Divulgaciones Matem´ aticas Vol. 10 No. 2(2002), pp. 149–159
C´ alculo del n´ umero π mediante funciones trigonom´ etricas Calculation of π by mean of trigonometric functions Di´omedes B´arcenas (
[email protected]) Olga Porras (
[email protected]) Departamento de Matem´ atica Facultad de Ciencias, Universidad de los Andes M´erida 5101, Venezuela Resumen Mediante el uso de las funciones trigonom´etricas seno y tangente se da una demostraci´ on elemental de la existencia del n´ umero π, as´ı como un c´ alculo aproximado del mismo. Palabras y frases clave: n´ umero π, funciones trigonom´etricas, seno, tangente. Abstract By mean of the trigonometric functions sinus and tangent an elementary proof of the existence of number π is given, as well as an approximate evaluation of it. Key words and phrases: number π, trigonometric functions, sinus, tangent.
1
Introducci´ on
En la Escuela Primaria se nos ense˜ no ´ que la longitud de la circunferencia de un c´ırculo es igual a 2πr, donde r es el radio de la circunferencia y π = 3,1416. Se nos ense˜ no ´ tambi´en que el a ´rea de un c´ırculo es igual a πr 2 , donde r es el radio y π = 3,1416. Armados con esta informaci´ on proced´ıamos al c´ alculo de a ´reas de c´ırculos y longitudes de circunferencias y los pocos afortunados -si hab´ıa alg´ un afortunado en aquel auditorio infantil - capaces de memorizar las f´ ormulas de a ´rea y Recibido 2001/11/29. Aceptado 2002/11/08. MSC (2000): Primary 97-01; Secondary 33B10.
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longitud, pod´ıan eventualmente calcular el a ´rea de un c´ırculo o la longitud de su circunferencia una vez conocido el radio sin que nadie - ¿o quiz´ as alguien? se preocupara por el origen y la presencia de ese numerito m´ agico: π = 3,1416. M´ as tarde, en la Escuela Secundaria, estudiamos en mayor profundidad los temas de a ´rea y longitud. All´ı aprendimos que el per´ımetro o longitud de un pol´ıgono es igual a la suma de las longitudes de sus lados y que el a ´rea de un pol´ıgono es igual al semiproducto del per´ımetro por la apotema; preocup´ andonos poco, m´ as bien nada, por el significado de estas f´ ormulas matem´ aticas. En esta etapa de nuestra formaci´ on dimos un salto cualitativamente grande en el estudio del n´ umero π al aprender que este n´ umero fue profundamente estudiado por Arqu´ımedes mientras investigaba precisamente las nociones de a ´rea y longitud. Arqu´ımedes, el m´ as famoso de los matem´ aticos de la antig¨ uedad, conoc´ıa las f´ ormulas de a ´rea y longitud para el caso de pol´ıgonos y se propuso conocer f´ ormulas an´ alogas para el caso de c´ırculos y circunferencias; en la b´ usqueda de su objetivo, Arqu´ımedes se represent´ o la circunferencia como sucesiones de pol´ıgonos regulares inscritos y circunscritos en dicha circunferencia. Para calcular el a ´rea de un c´ırculo, Arqu´ımedes construy´ o pol´ıgonos regulares inscritos y circunscritos en la circunferencia del c´ırculo y observ´ o que a medida que duplicaba el n´ umero de lados de los pol´ıgonos, aumentaba el a ´rea de los pol´ıgonos inscritos, mientras disminu´ıa el a ´rea de los pol´ıgonos circunscritos. Mediante este procedimiento observ´ o tambi´en que a medida que aumentaba el n´ umero de lados, las a ´reas de los pol´ıgonos inscritos y circunscritos se acercaban a un mismo valor. Este valor com´ un lo defini´ o como a ´rea del c´ırculo la cual es igual a πr 2 . Utilizando pol´ıgonos regulares de 96 lados, Arqu´ımedes logr´ o la siguiente estimaci´ on de π: 3,1416 < π < 3,1442; la cual no es la primera aproximaci´ on de π ya que en La