CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

CÁLCULO DE ESTRUCTURAS MÉTODOS NUMÉRICOS

Estructura

Modelo Matemático Barras (cálculo matricial)

Validación

Discretización Elementos (M.E.F.) Lineal Sistema de Ecuaciones No lineal

Resolución

Método Matriciales de barras Método de Elementos Finitos

Juan Pérez Valcárcel 1999

CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO MATRICIAL IDEALIZACIÓN DE LA ESTRUCTURA Estructura real Discretización

ELEMENTOS

↔ ↔

Modelo matemático Elementos conectados por nudos

LINEALES

Pórticos Emparrillados Celosías

SUPERFICIALES

Pantallas Losas Láminas

VOLUMÉTRICOS

Losas gruesas Macizos Presas

Elementos lineales

Discretización (matricial)

Elementos superficiales

Discretización finitos

y volumétricos

Juan Pérez Valcárcel 1999

en barras

en elementos

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

IDEALIZACIÓN GEOMÉTRICA Consiste en la simplificación de las dimensiones y formas de la estructura real. Se sustituyen las piezas por su directriz, simplificando en los casos de sección variable o directriz curva Supone errores. Dimensión finita de los nudos Problemas Luces reales de cálculo

Piezas de Sección Variable

K=

K=

8

Piezas de Sección Curva

8

Piezas de Sección Constante

L1 L

Pilares de distinta sección

Juan Pérez Valcárcel 1999

Zonas rígidas de viga

CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

La idealización geométrica no tiene por qué ser inmediata

En la idealización geométrica deben figurar las condiciones de apoyo, sea rígido o elástico.

Apoyos Rígidos

Juan Pérez Valcárcel 1999

Apoyos Elásticos

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

IDEALIZACIÓN MECÁNICA: ESTRUCTURA. C

APROXIMACIÓN DEL COMPORTAMIENTO MECÁNICO DE LA ESTRUCTURA.

Se define por los DESPLAZAMIENTOS de los nudos En el espacio: 3 traslaciones + 3 giros En el plano:

Según el problema

Estructuras articuladas planas: 2 traslaciones 2 traslaciones + 1 giro Pórticos planos: Emparrillados planos: 1 traslación + 2 giros. - Hay que elegir los grados de libertad en función del problema analizado. - Los desplazamientos se suponen infinitesimales con respecto a las dimensiones de la estructura. - Si los desplazamientos son grandes se precisa análisis no lineal. Se analiza a través de las DEFORMACIONES de las barras. Según el problema analizado. - Deformación por axil. Importante en estructuras de nudos articulados y pilares de pórticos. - Deformación por flexión. Es la más importante en casi todos los casos. - Deformación por cortante. Despreciable salvo en casos muy particulares. - Deformación por torsión. Sólo importante en emparrillados y pórticos espaciales. C

TIPOS DE CONEXIÓN ENTRE BARRAS.

Nudo rígido Nudo articulado Juan Pérez Valcárcel 1999

Cierto grado de articulación Cierto grado de empotramiento

CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

IDEALIZACIÓN MECÁNICA: ESTRUCTURA. C

UNA MISMA ESTRUCTURA ADMITE DIVERSAS MODELIZACIONES CON DISTINTO GRADO DE PRECISIÓN.

ARCO

Estructura Real

Idealización como Elementos Lineales

Idealización por Elementos Finitos

E.F. de 4 nodos

Juan Pérez Valcárcel 1999

E.F. de 8 nodos

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

IDEALIZACIÓN MECÁNICA: MATERIALES DIAGRAMAS TENSIÓN-DEFORMACIÓN REALES Acero

σ

TENSIONES en N/mm2

CURVA TENSIÓN-DEFORMACIÓN de BARRAS CORRUGADAS

700

600

500 fy 400

300

200

100

ε 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18 20% ALARGAMIENTOS

ACERO DE DUREZA NATURAL

σ

TENSIONES en N/mm2

CURVA TENSIÓN-DEFORMACIÓN de BARRAS CORRUGADAS

600

500

400

fy

300

200

100

ε 0

2

4

6

8

10

12

14

16%

ALARGAMIENTOS

ACERO ESTIRADO en FRIO

El acero estirado en frío no se utiliza en obra nueva Juan Pérez Valcárcel 1999

CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

Hormigón σc

TENSIONES

CURVA TENSIÓN-DEFORMACIÓN del HORMIGÓN

fc

1.0 Ec

0.8

0.6

0.4

0.2

εc ε cu

E co Ec 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

DEFORMACIONES

DIAGRAMA NOVAL

σc

TENSIONES

CURVA TENSIÓN-DEFORMACIÓN del HORMIGÓN

fc

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2 0 0' 0

εc ε cu

Ec 0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

DEFORMACIONES

DIAGRAMA con CARGAS REITERADAS

Juan Pérez Valcárcel 1999

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

IDEALIZACIÓN MECÁNICA: MATERIALES DIAGRAMAS TENSIÓN-DEFORMACIÓN SIMPLIFICADOS.- Son necesarios por la excesiva complejidad de los reales.

ACERO ESTRUCTURAL

TENSIONES

fyd

TENSIONES

fyd

0

εyd

DEFORMACIONES

εyd

0

DEFORMACIONES

ELASTO PLÁSTICO con ENDURECIMIENTO

ELASTO PLÁSTICO

RÍGIDO PLÁSTICO

HORMIGÓN

0

-2%o -3'5%o DEFORMACIONES

BIPARABOLICO

0

-2%o -3'5%o DEFORMACIONES

0 -0'7%o

PARABOLA-RECTANGULO

-2%o -3'5%o DEFORMACIONES

RECTANGULAR

TENSIONES

0'85.fcd

TENSIONES

0'85.fcd

TENSIONES

0'85.fcd

TENSIONES

0'85.fcd

TENSIONES

0'85.fcd

0

-2%o -3'5%o DEFORMACIONES

RAMA DECRECIENTE

0 -0'7%o

-2%o -3'5%o DEFORMACIONES

BIRRECTILÍNEO

Lo más frecuente en considerar el material perfectamente elástico y lineal.

Juan Pérez Valcárcel 1999

CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

IDEALIZACIÓN MECÁNICA: MATERIALES DIAGRAMAS MOMENTO-CURVATURA.- Son los diagramas que permiten determinar las ecuaciones constitutiva a flexión de las barras. Son fundamentales en el cálculo matricial. Acero.- Diagrama bilineal. M Mu

MOMENTOS

1.00

.75 Diagrama Bilineal

.50

.25

χ 0

.0001

.0002

.0003

.0004

.0005 .0008 CURVATURA

DIAGRAMAS MOMENTO-CURVATURA (ACERO)

Hormigón.- Diagrama trilineal. M Mu

MOMENTOS

1.00

L1

L2

.75 Diagrama Experimental

Diagrama Bilineal .50 Diagrama Trilineal

L0 .25

χ 0

.01

.02

.03

.04

.05

.08

CURVATURA

DIAGRAMAS MOMENTO-CURVATURA (HORMIGÓN)

Juan Pérez Valcárcel 1999

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

IDEALIZACIÓN DEL TERRENO DE CIMENTACIÓN - Propiedades del terreno. - Interacción cimiento-estructura. Conexión rígida. Conexión elástica

Coeficientes de balasto.

- Problemas de asientos diferenciales. Grandes momentos en los dinteles. - Problemas de giros de la cimentación. - Influencia de las zapatas de medianería y de esquina.

