Cálculo II (0252) Semestre 1-2011

TEMA 5

SERIES NUMÉRICAS

Semestre 1-2011

José Luis Quintero Julio 2011

Departamento de Matemática Aplicada

U.C.V.

F.I.U.C.V.

CÁLCULO II (0252)

Prof. José Luis Quintero

Las notas presentadas a continuación tienen como único fin, el de prestar apoyo al estudiante y facilitar su entendimiento en el tema de series numéricas.

La guía contempla un pequeño resumen de la teoría correspondiente que sirve de repaso a los contenidos teóricos que componen el tema. Se presentan ejercicios resueltos y propuestos, algunos son originales, otros se han tomado de guías redactadas por profesores, también hay ejercicios tomados de exámenes y de algunos textos. Se ha tratado de ser lo más didáctico posible y se espera prestar un apoyo a la enseñanza del Cálculo II en Ingeniería.

Agradezco las observaciones y sugerencias que me puedan hacer llegar en la mejora del presente material, las mismas pueden ser enviadas a la siguiente dirección de correo: [email protected].

INDICE GENERAL U.C.V.

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TEMA 5. SERIES NUMÉRICAS 5.1.

Sucesiones

211

5.2.

Serie infinita

215

5.3.

Serie geométrica

218

5.4.

Serie telescópica

219

5.5.

Criterio de la integral

221

5.6.

Serie alterna

223

5.7.

Convergencia absoluta y convergencia condicional

224

5.8.

Criterios de comparación

226

5.9.

Criterio de la razón

229

5.10. Criterio de la raíz

231

5.11. Problemas propuestos

233

G

Series Numéricas Pág.: 211 de 250

SUCESIONES U.C.V.

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5.1. SUCESIONES La importancia en el Cálculo de las sucesiones y series infinitas surge de la idea de Newton de representar las funciones como sumas de series infinitas. Por ejemplo, al determinar áreas, a menudo integraba una función expresándola primero como una serie y después integrando cada término de la serie. Muchas de estas funciones que surgen en la física matemática y en la química, como las funciones de Bessel, se definen como sumas de series, por lo tanto, resulta importante familiarizarse con los conceptos básicos de convergencia de sucesiones y series infinitas. Definición 1. Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto {1, 2,3,4,...,n,...} de todos los números enteros positivos. Los números del contradominio de una sucesión se denominan elementos. Una sucesión consiste de los elementos de una función sucesión listados en orden. Ejemplo 1. Sea f la sucesión definida por n f(n) = , n = 1,2,3,... . 2n + 1 Se tiene que f es una sucesión y f(1) = 13 , f(2) = 25 , f(3) =

3 7

, f(4) =

(1)

4 9

, f(5) =

y así sucesivamente. Los elementos de la sucesión definida por f son

1 3

5 11

,

2 5

,

3 7

,

4 9

,

5 , 11

etc ; y

la sucesión es la (1). Puesto que el dominio de cada sucesión es el mismo, puede emplearse la notación {f(n)} para denotar una sucesión. Así, la sucesión (1) puede denotarse por {n / (2n + 1)} . También se utiliza la notación de subíndice {an} para expresar una sucesión para la cual f(n) = an .

Definición 2. Una sucesión {an } tiene límite L si para cualquier ε > 0 existe un número N > 0 tal que si n es un número entero y si n > N entonces an − L < ε y se escribe

lím an = L .

n → +∞

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Series Numéricas Pág.: 212 de 250 Prof. José Luis Quintero

Ejemplo 2. Siendo

an =

1 n2

,

se tiene que

lím

n → +∞

1 n2

=0

por lo tanto se tiene que la sucesión es convergente. Ejemplo 3.

10n = +∞ n → +∞ n lím

por lo tanto la sucesión n 10     n 

diverge. Ejemplo 4.

lím sen(n)

n → +∞

no existe por lo tanto la sucesión

{sen(n)} diverge. Las sucesiones no se pueden derivar porque su dominio son puntos aislados. Con la finalidad de aprovechar la teoría de funciones reales de variable real para el estudio de crecimiento, decrecimiento y cálculo de límites de sucesiones es útil asociar una función de variable real con una sucesión (función de variable natural) en la forma siguiente: Se reemplaza en an n por x para definir una función f(x) tal que f(n) = an . Ejemplo 5. Sea

an =

n+1 2n

,

se define la función asociada como

f(x) =

x +1 2x

.