Biblia se estima π con un valor de 3 y, de acuerdo con M.Kline [4] y Courant Robbins ([2]), los egipcios usaron una aproximaci´ on de π igual a 3.16. Tampoco terminaron con Arqu´ımedes los c´ alculos aproximados del n´ umero π; pues seg´ un [1], el matem´ atico chino Zu Chong Zhi (420-500 D.C.) calcul´ oπ con una aproximaci´ on de siete cifras al hacer la estimaci´ on 3,1415926 < π < 3,1415927. En el siglo XVI Francisco de Vieta logr´ o un gran avance al expresar π mediante Divulgaciones Matem´ aticas Vol. 10 No. 2 (2001), pp. 149–159
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la f´ ormula π= q
1 2
·
r
1 2
+
1 2
q
1 2
·
2 s
··· , 1 2
+
1 2
r
1 2
+
1 2
q
1 2
lo cual permiti´ o para la ´epoca un c´ alculo de π con una aproximaci´ on de 10 d´ıgitos; mientras que en 1609, el matem´ atico alem´ an Ludolf van Ceulen calcul´ o π con una aproximaci´ on de 35 cifras; por tal raz´ on, seg´ un [3], los alemanes llaman a π n´ umero ludolfiano. El advenimiento en el siglo XVII del c´ alculo diferencial permiti´ o nuevos progresos en el c´ alculo de π y adem´ as de la f´ ormula de Vieta aparecieron otras expresiones de π como series y productos, entre los que se cuentan: El producto de Wallis π 2 2 4 = · · 2 1 3 3 la serie de Leibnitz π 1 1 =1− + − 4 3 5 y la f´ ormula de Euler
·
4 2n 2n · ··· · · x··· , 5 2n − 1 2n + 1
1 1 1 + + · · · + (−1)n−1 +··· 7 9 2n − 1
1 1 1 1 π2 = 1+ 2 + 2 + 2 +··· + 2 +··· . 6 2 3 4 n Mientras todas estas f´ ormulas utilizan matem´ atica sofisticada, en este art´ıculo proponemos una f´ ormula para el c´ alculo aproximado de π que a nuestro juicio se puede ense˜ nar en la Escuela Secundaria, ya que s´ olo usamos las funciones trigonom´etricas con el entendido de que las f´ ormulas aqu´ı propuestas no superan la eficiencia de los dem´ as, pues el expresar π mediante series y productos infinitos ha permitido, con el invento de ordenadores cada vez m´ as potentes, el c´ alculo de π hasta con una aproximaci´ on de m´ as de seis mil cuatrocientos millones de d´ıgitos, un hecho lejos de los objetivos de estas notas. Aqu´ı tan s´ olo proponemos una manera, a nuestro juicio, sencilla de aproximarnos al n´ umero π, una aproximaci´ on que aunque lenta, puede resultar bastante u ´til toda vez que seg´ un el astr´ onomo Newcomb (citado en [3]), una aproximaci´ on de π con 10 decimales permite calcular el radio de la tierra con aproximaci´ on de una pulgada. Comenzamos por hacer la observaci´ on de que en lugar de partir del c´ alculo del a ´rea de un c´ırculo mediante funciones poligonales, calcularemos la longitud de una circunferencia mediante tales aproximaciones. En nuestra exposici´ on haremos de los siguientes hechos: Divulgaciones Matem´ aticas Vol. 10 No. 2 (2001), pp. 149–159
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Teorema 1. La longitud ` de un pol´ıgono regular de n lados inscrito en una circunferencia de radio r se puede representar mediante la f´ ormula ` = 2 sen
180◦ n
r.
En consecuencia, el per´ımetro P del pol´ıgono regular de n lados inscritos en 180◦ una circunferencia de radio r es igual a 2n sen r. n Teorema 2. Si `n denota el lado del pol´ıgono regular de n lados inscrito en una circunferencia, entonces `2n =
1 `n sec 2
90◦ n
.
En consecuencia, el per´ımetro del pol´ıgono regular de n lados inscrito en una circunferencia, es menor que el per´ımetro del pol´ıgono regular de 2n lados inscrito en la misma circunferencia. Teorema 3. Si L y ` denotan respectivamente el lado del pol´ıgono regular de n lados circunscrito e inscrito en una circunferencia, entonces L = ` sec
180◦ n
= 2R tan
180◦ n
.