Generalmente se considera la estructura rígidamente empotrada en la base.

u=0 v=0 w=0

En cálculo matricial es muy fácil introducir deformaciones impuestas en los vínculos a condición de que puedan expresarse directamente en coordenadas globales. Juan Pérez Valcárcel 1999

CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

BASES DEL CÁLCULO MATRICIAL. 1.- Desarrollo histórico. C Planteamientos iniciales (1850- 1875) Maxwell. Castigliano. Mohr. (No progresaron por la dificultad de resolver grandes sistemas de ecuaciones) C Planteamiento general del método (1915- 1926) Maney (USA) Ostenfeld (Dinamarca) C Método iterativo de Hardy Cross (1932) C Formulación matricial actual (1944) G. Kron “Tensorial analysis of elastic structures” C Método de elementos finitos. Turner Clough C Desarrollo y generalización del uso de los ordenadores

Juan Pérez Valcárcel 1999

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

SUPUESTOS PREVIOS. - Linearidad.- Los movimientos y esfuerzos son funciones lineales de las cargas aplicadas. Ventajas

Simplifica el análisis Permite la superposición de soluciones

Condiciones

Materiales elásticos Desplazamientos pequeños

n.P P

+

+

P.l 4

n. P.l 4

f n.f

- Superposición.- Los esfuerzos y movimientos que produce un conjunto de sistemas de carga actuando a la vez es igual a la suma de los que producirían actuando por separado. En cálculo matricial es fundamental este principio de superposición, puesto que en general hemos de superponer dos estados: C Estado de empotramiento perfecto C Estado final de cálculo. Juan Pérez Valcárcel 1999

CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

MÉTODOS MATRICIALES. En estructuras la relación determinista CAUSA

↔

EFECTO

se establece como FUERZA

↔

MOVIMIENTO

Es una relación biunívoca que debe satisfacer: 1.- Ecuaciones constitutivas del material 2.- Ecuaciones de compatibilidad 3.- Ecuaciones de equilibrio ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

Ley de Hooke

Ecuación 3 Ecuaciones 1,2, 3

Lo que diferencia los métodos matriciales es el ORDEN de utilización de las ecuaciones MÉTODO DE EQUILIBRIO O DE RIGIDEZ

1 → 2→ 3

MÉTODO DE LAS FUERZAS O DE FLEXIBILIDAD

1 → 3→ 2

Juan Pérez Valcárcel 1999

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

MÉTODO DE FLEXIBILIDAD INCÓGNITAS BÁSICAS

FUERZAS HIPERESTÁTICAS

DATOS

FUERZAS EN LOS NUDOS

APLICACIÓN DEL MÉTODO 1.- Expresar las deformaciones en función de los esfuerzos en los extremos de las barras. (Ecuación constitutiva). 2.- Expresar los esfuerzos en los extremos de las barras en función de las incógnitas hiperestáticas y de las fuerzas exteriores conocidas. (Ecuación de equilibrio). 3.- Aplicar las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones. (Ecuación de compatibilidad). SE GENERA UN SISTEMA LINEAL DE ECUACIONES

X = T ⋅ L X = matriz de deformaciones T = matriz de flexibilidad en coordenadas globales L = matriz incógnita (fuerzas hiperestáticas) RESOLUCIÓN

L = T -1.X

Fuerzas hiperestáticas

↓ Se aplica 2

Esfuerzos en barras

↓ Se aplica 1

Juan Pérez Valcárcel 1999

Deformaciones

CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

MÉTODO DE RIGIDEZ INCÓGNITAS BÁSICAS

MOVIMIENTOS EN LOS NUDOS

DATOS

FUERZAS EN LOS NUDOS

APLICACIÓN DEL MÉTODO 1.- Expresar las esfuerzos en los extremos de las barras en función de los movimientos en dichos extremos. (Ecuación constitutiva). 2.- Aplicar las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones. Se ponen los movimientos de los extremos de las barras (coordenadas locales) en función de los movimientos de los nudos (coordenadas globales). (Ecuación de compatibilidad). 3.- Aplicar las ecuaciones de equilibrio de nudos. (Ecuación de equilibrio). SE GENERA UN SISTEMA LINEAL DE ECUACIONES

L = S ⋅ X L = matriz de cargas en los nudos S = matriz de rigidez en coordenadas globales X = matriz incógnita (desplazamientos en los nudos) RESOLUCIÓN

X = S -1.L

Desplazamientos en coord. globales

↓ Se aplica 2

Desplazamientos en coord. locales

↓ Se aplica 1

Juan Pérez Valcárcel 1999

Esfuerzos

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

SISTEMAS DE REFERENCIA Y CONVENIOS DE SIGNOS SISTEMA DE COORDENADAS GLOBALES SISTEMA DE COORDENADAS LOCALES

+

z'

+ + + +

Fuerzas y desplazamientos

y'

+ +

+

+ Momentos y giros

x'

Eje x Directriz de la barra Ejes y,z Ejes principales de inercia de la sección

z

DATOS DE LA BARRA L, A, I y , I z ,I T (ángulos con ejes globales)

y i j x

Juan Pérez Valcárcel 1999

CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

CAMBIOS DE SISTEMAS DE REFERENCIA Para resolver una estructura es preciso cambiar las variables de coordenadas locales a globales y viceversa m a t r i z d e transformación Sistema global Sistema local

O’x’y’z’ Oxyz

CAMBIO DE EJES  x'  x'⋅x x'⋅y x'⋅z      y' =  y'⋅x y'⋅y y'⋅z      z'  z'⋅x z'⋅y z'⋅z  144 42444 3

 x   ⋅  y    z

cosenos directores

En forma matricial

X’ = D . X

Generalmente el cambio de ejes es una rotación. En el plano

y

 cos α -sen α 0   ∆ =  sen α cos α 0  0 0 1 

y' x

x'

Juan Pérez Valcárcel 1999

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

CÁLCULO MATRICIAL: PRINCIPIOS GENERALES. P'x1

P'x2

1

2 d'x1 Px1

Px1

Px2

2

d'x2 Px3 Px2

1

3

Ecuación constitutiva

Px1 = k1 ⋅ dx1   Px2 = k 2 ⋅ dx2  Px3 = k 3 ⋅ dx3 

Px3

relaciona los esfuerzos con los Coord. locales desplazamientos

 Px1  k 1 0 0   dx1        P = 0 k 0 2  x2    ⋅  dx2         Px3   0 0 k 3   dx3  123 14 4244 3 123 ~ ~ ~ P K d

P = matriz de fuerzas internas K = matriz de rigidez d = matriz de desplazamientos de elementos Ecuación de compatibilidad

  = d'x2 - d'x1  = 0 - d'x2 

dx1 = d'x1 - 0 dx2 dx3

relaciona los desplazamientos de elementos (coordenadas locales) con los de los nudos (coordenadas globales)

 dx1   1 0      d'x1  d = -1 0  x2    ⋅  d'      x2 3  dx3   0 -1 12 123 1 424 3 ~ d' ~ ~ d A

A = matriz de compatibilidad d’ = matriz de desplazamientos de nudos Juan Pérez Valcárcel 1999

CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

Ecuación de equilibrio

las fuerzas externas has de equilibrarse co las fuerzas internas (coordenadas globales)

 Px1  P'x1 = Px1 - Px2   P'x1  1 -1 0      ⋅  Px2     =  P'x2 = Px2 - Px3   P'x2  0 1 -1   123 1 4243  Px3  ~ ~ 123 P' At ~ P P’ = matriz de fuerzas exteriores At = Matriz traspuesta de A Se formulan tres ecuaciones matriciales

~ ~ P = K ⋅ ~ ~ d = A ⋅ ~ ~ P' = A t

~ d ~ d' ~ ⋅ P

Ecuacion constitutiva Ecuacion de compatibilidad Ecuacion de equilibrio

Proceso 1 2 3

~ ~ ~ P’ = At . P ~ ~ ~ ~ P’ = At . K . d ~ ~ ~ ~ ~ P’ = At . K . A . d’

~ ~ ~ P’ = S . d’

Juan Pérez Valcárcel 1999

~ ~ ~ P’ = S . d’

Expresa la ecuación matricial en coordenadas globales de la estructura completa.