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TEOREMA 1. Sea f(x) una función tal que an = f(n) para cada n ∈ N . a. Si f es decreciente en [0, +∞) entonces {an} es estrictamente decreciente. b. Si f es creciente en [0, +∞) entonces {an } es estrictamente creciente. c.

Si lím f(x) = L entonces lím an = L . x → +∞

n → +∞

Este teorema permite aplicar la regla de L’Hospital en el cálculo del límite de una sucesión.

Ejemplo 6. Establezca si la sucesión ∞

n.arctg(n)     3n + 1 n =1 converge o diverge y encuentre el límite en caso de que sea convergente.

Solución. lím

n → +∞

n.arctg(n) n 1 π π = lím . lím arctg(n) = . = . n → +∞ 3n + 1 n → +∞ 3n + 1 3 2 6

Por lo tanto la sucesión converge.

Ejemplo 7. Establezca si la sucesión ∞

2  n   n 1 − e n =1

converge o diverge y encuentre el límite en caso de que sea convergente.

Solución. Sea

f(x) =

x2 1 − ex

la función real asociada. Aplicando L’Hospital se tiene: x2 2x 2 lím = lím = lím = 0. x →+∞ 1 − ex x → +∞ −ex x → +∞ −ex Por lo tanto la sucesión converge.

Ejemplo 8. Establezca si la sucesión ∞

 n + 1 2n    n    n =1 converge o diverge y encuentre el límite en caso de que sea convergente.

Solución.

Series Numéricas Pág.: 214 de 250

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2n

n + 1 lím   n →∞  n 

2

n  1   =  lím  1 +   = e2 .  n→∞  n   

Por lo tanto la sucesión converge. Ejemplo 9. Establezca si la sucesión ∞

n ln(π + (−1) )    n3  n =1

converge o diverge y encuentre el límite en caso de que sea convergente.

Solución. Para n = 1, 2,..., ln(π − 1) ≤ ln(π + (−1)n ) ≤ ln(π + 1) ⇒

ln(π − 1) 3

n

≤

ln(π + (−1)n ) n3

Como

lím

ln(π − 1) 3

n →+∞

= lím

ln(π + 1) n3

n → +∞

n

=0

se deduce que lím

ln(π + (−1)n )

= 0.

n3

n →∞

Por lo tanto la sucesión converge. Ejemplo 10. Establezca si la sucesión ∞

nπ n.cos( 2 )   2   n + 10 n =1

converge o diverge y encuentre el límite en caso de que sea convergente. Solución.

lím

n → +∞

n.cos(n2π ) 2

n + 10

= lím

n → +∞

n 2

n + 10

. lím cos(n2π ) = 0. n →+∞

Por lo tanto la sucesión converge. Ejemplo 11. Establezca si la sucesión ∞

n(n + 2)     ln(n) n = 2 converge o diverge y encuentre el límite en caso de que sea convergente. Solución.

Sea

f(x) =

x(x + 2) ln(x)

≤

ln(π + 1) n3

.

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la función real asociada. Aplicando L’Hospital se tiene: x(x + 2) (x + 2) + x 2x2 + 2x lím = lím = lím =∞ x →∞ ln(x) x →∞ x →∞ 1x 1

Por lo tanto la sucesión diverge.

5.2. SERIE INFINITA Definición 3. Si {an} es una sucesión y sn = a1 + a2 + a3 + ... + an entonces {sn } es una sucesión de sumas parciales denominada serie infinita y se denota por ∞

∑

an = a1 + a2 + a3 + ... + an + ... .

n =1

Los números a1 , a2 , a3 ,..., an son los términos de la serie infinita.

Ejemplo 12. Considere la sucesión 1 {1 / 2n −1} : 1, 12 , 14 , 18 , 16 ,...,

1 2n −1

,...

A partir de esta sucesión se forma la sucesión de sumas parciales:

s1 = 1 s2 = 1 + s3 = 1 + s4 = 1 + s5 = 1 + sn = 1 +

1 2

+

1 4

+

1 2

⇔

1 2

1 2

+

1 4

+

1 4

+

1 2

+

1 4

+

1 8

⋮ +

1 16

1 8

⇔ ⇔

1 8

+

⇔

1 16

+ ... +

1 2n −1

s2 =

3 2 s3 = 74 s4 = 15 8 31 s5 = 16

+ ...

