitado? 13. - ¿Qué división podemos escribir entonces? 2’6 : 0’2 = 13

- ¿Cuántos centímetros mide la longitud total que hemos formado con las regletas? 260 cm. - ¿Cuál es la longitud, expresada, en centímetros, de cada parte, es decir, de cada regleta en que hemos dividido los 260 cm? 20 cm - ¿Cuántas partes o regletas hemos necesitado? 13. - ¿Qué división podemos escribir entonces? 260 : 20 = 13 Evidentemente, podríamos aprovechar estas actividades para abordar otros aprendizajes como, por ejemplo, que multiplicar por 0’25 es lo mismo que dividir entre 4, esto es, hallar la cuarta parte. O de forma inversa, que dividir entre 0’25 es lo mismo que multiplicar por 4. Sin embargo, estos aprendizajes se abordarán posteriormente, en otro momento del proceso de aprendizaje.

Autor: Ramón Galán González

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12. Resolución de problemas. Aunque, como indicábamos en la introducción, el presente trabajo tendrá una continuidad posterior donde se abordará la resolución de problemas que implique la aplicación del concepto de fracción y sus distintas operaciones, estimamos oportuno exponer algunas consideraciones sobre la resolución de problemas e ilustrarlas con un ejemplo. La resolución de problemas es una de las máximas preocupaciones que manifiestan los docentes en relación a las dificultades que muestran los alumnos con respecto a la asignatura de Matemáticas. Es común oír decir a cualquier docente: “Lo que peor que se les da a los alumnos es la resolución de problemas. Les pongo un problema y no saben, ni siquiera, qué operación tienen que hacer” A nuestro entender, este hecho evidente es una de las consecuencias directas, una manifestación más de una metodología errónea aplicada a la enseñanza de la matemáticas y que predomina en nuestras aulas. Por ello, cualquier intento de poner remedio a esta situación, resulta prácticamente imposible si no se actúa sobre la causa que la determina y origina La metodología que predomina en nuestras aulas, parte de conceptos matemáticos muy abstractos y ya elaborados. Normalmente, el proceso de aprendizaje no realiza la fase práctica o perceptiva, ni recorre la fase de la representación, sino que directamente se pasa a la fase numérica. Este salto en el vacío, provoca una desconexión entre la acción real, el pensamiento y su expresión en forma de operación matemática. Dicho en otros términos, si el alumno no construye, por ejemplo, el concepto de número natural a partir de contar cantidades de objetos concretos, si no realiza de forma real suma o restas con estas cantidades de objetos manipulables, sino que directamente le enseñamos la grafía de los números y les ponemos innumerables sumas mediante un algoritmo que carece de todo sentido para el alumno, e incluso para el profesor, no es de extrañar que cuando vaya a realizar un problema no sepa si tiene que sumar o restar, por la sencilla razón que no ha realizado previamente ninguna suma, ni ninguna resta, mediante una acción real. ¿Acaso no es una contradicción enseñarles a los alumnos las medidas de longitud sin que éstos realicen la acción de medir longitudes? ¿Cómo es posible que un alumno se represente en su pensamiento una operación matemática implícita en un texto escrito si nunca ha realizado la acción real que se corresponde con dicha operación matemática? Autor: Ramón Galán González

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Por el contrario, cuando el alumno construye el concepto de número natural, el concepto de número decimal, el concepto de fracción, de forma práctica y sensible. Cuando realiza operaciones de sumar, restar multiplicar y dividir mediante acciones reales, aplicadas a objetos concretos y sensibles, y posteriormente expresa estas acciones reales empleando un lenguaje matemático, el alumno no tiene por qué manifestar ninguna dificultad a la hora de resolver un problema matemático. Otros de los errores que hemos observado con frecuencia en la enseñanza de las matemáticas, es considerar los distintos contenidos matemáticos como compartimentos estancos. Primero, enseñamos los números decimales y sus operaciones. Cuando hemos terminado con el tema de los números decimales, pasamos a explicar las fracciones y, finalmente y en otro nivel educativo, los porcentajes o tantos por cientos. Normalmente no se interrelacionan los distintos contenidos matemáticos. Veamos ahora, mediante un ejemplo, cómo trabajamos con los alumnos de 6º un problema matemático. Mediante este ejemplo pretendemos ilustrar nuestra propuesta metodológica. Proporcionamos a los alumnos el siguiente problema durante una sesión de clase: Un carpintero tiene un tablón de madera que mide de largo 6/5 m. Corta un trozo que representa el 25% de la longitud del tablón. Tienes que calcular: - La longitud que tenía el tablón de madera expresada en forma de números de metros. - La longitud del tablón de madera que cortó el carpintero, expresada en número de metros. - La longitud del tablón de madera que cortó el carpintero, expresada en forma de fracción. - La longitud del tablón de madera que le sobró, expresada en metros. - La longitud que le sobró, expresada en forma de fracción.

Autor: Ramón Galán González

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Después de un cierto tiempo de trabajo por parte del los alumnos, y teniendo éstos acceso al uso del franelograma, a las cintas métricas y a la pizarra, pasamos a corregir el problema. Para ello, distintos alumnos fueron respondiendo a las sucesivas cuestiones. - ¿Cuál era la longitud del tablón de madera expresada en metros? La longitud del tablón era de 1’20 m. Le preguntamos al alumno que respondió, cómo había razonado para saber que esa era la longitud. El alumno argumentó: - Porque cada quinta parte del metro mide 0’20 m, y como tenemos 6 quintas partes, serán, en total, 1’20 m. A este mismo alumno le pedimos que demostrara con las regletas y el franelograma que efectivamente 6/5 partes de un metro eran 1’20 m. El alumno construyó en el franelograma la siguiente representación.

A continuación, otro alumno respondió a la segunda cuestión: - El carpintero cortó 0’30 m porque el 25 % de 1’20 es 0’30. Con el fin de que razonara la respuesta, le preguntamos al alumno: - ¿Cómo sabes tú que el 25 % de 1’20 es 0’30? El alumno argumentó lo siguiente: - Porque 1’20 m son 1 metro y 20 centímetros y, en total, son 120 centímetros. Calcular el 25 % es lo mismo que calcular la cuarta parte. La cuarta parte de 120 centímetros son 30 centímetros, que expresado en metros son 0’30 m. (Los alumnos aprendieron en su momento que el 25 % es lo mismo que calcular la cuarta parte, porque 25 cm. en relación a un metro representa la cuarta parte. Y como el complementario de 25 con respecto al 100 es el número 75, el complementario del 25 % es el 75 %) Autor: Ramón Galán González

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A su vez le propusimos a este mismo alumno que dibujara en la pizarra una línea recta de 1’20 m, que la dividiera en cuatro partes iguales y nos demostrara que cada parte medía, efectivamente, 30 cm., es decir, 0’30 m. El alumno trazó una línea recta y con la ayuda de una cinta métrica, midió 1metro y 20 centímetros. Luego comenzando por un extremo fue midiendo sucesivamente trozos de 30 cm. Al final, la línea recta quedó dividida en 4 trozos de 30 centímetros. Otro alumno dijo que lo sabía hacer de otra manera. Salió a la pizarra trazó una línea recta de 120 cm. La dividió a la mitad midiendo desde un extremo 60 cm., quedando de este modo la recta dividida en dos segmentos de 60 cm. A continuación dividió cada segmento, de nuevo a la mitad y comprobó que los cuatro segmentos formados medían 30 cm. cada uno. Otro alumno dijo: - Yo para calcular la cuarta parte de 1’20 m no he transformado los metros a centímetros sino que lo he calculado directamente. Como la cuarta parte de 12 es 3, entonces, la cuarta parte de 1’2 es 0’3. Finalmente otro alumno dijo: - Yo he calculado directamente el 25 % de la fracción 6/5. He calculado la cuarta parte de 6, que es el numerador, y me da 1’5 y tengo la fracción 1’5/5. Es decir, tengo una vez y media una quinta parte. Como una quinta parte vale 20 cm., media quinta parte medirá 10 cm. En total me da 30 cm., es decir, 0’30 m Como hubo varios alumnos que no le entendieron, salió y construyó en el franelograma la siguiente representación:

A continuación planteamos la siguiente cuestión del problema:

Autor: Ramón Galán González

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- ¿Cómo podemos expresar 0’3 m, es decir, 30 cm. en forma de fracción? Unos de los alumnos que se ofrecieron para dar la respuesta dijo: - Lo podemos expresar mediante la fracción 3/10., porque una décima parte mide 10 centímetros ó 0’1m y como tenemos tres décimas partes, serán 0’3. Le pedimos que lo demostrara en el franelograma y construyó la siguiente representación:

Cogió una cinta métrica y comprobó que la longitud formada por las tres regletas medía 30 cm. Finalmente, procedimos a trabajar las dos últimas cuestiones: - ¿Qué longitud, expresada en metros, tendría el tablón de madera que le sobró al carpintero? Uno de los alumnos que se ofreció a responder dijo: - Mide 0’9 m porque si el tablón medía 120 cm. y cortó 30 cm., le tienen que quedar 90 cm., o lo que lo mismo, 0’9 m. Para comprobar experimentalmente la validez de la respuesta, le dijimos al alumnos que dibujara en la pizarra una línea recta de 1’20 m y que cortara, o borrara, después un trozo de 0’3 m para ver si de verdad le daba 0’9 m. El alumno lo hizo y lo comprobó experimentalmente. - ¿Mediante qué fracción podemos expresar la longitud del tablón que le sobró? Uno de los alumnos respondió: - Como le sobró 0’9 m, entonces, la fracción será 9/10 Autor: Ramón Galán González

116

A continuación, procedimos a dibujar el tablón de madera con medidas reales en la pizarra, colocamos los datos y los resultados obtenidos:

100

%

6 m = 1’20 = 120 cm 5

O’9 m = 90 cm

75 %

0’3 m = 30 cm

9 10

25 %

3 10

A partir de este gráfico completamos la siguiente la siguiente tabla:

En metros

En cm.

En forma de fracción

En forma de %

Longitud antes de cortar

1’20

120

6/5

100 %

Parte cortada

0’3

30

3/10

25 %

Parte sobrante

0’9

90

9/10

75 %

Finalmente y a partir del gráfico y de la tabla, procedimos a sacar conclusiones: Escribir las conclusiones consiste en expresar de forma escrita todas las operaciones que hemos realizado previamente, de forma mental, y a lo largo de todo el problema, agrupándolas por categorías. Empleamos una técnica similar a la lluvia de ideas. Es decir, cada alumno va diciendo alguna operación o alguna conclusión que podemos sacar del problema que acabamos de resolver y se van colocando dentro de las categorías que previamente han sido determinadas por el profesor. En este caso, las conclusiones que apuntaron los alumnos fueron:

Autor: Ramón Galán González

117

- Conclusiones sobre el valor numérico de las fracciones: 6 = 1’20 5

3 = 0’3 10

9 = 0’9 10

- Conclusiones sobre tantos por cientos: El 25 % de 1’20 = 0’3

El 25 % de 120 = 30

El 75 % de 1’20 = 0’9

El 75 % de 120 = 90

6 = 0’3 5 6 3 El 25 % de = 5 10

El 75 % de

El 25 % de

6 = 0’9 5 6 9 El 75 % de = 5 10

- Conclusiones sobre distintas formas de expresar la resta que hemos realizado: 1’20 – 0’3 = 0’9 120 – 30 = 90 100 % - 25 % = 75 % 6 3 9 − = 5 10 10

- Otras conclusiones: 1’20 m = 12 dm = 120 cm 3 m = 0’3 m = 3 dm = 30 cm 10 9 m = 0’9 m = 9 dm = 90 cm 10

Autor: Ramón Galán González

118

Cuando estábamos escribiendo las conclusiones, hubo un alumno que no entendía cómo era posible que al restarle a 6/5, la fracción 3/10 daba la fracción 9/10, ya que si tenía regletas de la quinta parte no podía quitarle regletas de la décima parte. Entones, un alumno tomo la palabra y dijo: “Sí, porque 6/5 es lo mismo que 12/10. Como una regleta de la quinta parte vale por dos de la décima parte, entonces 6 regletas de la quinta parte serán 12 regletas de la décima parte.” Le pedimos al alumno que acababa de dar la explicación que los hiciera con el franelograma. El alumno hizo lo siguiente:

Después quitó tres regletas de la décima parte y le quedó nueve regletas de la décima parte.

Como podemos observar, si cambiamos la metodología, entonces la resolución de problemas deja de ser una dificultad y se convierte, de esta forma, en una excelente situación de aprendizaje para el alumno.

Autor: Ramón Galán González

119

C. E. I. P. VEINTE DE ENERO ÁREA DE MATEMÁTICAS

TERCER CICLO

UNIDAD DIDÁCTICA: EL CONCEPTO DE FRACCIÓN. ANEXO I: ACTIVIDADES ESCRITAS.

RAMÓN GALÁN GONZÁLEZ

Autor: Ramón Galán González

120

INTRODUCCIÓN. Todos sabemos que los pensamientos no se ven, ni se oyen. Pertenecen a nuestro mundo interior, a nuestro mundo subjetivo, anidan en nuestra conciencia. Por ello, para transmitir nuestros pensamientos, éstos tienen que salir al exterior y objetivarse, es decir, cobrar existencia independiente en el mundo objetivo o exterior, bien por medio del lenguaje, bien por medio de un dibujo, una acción, un gesto, etc. Por otra parte, el pensamiento siempre está en constante movimiento, en actividad, en acción. Inicialmente, cuando un alumno realiza una actividad matemática de forma práctica, en nuestro caso manipulando las regletas, pegándolas y despegándolas del franelograma, componiendo y descomponiendo, la actividad la ejecuta las manos pero las dirige el pensamiento conforme a un fin. El objeto del pensamiento del alumnos son las regletas y el pensamiento del alumno se objetiva por medio de la acción que realiza con las regletas. Posteriormente, y como ejemplo, cuando tiene que calcular cuántas regletas de la mitad tiene que emplear para formar el número 4’5, el alumno se representa en su interior toda la acción que con anterioridad ha realizado de forma práctica y emite la respuesta: 9 regletas. Ahora también, el objeto del pensamiento sigue siendo las regletas pero no bajo una existencia real sino bajo una existencia representada. Ahora el movimiento del pensamiento, la acción, no la realiza las manos sino el propio pensamiento actuando sobre representaciones. El pensamiento se libera de la acción real. Este hecho sucede cuando que el pensamiento consigue operar de manera más rápida que las manos. Ahora, el alumno, para objetivar su pensamiento, lo tiene que hacer por medio del lenguaje, al pedirles nosotros que justifique su respuesta. De este modo: “Para formar cada metro necesitamos dos regletas de la mitad. Con ocho regletas formaremos, entonces, cuatro metros y necesitamos aún otra regleta más para formar la mitad de un metro. En total, nueve regletas” Finalmente, y después de repetidas acciones realizadas tanto de forma práctica como de forma representada, el pensamiento se independiza de forma total. El objeto del pensamiento deja de ser las regletas y pasa a ser él mismo su propio objeto. Ahora el pensamiento y su acción tienen existencia en sí mismo. El pensamiento ahora se mueve en el plano teórico y se objetiva en forma de lenguaje matemático. Ahora para Autor: Ramón Galán González