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

ECUACIÓN CONSTITUTIVA C C C

Expresa la relación entre los esfuerzos sobre un elemento y los desplazamientos de dicho elemento. Para materiales elásticos es la ley de Hooke. Al referirse a cada elemento se formula en coordenadas locales. Su grado de complejidad depende del número de esfuerzos que definan el estado de la barra.

ESTRUCTURAS ARTICULADAS

Pxi i

j Pxj d xi

dxj

Sólo esfuerzo axil

 E⋅ A - E ⋅ A    dxi   Pxi    =  El⋅ A E ⋅lA  ⋅   dxj   Pxj   { {  l l 3 144244 ~ ~ ~ K P d

Puesto en forma matricial

Pxi = - Pxj Pxj ⋅ l E⋅ A E⋅ A Pxj = - Pxi = (dxj - dxi ) l ∆ l = dxj - dxi =

ESTRUCTURAS RETICULADAS

mi

Pyi

Pxi i

Juan Pérez Valcárcel 1999

Pyj

mj

j Pxj

Axil, cortante y flector

 Pxi   dxi      P yi    dyi   mi  ~  θi    = K⋅   Pxj   dxj   Pyj   dyj      m  j  θj 

CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

CÁLCULO DE LA ECUACIÓN CONSTITUTIVA POR MEDIO DE LA MATRIZ DE FLEXIBILIDAD Esfuerzos

z' Pzj m xj

Pzi m xi

m yi

Pxi

m zi

m yj Pxj Pyj

Pyi

m zj

Axil Momentos flectores Esfuerzos cortantes Momento torsor

y'

x'

La matriz de flexibilidad relaciona los desplazamientos del Inversa de la matriz de rigidez. elemento con sus esfuerzos

~ ~ ~ P = K⋅d ~ ~ ~ d = T ⋅P

 ~ ~ -1 ~ ~ -1 T = K ⇒ K = T (Flexibilidad) 

(rigidez)

La ventaja de este método es que la matriz de flexibilidad puede obtenerse siempre por simple aplicación del teorema de Castigliano. Energía elástica del elemento 2 1 l N2 M2 V2 MT  U = ∫0 + + +  ⋅ dx 2  E⋅ A E ⋅I G ⋅ Ae G ⋅ J

Derivando la energía elástica con respecto a cada esfuerzo se puede obtener el desplazamiento correspondiente.

di =

~ ~ ~ ∂U ⇒ d = T ⋅P ∂ Pi

E invirtiendo la matriz de flexibilidad se obtiene la matriz de rigidez. Juan Pérez Valcárcel 1999

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

ECUACIÓN DE COMPATIBILIDAD. y'

Pyj

y Pyi mi

mj Pxj

x

Pxi

x'

Los esfuerzos internos llevan la dirección de los ejes locales. Las fuerzas externas llevan la dirección de los ejes globales. Las leyes de cambio de coordenadas son las mismas que para ejes.

Se trata de una rotación de ejes de ángulo a  x  cos α sen α 0      y =  -sen α cos α 0     0 1  z  0 { 1444 42 4444 3 ~ ~ x A

 x'   ⋅  y'    z' { ~ x'

Para los esfuerzos  Px   cos α sen α 0      Py  =  -sen α cos α 0     0 1  m  0 { 1444 424444 3 ~ ~ P A

 Px '   ⋅  Py '    m' { ~ P'

Para los desplazamientos  dx   cos α sen α 0     d = -sen α cos α 0 y         θ 0 0 1     { 1444 424444 3 ~ ~ d A

 dx '   ⋅  dy '    θ'  123 ~ d'

Las mismas relaciones pueden generalizarse para cualquier sistema de coordenadas. Juan Pérez Valcárcel 1999

CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

ECUACIÓN DE EQUILIBRIO

m'1

P'y1

P'y2

P'x1 1

 P'x1     P'y1   M'1     ......  P'x2    ~  P'y2  P' =  M'   2  ......  .     .   .     ......

m'2

2 P'x2

4

3

Estructura cualquiera con cargas en los nudos Fuerzas interiores

Fuerzas exteriores se equilibran

Fuerzas Desplazamientos

~ P' ~ d' {

~ P ~ d {

↔ ↔

exteriores

internas

Aplicando el principio de trabajos virtuales

1 1 ⋅ ∑ P'i ⋅d'i = ⋅ ∑ Pj ⋅ dj 2 2 i 14243 14j243

trabajo fuerzas externas

trabajo fuerzas internas

En forma matricial

~ ~ ~ ~ P't ⋅d' = Pt ⋅ d

Aplicando la ecuación de compatibilidad

~t~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ P' ⋅d' = Pt ⋅ A ⋅ d ⇒ P't = Pt ⋅ A Y trasponiendo esta ecuación Ecuación de equilibrio Juan Pérez Valcárcel 1999

~ ~ ~ P' = A ⋅ P

~ ~ ~ d = A ⋅ d'

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

PLANTEAMIENTO MATRICIAL

GENERAL

Ecuación constitutiva Ecuación de compatibilidad Ecuación de equilibrio

~ ~ ~ P = K⋅d

DEL

~ ~ P = K ⋅ ~ d = A ⋅ ~ ~ P' = A t

CÁLCULO

~ d ~ d' ~ ⋅ P

~ ~ ~ ~ ⇒ P = K ⋅ A ⋅ d'

multiplicando a la izquierda por A t ~ ~ ~ t t ~ ~ ~ A ⋅ P = A ⋅ K ⋅ A ⋅ d' ⇒ P' = S ⋅ d' 123 1424 3 ~ ~ P' S Sistema lineal de ecuaciones n datos Fuerzas en los nudos n incógnitas Desplazamientos en los nudos El problema se reduce a resolver un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas, por cualquiera de los métodos matemáticos disponibles.

 s11 s12   s 21 s 22  s 31 s 32  :  :   sn1 sn2

s13 s 23 s 33 : sn3

... s1 n   x 1   p1       ... s 2n   x 2   p2  ... s 3n  ⋅  x 3  =  p3       ... :   :   :      ... snn   x n   pn 

Una vez resuelto el sistema se conocen los desplazamientos de los nudos en coordenadas globales.

Juan Pérez Valcárcel 1999

CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

ENSAMBLAJE POR BLOQUES Matriz de un elemento

~ ~  Pi '  Sii ~  = ~  Pj '  S ji

Coordenadas globales

~ ~ Sij   di ' ~  ⋅~  Sjj   dj '

Situación en la matriz de rigidez de la totalidad de la estructura

• •   • •   • •   • • • +Sii • • • • +Sij  • •  • •   • •   • • • +S ji • • • • +Sjj  • •   • •  • •  • •  columna i

Juan Pérez Valcárcel 1999

     • • • fila i      • • • fila j      

columna j

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

EJEMPLO DE ENSAMBLAJE POR BLOQUES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ESTRUCTURA

2

1

1 3

2

3

4

4

5

6

5

1

3

1

P'1

S 11+ S 11 S 12

P'2

S 21

P'3

0

1

=

1

S 41

P'5

0

P'6

0

2

4

2

2

2

S 32

3

0

d'1

0

S 25 0

d'2

S 14 0

S 22+ S 22+ S 22 S 23

3

P'4

0

5

S 33+ S 33 0 0

4

S 52 0

3

0

S 44

0

0

5

S 63

0

4

0

5

S 36

.

d'3

0

d'4

S 55 0

d'5

=0

5

d'6

=0

0 4

0

S 66

En los nudos 5 y 6 los tres desplazamientos son nulos al tratarse de empotramientos. Pueden eliminarse del sistema de ecuaciones. El nudo 4 tiene dos desplazamientos nulos (articulaciones). Las filas correspondientes a esos desplazamientos también pueden eliminarse.