Esta sucesión de sumas parciales {sn } es la serie infinita denotada por ∞

∑ n =1

Esta

serie

posteriormente.

es

un

1 n −1

2

=1+

ejemplo

1 1 1 1 1 + + + + ... + n −1 + ... 2 4 8 16 2

de

una

serie

geométrica,

la

cual

se

discutirá

Series Numéricas Pág.: 216 de 250

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Ejemplo 13. Sea la serie infinita ∞

∞

∑ ∑ an =

n =1

n =1

1 . n(n + 1)

a. Obtenga los primeros cuatro elementos de la sucesión de sumas parciales {sn } . b. Determine una fórmula para sn en términos de n. Solución. a. Como sn = sn −1 + an se tiene

1 1 2 + = 2 2.3 3 3 1 4 2 1 3 , s4 = s3 + a4 = + = s3 = s2 + a3 = + = 4 4.5 5 3 3.4 4 s1 = a1 =

1 1 = 1.2 2

s2 = s1 + a2 =

,

b. Como

ak =

1 , k(k + 1)

se tiene, mediante fracciones parciales,

1 1 − k k +1

ak = Por tanto,

a1 = 1 −

1 2

, a2 =

1 2

−

1 3

, a3 =

1 3

−

1 4

,…

1 1 1 1 . − , an = − n −1 n n n+1 De esta forma, como sn = a1 + a2 + ... + an −1 + an , an −1 =

1 1 1 1 1  1 1 1    1 sn =  1 −  +  −  +  −  + ... +  − + − . 2 2 3 3 4  n − 1 n n n + 1 Al eliminar los paréntesis y reducir los términos semejantes se obtiene 1 sn = 1 − . n+1 El método empleado en la solución del ejemplo anterior se aplica a sólo un caso especial. En general, no es posible obtener una expresión de este tipo para sn . Definición 4. Considere que ∞

∑

an

n =1

denota una serie infinita dada para la cual {sn } es la sucesión de sumas parciales. Si lím sn

n → +∞

existe y es igual a S, entonces la serie es convergente y S es la suma de la serie. Si

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lím sn

n → +∞

no existe, entonces la serie es divergente y la serie no tiene suma. Ejemplo 14. Determine si la serie del ejemplo 13 tiene una suma. Solución.

En la solución del ejemplo 13 se mostró que la sucesión de sumas parciales para la serie dada es {sn} = {1 − 1 (n + 1)} . Por tanto,

1   lím sn = lím 1 − = 1. n →+∞  n + 1 

n → +∞

Por lo que la serie infinita tiene una suma igual a 1, y se escribe ∞

∑ n =1

1 1 1 1 1 1 = + + + + ... + + ... = 1. n(n + 1) 2 6 12 20 n(n + 1)

TEOREMA 2. Si la serie ∞

∑

an

n =1

converge entonces lím an = 0.

n → +∞

El enunciado anterior es equivalente a decir: Si lím an ≠ 0 n → +∞

entonces la serie ∞

∑

an

n =1

diverge. Ejemplo 15. Como

n =1≠ 0 n → +∞ n + 1 lím

entonces la serie ∞

∑ n =1

diverge.

n n+1

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Ejemplo 16. La condición

lím an = 0

n → +∞

no es suficiente para determinar la convergencia, en efecto: ∞

∑ ∑ 1

n2

n =1

converge y lím

n → +∞

1 n2

=0 ,

∞

n =1

1 1 diverge y lím = 0. n → +∞ n n

Estas series serán estudiadas posteriormente (series p) en particular la última recibe el nombre de serie armónica.

5.3. SERIE GEOMÉTRICA Definición 5. Una serie infinita de la forma ∞

∑

arn −1 = a + ar + ar2 + ... + arn −1 + ...

n =1

se denomina serie geométrica. La serie infinita discutida en el ejemplo 12 es una serie geométrica con a = 1 y r =

TEOREMA 3. La serie geométrica converge a la suma

1 2

a si r < 1 y diverge si r ≥ 1 . 1−r

Demostración. La n-ésima suma parcial de la serie geométrica está dada por

sn = a(1 + r + r2 + ... + rn −1 ) . De la identidad

1 − rn = (1 − r)(1 + r + r2 + ... + rn −1 ) (2) se puede escribir como

sn =

a(1 − rn ) 1−r

si

r ≠ 1.

Ahora bien,

a(1 − rn ) a rn = − a lím . n → +∞ n → +∞ 1 − r 1−r 1−r lím

(2)

.