121

calcular cuántas regletas tendría que emplear para formar el número 4’5, diría: “La mitad de 8 es 4. La mitad de 1 es 0’5. Por lo tanto, la mitad de 9 es 4’5”. Esta pequeña introducción tiene por objeto mostrar, de un lado y de una forma muy sintética, la justificación teórica de la metodología empleada, y, de otro lado, la necesidad de plantear a los alumnos ejercicio matemáticos teóricos, donde el pensamiento se muestre libre de toda realidad sensible. Ahora el pensamiento del alumno se objetivará en forma de algoritmo matemático pero será un algoritmo dotado de sentido, surgido y sustentado en una actividad práctica. Será el resultado de interiorizar una acción ya realizada y nunca un procedimiento extraño y sin sentido que repite de forma mecánica a instancia de lo que le dicta el profesor. Por todo lo anterior, cuando los alumnos realicen estos ejercicios escritos deben proceder de la misma forma que cuando operaban con las regletas. De hecho se recomienda que, a la hora de corregir los primeros ejercicios de cada página, se haga de forma práctica, esto es, comprobando el cálculo realizado. A continuación adjuntamos algunas actividades escritas propuestas y posteriormente iremos analizando cada una de ellas. Para ello, las relacionaremos con las distintas actividades que el alumno realizó con las regletas y con otros aprendizajes ya adquiridos en unidades didácticas anteriores. Los ejercicios numéricos que se adjuntan no representan todos los tipos de ejercicios que podemos realizar con los alumnos. En este caso adjuntamos algunos de ellos a título orientativo. Evidentemente, cualquier profesor podrá añadir los que estime conveniente, siempre y cuando los ejercicios numéricos se correspondan, de una u otra manera, con las actividades prácticas que los alumnos hayan trabajado con las regletas. Estas actividades escritas, o bien pueden realizarse a la par que los alumnos trabajan de forma práctica con las regletas, o bien al finalizar todo este proceso de aprendizaje referido al concepto de fracción. Finalmente, cuando las fracciones de los ejercicios propuestos estén formadas por números elevados, y con el fin de abreviar los ejercicios, se Autor: Ramón Galán González

122

recomienda sustituir el uso de las regletas, por su representación gráfica en la pizarra. Por ejemplo, para la fracción 31/4 trazaremos en la pizarra 7 metros enteros, dividiéndolos posteriormente en cuartas partes, y debajo de estos trazaremos los tres cuartos restantes.

Autor: Ramón Galán González

123

C. E. I. P. VEINTE DE ENERO

ÁREA DE MATEMÁTICAS

TERCER CICLO

UNIDAD DIDÁCTICA: EL CONCEPTO DE FRACCIÓN.

CUADERNO DE ACTIVIDADES

Alumno/a: _______________________________________

Autor: Ramón Galán González

124

Concepto de fracción.

Actividad 1.

Calcula el valor numérico de las siguientes fracciones: 1 = 2

2 = 2

3 = 2

4 = 2

5 = 2

6 = 2

7 = 2

8 = 2

9 = 2

10 = 2

14 = 2

15 = 2

19 = 2

27 = 2

30 = 2

64 = 2

67 = 2

90 = 2

95 = 2

120 = 2

360 = 2

450 = 2

720 = 2

420 = 2

630 = 2

340 = 2

790 = 2

843 = 2

1260 = 2

1870 = 2

4350 = 2

5320 = 2

9980 = 2

917 = 2

5019 = 2

1111 = 2

Autor: Ramón Galán González

125

Concepto de fracción.

Actividad 2.

Calcula el valor numérico de las siguientes fracciones: 1 = 4

2 = 4

3 = 4

4 = 4

5 = 4

6 = 4

7 = 4

8 = 4

9 = 4

10 = 4

11 = 4

12 = 4

15 = 4

16 = 4

17 = 4

20 = 4

23 = 4

24 = 4

26 = 4

28 = 4

30 = 4

31 = 4

32 = 4

36 = 4

37 = 4

40 = 4

48 = 4

128 = 4

236 = 4

640 = 4

720 = 4

920 = 4

6624 = 4

5400 = 4

Autor: Ramón Galán González

1423 = 4

10680 = 4

126

Concepto de fracción.

Actividad 3.

Calcula el valor numérico de las siguientes fracciones: 1 = 8

2 = 8

3 = 8

4 = 8

5 = 8

6 = 8

7 = 8

8 = 8

9 = 8

10 = 8

12 = 8

15 = 8

16 = 8

17 = 8

20 = 8

24 = 8

30 = 8

32 = 8

36 = 8

40 = 8

60 = 8

80 = 8

100 = 8

160 = 8

400 = 8

420 = 8

560 = 8

563 = 8

600 = 8

360 = 8

720 = 8

1000 = 8

1400 = 8

2000 = 8

4400 = 8

6800 = 8

Autor: Ramón Galán González

127

Concepto de fracción.

Actividad 4.

Calcula el valor numérico de las siguientes fracciones: 1 = 10

2 = 10

3 = 10

4 = 10

5 = 10

8 = 10

10 = 10

11 = 10

12 = 10

15 = 10

20 = 10

29 = 10

30 = 10

47 = 10

50 = 10

82 = 10

90 = 10

100 = 10

120 = 10

126 = 10

600 = 10

890 = 10

893 = 10

1000 = 10

1400 = 10

1420 = 10

1654 = 10

563 = 10

720 = 10

360 = 10

842 = 10

1030 = 10

1414 = 10

2684 = 10

4400 = 10

16800 = 10

Autor: Ramón Galán González

128

Concepto de fracción.

Actividad 5

Calcula el valor numérico de las siguientes fracciones: 3 = 5

1 = 5

2 = 5

5 = 5

6 = 5

9 = 5

10 = 5

13 = 5

15 = 5

19 = 5

20 = 5

30 = 5

33 = 5

50 = 5

60 = 5

100 = 5

120 = 5

124 = 5

135 = 5

480 = 5

7 = 5

4 = 5

8 = 5

486 = 5

600 = 5

360 = 5

720 = 5

945 = 5

1000 = 5

1234 = 5

8420 = 5

1030 = 5

1414 = 5

2684 = 5

Autor: Ramón Galán González

4400 = 5

16800 = 5

129

Concepto de fracción.

Actividad 6.

Calcula el valor numérico de las siguientes fracciones: 1 = 20

2 = 20

3 = 20

4 = 20

5 = 20

8 = 20

10 = 20

11 = 20

12 = 20

15 = 20

16 = 20

20 = 20

30 = 20

40 = 20

50 = 20

82 = 20

90 = 20

100 = 20

120 = 20

126 = 20

600 = 20

890 = 20

982 = 20

1000 = 20

1400 = 20

1420 = 20

1654 = 20

563 = 20

720 = 20

360 = 20

842 = 20

1030 = 20

1414 = 20

2684 = 20

4400 = 20

16800 = 20

Autor: Ramón Galán González

130

Concepto de fracción.

Actividad 7.

Calcula paso a paso el valor numérico de las siguientes fracciones. Observa el ejemplo: 13 12 1 = + = 3 + 0’25 = 3’25 4 4 4

7 = 4

12 = 5

9 = 2

12 = 8

23 = 10

23 = 4

23 = 5

8 = 2

34 = 4

46 = 10

50 = 10

30 = 8

51 = 2

60 4

105 = 2

104 = 5

104 = 10

Autor: Ramón Galán González

131

Concepto de fracción.

Actividad 8.

Expresa paso a paso las fracciones impropias en forma de número mixto. Observa el ejemplo: 13 12 1 1 = + =3+ 4 4 4 4

12 = 5

7 = 2

16 = 4

24 = 10

13 = 8

45 = 20

21 = 2

30 = 4

34 = 5

30 = 8

45 = 10

95 = 20

87 = 2

123 = 4

123 = 5

Autor: Ramón Galán González

132

Concepto de fracción.

Actividad 9.

Expresa paso a paso los números mixtos en forma de fracciones impropias. Observa el ejemplo. 3+

1 12 1 13 = + = 4 4 4 4

1+

3 = 5

2+

5 = 8

5+

1 = 2

4+

4 = 10

1+

15 = 20

15 +

1 = 2

5+

3 = 4

10 +

2 = 5

3+

7 = 8

9 = 10

3+

12 = 20

2 = 4

3+

4 = 5

6+

18 = 20

7+

15 +

7+

3 = 8

Autor: Ramón Galán González

133

Concepto de fracción.

Actividad 10.