Juan Pérez Valcárcel 1999

CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

EFECTO DE LOS VÍNCULOS. Una vez efectuado el ensamblaje de matrices se obtiene un sistema lineal de ecuaciones del tipo

 s11 s12   s 21 s 22  s 31 s 32  :  :   sn1 sn2

s13 s 23 s 33 : sn3

... s1 n   x 1   p1       ... s 2n   x 2   p2  ... s 3n  ⋅  x 3  =  p3       ... :   :   :      ... snn   x n   pn 

La existencia de un vínculo supone un desplazamiento conocido. La ecuación correspondiente a esa incógnita no necesita ser resuelta. Desplazamientos nulos

d y =0

d x =0 d y =0

d x =0 d y =0 0 =0

Son ecuaciones que pueden eliminarse del sistema. En la práctica es mucho más simple formar la ecuación pero saltarla a la hora de resolver el sistema.

Desplazamientos conocidos pero no nulos Es preciso modificar la matriz de rigidez global. Supongamos conocido el valor de x 2 Métodos de resolución

Juan Pérez Valcárcel 1999

x2=b

Resolución directa Factores de penalización

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

Método de resolución directa.- Se modifica el sistema de ecuaciones en forma tal que mantenga la simetría.

 s11   0  s 31   :   sn1

0 s13 1 0 0 s33 : : 0 sn3

... s1n   x 1   p1 - s12β       ... 0   x 2  β   ... s3n  ⋅  x 3  =  p 3 - s 32β      ... :   :  :        ... snn   xn   pn - sn2 β

Si hay más desplazamientos conocidos se repite este proceso las veces que haga falta. Método de los factores de penalización.- Se modifica el sistema de ecuaciones utilizando un factor de penalización muy grande, por ejemplo 1010.

s12  s11  10 s s ⋅ 10 21 22   s 31 s32  :  :  s n2  sn1

s13 s 23 s 33 : sn3

... s1n   x 1  p1        10 ... s 2n   x 2  p ⋅ 10 ⋅ β 2    ... s 3n  ⋅  x 3  =  p3      ... :   :  :        ... snn   x n  pn  

Si dividimos la segunda ecuación por s 22.1010 obtendremos

s21 s s ⋅ 10 -10 ⋅ x 1 + x 2 + 23 ⋅ 10-10 ⋅ x 3 + ... + 2n ⋅ 10-10 ⋅ x n = β s 22 s 22 s22 Que es prácticamente equivalente a x2=b que es la ecuación del desplazamiento impuesto

Juan Pérez Valcárcel 1999

CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES Métodos directos.- Son algoritmos que proporcionan una solución exacta del sistema tras un número finito de operaciones. C C C C

Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Método frontal Método de Cholesky

Método iterativos.- Son algoritmos que suponen una solución inicial inexacta que va convergiendo a la solución exacta por aproximaciones sucesivas. C Método de Jacobi C Método de Gauss-Seidel C Método de gradientes conjugados El problema principal de los métodos iterativos es asegurar la convergencia de la solución en un número finito de pasos.

Juan Pérez Valcárcel 1999

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

MÉTODO DE GAUSS S11.x 1 + s 12.x 2 + s 13.x 3 + ........ + s 1n.x n = p 1 S21.x 1 + s 22.x 2 + s 23.x 3 + ........ + s 2n.x n = p 2 S31.x 1 + s 32.x 2 + s 33.x 3 + ........ + s 3n.x n = p 3 . . .

. . .

. . .

. . .

pivotes X X

f21=-s 21/s 11 f31=-s 31/s 11

. . .

Sn1.x 1 + s n2.x 2 + s n3.x 3 + ........ + s nn.x n = p n

X

fn1=-s n1/s 11

C

Se multiplica la ecuación pivote por cada pivote y se suma a cada ecuación s11.(-s 21/s 11) + s 11 = -s 11 + s 11 = 0

C

La ecuación pivote se mantiene y cada una de las demás se modifica anulando la primera columna

S11.x 1 + s 12 .x 2 + s 13 .x 3 + ........ + s 1n .x n = p 1 0.x 1 + s’22.x 2 + s’23.x 3 + ........ + s’2n.x n = p’2 0.x 1 + s’32.x 2 + s’33.x 3 + ........ + s’3n.x n = p’3 . . .

. . .

. . .

. . .

X

f’32=-s’32/s’22

. . .

0.x 1 + s’n2.x 2 + s’n3.x 3 + ........ + s’nn.x n = p’n C C C C C

pivotes

X

f’n2=-s’n2/s’22

Se toma la segunda ecuación como pivote Se reitera el proceso anulando la segunda columna Se toma la tercera ecuación como pivote Se reitera el proceso anulando la tercera columna Se repite con todas las ecuaciones hasta que todos los términos bajo la diagonal principal sean nulos (matriz triangular)

s11.x 1 + s 12 .x 2 + s 13 .x 3 + ........ + s 1n-1 .x n-1 + s 1n .x n = p 1 + s 22 .x 2 + s 23 .x 3 + ........ + s 2n-1 .x n-1 + s 2n .x n = p 2 + s 33 .x 3 + ........ + s 3n-1 .x n-1 + s 3n .x n = p 3 . . .

C C C

. . .

. . .

. . .

. . .

+ s n-1,1 .x n-1 + s n-1,n .x n = p n-1 + s nn .x n = p n De la última ecuación se despeja x n Llevando este valor a la penúltima se despeja x n-1 Procediendo sucesivamente se obtienen todas las incógnitas

Juan Pérez Valcárcel 1999

CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

CÁLCULO DE ESFUERZOS ~ ~ ~ P' = S ⋅ d'

Se obtienen los desplazamientos en los nudos , pero interesa conocer los esfuerzos en la barras.

Para cada barra y'

Pyj Pyi mi

y

mj Pxj

x

Pxi

Se conocen d’i y d’j x'

~ ~ ~ P = K ⋅d

pero

Interesa conocer P i y P j

~ ~ ~ d = A ⋅ d'

Calculamos los desplazamientos en coordenadas locales

~ ~ ~ d = A ⋅ d' Llevando estos desplazamientos a la ecuación constitutiva se obtienen los esfuerzos sobre la barra

~ ~ ~ P = K ⋅d Al afectar a las barras una por una no es necesario recurrir a las matrices completas de la estructura, sino sólo a las de cada barra, lo que supone una gran simplificación de cálculo.

Juan Pérez Valcárcel 1999

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

COMPROBACIÓN DE RESULTADOS Los resultados del cálculo matricial nunca son rigurosamente exactos.

  SIEMPRE es preciso comprobar que   la estructura está en equilibrio   

Errores de truncadura

Problemas de mal condicionamiento

ESTRUCTURAS DE NUDOS ARTICULADOS.- Se comprueba el equilibrio de los nudos, para las fuerzas horizontales y verticales externas.

y'

Fi

Pi

x'

∑F

x

= 0

∑ Fy = 0

⇒ Fix +

n

∑ P ⋅ cos α i

i

= 0

i

= 0

i=1

⇒ Fiy +

Juan Pérez Valcárcel 1999

n

∑ P ⋅ sen α i

i=1

CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

ESTRUCTURAS DE NUDOS RÍGIDOS.- Se comprueba el equilibrio de los nudos para las fuerzas horizontales y verticales y para los momentos externos.

y' Pyi mi

Mi

Fi

Pxi

x'

