´ CALCULO ELEMENTAL APUNTES Valor absoluto Definici´ on 1. El valor absoluto del n´ umero real a, que se designa por |a|, se define por ½ a si a ≥ 0, |a| = −a si a < 0. Definici´ on 2. La distancia entre los n´ umeros x1 y x2 de la recta real es |x2 −x1 | = |x1 −x2 |. Proposici´ on 3. Dados a y b n´ umeros reales cualesquiera, se tienen las siguientes propiedades del valor absoluto: (i) |a| ≥ 0. (ii) | − a| = |a|. (iii) |a|2 = a2 . (iv) |ab| = |a||b|. ¯ ¯ (v) Si b 6= 0, entonces ¯ ab ¯ =

|a| . |b|

(vi) −|a| ≤ a ≤ |a|. (vii) Si b ≥ 0, entonces |a| = b si y solo si a = ±b. (viii) Si b > 0, entonces |a| < b si y solo si −b < a < b. (ix) Si b > 0, entonces |a| > b si y solo si a > b o a < −b. (x) (Desigualdad triangular) |a + b| ≤ |a| + |b|. Funciones y sus gr´ aficas Definici´ on 4. Una funci´on f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X un u ´nico elemento y de un conjunto Y . El elemento y se llama la imagen de x por f y se denota por f (x) (se lee f de x). El conjunto X se llama el dominio de f (dom(f )) y el conjunto de todas las im´agenes de los elementos de X se llama la imagen o el rango de f (im(f )). Definici´ on 5. Dos funciones f y g son iguales si y solo si tienen el mismo dominio y f (x) = g(x) para todo x del dominio. Definici´ on 6. Una funci´on f se llama par (impar) si f (−x) = f (x) (f (−x) = −f (x)) para todo x de su dominio. 1

Definici´ on 7 (Composici´ on de funciones). Se define la funci´on compuesta f ◦ g por la igualdad (f ◦ g)(x) = f (g(x)) para cada x del dominio de g tal que g(x) est´a en el dominio de f . Definici´ on 8. La gr´ afica de una funci´on f es el conjunto de todos los puntos del plano de coordenadas (x, f (x)) para todo x del dominio de f . Definici´ on 9. La gr´afica de la funci´on y − k = f (x − h) se llama una traslaci´ on de la gr´afica de f . La traslaci´on es a la derecha si h > 0, a la izquierda si h < 0, hacia arriba si k > 0 o hacia abajo si k < 0. La sim´etrica con respecto al eje x (y) de la gr´afica de f es la gr´afica de y = −f (x) (y = f (−x)). Definici´ on 10. Una funci´ on polin´ omica o polinomio es una funci´on de la forma f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 donde n ∈ N ∪ {0} y ai ∈ R con i = 0, 1, 2, . . . , n. Si an 6= 0, el entero n se llama el grado del polinomio y an se llama el coeficiente principal. La constante a0 se llama el t´ermino independiente. Una funci´on racional es un cociente de dos polinomios. Funciones inversas Definici´ on 11. Sea f una funci´on con dominio D e imagen I. Entonces la funci´on f −1 con dominio I e imagen D es la inversa de f si y solo si f −1 (f (x)) = x para todo x de D y f (f −1 (x)) = x para todo x de I. Observaci´ on 12. Si existe f −1 , su gr´afica se obtiene tomando la sim´etrica de la gr´afica de f respecto de la recta y = x. L´ımites de funciones La notaci´on l´ım f (x) = L se lee el l´ımite de f (x) cuando x tiende a c es L y significa que x→c

los valores de f (x) se pueden aproximar a L cuanto se quiera, eligiendo x suficientemente pr´oximo a c, pero distinto de c. Definici´ on 13. La afirmaci´on l´ım f (x) = L significa que para cada ² > 0 existe δ > 0 tal x→c

que |f (x) − L| < ² siempre que 0 < |x − c| < δ. Teorema 14. Si existe l´ım f (x) = L y f (x) ≥ 0 para todo x de un intervalo abierto que x→c contenga a c, entonces L ≥ 0. 2

Teorema 15 (Criterio del sandwich). Si g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) para todo x de un intervalo abierto que contenga a c (excepto posiblemente para c) y l´ım g(x) = l´ım h(x) = L, x→c

entonces l´ım f (x) = L.