Series Numéricas Pág.: 219 de 250

SERIE GEOMÉTRICA U.C.V.

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Como lím rn = 0 si n → +∞

r < 1 se tiene que a(1 − rn ) a rn a = − a lím = n → +∞ n →+∞ 1 − r 1−r 1−r 1−r lím

por lo tanto la serie geométrica converge y su suma es igual a

Si

r >1

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entonces

rn

si

r < 1,

a . 1−r

puede hacerse tan grande como se desee tomando n

suficientemente grande, en consecuencia la serie diverge. Si r = ±1 es claro ver la divergencia por hacerse la suma tan grande como se desee o bien por no existir el límite, en ambos casos el límite no es igual a cero.

5.4. SERIE TELESCÓPICA Definición 6. Sea {bk } una sucesión. Una serie de la forma ∞

∑

(bk − bk +1 )

k =1

es llamada serie telescópica. En una serie telescópica un término cancela alguno de los siguientes, por lo cual la suma se reduce generalmente a sólo algunos términos. La serie del ejemplo 13 es telescópica. En los dos tipos de series anteriores, geométricas y telescópicas, se ha podido determinar la convergencia de la serie obteniendo el término general de la sucesión de sumas parciales y luego se examina lím sn . n → +∞

Desafortunadamente esta técnica no es tarea sencilla para la mayoría de las series. Seguidamente se enunciarán e ilustrarán algunos criterios utiles para determinar la convergencia; sin embargo estos criterios, en el caso de convergencia, no indican como calcular su suma.

Series Numéricas Pág.: 220 de 250

SERIE TELESCÓPICA U.C.V.

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∞

Ejemplo 17. ¿Cuál es el valor de c si

∑

(1 + c)−n = 2 ?

n =2

Solución. ∞

∑

∞

−n

(1 + c)

n =2

=

∑ n=2

2c2 + 2c − 1 = 0 ⇒ c = Se elige c1 =

1

n

 1  (1 + c)2 =   = 1 − 11+ c 1 + c 

1 (1 + c)2 1 + c −1 1+ c

1 (1 + c)2 c 1+ c

=

1+c

=

c(1 + c)2

=

1 = 2 ⇒ 2c + 2c2 = 1 c(1 + c)

−2 ± 4 + 4.2 −2 ± 2 3 −1 ± 3 −1 + 3 −1 − 3 . = = ⇒ c1 = , c2 = 4 4 2 2 2

−1 + 3 ∈ (−1,1) . 2

Ejemplo 18. Encuentre la suma de la serie ∞

∑ n =1

 (−1)n  n +1 n + 1    n n +1 + Ln  n  . n     3 .2

Solución. ∞

∑ n =1

 (−1)n  n +1 n + 1    n n +1 + Ln  n  = n    3 .2 

∞

∑ n =1

(−1)n 3n.2n +1

∞

+

∑ n =1

 n +1 n + 1  Ln  n   n  

Serie geométrica : ∞

∑ n =1

∞

(−1)n 3n.2n +1

1 = 2

∑ n =1

∞

(−1)n

1 = n n 2 3 .2

∑ n =1

(−1)n 6n

∞

1 = 2

∑ n =1

n 1 1 1 1 −6 1 6 1 1  1 . . − = = − =− . =− .  6 1 7 2 1+ 6 2 6 2 7 14  

Serie telescópica : ∞

∑ n =1

 n +1 n + 1  = Ln   n n   

∞

∑

∞

1/(n +1)

Ln(n + 1) 

1/n 

− Ln(n)

n =1



=−

∑ n =1

Ln(n + 1)  Ln(n) Ln(n + 1)   n − n + 1  = nlím → +∞ (n + 1)  

Se aplica L´Hospital : x ∈ R, f(x) =

Ln(x + 1) , x +1

1

Ln(x + 1) 1 = lím x +1 = lím = 0. x → +∞ (x + 1) x →+∞ 1 x →+∞ x + 1 lím

Por lo tan to : ∞

∑ n =1

 (−1)n  n +1 n + 1   1 .  n n +1 + Ln  n   = − 14 n     3 .2

Ejemplo 19. Calcule la suma de la serie ∞

∑ n =1

 3 n+1 − n  (n −1)/2 + . 2  n2 + n  

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Series Numéricas Pág.: 221 de 250 Prof. José Luis Quintero