∑F

x

∑F

y

= 0

⇒ Fix +

n

∑ (P

xi

⋅ cos α i - Pyi ⋅ sen αi ) = 0

i=1

= 0

∑M = 0

⇒ Fiy +

n

∑ (P

xi

⋅ sen αi + Pyi ⋅ cos αi ) = 0

i=1

⇒ Mi +

Juan Pérez Valcárcel 1999

n

∑m

i

i=1

= 0

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

ESTRUCTURAS PLANAS DE NUDOS ARTICULADOS

y'

j

y i

x

x' Ecuación de la barra

Pxi i

Pxi = - Pxj

j Pxj dxi

dxj

Pxj ⋅ l E⋅ A E⋅ A Pxj = - Pxi = (dxj - dxi ) l ∆ l = dxj - dxi =

Puesto en forma matricial

 E⋅ A - E ⋅ A  l   dxi  P  xi  l   =  E⋅ A E ⋅ A  ⋅  dxj   Pxj   { {  l l 3 144244 ~ ~ ~ K P d

Juan Pérez Valcárcel 1999

~ ~ ~ ~ ~ Pi = Kii ⋅ di + Kij ⋅ dj ~ ~ ~ ~ ~ Pj = K ji ⋅ di + K jj ⋅ dj

CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

Cambio de ejes

P'xi = Pxi ⋅ cos α

y'

P'yi = Pyi ⋅ sen α

j y

En forma matricial

x P'xi

 P'xi   cos α    =   ⋅ (Pxi )  sen α  {  P'yi  1424 3 ~ 123 ~t ~ Pi A P'i

i P'yi

P

xi

x' Proyectando sobre el eje de la barra

Pxi = P'xi cos α + P'yi sen α

⇒

 P'xi  P = cos α sen α ⋅ ({ (1442443)  P'  xi )  yi  ~ ~ 123 Pi A ~ P'i

Para los desplazamientos las relaciones son idénticas

~ ~ ~ di = A ⋅ d'i

~ ~ ~ di ' = A t ⋅ di

Aplicando la transformación de coordenadas a las ecuaciones

~ ~ ~ ~ ~ Pi = Kii ⋅ di + Kij ⋅ dj ~ ~ ~ ~ ~ Pj = K ji ⋅ di + K jj ⋅ dj

⇒ ⇒

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Pi = Kii ⋅ A ⋅ d'i + Kij ⋅ A ⋅ d' j ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Pj = K ji ⋅ A ⋅ d'i + K jj ⋅ A ⋅ d' j

Multiplicando a la izquierda por At

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ P'i = A t ⋅ Pi = A t ⋅ Kii ⋅ A ⋅ d'i + A t ⋅ Kij ⋅ A ⋅ d' j = Sii ⋅ d'i + Sij ⋅ d' j ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ P'j = A t ⋅ Pj = A t ⋅ K ji ⋅ A ⋅ d'i + A t ⋅ K jj ⋅ A ⋅ d'j = S ji ⋅ d'i + Sjj ⋅ d' j

Juan Pérez Valcárcel 1999

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

Efectuando las multiplicaciones matriciales  cos α   EA  Sii = Sjj =   ⋅ ( cos α  ⋅  sen α   l 

 cos α   EA  Sij = S ji =   ⋅ (cos α  ⋅  sen α   l 

sen α )

EA  cos 2α  l =  EA   l sen α cos α

sen α )

EA  cos 2 α  l =  EA sen α cos α  l

EA sen α cos α  l  EA  sen2 α  l -

EA  sen α cos α  l  EA  sen2 α  l

La matriz de rigidez en coordenadas globales de la barra será EA EA  cos 2α sen α cos α  P' l l  xi     EA EA  sen α cos α sen 2α  P'yi  l l  ...... =  ......................... .........................    EA EA  P' cos 2 α sen α cos α  xj   l l    P'yj   EA EA sen α cos α sen2α  l l

Juan Pérez Valcárcel 1999

:

-

EA sen α cos α l ......................... EA cos2 α l EA sen α cos α l

: : : :

EA cos 2α l

EA  sen α cos α  l d'   xi  EA 2   d' yi  sen α l  ........................  ⋅  ......   EA sen α cos α   d' xj    l    d' yj  EA 2 sen α   l

-

CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

CÁLCULO DE ESFUERZOS: ARTICULADAS PLANAS

y'

Para cada barra se aplica la ecuación de compatibilidad

j y x P'xi

ESTRUCTURAS

~ ~ ~ d = A ⋅ d'

i P'yi

xi

P

x'

d ) ({ xi

~ d

 d'xi  = (cos α sen α ) ⋅   144 42444 3  d'yi  123 ~ ~ A d'

Nudo origen i

dxi = cos α ⋅ d'xi + sen α ⋅ d'yi

Nudo extremo j

dxj = cos α ⋅ d'xj + sen α ⋅ d'yj

Aplicando la ecuación constitutiva

 P = EA ⋅ d - EA ⋅ d xi xj ~ ~ ~  xi l l P = K ⋅d   Pxj = - EA ⋅ dxi + EA ⋅ dxj  l l

Juan Pérez Valcárcel 1999

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

COMPROBACIÓN DE RESULTADOS: ESTRUCTURAS ARTICULADAS PLANAS. Se comprueba el equilibrio de los nudos, para las fuerzas horizontales y verticales externas.

y'

P'xi

Fi

Pi

P'yi

x'

Es preciso pasar los esfuerzos sobre las barras a coordenadas globales

~ ~ ~ P'i = A t ⋅ Pi

 P'xi   cos α    =  . (Pi )  P'yi   sen α 

⇒

P'xi = Pi ⋅ cos α

; P'yi = Pi ⋅ sen α

Aplicando las condiciones de equilibrio

∑F

x

∑F

y

= 0

⇒ Fix +

n

∑ P ⋅ cos α i

i

= 0

i

= 0

i=1

= 0

⇒ Fiy +

Juan Pérez Valcárcel 1999

n

∑ P ⋅ sen α i

i=1

CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

ESTRUCTURAS DE PÓRTICOS PLANOS y

y' i

j x

x'

Matriz de cargas exteriores

Matriz de fuerzas internas

 Fxi  ~   P'i =  Fyi     Mi 

 Pxi     Pyi   mi    ~ Pi =  .... P   xj   Pyj  m   j

Desplazamientos en coord. locales

Desplazamientos en coordenadas globales

 dxi     dyi   θi    ~ di =  ....  dxj     dyj  θ   j

 d'xi     d'yi   θ 'i    ~ d'i =  ....   d'xj     d'yj   θ'   j

Juan Pérez Valcárcel 1999

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

y

Estado 1 1

Pyj Pyi

i

j

i

j

1

Pxj

i

i

mi

d yj

Pxi dyi

j

mj

Estado 2

j

x dxi

2

mi

dxj d yi - dyj 2

mj

Momentos producidos por el estado 1.- Giro de los extremos. 1 1 mj ⋅ l  mi ⋅ l θi =  3EI 6EI  ⇒ 1 1 mj ⋅l mi ⋅ l θj = + 3EI 6EI 