Respecto al lado L del pol´ıgono regular de n lados circunscrito en una circunferencia de radio r tenemos lo siguiente: Teorema 4. El per´ımetro del pol´ıgono regular de n lados inscrito en una circunferencia es menor que el per´ımetro del pol´ıgono regular del mismo n´ umero de lados circunscrito en la misma circunferencia. Teorema 5. El per´ımetro del pol´ıgono regular de 2n lados inscrito en una circunferencia es mayor que el per´ımetro del pol´ıgono de n lados inscrito en la misma circunferencia. Teorema 6. En una circunferencia el per´ımetro del pol´ıgono regular de 2n lados circunscrito en una circunferencia es menor que el per´ımetro del pol´ıgono regular de n lados circunscrito en la misma circunferencia. Divulgaciones Matem´ aticas Vol. 10 No. 2 (2001), pp. 149–159
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C´ alculo aproximado de π
Es un hecho bien establecido que si Pn y Pn0 denotan los respectivos per´ımetros de los pol´ıgonos inscritos en circunferencias de di´ ametros d y d0 , entonces Pn Pn0 = 0 = constante. d d En particular, al definir la longitud de una circunferencia como l´ımite cuando n tiende a infinito de la longitud de los pol´ıgonos regulares de n lados inscritos en la circunferencia, si denotamos por C esta longitud entonces dc =constante, donde d es el di´ ametro de la circunferencia. Esta constante es la que se conoce como el n´ umero π objeto de este trabajo; y dado que pn < C < Pn , donde Pn denota el per´ımetro del pol´ıgono regular de n lados circunscrito en la circunferencia y pn el per´ımetro del pol´ıgono regular de n lados inscrito en la misma circunferencia tenemos que pn < 2πr < Pn ; puesto que n sen
180◦ n
< π < n tan
180◦ n
,
lo cual permite las siguientes aproximaciones de π: Para n = 3, 2,598 < π < 5,196; Para n = 4, 2,828 < π < 4; Para n = 5, 2,938 < π < 3,632; Para n = 6, 3 < π < 3,464; Para n = 10, 3,09 < π < 3,249; Para n = 20, 3,128 < π < 3,167; Para n = 60, 3,14 < π < 3,144; Para n = 90, 3,14 < π < 3,142; Para n = 360, 3,1415 < π < 3,1416; Divulgaciones Matem´ aticas Vol. 10 No. 2 (2001), pp. 149–159
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Para n = 720, 3,14158 < π < 3,14161; Para n = 1800, 3,141591 < π < 3,141958; Para n = 3600, 3,1415922 < π < 3,1415934; Para n = 9000, 3,14159259 < π < 3,141592781; Para n = 18000, 3,141592638 < π < 3,141592685; y para n = 72000, 3,141592653 < π < 3,141592656.
3
Existencia de π
Definici´ on
180◦ . n→∞ n Como toda sucesi´ on mon´ otona y acotada es convergente, la existencia del l´ımite es consecuencia de la segunda afirmaci´ on del Teorema 2. Esto garantiza que π est´ a bien definido. 180◦ Teorema 7. l´ım n tan = π. n→∞ n π = l´ım sen
Demostraci´ on. l´ım n tan
n→∞
180◦ n
l´ım n sen
180◦ n
. sec
= π l´ım sec
180◦ n
=π
=
n→∞
n→∞
180◦ n
lo cual muestra la validez de la f´ ormula y ´esto a su vez muestra la existencia de π. Con el objetivo de comparar el grado de dificultad de nuestra f´ ormula con las existentes en la bibliograf´ıa, ofrecemos una demostraci´ on de la serie de Leibnitz la cual, dicho sea de paso, demuestra el valor del l´ımite de la serie presuponiendo la existencia de π [2]. Sabemos que Z α dx arctan α = ; 2 0 1+x Divulgaciones Matem´ aticas Vol. 10 No. 2 (2001), pp. 149–159
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por lo tanto, π = 4
Z
1 0
dx ; 1 + x2
utilizando la f´ ormula para la suma de los primeros n t´erminos de una progresi´ on geom´etrica de raz´ on r tenemos que 1 − rn = 1 + r + r2 + · · · + rn−1 ; 1−r lo cual se puede expresar mediante la f´ ormula 1 rn = 1 + r + r2 + · · · + rn−1 + ; 1−r 1−r y al sustituir r por −x2 obtenemos 1 x2n = 1 − x2 + x4 − x6 + · · · + (−1)n−1 x2n−2 + (−1)n . 2 1+x 1 + x2 de donde se obtiene que Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 π = dx − x2 dx + x4 dx − x6 dx + · · · 4 0 0 0 0 Z 1 Z 1 x2n + (−1)n−1 x2n−2 dx + (−1)n dx 2 0 0 1+x Z 1 (−1)n−1 x2n 1 1 1 = 1− + − +···+ + (−1)n dx; 2 3 5 7 2n − 1 0 1+x
como
se tiene
Z (−1)n
1 0
2n x 2n 1 + x2 ≤ x ,
Z 1 x2n 1 dx ≤ x2n dx = 2 1+x 2n + 1 0
y por lo tanto la validez de la f´ ormula de Leibnitz.