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Solución. ∞

∑ ∑ n =1

∞

∑ ∑ ∑

 3 n+1 − n  (n −1)/2 + = 2  n2 + n  

∞

n =1

3    (n −1)/2  = 2 

∞

n =0

n =1

 3   n/2  =3 2 

3    (n −1)/2  + 2  ∞

n =0

∞

∑ n =1

 n+1 − n  .   n2 + n  

n

 1  3 3 2 = .   = 1 1 − 2 2 −1   2

(Serie geométrica) ∞

∑ n =1

 n+1 − n  =  n(n + 1)   

∞

∑ n =1

  n+1 n −  = n. n + 1   n. n + 1

∞

∑ n =1

 1 1  1 − =1   = 1 − nlím →∞ n+1 n+1  n

(Serie telescópica) Se tiene: ∞

∑ n =1

 3 n+1 − n 3 2 3 2 + 2 −1 4 2 −1 +1 = = = 7 + 3 2.  (n −1)/2 + = 2  2 2 −1 2 −1 2 −1 n +n  

5.5. CRITERIO DE LA INTEGRAL TEOREMA 4. Sea ∞

∑

an

n =k

una serie de términos positivos, es decir an > 0 para todo n mayor o igual a k, y sea f(x) la función real asociada a la sucesión an , es decir f(n) = an para todo n. Si f(x) es continua y decreciente para x ≥ k entonces ∞

∑ ∫

+∞

an y

n =k

f(x)dx k

convergen o divergen ambas.

Ejemplo 20. Estudia la convergencia de la serie ∞

∑ n=2

Solución.

1 n(ln(n))2

.

CRITERIO DE LA INTEGRAL U.C.V.

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Sea

1

f(x) =

x(ln(x))2 la función asociada, es continua en [2, ∞) . Se verá que es decreciente en este intervalo: f '(x) = −

ln(x) + 2

< 0 ∀x ∈ (2, ∞) .

x2 (ln(x))3

Se estudiará ahora la convergencia de la integral impropia:

∫

∞

2

1 x(ln(x))2

dx = lím

b → +∞

∫

b

2

1 x(ln(x))2

b

dx = lím − b → +∞

1 1 = . ln(x) 2 ln(2)

La integral impropia converge, luego la serie converge.

Definición 7. Las series de la forma ∞

∑ n =1

1 np

con p > 0

se denominan series p. Se usará el criterio de la integral para estudiar con cuales valores de p la serie converge o diverge. Sea

f(x) =

1 xp

, p>0

la función asociada que es continua en [1, ∞) .

f '(x) = −

p p +1

x

< 0 en (1, ∞)

luego decrece en dicho intervalo.

∫

∞

1

1 xp

 1 si p > 1 1  1   . − 1 = p − 1   p − 1 b → +∞ 1 − p  b    +∞ si 0 < p < 1

dx = lím

Para p = 1 se tiene

∫

∞

1

1 b dx = lím ln(x) 1 = +∞ . b →+∞ x

CRITERIO DE LA INTEGRAL U.C.V.

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CÁLCULO II (0252) – TEMA 5

Series Numéricas Pág.: 223 de 250 Prof. José Luis Quintero

Se concluye que ∞

∑ n =1

1 np

converge para p > 1 y diverge si 0 < p ≤ 1 . En particular la serie armónica ∞

∑ n =1

1 n

diverge ya que p = 1 .

5.6. SERIE ALTERNA Definición 8. Si an > 0 para todos los números enteros positivos, entonces la serie ∞

∑

(−1)n +1 an = a1 − a2 + a3 − a4 + ...

n =1

y la serie ∞

∑

(−1)n an = −a1 + a2 − a3 + a4 − ...

n =1

se denominan series alternas. TEOREMA 5. Suponga que se tiene la serie alterna ∞

∑

∞

n +1

(−1)

an o

n =1

∑

(−1)n an ,

n =1

donde an > 0 y an +1 < an para todos los números enteros positivos n. Si lím an = 0 ,

n → +∞

entonces la serie alterna es convergente.

SERIE ALTERNA U.C.V.

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Series Numéricas Pág.: 224 de 250 Prof. José Luis Quintero

Ejemplo 21. Dada la serie ∞

∑ n =1

(−1)n +1 2n − 1

se tiene:

1 1 1 > = = an +1 para cada n, luego la sucesión an es decreciente. 2n − 1 2(n + 1) − 1 2n + 1 1 b. lím an = lím = 0. n → +∞ n → +∞ 2n − 1 Por lo tanto la serie alterna dada converge. a.

an =

5.7. CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONVERGENCIA CONDICIONAL Definición 9. La serie infinita ∞

∑

an

n =1

es absolutamente convergente si la serie ∞

∑

an

n =1

es convergente.