4EI 2EI ⋅ θi + ⋅θj l l 1 2EI 4EI mj = ⋅ θi + ⋅ θj l l 1

mi =

Momentos producidos por el estado 2.- Desplaz. de los extremos. 2

2

mi = m j =

6EI 6EI 6EI d d = ⋅ d ⋅ dyj ( ) yi yj yi l2 l2 l2

El estado total es la suma de ambos

mi =

6EI 4EI 6EI 2EI ⋅ d + ⋅ θ ⋅ d + ⋅ θj yi i yj l2 l2 l l

mj =

6EI 2EI 6EI 4EI ⋅ d + ⋅ θ ⋅ d + ⋅θj yi i yj l2 l2 l l

Juan Pérez Valcárcel 1999

CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

Esfuerzos cortantes.- Se plantea la ecuación de equilibrio de la barra

Pyi = - Pyj =

mi + mj 12E I 6E I 12E I 6E I = ⋅ d yi + 2 ⋅ θ i ⋅ dyj + 2 ⋅ θ j 3 3 l l l l l

Esfuerzos axiles.- Su formulación es idéntica a las estructuras articuladas

Pxi = - Pxj =

EA EA ⋅ dxi ⋅ dxj l l

Poniendo todas estas ecuaciones en forma matricial

 EA   EA  0 0 0 0     dxj   Pxi   l  dxi   l     12E I 6EI     12E I 6EI     P = 0 ⋅ d + 0 ⋅  dyj   yi   3 2  yi   3 2 l l l l       θ   mi    θi    j 6E I 4E I 6E I 2E I   {  0 { 0    { 2 2     l l l l 144424443 1444 424444 3 ~ ~ ~ ~ ~ Pi Kii di Kij dj  EA   EA  0 0 0 0     Pxj   l  dxj   dxi   l       12EI 6EI 12EI 6EI       ⋅  dyj  P = 0 ⋅ d + 0  yj  3 2  yi  3 2 l l l l         m  θ θj   j    6EI 2EI  { 6E I 4EI  { i  0 {  0      l2 l  l2 l  1444424444 3 1444 424444 3 ~ ~ ~ ~ ~ K ji di K jj Pj dj Que pueden ponerse en la forma

~ ~ ~ ~ ~ Pi = Kii ⋅ di + Kij ⋅ dj  ~ ~ ~ ~ ~ Pj = K ji ⋅ di + K jj ⋅ dj 

Juan Pérez Valcárcel 1999

⇒

En coordenadas locales

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

Cambio de coordenadas.- Se pasan de coordenadas locales (x,y) a globales (x’,y’) por medio de una matriz de rotación.

 Px   cos α     Py  =  -sen α  m  0   

Como en las matrices de

~ ~ ~ P = A ⋅ P'

sen α cos α 0

0  P'x     0 ⋅  P'y  1  m 

~ ~ ~ P' = A t ⋅ P rotación la inversa es igual a la traspuesta

Aplicando la transformación de coordenadas a las ecuaciones

~ ~ ~ ~ ~ Pi = Kii ⋅ di + Kij ⋅ dj ~ ~ ~ ~ ~ Pj = K ji ⋅ di + K jj ⋅ dj

⇒ ⇒

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Pi = Kii ⋅ A ⋅ d'i + Kij ⋅ A ⋅ d' j ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Pj = K ji ⋅ A ⋅ d'i + K jj ⋅ A ⋅ d' j

Multiplicando a la izquierda por A t

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ P'i = A t ⋅ Pi = A t ⋅ Kii ⋅ A ⋅ d'i + A t ⋅ Kij ⋅ A ⋅ d' j = Sii ⋅ d'i + Sij ⋅ d' j ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ P'j = A t ⋅ Pj = A t ⋅ K ji ⋅ A ⋅ d'i + A t ⋅ K jj ⋅ A ⋅ d'j = S ji ⋅ d'i + Sjj ⋅ d' j Para calcular las submatrices S se aplica la transformación de coordenadas a cada una de las submatrices K

Juan Pérez Valcárcel 1999

CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

 EA  0 0    cos α -sen α 0  l  cosα senα 0  ~    12EI 6E I  Sii =  sen α cos α 0 ⋅  0 ⋅ -sen α cos α 0  l3 l2     0   0 1  0 0 1   6E I 4E I  144424443 144424443  0   l2 l  144424443 ~ ~t ~ Kii A A El resultado final de efectuar estas multiplicaciones matriciales a las cuatro submatrices será

 a c d : -a   c b e : -c  d e f : -d  ~ S =  ... ... ... ... ...  -a -c -d : a   -c -b -e : c   d e g : -d

-c -b -e ... c b -e

d  e g  ... Siendo -d  -e   f

EA 12EI ⋅ cos2 α + 3 ⋅ sen2 α l l EA 12E I b= ⋅ sen2α + 3 ⋅ cos2 α l l EA 12EI c= ⋅ senα ⋅ cosα - 3 ⋅ sen α ⋅ cos α l l 6EI 6EI d = - 2 ⋅ sen α ; e = 2 ⋅ cos α l l 4EI 2EI f= ; g= l l a=

Juan Pérez Valcárcel 1999

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

CÁLCULO DE ESFUERZOS: ESTRUCTURAS DE PÓRTICOS PLANOS Para cada barra se aplica la ecuación de compatibilidad

~ ~ ~ d = A ⋅ d'

 dxi   cosα     dyi  =  -senα     θi   0

sen α cos α 0

0  d'xi     0 ⋅  d'yi     1  θ 'i 

Aplicando esta ecuación a los nudos origen y extremo de la barra

dxi =

Nudo origen i

cos α ⋅ d'xi + sen α ⋅ d'yi

dyi = - sen α ⋅ d'xi + cos α ⋅ d'yi θ i = θ 'i Nudo extremo j

dxj =

cos α ⋅ d'xj + sen α ⋅ d'yj

dyj = - sen α ⋅ d'xj + cos α ⋅ d'yj θ j = θ 'j Aplicando la ecuación constitutiva

Pxi = - Pxj =

~ ~ ~ P = K ⋅d

EA EA ⋅ dxi ⋅ dxj l l

mi + m j 12E I 6EI 12EI 6E I = ⋅ d + ⋅ θ ⋅ d + ⋅θj yi i yj l3 l3 l l2 l2 6EI 4EI 6E I 2E I mi = 2 ⋅ dyi + ⋅ θi - 2 ⋅ dyj + ⋅ θj l l l l Pyi = - Pyj =

mj =

6EI 2E I 6E I 4EI ⋅ dyi + ⋅ θi - 2 ⋅ dyj + ⋅θj 2 l l l l

Juan Pérez Valcárcel 1999

CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

COMPROBACIÓN DE RESULTADOS: ESTRUCTURAS DE PÓRTICOS PLANOS. Se comprueba el equilibrio de los nudos, para las fuerzas horizontales y verticales externas y para los momentos exteriores.

y' Pyi mi

Mi

Fi

Pxi

x' Es preciso pasar los esfuerzos sobre las barras a coordenadas globales

~ ~ ~ P'i = A t ⋅ Pi

⇒

 P'xi   cos α i     P'yi  =  sen α i  m'   0  i 

-sen α i cos α i 0

0  Pxi     0 . Pyi  1  mi 

P'xi = Pxi ⋅ cos α i - Pyi ⋅ sen α i P'yi = Pxi ⋅ sen α i + Pyi ⋅ cos α i m'i

= mi

Aplicando las condiciones de equilibrio

∑F

x

∑F

y

∑M

= 0

⇒ Fix +

n

∑ (P

xi

⋅ cos α i - Pyi ⋅ sen αi ) = 0

i=1

= 0

⇒ Fiy +

n

∑ (P

xi

⋅ sen αi + Pyi ⋅ cos αi ) = 0

i=1

= 0

⇒ Mi +

Juan Pérez Valcárcel 1999

n

∑m

i

i=1

= 0

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

ACCIONES SOBRE LAS BARRAS.- PÓRTICOS PLANOS

Estado general P q i P

-m i

j

q j

i -Vi

-Vi

-mj

Estado I

+

i

-m i

+Vj

-Vj j

Estado II

mj

Estado I .- Se emplea el convenio de signos de flectores y cortantes

Py i

Mi Estado II.- Se emplea el convenio de signos de matricial

Diagrama de flectores

Pxi i

Mj

j Px j

Diagrama de cortantes -Vi - Pyi

-mi -Mi

Pyj

-

- -mj + Mj

-

+ V + Pyj j

+

Resultado final

Juan Pérez Valcárcel 1999

Superposición E I + E II

CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

ESTRUCTURAS DE EMPARRILLADOS PLANOS P P q P

M

Condiciones C C C

Estructura plana, horizontal, de nudos rígidos. Cargas perpendiculares al plano. Momentos contenidos en el planos