x→c

x→c

Propiedades de los l´ımites Proposici´ on 16. Si las funciones f y g tienen l´ımite en c, entonces: (i) l´ım(f (x) + g(x)) = l´ım f (x) + l´ım g(x). x→c

x→c

x→c

(ii) l´ım(f (x)g(x)) = l´ım f (x) l´ım g(x). x→c

x→c

(x) (iii) l´ım fg(x) = x→c

l´ım f (x)

x→c

l´ım g(x)

x→c

x→c

si l´ım g(x) 6= 0. x→c

´n (iv) l´ım(f (x)) = l´ım f (x) para todo n ∈ Q si existe el l´ımite de la derecha. n

x→c

³

x→c

Definici´ on 17 (L´ımites laterales). La afirmaci´on l´ım+ f (x) = L ( l´ım− f (x) = L) x→c

x→c

significa que para cada ² > 0 existe δ > 0 tal que |f (x) − L| < ² siempre que 0 < x − c < δ (0 < c − x < δ). Observaci´ on 18. Es evidente que l´ım f (x) = L si y solo si l´ım+ f (x) = l´ım− f (x) = L. x→c

x→c

x→c

Continuidad Definici´ on 19. Una funci´on f es continua en un punto x = c si: (i) f (c) est´a definido. (ii) Existe l´ım f (x). x→c

(iii) l´ım f (x) = f (c). x→c

Una funci´on que no es continua en c se dice que tiene una discontinuidad en ese punto. Una funci´on es continua en un intervalo si lo es en todos los puntos del mismo. Ejemplos 20. Los polinomios y las funciones racionales, potenciales y trigonom´etricas son continuas en todos los puntos de sus dominios. Proposici´ on 21. Si f y g son continuas en c, entonces su suma, su producto, su cociente f (si g(c) 6= 0) y su composici´ on f ◦ g (si f es continua en g(c)) son continuas en c. g Proposici´ on 22. Si f es continua en L y l´ım g(x) = L, entonces l´ım f (g(x)) = f (L). x→c

x→c

Definici´ on 23. La funci´on f es continua por la derecha (izquierda) en c si y solo si l´ım+ f (x) = f (c) ( l´ım− f (x) = f (c)). x→c

x→c

3

Teorema 24 (Valores intermedios). Si f es continua en [a, b] y L es un n´ umero estrictamente comprendido entre f (a) y f (b), entonces existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = L. Teorema 25 (Bolzano). Si f es continua en [a, b] y f (a) y f (b) tienen signos opuestos, entonces existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0. Tangentes Definici´ on 26. La derivada de f en x0 es, si existe, f (x) − f (x0 ) f (x0 + h) − f (x0 ) . = l´ım x→x0 h→0 h x − x0

f 0 (x0 ) = l´ım

Si existe la derivada de f en x0 , se dice que f es derivable en x0 . Observaci´ on 27. Si f es derivable en x0 , la ecuaci´on de la tangente a la gr´afica de f en el punto (x0 , f (x0 )) es y = f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ). Definici´ on 28. La normal a la gr´afica de f en el punto P es la perpendicular por P a la tangente a la gr´afica en P . Definici´ on 29. Se dice que la gr´afica de f tiene tangente vertical en x = x0 si f es continua en x0 y l´ım |f 0 (x)| = ∞. x→x0

Teorema 30. Si f es derivable en x0 , entonces es continua en x0 . T´ ecnicas de derivaci´ on Teorema 31. (i) Una funci´on constante f (x) = k tiene derivada f 0 (x) = 0. (ii) Dado n ∈ R, la derivada de la funci´on potencial f (x) = xn es f 0 (x) = nxn−1 . (iii) (sen x)0 = cos x y (cos x)0 = − sen x. Teorema 32. Si f y g son derivables en x, entonces tambi´en lo son f + g, f g y g(x) 6= 0) y sus derivadas son:

f g

(si

(i) (f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x). (ii) (f g)0 (x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x). ³ ´0 0 (x)g 0 (x) . (iii) fg (x) = f (x)g(x)−f (g(x))2 Definici´ on 33. A veces es necesario derivar la derivada de una funci´on. En este contexto, diremos que f 0 es la derivada primera de f , y que la derivada de f 0 es la derivada segunda de f , la cual designaremos por f 00 . Se definen de manera an´aloga las derivadas de orden superior. As´ı, la derivada tercera de f es la derivada de f 00 y se designa por f 000 . En general, si n > 3, la derivada n-´esima de f se designa por f (n) . 4