Expresa la multiplicación en forma de fracción. Observa el ejemplo 13 x 0’25 =

13 4

7 x 0’5 =

3 x 0’1 =

9 x 0’125 =

15 x 0’2 =

7 x 0’05 =

18 x 0’25 =

0’5 x 23 =

0’1 x 25 =

0’05 x 45 =

0’125 x 14 =

0’2 x 17 =

Calcula mentalmente el resultado: 13 x 0’25 =

7 x 0’5 =

3 x 0’1 =

9 x 0’125 =

15 x 0’2 =

7 x 0’05 =

18 x 0’25 =

0’5 x 23 =

0’1 x 25 =

0’05 x 45 =

0’125 x 14 =

0’2 x 17 =

17 x 0’25 =

23 x 0’5 =

18 x 0’1 =

15 x 0’125 =

23 x 0’2 =

26 x 0’05 =

0’25 x 30 =

0’5 x 53 =

0’2 x 50 =

714 x 0’1 =

814 x 0’05 =

624 x 0’25 =

Autor: Ramón Galán González

134

Concepto de fracción.

Actividad 11.

Calcula el resultado en forma de número decimal. Observa el ejemplo 3+

1 = 3’25 4

5+

3 = 4

7+

9+

7 = 10

2+

3 = 8

13 +

2 = 5

3+

5 = 20

15 +

1 = 2

23 +

2 = 4

8+

3 = 10

5+

15 = 20

6+

1 = 2

7 = 8

Calcula paso a paso el resultado final: 3+

1 13 = = 13 x 0’25 = 3’25 4 4

5+

3 = 4

4+

2 = 5

2+

3 = 8

3+

3 = 10

15 +

1 = 2

2+

4 = 20

10 +

2 = 4

7+

4 = 5

6+

Autor: Ramón Galán González

7 = 8 135

Concepto de fracción.

Actividad 12.

Halla el número que falta en las siguientes multiplicaciones. X 0’25 = 3’25

x 0’2 = 2’4

x 0’1 = 1’7

x 0’5 = 3’5

x 0’125 = 2

x 0’05 = 0’7

x 0’25 = 6

x 0’2 = 3’4

x 0’1 = 3

x 0’125 = 1’250

x 0’5 = 8

x 0’05 = 2

x 0’125 = 2’875

x 0’25 = 4’75

x 0’1 = 8’3

x 0’25 = 10’25

x 0’05 = 2’4

x 0’1 = 9

x 0’2 = 5’8

x 0’125 = 7’125

x 0’2 = 11’6

¿Cuál es el número desconocido X? Calcula mentalmente. x = 3’25 ; 4

x = 13.

x = 2’8 ; x = 5

x = 6’5 ; 2

x=

x = 5’75 ; x = 4

x = 1’250 ; x = 8

x = 2’8 ; x = 10

x = 0’6 ; x = 20

x = 9 ; 2

x = 9 ; 4

x = 10’6 ; x = 5

x=

Autor: Ramón Galán González

x=

136

Concepto de fracción.

Actividad 13.

Responde a la pregunta y escribe en forma de división: Si dividimos 3 metros en regletas de 0’25, ¿cuántas regletas necesitamos? _______ regletas En forma de división

3 : 0’25 = 12

Si dividimos 2 metros en regletas de 0’2, ¿cuántas regletas necesitamos? _______ regletas. En forma de división

:

=

Si dividimos 4 metros en regletas de 0’125, ¿cuántas regletas necesitamos? _______ regletas. En forma de división

:

=

Si dividimos 7 metros en regletas de 0’1, ¿cuántas regletas necesitamos? _______ regletas. En forma de división

:

=

Si dividimos 4 metros en regletas de 0’05, ¿cuántas regletas necesitamos? _______ regletas. En forma de división

:

=

Si dividimos 2’75 metros en regletas de 0’25, ¿cuántas regletas necesitamos? _______ regletas. En forma de división Autor: Ramón Galán González

:

= 137

Concepto de fracción.

Actividad 14.

Responde a la pregunta y escribe en forma de división: Si dividimos 4’6 metros en regletas de 0’2, ¿cuántas regletas necesitamos? _______ regletas En forma de división

=

:

Si dividimos 12 metros en regletas de 0’1, ¿cuántas regletas necesitamos? _______ regletas. En forma de división

:

=

Si dividimos 7 metros en regletas de 0’125, ¿cuántas regletas necesitamos? _______ regletas. En forma de división

:

=

Si dividimos 15 metros en regletas de 0’05, ¿cuántas regletas necesitamos? _______ regletas. En forma de división

:

=

Si dividimos 12’5 metros en regletas de 0’5, ¿cuántas regletas necesitamos? _______ regletas. En forma de división

:

=

Si dividimos 8’5 metros en regletas de 0’25, ¿cuántas regletas necesitamos? _______ regletas. En forma de división Autor: Ramón Galán González

:

= 138

Concepto de fracción.

Actividad 15.

Calcula el número que falta para que las dos fracciones sean equivalentes: 6 = 2 4

2 4 = 5

3 = 4 20

10 1 = 20

2 = 5 20

12 = 8 2

5 1 = 20

3 12 = 2

20 = 2 4

16 = 10 5

9 = 2 8

2 10 = 4

Rodea en un círculo la fracción que tiene mayor valor numérico: 4 5

ó

4 2

7 8

4 5

ó

7 5

5 10

ó

8 20

15 2

6 10

6 8

14 20

ó

10 20

6 10

ó

ó

3 4

Autor: Ramón Galán González

2 8

3 4

ó

4 5

5 8

9 4

ó

5 2

ó

11 20

14 4

ó

14 5

ó

25 2

13 10

ó

15 5

20 4

ó

30 5

ó

ó

5 8

4 10

139

ANÁLISIS DE LAS ACTIVIDADES ESCRITAS PROPUESTAS. Actividad número 1. Cuando el alumno realiza, por ejemplo, de forma práctica la actividad: “Forma con regletas de la mitad la fracción 9/2 y calcula su valor numérico”

Observa que: - Con cada dos regletas mitad, forma un metro. - Las 9 regletas se han dividido en dos grupos: 8 y 1. Las 8 regletas que forman metros enteros más la regleta sobrante. - Con las 8 regletas, forma 4 metros, esto es la mitad. Luego, basta añadir 0’5, que es la longitud de la regleta sobrante. Cuando el alumno realiza, por ejemplo, de forma práctica la actividad: “Forma con regletas de la mitad la fracción 8/2 y calcula su valor numérico”

Obtiene las mismas conclusiones que en la actividad anterior pero, en este caso, no existe regleta sobrante. Después de repetir actividades como las dos anteriores, el alumno deduce de la práctica que basta con hallar la mitad del número de regletas para saber cuántos metros se forman. De manera que si el número es par, Autor: Ramón Galán González

140

no sobra ninguna regleta. Si el número es impar, tiene que hallar la mitad del número par inferior y sumarle 0’5. En definitiva, el alumno identifica que hallar el valor numérico de la fracción 8/2, o de la fracción 9/2, es lo mismo que hallar la mitad de 8 o la mitad de 9 respectivamente. Como el alumno ha aprendido con anterioridad a calcular mentalmente la mitad de número, realiza esta actividad aplicando el aprendizaje anteriormente conquistado, aunque hemos observado que después de realizar el proceso de aprendizaje que aquí analizamos, los alumnos incorporan nuevas estrategias de cálculo mental para hallar la mitad de un número. Ahora veremos, con algunos ejemplos, de qué manera calculan los alumnos la mitad de algunos números. En otra Unidad Didáctica se aborda este proceso de aprendizaje de forma más detallada y sistemática.

- Valor numérico de la fracción

14 =7 2

En este caso, el alumno se limita a calcular la mitad de 14 de forma inmediata. Sabe por múltiples experiencias anteriores que si divide 14 elementos en dos grupos iguales, cada grupo tendrá 7 elementos.

- Valor numérico de la fracción

15 = 7’5 2

Aquí el alumno descompone el número 15 en 14 + 1. La mitad de 14 es 7. La mitad de 1 es 0’5. Por lo tanto, la mitad de 15 será 7’5 (7 + 0’5). Obviamente, el alumno sabe que la mitad de 1 es 0’5 porque la mitad de un metro es igual a 5 decímetros, es decir, 0’5.