Hipótesis C C

Los desplazamientos son sólo verticales. No se producen giros de eje vertical

y y'

z=z'

Juan Pérez Valcárcel 1999

x'

x

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

Matriz de cargas exteriores

Matriz de fuerzas internas  mxi    P  zi   myi    ~ Pi =  ....  m   xj   Pzj  m   yj 

 M xi    ~ P'i =  FZi  M   yi 

Desplazamientos en

Desplazamientos en

coord. locales

coordenadas globales

 θ xi     dzi   θ yi    ~ di =  ....  θ   xj   dzj  θ   yj 

 θ 'xi     d'zi   θ 'yi    ~ d'i =  ....   d'   xj   d'zj   θ'   yj 

La diferencia principal con los pórticos planos consiste en el efecto del momento torsor que es análogo al del esfuerzo axil.

m xi

xj

mxi = - mxj =

Juan Pérez Valcárcel 1999

m xj xi

GJ GJ ⋅ θ xi ⋅ θ xj l l

CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

Estado 1

i

x

j

mxi dzi

tj

dzj

i ti

Pzi

m 1yi

mxj

Estado 2

y

m 1yj

i

j

Pzj

j

m 2yj

m 2yi

d zi - dzj

Momentos producidos por el estado 1.- Giro de los extremos.

m 1 ⋅l m 1⋅l  yi yj  θ = yi 3EI 6EI  ⇒  m 1 ⋅l m 1⋅l  yi yj  θ = + yj 3EI 6EI 

4EI 2EI m 1 = ⋅θ + ⋅θ yi yi yj l l 2EI 4EI m 1 = ⋅θ + ⋅θ yj yi yj l l

Momentos producidos por el estado 2.- Desplaz. de los extremos. 2

2

myi = myj =

6E I 6E I 6EI d d = ⋅ d ⋅ dzj ( ) zi zj zi l2 l2 l2

El estado total es la suma de ambos

myi =

6E I 4E I 6E I 2E I ⋅ dzi + ⋅ θ yi ⋅ dzj + ⋅ θ yj 2 2 l l l l

myj =

6E I 2E I 6E I 4E I ⋅ dzi + ⋅ θ yi ⋅ dzj + ⋅ θ yj 2 2 l l l l

Juan Pérez Valcárcel 1999

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

Esfuerzos cortantes.- Se plantea la ecuación de equilibrio de la barra

Pzi = - Pzj =

mi + m j 12EI 6EI 12E I 6EI = ⋅ dzi + 2 ⋅ θ yi ⋅ dzj + 2 ⋅ θyj 3 3 l l l l l

Momentos torsores.- Su formulación es análoga a las estructuras de pórticos planos

mxi = - mxj =

GJ GJ ⋅ θ xi ⋅ θxj l l

Poniendo todas estas ecuaciones en forma matricial

 GJ   GJ  0 0 0 0    l  θ  mxi   l    θxj  xi        12E I 6EI  12E I 6EI      P = 0 ⋅ d + 0 ⋅  dzj  zi   zi   3 2 3 2 l l     l l    m   θ θyj   yi     6E I 4E I 6E I 2E I  { yi  {  0 123  0    2 2     l l l 144424443 1444 42444l4 3 ~ ~ ~ ~ ~ Kii Kij di dj Pi  mxj     Pzj  m   yj  123 ~ Pj

 GJ   EA  0 0 0 0     l   θ xi   l   θ xj  12EI 6EI 12EI 6EI = 0 - 3 - 2  ⋅  dzi  +  0 - 2  ⋅  dzj  3 l l     l l     θ θ yj    6EI 2EI  { yi 6E I 4EI  {  0  0     2 2     l l l l 1444424444 3 1444 424444 3 ~ ~ ~ ~ K ji K jj di dj

Que pueden ponerse en la forma

~ ~ ~ ~ ~ Pi = Kii ⋅ di + Kij ⋅ dj  ~ ~ ~ ~ ~ Pj = K ji ⋅ di + K jj ⋅ dj 

Juan Pérez Valcárcel 1999

⇒

En coordenadas locales

CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

Cambio de coordenadas.- Se pasan de coordenadas locales (x,y) a globales (x’,y’) por medio de una matriz de rotación.

 mx   cosα     Pz  =  0  m   -senα  y 

y'

z=z'

0 sen α  m'x     1 0  ⋅  P'z   0 cosα  m'y 

x

x'

Como en las matrices de rotación la inversa es igual a la traspuesta

~ ~ ~ P = A ⋅ P'

~ ~ ~ P' = A t ⋅ P

Aplicando la transformación de coordenadas a las ecuaciones

~ ~ ~ ~ ~ Pi = Kii ⋅ di + Kij ⋅ dj ~ ~ ~ ~ ~ Pj = K ji ⋅ di + K jj ⋅ dj

⇒ ⇒

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Pi = Kii ⋅ A ⋅ d'i + Kij ⋅ A ⋅ d' j ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Pj = K ji ⋅ A ⋅ d'i + K jj ⋅ A ⋅ d' j

Multiplicando a la izquierda por A t

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ P'i = A t ⋅ Pi = A t ⋅ Kii ⋅ A ⋅ d'i + A t ⋅ Kij ⋅ A ⋅ d' j = Sii ⋅ d'i + Sij ⋅ d' j ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ P'j = A t ⋅ Pj = A t ⋅ K ji ⋅ A ⋅ d'i + A t ⋅ K jj ⋅ A ⋅ d'j = S ji ⋅ d'i + Sjj ⋅ d' j Para calcular las submatrices S se aplica la transformación de coordenadas a cada una de las submatrices K

Juan Pérez Valcárcel 1999

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

 GJ  0 0    cosα 0 -senα   l  cosα 0 senα  ~    12EI 6EI   Sii =  0 1 0  ⋅ 0 ⋅ 0 1 0  3 2 l l    senα 0 cosα        -senα 0 cosα 6E I 4E I  144424443  0  144424443 2   l l 144424443 ~ ~ ~ Kii At A El resultado final de efectuar estas multiplicaciones matriciales a las cuatro submatrices será como en el caso del pórtico plano

a c d : g  c b e : c d e f : h  ~ S =  ... ... ... ... ... g c h : a   -c -b -i : -c h i j : d 

GJ 4EI ⋅ cos 2 α + ⋅ sen2 α l l 6EI c = - 2 ⋅ senα l 6EI e = 2 ⋅ cosα l GJ 2EI g=⋅ cos2 α + ⋅ sen2 α l l 6EI i = 2 ⋅ cosα l a=

Juan Pérez Valcárcel 1999

-c h   -b i  -i j   ... ... -c d   b -i  -i f 

Siendo los coeficientes

12EI l3 GJ 4EI ; d= ⋅ senα ⋅ cosα ⋅ senα ⋅ cosα l l GJ 4EI ; f= ⋅ sen2 α + ⋅ cos2 α l l GJ 2EI ; h=⋅ senα ⋅ cosα + ⋅ senα ⋅ cosα l l GJ 2EI ; j=⋅ sen2 α + ⋅ cos2 α l l ; b=

CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

CÁLCULO DE ESFUERZOS: ESTRUCTURAS DE EMPARRILLADOS PLANOS Para cada barra se aplica la ecuación de compatibilidad

~ ~ ~ d = A ⋅ d'

 θ xi   cosα 0 sen α  θ 'xi        d = 0 1 0  zi    ⋅  d'zi   θ   -senα 0 cos α  θ '    yi   yi  