La regla de la cadena Teorema 34. Si f es derivable en x y g es derivable en f (x), entonces g ◦ f es derivable en x y (g ◦ f )0 (x) = g 0 (f (x))f 0 (x). Derivaci´ on impl´ıcita Supongamos que una ecuaci´on define a y impl´ıcitamente como funci´on derivable de x. Para hallar y 0 se derivan ambos miembros de la ecuaci´on con respecto a x y se despeja y 0 de la ecuaci´on resultante. Valores extremos de una funci´ on continua aximo Definici´ on 35. Sean f una funci´on con dominio X y c ∈ X. Entonces f (c) es el m´ (m´ınimo) absoluto de f en X si f (c) ≥ f (x) (f (c) ≤ f (x)) para todo x ∈ X. Los m´aximos y m´ınimos absolutos se llaman conjuntamente extremos absolutos. Teorema 36. Una funci´on f continua en un intervalo cerrado y acotado [a, b] alcanza en ´el un m´aximo y un m´ınimo absolutos. Definici´ on 37. Sean f una funci´on con dominio X y c ∈ X. Entonces f tiene un m´ aximo (m´ınimo) relativo en c si f (c) ≥ f (x) (f (c) ≤ f (x)) para todo x de un intervalo abierto que contenga a c y contenido en X. Si hay un m´aximo (m´ınimo) relativo en c, entonces f (c) es ese m´aximo (minimo). Los m´aximos y m´ınimos relativos se llaman conjuntamente extremos relativos. Definici´ on 38. Si una funci´on f est´a definida en c y, o bien f 0 (c) = 0, o no existe f 0 (c), entonces el n´ umero c se llama un valor cr´ıtico de f y el punto (c, f (c)) un punto cr´ıtico. Teorema 39. Sea f una funci´on continua en un dominio X que contiene a un intervalo abierto y sea c un punto de ese intervalo. Si f tiene un extremo relativo en c, entonces c es un valor cr´ıtico. Para hallar los extremos absolutos de una funci´on f continua en [a, b] se calcula la imagen de f en sus valores cr´ıticos, en a y en b, compar´andose todos estos resultados. El mayor (menor) de ellos es el m´aximo (m´ınimo) absoluto de f en [a, b]. El teorema del valor medio Teorema 40 (Rolle). Sea f una funci´on continua en [a, b] y derivable en (a, b). Si f (a) = f (b), entonces existe c ∈ (a, b) tal que f 0 (c) = 0. 5

Teorema 41 (Valor medio). Si f es una funci´on continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe c ∈ (a, b) tal que f (b) − f (a) = f 0 (c). b−a Teorema 42. Sea f una funci´on continua en [a, b] y derivable en (a, b). Si f 0 (x) = 0 para todo x ∈ (a, b), entonces f es constante en [a, b]. Teorema 43. Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b). Si f 0 (x) = g 0 (x) para todo x ∈ (a, b), entonces existe una constante C tal que f (x) = g(x)+C para todo x ∈ [a, b]. Crecimiento Definici´ on 44. La funci´on f es estrictamente creciente (estrictamente decreciente) en un intervalo I si f (x1 ) < f (x2 ) (f (x1 ) > f (x2 )) para cualesquiera x1 , x2 ∈ I tales que x1 < x 2 . Teorema 45. Si f es una funci´on derivable en (a, b), entonces f es estrictamente creciente (estrictamente decreciente) en (a, b) si f 0 (x) > 0 (f 0 (x) < 0) para todo x ∈ (a, b). Proposici´ on 46. Sean f una funci´on continua y c un valor cr´ıtico de f . Entonces f (c) es un m´aximo (m´ınimo) relativo si f 0 (x) > 0 (f 0 (x) < 0) para todo x de un intervalo (a, c) y f 0 (x) < 0 (f 0 (x) > 0) para todo x de un intervalo (c, b), y f (c) no es un extremo relativo si f 0 tiene el mismo signo en intervalos (a, c) y (c, b). Convexidad oncava) en un intervalo I si se Definici´ on 47. Se dice que la funci´on f es convexa (c´ 00 00 verifica que f (x) > 0 (f (x) < 0) para todo x ∈ I. Definici´ on 48. Sea f una funci´on con tangente (quiz´as vertical) en el punto P (c, f (c)). Se dice que P es un punto de inflexi´on de f si f es convexa a un lado de P y c´oncava al otro o viceversa. Proposici´ on 49. Sea f una funci´on tal que f 0 (c) = 0 y existe la derivada segunda en un intervalo abierto que contiene a c. Si f 00 (c) > 0 (f 00 (c) < 0), hay un m´ınimo (m´aximo) relativo en c. L´ımites infinitos y as´ıntotas Definici´ on 50. La notaci´on l´ım f (x) = L ( l´ım f (x) = L) significa que para cada x→+∞