- Valor numérico de la fracción

27 = 13’5. 2

Aquí los alumnos suelen razonar de dos maneras:

Autor: Ramón Galán González

141

Una. Descomponiendo el número 27 en 26 + 1. La mitad de 26 es 13. La mitad de 1 es 0’5. Por lo tanto, la mitad de 27 es 13’5. (A su vez, el alumno sabe que la mitad de 26 es 13 porque en su día aprendió que 26 se descompone en 20 + 6. La mitad de 20 es 10. La mitad de 6 es 3. Por lo tanto la mitad de 26 es 13.) Otra. Descomponiendo el número 27 en 20 + 7. La mitad de 20 es 10. La mitad de 7 es 3’5. Por lo tanto, la mitad de 27 es 10 + 3’5 = 13’5.

- Valor numérico de la fracción

30 = 15. 2

Hemos observado en nuestra práctica diaria dentro del aula que de nuevo los alumnos razonan de dos formas distintas: Una. La mitad de 30 es 15 porque en su día descompusieron el número 30 en 20 + 10. La mitad de 20 es 10. La mitad de 10 es 5. Por lo tanto, la mitad de 30 es 15. Otra. Hay alumnos que responden simplemente diciendo: “Como la mitad de 3 es 1’5, entonces la mitad de 30 será 15”

- Valor numérico de la fracción

95 = 47’5. 2

La forma más usual que emplean los alumnos es: 90 +

5

45 + 2’5 = 47’5

- Valor numérico de la fracción

120 = 60. 2

Las distintas estrategias que utilizan en este caso los alumnos son las siguientes:

Autor: Ramón Galán González

142

- Una. “Como la mitad de 12 es 6, entonces la mitad de 120 será 60” - Otra.

100 + 20 50

+ 10 = 60

- Valor numérico de la fracción

360 = 180. 2

Los alumnos razonan de diversas maneras pero la más usual es: 360 =

300 + 60 1

+ 30 = 180

- Valor numérico de la fracción

453 = 226’5. 2

La forma más usual que emplean los alumnos es: 453 =

400 + 50 + 3 1

+ 25 + 1’5 = 226’5

- Valor numérico de la fracción

790 = 395. 2

Lo usual es que los alumnos calculen del siguiente modo: 790 =

700 + 90 350 + 45 = 395

Autor: Ramón Galán González

143

También hemos observado que hay alumnos que calculan del siguiente modo: 790 = 800 – 10 400 – 5 = 395 Veamos un último ejercicio. - Valor numérico de la fracción

1870 = 935. 2

1.870 = 1.800 + 70 1

+ 35 = 935

Autor: Ramón Galán González

144

Actividad número 2. Cuando los alumnos representan en el franelograma las fracciones ¼, 2/4, ¾ comprueban experimentalmente que el valor numérico de las fracciones es, respectivamente, 0’25, 0’5 y 0’75. Sin embargo, no tienen conciencia de que están calculando, de igual modo, la cuarta parte de 1, la cuarta parte de 2 y la cuarta parte de 3, ya que se limitan a colocar las regletas sobre el franelograma y calcular la longitud formada. Cuando representamos la fracción 13/4 en el franelograma:

Y formulamos las preguntas: - ¿Cuántas regletas tenemos? 13. - ¿De cuantas en cuantas las hemos agrupado para formar metros? De 4 en 4. - ¿Cuántos grupos hemos formado? 3 grupos o metros. - ¿Cuántas regletas de la cuarta parte nos han sobrado? Una. - Escribe la división que hemos realizado: 13 1

4 3

El alumno empieza a tomar conciencia que calcular el valor numérico de 13/4 partes puede interpretarse igualmente como calcular la cuarta parte de 13, puesto que hallar la cuarta parte supone dividir entre 4.

Autor: Ramón Galán González

145

Como el alumno aprendió, en un proceso de aprendizaje anterior, a calcular la cuarta parte de un número, le bastará aplicar la cuarta parte del numerador para hallar, de este modo, el valor numérico de la fracción.

Autor: Ramón Galán González

146

Como acabamos de indicar, el alumno comienza el aprendizaje del concepto de fracción sabiendo calcular la cuarta parte de un número pero hasta ahora únicamente lo hacía sobre números que eran divisibles entre 4, esto es, sobre números cuyas cuartas partes eran exactas. Veamos ahora, de un modo resumido, cómo calculan los alumnos la cuarta parte de un número. (Para mayor información sobre este procedimiento de cálculo, remitimos a la unidad didáctica “Las relaciones numéricas: La cuarta parte” Los alumnos utilizan básicamente tres procedimientos: El primer procedimiento está basado, por así decirlo, en la tabla de multiplicar del 4 pero expresada en forma de división. Este procedimiento posibilita al alumno calcular la cuarta parte de los números 4 – 8 – 12 – 16 – 20 – 24 – 28 – 32 – 36 y 40. Como sabemos la cuarta parte será: 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 y 10. Pero igualmente, le posibilita calcular la cuarta parte de estos mismos números ampliados a 10, 100 ó 1.000. Es decir, y como ejemplo, como la cuarta parte de 12 es 3, entonces, la cuarta parte de 120 será 30 ó la cuarta parte de 1.200 será 300. El segundo procedimiento está basado en la experiencia adquirida por alumno y que consiste en haber comprobado que calcular la cuarta parte de un folio, de un metro, de un conjunto de objetos, etc., es igual a calcular la mitad de la mitad. Lo ilustramos con un ejemplo sencillo. La cuarta parte de 600. La mitad de 600 es 300. La mitad de 300 es 150. Por lo tanto, la cuarta parte de 600 será 150. El tercer procedimiento está fundamentado en los dos anteriores pero descomponiendo previamente el número en dos o tres partes. Explicamos este tercer procedimiento calculando la cuarta parte de 624. 624 600 + 24 150 +

Autor: Ramón Galán González

6 = 156

147

Ahora el alumno, como ya ha incorporado el aprendizaje de la cuarta parte de 1, de 2 y de 3, está capacitado para calcular la cuarta parte de cualquier número. Ahora el alumno podrá calcular la cuarta parte de 13 diciendo: 13 12

+

1

3

+

0’25 = 3’25

Como podemos comprobar, el procedimiento del cálculo del valor numérico de la fracción 13/4, es decir, de la cuarta parte de 13 se corresponde fielmente con la acción representada en el franelograma. Por último vamos a analizar cómo calculan los alumnos el valor numérico de algunas fracciones que aparecen en la actividad número 2. - Valor numérico de la fracción 23/4. 23 20 5

+ 3 +

0’75 = 5’75

- Valor numérico de la fracción 128/4 128

1

120 +

8

30

2 = 32

+

Valor numérico de la fracción 720/4 720

Autor: Ramón Galán González

600 +

120

150 +

30 148

- Valor numérico de la fracción 1423/4 1.423 1.400

+

20 + 3

350

+

5

+ 0’75 = 355’75

(La cuarta parte de 1.400 es 350 porque la mitad de 1.400 es 700 y, a su vez, la mitad de 700 es 350)

- Valor numérico de 5400/ 4 5.400 4.000

+ 1400

1.000

+

350 = 1.350

Evidentemente, aquí hemos expuesto las respuestas más usuales que hemos observado en los alumnos. Sin embargo, los procedimiento empleados por los mismos son múltiples y variados y, en muchos caso, pueden resultar sorprendentes.

Autor: Ramón Galán González

149

Actividad número 3. La octava parte en la vida práctica no tiene una excesiva utilización. Ni tan siquiera su posterior expresión en forma de porcentaje (el 12’5 %). Sin embargo se estimó oportuno incorporarla en el estudio del concepto de fracción ya que posibilitaba trabajar con las milésimas, facilitar la comprensión de fracción equivalente y establecer relaciones entre la mitad, cuarta y octava parte. Por ello, no se pretende ahondar en el cálculo mental de la octava parte de un número más allá del desarrollo de unas determinadas capacidades de razonamiento y de cálculo en los alumnos. Esencialmente se procede como con la cuarta parte. Los alumnos calcularán la octava parte de un número utilizando las tres mismas estrategias: - Partiendo de los números divisibles entre 8 hasta el 80. - Hallando la mitad, de forma sucesiva, tres veces. O también, calculando la mitad de la cuarta parte. - Mediante descomposición.