4
Ap´ endice
En esta secci´ on demostramos todos los teoremas mencionados en la introducci´ on; omitimos la demostraci´ on del Teorema 1 por ser demasiado conocida y m´ as evidente que las restantes. Divulgaciones Matem´ aticas Vol. 10 No. 2 (2001), pp. 149–159
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Demostraci´ on del Teorema 2. Considere la figura 1.
O
r B
r A
D R
Figura 1
DR
180◦ = r − r cos = n ◦ 180 180◦ = r 1 − cos = 2r sen2 . n 2n
Por el teorema de Pit´ agoras tenemos que
AR =
r
r2 sen2
180◦ 180◦ + 4r2 sen4 ; n 2n
por lo tanto, si denotamos por `n la longitud del lado del pol´ıgono de n lados, entonces Divulgaciones Matem´ aticas Vol. 10 No. 2 (2001), pp. 149–159
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`2n `n
=
=
v v u u ◦ ◦ 180◦ u r2 sen2 180 + 4r2 sen4 180 u u u 1 sen4 n 2n = u + 2n u ◦ ◦ t t4 180 180 4r2 sen2 sen2 n n v v u u 90◦ 90◦ 90◦ u u 4 sen2 sen sen2 u1 u1 n =u + n n u + ◦ u4 t4 ◦ ◦ 2 180 t 90 90 sen2 2 sen cos n n n
=
v u 90◦ r r u sen2 ◦ ◦ u1 n = 1 + 1 tan2 90 = 1 tan2 90 + 1 u + ◦ t4 90 4 4 n 2 n 4 cos2 n
=
1 2
r
sec2
1 90◦ 90◦ = sec . n 2 n
Demostraci´ on del Teorema 3. Considere la figura 2.
O
H A
A0
B
H0
B0
Figura 2 Divulgaciones Matem´ aticas Vol. 10 No. 2 (2001), pp. 149–159
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Observe que el a ´ngulo OH 0 A0 es recto porque OH 0 es radio de la circunfe0 rencia y H es el punto de tangencia de A0 B 0 . Luego OH 0 es bisectriz porque el tri´ angulo OA0 B 0 es is´ osceles con OA0 = OB 0 ; luego, como OAB tambi´en es un tri´ angulo is´ osceles se tiene que AHO es un a ´ngulo recto y en consecuencia los tri´ angulos AOH y A0 OH 0 son semejantes. De la semejanza de estos tri´ angulos, si denotamos por R el radio de la circunferencia, deducimos que R ◦ R sec 180 n
=
1 2` 1 2L
=
180◦ = n 180◦ 180◦ 180◦ 2R sen sec = 2R tan . n n n
⇒ L = ` sec
Demostraci´ on del Teorema 4. El lado Ln del pol´ıgono regular circunscrito en una circunferencia satisface la relaci´ on 180◦ Ln = `n sec . n 180◦ Como sec > 1 se tiene que Ln > `n y por lo tanto n nLn > n`n Esto termina la demostraci´ on. Demostraci´ on del Teorema 5. Es una aplicaci´ on de la desigualdad triangular. Una demostraci´ on para quienes prefieran el camino trigonom´etrico es la siguiente: Si ` es la longitud del lado del pol´ıgono regular inscrito en la circunferencia, entonces, por el teorema 2, ◦ 1 90 `2n = `n sec 2 n y por lo tanto P2n = 2n`2n = n`n sec
90◦ n
> n`n = Pn .
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Demostraci´ on del Teorema 6. Sean Pn y P2n los respectivos per´ımetros de los pol´ıgonos circunscritos de n y 2n lados y Ln el lado del pol´ıgono circunscrito de lado n. Entonces
Pn
= nLn = 2nR tan
1−
180◦ 2n
= 4nR tan
180◦ n
90◦ n ◦ tan2 90n
2 tan = 2nR
= 2nR tan
> 4R tan
90◦ n
90◦ 90◦ + n n
= P2n .
Reconocimiento La idea de escribir este art´ıculo surgi´ o durante la preparaci´ on del libro de Trigonometr´ıa para la V Escuela Venezolana para la Ense˜ nanza de la Matem´ atica.
Referencias [1] Chern, S. S. On the 2002 Congress, Notices of AMS, 48, 8, 2001. [2] Courant, R., Robbins, H. ? ‘Qu´e es la matem´ atica?, Aguilar, Madrid, 1958. [3] Kasner, E., Newman, J. M atem´ aticas e Imaginaci´ on, I, Biblioteca Cient´ıfica Salvat, Barcelona, 1987. [4] M.Kline, M athematics for Liberal Arts, Addison Wesley, Reading, Massachusetts, 1967. [5] E l Universo de los n´ umeros, Mundo Cient´ıfico, edici´ on especial, 2000.
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