x→−∞

² > 0 existe A ∈ R tal que |f (x) − L| < ² para todo x > A (x < A) del dominio de f . 6

Observaci´ on 51. Las reglas vistas en la Proposici´on 16 son v´alidas tambi´en para este tipo de l´ımites. Proposici´ on 52. Si n ∈ Q+ y A 6= 0, entonces A = 0. x→+∞ xn Y si xn est´ a definido para x < 0, entonces l´ım

A = 0. x→−∞ xn l´ım

Definici´ on 53. La notaci´on l´ım f (x) = +∞ (l´ım f (x) = −∞) significa que para cada x→c

x→c

A ∈ R existe δ > 0 tal que f (x) > A (f (x) < A) siempre que 0 < |x − c| < δ. Definici´ on 54. La notaci´on l´ım f (x) = +∞ significa que para cada A ∈ R existe x→+∞

B ∈ R tal que f (x) > A siempre que x > B. El resto de casos se definen an´alogamente. Definici´ on 55. La recta x = c es una as´ıntota vertical de f si l´ım+ f (x) = ±∞ o x→c

l´ım− f (x) = ±∞.

x→c

La recta y = L es una as´ıntota horizontal de f si l´ım f (x) = L o l´ım f (x) = L. x→+∞

f (x) x→+∞ x

La recta y = mx+n es una as´ıntota oblicua de f si l´ım f (x) x→−∞ x

o si l´ım

x→−∞

= m y l´ım (f (x)−mx) = n x→+∞

= m y l´ım (f (x) − mx) = n. x→−∞

Dibujo de curvas Para dibujar la gr´afica de una funci´on se debe estudiar su dominio, simetr´ıa (par o impar), signo, crecimiento y extremos relativos, convexidad y puntos de inflexi´on y as´ıntotas. Optimizaci´ on Los problemas de optimizaci´on no son m´as que casos pr´acticos de maximizaci´on y minimizaci´on de funciones. Regla de L’Hˆ opital Teorema 56. Sean f y g funciones derivables en un intervalo abierto que contiene a c (x) ∞ produce una forma indeterminada 00 o ∞ , entonces (excepto posiblemente en c). Si l´ım fg(x) x→c

f (x) f 0 (x) = l´ım 0 x→c g(x) x→c g (x) l´ım

siempre que exista el l´ımite del miembro de la derecha o sea infinito. Esta regla tambi´en es v´ alida cuando x → ±∞. 7

Integraci´ on inmediata Definici´ on 57. Una primitiva de una funci´on f es otra funci´on F tal que F 0 = f . Teorema 58. Si F es una primitiva de una funci´on f , entonces cualquier otra primitiva debe ser de la forma G(x) = F (x) + C con C ∈ R. La notaci´on

Z f (x) dx = F (x) + C

donde C es una constante arbitraria significa que F es una primitiva de f . A la funci´on F (x) + C se llama la integral indefinida de f . Teorema 59. Se tienen las siguientes reglas b´asicas de integraci´ on: R R R (i) (af (x) + b g(x)) dx = a f (x) dx + b g(x) dx para cualesquiera funciones f y g y constantes a y b. R (ii) 0 dx = C. R n+1 (iii) xn dx = xn+1 + C para n 6= −1. R (iv) sen x dx = − cos x + C. R (v) cos x dx = sen x + C. El ´ area como l´ımite de una suma Definici´ on 60. Dada una funci´on f continua y no negativa en [a, b], el ´area de la regi´on bajo la gr´afica de f y por encima del eje OX es A = l´ım (f (a + ∆x) + f (a + 2∆x) + · · · + f (a + n∆x))∆x ∆x→0

donde ∆x =

b−a . n

Las sumas de Riemann y la integral definida Definici´ on 61. Sea f una funci´on definida en [a, b]. Dados x1 < x2 < · · · < xn−1 n´ umeros de (a, b), se dice que P = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn−1 , b = xn } es una partici´ on del intervalo [a, b] en n subintervalos. La norma de P se define como kP k = m´ax {xk − xk−1 }. 1≤k≤n