En los ejercicios de la página 3, hasta la fracción 20/8 se recomienda que se realicen de una forma práctica para deducir calcular el valor numérico de estas fracciones es equivalente a hallar la octava parte de los numeradores. Veamos con algunos ejemplos cómo calculan los alumnos la octava parte: - Valor numérico de la fracción 160/8 Calculan directamente 20 razonando del siguiente modo: “Como la octava parte de 16 es 2, entonces, la octava parte de 160 será 20.

- Valor numérico de la fracción 360/8.

Autor: Ramón Galán González

150

En este caso calculan la cuarta parte de 360 que es 90 y posteriormente calculan la mitad, esto es, 45.

Autor: Ramón Galán González

151

- Valor numérico de la fracción 420/8. Descomponiendo el número de la siguiente forma: 420 400

+

20

50

+

2’5 = 52’5

En este caso, los alumnos para calcular la octava parte de 20 que es 2’5, descomponen a su vez 20 en 16 + 4. Posteriormente aplican el concepto de fracción equivalente y establecen la equivalencia de que 4/8 es la mitad del metro, es decir, ½.

Autor: Ramón Galán González

152

Actividad número 4. Cuando los alumnos representan en el franelograma fracciones con denominador 10, es decir, empleando regletas de la décima parte, deducen sin gran dificultad que la forma más fácil de calcular la décima parte es “quitar un cero” o “separar una cifra decimal” al número de regletas que empleamos. Para favorecer esta deducción se aconseja que cuando los alumnos realicen la actividad de forma práctica se le formulen preguntas que apunten a este fin. Lo vemos con dos ejemplos: “Representa en el franelograma la fracción 20/10 y calcula su valor numérico:”

- ¿Cuántas regletas de la décima parte has utilizado para formar la fracción 20/10? 20 regletas - ¿Cuál es el valor numérico de la fracción 20/10? 2 - Con 30 regletas de la décima parte, ¿cuántos metros habrías formado? 3 metros. - ¿Y con 40 regletas? 4 metros. - ¿Y con 120 regletas? 12 metros. “Representa en el franelograma la fracción 17/10 y calcula su valor numérico:”

Autor: Ramón Galán González

153

- ¿Cuántas regletas de la décima parte has utilizado para formar la fracción 17/10? 17 regletas - ¿Cuál es el valor numérico de la fracción 17/10? 1’7 - Con 19 regletas de la décima parte, ¿qué número decimal habrías formado?1’9. - ¿Y con 23 regletas?2’3. - ¿Y con 58 regletas? 5’8. - ¿Y con 123 regletas? 12´3.

11 , debemos lograr que 4 el alumno interprete dicha fracción de cuatro formas:

En general y dada una fracción, por ejemplo

- Leyéndola de arriba abajo, como 11 cuartos, siendo su valor numérico 2’75. - Leyéndola de abajo a arriba, como la cuarta parte de 11, cuyo resultado es 2’75. - Como la división: 11 3





4 2

Siendo:

El número de regletas, el dividendo. El divisor, el tipo o tamaño de las regletas. El cociente, el número de metros que formamos. El resto, el número de regletas que sobran.

- Como la división: 11 : 4 = 2’75 Autor: Ramón Galán González

154

En el caso que nos ocupa, es decir, en relación a la décima parte o 23 fracciones con denominador 10, por ejemplo, considerando la fracción 10 sería: - Leyéndola de arriba abajo, como 23 décimas partes, siendo su valor numérico 2’3. - Leyéndola de abajo a arriba, como la décima parte de 23, cuyo resultado es 2’3. - Como la división: 23 3

10 2

Siendo:

- Como la división: 23 : 10 = 2’3

Autor: Ramón Galán González

155

Actividad número 5. Antes de comenzar a trabajar con los alumnos el concepto de fracción, y más concretamente cuando en su día abordamos la relación numérica de la quinta parte bajo la forma de la división, los alumnos calculaban la quinta parte de un número, empleando, fundamentalmente, el procedimiento de la descomposición. Lo vemos con dos ejemplos. La quinta parte de 60 60 50

+

10

+

10 2 = 12

La quinta parte de 375 375 350 70

+ +

25 5 = 75

Este procedimiento desarrolla, de forma muy acusada, el cálculo mental. Sin embargo, no es el más fácil ni el más cómodo. Cuando el alumno comienza a trabajar la relación de la quinta parte bajo la forma del concepto de fracción y mediante el uso de las regletas, deduce, o puede deducir fácilmente, que una quinta parte equivale a dos décimas partes, puesto que una regleta de la quinta parte es igual a dos regletas de la décima parte. De forma intuitiva, sería:

Autor: Ramón Galán González

156

Por lo tanto, el procedimiento más sencillo para hallar la quinta parte de cualquier número y, con ello, realizar cualquier división entre 5, hallar el valor numérico de una fracción con denominador 5, calcular el 20 % ó multiplicar por 0’2, sería calculando el doble de la décima parte. Como el cálculo de la décima parte consiste en “quitar un cero” o “separar una cifra decimal”, calcular la quinta parte tendrá el mismo índice de dificultad que calcular el doble de un número. Lo vemos con dos ejemplos: La quinta parte de 60. - La décima parte de 60 es 6. - El doble de 6 es 12. - Por lo tanto, la quinta parte de 60 será 12. La quinta parte de 343. - La décima parte de 343 es 34’3. - El doble de 34’3 es 68’6. - Por lo tanto, la quinta parte de 343 será 68’3. Este procedimiento posibilitará al alumno, cuando trabaje la quinta parte bajo la forma de porcentaje, calcular el 20 % de cualquier número de forma rápida, cómoda y con pocas posibilidades de error. Por ejemplo, el 20 % de 184 = 36’8. Este mismo procedimiento será el que apliquemos para resolver los ejercicios de la actividad número 5. Lo vemos con un ejemplo. Valor numérico de la fracción

1414 = 282’8 5

- La décima parte de 1.414 es 141’4. - El doble de 141’4 es 282’4. - Por lo tanto, la quinta parte de 1.414 será 282’8. Para evitar que el alumno calcule la quinta parte de un número mediante un procedimiento rutinario y carente de sentido, es necesario que sea el mismo alumno quien deduzca el procediendo y, con ello, lo dote de sentido. Autor: Ramón Galán González

157

Con el fin de favorecer esta deducción, podemos plantear a los alumnos actividades similares a la siguiente:

- ¿Qué dos fracciones tenemos en el franelograma? 1/5 y 2/10 - ¿Cuál de las dos tiene mayor valor? Las dos tienen el mismo valor.

- ¿Y ahora, cuál de las dos fracciones tiene el mismo valor? Siguen teniendo el mismo valor. Las dos fracciones son equivalentes. - ¿Cómo es posible que las dos fracciones tengan el mismo valor, si la fracción 2/5 únicamente tiene dos regletas, mientras que la fracción 4/10 tiene cuatro regletas? Porque cada quinta parte vale por dos décimas partes. - ¿Qué relación existe entre las regletas de la quinta parte y las regletas de la décima parte? Que las regletas de la décima parte son la mitad de de la quinta parte o que las regletas de la quinta parte valen el doble de la décima parte? - ¿Cuánto vale una décima parte? 0’1. - ¿Cuánto vale una quinta parte? 0’2. Autor: Ramón Galán González

158

- ¿Cuánto valen tres décimas partes? 0’3. - ¿Cuánto valen tres quintas partes? 0’6. - Si 40 décimas partes valen 4, ¿cuánto valdrán 40 quintas partes? El doble 8. - ¿Cuánto vale la décima parte de 60? 6 - Si la décima parte de 60 vale 6 y la quinta parte vale el doble de la décima parte, ¿cuánto valdrá la quinta parte de 60? 12.