Ejemplo 22. Considere la serie ∞

∑ n =1

(−1)n +1

2 n

3

2 2 2 2 2 − + − + ... + (−1)n +1 n + ... 3 32 33 34 3

=

(3)

Esta serie será absolutamente convergente si la serie ∞

∑ n =1

2 n

3

=

2 2 2 2 2 + 2 + 3 + 4 + ... + n + ... 3 3 3 3 3

es convergente. Como ésta es la serie geométrica con r = tanto, la serie (3) es absolutamente convergente.

1 3

< 1 , entonces es convergente. Por

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Ejemplo 23. Dada la serie ∞

∑

(−1)n +1

n =1

1 n

es convergente (criterio de serie alternas). Esta serie no es absolutamente convergente debido a que la serie de valores absolutos es la serie armónica, la cual es divergente. La serie del presente ejemplo en ocasiones es llamada serie armónica alterna y constituye un ejemplo de una serie condicionalmente convergente. Definición 10. Una serie que es convergente, pero no absolutamente convergente, se denomina condicionalmente convergente. La importancia de la convergencia condicional se muestra en el ejemplo siguiente: Ejemplo 24. Considere la serie armónica alterna: ∞

∑ n =1

(−1)n +1

1 1 1 1 1 1 = 1 − + − + − + ... n 2 3 4 5 6

(4)

la cual se sabe es condicionalmente convergente. Se reordenarán y agruparán los términos de esta serie como sigue:

1  1 1 1  1 1 1  1 1 1 1 1 1 1   1 − 2  − 4 +  3 − 6  − 8 +  5 − 10  − 12 + ... = 2 − 4 + 6 − 8 + 10 − 12 + ...       1 1 1 1 1 1  = 1 − + − + − + ... 2 2 3 4 5 6 

(5)

Observe que la serie entre paréntesis anterior es la misma que la serie (4). Debido a que la serie (4) es convergente, tiene una suma igual a S. La serie (5) también tiene una suma, pero evidentemente la suma de (5) es un medio de la suma de la serie (4). Esta situación se presenta debido a que la serie (4) es solo condicionalmente convergente en vez de ser absolutamente convergente. Del ejemplo anterior, parece que no se puede cambiar el orden de los términos de una serie condicionalmente convergente y preservar la suma. TEOREMA 6. Si ∞

∑ n =1

an

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es una serie convergente de términos positivos, entonces sus términos pueden reagruparse de cualquier manera, de modo que la serie resultante también será convergente y tendrá la misma suma de la serie original. TEOREMA 7. Si la serie ∞

∑

an

n =1

es convergente, entonces la serie ∞

∑

an

n =1

es convergente.

5.8. CRITERIOS DE COMPARACIÓN TEOREMA 8. Suponga que ∞

∞

∑ ∑ an y

n =1

n =1

son series con términos positivos. a. Si ∞

∑

bn

n =1

es convergente y an ≤ bn para toda n, entonces ∞

∑

an

n =1

también converge. b. Si ∞

∑ n =1

es divergente y an ≤ bn para toda n, entonces

bn

bn

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∞

∑

an

n =1

también diverge. TEOREMA 9. Suponga que ∞

∞

∑ ∑ an y

n =1

bn

n =1

son series con términos positivos. Si

lím

n → +∞

an = c, bn

donde c es un número finito y c > 0 , entonces ambas series convergen o divergen. Además a. Si c = 0 y ∞

∑

bn

n =1

es convergente, entonces ∞

∑

an

n =1

también converge. b. Si c = +∞ y ∞

∑

bn

n =1

es divergente, entonces ∞

∑

an

n =1

también diverge. Ejemplo 25. Determine la convergencia o la divergencia de las siguientes series: ∞

a.

∑

(−1)n +1

n =1

1 n − ln(n)

Solución.

Se analiza la convergencia de la serie

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∞

∑ n =1

1 . n − ln(n)

Por comparación simple: Sea ∞

∑ n =1

1 (serie armónica) (diverge) n

Se tiene que 1 1 ≥ . n − ln(n) n Por lo tanto la serie diverge. Se estudiará la serie alterna: 1 1 n + 1 bn +1 ≤ bn ⇒ ≤ ⇒ n − ln(n) ≤ n + 1 − ln(n + 1) ⇒ ln  ≤1 (n + 1) − ln(n + 1) n − ln(n)  n 

lím

n →∞

1 1 = lím = 0. 1 n →∞ n − ln(n) n(1 − n ln(n))

Por lo tanto la serie propuesta converge condicionalmente. ∞

b.