8

Se elige arbitrariamente un n´ umero x∗k en cada subintervalo, el cual se denomina representante del intervalo k-´esimo de P . La suma de Riemann asociada a f , P y los representantes x∗k se define como n X ∗ σ(f, P, xk ) = (xk − xk−1 )f (x∗k ). k=1

Definici´ on 62. Sea f una funci´on definida en [a, b]. Decimos que f es integrable en [a, b] si existe n X I = l´ım (xk − xk−1 )f (x∗k ). kP k→0

k=1

Este l´ımite se llama la integral definida de f de a a b y se designa por Z b f (x) dx. a

Teorema 63. Si una funci´on f es continua en [a, b], entonces es integrable en [a, b]. Proposici´ on 64. Dada una funci´on f continua y no negativa en [a, b], el ´area de la regi´ on Rb bajo la gr´afica de f y por encima del eje OX es a f (x) dx. Teorema 65. Dadas f y g funciones integrables en [a, b], se tiene que: (i) λf + µg es integrable en [a, b] para cualesquiera λ, µ ∈ R y Z b Z b Z b (λf (x) + µg(x)) dx = λ f (x) dx + µ g(x) dx. a

a

a

(ii) Si f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b], entonces Z b Z b f (x) dx ≤ g(x) dx. a

(iii) Si a < c < b, entonces Z b

a

Z f (x) dx =

a

Z

c

b

f (x) dx + a

f (x) dx. c

El teorema fundamental del C´ alculo, integraci´ on por cambio de variable Teorema 66 (Teorema fundamental del C´ alculo). Sean f una funci´on continua en [a, b] y G la funci´on definida en [a, b] por Z x G(x) = f (t) dt. a

Entonces G es una primitiva de f en [a, b], es decir, G0 (x) = f (x) para todo x ∈ [a, b]. 9

Teorema 67 (Regla de Barrow). Si f es una funci´on continua en [a, b] y F es cualquier primitiva de f , entonces Z b

f (x) dx = F (b) − F (a). a

Teorema 68 (Regla de Leibniz). Si u y v son funciones derivables, entonces ÃZ !0 v(x)

= f (v(x))v 0 (x) − f (u(x))u0 (x).

f (t) dt u(x)

El teorema del valor medio del c´ alculo integral Teorema 69. Si f es una funci´on continua en [a, b], entonces existe c ∈ [a, b] tal que Z b f (x) dx = f (c)(b − a). a

´ Area comprendida entre dos curvas Proposici´ on 70. Si f y g son funciones continuas y verifican que f (x) ≥ g(x) en [a, b], entonces el ´area entre las dos curvas y = f (x) e y = g(x) es Z b A= (f (x) − g(x)) dx. a

Vol´ umenes Proposici´ on 71. Sean f y g funciones continuas y no negativas tales que f (x) ≥ g(x) en [a, b]. El volumen del s´olido de revoluci´ on engendrado al girar alrededor del eje OX la regi´ on limitada por las curvas y = f (x) e y = g(x) y las rectas verticales x = a y x = b es Z b V =π ((f (x))2 − (g(x))2 ) dx. a

Proposici´ on 72. El volumen del s´olido de revoluci´ on engendrado al girar alrededor del eje OY la regi´ on limitada por la curva y = f (x), el eje OX y las rectas verticales x = a y x = b es Z b

V = 2π

xf (x) dx. a

Longitudes y ´ areas Definici´ on 73. Sea f una funci´on con derivada continua en [a, b]. La longitud del arco de la gr´afica de f (x) entre x = a y x = b es Z bp 1 + (f 0 (x))2 dx. L= a

10

Definici´ on 74. Sea f una funci´on con derivada continua en [a, b]. El ´area de la superficie de revoluci´on engendrada al girar alrededor del eje OX el arco de curva y = f (x) entre x = a y x = b es Z b p S = 2π f (x) 1 + (f 0 (x))2 dx. a