También podemos plantear actividades numéricas de este otro tipo Calcula el valor numérico de las fracciones: 6 = 10

6 = 5

20 = 10

20 = 5

O estos otros ejercicios: “Si la décima parte de 30 es 6, entonces la quinta parte valdrá ____” Una vez deducido el procedimiento, se resolverán los ejercicios de la actividad número 5, aunque como se indicó con anterioridad, se recomienda que los primeros ejercicios de cada actividad se realicen representando las fracciones en el franelograma.

Autor: Ramón Galán González

159

Actividad número 6. En este caso, se trata de la veinteava parte. Como la veinteava parte es la mitad de la décima parte, se empleará la misma estrategia que con la quinta parte, pero en este caso, una vez calculada la décima parte, hallaremos la mitad y calcularemos, de este modo, la veinteava parte. Para deducir el procedimiento de cálculo de la veinteava parte, emplearemos, pues, la misma estrategia y actividades similares a las empleadas para la quinta parte.

54 20 calcularemos la décima parte de 54 que es 5’4 y, a continuación, calcularemos la mitad de 5’4, que es 2’7. Por lo tanto, el valor numérico de la fracción 50/20 es 2’7

Por ejemplo, si queremos hallar el valor numérico de la fracción

Hemos comprobado que los alumnos suelen emplear dos estrategias para calcular, siguiendo con el ejemplo, la mitad de 5’4. Una. Por descomposición: De este modo: 5’4 5

+

0’4

2’5

+

0’2 = 2’7

Otra. Mediante el siguiente razonamiento: “Como la mitad de 54 es 27, entonces, la mitad de 5’4 será 2’7”

Autor: Ramón Galán González

160

Actividad número 7. Con esta actividad se pretende que el alumno exprese mediante un lenguaje matemático, toda la acción que su pensamiento realiza para calcular el valor numérico de una fracción. Cuando solicitamos a los alumnos que construya en el franelograma la fracción 13/4 y que posteriormente calcule su valor numérico, el alumno hace la siguiente representación:

Si observamos, el total de las 13 regletas quedan divididas en dos partes o grupos: - Las regletas que forman los metros enteros. En este caso, 12 regletas de la cuarta parte, es decir, 12/4. - Las regletas sobrantes. En este caso, una regleta de la cuarta parte, es decir,1/4. De forma que: - El número de metros enteros determinará la parte entera del número decimal. En este caso 3. - El valor de las regletas sobrantes, la parte decimal del número. En este caso 0’25. Su acción y su pensamiento recorren dos momentos: - Separar las regletas en dos partes: 13 12 1 = + 4 4 4 Autor: Ramón Galán González

161

- Determinar el valor numérico de cada una de estas dos partes

13 12 1 = + = 3 + 0’25 = 3’25. 4 4 4

Consideramos de suma importancia que el alumno desarrolle la capacidad de objetivar su pensamiento por medio del lenguaje matemático, de la misma forma que objetiva su pensamiento por medio del habla propia de su idioma. Y esta objetivación o expresión debemos desarrollarla en su doble vertiente: de forma oral y de forma escrita. Este ejercicio contribuye precisamente a este fin. Como en las actividades anteriores, se recomienda que los primeros ejercicios se realicen de forma intuitiva mediante la utilización del franelograma.

Autor: Ramón Galán González

162

Actividad número 8. El alumno debe ser consciente que las expresiones matemáticas:

3’25 (Número decimal) y

3+

1 (Número mixto) 4

son expresiones equivalente puesto que expresan la misma cantidad. En el primer caso, en el número decimal, la parte no entera se expresa mediante cifras decimales. En el segundo caso, en el número mixto, la parte no entera se expresa mediante una fracción propia. En el primer caso, la unión de la parte entera y la parte no entera se expresa mediante una “coma”. En el segundo caso, la unión de la parte entera y la no entera se expresa mediante el signo de la suma. Igualmente, se considera conveniente que el alumno identifique la expresión matemática: 13 1 =3+ 4 4

con la división: 13 1

4 3

Por último, hay que tener en cuenta que, en este ejercicio, el alumno está transformando una fracción impropia en un número mixto.

Autor: Ramón Galán González

163

Actividad número 9. En esta actividad, el alumno realiza el proceso anterior pero de forma inversa. Ahora el alumno parte de un número mixto y llega a una fracción impropia. 3+

1 12 1 13 = + = 4 4 4 4

Con el fin de ser riguroso a la hora de representar en el franelograma 1 la expresión: 3 + , representaremos el número entero, mediante cintas 4 métricas de un metro de longitud. Posteriormente, en un segundo paso, sustituiremos los tres metros enteros por 12 regletas de la cuarta parte y, finalmente, calcularemos en número total de regletas de la cuarta parte. De este modo:

Hagamos un paréntesis y volvamos a reflexionar sobre la metodología que predomina actualmente en las aulas y ésta que proponemos.

Autor: Ramón Galán González

164

La metodología tradicional, la que no parte del conocimiento intuitivo o inmediato, la que no vincula los conceptos con la experiencia práctica, simplemente proporciona a los alumnos un algoritmo matemático y éstos lo repiten una y otra vez hasta que lo automatizan. Se produce un aprendizaje aparente de las matemáticas. Aparentemente los alumnos realizan operaciones, que desde el punto de vista matemático son correctas, pero que carecen de sentido y significación para el alumno. El alumno hace pero no sabe lo que hace. ¿Cómo resuelve la metodología tradicional la operación: 3 +

1 ? 4

Normalmente se utilizan dos algoritmos matemáticos: El primero consiste en transformar el número entero 3 en una fracción con denominador 1. A continuación, y con el fin de sumar las dos fracciones que tienen distintos denominadores, se trasforman, o reducen, a común denominador las dos fracciones mediante el cálculo del mínimo común múltiplo. De este modo obtenemos dos fracciones equivalentes a las primeras. Finalmente, se suman los numeradores y se pone el mismo denominador. Es decir: 3+

1 3 1 12 1 13 = + = + = 4 1 4 4 4 4

El segundo consiste simplemente en proporcionar a los alumnos la siguiente receta: “Como numerador, se multiplica el número entero por el denominador de la fracción y se le suma el numerador. Como denominador ponemos el mismo”. Es decir: 3+

1 3 × 4 + 1 13 = = 4 4 4

Si observamos con atención, nuestra propuesta metodológica realiza estos dos mismos procesos pero lo hace de forma práctica y sensible. Es 1 decir, la expresión matemática 3 + está presente, se puede ver e incluso 4 tocar, son los 3 metros enteros de las cintas métricas y la regleta de la cuarta parte que tenemos en el franelograma. A continuación, el alumno desprende del franelograma cada uno de los tres metros enteros y los sustituye por 4 regletas de la cuarta parte y, de este modo, obtiene 12

Autor: Ramón Galán González

165

cuartas partes. Es decir, sustituye el número entero 3 por la fracción

12 . 4

12 podrá percibir 4 visualmente que es equivalente a numero entero 3. Al final y en total, obtiene 13 cuartas partes.

Ahora y de nuevo, el alumno podrá ver y tocar la fracción

La acción que realiza el alumno engloba, o contiene, a los dos procedimientos descritos anteriormente pero ahora están dotados de sentido y de significación. Después de varias experiencias prácticas, el pensamiento del alumno se independizará de la acción real y expresará mediante lenguaje matemático lo que hacía con el pensamiento y las manos. En definitiva, no se trata de negar los algoritmos sino dotarlos de significación.

Autor: Ramón Galán González

166

Actividades números 10 – 11 – 12 – 13 y 14. La realidad no es unilateral sino multilateral. No tiene únicamente un lado o aspecto sino múltiples y variados. Por lo tanto, para tener un conocimiento profundo de la realidad, debemos analizar todos sus lados y aspectos, ver cómo se presentan y qué relación se establece entre cada uno de ellos. Vamos a concretar esta pequeña reflexión filosófica y darle un contenido matemático. Coloquemos en el franelograma 11 regletas de la cuarta parte. De este modo:

Tenemos una realidad frente a nosotros. 11 tendríamos una visión 4 unilateral, parcial, limitada, escasa y superficial de la realidad que tenemos frente a nosotros.

