Semana 1

CÁLCULO Ejercicios Resueltos

30 Julio al 3 Agosto 2007

Ejercicios Resueltos 1. Estime el área encerrada por la curva de ecuación y = x 2 , el eje X y x = 3, para ello, divida el intervalo [0,3] en cinco partes iguales, y estime el área mediante la suma de áreas de los cinco rectángulos cuyas alturas se determinan por: (a) los extremos de la derecha, y (b) los extremos de la izquierda. (c) A partir de la información reunida en (a) y (b), complete esta afirmación: El área es menor que ______________, pero mayor que ______________. (a)

y 9 y=x

2

6

3

1

0

2

3

x

De la figura, el ancho de cada rectángulo es 3/5 y el alto es determinado por el valor a la derecha de cada rectángulo bajo y = x 2 , El área de los cinco rectángulos es igual a: 3 3 5 5

2

3

3 6 + 5 5

2

3 9 + 5 5

2

3 12 + 5 5

2

3 15 + 5 5

3 1485 = (12 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 ) = 5 125 = 11.88.

2

(b)

y 9 y=x

2

6

3

0

1

2

3

x

Como suma inferior (caso (a) es como suma superior) el área de los cinco rectángulos es igual a: 3 0 5 5

2

+

3 3 5 5

2

+

3 6 5 5

2

+

3 9 5 5

2

+

3 12 5 5

2

3

3 810 = (0 2 + 12 + 2 2 + 3 2 + 4 2 ) = 5 125 = 6.48 Concluimos que el área es menor que 11.88 pero mayor que 6.48.

2. Estime el área bajo y = x 2 y sobre [1,2] de la siguiente manera: (a) Divida el intervalo [1,2] en cinco secciones de igual longitud. (Trácelas). (b) Halle las coordenadas del punto medio de cada sección. (Señale los puntos en el diagrama). (c) En cada sección trace un rectángulo cuya altura sea el valor de x 2 en el punto medio. (Elabore los cinco rectángulos) (d) Halle la altura de cada rectángulo. (Señale las alturas en el diagrama). (e) Halle el área total de los cinco rectángulos.

(c),(d)

(e)

El área total es 2

2

2

2

1 11 1 13 1 15 1 17 1 19 + + + + 5 10 5 10 5 10 5 10 5 10 1 1165 (112 + 13 2 + 15 2 + 17 2 + 19 2 ) = = 2 500 5 ⋅ 10 = 2.33.

2

3. Un negocio que en la actualidad no obtiene beneficios debe aumentarlos de manera gradual en los próximos tres años hasta que alcance una razón de 9 millones de dólares por año. Al final del primer semestre la razón debe ser un cuarto de millón anual, y al final del segundo año de 4 millones anuales. En general, al cabo de t años, en que t es un numero entre 0 y 3, su razón de beneficios ha de ser t 2 millones anuales. Estime el beneficio total durante esos tres años si el plan es exitoso. Utilice seis subintervalos de igual longitud y los puntos medios. Dividiendo el periodo de 3 años en 6 subintervalos de igual longitud total es aproximadamente. 2

2

2

2

1 1 1 3 1 5 1 7 1 9 + + + + 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 1 2 143 = (1 + 3 2 + 5 2 + 7 2 + 9 2 + 112 ) = 32 16 = 8.9375 millones de dólares.

2

+

1 11 2 4

2

4. Para la curva de ecuación y = senx, con x ∈ [0, π ] . a) Dibuje la región b) Trace seis rectángulos del mismo ancho cuya área total se aproxima por exceso al área de la región c) En el dibujo indique la altura y el ancho de cada rectángulo d) Halle el área total de los seis rectángulos

(b)

y y = sin x 1

1

0

1

π /2

1

x

π

(d) El área total es igual a la suma de los seis términos:

π 6 =

=

=

sin

π

+

6

π 6

sin

π 3

+

π 6

sin

π 2

+

π 6

sin

2π π 2π π 2π π sin + sin + sin 6 6 6 3 6 2

π 3

sin

π 1 3 2

π

+

≈ 2.4777

6

+ sin

π 3

+ sin

π 2

(3 + 3 ) 3 π +1 = 6 2

π 2

+

π 6

sin

2π π 5π + sin 3 6 6

5. Considere un estimativo del área de la región por debajo de x 2 y sobre [0,3] obtenido por la división en n secciones de igual longitud, donde n es un entero positivo. Sean B(n) el valor del estimativo por exceso obtenido mediante los extremos derechos y C(n) el valor del estimativo por el defecto usando los extremos izquierdos. Sea A el área por calcular. [Ya se sabe que C(12) = 7.90625 ≤ A ≤ 10.15625 = B(12)]. (a) Explique por qué B(n) – C(n) = 27/n (b) ¿Qué tan grande debe ser el valor de n para que B(n) – C(n) ≤ 0.01? Respuesta 3 a) Sobre estimación es B(n) = n 3 Y por defecto C(n) = n

0 n

2

3 n

3 + n

2

2

6 + n 6 + n

2

2

9 + n

2

2

3n + ... + n

3(n − 1) + ... + n

.

2

.

La diferencia entre B(n) y C(n) es 3 3n = n n

2

27 n

=

b) Requerimos B(n) – C(n) = considerar n ≥ 2700.

27 27 ≤ 0.01. Entonces ≤ 0.01, luego se debe n n

6. Dé un ejemplo de una función F cuya derivada sea a) (x + 2) 3 b) (x 2 + 1) 2 c) x senx 2 1 d) x 3 + 2 x 1 e) x (Verifique sus respuestas mediante diferenciación) a)

Dado que (x 4 ) ' = 4x 3 , una antiderivada de (x + 2) 3 es ( x + 2) 4 4

'

= (x + 2) 3 . Cualquier función de la forma

( x + 2) 4 , entonces 4

( x + 2) 4 + C, donde C es una 4

constante, tiene como antiderivada a (x + 2) 3 . b) C

Note que (x 2 + 1) 2 = x 4 + 2x 2 +1, luego una antiderivada es cte.

x5 2 3 + x + x+C, 5 3

c)

cos x 2 −2

Dado que (cosx ) ' = −2 xsenx , concluimos que 2

2

'

= x senx 2 ,

luego

1 una antiderivada de x senx 2 es − cos x 2 + C, C cte. 2 d)

Como (x )' = 4x y 4

3

1 x2

'

= −

2 1 se sigue que la antiderivada de x 3 + 3 es 3 x x

x4 1 − 2 + C, C cte. 4 2x e)

Como ( x )' =

1 2 x

, es claro que ( 2 x + C) ' =

1 x

, C cte.

Ejercicios propuestos Stein & Barcellos Página 254, problemas número: 22, 27, 28, 30 Página 255, problemas número 34, 36, 36.

Ejercicios de Autoevaluación 2

1. Dada la función f(x) = e x , estime por exceso el área encerrada por la función f(x), las rectas x = 0; x = 1 e y = 0 mediante rectángulos de base ½. (Certamen 1, 27/08/05). 2. Determine valores para m, M ∈ R que acoten el área encerrada por

f(x) =

2

sen x para x ∈ [0, π / 2] entre las rectas x = 0; x = π / 2 . (Certamen 1, 2 22/12/06). 1+

3. Encuentre una antiderivada para la función f definida por

0 ≤ x ≤1

x2 f(x) =

(Certamen 1, 22/12/06).

6x −

2 x

1< x ≤ 3

4. Encuentre el valor de c∈R de manera que el área encerrada por f(t) =

t 1− t2

,

x = 1 y x = c sea igual a ½. (Certamen 2, 29/10/83). 2

5. Demuestre justificadamente que el área encerrada por la función f(t) = e −t entre t = 0 y t = 2 es menor o igual que 2. (Certamen recuperativo, 30/09/98). 6. Encuentre la ecuación y = f(x) de la curva tal que: i) Contenga al punto (1,1). ii) Sea simétrica respecto del origen y. d2y 2 iii) = 3 para cada x ≠ 0 2 dx x (Certamen 1, 10/09/93) 7. Suponga que un tanque de agua de 5000 litros tarda 10 minutos en vaciarse y que después de t minutos, la cantidad de agua que queda en el tanque es v(t) = 50(10 – t) 2 litros. ¿Cuál es la mejor aproximación al promedio del agua en el tanque durante el tiempo en que se vacía? (Certamen 1, 07/09/2000).