Si el giro es alrededor del eje OY el ´area es Z b p S = 2π x 1 + (f 0 (x))2 dx. a

Integraci´ on por partes Proposici´ on 75. Dadas dos funciones f y g se tiene que Z Z 0 f (x)g (x) dx = f (x)g(x) − f 0 (x)g(x) dx. El m´ etodo de las fracciones simples El m´etodo de las fracciones simples se emplea para calcular la primitiva de una funci´on racional. Sea f (x) = P (x)/Q(x) una funci´on racional con Q(x) 6= 0 para todo x ∈ R y ambos polinomios sin factores comunes. Si el grado de P es mayor o igual que el de Q, por divisi´on de polinomios obtenemos un cociente C(x) y un resto R(x), con lo que P (x)/Q(x) = C(x) + R(x)/Q(x) siendo en esta u ´ltima fracci´on el grado del numerador menor que el del denominador. Ya en esta situaci´on se factoriza Q(x) como producto de factores lineales y cuadr´aticos irreducibles y, a continuaci´on, se descompone la funci´on en fracciones simples asociando a cada factor lineal de multiplicidad n, (x − x0 )n , una suma de fracciones simples de la forma A1 A2 An + + ··· + 2 x − x0 (x − x0 ) (x − x0 )n y a cada factor cuadr´atico irreducible de multiplicidad m, (ax2 + bx + c)m , una suma de fracciones simples de la forma M 1 x + N1 M2 x + N2 Mm x + Nm + + · · · + . ax2 + bx + c (ax2 + bx + c)2 (ax2 + bx + c)m Una vez halladas todas las constantes se procede a calcular la primitiva de f como suma de las primitivas de las fracciones simples.

11

Integrales impropias Rt Definici´ on 76. Sea a ∈ R y supongamos que existe a f (x) dx para todo t ≥ a. Si existe Rt l´ım a f (x) dx, se define la integral impropia t→+∞

Z

Z

+∞

t

f (x) dx = l´ım

f (x) dx.

t→+∞

a

a

Se dice que la integral impropia converge si este l´ımite es finito y, en caso contrario, que diverge. Rb Definici´ on 77. Sea b ∈ R y supongamos que existe t f (x) dx para todo t ≤ b. Si existe Rb l´ım t f (x) dx, se define la integral impropia t→−∞

Z

Z

b

b

f (x) dx = l´ım

f (x) dx.

t→−∞

−∞

t

Se dice que la integral impropia converge si este l´ımite es finito y, en caso contrario, que diverge. Ra R +∞ Definici´ on 78. Si las dos integrales impropias −∞ f (x) dx y a f (x) dx convergen para un mismo n´ umero a, se define la integral impropia de f (x) en toda la recta real como Z +∞ Z a Z +∞ f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx. −∞

−∞

a

Definici´ on 79. Si la funci´on f no est´a acotada cerca de a y existe t ∈ (a, b], se define la integral impropia Z b Z b f (x) dx = l´ım+ f (x) dx. t→a

a

Rb t

f (x) dx para todo

t

Se dice que la integral impropia converge si este l´ımite es finito y, en caso contrario, que diverge. Rt Definici´ on 80. Si la funci´on f no est´a acotada cerca de b y existe a f (x) dx para todo t ∈ [a, b), se define la integral impropia Z b Z t f (x) dx = l´ım− f (x) dx. t→b

a

a

Se dice que la integral impropia converge si este l´ımite es finito y, en caso contrario, que diverge. Definici´ on 81. Si la funci´on f no est´a acotada cerca de c ∈ (a, b) y son convergentes las Rc Rb integrales impropias a f (x) dx e c f (x) dx, se define la integral impropia Z b Z c Z b f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx. a

a

c

Se dice que la integral impropia de la izquierda diverge si diverge cualquiera de las dos de la derecha. 12

Sucesiones y l´ımites Definici´ on 82. Una sucesi´ on es una funci´on con dominio N e imagen un subconjunto de R. Los valores a1 , a2 , . . . de la funci´on se llaman los t´erminos de la sucesi´on y an se llama el t´ermino n-´esimo o t´ermino general de la sucesi´on. Definici´ on 83. La sucesi´on an converge al n´ umero L, y se escribe l´ım an = L, si para n→∞

todo ² > 0 existe n0 ∈ N tal que |an − L| < ² para todo n ≥ n0 . Se dice entonces que L es el l´ımite de la sucesi´on an . En caso contrario se dice que la sucesi´on diverge. Proposici´ on 84. Si l´ım an = L y l´ım bn = M , entonces se verifica: n→∞

n→∞

(i) l´ım (an + bn ) = L + M . n→∞

(ii) l´ım (an bn ) = LM . n→∞

an n→∞ bn

(iii) l´ım (iv) l´ım

n→∞

√ m

=

L M

an =

siempre que M 6= 0. √ m

L siempre que las ra´ıces tengan sentido.