Si viéramos únicamente la fracción

Veamos que lados o aspectos deberíamos ver para que nuestra visión fuera multilateral, globalizadora, abundante y profunda sabiendo que tenemos 11 regletas y que cada regleta mide 25 cm. ó 0’25 m. - La fracción

11 m 4

- El número decimal 2’75 m. - La multiplicación 25 cm. x 11 = 275 cm. - La multiplicación 0’25 m x 11 = 2’75 m. - La suma 2 m + 0’75 m = 2’75 m - La suma 200 cm. + 75 cm = 275 cm. Autor: Ramón Galán González

167

- La suma 2 m +

3 m 4

- La división 11 : 4 = Cociente 2 y resto 3 - La división 11 : 4 = 2’75. - La división 275 : 25 = 11. - La división 2’75 : 0’25 = 11. - La división 275 : 11 = 25. - La división 2’75 : 11 = 0’25. - El 25 % de 11 = 2’75 Como podemos, observar una misma realidad podemos verla matemáticamente, es decir, en sus aspectos cuantitativos, de forma multilateral, bajo muchos aspectos y lados. Esta capacidad debemos trabajarla y desarrollarla en nuestros alumnos. Las actividades 10, 11, 12, 13 y 14 tienen como finalidad trabajar la relación que se establece entre estos aspectos. En este caso concreto que acabamos de analizar, sería: 11 x 0’25 =

2+

3 = 2’75 4

11 4

(Actividad 10) (Actividad 11)

X 0’25 = 2’75

(Actividad 12)

Si dividimos 2’75 metros en regletas de 0’25, ¿cuántas regletas necesitamos? _______ regletas. En forma de división (Actividades 13 y 14)

Autor: Ramón Galán González

:

=

168

Actividad número 15. Como podemos observar tienen como objeto, de un lado, afianzar el concepto de fracción equivalente y, de otro lado, comparar dos fracciones, sin necesidad de utilizar las regletas. En el caso que los alumnos manifiesten dificultad en los ejercicios de fracciones equivalentes, bastará recurrir de nuevo a las regletas y el franelograma. Lo vemos con el primer ejercicio: Calcula el número que falta para que las dos fracciones sean equivalentes: 6 = 2 4

Construiremos en el franelograma la fracción

6 2

Y formularemos las siguientes preguntas: - ¿Qué fracción hemos formado? 6/2. - ¿Cuál es el valor numérico de la fracción 6/2? 3 - ¿Cuántas regletas de la cuarta parte necesitaríamos para formar los 3 metros? 12 regletas de la cuarta parte. Para comparar dos fracciones, los alumnos procederán calculando el valor numérico de las dos fracciones. En el caso, que los alumnos mostraran dificultad, que no suele suceder, entonces representaríamos las fracciones en el franelograma y visualmente procederíamos a determinar qué fracción es mayor o menor que la otra.

Autor: Ramón Galán González

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C. E. I. P. VEINTE DE ENERO ÁREA DE MATEMÁTICAS

TERCER CICLO

UNIDAD DIDÁCTICA: EL CONCEPTO DE FRACCIÓN. ANEXO II: CONSTRUCCIÓN DE LOS RECURSOS DIDÁCTICOS EMPLEADOS.

RAMÓN GALÁN GONZÁLEZ

Autor: Ramón Galán González

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El presente trabajo y este anexo tienen como finalidad proporcionar la máxima y detallada información a aquellos docentes que decidan aplicar en el aula la metodología y los recursos que acabamos de exponer. Por ello, ahora procedemos a explicar cómo hemos construido los recursos materiales a los que hemos hecho alusión a lo largo del trabajo. 1. El franelograma. Se necesita para su construcción: - Un tablón de madera cuyas dimensiones sean, aproximadamente, 120 cm. x 90 cm. Dado que sobre él se colocarán cintas métricas de 1 metro de longitud, el largo no debe ser inferior a 110 cm. Se aconseja que el grosor sea de unos 4 ó 5 mm. Este grosor hace que el franelograma sea los suficientemente resistente y, al mismo tiempo, ligero. - Un trozo de moqueta, de la más barata, de las que se colocan en el suelo, por ejemplo, durante la Semana Santa. Este trozo debe ser ligeramente superior al tablón de madera. Debe sobrepasar unos 5 centímetros en cada lado del tablón. Se recomienda emplear una moqueta de color claro. Verde claro es color muy apropiado. - Cola de carpintero y una brocha. - Una grapadora de tapizar. - Dos cáncamos pequeños y una cuerda. La construcción es sencilla y no requiere más de 15 minutos. Se le da cola a la parte central del tablón de madera. Se coloca encima la moqueta y se dobla por los laterales, envolviendo al tablón. Se fija la moqueta grapando por la parte trasera del tablón. Se colocan los dos cáncamos y pasamos por ellos la cuerda. El franelograma está listo para ser colgado y utilizado. El coste no sobrepasa los 10 euros. 2. Las regletas Las regletas de 1 m y las regletas de la mitad, es decir, 0’5 m son trozos de cintas métricas de sastre o costurera. Como estas cintas Autor: Ramón Galán González

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métricas tienen una longitud de 1’50 m, la cortamos por el centímetro 100 y, de esta manera, sacamos de una cinta métrica una regleta de 1 m y otra de 0’5. Pegamos trozos (aprox. de 1’5 cm.) de cinta macho de velcro por la parte trasera de las regletas, lo que permitirá adherirlas al franelograma. Las restantes regletas: la cuarta parte, la quinta, la octava, la décima y la veinteava parte, se construyen plastificando tiras de diferentes colores, cada una de ellas con su correspondiente longitud y colocando, finalmente, los pequeños trozos de cinta de velcro. Para la construcción de estas regletas hay que realizar los siguientes pasos: 1. Se construyen las plantillas en el ordenador y se imprimen en folios de colores. Cada tipo de regletas en folios de un color diferente. (Para facilitar su construcción, adjuntamos las plantillas de estas regletas al final de este anexo.) 2. Se recortan las regletas de papel y se plantifican. Para ello, las colocaremos en los folios de plásticos, separadas unas de otras, antes de pasarla por la máquina de plastificar. 3. Una vez que tengamos el folio plastificado con las regletas, procederemos a recortarlas de nuevo, dejando un borde de un milímetro a lo largo de la regleta para evitar que el plástico se desprenda del papel. 4. Colocamos, finalmente, los trocitos de velcro por la parte posterior de las regletas. En nuestro caso, hemos construido el siguiente número de regletas: - 10 regletas de metro. - 16 regletas de medio metro. - 28 regletas de la cuarta parte. - 30 regletas de la quinta parte. - 32 regletas de la octava parte. - 40 regletas de la décima parte. - 50 regletas de la veinteava parte. Con este número de regletas, hemos tenido suficiente para realizar de forma práctica todos los ejercicios, sin estar limitados por el número de regletas. Autor: Ramón Galán González

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3. Figuras geométricas. Para la realización de las actividades previas, hemos utilizado las figuras geométricas plastificadas de los bloques lógicos de Dienes. Estas figuras contemplan las categorías de la forma (cuadrado, rectángulo, triángulo y círculos), color (rojo amarillo y azul) y tamaño (grande y pequeño). Para su elaboración hemos procedido de la misma forma que con las regletas. La única diferencia ha sido que hemos utilizado folios de cartulina para darle más consistencia a las piezas. Es decir: - Se imprimen en cartulina de color rojo, azul y amarillo, las plantillas construidas con el ordenador. - Se recortan las figuras. - Se plastifican. - Se recortan de nuevo las figuras ya plastificadas, dejando un pequeño borde. - Se le coloca el trozo de velcro. Para facilitar su elaboración, adjuntamos en este anexo las plantillas que hemos empleado.

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