∑ n =1

 1  tg   n n 

Solución.

Criterio de comparación por paso al límite: Sea ∞

∑ n =1

∞

1 n n

∑

=

n =1

1 3/2

n

(Serie p con p =

Se sabe que esta serie converge. Por lo tanto tg( 1 ) tg(z) n n lím = lím =1 1 n → +∞ z →0 z n n

Por lo tanto la serie propuesta converge absolutamente.

3 2

> 1)

CRITERIO DE LA RAZÓN U.C.V.

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5.9. CRITERIO DE LA RAZÓN TEOREMA 10. Sea ∞

∑

an

n =1

una serie infinita para la cual cada an es diferente de cero: a. si

lím

n → +∞

an +1 = L < 1, an

entonces la serie es absolutamente convergente; b. si

lím

n → +∞

an +1 a = L > 1 o si lím n +1 = +∞ , n → +∞ an an

la serie es divergente; c.

si

lím

n → +∞

an +1 = 1, an

no se puede concluir nada acerca de la convergencia a partir de este criterio. Ejemplo 26. Determine si la serie es convergente o divergente: ∞

∑ n =1

(−1)n +1

n 2n

.

Solución.

Si

an = (−1)n +1

n n

2

y an +1 = (−1)n + 2

n+1 2n +1

.

Por tanto,

an +1 n + 1 2n . = n +1 . an n 2 De modo que lím

n → +∞

1 + 1n 1 an +1 = lím = < 1. n → +∞ 2 an 2

Por tanto, por el criterio de la razón, la serie dada es absolutamente convergente.

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Ejemplo 27. Determine si la serie es convergente o divergente: ∞

a.

∑

n.cos(nπ)

n =1

en

Solución. ∞

∑

n.cos(nπ) en

n =1

∞

∑

=

(−1)n.n en

n =1

(Serie alterna).

Se estudiará la convergencia de la serie ∞

∑ n =1

n en

aplicando criterio del cociente: n +1 en +1 lím n →∞ n en

=

n +1 en.e lím n →∞ n en

= lím

(n + 1)en

n →∞

n

n.e .e

=

1 n+1 1 lím = < 1. e n→∞ n e

Por lo tanto la serie converge absolutamente. Ejemplo 28. Encuentre los valores enteros positivos de k para los cuales la serie ∞

∑ n =1

(n!)2 (kn)!

converge. Solución. Aplicando el criterio de la razón: ((n + 1)!)2 (k(n +1))! lím n → +∞ (n!)2 (kn)!

= lím

n → +∞

((n + 1)!)2.(kn)! 2

(n!) .(k(n + 1))!

(n + 1)!.(n + 1)!.(kn)! n → +∞ n!.n!.(k(n + 1))!

= lím

(n + 1)2 n → +∞ (kn + k).(kn + k − 1)...(kn + 1)

= lím

En el denominador se tiene un polinomio de grado k y el coeficiente del término xk es igual a kk . Por lo tanto si k = 0 y si k = 1 la serie diverge y si k es igual a 2 el límite es igual a ¼. Para k ≥ 3 el límite es igual a cero y de acuerdo al criterio del cociente la serie converge para k = 2, 3,...

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5.10. CRITERIO DE LA RAÍZ TEOREMA 11. Sea ∞

∑

an

n =1

una serie infinita para la cual an es diferente de cero: a. si lím

n

an = L < 1 , entonces la serie es absolutamente convergente;

b. si lím

n

an = L > 1 , o si lím

n → +∞

n → +∞

c.

si

lím

n

n → +∞

n

n → +∞

an = +∞ , la serie es divergente;

an = 1 , no se puede concluir nada acerca de la convergencia a partir de este

criterio. Ejemplo 29. Aplique el criterio de la raíz para determinar si la serie es convergente o

divergente: ∞

∑

(−1)n

n =1

32n +1 n2n

.

Solución. Al aplicar el criterio de la raíz se tiene 1/n

lím

n → +∞

n

an

 32n +1  = lím  2n   n → +∞  n  

= lím

n → +∞

32 + (1/n) n2

= 0 < 1.