Definici´ on 85. La notaci´on l´ım an = +∞ ( l´ım an = −∞) significa que para todo n→∞

n→∞

A ∈ R existe n0 ∈ N tal que an > A (an < A) para todo n ≥ n0 . Teorema 86. Sea f una funci´on tal que an = f (n) para todo n ∈ N. Si l´ım f (x) = L, x→+∞

entonces la sucesi´ on an converge a L.

Teorema 87. Si an ≤ bn ≤ cn para todo n ≥ n0 y l´ım an = l´ım cn = L, entonces n→∞ n→∞ l´ım bn = L.

n→∞

Definici´ on 88. Se dice que la sucesi´on an es creciente (estrictamente creciente) si se verifica que an ≤ an+1 (an < an+1 ) para todo n ∈ N y decreciente (estrictamente decreciente) si an ≥ an+1 (an > an+1 ) para todo n ∈ N. Diremos que an es mon´otona (estrictamente mon´otona) si es creciente o decreciente (estrictamente creciente o estrictamente decreciente). Definici´ on 89. Se dice que la sucesi´on an est´a acotada superiormente (inferiormente) por A si an ≤ A (an ≥ A) para todo n ∈ N. Diremos que an est´a acotada si lo est´a superior e inferiormente. on mon´otona tiene l´ımite si y solo si est´a acotada. Si no lo est´a, Teorema 90. Una sucesi´ tiende a ±∞. Proposici´ on 91. Si |r| < 1, entonces l´ım rn = 0. n→∞

13

Series Definici´ on 92. Una serie es una suma infinita a1 + a2 + a3 + · · · =

∞ X

ak .

k=1

La suma parcial n-´esima de la serie es Sn = a1 + a2 + · · · + an =

n X

ak .

k=1

Se dice que la serie es convergente con suma S si la sucesi´on de sumas parciales converge a S. En caso contrario se dice que la serie diverge. Proposici´ on 93. Si

∞ P

ak y

k=1

para cualesquiera α, β ∈ R y ∞ X

∞ P

bk son series convergentes, tambi´en lo es

k=1

∞ P

(αak + βbk )

k=1

(αak + βbk ) = α

∞ X k=1

k=1

ak + β

∞ X

bk .

k=1

Definici´ on 94. Una serie geom´etrica es una serie en la cual la raz´on entre dos t´erminos consecutivos es constante. Si designamos por r a esta raz´on, la serie tiene la forma ∞ X

ark = a + ar + ar2 + ar3 + · · · + arn + · · ·

k=0

con a 6= 0. Teorema 95. La serie geom´etrica |r| < 1 con suma

∞ P

ark con a 6= 0 diverge si |r| ≥ 1 y converge si

k=0

a . 1−r

El criterio de la integral, p-series Teorema 96. Si la serie

∞ P

an converge, entonces an converge a 0.

n=1

Teorema 97. Una serie de t´erminos no negativos converge si y solo si su sucesi´ on de sumas parciales est´a acotada superiormente. Teorema 98 (Criterio de la integral). Si an = f (n) para todo n ∈ N siendo f (x) una ∞ P funci´ on continua, positiva y decreciente para x ≥ 1, entonces la serie an y la integral n=1 R∞ f (x) dx tienen el mismo car´ acter, es decir, ambas son convergentes o ninguna lo es. 1 14

Observaci´ on 99. Para aplicar el criterio de la integral es suficiente que f (x) sea decreciente para x ≥ x0 . Definici´ on 100. Una p-serie es una serie de la forma

∞ P n=1

la serie arm´onica.

1 np

con p > 0. Si p = 1 se tiene

Teorema 101. Una p-serie es convergente si p > 1 y divergente si p ≤ 1. Criterios de comparaci´ on Teorema 102. Si 0 ≤ an ≤ bn para todo n ≥ n0 y ∞ P n=1

∞ P n=1

bn es convergente, tambi´en lo es

an .