Aplicando esta ecuación a los nudos origen y extremo de la barra Nudo origen i

θ xi =

cos α ⋅ θ 'xi + sen α ⋅ θ 'yi

dzi = d'zi θ yi = - sen α ⋅ θ 'xi + cos α ⋅ θ 'yi Nudo extremo j

θ xj =

cos α ⋅ θ 'xj + sen α ⋅ θ 'yj

dzj = d'zj θ yj = - sen α ⋅ θ 'xj + cos α ⋅ θ 'yj Aplicando la ecuación constitutiva

mxi = - mxj = Pzi = - Pzj =

~ ~ ~ P = K ⋅d

GJ GJ ⋅ θ xi ⋅ θ xj l l

m yi + m yj 12EI 6E I 12EI 6EI = ⋅ dzi + 2 ⋅ θ yi ⋅ dzj + 2 ⋅ θ yj 3 3 l l l l l

myi =

6EI 4E I 6E I 2E I ⋅ dzi + ⋅ θ yi - 2 ⋅ d zj + ⋅ θ yj 2 l l l l

myj =

6EI 2E I 6E I 4E I ⋅ d + ⋅ θ ⋅ d + ⋅ θ yj zi yi zj l2 l2 l l

Juan Pérez Valcárcel 1999

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

COMPROBACIÓN

DE

RESULTADOS:

ESTRUCTURAS DE EMPARRILLADOS PLANOS.

y' F

y M

z=z'

x' x

Se comprueba el equilibrio de los nudos, para las fuerzas verticales externas y para los momentos exteriores. Es preciso pasar los esfuerzos sobre las barras a coordenadas globales

~ ~ ~ P'i = A t ⋅ Pi

⇒

 m'xi   cos α i    P'  Zi  =  0  m'   sen α  yi   i

0 -sen α i   m xi    1 0  .  PZi  0 cos α i   m yi 

m'xi = mxi ⋅ cos α i - myi ⋅ sen α i P'zi

= Pzi

m'yi = mxi ⋅ sen α i + myi ⋅ cos α i Aplicando las condiciones de equilibrio

∑ Mx = 0 ∑F

z

= 0

∑ My = 0

⇒ Mix +

n

∑ (m

xi

⋅ cos αi - myi ⋅ sen α i ) = 0

i=1

⇒ Fzi +

n

∑P

= 0

zi

i=1

⇒ Miy +

Juan Pérez Valcárcel 1999

n

∑ (m

xi

i=1

⋅ sen α i + myi ⋅ cos α i ) = 0

CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

ACCIONES SOBRE LAS BARRAS.- EMPARRILLADOS PLANOS

Estado general

y'

y F

i

j

x'

z=z'

x

y'

y'

y F

i -M i z=z'

y Vi -M j j

i Vj

-Vi x'

-Vj Estado I

Mi

x

z=z' +

j

x' -M j

x

Estado II

Estado I .- Se emplea el convenio de signos de flectores y cortantes Estado II.- Se emplea el convenio de signos de matricial para emparrillados planos

Juan Pérez Valcárcel 1999

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

Los momentos del estado 2 están referidos a coordenadas locales

y'

y' Mi

y Vi

Mi

i j

x' Mj

j

y α

M'x i

Vj z=z'

M'yi

M'xj

x M'yj

i

x

Mj x'

Deben cambiarse a coordenadas globales M'xi = - Mi ⋅ sen α

; M'xj = M i ⋅ senα

M'yi = M i ⋅ cosα

; M'xj = - Mi ⋅ cosα

Diagrama de flectores -Mi +M'yi

-Mj - M'yj

-Vi - Pzi -

-

Diagrama de cortantes -

+

Resultado final

Juan Pérez Valcárcel 1999

+

Superposición E I + E II

Vj + Pzj

CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

EMPARRILLADOS SOBRE PILARES. Suponemos sólo desplazamientos verticales en los nudos

y' z

y

4EIx ⋅ θxi l EA Pzi = ⋅ dxi l 4EIy myi = ⋅ θ yi l mxi =

i

α z=z'

x

x'

 4EIx   mxi   l    Pzi  =  0  m   yi    0 

0 EA l 0

 0    θ xi  0  ⋅  dxi     4EIy   θ yi   l 

 4E Ix   cos α 0 -sen α  l ~   Kii =  0 1 0  ⋅ 0  sen α 0 cos α       0 

0 EA l 0

 4EI x 4E Iy cos 2α + sen2α 0  l l  ~ EA  Kii =  0 l   4EI 4EI  y x    senα ⋅ cos α 0  l l   Juan Pérez Valcárcel 1999

 0    cosα 0 senα  0  ⋅ 0 1 0     4E Iy   -senα 0 cosα   l    4EI x 4EI y    senα ⋅ cosα  l l    0   4EI y 4EI x sen 2α + cos 2α  l l 

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

MALLAS ESPACIALES Son estructuras formadas por barras articuladas en el espacio.

Ejes locales y ejes globales.

i

y'

y

S ó l o e s significativo el eje x

j x'

z x

z'

 x j − xi y j − yi zj − zi  , ,   l l l 

Eje x → ( cos α , cos β , cos γ ) =  Matriz de rigidez

Px i

P xj

xi

Juan Pérez Valcárcel 1999

xi

Px i = −Pxj =

(

EA d xi − dxj l

)

CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

En forma matricial:

 Pxi   EAl   =  EA  Pxj   − l

~ ~~ ~~ − EAl   dxi  Pi = kii di + kij dj  ⋅  ⇒ ~ ~ ~ ~ ~ EA d Pj = k ji di + k jj d j l   xj 

Matriz de compatibilidad:

~ ∆t = (cos α

cos β

cos γ

)

 cos α   ~  ∆ =  cos β   cos γ   

Matriz de rigidez en coordenadas globales

~ ~ Sij = ∆ ⋅ K ij ⋅ ∆ = (cos α

cos β

 cos α    EA   cos γ ) ⋅  ±  ⋅  cos β   l     cos γ 

Efectuando el producto de matrices se obtiene

~ Sii

b c − a − b − c a   b d e − b − d − e   e f −c −e −f  EA  c ∑=   l − a − b − c a b c    −b − d − e b d e   ~  − c − e −f c e f ~ Sii S jj a=cos2a b=cos a cos b c=cosa cosg

Juan Pérez Valcárcel 1999

~ Sij

d=cos2b e=cosbcosg f=cos2g

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

VÍNCULOS Apoyo simple sobre un plano y

dz = 0 x

z

y

Articulación cilíndrica x

dx = 0 dy = 0 z

y

Articulación esférica (rótula) dx = 0 dy = 0 dz = 0

x

z

i

Cálculo de esfuerzos

Pxi = −Pxj =

(

EA d xi − dxj l

j

Px i

Px j

)

pero dxi = d' xi cosα + d'yi cosβ + d' zi cos γ d xj = d' xj cosα + d'yj cosβ + d' zj cos γ Pxi = −Pxj =

[

EA (d'xi − d'xj )cosα + ( d'yi − d'yj )cosβ + (d'zi − d'zj )cosγ l

Juan Pérez Valcárcel 1999

]

CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

MALLAS ESPACIALES SOBRE PILARES.

y' y i z z=z'

x

x'

 3EI x  2  m xi   l     m yi  =  0 P   zi    0 

~ K ii

α

0 3EI y l2 0

3EI x ⋅ d xi l2 3EI m yi = 2 y ⋅ dyi l EA Pzi = ⋅ d zi l m xi =

 0    d xi    0  ⋅  d yi     EA   dzi   l 

 3EI x   cos α -sen α 0  l   =  sen α cosα 0 ⋅  0    0 1   0  0 

0 3EI y l 0

 0    cosα sen α 0   0  ⋅  -sen α cos α 0    0 1 EA   0  l 

 3EI x 3E I y  3E I x 3E I y  cos 2 α + sen 2α    senα ⋅ cosα l l l l      3E I x 3E I y  3EI y ~ 3EI x K ii =   sen 2α + cos2α  senα ⋅ cosα l  l l  l  0 0  

Juan Pérez Valcárcel 1999

 0    0   EA  l 