Por tanto, por el criterio de la raíz, la serie dada es absolutamente convergente. Los criterios de la razón y de la raíz están íntimamente relacionados. Sin embargo, el criterio de la razón generalmente es más fácil de aplicar; si los términos de la serie contienen factoriales, este es ciertamente el caso. Si los términos de una serie contienen potencias, aplicar el criterio de la raíz puede ser más ventajoso que aplicar el criterio de la razón. Ejemplo 30. Establezca si la serie ∞

∑ n =1

n2

 n    n + 1

converge absolutamente, condicionalmente o diverge. Solución.

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CÁLCULO II (0252) – TEMA 5

Aplicando criterio de la raíz: n2 /n

 n  lím   n →∞  n + 1 

n

1 1  n  = lím  = lím = < 1.  n n →∞  n + 1  n →∞ e 1  1 + n   

Por lo tanto la serie converge absolutamente.

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PROBLEMAS PROPUESTOS U.C.V.

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Series Numéricas Pág.: 233 de 250 Prof. José Luis Quintero

5.11. PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Establezca en cada caso si la sucesión converge o diverge y encuentre el límite de las sucesiones convergentes: ∞

a.

sen(n)  n.e   2   n + 10 n =1

b.

{

c.

 sen( n)    n n =1 

}

n+1 − n

∞

n =1

∞

d.

{n

e.

{ln(n) − ln(n + 1)}n=1

f.

n ln(π + e )    3n  n =1

g.

 2 n2   n − 1      2  n + 4    n =1

h.

  n  2 (ln(n)) n =1

i.

2 (n + 2)2  (n + 2) −   n  n + 4 

2

}

+ 3n − n

∞

n =1

∞

∞

∞

∞

∞

Rta. -4

n =1

∞

j.

 n2 + 1   n + 1   diverge    n 1 −     n =1

k.

−n  2 − 3e  Rta. 14  −n   8 + 5e n =1

l.

 n n      n + 1  n =1

∞

∞

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Series Numéricas Pág.: 234 de 250 Prof. José Luis Quintero

2. Dada la serie ∞

∑ n =1

2

:

3n

a. Identifiquela como una serie geométrica y obtenga el valor de su suma. b. Transformela en una serie telescópica y obtenga el valor de su suma. Respuesta: la suma es igual a 1. 3. Calcule la suma de la serie ∞

∑

1 + 2n + 3n 5n

n =2

.

4. Calcule la suma de la serie ∞

∑

3n + 2 + 2n −1

n =2

7n +1

.

5. Calcule la suma de la serie ∞

∑ n =1

2n + 1 n2 (n + 1)2

. Rta: 1.

∞

6. Calcule la suma de la serie

∑ n=0

1 . Rta. 1/2 . (n + 2)(n + 3)

∞

7. Calcule la suma de

∑ n =1 ∞

8. Calcule la suma de

∑ n=3

2 . n(n + 1)(n + 2)

 3  6  n − . (n + 3)(n + 4) 5  

9. Exprese ∞

∑ n =2

ln(n + 1) − ln(n) ln(n).ln(n + 1)

como una serie telescópica y calcular su suma. Rta.

1 ln(2)

.

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CÁLCULO II (0252) – TEMA 5

Series Numéricas Pág.: 235 de 250 Prof. José Luis Quintero

10. Calcule la suma de la serie ∞

∑ n=0

 3n 3n +1  −   . Diverge n 1 + 2n +1  1 + 2

11. Usando el criterio de la integral, establezca la convergencia o divergencia de la serie ∞

∑

3

n2e−n .

n =1

Converge. Integral

1 3e

.

12. Usando el criterio de la integral, establezca la convergencia o divergencia de la serie ∞

∑ n =1

n en

. Converge.

13. Aplicando el criterio del cociente, establezca la convergencia o divergencia de la serie ∞

∑

1.3.5...(2n − 1) n4

n =1

. Rta. Diverge.

14. Aplicando el criterio del cociente, establezca la convergencia o divergencia de la serie ∞

∑ n =1

nn . Rta . Diverge. n!

15. Estudie la convergencia de las siguientes series alternas: ∞

a.

∑ ∑ ∑ n =1 ∞

b.

n =1 ∞

c.

n =1

(−1)n Rta. Converge condicionalmente 3n + 2 (−1)n (3n + 2)2

Rta. Converge absolutamente

(−1)n +1(n + 2) n2 + 5n + 6

Rta. Converge condicionalmente