Teorema 103. Sean an , bn > 0 para todo n ≥ n0 : an n→∞ bn

(i) Si l´ım

= L con 0 < L < +∞, entonces las series

n=1

car´ acter. an n→∞ bn

(ii) Si l´ım

an n→∞ bn

(iii) Si l´ım

∞ P

=0y

∞ P

bn es convergente, tambi´en lo es

∞ P n=1

bn tienen el mismo

an .

n=1

n=1

= +∞ y

∞ P

an y

∞ P n=1

bn es divergente, tambi´en lo es

∞ P n=1

an .

Criterios del cociente y de la ra´ız Teorema 104 (Criterio del cociente). Dada la serie

∞ P

an de t´erminos positivos,

n=1

supongamos que l´ım an+1 = L. Si L < 1, la serie converge y si L > 1 o L = +∞, la serie n→∞ an diverge. ∞ P Teorema 105 (Criterio de la ra´ız). Dada la serie an de t´erminos no negativos, n=1 √ supongamos que l´ım n an = L. Si L < 1, la serie converge y si L > 1 o L = +∞, la n→∞ serie diverge.

Series alternadas, convergencia condicional y absoluta Teorema 106. Si an es una sucesi´on de n´ umeros positivos estrictamente decreciente con ∞ ∞ P P l´ım an = 0, entonces las dos series alternadas (−1)n an y (−1)n+1 an convergen. n→∞

Definici´ on 107. La serie

n=1 ∞ P

n=1

an se llama absolutamente convergente si la serie

n=1

converge, y se llama condicionalmente convergente si converge y la serie

∞ P n=1

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∞ P

|an |

n=1

|an | diverge.

Teorema 108. Toda serie absolutamente convergente es convergente. ∞ P Teorema 109 (Criterio generalizado del cociente). Dada la serie an de t´erminos n=1 ¯ ¯ ¯ ¯ no nulos, supongamos que l´ım ¯ an+1 ¯ = L. Si L < 1, la serie es absolutamente convergente a n n→∞ y si L > 1 o L = +∞, la serie es divergente.

Series de potencias Teorema 110. Sea se verifica:

∞ P n=0

¯ ¯ ¯ ¯ an (x−c)n una serie de potencias tal que l´ım ¯ an+1 = L. Entonces an ¯ n→∞

(i) Si L = +∞, la serie de potencias converge solo para x = c. (ii) Si L = 0, la serie de potencias converge para todo x ∈ R. (iii) Si 0 < L < +∞, la serie de potencias converge absolutamente si |x − c| < L1 y no converge si |x−c| > L1 . A R = L1 se le llama radio de convergencia de la serie de potencias y a (c − R, c + R) intervalo de convergencia. p Observaci´ on 111. Se tiene el mismo resultado anterior si L = l´ım n |an |. n→∞

Series de Taylor y Maclaurin Teorema 112. Sea f una funci´on infinitamente derivable que tiene una representaci´ on f (x) =

∞ X

an (x − c)n

n=0

por serie de potencias en el intervalo (c−R, c+R). Entonces esta representaci´ on es u ´nica. Concretamente, los coeficientes an est´an determinados por an =

f (n) (c) n!

para todo n ∈ N ∪ {0}. Teorema 113 (Teorema de Taylor). Si f es una funci´on infinitamente derivable en un intervalo abierto I que contiene a c, entonces para cada x ∈ I se tiene f (x) = f (c) +

f 0 (c) f 00 (c) f (n) (c) (x − c) + (x − c)2 + · · · + (x − c)n + Rn (x) 1! 2! n!

siendo el resto Rn de la forma Rn (x) =

f (n+1) (zn ) (x − c)n+1 (n + 1)!

donde zn est´ a entre c y x. 16

Definici´ on 114. En las condiciones del Teorema de Taylor, a la serie de potencias ∞ X f (n) (c) n=0

n!

(x − c)n

se le llama serie de Taylor de f en c o desarrollo de Taylor. Si c = 0, se le llama serie de Maclaurin de f o desarrollo de Maclaurin. Si calculamos los t´erminos de la serie de Taylor (Maclaurin) hasta grado k tendremos el polinomio de Taylor (Maclaurin) de grado k.

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